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Unità Didattica 2. Aritmetica binaria
1
ARITMETICA
BINARIA
Ing. Daniele Corti
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Tutti i diritti sono riservati a norma di legge e a norma delle convenzioni internazionali.
Ver.1.2
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PREREQUISITI
Sistema binario.
Codifica.
OBIETTIVI
Applicare l’aritmetica nel linguaggio binario.
ARGOMENTI
Addizione.
Sottrazione.
Moltiplicazione.
Divisione.
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CAP6 – ARITMETICA BINARIA
ARITMETICA BINARIA
L’aritmetica binaria consiste nelle operazioni di addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione
tra numeri binari e, si basa sugli stessi principi dell’aritmetica decimale applicate su solo due cifre
(ricordiamo che il bit può assumere due valori logici differenti, 0 e 1) anziché dieci.
ADDIZIONE
Le regole dell’addizione in binario sono le stesse del sistema decimale.
Dati due cifre binarie, A e B, l’addizione segue la seguente regola:
A B A + B Riporto
(Carry)
0 0 0 0
0 1 1 0
1 0 1 0
1 1 0 1
+ 0 1
0 0 1
1 1 0 (R=1)
Riporto: 1 + 1 (= 210 ) = 102 1+1 = 0 (CON RIPORTO 1)
Riporto: 1 + 1 + 1 (= 310) = 112 1+1+1 = 1 (CON RIPORTO 1)
Mentre nel sistema decimale il riporto, alla posizione superiore (quella immediatamente alla sinistra)
si ha quando si oltrepassa la cifra 9; nel sistema binario si ha riporto, analogamente, quando si
oltrepassa la cifra 1.
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NB Nel sistema binario, dopo la cifra 1 non esiste la cifra 2, ovviamente.
Esempio 1
Un esempio chiarirà meglio il modo di esecuzione di una somma aritmetica:
BINARIO DECIMALE
16 8 4 2 1 PESI
1 1 1 1 RIPORTI
1 1 1 1 + 15 +
0 1 1 = 3 =
1 0 0 1 0 18
Esempio 2
DEC BIN
POT 8 4 2 1
riporti 1 1 1
7 0 1 1 1
5 0 1 0 1
7+5=12 1 1 0 0
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Esempio 3
1 1 1 1
1 1 0 1 0 0 +
1 1 1 0 1 =
------------------------------------------
1 0 1 0 0 0 1
Esempio 4
1102 + 102 = 10002
1 1
1 1 0 + 6
1 0 = 2
----------------------
1 0 0 0 8
OVERFLOW
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SOTTRAZIONE
Metodo 1 (formale) – sottrazione diretta
- 0 1
0 0 (1)1
1 1 0
Prestito (borrow): 102 – 12 (= 210 – 110) = 012 0-1=1 (CON PRESTITO 1)
Analogamente al sistema decimale si ha un prestito, dalla cifra alla sinistra, quando la sottrazione delle
due cifre porta ad un risultato negativo: 0 – 1 non si può fare quindi prendo in prestito l’1 dalla sinistra,
e faccio 10 – 1 e il risultato è 1. Nel sistema decimale se facciamo 20 – 3, 0 – 3 non si può fare quindi
prendo in prestito una cifra dalla sinistra, e faccio 10-3=7; la cifra alla sinistra 2 è diventata 1 e quindi:
2 0 -
3 =
1 7
Esempio 1
Un esempio chiarirà meglio il modo di esecuzione di una sottrazione diretta.
0 0 1
1 0 1 0 0 1 -
1 0 1 1 0 =
-------------------------------------
1 0 0 1 1
Bit1 Operazione Bit2 Risultato Prestito (Borrow)
0 - 0 0 0
1 - 0 1 0
1 - 1 0 0
0 - 1 1 1
1
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128 64 32 16 8 4 2 1 DEC
0 0 1 0 1 0 0 1 32+8+1=41
0 0 0 1 0 1 1 0 16+4+2=22
0 0 0 1 0 0 1 1 16+2+1=19
Se eseguendo una sottrazione diretta dobbiamo, per qualche bit, prendere il borrow (PRESTITO) dalle
cifre che lo precedono, bisogna distinguere due casi:
la cifra immediatamente precedente è uno nel qual caso è sufficiente ricordare che la cifra da
cui si prende il borrow, si riduce a zero e la cifra successiva aumenta di due (10 in binario);
la cifra (od alcune cifre) immediatamente precedente è zero, nel qual caso il borrow si prende
dalla prima cifra non nulla, tutti gli zeri diventano uno ed infine il bit su cui si sta operando è
aumentato di due (10 in binario).
Esempio 2
111102 – 112 = 3010 - 310
0 0
1 1 1 1 0 - 30
1 1 = 3
1 1 0 1 1 27
Esempio 3
pesi 16 8 4 2 1 DEC
prestiti 10
Minuendo
0
1 0 -
2
sottraendo 1 = 1
differenza 1 1
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Esempio 4
pesi 16 8 4 2 1 DEC
prestiti 10 10
Minuendo
0
1 0
0
1 0 1 -
21
sottraendo 0 1 0 1 0 = 10
differenza 0 1 0 1 1 11
Esempio 5
0 10 0 10 PRESTITI
1 0 1 0 -
1 0 1 =
0 1 0 1
10102 1*23 + 1*21 = 1010
1012 1*22 + 1*2° = 510
Altri esempi
In decimale
DEC 1000 100 10 1 PESI
2 9 PRESTITI
4 3 0 2 -
3 2 5 9 =
1 0 4 3
DEC 1000 100 10 1 PESI
8 9 9 PRESTITI
9 0 0 0 -
2 =
8 9 9 8
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DEC BIN 8 4 2 1 PESI
11 - 1 0 1 1 -
10 = 1 0 1 0 =
1 0 0 0 1
DEC BIN 8 4 2 1 PESI
0 1 PRESTITI
4 - 1 0 0 -
1 = 0 0 1 =
3 0 1 1
DEC BIN 8 4 2 1 PESI
0 0 1 PRESTITI
12 - 1 1 0 0 -
5 = 1 0 1 =
7 0 1 1 1
DEC BIN 8 4 2 1 PESI
0 0 1 PRESTITI
12 - 1 1 0 0 -
5 = 1 0 1 =
7 0 1 1 1
DEC BIN 8 4 2 1 PESI
0 1 1 PRESTITI
8 - 1 0 0 0 -
7 = 1 1 1 =
1 0 0 0 1
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Metodo 2 (complemento a 2) La sottrazione attraverso la regola del complemento a 2
Complemento ad 1
Definizione 1. Il Complemento ad 1 (CMP1) di un numero binario è la differenza tra la
configurazione di tutti '1' del codice ed il numero dato.
a – b = a + (-b)
Il complemento ad 1 di 'A' è simbolicamente indicato dall'apice 1 che precede la variabile 'A'; es: 1A
Per il calcolo si procede nel modo indicato dalla definizione.
Esempio 1
Determinare il complemento a 1 del numero binario A = '0110 1101':
1111 1111 - (configurazione con tutti i bit a '1')
0110 1101 = (A)
---------------
1001 0010 (1A = complemento ad 1 di A)
Quindi: 1'0110 1101' = '1001 0010'.
Definizione 2. Il Complemento ad 1 (CMP1) di un numero binario è la configurazione negata del
numero dato.
Questo significa che per ottenere il CMP1 di un numero binario occorre trasformare ogni bit a 0 in 1
e ogni bit a 1 in 0.
Non è un caso che il CMP1 coincida con la configurazione negata di A (not A). Infatti vale sempre
la relazione:
1A = not(A)
Pertanto, calcolare il complemento ad 1 di 'A' equivale a dire di calcolare la negazione di 'A'.
Ciò deriva direttamente dal fatto che sottrarre il bit 'x' da 1, dà come risultato 'x' negato, ossia not(x).
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Esempio 2
DEC BIN
POT 8 4 2 1
9 1 0 0 1
4 0 1 0 0
CMP1 DI 4 1 0 1 1
CMP2 1
-4 1 1 0 0
9+(-4)=5 0 1 0 1
Esempio 3
Complementare a 1 il numero binario 1011.
1 0 1 1 NUM.BINARIO
0 1 0 0 CMP1
Complemento a 2
Definizione 3. Il complemento a 2 (CMP2) di un numero binario, è uguale alla sua sottrazione da 2N,
dove con 'N' si è indicato il numero di bit impiegati per la rappresentazione del codice.
Il numero da complementare deve essere minore di 2(N-1).
Il complemento a 2 di 'A' è simbolicamente indicato dall’apice 2 che precede la variabile 'A'; es: 2A
In definitiva: 2A = 2N - A
Esempio 4
Rappresentazione dei numeri a 8 bit: N = 8
2N = 28 = 256 = '1 0000 0000'
2(N-1) = 27 = 128 = '1000 0000'
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I numeri da rappresentare in complemento a 2 devono quindi essere minori di 128, ossia
<= '0111 1111'.
In realtà esiste un’eccezione.
Per il calcolo si procede nel modo indicato dalla definizione.
Esempio 5
Sia A = '0110 1101' la configurazione binaria di cui si vuole calcolare il complemento a 2:
1 0000 0000 - (configurazione corrispondente a 28)
0110 1101 = (A)
-----------------
1001 0011 (2A = complemento a 2 di A)
Non è affatto casuale che il complemento a 2 di un numero sia maggiore di 1 del complemento a 1
dello stesso numero.
Infatti 2N = '1 0000 0000' = '1111 1111' + 1
Quindi
2A = 2N - A = 100000000 - A =
= (11111111 + 1) - A = (11111111 - A) + 1 = 1A + 1
C.V.D. #
Definizione 4. Il Complemento a 2 (CMP2) di un numero binario equivale alla addizione del numero
ottenuto dal complemento a 1 del numero dato e del 1.
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Esempio 6
Complementare a 2 il numero binario 1100:
1 1 0 0 NUM.BINARIO
0 0 1 1 CMP1
1 1 RIPORTI
0 0 1 1 + CMP1
1 =
0 1 0 0 CMP2
Esempio 7
Sulla base di 4 bit:
410 - 510
8 4 2 1 PESI DEC
0 1 0 0 - 4 -
0 1 0 1 = 5 =
0 1 0 0 + 4 +
1 0 1 1 + -5 =
1 1 1 1 = -1
Nell’effettuare operazioni con numeri con segno occorre fare attenzione che ogni numero e anche il
risultato possa essere rappresentato correttamente all’interno della memoria.
Esempio 8
Sulla base di 4 bit, la somma fra i seguenti numeri positivi con segno non è possibile:
16 + 4
Con 4 bit:
2n = 24 = 16 numeri che vanno da (-2n-1 = -8) a (+2n-1-1 = +7)
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Il 16, quindi, non può essere rappresentato sulla base di 4 bit e quindi l’operazione di addizione non
può essere effettuata.
Esempio 9
-4 + (-5)
Sebbene i due numeri rientrino nel range (-8 , +7), il risultato, -9, no.
Questa operazione non può essere effettuata utilizzando soltanto 4 bit.
Quanti bit occorressero per rappresentare il -9:
(-2n-1 = -16) a (+2n-1-1 = +15) n = 5
16 8 4 2 1 PESI DEC
0 0 1 0 0 4
CMP1 1 1 0 1 1 +
1 =
CMP2 1 1 1 0 0 -4
16 8 4 2 1 PESI DEC
1 1 1 0 0 + -4 -
0 0 1 0 1 = 5 =
1 1 1 0 0 -4 +
1 1 0 1 1 -5 =
1 1 0 1 1 1 -9
16 8 4 2 1 PESI DEC
1 0 1 1 1 -9
CMP1 0 1 0 0 0 +
1 =
CMP2 0 1 0 0 1 +9
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Definizione 5. Mediante la tecnica del complemento a 2 è possibile rappresentare i numeri negativi
e trasformare, conseguentemente, una sottrazione binaria in una addizione.
Per esempio, sapendo che
A – B = A + (-B)
è dimostrabile che la differenza
A - B
può essere sempre ricondotta alla somma
A + 2B
Analogamente la somma
A + (-B)
equivale alla somma
A + 2B
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Esempio 10
Sottrazione mediante il complemento a 2, sulla base di 8 bit:
0 1 0 0 1 0 1 -
0 0 0 1 0 1 0 =
0 1 0 0 1 0 1 +
1 1 1 0 1 0 1 +
1 =
1 0 0 1 1 0 1 1
Fuori memoria (da 8 bit) NON LO CONSIDERO
1001012=1+4+32=3710
10102=2+8=1010
110112=1+2+8+16=2710
Definizione 6. In un numero binario, il bit di peso maggiore (il primo di sinistra) è detto MSB ('Most
Significant Bit')
Definizione 7. Nella rappresentazione dei numeri interi con segno, l’MSB è riservato al segno del
numero che si vuole rappresentare in binario: questo bit viene chiamato bit di segno.
Il bit di segno = 0, indica che il numero è positivo. Il bit di segno = 1, indica che il numero è negativo.
Definizione 8. Per risalire al numero rappresentato, è sufficiente ricalcolare il complemento a 2
dell’intero numero (compreso il bit di segno).
Infatti vale la proprietà che 2(2A) = A
Per convincersi: 2(2A) = 2N - (2N - A) = 2N - 2N + A = A
C.V.D. #
ECCEZIONE
In precedenza abbiamo detto che il valore del numero per cui calcolare il complemento a due deve
essere < 2(N-1).
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Cioè strettamente vero per la rappresentazione dei numeri positivi (che non devono essere
complementati a 2), ma in realtà per la rappresentazione di un numero negativo è ammesso il range
fino a 2(N-1) compreso.
Ecco così spiegato perché un Byte può rappresentare i valori compresi fra:
0…255 se trattasi di numeri interi senza segno.
-128…0…+127 se trattasi di numeri interi con segno.
Esempio 11
DEC BIN
POT 8 4 2 1
11 1 0 1 1
7 0 1 1 1
CMP1 DI 7 1 0 0 0
CMP2 1
1 0 0 1
1 0 1 0 0
Esempio 12
DEC BIN
POT 8 4 2 1
14 1 1 1 0
8 1 0 0 0
CMP1 DI 8 0 1 1 1
CMP2 1
1 0 0 0
1 0 1 1 0
DEC BIN
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POT 16 8 4 2 1
16 1 0 0 0 0
5 0 0 1 0 1
CMP1 DI 5 1 1 0 1 0
CMP2 1
1 1 0 1 1
1 0 1 0 1 1
Esercizio
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Moltiplicazione
* 0 1
0 0 0
1 0 1
Si incolonnano le moltiplicazioni e si somma.
Esempio 1
1 0 0 1 *
1 1 =
-------------------------------------
1 0 0 1
1 0 0 1 -
------------------------------------- 1 1 0 1 1
Esempio 2
111010 * 1011 = 5810 * 1110 = 63810
1 1 1 0 1 0 *
58
1 0 1 1 =
11
1 1 1 0 1 0 +
1 1 1 0 1 0 - +
0 0 0 0 0 0 - - +
1 1 1 0 1 0 - - - =
1 0 1 0 1 1 1 0 +
1 1 1 0 1 0 0 0 0 =
1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 638
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Esercizi
10112=1+2+8=1110
1012=1+4=510
1101112=1+2+4+16+32=5510
Esempio 3
Esempio 4
1 1 1 x
1 0 0 =
0 0 0
0 0 0 -
1 1 1 - -
1 1 1 0 0
Operazione di shifting
In questo esempio, significativo, il numero iniziale 111 è stato traslato a sinistra di 2 posizioni,
aggiungendo a destra due 0: 11100. Questo è logico visto che ho moltiplicato per 100.
Esempi
Svolgere i seguenti esercizi
1101 x 101
1011 x 1011
11110 x 1011
1001 x 1110
1 0 1 1 x
1 0 1 =
1 0 1 1
0 0 0 0 -
1 0 1 1 - -
1 1 0 1 1 1
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Divisione
Anche per la divisione tra due numeri binari si applicano le stesse regole del sistema decimale.
Dividendo (num1): Divisore (num2) = Risultato (ris) con Resto (R)
Divisione fra due bit - Regola:
/ 0 1
0 0 0
1 -- 1
NB. Le divisioni 0 / 0 e 1/0 sono indefinite.
Divisione fra due numeri - Regola
Supponiamo di avere due numeri, num1 (il dividendo) e num2 (il divisore), costituiti entrambi dallo
stesso numero di bit (n), allora, se num1 è maggiore o uguale a num2, il risultato della divisione
num1:num2 sarà 1 (con resto in decimale pari a num1 - num2), altrimenti sarà 0.
Se num2 è contenuto in num1 allora il risultato è 1, altrimenti è 0.
Esempio 1
Un esempio ci permette di verificare che il procedimento è analogo a quello seguito per i numeri
decimali. Poiché le cifre del quoziente possono essere soltanto 0 oppure 1, il divisore o non è
contenuto nel dividendo parziale oppure lo è una volta sola.
110112 : 1012
11001
101
101
101
010
000
101
101
0
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In questo esempio il divisore 101 è contenuto 1 volta nel dividendo parziale 110 e la differenza
parziale è 1. Abbassiamo poi la cifra successiva 0 e otteniamo il numero 10 in cui il divisore 101 è
contenuto zero volte. Proseguiamo abbassando ancora la cifra 1 e, in questo caso, il divisore è
contenuto una volta nel dividendo, con resto 0.
Possiamo fare la verifica della divisione moltiplicando il quoziente per il divisore e addizionando
l’eventuale resto, che in questo caso uguale a zero.
101 x
101 =
101
000-
101--
11001
Esempio 2
Vediamo una divisione in cui il resto che si ottiene è nullo.
Si vuole dividere il numero binario 111100 con il numero binario 100 che indicano, rispettivamente,
i numeri decimali 60 e 4 (60 : 4=15).
Procediamo nei modi consueti: (dividendo/divisore)
1. Abbassiamo le prime tre cifre del dividendo 111 e
dividiamo per 100. Il risultato è 1.
2. Moltiplichiamo 1 per 100 e otteniamo 100. Eseguiamo 111 -
100 = 11.
3. Abbassiamo la quarta cifra del dividendo 1 e dividiamo 111
per 100. Il risultato è 1.
4. Moltiplichiamo 1 per 100 e otteniamo 100. Eseguiamo 111 -
100 = 11.
5. Abbassiamo la quinta cifra del dividendo 0 e dividiamo 110
per 100. Il risultato è 1.
6. Moltiplichiamo 1 per 100 e otteniamo 100. Eseguiamo 110 -
100 = 10.
7. Abbassiamo l'ultima cifra del dividendo 0 e dividiamo 100
per 100. Il risultato è 1.
Unità Didattica 2. Aritmetica binaria
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8. Moltiplichiamo 1 per 100 e otteniamo 100. Eseguiamo 100 -
100 = 0.
Quindi la divisione tra 111100 e 100 è uguale a 1111 (con resto 0).
Verifichiamo con il SISTEMA DECIMALE:
NUMERO BINARIO NUMERO DECIMALE
111100 : 60 :
100 = 4 =
1111 15
Infatti:
1 x 23 + 1 x 22 + 1 x 21+ 1 x 20 =
= 1 x 8 + 1 x 4 + 1 x 2 + 1 x 1 =
= 8 + 4 + 2 + 1 = 15.
Esempio 3
Vogliamo dividere il numero binario 11001 con il numero binario 101 che indicano,
rispettivamente, i numeri decimali 25 e 5.
Procediamo nei modi consueti:
1. Abbassiamo le prime tre cifre del dividendo 110 e dividiamo per 101. Il
risultato è 1.
2. Moltiplichiamo 1 per 101 e otteniamo 101. Eseguiamo 110 - 101 = 1.
3. Abbassiamo la quarta cifra del dividendo 0 e dividiamo 10 per 101. Il
risultato è 0.
4. Abbassiamo la quinta cifra del dividendo 1 e dividiamo 101 per 101. Il
risultato è 1.
5. Moltiplichiamo 1 per 101 e otteniamo 101. Eseguiamo 101 - 101 = 0.
Quindi la divisione tra 11001 e 101 è uguale a 101.
Verifichiamo con il SISTEMA DECIMALE:
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NUMERO BINARIO NUMERO DECIMALE
11001 : 25 :
101 = 5 =
101 5
Infatti:
1 x 22 + 0 x 21 + 1 x 20 =
= 1 x 4 + 0 x 2 + 1 x 1 =
= 4 + 0 + 1 = 5.
Esempio 4
1110 : 1000 = 1 (con resto 1110-1000=110)
Esempio 5
1 1 0 1 1 1 : 1 0 1 = 1 0 1 1
1 0 1
1 1 1
1 0 1
1 0 1
Vediamo un esempio in cui il resto non è nullo:
Unità Didattica 2. Aritmetica binaria
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1 1 0 1 0 1 1 : 1 0 1 1 = 1 0 0 1
1 0 1 1
- - 1 0 0 1 1
1 0 1 1
1 0 0 0 R E S T O
1. L’1011 nel 1101 ci sta 1 volta con resto 10.
2. Abbasso lo 0.
3. L’1011 nel 100 ci sta 0 volte.
4. Abbasso l’1.
5. L’1011 nel 1001 ci sta 0 volte.
6. Abbasso l’ultimo 1.
7. L’1011 nel 10011 ci sta 1 volta con resto 1000
Infatti 107 : 11 = 9 con Resto 8
Esercizi
Svolgere i seguenti esercizi
11011 : 11 (R. 1001)
1101011 : 1011 (R. 1001 con resto 1000)
Unità Didattica 2. Aritmetica binaria
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Esercizi finali da svolgere
1. Eseguire le seguenti somme nel sistema binario:
101011 + 10111 =
11111 + 101111 =
1100111 + 10111 =
10101111 + 1111111 =
2. Eseguire le seguenti sottrazioni nel sistema binario:
11101 - 101 =
110110 - 101101 =
1100111 - 101111 =
100000 - 10101 =
3. Eseguire le seguenti moltiplicazioni nel sistema binario:
1010 × 101 =
110101 × 1011 =
111011 × 10111 =
111111 × 11111 =
4. Eseguire le seguenti divisioni nel sistema binario:
11001 : 101 = con Resto =
11111 : 110 = con Resto =
1011011 : 1101 = con Resto =
1111011 : 10011 = con Resto =
Fate l’addizione dei numeri 11002 e 11012. Verificate il risultato nella maniera seguente:
decodificate i numeri 11002 e 11012 nella rappresentazione decimale, fate l’addizione dei
numeri in base 10 ottenuti, e poi codificate la somma ottenuta nella rappresentazione binaria.
Risoluzione:
11002 + 11012 = 110012 (11002 = 1210, 11012 = 1310, 2510 = 110012)
Ripetete la domanda precedente usando i numeri 10012 e 11012.
10012 + 11012 = 101102 (10012 = 910, 11012 = 1310, 2210 = 101102)
Unità Didattica 2. Aritmetica binaria
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Altri esercizi conclusivi
ADDIZIONE
1 1 1
1 1 0 1 +
1 1 1 =
0 1 0 0
Con riporto 1
16 8 4 2 1
1 1 0 1 +
0 1 1 1 =
1 0 1 0 0
11012 = 1310
1112 = 710
0100 = 410
264
SOTTRAZIONE
IN DECIMALE Metodo della presa in prestito Partendo da destra, se il minuendo è minore del sottraendo lo si considera un numero con anche una decina.
0 10
Minuendo 1 0 -
Sottraendo 1 =
Differenza 9
Unità Didattica 2. Aritmetica binaria
30
1 10
2 0 -
1 =
1 9
5 9 11
6 6 0 1 -
6 3 0 9 =
2 9 2
IN BINARIO
pesi 2 1 decimale
prestiti 0 10
Minuendo 1 0 - 210
Sottraendo 0 1 = 110
Differenza 0 1 110
pesi 4 2 1 decimale
prestiti 0 1 10
Minuendo 1 0 0 - 410
Sottraendo 0 0 1 = 110
Differenza 0 1 1 310
3 13
4 3 -
6 =
3 7
Unità Didattica 2. Aritmetica binaria
31
pesi 32 16 8 4 2 1 decimale
prestiti 0 0 1
Minuendo 1 0 1 1 0 0 - 32+8+4=44
Sottraendo 1 1 0 1 1 = 16+8+2+1=27
Differenza 0 1 0 0 0 1 44-27=17