Post on 19-Mar-2016
description
Škola: Gymnázium Václava Hlavatého, Louny, Poděbradova 661, příspěvková organizaceČíslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0616
Název projektu: Inovace výukyČíslo a název šablony klíčové
aktivity:EU-8 - Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol
Tematická oblast: Volitelný předmět matematika (matematický seminář)
EU-8-61 – DERIVACE FUNKCE XVII(průběh funkce - příklady)
Anotace Procvičení vyšetřování průběhu funkcí podle doporučeného postupu a na základě řešených ilustrativních úloh.
Autor PaedDr. Milan Rieger
Jazyk Čeština
Očekávaný výstupŽák chápe význam doporučeného postupu vyšetřování průběhu funkce, dovede používat vlastnosti funkce a diferenciální počet k zjišťování důležitých informací o funkci, které mu pomohou přesně narýsovat graf funkce.
Klíčová slova Vlastnosti funkcí, limita, derivace funkce, asymptoty funkce, průběh funkce, graf funkce.
Druh učebního materiálu Pracovní list / Animace / Obrázky / Testy
Druh interaktivity Aktivita / Výklad / Test / Kombinace
Cílová skupina Žák
Stupeň a typ vzdělávání Střední vzdělávání
Typická věková skupina 17 – 19 let
Datum vytvoření 28. 12. 2013
PRŮBĚH FUNKCE je základní použití diferenciálního počtu, jehož cílem je řada výpočtů vedoucích ke zjištění co největšího počtu informací o dané funkci tak, abychom mohli poměrně přesně graf dané funkce narýsovat.
Doporučený postup vyšetřování průběhu funkce:1. Určíme definiční obor funkce.2. Zjistíme průsečíky funkce s osami souřadnými.3. Zjistíme, zda je funkce omezená (zdola, shora, oboustranně), sudá,
lichá, periodická.4. Vypočítáme limity funkce v bodech nespojitosti a v nevlastních bodech.5. Zjistíme asymptoty bez směrnice (vertikální asymptoty) a asymptoty se
směrnicí.6. Výpočtem první derivace funkce zjistíme monotónnost funkce a její
lokální extrémy.7. Výpočtem druhé derivace zjistíme konvexnost či konkávnost funkce,
inflexní body, najdeme rovnici tečny v inflexních bodech.8. Narýsujeme graf funkce.
Doporučení pro vaši práciVýpočty zapisujte jasně a přehledně. Především závěry výpočtů je potřeba zapisovat jasně a přesně, protože získáte mnoho informací o funkci, které v závěru úlohy o vyšetřování průběhu funkce budete potřebovat pro přesné zakreslení (narýsování) grafu funkce.Graf funkce kreslete (rýsujte) velmi pečlivě a přesně včetně vyznačení důležitých bodů, tečen, asymptot.Vždy si představujte, že úlohu řešíte nejen pro sebe, ale také pro „spolupracovníka“, který se potřebuje ve vašich výpočtech i grafu funkce rychle orientovat.Neodkládejte to, co můžete umět již nyní na později (na vysokou školu), protože se to musíte stejně naučit. Jistě pro vás bude na vysoké škole příjemné, když budete rozumět úvodním přednáškám i cvičením a budete vědět „o co jde“. Významně podpoří vaši sebedůvěru, když úvodní poznatky do „vyšší“ matematiky budete mít zažité již na konci gymnaziálních studií. Navíc doučováním toho, co jiní neumí, se dá i vydělat.
ILUSTRATIVNÍ ÚLOHA 1
Vyšetřete průběh funkce f.3
4:3xxyf
1. Určíme definiční obor funkce.D(f) = R
2. Zjistíme průsečíky funkce s osami souřadnými.
3203201201203
40)( 233
xxxxxxxxxxf
3. Zjistíme, zda je funkce omezená (zdola, shora, oboustranně), sudá, lichá, periodická.Funkce f je lichou funkcí v D(f) = R. Podle definice liché funkce platí:
1. x R; x D(f) – x D(f)
2. x D(f); – f(x) = f (– x) 34)(
34)();(
33 xxxfxxxffDx
3
43
4)();(33 xxxxxffDx
)()();( xfxffDx
4. Vypočítáme limity funkce v bodech nespojitosti a v nevlastních bodech.
34lim,
34lim
33 xxxxxx
0)0( f
Funkce je spojitá ve všech bodech definičního oboru.
Pokud je funkce f lichá, můžeme vyšetřovat průběh funkce v intervalu < 0; + ). Graf funkce dorýsujeme pomocí
středové souměrnosti podle počátku soustavy souřadné.
5. Zjistíme asymptoty bez směrnice (vertikální asymptoty) a asymptoty se směrnicí.
6. Výpočtem první derivace funkce zjistíme monotónnost funkce a její lokální extrémy.
7. Výpočtem druhé derivace zjistíme konvexnost či konkávnost funkce, inflexní body, najdeme rovnici tečny v inflexních bodech.
23
3
314lim
312lim3
4lim)(lim x
xxx
x
xx
xxfa
xxxx
xxy 24/
2//
x ( – ; 0); f // (x) > 0 funkce f je ryze konvexní v intervalu ( – ; 0 >.x ( 0; + ); f // (x) < 0 funkce f je ryze konkávní v intervalu < 0; + ).Inflexním bodem je bod T [ 0; 0 ]. Směrnice tečny v bodě T: kt = y / (0) = 4.Rovnice tečny t v bodě inflexe: t: y = 4 x.
Funkce nemá vertikální asymptoty (f je spojitá v R) ani asymptoty se směrnicí (a = – ).
y / = 4 – x2
y / = 0 4 – x2 = 0 x2 – 4 = 0 (x + 2) (x – 2) = 0 (x = – 2 x = 2)
Funkce f je rostoucí v intervalu < – 2; 2 >, klesající v intervalech ( – ; – 2>, < 2; + ).
Body podezřelé z extrému jsou x = – 2, x = 2.
Zjistíme znaménko 1. derivace funkce v okolí bodů podezřelých z extrémů.
Funkce f má v bodě – 2 ostré lokální minimum, 316
388
32)2(423
f
Funkce f má v bodě 2 ostré lokální maximum, 316
3882 f
34:
3xxyf
8. Narýsujeme graf funkce.
ILUSTRATIVNÍ ÚLOHA 2
Vyšetřete průběh funkce f. 214:x
yf
1. Určíme definiční obor funkce.D(f) = R
2. Zjistíme průsečíky funkce s osami souřadnými.
0140)( 2
xxf
3. Zjistíme, zda je funkce omezená (zdola, shora, oboustranně), sudá, lichá, periodická.Funkce f je sudou funkcí v D(f) = R. Podle definice sudé funkce platí:
1. x R; x D(f) – x D(f)
2. x D(f); f(x) = f (– x) 21
4)();(x
xffDx
22 14
)(14)();(
xxxffDx
)()();( xfxffDx
4. Vypočítáme limity funkce v bodech nespojitosti a v nevlastních bodech.
22 14lim0
14lim
xx xx
4)0( fRovnice nemá v R řešení, funkce osu x neprotíná.
Funkce f je omezenou funkcí. Zdola je omezena konstantou 0, shora konstantou 4.
4140);( 2
xfDx
Funkce je spojitá ve všech bodech definičního oboru.
Pokud je funkce f sudá, můžeme vyšetřovat průběh funkce v intervalu < 0; + ). Graf funkce dorýsujeme
pomocí osové souměrnosti podle osy y.
5. Zjistíme asymptoty bez směrnice (vertikální asymptoty) a asymptoty se směrnicí.
6. Výpočtem první derivace funkce zjistíme monotónnost funkce a její lokální extrémy.
7. Výpočtem druhé derivace zjistíme konvexnost či konkávnost funkce, inflexní body, najdeme rovnice tečen v inflexních bodech.
04lim14
lim)(lim 3
2
xxxx
xxfa
xxx
Funkce nemá vertikální asymptoty (f je spojitá v R), má asymptotu se směrnicí y = 0.
Funkce f je rostoucí v intervalu ( – ; 0 >, klesající v intervalu < 0; + ).
Bod podezřelý z extrému je x = 0.
Zjistíme znaménko 1. derivace funkce v okolí bodu podezřelého z extrému.
Funkce f má v bodě 0 ostré lokální maximum, f(0) = 4.
2222
/22//
2/
18
11414
14
xx
xxx
xy
014lim)(lim 2
xaxxfb
xx
322
42
/2222//
22
//
1
138
1
1818
1
8
x
x
x
xxxx
x
xy
33
330130 2// xxxy (body podezřelé z inflexe)
Zjistíme znaménko 2. derivace funkce v okolí bodů podezřelých z inflexe.
0;33; // yx funkce f je v tomto intervalu ryze konvexní.
0;33;
33 // yx funkce f je v tomto intervalu ryze konkávní.
0;;33 // yx funkce f je v tomto intervalu ryze konvexní.
333
33
ff
Najdeme rovnici tečny t1 k dané funkci v inflexním bodě
3;
33
1T 233
33/
1
ykt
09233:33
2333: 11
yxtxyt
Rovnice tečny t2 k dané funkci v inflexním bodě
3;33
2T 09233:2 yxt
Tečna t1 protíná osy soustavy souřadné v bodech
29;0,0;3
214:x
yf
8. Narýsujeme graf funkce.
ILUSTRATIVNÍ ÚLOHA 3
Vyšetřete průběh funkce f.x
xyf 4:2
1. Určíme definiční obor funkce.D(f) = R – 0
2. Zjistíme průsečíky funkce s osami souřadnými.
2202204040)( 22
xxxxxx
xxf
Funkce f neprotíná osu y.
3. Zjistíme, zda je funkce omezená (zdola, shora, oboustranně), sudá, lichá, periodická.
Funkce f je lichou funkcí v D(f) = R – 0 . Podle definice liché funkce platí:
1. x R; x D(f) – x D(f)
2. x D(f); – f(x) = f (– x) xx
xxxf
xxxffDx
222 44)(4)();(
xx
xx
xxxffDx
222 444)();(
)()();( xfxffDx
4. Vypočítáme limity funkce v bodech nespojitosti a v nevlastních bodech.
xx
xx
xx
xx
xx
xx
4lim4lim
4lim4lim
0
2
0
0
2
0
xx
xx
xx
xx
xx
xx
4lim4lim
4lim4lim
2
2
5. Zjistíme asymptoty bez směrnice (vertikální asymptoty) a asymptoty se směrnicí.
6. Výpočtem první derivace funkce zjistíme monotónnost funkce a její lokální extrémy.
7. Výpočtem druhé derivace zjistíme konvexnost či konkávnost funkce, inflexní body, najdeme rovnici tečny v inflexních bodech.
Funkce má asymptotu bez směrnice o rovnici x = 0.
xxxxxx
xxaxxfb
xx
xx
xx
x
xxfa
xxxxx
xxxx
4lim04lim4lim4lim)(lim
4lim14lim
4
lim)(lim
222
2
2
2
2
2
Funkce má asymptotu se směrnicí o rovnici y = x.
2
2
2
/2/2/2/ 4444
xx
xxxxx
xxy
Pro každé x R – 0 je znaménko první derivace funkce kladné. Funkce f je rostoucí v intervalu ( – ; 0) a také v intervalu ( 0; + ). Funkce nemá v žádném bodě definičního oboru lokální extrém.
3422
/222/2/
2
2// 88444
xxx
xxxxx
xxy
x ( – ; 0); f // (x) > 0 funkce f je ryze konvexní v intervalu ( – ; 0).x ( 0; + ); f // (x) < 0 funkce f je ryze konkávní v intervalu (0; + ).Inflexní body neexistují.
xx
xxyf 44:2
8. Narýsujeme graf funkce.
ILUSTRATIVNÍ ÚLOHA 4
Vyšetřete průběh funkce f.xxxyf 34:
2
1. Určíme definiční obor funkce.D(f) = R – 0
2. Zjistíme průsečíky funkce s osami souřadnými.
310310340340)( 22
xxxxxxxxxxf
Funkce f neprotíná osu y.
3. Zjistíme, zda je funkce omezená (zdola, shora, oboustranně), sudá, lichá, periodická.Funkce f není sudá, lichá, periodická ani omezená.
4. Vypočítáme limity funkce v bodech nespojitosti a v nevlastních bodech.
xx
xxx
xx
xxx
xx
xx
34lim34lim
34lim34lim
0
2
0
0
2
0
xx
xxx
xx
xxx
xx
xx
34lim34lim
34lim34lim
2
2
Funkce má asymptotu bez směrnice o rovnici x = 0.
xx
xx
xxxxx
xxxaxxfb
xxxxx
xxx
xxxx
xxfa
xxxxx
xxxxx
34lim434lim34lim34lim)(lim
34lim11
341lim34lim
34
lim)(lim
222
2
22
2
2
2
Funkce má asymptotu se směrnicí o rovnici y = x – 4.
5. Zjistíme asymptoty bez směrnice (vertikální asymptoty) a asymptoty se směrnicí.
6. Výpočtem první derivace funkce zjistíme monotónnost funkce a její lokální extrémy.
2
2
2
/2/2/2/ 3343434
xx
xxxxxxx
xxxy
Funkce f je rostoucí v intervalech
3303030 22
2/
xxx
xxy
.33 xneboxBody podezřelé z extrému jsou
Zjistíme znaménko 1. derivace funkce v okolí bodů podezřelých z extrémů.
Funkce f je klesající v intervalech
.;3;3;
.3;0;0;3
Funkce f má v bodě 3 ostré lokální maximum, 46,743231236
333433
f
Funkce f má v bodě 3 ostré lokální minimum, 54,043231236
3346
333433
f
7. Výpočtem druhé derivace zjistíme konvexnost či konkávnost funkce, inflexní body, najdeme rovnici tečny v inflexních bodech.
3422
/222/2/
2
2// 66333
xxx
xxxxx
xxy
x ( – ; 0); f // (x) < 0 funkce f je ryze konkávní v intervalu ( – ; 0). x ( 0; + ); f // (x) > 0 funkce f je ryze konvexní v intervalu (0; + ).Inflexní body neexistují.
8. Narýsujeme graf funkce.
xx
xxxyf 3434:
2
Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Milan Rieger.
p1)
p3)
p5)
p2)
p4)
ÚLOHY K PROCVIČENÍ
23: 3 xxyf
Vyšetřete průběh dané funkce f.
xxxyf 42: 23
xxxyf 96: 23 xxxyf 12123: 23
xxxyf 12123: 23
MATEMATIKA PRO GYMNÁZIA – Diferenciální a integrální počet, 1. vydání, Dag Hrubý, Josef Kubát, 1997 vydalo nakladatelství Prometheus, spol. s r.o., v roce 1997, strana 159, úloha 52. ISBN 80-7196-063-2.
p6) 86: 24 xxyf
p7) 642: 24 xxyf p8) 34 4,01,0: xxyf
p9) 45 1,002,0: xxyf p10) 32: 36 xxyf
DEFINICE SUDÉ FUNKCEFunkce f je sudou funkcí v D(f) tehdy, když platí současně
1. xR; xD(f) – x D(f) 2. x D(f); f(x) = f(– x) (graf sudé funkce je osově souměrný podle osy y)
2: xyf 11:
2
x
xxyf
f je sudá funkce v D(f) f není sudá funkce v D(f)
zpět
DEFINICE LICHÉ FUNKCEFunkce f je lichou funkcí v D(f) tehdy, když platí současně
1. xR; xD(f) – x D(f) 2. x D(f); –f(x) = f(– x) (graf sudé funkce je středově souměrný podle
počátku soustavy souřadné)
xyf 1: 1
1:
xxxyf
f je lichá funkce v D(f) f není lichá funkce v D(f)
zpět