MA3231 Pengantar Analisis Real · Sebuah fungsi dari himpunan A ke himpunan B ... Definisi fungsi...

19
MA3231 Pengantar Analisis Real Semester II, Tahun 2016-2017 Hendra Gunawan, Ph.D.

Transcript of MA3231 Pengantar Analisis Real · Sebuah fungsi dari himpunan A ke himpunan B ... Definisi fungsi...

Page 1: MA3231 Pengantar Analisis Real · Sebuah fungsi dari himpunan A ke himpunan B ... Definisi fungsi menjamin bahwa setiap garis vertikal yang memotong A akan memotong grafik tepat pada

MA3231 Pengantar Analisis Real

Semester II, Tahun 2016-2017

Hendra Gunawan, Ph.D.

Page 2: MA3231 Pengantar Analisis Real · Sebuah fungsi dari himpunan A ke himpunan B ... Definisi fungsi menjamin bahwa setiap garis vertikal yang memotong A akan memotong grafik tepat pada

Bab 6 Fungsi

2

Page 3: MA3231 Pengantar Analisis Real · Sebuah fungsi dari himpunan A ke himpunan B ... Definisi fungsi menjamin bahwa setiap garis vertikal yang memotong A akan memotong grafik tepat pada

Rene Descartes (1596-1650)

Rene Descartes adalahseorang filsuf & matematikawan Perancis, penemu sistem koordinatCartesius, yang terkenaldengan ucapannya “Cogito ergo sum.” Karya utamanyaadalah “Discours de la méthode” (1637) dan “La geometrie” (1637).

Page 4: MA3231 Pengantar Analisis Real · Sebuah fungsi dari himpunan A ke himpunan B ... Definisi fungsi menjamin bahwa setiap garis vertikal yang memotong A akan memotong grafik tepat pada

6.1 Fungsi dan Grafiknya

Sebuah fungsi dari himpunan A ke himpunan Badalah suatu aturan yang mengaitkan setiap 𝑥 ∈ 𝐴dengan sebuah elemen tunggal 𝑦 ∈ 𝐵, ditulis

𝑓 ∶ 𝐴 → 𝐵𝑥 ↦ 𝑦.

Elemen y yang terkait dengan x disebut peta dari x(di bawah f), ditulis 𝑦 = 𝑓(𝑥).

Bila 𝑓 𝑥 mempunyai rumus yang eksplisit, fungsif sering di-nyatakan sebagai persamaan 𝑦 = 𝑓 𝑥 .

4

Page 5: MA3231 Pengantar Analisis Real · Sebuah fungsi dari himpunan A ke himpunan B ... Definisi fungsi menjamin bahwa setiap garis vertikal yang memotong A akan memotong grafik tepat pada

Grafik Fungsi

Dalam kuliah ini, kita membatasi pembahasan padafungsi dari 𝐴 ⊆ ℝ ke 𝐵 ⊆ ℝ, yakni fungsi bernilaireal dengan peubah real.

Dalam hal ini, kita dapat menggambar grafik fungsi𝑓: 𝐴 → 𝐵 sebagai grafik persamaan 𝑦 = 𝑓 𝑥 padasistem koordinat Cartesius.

Definisi fungsi menjamin bahwa setiap garis vertikalyang memotong A akan memotong grafik tepat padasatu titik (tidak boleh lebih).

Himpunan A biasanya merupakan himpunan ter-besar pada mana f terdefinisi, yang disebut sebagaidaerah asal f.

2/26/2017 5(c) Hendra Gunawan

Page 6: MA3231 Pengantar Analisis Real · Sebuah fungsi dari himpunan A ke himpunan B ... Definisi fungsi menjamin bahwa setiap garis vertikal yang memotong A akan memotong grafik tepat pada

Grafik Fungsi y = x2

2/26/2017 (c) Hendra Gunawan 6

Page 7: MA3231 Pengantar Analisis Real · Sebuah fungsi dari himpunan A ke himpunan B ... Definisi fungsi menjamin bahwa setiap garis vertikal yang memotong A akan memotong grafik tepat pada

Daerah Asal, Peta, dan Daerah Nilai

Jika f adalah sebuah fungsi dari A ke B dan 𝐻 ⊆ 𝐴, maka kita katakan bahwa f terdefinisi pada H.

Jika f terdefinisi pada H, maka kita definisikan peta dariH di bawah f sebagai

𝑓 𝐻 ∶= {𝑓 𝑥 ∶ 𝑥 ∈ 𝐻}.

Dalam hal 𝐻 = 𝐴, himpunan 𝑓(𝐴) disebut sebagaidaerah nilai f.

Catatan. 𝑓(𝐴) tidak harus sama dengan B.

2/26/2017 (c) Hendra Gunawan 7

Page 8: MA3231 Pengantar Analisis Real · Sebuah fungsi dari himpunan A ke himpunan B ... Definisi fungsi menjamin bahwa setiap garis vertikal yang memotong A akan memotong grafik tepat pada

Ilustrasi: Peta dari H di bawah f

2/26/2017 (c) Hendra Gunawan 8

Page 9: MA3231 Pengantar Analisis Real · Sebuah fungsi dari himpunan A ke himpunan B ... Definisi fungsi menjamin bahwa setiap garis vertikal yang memotong A akan memotong grafik tepat pada

SOAL

Gambar grafik himpunan semua titik (𝑥, 𝑦) sedemikiansehingga

𝑦 = 5, 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑥 ≥ 1,2, 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑥 < 1.

Jelaskan mengapa grafik tersebut merupakan grafiksebuah fungsi R ke R.

Tentukan daerah nilainya.

Tentukan pula peta dari [1, 2] di bawah fungsi tersebut.

2/26/2017 (c) Hendra Gunawan 9

Page 10: MA3231 Pengantar Analisis Real · Sebuah fungsi dari himpunan A ke himpunan B ... Definisi fungsi menjamin bahwa setiap garis vertikal yang memotong A akan memotong grafik tepat pada

6.2 Fungsi Polinom dan Fungsi Rasional

Misalkan 𝑛 ∈ ℕ ∪ {0}. Fungsi 𝑝 𝑥 = 𝑎0 + 𝑎1𝑥 +⋯+ 𝑎𝑛𝑥

𝑛 dengan koefisien 𝑎𝑛 ≠ 0 disebut fungsipolinom berderajat n. Daerah asal polinom apapunadalah R.

Fungsi 𝑓 𝑥 =𝑃 𝑥

𝑄 𝑥dengan P dan Q polinom

disebut fungsi rasional. Daerah asalnya adalah𝑥 ∈ ℝ ∶ 𝑄 𝑥 ≠ 0 .

Sebagai contoh, fungsi 𝑓 𝑥 =𝑥−1

𝑥2+1adalah fungsi

rasional, dengan daerah asal R.

2/26/2017 (c) Hendra Gunawan 10

Page 11: MA3231 Pengantar Analisis Real · Sebuah fungsi dari himpunan A ke himpunan B ... Definisi fungsi menjamin bahwa setiap garis vertikal yang memotong A akan memotong grafik tepat pada

6.3 Operasi pada Fungsi; Funsi Invers

Misalkan 𝑓, 𝑔 ∶ 𝐴 → ℝ. Kita definisikan

- jumlah:𝑓 + 𝑔 𝑥 ≔ 𝑓 𝑥 + 𝑔 𝑥 , 𝑥 ∈ 𝐴.

- hasil kali dengan skalar:𝜆𝑓 𝑥 ≔ 𝜆 ⋅ 𝑓 𝑥 , 𝑥 ∈ 𝐴.

- hasil kali:𝑓𝑔 𝑥 ≔ 𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 , 𝑥 ∈ 𝐴.

- hasil bagi:𝑓

𝑔𝑥 ≔

𝑓 𝑥

𝑔 𝑥, 𝑥 ∈ 𝐴, 𝑔 𝑥 ≠ 0.

2/26/2017 (c) Hendra Gunawan 11

Page 12: MA3231 Pengantar Analisis Real · Sebuah fungsi dari himpunan A ke himpunan B ... Definisi fungsi menjamin bahwa setiap garis vertikal yang memotong A akan memotong grafik tepat pada

Fungsi Komposisi

Misalkan 𝐴, 𝐵 ⊆ ℝ, 𝑔 ∶ 𝐴 → 𝐵, dan 𝑓: 𝐵 → ℝ. Kita definisikan fungsi komposisi 𝑓 ∘ 𝑔 ∶ 𝐴 → ℝ sebagai

𝑓 ∘ 𝑔 𝑥 ≔ 𝑓 𝑔 𝑥 , 𝑥 ∈ 𝐴.

Perhatikan bahwa utk setiap 𝑥 ∈ 𝐴, kita mempunyai

𝑥 ↦ 𝑔 𝑥 ↦ 𝑓(𝑔(𝑥)).

Di sini fungsi 𝑔 beroperasi terlebih dahulu terhadap𝑥, dan setelah itu fungsi 𝑓 beroperasi terhadap 𝑔(𝑥).

12

Page 13: MA3231 Pengantar Analisis Real · Sebuah fungsi dari himpunan A ke himpunan B ... Definisi fungsi menjamin bahwa setiap garis vertikal yang memotong A akan memotong grafik tepat pada

Fungsi Invers (1)

Misalkan A dan B adalah himpunan dan f adalahfungsi dari A ke B. Ini berarti bahwa bahwa setiapanggota 𝑎 ∈ 𝐴 mempunyai sebuah peta tunggal𝑏 = 𝑓 𝑎 ∈ 𝐵.

Kita sebut 𝑓−1fungsi invers dari f apabila 𝑓−1

merupakan fungsi dari B ke A dengan sifat

𝑥 = 𝑓−1(𝑦) jika dan hanya jika 𝑦 = 𝑓(𝑥).

Tidak semua fungsi mempunyai fungsi invers.

13

Page 14: MA3231 Pengantar Analisis Real · Sebuah fungsi dari himpunan A ke himpunan B ... Definisi fungsi menjamin bahwa setiap garis vertikal yang memotong A akan memotong grafik tepat pada

Fungsi Invers (2)

Dari definisi tadi jelas bahwa 𝑓: 𝐴 → 𝐵 mempunyaifungsi invers 𝑓−1: 𝐵 → 𝐴 jika dan hanya jika setiap𝑏 ∈ 𝐵 merupakan peta dari sebuah anggota tunggal𝑎 ∈ 𝐴. Fungsi dengan sifat ini disebut sebagai suatukorespondensi 1-1 antara A dan B.

Dari grafiknya, 𝑓: 𝐴 → 𝐵 merupakan korespondensi1-1 antara A dan B jika dan hanya jika setiap garisvertikal yang memotong A juga memotong grafik ftepat pada sebuah titik dan setiap garis horisontalyang memotong B juga akan memotong grafik f tepatpada sebuah titik.

14

Page 15: MA3231 Pengantar Analisis Real · Sebuah fungsi dari himpunan A ke himpunan B ... Definisi fungsi menjamin bahwa setiap garis vertikal yang memotong A akan memotong grafik tepat pada

SOAL

Misalkan 𝑓 ∶ 0,1 → [0,1] didefinisikan sebagai

𝑓 𝑥 =1 − 𝑥

1 + 𝑥, 0 ≤ 𝑥 ≤ 1,

dan 𝑔: 0,1 → [0,1] didefinisikan sebagai

𝑔 𝑥 = 4𝑥 − 4𝑥2, 0 ≤ 𝑥 ≤ 1.

Tentukan aturan untuk 𝑓 ∘ 𝑔 dan 𝑔 ∘ 𝑓.

Apakah mereka sama?

15

Page 16: MA3231 Pengantar Analisis Real · Sebuah fungsi dari himpunan A ke himpunan B ... Definisi fungsi menjamin bahwa setiap garis vertikal yang memotong A akan memotong grafik tepat pada

6.4 Fungsi Terbatas

Misalkan f terdefinisi pada H. Kita katakan bahwa fterbatas di atas pada H oleh suatu batas atas Mapabila untuk tiap 𝑥 ∈ 𝐻 berlaku

𝑓 𝑥 ≤ 𝑀.

Ini setara dengan mengatakan bahwa himpunan

𝑓 𝐻 = {𝑓 𝑥 ∶ 𝑥 ∈ 𝐻}

terbatas di atas oleh M.

16

Page 17: MA3231 Pengantar Analisis Real · Sebuah fungsi dari himpunan A ke himpunan B ... Definisi fungsi menjamin bahwa setiap garis vertikal yang memotong A akan memotong grafik tepat pada

Nilai Maksimum Fungsi

Jika f terbatas di atas pada H, maka menurut SifatKelengkapan 𝑓(𝐻) mempunyai supremum. Misalkan

𝑀 ≔ sup𝑥∈𝐻

𝑓(𝑥) = sup 𝑓(𝐻).

Secara umum, belum tentu terdapat 𝑐 ∈ 𝐻 sehingga𝑓(𝑐) = 𝑀. Jika terdapat 𝑐 ∈ 𝐻 sehingga 𝑓(𝑐) = 𝑀, maka M disebut sebagai nilai maksimum f pada Hdan nilai maksimum ini tercapai di c.

Fungsi terbatas di bawah dan nilai minimumdidefinisikan secara analog.

17

Page 18: MA3231 Pengantar Analisis Real · Sebuah fungsi dari himpunan A ke himpunan B ... Definisi fungsi menjamin bahwa setiap garis vertikal yang memotong A akan memotong grafik tepat pada

Fungsi Terbatas

Fungsi yang terbatas di atas dan terbatas di bawahdisebut fungsi terbatas (pada daerah asalnya).

Menurut proposisi, f terbatas pada A jika dan hanyajika terdapat K > 0 sedemikian sehingga

𝑓 𝑥 ≤ 𝐾, 𝑥 ∈ 𝐴.

18

Page 19: MA3231 Pengantar Analisis Real · Sebuah fungsi dari himpunan A ke himpunan B ... Definisi fungsi menjamin bahwa setiap garis vertikal yang memotong A akan memotong grafik tepat pada

SOAL

Selidiki apakah fungsi 𝑓: 0,1 → [0,1] yang didefinisikan sebagai

𝑓 𝑥 =1 − 𝑥

1 + 𝑥, 0 ≤ 𝑥 ≤ 1,

terbatas serta mencapai nilai maksimum danminimumnya.

19