Polinômios

nnnn axaxaxaxP ...2

21

10

DefiniçãoDefiniçãoSoma de monômiosSoma de monômios

naaaa ,... , , , 210Números ComplexosNúmeros Complexos

CoeficientesCoeficientes

... ,2 ,1 , nnn Expoentes Expoentes Números NaturaisNúmeros Naturais

nnnn axaxaxaxP ...2

21

10

Variável Pode assumir valores Pode assumir valores ComplexosComplexos

na Termo independente de xTermo independente de x

x

Polinômios

DefiniçãoDefiniçãoSoma de monômiosSoma de monômios

78 510 xxxP

52

353 78 xxxxP

22

354 23 xixxxP

Polinômios

São PolinômiosSão Polinômios

25 2 xxxxF

12

1523

xxxxF

54321234

xxxxxF

Polinômios

Não são PolinômiosNão são Polinômios

254 23 xxxxPValor NuméricoValor Numérico

?2 P

2225242 23 P

2245842 P 2220322 P 562 P

Polinômios

1P Fornece o valor da soma dos Fornece o valor da soma dos coeficientes do polinômio P(x).coeficientes do polinômio P(x).

0P Fornece o valor do termo Fornece o valor do termo independente de x.independente de x.

Polinômios

Valor NuméricoValor Numérico

234 16164 xxxxP

16164 Soma

36Soma

22 42 xxxP Qual a soma dos Qual a soma dos

coeficientes do polinômio coeficientes do polinômio P(x).P(x).

Polinômios

Valor NuméricoValor Numérico

22 14121 P

2421 P

3661 2 P Soma dos Soma dos coeficientescoeficientes

22 42 xxxP

Polinômios

Valor NuméricoValor NuméricoQual a soma dos Qual a soma dos

coeficientes do polinômio coeficientes do polinômio P(x).P(x).

352 xxP

125

125150608 23 xxxxP

Qual o valor do Qual o valor do termo independente termo independente

de x.de x.

Termo independente de xTermo independente de x

Polinômios

Valor NuméricoValor Numérico

35020 P

3500 P

350 P

1250 P

Termo Termo independente de xindependente de x

Polinômios

Valor NuméricoValor Numérico

352 xxPQual o valor do Qual o valor do

termo independente termo independente de x.de x.

0P

654 xxxP

62522 4 P

610162 P

02 P

Raiz de um polinômioRaiz de um polinômio

é raiz do polinômio é raiz do polinômio P(x).P(x).

2 é raiz do 2 é raiz do polinômio P(x)polinômio P(x)

Polinômios

422 2 iiP

442 2 iiP

02 iP

4142 iP

0P é raiz do polinômio é raiz do polinômio P(x).P(x).

42 xxP

2i é raiz do 2i é raiz do polinômio P(x)polinômio P(x)

Raiz de um polinômioRaiz de um polinômio

Polinômios

0...000 21 nnn xxxxP

Não se define grau para Não se define grau para um polinômio nuloum polinômio nulo

Polinômio NuloPolinômio Nulo

Polinômios

nnnn axaxaxaxP ...2

21

10

00 a

nPgr

Grau de um Polinômio Grau de um Polinômio

Polinômios

1536 234 xxxxxP

124 xxP

12xP

4Pgr

1Pgr

0Pgr

Grau de um Polinômio Grau de um Polinômio

Polinômios

yx2623yx

x7

5Pgr

Observação:Observação:Monômio de grau 3: (2 + 1)Monômio de grau 3: (2 + 1)

Monômio de grau 5: (3 + 2)Monômio de grau 5: (3 + 2)

Monômio de grau 1Monômio de grau 1

xyxyxxP 76 232

Grau de um Polinômio Grau de um Polinômio

Polinômios

xA

xBxA IdênticosIdênticos

xB

, BA C

Identidade polinomialIdentidade polinomial

Polinômios

115204 323452 xnxxxxmxP

1752512 2345 xxxxqxxB

1) Se e 1) Se e 1 152 4 32352 xnxxxmxP

qenm ,

1752512 2345 xxxxqxxBsão polinômiossão polinômios idênticos, então a soma dos valores idênticos, então a soma dos valores positivos de é:positivos de é:

Polinômios

0571

1243

2

qn

m 1242 m162 m4m

4m

713 n83 n

2n

05 q

5q

524 qnm

11 qnm

Polinômios

Operações com Monômios e Polinômios

Adição de MonômiosAdição de Monômios Devemos efetuar a soma ou subtração dos coeficientes numéricos entre os monômios semelhantes.

Ex:

= 12x2 – 2ay3

5x2 – 3ay3 + 7x2 + ay3 5x2 + 7x2 – 3ay3 + ay3

Monômios semelhantes Monômios semelhantes

Multiplicação de Monômios

O produto de monômios é obtido da seguinte forma:

• em seguida, multiplicam-se as partes literais.

Ex: (4ax2) . (–13a3x5) =(4) . (–13) . (a1 . a3) . (x2 . x5) =– 52a4x7

• primeiro, multiplicam-se os coeficientes numéricos;

Lembrando...

Um produto de potências de mesma base pode ser escrito na forma de uma única potência: conservamos a base e adicionamos os expoentes.

am.an = am+n

Ex: x4.x9 = x4+9 = x13

Divisão de Monômios

A divisão de monômios é obtida da seguinte forma:

• primeiro, dividem-se os coeficientes numéricos; • em seguida, dividem-se as partes literais.

Lembrando...

Um quociente de potências de mesma base pode ser escrito na forma de uma única potência: conservamos a base e subtraímos os expoentes.

am:an = am–n

Ex: x12 : x8 = x12–8 = x4 *com a ≠ 0

Adição de Polinômios

Efetue a soma algébrica dos monômios semelhantes. Ex: (4x2 – 7x + 2) + (3x2 + 2x + 3) – (2x2 – x + 6) = = 4x2 – 7x + 2 + 3x2 + 2x + 3 – 2x2 + x – 6 =

eliminando os parênteses

= 4x2 + 3x2 – 2x2 – 7x + 2x + x + 2 + 3 – 6 =

agrupando os termos semelhantes

= 5x2 – 4x – 1 forma reduzida * Não esqueça da regra de sinais!

Multiplicação de Monômiopor Polinômio

A multiplicação de um monômio por um polinômio é feita multiplicando-se o monômio por cada termo do polinômio.

= 8x5y3 – 20x3y7

Ex:4x2y3 . (2x3 – 5xy4) == 4x2y3 . 2x3 + 4x2y3 . (–

5xy4 ) * Não esqueça da regra de sinais!

A multiplicação de um polinômio por outro polinômio é feita multiplicando-se cada termo de um deles pelos termos do outro e, sempre que possível, reduzindo os termos semelhantes. Ex:

(a + b) . (c + d) =

ac + ad + bc + bd

Multiplicação de Monômiopor Polinômio

Divisão de Polinômio por Monômio

Efetuamos a divisão de um polinômio por um monômio fazendo a divisão de cada termo do polinômio pelo monômio.

Ex:(18x3 – 12x2 + 3x) : (3x) = = (18x3 : 3x) – (12x2 : 3x) + (3x : 3x) = 6x2 – 4x + 1

Valor Numérico de uma

Após obtida a expressão algébrica, basta substituir cada incógnita pelo valor estabelecido pelo exercício. Ex:

3x2 – 2x + 7y + 3x – 17y

3x2 + x – 10y

Determine o valor numérico da expressão abaixo para x = 2 e y = 3

1º reduzimos os termos semelhantes

Expressão Algébrica

2º substituímos os valores de x = 2 e y = 33.22 + 2 – 10.3 3.4 + 2 – 3012 + 2 – 30 = - 16

Equações polinomiaisEquações polinomiais

0...22

110

nnnn axaxaxa

0PRaízes de uma equaçãoRaízes de uma equação

raizé

Teorema da decomposiçãoTeorema da decomposição n

nnn axaxaxaxP ...22

110

nrxrxrxaxP ...210

Polinômios

Propriedades:Propriedades:

2) Se b for raiz de P(x) = 0 , então P(x) é divisível por 2) Se b for raiz de P(x) = 0 , então P(x) é divisível por x - b . x - b .

3) Se o número complexo a + bi for raiz de P(x) = 0 , 3) Se o número complexo a + bi for raiz de P(x) = 0 , então o conjugado a - bi também será raiz .então o conjugado a - bi também será raiz .

1) Toda equação algébrica de grau n possui exatamente 1) Toda equação algébrica de grau n possui exatamente n raízes .n raízes .

2x2x44 +x³ + 6x² + 2x – +x³ + 6x² + 2x – 1 = 01 = 0

Grau da equação ( Representa o número de raízes)Grau da equação ( Representa o número de raízes)

Polinômios

4) Se a equação P(x) = 0 possuir k raízes iguais a m 4) Se a equação P(x) = 0 possuir k raízes iguais a m então dizemos que m é uma raiz de grau de então dizemos que m é uma raiz de grau de multiplicidade k .multiplicidade k .

Exemplo: xExemplo: x22 - 8x + 16 = 0, possui duas raízes reais iguais a 4, (x - 8x + 16 = 0, possui duas raízes reais iguais a 4, (x11 = x = x22 = 4). = 4). Dizemos então que 4 é uma raiz dupla ou de ordem de multiplicidade dois. Dizemos então que 4 é uma raiz dupla ou de ordem de multiplicidade dois.

Propriedades:Propriedades:

Polinômios

Lembre que quando: a.x³ + bx² + cx + d a.x³ + bx² + cx + d = 0= 05) Se a = 5) Se a = 1 1 não há raízes fracionárias. não há raízes fracionárias.

6) Se d = 0 6) Se d = 0 x x1 1 = 0 (Lembre a quantidade de = 0 (Lembre a quantidade de raízes nulas é determinada, pelo menor raízes nulas é determinada, pelo menor expoente da incógnita.) expoente da incógnita.) Ex: 2xEx: 2x77+3x+3x44 + 2x² = 0 + 2x² = 0

Polinômios

Há duas raízes nulas

7) Se a + b + c + d = 0 7) Se a + b + c + d = 0 x x11 = 1 é raiz. = 1 é raiz.

Polinômios

Lembre que quando: a.x³ + bx² + cx + d a.x³ + bx² + cx + d = 0= 05) Se a = 5) Se a = 1 1 não há raízes fracionárias. não há raízes fracionárias.

6) Se d = 0 6) Se d = 0 x x1 1 = 0 (Lembre a quantidade de = 0 (Lembre a quantidade de raízes nulas é determinada, pelo menor raízes nulas é determinada, pelo menor expoente da incógnita.) expoente da incógnita.) Ex: 2xEx: 2x77+3x+3x44 + 2x² = 0 + 2x² = 0

Toda equação algébrica P(x) = 0 de grau n ≥ 1 Toda equação algébrica P(x) = 0 de grau n ≥ 1 admite, pelo menos, uma raiz complexa.admite, pelo menos, uma raiz complexa.Teorema das raízes complexas ( PRRI)Teorema das raízes complexas ( PRRI)

06²4³ xxx

Polinômios

11 11 ––44 11 66 11 ––33 -2-2 Resto Resto 0 0x =1 não é x =1 não é

raiz. raiz. 44

Divisores do termo independente: 1, 2, 3, 6-1-1

11 ––55 66 Resto = 0Resto = 0 x x1 1 = -1 é = -1 é raizraiz

00

Grau n – 1Grau n – 10652 xx 22 x 33 x

Toda equação algébrica P(x) = 0 de grau n ≥ 1 Toda equação algébrica P(x) = 0 de grau n ≥ 1 admite, pelo menos, uma raiz complexa.admite, pelo menos, uma raiz complexa.Teorema das raízes complexas ( PRRI)Teorema das raízes complexas ( PRRI)

06²4³ xxx

Polinômios

Teorema das raízes complexasTeorema das raízes complexas

010144 234 xxxx 11 x

––11 11 ––44 ––11 1414 11 ––55 44 00 RestoResto

Grau n – 2 Grau n – 2

01062 xx

101012 x

1010––11

11 ––66 1010 00 RestoResto

Polinômios

010144 234 xxxx 11 x

01062 xx12 x

acb 42 4036

4

abx

2

246

x

226 ix

ix 3

ix 33

ix 34

Teorema das raízes complexasTeorema das raízes complexas

Polinômios

Teorema das raízes complexas ( PRRF)Teorema das raízes complexas ( PRRF)

18 x3 + 9x2 - 2x -1 = 0

Polinômios

Divisores do termo independente: 1

Teorema das raízes complexas ( PRRF)Teorema das raízes complexas ( PRRF)

18 x3 + 9x2 - 2x -1 = 0

Polinômios

Divisores do coeficiente da incógnita de maior expoente: 1, 2, 3, 6, 9, 18PRRF:PRRF: 1/2, 1/3, 1/6, 1/9, 1/18

––1/21/2 1818 99 -2-2 -1-1 1818 00 -2-2 00 Resto Resto x x11 = -1/2 = -1/2

18x² +0x -2 = 0x² = 1/9

3/12 x 3/13 x

Divisores do termo independente: 1

Teorema das raízes complexas ( PRRF)Teorema das raízes complexas ( PRRF)

18 x3 + 9x2 - 2x -1 = 0

Polinômios

Relações de GirardRelações de Girard

02 cbxax

abxx 21

acxx 21

Polinômios

023 dcxbxax

abxxx 321

acxxxxxx 323121

adxxx 321

Relações de GirardRelações de Girard

Polinômios

0...22

110

nnnn axaxaxa

0

1321 ...

aaxxxx n

0

21413121 ...

aaxxxxxxxx nn

0

312421321 ...

aaxxxxxxxxx nnn

0

321 1...aaxxxx nn

n

Relações de GirardRelações de Girard

Polinômios

Teorema do resto (divisor de 1º grau - d = ax + b)Teorema do resto (divisor de 1º grau - d = ax + b)

P(x)P(x) ax + bax + bQ(x)Q(x)

RRP(x) = (ax + b) P(x) = (ax + b) · Q(x) + R · Q(x) + R

Raiz do divisorRaiz do divisorabx 1

RxQabP

0

RabP

Polinômios

P(x)P(x) ax + bax + bQ(x)Q(x)

RR0R

RabP

Condição necessária para que Condição necessária para que P(x) seja divisível por ax + b.P(x) seja divisível por ax + b.

0

abP

Teorema de D’alembertTeorema de D’alembert

Polinômios

(UDESC 2006-1) O resto da divisão do polinômio(UDESC 2006-1) O resto da divisão do polinômio pelo binômio pelo binômio

Teorema do restoTeorema do resto 111122 23 xxxxP

111122 23 xxxxP 5xxD é:é:

1511512525 23 P

1511251212525 P

1553002505 P

3013055 P 45 P

RP 5

Polinômios

P(x)P(x) ax + bax + bQ(x)Q(x)

RR

Grau nGrau nGrau 1Grau 1

Grau n – 1Grau n – 1RestoResto

......

......

Coeficientes de P(x)Coeficientes de P(x)

Raiz do Raiz do divisordivisor

ab

Coeficientes do Coeficientes do polinômio a polinômio a · Q(x)· Q(x)

RestoResto

Dispositivo Briot-RuffiniDispositivo Briot-Ruffini

Polinômios

5673 23 xxxxP 2 xxD

22 33 – – 77 66 55

21 x

33

Polinômios

Dispositivo Briot-RuffiniDispositivo Briot-Ruffini

22 33

33 ++ ==

––11

– – 77 66 55

Polinômios

5673 23 xxxxP 2 xxD21 x

Dispositivo Briot-RuffiniDispositivo Briot-Ruffini

22 33

33 ++ ==

––11 44

– – 77 66 55

Polinômios

5673 23 xxxxP 2 xxD21 x

Dispositivo Briot-RuffiniDispositivo Briot-Ruffini

22 33

33 ++ ==––11 44 1313

– – 77 66 55

Polinômios

5673 23 xxxxP 2 xxD21 x

Dispositivo Briot-RuffiniDispositivo Briot-Ruffini

22 33

33 ––11 44 1313 RestoResto

Coeficientes do Coeficientes do polinômio a polinômio a · Q(x)· Q(x)

– – 77 66 55

Polinômios

5673 23 xxxxP 2 xxD21 x

Dispositivo Briot-RuffiniDispositivo Briot-Ruffini

22 33 – – 77 66 55 33 ––11 44 1313 RestoResto

Coeficientes do Coeficientes do polinômio a polinômio a · Q(x)· Q(x)

Grau do polinômio Grau do polinômio Q(x) é uma unidade Q(x) é uma unidade menor que o grau do polinômio P(x)menor que o grau do polinômio P(x)

xQaquociente 431 2 xxxQ

43 2 xxxQ13 Rresto

Polinômios

5673 23 xxxxP 2 xxD21 x

Dispositivo Briot-RuffiniDispositivo Briot-Ruffini

Equações polinomiaisEquações polinomiais

0...22

110

nnnn axaxaxa

0PRaízes de uma equaçãoRaízes de uma equação

raizé Teorema da decomposiçãoTeorema da decomposição

nnnn axaxaxaxP ...2

21

10

nrxrxrxaxP ...210

Polinômios

(UDESC 2009 – 2) Seja p um polinômio de grau seis, (UDESC 2009 – 2) Seja p um polinômio de grau seis, cujos coeficientes de termo de maior grau é igual a 2. cujos coeficientes de termo de maior grau é igual a 2. As raízes deste polinômio são c, 2 e 0, com As raízes deste polinômio são c, 2 e 0, com multiplicidades 3, 2 e 1 respectivamente. multiplicidades 3, 2 e 1 respectivamente. Considerando p(1) = 16, o valor da raiz c é igual a:Considerando p(1) = 16, o valor da raiz c é igual a:a) –1.a) –1.b) .b) .c) –7.c) –7.d) 7.d) 7.e) 15. e) 15.

3 221

Polinômios

(UDESC 2005-1) Sobre todas as raízes da equação(UDESC 2005-1) Sobre todas as raízes da equação afirma-se que essa equação possui:afirma-se que essa equação possui:04423 xxx

01412 xxx04423 xxx

0142 xx

042 x 01x42 x

4xix 2

1x

iiS 2,2,1 uma raiz real e duas complexas.uma raiz real e duas complexas.

Polinômios

Teorema das raízes complexasTeorema das raízes complexas

010144 234 xxxx 11 x

––11 11 ––44 ––11 1414 11 ––55 44 00 RestoResto

Grau n – 2 Grau n – 2

01062 xx

101012 x

1010––11

11 ––66 1010 00 RestoResto

Polinômios

01062 xxacb 42

4036 4

abx

2

246

x

226 ix

ix 3

ix 33

ix 34

Polinômios

Teorema das raízes complexasTeorema das raízes complexas

010144 234 xxxx 11 x12 x

(UDESC 2009-1) Seja P(x) um polinômio de terceiro grau, (UDESC 2009-1) Seja P(x) um polinômio de terceiro grau, cujo gráfico está representado na figura abaixo: cujo gráfico está representado na figura abaixo:

22

2211––11 xx

yy Então o resto da divisão de P(x) Então o resto da divisão de P(x) pelo monômio x + 2 é:pelo monômio x + 2 é:

Polinômios

Professor Antônio Carlos Carneiro Barroso Graduado em Matemática pela UFBAGraduado em Ciências naturais pela UFBAPós graduado em Metodologia e Didática de ensino Superiorwww.ensinodematemtica.blogspot.com.brwww.youtube.com/accbarrosowww.facebook.com/acmatematicowww.twitter.com/profbarrosoSalvador-Ba