Post on 05-Jul-2015
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ÁLGEBRA SUPERIOR
ELABORADO Y REVISADO POR LOS PROFESORES DE LA MATERIA EN EL 2007
Martha G. Canales LeyvaRocío Patricia Rivas Llanas
Leticia Lizette Espinosa Fahl
Joaquín Gilberto Treviño Dávila
José Santos García
Claudio Hiram Carmona Jurado
Abraham Leonel López León
Carlos Alfonso Gameros Morales
Kluis Roberto Fernández Guillén
Arturo Córdova González
Ph. D. Martha G. Canales Leyva
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OBJETIVO DEL CURSO
Establecer el conocimiento algebraico desarrollado en este programa como base para las demás materias que son los fundamentos sólidos del área de Ingeniería.
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NÚMEROS COMPLEJOS Antecedentes de conocimientos, actitudes o habilidades
Lectura comprensiva Concepto de número complejo Representación de un número complejo en el plano
cartesiano Conjuntos de números Cálculo de un ángulo usando arco tangente Funciones seno y coseno Graficar en el plano cartesiano Concepto de par ordenado
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NÚMEROS COMPLEJOS4.1. Números Complejos
Definición
Es un número que esta formado por dos partes, una parte real y otra parte imaginaria y se expresa en varias notaciones.
Generalmemte se usa la letra “z” para nombrarlos.
Forma Cartesiana
z = a + b iDonde a y b son números reales e i = √ -1 es la unidad imaginaria.
“a” es la parte real y “bi” la parte imaginaria
Ejemplo z1 = 4 + 3i z2 = -2 + 2 i 4
NÚMEROS COMPLEJOS4.1. Números Complejos
Conjugado de un número complejo
El conjugado de un número complejo z1 = a + b i se define como
El conjugado es z1 = a - b iEjemplo z1 = 7 – 5 i z1 = 7 + 5 i
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NÚMEROS COMPLEJOS4.1. Números Complejos
Imaginario Puro y Real Puro
Cuando a = 0 queda z1 = 0 + b iY se denomina Imaginario PuroEjemplo z1 = – 5 iPor otra parte si b = 0 se tiene un Real PuroEjemploz2 = 7 + 0 i z2 = 7
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NÚMEROS COMPLEJOS4.2. Números Complejos en forma Cartesiana
Representación Cartesiana
Utilizando los dos ejes cartesianos, el eje vertical corresponde a la parte imaginaria y el eje horizontal corresponde a la parte real.
Los números complejos se pueden representar como puntos del
par ordenado.
z1 = a + b i = (a,b)
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NÚMEROS COMPLEJOS4.2. Números Complejos en forma Cartesiana
Ejemplos
z1 = 3 + 6 i P1 (3,6)
z2 = -2 + 4 i P2 (-2,4)
z3 = -3 – 1 i P3 (-3,-1)
z4 = 2 – 3 i P4 (2,-3)
R
Ι
•
•
•
•
8
NÚMEROS COMPLEJOS4.2. Números Complejos en forma Cartesiana
Ejemplos
Si i = √ -1 es la unidad imaginaria
ii2
=i i = √ -1 √ -1 =-1
i3 =i2
i = -1 i =- i
i4 = i2 i2
= (-1) (-1) = 1
i5 = i4 i
= 1 i = i
Y asi sucesivamente...
R
Ι
i
i2
i4
i3
•
•
•
•
9
NÚMEROS COMPLEJOS4.1. Números Complejos
Representación cartesiana de los números Imaginario Puro y Real Puro
El imaginario puro se ubica sobre el eje de la Ι y el real puro sobre el eje R
Ejemplo z2 = 3 i
z3 = -2
z4 = 4
z1 = – 5 i
•
•
•
•
Ι
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NÚMEROS COMPLEJOS4.2. Números Complejos en forma Cartesiana
Con los números complejos representados en la forma Cartesiana se pueden realizar las siguientes operaciones:
Suma Resta Multiplicación División Potencia
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NÚMEROS COMPLEJOS 4.2. Números Complejos en forma Cartesiana
Suma
Sean los dos números complejos
z1 = a1 + b1 i
z2 = a2 + b2 i
Se define la suma de dos números complejos como
z3 = z1 + z2 =( a1 + a2) + ( b1 + b2 ) i
Ejemplo Sean z1 = 7 -2 i z2 = -3 +8 i
z 3 = z1 + z2 =( 7-3) +(-2+8)i = 4 +4i 12
NÚMEROS COMPLEJOS 4.2. Números Complejos en forma Cartesiana
Resta
Sean los dos números complejos
z1 = a1 + b1 i
z2 = a2 + b2 i
Se define la resta de dos núumeros complejos como
z3 = z1 - z2 =( a1 - a2 ) + ( b1 - b2 ) i
Ejemplo z1 =17 -2 i z2 = -3 +28 i
z 3 = z1 - z2 =( 17-(-3)) +(-2-28)i = 20 - 30i
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NÚMEROS COMPLEJOS 4.2. Números Complejos en forma Cartesiana
Multiplicación
Sean los dos números complejosz1 = ( a1 + b1 i )
z2 = ( a2 + b2 i )
Se define la multiplicación de dos números complejos comoz3 = z1z2 =( a1a2 –b1b2 ) + (a1 b2 + a2b1) i Ejemplo Sean z1 = 5 -2 i z2 = -3 +4 i z 3 = z1 z2 =( 5 (-3) – (-2)4) + (5(4) + (-3)(-2)) = -7 + 26i
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NÚMEROS COMPLEJOS 4.2. Números Complejos en forma Cartesiana
Multiplicación
Ejemplo Sean z1 = 5 -2 i z1 = 5 + 2
z 3 = z1 z2 =( 5 (5) – (-2)2) + (5(2) + (5)(-2)) = 25 +4= 29
La multipliación de un número complejo por su conjugado es igual a la suma de los cuadrados de las partes reales, quedando como resultado un Real Puro.
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NÚMEROS COMPLEJOS 4.2. Números Complejos en forma Cartesiana
División
Sean los dos números complejosz1 = a1 + b1 i
z2 = a2 + b2 i
Se define la división aplicando la multiplicación por la unidad, formando dicha unidad con el conjugado de z2 para obtener un real en el denominador
z3 = = = 2
1
zz
2
2
zz
2
1
zz
)b(a i )ba - b (a ) bb aa (
2
2
2
2
21122121
+++
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NÚMEROS COMPLEJOS 4.2. Números Complejos en forma Cartesiana
Ejemplo
Sean los dos números complejosz1 = 2 + 3 i
z2 = -4 +1 i
z3 = = =
=-5/17 – 14/17 i
2
1
zz
)(1) (-4) ( i 2(1))- ((-4)3 3(1)) (2(-4)
22 +++
)b(a i )ba - b (a ) bb aa (
22
2
22
2
21122121
+++
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NÚMEROS COMPLEJOS 4.2. Números Complejos en forma Cartesiana
Potencia
Sea el número complejoz1 = a1 + b1 i
Se define la potencia con base a la multilicaciónz2
n = (a1 + b1 i) n
= (a1 + b1 i) (a1 + b1 i) (a1 + b1 i) ..... (a1 + b1 i)
Ejemplo z1 = -5 + 3 i
z2 = z13
= ( -5 + 3 i )3 = ( -5 + 3 i )( -5 + 3 i )( -5 + 3 i )
= 10 + 198 i 18
NÚMEROS COMPLEJOS4.3. Números Complejos en Forma Polar
Números Complejos en forma Polar
Se enuncia un número complejo en la forma polar como:
Z1 = r1(Cos θ 1+ i Sen θ 1 )
En donde:
Módulo r1 = (a2 + b2) ½
Amplitud o argumento θ 1 = arc tan (b/a)
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NÚMEROS COMPLEJOS4.3. Números Complejos en Forma Polar
Representación Polar
Para graficar en la notación Polar, solo es necesario un eje, que es R.
Z1 = r1(Cos θ 1+ i Sen θ 1 )
En donde:
r1 = (a2 + b2) ½
θ 1 = arc tan (b/a)
a
bθ
R
Ι
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NÚMEROS COMPLEJOS 4.3. Números Complejos en Forma Polar
Operaciones con los números complejos expresados en forma polar
• Multiplicación• División• Potencia• Raíces
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NÚMEROS COMPLEJOS 4.3. Números Complejos en Forma Polar
Multiplicación de números complejos expresados en forma polar
Sean los dos números complejosz1 =r1 ( Cos θ 1+ i Sen θ 1 )
z2 =r2 ( Cos θ 2+ i Sen θ 2 )
Se define la multiplicación comoz3 = z1 z2 = r1 r2 (Cos ( θ 1+ θ 2) + i Sen ( θ 1 + θ 2) )
Ejemplo z1 = 5( Cos 10 º + i Sen10º ) z2 =3 ( Cos 15 º + i Sen 15º )
Calcular z3 =z1 z2 = 5(3)((Cos (10+ 15))+ ( i Sen(10 + 15)))
z3 =15 ( Cos 25º + i Sen 25º ) 22
NÚMEROS COMPLEJOS 4.3. Números Complejos en Forma Polar
División de números complejos expresados en forma polar
Sean los dos números complejosz1 =r1 ( Cos θ 1+ i Sen θ 1 )
z2 =r2 ( Cos θ 2+ i Sen θ 2 )
Se define la división como z3 = z1 /z2 =( r1 / r2) (Cos ( θ 1 - θ 1) + i Sen ( θ 1 - θ 1) )
Ejemplo z1 =24 ( Cos 40º + i Sen 40º ) z3 =10 ( Cos 3º + i Sen3º )
Calcular z4 = z1 / z3 = (24-10) (( Cos (40-3)+ i Sen (40-3) ))
z4 = 2.4(( Cos37º + i Sen 37º ) 23
NÚMEROS COMPLEJOS 4.3. Números Complejos en Forma Polar
Potencia de números complejos expresados en forma polar
Sea el número complejo
z1 =r1 ( Cos θ 1+ i Sen θ 1 )
Se define la potencia como
( z3)n =(r1 ) n
(Cos (n θ 1) + i Sen ( n θ 1) )
Ejemplo Sea z1 = 2 ( Cos 30º + i Sen 30º )
z1 4 = (2( Cos 30º + i Sen 30º ))4 = 24
( Cos4(30) + i Sen 4(30) )
z1 4 =16 ( Cos 120º + i Sen 120º )
24
NÚMEROS COMPLEJOS 4.3. Números Complejos en Forma Polar
Raices de números complejos expresados en forma polar
La expresión para calcular la potencia de un número complejo, es la fórmula de Moivre, la cual es válida para todo valor real de n. Para valores fraccionarios corresponde a radicales.
Las n raíces enésimas de un número complejo se obtienen dando valores a k =0,1,2,3... n-1 en:
( z3)1/ n =(r1 ) 1/ n
(Cos ( ) + i Sen ( ) ) n360k 0
1 +θn360k 0
1 +θ
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NÚMEROS COMPLEJOS 4.3. Números Complejos en Forma Polar
Raices de números complejos expresados en forma polar ……
Ejemplo Sea z3 = 81( Cos 16º + i Sen 16º )
z4 =( z3)1/ 4 =(r ) 1/ n
(Cos (θ 1 +k 360o) / n) + i Sen ( θ 1 +k 360o) / n) )
Serán 4 raices para k con valores de 0,1,2,3Para k=0z1 =(81) 1/ 4
(Cos (16 +0( 360o)) /4) + i Sen (16 +0( 360o)) /4))
z1=3( Cos 4º + i Sen 4º )
Para k=1z2 =(81) 1/ 4
(Cos (16 +1( 360o)) /4) + i Sen (16 +1( 360o)) /4))
z2=3( Cos 94º + i Sen 94º ) 26
NÚMEROS COMPLEJOS 4.3. Números Complejos en Forma Polar
Raices de números complejos expresados en forma polar
Para k=2
z3=(81) 1/ 4 (Cos (16 +2( 360o)) /4) + i Sen (16 +2( 360o)) /4))
z3=3( Cos184º + i Sen 184º )
Para k=3
z4=(81) 1/ 4 (Cos (16 +3( 360o)) /4) + i Sen (16 +3( 360o)) /4))
z4=3( Cos 274º + i Sen 274º )
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NÚMEROS COMPLEJOS 4.3. Números Complejos en Forma Polar
Raices de números complejos expresados en forma polar
Ejemplo
Representadas las cuatro raices en el Eje Polar quedan
z1
z2
z3
z4
R
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NÚMEROS COMPLEJOS4.4. Coversión de forma Cartesiana a forma Polar y
viceversaForma Polar y forma Cartesiana
Para convertir considerar la definición de los números complejos en ambas formas.
z1 = r1(Cos θ 1+ i Sen θ 1 ) y z1 = a + bi En donde: Para la forma Cartesiana será:a= r1 Cos θ 1 b = r1 Sen θ 1
Para la forma Polar será: r1 = (a2 + b2) ½ θ 1 = arc tan (b/a)
a
bθ
R
Ιr
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NÚMEROS COMPLEJOS Bibliografía
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