Giải Tích B2dulieu.tailieuhoctap.vn/books/giao-duc-dai-cuong/toan... · 2015-07-20 · LOGO...

LOGO

Giải Tích B2 Trường đại học Khoa Học Tự Nhiên Tp. HCM

User

Sticky Note

làm bài trong slide 73 và 81

1.1 Các khái niệm về không gian n

1.3 Hàm số nhiều biến liên tục

1.2 Tập mở trong n

1.4 Đạo hàm riêng phần của các hàm

số nhiều biến

Chương 1: Không gian n

1.1 Các khái niệm về không gian

Tích Descartes

... n

n

hay

1 2, ,..., , 1,2,...,n

n kx x x x k n

Tích Descartes của n tập số thực :


Ví dụ không gian Euclide:

• n = 2, không gian thực 2 chiều

2

• n=3, không gian thực 3 chiều 3

3 1 2 3

, , , 1,2,3k

x x x x k

2 1 2, , 1,2

kx x x k


Điểm trong không gian n

Điểm có tọa độ (0, 0,…0) được gọi là gốc

tọa độ.

nMỗi điểm của , 1 2

, ,...,n

P x x x

1 2, ,...,

nx x xvới là một phần tử của ,

n

tọa độ thứ k của P k

x


Ví dụ về điểm trong không gian n

n=3, 3

Vector trong không gian 2

Vector có: AB

• gốc điểm , đỉnh điểm 1 2,A a a 1 2,B b b

• tọa độ của vector 1 1 2 2,AB b a b a

• môđum : 2 2

1 1 2 2AB b a b a

AB



AB CD

• nếu 1 1 1 1

2 2 2 2

b a d c

b a d c

1 2 1 2 1 2 1 2, , , , , , ,A a a B b b C c c D d dvới:


• Tổng hai vector AC AB BC


• Các phép toán đại số về vector:

Với bốn vector a, b, c, v và hai số

thực h, k, chúng ta có các phép

toán đại số vector như sau:

Nhân vô hướng: hv


( . ) ( )h k a h ka

( )h k a ha ka

( )h a b ha hb

với hai vector a, b, và h số thực.


Nhân vô hướng:


( ) ( )a b c a b c

Phép cộng

0a a

( ) 0a a

a b b a

Phép cộng



Tích vô hướng

Tích vô hướng của hai vector a, b với

1 1,..., , ,..., n

n na a a b b b

1 1

1

. ...n

n n i i

i

a b a b a b a b

. . .cosa b a b

góc giữa hai vector a và b


12

2

1

n

i

i

a a

2.a a a

Chuẩn trong không gian n

Các tính chất của chuẩn

0, 0 0a a a

. , ,nka k a a k

a b a b


1.2 Tập mở

Điểm trong

( ) { | || || }nB x y y x

Lấy là điểm trong của , nếu tồn

tại lân cận của nó chứa trong .

nx U ( )B x

UU

1.2 Tập mở

Tập hợp được gọi là tập mở nếu mọi

điểm của nó đều là điểm trong.

U

là hai tập mở. , n

Các tính chất của tập mở:

Nếu là tập mở, thì

là một tập mở. 1 2, ,..., nS S S

1

n

i

i

S

Ví dụ: cho mỗi , là

tập mở của . Nhưng không

phải là một tập mở.

m1 1

,mSm m

1

0m

m

S

1.2 Tập mở

1.2 Tập mở

Lấy là một tập tùy ý. Nếu là tập mở

với mỗi , thì là một tập mở.

S

AA

S

A

0,1 , ( 1, )A S Ví dụ: là tập mở trong

với mỗi . là một tập

mở trong . A ( 1,1)

A

S


Hàm nhiều biến:

Cho tập khác rỗng, ánh xạ

sao cho mỗi điểm có một ảnh trong

với được gọi là hàm nhiều

biến.

2D :f D

M D( , )z f x y


Ví dụ:

( , ) sin sinz f x y x y


Hàm ba biến 3:f D

( , , ) ( , , )x y z f x y zVí dụ:

2 2 3( , , )f x y z x y z


Giới hạn hàm số

Hàm số , chúng ta gọi hàm

có giới hạn là L tại điểm khi

, kí hiệu

2:f D ( , )a b D

( , ) ( , )x y D a b

( , ) ( , )lim ( , )

x y a bf x y L

lấy , tồn tại thỏa nếu

và thì

0 0 ( , )x y D

2 20 ( ) ( )x a y b

( , ) ( , )lim ( , )

x y a bf x y L

, nghĩa là

( , )f x y L


( , ) ( , )lim ( , ) ( , )

x y a bf x y f a b

Hàm thực hai biến được gọi là liên tục tại

(a,b) nếu

f

Ta gọi hàm liên tục trên nếu nó liên

tục tại mọi điểm trong .

f D

( , )a b D



Xác định tại ; 2

0 0,x y D

Hàm số được gọi là hàm

liên tục tại điểm nếu thỏa

mãn:

2:f D

2

0 0,x y D

Tồn tại 0 0, ,

lim ( , ) ;x y x y

f x y L

0 0( , )f x y L .


Ví dụ:

2 2

2 2, ( , ) (0,0)

1) ,

0, ( , ) (0,0)

x yx y

f x y x y

x y

_ _1 1

, ,0 , , 0,nn n nx y x y

n n

Chúng ta chọn hai dãy:

2

2 2, ( , ) (0,0)

2) ,

0, ( , ) (0,0)

xyx y

f x y x y

x y


Chúng ta có:

2

2 2( , )

xyf x y x

x y

1.4 Đạo hàm riêng phần của hàm số

nhiều biến

Xét hàm số trên tập mở . Với

một điểm , chúng ta có định

nghĩa đạo hàm riêng phần của hàm số

tại điểm , như sau:

f 2U D

0 0( , )x y Uf

0 0( , )x y

0 0 0 00 0 0 0

0

( , ) ( , ), , limx

h

f x h y f x yfx y f x y

x h

0 0 0 00 0 0 0

0

( , ) ( , ), , limy

h

f x y h f x yfx y f x y

y h


nhiều biến

Ví dụ:

2( , )f x y x y

Tính đạo hàm riêng phần của hàm

Vector gradient của f

0 0 0 0 0 0, , , ,f f

f x y x y x yx y


nhiều biến

Cho hai hàm số xác định trên tập mở U

và giả sử có các đạo hàm tại mọi điểm

(x,y) của U

,f g,f g

( )f g f g

( ) ,f f

( )fg f g g f

2

f g f f g

g g


nhiều biến

Ý nghĩa hình học của đạo hàm riêng phần

của hàm số hai biến:

Cho phương trình diễn tả mặt

hình học S

( , )z f x y


nhiều biến

1 1( ) ( , )g x f x b C

2 2( ) ( , )g y f a y C

1 '( ) ( , )xg a f a b , lần lượt

là độ dốc của tiếp tuyến , tại điểm P. 1T2 '( ) ( , )yg b f a b

2T


nhiều biến

Đạo hàm riêng phần bậc hai:


nhiều biến


nhiều biến

Khai triển Taylor hàm nhiều biến:

Cho hàm là hàm xác định trên một tập mở

, và có đạo hàm liên tục tới cấp r,

điểm p và . Giả sử

. Khi đó tồn tại sao cho:

2D 2h D ,p th D

0,1t 0,1

.( ) ( ) ( ) ...

1!

hf p h f p f p

1

. .( ) ( )

( 1)! !

r rh h

f p f p hr r

1

1

1

1

... 1 1

( . ) ......

n

n

n

rr

n

r n n

fh f h h

x x

Với 1 2

1

( ,..., ), ,...,n

h h hx x

Chúng ta sử dụng khai triển Taylor để tính

giá trị gần đúng của biểu thức: Cho biểu

thức A, đặt


nhiều biến

0 0 0 0 0 0( , ) ( , ) ( , ) ( , )f f

f x y f x y x y x x y yx y

Xem ví dụ trang 68, sách giáo trình giải tích

các hàm nhiều biến.


nhiều biến

Trong không gian , đạo hàm của hàm số

là ( )y f x

'( )dy f x dx


nhiều biến

Trong không gian , đạo hàm của hàm số

là

2

( , )z f x y

( , ) ( , )

( , ) ( , )

x ydz f x y dx f x y dy

f fx y dx x y dy

x y


nhiều biến

Ví dụ: chúng ta dùng thước đo một hộp

hình chữ nhật có số đo các chiều: 75 cm,

60 cm, 40 cm. Trong mỗi lần đo có sai số

trong khoảng 0.2 cm. Chúng ta sử dụng

đạo hàm để đánh giá sai số lớn nhất có

thể xảy ra khi chúng tính thể tích của hộp.


nhiều biến

Thể tích của hộp chữ nhật: . .V x y z

0.2, 0.2, 0.2x y z

Do đó, chúng ta sử dụng 0.2dx dy dz

và x=75, y=60, z=40


nhiều biến

Chương 2: Tích phân nhiều biến.

2.1 Tích phân hai lớp.

2.2 Phương pháp tính tích phân 2 lớp

trong hệ tọa độ Descartes

2.3 Đổi biến trong tích phân hai lớp

2.4 Ứng dụng


Trong không gian , chúng ta có định nghĩa

tích phân

*

1

( ) lim ( )

b n

i in

ia

s f x dx f x x

*

1

( ) lim ( )

b n

i in

ia

s f x dx f x x



3

3 3

10

6 lim 6n

i i in

i

x x dx x x x

3b ax

n n

3i

ix

n


Trong trường hợp , chúng ta xét một hàm

trên hình chữ nhật sau:

2

f

, ,R a b c d

Chúng ta tính thể tích của

3( , , ) 0 ( , ),( , )S x y z z f x y x y R


1 1, ,ij i i i iR x x y y


.A x y

* *

,1 1

( , ) lim ,m n

ij ijm n

i jR

f x y dxdy f x y A

Tính chất của tích phân hai lớp:


2.2 Phương pháp tính tích phân hai lớp

trong hệ tọa độ Descartes:

Cho là hàm số hai biến xác định trên

hình chữ nhật , chúng ta

tính tích phân của

( , )f x y

, ,R a b c d R

( , ) ( , )

b d

R a c

S f x y dxdy f x y dxdy Bước 1:

( ) ( , )d

cA y f x y dx

( ) ( , )b b d

a a cS A y dy f x y dx dy

Bước 2:





Định lý Fubini: nếu là hàm liên tục trên

hình chữ nhật

thì

f

( , ) | ,R x y a x b c y d

( , ) ( , ) ( , )

b d d b

R a c c a

f x y dxdy f x y dydx f x y dxdy


trong miền tổng quát:

Chúng ta phân loại miền thành các loại

sau đây:

Loại 1:

D

1 2( , ) | , ( ) ( )D x y a x b g x y g x



1 2( , ) | , ( ) ( )D x y a x b g x y g x Loại1:

1 2( , ) | , ( ) ( )D x y a x b g x y g x



Loại 1:

1 2( , ) | , ( ) ( )D x y a x b g x y g x



Nếu là hàm số liên tục trên miền (loại 1)

thì

2

1

( )

( )

( , ) ( , )

g xb

D a g x

f x y dxdy f x y dydx

f D



Ví dụ cho phương pháp tính tích phân của

hàm trên miền (loại 1) f D

2 2( , ) | 1 1,2 1D x y x x y x

22D

x y dxdy



Loại 2:

1 2( , ) | ( ) ( ),D x y h y x g y c y d



Nếu là hàm số liên tục trên miền (loại 2) f D

2

1

( )

( )

( , ) ( , )

h yd

D c h y

f x y dxdy f x y dxdy

1 2( , ) | ( ) ( ),D x y h y x g y c y d



Ví dụ cho phương pháp tính tích phân của

hàm trên miền (loại 2) f D

( , ) | 0 4,2

yD x y y x y

2 2

D

x y dxdy


theo tọa độ cực:



Định nghĩ hình chữ nhật theo tọa độ cực

( , ) ,R r a r b



Nếu hàm số liên tục trên hình chữ nhật

theo tọa độ cực

f

( , ) ,R r a r b

với 0 2

( , ) ( cos , sin )

b

R a

f x y dxdy f r r rdrd

Ví dụ



2 3( 4 )R

x y dxdy



Nếu hàm số liên tục trên miền f

2 2( , ) | ( 1) 1D x y x y



Ví dụ:

3( 2 )D

x y dxdy

Ứng dụng của tích phân bội

Tính khối lượng của một tấm mỏng

(laminar)

( , )D

m x y dA

( , )x y khối lượng riêng tại điểm ( , )x y D

D


Tổng điện tích trên 1 tấm mỏng

( , )D

Q x y dA

D

( , )x y mật độ điện tích tại điểm ( , )x y D


Tọa độ tâm khối (the center of mass)

của một tấm mỏng có hàm khối lượng

riêng tại điểm

D

_ _

( , )x y

( , )x y ( , )x y D

_ 1( , )

D

x x x y dAm

_ 1

( , )D

y y x y dAm

( , )D

m x y dA

Tích phân bội ba

Cho hàm xác định trên một hình hộp chữ

nhật

f

( , , ) | , ,B x y z a x b c y d r z s


Tích phân bội ba của hàm trên hình hộp

chữ nhật f

B

, ,1 1 1

( , , ) lim ( , , )l m n

ijk ijk ijkl m n

i j kB

f x y z dV f x y z V

, ,1 1 1

( , , ) lim ( , , )l m n

ijk ijk ijkl m n

i j kB

f x y z dV f x y z V


Định lý Fubini cho tích phân bội ba

Cho là hàm liên tục trên hình hộp chữ

nhật

f

( , , ) | , ,B x y z a x b c y d r z s

( , , ) ( , , )

s d b

B r c a

f x y z dV f x y z dxdydz



Tính tích phân bội ba của hàm 3( , , )f x y z xyz

trên hình hộp chữ nhật

( , , ) |1 2,3 4,0 2B x y z x y z


Cách tính các kiểu tích phân bội ba

Loại 1:

Loại 1a


Loại 1a


Loại 1b

Loại 1b


Loại 2

Loại 3



Đưa về tọa độ trụ:

Đổi tọa độ Descartes (x,y,z) thành tọa độ trụ

( , , )r z

( , , ) ( cos , sin , )f x y z f r r z


( , , ) ( , , )

( , , ) ( cos , sin , )V x y z V r z

f x y z dxdydz f r r z drdr dz


Ví dụ:




Đưa về tọa độ cầu:


Tọa độ cầu:

Ví dụ:

Tích phân đường

Cho đường cong C

Chiều dài của đường cong C



Tích phân đường loại: không phụ

thuộc vào đường đi C

1) C cho bởi phương trình tham số


2) C cho bởi phương trình


3) C cho bởi phương trình tọa độ cực

Tích phân mặt

Định lý Ostrogradski

Định lý Stokes:

Giải Tích B2dulieu.tailieuhoctap.vn/books/giao-duc-dai-cuong/toan... · 2015-07-20 · LOGO...

Documents

Transcript of Giải Tích B2dulieu.tailieuhoctap.vn/books/giao-duc-dai-cuong/toan... · 2015-07-20 · LOGO...