Capítulo 4

Polinomios

4.1 Introducción

Polinomios con coeficientes en A

Sea A un anillo. Llamaremos conjunto de polinomios con coe-ficientes en A, y lo denotaremos por A[x], al conjunto de las ex-presiones de la forma

a(x) = amxm + am−1x

m−1 + . . .+ a1x+ a0,

con los ai ∈ A.

Grado

El grado de un polinomio no nulo a(x), notado grado(a(x)), es elmayor entero n tal que an 6= 0. El polinomio cuyos coeficientesson todos nulos se llama polinomio nulo y se denota por 0. Porconvención, su grado es grado(0) = −∞.

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Definiciones

Sea a(x) =∑n

i=0 aixi ∈ k[x] un polinomio no nulo con an 6= 0

(de grado n). Llamaremos término líder de a(x) al término anxn,coeficiente líder a an y término constante a a0. Un polinomioes mónico si su coeficiente líder es 1. Los polinomios se dicenconstantes cuando su grado es cero, así como el polinomio nulo.

Nota 4.1.1. Los polinomios se pueden sumar y multiplicar, extendiendo las ope-raciones de A:

Si a(x) =∑n

i=0 aixi, b(x) =

∑m

i=0 bixi, suponiendo sin pérdida de generali-

dad que m ≥ n, podemos definir la suma como

a(x) + b(x) =

n∑

i=0

(ai + bi)xi + bn+1x

n+1 + . . .+ bmxm.

Cuando m = n, basta quedarnos con el primer sumando de la expresión anterior.Tomando de nuevo a(x) y b(x), su producto está definido como:

d(x) = a(x)b(x) =

m+n∑

l=0

dlxl, donde dl =

∑

i+j=l

aibj .

Estando así definidas las operaciones, es claro que extienden las de A; bastatomar m = n = 0. Por otro lado, también es evidente que siempre y cuandoasumamos que −∞ < n y −∞ + n < −∞ para cualquier n ≥ 0 (algo, todo seadicho, nada extravagante), tenemos que

• grado(a(x)+b(x)) ≤ max{grado(a(x)), grado(b(x))}, no dándose la igual-dad solamente cuando m = n y am + bn = 0.

• grado(a(x)b(x)) = grado(a(x)) + grado(b(x))

Es fácil comprobar, y por ello le cedemos la tarea al lector interesado en fa-miliarizarse con las nociones aquí descritas, que la suma y el producto de polino-mios verifican las propiedades asociativa y distributiva, adeás de poseer la sumaelemento neutro, elemento opuesto y ser conmutativa. En otras palabras,

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El anillo A[x]

El conjunto A[x] con la suma y producto definidos anteriormentees un anillo. Además:

• Si A es un anillo conmutativo, A[x] es conmutativo.

• Si A es un anillo con elemento unidad, A[x] tiene elementounidad.

• Si A es dominio de integridad, A[x] es dominio de integri-dad.

Unidades de A[x]

Un polinomio de A[x] es una unidad si y sólo si es una constantey es una unidad en A. Es decir, el grupo A[x]∗ de las unidades deA[x] es el grupo A∗ de las unidades de A.

4.2 Divisibilidad

En adelante consideraremos principalmente el anillo de polinomios k[x], dondek es un cuerpo (por ejemplo, Q,R,C,Z/Zp). Este anillo de polinomios es undominio de integridad, conmutativo y unitario. Sus unidades son las de k, es decir,k∗ = k \ {0}. El grado de los polinomios puede ser usado como una medida que,a modo del valor absoluto en los enteros, nos permita realizar la divisón euclídea.Veremos que ésta no es la única similitud con Z.

Teorema de división

Sean f(x), g(x) ∈ k[x] dos polinomios, con g(x) 6= 0. Entonces,existen dos únicos polinomios q(x), r(x) ∈ k[x] tales que

f(x) = q(x)g(x) + r(x)

y grado(r(x)) < grado(g(x)).

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PRUEBA: La demostración es constructiva, indicando cómo se calculan cocientey resto de la división euclídea.Si grado(f(x)) < grado(g(x)) tomamos q(x) = 0, r(x) = f(x), y ya hemosterminado nuestra construcción.

Supongamos ahora que grado(f(x)) ≥ grado(g(x)) y sean axm, bxn los tér-minos de mayor grado de f(x), g(x) respectivamente. Escribamos

f1(x) = f(x)− (a/b)xm−ng(x);

así pues f1(x) es un polinomio de grado estrictamente inferior al de f(x) y esco-giendo q1(x) = (a/b)xm−n, tenemos que f(x) = q1(x)g(x) + f1(x).

Aplicando el mismo razonamiento a f1(x) y así sucesivamente, logramos crearun conjunto finito de igualdades del tipo

f(x) = q1(x)g(x) + f1(x)f1(x) = q2(x)g(x) + f2(x)

......

ft−1(x) = qt(x)g(x) + ft(x),

dondegrado(f1(x)) > grado(f2(x)) > . . . > grado(ft(x))

y como vamos descendiendo al menos una unidad el grado en cada fi(x), o bienft(x) = 0 o bien es de grado inferior al de g(x), y de ahí la finitud del proceso.Poniendo

q(x) =t∑

i=1

qi(x) , r(x) = ft(x)

se tiene f(x) = q(x)g(x) + r(x).

Hemos probado la existencia. Probemos ahora la unicidad. Consideremospues dos expresiones para f(x) que verifiquen las propiedades que establece elteorema de división:

f(x) = q(x)g(x) + r(x) = q′(x)g(x) + r′(x);

entoncesr(x)− r′(x) = (q′(x)− q(x))g(x),

con lo que r(x)− r′(x) debe ser nulo, ya que todo múltiplo no nulo de g(x) tieneque ser de grado mayor o igual que él. �

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Algoritmo de división

Para calcular el cociente y el resto de la división entre f(x) yg(x), de grados respectivos m y n.Si m ≥ n tome

f1(x) = f(x)− (a/b)xm−ng(x) , q1(x) = (a/b)xm−n.

Repita con f1(x) y g(x) hasta que grado(ft(x)) < grado(g(x)).El cociente y el resto son

q(x) = q1(x) + . . .+ qt−1(x) , r(x) = ft(x).

Si m < n, el cociente es 0 y el resto el propio f(x).

Veamos cómo funciona esto último con un ejemplo, que nos acompañará pornuestra lectura de las próximas secciones.

Ejemplo 4.2.1. Sean f(x) = x5− 12x3+2x2−3x+3 y g(x) = 2x3− 2

3x2+3x−1

dos polinomios de Q[x]. Si queremos calcular el cociente y el resto de la divisiónde f(x) entre g(x), tomamos en primer lugar

f1(x) = f(x)−1

2x2g(x) =

1

3x4 − 2x3 +

5

2x2 − 3x+ 3.

Como grado(f1(x)) = 4, seguimos. Sea ahora

f2(x) = f1(x)−1

6xg(x) = −

17x3

9+ 2x2 −

17x

6+ 3.

Tenemos que seguir, pues todavía no hemos bajado de grado 3, pero este será elúltimo paso. Así,

f3(x) = f2(x) +17

18g(x) =

37x2

27+

37

18.

Ahora ya hemos terminado. El cociente y el resto de la división son

q(x) =1

2x2 +

1

6x−

17

18, r(x) =

37x2

27+

37

18.

Este teorema, aunque pueda parecer elemental a primera vista (y es que dehecho su prueba no es compleja), tiene numerosas aplicaciones inmediatas que lo

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embellecen y nos permiten relatar interesantes propiedades de los polinomios enuna variable o de la estructura de k[x] como anillo. Algunas las detallaremos acontinuación, y otras las veremos más adelante en este u otros capítulos, cuandoprofundicemos en el estudio de los anillos de polinomios.

Corolario 4.2.2. (Teorema del resto) Sea un polinomio f(x) ∈ k[x], y sea un

elemento del cuerpo a ∈ k. Entonces f(a) es el resto de dividir f(x) por x− a.

PRUEBA: Por el teorema de división,

f(x) = (x− a)q(x) + r(x), con grado(r(x)) < grado(x− a) = 1.

Por tanto, r(x) debe ser una constante, digamos r, luego f(a) = (a−a)q(a)+r =r. �

Raíz de un polinomio

Sea f(x) ∈ A[x] un polinomio, se dice que a ∈ A es una raíz def(x) si f(a) = 0.

Corolario 4.2.3. (Teorema de la raíz) Sea un polinomio f(x) ∈ k[x] de grado

positivo. Entonces f(x) tiene una raíz a ∈ k si y sólo si es divisible por x− a.

PRUEBA: En efecto, podemos escribir f(x) = q(x)(x − a) + r con r ∈ k.Así f(a) = 0 si y sólo si r = 0, lo que equivale a que (x− a)|f(x). �

Multiplicidad de una raíz

Sean f(x) ∈ A[x] un polinomio y a ∈ A una raíz. Se llamamultiplicidad de a al mayor entero positivo m tal que (x − a)m

divide a f(x).

Corolario 4.2.4. (D’Alembert) Un polinomio no nulo f(x) ∈ k[x] de grado ntiene a lo sumo n raíces distintas en k.

PRUEBA: Lo probaremos por inducción en n, el grado de f(x).

Si grado(f(x)) = 0, entonces f(x) en un polinomio constante no nulo, luegono tiene raíces en k. Nuestra hipótesis de inducción es que si h(x) es polinomiono nulo de grado n− 1 con r raíces distintas, r ≤ n− 1.

98

Supongamos ahora que f(x) es un polinomio de grado n > 0 y que tiene rraíces distintas a1, . . . , ar en k. Veamos que r ≤ n.

Tenemos que f(ar) = 0, luego por el teorema de la raíz f(x) = (x− ar)g(x),con grado(g(x)) = n − 1. Para cada i con 1 ≤ i ≤ r − 1, f(ai) = 0 =(ai−ar)g(ai). Como ai 6= ar, por fuerza g(ai) = 0. En consecuencia a1, . . . , ar−1

son raíces de g(x) y grado(g(x)) = n− 1. Por inducción, r − 1 ≤ n− 1, así quer ≤ n. �

Nota 4.2.5. Hay que notar, por si el lector andaba despistado en la lectura, que estecorolario no implica el aserto de que todo polinomio posee tantas raíces como sugrado. Este teorema es mucho más profundo e interesante y necesita conceptosque no veremos hasta más tarde.

4.3 Máximo común divisor

Continuan los parecidos razonables entre k[x] y Z, pues al igual que cuando ma-nejamos los enteros, con el teorema de división para polinomios podemos trabajarla divisibilidad de polinomios, el algoritmo de Euclides y la identidad de Bézout.

Máximo común divisor

Sean dos polinomios f(x), g(x) ∈ k[x]. Un polinomio p(x) ∈k[x] es un máximo común divisor de f(x) y g(x) si verifica:

1. p(x)|f(x) y p(x)|g(x)

2. Si q(x) es otro polinomio que divide a f(x) y a g(x) enton-ces q(x)|p(x).

Nota 4.3.1. El máximo común divisor de dos polinomios no es único. Si p(x) =mcd(f(x), g(x)), entonces, para cualquier a ∈ k \{0}, ap(x) = mcd(f(x), g(x)).Por eso cuando hablamos de un máximo común divisor, podremos acordar queestamos tomando un polinomio mónico y, en esas condiciones, sí que es único.

Como en los enteros, podemos calcular un máximo común divisor de dos po-linomios usando el teorema de división.

Consideremos dos polinomios f(x), g(x) ∈ k[x]; sabemos que existen q(x), r(x) ∈k[x] con grado(r(x)) < grado(g(x)) tales que

f(x) = q(x)g(x) + r(x).

99

Proposición 4.3.2. Con las notaciones anteriores, se tiene que

mcd(f(x), g(x)) = mcd(g(x), r(x))

PRUEBA: Supongamos que

a(x) = mcd(g(x), r(x)), b(x) = mcd(f(x), g(x)).

Como f(x) = q(x)g(x)+ r(x), a(x) no puede sino dividir a f(x) y así a(x) es undivisor común de f(x) y g(x), luego por ser b(x) el máximo entre ellos, a(x)|b(x).

Análogamente, como

r(x) = f(x)− q(x)g(x),

se tiene que b(x)|r(x) y así b(x) es un divisor común de g(x) y r(x), luegob(x)|a(x). �

Algoritmo de Euclides

Sean f(x), g(x) ∈ k[x] dos polinomios no nulos, congrado(f(x)) > grado(g(x)). Entonces, si haciendo divisionessucesivas obtenemos

f(x) = q(x)g(x) + r(x)g(x) = q0(x)r(x) + r1(x)r(x) = q1(x)r1(x) + r2(x)

...rn−2(x) = qn−1(x)rn−1(x) + rn(x)rn−1(x) = qn(x)rn(x),

este proceso es finito y, con las notaciones anteriores,mcd(f(x), g(x)) = rn(x).

PRUEBA: Consideremos la sucesión {grado(ri(x))}, que es una sucesión es-trictamente decreciente de enteros no negativos, pues el resto de la división polinó-mica es de menor grado que el divisor. Como el primer elemento es grado(f(x)),la sucesión puede tener a lo más grado(f(x)) + 1 elementos. Por tanto, existe unn ≥ 1 tal que rn+1(x) = 0. Esto prueba la finitud del proceso.

Ahora queda preguntarse si realmente obtenemos el máximo común divisor def(x) y g(x). Para la respuesta basta con aplicar el lema anterior para obtener que

mcd(f(x), g(x)) = mcd(g(x), r(x)) = . . . = mcd(rn−1(x), rn(x)) = rn(x).

100

�

Así pues, con este teorema hemos probado que el siguiente algoritmo es co-rrecto:

Algoritmo de Euclides

Para hallar el máximo común divisor de dos polinomios no nulosf(x), g(x) ∈ k[x].Efectúe la división f(x) = q(x)g(x)+r(x) y tome f0(x) = f(x),g0(x) = g(x) y r0(x) = r(x). Mientras ri(x) 6= 0, repita confi+1(x) = gi(x) y gi+1(x) = ri(x).Si rn+1(x) = 0, mcd(f(x), g(x)) = rn(x), notando r−1(x) =g(x).

Como en la sección anterior, ilustremos el método de arriba con los mismospolinomios:

Ejemplo 4.3.3. Queremos hallar el máximo común divisor de f(x) = x5− 12x3+

2x2 − 3x + 3 y g(x) = 2x3 − 23x2 + 3x − 1 en Q[x]. Siguiendo el algoritmo,

dividimos el primero entre el segundo, y tomamos

f0(x) = f(x) , g0(x) = g(x) , r0(x) =37x2

27+

37

18.

Como r0(x) 6= 0, dividimos g(x) entre r0(x), tomando

f1(x) = g(x) , g1(x) = r0(x) , r1(x) = 0.

La división anterior era exacta de cociente 1837(3x−1), con lo que mcd(f(x), g(x)) =

r0(x), o tomando el polinomio mónico asociado,

mcd(f(x), g(x)) = x2 +3

2.

Hemos demostrado la validez del algoritmo de Euclides. Como pasaba enla primera sección, a pesar de ser un resultado aparentemente trivial, escondealgunas aplicaciones, siendo la primera de ellas la identidad de Bézout, cuyasconsecuencias en algunas de las abstrusas ecuaciones diofánticas polinómicas sonde apreciar.

101

Identidad de Bézout

Sean f(x), g(x) ∈ k[x] dos polinomios no nulos. Si denotamosmcd(f(x), g(x)) = d(x) entonces existen elementos a(x), b(x) ∈k[x] tales que

d(x) = a(x)f(x) + b(x)g(x).

PRUEBA: La demostración es consecuencia de aplicar el algoritmo de Eucli-des al revés.En efecto, si con la notación del teorema, llamamos rn(x) = d(x), tendremos que

rn(x) = rn−2(x)− qn−1(x)rn−1 == rn−2(x)− qn−1(x)(rn−3(x)− qn−2(x)rn−2(x)) =

...= a(x)r(x) + b(x)g(x) =

= a(x)f(x) + (b(x)− a(x)q(x))g(x).

Tomando a(x) = a(x) y b(x) = (b(x)− a(x)q(x)), tenemos lo que queríamos. �

Ejemplo 4.3.4. Sabemos que el máximo común divisor de nuestros polinomiospredilectos, f(x) = x5 − 1

2x3 + 2x2 − 3x + 3 y g(x) = 2x3 − 2

3x2 + 3x − 1 en

Q[x] es d(x) = x2 + 32. ¿Cuáles son los polinomios a(x) y b(x) de la identidad

de Bézout para ellos? Siguiendo el algoritmo de Euclides realizado anteriormentepara ellos,

d(x) =27

37f(x)−

27

37

(

1

2x2 +

1

6x−

17

18

)

g(x),

luego a(x) = 2737

y b(x) = −2737q(x).

Como señalábamos antes, el algoritmo de Euclides tiene una importante apli-cación en la resolución de ecuaciones diofánticas polinómicas

α(x)f(x) + β(x)g(x) = h(x),

donde f(x), g(x), h(x) ∈ k[x] son polinomios dados y α(x), β(x) ∈ k[x] son lospolinomios a determinar, si es posible, claro está. El siguiente teorema da con-diciones suficientes para la existencia y unicidad de la solución de una ecuacióndiofántica polinomial y una prueba constructiva. Un caso especial del teoremaes cuando los polinomios f(x) y g(x) son relativamente primos, en cuyo caso laecuación diofántica polinómica dada se puede resolver para cualquier h(x) dado.

102

Proposición 4.3.5. Sean f(x), g(x) ∈ k[x] dos polinomios no nulos y sea d(x) =mcd(f(x), g(x)). Entonces, para cualquier polinomio h(x) ∈ k[x] divisible por

d(x), existen unos únicos polinomios α(x), β(x) ∈ k[x] tales que

α(x)f(x) + β(x)g(x) = h(x), y

grado(α(x)) < grado(g(x))− grado(d(x)).

Más aún, si

grado(h(x)) < grado(f(x)) + grado(g(x))− grado(d(x)),

entonces β(x) verifica que

grado(β(x)) < grado(f(x))− grado(d(x)).

PRUEBA: Veamos primero la existencia.Por la identidad de Bézout sabemos que existen polinomios a(x), b(x) ∈ k[x] ta-les que a(x)f(x) + b(x)g(x) = d(x). Como h(x) es divisible por d(x), podremosescribir h(x) = h′(x)d(x), y así, a(x)h′(x)f(x) + b(x)h′(x)g(x) = h(x).De este modo los polinomios α′(x) = a(x)h′(x), β ′(x) = b(x)h′(x) verificanla ecuación del enunciado. No obstante, los grados de estos polinomios en ge-neral no verifican las condiciones exigidas. Para evitar esto, si grado(α′(x)) ≥grado(g(x)) − grado(d(x)), dividimos α′(x) entre g(x)/d(x) y obtenemos queα′(x) = (g(x)/d(x))q(x)+α(x) con grado(α(x)) < grado(g(x))− grado(d(x)).Consideremos ahora β(x) = β ′(x) + q(x)(f(x)/d(x)). Sustituyendo entonces,

α(x)f(x) + β(x)g(x) = α′(x)f(x) + β ′(x)g(x) = h(x).

Veamos ahora la unicidad. Supongamos pues que existen otros polinomiosα1(x), β1(x) ∈ k[x] verificando las condiciones del teorema. En ese caso,

α(x)(f(x)/d(x)) + β(x)(g(x)/d(x)) = h(x)/d(x)

α1(x)(f(x)/d(x)) + β1(x)(g(x)/d(x)) = h(x)/d(x),

luego

(α(x)− α1(x))(f(x)/d(x)) = −(β(x)− β1(x))(g(x)/d(x)).

Como los polinomios f(x)/d(x) y g(x)/d(x) son primos entre sí, necesariamente(g(x)/d(x))|(α(x) − α1(x)). Pero el grado de (α(x) − α1(x)) es menor que elgrado de (g(x)/d(x)), luego α(x)− α1(x) = 0.

103

Falta probar la última parte del teorema. Supongamos que

grado(h(x)) < grado(f(x)) + grado(g(x))− grado(d(x)).

Como β(x) = (h(x)− α(x)f(x))/g(x),

grado(β(x)) = grado(h(x)− α(x)f(x))− grado(g(x)).

Si tuviéramos que grado(h(x)) ≥ grado(α(x)f(x)) entonces ocurriría que

grado(β(x)) ≤ grado(h(x))− grado(g(x)) < grado(f(x))− grado(d(x)),

por la hipótesis adicional en el grado de h(x). En caso contrario, es decir, sigrado(h(x)) < grado(α(x)f(x)), entonces

grado(β(x)) ≤ grado(α(x))+grado(f(x))−grado(g(x)) < grado(f(x))−grado(d(x)),

por la propiedad que sabemos que verifica el grado de α(x). �

Hemos conseguido pues el siguiente método para resolver ecuaciones diofán-ticas lineales en polinomios:

Ecuaciones diofánticas lineales

Para resolver una ecuación de la forma

α(x)f(x) + β(x)g(x) = h(x),

donde f(x), g(x), h(x) ∈ k[x] y grado(α(x)) < grado(g(x)) −grado(d(x)).Si h(x) no es divisible por mcd(f(x), g(x)) no existe solución.En caso de que sí sea divisible, aplique la identidad de Bézout af(x) y g(x) para obtener dos polinomios a(x), b(x) con

a(x)f(x) + b(x)g(x) = d(x).

Si grado(a(x)) < grado(g(x)) − grado(h(x)), tome α(x) =a(x)h(x)/d(x), β(x) = b(x)h(x)/d(x) y hemos terminado. Encaso contrario, divida α(x) entre g(x)/d(x) para conseguir la ex-presión α(x) = (g(x)/d(x))q(x) + r(x). Asignando α(x) :=r(x) y β(x) := β(x) + q(x)(f(x)/d(x)) hemos terminado.

104

Ejemplo 4.3.6. Para finalizar esta sección, reutilicemos nuestros polinomios delos ejemplos para mostrar cómo resolver una ecuación diofántica como las quehemos visto.Sean pues de nuevo f(x) = x5 − 1

2x3 + 2x2 − 3x + 3 y g(x) = 2x3 − 2

3x2 +

3x − 1 en Q[x]. Puesto que el ejemplo sería de dudosa utilidad si escogiéramosun polinomio h(x) no divisible por d(x) = x2 + 3

2, tomemos un múltiplo suyo,

por ejemplo, h(x) = (2x− 1)d(x) = 2x3 − x2 + 3x− 32.

Del ejemplo anterior obtuvimos la identidad de Bézout

27

37f(x)−

27

37

(

1

2x2 +

1

6x−

17

18

)

g(x) = d(x).

Ahora, grado(a(x)) = 0 = grado(g(x)) − grado(h(x)), así que debemos dividir2737(2x− 1) entre g(x)/d(x) = 2x− 2

3, obteniendo como cociente y resto

q(x) =27

37, r(x) = −

9

37.

Así, los polinomios solución de la ecuación son

α(x) = −1

3, β(x) =

1

74

(

−74x3 − 27x2 + 139x− 97)

4.4 Factorización. Factores múltiples

En nuestro recorrido en pos de obtener analogías con lo que ocurría con los en-teros, vamos a ver qué elementos juegan el papel en el anillo de polinomios k[x]de los números primos, y una vez que los hayamos identificado, trabajaremos unpoco con ellos y con la noción de factorización.

Polinomio irreducible

Un polinomio p(x) ∈ k[x] es irreducible si no es una constante,y si el que podamos escribir p(x) = f(x)g(x) implica que uno delos dos factores sea una unidad (una constante).

Proposición 4.4.1. Sea p(x) ∈ k[x] un polinomio irreducible. Si f(x) es un

polinomio que no es divisible por p(x), entonces el máximo común divisor de

p(x) y f(x) es 1 (una constante).

105

PRUEBA: Sea d(x) = mcd(p(x), f(x)). Como d(x)|p(x), existirá ciertopolinomio p′(x) de modo que podamos escribir p(x) = d(x)p′(x). Ahora bien,por la definición de irreducibilidad, o bien d(x) o bien p′(x) es constante. Si elpolinomio constante es d(x), tendríamos el resultado.Veamos pues qué pasa cuando el que fuera constante fuera p′(x). En ese casop(x)|d(x), por lo que p(x) dividiría a f(x), que no es posible. Por consiguiented(x) no puede ser nada más que una constante. �

Veremos a continuación dos resultados que dejaremos sin demostrar, pues suspruebas se pueden escribir de una manera completamente análoga a las de sussemejantes del ámbito de los enteros.

Proposición 4.4.2. Sea p(x) ∈ k[x] un polinomio irreducible. Dados dos polino-

mios f(x), g(x) ∈ k[x], si p(x)|f(x)g(x), entonces p(x) divide a alguno de los

dos.

Descomposición en factores irreducibles

Cualquier polinomio no constante de k[x] es irreducible o fac-toriza en producto de polinomios irreducibles. Este producto esúnico en tanto que si tenemos dos factorizaciones de f(x) en pro-ducto de polinomios irreducibles en k[x] de la forma f(x) =p1(x) · · · ps(x) = q1(x) · · · qt(x) necesariamente s = t y existeuna correspondencia uno a uno entre los factores p1(x), . . . , ps(x)y q1(x), . . . , qt(x) donde si pi(x) se corresponde con qj(x), existeun α ∈ k \ {0} tal que pi(x) = αqj(x).

Hasta este punto, podemos aventurarnos y pronosticar que el lector puede estarinteresado por las múltiples analogías en la naturaleza como anillos entre k[x] yZ, o puede estar a punto de hastiarse al ver que las mismas propiedades que secomentaban para los enteros existen aquí, aumentando inútilmente (a su juicio,claro está) el número de páginas, o ambas cosas a la vez, una sin perjuicio dela otra. Para intentar evitar la segunda posibilidad entre otros objetivos, vamos apresentar una herramienta específica y útil de los polinomios: la derivada (formal),que coincide con el concepto usual de análisis.

Usaremos la notación habitual: f ′(x) es el polinomio que se obtiene al derivarf(x); D : k[x] → k[x] es la función que a cada polinomio le asocia su derivada,D(f(x)) = f ′(x).

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Derivada de un polinomio

La derivada de un polinomio f(x) viene definida por las siguien-tes reglas:

1. Si f(x) = axn con a ∈ k, entonces D(axn) = naxn−1. (Sin = 0, D(a) = 0.)

2. Si f(x) = g(x) + h(x), entonces D(f(x)) = D(g(x)) +D(h(x)).

Proposición 4.4.3. Para cualesquiera polinomios f(x), g(x) ∈ k[x] y para todo

natural s > 1 se verifica que:

1. D(f(x)g(x)) = f(x)D(g(x)) + g(x)D(f(x)).

2. D(f(x)s) = sf(x)s−1D(f(x)).

PRUEBA: La prueba es puramente efectiva, y no requiere mucha habilidad;basta con tener la suficiente concentración como para seguir los cálculos. Por ellose la dejamos al lector que quiera adquirir soltura con el manejo de las expresionesde los polinomios. �

Factores múltiples de un polinomio

Sea f(x) ∈ k[x] un polinomio.

1. Si f(x) tiene factores múltiples, entonces f(x) y f ′(x) noson primos entre sí.

2. En característica cero (k = Q,R,C), si f(x) y f ′(x) no sonprimos entre sí, entonces f(x) tiene factores múltiples.

PRUEBA: Supongamos que f(x) tiene algún factor múltiple, sea f(x) = p(x)sq(x),con s > 1. Entonces

f ′(x) = p(x)s−1[sp′(x)q(x) + p(x)q′(x)],

luego p(x) es un factor común de f(x) y f ′(x).

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Sean d(x) = mcd(f(x), f ′(x)), que sabemos que es de grado mayor que ceropor el anterior apartado, y p(x) un factor irreducible de d(x). Veamos que p(x) esun factor múltiple de f(x).En efecto, como p(x)|f(x), tenemos f(x) = p(x)g(x). Derivando esa expresión,

f ′(x) = p′(x)g(x) + p(x)g′(x).

Como p(x)|f ′(x), p(x) también divide al producto p′(x)g(x), y, por ser p(x) irre-ducible, divide a uno de los factores. Ahora bien, p(x) no puede dividir a p′(x)pues tiene grado estrictamente mayor ya que estamos trabajando sobre un cuerpode característica cero, luego p(x)|g(x), y g(x) = p(x)h(x), así que sustituímos yconseguimos la expresión f(x) = p(x)2h(x). �

4.5 Congruencias. Teorema chino del resto

Compadeciéndonos del lector algo hastiado de semejanzas entre Z y k[x], y con-gratulándonos con el que permanece admirado por las coincidencias entre las es-tructuras internas de ambos conjuntos (actitud muy recomendable para aprendera hacer y a apreciar las matemáticas), trabajaremos con las congruencias para po-linomios, definidas igualmente a las de los enteros y con propiedades similares(algo que suponemos que empieza a no resultar extraño teniendo en cuenta a lassecciones anteriores). De todos modos, para tranquilidad de unos y regocijo deotros, no nos extenderemos mucho en este punto; simplemente lo preciso.

Congruencia de polinomios

Sea p(x) ∈ k[x] un polinomio. Dados dos polinomiosf(x), g(x) ∈ k[x], diremos que f(x) y g(x) son congruentesmódulo p(x), y escribiremos

f(x) ≡ g(x) (modp(x)),

si p(x) divide a f(x)− g(x).

Nota 4.5.1. La relación de congruencia módulo un polinomio p(x) y tiene lasmismas propiedades que la de congruencia módulo m de enteros. Por ejemplo:

• La congruencia módulo un polinomio es una relación de equivalencia.

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• Las congruencias son compatibles con la suma.

• Las congruencias son compatibles con la multiplicación.

• La congruencia es una relación de equivalencia en k[x].

De la misma forma que construimos los anillos Z/Zm de las clases de con-gruencias módulo m, podemos considerar el conjunto de las clases de congruen-cias de polinomios de k[x] módulo un polinomio m(x), y lo denotaremos pork[x]/(m(x)).

Proposición 4.5.2. Si un polinomio m(x) tiene grado d, cualquier clase de con-

gruencia módulo m(x) tiene un único representante r(x) de grado estrictamente

menor que d.

PRUEBA: Sea un polinomio f(x) ∈ k[x]. Por el algoritmo de división tene-mos que

f(x) = q(x)m(x) + r(x) , con grado(r(x)) < grado(m(x))

y f(x) ≡ r(x)(modm(x)). Como el resto de la división es único, es él el repre-sentante de menor grado buscado. �

Dicho de otro modo, lo que esto prueba es que el conjunto de polinomios dek[x] de grado estrictamente menor que el de m(x) es un conjunto completo derepresentantes para k[x]/(m(x)).

Ejemplo 4.5.3. Sea m(x) = x2+1 ∈ Q[x]. Por la proposición, cada elemento deQ[x]/(m(x)) tiene un representante de grado menor o igual que 1. Como

x2 ≡ −1(modx2 + 1),

multiplicando por x tenemos que

x3 ≡ −x(modx2 + 1).

En general, es fácil ver por inducción en n que

x2n ≡ (−1)n(modx2 + 1) y que x2n+1 ≡ (−1)nx(modx2 + 1).

Como Q es un cuerpo infinito, existen infinitos polinomios de grado menor oigual que 1 en Q[x], y por tanto Q[x]/(x2 + 1) es un conjunto infinito.

Si utilizáramos ahora Z/Z3 en lugar de Q, por lo anterior tendríamos que

(Z/Z3)[x]/(x2 + 1) = {0, 1, 2, x, x+ 1, x+ 2, 2x, 2x+ 1, 2x+ 2}.

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Al igual que hicimos cuando manejamos las congruencias en Z, podemos defi-nir sin problema la suma y la multiplicación de clases de congruencias de polino-mios como la clase definida por la suma y la multiplicación, respectivamente, desus representantes. Es fácil comprobar que estas operaciones están bien definidasy verifican las propiedades usuales de la suma y la multiplicación, convirtiendo ak[x]/(m(x)) en un anillo para cualquier polinomio m(x), y por ello lo dejaremoscomo ejercicio para quien pretenda familiarizarse más concienzudamente con lascongruencias en anillos de polinomios.

Teorema chino del resto

Sean m1(x), . . . , mn(x) ∈ k[x] polinomios primos entre sí dos ados, y sean a1(x), . . . , an(x) ∈ k[x] otros polinomios arbitrarios.Entonces existe f(x) ∈ k[x] tal que:

f(x) ≡ a1(x) (modm1(x))f(x) ≡ a2(x) (modm2(x))

......

f(x) ≡ an(x) (modmn(x))

Además, para que el polinomio f(x) ∈ k[x] sea otra solución escondición necesaria y suficiente que se verifique que

f(x) ≡ f(x)(modm1(x)m2(x) · · ·mn(x)).

PRUEBA: La demostración es, como se imaginará, estimado lector, análoga a ladel teorema homónimo en el contexto entero.Puesto que mi(x) y mj(x) son primos entre sí, para todo i 6= j, mi(x) es primocon el producto

li(x) = m1(x) · · ·mi−1(x)mi+1(x) · · ·mn(x).

Así pues, por la identidad de Bézout, existirán αi(x), βi(x) ∈ k[x] tales que

1 = αi(x)mi(x) + βi(x)li(x) , para cualquier i = 1, . . . , n.

Se tiene entonces que

βi(x)li(x) ≡ 1 (modmi(x))βi(x)li(x) ≡ 0 (modmj(x)) , para todo i 6= j

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Podemos tomar como solución entonces

f(x) = a1(x)β1(x)l1(x) + a2(x)β2(x)l2(x) + . . .+ an(x)βn(x)ln(x).

Vayamos a por el segundo aserto ahora. Si f(x) ≡ f(x)( mod m1(x) · · ·mn(x)),existirá un polinomio q(x) tal que f(x)− f(x) = q(x)m1(x) · · ·mn(x). Toman-do en la anterior expresión clases de congruencia módulo mi(x), es claro quef(x) ≡ f(x)(modmi(x)) para todo i, y por tanto, es solución del problema.Recíprocamente, si f(x) 6≡ f(x)(modm1(x) · · ·mn(x)), es porque existen dospolinomios q(x), h(x), siendo h(x) no divisible por m1(x) · · ·mn(x), tales quef(x)− f (x) = q(x)m1(x) · · ·mn(x)+h(x). Como alguno de los mi(x) no puededividir a h(x), alguna de las congruencias módulo mi(x) fallará, y por tanto f(x)no será solución del problema. �

Sistemas lineales de congruencias

Para resolver el sistema

f(x) ≡ ai(x)(modmi(x)) , i = 1, . . . , n,

siendo los mi(x) polinomios primos entre sí y los ai(x) polino-mios cualesquiera.

Tome, para cada i, li(x) =(

∏n

j=1mj(x))

/mi(x). Aplique la

identidad de Bézout a cada pareja li, mi para obtener la igualdad

1 = αi(x)mi(x) + βi(x)li(x).

Las soluciones son

f(x) = a1(x)β1(x)l1(x)+a2(x)β2(x)l2(x)+. . .+an(x)βn(x)ln(x),

y los polinomios congruentes con él módulo∏n

j=1mj(x).

4.6 Factorización en C[x] y en R[x]

A continuación enunciaremos un resultado del que hablaremos con más detalle enla última sección. Para lo que estamos tratando aquí, su importancia es que nosdice cómo son los polinomios irreducibles sobre C. Ahora bien, su relevancia es

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mucho mayor, pero no adelantemos acontecimientos y centrémonos de momentoen la factorización de polinomios.

Teorema fundamental del Álgebra

Todo polinomio f(x) ∈ C[x] de grado positivo tiene una raízcompleja.

Corolario 4.6.1. Todo polinomio f(x) ∈ C[x] de grado positivo, digamos n, tiene

n raíces en C, esto es, se puede escribir como

f(x) = αn∏

i=1

(x− αi),

donde α, αi ∈ C.

PRUEBA: Por el teorema fundamental del álgebra, f(x) tiene una raíz α1 enC. Por tanto, por el teorema del resto podemos escribir f(x) = (x − α1)f1(x).Aplicando el mismo razonamiento a f1(x), y así sucesivamente, se llega, despuésde n− 1 pasos, a una expresión de la forma

f(x) = (x− α1) · · · (x− αn−1)fn−1(x),

donde fn−1(x) es un polinomio de primer grado. Como fn−1(x) se puede escribirfn−1(x) = αx− ααn, se tiene el resultado. �

En virtud del corolario, el problema de dilucidar si un polinomio de C[x] esirreducible o no es tremendamente sencillo; tanto como mirar su grado, pues losúnicos polinomios irreducibles en C[x] son los de grado 1. En R[x] no ocurre así,ya que, por ejemplo, los polinomios x2+1 o x3−15x−4 no se pueden factorizaren producto de polinomios de primer grado, aunque tampoco es que la cuestión dela factorización devenga complicada. Veamos cómo son los irreducibles en esteotro anillo.

Proposición 4.6.2. Todo polinomio de R[x] de grado impar tiene una raíz en R.

Todo polinomio de grado par se descompone en producto de polinomios de grados

1 o 2 (los cuales son irreducibles si y sólo si sus raíces son complejas no reales).

PRUEBA: Sea f(x) ∈ R[x] un polinomio de grado positivo, digamos n. Af(x) lo podemos mirar con otros ojos, como elemento de C[x], así que aplicamosel teorema fundamental del Álgebra para saber que f(x) tiene n raíces en C. Sea

f(x) = anxn + an−1x

n−1 + . . .+ a1x+ a0 , ai ∈ R, i = 0, 1, . . . , n,

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y sea α = a+ bi una raíz de f(x). De

0 = f(α) = an(a+ bi)n + an−1(a + bi)n−1 + . . .+ a1(a+ bi) + a0

se deduce, tomando conjugados, que

0 = f(α) = f(α) = an(a− bi)n + an−1(a− bi)n−1 + . . .+ a1(a− bi) + a0.

En consecuencia, si α es una raíz de f(x), también debe serlo α, luego las raícesno reales de f(x) aparecen por pares de conjugadas. Si n es impar, tiene que haberuna raíz que coincida con su conjugada, es decir, que sea real. Con esto probamosel primer aserto.

En cuanto a la segunda afirmación, obramos como sigue. Si α = a+ bi es unaraíz compleja no real de f(x), el polinomio

(x− α)(x− α) = x2 − 2ax+ (a2 + b2)

divide a f(x) y tiene coeficientes reales, con lo que podemos descomponer a f(x)en producto de factores de grado 2 a lo sumo. La cuestión de si estos se puedendescomponer a su vez en otros de grado 1 o son irreducibles es tan simple comoel hecho de que sus raíces sean reales o no. �

4.7 Factorización en Q[x]

Sea f(x) ∈ k[x] un polinomio de grado 2 o 3. En ese caso, f(x) es reduciblesi y sólo si tiene una raíz en k. En efecto, el hecho de que f(x) sea reduciblees equivalente a decir que tiene un divisor que es de grado 1. Si éste es ax − b,entonces b/a es una raíz de f(x).

Naturalmente, lo anterior no funciona para grados mayores. Un polinomiode grado 4 se puede descomponer, por ejemplo, en dos factores irreducibles degrado 2, como x4 + 3x2 + 2 en Q, luego no tiene por qué tener raíces en k. Conmayor razón ocurrirá esto en grados más altos. No obstante es bueno ver si unpolinomio dado tiene o no raíces en k. Si las tiene, y es de grado mayor que 1, esautomáticamente reducible.

Si echamos la vista atrás al capítulo anterior, la irreducibilidad de los enteros(esto es, saber si un entero es primo o no) constituía un problema enormementedifícil hasta 2002, mientras que en la sección anterior hemos visto que cuandok = C,R, en k[x] es bastante sencillo. Dependiendo de cuáles sean nuestrosintereses, las analogías que veíamos hasta ahora entre k[x] y Z experimentan unvuelco. Consideremos entonces el caso de k = Q. El problema de saber cuándo

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un polinomio de Q[x] es irreducible es, en cambio, algo intrincado si se pretenderesolver de manera realmente efectiva. Sin embargo, el problema de la localiza-ción de raíces (que, como hemos notado en el párrafo anterior, es más simple), síse puede atacar, y es lo que haremos aquí.

Para empezar, notemos que si f(x) ∈ Q[x], es igual buscar sus raíces que lasde af(x), donde a ∈ Z. En particular, podemos suponer que f(x) está en realidaden Z[x] (esto es, todos sus coeficientes son enteros). En estas condiciones tenemosel siguiente resultado, también conocido como Regla de Ruffini:

Proposición 4.7.1. Sea el polinomio

f(x) = anxn + an−1x

n−1 + . . .+ a1x+ a0 , ai ∈ Z, i = 0, 1, . . . , n,

de grado n > 0. Supongamos que f(x) tiene una raíz racional α = a/b con a y bprimos entre sí. Entonces a|a0 y b|an.

PRUEBA: En efecto, como a/b es raíz de f(x),

0 = f(a/b) = an(a/b)n + an−1(a/b)

n−1 + . . .+ a1(a/b) + a0,

luego, previa multiplicación por bn, tenemos que

0 = anan + an−1a

n−1b+ . . .+ a1abn−1 + a0b

n.

Como a divide a todos los términos salvo al último y es primo con b, debe dividira a0. E igualmente, como b divide a todos los términos salvo al primero y es primocon a, debe dividir a a0. �

Hemos visto que intentar localizar las raíces de los polinomios en Z[x] tienealgo más de futuro, o por lo menos es más abarcable, que en Q[x], así que segui-remos reduciéndonos al caso de los polinomios con coeficientes enteros, donde lafactorización única de los coeficientes nos puede ser de ayuda.

Contenido de un polinomio

Dado un polinomio f(x) ∈ Z[x] no nulo, se llama contenido def(x) al máximo común divisor de sus coeficientes. Se denota porc(f). Se dirá que f(x) es primitivo si su contenido es 1.

El siguiente resultado es conocido como Lema de Gauss, como también sedenomina del mismo modo a otros resultados en otros campos matemáticos. Al

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fin y al cabo, Gauss fue un matemático muy prolijo y no es de extrañar que varioslemas suyos hayan pasado a la historia con el mismo nombre. De hecho, se con-funde incluso con un corolario suyo, pero el que presentamos es, en este contexto,el verdadero históricamente hablando, y aparece, con otras palabras, en el Artícu-lo 42 de su gran obra Disquisitiones Arithmeticae. (Los que entiendan el latín,que serán la mayoría, que no se preocupen, que en 1995 se editó una traducciónal español.)

Lema de Gauss

El producto de dos polinomios primitivos es primitivo.

PRUEBA: Sean

f(x) = amxm + am−1x

m−1 + . . .+ a1x+ a0 , ai ∈ Z, i = 0, 1, . . . , m,

g(x) = bnxn + bn−1x

n−1 + . . .+ b1x+ b0 , bj ∈ Z, j = 0, 1, . . . , n

dos polinomios primitivos. Para probar que f(x)g(x) es primitivo basta ver que,fijado p ∈ Z irreducible, existe un coeficiente de f(x)g(x) que no es divisible porél.

Fijemos pues p irreducible. Sea s (resp t) el entero 0 ≤ s ≤ m (resp. 0 ≤ t ≤n) tal que p|ai para todo i > s (resp. p|bj para todo j > t), si se da el caso, y p nodivide a as (resp. a bt). El coeficiente de xs+t en f(x)g(x) es

a0bs+t + . . .+ as−1bt+1 + asbt + as+1bt−1 + . . .+ as+tb0,

en el que se ve que p divide a todos los sumandos salvo a asbt. Así, p no divide ala suma, lo que prueba el resultado. �

Corolario 4.7.2. Si f(x), g(x) ∈ Z[x] son polinomios no nulos, entonces

c(fg) = c(f)c(g).

PRUEBA: Podemos escribir

f(x) = c(f)f ′(x), g(x) = c(g)g′(x)

donde f ′(x) y g′(x) son primitivos. Así

f(x)g(x) = c(f)c(g)f ′(x)g′(x)

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y, como f ′(x)g′(x) es primitivo por el lema de Gauss, debe ocurrir que c(f)c(g) =c(fg). �

El siguiente resultado es engañosamente sencillo, pero de una importanciaextrema cuando se trata de factorizar polinomios, como comprobaremos más ade-lante.

Corolario 4.7.3. Sea f(x) ∈ Z[x] un polinomio de grado positivo, digamos n, que

se descompone en Q[x] en producto de dos polinomios de grados estrictamente

menores que n. Entonces, se descompone en Z[x] en producto de dos polinomios

de esos mismos grados.

PRUEBA: Sea f(x) = f1(x)g1(x), donde f1(x), g1(x) ∈ Q[x] con grado(f1(x)) <n y grado(g1(x)) < n. Multiplicando la anterior igualdad por un cierto elementoa ∈ Z para quitarnos los denominadores de en medio del producto, se tendrá que

af(x) = g(x)h(x) , g(x), h(x) ∈ Z[x].

De ahí se deduce que ac(f) = c(gh) = c(g)c(h), luego a|c(g)c(h). Por tanto, sitomamos g(x) = c(g)g′(x), h(x) = c(h)h′(x), entonces

f(x) =c(g)c(h)

ag′(x)h′(x),

y ésa es la descomposición buscada. �

Corolario 4.7.4. Sea f(x) ∈ Z[x] un polinomio de grado positivo, digamos n, y

primitivo. Entonces f(x) es reducible en Z[x] si y sólo si lo es en Q[x].

PRUEBA: Muy, pero que muy simple; basta con releer el enunciado del coro-lario anterior. �

Terminaremos la teoría de esta sección con un criterio muy general de irredu-cibilidad de polinomios, aunque no concluyente al no poderse aplicar a todos.

Proposición 4.7.5. (Criterio de Eisenstein) Sea un polinomio de grado n > 0

f(x) = anxn + an−1x

n−1 + . . .+ a1x+ a0 , ai ∈ Z, i = 0, 1, . . . , n.

Supongamos que existe un elemento irreducible p ∈ Z que divide a todos los

coeficientes, salvo a an, y cuyo cuadrado p2 no divide a a0. Entonces f(x) es

irreducible en Q[x].

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PRUEBA: Se hará por reducción al absurdo. Supongamos que f(x) fuesereducible en Q[x]. En consecuencia se descompondría en Q[x] en producto dedos polinomios de grado estrictamente inferior. Por el corolario anterior se puedeescribir

f(x) = (bsxs + bs−1x

s−1 + . . .+ b1x+ b0)(ctxt + ct−1x

t−1 + . . .+ c1x+ c0),

donde bi, cj ∈ Z para cualesquiera i, j y s, t < n.

Por la segunda hipótesis, p debe dividir a uno de entre b0 y c0, pero no a ambos.Supongamos pues sin pérdida de generalidad que p|b0 y no divide a c0. Como pno divide a an, no puede dividir a todos los bi. Sea m el mínimo índice tal que pno divide a bm, que sabemos que es menor que n. El coeficiente del término enxm es

bmc0 + bm−1c1 + . . .+ b0cm = am,

que no es divisible por p pues todos los sumandos lo son salvo el primero. Ahorabien, que am con m < n no sea divisible por p es una contradicción, luego hemosterminado con la prueba. �

Para terminar esta sección veremos con ejemplos un procedimiento algo ele-mental, pero procedimiento al fin y al cabo (ya veremos métodos más sofisticados)para descomponer un polinomio con coeficientes en Q en producto de sus factoresirreducibles.

Notemos antes los siguientes hechos:

• Todo polinomio f(x) ∈ Q[x] se puede escribir como df(x) = h(x), con d ∈Z, h(x) ∈ Z[x]. Por tanto, para obtener la descomposición en Q de f(x)puedo calcular la de h(x). Es decir, podemos considerar sólo polinomioscon coeficientes enteros.

• Sea f(x) ∈ Z[x]. Sabemos que f(x) = c(f)h(x), donde h(x) ∈ Z[x] yes primitivo. Para obtener la descomposición en Q de f(x) puedo calcularla de h(x). Es decir, podemos considerar sólo polinomios con coeficientesenteros y primitivos.

Ejemplo 4.7.6. Consideremos el polinomio f(x) = x5 + x3 − 2x2 − 2 ∈ Z[x],primitivo. Si f(x) es reducible se podrá poner como producto de dos polinomiosno constantes f(x) = g(x)h(x), con g(x), h(x) ∈ Z[x]. Como el polinomio departida es de grado 5, las posibilidades son:

1. grado(g(x)) = 1 y grado(h(x)) = 4

2. grado(g(x)) = 2 y grado(h(x)) = 3

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Ahora se trata de probar “manualmente" si es posible alguna de las posibilida-des. Una respuesta negativa indicaría que el polinomio de partida es irreducible.

El primer caso es el teorema de Ruffini. Si g(x) = ax + b es de grado 1,entonces −b/a es una raíz de f(x). Por tanto, se dará la posibilidad (1) si y sólo sif(x) tiene raíces racionales (notemos que este argumento es válido independientedel grado del polinomio de partida).

En nuestro ejemplo sabemos por Ruffini que las posibles raíces de f(x) son±1,±2. Sustituyendo en f(x) comprobamos que ninguna es raíz, luego la posi-bilidad 1 no se da.

Veamos pues si es posible la segunda. Si lo fuera, existirían enteros a, b, c, d,e, f y r tales que:

x5 + x3 − 2x2 − 2 = (ax2 + bx+ c)(dx3 + ex2 + fx+ r) =

= adx5 + (ae+ bd)x4 + (af + be+ cd)x3 + (ar+ bf + ce)x2 + (br+ cf)x+ cr.

Este polinomio será igual a f(x) si tienen los mismos coeficientes. Por tanto,la segunda posibilidad se da si y sólo si existen unos enteros a, b, c, d, e, f y rverificando que

S :

1 = ad0 = ae + bd1 = af + be + cd−2 = ar + bf + ce0 = br + cf−2 = cr

Es decir, tenemos que tratar de resolver en Z el sistema de ecuaciones (no lineales)S. La mejor forma es estudiar casos. La primera ecuación nos dice que a = d = 1o a = d = −1. Supongamos que a = d = 1. Si con esta elección encontramosuna solución, ya tendríamos los polinomios g(x) y h(x) y no habría necesidadde seguir buscando. En caso contrario tendríamos que resolver el sistema cona = d = −1.

Si a = d = 1, el sistema anterior es:

S :

0 = e+ b1 = f + be + c−2 = r + bf + ce0 = br + cf−2 = cr

De la última ecuación nos surgen los siguientes casos: (1) c = −1, r = 2, (2)c = 1, r = −2, (3) c = −2, r = 1 y (4) c = 2, r = −1.

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Caso (1). El sistema a resolver es

S :

0 = e + b1 = f + be− 1−2 = 2 + bf − e0 = 2b− f

Sustituyendo e = −b, f = 2b en la segunda ecuación se obtiene b2 − 2b + 2 = 0que no tiene solución entera. Por tanto este caso es imposible.

Caso (2). El sistema a resolver es

S :

0 = e+ b1 = f + be + 1−2 = −2 + bf + e0 = −2b+ f

,

que tiene como solución b = e = f = 0.Concluyendo, llegamos a que f(x) es reducible y su descomposición es facto-

res irreducibles es f(x) = (x2 + 1)(x3 − 2). Los polinomios x2 + 1 y x3 − 2 sonirreducibles pues no tienen raíces racionales.

Como el lector atento habrá podido observar al final no ha sido necesario lidiarcon el caso en que a = d = −1. Esto es porque si el polinomio de partida esmónico, podemos suponer que los factores en que se descompone son tambiénmónicos. De haber supuesto esto, habríamos obtenido los polinomios −x2 − 1 y−x3 + 2.

4.8 Factorización en Z/Zp[x]

El mismo procedimiento “artesanal” que hemos usado en la sección anterior parafactorizar en Q[x] se puede usar para obtener la descomposición en factores irre-ducibles de polinomios con coeficientes en Z/Zp, con p primo. No obstante, estasección también contendrá algún resultado que justifique más su existencia, y noun ejemplo solamente.

Ejemplo 4.8.1. Consideremos el polinomio f(x) = x4+x3+x+2 ∈ Z/Z3[x]. Sif(x) es reducible se puede expresar como producto de dos polinomios no constan-tes f(x) = g(x)h(x), con g(x), h(x) ∈ Z/Z3[x]. Como el polinomio de partidaes de grado 4, las posibilidades son:

1. grado(g(x)) = 1 y grado(h(x)) = 3

119

2. grado(g(x)) = 2 y grado(h(x)) = 2

El primer caso se resuelve, como en Q, comprobando si f(x) posee alguna raízen Z/Z3. Como Z/Z3 = {0, 1, 2} es finito, basta comprobar si algún elemento esraíz. En nuestro caso f(0) = 2, f(1) = 2 y f(2) = 1, luego la primera posibilidadno se da.

Para estudiar el segundo supuesto escribamos

f(x) = (x2 + ax+ b)(x2 + cx+ d)

(nótese que ya estamos asumiendo que los factores serán mónicos como f(x)).Operando e igualando coeficientes obtenemos el sistema

S :

1 = a+ c0 = b+ ac + d1 = ad+ bc2 = bd

De la cuarta ecuación, teniendo en cuenta los elementos de Z/Z3, obtenemos queo bien b = 1 y d = 2, o bien b = 2 y d = 1. Ahora bien, dado que ambospolinomios son de grado 2, podríamos reordenarlos si se diera lo segundo parasuponer sin pérdida de generalidad que b = 1 y d = 2. El sistema se queda delsiguiente modo:

S :

1 = a + c0 = ac1 = 2a+ c

Su única solución es a = 0, c = 1. Por consiguiente, f(x) = (x2+1)(x2+x+2)es la descomposición en factores irreducibles buscada. (Los polinomios x2 + 1 yx2 + x+ 2 son irreducibles al no tener raíces en Z/Z3.)

Para ilustrar la importancia del problema de factorizar sobre Z/Zp[x] de la quehablábamos antes veamos cómo podemos relacionar la irreducibilidad en Q y enZ/Zp, con p primo. Sea

f(x) = anxn + . . .+ a1x+ a0 ∈ Z[x]

primitivo, sea p un primo que no divida a an, y llamemos f(x) al polinomio

f(x) = anxn + . . .+ a1x+ a0 ∈ Z/Zp[x],

siendo ai = ai + Zp, 0 ≤ i ≤ n.

Proposición 4.8.2. Si f(x) es irreducible en Z/Zp[x], entonces f(x) es irreduci-

ble en Q[x].

120

PRUEBA: Aquél que seguramente por algún despiste todavía no se haya dadocuenta del argumento de la prueba, que tenga en cuenta que para cualesquierapolinomios f(x), g(x), f(x)g(x) = f(x)g(x) y que escriba el contrarrecíprocodel enunciado. �

Veamos, con un ejemplo, cómo podemos usar el resultado anterior.

Ejemplo 4.8.3. Sea f(x) = x4 − x3 + x2 − x + 1 ∈ Z[x]. Tomemos p = 2.Entonces f(x) = x4 + x3 + x2 + x + 1 ∈ Z/Z2. Ya que f(0) = 1 y f(1) = 1,f(x) no tiene raíces en Z/Z2.

Como en caso de ser reducible, ningún factor de la descomposición de f(x)sería de grado 1, pongamos por caso que

f(x) = (x2 + ax+ b)(x2 + cx+ d).

Como otras veces, operando e igualando coeficientes obtenemos el sistema

S :

1 = a+ c1 = b+ ac+ d1 = ad+ bc1 = bd

La última ecuación nos dice que b = d = 1, y sustituyendo en el resto nos queda-mos con

S :

{

1 = a + c1 = ac

,

que no tiene solución. Por tanto, f(x) es irreducible en Z/Z2 y así, por la propo-sición, f(x) es irreducible sobre Q.

Nota 4.8.4. Si bien en apariencia este procedimiento simplifica los cálculos a lahora de estudiar si un polinomio es o no irreducible sobre Q, tiene un grave in-conveniente. El recíproco de la proposición anterior es falso. Por ejemplo, elpolinomio x2+2 es irreducible sobre Q, pero f(x) = x2 ∈ Z/Z2[x] es reducible,o el polinomio x2 − x+ 1, irreducible en Q y con f(x) reducible en Z/Z3.

4.9 Factorización efectiva en Q[x] y Z/Zp[x]*

En las últimas secciones hemos dado un largo paseo por la factorización de poli-nomios, pero quizá pecaba de demasiado teórico, o poco efectivo. El objetivo deesta lección es dar dos opciones, computacionalmente efectivas y más sofisticadas

121

que las vistas hasta ahora, para atacar el problema de la factorización de polino-mios sobre los racionales (método de los polinomios interpoladores de Lagrange)y sobre los cuerpos primos (método de Berlekamp).

El método de los polinomios interpoladores de Lagrange, como su propionombre indica, no es más que una adaptación a nuestro contexto del clásico méto-do de interpoladores lineales de Lagrange del Cálculo Numérico. En la literaturatambién se le conoce como método de Kronecker.

Comencemos con el caso de un polinomio f(x) ∈ Z[x] de grado n y sead = ⌊n/2⌋. Obviamente, salvo que f(x) sea irreducible, alguno de sus factoresirreducibles ha de tener grado menor o igual que d, por lo que basta buscar losposibles factores que verifican esta condición.

Para ello fijaremos d + 1 enteros distintos (normalmente lo más cerca posiblede 0, por motivos de comodidad) a0, a1, . . . , ad y hallaremos

ni = f(ai), i = 0, . . . , d.

Ahora bien, si g(x) es un factor del tipo que busco de f(x), ha de verificar quesi = g(ai) divide al ni correspondiente. Así pues, fijaremos una (d + 1)-upla dedivisores, de la forma

(s0, s1, . . . , sd) , donde si|ni, i = 0, . . . , d.

Recordemos que g(ai) es precisamente g(x)(modx − ai). En ese caso, por elteorema chino del resto, g(x) ha de ser entonces una solución al sistema

g(x) ≡ s0 (modx− a0)g(x) ≡ s1 (modx− a1)

......

g(x) ≡ sd (modx− ad)

Lo que hemos escrito en otras palabras y símbolos es la imposición de que g(ai) =si = si (modx − ai) para todo i. Sabemos que este sistema tiene solución única(pues los x−ai son primos entre sí) de grado menor o igual que d. Así pues, fijadoun vector de divisores, tenemos un posible divisor de f(x). Como los posiblesvectores de divisores son finitos, este procedimiento nos da una lista exhaustivade todos los posibles divisores de f(x) de grado menor o igual que d. Es más,podemos quedarnos con la mitad de vectores de divisores, pues la única soluciónasociada a (−s0,−s1, . . . ,−sd) será así el opuesto de la que verifique el sistemacon (s0, s1, . . . , sd).

122

Polinomios interpoladores de Lagrange

Para factorizar un polinomio f(x) ∈ Z[x].Sea d = ⌊n/2⌋, tome d+1 enteros distintos ai. Forme la (d+1)-upla (f(ai)).Forme todas las posibles (d+1)-uplas (si) formadas por divisoresde los f(ai), y resuelva el sistema g(x) ≡ si (modx − ai), paratodo i, y todas las (d+1)-uplas que no se diferencien en un signo.Si f(x) es reducible, de entre las soluciones no constantes, almenos dos serán un factor de f(x).

Ejemplo 4.9.1. Aprovechando que ya hemos factorizado algunos polinomios en,recuperemos uno de ellos para aplicarle el método que acabamos de detallar. Seapues el polinomio f(x) = x4 + x3 + x − 1 ∈ Z[x], primitivo. Como tiene grado4, elegimos 5 puntos cercanos al cero para evitarnos hacer cuentas más latosas.Calculamos los valores que toma f(x) en esos puntos:

f(−2) = 5 , f(−1) = −2 , f(0) = −1 , f(1) = 2 , f(2) = 25.

Podemos formar 768 quíntuplas distintas, de las que nos quedamos con 384, lamitad. Evidentemente no vamos a comprobar todas ellas en el reducido espaciocon el que contamos, sin mencionar la penosa tarea para el que escribe estas lí-neas que supondría dicho cálculo. No obstante, cualquier programa de cálculoefectuaría esos cálculos sin rechistar, y al fin y al cabo es por esa razón por la quese comenta este método aquí.

Una vez aclarado lo anterior, sigamos con el ejemplo y probemos con la quín-tupla (1,−1,−1, 1, 5). Tenemos así el siguiente sistema de congruencias:

S :

g(x) ≡ 1 (modx+ 2)g(x) ≡ −1 (modx+ 1)g(x) ≡ −1 (modx)g(x) ≡ 1 (modx− 1)g(x) ≡ 5 (modx− 2)

,

que tiene como solución al polinomiox2+x−1. Si dividimos f(x) entre aquél, ob-tenemos como cociente x2+1, que se conseguía al tomar la quíntupla (5,2,1,2,5).Por consiguiente, f(x) es reducible, y como los de grado 2 que hemos obtenidoson irreducibles sobre Q, hemos terminado de calcular su descomposición.Si hubiéramos seguido buscando factores, no habríamos obtenido más que losopuestos de los anteriores. Por ejemplo, la quíntupla (1,2,1,1,1) nos habría dado

123

como resultado el polinomio −x4

6+ x3

6+ 2x2

3− 2x

3+ 1, que evidentemente no es

factor de f(x).

El algoritmo de Berlekamp para factorizar en Z/Zp[x] data de 1967, fecha depublicación del artículo en donde se detallaba. Se basa en una idea sencilla, ygracias a eso y a su efectividad, ha sido desde entonces uno de los más utilizados,tanto para programar como para servir de ejemplo de algoritmo de factorizaciónen característica positiva. La idea de la que hablábamos se presenta en el siguienteteorema.

Teorema de Berlekamp

Sea f(x) ∈ Z/Zp[x] de grado n, sin factores múltiples y mónico,y supongamos que existe un polinomio g(x) tal que

f(x)| (g(x)p − g(x)) .

Entonces

f(x) =

p−1∏

s=0

mcd(f(x), g(x)− s),

aunque varios de estos factores pueden ser polinomios constantes.

PRUEBA: Si hacemos memoria del no tan lejano capítulo anterior, recordaremosque en Z/Zp teníamos que

xp − x =

p−1∏

s=0

(x− s),

lo cual en particular implica que

g(x)p − g(x) =

p−1∏

s=0

(g(x)− s).

Hay que decir que todos estos factores son primos entre sí al diferenciarse en unaconstante.

Probemos entonces la igualdad que hemos enunciado. Por un lado, no es nadadificultoso ver que

p−1∏

s=0

mcd(f(x), g(x)− s)|f(x),

124

pues todos los elementos de la izquierda dividen a f(x) y como los g(x)− s sonprimos entre sí también lo serán los divisores comunes.

En el otro sentido, si tomamos un factor irreducible de f(x), pongamos h(x),debe dividir a g(x)p − g(x), luego dividirá también a alguno de los g(x)− s y, deigual modo a mcd(f(x), g(x)− s).

En conclusión, los dos miembros de la igualdad se dividen mutuamente y alser mónicos, son iguales. �

A partir de aquí, la factorización de f(x) ∈ Z/Zp[x] queda reducida por unlado a encontrar g(x) de grado r < n tal que

f(x)|(g(x)p − g(x)),

y posteriormente a aplicar el algoritmo de Euclides p veces. Notemos entoncesque por estar en característica positiva y por el pequeño teorema de Fermat,

si g(x) =n−1∑

i=0

aixi , entonces gp(x) =

n−1∑

i=0

aixip.

Vamos entonces a buscar un tal polinomio g(x) (concretamente, vamos a bus-car sus coeficientes a0, . . . , an−1). Dividamos así los monomios xip entre f(x),que al tener grado n obtendremos

x0p = q0(x)f(x) + r0(x) = q0(x)f(x) + r00 + r10x1 + . . .+ rn−1,0x

n−1

x1p = q1(x)f(x) + r1(x) = q1(x)f(x) + r01 + r11x1 + . . .+ rn−1,1x

n−1

...

x(n−1)p = qn−1(x)f(x) + rn−1(x) = qn−1(x)f(x) + r0,n−1 + r1,n−1x1 + . . .+ rn−1,n−1x

n−1

Por la unicidad de la división euclídea, el resultado de dividir gp(x) entre f(x) esel dado por la expresión

gp(x) =n−1∑

i=0

aixip =

(

n−1∑

i=0

aiqi(x)

)

f(x) +n−1∑

i=0

airi(x),

y por el mismo motivo, el de dividir gp(x)− g(x) entre f(x) es

gp(x)−g(x) =

n−1∑

i=0

aixip−

n−1∑

i=0

aixi =

(

n−1∑

i=0

aiqi(x)

)

f(x)+

n−1∑

i=0

(airi(x)−aixi).

125

Por consiguiente, g(x) verifica lo que queremos si y sólo si

0 =

n−1∑

i=0

(airi(x)− aixi),

o escrito en forma matricial, tomando la matriz de orden n × n R = (rij), si ysólo si

(a0, . . . , an−1)t es solución del sistema (R− In)x = 0.

Así, gracias al algoritmo de Berlekamp, factorizar en Z/Zp[x] se reduce aresolver ciertos sistemas de ecuaciones lineales y aplicar el algoritmo de Euclides,operaciones ambas que se pueden realizar de manera muy eficiente.

Algoritmo de Berlekamp

Para factorizar un polinomio f(x) ∈ Z/Zp[x] de grado n.Para cada i = 0, . . . , n − 1, efectúe las divisiones de xip entref(x) para obtener los restos

r(x) = r0i + r1ix1 + . . .+ rn−1,ix

n−1.

Construya la matriz R = (rij), y plantee el sistema lineal

(R − In)x = 0.

Si el sistema no tiene solución, f(x) es irreducible. Si tiene unasolución (a0, . . . , an−1)

t que represente a un polinomio no cons-tante, f(x) se descompone como

p−1∏

s=0

mcd(

f(x), (a0 − s) + a1x+ . . .+ an−1xn−1)

.

Ejemplo 4.9.2. Ilustremos también este método con el mismo polinomio que elanterior ejemplo, pero considerado en Z/Z3[x]. Sea así f(x) = x4+x3+x+2 ∈Z/Z3[x]. Dividimos determinadas potencias de x entre f(x) y obtenemos:

1 = q0(x)f(x) + r0(x) = 0 · f(x) + 1

x3 = q1(x)f(x) + r1(x) = 0 · f(x) + x3

x6 = q1(x)f(x) + r1(x) = q2(x)f(x) + 1 + x+ 2x2 + x3

x9 = q1(x)f(x) + r1(x) = q3(x)f(x) + x

126

Los cocientes no los hemos indicado todos porque sólo nos interesan los restospara formar la matriz. En nuestro caso,

R =

1 0 1 00 0 1 10 0 2 00 1 1 0

.

El sistema lineal en Z/Z3[x] que tenemos que resolver es

0 0 1 00 2 1 10 0 1 00 1 1 2

x = 0,

que tiene como solución cualquier vector de la forma x = (α, β, 0, β)t, dondeα, β ∈ Z/Z3. Si tomamos α = 1, β = 0, obtenemos la constante 1, que obvia-mente cumple que f(x)|13 − 1 = 0. Escogiendo pues α = 0, β = 1 conseguimosla descomposición

f(x) = mcd(f(x), x3+x)mcd(f(x), x3+x+1)mcd(f(x), x3+x+2) = (x2+1)(x2+x+2)·1.

4.10 El teorema fundamental del álgebra*

El contenido de esta sección está tomado del artículo The Fundamental Theorem

of Algebra and Linear Algebra, de Harm Derksen, publicado en el American Mat-hematical Monthly 110 (2003), número 7, páginas 620-623. El objetivo que per-seguimos es dar una prueba del teorema fundamental del álgebra con argumentospuramente algebraicos y a la vez asequible al lector que no tenga un conocimientoprofundo de esta materia, pues solamente usa algunas nociones de álgebra lineal.

Teorema fundamental del álgebra

Todo polinomio no constante de C[x] tiene una raíz en C.

Si de algo no se puede quejar alguien que se acerque por primera vez al teo-rema que nos ocupa, es por falta de demostraciones. Existe una cantidad con-siderable de pruebas distintas, y usando técnicas variopintas. Desde la primera,

127

elaborada por Gauss en su tesis doctoral de 1799 (aunque con algún fallo en elrigor matemático), hasta esta que aquí expondremos, existen pruebas topológicas,usando propiedades de la curva compleja que describe un polinomio, pruebas ana-líticas, que utilizan el teorema de Liouville de que toda función entera es acotada,pruebas algebraicas, basándose en la teoría de Galois entre otras herramientas, oincluso mixturas de los tres tipos anteriores.

Vayamos, sin más dilación, al desarrollo de la prueba. Para ello, definamos lapropiedad Pk,r(d), donde k es un cuerpo, R o C, y r = 1, 2. Su enunciado es elsiguiente:

Pk,r(d): Dados r endomorfismosAi que conmuten entre todos de un k-espacio

vectorial V de dimensión n, no divisible por d, existe un autovector no nulo que

es común a todos ellos.

Para probar el teorema, bastaría con demostrar que se cumple la propiedadPC,1(2

r) para todo r ∈ N. Así, para cualquier polinomio (que podemos suponermónico sin problema) no constante f(x) ∈ C[x], se tiene que

f(x) = xn+an−1xn−1+. . .+a0 = det(xIn−A) , con A =

0 0 · · · 0 −a01 0 · · · 0 −a1...

.... . .

......

0 0 · · · 1 −an−1

Como A representa a un endomorfismo de C y existe algún r tal que 2r no dividea n, A tendría un autovector no nulo. Su autovalor asociado sería raíz de f(x), yhabríamos acabado. �

Así pues, para probar PC,1(2r) seguiremos el camino marcado a través de

diversos lemas, cada uno apoyándose en los anteriores. Como en la demostraciónde arriba, denotaremos por Ai tanto a un endomorfismo como a su matriz asociada.

Lema 4.10.1. Si se tiene Pk,1(d), también se cumple Pk,2(d).

PRUEBA: Sean A1 y A2 dos endomorfismos que conmutan de un k-espaciovectorial V de dimensión n no divisible por d. Vamos a probar por inducción enn que tienen un autovector en común. Si n = 1, cada Ai no es más que la multi-plicación por una constante, y todos los vectores de V son propios, siendo trivialel aserto. Supongamos pues que también es cierto si dimV < n, y veámoslo paradimV = n.

Como Pk,1(d) se cumple, A1 tiene un autovalor λ ∈ k. Sean W y Z, res-pectivamente, el núcleo y la imagen del endomorfismo A2 − λI . Como A1 y A2

conmutan, W y Z permanecen fijos por A1.

128

Supongamos que W 6= V . Entonces, como dimW + dimZ = dimV , d no divi-dirá a al menos alguna de las dos dimensiones, y además ambas son menores quen. Por tanto, por la hipótesis de inducción, A1 y A2 compartirán un autovector nonulo directamente en W o en Z.Si W = V , cualquier vector propio de A1 v cumple que A2v = λv, luego tambiéntenemos la propiedad. �

Lema 4.10.2. Si k = R, Pk,r(2) son ciertas para r = 1, 2.

PRUEBA: Por el lema anterior bastaría probar que PR,1(2) es cierta, esto es,que todo endomorfismo de un espacio vectorial sobre R de dimensión impar tieneun autovector no nulo, pero eso es equivalente a que su polinomio característicof(x) = det(xI−A) tenga alguna raíz en R. Ahora bien, f(x) es un polinomio degrado impar con coeficientes reales, y ya hemos visto que siempre tiene al menosuna raíz real. �

Lema 4.10.3. Todo endomorfismo de un C-espacio vectorial de dimensión impar

tiene un autovector no nulo, esto es, PC,1(2) se cumple.

PRUEBA: Sea A : Cn → Cn un endomorfismo con n impar, y sea V =Hermn(C), el R-espacio vectorial de las matrices hermíticas (aquellas que A∗ =

At= A) de orden n× n. Consideremos los siguientes endomorfismos R-lineales

de V definidos como:

L1(B) =AB +BA∗

2, L2(B) =

AB − BA∗

2i.

Ver que L1 y L2 están bien definidos y conmutan es un cálculo bien sencillo y nolo escribiremos en estas líneas.

Sabemos que dimR V = n2, que es impar. Entonces, por el lema anterior, L1

y L2 comparten un autovector no nulo al cumplirse PR,2(2). Sea B ese autovectoren V , cuyos valores propios asociados sean λ y µ respectivamente. En ese caso,

(L1 + iL2)(B) = AB = (λ+ µi)B,

luego cualquier columna no nula de B constituirá uno de los autovectores busca-dos para A. �

Ya hemos acabado el ensamblaje de lemas previos al resultado que nos bastabapara probar el teorema fundamental del álgebra. Como el lector interesado (puesya por llegar hasta aquí ha demostrado un interés digno de mención) podrá ver,no hemos usado más que algunas propiedades básicas de espacios vectoriales y

129

matrices, asequibles a cualquier alumno con nociones básicas de álgebra lineal yque, evidentemente, presuponemos aquí, pues no es competencia de este texto elexplicar dichas nociones, sin que eso signifique ningún menoscabo a ellas. Perono nos alejemos del tema que nos ocupa y demostremos la proposición siguiente.

Proposición 4.10.4. Para todo r ∈ N se cumple PC,1(2r).

PRUEBA: Se hará por inducción en r. Si r = 1 es el enunciado del lemaanterior, así que supongamos como hipótesis de inducción que tenemos PC,1(2

l),con l < r.Tomemos pues un endomorfismo C-lineal A : Cn → Cn, con n divisible por 2r−1

pero no por 2r. Esto lo podemos asumir, puesto que si n no fuera divisible por2r−1 estaríamos en el caso de probar PC,1(2

r−1). Sea V = Antn(C) el C-espaciovectorial de las matrices antisimétricas con coeficientes complejos. Definamosdos endomorfismos de V , L1 y L2 como

L1(B) = AB −BAt , L2(B) = ABAt.

De nuevo, no probaremos que están bien definidos ni que conmutan entre ellos, yse lo dejaremos al lector con afán de comprobación.

Notemos que 2r−1 no divide a dimV , que es igual a n(n − 1)/2. Por tanto,por la hipótesis de inducción, existe un vector propio B común a L1 y L2. Seansus autovalores asociados λ y µ, respectivamente. Así,

µB = ABAt = A(AB− λB),

es decir,(A2 − λA− µI)B = 0.

Sea v un vector columna de B, y sean α y β las dos raíces complejas del polinomiox2 − λx − µ, que sí que sabemos que tiene raíces en C, porque es de grado 2. Sillamamos w = (A − βI)v y es no nulo, tenemos que (A− αI)w = 0, y hemosterminado, siendo w el autovector que buscábamos. Si w = 0 eso querría decirque (A− βI)v = 0, siendo v el vector propio buscado. �

130