Post on 04-Jul-2015
description
Docentencursus
relativiteitstheorie
Tweede collegeMarcel Vonk
26 september 2013
2/112
Inhoud 2e hoorcollege
1. Hoofdpunten eerste hoorcollege
2. Eenheden in de ruimtetijd
3. Tijdsdilatatie
4. Lorentzconractie
5. Lorentztransformaties
6. De ladderparadox
7. De tweelingparadox
1. Hoofdpunten eerste
hoorcollege
4/112
Eerste hoorcollege
We hebben de eigenschappen van
ruimte en tijd bekeken.
Klassiek zijn dit twee onafhankelijke
begrippen; in de relativiteitstheorie
zijn ze nauw met elkaar verbonden.
5/112
Eerste hoorcollege
Klassiek: als de waarnemers hun
onderlinge snelheid (v) kennen,
kunnen ze hun coördinaten in die van
de ander omrekenen.
tt
vtxx
'
' Galileï-
transformaties
6/112
Eerste hoorcollege
Klassiek: als de waarnemers hun
onderlinge snelheid (v) kennen,
kunnen ze hun coördinaten in die van
de ander omrekenen.
tt
vtxx
'
' Veranderlijk
Absoluut
7/112
Eerste hoorcollege
In het relativistische beeld van ruimte
en tijd staan staan twee postulaten
centraal. Het relativiteitsbeginsel…
(Inertiaalstelsel = eenparig bewegend
referentiekader)
Elke natuurwet is in elk
inertiaalstelsel geldig.
8/112
Eerste hoorcollege
…en de onveranderlijke lichtsnelheid:
Als ik vanuit een slee met snelheid v
licht met snelheid c naar iemand
straal, komt dat niet met snelheid
u=c+v aan… maar met snelheid u=c!
9/112
Eerste hoorcollege
Einstein gebruikte deze twee
postulaten om te laten zien hoe de
ruimte- en tijdlijnen lopen.
10/112
Eerste hoorcollege
Het eindresultaat: in Einsteins
wereldbeeld ziet de ruimtetijd er zo uit:
Gelijktijdigheid is waarnemerafhankelijk!
11/112
Eerste hoorcollege
De ruimtetijd, bestaande uit alle
gebeurtenissen, vormt één
geheel. Elke inertiële waar-
nemer verdeelt dit geheel op
zijn eigen manier in ruimte en
tijd.
2. Eenheden in de ruimtetijd
13/112
Eenheden in de ruimtetijd
In het onderstaande plaatje zijn de
lijnen x’=1, t’=1, enzovoort, al op de
juiste afstand van x’=0 en t’=0 gezet.
Maar hoe weten we waar deze lijnen
moeten staan?
14/112
Eenheden in de ruimtetijd
Een voor de hand liggende keuze lijkt
misschien om de lijn x’=1 door het
punt (x,t)=(1,0) te laten lopen, en idem
voor t’=1.
15/112
Eenheden in de ruimtetijd
Als we de situatie vanuit de groene
waarnemer bekijken zien we echter
dat dit in strijd is met het relativiteits-
beginsel.
16/112
Eenheden in de ruimtetijd
Als we de situatie vanuit de groene
waarnemer bekijken zien we echter
dat dit in strijd is met het relativiteits-
beginsel.
17/112
Eenheden in de ruimtetijd
De zwarte lijnen in het
groene frame staan op
afstand 1-β2 van de
oorsprong. (β=v/c)
BORD
18/112
Eenheden in de ruimtetijd
Als we de groene lijnen links een
afstand x uit elkaar zetten, staan de
zwarte lijnen rechts een factor 1/x
verder uit elkaar.
19/112
Eenheden in de ruimtetijd
Als we de groene lijnen links een
afstand x uit elkaar zetten, staan de
zwarte lijnen rechts een factor 1/x
verder uit elkaar.
20/112
Eenheden in de ruimtetijd
• De zwarte lijnen in het groene
referentiekader staan op een
afstand1-β2 van de oorsprong.
• Als we de groene lijnen een afstand
x uit elkaar zetten, staan de zwarte
lijnen een factor 1/x verder uit
elkaar.
We moeten dus de groene
lijnen een afstand √(1-β2)
uit elkaar zetten.
21/112
Eenheden in de ruimtetijd
In een animatie zien we dat dit
inderdaad werkt:
22/112
Eenheden in de ruimtetijd
In een animatie zien we dat dit
inderdaad werkt:
23/112
Eenheden in de ruimtetijd
De ruimte- en tijdlijnen van een
referentiekader dat met snelheid
v beweegt, staan een afstand
√(1-β2) uit elkaar. (β=v/c)
3. Tijdsdilatatie
25/112
Tijdsdilatatie
Bekijk de volgende twee
gebeurtenissen in de ruimtetijd:
26/112
Tijdsdilatatie
• Voor de groene waarnemer gaat
het om twee gebeurtenissen die op
plaats x’=0 op tijden t’=0 en t’=1
gebeuren.
27/112
Tijdsdilatatie
• We kunnen de gebeurtenissen dus
zien als twee “tikken op zijn klok”
die (voor hem) een seconde na
elkaar plaatsvinden.
28/112
Tijdsdilatatie
• Voor de zwarte waarnemer
gebeuren de twee tikken, omdat de
groene waarnemer beweegt, zo’n
0,6 ls uit elkaar.
29/112
Tijdsdilatatie
• Verrassender: voor de zwarte
waarnemer gebeuren de twee
tikken met een tijdsinterval van
ongeveer 1,2 s.
30/112
Tijdsdilatatie
• De klok van de groene waarnemer
lijkt voor de zwarte waarnemer dus
langzamer te lopen!
31/112
Tijdsdilatatie
Dit langzamer lopen van bewegende
klokken wordt tijdsdilatatie genoemd.
Voor de taalpuristen:
Nederlands: tijd(s)dilatatie
Engels: time dilation
NiNa: tijdrek
32/112
Tijdsdilatatie
We kunnen aan de hand van het
diagram een formule voor de
tijdsdilatatie uitrekenen, maar er is
een meer inzichtelijke manier.
33/112
Tijdsdilatatie
We bekijken de onderstaande
“lichtklok”, die voor een stilstaande
waarnemer eenmaal per seconde tikt.
34/112
Tijdsdilatatie
Zodra we de klok in beweging
brengen, zien we het licht tussen twee
tikken een langere, diagonale afstand
afleggen.
35/112
Tijdsdilatatie
We zien de klok dus (zoals verwacht)
langzamer lopen dan een waarnemer
die ten opzichte van de klok stilstaat!
36/112
Tijdsdilatatie
Met de stelling van Pythagoras
rekenen we nu eenvoudig de tijd
tussen twee tikken uit.
37/112
Tijdsdilatatie
Δt : Tijdsduur voor de meebe-
wegende waarnemer
(“tijd op de stilstaande klok”)
Δt’ : Tijdsduur voor de niet mee-
bewegende waarnemer
(“tijd op de bewegende klok”)
BORDtt21
1'
38/112
Tijdsdilatatie
De Lorentzfactor
(met β=v/c) komt in de relativiteits-
theorie veel voor. De formule wordt
dus vaak geschreven als
21
1
tt '
39/112
Tijdsdilatatie
Opmerking: dit is geen gevolg van de
speciale keuze van de gebruikte klok!
1) We zagen de tijdsdilatatie al in het
ruimtetijddiagram, voor we een type
klok kozen.
40/112
Tijdsdilatatie
Opmerking: dit is geen gevolg van de
speciale keuze van de gebruikte klok!
2) We kunnen een ander type klok
naast de lichtklok houden; de klokken
lopen voor beide waarnemers gelijk.
41/112
Tijdsdilatatie
Opmerking: dit is geen gevolg van de
speciale keuze van de gebruikte klok!
3) Experimentele bevestiging: Hafele
en Keating (1971).
42/112
Tijdsdilatatie
Een klok die in rust met
tijdsintervallen Δt tikt, tikt als hij
met een snelheid v beweegt, met
grotere tijdsintervallen Δt’ = γ Δt.
4. Lorentzcontractie
44/112
Lorentzcontractie
Bekijk de volgende twee wereldlijnen
in de ruimtetijd:
45/112
Lorentzcontractie
• Voor de groene waarnemer gaat
het om de wereldlijnen van twee
objecten die zich in rust op plaatsen
x’=0 en x’=1 bevinden.
46/112
Lorentzcontractie
• We kunnen de objecten dus zien
als twee “uiteinden van een meet-
lat” die (voor hem) een lichtseconde
(300.000 km) lang is.
47/112
Lorentzcontractie
• Voor de zwarte waarnemer bevin-
den zich de uiteinden zo’n 0,8 ls uit
elkaar.
48/112
Lorentzcontractie
• De meetlat van de groene
waarnemer lijkt voor de zwarte
waarnemer dus korter te zijn!
49/112
Tijdsdilatatie
Dit korter zijn van bewegende
meetlatten wordt Lorentzcontractie
genoemd.
(Ook wel Lorentz-Fitzgeraldcontractie
of lengtecontractie.)
NiNa: ruimtekrimp
50/112
Lorentzcontractie
We weten al hoe ver de groene
ruimtelijnen in het zwarte referentie-
kader uit elkaar staan, dus we kunnen
onmiddelijk de formule opschrijven.
51/112
Lorentzcontractie
L : Lengte van de meetlat in rust.
L’ : Lengte van de bewegende
meetlat.
LL 21'
52/112
Lorentzcontractie
Met behulp van de lorentzfactor
wordt dit ook vaak geschreven als
LL'
21
1
53/112
Lorentzcontractie
Een intuïtieve manier om de
Lorentzcontractie af te leiden is aan
de hand van muonen die ontstaan als
kosmische straling de dampkring
binnenkomt.
54/112
Lorentzcontractie
Een muon heeft een halfwaardetijd
van 2,2 μs.
Zelfs als het met de lichtsnelheid reist,
zou een gemiddeld muon dus na zo’n
660m vervallen.
55/112
Lorentzcontractie
Toch bereiken veel muonen het
aardoppervlak, ondanks het feit dat ze
op tientallen kilometers hoogte
ontstaan!
56/112
Lorentzcontractie
We kunnen dit resultaat op twee
manieren begrijpen.
1) Tijdsdilatatie: doordat we het muon
zo snel zien bewegen, lijkt zijn “klok”
veel langzamer te lopen. De vervaltijd
lijkt voor ons dus γ maal zo lang.
57/112
Lorentzcontractie
We kunnen dit resultaat op twee
manieren begrijpen.
2) Lorentzcontractie: voor het muon
zelf is zijn vervaltijd gewoon 2,2 μs.
De op hem af komende atmosfeer lijkt
echter veel dunner.
58/112
Lorentzcontractie
Kortom: om hetzelfde effect te
bereiken, moet de atmosfeer een
zelfde factor γ dunner lijken:
LL'tt '
59/112
Lorentzcontractie
Een meetlat die in rust een lengte
L heeft, heeft als hij met een
snelheid v beweegt een kortere
lengte L’ = L/γ.
5. Lorentztransformaties
61/112
Lorentztransformaties
We hebben nu ook kwantitatief gezien
wat de effecten van de relativiteits-
theorie zijn op ruimte en tijd.
Lorentzcontractie tijdsdilatatie
62/112
Lorentztransformaties
Aangezien we weten hoe de ruimte-
en tijdlijnen van de bewegende
waarnemer lopen, kunnen we natuur-
lijk ook willekeurige coördinaten van
gebeurtenissen in elkaar omrekenen.
63/112
Lorentztransformaties
Deze Lorentztransformaties behoren
niet tot de exameneisen, maar het kan
voor de docent nuttig zijn ze toch te
kennen:
)('
)('
txx
xtt
64/112
Lorentztransformaties
• De transformaties zijn in deze
eenvoudige vorm geldig als we als
eenheden seconden en licht-
seconden gebruiken.
)('
)('
txx
xtt
65/112
Lorentztransformaties
• Als we meters en seconden
gebruiken verschijnt een aantal
extra factoren c.
)('
)('
txx
xtt
66/112
Lorentztransformaties
• Als we meters en seconden
gebruiken verschijnt een aantal
extra factoren c.
)('
)/(' 2
tvxx
cxvtt
67/112
Lorentztransformaties
• Een voordeel van deze vorm is dat
we voor lage snelheden de Galileï-
transformaties terug zien.
)('
)/(' 2
tvxx
cxvtt
BORD
68/112
Lorentztransformaties
• Tijdsdilatatie en Lorentzcontractie
zijn twee speciale gevallen van
deze vergelijking.
)('
)('
txx
xtt
BORD
69/112
Lorentztransformaties
Een veel voorkomende verwarring: als
ruimte en tijd zo symmetrisch
voorkomen…
Hoe kan het dan dat tijd oprekt en
ruimte krimpt?
)('
)('
txx
xtt
70/112
Lorentztransformaties
Het antwoord zien we het duidelijkst in
een plaatje:
AB geeft de lengtecontractie weer, AC
de tijdsdilatatie.
71/112
Lorentztransformaties
Om AD te meten zouden we een
nogal vreemd experiment moeten
verzinnen, waarin de bewegende
waarnemer als zijn klok tikt ook iets op
een andere plaats laat gebeuren.
72/112
Lorentztransformaties
Dit experiment zou het “tijds-
equivalent” van het meten van
Lorentzcontractie zijn.
73/112
Lorentztransformaties
Willekeurige ruimtetijdcoördina-
ten kunnen we omrekenen met
)('
)('
txx
xtt
6. De ladderparadox
75/112
De ladderparadox
Om tijdsdilatatie en Lorentzcontractie
beter te begrijpen zullen we twee
bekende paradoxen bekijken.
De eerste is de zogenaamde ladder-
paradox.
76/112
De ladderparadox
“Iemand rent met een ladder, die
precies in een schuur past, met
enorme snelheid de schuur in. Past de
ladder nog altijd in de schuur?”
77/112
De ladderparadox
78/112
De ladderparadox
• Vanuit de rennende waarnemer
gezien wordt de schuur korter, en
past de ladder dus niet.
• Vanuit de stilstaande waarnemer
gezien wordt de ladder korter, en
past de ladder dus ruim.
Hoe kan dit?
79/112
De ladderparadox
Dat er geen tegenspraak is, zien we
als we het ruimtetijddiagram bekijken.
80/112
De ladderparadox
• Om te bepalen of de ladder past,
moeten we tegelijkertijd de positie
van zijn begin- en eindpunt meten.
81/112
De ladderparadox
• Maar... Elke waarnemer heeft zijn
eigen notie van gelijktijdigheid!
82/112
De ladderparadox
• Het “passen” van de ladder is dus
niet iets wat waarnemeronaf-
hankelijk gedefinieerd kan worden.
83/112
De ladderparadox
• De bewegende waarnemer meet
bijvoorbeeld AC, en ziet dat de
ladder inderdaad niet past.
84/112
De ladderparadox
• De stilstaande waarnemer meet
bijvoorbeeld AB, en ziet dat de
ladder inderdaad wel past.
85/112
De ladderparadox
Toch lijkt er nog iets vreemds aan de
hand: wat gebeurt er als de
stilstaande waarnemer, zodra de
ladder in de schuur is, snel de deuren
sluit?
86/112
De ladderparadox
Ook deze vraag kunnen we beant-
woorden met een ruimtetijddiagram:
87/112
De ladderparadox
• De stilstaande waarnemer ziet bij
gebeurtenis (A) de achterkant van
de ladder de schuur in vliegen, en
sluit de deuren.
88/112
De ladderparadox
• Bij (B) botst vervolgens de voorkant
van de ladder tegen de dichte
voordeur van de schuur.
89/112
De ladderparadox
• Voor de meebewegende waarne-
mer is deze gebeurtenis gelijktijdig
met (C) – voor hem is de achter-
kant van de ladder nog buiten.
90/112
De ladderparadox
• De meebewegende waarnemer ziet
de ladder dus samengeperst
worden tot bij (A) ook de achterkant
de schuur in vliegt.
91/112
De ladderparadox
• Kunnen we geen ladder maken die
“oneindig stijf” en dus niet samen te
persen is?
92/112
De ladderparadox
• Nee: de schokgolf van de botsing rechts
beweegt met hooguit de lichtsnelheid
door de ladder heen – het duurt dus
even voor de achterkant “weet” dat de
voorkant stilstaat!
93/112
De ladderparadox
• Uiteindelijk bereikt de schokgolf
natuurlijk de voorkant van de ladder
wel, en zal de ladder in stukken uit
elkaar spatten.
7. De tweelingparadox
95/112
De tweelingparadox
Een tweede paradox geeft meer
inzicht in de tijdsdilatatie: de
tweelingparadox.
96/112
De tweelingparadox
“Ronald reist met een enorme snelheid
naar een ver sterrenstelsel, keert daar
om en reist met dezelfde snelheid
weer terug. Is Ronald bij terugkomst
jonger dan Frank, of andersom?
97/112
De tweelingparadox
• Frank ziet Ronald steeds met grote
snelheid bewegen. Hij ziet Ronalds
klok langzamer lopen, dus Ronald
zou jonger moeten zijn.
• Ronald ziet Frank steeds met grote
snelheid bewegen. Hij ziet Franks
klok langzamer lopen, dus Frank
zou jonger moeten zijn.
98/112
De tweelingparadox
De situatie lijkt volkomen symme-
trisch, maar is dat niet!
We hebben het tot nu toe alleen over
bewegingen met constante snelheid
gehad, maar hier is meer aan de
hand: Ronald keert namelijk om, en
verandert zijn snelheid.
99/112
De tweelingparadox
Hoewel “snelheid relatief is” (we
kunnen niet definiëren wie beweegt en
wie stilstaat) is verandering van
snelheid dat niet!
We kunnen zonder problemen
ontdekken wie er van snelheid
verandert en wie niet.
100/112
De tweelingparadox
Frank verandert niet van snelheid, dus
zijn waarnemingen zouden juist
moeten zijn. Ronald moet bij thuis-
komst jonger zijn. Hoe kunnen we dit
uit Ronalds perspectief begrijpen?
101/112
De tweelingparadox
Wederom helpt een ruimtetijddiagram
om de oplossing te begrijpen.
102/112
De tweelingparadox
• De steile groene lijn is een tijdlijn
van Ronald op de heenreis. De
vlakke groene lijn is een van zijn
ruimtelijnen.
103/112
De tweelingparadox
• Deze ruimtelijn gaat door de
gebeurtenis “Ronald keert om”. De
onderste rode stip (op Franks
wereldlijn) is dus voor Ronald
hiermee gelijktijdig.
104/112
De tweelingparadox
• De steile blauwe lijn is een tijdlijn
van Ronald op de terugreis. De
vlakke blauwe lijn is een van zijn
ruimtelijnen.
105/112
De tweelingparadox
• Deze ruimtelijn gaat ook door de
gebeurtenis “Ronald keert om”. De
bovenste rode stip (op Franks
wereldlijn) is dus voor Ronald
hiermee gelijktijdig.
106/112
De tweelingparadox
• Kortom: zodra Ronald omkeert
“slaat hij een stuk van Franks
geschiedenis over”. Dit is de reden
dat Frank voor hem bij terugkomst
ouder is.
107/112
De tweelingparadox
• Opmerking (1). Als Ronald vertraagt
en weer versnelt in plaats van
abrupt omkeert zal zijn ruimtelijn
snel “over de missende
geschiedenis heen zwiepen”.
108/112
De tweelingparadox
• Opmerking (2a). Ronald krijgt de
“gemiste” geschiedenis van Frank
wel te zien: het licht daarvan
beweegt immers naar hem toe.
109/112
De tweelingparadox
• Opmerking (2b). Alleen als Ronald
corrigeert voor de lichtsnelheid
merkt hij dus dat hij een stuk
geschiedenis overslaat.
110/112
De tweelingparadox
• Opmerking (3). Hoewel de
verandering van snelheid hier een
centrale rol speelt hoeven we niets
te weten over versnelling of de
algemene relativiteitstheorie!
111/112
De tweelingparadox
Volgende keer:
• Iets over de algemene relativiteits-
theorie.
• Relativiteit in de praktijk: experi-
menten en gevolgen.
112/112
De tweelingparadox
Laatste bijeenkomst:
• E=mc2.
• Openstaande onderwerpen
• Verzoeknummers?