Unmsm fisi - programación lineal entera y binaria - io1 cl15 entera-binaria

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1 Universidad Nacional Mayor de San Marcos Facultad de Ingeniería de Sistemas e Informática Investigación Operativa I Programación Lineal Entera y Binaria Docente : Lic. Gabriel Solari Carbajal Programación Lineal Entera 2

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1

Universidad Nacional Mayor de San MarcosFacultad de Ingeniería de Sistemas e Informática

Investigación Operativa I

ProgramaciónLineal Entera

y Binariay

Docente : Lic. Gabriel Solari Carbajal

ProgramaciónLineal Entera

2

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2

PROBLEMA 01.-La compañía Mauser fabricante de fusiles automáticos

Programación Lineal Entera

Requerimientos unitarios de tiempo (en horas)

H di iblM d lM d l

La compañía Mauser, fabricante de fusiles automáticos,tiene 3 departamentos en los cuales se manufacturansus modelos S-1000 y S-2000, las capacidadesmensuales son las siguientes:

3

Departamento 1 4 2 1,600Departamento 2 2.5 1 1,200Departamento 3 4.5 1.5 1,600

DepartamentosHoras disponibles

en el siguiente mesModelo S-2000

Modelo S-1000

La utilidad del modelo S-1000 es de 40 dólares porunidad y la del modelo S-2000 es de 10 dólares por

Programación Lineal Entera

y punidad; suponiendo que la compañía puede vendercualquier cantidad de estos productos, debido acondiciones favorables de mercado.

Determinar el número de unidades de cada modelo quese debe de fabricar de manera que se maximice lautilidad total.

4

utilidad total.

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3

SOLUCION.-Variables de decisión

Programación Lineal Entera

Variables de decisiónx1 : número de fusiles S-1000 que la compañía

Mauser va ha fabricar.x2 : número de fusiles S-2000 que la compañía

Mauser va ha fabricar.

5

Restricción por horas disponibles del Departamento 1:Restricciones

Programación Lineal Entera

Restricción por horas disponibles del Departamento 1:1600x2x4 21 ≤+

1200xx5.2 21 ≤+Restricción por horas disponibles del Departamento 2:

Restricción por horas disponibles del Departamento 3:

6

1600x5.1x5.4 21 ≤+Restricciones de no negatividad:

0x,x 21 ≥

Restricción por horas disponibles del Departamento 3:

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4

Función objetivo

Programación Lineal Entera

21 x10x40ZMax +=

7

El programa queda:

Programación Lineal Entera

sujeto a21 x10x40ZMax +=

1600x2x4 21 ≤+1200xx5.2 21 ≤+1600x51x54 ≤+

8

1600x5.1x5.4 21 ≤+0x,x 21 ≥

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5

Resolviendo el programa:

Programación Lineal Entera

9

DEFINICIÓN 1.-Un Problema de Programación Lineal Entera (PPLE) es

Programación Lineal Entera

Un Problema de Programación Lineal Entera (PPLE) esaquel que presenta el siguiente formato:

∑=

=n

1iii xcZOptimizar

sujeto a

10

m,,2,1j K=

0enterosxi ≥

( ) j

n

1iiij b,,xa ≥=≤∑

=

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6

DEFINICIÓN 2.-Definimos el “equivalente continuo” de un PPLE como:

Programación Lineal Entera

Definimos el equivalente continuo de un PPLE como:

∑=

=n

1iii xcZOptimizar

sujeto a

11

m,,2,1j K=

0xi ≥

( ) j

n

1iiij b,,xa ≥=≤∑

=

Decimos que el equivalente continuo es el relajamientodel PPLE.

Programación Lineal Entera

Un PPLE y su equivalente continuo tienen la mismaestructura, sólo los diferencia el hecho de que en elsegundo, las variables no están sujetas a valoresenteros.

12

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7

¿CÓMO RESOLVER UN PPLE?Dado un PPLE resolvemos su equivalente continuo si

Programación Lineal Entera

Dado un PPLE, resolvemos su equivalente continuo, sila solución óptima resulta entera, entonces estasolución del equivalente continuo será también lasolución óptima del PPLE.Si la solución óptima del equivalente continuo tiene porlo menos una variable cuyo valor no es entero,entonces debemos utilizar técnicas de Programación

13

entonces debemos utilizar técnicas de ProgramaciónEntera.

INTERPRETACIÓN GRÁFICA DEL ESPACIO DESOLUCIONES DE UN PPLE

Programación Lineal Entera

Consideremos el siguiente PPLE:

y5x4ZMax +=sujeto a

8yx ≤+

14

10yx2 ≤+0enterosy,x ≥

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8

10

yGrafiquemos

Programación Lineal Entera

4567

89

10 qla primerarestricción

151 2 3 4 5 6 7 8

123

4

xx + y = 8

10

yGrafiquemos

Programación Lineal Entera

4567

89

102x + y = 10

qla segundarestricción

161 2 3 4 5 6 7 8

123

4

xx + y = 8

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9

10

yEspacio de

Programación Lineal Entera

4567

89

10 psoluciones

factibles del equivalente

continuo

171 2 3 4 5 6 7 8

123

4

x

10

yBuscando la

Programación Lineal Entera

4567

89

10solución

óptima del equivalente

continuo

181 2 3 4 5 6 7 8

123

4

x

Z = 20

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10

10

y

Programación Lineal Entera

4567

89

10

191 2 3 4 5 6 7 8

123

4

x

Z = 30

10

ySolución

Programación Lineal Entera

4567

89

10

Z = 40

óptima del equivalente

continuox = 0y = 8

Z = 40

201 2 3 4 5 6 7 8

123

4

x

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11

10

yEl espacio de

Programación Lineal Entera

4567

89

10 psoluciones

factibles del equivalentecontinuo es un conjunto

convexo

211 2 3 4 5 6 7 8

123

4

x

10

yEspacio de

Programación Lineal Entera

4567

89

10 psoluciones

factibles del PPLE

no es un conjunto convexo

221 2 3 4 5 6 7 8

123

4

x

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12

10

ySolución

Programación Lineal Entera

4567

89

10

Z = 40

óptima del PPLEx = 0y = 8

Z = 40

231 2 3 4 5 6 7 8

123

4

x

OBSERVACIONES:

1) El espacio de soluciones factibles de un PPLE está

Programación Lineal Entera

1) El espacio de soluciones factibles de un PPLE estáformado por puntos aislados.

2) El espacio de soluciones factibles de un PPLE no esun conjunto convexo.

3) Ya no se puede hablar de puntos extremos.

4) En el ejemplo presentado la solución óptima del

24

4) En el ejemplo presentado, la solución óptima delequivalente continuo es ( x, y ) = ( 0, 8 ). Como estasolución es entera, será también solución del PPLE.

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13

¿QUÉ DIFICULTADES SE PRESENTAN SI SEREDONDEA LA SOLUCIÓN DE UN PPLE?

Programación Lineal Entera

Si al resolver el equivalente continuo de un PPLE lasolución no resulta entera y procedemos a redondeardicha solución se pueden presentar las siguientesdificultades:1) La solución redondeada es no factible.

2) L l ió d d d f tibl

25

2) La solución redondeada es factible, pero no esóptima.

1) La solución redondeada es no factible.Consideremos el siguiente PPLE:

Programación Lineal Entera

Consideremos el siguiente PPLE:

yxZMax +=sujeto a

6yx2 ≤+4y2x ≤+

26

4y2x ≤+0enterosy,x ≥

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14

yGrafiquemos

Programación Lineal Entera

345

62x + y = 6

qla primerarestricción

271 2 3 4

1

2

x

yGrafiquemos

Programación Lineal Entera

345

62x + y = 6

qla segundarestricción

281 2 3 4

1

2

x

x + 2y = 4

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15

y

Programación Lineal Entera

345

62x + y = 6

291 2 3 4

1

2

x

x + 2y = 4

Espacio de

Programación Lineal Entera

1

2

yp

soluciones factibles del equivalente

continuo

30

1 2 3

1

x

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16

Buscando la

Programación Lineal Entera

1

2

y

Z 1

solución óptima del equivalente

continuo

31

1 2 3

1

x

Z = 1

Programación Lineal Entera

1

2

y

32

1 2 3

1

xZ = 2

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17

Solución óptima del

Programación Lineal Entera

12

y

Z = 3.333

pequivalente

continuox = 2.6666y = 0.6666Z = 3.3333

33

1 2 3 x

Solución

Programación Lineal Entera

1

2

y redondeadax = 3y = 1Z = 4

solución nofactible

34

1 2 3

1

x

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18

Espacio de

Programación Lineal Entera

1

2

yp

soluciones factibles del

PPLE

35

1 2 3

1

x

Solución

Programación Lineal Entera

1

2

y

Z = 3

óptima del PPLE

x = 3, y = 0ó

x = 2, y = 1Z = 3

36

1 2 3

1

x

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19

2) La solución redondeada es factible, pero no esóptima

Programación Lineal Entera

pConsideremos el siguiente PPLE:

yx10ZMax +=sujeto a

12y4x3 ≤+

37

18yx8 ≤+0enterosy,x ≥

y

17

18

Grafiquemos

Programación Lineal Entera

8x + y = 18

78

910111213

141516

qlas

restricciones

381 2 3 4

1234

56

x

7

3x + 4y = 12

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20

Espacio de

Programación Lineal Entera

23

yp

soluciones factibles del equivalente

continuo

391 2 3

1

x

Solución

Programación Lineal Entera

2

3

y óptima del equivalente

continuox = 2.25y = 0.00Z = 22.5

401 2 3

1

x

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21

Solución

Programación Lineal Entera

23

y redondeadax = 2y = 0

Z = 20solución no

óptima

411 2 3

1

x

Espacio de

Programación Lineal Entera

23

yp

soluciones factibles del

PPLE

421 2 3

1

x

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22

Solución

Programación Lineal Entera

2

3

y óptima del PPLEx = 2y = 1

Z = 21

431 2 3

1

x

SOLUCION DE UN PPLETECNICA DE RAMIFICACION Y ACOTAMIENTO

Programación Lineal Entera

TECNICA DE RAMIFICACION Y ACOTAMIENTOEsta técnica consiste en insertar restricciones en elproblema original (ACOTAMIENTO) y resolviendo por elmétodo SIMPLEX se obtienen soluciones óptimas, conlas cuales se construye un árbol de decisión(RAMIFICACION) siguiendo la dirección del árbol con elmejor valor óptimo obtenido hasta el momento

44

mejor valor óptimo obtenido hasta el momento.

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23

PROCEDIMIENTO.-1) Resolver el equivalente continuo del PPLE esto

Programación Lineal Entera

1) Resolver el equivalente continuo del PPLE, estopuede dar lugar a las siguientes posibilidades:

a) Si la solución óptima obtenida es enteraentonces fin del proceso, esta será la solucióndel PPLE.

45

b) En caso contrario tomamos una de lasvariables cuyo valor no es entero y generamos

Programación Lineal Entera

y y gdos restricciones.

Por ejemplo, supongamos que

)r(rx Ζ∉=r

46

[ ]rx ≤ [ ] 1rx +≥donde [r] es el máximo entero de r.

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24

2) Resolver el equivalente continuo insertando larestricción x ≤ [r] y ubicamos el resultado en una de

Programación Lineal Entera

ylas ramificaciones.

Luego resolvemos el equivalente continuoconsiderando sólo la segunda restricción x ≥ [r] + 1y ubicamos el resultado en la otra ramificación.

3) Si alguna solución obtenida es entera y no existeramificación con algún valor óptimo mejor entonces

47

ramificación con algún valor óptimo mejor, entoncesfin del proceso.

En caso contrario continuar con el paso 1 en laramificación que tenga el mejor valor óptimo hastael momento.

Ejemplo.-

Resolver el siguiente PPLE

Programación Lineal Entera

Resolver el siguiente PPLE

y4x3ZMax +=sujeto a

18y3x2 ≤+56y7x8 ≤+

48

56y7x8 ≤+0enterosy,x ≥

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25

y

Programación Lineal Entera

Acotando y ramificando x

3

4

5

6

x = 4.2

y = 3.2

Z = 25.4

491 2 43 5 6 7

1

2

x

Programación Lineal Entera

x = 4.2

y = 3.2

x = 4

y = 3.333

Z = 25.33

4x ≤

50

y

Z = 25.4

x = 5

y = 2.286

Z = 24.145x ≥

Page 26: Unmsm   fisi - programación lineal entera y binaria - io1 cl15 entera-binaria

26

y

Programación Lineal Entera

Acotando y ramificando y

3

4

5

6 x = 4

y = 3.333

Z = 25.33

x = 5

y = 2.286

Z 24 14

desde el mejor valor

óptimo

511 2 43 5 6 7

1

2

x

Z = 24.14

x = 4

y = 3

Z 24

3y ≤

Programación Lineal Entera

x = 4.2

y = 3.2

x = 4

y = 3.333

Z = 25.33

Z = 24

x = 3

y = 4

Z = 25

4x ≤

4y ≥

52

y

Z = 25.4

x = 5

y = 2.286

Z = 24.145x ≥

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27

y

Programación Lineal Entera

x = 3

El mejor valor óptimo

3

4

5

6

x = 5

y = 4

Z = 25

x = 4

y = 3

Z = 24

resulta Z=25

531 2 43 5 6 7

1

2

x

y = 2.286

Z = 24.14

Observación.-1) La solución óptima es: x = 3, y = 4, Z = 25.

Programación Lineal Entera

y4x3ZMax +=sujeto a

18y3x2 ≤+

1) La solución óptima es: x 3, y 4, Z 25.2) A medida que aumentamos de nivel, el valor de la

F.O. no mejora.3) El problema resuelto con el método simplex fue:

54

18y3x2 ≤+56y7x8 ≤+

0y,x ≥

4x ≤4y ≥

Page 28: Unmsm   fisi - programación lineal entera y binaria - io1 cl15 entera-binaria

28

PROBLEMA 02.-Una compañía de transportes tiene 10 camiones

Programación Lineal Entera

Una compañía de transportes tiene 10 camionesgrandes con capacidad de 40000 libras cada uno y 5camiones pequeños con capacidad de 30000 librascada uno.

Los camiones grandes tienen un costo de operación de$30/milla y los pequeños $25/milla.

55

Para la próxima semana la compañía debe transportar400000 libras de malta en un recorrido de 800 millas.

La posibilidad de otros compromisos significa que porcada 2 camiones pequeños mantenidos en reserva,

Programación Lineal Entera

p qdebe quedarse por lo menos uno de los grandes.

Determine el número óptimo de camiones a utilizar.

56

Page 29: Unmsm   fisi - programación lineal entera y binaria - io1 cl15 entera-binaria

29

SOLUCION.-Variables de decisión

Programación Lineal Entera

Variables de decisiónG : número de camiones GRANDES a utilizar en el

transporte.P : número de camiones PEQUEÑOS a utilizar en el

transporte.

57

Restricción por cantidad a transportar:Restricciones

Programación Lineal Entera

Restricción por cantidad a transportar:4003040 ≥+ PG

10≤GRestricción por número de camiones grandes:

Restricción por número de camiones pequeños:

58

5≤PRestricción por número de camiones pequeños:

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30

RestriccionesRestricciones de camiones en reserva:

Programación Lineal Entera

Restricciones de camiones en reserva:

2105

≤−−

GP

GP 2205 −≤−

152 ≤− PG

59

0, ≥enterosPG

Restricción por no negatividad

Función objetivo

Programación Lineal Entera

PGZMin )800(25)800(30 +=

60

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31

El programa queda:

Programación Lineal Entera

sujeto a

PGZMin 2000024000 +=

4003040 ≥+ PG10≤G

61

5≤P152 ≤− PG

0, ≥enterosPG

NOFACTIBLE

2≤P

Programación Lineal Entera

G = 8.5

P = 2

G = 8

P = 2.666

Z = 245333.3G = 7.75

P = 3

Z = 246000

G = 7

P = 4

Z = 248000

8≤G

3≥P

7≤G

62

Z = 24400

G = 9

P = 3

Z = 276000

G = 8

P = 3

Z = 252000

9≥G

8≥G

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32

Observación.-1) La solución óptima es: G = 7, P = 4, Z = 24800

Programación Lineal Entera

sujeto a

1) La solución óptima es: G 7, P 4, Z 248002) El problema resuelto con el método simplex fue:

PGZMin 2000024000 +=

4003040 ≥+ PG 8≤G

63

10≤G5≤P

152 ≤− PG0, ≥PG

7≤G3≥P

ProgramaciónLineal Binaria

64

Page 33: Unmsm   fisi - programación lineal entera y binaria - io1 cl15 entera-binaria

33

PROBLEMA 03.-Una compañía tiene que escoger un conjunto de

Programación Lineal Binaria

Una compañía tiene que escoger un conjunto deproyectos de la siguiente lista para un horizonte deplaneación de 3 años.

Su objetivo es maximizar el Valor Presente Neto Total,pero sin gastar más de lo presupuestado en cualquierade los 3 años.

65

Unidad monetaria: $ 1000.

AÑO 1 AÑO 2 AÑO 3PROYECTO

REINVERSIONES VALOR PRESENTE

NETO

Programación Lineal Binaria

1 30 80 10 80

2 40 70 50 96

3 50 60 70 88

4 60 60 10 92

5 70 40 10 76

6 20 30 90 87

66

7 20 50 20 78

8 25 80 60 81

9 40 20 15 94

PRESUPUESTO 300 320 220

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34

Unidad monetaria: $ 1000.

Además se dan las siguientes condiciones:

Programación Lineal Binaria

Además se dan las siguientes condiciones:

a) La compañía debe escoger de todas maneras unode los proyectos 1 o 9, (o ambos).

b) Si el proyecto 6 es seleccionado, entonces elproyecto 8 también debe ser seleccionado.

c) Los proyectos 1 y 3 no deben ser seleccionados a

67

c) Los proyectos 1 y 3 no deben ser seleccionados ala vez.

SOLUCION:Variables de decisión:

Programación Lineal Binaria

Variables de decisión:

⎩⎨⎧= 01Pi si el Proyecto i es seleccionado

en caso contrario

i = 1, 2, 3, ...., 9

68

Page 35: Unmsm   fisi - programación lineal entera y binaria - io1 cl15 entera-binaria

35

Restricciones:

Por presupuesto

Programación Lineal Binaria

Por presupuesto30 P1 + 40 P2 + 50 P3 + 60 P4 + 70 P5 + 20 P6 + 20 P7 + 25 P8 + 40 P9 ≤ 300

80 P1 + 70 P2 + 60 P3 + 60 P4 + 40 P5 + 30 P6 + 50 P7 + 80 P8 + 20 P9 ≤ 320

10 P1 + 50 P2 + 70 P3 + 10 P4 + 10 P5 + 90 P6 + 20 P7 + 60 P8 + 15 P9 ≤ 220

Por selección del proyecto 1 o 9P1 + P9 ≥ 1

69

Por posible selección de los proyectos 6 y 8P6 - P8 ≤ 0

Por la no selección de los proyectos 1 y 3 a la vezP1 + P3 ≤ 1

Programación Lineal Binaria

Por binariosP1, P2, P3, P4, P5, P6, P7, P8, P9 binarios {0,1}

Función objetivo:Maximizamos el Valor presente Neto

70

Max Z = 80 P1 + 96 P2 + 88 P3 + 92 P4 + 76 P5 + 87 P6 + 78 P7 + 81 P8 + 94P9

Page 36: Unmsm   fisi - programación lineal entera y binaria - io1 cl15 entera-binaria

36

Programación Lineal Binaria

SOLUCION DE UN PROBLEMA DEPROGRAMACION LINEAL BINARIA (PPLB).-( )Los Problemas de Programación Lineal Binaria (PPLB)tiene la forma general de los PPL pero las variablessólo pueden tomar valores binarios (0,1).Para resolver un PPLB se puede utilizar los siguientesmétodos:

71

1) Método de la Revisión Exhaustiva2) Método Aditivo de Egon Balas

Programación Lineal Binaria

MÉTODO DE LA REVISÓN EXHAUSTIVAEste no es un método propiamente dicho Dado que lasEste no es un método propiamente dicho. Dado que lasvariables sólo toman valores {0,1} pueden revisarsetodas las soluciones y determinar la solución óptima porcomparación. El número de soluciones posibles estadado por 2n donde n es el número de variables.

72

Page 37: Unmsm   fisi - programación lineal entera y binaria - io1 cl15 entera-binaria

37

Programación Lineal Binaria

Ejemplo:Min Z = 5 x1 + 7 x2 + 10 x3 + 3 x4 + x5Min Z 5 x1 7 x2 10 x3 3 x4 x5

Sujeto a- x1 + 3 x2 + 5 x3 - x4 + 4 x5 ≤ 4

2 x1 - 6 x2 + 3 x3 + 2 x4 - 2 x5 ≤ 0

x2 - 2 x3 + x4 + x5 ≥ 1

xi = {0,1} i = 1, 2, 3, 4, 5

P t ti 25 32 l i ibl

73

Para este caso se tiene 25 = 32 soluciones posibles,algunas soluciones serán no factibles, pero en estemétodo se deben revisar la totalidad de soluciones. Lassoluciones factibles serán evaluadas en la funciónobjetivo.

Programación Lineal Binaria

Soluciones posibles:SOLUCIONESSOLUCIONES

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32

x1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

x2 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1

x3 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1

x4 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1

x5 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1

Factible No Si No Si No No No No Si No Si No No No No No No Si No No No No No No Si No Si No No No No No

Z - 1 - 4 - - - - 7 - 10 - - - - - - 6 - - - - - - 12 - 15 - - - - -

74

La solución es x1 = 0, x2 = 0, x3 = 0, x4 = 0, x5 = 1 y Z = 1.

Page 38: Unmsm   fisi - programación lineal entera y binaria - io1 cl15 entera-binaria

38

Programación Lineal Binaria

Min Z = 8 x + 7 x + 6 x + 5 x + x

Ejemplo:

Min Z = 8 x1 + 7 x2 + 6 x3 + 5 x4 + x5Sujeto a

- 6 x1 - 3 x2 + 2 x3 - 4 x4 - x5 ≤ - 3

- 4 x1 - 5 x2 - 4 x3 - 3 x4 + 3 x5 ≤ -7

xi = {0,1} i = 1, 2, 3, 4, 5

75

Programación Lineal Binaria

SOLUCIONES

Soluciones posibles:SOLUCIONES

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32

x1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

x2 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1

x3 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1

x4 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1

x5 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1

Factible No No No No No No No No No No Si No No No Si Si No No Si No Si No Si Si Si No Si Si Si Si Si Si

Z - - - - - - - - - - 12 - - - 18 19 - - 13 - 14 - 19 20 15 - 20 21 21 22 26 27

76

La solución es x1 = 0, x2 = 1, x3 = 0, x4 = 1, x5 = 0 y Z = 12.

Page 39: Unmsm   fisi - programación lineal entera y binaria - io1 cl15 entera-binaria

39

Programación Lineal Binaria

Max Z = 3 x + 2 x 5 x 2 x + 3 x

Ejemplo:

Max Z = 3 x1 + 2 x2 - 5 x3 - 2 x4 + 3 x5Sujeto a

x1 + x2 + x3 + 2 x4 + x5 ≤ 4

7 x1 + 3 x3 - 4 x4 + 3 x5 ≤ 8

11 x1 - 6 x2 + 3 x4 - 3 x5 ≥ 3

xi = {0,1} i = 1, 2, 3, 4, 5

77

Programación Lineal Binaria

SOLUCIONES

Soluciones posibles:SOLUCIONES

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32

x1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

x2 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1

x3 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1

x4 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1

x5 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1

Factible No No Si No No No Si No No No No No No No No No Si No Si Si No No Si No Si No Si No No No No No

Z - - -2 - - - -7 - - - - - - - - - 3 - 1 4 - - -4 - 5 - 3 - - - - -

78

La solución es x1 = 1, x2 = 1, x3 = 0, x4 = 0, x5 = 0 y Z = 5.

Page 40: Unmsm   fisi - programación lineal entera y binaria - io1 cl15 entera-binaria

40

Programación Lineal Binaria

MÉTODO ADITIVO DE EGON BALASEl método se basa en resolver un modelo deEl método se basa en resolver un modelo deminimización con coeficientes positivos en la funciónobjetivo, de manera que se utilice el menor número devariables a fín de minimizar el valor óptimo de la funciónobjetivo.

INFACTIBILIDAD.-

79

Llamaremos infactibilidad al intervalo que produce unasolución aplicada sobre una restricción, o un conjuntode éstas, y mide la distancia de la solución sobre unresultado factible.

Programación Lineal Binaria

Ejemplo.-Dado el siguiente conjunto de restricciones:Dado el siguiente conjunto de restricciones:

1xx3x2 321 ≤+−1x2xx 321 ≥−+−

La solución x1 = 0, x2 = 1 y x3 = 0, produce:0312 ≤−⇒≤−

0011 I f tibilid d 0Infactibilidad 0 Infactibilidad = 0+0 = 0

80

0011 ≤⇒≥ Infactibilidad 0

La solución x1 = 1, x2 = 0 y x3 = 0, produce:0112 ≤⇒≤0211 ≤⇒≥−

act b dad 0 0 0

Infactibilidad 1Infactibilidad 2 Infactibilidad = 1+2 = 3

Page 41: Unmsm   fisi - programación lineal entera y binaria - io1 cl15 entera-binaria

41

PROCEDIMIENTO:

1) La función objetivo debe ser de Minimización en

Programación Lineal Binaria

1) La función objetivo debe ser de Minimización, encaso de Maximización, usar la regla de equivalencia:Maximizar ( Z ) = Minimizar ( W = -Z )Ejemplo:

21 x10x40ZMax −=

81

21 x10x40WMin +−=

Una vez determinada la solución debe restablecersela función objetivo original.

Programación Lineal Binaria

2) Los coeficientes de la función objetivo deben ser nonegativos, si algún ci es negativo, entonces seg g i gcambia xi por su complemento:

ii x1x −=El cambio de la variable por su complemento,también debe efectuarse en todas las restriccionesdonde participa la variable.

82

21 x10x40WMin +−=

21 x10)x1(40WMin +−−=40x10x40WMin 21 −+=

21 x10x40WMin +=

Page 42: Unmsm   fisi - programación lineal entera y binaria - io1 cl15 entera-binaria

42

Programación Lineal Binaria

Una vez determinada la solución debenrestablecerse las variables originales.g

3) Evaluar las restricciones tomando las variables elvalor cero. Evaluar la infactibilidad, si resulta cero,es la solución óptima.

4) Añadir una variable xi = 1 al conjunto solución yevaluar la infactibilidad.

) Si l i f ibilid d l l l ió

83

5) Si algunas infactibilidades resultan cero, la soluciónóptima será la solución que tenga menor valoróptimo y fin del proceso. En caso contrarioseleccionar la de menor infactibilidad y regresar alpaso 4.

Programación Lineal Binaria

Ejemplo:Min Z = 5 x1 + 7 x2 + 10 x3 + 3 x4 + x5Min Z 5 x1 7 x2 10 x3 3 x4 x5

Sujeto a- x1 + 3 x2 + 5 x3 - x4 + 4 x5 ≤ 4

2 x1 - 6 x2 + 3 x3 + 2 x4 - 2 x5 ≤ 0

x2 - 2 x3 + x4 + x5 ≥ 1

xi = {0,1} i = 1, 2, 3, 4, 5

84

Page 43: Unmsm   fisi - programación lineal entera y binaria - io1 cl15 entera-binaria

43

– x1 + 3 x2 + 5 x3 – x4 + 4 x5 – 4 ≤ 0

2 x1 – 6 x2 + 3 x3 + 2 x4 – 2 x5 ≤ 0

– x2 + 2 x3 – x4 – x5 + 1 ≤ 0

1a) x1 = 0, x2 = 0, x3 = 0, x4 = 0, x5 = 0

04 ≤− Infactibilidad 0

00 ≤ Infactibilidad 0 Infactibilidad = 0+0+1 = 101≤ Infactibilidad 1

2a) x1 = 1, x2 = 0, x3 = 0, x4 = 0, x5 = 0

05 ≤−02 ≤ Infactibilidad 2

Infactibilidad 0

Infactibilidad = 0+2+1 = 301≤ Infactibilidad 1

85

01≤ Infactibilidad 1

2b) x1 = 0, x2 = 1, x3 = 0, x4 = 0, x5 = 0

01≤−06 ≤− Infactibilidad 0

Infactibilidad 0

Infactibilidad = 0+0+0 = 000 ≤ Infactibilidad 0 Z = 7

2c) x1 = 0, x2 = 0, x3 = 1, x4 = 0, x5 = 0

01≤03 ≤ Infactibilidad 3

Infactibilidad 1

Infactibilidad = 1+3+3 = 703 ≤ Infactibilidad 3

2d) x1 = 0, x2 = 0, x3 = 0, x4 = 1, x5 = 0d) 1 0, 2 0, 3 0, 4 , 5 0

05 ≤−02 ≤ Infactibilidad 2

Infactibilidad 0

Infactibilidad = 0+2+0 = 200 ≤ Infactibilidad 0

2e) x1 = 0, x2 = 0, x3 = 0, x4 = 0, x5 = 1

00 ≤ Infactibilidad 0

86

02 ≤− Infactibilidad 0 Infactibilidad = 0+0+0 = 000 ≤ Infactibilidad 0 Z = 1

Solución óptima x1 = 0, x2 = 0, x3 = 0, x4 = 0 y x5 = 1 paraZ = 1. Se revisaron 6 soluciones. (Menor que 32).