Ayrık Matematik - Yüklemler ve Kümeler

Ayrık MatematikYuklemler ve Kumeler

H. Turgut Uyar Aysegul Gencata Yayımlı Emre Harmancı

2001-2013

Lisans

You are free:

to Share – to copy, distribute and transmit the work

to Remix – to adapt the work

Under the following conditions:

Attribution – You must attribute the work in the manner specified by the author or licensor (but not in anyway that suggests that they endorse you or your use of the work).

Noncommercial – You may not use this work for commercial purposes.

Share Alike – If you alter, transform, or build upon this work, you may distribute the resulting work onlyunder the same or similar license to this one.

Legal code (the full license):http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/

Konular

1 YuklemlerGirisNiceleyicilerCoklu Niceleyiciler

2 KumelerGirisAltkumeKume IslemleriIcleme-Dıslama

Konular

Yuklem

Tanım

yuklem:

bir ya da birden fazla degisken iceren ve

bir onerme olmayan ama

degiskenlere izin verilen secenekler arasından deger verildigindebir onerme haline gelen

bir belirtim tumcesi (acık bildirim)

Calısma Evreni

Tanım

calısma evreni: Uizin verilen secenekler kumesi

ornekler:

Z: tamsayılarN: dogal sayılarZ+: pozitif tamsayılarQ: rasyonel sayılarR: reel sayılarC: karmasık sayılar

Calısma Evreni

Tanım

calısma evreni: Uizin verilen secenekler kumesi

ornekler:

Z: tamsayılarN: dogal sayılarZ+: pozitif tamsayılarQ: rasyonel sayılarR: reel sayılarC: karmasık sayılar

Yuklem Ornekleri

U = Np(x): x + 2 bir cift sayıdır

p(5): Yp(8): D

¬p(x): x + 2 bir cift sayı degildir

U = Nq(x , y): x + y ve x − 2y birer cift sayıdır

q(11, 3): Y , q(14, 4): D

Yuklem Ornekleri

p(5): Yp(8): D

q(11, 3): Y , q(14, 4): D

Yuklem Ornekleri

p(5): Yp(8): D

q(11, 3): Y , q(14, 4): D

Konular

Niceleyiciler

Tanım

varlık niceleyicisi:yuklem bazı degerler icin dogru

simgesi: ∃okunusu: vardır

simge: ∃!okunusu: vardır ve tektir

Tanım

evrensel niceleyici:yuklem butun degerler icin dogru

simgesi: ∀okunusu: her

Niceleyiciler

Tanım

Niceleyiciler

Tanım

Niceleyiciler

varlık niceleyicisi

U = {x1, x2, . . . , xn}∃x p(x) ≡ p(x1) ∨ p(x2) ∨ · · · ∨ p(xn)

bazı x’ler icin p(x) dogru

evrensel niceleyici

U = {x1, x2, . . . , xn}∀x p(x) ≡ p(x1) ∧ p(x2) ∧ · · · ∧ p(xn)

her x icin p(x) dogru

Niceleyiciler

varlık niceleyicisi

U = {x1, x2, . . . , xn}∃x p(x) ≡ p(x1) ∨ p(x2) ∨ · · · ∨ p(xn)

bazı x’ler icin p(x) dogru

evrensel niceleyici

U = {x1, x2, . . . , xn}∀x p(x) ≡ p(x1) ∧ p(x2) ∧ · · · ∧ p(xn)

her x icin p(x) dogru

Niceleyici Ornekleri

p(x) : x ≥ 0

q(x) : x2 ≥ 0

r(x) : (x − 4)(x + 1) = 0

s(x) : x2 − 3 > 0

yandaki ifadeler dogru mudur?

∃x [p(x) ∧ r(x)]

∀x [p(x) → q(x)]

∀x [q(x) → s(x)]

∀x [r(x) ∨ s(x)]

∀x [r(x) → p(x)]

p(x) : x ≥ 0

q(x) : x2 ≥ 0

r(x) : (x − 4)(x + 1) = 0

s(x) : x2 − 3 > 0

∃x [p(x) ∧ r(x)]

∀x [p(x) → q(x)]

∀x [q(x) → s(x)]

∀x [r(x) ∨ s(x)]

∀x [r(x) → p(x)]

p(x) : x ≥ 0

q(x) : x2 ≥ 0

r(x) : (x − 4)(x + 1) = 0

s(x) : x2 − 3 > 0

∃x [p(x) ∧ r(x)]

∀x [p(x) → q(x)]

∀x [q(x) → s(x)]

∀x [r(x) ∨ s(x)]

∀x [r(x) → p(x)]

p(x) : x ≥ 0

q(x) : x2 ≥ 0

r(x) : (x − 4)(x + 1) = 0

s(x) : x2 − 3 > 0

∃x [p(x) ∧ r(x)]

∀x [p(x) → q(x)]

∀x [q(x) → s(x)]

∀x [r(x) ∨ s(x)]

∀x [r(x) → p(x)]

p(x) : x ≥ 0

q(x) : x2 ≥ 0

r(x) : (x − 4)(x + 1) = 0

s(x) : x2 − 3 > 0

∃x [p(x) ∧ r(x)]

∀x [p(x) → q(x)]

∀x [q(x) → s(x)]

∀x [r(x) ∨ s(x)]

∀x [r(x) → p(x)]

p(x) : x ≥ 0

q(x) : x2 ≥ 0

r(x) : (x − 4)(x + 1) = 0

s(x) : x2 − 3 > 0

∃x [p(x) ∧ r(x)]

∀x [p(x) → q(x)]

∀x [q(x) → s(x)]

∀x [r(x) ∨ s(x)]

∀x [r(x) → p(x)]

Niceleyicilerin Degillenmesi

∀ yerine ∃, ∃ yerine ∀ konur

yuklem degillenir

¬∃x p(x) ⇔ ∀x ¬p(x)

¬∃x ¬p(x) ⇔ ∀x p(x)

¬∀x p(x) ⇔ ∃x ¬p(x)

¬∀x ¬p(x) ⇔ ∃x p(x)

∀ yerine ∃, ∃ yerine ∀ konur

yuklem degillenir

¬∃x p(x) ⇔ ∀x ¬p(x)

¬∃x ¬p(x) ⇔ ∀x p(x)

¬∀x p(x) ⇔ ∃x ¬p(x)

¬∀x ¬p(x) ⇔ ∃x p(x)

Teorem

¬∃x p(x) ⇔ ∀x ¬p(x)

Tanıt.

¬∃x p(x) ≡ ¬[p(x1) ∨ p(x2) ∨ · · · ∨ p(xn)]

⇔ ¬p(x1) ∧ ¬p(x2) ∧ · · · ∧ ¬p(xn)

≡ ∀x ¬p(x)

Teorem

¬∃x p(x) ⇔ ∀x ¬p(x)

Tanıt.

¬∃x p(x) ≡ ¬[p(x1) ∨ p(x2) ∨ · · · ∨ p(xn)]

⇔ ¬p(x1) ∧ ¬p(x2) ∧ · · · ∧ ¬p(xn)

≡ ∀x ¬p(x)

Teorem

¬∃x p(x) ⇔ ∀x ¬p(x)

Tanıt.

¬∃x p(x) ≡ ¬[p(x1) ∨ p(x2) ∨ · · · ∨ p(xn)]

⇔ ¬p(x1) ∧ ¬p(x2) ∧ · · · ∧ ¬p(xn)

≡ ∀x ¬p(x)

Teorem

¬∃x p(x) ⇔ ∀x ¬p(x)

Tanıt.

¬∃x p(x) ≡ ¬[p(x1) ∨ p(x2) ∨ · · · ∨ p(xn)]

⇔ ¬p(x1) ∧ ¬p(x2) ∧ · · · ∧ ¬p(xn)

≡ ∀x ¬p(x)

Niceleyici Esdegerlilikleri

Teorem

∃x [p(x) ∨ q(x)] ⇔ ∃x p(x) ∨ ∃x q(x)

Teorem

∀x [p(x) ∧ q(x)] ⇔ ∀x p(x) ∧ ∀x q(x)

Niceleyici Esdegerlilikleri

Teorem

∃x [p(x) ∨ q(x)] ⇔ ∃x p(x) ∨ ∃x q(x)

Teorem

∀x [p(x) ∧ q(x)] ⇔ ∀x p(x) ∧ ∀x q(x)

Niceleyici Gerektirmeleri

Teorem

∀x p(x) ⇒ ∃x p(x)

Teorem

∃x [p(x) ∧ q(x)] ⇒ ∃x p(x) ∧ ∃x q(x)

Teorem

∀x p(x) ∨ ∀x q(x) ⇒ ∀x [p(x) ∨ q(x)]

Teorem

∀x p(x) ⇒ ∃x p(x)

Teorem

∃x [p(x) ∧ q(x)] ⇒ ∃x p(x) ∧ ∃x q(x)

Teorem

∀x p(x) ∨ ∀x q(x) ⇒ ∀x [p(x) ∨ q(x)]

Teorem

∀x p(x) ⇒ ∃x p(x)

Teorem

∃x [p(x) ∧ q(x)] ⇒ ∃x p(x) ∧ ∃x q(x)

Teorem

∀x p(x) ∨ ∀x q(x) ⇒ ∀x [p(x) ∨ q(x)]

Konular

Coklu Niceleyiciler

∃x∃y p(x , y)

∀x∃y p(x , y)

∃x∀y p(x , y)

∀x∀y p(x , y)

Coklu Niceleyici Ornekleri

U = Zp(x , y) : x + y = 17

∀x∃y p(x , y):her x icin oyle bir y bulunabilir ki x + y = 17 olur

∃y∀x p(x , y):oyle bir y bulunabilir ki her x icin x + y = 17 olur

U = N olsa?

U = Zp(x , y) : x + y = 17

U = N olsa?

U = Zp(x , y) : x + y = 17

U = N olsa?

U = Zp(x , y) : x + y = 17

U = N olsa?

Coklu Niceleyiciler

Ux = {1, 2} ∧ Uy = {A,B}

∃x∃y p(x , y) ≡ [p(1,A) ∨ p(1,B)] ∨ [p(2,A) ∨ p(2,B)]

∃x∀y p(x , y) ≡ [p(1,A) ∧ p(1,B)] ∨ [p(2,A) ∧ p(2,B)]

∀x∃y p(x , y) ≡ [p(1,A) ∨ p(1,B)] ∧ [p(2,A) ∨ p(2,B)]

∀x∀y p(x , y) ≡ [p(1,A) ∧ p(1,B)] ∧ [p(2,A) ∧ p(2,B)]

Coklu Niceleyiciler

Ux = {1, 2} ∧ Uy = {A,B}

∃x∃y p(x , y) ≡ [p(1,A) ∨ p(1,B)] ∨ [p(2,A) ∨ p(2,B)]

∃x∀y p(x , y) ≡ [p(1,A) ∧ p(1,B)] ∨ [p(2,A) ∧ p(2,B)]

∀x∃y p(x , y) ≡ [p(1,A) ∨ p(1,B)] ∧ [p(2,A) ∨ p(2,B)]

∀x∀y p(x , y) ≡ [p(1,A) ∧ p(1,B)] ∧ [p(2,A) ∧ p(2,B)]

Coklu Niceleyiciler

Ux = {1, 2} ∧ Uy = {A,B}

∃x∃y p(x , y) ≡ [p(1,A) ∨ p(1,B)] ∨ [p(2,A) ∨ p(2,B)]

∃x∀y p(x , y) ≡ [p(1,A) ∧ p(1,B)] ∨ [p(2,A) ∧ p(2,B)]

∀x∃y p(x , y) ≡ [p(1,A) ∨ p(1,B)] ∧ [p(2,A) ∨ p(2,B)]

∀x∀y p(x , y) ≡ [p(1,A) ∧ p(1,B)] ∧ [p(2,A) ∧ p(2,B)]

Coklu Niceleyiciler

Ux = {1, 2} ∧ Uy = {A,B}

∃x∃y p(x , y) ≡ [p(1,A) ∨ p(1,B)] ∨ [p(2,A) ∨ p(2,B)]

∃x∀y p(x , y) ≡ [p(1,A) ∧ p(1,B)] ∨ [p(2,A) ∧ p(2,B)]

∀x∃y p(x , y) ≡ [p(1,A) ∨ p(1,B)] ∧ [p(2,A) ∨ p(2,B)]

∀x∀y p(x , y) ≡ [p(1,A) ∧ p(1,B)] ∧ [p(2,A) ∧ p(2,B)]

Coklu Niceleyiciler

Ux = {1, 2} ∧ Uy = {A,B}

∃x∃y p(x , y) ≡ [p(1,A) ∨ p(1,B)] ∨ [p(2,A) ∨ p(2,B)]

∃x∀y p(x , y) ≡ [p(1,A) ∧ p(1,B)] ∨ [p(2,A) ∧ p(2,B)]

∀x∃y p(x , y) ≡ [p(1,A) ∨ p(1,B)] ∧ [p(2,A) ∨ p(2,B)]

∀x∀y p(x , y) ≡ [p(1,A) ∧ p(1,B)] ∧ [p(2,A) ∧ p(2,B)]

Kaynaklar

Okunacak: Grimaldi

Chapter 2: Fundamentals of Logic

2.4. The Use of Quantifiers

Yardımcı Kitap: O’Donnell, Hall, Page

Chapter 7: Predicate Logic

Konular

Tanım

birbirinden ayırt edilebilen

aralarında sıralama yapılmamıs

yinelenmeyen

elemanlar toplulugu

Kume Gosterilimi

acık gosterilimelemanlar suslu parantezler icinde listelenir: {a1, a2, . . . , an}

kapalı gosterilimbir yuklemi dogru kılan elemanlar: {x |x ∈ G , p(x)}

∅: bos kume

S bir kume, a bir nesne olsun

a ∈ S : a nesnesi S kumesinin elemanıdıra /∈ S : a nesnesi S kumesinin elemanı degildir

|S |: eleman sayısı (kardinalite)

Kume Gosterilimi

∅: bos kume

Kume Gosterilimi

∅: bos kume

Kume Gosterilimi

∅: bos kume

Kume Gosterilimi

∅: bos kume

Acık Gosterilim Ornegi

{3, 8, 2, 11, 5}11 ∈ {3, 8, 2, 11, 5}|{3, 8, 2, 11, 5}| = 5

Kapalı Gosterilim Ornekleri

{x |x ∈ Z+, 20 < x3 < 100} ≡ {3, 4}{2x − 1|x ∈ Z+, 20 < x3 < 100} ≡ {5, 7}

A = {x |x ∈ R, 1 ≤ x ≤ 5}

E = {n|n ∈ N,∃k ∈ N [n = 2k]}A = {x |x ∈ E , 1 ≤ x ≤ 5}

{x |x ∈ Z+, 20 < x3 < 100} ≡ {3, 4}{2x − 1|x ∈ Z+, 20 < x3 < 100} ≡ {5, 7}

A = {x |x ∈ R, 1 ≤ x ≤ 5}

E = {n|n ∈ N,∃k ∈ N [n = 2k]}A = {x |x ∈ E , 1 ≤ x ≤ 5}

{x |x ∈ Z+, 20 < x3 < 100} ≡ {3, 4}{2x − 1|x ∈ Z+, 20 < x3 < 100} ≡ {5, 7}

A = {x |x ∈ R, 1 ≤ x ≤ 5}

E = {n|n ∈ N,∃k ∈ N [n = 2k]}A = {x |x ∈ E , 1 ≤ x ≤ 5}

Kume Ikilemi

Bir koyde bir berber yasıyor.Kendi tras olmayan herkesi tras ediyor,Kendi tras olan kimseyi tras etmiyor.

Bu berber kendi tras olur mu?

evet → ama kendi tras olan kimseyi tras etmiyor→ hayır

hayır → ama kendi tras olmayan herkesi tras ediyor→ evet

Kume Ikilemi

S kendisinin elemanı olmayan kumeler kumesi olsunS = {A|A /∈ A}

S kendinin elemanı mıdır?

evet → ama yuklemi saglamaz → hayır

hayır → ama yuklemi saglar → evet

Kume Ikilemi

Konular

Altkume

Tanım

A ⊆ B ⇔ ∀x [x ∈ A → x ∈ B]

kume esitligi:A = B ⇔ (A ⊆ B) ∧ (B ⊆ A)

uygun altkume:A ⊂ B ⇔ (A ⊆ B) ∧ (A 6= B)

∀S [∅ ⊆ S ]

Altkume

Tanım

A ⊆ B ⇔ ∀x [x ∈ A → x ∈ B]

∀S [∅ ⊆ S ]

Altkume

Tanım

A ⊆ B ⇔ ∀x [x ∈ A → x ∈ B]

∀S [∅ ⊆ S ]

Altkume

Tanım

A ⊆ B ⇔ ∀x [x ∈ A → x ∈ B]

∀S [∅ ⊆ S ]

Altkume

altkume degil

A * B ⇔ ¬∀x [x ∈ A → x ∈ B]

⇔ ∃x ¬[x ∈ A → x ∈ B]

⇔ ∃x ¬[¬(x ∈ A) ∨ (x ∈ B)]

⇔ ∃x [(x ∈ A) ∧ ¬(x ∈ B)]

⇔ ∃x [(x ∈ A) ∧ (x /∈ B)]

Altkume

altkume degil

A * B ⇔ ¬∀x [x ∈ A → x ∈ B]

⇔ ∃x ¬[x ∈ A → x ∈ B]

⇔ ∃x ¬[¬(x ∈ A) ∨ (x ∈ B)]

⇔ ∃x [(x ∈ A) ∧ ¬(x ∈ B)]

⇔ ∃x [(x ∈ A) ∧ (x /∈ B)]

Altkume

altkume degil

A * B ⇔ ¬∀x [x ∈ A → x ∈ B]

⇔ ∃x ¬[x ∈ A → x ∈ B]

⇔ ∃x ¬[¬(x ∈ A) ∨ (x ∈ B)]

⇔ ∃x [(x ∈ A) ∧ ¬(x ∈ B)]

⇔ ∃x [(x ∈ A) ∧ (x /∈ B)]

Altkume

altkume degil

A * B ⇔ ¬∀x [x ∈ A → x ∈ B]

⇔ ∃x ¬[x ∈ A → x ∈ B]

⇔ ∃x ¬[¬(x ∈ A) ∨ (x ∈ B)]

⇔ ∃x [(x ∈ A) ∧ ¬(x ∈ B)]

⇔ ∃x [(x ∈ A) ∧ (x /∈ B)]

Altkume

altkume degil

A * B ⇔ ¬∀x [x ∈ A → x ∈ B]

⇔ ∃x ¬[x ∈ A → x ∈ B]

⇔ ∃x ¬[¬(x ∈ A) ∨ (x ∈ B)]

⇔ ∃x [(x ∈ A) ∧ ¬(x ∈ B)]

⇔ ∃x [(x ∈ A) ∧ (x /∈ B)]

Altkumeler Kumesi

Tanım

altkumeler kumesi: P(S)bir kumenin butun altkumelerinin olusturdugu kume,bos kume ve kendisi dahil

n elemanlı bir kumenin altkumeler kumesinin 2n elemanı vardır

Altkumeler Kumesi

Tanım

altkumeler kumesi: P(S)bir kumenin butun altkumelerinin olusturdugu kume,bos kume ve kendisi dahil

n elemanlı bir kumenin altkumeler kumesinin 2n elemanı vardır

Altkumeler Kumesi Ornegi

P({1, 2, 3}) = {∅,{1}, {2}, {3},{1, 2}, {1, 3}, {2, 3},{1, 2, 3}

Konular

Kume Islemleri

tumleme

A = {x |x /∈ A}

kesisim

A ∩ B = {x |(x ∈ A) ∧ (x ∈ B)}

A ∩ B = ∅ ise A ile B ayrık kumeler

birlesim

A ∪ B = {x |(x ∈ A) ∨ (x ∈ B)}

Kume Islemleri

tumleme

A = {x |x /∈ A}

kesisim

A ∩ B = {x |(x ∈ A) ∧ (x ∈ B)}

birlesim

A ∪ B = {x |(x ∈ A) ∨ (x ∈ B)}

Kume Islemleri

tumleme

A = {x |x /∈ A}

kesisim

A ∩ B = {x |(x ∈ A) ∧ (x ∈ B)}

birlesim

A ∪ B = {x |(x ∈ A) ∨ (x ∈ B)}

Kume Islemleri

A− B = {x |(x ∈ A) ∧ (x /∈ B)}

A− B = A ∩ B

bakısımlı fark:A4 B = {x |(x ∈ A ∪ B) ∧ (x /∈ A ∩ B)}

Kume Islemleri

A− B = {x |(x ∈ A) ∧ (x /∈ B)}

A− B = A ∩ B

Kume Islemleri

A− B = {x |(x ∈ A) ∧ (x /∈ B)}

A− B = A ∩ B

Kartezyen Carpım

Tanım

Kartezyen carpım:A× B = {(a, b)|a ∈ A, b ∈ B}

A× B × C × · · · × N = {(a, b, . . . , n)|a ∈ A, b ∈ B, . . . , n ∈ N}

|A× B × C × · · · × N| = |A| · |B| · |C | · · · |N|

Kartezyen Carpım

Tanım

Kartezyen carpım:A× B = {(a, b)|a ∈ A, b ∈ B}

A× B × C × · · · × N = {(a, b, . . . , n)|a ∈ A, b ∈ B, . . . , n ∈ N}

|A× B × C × · · · × N| = |A| · |B| · |C | · · · |N|

Kartezyen Carpım Ornegi

A = {a1.a2, a3, a4}B = {b1, b2, b3}

A× B = {(a1, b1), (a1, b2), (a1, b3),

(a2, b1), (a2, b2), (a2, b3),

(a3, b1), (a3, b2), (a3, b3),

(a4, b1), (a4, b2), (a4, b3)

Esdegerlilikler

Cifte Tumleme

DegismeA ∩ B = B ∩ A A ∪ B = B ∪ A

Birlesme(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C ) (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C )

Sabit KuvvetlilikA ∩ A = A A ∪ A = A

TerslikA ∩ A = ∅ A ∪ A = U

Esdegerlilikler

Cifte Tumleme

Esdegerlilikler

Cifte Tumleme

Esdegerlilikler

Cifte Tumleme

Esdegerlilikler

Cifte Tumleme

Esdegerlilikler

EtkisizlikA ∩ U = A A ∪ ∅ = A

BaskınlıkA ∩ ∅ = ∅ A ∪ U = U

DagılmaA ∩ (B ∪ C ) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C ) A ∪ (B ∩ C ) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C )

YutmaA ∩ (A ∪ B) = A A ∪ (A ∩ B) = A

De Morgan YasalarıA ∩ B = A ∪ B A ∪ B = A ∩ B

Esdegerlilikler

YutmaA ∩ (A ∪ B) = A A ∪ (A ∩ B) = A

Esdegerlilikler

YutmaA ∩ (A ∪ B) = A A ∪ (A ∩ B) = A

Esdegerlilikler

YutmaA ∩ (A ∪ B) = A A ∪ (A ∩ B) = A

Esdegerlilikler

YutmaA ∩ (A ∪ B) = A A ∪ (A ∩ B) = A

De Morgan Kuralı

Tanıt.

A ∩ B = {x |x /∈ (A ∩ B)}= {x |¬(x ∈ (A ∩ B))}= {x |¬((x ∈ A) ∧ (x ∈ B))}= {x |¬(x ∈ A) ∨ ¬(x ∈ B)}= {x |(x /∈ A) ∨ (x /∈ B)}= {x |(x ∈ A) ∨ (x ∈ B)}= {x |x ∈ A ∪ B}= A ∪ B

De Morgan Kuralı

Tanıt.

De Morgan Kuralı

Tanıt.

De Morgan Kuralı

Tanıt.

De Morgan Kuralı

Tanıt.

De Morgan Kuralı

Tanıt.

De Morgan Kuralı

Tanıt.

De Morgan Kuralı

Tanıt.

Esdegerlilik Ornegi

Teorem

A ∩ (B − C ) = (A ∩ B)− (A ∩ C )

Esdegerlilik Ornegi

Tanıt.

(A ∩ B)− (A ∩ C ) = (A ∩ B) ∩ (A ∩ C )

= (A ∩ B) ∩ (A ∪ C )

= ((A ∩ B) ∩ A) ∪ ((A ∩ B) ∩ C ))

= ∅ ∪ ((A ∩ B) ∩ C ))

= (A ∩ B) ∩ C

= A ∩ (B ∩ C )

= A ∩ (B − C )

Esdegerlilik Ornegi

Tanıt.

(A ∩ B)− (A ∩ C ) = (A ∩ B) ∩ (A ∩ C )

= (A ∩ B) ∩ (A ∪ C )

= ((A ∩ B) ∩ A) ∪ ((A ∩ B) ∩ C ))

= ∅ ∪ ((A ∩ B) ∩ C ))

= (A ∩ B) ∩ C

= A ∩ (B ∩ C )

= A ∩ (B − C )

Esdegerlilik Ornegi

Tanıt.

(A ∩ B)− (A ∩ C ) = (A ∩ B) ∩ (A ∩ C )

= (A ∩ B) ∩ (A ∪ C )

= ((A ∩ B) ∩ A) ∪ ((A ∩ B) ∩ C ))

= ∅ ∪ ((A ∩ B) ∩ C ))

= (A ∩ B) ∩ C

= A ∩ (B ∩ C )

= A ∩ (B − C )

Esdegerlilik Ornegi

Tanıt.

(A ∩ B)− (A ∩ C ) = (A ∩ B) ∩ (A ∩ C )

= (A ∩ B) ∩ (A ∪ C )

= ((A ∩ B) ∩ A) ∪ ((A ∩ B) ∩ C ))

= ∅ ∪ ((A ∩ B) ∩ C ))

= (A ∩ B) ∩ C

= A ∩ (B ∩ C )

= A ∩ (B − C )

Esdegerlilik Ornegi

Tanıt.

(A ∩ B)− (A ∩ C ) = (A ∩ B) ∩ (A ∩ C )

= (A ∩ B) ∩ (A ∪ C )

= ((A ∩ B) ∩ A) ∪ ((A ∩ B) ∩ C ))

= ∅ ∪ ((A ∩ B) ∩ C ))

= (A ∩ B) ∩ C

= A ∩ (B ∩ C )

= A ∩ (B − C )

Esdegerlilik Ornegi

Tanıt.

(A ∩ B)− (A ∩ C ) = (A ∩ B) ∩ (A ∩ C )

= (A ∩ B) ∩ (A ∪ C )

= ((A ∩ B) ∩ A) ∪ ((A ∩ B) ∩ C ))

= ∅ ∪ ((A ∩ B) ∩ C ))

= (A ∩ B) ∩ C

= A ∩ (B ∩ C )

= A ∩ (B − C )

Esdegerlilik Ornegi

Tanıt.

(A ∩ B)− (A ∩ C ) = (A ∩ B) ∩ (A ∩ C )

= (A ∩ B) ∩ (A ∪ C )

= ((A ∩ B) ∩ A) ∪ ((A ∩ B) ∩ C ))

= ∅ ∪ ((A ∩ B) ∩ C ))

= (A ∩ B) ∩ C

= A ∩ (B ∩ C )

= A ∩ (B − C )

Konular

Icleme-Dıslama Ilkesi

|A ∪ B| = |A|+ |B| − |A ∩ B||A ∪ B ∪ C | =|A|+ |B|+ |C | − (|A ∩ B|+ |A ∩ C |+ |B ∩ C |) + |A ∩ B ∩ C |

Teorem

|A1 ∪ A2 ∪ · · · ∪ An| =∑

|Ai | −∑i ,j

|Ai ∩ Aj |

+∑i ,j ,k

|Ai ∩ Aj ∩ Ak |

· · ·+−1n−1|Ai ∩ Aj ∩ · · · ∩ An|

Teorem

|A1 ∪ A2 ∪ · · · ∪ An| =∑

|Ai | −∑i ,j

|Ai ∩ Aj |

+∑i ,j ,k

|Ai ∩ Aj ∩ Ak |

· · ·+−1n−1|Ai ∩ Aj ∩ · · · ∩ An|

Teorem

|A1 ∪ A2 ∪ · · · ∪ An| =∑

|Ai | −∑i ,j

|Ai ∩ Aj |

+∑i ,j ,k

|Ai ∩ Aj ∩ Ak |

· · ·+−1n−1|Ai ∩ Aj ∩ · · · ∩ An|

Icleme-Dıslama Ilkesi Ornegi

Ornek (Eratosthenes Kalburu)

asal sayıları bulmak icin bir yontem

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1718 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

2 3 5 7 9 11 13 15 1719 21 23 25 27 29

2 3 5 7 11 13 1719 23 25 29

2 3 5 7 11 13 1719 23 29

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1718 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

2 3 5 7 9 11 13 15 1719 21 23 25 27 29

2 3 5 7 11 13 1719 23 25 29

2 3 5 7 11 13 1719 23 29

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1718 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

2 3 5 7 9 11 13 15 1719 21 23 25 27 29

2 3 5 7 11 13 1719 23 25 29

2 3 5 7 11 13 1719 23 29

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1718 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

2 3 5 7 9 11 13 15 1719 21 23 25 27 29

2 3 5 7 11 13 1719 23 25 29

2 3 5 7 11 13 1719 23 29

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1718 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

2 3 5 7 9 11 13 15 1719 21 23 25 27 29

2 3 5 7 11 13 1719 23 25 29

2 3 5 7 11 13 1719 23 29

1’den 100’e kadar asal sayıların sayısı

2, 3, 5 ve 7’ye bolunemeyen sayılar

A2: 2’ye bolunen sayılar kumesiA3: 3’e bolunen sayılar kumesiA5: 5’e bolunen sayılar kumesiA7: 7’ye bolunen sayılar kumesi

|A2 ∪ A3 ∪ A5 ∪ A7|

|A2| = b100/2c = 50

|A3| = b100/3c = 33

|A5| = b100/5c = 20

|A7| = b100/7c = 14

|A2 ∩ A3| = b100/6c = 16

|A2 ∩ A5| = b100/10c = 10

|A2 ∩ A7| = b100/14c = 7

|A3 ∩ A5| = b100/15c = 6

|A3 ∩ A7| = b100/21c = 4

|A5 ∩ A7| = b100/35c = 2

|A2| = b100/2c = 50

|A3| = b100/3c = 33

|A5| = b100/5c = 20

|A7| = b100/7c = 14

|A2 ∩ A3| = b100/6c = 16

|A2 ∩ A5| = b100/10c = 10

|A2 ∩ A7| = b100/14c = 7

|A3 ∩ A5| = b100/15c = 6

|A3 ∩ A7| = b100/21c = 4

|A5 ∩ A7| = b100/35c = 2

|A2 ∩ A3 ∩ A5| = b100/30c = 3

|A2 ∩ A3 ∩ A7| = b100/42c = 2

|A2 ∩ A5 ∩ A7| = b100/70c = 1

|A3 ∩ A5 ∩ A7| = b100/105c = 0

|A2 ∩ A3 ∩ A5 ∩ A7| = b100/210c = 0

|A2 ∩ A3 ∩ A5| = b100/30c = 3

|A2 ∩ A3 ∩ A7| = b100/42c = 2

|A2 ∩ A5 ∩ A7| = b100/70c = 1

|A3 ∩ A5 ∩ A7| = b100/105c = 0

|A2 ∩ A3 ∩ A5 ∩ A7| = b100/210c = 0

|A2 ∪ A3 ∪ A5 ∪ A7| = (50 + 33 + 20 + 14)

− (16 + 10 + 7 + 6 + 4 + 2)

+ (3 + 2 + 1 + 0)

− (0)

asalların sayısı: (100− 78) + 4− 1 = 25

|A2 ∪ A3 ∪ A5 ∪ A7| = (50 + 33 + 20 + 14)

− (16 + 10 + 7 + 6 + 4 + 2)

+ (3 + 2 + 1 + 0)

− (0)

asalların sayısı: (100− 78) + 4− 1 = 25

Kaynaklar

Okunacak: Grimaldi

Chapter 3: Set Theory

3.1. Sets and Subsets3.2. Set Operations and the Laws of Set Theory

Chapter 8: The Principle of Inclusion and Exclusion

8.1. The Principle of Inclusion and Exclusion

Yardımcı Kitap: O’Donnell, Hall, Page

Chapter 8: Set Theory

Ayrık Matematik - Yüklemler ve Kümeler

Education

Transcript of Ayrık Matematik - Yüklemler ve Kümeler