1

1.1 Uvod

Dizajn nosećih konstrukcija jedan je od osnovnih inžinjerskih zadataka. Pored

funkcionalnosti, dizajn konstrukcije mora da zadovolji i druge kriteriji kao što su, naprimjer,

kriteriji sigurnosti i ekonomičnosti ili estetski kriterij. Ovaj zadatak, kao i mnogi drugi

inžinjerski zadaci, rješavaju se putem matematskog modeliranja. Matematski modeli imaju

zadatak da preko matematskih relacija odrede vezu između veličina od interesa kojima se

opisuje određeni (u ovom slučaju) fizikalni fenomen. Veličine od interesa mogu biti raspored

temperature u tijelu, koncentracija određene hemijske supstance u hemijskom reaktoru ili

polje pomjeranja u konstrukciji izloženoj dejstvu sila. Matematske relacije kojima se u

matematskom modelu opisuje određeni fizikalni fenomen mogu biti u formi algebarskih,

diferencijalnih i/ili integralnih jednačina.

Preduslov za uspješan dizajn je poznavanje polja napona i deformacija u konstrukciji.

Proučavanje napona i deformacija u tijelu ili konstrukciji osnovni je zadatak mehanike

Uvod – Matematsko modeliranje i numeričko rješenje

2

čvrstog tijela. Jedna od oblasti mehanike čvrstog tijela je teorija elastičnosti koja proučava

stanje napona i deformacija u tijelu ili konstrukciji pod dejstvom opterećenja

pretpostavljajući samo elastične deformacije. Deformacija je elastična ako je reverzibilna i

ako postoji jednoznačna veza između stanja napona i stanja deformacija. Ova oblast

mehanike izvodi osnovne zakone na shvatanju materije kao kontinuuma, zanemarujući njenu

diskretnu strukturu. Teorija pretpostavlja da se fizikalne osobine kontinuuma, kao i statičke i

kinematske veličine koje se definišu u okviru ove teorije mogu predstaviti kontinuiranim

matematskim funkcijama. Predmet izučavanja mehanike kontinuuma može se podijeliti na

dva osnovna dijela: generalne (fizikalne) principe ili zakone primjenjive na sve materijale i

konstitutivne jednačine, koje definišu mehaničko ponašanje određenog idealizovanog

materijala. Generalni principi ili zakoni su izvedeni na osnovu iskustva iz fizikalnog svijeta. To

su zakoni o bilansu (konzervaciji) mase, energije, količine kretanja, momenta količine

kretanja i proizvodnji entropije. U matematskom smislu postoje dvije ekvivalentne forme

generalnih principa: integralna forma formulisana za konačnu zapreminu koja sadržava

materijalni kontinuum, i diferencijalna forma definisana za diferencijalnu zapreminu

materije.

Razvijena teorija elastičnosti, koja je bazirana na konceptu materije kao kontinuuma, daje

kvantitativna predviđanja veličina od inženjerskog interesa u širokom domenu radnih uslova

koja su dovoljno tačna za većinu inžinjerskih problema (Malvern, 1969). Primjer gdje se

primjenom koncepta kontinuuma ne može valjano matematski opisati određena fizikalna

pojava je zamor materijala. Proces formiranja zamorne pukotine prate pojave koje se

dešavaju na nivou mikrostrukture materije, gdje koncept zanemarivanja diskretne strukture

nije prihvatljiv. Ipak, i u ovakvim slučajevima često se koristi teorija kontinuuma zajedno s

empirijskim informacijama ili u kombinaciji s fizikalnom teorijom baziranom na diskretnoj

(molekularnoj) prirodi materije.

Problem teorije elastičnosti može se opisati preko diferencijalnih ili integralnih jednačina

koje su međusobno ekvivalentne. Ove jednačine su složene i komplikovane da bi se analitički

riješile. Danas postoji ograničen broj praktičnih problema za koje postoji analitičko rješenje

ovih jednačina. To su po pravilu problemi s prostom geometrijom i jednostavnim graničnim

uslovima. Ovo je razlog da se kod praktičnih problema ove jednačine uglavnom rješavaju

numerički uz upotrebu elektronskih računara.

1.2 Prednosti i nedostaci numeričkog rješenja

Važno je znati prednosti i nedostatke numeričkog rješenja matematskog modela u odnosu

na njegovo analitičko rješenje. Obično se kaže da numeričko rješenje predstavlja približno

rješenje tačnog (analitičkog) rezultata. Međutim, aproksimacije pri numeričkom rješavanju

problema moraju biti takve da osiguraju da numeričko rješenje konvergira analitičkom

3

rješenju sa povećanjem stepena diskretizacije. Kao primjer može poslužiti numeričko

rješenje integrala

čije analitičko rješenje je jednostavno dobiti, a može

se predstaviti površinom ograničenom podintegralnom funkcijom

i osom

na domenu integracije (slika 1.1(a)) .

U slučaju podintegralne funkcije za koju ne postoji analitičko rješenje na raspolaganju je

samo numeričko rješenje. Mogući pristup da se numerički riješi integral je da se

podintegralna fukcija aproksimira funkcijom čiji je integral poznat. Jedan od

najjednostavnijih pristupa je da se podintegralna funkcija aproksimira polinomom prvog reda

koji se podudara sa stvarnom podintegralnom funkcijom u dvije tačke (na početku i kraju

domena intergracije). U ovom slučaju, računanje integrala se svodi na računanje zbira

vrijednosti podintegralne funkcije u diskretnim tačkama pomnožene sa težinskim faktorima,

(trapezna formula).

0.0

0.4

0.8

1.2

1.6

2.0

0 1 2 3 4 5

f(x)

x

0.0

0.4

0.8

1.2

1.6

2.0

0 1 2 3 4 5

f(x)

x

0.0

0.4

0.8

1.2

1.6

2.0

0 1 2 3 4 5

f(x)

x

0.00001

0.0001

0.001

0.01

0.1

1

10

100

1 10 100 1000

gre

ška (

%)

broj podjela

(a) (b)

Slika 1.1 Podintegralna funkcija (a), aproksimacija podintegralne

funkcije polinomom prvog reda na cijelom domenu integracije (b) i

poddomenima (c), i greška numeričke integracije u funkciji broja

podjela domena integracije (d)

(c) (d)

4

Na slici 1.1(b) se vidi da je veličina površine ispod pravca kojim je aproksimirana

podintegralna funkcija f(x) znatno manja od površine ispod stvarne podintegralne funkcije,

što ima za rezultat grešku numeričkog rješenja od 63.8% (

.

Jedan od načina da se popravi ovako loš numerički rezultat je da se domen integracije

podijeli na veći broj poddomena i da se na svakom poddomenu podintegralna funkcija

aproksimira polinomom prvog reda. Ovaj pristup prikazan je na slici 1.1(c), gdje je domen

integracije podijeljen na 5 jednakih poddomena. Ovim pristupom greška numeričkog rješenja

je svedena na svega 1.24%. Smanjivanjem intervala na kojem vrijedi aproksimacija,

podintegralna funkcija bolje je aproksimirana linearnom aproksimacionom funkcijom, što

ima za posljedicu i manju numeričku grešku. Može se zaključiti da u opštem slučaju vrijedi da

povećanjem podjela domena integracije raste i tačnost numeričkog rješenja.

0.0

0.4

0.8

1.2

1.6

2.0

0 1 2 3 4 5

f(x)

x

0.0

0.4

0.8

1.2

1.6

2.0

0 1 2 3 4 5

f(x)

x

0.0

0.4

0.8

1.2

1.6

2.0

0 1 2 3 4 5

f(x)

x

0.0

0.4

0.8

1.2

1.6

2.0

0 1 2 3 4 5

f(x)

x

(c) (d)

Slika 1.2 Aproksimacije funkcije f(x) polinomom prvog reda na

poddomenima različite širine (a), aproksimacija funkcije f(x)

polinomom drugog reda (b), polinomom trećeg reda (c), i polinomom

četvrtog reda (d)

(a) (b)

5

Na slici 1.1(d) prikazana je promjena greške numeričkog proračuna aproksimacijom

podintegralne funkcije sa polinomom prvog reda u funkciji broja podjela domena integracije

na jednake podintervale. Na slici se vidi da je moguće putem povećanja broja podjela

(povećanje stepena diskretizacije) postići proizvoljnu tačnost rezultata numeričke integracije,

ako se isključi činjenica da računari rade sa konačnim brojem značajnih cifara. Prema tome,

za dati primjer, umjesto tvrdnje da je numeričko rješenje približno rješenje tačnom rješenju

bolje je reći da se numeričkim rješenjem može postići željena (unaprijed propisana) tačnost u

odnosu na tačno rješenje.

Povećanje stepena diskretizacije pri numeričkom rješenju problema zahtijeva veći broj

računskih operacija (duže vrijeme rada) i u opštem slučaju veće potrebe za memorijom

računara. Iz ovog razloga cilj numeričkog metoda je da postigne rezultat visoke tačnosti uz

što manje zahtjeve za memorijom računara i/ili računarskim vremenom.

Na slici 1.1(c) vidi se da je podjelom domena integracije na samo 5 poddomena u slučaju

aproksimacije podintegralne funkcije polinomom prvog reda smanjena greška sa 63.8% na

samo 1.24%. Na slici se također može primijetiti da je aproksimacija podintegralne funkcije

polinomom prvog reda, koji ima konstantan gradijent, najlošija na dijelu poddomena gdje se

gradijent podintegralne funkcije najviše mijenja. U ovom slučaju efikasnije je koristiti podjelu

domena integracije na poddomene promjenjive širine kao na slici 1.2(a), gdje su na mjestima

velikih promjena u gradijentima podintegralne funkcije korišteni poddomeni sa užim

intervalom integracije. U ovom slučaju greška je opala na 0.468%.

Drugi pristup da se popravi loš numerički rezultat dobijen aproksimacijom podintegralne

funkcije na domenu integracije polinomom prvog reda (slika 1.1(b)) bio bi da se

podintegralna funkcija aproksimira polinomom višeg reda. U ovim slučajevima određivanje

integrala svodi se na računanje algebarskih izraza , gdje je red

polinoma kojim se aproksimira podintegralna funkcija, dok i predstvljaju granice domena

integracije. Naprimjer, za slučaj međusobno ekvidistantnih tačaka i aproksimacije

polinomom drugog reda vrijedi

(Simpsonova formula). Na slikama 1.2(b), 1.2(c), i 1.2(d) prikazani su

rezultati aproksimacije podintegralne funkcije polinomima drugog, trećeg i četvrtog reda i

odgovarajuće greške rezultata numeričke integracije. Na slikama se vidi da rastom stepena

aproksimacionog polinoma opada greška numeričkog proračuna i da greška za slučaj

aproksimacije polinomom četvrtog stepena iznosi samo 0.395%. Jasno je da će podjela

domena integracije na više poddomena i primjena interpolacionih polinoma višeg reda dati

još tačniji numerički rezultat.

Problem numeričke integracije prikazan u prethodnom primjeru je sa stanovišta resursa

elektronskih računara veoma jednostavan i nebitan je zahtjev za efikasnosti numeričkog

postupka. Prilikom rješavanja kompleksnih inžinjerskih problema, kao što je naprimjer

određivanje polja pomjeranja u slučaju simuliranja sudara automobila, važno je riješiti

6

problem dovoljno tačno sa stepenom diskretizacije koji zahtijeva prihvatljivo računarsko

vrijeme potrebno da se riješi problem, ali nerijetko i ograničene memorijske kapacitete

računara.

Jednostavan primjer numeričke integracije dat u ovom poglavlju trebao je da pokaže

nekoliko osobina zajedničkih za problem rješavanja polja napona i deformacija u čvrstom

tijelu: povećanjem stepena diskretizacije raste tačnost numeričkog rješenja, aproksimacijom

poznate (ili unaprijed nepoznate) funkcije jednostavnim funkcijama mogu se postići rezultati

visoke tačnosti, i efikasnost numeričkog rješenja može se popraviti sa većim stepenom

diskretizacije na dijelu domena gdje su velike promjene u gradijentu funkcije (zavisnih

varijabli).

Važna razlika između analitičkog rješenja matematskog modela i numeričkog rješenja istog

modela je ta što analitičko rješenje uvijek daje matematsku relaciju između zavisnih i

nezavisnih varijabli. Numeričko rješenje daje

samo vrijednosti zavisnih varijabli za

konkretne (unaprijed zadate) vrijednosti

nezavisnih varijabli. Naprimjer, numerički

možemo izračunali površinu kruga

prekrivajući ga mrežom jednakostranih

trouglova kao što je prikazano na slici 1.3.

Kada osnova trougla teži nuli numerički

rezultat će da teži tačnoj vrijednosti površine

kruga. Na ovaj način za bilo koji poluprečnik

kruga može se izračunati njegova površina.

Međutim, prema analitičkom rješenju

površina kruga , odakle se vidi da se

površina kruga mijenja sa kvadratom njegova poluprečnika. Ovaj rezultat se ne vidi iz

numeričkog rješenja, mada se numerički može odrediti površina za bilo koji konkretan

poluprečnik kruga. Numeričkim eksperimentom može se za seriju različitih poluprečnika

nacrtati funkcionalna zavisnost površine kruga od njegova poluprečnika u nizu diskretnih

tačaka, ali i dalje se ne može sa sigurnošću tvrditi o kojoj se funkciji radi.

Kao drugi primjer prednosti analitičkog rješenja u odnosu na numeričko rješenje može

poslužiti rješenje diferencijalnih jednačina za kosi hitac. Kretanje tijela, predstavljenog

materijalnom tačkom, izbačenog početnom brzinom pod uglom u odnosu na

horizontalu (slika 1.4) može se opisati sljedećim sistemom diferencijalnih jednačina:

, gdje je ubrzanje zemljine teže. Integracijom ovih jednačina slijedi

opšte rješenje:

. Iz početnih uslova za

određuju se

integracione konstante:

Slika 1.3 Diskretizacija površine kruga sa

nizom trouglova

7

Jednačine kretanja mogu se sada pisati u sljedećem obliku:

. Iz ovog sistema jednačina može se odrediti domet tijela: za

. Iz posljednje jednačine može se izvesti više zaključaka: za jednake vrijednosti

intenziteta početne brzine isti domet može se postići za ugao i za ugao

maksimalni domet se postiže za , domet se mijenja sa kvadratom intenziteta

početne brzine.

Sistem diferencijalnih jednačina koje opisuju kretanje materijalne tačke je numerički

jednostavno rješiti sa unaprijed zadanom

tačnosti. Međutim, za razliku od

analitičkog rješenja, numeričko rješenje

,umjesto opšteg rješenja, daje samo

jedno partikularno rješenje za konkretne

početne uslove. Do svih zaključaka do

kojih se došlo na osnovu analitičkog

rješenja može se eventualno doći putem

numeričkog eksperimenta ponavljanjem

proračuna za razne vrijednosti početne

brzine i ugla . U slučaju kada nije

poznato analitičko rješenje matematskog

modela u kojem postoji više zavisnih i

nezavisnih varijabli numerički

eksperiment često neće otkriti stvarne

funkcionalne zavisnosti između varijabli.

Važno je znati da je zadatak numeričkog metoda da riješi matematski model, i da numeričko

rješenje ne može dati više podataka nego što ih osigurava matematski model. Eventualni

neuspjeh numeričkog rješenja da tačno opiše određeni fizikalni fenomen, ne leži u

numeričkom metodu, već u nesposobnosti matematskog modela da pravilno opiše fizikalni

fenomen. Pretpostavimo da je eksperimentom utvrđeno da numerički izračunata vrijednost

maksimalnog dometa tijela (rakete) za zadatu početnu brzinu i ugao ne odgovara

stvarnoj vrijednosti. Za ovakav rezultat nije odgovoran numerički metod čiji je zadatak da

samo riješi matematski model, već matematski model kojim je opisano kretanje tijela i koji bi

trebalo dograditi. Naprimjer, matematski model koji je prethodno korišten za opis kosog hica

nije uzeo u obzir otpor vazduha pri kretanju tijela, koji može bitno uticati na rezultat zavisno

od brzine kretanja tijela i gustine vazduha, ili model je pretpostavio da se kretanje tijela

dešava u ravni , što znači da nije uzeo u obzir sile od eventualnog bočnog vjetra

normalnog na ravan , o čemu se treba voditi računa prilikom eksperimantalne

verifikacije matematskog modela.

x

y

G

z

Slika 1.4 Kretanje tijela pod dejstvom

vlastite težine izbačenog početnom

brzinom

8

1.3 Metod konačnih elemenata u analizi naprezanja

Danas egzistira nekoliko različitih numeričkih metoda koje su u stanju da efikasno riješe

većinu problema mehanike čvrstih tijela. Ove numeričke metode razlikuju se prema

komplikovanosti matematskog aparata koji koriste, efikasnosti po pitanju brzine (utroška

računarskog vremena) i potreba za memorijom računara, mogućnosti primjene na široku

klasu inženjerskih problema, fizikalnoj interpretaciji, itd. Metoda konačnih elemenata

zauzima dominantno mjesto u numeričkim simulacijama problema mehanike čvrstih tijela.

Numerička metoda ima zadatak da riješi jednačine kojim matematski model opisuje fizikalni

fenomen, i zadatak numeričke simulacije je da racionalnom diskretizacijom dobije rezultat

dovoljno blizak tačnom (analitičkom) rješenju, ne fizikalnog problema, već matematskog

modela. Zato rezultat svake konzistentne numeričke metode konvergira analitičkom rješenju

matematskog modela s povećanjem stepena diskretizacije.

Metoda konačnih elemenata, kao i drugi numerički metodi, pristupa rješavanju

matematskog modela diskretizacijom vremena, prostornog domena i jednačina (integralnog

tipa) koje opisuje kretanje (deformaciju) čvrstog tijela na način da se rješenje problema svodi

na sistem algebarskih jednačina. Postupak disretizacije neminovno zahtijeva izvršavanje

velikog broja aritmetičkih operacija što numeričke metode čini posebno efikasnim

zahvaljujući pojavi savremenih elektronskih računara i kompjuterskih programa koji

primjenjuju metodu. Ovakve kompjuterske programe prate i odgovarajući pre- i post-

procesori koji imaju zadatak da uz pomoć grafičkih paketa omoguće korisniku što

jednostavnije i brže crtanje geometrije dijela koji se analizira, generisanje mreže, zadavanje

početnih i graničnih uslova kao i grafičku interpretaciju dobijenih rezultata nakon proračuna

napona i deformacija. Ovo je velika prednost numeričkih simulacija obzirom da inžinjere

oslobađa teškog zadatka analitičkog rješavanja matematskog modela (bez obzira koliko

jednostavan bio) i dozvoljava im da se umjesto toga fokusiraju na razvoj matematskog

modela koji će što vjerodostojnije da opiše stvarni fizikalni problem.

U želji da se pažnja čitaoca usmjeri na primjenu metoda konačnih elemenata za rješavanje

matematskih modela za analizu napona i deformacija konstrukcija, u nastavku ove knjige

analiza je ograničena na homogeno izotropno linearno elastično tijelo ukoliko drugačije nije

naglašeno. Numerička rješenja metodom konačnih elemenata prikazana u ovom radu

dobijena su korištenje sofverskog paketa ADINA.

U narednoj glavi opisani su osnovni matematski modeli za opis problema linearne teorije

elastičnosti.