Bab 2 Himpunan Dan Fungsi-sttb

8/18/2019 Bab 2 Himpunan Dan Fungsi-sttb

1/40

BAB 2 HIMPUNAN DAN FUNGSI

2.1 HIMPUNAN (SET)

• Himpunan ( set ) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda.

• Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota.

Cara Penyajian Himunan1. Enumerasi

Contoh 1.

- Himpunan empat bilangan asli pertama: A = {1, 2, 3,

4}.

- Himpunan lima bilangan genap positif pertama: B =

{4, 6, 8, 10}.

- C = {u!ing, a, "mir, 10, pau}- R = { a, b, {a, b, !}, {a, c} }

- C = {a, {a}, {{a}} }

- K = { {} }

- Himpunan 100 bua# bilangan asli pertama: {1, 2, ...,

100 }

- Himpunan bilangan bulat $itulis sebagai {%, -2, -1, 0,

1, 2, %}.

Keanggotaan

x ∈ A : x merupaan anggota #impunan A&

x ∉ A : x buan merupaan anggota #impunan A.


2/40

Contoh 2.

'isalan: A = {1, 2, 3, 4}, R = { a, b, {a, b, !}, {a,c} }

K = {{}}

'aa 3 A

( B {a, b, c} ∈ R

c ∉ R

{} ∈ K

{} ∉ R

Contoh 3. )ila P1 = {a, b}, P2 = { {a, b} }, P3 = {{{a,

b}}}, maa

a ∈ P1

a ∉ P2

P1 ∈ P2

P1 ∉ P3

P2 ∈ P3 2. Simbol-simbol Baku

P = #impunan bilangan bulat positif = { 1, 2,

3, ... }

N = #impunan bilangan alami *natural+ = { 1,

2, ... }


3/40

Z = #impunan bilangan bulat = { ..., -2, -1, 0, 1,

2, ... }

Q = #impunan bilangan rasional

R = #impunan bilangan riil

C = #impunan bilangan omples

• Himpunan ang uniersal: semesta, $isimbolan$engan .

/onto#: 'isalan = {1, 2, 3, 4, (} $an A a$ala##impunan bagian $ari , $engan A = {1, 3, (}.

3. Notasi Pembentuk Himpunan

otasi: { x sarat ang #arus $ipenu#i ole# x }

Contoh .

*i+ A a$ala# #impunan bilangan bulat positif ang e!il$ari (

A = { x x a$ala# bilangan bulat positif lebi# e!il

$ari (}

atau

A = { x x P, x ( }

ang eialen $engan A = {1, 2, 3, 4}

*ii+ M = { x x a$ala# ma#asisa ang mengambil

ulia# 521(1}

. Diagram Venn

Contoh !.


4/40

'isalan = {1, 2, %, , 8}, A = {1, 2, 3, (} $an B =

{2, (, 6, 8}.

7iagram enn:

!ar"inalitas

• 9umla# elemen $i $alam A $isebut ar$inal $ari#impunan A.

• otasi: n* A+ atau A

Contoh ".

(i) B = { x | x merupakan bilangan prima yang lebih kecil dari ! ",

atau B = {, #, $, %, &&, , &%, &'" maka B = *ii+ T = {u!ing, a, "mir, 10, pau}, maa T = (

(iii) A = {a, {a", {{a"" ", maka A = #

Himunan !osong

• Himpunan $engan ar$inal = 0 $isebut #impunanosong *null set +.

• otasi : ∅ atau {}

Contoh #.

*i+ E = { x x x }, maa n*E+ = 0


5/40

*ii+ P = { orang n$onesia ang perna# e bulan },

maa n*P+ = 0

*iii+ A = { x x a$ala# aar persamaan ua$rat x 2 1 =

0 }, n* A+ = 0

• #impunan {{ }} $apat ;uga $itulis sebagai {∅}

• #impunan {{ }, {{ }}} $apat ;uga $itulis sebagai{∅, {∅}}

• {∅} buan #impunan osong arena ia memuat satuelemen aitu #impunan osong.

Himunan #agian ( Subset )• Himpunan A $iataan #impunan bagian $ari

#impunan B ;ia $an #ana ;ia setiap elemen A

merupaan elemen $ari B.

• 7alam #al ini, B $iataan superset $ari A.

• otasi: A ⊆ B

• 7iagram enn:

Contoh $.


6/40

*i+ { 1, 2, 3} ⊆ {1, 2, 3, 4, (}

*ii+ {1, 2, 3} ⊆ {1, 2, 3}

*iii+ N Z R C

*i+ 9ia A = { * x , y + x y 4, x ≥0, y ≥ 0 } $an

B = { * x , y + 2 x y 4, x ≥ 0 $an y ≥ 0 }, maaB A.

%&'R&MA 1. ntu sembarang #impunan A berlau

#al-#al sebagai beriut:*a+ A a$ala# #impunan bagian $ari A itu sen$iri *aitu,

A A+.

*b+ Himpunan osong merupaan #impunan bagian $ari

A * A+.

*!+ 9ia A ⊆ B $an B ⊆ C, maa A ⊆ C

• A $an A A, maa $an A $isebut #impunan bagianta sebenarna *improper subset + $ari #impunan A./onto#: A = {1, 2, 3}, maa {1, 2, 3} $an ∅ a$ala#improper subset $ari A.

• A ⊆ B berbe$a $engan A ⊂ B

*i+ A ⊂ B : A a$ala# #impunan bagian $ari B tetapi A ≠B.

A a$ala# #impunan bagian sebenarna * proper

subset + $ari B.

/onto#: {1} $an {2, 3} a$ala# proper subset $ari

{1, 2, 3}


7/40

*ii+ A ⊆ B : $igunaan untu menataan ba#a Aa$ala# #impunan bagian *subset + $ari B ang

memunginan A = B.

Himunan yang Sama

• A = B ;ia $an #ana ;ia setiap elemen Amerupaan elemen B $an sebalina setiap elemen

B merupaan elemen A.

• A = B ;ia A a$ala# #impunan bagian $ari B $an B

a$ala# #impunan bagian $ari A. 9ia ti$a $emiian,maa A ≠ B.

• otasi : A = B ↔ A ⊆ B $an B ⊆ A

Contoh (.

*i+ 9ia A = { 0, 1 } $an B = { x x * x < 1+ = 0 }, maa

A = B*ii+ 9ia A = { 3, (, 8, ( } $an B = {(, 3, 8 }, maa A =

B

*iii+ 9ia A = { 3, (, 8, ( } $an B = {3, 8}, maa A ≠ B

ntu tiga bua# #impunan, A, B, $an C berlau asioma

beriut:

*a+ A = A, B = B, $an C = C

*b+ ;ia A = B, maa B = A


8/40

*!+ ;ia A = B $an B = C, maa A = C

Himunan yang E$i%alen

• Himpunan A $iataan eialen $engan #impunan B ;ia $an #ana ;ia ar$inal $ari e$ua #impunan

tersebut sama.

• otasi : A B ↔ A = B

Contoh 1).

'isalan A = { 1, 3, (, } $an B = { a, b, c, d }, maa

A B sebab A = B = 4

Himunan Saling &eas

• 7ua #impunan " $an ) $iataan saling lepas

*disjoint + ;ia e$uana ti$a memilii elemen angsama.

• otasi : A >> B

• 7iagram enn:

Contoh 11.


9/40

9ia A = { x x P, x 8 } $an B = { 10, 20, 30, ... },

maa A >> B.

Himunan !uasa

• Himpunan uasa * power set + $ari #impunan A a$ala#suatu #impunan ang elemenna merupaan semua

#impunan bagian $ari A, termasu #impunan osong

$an #impunan A sen$iri.

• otasi : P* A+ atau 2 A

• 9ia A = m, maa P* A+ = 2m.

Contoh 12.

9ia A = { 1, 2 }, maa P* A+ = { , { 1 }, { 2 }, { 1, 2 }}

Contoh 13.

Himpunan uasa $ari #impunan osong a$ala# P*∅+ ={∅}, $an #impunan uasa $ari #impunan {∅} a$ala#P*{∅}+ = {∅, {∅}}.

'erasi Tera"a Himunan

a. Irisan (intersection)

• otasi : A ∩ B = { x | x ∈ A $an x ∈ B }


10/40

Contoh 1.

9ia A = {2, 4, 6, 8, 10} $an B = {4, 10, 14, 18},

maa A ∩ B = {4, 10}

*ii+ 9ia A = { 3, (, ? } $an B = { -2, 6 }, maa A B

= .

"rtina: A >> B

. *aungan (union)

• otasi : A ∪ B = { x | x ∈ A atau x ∈ B }

Contoh 1!.

*i+ 9ia A = { 2, (, 8 } $an B = { , (, 22 }, maa A B = { 2, (, , 8, 22 }

*ii+ A = A

+. !omlemen (complement )

• otasi : = { x | x ∈ , x ∉ A }


11/40

Contoh 1".

'isalan = { 1, 2, 3, ..., ? },

;ia A = {1, 3, , ?}, maa = {2, 4, (,6, 8}

*++, ;ia A = { x x >2 P, x ? }, maa = { 1, 3, (, , ? }

Contoh 1#. 'isalan:

A = #impunan semua mobil buatan $alam negeri

B = #impunan semua mobil imporC = #impunan semua mobil ang $ibuat sebelum

ta#un 1??0

D = #impunan semua mobil ang nilai ;ualna urang

$ari @p 100 ;uta

E = #impunan semua mobil mili ma#asisa

uniersitas tertentu

*i+ Amobil ma#asisa $i uniersitas ini pro$usi $alamnegeri atau $iimpor $ari luar negeriB *E ∩ A+ ∪ *E ∩ B+ atau E ∩ * A ∪ B+

(ii) semua mobil produksi dalam negeri yang dibuat sebelum tahun

&''! yang nilai jualnya kurang dari *p &!! juta+ A ∩ C ∩ D

(iii) semua mobil impor buatan setelah tahun &''! mempunyai nilai

jual lebih dari *p &!! juta+


12/40

". Selisi (difference)

• otasi : A < B = { x | x ∈ A $an x ∉ B } = " ∩

Contoh 1$.

*i+ 9ia A = { 1, 2, 3, ..., 10 } $an B = { 2, 4, 6, 8, 10 },

maa A < B = { 1, 3, (, , ? } $an B


13/40

P = #impunan ma#asisa ang nilai u;ian CD $i

atas 80

= #impunan ma#asisa ang nilain u;ian "D $i

atas 80

eorang mahasisa mendapat nilai / jika nilai 01 dan nilai 0/

keduanya di atas !, mendapat nilai 2 jika salah satu ujian di atas !,

dan mendapat nilai 3 jika kedua ujian di baah !.

(i) emua mahasisa yang mendapat nilai /+ 4 P ∩ Q

(ii) emua mahasisa yang mendapat nilai 2+ 4 P ⊕ Q(iii) semua mahasisa yang mendapat nilai 3+ 4 0 5 ( P ∪ Q)

TE'-EMA 2. 2eda setangkup memenuhi si6at-si6at berikut4

*a+ A ⊕ B = B ⊕ A *#uumomutatif+

*b+ * A ⊕ B + ⊕ C = A ⊕ *B ⊕ C + *#uumasosiatif+

. Per$alian !artesian (cartesian product )

• otasi: A × B = {*a, b+ a ∈ A $an b ∈ B }

Contoh 2).

*i+ 'isalan C = { 1, 2, 3 }, $an D = { a, b }, maa

C × D = { *1, a+, *1, b+, *2, a+, *2, b+, *3, a+, *3,b+ }


14/40

*ii+ 'isalan A = B = #impunan semua bilangan riil,

maa

A × B = #impunan semua titi $i bi$ang $atar

/atatan:1. 9ia A $an B merupaan #impunan ber#ingga, maa:

A × B = A . B.

2.Easangan berurutan *a, b+ berbe$a $engan *b, a+,

$engan ata lain *a, b+ ≠ *b, a+.

3. Eeralian artesian ti$a omutatif, aitu A × B ≠ B × A $engan sarat A atau B ti$a osong.

Ea$a /onto# 20*i+ $i atas, D × C = {*a, 1+, *a, 2+, *a, 3+,*b, 1+, *b, 2+, *b, 3+ } ≠ C × D.

4. 9ia A = ∅ atau B = ∅, maa A × B = B × A = ∅

Conto 21. isalkan

A = himpunan makanan = { s = soto, g = gado-gado, n = nasi

goreng, m = mie rebus "

B = #impunan minuman = { c = !o!a-!ola, t =

te#, d = es $aet }

)erapa bana ombinasi maanan $an minuman ang

$apat $isusun $ari e$ua #impunan $i atasF

9aab:

A × B = A⋅ B = 4 ⋅ 3 = 12 ombinasi $anminuman, aitu {*s, c+, *s, t +, *s, d+, *!, c+, *!, t +, *!, d+,

*n, c+, *n, t +, *n, d+, *m, c+, *m, t +, *m, d+}.

Contoh 21. 7aftaran semua anggota #impunan

beriut:


15/40

*a+ P*∅+ *b+ ∅ × P*∅+ *!+ {∅}× P*∅+ *$+P*P*{3}++

7enyelesaian4

a P*∅+ = {∅}b ∅ × P*∅+ = ∅ *et: ;ia A = ∅ atau B = ∅ maa A ×

B = ∅+! {∅}× P*∅+ = {∅}× {∅} = {*∅,∅++"d#P*P*{3}++ = P*{ ∅, {3} }+ = {∅, {∅}, {{3}}, {∅,{3}} }

Pe-amatan 'e-as+ H+m/nan

Conto 22.

*i+ A *B1B2 ... Bn+ = * A B1+ * A B2+ ... * A Bn+


16/40

*ii+ 'isalan A = {1, 2}, B = {a, b}, $an C = {α, β},maa

A × B × C = {*1, a, α+, *1, a, β+, *1, b, α+, *1, b, β+,*2, a, α+, *2, a, β+, *2, b, α+, *2, b, β+ }

Hu$um/u$um a"a Himunan

1. Huum i$entitas:

A = A A = A

2.Huum null>$ominasi:

A = A =

3.Huum omplemen:

A =

A =

4.Huum i$empoten:

A A = A

A A = A


17/40

(.Huum inolusi:

= A

6. Huum penerapan

*absorpsi+:

A * A B+ = A A * A B+ = A

.Huum omutatif:

A B = B A A B = B A

8.Huum asosiatif:

A *B C+ = * A B+ C A *B C+ = * A B+ C

?. Huum $istributif:

A *B C+ = * A B+

* A C+ A *B C+ = * A B+* A C+

10. Huum 7e 'organ:

=

=

11. Huum 0>1

=

= ∅

P-+ns+ D/a0+tas

• Erinsip $ualitas: $ua onsep ang berbe$a $apat$ipertuaran namun tetap memberian ;aaban

ang benar.

/onto#: "D emu$i mobil $i iri $epannggris *;uga n$onesia+ emu$i mobil $i anan

$epan

Eeraturan:

*a+ $i "meria Deriat,- mobil #arus ber;alan $i bagian $anan ;alan,


18/40

- pa$a ;alan ang berla;ur bana, la;ur $iriuntu men$a#ului,

- bila lampu mera# menala, mobil belo$anan bole# langsung

*b+ $i nggris,- mobil #arus ber;alan $i bagian $iri ;alan,- pa$a ;alur ang berla;ur bana, la;ur $anan

untu men$a#ului,- bila lampu mera# menala, mobil belo $iri

bole# langsung

Erinsip /a0+tas:Gonsep iri $an anan $apat $ipertuaran pa$a e$uanegara tersebut se#ingga peraturan ang berlau $i"meria Deriat men;a$i berlau pula $i nggris.

• *P-+ns+ D/a0+tas aa H+m/nan,. 'isalan %a$ala# suatu esamaan *identity + ang melibatan

#impunan $an operasi-operasi seperti , , $anomplemen. 9ia % $iperole# $ari % $enganmengganti → , → , → , → , se$anganomplemen $ibiaran seperti semula, maaesamaan % ;uga benar $an $isebut $ual $ariesamaan %.

1. Huum i$entitas:

A = A

7ualna:

A = A

2. Huum null>$ominasi:

A =

7ualna: A =


19/40

3. Huum omplemen:

A =

7ualna:

A =

4. Huum i$empoten:

A A = A

7ualna: A A = A

(. Huum penerapan:

A * A B+ = A

7ualna: A * A B+ = A

6. Huum omutatif:

A B = B A

7ualna: A B = B A

. Huum asosiatif:

A *B C+ = * A B+ C

7ualna: A *B C+ = * A B+ C

8. Huum $istributif:

A *B C+=* A B+ * A C+

7ualna: A *B C+ = * A B+ * A C+

?. Huum 7e 'organ:

=

7ualna:

=

10. Huum 0>1

=

7ualna:

= ∅

Contoh 23. 7ual $ari * A B+ * A + = A a$ala#

* A B+ * A + = A.


20/40

rinsip Inklusi-Eksklusi

0ntuk dua himpunan / dan B4


21/40

A ∪ B = A 8 B 5 A ∩ B

A ⊕ B = A B < 2 A ∩ B

Contoh 2. )erapa banana bilangan bulat antara

1 $an 100 ang #abis $ibagi 3 atau (F

Eenelesaian:

A = #impunan bilangan bulat ang #abis $ibagi 3,

B = #impunan bilangan bulat ang #abis $ibagi (,

A ∩ B = #impunan bilangan bulat ang #abis $ibagi 3$an ( *aitu #impunan bilangan bulat ang

#abis $ibagi ole# GEG < Gelipatan Eerseutuan

Cere!il < $ari 3 $an (, aitu 1(+,

ang $itanaan a$ala# A ∪ B.

A = 100>3 = 33,B = 100>( = 20,

A ∩ B = 100>1( = 6

A ∪ B = A B < A ∩ B = 33 20 < 6 =4

9a$i, a$a 4 bua# bilangan ang #abis $ibagi 3 atau (.

ntu tiga bua# #impunan A, B, $an C, berlau

A ∪ B ∪ C = A B C < A ∩ B <

A ∩ C < B ∩ C A ∩ B ∩ C

ntu #impunan A1, A2, %, Ar , berlau:


22/40

A1 ∪ A2 ∪ % ∪ Ar = Ai < Ai ∩ A j

Ai ∩ A j ∩ A$ % *-1+r -1 A1 ∩ A2 ∩ % ∩ Ar

Pa-t+s+

• Eartisi $ari sebua# #impunan A a$ala# seumpulan#impunan bagian ti$a osong A1, A2, % $ari A

se$emiian se#ingga:(a) A& ∪ A ∪ 9 = A, dan(b) Ai ∩ A j = ∅ untuk i ≠ j

Contoh 2!. 'isalan A = {1, 2, 3, 4, (, 6, , 8}, maa

{ {1}, {2, 3, 4}, {, 8}, {(, 6} } a$ala# partisi A.


23/40

Himunan *an"a

• Himpunan ang elemenna bole# berulang *ti$a#arus berbe$a+ $isebut h+m/nan gana*multiset +.

/onto#na, {1, 1, 1, 2, 2, 3}, {2, 2, 2}, {2, 3, 4},

{}.

• M/0t+0+s+tas $ari suatu elemen pa$a #impunangan$a a$ala# ;umla# emun!ulan elemen tersebutpa$a #impunan gan$a. /onto#: M = { 0, 1, 1, 1, 0,0, 0, 1 }, multiplisitas 0 a$ala# 4.

• Himpunan *set + merupaan !onto# #usus $arisuatu multiset , ang $alam #al ini multiplisitas $arisetiap elemenna a$ala# 0 atau 1.

• Gar$inalitas $ari suatu multiset $i$eInisiansebagai ar$inalitas #impunan pa$ananna*eialen+, $engan mengasumsian elemen-

elemen $i $alam multiset semua berbe$a.


24/40

'erasi Antara 0ua #ua Multiset

'isalanP $an

a$ala#

multiset :

1.P a$ala# suatu multiset ang multiplisitaselemenna sama $engan multiplisitas masimumelemen tersebut pa$a #impunan P $an .

3ontoh4 P = { a, a, a, c, d , d " dan Q ={ a, a, b, c, c ",

P Q = { a, a, a, b, c, c, d , d "

2.P a$ala# suatu multiset ang multiplisitaselemenna sama $engan multiplisitas minimumelemen tersebut pa$a #impunan P $an .

3ontoh4 P = { a, a, a, c, d , d " dan Q = { a, a, b, c, c "

P Q = { a, a, c "

3. E < a$ala# suatu multiset ang multiplisitaselemenna sama $engan:multiplisitas elemen tersebut pa$a P $iurangi

multiplisitasna pa$a , ;ia selisi#na positif

0, ;ia selisi#na nol atau negatif.

3ontoh4 P = { a, a, a, b, b, c, d , d , e " dan Q = { a, a, b, b, b, c,

c, d , d , f " maka P 5 Q = { a, e "

4.P , ang $i$eInisian sebagai ;umla# *sum+ $uabua# #impunan gan$a, a$ala# suatu multiset angmultiplisitas elemenna sama $engan pen;umla#an$ari multiplisitas elemen tersebut pa$a P $an .

3ontoh4 P = { a, a, b, c, c " dan Q = { a, b, b, d ",

P 8 Q = { a, a, a, b, b, b, c, c, d "


25/40

Pem/t+an Pe-n4ataan Pe-+ha0 H+m/nan

• Eernataan #impunan a$ala# argumen ang

menggunaan notasi #impunan.

• Eernataan $apat berupa:

1.Gesamaan *identity +

/onto#: )utian A A ∩ *B ∪ C+ = * A ∩ B+ ∪ * A ∩C+B

2. mpliasi

/onto#: )utian ba#a A9ia " ∩ ) = ∅ $an " ⊆*) ∪ /+ maa selalu berlau ba#a " ⊆/B.

1. Pemu$tian "engan mengguna$an "iagram enn

Conto 23. isalkan A, B, dan C adalah himpunan. 2uktikan A ∩( B ∪ C ) = ( A ∩ B) ∪ ( A ∩ C ) dengan diagram :enn.

Bukti:

A ∩ *B ∪ C+ * A ∩ B+ ∪ * A ∩ C+

;edua digaram :enn memberikan area arsiran yang sama.

1erbukti baha A ∩ ( B ∪ C ) = ( A ∩ B) ∪ ( A ∩ C ).


26/40

• 7iagram enn #ana $apat $igunaan ;ia#impunan ang $igambaran ti$a bana

;umla#na.

• 'eto$e ini men!ilustrasi$an etimbangmembutian fata. 7iagram enn ti$a $ianggapsebagai meto$e ang ali$ untu pembutian

se!ara formal.

2. Pemu$ti$an "engan mengguna$an tael $eanggotaan

Contoh 2#. 'isalan A, B, $an C a$ala# #impunan.

)utian ba#a A ∩ *B ∪ C+ = * A ∩ B+ ∪ * A ∩ C+.Bu$ti:

A B C B ∪C

A ∩ *B ∪C+

A ∩B

A ∩C

* A ∩ B+ ∪ * A ∩C+

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 1 1 0 0 0 0

0 1 0 1 0 0 0 0

0 1 1 1 0 0 0 0

1 0 0 0 0 0 0 0

1 0 1 1 1 0 1 1

1 1 0 1 1 1 0 1

1 1 1 1 1 1 1 1

Garena olom A ∩ *B ∪ C+ $an olom * A ∩ B+ ∪ * A ∩ C+sama, maa A ∩ *B ∪ C+ = * A ∩ B+ ∪ * A ∩ C+.


27/40

4. Pemu$tian "engan mengguna$an aljaar imunan.

Contoh 2$. 'isalan A $an B #impunan. )utian

ba#a * A ∩ B+ ∪ * A ∩ + = A

Bukti4

* A ∩ B+ ∪ * A ∩ + = A ∩ *B ∪ + *Huum$istributif+

= A ∩ *Huum omplemen+

= A *Huum i$entitas+

Contoh 2(. 'isalan A $an B #impunan. )utian

ba#a A ∪ *B


28/40

*ii+ A ∩ * ∪ B+ = A ∩ B

Bu$ti:

*i+ A ∪ * ∩ B+ = * A ∪ + ∩ * A ∩ B+ *H. $istributif+

= ∩ * A ∩ B+ *H.omplemen+

= A ∪ B *H. i$entitas+

*ii+ a$ala# $ual $ari *i+

A ∩ * ∪ B+ = * A ∩ + ∪ * A ∩ B+ *H. $istributif+

= ∅ ∪ * A ∩ B+ *H.omplemen+

= A ∩ B *H. i$entitas+

5. Pemu$tian "engan mengguna$an "einisi

• 'eto$e ini $igunaan untu membutianpernataan #impunan ang ti$a berbentu

esamaan, tetapi pernataan ang berbentu

impliasi. )iasana $i $alam impliasi tersebut

ter$apat notasi #impunan bagian *⊆ atau ⊂+.

Contoh 31. 'isalan A $an B #impunan. 9ia A ∩ B =∅ $an A ⊆ *B ∪ C+ maa A ⊆ C. )utianJ

Bukti4

(i)


29/40

(ii) ;arena x ∈ A dan A ∩ B = ∅, maka x ∉ B


30/40

• Operasi yang dapat dilakukan pada tipe himpunan adalahoperasi gabungan, irisan, dan selisih seperti pada contoh berikut4

{gabungan}

HurufKu:=[‘A’, ‘C’, ‘D’] + [‘C’, ‘D’, ‘E’];

{irisan}

HurufKu:=[‘A’, ‘C’, ‘D’] * [‘C’, ‘D’, ‘E’];

{selisih}

HurufKu:=[‘A’, ‘C’, ‘D’] - [‘C’, ‘D’, ‘E’];

• ;i eanggotaan sebua# elemen $i $alam#impunan $ilauan $engan menggunaan opeator

in seperti !onto# beriut:

if ‘A’ in HurufKu then ...

• 7i $alam aas pemrograman Delp&i, set sering$igunaan untu mengin$iasian 'a!. 'isalna#impunan icon untu window:type

TBorder!o"=#$%&'s(e)Me"u, $%M%"%)%e,

$%Ma%)ae;

Huruf = set of TBoder!o";


31/40

2.2 6UN*SI

>ungsi merupakan kejadian khusus dari relasi.

Hubungan antara 6ungsi, relasi dan hasilkali kartesian adalah sbb4

Hasilali

Gartesian@elasi5ungsi


32/40

• uatu 6ungsi 6 dari himpunan ? ke himpunan @ (symbol 6 4 ?

A @) adalah suatu relasi dari ? ke @ dengan syarat baha

setiap elemen ∈ ? memiliki kaan yang tunggal di @.

• ? disebut daerah asal ( domain ) 6 dan @ disebut daerah tujuan

(kodomain) 6.

• ;aan dari elemen ∈ ? dinotasikan dengan 6() dan dibaca 4

+harga 6ungsi 6 di +. Himpunan semua harga 6ungsi 6 disebut

daerah hasil (range) t.

*ange 6 = {y ∈ @ | y = 6() untuk suatu ∈ ? "

/da beberapa 6ungsi yang sering digunakan 4

1. 6ungsi I"entitas

ungsi ini disebut 6ungsi identitas pada ? karena i mengaankan setiap

elemen ? ke elemen yang sama. Badi, seolah-olah 6ungsi i tidak

memberikan e6ek apa pun.

2. 6ungsi !onstan


33/40


34/40

dengan n = bilangan bulat tidak negati6, dan

a!, a&, 9, an = bilangan-bilangan riil, an E ! .

3. 6ungsi E$sonensial

ungsi eksponensial dengan basis b adalah 6ungsi dari bilangan riil * ke

bilangan riil positi6 * 8 yang dide6inisikan sbb 4

6 4 * A * 8 dengan 6() = b , ∀ ∈ *

Bika b F &, maka gra6ik 6ungsi 6() = b akan menaik.


35/40

isalkan 6 dan g adalah 6ungsi-6ungsi dari ? ke @. >ungsi 6 sama dengan g

(ditulis 6 = g) bila dan hanya bila 6() = g() ∀ ∈ ?.

3ontoh 4

isalkan 6ungsi 6 4 * A * dan g 4 * A * dide6inisikan sbb 4

6() = (-&) (-) ∀ ∈ * dan

g() = 5 # 8 ∀ ∈ *

/pakah 6 = g I

ihat di papan 99

6ungsi Inje$ti


36/40

6ungsi Surje$ti


37/40

Prinsi !an"ang Merati ( Pigeon-hole Principle)


38/40

>ungsi-6ungsi tersebut biasanya melibatkan argumen (atau dikenal

sebagai arameter ungsi).

>ungsi dapat dipanggil di sembarang tempat dalam program utama dengan

memasukkan argumen-argumen yang sesuai.

2.4 -E&ASI


39/40

isalkan / dan 2 adalah himpunan. Hasil kali ;artesian / dengan 2

(imbol / 2) adalah himpunan semua pasangan berurutan (a,b) dengan

a ∈ / dan b ∈ 2.

/ 2 = {(a,b) | a ∈ /, b ∈ 2"

ecara umum, hasil kali ;artesian /&, /, 9, /n dide6inisikan sebagai 4

/& / 9 /n = {(a&,a, 9, an) | a& ∈ /&, 9, an

∈ /n"

-E&ASI PA0A HIMPUNAN


40/40

* ∩ adalah himpunan semua pasangan berurutan (,y) ∈ / 2

sedemikian sehingga (,y) ∈ * atau(,y) ∈

* ∩ = {(,y)| (,y) ∈ * atau (,y) ∈ "

!'MP'SISI -E&ASI

S'A& > TU*AS

Bab 2 Himpunan Dan Fungsi-sttb

Documents

Transcript of Bab 2 Himpunan Dan Fungsi-sttb