第四章 柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面 主要内容 1 、柱面 2 、锥面 3 、旋转曲面 4 、椭球面 5 、双曲面 6 、抛物面

第一节 柱面定义 平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所

形成的曲面称为柱面 .C L

这条定曲线 C 叫柱面的准线，动直线 L 叫柱面的母线 .

设柱面的准线为 )1(0),,(

0),,(

2

1

zyxF

zyxF

母线的方向数为 X,Y,Z 。如果 M1(x1,y1,z1) 为准线上一点，则过点 M1 的母线方程为

)2(111

Z

zz

Y

yy

X

xx

且有F1(x1,y1,z1)=0,F2(x1,y1,z1)=0 (3)

从（ 2 ）（ 3 ）中消去 x1,y1,z1 得

F(x,y,z)=0

这就是以（ 1 ）为准线，母线的方向数为 X， Y， Z 的柱面的方程。

柱面举例

x

o

z

y

x

o

z

y

xy 22

抛物柱面xy

平面

从柱面方程看柱面的特征：

（其他类推）

实 例 12

2

2

2

cz

by

椭圆柱面 母线 // 轴

x

12

2

2

2

by

ax

双曲柱面母线 // 轴z

pzx 22 抛物柱面母线 // 轴y

只含 yx, 而缺z 的方程 0),( yxF ，在

空间直角坐标系中表示母线平行于 z 轴的柱面，其准线为xoy面上曲线C .

例 1 、柱面的准线方程为

222

1222

222

zyx

zyx

而母线的方向数为 -1， 0 ， 1 ，求这柱面的方程。

例 2 、已知圆柱面的轴为

2

1

2

1

1

zyx

点（ 1,-2,1) 在此圆柱面上，求这个柱面的方程。

第二节 锥面

)1(0),,(

0),,(

2

1

zyxF

zyxF

一、锥面1 、定义 在空间，通过一定点且与定曲线相交的一族直线所产生的曲面称为锥面，这些直线都称为锥面的母线，定点称为锥面的顶点，定曲线称为锥面的准线。2 、锥面的方程

设锥面的准线为

顶点为 A(x0,y0,z0) ，如果 M1(x1,y1,z1) 为准线上任一点，则锥面过点 M1 的母线为：

)2(01

0

01

0

01

0

zz

zz

yy

yy

xx

xx

且有 F1(x1,y1,z1)=0 F2(x1,y1,z1)=0 （ 3 ）

从（ 2 ）（ 3 ）中消去参数 x1,y1,z1 得三元方程F(x,y,z)=0

这就是以（ 1 ）为准线，以 A 为顶点的锥面方程。例 1 、求顶点在原点，准线为

czb

y

a

x1

2

2

2

2

的锥面的方程。答： 0

2

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x （二次锥面）

定理 一个关于 x,y,z 的齐次方程总表示顶点在坐标原点的锥面。

齐次方程：设 λ 为实数，对于函数 f(x,y,z) ，如果有

f(tx,ty,tz)=tλf(x,y,z)

则称 f(x,y,z)为 λ 的齐次函数， f(x,y,z)=0 称为齐次方程。

例如，方程 x2+y2-z2=0 圆锥面

又如，方程 x2+y2+z2=0 原点（虚锥面）

第三节 旋转曲面一、 . 旋转曲面

1 、 定义 : 以一条平面曲线 C 绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面叫做旋转曲面 , 这条定直线叫旋转曲面的轴 .

曲线 C 称为放置曲面的母线

o

C

纬线

经线

二、旋转曲面的方程在空间坐标系中，设旋转曲面的母线为：

)1(0),,(

0),,(:

2

1

zyxF

zyxFC

旋转直线为：

)2(: 000

Z

zz

Y

yy

X

xxL

其中 P0(x0,y0,z0) 为轴 L 上一定点， X， Y， Z 为旋转轴L 的方向数。设M1(x1,y1,z1) 为母线 C 上的任意点，则 M1 的纬圆总可以看成是过 M1 且垂直于旋转轴 L 的平面与以 P0 为中心， |P0M1| 为半径的球面的交线。

所以过 M1 的纬圆的方程为：

2

012

012

012

02

02

0

000

)()()()()()(

)3(0)()()(

zzyyxxzzyyxx

zzZyyYxxX

当点 M1 跑遍整个母线 C 时，就得到所有的纬圆，这些纬圆就生成旋转曲面。又由于 M1 在母线上，所以又有：

)4(0),,(

0),,(:

1112

1111

zyxF

zyxFC

从（ 3 ）（ 4 ）的四个等式中消去参数 x1,y1,z1, 得到一个三元方程： F(x,y,z)=0

这就是以 C 为母线， L 为旋转轴的旋转曲面的方程。

例 1 、求直线0

1

12

zyx

绕直线 x=y=z 旋转所得旋转曲面的方程。

解：设 M1(x1,y1,z1) 是母线上的任意点，因为旋转轴通过原点，所以过 M1 的纬圆方程是：

2

12

12

1222

111 0)()()(

zyxzyx

zzyyxx

又由于 M1 在母线上，所以又有：

0

1

12111

zyx

即 x1=2y1,z1=1, 消去 x1,y1,z1 得所求旋转曲面的方程：2(x2+y2+z2)-5(xy+yz+zx)+5(x+y+z)-7=0 。

三、母线在坐标面而旋转轴为坐标轴的旋转曲面： 已知 yoz 面上一条曲线 C, 方程为 f (y, z) = 0,

曲线 C 绕 z 轴旋转一周就得一个旋转曲面 .设M1(0, y1`, z1)是 C 上任意一点 , 则有 f( y1, z1) =

0 当 C 绕 z 轴旋转而M1 随之转到 M (x, y, z)

时 , 有

|| 122

1

yyx

zz

221 yxy 将 z1 = z, 代入

方程 F( y1, z1) = 0, x

o

z

y

0),( zyf

),,0( 111 zyMMd

yoz坐标面上的已知曲线0),(zyf绕z轴旋转一周的旋转曲面方程.

同理：yoz坐标面上的已知曲线0),(zyf

绕y轴旋转一周的旋转曲面方程为

.0, 22 zxyf

得旋转曲面的方程 : 0) ,( 22 zyxF

即

规律：

当坐标平面上的曲线 C 绕此坐标平面的一个坐标旋转时，要求该旋转曲面的方程，只要将曲线 C 在坐标面里的方程保留和旋转轴同名的坐标，而以其它两个坐标平方和的平方根来代替方程中的另一坐标。

例 1 直线L绕另一条与L相交的直线旋转一周，所得旋转曲面叫圆锥面．两直线的交点叫圆锥面的顶点，两直线的夹角

20 叫圆锥面的半顶角．试建立顶点在坐标原点，旋转

轴为z轴，半顶角为 的圆锥面方程．

x

o

z

y

解 yoz面上直线方程为

cotyz ),,0( 111 zyM

),,( zyxM

圆锥面方程

cot22 yxz o

x

z

y

例 2: 求直线 z = ay 绕 z 轴旋转所得的旋转曲面方程 .

z

x

y

z = ay

解 : 将 y 用 代入直线方程 , 得

22 yx

)( 22 yxaz

平方得 :

z2 = a2 ( x2 + y2 )

该旋转曲面叫做圆锥面 , 其顶点在原点 .

例 3 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求生成的旋转曲面的方程．

（1）双曲线 12

2

2

2

cz

ax

分别绕x轴和z轴；

绕x轴旋转

绕z轴旋转

12

22

2

2

c

zyax

12

2

2

22

cz

ayx

旋转双曲面

（单叶）

（双叶）

例 4 、将圆

0

)0()( 222

x

abazby

绕 Z 轴旋转，求所得旋转曲面的方程。解：所求旋转曲面的方程为：

22222 )( azbyx

即： (x2+y2+z2+b2-a2)2=4b2(x2+y2)

该曲面称为圆环面。

（2）椭圆

0

12

2

2

2

xcz

ay

绕 y轴和z轴；

绕y轴旋转

绕z轴旋转

12

22

2

2

c

zxay

12

2

2

22

cz

ayx

旋转椭球面

（3）抛物线

0

22

x

pzy绕z轴；

pzyx 222 旋转抛物面

（长形）

（短形）

第四节 二次曲面

二次曲面的定义：三元二次方程

相应地平面被称为一次曲面．讨论二次曲面性状的平面截痕法： 用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后加以综合，从而了解曲面的全貌．以下用截痕法讨论几种特殊的二次曲面．

一、基本内容

所表示的曲面称之为二次曲面．ax2 + by2 + cz2 +dxy + exz + fyz + gx + hy + iz +j = 0

z

o

x

y

O

2 用平面 z = k 去截割 ( 要求 |k | c), 得椭圆

kzc

k

b

y

a

x2

2

2

2

2

2

1

当 |k | c 时 , |k | 越大 , 椭圆越小 ;当 |k | = c 时 , 椭圆退缩成点 .

二 . 几种常见二次曲面 .

（一） 椭球面

1 用平面 z = 0 去截割 , 得椭圆

0

12

2

2

2

zb

y

a

x

12

2

2

2

2

2

C

z

b

y

a

x

3 类似地 , 依次用平面 x = 0, 平面 y = 0 截割 , 得椭圆 :

,

0

12

2

2

2

xc

z

b

y.

0

12

2

2

2

yc

z

a

x

特别 : 当 a=b=c 时 , 方程 x2 + y2 + z2 = a2 ,

表示球心在原点 o, 半径为 a 的球面 .

（二）双曲面

单叶双曲面12

2

2

2

2

2

cz

by

ax

（ 1 ）用坐标面 与曲面相截)0( zxoy

截得中心在原点 的椭圆 .)0,0,0(O

0

12

2

2

2

zby

ax

与平面 的交线为椭圆 .1zz

当 变动时，这种椭圆的中心都在 轴上 .

1zz

1

2

21

2

2

2

2

1

zzcz

by

ax

（ 2 ）用坐标面 与曲面相截)0( yxoz

截得中心在原点的双曲线 .

0

12

2

2

2

ycz

ax 实轴与 轴相合，

虚轴与 轴相合 .xz

1

2

21

2

2

2

2

1

yyby

cz

ax

双曲线的中心都在 轴上 .y

与平面 的交线为双曲线 .1yy )( 1 by

,)1( 221 by x实轴与 轴平行 , z虚轴与 轴平行 .

,)2( 221 by z实轴与 轴平行 , x虚轴与 轴平行 .

,)3( 1 by 截痕为一对相交于点 的直线 .)0,,0( b

,0

byc

z

a

x

.0

byc

z

a

x

,)4( 1 by

截痕为一对相交于点 的直线 .)0,,0( b

,0

byc

z

a

x.

0

byc

z

a

x

（ 3 ）用坐标面 ， 与曲面相截)0( xyoz 1xx

均可得双曲线 .

单叶双曲面图形

x

yo

z

平面 的截痕是两对相交直线 .ax

双叶双曲面12

2

2

2

2

2

cz

by

ax

x

yo

（三）抛物面

zq

yp

x

22

22

（ 与 同号）p q

椭圆抛物面用截痕法讨论：

（ 1 ）用坐标面 与曲面相截)0( zxoy

截得一点，即坐标原点 )0,0,0(O

设 0,0 qp

原点也叫椭圆抛物面的顶点 .

与平面 的交线为椭圆 .1zz

1

1

2

1

2

122

zz

qzy

pzx

当 变动时，这种椭圆的中心都在 轴上 .

1zz

)0( 1 z

与平面 不相交 .1zz )0( 1 z

（ 2 ）用坐标面 与曲面相截)0( yxoz

0

22

y

pzx截得抛物线

与平面 的交线为抛物线 .1yy

1

212

22

yy

qy

zpx 它的轴平行于 轴z

顶点

q

yy

2,,0

21

1

（ 3 ）用坐标面 ， 与曲面相截)0( xyoz 1xx

均可得抛物线 .

同理当 时可类似讨论 .0,0 qp

z

xy

o

xy

z

o

椭圆抛物面的图形如下：

0,0 qp 0,0 qp

特殊地：当 时，方程变为qp

zp

yp

x

22

22

旋转抛物面)0( p

（由 面上的抛物线 绕它的轴旋转而成的）

xoz pzx 22

1

122 2

zz

pzyx

与平面 的交线为圆 .1zz )0( 1 z

当 变动时，这种圆的中心都在 轴上 .

1zz

zq

yp

x

22

22

（ 与 同号）p q

双曲抛物面（马鞍面）用截痕法讨论：设 0,0 qp

图形如下：

x

y

z

o