1

BÀI SOẠN GIẢI TÍCH HÀM NÂNG CAO

CAO HỌC CẦN THƠ KHÓA 19

(Tài liệu chỉ mang nh chất tham khảo – h p://nguyenchiphuong.wordpress.com )

Câu 1: Phát biểu và chứng minh định lý về đối ngẫu cho giới hạn của dãy tập.

Phát biểu: Giả sử 퐾 là dãy các nón lồi đóng trong không gian Banach 푋 khi đó:

lim inf 퐾 = (휎_ lim sup 퐾 )

Chứng minh:

(⇒) Chứng minh: lim inf 퐾 ⊂ (휎_ lim sup 퐾 )

Giả sử 푥 ∈ lim inf 퐾 thì 푥 có dạng 푥 = lim푥 , 푥 ∈ 퐾 và 푝 ∈ 휎_ lim sup 퐾 bất kỳ. Để chứng minh 푥 ∈ 휎_ lim sup 퐾 ta cần chứng minh ⟨푝, 푥⟩ ≤ 0

Thật vậy:

Theo định nghĩa 푝 =*yếu-lim푝 với 푝 ∈ 퐾 nên ⟨푝 , 푥 ⟩ ≤ 0

Cho 푘 → ∞ ta được ⟨푝, 푥⟩ ≤ 0

(⇐) Chứng minh: (휎_ lim sup 퐾 ) ⊂ lim inf 퐾

Chứng minh phản chứng, giả sử 푥 ∈ (휎_ lim sup 퐾 ) nhưng 푥 ∉ lim inf 퐾

Khi đó có 휀 > 0 và dãy con, vẫn ký hiệu là 퐾 sao cho (푥 + 휀퐵)⋂퐾 = ∅,∀푛 . Trong đó 퐵 là hình cầu đơn vị mở của 푋.

Cố định 푛 bất kỳ. Theo định lý tách sẽ có 푝 ∈ 푋∗ ,‖푝 ‖ = 1, sao cho:

푠푢푝∈

⟨푝 ,푘⟩ ≤ inf⟨푝 ,푥 + 휀퐵⟩ = ⟨푝 ,푥⟩ − 휀‖푝 ‖ = ⟨푝 ,푥⟩ − 휀

Vì 퐾 là nón nên 푝 ∈ 퐾 và 푠푢푝∈

⟨푝 ,푘⟩ = 0

Do hình cầu đ.vị đóng trong 푋∗ là compact *-yếu nên ∃ dãy con 푝 hội tụ *-yếu đến 푝 nào đó.

Theo định nghĩa giới hạn trên 푝 ∈ 휎_ lim sup 퐾 . Mà 푥 ∈ (휎_ lim sup 퐾 ) nên ⟨푝,푥⟩ ≤ 0

Mặt khác 0 ≤ ⟨푝 ,푥⟩ − 휀. Cho 푛 → ∞ ta được 0 ≤ ⟨푝, 푥⟩ − 휀

Suy ra 휀 ≤ ⟨푝,푥⟩ ≤ 0 (vô lý)

Câu 2: Định nghĩa nh liên tục của ánh xạ đa trị giữa các không gian topo. Phát biểu và chứng minh các đặc trưng của nh nửa liên tục qua nghịch ảnh và qua “nửa giới hạn”.

1. Định nghĩa: Cho 퐹:푋 ↝ 푌 là ánh xạ đa trị từ KG topo 푋 vào không gian topo 푌. Ta nói:

2

Ánh xạ đa trị 퐹 là nửa liên tục trên (usc) tại 푥 ∈ 푑표푚퐹 nếu với mọi lân cận 푈 của ảnh 퐹(푥) thì tồn tại 휂 > 0 sao cho 퐹퐵(푥,휂) ⊂ 푈

Ánh xạ đa trị 퐹 là nửa liên tục dưới (lsc) tại 푥 ∈ 푑표푚퐹 nếu với ∀푈 mở: 푈 ∩ 퐹(푥) ≠ ∅,∃휂 >0,∀푥 ∈ 퐵(푥,휂),퐹(푥′) ∩ 푈 ≠ ∅

Ánh xạ đa trị 퐹 liên tục tại 푥 nếu nó vừa nửa liên tục trên, vửa nửa liên tục dưới tại 푥

2. Phát biểu đặc trưng của nh nửa liên tục qua nghịch ảnh:

(i) 퐹 là lsc tại 푥 ⇔ nghịch ảnh của một tập mở bất kỳ có giao với 퐹(푥) khác ∅ là lân cận của 푥.

(ii) Do đó 퐹 là lsc khi và chỉ khi nghịch ảnh của mọi tập mở là mở.

(iii) Giả sử 푑표푚퐹 là tập đóng. Khi đó 퐹 là usc ⇔ nghịch ảnh của mọi tập đóng là tập đóng.

Chứng minh:

Chứng minh (i): 퐹 là lsc tại 푥 ⇔ nghịch ảnh của một tập mở bất kỳ có giao với 퐹(푥) khác ∅ là lân cận của 푥.

(⇒) G.sử 퐹 là lsc nghĩa là với ∀푈 mở: 푈 ∩ 퐹(푥) ≠ ∅,∃휂 > 0,∀푥 ∈ 퐵(푥,휂),퐹(푥′) ∩ 푈 ≠ ∅

Ta cần chứng minh 퐹 (푈) là lân cận của 푥

Thật vậy:

Ta có: ∀푥 ∈ 퐵(푥, 휂),퐹(푥 ) ∩ 푈 ≠ ∅ ⇒ 푥 ∈ 퐹 (푈) ⇒ 퐵(푥,휂) ⊂ 퐹 (푈) ⇒ 퐹 (푈) mở

Vậy 퐹 (푈) là lân cận của 푥

(⇐) Giả sử ∀푈 mở: 푈 ∩ 퐹(푥) ≠ ∅ thì 퐹 (푈) là lân cận của 푥. Ta chứng minh 퐹 là lsc

Thật vậy:

Do 퐹 (푈) là lân cận của 푥 nên ∃휂 > 0:퐵(푥,휂) ⊂ 퐹 (푈)

Suy ra ∀푥′ ∈ 퐵(푥,휂) thì 푥′ ∈ 퐹 (푈) hay 퐹(푥 ) ∩ 푈 ≠ ∅

Vậy 퐹 là lsc

Chứng minh (ii): 퐹 là lsc khi và chỉ khi nghịch ảnh của mọi tập mở là mở.

Theo chứng minh câu (i) ta có thể suy trực ếp (ii)

Chứng minh (iii): 퐹 là usc khi và chỉ khi nghịch ảnh của mọi tập đóng là tập đóng.

(⇒) Giả sử 퐹 là usc và 푀 là tập đóng trong 푌. Ta CM 퐹 (푀) đóng hay 푋\퐹 (푀) mở

Thật vậy:

Xét 푥 ∈ 푋\퐹 (푀) ⇒ 퐹(푥) ∈ 푌\푀 mở

Do 퐹 là usc nên tồn tại 휂 > 0,퐵(푥, 휂) sao cho 퐹퐵(푥,휂) ⊂ 푌\푀

Khi đó với ∀푥′ ∈ 퐵(푥, 휂) thì 퐹(푥 ) ⊂ 푌\푀 hay 퐹(푥 ) ∩푀 = ∅ ⇒ 푥′ ∈ 푋\퐹 (푀)

3

Suy ra 퐵(푥,휂) ⊂ 푋\퐹 (푀) ⇒ 푋\퐹 (푀) mở

Vậy 퐹 (푀) đóng

(⇐) Giả sử nghịch ảnh của mọi tập đóng là tập đóng. Ta chứng minh 퐹 là usc

Thật vậy:

Xét 푀 là tập mở trong 푌 thì 푌\푀 đóng trong 푋 ⇒ 퐹 (푌\푀) đóng ⇒ 푋\퐹 (푌\푀) mở

Mặt khác 푋\퐹 (푌\푀) = 퐹 (푀) nên 퐹 (푀) mở

Vậy nhân của mọi tập mở là mở nên 퐹 là usc

3. Phát biểu đặc trưng của nh nửa liên tục qua nửa giới hạn:

(i) (푥, 푦) ∈ 푔푟퐹 ⇔ 푦 ∈ lim→

sup퐹(푥′)

(ii) 퐹 là lsc tại 푥 ∈ 푑표푚퐹 khi và chỉ khi 퐹(푥) ⊂ lim→

sup퐹(푥′)

Chứng minh:

Chứng minh (i): (푥,푦) ∈ 푔푟퐹 ⇔ 푦 ∈ lim→

sup 퐹(푥′)

푦 ∈ lim→

sup퐹(푥′) có nghĩa là tồn tại 푥 → 푥,푦 ∈ 퐹(푥 ) sao cho lim푑(푦,푦 ) = 0. Điều

này có nghĩa là (푥 ,푦 ) ∈ 푔푟퐹 và (푥 ,푦 ) → (푥, 푦). Do đó (푥,푦) ∈ 푔푟퐹

Chứng minh (ii): 퐹 là lsc tại 푥 ∈ 푑표푚퐹 khi và chỉ khi 퐹(푥) ⊂ lim→

sup퐹(푥′)

Giả sử 퐹(푥) ⊄ lim→

sup퐹(푥′)

Vì VP là tập đóng nên có 푦 ∈ 퐹(푥) và lân cận 푈 của 푦 sao cho 푈 ∩ lim→

sup퐹(푥 ) = ∅

Điều này có nghĩa là tồn tại 푥 → 푥,∀푦 ∈ 퐹(푥 ) thì 푦 ↛ 푦. Do đó 푦 không lsc tại 푥

Câu 3: Phát biểu và chứng minh địnhy ý giới nội đều của ánh xạ đa trị

Phát biểu: Giả sử 퐹 là họ quá trình lồi đóng: 푋 ↝ 푌, giới nội theo điểm, tức là:

∀푥 ∈ 푋,∃푦 ∈ 퐹 (푥), sup‖푦 ‖ < +∞

Khi đó họ 퐹 là giới nội đều, tức là sup‖퐹 ‖ < +∞

Chứng minh:

Xét họ phiếm hàm: 휚 (푥) ≔ inf∈ ( )

‖푦‖ ≡ 푑(0,퐹 (푥))

Khi đó các 휚 là lồi và thuần nhất dương. Ta chứng minh 휚 là lsc, tức là ∀휀,∃훿, ‖푥 − 푥 ‖ ≤ 훿,

푑 0,퐹 (푥) ≥ 푑 0,퐹 (푥 ) − 휀 (∗)

4

Do 퐹 là Lipschitz nên ta có 푙 > 0 để

퐹 (푥) ⊂ 퐹 (푥 ) + 푙‖푥 − 푥 ‖퐵 ⇒ 푑 0,퐹 (푥) ≥ 푑 0,퐹 (푥 ) − 푙‖푥 − 푥 ‖

Lấy 훿 = ta được (*). Vậy 휚 là lsc

Gọi 휚 (푥) ≔ sup 휚 (x) ,∀푥 thì 휚 là hàm hữu hạn (theo gt)

Ta cũng có 휚 ,휚 lồi, thuần nhất dương và lsc. Do đó 휚 phải thỏa điều kiện Lipschitz tại 0

Suy ra 휚(푥) ≤ 푘‖푥‖ với 푘 > 0

Vậy sup푑(0,퐹 (푥)) ≡ 휚(푥) ≤ 푘‖푥‖ và ‖퐹 ‖ ≤ 푘 < +∞

Câu 4: Phát biểu và chứng minh nguyên lý biến phân Ekeland

Phát biểu: giả sử X là không gian mêtric đủ, 푉:푋 → 푅 ∪ {+∞} là phiếm hàm lsc và bị chặn dưới. Cho 푥 ∈ 푑표푚푉 và 휀 > 0 bất kỳ. Khi đó tồn tại 푥̅ ∈ 푋 để

(i) 푉(푥̅) + 휀푑(푥 , 푥̅) ≤ 푉(푥 )

(ii) ∀푥 ≠ 푥̅,푉(푥̅) < 푉(푥) + 휀푑(푥, 푥̅)

Chứng minh:

Không mất nh tổng quát ta coi 푉(푥) ≥ 0 và 휀 = 1. Ta xác định a.xạ đa trị 퐹:푋 ↝ 푋 như sau:

퐹(푥) ≔ {푦 ∈ 푋:푉(푦) + 푑(푥, 푦) ≤ 푉(푥)}

Khi đó 2 kết luận của định lý có thể viết lại là:

(i) 푥̅ ∈ 퐹(푥 ) (푥̅ “tốt hơn” 푥 )

(ii) ∀푥 ≠ 푥̅,푥 ∉ 퐹(푥̅) (không có điểm khác tốt hơn 푥̅)

Do 푉 là lsc nên 푉(. ) + 푑(푥, . ) cũng lsc và ∀푥:퐹(푥) đóng và 퐹(푥) ≠ ∅ vì 푥 ∈ 퐹(푥)

Ngoài ra 푦 ∈ 퐹(푥) ⇒ 퐹(푦) ⊂ 퐹(푥)

Thật vậy, nếu 푥 ∉ 푑표푚푉 thì 퐹(푦) ⊂ 퐹(푥) vì 퐹(푥) = 푋

Nếu 푉(푥) hữu hạn thì từ 푧 ∈ 퐹(푦),푦 ∈ 퐹(푥) ta có

푉(푧) + 푑(푦, 푧) ≤ 푉(푦) (1)

푉(푦) + 푑(푥, 푦) ≤ 푉(푥) (2)

Lấy (1)+(2) ta được

푉(푧) + 푉(푦) + 푑(푥, 푧) ≤ 푉(푦) + 푉(푥)

푉(푧) + 푑(푥, 푧) ≤ 푉(푥)

Tức là 푧 ∈ 퐹(푥). Vậy 퐹(푦) ⊂ 퐹(푥)

5

Bây giờ ta đặt 푔(푥) ≔ inf∈ ( )

푉(푦) ,∀푥 ∈ 푑표푚푉

Thì

푑(푥,푦) ≤ 푉(푥)− 푉(푦) ≤ 푉(푥)− 푔(푥),∀푦 ∈ 퐹(푥)

Do đó

푑푖푎푚퐹(푥) ≤ 2(푉(푥)− 푉(푦))

Ta lập dãy {푥 },푛 = 0,1,2, … sao cho 푥 ∈ 퐹(푥 ),푉(푥 ) ≤ 푔(푥) + 2

Do 퐹(푥 ) ⊂ 퐹(푥 ) nên 푔(푥 ) ≥ 푔(푥 )

Vì thế

0 ≤ 푉(푥 ) − 푔(푥 ) ≤ 2

Dãy tập 퐹(푥 ) thắt lại và có 푑푖푎푚퐹(푥 ) ≤ 2(푉(푥 )− 푔(푥 )) → 0 nên theo định lý Cantor ta có

퐹(푥 ) = {푥̅}

Từ đây ta suy ra ngay (i): 푥̅ ∈ 퐹(푥 ). Hơn nữa 푥̅ ∈ 퐹(푥 ),∀푛 nên 퐹(푥̅) ⊂ 퐹(푥 ),∀푛

Suy ra 퐹(푥̅) = 푥̅ và ta có (ii)

Câu 5: Phát biểu càng nhiều càng tốt các định nghĩa tương đương cho 3 nón ếp xúc chính đã học. Chứng minh sự tương đương của 3 định nghĩa cho mỗi loại nón.

giả sử 푋 là KGĐC, 퐾 ⊂ 푋 và 푥 ∈ 퐾

1. Nón Con ngent của 푲 tại 풙 là:

푇 (푥) ≔ 푣 ∈ 푋: lim 푖푛푓 →( ) = 0 (1)

푇 (푥) ≔ {푣 ∈ 푋:∃ℎ → 0 ,∃푟(ℎ ) = 휊(ℎ ),∀푛, 푥 + ℎ 푣 + 푟(ℎ ) ∈ 퐾} (2)

푇 (푥) ≔ {푣 ∈ 푋:∃ℎ → 0 ,∃푣 → 푣,∀푛,푥 + ℎ 푣 ∈ 퐾} (3)

푇 (푥) ≔ lim→

푠푢푝퐾 − 푥ℎ (4)

푇 (푥) ≔퐾 − 푥ℎ (5)

푇 (푥) ≔1ℎ

(퐾 − 푥) + 휀퐵 (6)

Chứng minh:

CM: (4) ⇔ (1)

6

푇 (푥) ≔ lim→

푠푢푝퐾 − 푥ℎ

= 푣 ∈ 푋: lim→

푖푛푓푑 푣,퐾 − 푥ℎ = 0

= 푣 ∈ 푋: lim→

푖푛푓푑(ℎ푣,퐾 − 푥)

ℎ = 0

= 푣 ∈ 푋: lim→

푖푛푓푑(푥 + ℎ푣,퐾)

ℎ = 0

= 푣 ∈ 푋: lim→

푖푛푓푑 (푥 + ℎ푣)

ℎ = 0

CM: (2) ⇔ (3)

푇 (푥) ≔ {푣 ∈ 푋:∃ℎ → 0 ,∃푟(ℎ ) = 휊(ℎ ),∀푛, 푥 + ℎ 푣 + 푟(ℎ ) ∈ 퐾}

= 푣 ∈ 푋:∃ℎ → 0 ,∃푟(ℎ ) = 휊(ℎ ),∀푛, 푥 + ℎ 푣 +푟(ℎ )ℎ ∈ 퐾

= {푣 ∈ 푋:∃ℎ → 0 ,∃푣 → 푣,∀푛, 푥 + ℎ 푣 ∈ 퐾}

Với 푣 = 푣 + ( )

CM: (3) ⇔ (1)

푇 (푥) ≔ {푣 ∈ 푋:∃ℎ → 0 ,∃푣 → 푣,∀푛, 푥 + ℎ 푣 ∈ 퐾}

= {푣 ∈ 푋:∃ℎ → 0 ,∃푣 → 푣,∀푛,푑 (푥 + ℎ 푣 ) = 0}

= 푣 ∈ 푋:∃ℎ → 0 ,∃푣 → 푣,∀푛,푑 (푥 + ℎ 푣 )

ℎ = 0

= 푣 ∈ 푋:∃푣 → 푣,∀푛, lim→

푖푛푓 푑 (푥 + ℎ 푣 )

ℎ = 0

= 푣 ∈ 푋: lim→

푖푛푓 푑 (푥 + ℎ푣)

ℎ = 0

CM: (4) ⇔ (6)

푇 (푥) ≔ lim→

푠푢푝퐾 − 푥ℎ

= 푣 ∈ 푋: 푣 = lim→

푥 , 푥 ∈퐾 − 푥ℎ

= 푣 ∈ 푋:∀휀,∀훼,∃ℎ ∈ (0,훼],푑 푣,퐾 − 푥ℎ < 휀

= 푣 ∈ 푋:∀휀,∀훼,∃ℎ ∈ (0,훼],푣 ∈ 퐵퐾 − 푥ℎ , 휀

7

= 푣 ∈ 푋:∀휀,∀훼,∃ℎ ∈ (0,훼],푣 ∈퐾 − 푥ℎ + 퐵(0, 휀)

= 푣 ∈ 푋:∀휀,∀훼,∃ℎ ∈ (0,훼],푣 ∈퐾 − 푥ℎ + 휀퐵

=1ℎ

(퐾 − 푥) + 휀퐵

CM: (5) ⇔ (6)

푇 (푥) ≔퐾 − 푥ℎ

= 퐵퐾 − 푥ℎ , 휀

=1ℎ

(퐾 − 푥) + 휀퐵

2. Nón gần hay nón trung gian của 푲 tại 풙 là:

푇 (푥) ≔ 푣 ∈ 푋: lim→

( ) = 0 (1)

푇 (푥) ≔ {푣 ∈ 푋:∀ℎ → 0 ,∃푟(ℎ ) = 휊(ℎ ),∀푛, 푥 + ℎ 푣 + 푟(ℎ ) ∈ 퐾} (2)

푇 (푥) ≔ {푣 ∈ 푋:∀ℎ → 0 ,∃푣 → 푣,∀푛, 푥 + ℎ 푣 ∈ 퐾} (3)

푇 (푥) ≔ lim→

푖푛푓퐾 − 푥ℎ (4)

푇 (푥) ≔1ℎ

(퐾 − 푥) + 휀퐵 (5)

Chứng minh:

CM: (4) ⇔ (1)

푇 (푥) ≔ lim→

푖푛푓퐾 − 푥ℎ

= 푣 ∈ 푋: lim→

푑 푣,퐾 − 푥ℎ = 0

= 푣 ∈ 푋: lim→

푑(ℎ푣,퐾 − 푥)ℎ = 0

= 푣 ∈ 푋: lim→

푑(ℎ푣,퐾 − 푥)ℎ = 0

= 푣 ∈ 푋: lim→

푑(ℎ푣 + 푥,퐾)ℎ = 0

8

= 푣 ∈ 푋: lim→

푑 (푥 + ℎ푣)ℎ = 0

CM: (4) ⇔ (5)

푇 (푥) ≔ lim→

푖푛푓퐾 − 푥ℎ

= 푣 ∈ 푋:푣 = lim→

푥 ,푥 ∈퐾 − 푥ℎ

= 푣 ∈ 푋:∀휀,∃훼,∀ℎ ∈ (0,훼],푑 푣,퐾 − 푥ℎ < 휀

= 푣 ∈ 푋:∀휀,∃훼,∀ℎ ∈ (0,훼],푣 ∈ 퐵퐾 − 푥ℎ , 휀

= 푣 ∈ 푋:∀휀,∃훼,∀ℎ ∈ (0,훼],푣 ∈1ℎ

(퐾 − 푥) + 퐵(0, 휀)

= 푣 ∈ 푋:∀휀,∃훼,∀ℎ ∈ (0,훼],푣 ∈1ℎ

(퐾 − 푥) + 휀퐵

=1ℎ

(퐾 − 푥) + 휀퐵

CM: (2) ⇔ (3)

푇 (푥) ≔ {푣 ∈ 푋:∀ℎ → 0 ,∃푟(ℎ ) = 휊(ℎ ),∀푛, 푥 + ℎ 푣 + 푟(ℎ ) ∈ 퐾}

= 푣 ∈ 푋:∀ℎ → 0 ,∃푟(ℎ ) = 휊(ℎ ),∀푛, 푥 + ℎ 푣 +푟(ℎ )ℎ ∈ 퐾

= {푣 ∈ 푋:∀ℎ → 0 ,∃푣 → 푣,∀푛,푥 + ℎ 푣 ∈ 퐾}

Với 푣 = 푣 + ( )

CM: (3) ⇔ (1)

푇 (푥) ≔ {푣 ∈ 푋:∀ℎ → 0 ,∃푣 → 푣,∀푛, 푥 + ℎ 푣 ∈ 퐾}

= {푣 ∈ 푋:∀ℎ → 0 ,∃푣 → 푣,∀푛,푑 (푥 + ℎ 푣 ) = 0}

= 푣 ∈ 푋:∀ℎ → 0 ,∃푣 → 푣,∀푛, lim→

푖푛푓푑 (푥 + ℎ 푣 )

ℎ = 0

= 푣 ∈ 푋: lim→

푑 (푥 + ℎ푣)ℎ = 0

3. Nón Clarke hay nón ếp xúc circa của 푲 tại 풙 là:

퐶 (푥) ≔ 푣 ∈ 푋: lim→ , →

푑 (푥 + ℎ푣)ℎ = 0 (1)

퐶 (푥) ≔ 푣 ∈ 푋:∀ℎ → 0 ,∀푥 → 푥,∃푟(ℎ ) = 휊(ℎ ),∀푛, 푥 + ℎ 푣 + 푟(ℎ ) ∈ 퐾 (2)

9

퐶 (푥) ≔ 푣 ∈ 푋:∀ℎ → 0 ,∀푥 → 푥,∃푣 → 푣,∀푛, 푥 + ℎ 푣 ∈ 퐾 (3)

퐶 (푥) ≔ lim→ , →

푖푛푓퐾 − 푥′ℎ (4)

퐶 (푥) ≔1ℎ

(퐾 − 푥 ) + 휀퐵,| |,

(5)

Chứng minh:

CM: (4) ⇔ (1)

퐶 (푥) ≔ lim→ , →

푖푛푓퐾 − 푥ℎ

= 푣 ∈ 푋: lim→ , →

푑 푣,퐾 − 푥′ℎ = 0

= 푣 ∈ 푋: lim→ , →

푑(ℎ푣,퐾 − 푥′)ℎ = 0

= 푣 ∈ 푋: lim→ , →

푑(푥 + ℎ푣,퐾)ℎ = 0

= 푣 ∈ 푋: lim→ , →

푑 (푥 + ℎ푣)ℎ = 0

CM: (4) ⇔ (5)

퐶 (푥) ≔ lim→ , →

푖푛푓퐾 − 푥ℎ

= 푣 ∈ 푋:푣 = lim→

푥 , 푥 ∈퐾 − 푥ℎ

= 푣 ∈ 푋:∀휀,∃훼,훽,∀ℎ ∈ (0,훼], |푥 − 푥 | ≤ 훽, 푑 푣,퐾 − 푥ℎ < 휀

= 푣 ∈ 푋:∀휀,∃훼,훽,∀ℎ ∈ (0,훼], |푥 − 푥 | ≤ 훽, 푣 ∈ 퐵퐾 − 푥ℎ , 휀

= 푣 ∈ 푋:∀휀,∃훼,훽,∀ℎ ∈ (0,훼], |푥 − 푥 | ≤ 훽, 푣 ∈1ℎ

(퐾 − 푥 ) + 퐵(0, 휀)

= 푣 ∈ 푋:∀휀,∃훼,훽,∀ℎ ∈ (0,훼], |푥 − 푥 | ≤ 훽,푣 ∈1ℎ

(퐾 − 푥 ) + 휀퐵

=1ℎ

(퐾 − 푥 ) + 휀퐵,| |,

CM: (2) ⇔ (3)

10

퐶 (푥) ≔ 푣 ∈ 푋:∀ℎ → 0 ,∀푥 → 푥,∃푟(ℎ ) = 휊(ℎ ),∀푛, 푥 + ℎ 푣 + 푟(ℎ ) ∈ 퐾

= 푣 ∈ 푋:∀ℎ → 0 ,∀푥 → 푥,∃푟(ℎ ) = 휊(ℎ ),∀푛, 푥 + ℎ 푣 +푟(ℎ )ℎ ∈ 퐾

= 푣 ∈ 푋:∀ℎ → 0 ,∀푥 → 푥,∃푣 → 푣,∀푛, 푥 + ℎ 푣 ∈ 퐾

Với 푣 = 푣 + ( )

CM: (3) ⇔ (1)

퐶 (푥) ≔ 푣 ∈ 푋:∀ℎ → 0 ,∀푥 → 푥,∃푣 → 푣,∀푛, 푥 + ℎ 푣 ∈ 퐾

= 푣 ∈ 푋:∀ℎ → 0 ,∀푥 → 푥,∃푣 → 푣,∀푛, 푑 (푥 + ℎ 푣 ) = 0

= 푣 ∈ 푋:∃푣 → 푣,∀푛, lim→ , →

푑 (푥 + ℎ 푣 )ℎ = 0

= 푣 ∈ 푋: lim→ , →

푑 (푥 + ℎ푣)ℎ = 0

Câu 6: Chứng minh rằng nón Clarke luôn lồi. Chứng minh nh chất của nón này. Phát biểu và chứng minh quan hệ giữa các nón lồi.

1. Chứng minh nón Clarke luôn lồi.

Ta có 퐶 (푥) là nón. Để CM 퐶 (푥) lồi ta cần CM nếu 푣 ,푣 ∈ 퐶 (푥) thì 푣 + 푣 ∈ 퐶 (푥)

Thật vậy: Vì 푣 ∈ 퐶 (푥) nên với ℎ → 0 , 푥 → 푥,∃푣 → 푣 ,∀푛, 푥 = 푥 + ℎ 푣 ∈ 퐾

Rõ ràng 푥 → 푥 và do 푣 ∈ 퐶 (푥) nên tồn tại 푣 → 푣 sao cho 푥 + ℎ 푣 ∈ 퐾

Ta có: 푥 + ℎ 푣 = 푥 + ℎ 푣 + ℎ 푣 = 푥 + ℎ (푣 + 푣 ),∀푛

Mà 푣 + 푣 → 푣 + 푣 nên 푣 + 푣 ∈ 퐶 (푥)

Vậy nón Clarke luôn lồi

2. Chứng minh nh chất của nón Clarke

CM: 퐶 (푥) + 푇 (푥) ⊂ 푇 (푥)

Giả sử 푣 ∈ 퐶 (푥),푣 ∈ 푇 (푥). Ta cần CM 푣 + 푣 ∈ 푇 (푥)

Vì 푣 ∈ 푇 (푥) nên tồn tại ℎ → 0 , ∃푣 → 푣 , sao cho 푥 = 푥 + ℎ 푣 ∈ 퐾,∀푛

Rõ ràng 푥 → 푥 và do 푣 ∈ 퐶 (푥) nên tồn tại 푣 → 푣 sao cho 푥 +ℎ 푣 ∈ 퐾,∀푛

Ta có 푥 +ℎ 푣 = 푥 + ℎ 푣 + ℎ 푣 = 푥 + ℎ (푣 + 푣 ) ∈ 퐾

Mà 푣 + 푣 → 푣 + 푣 nên 푣 + 푣 ∈ 푇 (푥)

11

CM 퐶 (푥) + 푇 (푥) ⊂ 푇 (푥)

Chứng minh tương tự như phần trên

3. Phát biểu và chứng minh quan hệ giữa các nón lồi

Phát biểu: Nếu 퐾 là tập lồi và 푥 ∈ 퐾 thì 퐶 (푥) = 푇 (푥) = 푇 (푥) = 푆 (푥)

Chứng minh:

Vì 퐶 (푥) là đóng và ta đã có 퐶 (푥) ⊂ 푇 (푥) ⊂ 푇 (푥) ⊂ 푆 (푥)

Nên ta chỉ cần chứng minh 푆 (푥) ⊂ 퐶 (푥)

Thật vậy

Giả sử 푣 ∈ 푆 (푥) ≡퐾 − 푥ℎ

Khi đó có 푦 ∈ 퐾 và ℎ > 0 để 푣 =

Với ℎ → 0 ,푥 → 푥 bất kỳ. Ta đặt 푣 =

Rõ ràng 푣 → 푣 và 푥 + 푣 ℎ = 푥 + (푦 − 푥 ) = 1− 푥 + 푦 ∈ 퐾,∀푛, 0 < ℎ ≤

ℎ (vì 퐾 lồi nên)

Vậy 푣 ∈ 퐶 (푥)

Câu 7: Phát biểu và chứng minh nh chất của nón ếp xúc tập ảnh (trong quan hệ với tập gốc)

Phát biểu: giả sử 푋,푌 là các KGĐC, 퐾 ⊂ 푋, 푓:푋 → 푌 là ánh xạ đơn trị khả vi trên một tập mở chứa 퐾. Khi đó với 푥 ∈ 퐾

(i) 푓′(푥)푇 (푥) ⊂ 푇 ( )(푓(푥))

(ii) 푓′(푥)푇 (푥) ⊂ 푇 ( )(푓(푥))

Chứng minh:

Vì sự tương đương nên ta chỉ cần chứng minh (i)

Giả sử 푢 ∈ 푇 (푥) tức là ∃ℎ → 0 ,∃푢 → 푢,∀푛,푥 = 푥 + ℎ 푢 ∈ 퐾

Do đó 푢 = (푥 − 푥)

Với ∀푛 ta có 푓(푥 ) ∈ 푓(퐾) và 푓(푥 ) = 푓(푥) + ℎ 푓 (푥) + 휊(푥 − 푥)

= 푓(푥) + ℎ 푓 (푥)푥 − 푥ℎ +

휊(푥 − 푥)ℎ

12

Vì 푓 (푥) + ( ) → 푓 (푥)푢 nên theo định nghĩa nón ếp xúc ta có 푓 (푥)푢 ∈ 푇 ( )(푓(푥))

Suy ra 푓′(푥)푇 (푥) ⊂ 푇 ( )(푓(푥)) (đpcm)

Câu 8: Phát biểu càng nhiều càng tốt các định nghĩa tương đương cho ba loại đạo hàm chính của ánh xạ đa trị. Chứng minh sự tương đương của ba định nghĩa mỗi loại.

1. Đạo hàm Con gent

Cho 푋,푌 là các KGĐC, 퐹:푋 ↝ 푌. Đạo hàm con ngent của 퐹 tại (푥, 푦) ∈ 푔푟퐹 kí hiệu là 퐷퐹(푥, 푦) là một ánh xạ đa trị từ 푋 vào 푌 có đồ thị là 푔푟퐷퐹(푥, 푦) = 푇 (푥, 푦)

Trường hợp 퐹 ≔ 푓 là ánh xạ đơn trị thì đạo hàm của nó trên (푥, 푓(푥)) là 퐷푓(푥) = 퐷푓(푥, 푓(푥))

Các định nghĩa tương đương

푣 ∈ 퐷퐹(푥, 푦)(푢) ⇔ ∃ℎ → 0 ,∃(푢 ,푣 ) → (푢, 푣),∀푛,푦 + ℎ 푣 ∈ 퐹(푥 + ℎ 푢 ) (1)

푣 ∈ 퐷퐹(푥,푦)(푢) ⇔ ∀휀 , 휀 ,∀훼,∃ℎ ∈ (0,훼),∃푣 ∈ 푣 + 휀 퐵,∃푢 = 푢 + 휀 , 푦 + ℎ푣∈ 퐹(푥 + ℎ푢 ) (2)

푣 ∈ 퐷퐹(푥, 푦)(푢) ⇔ ∃ℎ → 0 ,∃푟(ℎ ) = 휊(ℎ ),∀푛, 푦 + ℎ 푣 + 푟(ℎ )∈ 퐹 푥 + ℎ 푢 + 푟(ℎ ) (3)

푣 ∈ 퐷퐹(푥, 푦)(푢) ⇔ lim→

inf→푑 푣,

퐹(푥 + ℎ푢 ) − 푦ℎ = 0 (4)

Chứng minh

Chứng minh (1)

푣 ∈ 퐷퐹(푥,푦)(푢) ⇔ (푢,푣) ∈ 푔푟퐷퐹(푥, 푦) ⇔ (푢, 푣) ∈ 푇 (푥, 푦)

⇔ ∃ℎ → 0 ,∃(푢 ,푣 ) → (푢, 푣),∀푛, (푥, 푦) + ℎ (푢 ,푣 ) ∈ 푔푟퐹

⇔ ∃ℎ → 0 ,∃푢 → 푢,∃푣 → 푣,∀푛, 푦 + ℎ 푣 ∈ 퐹(푥 + ℎ 푢 )

Chứng minh (2) 푣 ∈ 퐷퐹(푥,푦)(푢) ⇔ (푢, 푣) ∈ 푔푟퐷퐹(푥,푦) ⇔ (푢, 푣) ∈ 푇 (푥,푦)

⇔ ∀휀 , 휀 ,∀훼,∃ℎ ∈ (0,훼),∃푣 ∈ 푣 + 휀 퐵,∃푢 = 푢 + 휀 , (푥, 푦) + ℎ(푢 , 푣 ) ∈ 푔푟퐹

⇔ ∀휀 , 휀 ,∀훼,∃ℎ ∈ (0,훼),∃푣 ∈ 푣 + 휀 퐵,∃푢 = 푢 + 휀 , 푦 + ℎ푣 ∈ 퐹(푥 + ℎ푢 )

Chứng minh (3)

푣 ∈ 퐷퐹(푥,푦)(푢) ⇔ (푢,푣) ∈ 푔푟퐷퐹(푥,푦) ⇔ (푢, 푣) ∈ 푇 (푥, 푦)

⇔ ∃ℎ → 0 ,∃푟(ℎ ) = 휊(ℎ ),∀푛, (푥, 푦) + ℎ (푢, 푣) + 푟(ℎ ) ∈ 푔푟퐹

⇔ ∃ℎ → 0 ,∃푟(ℎ ) = 휊(ℎ ),∀푛,푦 + ℎ 푣 + 푟(ℎ ) ∈ 퐹 푥 + ℎ 푢 + 푟(ℎ )

Chứng minh (4)

13

푣 ∈ 퐷퐹(푥, 푦)(푢) ⇔ ∃ℎ → 0 ,∃(푢 ,푣 ) → (푢, 푣),∀푛,푦 + ℎ 푣 ∈ 퐹(푥 + ℎ 푢 )

⇔ ∃ℎ → 0 ,∃(푢 ,푣 ) → (푢,푣),∀푛, 푣 ∈퐹(푥 + ℎ 푢 )− 푦

ℎ

⇔ lim→ , →

푖푛푓푑 푣,퐹(푥 + ℎ푢 ) − 푦

ℎ = 0

2. Đạo hàm gần

Cho 푋,푌 là các KGĐC, 퐹:푋 ↝ 푌 và 푦 ∈ 퐹(푥). Đạo hàm gần của 퐹 tại (푥, 푦) ∈ 푔푟퐹 kí hiệu là 퐷 퐹(푥,푦) là một ánh xạ đa trị từ 푋 vào 푌 có đồ thị là 푔푟퐷 퐹(푥, 푦) ≔ 푇 (푥, 푦)

Trường hợp 퐹 ≔ 푓 là ánh xạ đơn trị thì đạo hàm của nó trên (푥, 푓(푥)) là 퐷 푓(푥) =퐷 푓(푥, 푓(푥))

Các định nghĩa tương đương

푣 ∈ 퐷 퐹(푥, 푦)(푢) ⇔ ∀ℎ → 0 ,∃(푢 ,푣 ) → (푢, 푣),∀푛,푦 + ℎ 푣 ∈ 퐹(푥 + ℎ 푢 )(1)

푣 ∈ 퐷 퐹(푥,푦)(푢) ⇔ ∀휀 , 휀 ,∃훼,∀ℎ ∈ (0,훼),∃푢 ∈ 푢 + 휀 퐵,∃푣 ∈ 푣 + 휀 퐵,푦 + ℎ푣∈ 퐹(푥 + ℎ푢 ) (2)

푣 ∈ 퐷 퐹(푥,푦)(푢) ⇔ lim sup→ , →

푖푛푓푑 푣,퐹(푥 + ℎ푢 ) − 푦

ℎ = 0 (3)

Chứng minh:

Chứng minh (1)

푣 ∈ 퐷 퐹(푥, 푦)(푢) ⇔ (푢, 푣) ∈ 푔푟퐷 퐹(푥, 푦) ⇔ (푢,푣) ∈ 푇 (푥,푦)

⇔ ∀ℎ → 0 ,∃(푢 ,푣 ) → (푢,푣),∀푛, (푥,푦) + ℎ (푢 ,푣 ) ∈ 푔푟퐹

⇔ ∀ℎ → 0 ,∃(푢 ,푣 ) → (푢,푣),∀푛, 푦 + ℎ 푣 ∈ 퐹(푥 + ℎ 푢 )

Chứng minh (2)

푣 ∈ 퐷 퐹(푥, 푦)(푢) ⇔ (푢, 푣) ∈ 푔푟퐷 퐹(푥, 푦) ⇔ (푢,푣) ∈ 푇 (푥,푦)

⇔ ∀휀 , 휀 ,∀훼,∀ℎ ∈ (0,훼),∃푣 ∈ 푣 + 휀 퐵,∃푢 = 푢 + 휀 , (푥, 푦) + ℎ(푢 , 푣 ) ∈ 푔푟퐹

⇔ ∀휀 , 휀 ,∀훼,∀ℎ ∈ (0,훼),∃푣 ∈ 푣 + 휀 퐵,∃푢 = 푢 + 휀 ,푦 + ℎ푣 ∈ 퐹(푥 + ℎ푢 )

Chứng minh (3) 푣 ∈ 퐷 퐹(푥, 푦)(푢) ⇔ ∀ℎ → 0 ,∃(푢 ,푣 ) → (푢, 푣),∀푛,푦 + ℎ 푣 ∈ 퐹(푥 + ℎ 푢 )

⇔ ∀ℎ → 0 ,∃(푢 ,푣 ) → (푢, 푣),∀푛, 푣 ∈퐹(푥 + ℎ 푢 )− 푦

ℎ

⇔ lim sup→

inf→푑 푣,

퐹(푥 + ℎ푢 ) − 푦ℎ = 0

3. Đạo hàm Clarke

14

Cho 푋,푌 là các KGĐC, 퐹:푋 ↝ 푌 và 푦 ∈ 퐹(푥). Đạo hàm Clarke của 퐹 tại (푥,푦) ∈ 푔푟퐹 kí hiệu là 퐶퐹(푥, 푦) là một ánh xạ đa trị từ 푋 vào 푌 có đồ thị là 푔푟퐶퐹(푥, 푦) ≔ 퐶 (푥, 푦)

Trường hợp 퐹 ≔ 푓 là ánh xạ đơn trị thì đạo hàm của nó trên (푥, 푓(푥)) là 퐶푓(푥) ≔ 퐶푓(푥, 푓(푥))

Các định nghĩa tương đương

푣 ∈ 퐶퐹(푥, 푦)(푢) ⇔ ∀ℎ → 0 ,∀(푥 ,푦 ) → (푥,푦),∃(푢 ,푣 ) → (푢,푣),∀푛, 푦 + ℎ 푣∈ 퐹(푥 + ℎ 푢 ) (1)

푣 ∈ 퐷 퐹(푥, 푦)(푢) ⇔ ∀휀 , 휀 ,∃훼,∃훽,∀ℎ ∈ (0,훼),∀(푥 ,푦 ) ∈ 퐵 (푥, 푦,훽),∃푢 ∈ 푢 + 휀 퐵,∃푣∈ 푣 + 휀 퐵,푦′ + ℎ푣 ∈ 퐹(푥′+ ℎ푢 ) (2)

푣 ∈ 퐷 퐹(푥,푦)(푢) ⇔ lim sup→ ,( , )→ ( , )

inf→푑 푣,

퐹(푥 + ℎ푢 ) − 푦ℎ = 0 (3)

Chứng minh:

Chứng minh (1) 푣 ∈ 퐷 퐹(푥, 푦)(푢) ⇔ (푢, 푣) ∈ 푔푟퐷 퐹(푥, 푦) ⇔ (푢,푣) ∈ 푇 (푥,푦) ⇔ ∀ℎ → 0 ,∀(푥 ,푦 ) → (푥, 푦),∃(푢 ,푣 ) → (푢, 푣),∀푛, (푥 ,푦 ) + ℎ (푢 ,푣 ) ∈ 푔푟퐹 ⇔ ∀ℎ → 0 ,∀(푥 ,푦 ) → (푥, 푦),∃(푢 ,푣 ) → (푢, 푣),∀푛,푦 + ℎ 푣 ∈ 퐹(푥 + ℎ 푢 )

Chứng minh (2) 푣 ∈ 퐷 퐹(푥, 푦)(푢) ⇔ (푢, 푣) ∈ 푔푟퐷 퐹(푥, 푦) ⇔ (푢,푣) ∈ 푇 (푥,푦) ⇔ ∀휀 , 휀 ,∃훼,∃훽,∀ℎ ∈ (0,훼),∀(푥 , 푦 ) ∈ 퐵 (푥,푦,훽),∃푢 ∈ 푢 + 휀 퐵,∃푣

∈ 푣 + 휀 퐵, (푥 , 푦 ) + ℎ(푢 , 푣 ) ∈ 푔푟퐹 ⇔ ∀휀 , 휀 ,∃훼,∃훽,∀ℎ ∈ (0,훼),∀(푥 , 푦 ) ∈ 퐵 (푥,푦,훽),∃푢 ∈ 푢 + 휀 퐵,∃푣

∈ 푣 + 휀 퐵,푦′ + ℎ푣 ∈ 퐹(푥′+ ℎ푢 ) Chứng minh (3)

푣 ∈ 퐷 퐹(푥, 푦)(푢) ⇔ (푢, 푣) ∈ 푔푟퐷 퐹(푥, 푦) ⇔ (푢,푣) ∈ 푇 (푥,푦) ⇔ ∀ℎ → 0 ,∀(푥 ,푦 ) → (푥, 푦),∃(푢 ,푣 ) → (푢, 푣),∀푛,푦 + ℎ 푣 ∈ 퐹(푥 + ℎ 푢 )

⇔ ∀ℎ → 0 ,∀(푥 ,푦 ) → (푥, 푦),∃(푢 ,푣 ) → (푢, 푣),∀푛,푣 ∈퐹(푥 + ℎ 푢 )− 푦

ℎ

⇔ lim sup→ ,( , )→ ( , )

inf→푑 푣,

퐹(푥 + ℎ푢 ) − 푦ℎ = 0

Câu 9: Chứng minh công thức đạo hàm của hiệu ánh xạ đơn trị và ánh xạ đa trị

Phát biểu: Giả sử 푋,푌 là các KGĐC, 푓:푋 → 푌 (đơn trị), 푀:푋 ↝ 푌 và 퐹:푋 ↝ 푌 là ánh xạ đa trị xác định bởi

퐹(푥) ≔ 푓(푥)−푀(푥),∀푥 ∈ 푋

Nếu 푓 khả vi Fre’chet tại 푥 ∈ 푑표푚푀 thì ∀푦 ∈ 퐹(푥),

퐷퐹(푥,푦)(푢) = 푓 (푥)(푢)− 퐷푀(푥,푓(푥)− 푦)(푢),∀푢 ∈ 푋

15

Chứng minh:

(⇒) Giả sử 푣 ∈ 퐷퐹(푥, 푦)(푢) ⇔ ∃ℎ → 0 ,∃(푢 ,푣 ) → (푢,푣),∀푛, 푦 + ℎ 푣 ∈퐹(푥 + ℎ 푢 ) ≡ 푓(푥 + ℎ 푢 )−푀(푥 + ℎ 푢 )

Vì 푓 khả vi Fre’chet tại 푥 nên ta có

푓(푥 + ℎ 푢 ) = 푓(푥) + 푓 (푥)(ℎ 푢 ) + 휊(ℎ )

= 푓(푥) + ℎ 푓 (푥)(푢) + ℎ 푓 (푥)(푢 − 푢) + 휊(ℎ )

= 푓(푥) + ℎ 푓 (푥)(푢) + ℎ 푓 (푥)(푢 − 푢) +휊(ℎ )ℎ

= 푓(푥) + ℎ 푓 (푥)(푢) + ℎ 휀(ℎ )

Ở đây 휀(ℎ ) → 0 khi 푛 → ∞. Do đó thay vào biểu thức trên

푓(푥 + ℎ 푢 )− 푦 − ℎ 푢 ∈ 푀(푥 + ℎ 푢 )

Ta được

(푓(푥)− 푦) + ℎ 푓 (푥)(푢)− 푣 + 휀(ℎ ) ∈ 푀(푥 + ℎ 푢 )

Điều này có nghĩa là

푓 (푥)(푢)− 푣 ∈ 퐷푀(푥, 푓(푥)− 푦)(푢)

⇔ 푣 ∈ 푓 (푥)(푢)− 퐷푀(푥, 푓(푥)− 푦)(푢)

(⇐) Giả sử 푣 ∈ 푓 (푥)(푢)− 퐷푀(푥, 푓(푥)− 푦)(푢)

⇔ ∃ℎ → 0 ,∃(푢 ,푤 ) → (푢,푓 (푥)푢 − 푣), 푓(푥)− 푦 + ℎ 푤 ∈ 푀(푥 + ℎ 푢 )

Lấy 푓(푥 + ℎ 푢 ) cộng vào hai vế đã nhân với (-1) ta được

푓(푥 + ℎ 푢 )− (푓(푥)− 푦 + ℎ 푤 ) ∈ 푓(푥 + ℎ 푢 )−푀(푥 + ℎ 푢 )

Suy ra

(푓(푥) + ℎ 푓 (푥)(푢) + ℎ 휀(ℎ ))− (푓(푥)− 푦 + ℎ 푤 ) ∈ 퐹(푥 + ℎ 푢 )

⇔ 푦 + ℎ (푓 (푥)(푢) + 휀(ℎ )−푤 ) ∈ 퐹(푥 + ℎ 푢 )

Mà 푓 (푥)(푢) + 휀(ℎ )− 푤 → 푓 (푥)(푢) + 0 − (푓 (푥)(푢)− 푣) = 푣

Nên 푦 + ℎ 푣 ∈ 퐹(푥 + ℎ 푢 ) hay 푣 ∈ 퐷퐹(푥,푦)(푢)

Câu 10: Phát biểu và chứng minh mệnh đề về công thức giải ch cho đạoh àm Con ngent.

Phát biểu mệnh đề: Giả sử 퐹:푋 ↝ 푌 và (푥,푦) ∈ 푔푟퐹

(i) 푣 ∈ 퐷퐹(푥,푦)(푢) ⇔ lim→

inf→푑 푣, = 0

(ii) Nếu 푥 ∈ 푖푛푡(푑표푚퐹) và 퐹 là lipschitz quanh 푥 thì

16

푣 ∈ 퐷퐹(푥, 푦)(푢) ⇔ lim→

inf푑 푣,퐹(푥 + ℎ푢) − 푦

ℎ = 0

(iii) Nếu 푌 hữu hạn chiều thì 푑표푚 퐷퐹(푥, 푦) = 푋 và 퐷퐹(푥,푦) cũng Lipschitz trên cả không gian vớicuùng hằng số Lipschitz 푙 như 퐹

Chứng minh:

Chứng minh (i) 푣 ∈ 퐷퐹(푥, 푦)(푢) ⇔ ∃ℎ → 0 ,∃(푢 ,푣 ) → (푢, 푣),∀푛, 푦 + ℎ 푣 ∈ 퐹(푥 + ℎ 푢 )

⇔ ∃ℎ → 0 ,∃(푢 ,푣 ) → (푢,푣),∀푛, 푣 ∈퐹(푥 + ℎ 푢 )− 푦

ℎ

⇔ lim→ , →

푖푛푓푑 푣,퐹(푥 + ℎ푢 ) − 푦

ℎ = 0

Chứng minh (ii) (⇒) Do giả thiết về nh Lipschitz, với ℎ và ‖푢 − 푢‖ đủ nhỏ ta có

퐹(푥 + ℎ푢 ) ⊂ 퐹(푥 + ℎ푢) + 푂(ℎ‖푢 − 푢‖) Do đó

푑 푣,퐹(푥 + ℎ푢 ) − 푦

ℎ ≥ 푑 푣,퐹(푥 + ℎ푢)− 푦

ℎ +푂(ℎ‖푢 − 푢‖)

ℎ

Nếu 푣 ∈ 퐷퐹(푥, 푦)(푢) thì

0 = lim→ , →

푖푛푓푑 푣,퐹(푥 + ℎ푢 )− 푦

ℎ

≥ lim→ , →

푖푛푓푑 푣 −푂(ℎ‖푢 − 푢‖)

ℎ ,퐹(푥 + ℎ푢)− 푦

ℎ

= lim→ , →

푖푛푓푑 푣,퐹(푥 + ℎ푢) − 푦

ℎ ≥ 0

Suy ra lim→ , →

푖푛푓푑 푣, ( ) = 0

(⇐) Hiển nhiên vì ta luôn có lim

→ , →inf (. ) ≤ lim

→ , ≡inf (. )

Chứng minh (iii) * Lấy 푢 ∈ 푋 bất kỳ ta chứng minh 퐷퐹(푥,푦)(푢) ≠ 0 Thật vậy: Do nh Lipschitz của 퐹,∀푦 ∈ 퐹(푥),∀ℎ đủ nhỏ, 푦 ∈ 퐹(푥) ⊂ 퐹(푥 + ℎ푢) + 푙ℎ‖푢‖퐵 Do đó sẽ có 푦 ∈ 퐹(푥 + ℎ푢) sao cho điểm 푣 ≔ phải thuộc tập 푙ℎ‖푢‖퐵

Vì tập này Compact nên trích đượcd ãy con 푣 ≔ 푣 hội tụ đến điểm 푣 nào đó Mà 푦 + ℎ 푣 = 푦 ∈ 퐹(푥 + ℎ 푢),∀푛 Do đó 푣 ∈ 퐷퐹(푥, 푦)(푢) và tập 퐷퐹(푥, 푦)(푢) ≠ 0 * Để CM 퐷퐹(푥, 푦) là 푙_퐿푖푝푠푐ℎ푖푡푧 ta xét 푢 , 푢 ∈ 푋 bất kỳ và phải m 푣 ∈퐷퐹(푥, 푦)(푢 ) để ‖푣 − 푣 ‖ ≤ 푙‖푢 − 푢 ‖ Ta có: 푣 ∈ 퐷퐹(푥,푦)푢 ⇔ ∃ℎ → 0 ,∃(푢 ,푣 ) → (푢 ,푣 ),∀푛, 푦 + ℎ 푣 ∈ 퐹(푥 + ℎ 푢 )

Vì 퐹 là Lipschitz quanh 푥 nên với 푛 đủ lớn, phải có 푧 ∈ 퐹(푥 + ℎ 푢 ) sao cho

17

‖푧 − ( 푦 + ℎ 푣 )‖ ≤ 푙ℎ ‖푢 − 푢 ‖ ⇔푧 − 푦ℎ − 푣 ≤ 푙‖푢 − 푢 ‖ (∗)

Mà các dãy 푢 ,푣 giới nội nên dãy cũng giới nội và chứa dãy con (vẫn lý hiệu là

) hội tụ đến 푣 nào đó. Ta thấy

푦 + ℎ푧 − 푦ℎ = 푧 ∈ 퐹(푥 + ℎ 푢 )

Nên 푣 ∈ 퐷퐹(푥, 푦)푢 . Cho 푛 → ∞ thì từ (*) ta được ‖푣 − 푣 ‖ ≤ 푙‖푢 − 푢 ‖

Câu 11: Định nghĩa dưới vi phân qua giới hạn và các dưới vi phân liên quan mà em biết. Định nghĩa đối đạo hàm Mordukhovich và các đối đạo hàm liên quan. Liên quan đến các khái niệm này này , em có bình luận hoặc so sánh gì?

1. Định nghĩa dưới vi phân qua giới hạn

Tập hợp 휕휑(푥̅) ≔ lim→ ̅↓

sup 휕 휑(푥) được gọi là vi phân qua giới hạn (hay dưới vi phân

Mordukhovich). Như vậy 푥∗ ∈ 휕휑(푥̅) ⇔ ∃푥 → 푥̅, 휀 → 0 ,푥∗ ∈ 휕휑 (푥 ) sao cho 푥∗→푥∗

Trong đó 휕휑(푥̅) được nh qua dưới vi phân Fre’chet 휕 휑(푥) với 휀 > 0 được lấy đủ bé và 푥 được lấy đủ gần 푥̅

2. Dưới vi phân Fre’chet

Cho 푋 là không gian Banach, 휑:푋 → ℝ là hàm nhận giá trị trong tập số thực suy rộng, hữu hạn tại 푥̅. Với mỗi 휀 > 0, đặt

휕 휑(푥) ≔ 푥∗ ∈ 푋∗: lim inf→ ̅

휑(푥)− 휑(푥̅)− ⟨푥∗,푥 − 푥̅⟩‖푥 − 푥̅‖ ≥ −휀

- Các phần tử của tập hợp ở VT công thức được gọi là các 휀-dưới vi phân Fre’chet của 휑 tại 푥̅

- Tập hợp 휕휑(푥̅) ≔ 휕 휑(푥̅) được gọi là dưới vi phân Fre’chet dưới của 휑 tại 푥̅

- Rõ ràng 휕휑(푥̅) ⊂ 휕 휑(푥̅),∀휀 ≥ 0

- Tập hợp 휕 휑(푥̅) ≔ −휕(−휑)(푥̅) được gọi là dưới vi phân Fre’chet trên của 휑 tại 푥̅

3. Dưới vi phân Proximal

Vecto 푥∗ ∈ 푋∗ đgl dưới proximal (hay dưới gradient gần kề) của 휑 tại 푥̅ nếu ∃휀 ≥ 0 sao cho

lim inf→ ̅

휑(푥)− 휑(푥̅)− ⟨푥∗,푥 − 푥̅⟩‖푥 − 푥̅‖ ≥ −휀

Tức là tồn tại 휀 ≥ 0 và 훿 > 0 sao cho 휑(푥)− 휑(푥̅) ≥ ⟨푥∗,푥 − 푥̅⟩ − 휀‖푥 − 푥̅‖ ,∀푥 ∈ 퐵(푥̅,훿)

Tập hợp 휕 휑(푥̅) gồm tất cả các gradient gần kề của 휑 tại 푥̅ đgl dưới v.phân proximal của 휑 tại 푥̅

18

4. Định nghĩa đối đạo hàm Mordukhovich

Xét ánh xạ đa trị 퐹:푋 ⇉ 푌 giữa các KG Banach. Đặt

푑표푚퐹 ≔ {푥 ∈ 푋:퐹(푥) ≠ ∅} 푔푝ℎ퐹 ≔ {(푥,푦) ∈ 푋 × 푌:푦 ∈ 퐹(푥)}

Đối đạo hàm Fre’chet và đối đạo hàm qua giới hạn (hay đối đạo hàm Mordukhovich) của 퐹 tại (푥̅,푦) ∈ 푔푝ℎ퐹 tương ứng được cho bởi các công thức sau:

퐷∗퐹(푥̅,푦)(푦∗) ≔ 푥∗ ∈ 푋∗: (푥∗,−푦∗) ∈ 푁 (푥̅,푦) (1)

퐷∗퐹(푥̅,푦)(푦∗) ≔ 푥∗ ∈ 푋∗: (푥∗,−푦∗) ∈ 푁 (푥̅,푦) (2)

- Nếu 퐹(푥) = {푓(푥)} là ánh xạ đơn trị thì ta viết 퐷∗푓(푥̅) thay cho 퐷∗푓(푥̅,푓(푥̅)) và 퐷∗푓(푥̅) thay cho 퐷∗푓(푥̅,푓(푥̅)).

- Nếu 푓 tương ứng khả vi Fre’chet và khả vi chặt tại 푥̅ thì các đối đạo hàm được nh như sau

퐷∗퐹(푥̅,푦)(푦∗) ≔ 푓 (푥̅) ∗(푦∗),∀푦∗ ∈ 푌∗

퐷∗퐹(푥̅,푦)(푦∗) ≔ 푓 (푥̅) ∗(푦∗),∀푦∗ ∈ 푌∗

- Với ∀푦∗ ∈ 푌∗ thì 퐷∗퐹(푥̅,푦)(푦∗) và 퐷∗퐹(푥̅,푦)(푦∗) là các tập có một phần tử

- Nếu 푓 khả vi chặt tại 푥̅ thì 퐷∗푓(푥̅)(푦∗) = 퐷∗푓(푥̅)(푦∗) = 푓 (푥̅) ∗(푦∗),∀푦∗ ∈ 푌∗

Nhận xét:

Ánh xạ đối đạo hàm Mordukhovich trùng với ánh xạ đối đạo hàm Fre’chet. Các đối đạo hàm trong công thức (1) và (2) là những mở rộng tự nhiên của toán tử đạoamàm liên hợp của ánh xạ đa trị khả vi.