POLINOMIOS ESPECIALES, MULTIPLICACION Y DIVISION DE POLINOMIOS (2).pdf

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POLINOMIOS

Expresión Algebraica:

Es un conjunto de letras y números relacionados entre si un número finito de veces por

las operaciones de adición; sustracción, multiplicación, división, potenciación y

radicación.

Ejemplo:

* 25 4 1 x

x x y

− + −

* 2 6 63 x y x y x−+ −

* 2 31 3 5 7 x x x+ + +

Expresiones Trascendentes

A toda expresión no algebraica la denominaremos trascendente, estas son aquellas

expresiones cuyo número de términos es ilimitado ó alguna de sus variables está como

exponente ó afectada por operadores trigonométricos ó logarítmicos.

Ejemplo:

* 1 + 2x + 3x2 + 4x3 + ............ ∞

* x2 +3 sen (x – 1) + 6

* 6x3 – log (x2 – 1) + xy - 1

* 2x + x2y – 7

Clasificación de las Expresiones Algebraicas de acuerdo a la naturaleza de las

variables

I. Racionales: Son aquellas expresiones algebraicas que tienen todas sus letras

(variables) con exponentes enteros, se dividen a su vez en:

a) Racionales enteras.- Aquellas expresiones algebraicas que no poseen letras

(variables) en el denominador ó sus letras (variables) poseen todas exponentes

enteros no negativos.

b) Racionales Fraccionarias.- Aquellas expresiones algebraicas que poseen

alguna letra (variable) en el denominador ó alguna de sus letras (variables) posee

exponente negativo.


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II. Irracionales.- Son aquellas expresiones algebraicas que poseen alguna de sus

letras (variables) con exponente fraccionaria o afectada de alguna radical.

Ejemplo:

* 22

1 x x x

+ − + EARF

* 22 3 1 x xy y− + + EARE

* 2 3 x y x− + EAI

•••• Término Algebraico.- Es aquella expresión algebraica en la que no se encuentran

presentes las operaciones de adición y sustracción.

Ejemplo: 2

2 3 6; ; x y

x y x y z

•••• Términos Semejantes: Dos o más términos algebraicos son semejantes si tienen

la misma parte literal afectada de los mismos exponentes.

Ejemplo:

* 6 2 6 25 ; x y x y− son semejantes

* 3 4 4 37 ;3 x y x y no son semejantes

•••• Monomio.- Es aquel término algebraico cuyas letras de su parte literal tienen como

exponentes números enteros no negativos; al cero se le denomina monomio nulo,

los números se pueden considerar como monomios.

Ejemplo:

•••• 5x4 y3

•••• 0 = 0x2 y6

•••• 3 = 3x0 y0

•••• Polinomio.- Es una suma algebraica de monomios, al cero se le denomina

polinomio nulo.

Ejemplo:

* 2x2 – x y + 4y2 –10; Polinomio de cuatro términos


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* 6x2 – 2x + 13 Trinomio

* 0 = 0x2 + 0x + 0 Polinomio cero

GRADO DE MONOMIOS Y POLINOMIOS

Solo se define el grado para monomios y polinomios no nulos; por este motivo el grado

es un número entero no negativo; a los números diferentes de cero se les asigna grado

cero.

•••• Grado de un monomio: ó el grado absoluto, se define como la suma de los

exponentes de sus factores laterales.

•••• Grado relativo de un monomio: ó el grado respecto a una letra, es el exponente

de dicha letra en el monomio dado.

Ejemplo:3 7 45 M x y z=

* GA = 3 + 7 + 4 = 14

* GR (x) = 3

* GR (y) = 7

* GR (z) = 4

Sólo en monomios: GA GR=∑

•••• Grado de un Polinomio: ó el grado absoluto, se define como el grado de uno de

sus términos, de aquel que tiene mayor grado en el polinomio dado.

•••• Grado relativo en un Polinomio: ó el grado respecto a una letra; es el mayor

exponente de dicha letra en el polinomio dado.

Ejemplo:5 4 7 8 22 3 10 x x y x y− + −

* GA = 11

* GR (x) = 8

* GR (y) = 7

•••• Polinomio de una Variable

f(x) = a0 xn + a1 xn-1 + a2 xn-2 + .... + an-1 x + an


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; i0 ; a R (o )oa ≠ ∈ ⊂

donde:

•••• x Variable del polinomio

•••• ao = Coeficiente principal o dominante

Si a0 = 1, el polinomio se llama MONICO

•••• n = grado de polinomio

•••• an = Término independiente

(0)na f =

•••• a0 + a1 + a2 + ..... + an = f(1) = Suma de coeficientes

POLINOMIOS ESPECIALES

POLINOMIOS HOMOGÉNEOS.- Es aquel polinomio que tiene dos o más variables y

todos sus términos son del mismo grado, llamado “Grado de homogeneidad”

Ejemplo:

f(x, y) = 5x11 – x2y9 + 4x6 y5; es

un polinomio homogéneo de grado 11.

Teorema: Todo polinomio homogéneo.

f(x1, x2; ........; xm) de grado “n”,

verifica:

f(Kx1, Kx2, ..........; Kxm) = Kn f (x j, x2 j ..............xm)

Ejemplo: Dado el polinomio homogéneo

f(x . y) =3x7 – 2x5 y2 + 4x4 y3

entonces: f (kx; ky) = k7 f(x; y)

Polinomio Completo

Un polinomio es completo respecto a una letra, cuando posee todos los exponentes de

dicha letra, desde el mayor hasta el exponente cero, el término que contiene a la letra

con exponente cero, se le denomina término independiente.


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Ejemplo: f(x) = 5x3 – 8 + 4x – 7x2

es completo respecto a x, su término independiente es –8

Polinomio ordenado

Un polinomio es ordenado respecto a una letra (letra ordenatriz) cuando los exponentes

de dicha letra aumentan o disminuyen según el polinomio esté ordenado en forma

ascendente o descendente respectivamente.

Ejemplo: f(x) = 2x3 – x10 + 3x21

Está ordenado respecto a x en forma ascendente.

Propiedades1. Para calcular la suma de coeficientes de un polinomio, se da a la variable ó

variables el valor de uno.

2. Para calcular el término independiente de un polinomio, se da a la variable ó

variables el valor cero.

3. En todo polinomio P(x) completo, se cumple que:

Grado de Numero de terminos

1P(x) de P(x)= −

ó

Numero de terminos Grado de1

de P(x) P(x)= +

Polinomio idénticamente Nulo:

Un polinomio f es idénticamente nulo (ó nulo) cuando su valor numérico siempre es

igual a cero.

f ≡ 0 ⇔ f (x) = 0 ; ∀ x ∈ C

Teorema

Dado : f(x) = a0 + a1x + a2x2 + ............. + an x

n

Entonces:

f ≡ 0 ⇔ a0 = a1 = a2 = ............. = an = 0


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Teorema. Todo polinomio f(x) de grado n que se anula para más de n valores distintos

de x, es idénticamente nulo.

Polinomios Idénticos:

Dos polinomios f y g son idénticos ó iguales cuando asumen valores numéricos iguales

para cualquier valor de sus variables.

f ≡ g ⇔ f (x) = g (x) ; ∀ x ∈ C

Teorema:

Dados los polinomios:

f(x) = a0 + a1x + a2x2 + ............. + an xn

g(x) = b0 + b1x + b2x2 + ............. + bn x

n

Entonces:

f ≡ g ⇔ ai = bi ; ∀i ∈ {0, 1, 2, ….., n}

Ejercicios propuestos

1. Determinar a, b, c, de modo que

f (x) = (a - 2) x3 + (b + 2) x + (3 – c) sea un polinomio idénticamente nulo.

2. Determinar a, b, c en la identidad

(a – 1) x2 + bx + c ≡ 2ax2 + 2bx – c + 4

3. Determinar a, b, c en la identidad

4x2 – 14x – 48 ≡ a (x +1) (x + 2) + b(x + 2) (x + 3) + c (x + 1) (x + 3)

4. Hallar la suma de coeficientes de :

f(x) = (2x2 – 3x + 1)3 (x5 +2)2

5. Si el polinomio ordenado decrecientemente y completo

f(x) = x2a + 1 + 2x b+3 + 3x c+2 + ……

tiene “2c” términos, determinar (a + b + c)


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OPERACIONES CON POLINOMIOS

ADICIÓN

Dados dos polinomios:

f(x) = a0 + a1x + a2x2 + ……. + an x

n

g(x) = b0 + b1x + b2x2 + ……. + bn x

n

se denomina suma de f con g al polinomio

(f + g) (x) = (a0 + b0) + (a1 + b1) x + (a2 + b2) x2 + …….+ (an + bn) x

n

Sustracción


f(x) = a0 + a1x + a2x2 + ……. + an x

n

g(x) = b0 + b1x + b2x2 + ……. + bn x

n

se denomina diferencia f – g ó polinomio f + (-g) a:

(f – g) (x) = (a0 - b0) + (a1 - b1) x + (a2 - b2) x2 + …….+ (an -bn) x

n

Teorema

Sea f, g y f + g polinomios no nulos, entonces el grado de f + g es menor ó igual que el

mayor de los valores de gra(f) y gra (g)

gra (f + g) ≤ max {graf (f); graf (g)}

Multiplicación


f(x) = a0 + a1x + a2x2 + ……. + an x

n

g(x) = b0 + b1x + b2x2

+ ……. + bn xn

Se denomina producto f . g al polinomio

h(x) = C0 + C1x + C2x2 + ……. + Cm + n x

m + n

donde: Ck = a0 bk + a1 bk – 1 + ……. + aK bo

Notemos que f. g. puede ser obtenido multiplicando cada término a i xi de f por cada

término b; x de g según la regla:

(ai xi) (b j, x

j) = ai b j xi + j


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y sumando los resultados obtenidos:

Ejemplo: Multiplicar:

f(x) = x + 2x2 + 3x 3 por g(x) = 4 + 5 x + 6x2

Tenemos:

(f . g) (x) = (x + 2 x2 + 3 x3) (4 + 5 x + 6x2)

= x (4 + 5x + 6x2) + 2x2 (4 + 5x + 6x2)

+ 3 x3 (4 + 5x + 6x2)

= 4x + 13x2 + 28 x3 + 27 x4 + 18 x5

Disposición práctica x + 2x2 + 3x3 --------------- f

4 + 5x + 6x2 --------------- g

--------------------------------

4x + 8x2 + 12x3

5x2 + 10 x3 + 15x4

6x3 + 12 x4 + 18 x5

--------------------------------------------------4x + 13x2 + 28x3 + 27x4 + 18 x5 f.g.

Disposición Práctica

Colocamos en una tabla los coeficientes a i de f y los coeficientes b j de g; calculamos

todos los productos ai b j, sumamos los productos en cada diagonal, conforme se

muestra obteniendo los cK.

Para el ejemplo anterior tenemos:g

f4 5 6

C0 = 0

C1 = 4 + 0 = 4

C2 = 8 + 5 + 0 = 13

C3 = 12 + 10 +6 = 28

C4 = 15 + 12 = 27

C5 = 18

0 0 0 0

1 4 5 6

2 8 10 12

3 12 15 18

∴ h(x) = (f g) (x) = 4x + 13 x2 + 28 x3 + 27 x4 + 18 x5


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Teorema

Sea f y g los polinomios no nulos, entonces el grado de (f g) es igual a la suma de los

grados de f y g.

Notas adicionales

1. Si se multiplican polinomios homogéneos, el resultado es también un polinomio

homogéneo.

2. El coeficiente principal de un producto de polinomios es igual al producto de los

coeficientes principales de los factores.

3. Dados los polinomios f y g ; (f g)(x) = f(x) . g(x)

* (f g) (0) = f(0) . g(0)

* (f g) (1) = f(1) . g(1)

* Grado [ f(x)]n = n x (grado de f(x))

PRODUCTOS NOTABLES

Binomios al cuadrado

* (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

* (a – b)2

= a2

– 2ab + b2

Identidades de Legendre

* (a + b)2 + (a – b) = 2 (a2 + b2)

* (a + b) – (a – b)2 = 4ab

Diferencia de cuadrados

* (a + b) (a – b) = a

2

– b

2

Binomios al cubo

* (a + b)3 = a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3

* (a + b)3 = a3 + 3ab (a + b) + b3

* (a – b)3 = a3 – 3a2 b + 3ab2 – b3

* (a – b)3 = a3 – 3ab (a – b) – b3


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Suma de cubos

* a3 + b3 = (a + b) (a2 – ab + b2)

* a3 + b3 = (a + b) [(a – b)2 – 3ab]

Diferencia de cubos

* a3 – b3 = (a – b) (a2 + ab + b2)

* a3 – b3 = (a – b) [(a – b)2 + 3ab]

Producto de binomios con un término común

* (x + a) (x + b) = x2 + (a + b) x + ab

* (x + a) (x + b) (x + c) = x3 + (a + b + c) x2

+ (ab + ac + bc) x + abc

Trinomio al cuadrado

* (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2 (ab + ac + bc)

* (ab + ac + bc)2 = a2 b2 + a2c2 + b2c2 + 2abc (a + b + c)

Trinomio al cubo

* (a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3 (a + b) (a + c) ( b + c)

* (ab + ac + bc)3 = a3b3 + a3c3 + b3c3 + 3abc (a + b) (a + c) ( b + c)

Nota:

(a + b) (a + c) (b + c) = (a + b + c) (ab + ac + bc) – abc

IDENTIDADES DE LAGRANGE

* (ax + by)2 + (ay – bx)2 = (a2 + b2) (x2 + y2)

* (ax + by + cz)2 + (ay – bx)2 + (az – xc)2 + (bz – yc)2

= (a2 + b2 + c2) (x2 + y2 + z2)

Nota

(x2n + xn yn + y2n) (x2n – xn yn + y2n) = x4n + x2n y2n + y4n

Si y = 1 (x2n + xn + 1) (x2n – xn + 1) = x4n + x2n + 1


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IDENTIDAD ESPECIAL

* a3 + b3 + c3 – 3abc = (a + b + c) (a2 + b2 + c2 – ab – ac – bc)

* a3 + b3 + c3 – 3abc =2

1(a + b + c) [(a – b)2 + (a – c)2 + (b – c)2]

Nota:

(a – b)2 + (a – c)2 + (b – c)2 = 2 (a2 + b2 + c2 – ab – ac – bc)

IDENTIDADES BAJO LA CONDICIÓN

a + b + c = 0

* a2 + b2 + c2 = -2 (ab + ac + bc)

* a3 + b3 + c3 = 3 abc

* (ab + ac + bc)2 = a2 b2 + a2 c2 + b2 c2

* a4 + b4 + c4 = 2 (ab + ac + bc)2

* a5 + b5 + c5 = -5abc (ab + ac + bc)

* a7 + b7 + c7 = 7abc (ab + ac + bc)

Nota:

* Si a2 + b2 + c2 = ab + ac + bc ; a, b, c ∈ R

⇒ a = b = c

* Si a2n + b2n + c2n = 0, a, b, c, ∈ R, n ∈ N

⇒ a = 0, b = 0, c = 0

* Si 0222 =++ nnn cba ; a, b, c ∈R, n∈ N

⇒ a = 0 b = 0 c = 0

EJERCICIOS PROPUESTOS

1. Efectuar:

E = (x + 2) (x – 3) (x + 4) ( x – 5) – x2 (x – 1) 2 +26 (x2 – x + 4)

2. Efectuar

E = (a + b + c) (a + b - c) + 8ª + b – c) (a – b + c)

+ (a – b + c) (b + c – a) + (b – c + a) (b – c – a)


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3. Si: x + x-1 = 3

Calcular 81010 ++= − x x E

4. Si: a + b + c = 4a2 + b2 + c2 = 6

a3 + b3 + c3 = 10. Calcular E = a4 + b4 + c4

5. Si: 16 =− x

y

y

x Calcular:

x

y x E

7+=

DIVISIÓN

Dados dos polinomios f (dividendo) y g ≠ 0 (divisor); dividir f por g es determinar otros

dos polinomios q (cociente) y r (residuo) de modo que se verifiquen las dos

condiciones siguientes:

i) f ≡ g • q + r

ii) gra (r) < gra (g)

PROPIEDADES DE LA DIVISIÓN DE POLINOMIOS

1. El grado del cociente es igual al grado del dividendo menos el grado del divisor.

2. El grado del residuo es menor que el grado del divisor

3. El grado máximo del residuo es igual al grado del divisor menos uno.

4. Si la división es exacta, se puede afirmar lo siguiente:

a) El residuo es un polinomio idénticamente nulo.

b) El dividendo es divisible por el divisor y el cociente.

5. El grado del dividendo es mayor o igual que el grado del divisor.

6. Si se dividen polinomios homogéneos se puede afirmar lo siguiente:

a) El grado del residuo es igual al grado del dividendo.

b) El grado del residuo es mayor o igual que el grado del divisor.

Nota: En los países de habla inglesa:

D d qr q d D

r

59 7 8

56 8 7 59-3 56

3


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DIVISIÓN DE POLINOMIOS

* MÉTODO CLÁSICO

1. Se completan y ordenan los polinomios con respecto a una sola letra en forma

descendente.

2. Se divide el primer término del dividendo entre el primero del divisor

obteniéndose el primero del cociente, luego este se multiplica por cada uno de

los términos del divisor y el resultado se resta del dividendo.

3. Se baja el siguiente término del dividendo y se repite el paso anterior tantas

veces hasta que el grado del residuo sea menor que el grado del divisor.

Ejemplo:Dividir 3x5 – 6x4 + 13x3 – 9x2 + 11x – 1 entre x2 – 2x + 3

3x5 – 6x4 + 13x3 – 9x2 + 11 x – 1 X2 – 2x + 3

-3x – 6x + 9x

4x3 – 9x2 + 11 x

- 4x3 + 8x2 + 12 x

-x2

– x - 1

x2 – x - 1

– 3x + 2

3x + 4x – 1

* MÉTODO DE HORNER

* ALGORITMO DE HORNER

1. Se completan y ordenan en forma descendente los polinomios dividendo y dividir

con respecto a una letra.2. Se distribuye en forma horizontal los coeficientes del dividendo y en forma vertical

los coeficientes del divisor, todos cambiados de signo a excepción del primero.

3. Se divide el primer coeficiente del dividendo entre el primero del divisor

obteniéndose el primero del cociente luego este se multiplica por cada uno de los

coeficientes del divisor que han cambiado de signo y el resultado se coloca en la

segunda fila corriéndose un lugar hacia la derecha.


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4. Se reduce la siguiente columna y se repite el paso anterior tantas veces hasta que

la última operación efectuada caiga debajo del último coeficiente del dividendo,

llegado este momento se reducen las columnas que falten separando

respectivamente los coeficientes del cociente y el residuo.

ESQUEMA DE HORNER

n

términos

D D I V I D E N D O

i

vi

s

o

r

C O C I E N T E R E S I D U O

n = grado de divisor

Ejemplo: Dividir por el método de Horner

8x6 + 4x5 + 10x4 + x3 + 5x2 + 3x + 7 entre 4x3 + x – 2

Solución

D = 8x6 + 4x5 + 10x4 + x3 + 5x2 + 3x + 7 d = 4x3 + x – 2

4 8 4 10 1 5 3 7

0 0 -2 4

-1 0 -1 2

2 0 -2 -4

0 -1 2

2 1 2 1 5 6 9

∴ Q (x) = 2x3 + x2 + 2x + 1; R (x) = 5x2 + 6x + 9

(-1)


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REGLA DE RUFFINI

Se emplea para dividir polinomios P(x) entre divisores de la forma

x + b ; b ∈ R.

ESQUEMA DE RUFFINI

(Divisor x + b)

D I V I E N D O

-b ↓

C O C I E N T E Residuo

Grado divisor = 1 Grado residuo = 0

∴ residuo = CTE

ALGORITMO DE RUFFINI

1. Se distribuye en forma horizontal los coeficientes del dividendo, el término

independiente del divisor se escribe cambiado de signo en el ángulo inferior

izquierdo.

2. Se baja el primer coeficiente del dividendo, siendo este el primero del cociente ,

luego este valor se multiplica por el valor de (-b) y el resultado se coloca debajo de la

siguiente columna.

3. Se reduce la siguiente columna y se repite el paso anterior tantas veces, hasta que

la última operación efectuada caiga debajo del último coeficiente del dividendo.

4. Se reduce la última columna y el resultado será el valor del residuo.

Ejemplo:

Dividir: 2x4 – 7x2 + 3x – 1 entre x – 3

Solución

2 0 -7 3 -1

3 6 18 33 108

2 6 11 36 107

q(x)= 2x3

+ 6x2

+ 11x + 36R = 107


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RUFFINI PARA DIVISOR a x + b

Se sabe:

Original Alterada

D D D d/kQ Kq

r r

D KdQ/k

rExplicación:

P(x) ax + bq(x)

r

Alteramos el divisor:

a""pordomultiplica

quedaresiduoel;

a

b x

a

bax+=

+

hacemos otra división:

P(x) x +

b/aQ’(x)

r'

Donde:

* q’(x) = aq(x) q (x) =a

xq )('

* r = r’

Ejemplo: Dividir por Ruffini

3x4 – 2x3 + x2 – 7x + 1 entre 3x – 5

Solución

Alteramos el divisor:

;3

5

3

53−=

− x

x el residuo quedó multiplicado por 3.


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Dividimos:

3x4 – 2x3 + x2 – 7x + 1 entre x – 5/3

3 -2 1 -7 1

5/3 5 5 10 5

3 3 6 3 6

q'(x) = 3x3 + 3x2 + 6x + 3

q (x) =3

)(' xq

q(x) = x3 + x2 + 2x + 1

R = 6

Ejercicios Propuestos

1. Dividir por Ruffini

8x5 + 6x4 + 4x3 + 3x2 – 4x – 3 entre 4x + 3

2. Determinar a y b; si la división de x4 + 2x3 – 7x2 + ax + b entre x2 – 3x + 5 es exacta.

3. Determinar a y b; si el residuo de dividir 3x5 + 48x2 + ax + b entre x3 – 2x2 – 4x + 8

es –5x + 24. Dividir:

x3 – 2x2 – 15x – x2 a + 2x a + 15 a

Entre x - a

5. Dividir: 4x15 – 4x10 + 3x5 + 9 entre 2x5 + 1

TEOREMA DEL RESTO

El residuo de dividir un polinomio P(x) entre un divisor de la forma ax + b, se obtiene

calculando P (-b/a).

Demostración:

Datos:

D = P(x)

d = ax + b

q = ?r = R (constante)


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II) Dividendo:

D(x) = 2(x2)2 + 5(x2) x- 7 (x2) – 16x – 1

R(x) = 2(4)2 + 5(4) x – 7 (4) – 16x – 1

R(x) = 32 + 20x – 28 – 16x – 1

R(x) = 4x + 3

PROBLEMAS PROPUESTOS

1) Calcular el residuo de dividir

x5 – 7x4 + 2x3 + 5x2 – 6x + 12 entre x2 + 1

2) Hallar el residuo de dividir:

(x + 3)86 – 3(x + 3)35 + 3(x + 3)3 – 10 entre x2 + 6x + 10

3) Calcular el residuo de dividir:

m

x4

3

+ 48 entre

m

x3

3

; m ∈ Z’

4) Calcular el residuo de dividir:

x355 – 1 entre x2 + x + 1

DIVISIBILIDAD

Un polinomio P(x) es divisible por otro f(x), si existe otro polinomio Q(x) tal que:

Q (x) . f(x) = P (x)

PROPIEDADES1. Si un polinomio divide a otro, entonces divide a su suma (Producto). Sea:

A(x) = f(x) q1 (x)

B(x) = f(x) q2 (x)

C(x) = f(x) q3 (x)

A(x) + B(x) + C(x) = f(x) [q1 (x) + q2 (x) + q3 (x)]

2. Toda expresión que divide a otras dos, divide también su diferencia.

3. Toda expresión algebraica entera se divide a dos polinomios, divide también al

residuo que se obtiene al dividir un polinomio por el otro.


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P(x) = M (x) q1 (x)

f(x) = M (x) q2 (x), M(x) divide a P(x) y f(x)

Entonces:

P(x) f(x) ⇒ P(x) = f(x) q3 (x) + R(x)

q3(x)

R(x) M(x) q1 (x) = M(x) q2 (x) q3 (x) +

R(x)

R(x) = M(x) [q1(x) - q2(x)

q3(x)]

M(x) divide a R(x)

Notas:

1) Si P(x) x-a ⇒ r = P(a)

r q(x)

2) Si (Px) es divisible separadamente por:

(x – a), (x – b), (x – c); a ≠ b ≠ c entonces P(x) es divisible por el producto (x – a)

(x – b) (x – c)

3) Alteración en la división

ORIGINAL ALTERADAD D KD kdr Q kr q

Problemas Propuestos

1) Calcular (a – b + 1) para que el polinomio

x5 – 2x4 – 6x3 + ax2 + bx + c sea divisible por (x – 3) (x2 –1)

2) Dado un polinomio P(x) de cuarto grado con coeficiente principal 3; divisible

separadamente por (x2 –1) y (x2 – 3x + 2) y al ser dividido por (x + 2) deja como

residuo 48. Calcular el término constante de P(x).

3) Al dividir un polinomio P(x) menos 5 es divisible por (x – 1) y aumentando en 5 es

divisible por x. Hallar el resto de dividir P(x) entre x(x – 1).


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4) Un polinomio P(x) menos 5 es divisible por (x – 1) y aumentado en 5 es divisible

por x. Hallar el resto de dividir P(x) entre x (x – 1)

5) Un polinomio P(x) de tercer grado mónico se anula para x = 3 y x = 2. Que otro

valor de x lo anula, si la suma de sus coeficientes es igual a 10.

TEOREMA DEL FACTOR

Si un polinomio se anula para x = a, entonces un factor de dicho polinomio es (x – a)

Demostración:

P(x) x -

a

⇒ P(x) = (x - a) q(x) + r

rq(x) Pero r = P (a)

∴ P(x) = (x – a) q (a) + P(a)

Si P(a) es cero; (x – a) es factor de P(x)

Ej. 1: f(x) = 2x5 + 7x4 + 5x4 + 3x2 – 6x – 9, se anula para x = -1; entonces (x + 1) es un

factor de f(x)

Ej. 2: E = (a – b)21 + (b-c)21 + (c – a)21; se anula para a = b; b = c;

c = a; entonces (a – b), (b – c), (c – a) son factores de la expresión E.

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