อาจารยณภทรษกร สารพฒนสาขาวชาฟสกส คณะวทยาศาสตรและเทคโนโลย มหาวทยาลยราชภฏเทพสตร ลพบร

บทท 2

การเคลอนทในหนงมมต 𝑔

𝑎𝒗 = 𝒖 + 𝒂𝒕 𝒔 =

𝒗 + 𝒖

𝟐𝒕

𝒔 = 𝒖𝒕 + 𝟏𝟐𝒂𝒕𝟐

𝒗𝟐 = 𝒖𝟐 + 𝟐𝒂 ∙ 𝒔

Outline

o ปรมาณตางๆ ของการเคลอนทo การวดอตราเรวของการเคลอนทในแนวตรงo ความเรงo ความสมพนธระหวางกราฟความเรวเวลากบระยะทาง

ส าหรบการเคลอนทในแนวตรงo สมการส าหรบค านวณหาปรมาณตางๆ ของการ

เคลอนทแนวตรงดวยความเรงคงตว

การเคลอนทแนวตรงม

การเคลอนทแนวตรงม หมายถงม การเคลอนทของวตถตามแนวเสนตรงโดยไมออกจากแนวเสนตรงของการเคลอนท หรอเรยกวา การเคลอนทแบบ 1 มต ของวตถ เชน การเคลอนทของรถยนตบนถนนตรง

การเคลอนทของผลมะมวงทรวงลงสพน การเคลอนทแนวตรง แบงไดเปน 2 กรณ คอการเคลอนแนวตรงตามแนวราบ และ การเคลอนทแนวตรงตามแนวดง 𝑔

𝑣

การบอกต าแหนงมของมวตถส าหรบการเคลอนทแนวตรงม

o ในการเคลอนทของมวตถ ต าแหนงมของมวตถจะมการเปลยนแปลงม ดงมนนจงมตองมมการบอกต าแหนงมเพอความชดเจน การบอกต าแหนงมของมวตถจะตองมเทยบกบ จดอางอง หรอ ต าแหนงอางอง

ระยะหางมของมวตถจากจดอางมองม (0) ไปทางมขวามทศทางมเปนบวก (A,C)

ระยะหางมของมวตถจากจดอางมองม (0) ไปทางมซายมทศทางมเปนลบ (A,B)

A

0

CB

20 40 60 80-80 -60 -40 -20

ระยะทางม (Distance)

ระยะทางม (Distance) คอ เสนทางม หรอ ความยาวตามเสนทางมการเคลอนท จากต าแหนงมเรมตนถงมต าแหนงมสดทาย

o ระยะทางมใชสญลกษณ “ S ” เปนปรมาณสเกลาร มหนวยเปน เมตร (m)

การกระจด (Displacement)

การกระจด (Displacement) คอ ความยาวเสนตรงทเชอมโยงระหวางจดเรมตน และจดสดทายของการเคลอนท

o การกระจดใชสญลกษณ 𝑆 เปนปรมาณเวกเตอรมหนวยเปน เมตร (m)

ตวอยางการแสดงระยะทางและการกระจด

เมอวตถเคลอนทจาก A ไป B ตามแนวเสนทางดงรป

ตามเสนทางมท 1 ไดระยะทาง = S1 และไดการกระจด = 𝑆2 ทศจาก A ไป Bตามเสนทางมท 2 ไดระยะทาง = S2 และไดการกระจด = 𝑆2 ทศจาก A ไป Bตามเสนทางมท 3 ไดระยะทาง = S3 และไดการกระจด = 𝑆2 ทศจาก A ไป B

A

B

(3)

S1

S2

S3

(2)(1)

ขอสรประหวางระยะทางและการกระจด

o ระยะทาง ขนอยกบเสนทางการเคลอนท

o การกระจด ไมขนอยกบเสนทางการเคลอนทแตจะขนอยกบต าแหนงเรมตนและต าแหนงสดทาย

การเคลอนทโดยทวๆ ไป ระยะทางมจะมากกวาการกระจดเสมอ ยกเวน เมอวตถเคลอนทเปนเสนตรงม การกระจดจะมขนาดเทากบระยะทางม

วตถหนงเคลอนทจาก A ไป B และตอไป C ดงรป จงหาระยะทางและการกระจดของวตถจาก A ไป C

ตวอยาง 1

A B

C

3 กม.

4 กม.

วตถเคลอนทจาก A ไปยง B ดงรป จงหาระยะทางและการกระจด

ตวอยางม 2

A B

อตราเรว (Speed)

อตราเรว (Speed) หมายถง ระยะทางทวตถเคลอนทไดในหนงหนวยเวลา ใชสญลกษณ คอ v เปนปรมาณสเกลาร มหนวยเปน เมตร/วนาท (m/s)o แบงพจารณาไดเปน 3 แบบ คอ

1. อตราเรวเฉลย (vav)2. อตราเรวขณะใดขณะหนง (vt)3. อตราเรวคงท (v)

1. อตราเรวเฉลย (vav)

อตราเรวเฉลย (vav) หมายถงม ระยะทางมทวตถเคลอนทไดในหนงมหนวยเวลา (ในชวงมเวลาหนงมทก าลงมพจารณาเทานน)

เมอ ∆𝑠, 𝑠 คอ ระยะทางทเคลอนทได

∆𝑡, 𝑡 คอ ชวงเวลาทใชในการเคลอนท

𝑣𝑎𝑣 คอ อตราเรวเฉลย

𝑣𝑎𝑣 =∆𝑠

∆𝑡หรอ 𝑣𝑎𝑣 =

𝑠

𝑡

2. อตราเรวขณะใดขณะหนง (vt)

หรอ อตราเรวขณะใดขณะหนง คอ อตราเรว ณ เวลาใดเวลาหนงหรออตราเรวทจดใดจดหนง

อตราเรวขณะใดขณะหนง (vt) หมายถง ระยะทางทวตถเคลอนทไดในหนงหนวยเวลา เมอชวงเวลาทเคลอนทนอยมาก ๆ ( ∆𝑡 เขาใกลศนย)

𝑣𝑡 =∆𝑠

∆𝑡เมอ ∆𝑡 → 0

3. อตราเรวคงท (v)

อตราเรวคงท (v) หมายถง เปนการบอกใหทราบวาวตถมการเคลอนทอยางสม าเสมอ ไมวาจะพจารณาในชวงเวลาใด ๆ

ขอสงมเกต ถาวตถเคลอนทดวยอตราเรวคงท อตราเรวเฉลย อตราเรวขณะใดขณะหนงจะมคาเทากบ อตราเรวคงทนน

𝑣 =∆𝑠

∆𝑡

ความเรว (Velocity)

ความเรว (Velocity) คอ อตราการเปลยนแปลงมการกระจด หรอ การกระจดทเปลยนแปลงมไปในหนงมหนวยเวลา

การกระจด 𝑣 เปนปรมาณเวกเตอร มหนวยเปน เมตร/วนาท (m/s)

o แบงมพจารณาไดเปน 3 แบบ คอ1. ความเรวเฉลย 𝒗𝒂𝒗

2. ความเรวขณะใดขณะหนงม 𝒗𝒕

3. ความเรวคงมท 𝒗

1. ความเรวเฉลย 𝒗𝒂𝒗

ความเรวเฉลย 𝒗𝒂𝒗 หมายถง การกระจดของวตถทเปลยนไปในเวลาหนงหนวย (ในชวงเวลาหนงทพจารณา)

* ทศทางของ 𝑣𝑎𝑣 จะมทศทางเดยวกบ ∆ 𝑠 หรอ 𝑠 เสมอ

𝑣𝑎𝑣 =∆ 𝑠

∆𝑡หรอ 𝑣𝑎𝑣 =

𝑠

𝑡

∆ 𝑠, ∆𝑡

𝑠1, t1 𝑠2, t2

2. ความเรวขณะใดขณะหนง 𝒗𝒕

ความเรวขณะใดขณะหนง 𝒗𝒕 คอ ความเรว ณ เวลาใดเวลาหนงหรอความเรวทจดใดจดหนงหมายถง การกระจดทวตถเคลอนทไดในหนงหนวยเวลา เมอชวงเวลาทเคลอนทนอยมาก ๆ (∆𝑡 เขาใกลศนย)

𝑣𝑡 =∆ 𝑠

∆𝑡เมอ ∆𝑡 → 0

∆ 𝑠, ∆𝑡

3. ความเรวคงท 𝒗

ความเรวคงมท 𝒗 คอ เปนการบอกใหทราบวา วตถมการเคลอนทอยางมสม าเสมอ ในแนวเสนตรงม ไมวาจะพจารณาในชวงมเวลาใด ๆ

ขอสงเกต ถาวตถเคลอนทดวยความเรวคงท ความเรวเฉลย ความเรวขณะใดขณะหนงจะมคาเทากบ ความเรวคงทนน

𝑣 =∆ 𝑠

∆𝑡

ขอควรจ า

ในกรณทวตถเคลอนทเปน “เสนตรงม” พบวา การกระจดมคาเทากบระยะทางม ดงมนนขนาดของม “ความเรวเฉลย” จะเทากบ “อตราเรวเฉลย” และ เรานยามใชสญลกษณแทนปรมาณทงมสองมเหมอนกน คอ 𝑣 เพอสะดวกในการตงมสมการค านวณ

A ซอมวงรอบสนามฟตบอล ซงมความยาวเสนรอบวง 400 เมตร ครบรอบใชเวลา 50 วนาท จงหา อตราเรวเฉลย และ ความเรวเฉลยของ A

ตวอยางม 3

ชายคนหนงหนงเคลอนทจาก A ไป D ตามแนว A B C D ดงรป กนเวลานาน 20 วนาท จงหา

ตวอยางม 4

ก) ระยะทางข) การกระจดค) อตราเรวเฉลย ง) ความเรวเฉลย 50 m

100 m

A

B

D

C

ไกเคลอนทเปนเสนตรงดวยความเรว 5 เมตรตอวนาท ไดทาง 100 เมตร แลวจงเคลอนทตอดวยความเรว 10 เมตรตอวนาท ไดทาง 50 เมตร จงหาความเรวเฉลยของไก

ตวอยางม 5

100 𝑚 50 𝑚

𝑣1 = 5 𝑚/𝑠 𝑣2 = 10 𝑚/𝑠

ความเรงม (Acceleration)

ความเรงม (Acceleration) คอ การเคลอนทซงขนาดหรอทศทางของความเรวมการเปลยนแปลง เรยกวา การเคลอนทแบบมความเรง

ความเรงม หมายถงม อตราการเปลยนแปลงความเรว หรอ ความเรวทเปลยนไปในหนงหนวยเวลา

ความเรงม 𝑎 เปนปรมาณเวกเตอร มหนวยเปน เมตร/วนาท2 (m/s2)

o ความเรงมแบงมออกเปน 3 ประเภท

1. ความเรงมเฉลย 𝒂𝒂𝒗 คอ เปนความเรวทเปลยนไปในชวงเวลา ทพจารณาเทานน

2. ความเรงมขณะใดขณะหนงม 𝒂𝒕 คอ เปนความเรง ณ จดใดจดหนงพจารณาในชวงเวลาทสนมาก ๆ

3. ความเรงมคงมท 𝒂 คอ เปนความเรงท มการเปลยนแปลงความเรวอยางสม าเสมอ

หาความเรงไดจาก

เมอ 𝒖, 𝒗 คอ ความเรวทเวลาเรมตน และทเวลาสดทายตามล าดบ

∆𝒕 คอ ชวงเวลาทใชในการเปลยนความเรวจาก 𝒖 เปน 𝒗

𝑢, t1

𝑎 =𝑣−𝑢

t2−t

1

หรอ 𝑎 =∆𝑣

∆𝑡

𝑣, t2

ขอสงเกต

1. ทศทางมของมความเรงม จะอยในทศทางมเดยวกบความเรว ทเปลยนไปเสมอ

2. เมอวตถเคลอนทดวยความเรงมคงมท คาความเรงมเฉลย และคาความเรงมขณะใดขณะหนงม จะมคาเทากบ “ความเรงคงท” นน

3. เมอวตถมความเรวลดลงม เราจะไดวา ความเรงมมคาเปนลบ หรอ ความเรงมมทศตรงมขามการเคลอนท บางมครงมเรยก ความเรงม ทมคาเปนลบ (-) วา “ความหนวง”

กราฟความสมพนธของปรมาณการเคลอนท

การหาความชน หรอ slope ของมกราฟเสนตรงมหาไดจาก

𝜽

𝒚

𝒙

𝒔𝒍𝒐𝒑𝒆 = tan𝜽 =𝚫𝒚

𝚫𝒙=

𝒚𝒇 − 𝒚𝒊

𝒙𝒇 − 𝒙𝒊

𝒙𝒇𝒙𝒊

𝒚𝒇

𝒚𝒊

𝚫𝒚 = 𝒚𝒇 − 𝒚𝒊

𝚫𝒙 = 𝒙𝒇 − 𝒙𝒊

กราฟความสมพนธระหวางการกระจดกบเวลา

𝒔

𝒕

จากกราฟ1. การกระจดคงมท2. ความเรว = 0 ∵ 𝒗 =

𝜟𝒔

𝜟𝒕เมอ 𝜟𝒔 = 𝟎

3. Slope = 0

จากกราฟ 1. การกระจดเพมขนอยางสม าเสมอ

2. Slope คงท = ความเรวคงท = 𝜟𝒔

𝜟𝒕

กราฟความสมพนธระหวางการกระจดกบเวลา

𝜽

𝒔

𝒕

𝚫𝒔

𝚫𝒕

จากกราฟ 1. การกระจดเพมขนอยางไมสม าเสมอ2. Slpoe เพมขน(โคงหงาย) ความเรวเพมขน

𝜽

𝒔

𝒕

𝚫𝒔

𝚫𝒕

𝐴

𝑣𝑎𝑣 =∆ 𝑥

∆𝑡=

𝑥2− 𝑥1

𝑡2−𝑡1: ความชนของเสนตรง PQ

ความเรวเฉลย 𝒗𝒂𝒗

P

t1 t2

การกระจด

เวลา

Q

∆ 𝑥

∆𝑡 𝑥1

𝑥2

Px1

x2

การกระจด

เวลา

x3

x4

x5Q

∆ 𝑥

∆𝑡

ความเรวขณะใดขณะหนง 𝒗𝒕

𝑣𝑡 = lim∆𝑡→0

∆ 𝑥

∆𝑡=

𝑑𝑥

𝑑𝑡

: Slope ของเสนสมผส ของกราฟการกระจด ณ เวลาทพจารณา

∆𝑡 → 0

ความเรงเฉลย คอ อตราการเปลยนแปลงความเรว

ความเรงขณะใดขณะหนง

𝒂 > 𝟎 ความเรงม (acceleration)𝒂 < 𝟎 ความหนวง (deceleration)

* ความเรงเฉลยหาไดจาก ความชนของกราฟ v-t

𝒂𝑡 = lim∆𝑡→0

∆ 𝑣

∆𝑡=

𝑑 𝑣

𝑑𝑡

𝒂𝑎𝑣 =∆ 𝑣

∆𝑡=

𝑣2 − 𝑣1

𝑡2 − 𝑡1

ความเรงม (Acceleration)

ความเรว

เวลา

V0

V

0 t

ความเรงเฉลย คอ ความชนของกราฟ v-t

การเคลอนทดวยความเรงมคงมท

𝒂𝒂𝒗 = 𝒂 =𝒗𝟐 − 𝒗𝟏

𝒕𝟐 − 𝒕𝟏

𝒂 =𝒗𝟐 − 𝒗𝟏

𝒕𝟐 − 𝒕𝟏

=𝒗 − 𝒗𝟎

𝒕 − 𝟎

∴ 𝒗 = 𝒗𝟎 + 𝒂𝒕

เมอท าการทดลองบนทกการเคลอนทรถคนหนง ไดกราฟความสมพนธของความเรวกบเวลา ดงกราฟ

ตวอยางม 6

ความเรว(m/s)

เวลา(s)0 104

14 20

8

- 8

a) จงหาการกระจด และระยะทาง b) จงหาความเรวเฉลย และอตราเรวเฉลย

สมการส าหรบค านวณหาปรมาณตางๆของการเคลอนทแนวตรงดวยความเรงคงตว

1. 𝐯 = 𝐮 + 𝐚𝐭

2. 𝐬 =𝐯+𝐮

𝟐𝐭

3. 𝐬 = 𝐮𝐭 + 𝟏

𝟐𝐚𝐭𝟐

4. 𝐯𝟐 = 𝐮𝟐 + 𝟐𝐚 ∙ 𝐬

• 𝑡 คอ ระยะเวลาทวตถใชในการเคลอนท• 𝑠 คอ ระยะกระจดของการเคลอนทวตถ• 𝑎 คอ ความเรงของการเคลอนวตถ• 𝑢 คอ ความเรวทเวลาเรมตน• 𝑣 คอ ความเรวทเวลาสดทาย

เงอนไขการก าหนดทศทางของปรมาณตาง ๆ

+u

+v

+s

-u

-v

-s

-a

จดอางมองม

รถคนหนงเคลอนทไปดวยความเรว 10 เมตรตอวนาท แลวเรงเครองดวยความเรง 5 เมตรตอวนาท2 ภายในเวลา 20 วนาท จะมความเรวสดทายเปนก เมตรตอวนาท

ตวอยางม 7

ถาเครองบนตองใชเวลาในการเรงเครอง 20 วนาท จากหยดนง และใชระยะทาง 400 เมตร กอนทจะขนจากทางวงได จงหาอตราเรวของเครองบนขณะทขนจากทางวงเทากบกเมตรตอวนาท

ตวอยางม 8

รถคนหนงเคลอนทดวยความเรวตน 36 กโลเมตรตอชวโมง ตอมาเรงเครองดวยความเรง 3 เมตรตอวนาท2 จงหาวาภายในระยะทาง 50 เมตร รถคนนจะมความเรวปลายกเมตรตอวนาท

ตวอยางม 9

รถยนตคนหนงก าลงเคลอนทดวยความเรวคงตว 50 กโลเมตรตอชวโมง ตอมารถยนตคนนแลนผานรถยนตอกคนหนงซงแลนไปทางเดยวกนดวยความเรว 40 กโลเมตรตอชวโมง และมความเรงคงตว 20 กโลเมตรตอชวโมง2 อกนานเทาใดรถยนตทงสองคนจะ มาพบกนอกครง

ตวอยางม 10

1 2 3

การค านวณการเคลอนทของมวตถภายใตแรงมดงมดดของมโลก

การเคลอนทในแนวดงมภายใตแรงมดงมดดของมโลก คอ การเคลอนทอยางอสระของวตถโดยมความเรงคงทเทากบความเรงเนองจากแรงดงดดของโลก (g) มทศพงลงสจดศนยกลางของโลก มคาโดยเฉลยทวโลกถอเปนคามาตรฐาน มคาเทากบ 9.8065 m/s2

u > 0u < 0

1.ปลอยลงในแนวดงดวยความเรวตนเทากบศนย (u = 0)

2.ปาลงในแนวดงดวยความเรวตน (u < 0)

3.ปาขนในแนวดงดวยความเรวตน (u > 0)

ลกษณะของมการเคลอนทม 3 ลกษณะ

u = 0

− 𝑔

𝒗 = 𝒖 + 𝒂𝒕

𝒔 = 𝒖𝒕 + 𝟏𝟐𝒂𝒕𝟐

𝒗𝟐 = 𝒖𝟐 + 𝟐𝒂 ∙ 𝒔

วตถตกอยางมอสระ

วตถตกอยางอสระ เปนการเคลอนทดวย ความเรงคงทโดยวตถจะเคลอนทลงมสพนโลกดวยความเรงม 9.8 เมตร/วนาท2

𝒗 = 𝒖 + 𝒈𝒕

𝒔 = 𝒖𝒕 + 𝟏𝟐𝒈𝒕𝟐

𝒗𝟐 = 𝒖𝟐 + 𝟐𝒈 ∙ 𝒔

𝒂 = 𝒈

สมการส าหรบค านวณหาปรมาณตางๆ ของการเคลอนทของมวตถภายใตแรงมดงมดดของมโลก

1. 𝒗 = 𝒖 + 𝒈𝒕

2. 𝒔 =𝒗+𝒖

𝟐𝒕

3. 𝒔 = 𝒖𝒕 + 𝟏

𝟐𝒈𝒕𝟐

4. 𝒗𝟐 = 𝒖𝟐 + 𝟐𝒈 ∙ 𝒔

• 𝒕 คอ ระยะเวลาทวตถใชในการเคลอนท• 𝒔 คอ ระยะกระจดของการเคลอนทวตถ• 𝒈 คอ ความเรงมเนองมจากแรงมดงมดดของมโลก• 𝒖 คอ ความเรวทเวลาเรมตน• 𝒗 คอ ความเรวทเวลาสดทาย

เมอ a = g และทกปรมาณเปนบวกหมด เพราะมทศทางเดยวกน

สมการส าหรบการค านวณ

สวนลกษณะท 3 วตถเคลอนทเปนเสนตรงม แตม 2 ทศทางคอ ขน และ ลง ดงมนนปรมาณเวกเตอรตางม ๆ ตองมก าหนดทศทางมโดยใชเครองมหมาย บวก (+) และ ลบ (-)

A

B

C

D

+S

-S

+u+v-v

a = - g

เงอนไขก

ารก าหน

ดทศท

างขอ

งปรม

าณตาง ๆ

a = - g **

จดอางมองม

+u+v +s

-u-v -s

- g

ปลอยลกบอลจากดาดฟาตกสง 30 เมตร ชวงเวลาตงแตปลอยจนตกกระทบพนมคาเทาใด (g= 10 m/s2)

ตวอยางม 11

30 m

− 𝑔

ปาวตถลงในแนวดงจากตกสงดวยความเรว 10 เมตรตอวนาท เมอเวลาผานไป 5 วนาท วตถจะมความเรวเทาใด (g= 10 m/s2)

ตวอยางม 12

u = -10 m/s

ปาวตถขนไปในแนวดงบนยอดตกสงดวยความเรว 15 เมตรตอวนาท เมอเวลาผานไป 8 วนาท วตถจงตกกระทบพนความสงของตกดงกลาวเปนเทาใด (g= 10 m/s2)

ตวอยางม 13

u = 15 m/s