Post on 06-Feb-2015
s
sdE
La definición general de flujo eléctrico es:
E
ds
θds
Cantidad de líneas de campo que atraviesa la superficie ds.
66. . FLUJO ELÉCTRICOFLUJO ELÉCTRICO
El flujo eléctrico es una cantidad escalar y su signo depende de si entra o sale de la superficie.
Campo eléctrico
S1
n1
S2
n2
El flujo eléctrico en la superficie S1 es negativo, las líneas de campo entran a la superficie
El flujo eléctrico en la superficie S2 es positivo, las líneas de campo salen de la superficie
El flujo neto es cero si no hay cargas dentro de la superficie (Figura N°1).
Figura N° 1
ds
ds
ds
s
sdE
En general, el flujo neto para una superficie cerrada será:
Si hay carga adentro, el flujo neto es proporcional a la carga neta. Mire las cuatro superficies en la figura N° 2 y es fácil entender por qué esto es así.
Figura N° 2
Ejemplo 1.- Una carga puntual q está situada en el centro de una superficie esférica de radio R. Calcula el flujo neto de campo eléctrico a través de dicha superficie.
q
ds
R
E El campo eléctrico creado por una
carga puntual viene dado por
rur
qkE
2
En la superficie de la esfera se cumple que r = R, luego
ruR
qkE
2
Para calcular el flujo a través de la superficie esférica, tenemos en cuenta que el campo eléctrico es paralelo al vector superficie en cada punto, por lo tanto
dsR
qkds
R
qksdE
22
El área de una superficie esférica viene dada por S =4R2, luego
22 4
R
Rqk
Flujo total q k 4Independiente de R
Ejemplo 2.- Supongamos un cilindro de radio R colocado en el seno de un campo eléctrico uniforme con su eje paralelo al campo. Calcula el flujo de campo eléctrico a través de la superficie cerrada.
E
E
E sd
sd
sd
El flujo total es la suma de tres términos, dos que corresponden a las bases (b1 y b2) mas el que corresponde a la superficie cilíndrica. En ésta última el flujo es cero ya que los vectores superficie y campo son perpendiculares. Así
2b1b
sdEsdE
0cosdsEcosdsE
0 El flujo sólo es proporcional a la carga que encierra una superficie, no a la forma de dicha superficie.
Esta ley da una relación general entre el flujo de campo eléctrico a través de una superficie cerrada y la carga encerrada por ella.
Ya hemos visto que el flujo neto a través de una superficie esférica viene dado por
q k 4
Vamos a comprobar que este flujo es independiente de la forma de la distribución. Sólo depende de la carga que haya en el interior.
77. . LEY DE GAUSSLEY DE GAUSS
qs1
s2s3
El flujo a través de la superficie esférica es
o
q q k
4
Como el número de líneas que atraviesan las tres superficies es el mismo, se cumple que
321 Por lo tanto el flujo es independiente de la forma de la superficie.
Consideremos varias superficies centradas en una esférica que contiene una carga q.
II
IIII Supongamos ahora una carga q próxima a una superficie cerrada de forma arbitraria. En este caso el número neto de líneas de campo que atraviesa la superficie es cero (entran el mismo número de líneas que salen), por lo tanto
0q
El flujo a través de una superficie que no encierra carga es nulo.
Generalización de los resultados
Para distribuciones de carga, ya sean discretas o continuas, podemos aplicar el principio de superposición.
Ejemplo:S’
q1
q2
q3
S
S’’
o
q)S(
1
o
)qq()'S(
32
0 )''S(
o
intqsdE
Enunciado de la ley de Gauss
El flujo eléctrico neto a través de cualquier superficie gaussiana cerrada es igual a la carga neta que se encuentre dentro de ella, dividida por la permitividad del vacío.
Esta ley sólo puede aplicarse a problemas con gran simetría.
Procedimiento para aplicar la ley de Gauss
Dada una distribución de carga, buscar una superficie gaussiana que cumpla estas condiciones
E
paralelo a sd
en todos los puntos de la superficie E
constante
El flujo eléctrico a través de una superficie cerrada viene dado por
o
intqsdE
Si la superficie cerrada gaussiana cumple las dos condiciones anteriores
s EdsEds EsdE
Por lo tanto
o
intqS
E
S es el área de la superficie gaussiana
qint es la carga encerrada en dicha superficie
Ejemplo 1:Ejemplo 1: Campo eléctrico próximo a un plano infinito de carga.
o
intqsdE
Φtotal = EA cos 0° + EA cos 0°
Un caso importantísimo – Placas Paralelas
Uniforme – Independiente de la Posición.
Esta estructura se usa mucho en la práctica.
Ejemplo 2:Ejemplo 2: Campo eléctrico a una distancia r de una carga lineal infinitamente larga de densidad de carga uniforme λ.
o
intqsdE
Ejemplo 3:Ejemplo 3: Campo eléctrico debido a una corteza esférica uniformemente cargada.
o
intqsdE
Ejemplo 4:Ejemplo 4: Campo eléctrico debido a una esfera uniformemente cargada.
ds o
intqsdE
Conductores en equilibrio electrostático
PROPIEDADES:•E=0 en el interior del conductor.•La carga está localizada en la superficie (si es sólido) o las superficies (si es hueco).•El campo electrico afuera del conductor es σ/ϵo.•En un conductor de forma irregular la carga tiende a acumularse en regiones donde el radio de curvatura de la superficie es mas pequeño, es decir, en las puntas.
Un conductor se encuentra en equilibrio electrostático cuando no se tiene movimiento neto de la carga dentro del conductor.
Para un conductor, E=0 en el interior del conductor.
Un conductor hueco la carga está en las superficies ya sea externa o interna o ambas.
Definición operacional de trabajo
b
a
ba ldFW
Trabajo realizado por la fuerza F, cuando la partícula viaja desde a hacia b.
Fuerza aplicada a la partícula
Elemento infinitesimal de la trayectoria seguida por la partícula.
¿Cuánto trabajo realiza el campo eléctrico generado por una carga puntual q, cuando una partícula q0 se desplaza desde a hacia b, por la trayectoria T1?
T1
b
a
ba FdlW cos
es el ángulo entre la fuerza F y la tangente a la trayectoria
dlcos es la proyección de dl en la dirección de la fuerza F
drdl cos
drr
qqkW
b
a
ba 2
0b
a
r
rba r
qkqW
10
ab
ba rrqkqW
110
resultado sólo depende del estado inicial y final de la distribución de cargas
trabajo realizado por el campo eléctrico (trabajo interno) es independiente de la trayectoria seguida por la carga q0 en su viaje desde a hacia b
La fuerza eléctrica es una fuerza conservativa, esto permite definir la función energía potencial eléctrica:
Para un desplazamiento finito de la carga de prueba entre los puntos a y b el cambio en energía potencial es
b
aab dqUUU sE0
La cantidad U / q0 se llama potencial eléctrico, de este
modo el potencial es
n
i i
i
r
qkV
PUNTUALESCARGASMASODOSDEELECTRICOPOTENCIAL
puntualacunaPararq
kqU
V
1
0
arg
dsEqdsFUWb
a o
b
aba ..
La diferencia de potencial, V = Vb – Va, entre los puntos a
y b se define como el cambio en la energía potencial dividida entre la carga de prueba q0:
b
ad
qU
V sE0
Si elegimos el potencial como cero en el infinito, el potencial eléctrico en un punto arbitrario es igual al trabajo requerido por unidad de carga para llevar una carga de prueba positiva desde el infinito hasta ese punto, o sea
P
P dV sE
Definimos una superficie equipotencial como los puntos que tienen el mismo potencial eléctrico.
Líneas de campo y superficies equipotenciales de una carga puntual
Líneas de campo y superficies equipotenciales para planos paralelos cargados
Líneas de campo y superficies equipotenciales de un dipolo eléctrico
Líneas de campo y superficies equipotenciales para dos cargas iguales
Diferencia de potencial en un campo eléctrico uniforme
E
a
b
c
Si E es constante, podemos escribir:
sEssE b
a
b
adEdV
El cambio en la energía potencial es
sE 00 qVqU
Potencial de una carga puntual
ra
rb
r
drds
a
b
q
r̂
Para una carga puntual se tiene
srsE drq
kd ˆ2
ab
rab
rrkq
drEdVV
11
sE
La diferencia de potencial entre a y b es:
Si tomamos V = 0 en r = :rq
kV
Considere un sistema de dos cargas puntuales, la energía potencial esta dada por:
q1
q2r12 12
2112 r
qqkVqU e
Para un sistema de tres cargas puntuales tenemos:
q1
q2r12
q3
r13
r23
23
32
13
31
12
21
rqq
rqq
rqq
kU e