s

sdE

La definición general de flujo eléctrico es:

E

ds

θds

Cantidad de líneas de campo que atraviesa la superficie ds.

66. . FLUJO ELÉCTRICOFLUJO ELÉCTRICO

El flujo eléctrico es una cantidad escalar y su signo depende de si entra o sale de la superficie.

Campo eléctrico

S1

n1

S2

n2

El flujo eléctrico en la superficie S1 es negativo, las líneas de campo entran a la superficie

El flujo eléctrico en la superficie S2 es positivo, las líneas de campo salen de la superficie

El flujo neto es cero si no hay cargas dentro de la superficie (Figura N°1).

Figura N° 1

ds

ds

ds

s

sdE

En general, el flujo neto para una superficie cerrada será:

Si hay carga adentro, el flujo neto es proporcional a la carga neta. Mire las cuatro superficies en la figura N° 2 y es fácil entender por qué esto es así.

Figura N° 2

Ejemplo 1.- Una carga puntual q está situada en el centro de una superficie esférica de radio R. Calcula el flujo neto de campo eléctrico a través de dicha superficie.

q

ds

R

E El campo eléctrico creado por una

carga puntual viene dado por

rur

qkE

2

En la superficie de la esfera se cumple que r = R, luego

ruR

qkE

2

Para calcular el flujo a través de la superficie esférica, tenemos en cuenta que el campo eléctrico es paralelo al vector superficie en cada punto, por lo tanto

dsR

qkds

R

qksdE

22

El área de una superficie esférica viene dada por S =4R2, luego

22 4

R

Rqk

Flujo total q k 4Independiente de R

Ejemplo 2.- Supongamos un cilindro de radio R colocado en el seno de un campo eléctrico uniforme con su eje paralelo al campo. Calcula el flujo de campo eléctrico a través de la superficie cerrada.

E

E

E sd

sd

sd

El flujo total es la suma de tres términos, dos que corresponden a las bases (b1 y b2) mas el que corresponde a la superficie cilíndrica. En ésta última el flujo es cero ya que los vectores superficie y campo son perpendiculares. Así

2b1b

sdEsdE

0cosdsEcosdsE

0 El flujo sólo es proporcional a la carga que encierra una superficie, no a la forma de dicha superficie.

Esta ley da una relación general entre el flujo de campo eléctrico a través de una superficie cerrada y la carga encerrada por ella.

Ya hemos visto que el flujo neto a través de una superficie esférica viene dado por

q k 4

Vamos a comprobar que este flujo es independiente de la forma de la distribución. Sólo depende de la carga que haya en el interior.

77. . LEY DE GAUSSLEY DE GAUSS

qs1

s2s3

El flujo a través de la superficie esférica es

o

q q k

4

Como el número de líneas que atraviesan las tres superficies es el mismo, se cumple que

321 Por lo tanto el flujo es independiente de la forma de la superficie.

Consideremos varias superficies centradas en una esférica que contiene una carga q.

II

IIII Supongamos ahora una carga q próxima a una superficie cerrada de forma arbitraria. En este caso el número neto de líneas de campo que atraviesa la superficie es cero (entran el mismo número de líneas que salen), por lo tanto

0q

El flujo a través de una superficie que no encierra carga es nulo.

Generalización de los resultados

Para distribuciones de carga, ya sean discretas o continuas, podemos aplicar el principio de superposición.

Ejemplo:S’

q1

q2

q3

S

S’’

o

q)S(

1

o

)qq()'S(

32

0 )''S(

o

intqsdE

Enunciado de la ley de Gauss

El flujo eléctrico neto a través de cualquier superficie gaussiana cerrada es igual a la carga neta que se encuentre dentro de ella, dividida por la permitividad del vacío.

Esta ley sólo puede aplicarse a problemas con gran simetría.

Procedimiento para aplicar la ley de Gauss

Dada una distribución de carga, buscar una superficie gaussiana que cumpla estas condiciones

E

paralelo a sd

en todos los puntos de la superficie E

constante

El flujo eléctrico a través de una superficie cerrada viene dado por

o

intqsdE

Si la superficie cerrada gaussiana cumple las dos condiciones anteriores

s EdsEds EsdE

Por lo tanto

o

intqS

E

S es el área de la superficie gaussiana

qint es la carga encerrada en dicha superficie

Ejemplo 1:Ejemplo 1: Campo eléctrico próximo a un plano infinito de carga.

o

intqsdE

Φtotal = EA cos 0° + EA cos 0°

Un caso importantísimo – Placas Paralelas

Uniforme – Independiente de la Posición.

Esta estructura se usa mucho en la práctica.

Ejemplo 2:Ejemplo 2: Campo eléctrico a una distancia r de una carga lineal infinitamente larga de densidad de carga uniforme λ.

o

intqsdE

Ejemplo 3:Ejemplo 3: Campo eléctrico debido a una corteza esférica uniformemente cargada.

o

intqsdE

Ejemplo 4:Ejemplo 4: Campo eléctrico debido a una esfera uniformemente cargada.

ds o

intqsdE

Conductores en equilibrio electrostático

PROPIEDADES:•E=0 en el interior del conductor.•La carga está localizada en la superficie (si es sólido) o las superficies (si es hueco).•El campo electrico afuera del conductor es σ/ϵo.•En un conductor de forma irregular la carga tiende a acumularse en regiones donde el radio de curvatura de la superficie es mas pequeño, es decir, en las puntas.

Un conductor se encuentra en equilibrio electrostático cuando no se tiene movimiento neto de la carga dentro del conductor.

Para un conductor, E=0 en el interior del conductor.

Un conductor hueco la carga está en las superficies ya sea externa o interna o ambas.

Definición operacional de trabajo

b

a

ba ldFW

Trabajo realizado por la fuerza F, cuando la partícula viaja desde a hacia b.

Fuerza aplicada a la partícula

Elemento infinitesimal de la trayectoria seguida por la partícula.

¿Cuánto trabajo realiza el campo eléctrico generado por una carga puntual q, cuando una partícula q0 se desplaza desde a hacia b, por la trayectoria T1?

T1

b

a

ba FdlW cos

es el ángulo entre la fuerza F y la tangente a la trayectoria

dlcos es la proyección de dl en la dirección de la fuerza F

drdl cos

drr

qqkW

b

a

ba 2

0b

a

r

rba r

qkqW

10

ab

ba rrqkqW

110

resultado sólo depende del estado inicial y final de la distribución de cargas

trabajo realizado por el campo eléctrico (trabajo interno) es independiente de la trayectoria seguida por la carga q0 en su viaje desde a hacia b

La fuerza eléctrica es una fuerza conservativa, esto permite definir la función energía potencial eléctrica:

Para un desplazamiento finito de la carga de prueba entre los puntos a y b el cambio en energía potencial es

b

aab dqUUU sE0

La cantidad U / q0 se llama potencial eléctrico, de este

modo el potencial es

n

i i

i

r

qkV

PUNTUALESCARGASMASODOSDEELECTRICOPOTENCIAL

puntualacunaPararq

kqU

V

1

0

arg

dsEqdsFUWb

a o

b

aba ..

La diferencia de potencial, V = Vb – Va, entre los puntos a

y b se define como el cambio en la energía potencial dividida entre la carga de prueba q0:

b

ad

qU

V sE0

Si elegimos el potencial como cero en el infinito, el potencial eléctrico en un punto arbitrario es igual al trabajo requerido por unidad de carga para llevar una carga de prueba positiva desde el infinito hasta ese punto, o sea

P

P dV sE

Definimos una superficie equipotencial como los puntos que tienen el mismo potencial eléctrico.

Líneas de campo y superficies equipotenciales de una carga puntual

Líneas de campo y superficies equipotenciales para planos paralelos cargados

Líneas de campo y superficies equipotenciales de un dipolo eléctrico

Líneas de campo y superficies equipotenciales para dos cargas iguales

Diferencia de potencial en un campo eléctrico uniforme

E

a

b

c

Si E es constante, podemos escribir:

sEssE b

a

b

adEdV

El cambio en la energía potencial es

sE 00 qVqU

Potencial de una carga puntual

ra

rb

r

drds

a

b

q

r̂

Para una carga puntual se tiene

srsE drq

kd ˆ2

ab

rab

rrkq

drEdVV

11

sE

La diferencia de potencial entre a y b es:

Si tomamos V = 0 en r = :rq

kV

Considere un sistema de dos cargas puntuales, la energía potencial esta dada por:

q1

q2r12 12

2112 r

qqkVqU e

Para un sistema de tres cargas puntuales tenemos:

q1

q2r12

q3

r13

r23

23

32

13

31

12

21

rqq

rqq

rqq

kU e