LOGO

Giải Tích B2 Trường đại học Khoa Học Tự Nhiên Tp. HCM

1.1 Các khái niệm về không gian n

1.3 Hàm số nhiều biến liên tục

1.2 Tập mở trong n

1.4 Đạo hàm riêng phần của các hàm

số nhiều biến

Chương 1: Không gian n

1.1 Các khái niệm về không gian

Tích Descartes

... n

n

hay

1 2, ,..., , 1,2,...,n

n kx x x x k n

Tích Descartes của n tập số thực :

1.1 Các khái niệm về không gian

Ví dụ không gian Euclide:

• n = 2, không gian thực 2 chiều

2

• n=3, không gian thực 3 chiều 3

3 1 2 3

, , , 1,2,3k

x x x x k

2 1 2, , 1,2

kx x x k

1.1 Các khái niệm về không gian

Điểm trong không gian n

Điểm có tọa độ (0, 0,…0) được gọi là gốc

tọa độ.

nMỗi điểm của , 1 2

, ,...,n

P x x x

1 2, ,...,

nx x xvới là một phần tử của ,

n

tọa độ thứ k của P k

x

1.1 Các khái niệm về không gian

Ví dụ về điểm trong không gian n

n=3, 3

Vector trong không gian 2

Vector có: AB

• gốc điểm , đỉnh điểm 1 2,A a a 1 2,B b b

• tọa độ của vector 1 1 2 2,AB b a b a

• môđum : 2 2

1 1 2 2AB b a b a

AB

1.1 Các khái niệm về không gian

1.1 Các khái niệm về không gian

AB CD

• nếu 1 1 1 1

2 2 2 2

b a d c

b a d c

1 2 1 2 1 2 1 2, , , , , , ,A a a B b b C c c D d dvới:

1.1 Các khái niệm về không gian

• Tổng hai vector AC AB BC

1.1 Các khái niệm về không gian

• Các phép toán đại số về vector:

Với bốn vector a, b, c, v và hai số

thực h, k, chúng ta có các phép

toán đại số vector như sau:

Nhân vô hướng: hv

1.1 Các khái niệm về không gian

( . ) ( )h k a h ka

( )h k a ha ka

( )h a b ha hb

với hai vector a, b, và h số thực.

1.1 Các khái niệm về không gian

Nhân vô hướng:

1.1 Các khái niệm về không gian

( ) ( )a b c a b c

Phép cộng

0a a

( ) 0a a

a b b a

Phép cộng

1.1 Các khái niệm về không gian

1.1 Các khái niệm về không gian

Tích vô hướng

Tích vô hướng của hai vector a, b với

1 1,..., , ,..., n

n na a a b b b

1 1

1

. ...n

n n i i

i

a b a b a b a b

. . .cosa b a b

góc giữa hai vector a và b

1.1 Các khái niệm về không gian

12

2

1

n

i

i

a a

2.a a a

Chuẩn trong không gian n

Các tính chất của chuẩn

0, 0 0a a a

. , ,nka k a a k

a b a b

1.1 Các khái niệm về không gian

1.2 Tập mở

Điểm trong

( ) { | || || }nB x y y x

Lấy là điểm trong của , nếu tồn

tại lân cận của nó chứa trong .

nx U ( )B x

UU

1.2 Tập mở

Tập hợp được gọi là tập mở nếu mọi

điểm của nó đều là điểm trong.

U

là hai tập mở. , n

Các tính chất của tập mở:

Nếu là tập mở, thì

là một tập mở. 1 2, ,..., nS S S

1

n

i

i

S

Ví dụ: cho mỗi , là

tập mở của . Nhưng không

phải là một tập mở.

m1 1

,mSm m

1

0m

m

S

1.2 Tập mở

1.2 Tập mở

Lấy là một tập tùy ý. Nếu là tập mở

với mỗi , thì là một tập mở.

S

AA

S

A

0,1 , ( 1, )A S Ví dụ: là tập mở trong

với mỗi . là một tập

mở trong . A ( 1,1)

A

S

1.3 Hàm số nhiều biến liên tục

Hàm nhiều biến:

Cho tập khác rỗng, ánh xạ

sao cho mỗi điểm có một ảnh trong

với được gọi là hàm nhiều

biến.

2D :f D

M D( , )z f x y

1.3 Hàm số nhiều biến liên tục

Ví dụ:

( , ) sin sinz f x y x y

1.3 Hàm số nhiều biến liên tục

Hàm ba biến 3:f D

( , , ) ( , , )x y z f x y zVí dụ:

2 2 3( , , )f x y z x y z

1.3 Hàm số nhiều biến liên tục

Giới hạn hàm số

Hàm số , chúng ta gọi hàm

có giới hạn là L tại điểm khi

, kí hiệu

2:f D ( , )a b D

( , ) ( , )x y D a b

( , ) ( , )lim ( , )

x y a bf x y L

lấy , tồn tại thỏa nếu

và thì

0 0 ( , )x y D

2 20 ( ) ( )x a y b

( , ) ( , )lim ( , )

x y a bf x y L

, nghĩa là

( , )f x y L

1.3 Hàm số nhiều biến liên tục

1.3 Hàm số nhiều biến liên tục

( , ) ( , )lim ( , ) ( , )

x y a bf x y f a b

Hàm thực hai biến được gọi là liên tục tại

(a,b) nếu

f

Ta gọi hàm liên tục trên nếu nó liên

tục tại mọi điểm trong .

f D

( , )a b D

1.3 Hàm số nhiều biến liên tục

1.3 Hàm số nhiều biến liên tục

Xác định tại ; 2

0 0,x y D

Hàm số được gọi là hàm

liên tục tại điểm nếu thỏa

mãn:

2:f D

2

0 0,x y D

Tồn tại 0 0, ,

lim ( , ) ;x y x y

f x y L

0 0( , )f x y L .

1.3 Hàm số nhiều biến liên tục

Ví dụ:

2 2

2 2, ( , ) (0,0)

1) ,

0, ( , ) (0,0)

x yx y

f x y x y

x y

_ _1 1

, ,0 , , 0,nn n nx y x y

n n

Chúng ta chọn hai dãy:

2

2 2, ( , ) (0,0)

2) ,

0, ( , ) (0,0)

xyx y

f x y x y

x y

1.3 Hàm số nhiều biến liên tục

Chúng ta có:

2

2 2( , )

xyf x y x

x y

1.4 Đạo hàm riêng phần của hàm số

nhiều biến

Xét hàm số trên tập mở . Với

một điểm , chúng ta có định

nghĩa đạo hàm riêng phần của hàm số

tại điểm , như sau:

f 2U D

0 0( , )x y Uf

0 0( , )x y

0 0 0 00 0 0 0

0

( , ) ( , ), , limx

h

f x h y f x yfx y f x y

x h

0 0 0 00 0 0 0

0

( , ) ( , ), , limy

h

f x y h f x yfx y f x y

y h

1.4 Đạo hàm riêng phần của hàm số

nhiều biến

Ví dụ:

2( , )f x y x y

Tính đạo hàm riêng phần của hàm

Vector gradient của f

0 0 0 0 0 0, , , ,f f

f x y x y x yx y

1.4 Đạo hàm riêng phần của hàm số

nhiều biến

Cho hai hàm số xác định trên tập mở U

và giả sử có các đạo hàm tại mọi điểm

(x,y) của U

,f g,f g

( )f g f g

( ) ,f f

( )fg f g g f

2

f g f f g

g g

1.4 Đạo hàm riêng phần của hàm số

nhiều biến

Ý nghĩa hình học của đạo hàm riêng phần

của hàm số hai biến:

Cho phương trình diễn tả mặt

hình học S

( , )z f x y

1.4 Đạo hàm riêng phần của hàm số

nhiều biến

1 1( ) ( , )g x f x b C

2 2( ) ( , )g y f a y C

1 '( ) ( , )xg a f a b , lần lượt

là độ dốc của tiếp tuyến , tại điểm P. 1T2 '( ) ( , )yg b f a b

2T

1.4 Đạo hàm riêng phần của hàm số

nhiều biến

Đạo hàm riêng phần bậc hai:

1.4 Đạo hàm riêng phần của hàm số

nhiều biến

1.4 Đạo hàm riêng phần của hàm số

nhiều biến

Khai triển Taylor hàm nhiều biến:

Cho hàm là hàm xác định trên một tập mở

, và có đạo hàm liên tục tới cấp r,

điểm p và . Giả sử

. Khi đó tồn tại sao cho:

2D 2h D ,p th D

0,1t 0,1

.( ) ( ) ( ) ...

1!

hf p h f p f p

1

. .( ) ( )

( 1)! !

r rh h

f p f p hr r

1

1

1

1

... 1 1

( . ) ......

n

n

n

rr

n

r n n

fh f h h

x x

Với 1 2

1

( ,..., ), ,...,n

h h hx x

Chúng ta sử dụng khai triển Taylor để tính

giá trị gần đúng của biểu thức: Cho biểu

thức A, đặt

1.4 Đạo hàm riêng phần của hàm số

nhiều biến

0 0 0 0 0 0( , ) ( , ) ( , ) ( , )f f

f x y f x y x y x x y yx y

Xem ví dụ trang 68, sách giáo trình giải tích

các hàm nhiều biến.

1.4 Đạo hàm riêng phần của hàm số

nhiều biến

Trong không gian , đạo hàm của hàm số

là ( )y f x

'( )dy f x dx

1.4 Đạo hàm riêng phần của hàm số

nhiều biến

Trong không gian , đạo hàm của hàm số

là

2

( , )z f x y

( , ) ( , )

( , ) ( , )

x ydz f x y dx f x y dy

f fx y dx x y dy

x y

1.4 Đạo hàm riêng phần của hàm số

nhiều biến

Ví dụ: chúng ta dùng thước đo một hộp

hình chữ nhật có số đo các chiều: 75 cm,

60 cm, 40 cm. Trong mỗi lần đo có sai số

trong khoảng 0.2 cm. Chúng ta sử dụng

đạo hàm để đánh giá sai số lớn nhất có

thể xảy ra khi chúng tính thể tích của hộp.

1.4 Đạo hàm riêng phần của hàm số

nhiều biến

Thể tích của hộp chữ nhật: . .V x y z

0.2, 0.2, 0.2x y z

Do đó, chúng ta sử dụng 0.2dx dy dz

và x=75, y=60, z=40

1.4 Đạo hàm riêng phần của hàm số

nhiều biến

Chương 2: Tích phân nhiều biến.

2.1 Tích phân hai lớp.

2.2 Phương pháp tính tích phân 2 lớp

trong hệ tọa độ Descartes

2.3 Đổi biến trong tích phân hai lớp

2.4 Ứng dụng

2.1 Tích phân hai lớp.

Trong không gian , chúng ta có định nghĩa

tích phân

*

1

( ) lim ( )

b n

i in

ia

s f x dx f x x

*

1

( ) lim ( )

b n

i in

ia

s f x dx f x x

2.1 Tích phân hai lớp.

2.1 Tích phân hai lớp.

3

3 3

10

6 lim 6n

i i in

i

x x dx x x x

3b ax

n n

3i

ix

n

2.1 Tích phân hai lớp.

Trong trường hợp , chúng ta xét một hàm

trên hình chữ nhật sau:

2

f

, ,R a b c d

Chúng ta tính thể tích của

3( , , ) 0 ( , ),( , )S x y z z f x y x y R

2.1 Tích phân hai lớp.

2.1 Tích phân hai lớp.

1 1, ,ij i i i iR x x y y

2.1 Tích phân hai lớp.

.A x y

* *

,1 1

( , ) lim ,m n

ij ijm n

i jR

f x y dxdy f x y A

Tính chất của tích phân hai lớp:

2.1 Tích phân hai lớp.

2.2 Phương pháp tính tích phân hai lớp

trong hệ tọa độ Descartes:

Cho là hàm số hai biến xác định trên

hình chữ nhật , chúng ta

tính tích phân của

( , )f x y

, ,R a b c d R

( , ) ( , )

b d

R a c

S f x y dxdy f x y dxdy Bước 1:

( ) ( , )d

cA y f x y dx

( ) ( , )b b d

a a cS A y dy f x y dx dy

Bước 2:

2.2 Phương pháp tính tích phân hai lớp

trong hệ tọa độ Descartes:

2.2 Phương pháp tính tích phân hai lớp

trong hệ tọa độ Descartes:

Định lý Fubini: nếu là hàm liên tục trên

hình chữ nhật

thì

f

( , ) | ,R x y a x b c y d

( , ) ( , ) ( , )

b d d b

R a c c a

f x y dxdy f x y dydx f x y dxdy

2.3 Phương pháp tính tích phân hai lớp

trong miền tổng quát:

Chúng ta phân loại miền thành các loại

sau đây:

Loại 1:

D

1 2( , ) | , ( ) ( )D x y a x b g x y g x

2.3 Phương pháp tính tích phân hai lớp

trong miền tổng quát:

1 2( , ) | , ( ) ( )D x y a x b g x y g x Loại1:

1 2( , ) | , ( ) ( )D x y a x b g x y g x

2.3 Phương pháp tính tích phân hai lớp

trong miền tổng quát:

Loại 1:

1 2( , ) | , ( ) ( )D x y a x b g x y g x

2.3 Phương pháp tính tích phân hai lớp

trong miền tổng quát:

Nếu là hàm số liên tục trên miền (loại 1)

thì

2

1

( )

( )

( , ) ( , )

g xb

D a g x

f x y dxdy f x y dydx

f D

2.3 Phương pháp tính tích phân hai lớp

trong miền tổng quát:

Ví dụ cho phương pháp tính tích phân của

hàm trên miền (loại 1) f D

2 2( , ) | 1 1,2 1D x y x x y x

22D

x y dxdy

2.3 Phương pháp tính tích phân hai lớp

trong miền tổng quát:

Loại 2:

1 2( , ) | ( ) ( ),D x y h y x g y c y d

2.3 Phương pháp tính tích phân hai lớp

trong miền tổng quát:

Nếu là hàm số liên tục trên miền (loại 2) f D

2

1

( )

( )

( , ) ( , )

h yd

D c h y

f x y dxdy f x y dxdy

1 2( , ) | ( ) ( ),D x y h y x g y c y d

2.3 Phương pháp tính tích phân hai lớp

trong miền tổng quát:

Ví dụ cho phương pháp tính tích phân của

hàm trên miền (loại 2) f D

( , ) | 0 4,2

yD x y y x y

2 2

D

x y dxdy

2.4 Phương pháp tính tích phân hai lớp

theo tọa độ cực:

2.4 Phương pháp tính tích phân hai lớp

theo tọa độ cực:

2.4 Phương pháp tính tích phân hai lớp

theo tọa độ cực:

Định nghĩ hình chữ nhật theo tọa độ cực

( , ) ,R r a r b

2.4 Phương pháp tính tích phân hai lớp

theo tọa độ cực:

Nếu hàm số liên tục trên hình chữ nhật

theo tọa độ cực

f

( , ) ,R r a r b

với 0 2

( , ) ( cos , sin )

b

R a

f x y dxdy f r r rdrd

Ví dụ

2.4 Phương pháp tính tích phân hai lớp

theo tọa độ cực:

2 3( 4 )R

x y dxdy

2.4 Phương pháp tính tích phân hai lớp

theo tọa độ cực:

Nếu hàm số liên tục trên miền f

2 2( , ) | ( 1) 1D x y x y

2.4 Phương pháp tính tích phân hai lớp

theo tọa độ cực:

Ví dụ:

3( 2 )D

x y dxdy

Ứng dụng của tích phân bội

Tính khối lượng của một tấm mỏng

(laminar)

( , )D

m x y dA

( , )x y khối lượng riêng tại điểm ( , )x y D

D

Ứng dụng của tích phân bội

Tổng điện tích trên 1 tấm mỏng

( , )D

Q x y dA

D

( , )x y mật độ điện tích tại điểm ( , )x y D

Ứng dụng của tích phân bội

Tọa độ tâm khối (the center of mass)

của một tấm mỏng có hàm khối lượng

riêng tại điểm

D

_ _

( , )x y

( , )x y ( , )x y D

_ 1( , )

D

x x x y dAm

_ 1

( , )D

y y x y dAm

( , )D

m x y dA

Tích phân bội ba

Cho hàm xác định trên một hình hộp chữ

nhật

f

( , , ) | , ,B x y z a x b c y d r z s

Tích phân bội ba

Tích phân bội ba của hàm trên hình hộp

chữ nhật f

B

, ,1 1 1

( , , ) lim ( , , )l m n

ijk ijk ijkl m n

i j kB

f x y z dV f x y z V

, ,1 1 1

( , , ) lim ( , , )l m n

ijk ijk ijkl m n

i j kB

f x y z dV f x y z V

Tích phân bội ba

Định lý Fubini cho tích phân bội ba

Cho là hàm liên tục trên hình hộp chữ

nhật

f

( , , ) | , ,B x y z a x b c y d r z s

( , , ) ( , , )

s d b

B r c a

f x y z dV f x y z dxdydz

Tích phân bội ba

Tích phân bội ba

Tính tích phân bội ba của hàm 3( , , )f x y z xyz

trên hình hộp chữ nhật

( , , ) |1 2,3 4,0 2B x y z x y z

Tích phân bội ba

Cách tính các kiểu tích phân bội ba

Loại 1:

Loại 1a

Tích phân bội ba

Loại 1a

Tích phân bội ba

Loại 1b

Loại 1b

Tích phân bội ba

Loại 2

Loại 2

Tích phân bội ba

Loại 3

Tích phân bội ba

Loại 3

Tích phân bội ba

Tích phân bội ba

Đưa về tọa độ trụ:

Đổi tọa độ Descartes (x,y,z) thành tọa độ trụ

( , , )r z

( , , ) ( cos , sin , )f x y z f r r z

Đưa về tọa độ trụ:

( , , ) ( , , )

( , , ) ( cos , sin , )V x y z V r z

f x y z dxdydz f r r z drdr dz

Tích phân bội ba

Ví dụ:

Đưa về tọa độ trụ:

Tích phân bội ba

Tích phân bội ba

Đưa về tọa độ cầu:

Tích phân bội ba

Tọa độ cầu:

Ví dụ:

Tích phân đường

Cho đường cong C

Chiều dài của đường cong C

Tích phân đường

Tích phân đường

Tích phân đường loại: không phụ

thuộc vào đường đi C

1) C cho bởi phương trình tham số

Tích phân đường

2) C cho bởi phương trình

Tích phân đường

3) C cho bởi phương trình tọa độ cực

Tích phân mặt

Định lý Ostrogradski

Định lý Stokes: