一、第一型曲面积分的概念 二、第一型曲面积分的计算
description
Transcript of 一、第一型曲面积分的概念 二、第一型曲面积分的计算
数学分析—电子教案数学分析—电子教案 Mathematical Analysis
新余高专精品课程 上一页 下一页
一、第一型曲面积分的概念一、第一型曲面积分的概念二、第一型曲面积分的计算二、第一型曲面积分的计算
§1 §1 第一型曲面积分第一型曲面积分
数学分析—电子教案数学分析—电子教案 Mathematical Analysis
新余高专精品课程 上一页 下一页
设曲面形物体 S 具有连续的面密度函数
类似第一型曲线积分、二重积分、三重积分的思想 ,
n
iiiii
TSM
10||||
),,(lim
求其质量 M.
采用“分割、近似代替、求和、取极限”的方法,可得
一、一、第一型曲面积分的概念第一型曲面积分的概念
数学分析—电子教案数学分析—电子教案 Mathematical Analysis
新余高专精品课程 上一页 下一页
定义 1 设 S 为可求面积的曲面 ,
为定义在 S 上的函数 . 对曲面 S 作分割 T ,将 S 分成
n 个小曲面块 Si ( i = 1, 2, . . . , n ) , Si 的面积记为
在 Si 任取一点
若极限
n
iiiii
TSf
10||||
),,(lim
存在,则称此极限为 f ( x, y, z ) 在 S 上的第一型曲面积分,记作
数学分析—电子教案数学分析—电子教案 Mathematical Analysis
新余高专精品课程 上一页 下一页
S
SzyxM d),,(
于是 , 曲面形物体 S 的质量为
第一型曲面积分与第一型曲线积分、重积分的性质
类似,例如.d 的面积SS
S
数学分析—电子教案数学分析—电子教案 Mathematical Analysis
新余高专精品课程 上一页 下一页
定理 22.1 设有光滑曲面
f (x, y, z) 在 S 上连续 ,
xyD
yxf ),,( ),( yxz
则
二、二、第一型曲面积分的计算第一型曲面积分的计算
x
y
z
O
数学分析—电子教案数学分析—电子教案 Mathematical Analysis
新余高专精品课程 上一页 下一页
证明 : 由定义知
n
k 10
lim
yxyxzyxzyxk
yx dd),(),(1)(
22
yxkkkykkx zz )(),(),(1 22
而
数学分析—电子教案数学分析—电子教案 Mathematical Analysis
新余高专精品课程 上一页 下一页
yxkkkykkx zz )(),(),(1 22
yxkkkykkx zz )(),(),(1 22
yxyxzyxzyxf yxD yx
dd),(),(1),,( 22
)),(,,( kkkk zf
)),(,,( kkkk zf
Szyxf d),,(
( 光滑 )
数学分析—电子教案数学分析—电子教案 Mathematical Analysis
新余高专精品课程 上一页 下一页
说明说明 ::
zyDzyzyxx ),(),,(
zxDzxzxyy ),(),,(
则有公式:1) 如果曲面方程为
yzD
zyf ),,( ),( zyx
如果曲面方程为
则有公式:
xzD
zxf ),,( ),( zxy
数学分析—电子教案数学分析—电子教案 Mathematical Analysis
新余高专精品课程 上一页 下一页
2) 若曲面为参数方程 , 只要求出在参数意义下 dS
的表达式 ,也可将对面积的曲面积分转化为对参数的二重积分 .
数学分析—电子教案数学分析—电子教案 Mathematical Analysis
新余高专精品课程 上一页 下一页
yxD
例 1. 计算曲面积分 其中 S 是球面
被平面 截出的顶部 .
解2222: hayxD yx
221 yx zz
S z
Sd
2
0da
0)ln(
2
12
22
22ha
raa
yxD yxa
yxa222
dd
22
0 22
dha
ra
rr
o
x
z
y
S
h
a
数学分析—电子教案数学分析—电子教案 Mathematical Analysis
新余高专精品课程 上一页 下一页
例 计算曲面积分
其中 S 为立体的边界曲面 .
解 设
数学分析—电子教案数学分析—电子教案 Mathematical Analysis
新余高专精品课程 上一页 下一页
所以
数学分析—电子教案数学分析—电子教案 Mathematical Analysis
新余高专精品课程 上一页 下一页
例 . 计算 .: 2222 Rzyx
解 : 取球面坐标系 , 则
0cos
)cosd(2
RR
R
0
2
dcos
sinR
R
2
0
d
数学分析—电子教案数学分析—电子教案 Mathematical Analysis
新余高专精品课程 上一页 下一页
z zd
例 . 计算 其中 是介于平面
之间的圆柱面 分析 : 若将曲面分为前后 ( 或左右 )
则
H
zR
zRI
0 22d2
RH
arctan2
o
H
xy
z
解 : 取曲面面积元素两片 ,则计算较繁 .
数学分析—电子教案数学分析—电子教案 Mathematical Analysis
新余高专精品课程 上一页 下一页
内容小结1. 定义 :
2. 计算 : 设
则
n
iiiii
TS
Sfszyxf1
0||||),,(limd),,(
xyD
yxf ),,( ),( yxz