Post on 23-Jan-2016
1
RadicalesDefinición del concepto
VocabularioPropiedades de los radicales
Simplificar expresiones con radicalesOperaciones con radicales
Resolver ecuaciones con radicales
Preparado por Profa.Carmen Batiz UGHS
Estándar: Numeración y Operación
Expectativa 2
2
3
¿A qué conjunto pertenece los radicales no exactos?
Los radicales pertenecen a los números irracionales. Éstos son números cuya expresión decimal tiene infinitas cifras no periódicas.
4
Números Reales
Números Racionales Números Irracionales
Enteros fracciones y decimales finitos
Números Naturales
ceroNúmerosNegativos
Números Positivos
Fracciones y decimales infinitos Radicales no exactos
∏
5
Indica cúal de éstos números son irracionales
infinito númeroun es ,si
2/125 d.
8 .
3 .
4 .
c
b
a entero númeroun , esno
infinito númeroun es ,si
5 25 o, n
6
RadicalesSurgen de los exponentes fraccionarios
Ejemplos:
= 3u
=
5
132
3
2
= 2
1
v
m
xx
m23
35 32vu
7
Generalización
El símbolo se denomina radical,n es índiceb es radicando
bm
n = bmn
m es el exponente
8
Ejemplos:
9 10436 yx
5 3327 yx
A. Expresa cada exponente racional en forma radical.
1. u1/5
2. (6x2y5)2/9
3. (3xy)3/5
B. Expresa a la forma de exponentes racional.
(9u)1/4
-(2x)4/7
(x3 + y3)1/3
5 u9 252 )6( yx
( )3 35 xy
1 9
2 2
3
4
47
3
.
. ( )
.
x33
u
x
y
9
Intenta:
A. Expresa cada exponente racional en forma radical.
1. u2/3
2. (xy)1/5
3. 3x2/3y
B. Expresa a la forma de exponentes racional.
3 2
7 4
2
)( .3
2 .2
2 .1
mn
x
u
10
Intenta:
A. Expresa cada exponente racional en forma radical.
1. u2/3
2. (xy)1/5
3. 3x2/3y
B. Expresa a la forma de exponentes racional.
(2u)1/2
-21/7 x4/7
(mn)2/3
3 2u5 xy
3 2 3 xy
3 2
7 4
2
)( .3
2 .2
2 .1
mn
x
u
11
Propiedades de los radicales
Sea k, n y m números mayores o iguales a 2; y x y números reales positivos:
mn/1/11/n
n mk/k
n
n
nn
m/m
x x = .5
x x= .4
y
x = .3
x xy.2
x= .1
mnmm n
kn km
n
n
m m
xx
x
y
x
y
xx
12
Ejemplos:
3
3 x
Simplifica utilizando las propiedades de los radicales.
(3x2y)5/5
x4/6
x2/3= x0 = 1
ó 3
1 3 xx
27
3
3
1/12 x 3/14/1x= .4
x
x 3.
27
.2
= )3( .1
3 4
3 2
6 4
3
5 52
x
x
yx
= (3x2y) Propiedad 1
Propiedad 3
Propiedad 1/P. Exponentes
Propiedad 5
13
Intenta:
Simplifica utilizando las propiedades de los radicales.
= .4
x 3.
8
.2
= xy .1
3
6 4
3
3 3
x
x
x
14
Intenta:
6 x
2
x3
Simplifica utilizando las propiedades de los radicales.
x1/3 y3/3
x4/6 = x1/2
x4/6-1/2 =
ó 2
1 3 x
3
3
8
x
6 x= .4
x 3.
8
.2
= xy .1
3
6 4
3
3 3
x
x
x
= (x1/3y)
x4/6-3/6 = x 1/6
15
Simplificando Números Irracionales
16
Ejemplos:
3 54 .1
Simplifica.
17
Ejemplos:
3 2 3
2 3 3 33
3 332
3 54 .1
Simplifica.
Descomponer en factores primos
Propiedad 1 de los radicales
18
Ejemplos:
25312x .2 zy
Simplifica.
Descomponer en factores primos
19
Ejemplos:
xyzyx 32 2/22/42/22/2
242322 zyyxx 25312x .2 zy
32 3 z2 xyxy
Simplifica.
Descomponer en factores primos
Propiedad 1 de los radicales
20
Ejemplos:
3 2416 .3 yx
Simplifica.
21
Ejemplos:
3 222x xy
3 233 22 xyx3 2416 .3 yx
3 23/33/3 22 xyx
Simplifica.
Propiedad 1 de los radicales
22
Ejemplos:
3 27 .4
Simplifica.
23
Ejemplos:
3 27 .43 33
33 2/1
3/12/33
Simplifica.
Propiedad 5 de los radicales/Propiedad de los exponentes
24
Intenta:
3
3 63
232
3
10 .4
32 .3
75x .2
16 .1
yx
zy
Simplifica utilizando las propiedades de los radicales y de los exponentes.
25
Intenta:
3 2 2 6 10
32 2 2xy x
33/3 2 23 322
35 2222 yzyx
3
3 63
232
3
10 .4
32 .3
75x .2
16 .1
yx
zy
3 63322 yx
yxy 3 z5
3/12/110 6/110
Simplifica utilizando las propiedades de los radicales y de los exponentes.
26
Práctica -Ejercicios sugeridos
• Algebra -Barnett p. 23-24 (1-40) p. 32-33 (1-70)• Algebra -Larson p.685 • Algebra Glencoe p. 724 (20-27)
27
Operaciones con Radicales
28
Multiplicación de Radicales
Para multiplicar radicales : Se multiplica los coeficientes y los radicales siguiendo las reglas de éstos. Luego se simplifica el radical si es posible.
29
Multiplicación de RadicalesEJEMPLOS:
21
4
7
12.3
15873.2
10352.1
30
Multiplicación de RadicalesEJEMPLOS:
15873.2
10352.1
2256 256
230
532473 532723
2106
31
Multiplicación de Radicales
37
342
2
EJEMPLOS:
21
4
7
12.3
377
434
7
4
32
Otros Ejemplos:
)32)(32(52 .4
)23)(23( .3
)23)(23( .2
)53(32 .1
.
Multiplica
33
Otros Ejemplos:
)23)(23( .2
)53(32 .1
.
Multiplica
31092
31032
3106
P. distributiva
P. 1 Radicales
432329
432323
347
Multiplicación cada término del primer paréntesis con cada término del segundo paréntesis.
34
Otros Ejemplos:
)32)(32(52 .4
)23)(23( .3
.
Multiplica
432329 432323 1
)94(52
)32(52
)1(52
52
35
Racionalizando denominadores
Racionalizar es eliminar cualquier raíz en un denominador.
36
Racionalizando denominadores
1
2
32
42 4
.
.
.
.
3
5
6
2x
10x
3y
3
3
2
3
x
x
Ejemplos.
37
Racionalizando denominadores
25
53
x
x
2
26
2x
6 .2
5
3 .1
5
5 3 5
5
x
x
2
2 2)2(
26
x
x 3 2x
x
3
38
Racionalizando denominadores
3 3
3 23
)2(
)2( 10
x
xx
34
2
3
3
2
3y .4
2
10x .3
x
x
3 2
3 2
)2(
)2(
x
xx
x
2
4 10x 3 23
3 22
3 22
2
2
x
x
3 33
3 22
2
12
xx
yx
3
2
23
3
y
x x2
3 22
2
12
x
yx
39
Intenta
12
2
23
2 3
37
63
42
3 5
.
.
.
.
Racionaliza y simplifica.
40
Intenta
32
3.2
2
2.1
2
22 2
2 2
3
33 3
6
3
2
Racionaliza y simplifica.
41
Intenta
53
2.4
63
7.3
7
7 9
7
3 7
7
7
7 7
21
7
3
3 5
3 5
2 3 10
9 25
2 3 10
22
Racionaliza y simplifica.
42
Sumando y Restando Radicales
Para sumar los radicales, éstos deben tener el mismo índice y el mismo radicando. Si es así, entonces se suma los coeficientes y se escribe el término semejante.
(3 x 5 2 4y x y) ( )
43
Sumando y Restando Radicales
(3 x 5 2 4y x y) ( )
4 x 6 y 2
44
Intenta:
1 2 40 60
2 45 80 2 180
312
7
4
21
28
3
.
.
.
Suma y simplifica.
45
Intenta:
2 2 2 5 2 5 3
4 10 2 15
2 2 5 4 4 5 3
60402.1
Suma y simplifica.
46
Intenta:
523252253
9 5 4 4 5 2 9 4 5
57
5125453
18028045.2 Suma y simplifica.
47
Intenta:
3
3
3
72
21
21
37
12
7
7
7
32
3
212
21
212
7
212
21
2172
21
212
21
2132
21
2114
21
212
21
216 21
216
3
72
37
12
7
32
3
47
37
4
7
43
3
28
21
4
7
12.3
Suma y simplifica.
48
Práctica- Ejercicios sugeridos
• Algebra Barnett p. 39-40 (1-54)• Algebra Larson p. 692 (1-30)• Algebra Glencoe p. 724 (28-49) impares p. 729-730 (1-42) impares
49
Resolviendo Ecuaciones con Radicales
50
Regla General:
La operación inversa de una raíz cuadrada es el cuadrado de un número.
Repasemos operaciones inversas:Suma Resta
Multiplicación División
¿Cuál es la operación inversa de una raíz cuadrada?
x = 5( )2 ( )2
x = 25
51
Regla General:
Es por eso que para eliminar una raiz cuadrada,
sólo tienes que cuadrar esta. Ejemplo:
52
Regla General:Repasemos operaciones inversas:
Suma Resta
Multiplicación División
53
Entonces...¿Cuál es la operación inversa de una raíz cuadrada?
54
Entonces...
La operación inversa de una raíz cuadrada es el cuadrado de un número.
¿Cuál es la operación inversa de una raíz cuadrada?
x = 5
( )2 ( )2 x = 25
55
EJEMPLO:
x = 5
x = 5
( )2 ( )2
x = 25
56
Otros ejemplos:
1 3 8. x
2 3 1 5. x
3 3 1 5. x
Encuentra el valor de la variable.
57
Otros ejemplos:
3
3
64
3
x
1 3 8. x
2283 x
2283 x
643 xx 21
1
3
Encuentra el valor de la variable.
58
Otros ejemplos:
2 3 1 5. x 22
513 x
3 1 25x
3 24x x 8
Encuentra el valor de la variable.
59
Otros ejemplos:
3 3 1 5. x 153 x
2263 x
3 36x x 12
Encuentra el valor de la variable.
60
Intenta:4 9. 2x = x2
61
Intenta:
22 92 xx
22
2 92 xx
92 x
92 x
3 3 xóx
x= 92x 2
62
Práctica- Ejercicios sugeridos
• Algebra Larson p. 698 (1-30)• Algebra Glencoe p. 734-735 (1-39)