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一、第一型曲面积分的概念一、第一型曲面积分的概念二、第一型曲面积分的计算二、第一型曲面积分的计算

§1 §1 第一型曲面积分第一型曲面积分



设曲面形物体 S 具有连续的面密度函数

类似第一型曲线积分、二重积分、三重积分的思想 ,

n

iiiii

TSM

10||||

),,(lim

求其质量 M.

采用“分割、近似代替、求和、取极限”的方法，可得

一、一、第一型曲面积分的概念第一型曲面积分的概念



定义 1 设 S 为可求面积的曲面 ,

为定义在 S 上的函数 . 对曲面 S 作分割 T ，将 S 分成

n 个小曲面块 Si ( i = 1, 2, . . . , n ) ， Si 的面积记为

在 Si 任取一点

若极限

n

iiiii

TSf

10||||

),,(lim

存在，则称此极限为 f ( x, y, z ) 在 S 上的第一型曲面积分，记作



S

SzyxM d),,(

于是 , 曲面形物体 S 的质量为

第一型曲面积分与第一型曲线积分、重积分的性质

类似，例如.d 的面积SS

S



定理 22.1 设有光滑曲面

f (x, y, z) 在 S 上连续 ,

xyD

yxf ),,( ),( yxz

则

二、二、第一型曲面积分的计算第一型曲面积分的计算

x

y

z

O



证明 : 由定义知

n

k 10

lim

yxyxzyxzyxk

yx dd),(),(1)(

22

yxkkkykkx zz )(),(),(1 22

而





yxyxzyxzyxf yxD yx

dd),(),(1),,( 22

)),(,,( kkkk zf

)),(,,( kkkk zf

Szyxf d),,(

( 光滑 )



说明说明 ::

zyDzyzyxx ),(),,(

zxDzxzxyy ),(),,(

则有公式：1) 如果曲面方程为

yzD

zyf ),,( ),( zyx

如果曲面方程为

则有公式：

xzD

zxf ),,( ),( zxy



2) 若曲面为参数方程 , 只要求出在参数意义下 dS

的表达式 ,也可将对面积的曲面积分转化为对参数的二重积分 .



yxD

例 1. 计算曲面积分其中 S 是球面

被平面截出的顶部 .

解2222: hayxD yx

221 yx zz

S z

Sd

2

0da

0)ln(

2

12

22

22ha

raa

yxD yxa

yxa222

dd

22

0 22

dha

ra

rr

o

x

z

y

S

h

a



例计算曲面积分

其中 S 为立体的边界曲面 .

解设



所以



例 . 计算 .: 2222 Rzyx

解 : 取球面坐标系 , 则

0cos

)cosd(2

RR

R

0

2

dcos

sinR

R

2

0

d



z zd

例 . 计算其中是介于平面

之间的圆柱面分析 : 若将曲面分为前后 ( 或左右 )

则

H

zR

zRI

0 22d2

RH

arctan2

o

H

xy

z

解 : 取曲面面积元素两片 ,则计算较繁 .



内容小结1. 定义 :

2. 计算 : 设

则

n

iiiii

TS

Sfszyxf1

0||||),,(limd),,(

xyD

yxf ),,( ),( yxz

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