Post on 25-May-2015
description
Ayrık MatematikYuklemler ve Kumeler
H. Turgut Uyar Aysegul Gencata Yayımlı Emre Harmancı
2001-2013
Lisans
c©2001-2013 T. Uyar, A. Yayımlı, E. Harmancı
You are free:
to Share – to copy, distribute and transmit the work
to Remix – to adapt the work
Under the following conditions:
Attribution – You must attribute the work in the manner specified by the author or licensor (but not in anyway that suggests that they endorse you or your use of the work).
Noncommercial – You may not use this work for commercial purposes.
Share Alike – If you alter, transform, or build upon this work, you may distribute the resulting work onlyunder the same or similar license to this one.
Legal code (the full license):http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/
Konular
1 YuklemlerGirisNiceleyicilerCoklu Niceleyiciler
2 KumelerGirisAltkumeKume IslemleriIcleme-Dıslama
Konular
1 YuklemlerGirisNiceleyicilerCoklu Niceleyiciler
2 KumelerGirisAltkumeKume IslemleriIcleme-Dıslama
Yuklem
Tanım
yuklem:
bir ya da birden fazla degisken iceren ve
bir onerme olmayan ama
degiskenlere izin verilen secenekler arasından deger verildigindebir onerme haline gelen
bir belirtim tumcesi (acık bildirim)
Calısma Evreni
Tanım
calısma evreni: Uizin verilen secenekler kumesi
ornekler:
Z: tamsayılarN: dogal sayılarZ+: pozitif tamsayılarQ: rasyonel sayılarR: reel sayılarC: karmasık sayılar
Calısma Evreni
Tanım
calısma evreni: Uizin verilen secenekler kumesi
ornekler:
Z: tamsayılarN: dogal sayılarZ+: pozitif tamsayılarQ: rasyonel sayılarR: reel sayılarC: karmasık sayılar
Yuklem Ornekleri
Ornek
U = Np(x): x + 2 bir cift sayıdır
p(5): Yp(8): D
¬p(x): x + 2 bir cift sayı degildir
Ornek
U = Nq(x , y): x + y ve x − 2y birer cift sayıdır
q(11, 3): Y , q(14, 4): D
Yuklem Ornekleri
Ornek
U = Np(x): x + 2 bir cift sayıdır
p(5): Yp(8): D
¬p(x): x + 2 bir cift sayı degildir
Ornek
U = Nq(x , y): x + y ve x − 2y birer cift sayıdır
q(11, 3): Y , q(14, 4): D
Yuklem Ornekleri
Ornek
U = Np(x): x + 2 bir cift sayıdır
p(5): Yp(8): D
¬p(x): x + 2 bir cift sayı degildir
Ornek
U = Nq(x , y): x + y ve x − 2y birer cift sayıdır
q(11, 3): Y , q(14, 4): D
Konular
1 YuklemlerGirisNiceleyicilerCoklu Niceleyiciler
2 KumelerGirisAltkumeKume IslemleriIcleme-Dıslama
Niceleyiciler
Tanım
varlık niceleyicisi:yuklem bazı degerler icin dogru
simgesi: ∃okunusu: vardır
simge: ∃!okunusu: vardır ve tektir
Tanım
evrensel niceleyici:yuklem butun degerler icin dogru
simgesi: ∀okunusu: her
Niceleyiciler
Tanım
varlık niceleyicisi:yuklem bazı degerler icin dogru
simgesi: ∃okunusu: vardır
simge: ∃!okunusu: vardır ve tektir
Tanım
evrensel niceleyici:yuklem butun degerler icin dogru
simgesi: ∀okunusu: her
Niceleyiciler
Tanım
varlık niceleyicisi:yuklem bazı degerler icin dogru
simgesi: ∃okunusu: vardır
simge: ∃!okunusu: vardır ve tektir
Tanım
evrensel niceleyici:yuklem butun degerler icin dogru
simgesi: ∀okunusu: her
Niceleyiciler
varlık niceleyicisi
U = {x1, x2, . . . , xn}∃x p(x) ≡ p(x1) ∨ p(x2) ∨ · · · ∨ p(xn)
bazı x’ler icin p(x) dogru
evrensel niceleyici
U = {x1, x2, . . . , xn}∀x p(x) ≡ p(x1) ∧ p(x2) ∧ · · · ∧ p(xn)
her x icin p(x) dogru
Niceleyiciler
varlık niceleyicisi
U = {x1, x2, . . . , xn}∃x p(x) ≡ p(x1) ∨ p(x2) ∨ · · · ∨ p(xn)
bazı x’ler icin p(x) dogru
evrensel niceleyici
U = {x1, x2, . . . , xn}∀x p(x) ≡ p(x1) ∧ p(x2) ∧ · · · ∧ p(xn)
her x icin p(x) dogru
Niceleyici Ornekleri
Ornek
U = R
p(x) : x ≥ 0
q(x) : x2 ≥ 0
r(x) : (x − 4)(x + 1) = 0
s(x) : x2 − 3 > 0
yandaki ifadeler dogru mudur?
∃x [p(x) ∧ r(x)]
∀x [p(x) → q(x)]
∀x [q(x) → s(x)]
∀x [r(x) ∨ s(x)]
∀x [r(x) → p(x)]
Niceleyici Ornekleri
Ornek
U = R
p(x) : x ≥ 0
q(x) : x2 ≥ 0
r(x) : (x − 4)(x + 1) = 0
s(x) : x2 − 3 > 0
yandaki ifadeler dogru mudur?
∃x [p(x) ∧ r(x)]
∀x [p(x) → q(x)]
∀x [q(x) → s(x)]
∀x [r(x) ∨ s(x)]
∀x [r(x) → p(x)]
Niceleyici Ornekleri
Ornek
U = R
p(x) : x ≥ 0
q(x) : x2 ≥ 0
r(x) : (x − 4)(x + 1) = 0
s(x) : x2 − 3 > 0
yandaki ifadeler dogru mudur?
∃x [p(x) ∧ r(x)]
∀x [p(x) → q(x)]
∀x [q(x) → s(x)]
∀x [r(x) ∨ s(x)]
∀x [r(x) → p(x)]
Niceleyici Ornekleri
Ornek
U = R
p(x) : x ≥ 0
q(x) : x2 ≥ 0
r(x) : (x − 4)(x + 1) = 0
s(x) : x2 − 3 > 0
yandaki ifadeler dogru mudur?
∃x [p(x) ∧ r(x)]
∀x [p(x) → q(x)]
∀x [q(x) → s(x)]
∀x [r(x) ∨ s(x)]
∀x [r(x) → p(x)]
Niceleyici Ornekleri
Ornek
U = R
p(x) : x ≥ 0
q(x) : x2 ≥ 0
r(x) : (x − 4)(x + 1) = 0
s(x) : x2 − 3 > 0
yandaki ifadeler dogru mudur?
∃x [p(x) ∧ r(x)]
∀x [p(x) → q(x)]
∀x [q(x) → s(x)]
∀x [r(x) ∨ s(x)]
∀x [r(x) → p(x)]
Niceleyici Ornekleri
Ornek
U = R
p(x) : x ≥ 0
q(x) : x2 ≥ 0
r(x) : (x − 4)(x + 1) = 0
s(x) : x2 − 3 > 0
yandaki ifadeler dogru mudur?
∃x [p(x) ∧ r(x)]
∀x [p(x) → q(x)]
∀x [q(x) → s(x)]
∀x [r(x) ∨ s(x)]
∀x [r(x) → p(x)]
Niceleyicilerin Degillenmesi
∀ yerine ∃, ∃ yerine ∀ konur
yuklem degillenir
¬∃x p(x) ⇔ ∀x ¬p(x)
¬∃x ¬p(x) ⇔ ∀x p(x)
¬∀x p(x) ⇔ ∃x ¬p(x)
¬∀x ¬p(x) ⇔ ∃x p(x)
Niceleyicilerin Degillenmesi
∀ yerine ∃, ∃ yerine ∀ konur
yuklem degillenir
¬∃x p(x) ⇔ ∀x ¬p(x)
¬∃x ¬p(x) ⇔ ∀x p(x)
¬∀x p(x) ⇔ ∃x ¬p(x)
¬∀x ¬p(x) ⇔ ∃x p(x)
Niceleyicilerin Degillenmesi
Teorem
¬∃x p(x) ⇔ ∀x ¬p(x)
Tanıt.
¬∃x p(x) ≡ ¬[p(x1) ∨ p(x2) ∨ · · · ∨ p(xn)]
⇔ ¬p(x1) ∧ ¬p(x2) ∧ · · · ∧ ¬p(xn)
≡ ∀x ¬p(x)
Niceleyicilerin Degillenmesi
Teorem
¬∃x p(x) ⇔ ∀x ¬p(x)
Tanıt.
¬∃x p(x) ≡ ¬[p(x1) ∨ p(x2) ∨ · · · ∨ p(xn)]
⇔ ¬p(x1) ∧ ¬p(x2) ∧ · · · ∧ ¬p(xn)
≡ ∀x ¬p(x)
Niceleyicilerin Degillenmesi
Teorem
¬∃x p(x) ⇔ ∀x ¬p(x)
Tanıt.
¬∃x p(x) ≡ ¬[p(x1) ∨ p(x2) ∨ · · · ∨ p(xn)]
⇔ ¬p(x1) ∧ ¬p(x2) ∧ · · · ∧ ¬p(xn)
≡ ∀x ¬p(x)
Niceleyicilerin Degillenmesi
Teorem
¬∃x p(x) ⇔ ∀x ¬p(x)
Tanıt.
¬∃x p(x) ≡ ¬[p(x1) ∨ p(x2) ∨ · · · ∨ p(xn)]
⇔ ¬p(x1) ∧ ¬p(x2) ∧ · · · ∧ ¬p(xn)
≡ ∀x ¬p(x)
Niceleyici Esdegerlilikleri
Teorem
∃x [p(x) ∨ q(x)] ⇔ ∃x p(x) ∨ ∃x q(x)
Teorem
∀x [p(x) ∧ q(x)] ⇔ ∀x p(x) ∧ ∀x q(x)
Niceleyici Esdegerlilikleri
Teorem
∃x [p(x) ∨ q(x)] ⇔ ∃x p(x) ∨ ∃x q(x)
Teorem
∀x [p(x) ∧ q(x)] ⇔ ∀x p(x) ∧ ∀x q(x)
Niceleyici Gerektirmeleri
Teorem
∀x p(x) ⇒ ∃x p(x)
Teorem
∃x [p(x) ∧ q(x)] ⇒ ∃x p(x) ∧ ∃x q(x)
Teorem
∀x p(x) ∨ ∀x q(x) ⇒ ∀x [p(x) ∨ q(x)]
Niceleyici Gerektirmeleri
Teorem
∀x p(x) ⇒ ∃x p(x)
Teorem
∃x [p(x) ∧ q(x)] ⇒ ∃x p(x) ∧ ∃x q(x)
Teorem
∀x p(x) ∨ ∀x q(x) ⇒ ∀x [p(x) ∨ q(x)]
Niceleyici Gerektirmeleri
Teorem
∀x p(x) ⇒ ∃x p(x)
Teorem
∃x [p(x) ∧ q(x)] ⇒ ∃x p(x) ∧ ∃x q(x)
Teorem
∀x p(x) ∨ ∀x q(x) ⇒ ∀x [p(x) ∨ q(x)]
Konular
1 YuklemlerGirisNiceleyicilerCoklu Niceleyiciler
2 KumelerGirisAltkumeKume IslemleriIcleme-Dıslama
Coklu Niceleyiciler
∃x∃y p(x , y)
∀x∃y p(x , y)
∃x∀y p(x , y)
∀x∀y p(x , y)
Coklu Niceleyici Ornekleri
Ornek
U = Zp(x , y) : x + y = 17
∀x∃y p(x , y):her x icin oyle bir y bulunabilir ki x + y = 17 olur
∃y∀x p(x , y):oyle bir y bulunabilir ki her x icin x + y = 17 olur
U = N olsa?
Coklu Niceleyici Ornekleri
Ornek
U = Zp(x , y) : x + y = 17
∀x∃y p(x , y):her x icin oyle bir y bulunabilir ki x + y = 17 olur
∃y∀x p(x , y):oyle bir y bulunabilir ki her x icin x + y = 17 olur
U = N olsa?
Coklu Niceleyici Ornekleri
Ornek
U = Zp(x , y) : x + y = 17
∀x∃y p(x , y):her x icin oyle bir y bulunabilir ki x + y = 17 olur
∃y∀x p(x , y):oyle bir y bulunabilir ki her x icin x + y = 17 olur
U = N olsa?
Coklu Niceleyici Ornekleri
Ornek
U = Zp(x , y) : x + y = 17
∀x∃y p(x , y):her x icin oyle bir y bulunabilir ki x + y = 17 olur
∃y∀x p(x , y):oyle bir y bulunabilir ki her x icin x + y = 17 olur
U = N olsa?
Coklu Niceleyiciler
Ornek
Ux = {1, 2} ∧ Uy = {A,B}
∃x∃y p(x , y) ≡ [p(1,A) ∨ p(1,B)] ∨ [p(2,A) ∨ p(2,B)]
∃x∀y p(x , y) ≡ [p(1,A) ∧ p(1,B)] ∨ [p(2,A) ∧ p(2,B)]
∀x∃y p(x , y) ≡ [p(1,A) ∨ p(1,B)] ∧ [p(2,A) ∨ p(2,B)]
∀x∀y p(x , y) ≡ [p(1,A) ∧ p(1,B)] ∧ [p(2,A) ∧ p(2,B)]
Coklu Niceleyiciler
Ornek
Ux = {1, 2} ∧ Uy = {A,B}
∃x∃y p(x , y) ≡ [p(1,A) ∨ p(1,B)] ∨ [p(2,A) ∨ p(2,B)]
∃x∀y p(x , y) ≡ [p(1,A) ∧ p(1,B)] ∨ [p(2,A) ∧ p(2,B)]
∀x∃y p(x , y) ≡ [p(1,A) ∨ p(1,B)] ∧ [p(2,A) ∨ p(2,B)]
∀x∀y p(x , y) ≡ [p(1,A) ∧ p(1,B)] ∧ [p(2,A) ∧ p(2,B)]
Coklu Niceleyiciler
Ornek
Ux = {1, 2} ∧ Uy = {A,B}
∃x∃y p(x , y) ≡ [p(1,A) ∨ p(1,B)] ∨ [p(2,A) ∨ p(2,B)]
∃x∀y p(x , y) ≡ [p(1,A) ∧ p(1,B)] ∨ [p(2,A) ∧ p(2,B)]
∀x∃y p(x , y) ≡ [p(1,A) ∨ p(1,B)] ∧ [p(2,A) ∨ p(2,B)]
∀x∀y p(x , y) ≡ [p(1,A) ∧ p(1,B)] ∧ [p(2,A) ∧ p(2,B)]
Coklu Niceleyiciler
Ornek
Ux = {1, 2} ∧ Uy = {A,B}
∃x∃y p(x , y) ≡ [p(1,A) ∨ p(1,B)] ∨ [p(2,A) ∨ p(2,B)]
∃x∀y p(x , y) ≡ [p(1,A) ∧ p(1,B)] ∨ [p(2,A) ∧ p(2,B)]
∀x∃y p(x , y) ≡ [p(1,A) ∨ p(1,B)] ∧ [p(2,A) ∨ p(2,B)]
∀x∀y p(x , y) ≡ [p(1,A) ∧ p(1,B)] ∧ [p(2,A) ∧ p(2,B)]
Coklu Niceleyiciler
Ornek
Ux = {1, 2} ∧ Uy = {A,B}
∃x∃y p(x , y) ≡ [p(1,A) ∨ p(1,B)] ∨ [p(2,A) ∨ p(2,B)]
∃x∀y p(x , y) ≡ [p(1,A) ∧ p(1,B)] ∨ [p(2,A) ∧ p(2,B)]
∀x∃y p(x , y) ≡ [p(1,A) ∨ p(1,B)] ∧ [p(2,A) ∨ p(2,B)]
∀x∀y p(x , y) ≡ [p(1,A) ∧ p(1,B)] ∧ [p(2,A) ∧ p(2,B)]
Kaynaklar
Okunacak: Grimaldi
Chapter 2: Fundamentals of Logic
2.4. The Use of Quantifiers
Yardımcı Kitap: O’Donnell, Hall, Page
Chapter 7: Predicate Logic
Konular
1 YuklemlerGirisNiceleyicilerCoklu Niceleyiciler
2 KumelerGirisAltkumeKume IslemleriIcleme-Dıslama
Kume
Tanım
kume:
birbirinden ayırt edilebilen
aralarında sıralama yapılmamıs
yinelenmeyen
elemanlar toplulugu
Kume Gosterilimi
acık gosterilimelemanlar suslu parantezler icinde listelenir: {a1, a2, . . . , an}
kapalı gosterilimbir yuklemi dogru kılan elemanlar: {x |x ∈ G , p(x)}
∅: bos kume
S bir kume, a bir nesne olsun
a ∈ S : a nesnesi S kumesinin elemanıdıra /∈ S : a nesnesi S kumesinin elemanı degildir
|S |: eleman sayısı (kardinalite)
Kume Gosterilimi
acık gosterilimelemanlar suslu parantezler icinde listelenir: {a1, a2, . . . , an}
kapalı gosterilimbir yuklemi dogru kılan elemanlar: {x |x ∈ G , p(x)}
∅: bos kume
S bir kume, a bir nesne olsun
a ∈ S : a nesnesi S kumesinin elemanıdıra /∈ S : a nesnesi S kumesinin elemanı degildir
|S |: eleman sayısı (kardinalite)
Kume Gosterilimi
acık gosterilimelemanlar suslu parantezler icinde listelenir: {a1, a2, . . . , an}
kapalı gosterilimbir yuklemi dogru kılan elemanlar: {x |x ∈ G , p(x)}
∅: bos kume
S bir kume, a bir nesne olsun
a ∈ S : a nesnesi S kumesinin elemanıdıra /∈ S : a nesnesi S kumesinin elemanı degildir
|S |: eleman sayısı (kardinalite)
Kume Gosterilimi
acık gosterilimelemanlar suslu parantezler icinde listelenir: {a1, a2, . . . , an}
kapalı gosterilimbir yuklemi dogru kılan elemanlar: {x |x ∈ G , p(x)}
∅: bos kume
S bir kume, a bir nesne olsun
a ∈ S : a nesnesi S kumesinin elemanıdıra /∈ S : a nesnesi S kumesinin elemanı degildir
|S |: eleman sayısı (kardinalite)
Kume Gosterilimi
acık gosterilimelemanlar suslu parantezler icinde listelenir: {a1, a2, . . . , an}
kapalı gosterilimbir yuklemi dogru kılan elemanlar: {x |x ∈ G , p(x)}
∅: bos kume
S bir kume, a bir nesne olsun
a ∈ S : a nesnesi S kumesinin elemanıdıra /∈ S : a nesnesi S kumesinin elemanı degildir
|S |: eleman sayısı (kardinalite)
Acık Gosterilim Ornegi
Ornek
{3, 8, 2, 11, 5}11 ∈ {3, 8, 2, 11, 5}|{3, 8, 2, 11, 5}| = 5
Kapalı Gosterilim Ornekleri
Ornek
{x |x ∈ Z+, 20 < x3 < 100} ≡ {3, 4}{2x − 1|x ∈ Z+, 20 < x3 < 100} ≡ {5, 7}
Ornek
A = {x |x ∈ R, 1 ≤ x ≤ 5}
Ornek
E = {n|n ∈ N,∃k ∈ N [n = 2k]}A = {x |x ∈ E , 1 ≤ x ≤ 5}
Kapalı Gosterilim Ornekleri
Ornek
{x |x ∈ Z+, 20 < x3 < 100} ≡ {3, 4}{2x − 1|x ∈ Z+, 20 < x3 < 100} ≡ {5, 7}
Ornek
A = {x |x ∈ R, 1 ≤ x ≤ 5}
Ornek
E = {n|n ∈ N,∃k ∈ N [n = 2k]}A = {x |x ∈ E , 1 ≤ x ≤ 5}
Kapalı Gosterilim Ornekleri
Ornek
{x |x ∈ Z+, 20 < x3 < 100} ≡ {3, 4}{2x − 1|x ∈ Z+, 20 < x3 < 100} ≡ {5, 7}
Ornek
A = {x |x ∈ R, 1 ≤ x ≤ 5}
Ornek
E = {n|n ∈ N,∃k ∈ N [n = 2k]}A = {x |x ∈ E , 1 ≤ x ≤ 5}
Kume Ikilemi
Bir koyde bir berber yasıyor.Kendi tras olmayan herkesi tras ediyor,Kendi tras olan kimseyi tras etmiyor.
Bu berber kendi tras olur mu?
evet → ama kendi tras olan kimseyi tras etmiyor→ hayır
hayır → ama kendi tras olmayan herkesi tras ediyor→ evet
Kume Ikilemi
Bir koyde bir berber yasıyor.Kendi tras olmayan herkesi tras ediyor,Kendi tras olan kimseyi tras etmiyor.
Bu berber kendi tras olur mu?
evet → ama kendi tras olan kimseyi tras etmiyor→ hayır
hayır → ama kendi tras olmayan herkesi tras ediyor→ evet
Kume Ikilemi
Bir koyde bir berber yasıyor.Kendi tras olmayan herkesi tras ediyor,Kendi tras olan kimseyi tras etmiyor.
Bu berber kendi tras olur mu?
evet → ama kendi tras olan kimseyi tras etmiyor→ hayır
hayır → ama kendi tras olmayan herkesi tras ediyor→ evet
Kume Ikilemi
S kendisinin elemanı olmayan kumeler kumesi olsunS = {A|A /∈ A}
S kendinin elemanı mıdır?
evet → ama yuklemi saglamaz → hayır
hayır → ama yuklemi saglar → evet
Kume Ikilemi
S kendisinin elemanı olmayan kumeler kumesi olsunS = {A|A /∈ A}
S kendinin elemanı mıdır?
evet → ama yuklemi saglamaz → hayır
hayır → ama yuklemi saglar → evet
Kume Ikilemi
S kendisinin elemanı olmayan kumeler kumesi olsunS = {A|A /∈ A}
S kendinin elemanı mıdır?
evet → ama yuklemi saglamaz → hayır
hayır → ama yuklemi saglar → evet
Kume Ikilemi
S kendisinin elemanı olmayan kumeler kumesi olsunS = {A|A /∈ A}
S kendinin elemanı mıdır?
evet → ama yuklemi saglamaz → hayır
hayır → ama yuklemi saglar → evet
Konular
1 YuklemlerGirisNiceleyicilerCoklu Niceleyiciler
2 KumelerGirisAltkumeKume IslemleriIcleme-Dıslama
Altkume
Tanım
A ⊆ B ⇔ ∀x [x ∈ A → x ∈ B]
kume esitligi:A = B ⇔ (A ⊆ B) ∧ (B ⊆ A)
uygun altkume:A ⊂ B ⇔ (A ⊆ B) ∧ (A 6= B)
∀S [∅ ⊆ S ]
Altkume
Tanım
A ⊆ B ⇔ ∀x [x ∈ A → x ∈ B]
kume esitligi:A = B ⇔ (A ⊆ B) ∧ (B ⊆ A)
uygun altkume:A ⊂ B ⇔ (A ⊆ B) ∧ (A 6= B)
∀S [∅ ⊆ S ]
Altkume
Tanım
A ⊆ B ⇔ ∀x [x ∈ A → x ∈ B]
kume esitligi:A = B ⇔ (A ⊆ B) ∧ (B ⊆ A)
uygun altkume:A ⊂ B ⇔ (A ⊆ B) ∧ (A 6= B)
∀S [∅ ⊆ S ]
Altkume
Tanım
A ⊆ B ⇔ ∀x [x ∈ A → x ∈ B]
kume esitligi:A = B ⇔ (A ⊆ B) ∧ (B ⊆ A)
uygun altkume:A ⊂ B ⇔ (A ⊆ B) ∧ (A 6= B)
∀S [∅ ⊆ S ]
Altkume
altkume degil
A * B ⇔ ¬∀x [x ∈ A → x ∈ B]
⇔ ∃x ¬[x ∈ A → x ∈ B]
⇔ ∃x ¬[¬(x ∈ A) ∨ (x ∈ B)]
⇔ ∃x [(x ∈ A) ∧ ¬(x ∈ B)]
⇔ ∃x [(x ∈ A) ∧ (x /∈ B)]
Altkume
altkume degil
A * B ⇔ ¬∀x [x ∈ A → x ∈ B]
⇔ ∃x ¬[x ∈ A → x ∈ B]
⇔ ∃x ¬[¬(x ∈ A) ∨ (x ∈ B)]
⇔ ∃x [(x ∈ A) ∧ ¬(x ∈ B)]
⇔ ∃x [(x ∈ A) ∧ (x /∈ B)]
Altkume
altkume degil
A * B ⇔ ¬∀x [x ∈ A → x ∈ B]
⇔ ∃x ¬[x ∈ A → x ∈ B]
⇔ ∃x ¬[¬(x ∈ A) ∨ (x ∈ B)]
⇔ ∃x [(x ∈ A) ∧ ¬(x ∈ B)]
⇔ ∃x [(x ∈ A) ∧ (x /∈ B)]
Altkume
altkume degil
A * B ⇔ ¬∀x [x ∈ A → x ∈ B]
⇔ ∃x ¬[x ∈ A → x ∈ B]
⇔ ∃x ¬[¬(x ∈ A) ∨ (x ∈ B)]
⇔ ∃x [(x ∈ A) ∧ ¬(x ∈ B)]
⇔ ∃x [(x ∈ A) ∧ (x /∈ B)]
Altkume
altkume degil
A * B ⇔ ¬∀x [x ∈ A → x ∈ B]
⇔ ∃x ¬[x ∈ A → x ∈ B]
⇔ ∃x ¬[¬(x ∈ A) ∨ (x ∈ B)]
⇔ ∃x [(x ∈ A) ∧ ¬(x ∈ B)]
⇔ ∃x [(x ∈ A) ∧ (x /∈ B)]
Altkumeler Kumesi
Tanım
altkumeler kumesi: P(S)bir kumenin butun altkumelerinin olusturdugu kume,bos kume ve kendisi dahil
n elemanlı bir kumenin altkumeler kumesinin 2n elemanı vardır
Altkumeler Kumesi
Tanım
altkumeler kumesi: P(S)bir kumenin butun altkumelerinin olusturdugu kume,bos kume ve kendisi dahil
n elemanlı bir kumenin altkumeler kumesinin 2n elemanı vardır
Altkumeler Kumesi Ornegi
Ornek
P({1, 2, 3}) = {∅,{1}, {2}, {3},{1, 2}, {1, 3}, {2, 3},{1, 2, 3}
}
Konular
1 YuklemlerGirisNiceleyicilerCoklu Niceleyiciler
2 KumelerGirisAltkumeKume IslemleriIcleme-Dıslama
Kume Islemleri
tumleme
A = {x |x /∈ A}
kesisim
A ∩ B = {x |(x ∈ A) ∧ (x ∈ B)}
A ∩ B = ∅ ise A ile B ayrık kumeler
birlesim
A ∪ B = {x |(x ∈ A) ∨ (x ∈ B)}
Kume Islemleri
tumleme
A = {x |x /∈ A}
kesisim
A ∩ B = {x |(x ∈ A) ∧ (x ∈ B)}
A ∩ B = ∅ ise A ile B ayrık kumeler
birlesim
A ∪ B = {x |(x ∈ A) ∨ (x ∈ B)}
Kume Islemleri
tumleme
A = {x |x /∈ A}
kesisim
A ∩ B = {x |(x ∈ A) ∧ (x ∈ B)}
A ∩ B = ∅ ise A ile B ayrık kumeler
birlesim
A ∪ B = {x |(x ∈ A) ∨ (x ∈ B)}
Kume Islemleri
fark
A− B = {x |(x ∈ A) ∧ (x /∈ B)}
A− B = A ∩ B
bakısımlı fark:A4 B = {x |(x ∈ A ∪ B) ∧ (x /∈ A ∩ B)}
Kume Islemleri
fark
A− B = {x |(x ∈ A) ∧ (x /∈ B)}
A− B = A ∩ B
bakısımlı fark:A4 B = {x |(x ∈ A ∪ B) ∧ (x /∈ A ∩ B)}
Kume Islemleri
fark
A− B = {x |(x ∈ A) ∧ (x /∈ B)}
A− B = A ∩ B
bakısımlı fark:A4 B = {x |(x ∈ A ∪ B) ∧ (x /∈ A ∩ B)}
Kartezyen Carpım
Tanım
Kartezyen carpım:A× B = {(a, b)|a ∈ A, b ∈ B}
A× B × C × · · · × N = {(a, b, . . . , n)|a ∈ A, b ∈ B, . . . , n ∈ N}
|A× B × C × · · · × N| = |A| · |B| · |C | · · · |N|
Kartezyen Carpım
Tanım
Kartezyen carpım:A× B = {(a, b)|a ∈ A, b ∈ B}
A× B × C × · · · × N = {(a, b, . . . , n)|a ∈ A, b ∈ B, . . . , n ∈ N}
|A× B × C × · · · × N| = |A| · |B| · |C | · · · |N|
Kartezyen Carpım Ornegi
Ornek
A = {a1.a2, a3, a4}B = {b1, b2, b3}
A× B = {(a1, b1), (a1, b2), (a1, b3),
(a2, b1), (a2, b2), (a2, b3),
(a3, b1), (a3, b2), (a3, b3),
(a4, b1), (a4, b2), (a4, b3)
}
Esdegerlilikler
Cifte Tumleme
A = A
DegismeA ∩ B = B ∩ A A ∪ B = B ∪ A
Birlesme(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C ) (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C )
Sabit KuvvetlilikA ∩ A = A A ∪ A = A
TerslikA ∩ A = ∅ A ∪ A = U
Esdegerlilikler
Cifte Tumleme
A = A
DegismeA ∩ B = B ∩ A A ∪ B = B ∪ A
Birlesme(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C ) (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C )
Sabit KuvvetlilikA ∩ A = A A ∪ A = A
TerslikA ∩ A = ∅ A ∪ A = U
Esdegerlilikler
Cifte Tumleme
A = A
DegismeA ∩ B = B ∩ A A ∪ B = B ∪ A
Birlesme(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C ) (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C )
Sabit KuvvetlilikA ∩ A = A A ∪ A = A
TerslikA ∩ A = ∅ A ∪ A = U
Esdegerlilikler
Cifte Tumleme
A = A
DegismeA ∩ B = B ∩ A A ∪ B = B ∪ A
Birlesme(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C ) (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C )
Sabit KuvvetlilikA ∩ A = A A ∪ A = A
TerslikA ∩ A = ∅ A ∪ A = U
Esdegerlilikler
Cifte Tumleme
A = A
DegismeA ∩ B = B ∩ A A ∪ B = B ∪ A
Birlesme(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C ) (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C )
Sabit KuvvetlilikA ∩ A = A A ∪ A = A
TerslikA ∩ A = ∅ A ∪ A = U
Esdegerlilikler
EtkisizlikA ∩ U = A A ∪ ∅ = A
BaskınlıkA ∩ ∅ = ∅ A ∪ U = U
DagılmaA ∩ (B ∪ C ) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C ) A ∪ (B ∩ C ) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C )
YutmaA ∩ (A ∪ B) = A A ∪ (A ∩ B) = A
De Morgan YasalarıA ∩ B = A ∪ B A ∪ B = A ∩ B
Esdegerlilikler
EtkisizlikA ∩ U = A A ∪ ∅ = A
BaskınlıkA ∩ ∅ = ∅ A ∪ U = U
DagılmaA ∩ (B ∪ C ) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C ) A ∪ (B ∩ C ) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C )
YutmaA ∩ (A ∪ B) = A A ∪ (A ∩ B) = A
De Morgan YasalarıA ∩ B = A ∪ B A ∪ B = A ∩ B
Esdegerlilikler
EtkisizlikA ∩ U = A A ∪ ∅ = A
BaskınlıkA ∩ ∅ = ∅ A ∪ U = U
DagılmaA ∩ (B ∪ C ) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C ) A ∪ (B ∩ C ) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C )
YutmaA ∩ (A ∪ B) = A A ∪ (A ∩ B) = A
De Morgan YasalarıA ∩ B = A ∪ B A ∪ B = A ∩ B
Esdegerlilikler
EtkisizlikA ∩ U = A A ∪ ∅ = A
BaskınlıkA ∩ ∅ = ∅ A ∪ U = U
DagılmaA ∩ (B ∪ C ) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C ) A ∪ (B ∩ C ) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C )
YutmaA ∩ (A ∪ B) = A A ∪ (A ∩ B) = A
De Morgan YasalarıA ∩ B = A ∪ B A ∪ B = A ∩ B
Esdegerlilikler
EtkisizlikA ∩ U = A A ∪ ∅ = A
BaskınlıkA ∩ ∅ = ∅ A ∪ U = U
DagılmaA ∩ (B ∪ C ) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C ) A ∪ (B ∩ C ) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C )
YutmaA ∩ (A ∪ B) = A A ∪ (A ∩ B) = A
De Morgan YasalarıA ∩ B = A ∪ B A ∪ B = A ∩ B
De Morgan Kuralı
Tanıt.
A ∩ B = {x |x /∈ (A ∩ B)}= {x |¬(x ∈ (A ∩ B))}= {x |¬((x ∈ A) ∧ (x ∈ B))}= {x |¬(x ∈ A) ∨ ¬(x ∈ B)}= {x |(x /∈ A) ∨ (x /∈ B)}= {x |(x ∈ A) ∨ (x ∈ B)}= {x |x ∈ A ∪ B}= A ∪ B
De Morgan Kuralı
Tanıt.
A ∩ B = {x |x /∈ (A ∩ B)}= {x |¬(x ∈ (A ∩ B))}= {x |¬((x ∈ A) ∧ (x ∈ B))}= {x |¬(x ∈ A) ∨ ¬(x ∈ B)}= {x |(x /∈ A) ∨ (x /∈ B)}= {x |(x ∈ A) ∨ (x ∈ B)}= {x |x ∈ A ∪ B}= A ∪ B
De Morgan Kuralı
Tanıt.
A ∩ B = {x |x /∈ (A ∩ B)}= {x |¬(x ∈ (A ∩ B))}= {x |¬((x ∈ A) ∧ (x ∈ B))}= {x |¬(x ∈ A) ∨ ¬(x ∈ B)}= {x |(x /∈ A) ∨ (x /∈ B)}= {x |(x ∈ A) ∨ (x ∈ B)}= {x |x ∈ A ∪ B}= A ∪ B
De Morgan Kuralı
Tanıt.
A ∩ B = {x |x /∈ (A ∩ B)}= {x |¬(x ∈ (A ∩ B))}= {x |¬((x ∈ A) ∧ (x ∈ B))}= {x |¬(x ∈ A) ∨ ¬(x ∈ B)}= {x |(x /∈ A) ∨ (x /∈ B)}= {x |(x ∈ A) ∨ (x ∈ B)}= {x |x ∈ A ∪ B}= A ∪ B
De Morgan Kuralı
Tanıt.
A ∩ B = {x |x /∈ (A ∩ B)}= {x |¬(x ∈ (A ∩ B))}= {x |¬((x ∈ A) ∧ (x ∈ B))}= {x |¬(x ∈ A) ∨ ¬(x ∈ B)}= {x |(x /∈ A) ∨ (x /∈ B)}= {x |(x ∈ A) ∨ (x ∈ B)}= {x |x ∈ A ∪ B}= A ∪ B
De Morgan Kuralı
Tanıt.
A ∩ B = {x |x /∈ (A ∩ B)}= {x |¬(x ∈ (A ∩ B))}= {x |¬((x ∈ A) ∧ (x ∈ B))}= {x |¬(x ∈ A) ∨ ¬(x ∈ B)}= {x |(x /∈ A) ∨ (x /∈ B)}= {x |(x ∈ A) ∨ (x ∈ B)}= {x |x ∈ A ∪ B}= A ∪ B
De Morgan Kuralı
Tanıt.
A ∩ B = {x |x /∈ (A ∩ B)}= {x |¬(x ∈ (A ∩ B))}= {x |¬((x ∈ A) ∧ (x ∈ B))}= {x |¬(x ∈ A) ∨ ¬(x ∈ B)}= {x |(x /∈ A) ∨ (x /∈ B)}= {x |(x ∈ A) ∨ (x ∈ B)}= {x |x ∈ A ∪ B}= A ∪ B
De Morgan Kuralı
Tanıt.
A ∩ B = {x |x /∈ (A ∩ B)}= {x |¬(x ∈ (A ∩ B))}= {x |¬((x ∈ A) ∧ (x ∈ B))}= {x |¬(x ∈ A) ∨ ¬(x ∈ B)}= {x |(x /∈ A) ∨ (x /∈ B)}= {x |(x ∈ A) ∨ (x ∈ B)}= {x |x ∈ A ∪ B}= A ∪ B
Esdegerlilik Ornegi
Teorem
A ∩ (B − C ) = (A ∩ B)− (A ∩ C )
Esdegerlilik Ornegi
Tanıt.
(A ∩ B)− (A ∩ C ) = (A ∩ B) ∩ (A ∩ C )
= (A ∩ B) ∩ (A ∪ C )
= ((A ∩ B) ∩ A) ∪ ((A ∩ B) ∩ C ))
= ∅ ∪ ((A ∩ B) ∩ C ))
= (A ∩ B) ∩ C
= A ∩ (B ∩ C )
= A ∩ (B − C )
Esdegerlilik Ornegi
Tanıt.
(A ∩ B)− (A ∩ C ) = (A ∩ B) ∩ (A ∩ C )
= (A ∩ B) ∩ (A ∪ C )
= ((A ∩ B) ∩ A) ∪ ((A ∩ B) ∩ C ))
= ∅ ∪ ((A ∩ B) ∩ C ))
= (A ∩ B) ∩ C
= A ∩ (B ∩ C )
= A ∩ (B − C )
Esdegerlilik Ornegi
Tanıt.
(A ∩ B)− (A ∩ C ) = (A ∩ B) ∩ (A ∩ C )
= (A ∩ B) ∩ (A ∪ C )
= ((A ∩ B) ∩ A) ∪ ((A ∩ B) ∩ C ))
= ∅ ∪ ((A ∩ B) ∩ C ))
= (A ∩ B) ∩ C
= A ∩ (B ∩ C )
= A ∩ (B − C )
Esdegerlilik Ornegi
Tanıt.
(A ∩ B)− (A ∩ C ) = (A ∩ B) ∩ (A ∩ C )
= (A ∩ B) ∩ (A ∪ C )
= ((A ∩ B) ∩ A) ∪ ((A ∩ B) ∩ C ))
= ∅ ∪ ((A ∩ B) ∩ C ))
= (A ∩ B) ∩ C
= A ∩ (B ∩ C )
= A ∩ (B − C )
Esdegerlilik Ornegi
Tanıt.
(A ∩ B)− (A ∩ C ) = (A ∩ B) ∩ (A ∩ C )
= (A ∩ B) ∩ (A ∪ C )
= ((A ∩ B) ∩ A) ∪ ((A ∩ B) ∩ C ))
= ∅ ∪ ((A ∩ B) ∩ C ))
= (A ∩ B) ∩ C
= A ∩ (B ∩ C )
= A ∩ (B − C )
Esdegerlilik Ornegi
Tanıt.
(A ∩ B)− (A ∩ C ) = (A ∩ B) ∩ (A ∩ C )
= (A ∩ B) ∩ (A ∪ C )
= ((A ∩ B) ∩ A) ∪ ((A ∩ B) ∩ C ))
= ∅ ∪ ((A ∩ B) ∩ C ))
= (A ∩ B) ∩ C
= A ∩ (B ∩ C )
= A ∩ (B − C )
Esdegerlilik Ornegi
Tanıt.
(A ∩ B)− (A ∩ C ) = (A ∩ B) ∩ (A ∩ C )
= (A ∩ B) ∩ (A ∪ C )
= ((A ∩ B) ∩ A) ∪ ((A ∩ B) ∩ C ))
= ∅ ∪ ((A ∩ B) ∩ C ))
= (A ∩ B) ∩ C
= A ∩ (B ∩ C )
= A ∩ (B − C )
Konular
1 YuklemlerGirisNiceleyicilerCoklu Niceleyiciler
2 KumelerGirisAltkumeKume IslemleriIcleme-Dıslama
Icleme-Dıslama Ilkesi
|A ∪ B| = |A|+ |B| − |A ∩ B||A ∪ B ∪ C | =|A|+ |B|+ |C | − (|A ∩ B|+ |A ∩ C |+ |B ∩ C |) + |A ∩ B ∩ C |
Teorem
|A1 ∪ A2 ∪ · · · ∪ An| =∑
i
|Ai | −∑i ,j
|Ai ∩ Aj |
+∑i ,j ,k
|Ai ∩ Aj ∩ Ak |
· · ·+−1n−1|Ai ∩ Aj ∩ · · · ∩ An|
Icleme-Dıslama Ilkesi
|A ∪ B| = |A|+ |B| − |A ∩ B||A ∪ B ∪ C | =|A|+ |B|+ |C | − (|A ∩ B|+ |A ∩ C |+ |B ∩ C |) + |A ∩ B ∩ C |
Teorem
|A1 ∪ A2 ∪ · · · ∪ An| =∑
i
|Ai | −∑i ,j
|Ai ∩ Aj |
+∑i ,j ,k
|Ai ∩ Aj ∩ Ak |
· · ·+−1n−1|Ai ∩ Aj ∩ · · · ∩ An|
Icleme-Dıslama Ilkesi
|A ∪ B| = |A|+ |B| − |A ∩ B||A ∪ B ∪ C | =|A|+ |B|+ |C | − (|A ∩ B|+ |A ∩ C |+ |B ∩ C |) + |A ∩ B ∩ C |
Teorem
|A1 ∪ A2 ∪ · · · ∪ An| =∑
i
|Ai | −∑i ,j
|Ai ∩ Aj |
+∑i ,j ,k
|Ai ∩ Aj ∩ Ak |
· · ·+−1n−1|Ai ∩ Aj ∩ · · · ∩ An|
Icleme-Dıslama Ilkesi Ornegi
Ornek (Eratosthenes Kalburu)
asal sayıları bulmak icin bir yontem
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1718 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
2 3 5 7 9 11 13 15 1719 21 23 25 27 29
2 3 5 7 11 13 1719 23 25 29
2 3 5 7 11 13 1719 23 29
Icleme-Dıslama Ilkesi Ornegi
Ornek (Eratosthenes Kalburu)
asal sayıları bulmak icin bir yontem
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1718 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
2 3 5 7 9 11 13 15 1719 21 23 25 27 29
2 3 5 7 11 13 1719 23 25 29
2 3 5 7 11 13 1719 23 29
Icleme-Dıslama Ilkesi Ornegi
Ornek (Eratosthenes Kalburu)
asal sayıları bulmak icin bir yontem
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1718 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
2 3 5 7 9 11 13 15 1719 21 23 25 27 29
2 3 5 7 11 13 1719 23 25 29
2 3 5 7 11 13 1719 23 29
Icleme-Dıslama Ilkesi Ornegi
Ornek (Eratosthenes Kalburu)
asal sayıları bulmak icin bir yontem
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1718 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
2 3 5 7 9 11 13 15 1719 21 23 25 27 29
2 3 5 7 11 13 1719 23 25 29
2 3 5 7 11 13 1719 23 29
Icleme-Dıslama Ilkesi Ornegi
Ornek (Eratosthenes Kalburu)
asal sayıları bulmak icin bir yontem
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1718 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
2 3 5 7 9 11 13 15 1719 21 23 25 27 29
2 3 5 7 11 13 1719 23 25 29
2 3 5 7 11 13 1719 23 29
Icleme-Dıslama Ilkesi Ornegi
Ornek (Eratosthenes Kalburu)
1’den 100’e kadar asal sayıların sayısı
2, 3, 5 ve 7’ye bolunemeyen sayılar
A2: 2’ye bolunen sayılar kumesiA3: 3’e bolunen sayılar kumesiA5: 5’e bolunen sayılar kumesiA7: 7’ye bolunen sayılar kumesi
|A2 ∪ A3 ∪ A5 ∪ A7|
Icleme-Dıslama Ilkesi Ornegi
Ornek (Eratosthenes Kalburu)
1’den 100’e kadar asal sayıların sayısı
2, 3, 5 ve 7’ye bolunemeyen sayılar
A2: 2’ye bolunen sayılar kumesiA3: 3’e bolunen sayılar kumesiA5: 5’e bolunen sayılar kumesiA7: 7’ye bolunen sayılar kumesi
|A2 ∪ A3 ∪ A5 ∪ A7|
Icleme-Dıslama Ilkesi Ornegi
Ornek (Eratosthenes Kalburu)
1’den 100’e kadar asal sayıların sayısı
2, 3, 5 ve 7’ye bolunemeyen sayılar
A2: 2’ye bolunen sayılar kumesiA3: 3’e bolunen sayılar kumesiA5: 5’e bolunen sayılar kumesiA7: 7’ye bolunen sayılar kumesi
|A2 ∪ A3 ∪ A5 ∪ A7|
Icleme-Dıslama Ilkesi Ornegi
Ornek (Eratosthenes Kalburu)
|A2| = b100/2c = 50
|A3| = b100/3c = 33
|A5| = b100/5c = 20
|A7| = b100/7c = 14
|A2 ∩ A3| = b100/6c = 16
|A2 ∩ A5| = b100/10c = 10
|A2 ∩ A7| = b100/14c = 7
|A3 ∩ A5| = b100/15c = 6
|A3 ∩ A7| = b100/21c = 4
|A5 ∩ A7| = b100/35c = 2
Icleme-Dıslama Ilkesi Ornegi
Ornek (Eratosthenes Kalburu)
|A2| = b100/2c = 50
|A3| = b100/3c = 33
|A5| = b100/5c = 20
|A7| = b100/7c = 14
|A2 ∩ A3| = b100/6c = 16
|A2 ∩ A5| = b100/10c = 10
|A2 ∩ A7| = b100/14c = 7
|A3 ∩ A5| = b100/15c = 6
|A3 ∩ A7| = b100/21c = 4
|A5 ∩ A7| = b100/35c = 2
Icleme-Dıslama Ilkesi Ornegi
Ornek (Eratosthenes Kalburu)
|A2 ∩ A3 ∩ A5| = b100/30c = 3
|A2 ∩ A3 ∩ A7| = b100/42c = 2
|A2 ∩ A5 ∩ A7| = b100/70c = 1
|A3 ∩ A5 ∩ A7| = b100/105c = 0
|A2 ∩ A3 ∩ A5 ∩ A7| = b100/210c = 0
Icleme-Dıslama Ilkesi Ornegi
Ornek (Eratosthenes Kalburu)
|A2 ∩ A3 ∩ A5| = b100/30c = 3
|A2 ∩ A3 ∩ A7| = b100/42c = 2
|A2 ∩ A5 ∩ A7| = b100/70c = 1
|A3 ∩ A5 ∩ A7| = b100/105c = 0
|A2 ∩ A3 ∩ A5 ∩ A7| = b100/210c = 0
Icleme-Dıslama Ilkesi Ornegi
Ornek (Eratosthenes Kalburu)
|A2 ∪ A3 ∪ A5 ∪ A7| = (50 + 33 + 20 + 14)
− (16 + 10 + 7 + 6 + 4 + 2)
+ (3 + 2 + 1 + 0)
− (0)
= 78
asalların sayısı: (100− 78) + 4− 1 = 25
Icleme-Dıslama Ilkesi Ornegi
Ornek (Eratosthenes Kalburu)
|A2 ∪ A3 ∪ A5 ∪ A7| = (50 + 33 + 20 + 14)
− (16 + 10 + 7 + 6 + 4 + 2)
+ (3 + 2 + 1 + 0)
− (0)
= 78
asalların sayısı: (100− 78) + 4− 1 = 25
Kaynaklar
Okunacak: Grimaldi
Chapter 3: Set Theory
3.1. Sets and Subsets3.2. Set Operations and the Laws of Set Theory
Chapter 8: The Principle of Inclusion and Exclusion
8.1. The Principle of Inclusion and Exclusion
Yardımcı Kitap: O’Donnell, Hall, Page
Chapter 8: Set Theory