第五章 二次曲线的一般理论
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第五章 二次曲线的一般理论
§5.1 二次曲线与直线的相关位置
§5.3 二次曲线的切线
§5.2 二次曲线的渐近方向、中心、渐近线
§5.4 二次曲线的直径
§5.6 二次曲线方程的化简与分类
§5.5 二次曲线的主直径和主方向
§5.7 应用不变量化简二次曲线的方程
在平面上,由二元二次方程 0222 332313
22212
211 ayaxayaxyaxa
所表示的曲线,叫做二次曲线。在这一章里,我们将讨论二次曲线的几何性质,以及二次曲线的化简,最后对二次曲线进行分类。
为了方便起见,特引进一些记号:
3323132
22122
11 222),( ayaxayaxyaxayxF
1312111 ),( ayaxayxF 2322122 ),( ayaxayxF
3323133 ),( ayaxayxF 2
22122
11 2),( yaxyaxayx
332313
232212
131211
aaa
aaa
aaa
A
2212
1211*
aa
aaA
12111 aaI
2212
12112 aa
aaI
332313
232212
131211
3
aaa
aaa
aaa
I
3323
2322
3313
13111 aa
aa
aa
aaK
3323132
22122
11 222),( ayaxayaxyaxayxF
讨论二次曲线
与直线
Ytyy
Xtxx
0
0
的交点,可以采用把直线方程( 2 )代入曲线方程( 1 )然后讨论关于 t 的方程
( 1 )
( 2)
§5.1 二次曲线与直线的相关位置
0)222(
)()(2
)2(
3302301320220012
2011
2302201213012011
222212
211
ayaxayayxaxa
tYayaxaXayaxa
tYaXYaXa ( 3)
0),(
),(),(2),(
00
0020012
yxF
tYyxFXyxFtYX
( 4 )
对( 3 )或( 4 )可分以下几种情况来讨论:
.)1()2()2(
)4(.01 21
的两个不同的实交点与二次曲线得直线,代入与有两个不等的实根方程 tt
.)1()2(
)4(.02 21
点有两个相互重合的实交与二次曲线,直线与有两个相等的实根方程 tt
.
)2()4(.03
的虚点二次曲线交于两个共轭与线有两个共轭的虚根,直方程
),(),(),(),(
,)4(.0),(.1
002
002001 yxFYXYyxFXyxF
YX
的二次方程是关于此时 t
:,这时又可分三种情况0),(.2 YX
.
)1()2(,
)4(.0),(),(1 002001
实交点有唯一与二次曲线直线的一次方程关于
是此时t
YyxFXyxF
.)1(
)2(,)4(.0),(
.0),(),(2
00
002001
无交点与二次曲线直线是矛盾方程而
yxF
YyxFXyxF
.)1()2(,)4(
.0),(),(),(3 00002001
上全部在二次曲线直线是恒等式此时 yxFYyxFXyxF
1. 二次曲线的渐近方向
定义 5.2.1 满足条件 Φ(X,Y)=0 的方向 X:Y 叫做二次曲线的渐近方向,否则叫做非渐近方向 .
定义 5.2.2 没有实渐近方向的二次曲线叫做椭圆型的,有一个实渐近方向的二次曲线叫做抛物线型的,有两个实渐近方向的二次曲线叫做双曲型的 .
即 1) 椭圆型: I2>0 2) 抛物型: I2 = 0 3) 双曲型: I2
<0
§5.2 二次曲线的渐近方向、中心、渐近线
2. 二次曲线的中心与渐近线
定义 5.2.3 如果点 C 是二次曲线的通过它的所有弦的中点 (C 是二次曲线的对称中心 ) ,那么点C 叫做二次曲线的中心 .
定理 5.2.1 点 C(x0 ,y0) 是二次曲线 (1) 的中心,其充要条件是:
)12.5(0),(
0),(
23022012002
13012011001
ayaxayxF
ayaxayxF
推论 坐标原点是二次曲线的中心,其充要条件是曲线方程里不含 x 与 y 的一次项 .
二次曲线 (1) 的的中心坐标由下方程组决定:
)22.5(0),(
0),(
2322122
1312111
ayaxayxF
ayaxayxF
如果 I2≠0 ,则 (5.2 - 2) 有唯一解,即为唯一中心坐标
如果 I2 = 0 ,分两种情况:.)22.5(
23
13
22
12
12
11 无解,没有中心时,当 a
a
a
a
a
a
.
)22.5(23
13
22
12
12
11
,这条直线叫中心直线点都是二次曲线的中心
无数多解,直线上所有时,当 a
a
a
a
a
a
定义 5.2.4 有唯一中心的二次曲线叫中心二次曲线,没有中心的二次曲线叫无心二次曲线,有一条中心直线的二次曲线叫线心二次曲线,无心二次曲线和线心二次曲线统称为非中心二次曲线 .
定义 5.2.5 通过二次曲线的中心,而且以渐近方向为方向的直线叫做二次曲线的渐近线 .
定理 5.2.2 二次曲线的渐近线与这二次曲线或者没有交点,或者整条直线在这二次曲线上
成为二次曲线的组成部分 .
定义 5.3.1 如果直线与二次曲线相交于相互重合的两个点,那么这条直线就叫做二次曲线的切线,这个重合的交点叫做切点,如果直线全部在二次曲线上,我们也称它为二次曲线的切线,直线上的每个点都可以看作切点 .
定义 5.3.2 二次曲线 (1) 上满足条件 F1(x0,y0)=
F2(x0,y0)=0 的点 (x0,y0) 叫做二次曲线的奇异点,简称奇点;二次曲线的非奇异点叫做二次曲线的正常点 .
§5.3 二次曲线的切线
定理 5.3.1 如果 (x0,y0) 是二次曲线 (1) 的正常点,那么通过 (x0,y0) 的切线方程是 (x-x0)F1 (x0,y0)+
(y-y0)F2 (x0,y0)=0 , (x0,y0) 是它的切点 . 如果 (x0,y0)是二次曲线 (1) 的奇异点,那么通过 (x0,y0) 的切线不确定,或者说过点 (x0,y0) 的每一条直线都是二次曲线 (1) 的切线 . 推论 如果 (x0,y0) 是二次曲线 (1) 的正常点,那么通过 (x0,y0) 的切线方程是:
0)(
)()(
33023
0130220012011
ayya
xxayyaxyyxaxxa
例 1 求二次曲线 x2-xy+y2+2x-4y-3=0 在点 (2,1)的切线方程
解:因为 F(2,1)=4-2+1+4-4-3=0,
且 F1(2,1)=5/2≠0, F 2 (2,1)=-2 ≠0
所以 (2,1) 是二次曲线上的正常点,因此得在
点 (2,1) 的切线方程为:
5/2 (x-2)-2(y-1)=0
即: 5x-4y-6=0
1. 二次曲线的直径
定理 5.4.1 二次曲线的一族平行弦的中点轨迹是一条直线 .
定义 5.4.1 二次曲线的平行弦中点轨迹叫做这个二次曲线的直径,它所对应的平行弦,叫做共轭于这条直径的共轭弦;而直径也叫做共轭于平行弦方向的直径 .
§5.4 二次曲线的直径
推论 二次曲线的一族平行弦的斜率为 k ,那么共轭于这族平行弦直径方程为 F1(x,y)+kF2(x,y)=0 定理 5.4.2 中心二次曲线的直径通过曲线的中心,无心二次曲线的直径平行于曲线的渐近方向,线心二次曲线的直径只有一条,即曲线的中心直线
2. 共轭方向与共轭直径 中心二次曲线的非渐近方向的共轭方向仍然是非渐近方向,而在非中心二次曲线的情形是渐近方向 .
定义 5.4.2 中心曲线的一对具有相互共轭方向的直径叫做一对共轭直径 .
)15.5(2212
1211
YYaXa
XYaXa
)25.5(02212
1211
aa
aa
定义 5.5.1 二次曲线的垂直与其共轭弦的直径叫做二次曲线的主直径,主直径的方向与垂直于主直径的方向都叫做二次曲线的主方向 .
)35.5(0212 II
§5.5 二次曲线的主直径和主方向
定义 5.5.2 方程 (5.5-2) 或 (5.5-3) 叫做二次曲线(1) 的特征方程,特征方程的根叫做二次曲线的特征根定理 5.5.1 二次曲线的特征根都是实
数 .定理 5.5.2 二次曲线的特征根不能全为零 .
定理 5.5.3 由二次曲线 (1) 的特征根 λ 确定的主方向 X:Y ,当 λ≠0 时,为二次曲线的非渐近主方向;当 λ = 0 时,为二次曲线的渐近主方向 .
定理 5.5.4 中心二次曲线至少有两条主直径,非中心二次曲线只有一条主直径 .
cossin
sincos
yxy
yxx
1. 平面直角坐标变换
cossin
sincos
yxy
yxx
为转轴公式,其中 α 为坐标轴的旋转角 .
§5.6 二次曲线方程的化简与分类
2. 二次曲线方程的化简和分类
定理 5.6.1 适当选取坐标系,二次曲线的方程总可以化成下列三个简化方程中的一个:
.0,0)(
;0,02)(
;0,0)(
22332
22
1322132
22
2211332
222
11
aayaIII
aaxayaII
aaayaxaI
定理 5.6.2 通过适当选取坐标系,二次曲线的方程总可以写成下面九种标准方程的一种形式:
)(1]1[2
2
2
2
椭圆b
y
a
x
)(1]3[2
2
2
2
双曲线b
y
a
x
)(0]4[2
2
2
2
虚直线点或相交于实点的共轭b
y
a
x
)(0]5[2
2
2
2
两相交直线b
y
a
x
)(2]6[ 2 抛物线pxy )(]7[ 22 两平行直线ay
)(]8[ 22 两平行共轭虚直线ay )(0]9[ 2 两重合直线y
)(1]2[2
2
2
2
虚椭圆b
y
a
x