Post on 03-Dec-2015
description
1
1.1 Uvod
Dizajn nosećih konstrukcija jedan je od osnovnih inžinjerskih zadataka. Pored
funkcionalnosti, dizajn konstrukcije mora da zadovolji i druge kriteriji kao što su, naprimjer,
kriteriji sigurnosti i ekonomičnosti ili estetski kriterij. Ovaj zadatak, kao i mnogi drugi
inžinjerski zadaci, rješavaju se putem matematskog modeliranja. Matematski modeli imaju
zadatak da preko matematskih relacija odrede vezu između veličina od interesa kojima se
opisuje određeni (u ovom slučaju) fizikalni fenomen. Veličine od interesa mogu biti raspored
temperature u tijelu, koncentracija određene hemijske supstance u hemijskom reaktoru ili
polje pomjeranja u konstrukciji izloženoj dejstvu sila. Matematske relacije kojima se u
matematskom modelu opisuje određeni fizikalni fenomen mogu biti u formi algebarskih,
diferencijalnih i/ili integralnih jednačina.
Preduslov za uspješan dizajn je poznavanje polja napona i deformacija u konstrukciji.
Proučavanje napona i deformacija u tijelu ili konstrukciji osnovni je zadatak mehanike
Uvod – Matematsko modeliranje i numeričko rješenje
2
čvrstog tijela. Jedna od oblasti mehanike čvrstog tijela je teorija elastičnosti koja proučava
stanje napona i deformacija u tijelu ili konstrukciji pod dejstvom opterećenja
pretpostavljajući samo elastične deformacije. Deformacija je elastična ako je reverzibilna i
ako postoji jednoznačna veza između stanja napona i stanja deformacija. Ova oblast
mehanike izvodi osnovne zakone na shvatanju materije kao kontinuuma, zanemarujući njenu
diskretnu strukturu. Teorija pretpostavlja da se fizikalne osobine kontinuuma, kao i statičke i
kinematske veličine koje se definišu u okviru ove teorije mogu predstaviti kontinuiranim
matematskim funkcijama. Predmet izučavanja mehanike kontinuuma može se podijeliti na
dva osnovna dijela: generalne (fizikalne) principe ili zakone primjenjive na sve materijale i
konstitutivne jednačine, koje definišu mehaničko ponašanje određenog idealizovanog
materijala. Generalni principi ili zakoni su izvedeni na osnovu iskustva iz fizikalnog svijeta. To
su zakoni o bilansu (konzervaciji) mase, energije, količine kretanja, momenta količine
kretanja i proizvodnji entropije. U matematskom smislu postoje dvije ekvivalentne forme
generalnih principa: integralna forma formulisana za konačnu zapreminu koja sadržava
materijalni kontinuum, i diferencijalna forma definisana za diferencijalnu zapreminu
materije.
Razvijena teorija elastičnosti, koja je bazirana na konceptu materije kao kontinuuma, daje
kvantitativna predviđanja veličina od inženjerskog interesa u širokom domenu radnih uslova
koja su dovoljno tačna za većinu inžinjerskih problema (Malvern, 1969). Primjer gdje se
primjenom koncepta kontinuuma ne može valjano matematski opisati određena fizikalna
pojava je zamor materijala. Proces formiranja zamorne pukotine prate pojave koje se
dešavaju na nivou mikrostrukture materije, gdje koncept zanemarivanja diskretne strukture
nije prihvatljiv. Ipak, i u ovakvim slučajevima često se koristi teorija kontinuuma zajedno s
empirijskim informacijama ili u kombinaciji s fizikalnom teorijom baziranom na diskretnoj
(molekularnoj) prirodi materije.
Problem teorije elastičnosti može se opisati preko diferencijalnih ili integralnih jednačina
koje su međusobno ekvivalentne. Ove jednačine su složene i komplikovane da bi se analitički
riješile. Danas postoji ograničen broj praktičnih problema za koje postoji analitičko rješenje
ovih jednačina. To su po pravilu problemi s prostom geometrijom i jednostavnim graničnim
uslovima. Ovo je razlog da se kod praktičnih problema ove jednačine uglavnom rješavaju
numerički uz upotrebu elektronskih računara.
1.2 Prednosti i nedostaci numeričkog rješenja
Važno je znati prednosti i nedostatke numeričkog rješenja matematskog modela u odnosu
na njegovo analitičko rješenje. Obično se kaže da numeričko rješenje predstavlja približno
rješenje tačnog (analitičkog) rezultata. Međutim, aproksimacije pri numeričkom rješavanju
problema moraju biti takve da osiguraju da numeričko rješenje konvergira analitičkom
3
rješenju sa povećanjem stepena diskretizacije. Kao primjer može poslužiti numeričko
rješenje integrala
čije analitičko rješenje je jednostavno dobiti, a može
se predstaviti površinom ograničenom podintegralnom funkcijom
i osom
na domenu integracije (slika 1.1(a)) .
U slučaju podintegralne funkcije za koju ne postoji analitičko rješenje na raspolaganju je
samo numeričko rješenje. Mogući pristup da se numerički riješi integral je da se
podintegralna fukcija aproksimira funkcijom čiji je integral poznat. Jedan od
najjednostavnijih pristupa je da se podintegralna funkcija aproksimira polinomom prvog reda
koji se podudara sa stvarnom podintegralnom funkcijom u dvije tačke (na početku i kraju
domena intergracije). U ovom slučaju, računanje integrala se svodi na računanje zbira
vrijednosti podintegralne funkcije u diskretnim tačkama pomnožene sa težinskim faktorima,
(trapezna formula).
0.0
0.4
0.8
1.2
1.6
2.0
0 1 2 3 4 5
f(x)
x
0.0
0.4
0.8
1.2
1.6
2.0
0 1 2 3 4 5
f(x)
x
0.0
0.4
0.8
1.2
1.6
2.0
0 1 2 3 4 5
f(x)
x
0.00001
0.0001
0.001
0.01
0.1
1
10
100
1 10 100 1000
gre
ška (
%)
broj podjela
(a) (b)
Slika 1.1 Podintegralna funkcija (a), aproksimacija podintegralne
funkcije polinomom prvog reda na cijelom domenu integracije (b) i
poddomenima (c), i greška numeričke integracije u funkciji broja
podjela domena integracije (d)
(c) (d)
4
Na slici 1.1(b) se vidi da je veličina površine ispod pravca kojim je aproksimirana
podintegralna funkcija f(x) znatno manja od površine ispod stvarne podintegralne funkcije,
što ima za rezultat grešku numeričkog rješenja od 63.8% (
.
Jedan od načina da se popravi ovako loš numerički rezultat je da se domen integracije
podijeli na veći broj poddomena i da se na svakom poddomenu podintegralna funkcija
aproksimira polinomom prvog reda. Ovaj pristup prikazan je na slici 1.1(c), gdje je domen
integracije podijeljen na 5 jednakih poddomena. Ovim pristupom greška numeričkog rješenja
je svedena na svega 1.24%. Smanjivanjem intervala na kojem vrijedi aproksimacija,
podintegralna funkcija bolje je aproksimirana linearnom aproksimacionom funkcijom, što
ima za posljedicu i manju numeričku grešku. Može se zaključiti da u opštem slučaju vrijedi da
povećanjem podjela domena integracije raste i tačnost numeričkog rješenja.
0.0
0.4
0.8
1.2
1.6
2.0
0 1 2 3 4 5
f(x)
x
0.0
0.4
0.8
1.2
1.6
2.0
0 1 2 3 4 5
f(x)
x
0.0
0.4
0.8
1.2
1.6
2.0
0 1 2 3 4 5
f(x)
x
0.0
0.4
0.8
1.2
1.6
2.0
0 1 2 3 4 5
f(x)
x
(c) (d)
Slika 1.2 Aproksimacije funkcije f(x) polinomom prvog reda na
poddomenima različite širine (a), aproksimacija funkcije f(x)
polinomom drugog reda (b), polinomom trećeg reda (c), i polinomom
četvrtog reda (d)
(a) (b)
5
Na slici 1.1(d) prikazana je promjena greške numeričkog proračuna aproksimacijom
podintegralne funkcije sa polinomom prvog reda u funkciji broja podjela domena integracije
na jednake podintervale. Na slici se vidi da je moguće putem povećanja broja podjela
(povećanje stepena diskretizacije) postići proizvoljnu tačnost rezultata numeričke integracije,
ako se isključi činjenica da računari rade sa konačnim brojem značajnih cifara. Prema tome,
za dati primjer, umjesto tvrdnje da je numeričko rješenje približno rješenje tačnom rješenju
bolje je reći da se numeričkim rješenjem može postići željena (unaprijed propisana) tačnost u
odnosu na tačno rješenje.
Povećanje stepena diskretizacije pri numeričkom rješenju problema zahtijeva veći broj
računskih operacija (duže vrijeme rada) i u opštem slučaju veće potrebe za memorijom
računara. Iz ovog razloga cilj numeričkog metoda je da postigne rezultat visoke tačnosti uz
što manje zahtjeve za memorijom računara i/ili računarskim vremenom.
Na slici 1.1(c) vidi se da je podjelom domena integracije na samo 5 poddomena u slučaju
aproksimacije podintegralne funkcije polinomom prvog reda smanjena greška sa 63.8% na
samo 1.24%. Na slici se također može primijetiti da je aproksimacija podintegralne funkcije
polinomom prvog reda, koji ima konstantan gradijent, najlošija na dijelu poddomena gdje se
gradijent podintegralne funkcije najviše mijenja. U ovom slučaju efikasnije je koristiti podjelu
domena integracije na poddomene promjenjive širine kao na slici 1.2(a), gdje su na mjestima
velikih promjena u gradijentima podintegralne funkcije korišteni poddomeni sa užim
intervalom integracije. U ovom slučaju greška je opala na 0.468%.
Drugi pristup da se popravi loš numerički rezultat dobijen aproksimacijom podintegralne
funkcije na domenu integracije polinomom prvog reda (slika 1.1(b)) bio bi da se
podintegralna funkcija aproksimira polinomom višeg reda. U ovim slučajevima određivanje
integrala svodi se na računanje algebarskih izraza , gdje je red
polinoma kojim se aproksimira podintegralna funkcija, dok i predstvljaju granice domena
integracije. Naprimjer, za slučaj međusobno ekvidistantnih tačaka i aproksimacije
polinomom drugog reda vrijedi
(Simpsonova formula). Na slikama 1.2(b), 1.2(c), i 1.2(d) prikazani su
rezultati aproksimacije podintegralne funkcije polinomima drugog, trećeg i četvrtog reda i
odgovarajuće greške rezultata numeričke integracije. Na slikama se vidi da rastom stepena
aproksimacionog polinoma opada greška numeričkog proračuna i da greška za slučaj
aproksimacije polinomom četvrtog stepena iznosi samo 0.395%. Jasno je da će podjela
domena integracije na više poddomena i primjena interpolacionih polinoma višeg reda dati
još tačniji numerički rezultat.
Problem numeričke integracije prikazan u prethodnom primjeru je sa stanovišta resursa
elektronskih računara veoma jednostavan i nebitan je zahtjev za efikasnosti numeričkog
postupka. Prilikom rješavanja kompleksnih inžinjerskih problema, kao što je naprimjer
određivanje polja pomjeranja u slučaju simuliranja sudara automobila, važno je riješiti
6
problem dovoljno tačno sa stepenom diskretizacije koji zahtijeva prihvatljivo računarsko
vrijeme potrebno da se riješi problem, ali nerijetko i ograničene memorijske kapacitete
računara.
Jednostavan primjer numeričke integracije dat u ovom poglavlju trebao je da pokaže
nekoliko osobina zajedničkih za problem rješavanja polja napona i deformacija u čvrstom
tijelu: povećanjem stepena diskretizacije raste tačnost numeričkog rješenja, aproksimacijom
poznate (ili unaprijed nepoznate) funkcije jednostavnim funkcijama mogu se postići rezultati
visoke tačnosti, i efikasnost numeričkog rješenja može se popraviti sa većim stepenom
diskretizacije na dijelu domena gdje su velike promjene u gradijentu funkcije (zavisnih
varijabli).
Važna razlika između analitičkog rješenja matematskog modela i numeričkog rješenja istog
modela je ta što analitičko rješenje uvijek daje matematsku relaciju između zavisnih i
nezavisnih varijabli. Numeričko rješenje daje
samo vrijednosti zavisnih varijabli za
konkretne (unaprijed zadate) vrijednosti
nezavisnih varijabli. Naprimjer, numerički
možemo izračunali površinu kruga
prekrivajući ga mrežom jednakostranih
trouglova kao što je prikazano na slici 1.3.
Kada osnova trougla teži nuli numerički
rezultat će da teži tačnoj vrijednosti površine
kruga. Na ovaj način za bilo koji poluprečnik
kruga može se izračunati njegova površina.
Međutim, prema analitičkom rješenju
površina kruga , odakle se vidi da se
površina kruga mijenja sa kvadratom njegova poluprečnika. Ovaj rezultat se ne vidi iz
numeričkog rješenja, mada se numerički može odrediti površina za bilo koji konkretan
poluprečnik kruga. Numeričkim eksperimentom može se za seriju različitih poluprečnika
nacrtati funkcionalna zavisnost površine kruga od njegova poluprečnika u nizu diskretnih
tačaka, ali i dalje se ne može sa sigurnošću tvrditi o kojoj se funkciji radi.
Kao drugi primjer prednosti analitičkog rješenja u odnosu na numeričko rješenje može
poslužiti rješenje diferencijalnih jednačina za kosi hitac. Kretanje tijela, predstavljenog
materijalnom tačkom, izbačenog početnom brzinom pod uglom u odnosu na
horizontalu (slika 1.4) može se opisati sljedećim sistemom diferencijalnih jednačina:
, gdje je ubrzanje zemljine teže. Integracijom ovih jednačina slijedi
opšte rješenje:
. Iz početnih uslova za
određuju se
integracione konstante:
Slika 1.3 Diskretizacija površine kruga sa
nizom trouglova
7
Jednačine kretanja mogu se sada pisati u sljedećem obliku:
. Iz ovog sistema jednačina može se odrediti domet tijela: za
. Iz posljednje jednačine može se izvesti više zaključaka: za jednake vrijednosti
intenziteta početne brzine isti domet može se postići za ugao i za ugao
maksimalni domet se postiže za , domet se mijenja sa kvadratom intenziteta
početne brzine.
Sistem diferencijalnih jednačina koje opisuju kretanje materijalne tačke je numerički
jednostavno rješiti sa unaprijed zadanom
tačnosti. Međutim, za razliku od
analitičkog rješenja, numeričko rješenje
,umjesto opšteg rješenja, daje samo
jedno partikularno rješenje za konkretne
početne uslove. Do svih zaključaka do
kojih se došlo na osnovu analitičkog
rješenja može se eventualno doći putem
numeričkog eksperimenta ponavljanjem
proračuna za razne vrijednosti početne
brzine i ugla . U slučaju kada nije
poznato analitičko rješenje matematskog
modela u kojem postoji više zavisnih i
nezavisnih varijabli numerički
eksperiment često neće otkriti stvarne
funkcionalne zavisnosti između varijabli.
Važno je znati da je zadatak numeričkog metoda da riješi matematski model, i da numeričko
rješenje ne može dati više podataka nego što ih osigurava matematski model. Eventualni
neuspjeh numeričkog rješenja da tačno opiše određeni fizikalni fenomen, ne leži u
numeričkom metodu, već u nesposobnosti matematskog modela da pravilno opiše fizikalni
fenomen. Pretpostavimo da je eksperimentom utvrđeno da numerički izračunata vrijednost
maksimalnog dometa tijela (rakete) za zadatu početnu brzinu i ugao ne odgovara
stvarnoj vrijednosti. Za ovakav rezultat nije odgovoran numerički metod čiji je zadatak da
samo riješi matematski model, već matematski model kojim je opisano kretanje tijela i koji bi
trebalo dograditi. Naprimjer, matematski model koji je prethodno korišten za opis kosog hica
nije uzeo u obzir otpor vazduha pri kretanju tijela, koji može bitno uticati na rezultat zavisno
od brzine kretanja tijela i gustine vazduha, ili model je pretpostavio da se kretanje tijela
dešava u ravni , što znači da nije uzeo u obzir sile od eventualnog bočnog vjetra
normalnog na ravan , o čemu se treba voditi računa prilikom eksperimantalne
verifikacije matematskog modela.
x
y
G
z
Slika 1.4 Kretanje tijela pod dejstvom
vlastite težine izbačenog početnom
brzinom
8
1.3 Metod konačnih elemenata u analizi naprezanja
Danas egzistira nekoliko različitih numeričkih metoda koje su u stanju da efikasno riješe
većinu problema mehanike čvrstih tijela. Ove numeričke metode razlikuju se prema
komplikovanosti matematskog aparata koji koriste, efikasnosti po pitanju brzine (utroška
računarskog vremena) i potreba za memorijom računara, mogućnosti primjene na široku
klasu inženjerskih problema, fizikalnoj interpretaciji, itd. Metoda konačnih elemenata
zauzima dominantno mjesto u numeričkim simulacijama problema mehanike čvrstih tijela.
Numerička metoda ima zadatak da riješi jednačine kojim matematski model opisuje fizikalni
fenomen, i zadatak numeričke simulacije je da racionalnom diskretizacijom dobije rezultat
dovoljno blizak tačnom (analitičkom) rješenju, ne fizikalnog problema, već matematskog
modela. Zato rezultat svake konzistentne numeričke metode konvergira analitičkom rješenju
matematskog modela s povećanjem stepena diskretizacije.
Metoda konačnih elemenata, kao i drugi numerički metodi, pristupa rješavanju
matematskog modela diskretizacijom vremena, prostornog domena i jednačina (integralnog
tipa) koje opisuje kretanje (deformaciju) čvrstog tijela na način da se rješenje problema svodi
na sistem algebarskih jednačina. Postupak disretizacije neminovno zahtijeva izvršavanje
velikog broja aritmetičkih operacija što numeričke metode čini posebno efikasnim
zahvaljujući pojavi savremenih elektronskih računara i kompjuterskih programa koji
primjenjuju metodu. Ovakve kompjuterske programe prate i odgovarajući pre- i post-
procesori koji imaju zadatak da uz pomoć grafičkih paketa omoguće korisniku što
jednostavnije i brže crtanje geometrije dijela koji se analizira, generisanje mreže, zadavanje
početnih i graničnih uslova kao i grafičku interpretaciju dobijenih rezultata nakon proračuna
napona i deformacija. Ovo je velika prednost numeričkih simulacija obzirom da inžinjere
oslobađa teškog zadatka analitičkog rješavanja matematskog modela (bez obzira koliko
jednostavan bio) i dozvoljava im da se umjesto toga fokusiraju na razvoj matematskog
modela koji će što vjerodostojnije da opiše stvarni fizikalni problem.
U želji da se pažnja čitaoca usmjeri na primjenu metoda konačnih elemenata za rješavanje
matematskih modela za analizu napona i deformacija konstrukcija, u nastavku ove knjige
analiza je ograničena na homogeno izotropno linearno elastično tijelo ukoliko drugačije nije
naglašeno. Numerička rješenja metodom konačnih elemenata prikazana u ovom radu
dobijena su korištenje sofverskog paketa ADINA.
U narednoj glavi opisani su osnovni matematski modeli za opis problema linearne teorije
elastičnosti.