MA3231 Pengantar Analisis Real

Semester II, Tahun 2016-2017

Hendra Gunawan, Ph.D.

Bab 6 Fungsi

2

Rene Descartes (1596-1650)

Rene Descartes adalahseorang filsuf & matematikawan Perancis, penemu sistem koordinatCartesius, yang terkenaldengan ucapannya “Cogito ergo sum.” Karya utamanyaadalah “Discours de la méthode” (1637) dan “La geometrie” (1637).

6.1 Fungsi dan Grafiknya

Sebuah fungsi dari himpunan A ke himpunan Badalah suatu aturan yang mengaitkan setiap 𝑥 ∈ 𝐴dengan sebuah elemen tunggal 𝑦 ∈ 𝐵, ditulis

𝑓 ∶ 𝐴 → 𝐵𝑥 ↦ 𝑦.

Elemen y yang terkait dengan x disebut peta dari x(di bawah f), ditulis 𝑦 = 𝑓(𝑥).

Bila 𝑓 𝑥 mempunyai rumus yang eksplisit, fungsif sering di-nyatakan sebagai persamaan 𝑦 = 𝑓 𝑥 .

4

Grafik Fungsi

Dalam kuliah ini, kita membatasi pembahasan padafungsi dari 𝐴 ⊆ ℝ ke 𝐵 ⊆ ℝ, yakni fungsi bernilaireal dengan peubah real.

Dalam hal ini, kita dapat menggambar grafik fungsi𝑓: 𝐴 → 𝐵 sebagai grafik persamaan 𝑦 = 𝑓 𝑥 padasistem koordinat Cartesius.

Definisi fungsi menjamin bahwa setiap garis vertikalyang memotong A akan memotong grafik tepat padasatu titik (tidak boleh lebih).

Himpunan A biasanya merupakan himpunan ter-besar pada mana f terdefinisi, yang disebut sebagaidaerah asal f.

2/26/2017 5(c) Hendra Gunawan

Grafik Fungsi y = x2

2/26/2017 (c) Hendra Gunawan 6

Daerah Asal, Peta, dan Daerah Nilai

Jika f adalah sebuah fungsi dari A ke B dan 𝐻 ⊆ 𝐴, maka kita katakan bahwa f terdefinisi pada H.

Jika f terdefinisi pada H, maka kita definisikan peta dariH di bawah f sebagai

𝑓 𝐻 ∶= {𝑓 𝑥 ∶ 𝑥 ∈ 𝐻}.

Dalam hal 𝐻 = 𝐴, himpunan 𝑓(𝐴) disebut sebagaidaerah nilai f.

Catatan. 𝑓(𝐴) tidak harus sama dengan B.

2/26/2017 (c) Hendra Gunawan 7

Ilustrasi: Peta dari H di bawah f

2/26/2017 (c) Hendra Gunawan 8

SOAL

Gambar grafik himpunan semua titik (𝑥, 𝑦) sedemikiansehingga

𝑦 = 5, 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑥 ≥ 1,2, 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑥 < 1.

Jelaskan mengapa grafik tersebut merupakan grafiksebuah fungsi R ke R.

Tentukan daerah nilainya.

Tentukan pula peta dari [1, 2] di bawah fungsi tersebut.

2/26/2017 (c) Hendra Gunawan 9

6.2 Fungsi Polinom dan Fungsi Rasional

Misalkan 𝑛 ∈ ℕ ∪ {0}. Fungsi 𝑝 𝑥 = 𝑎0 + 𝑎1𝑥 +⋯+ 𝑎𝑛𝑥

𝑛 dengan koefisien 𝑎𝑛 ≠ 0 disebut fungsipolinom berderajat n. Daerah asal polinom apapunadalah R.

Fungsi 𝑓 𝑥 =𝑃 𝑥

𝑄 𝑥dengan P dan Q polinom

disebut fungsi rasional. Daerah asalnya adalah𝑥 ∈ ℝ ∶ 𝑄 𝑥 ≠ 0 .

Sebagai contoh, fungsi 𝑓 𝑥 =𝑥−1

𝑥2+1adalah fungsi

rasional, dengan daerah asal R.

2/26/2017 (c) Hendra Gunawan 10

6.3 Operasi pada Fungsi; Funsi Invers

Misalkan 𝑓, 𝑔 ∶ 𝐴 → ℝ. Kita definisikan

- jumlah:𝑓 + 𝑔 𝑥 ≔ 𝑓 𝑥 + 𝑔 𝑥 , 𝑥 ∈ 𝐴.

- hasil kali dengan skalar:𝜆𝑓 𝑥 ≔ 𝜆 ⋅ 𝑓 𝑥 , 𝑥 ∈ 𝐴.

- hasil kali:𝑓𝑔 𝑥 ≔ 𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 , 𝑥 ∈ 𝐴.

- hasil bagi:𝑓

𝑔𝑥 ≔

𝑓 𝑥

𝑔 𝑥, 𝑥 ∈ 𝐴, 𝑔 𝑥 ≠ 0.

2/26/2017 (c) Hendra Gunawan 11

Fungsi Komposisi

Misalkan 𝐴, 𝐵 ⊆ ℝ, 𝑔 ∶ 𝐴 → 𝐵, dan 𝑓: 𝐵 → ℝ. Kita definisikan fungsi komposisi 𝑓 ∘ 𝑔 ∶ 𝐴 → ℝ sebagai

𝑓 ∘ 𝑔 𝑥 ≔ 𝑓 𝑔 𝑥 , 𝑥 ∈ 𝐴.

Perhatikan bahwa utk setiap 𝑥 ∈ 𝐴, kita mempunyai

𝑥 ↦ 𝑔 𝑥 ↦ 𝑓(𝑔(𝑥)).

Di sini fungsi 𝑔 beroperasi terlebih dahulu terhadap𝑥, dan setelah itu fungsi 𝑓 beroperasi terhadap 𝑔(𝑥).

12

Fungsi Invers (1)

Misalkan A dan B adalah himpunan dan f adalahfungsi dari A ke B. Ini berarti bahwa bahwa setiapanggota 𝑎 ∈ 𝐴 mempunyai sebuah peta tunggal𝑏 = 𝑓 𝑎 ∈ 𝐵.

Kita sebut 𝑓−1fungsi invers dari f apabila 𝑓−1

merupakan fungsi dari B ke A dengan sifat

𝑥 = 𝑓−1(𝑦) jika dan hanya jika 𝑦 = 𝑓(𝑥).

Tidak semua fungsi mempunyai fungsi invers.

13

Fungsi Invers (2)

Dari definisi tadi jelas bahwa 𝑓: 𝐴 → 𝐵 mempunyaifungsi invers 𝑓−1: 𝐵 → 𝐴 jika dan hanya jika setiap𝑏 ∈ 𝐵 merupakan peta dari sebuah anggota tunggal𝑎 ∈ 𝐴. Fungsi dengan sifat ini disebut sebagai suatukorespondensi 1-1 antara A dan B.

Dari grafiknya, 𝑓: 𝐴 → 𝐵 merupakan korespondensi1-1 antara A dan B jika dan hanya jika setiap garisvertikal yang memotong A juga memotong grafik ftepat pada sebuah titik dan setiap garis horisontalyang memotong B juga akan memotong grafik f tepatpada sebuah titik.

14

SOAL

Misalkan 𝑓 ∶ 0,1 → [0,1] didefinisikan sebagai

𝑓 𝑥 =1 − 𝑥

1 + 𝑥, 0 ≤ 𝑥 ≤ 1,

dan 𝑔: 0,1 → [0,1] didefinisikan sebagai

𝑔 𝑥 = 4𝑥 − 4𝑥2, 0 ≤ 𝑥 ≤ 1.

Tentukan aturan untuk 𝑓 ∘ 𝑔 dan 𝑔 ∘ 𝑓.

Apakah mereka sama?

15

6.4 Fungsi Terbatas

Misalkan f terdefinisi pada H. Kita katakan bahwa fterbatas di atas pada H oleh suatu batas atas Mapabila untuk tiap 𝑥 ∈ 𝐻 berlaku

𝑓 𝑥 ≤ 𝑀.

Ini setara dengan mengatakan bahwa himpunan

𝑓 𝐻 = {𝑓 𝑥 ∶ 𝑥 ∈ 𝐻}

terbatas di atas oleh M.

16

Nilai Maksimum Fungsi

Jika f terbatas di atas pada H, maka menurut SifatKelengkapan 𝑓(𝐻) mempunyai supremum. Misalkan

𝑀 ≔ sup𝑥∈𝐻

𝑓(𝑥) = sup 𝑓(𝐻).

Secara umum, belum tentu terdapat 𝑐 ∈ 𝐻 sehingga𝑓(𝑐) = 𝑀. Jika terdapat 𝑐 ∈ 𝐻 sehingga 𝑓(𝑐) = 𝑀, maka M disebut sebagai nilai maksimum f pada Hdan nilai maksimum ini tercapai di c.

Fungsi terbatas di bawah dan nilai minimumdidefinisikan secara analog.

17

Fungsi Terbatas

Fungsi yang terbatas di atas dan terbatas di bawahdisebut fungsi terbatas (pada daerah asalnya).

Menurut proposisi, f terbatas pada A jika dan hanyajika terdapat K > 0 sedemikian sehingga

𝑓 𝑥 ≤ 𝐾, 𝑥 ∈ 𝐴.

18

SOAL

Selidiki apakah fungsi 𝑓: 0,1 → [0,1] yang didefinisikan sebagai

𝑓 𝑥 =1 − 𝑥

1 + 𝑥, 0 ≤ 𝑥 ≤ 1,

terbatas serta mencapai nilai maksimum danminimumnya.

19