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第第 1313 章 重积分章 重积分二重积分的概念二重积分的概念
直角坐标系下重积分的计算直角坐标系下重积分的计算
格林格林(Green)(Green)公式公式
重积分的变量变换重积分的变量变换
三重积分三重积分
重积分的应用重积分的应用
13.1 13.1 二重积分的概念二重积分的概念
第第 1313 章 重积分章 重积分
一 平面图形的面积1. 内、外面积(约当,黎曼外内测度)的概念直线网T分割平面图形 P,T的网眼中小闭矩
形 i 的分类:
ⅰ( ) i 含的全是 P的内点
ⅱ( ) i 含的全是 P的外点(不含 P的点)
ⅲ( ) i内含有 P的边界点
记 TsP 为T ⅰ的第 类 i 的面积的和.
记 TSP 为T ⅰ的第 和第三类 i 的面积的和.
记 PI = TsP
Tsup
,称为 P的内面积.
记 PI = TSP
Tinf
,称为 P的外面积.
定义 1 若平面图形 P
的内面积 PI 等于它的
外面积 PI ,则称 P为可求面积,并称其共同值
PI = PI = PI 为 P的面积(约当,黎曼测度)
0 (1)PPI I
定理 13. 1 平面有界图形 P 可求面积的
充要条件是:对任给的 0 ,总存在直线网T ,使得 TsTS PP ( 2 )
证 [必要性]设平面有界图形 P的面积为 PI .
由定义 1,有 PI = PI = PI .对任给的 ,由
PI 及 PI 的定义知道,分别存在直线网 1T 与
2T , 使得
,21
PP ITs
22
PP ITS (3)
记T 为由 1T 与 2T 这两个直线网合并的直线网,可证得
TsTs PP 1 TSTS PP 2
于是由( 3 )可得 ,
2
PP ITs
2
PP ITS
从而得到对直线网T 有 TsTS PP
[充分性]对任给的 0 ,存在直线网T ,
使得( 2 )式成立.但
TSIITs PPPP
所以 TsTSII PPPP
由 的任意性,因此 PI = PI ,因而平面图形 P可求面积. 推论 平面有界图形 P 的面积为零的充要
条件是它的外面积 0PI ,即对任给的 0 ,存在直线网T ,使得,
TSP
或对任给的 0 ,平面图形 P能被有限个其面
积总和小于 的小矩形所覆盖.
定理 13.3 若曲线 K为由定义在 ba, 上
的连续函数 xf 的图象,则曲线K的面积为零.
证 由于 xf 在闭区间 ba, 上连续函数,
从而一致连续.因而对任给的 0 ,总存在
0 ,当把区间 ba, 分成 n个小区间 ii xx ,1 ni ,,1 并且满足
nixxx iii ,,1max 1 时,可使
在每个小区间 ii xx ,1 上的振幅都成立
abi
abi
现把曲线 K按自变量 nxxxx ,,, 10 分成n个小段, 这时每一个小段都能被以 ix 为宽, i 为高的小矩形甩覆盖.由于这个小矩形面积的总和为
n
i
n
iiii x
abx
1 1
所以由定理 13.1的推论即得曲线 K的面积为零.
还可证明得到:
由参量方程 ttYtx , 所表示的光滑曲线或按段光滑曲线,其面积为零.
柱体体积 = 底面积 ×高特点:平顶 .
柱体体积 = ?特点:曲顶 .
),( yxfz
D
1.曲顶柱体的体积
二 二重积分的定义及其存在性
播放播放
求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、取极限”的方法,如下动画演示.
解:对区域 D 进行网状分割(如图)
ni
nD
,,
)1
21 ,,个小区域:可分割成区域
曲顶柱体的体积 一曲顶柱体其顶为曲面 底面为平面区域 D, 求此曲顶柱体的体积。
),( yxfz
x
z
yo
D
),( yxfz
i
),( ii
.),(lim1
0ii
n
iifV
曲顶柱体的体积
3 )求和:所有小区域对应小曲顶柱体体 积之和为
4 )取极限:
n
iiiifV
10
,lim
2 )近似:每个个小区域 i 内任取一点 ),,( ii 则每个小曲顶柱体的体积近似为:
iiii fV ).,(
n
iiii
n
ii fV
11
),(
其中 的直径ini
1max
2 平面薄片的质量
2 )取点
3 )作和
4 )取极限
iii ,
n
iiiirLimM
10
,
ni
nD
,,
)1
21 ,,个小区域:可分割成区域
设平面薄片占有 xoy 面上的区域为 D ,它在点( x , y ) 处的密度为求:此薄片的质量
),( yxr
n
iiiir
1
, x
y
oi
),( ii
定义 设 ),( yxf 是有界闭区域D上的有界函数,
将闭区域 D任意分成 n个小闭区域 1 ,
,2 , n ,其中 i 表示第i个小闭区域,
也表示它的面积,在每个 i 上任取一点 ),( ii ,
作乘积 ),( iif i , ),,2,1( ni ,
并作和 ii
n
iif
),(
1
,
3. 二重积分的概念
积分区
积分区
域域
如 果 当 各 小 闭 区 域 的 直 径 中 的 最 大 值 趋 近 于 零时 , 这 和 式 的 极 限 存 在 , 则 称 此 极 限 为 函 数
),( yxf 在 闭 区 域 D 上 的 二 重 积 分 ,记 为
D
dyxf ),( ,
即 D
dyxf ),( ii
n
iif
),(lim
10.
积分积分和和
被积函
被积函
数数积分变
积分变
量量被积表达
被积表达
式式面积元
面积元
素素
注: 1 ) 在二重积分定义中,对区域 D 的划分是任意的,故 如果在直角坐标系中用平
边界的一些小闭区域外,其余的小闭区域
jx
则 kji yx
故在直角坐标系中,
都是矩形闭区域。设矩形小闭区域 i的边长为 ,ky和
行于坐标轴的直线网来划分 D ,则除了包含,
0
x
y
D
jx
ik y
直角坐标系下面积元素 d 图示
D
dxdyyxf ),(
,dxdyd
D
dyxf ,
2 )由二重积分的定义可知:曲顶柱体的体积是函数 ),( yxf
在 D 上的二重积分 ,),(D
dyxfV
平面薄片的质量是面密度 ),( yx 在薄片所占闭区域 D 上的
二重积分: .),(D
dyxM
3 ) 二重积分的几何意义:( 1 )如果
,0, yxf 则二重积分 D
dyxf , 解释为曲顶柱体的体积。
( 2 )如果
,0, yxf 则二重积分 D
dyxf , 解释为曲顶柱体体积的负值。
( 3 )如果 ,, 既有正又有负yxf 则二重积分 D
dyxf ,
解释为曲顶柱体体积的代数和。(其中 xoy 面上方柱体的体积取正, xoy 面下方柱体的体积取负)。
例:用定义计算二重积分 ]1,0;1,0[
2 ydx
解:用直线网 ),1( , , njin
jy
n
ix
分割该正方形 , 在每个正方形上取其右上顶点为介点 .
n
i
n
jn
n
i
n
jn
D
jinnnn
j
n
i
1 1
25
1 1
21
lim11
lim
n
in
n
jn
nnnnn
nji
15
1
2
6
1
2
)1()12)(1(
6
11limlim
4. 可积条件 :
可积的必要条件: yxf , 在可求面积的区域D上有界.
上和与下和: 函数 yxf , 在可求面积的区域D上有界
时,T是 D的一个分割,把 D分成 n个可求面积的小区域 n ,,1 令
yxfM
iyxi ,sup
,
yxfmiyx
i ,inf,
ni ,,1
yxf , 关于分割 T的上和与下和:
N
IiiMTS
N
IiimTs
定理 13.4 yxf , 在 D上可积的充要条件是:
TST 0lim
TsT 0lim
=
定理 13.5 yxf , 在 D上可积的充要条
件是:对于任给的正数 ,存在 D的某个分割
T ,使得 TsTS .
定理 13 . 6 有界闭区域 D 上的连续函数必可积.
定理 13. 7 设 yxf , 是定义在有界闭区域 D上的有界函数.若 yxf , 的不连续点都落在有限条光滑曲线上,则 yxf , 在 D上可积. 证 不失一般性,可设 yxf , 的不连续点全
部落在某一条光滑曲线 L上.记 L的长度为 l,
于是对任给的 >0,把 L等分成1
l
n段:
nLL ,,1 在每段 iL 上取—点 iP,使 iP与其一端点的弧长
为 n
l
2 ,以 iP为中心作边长为 的正方形 i ,
则 iL i ,从而有 n
iiL
1
记
n
ii
1
,
则为一多边形.设的面积为W ,那么
l
llnW 222 11
现在把区域 D 分成两部分.第一部分
DD1 .第二部分 121 DDD .
由于 yxf , 在 2D 上连续,根据定理 21 6 与
定理 13 5,存在 2D 的分割 2T ,使得
22 TsTS
.
又记
yxfMyx
,sup,
yxfm
yx,inf
,
以T表示由 2T 与多边形的边界所组成的区域 D的分割,则有
WWmWMTsTSTsTS 22
ll 1其中是 yxf , 在 D上的振幅.由于 yxf , 在 D
上有界,故是有限值.于是由定理 13,5就
证明了 yxf , 在上可积 .
性质1 当 为常数时 ,k
.),(),( DD
dyxfkdyxkf
性质2 D
dyxgyxf )],(),([
.),(),( DD
dyxgdyxf
(二重积分与定积分有类似的性质)
三、二重积分的性质
性质3 对区域具有可加性
.),(),(),(21
DDD
dyxfdyxfdyxf
性质4 若 为 D 的面积, .1 D D
dd
性质5 若在 D 上 ),,(),( yxgyxf
.),(),( DD
dyxgdyxf
特殊地 .),(),( DD
dyxfdyxf
)( 21 DDD
则有
例 1 比较下列积分的大小:
1 ) D
dyx 2)( 与 D
dyx 3)(
其中 D: 2)1()2( 22 yx
0
y
x(3,0)(1,0)
(0,1)
1 yx
.
D
解:在区域 D 内,显然有,1 yx 故在 D 内
32 )()( yxyx
DD
dyxdyx 32 )()(
, 其中区域 D 为
顶点为 A(1 , 0)B(1 , 1) , C(2 , 0) 的三角形闭区域。
2 ) DD
dyxdyx 2)][ln( )ln( 与
解:BC 的方程 x+y=2
D 内 1y)ln(x0 ,21 yx
DD
dyxdyx 2)][ln()ln(所以
A(1,0) B(2,0)
B(1,1)
性质 6 (估值定理) 设在 D 上 f(x,y) 的最大值为 M ,最
小值为 m , A 为 D 的面积,即Mxfm )( 则 MAdyxfmA
D
),(
证明: 因为 Mxfm )(
由性质 5
DDD
Mddyxfmd ),(
MAdyxfmAD
),(所以
例 2
20,10
,)1(
yxD
dyxID
是矩形闭区域:其中
解:
在 D 内的最大值为 4 ,最小值为 1
区域 D 的面积为 2
所以由性质 6得
812 D
dyx )(
( , ) 1f x y x y
性质 7( 中值定理 ) ),( yxf设函数
D 连续,为 之面积 , 则在 D 上至少存在一 ),( 使得:
).,(, fdyxfD
证明:由性质 6 得,
D
Mdyxfm
),(1
点在闭区域
根据据闭区域上连续函数的介值定理,在 D 上至少存在一点 ),,(
D
dyxff
),(),( 1
使得
即 D
fdyxf ),(),(
例 3 不作计算,估计 deID
yx )( 22
的值,
其中D是椭圆闭区域: 12
2
2
2
by
ax
)0( ab .
在D上 2220 ayx ,
,12220 ayx eee
由性质 6知 ,222 )( a
D
yx ede
解
deD
yx )( 22
ab .2aeab
区域D的面积 ,ab
例 4 估计
D xyyx
dI
16222
的值,
其中 D: 20,10 yx .
区域面积 2 ,,16)(
1),(
2
yxyxf
在D上 ),( yxf 的最大值 )0(41
yxM
),( yxf 的最小值51
43
122
m )2,1( yx
故42
52
I .5.04.0 I
解
例 5 判断
1
22 )ln(yxr
dxdyyx 的符号.
当 1 yxr 时, ,1)(0 222 yxyx
故 0)ln( 22 yx ;
又当 1yx 时, ,0)ln( 22 yx
于是 0)ln(1
22 yxr
dxdyyx .
解
二重积分的定义
二重积分的性质
二重积分的几何意义(曲顶柱体的体积)
(和式的极限)
四、小结
思考题
将二重积分定义与定积分定义进行比较,找出它们的相同之处与不同之处 .
定积分与二重积分都表示某个和式的极限值,且此值只与被积函数及积分区域有关.不同的是定积分的积分区域为区间,被积函数为定义在区间上的一元函数,而二重积分的积分区域为平面区域,被积函数为定义在平面区域上的二元函数.
思考题解答
13.2 13.2 直角坐标系下重积分的计算直角坐标系下重积分的计算
第第 1313 章 重积分章 重积分
复习:曲顶柱体的体积
求以曲面
为顶,底面为矩形
的曲顶柱体的体积。
)0),((),,( yxfyxfz
],;,[ dcba
y
x
z
Oa
b
c d
),( yxfz
i
),( ii
iiii fV ),(y
x
z
Oa
b
c d
),( yxfz
取极限求和近似代替分割分割 近似代替 求和 取极限
n
iiii
n
ii fVV
11
),(
n
iiii
dfV
10
),(lim
求曲顶柱体体积步骤如下:
⑴ 分割:将矩形 任意分为 n 块可求面积的小块],;,[ dcba
n ,,, 21
其面积仍记为 。相应地将曲顶柱体分割
成 n 个小曲顶柱体,分别记为n ,,, 21
nVVV ,,, 21
⑵ 近似代替:在每一小块上任意取一点 则小曲
顶柱体的体积 可用直柱体的体积近似代替,即
),( iiiM
iV
iiii fV ),(
由于此曲顶柱体的底面是一矩形,所以此曲顶柱体的体积还可以用另一种方法来计算。
先复习定积分应用中的一个结果:设空间立体位于平面
与平面 之间,用与 轴垂直的平面截立
体,截得截面的截面面积为 ,则此立体的体积为
ax bx x
)(xs
b
adxxsV )(
)(xs
a bx
y
x
z
Oa
b
c d
)(xS
作与 轴垂直的平
面,设截得曲顶柱
体截面的面积为 )(xS
x
立体位于平面
与平面 之间,
ax
bx
则曲顶柱体体积为
b
adxxsV )( x
而 就是平面 上, 由曲线 与直线
所围成的曲边梯形的面积,所以
)(xS xX ),( yxfz
0,, zdycy
d
cdyyxfxS ),()(
从而
d
c
b
a
b
a
d
c
b
adyyxfdxdxdyyxfdxxsV ),(),()(
因此 d
c
b
adcba
dyyxfdxdxdyyxf ),(),(],;,[
b
a
d
cdcba
dxyxfdydxdyyxf ),(),(],;,[
类似地,也可以用与 轴垂直的平面来截曲顶柱体,同样可得
y
从上面的分析,可以得到下列结果:
b
a
d
c
d
c
b
adcba
dxyxfdydyyxfdxdxdyyxf ),(),(),(],;,[
d
c
b
adcba
dyyxfdxdxdyyxf ),(),(],;,[
定理 13.8 设 在矩形 上可积,
含参变量积分 存在,则
],;,[ dcba),( yxf ],[ bax
d
cdyyxfxF ),()(
b
a
d
cdcba
dxyxfdydxdyyxf ),(),(],;,[
设 在矩形 上可积,
含参变量积分 存在,则
],;,[ dcba),( yxf ],[ dcy
b
adxyxfyJ ),()(
类似地可以给出先对 后对 积分的结果:yx
设 在矩形 上连续,则
d
c
b
a
b
a
d
cdcba
dyyxfdxdxyxfdydxdyyxf ),(),(),(],;,[
],;,[ dcba),( yxf
我们经常使用的是连续函数,对连续函数有下列结果:
定理 13.9
前面讨论了矩形区域上的二重积分的计算方法,下面考虑一般区域上二重积分的计算。
根据积分区域的特点,分三种情况讨论。
}),()(|),{( 21 bxaxyyxyyxD
y
x
)(2 xyy
)(1 xyy
a b
这种区域的特点是:与 轴垂直的直线与区域的边界至多有两个交点,或者有部分边界是平行于 y 轴的直线段。
x
这时二重积分可化为先对 后对 的二次积分。y x
第一种情形:
积分区域 D 由两条曲线
及两条直线
围成,即
)(),( 21 xyyxyy
bxax ,
)(
)(
2
1
),(),(xy
xy
b
aD
dyyxfdxdxdyyxf
作包含此积分区域的矩形 ],;,[ dcba
令
Dyx
DyxyxfyxF
),(,0
),(),,(),(
于是
)(
)(
],;,[
2
1
),(),(
),(),(
xy
xy
b
a
d
c
b
a
dcbaD
dyyxfdxdyyxFdx
dxdyyxFdxdyyxf
y
x
)(2 xyy
)(1 xyy
a b
c
d
x
}),()(|),{( 21 dycyxxyxyxD
第二种情形:
积分区域 D 由曲线
及直线
围成,即
)(),( 21 yxxyxx
dycy ,
)(
)(
2
1
),(),(yx
yx
d
cD
dxyxfdydxdyyxf
这时二重积分可化为先对 后对 的二次积分。yx
)(1 yxx )(2 yxx
y
d
c
xo
这种区域的特点是:与 轴垂直的直线与区域的边界至多有两个交点,或者有部分边界是平行于 x 轴的直线段。
y
第三种情形:一般情形,这时可用平行于 轴与平行于 轴的直线将积分区域分成上述两种情形求解。
yx
1D2D
3D4D
X 型区域的特点: 穿过区域且平行于 y 轴的直线与区域边界相交不多于两个交点 .
Y 型区域的特点:穿过区域且平行于 x 轴的直线与区域边界相交不多于两个交点 .
若区域如图,3D
2D1D
在分割后的三个区域上分别使用积分公式
.321
DDDD
则必须分割 .
xy 1
例1 改变积分 x
dyyxfdx1
0
1
0),( 的次序.
原式
y
dxyxfdy1
0
1
0),( .
解 积分区域如图
xy 2
22 xxy
例 2 改 变 积 分
xxx
dyyxfdxdyyxfdx2
0
2
1
2
0
1
0),(),(
2
的 次 序 .
原式
1
0
2
11 2 ),(y
ydxyxfdy .
解 积分区域如图
例 3 改变积分 )0(),(2
0
2
2 2 adyyxfdx
a ax
xax
的次序 .
axy 2解
= a yaa
ay
dxyxfdy0
2
22
2 ),(原式
a a
yaadxyxfdy
0
2
22 ),( .),(2 2
2
2 a
a
a
a
y dxyxfdy
22 xaxy 22 yaax a2a
a2
a
例4 求D
dxdyyx )(2 ,其中D是由抛物线
2xy和 2yx所围平面闭区域.
解 两曲线的交点
),1,1(,)0,0(2
2
yx
xy
D
dxdyyx )( 2 1
0
22 )(x
xdyyxdx
dxxxxxx )](21
)([ 421
0
2 .14033
2xy
2yx
2xy
2yx
例5 求D
ydxdyex22 ,其中D是以 ),1,1(),0,0(
)1,0(为顶点的三角形.
dyey2 无法用初等函数表示解
积分时必须考虑次序
D
y dxdyex22
yy dxexdy
0
21
0
2
dyy
e y 1
0
3
3
2 21
0
2
6
2
dyy
e y ).2
1(61
e
例6 计算积分 y
x
y
dxedyI21
21
41
y
y
x
y
dxedy1
21
.
解 dxexy
不能用初等函数表示
先改变积分次序.
原式 x
x
x
y
dyedxI2
21
1
1
21
)( dxeex x .21
83
ee
2xy
xy
例7 求由下列曲面所围成的立体体积,yxz ,xyz, 1yx ,0x,0y .
解 曲面围成的立体如图 . z
y
x
o
,10 yx ,xyyx
所求体积 D
dxyyxV )(
1
0
1
0)(
xdyxyyxdx
1
0
3 ])1(21
)1([ dxxxx .247
所围立体在xoy面上的投影是
例 8 求两个底面半径相同的直交圆柱所围立体的体积 V.
解 设这两个直交圆柱面的方程为:
222 ayx 222 azx 由图形的对称性
D
dxa 22
a xa
dyxadx0 0
22
22
a
dxxa0
22 3
3
16a
V =8
=8
=8 =
二重积分在直角坐标下的计算公式
(在积分中要正确选择积分次序)
二、小结
.),(),()(
)(
2
1 D
b
a
x
xdyyxfdxdyxf
.),(),()(
)(
2
1 D
d
c
y
ydxyxfdydyxf
[ Y -型]
[ X -型]
设 )(xf 在 ]1,0[ 上连续,并设 Adxxf 1
0)( ,
求 11
0)()(
xdyyfxfdx .
思考题
1
)(x
dyyf 不能直接积出,改变积分次序.
令 11
0)()(
xdyyfxfdxI ,
思考题解答
则原式 y
dxyfxfdy0
1
0)()( .
,)()(0
1
0 x
dyyfdxxf
故 11
0)()(2
xdyyfdxxfI
xdyyfdxxf
0
1
0)()(
])()[()(1
0
1
0dyyfdxxf
x
x
.)()( 21
0
1
0Adyyfdxxf
13.313.3 格林格林 (Green)(Green) 公式公式曲线积分与路径无关的条件曲线积分与路径无关的条件
第第 1313 章 重积分章 重积分
一、区域连通性的分类 设 D 为平面区域 , 如果 D 内任一闭曲线所围成的部分都属于 D, 则称 D 为平面单连通区域 , 否则称为复连通区域 .
复连通区域单连通区域
DD
设空间区域 G, 如果 G 内任一闭曲面所围成的区域全属于 G, 则称 G 是空间二维单连通域 ; 如果 G 内任一闭曲线总可以张一片完全属于 G的曲面 , 则称 G 为空间一维单连通区域 .
G
G
G
一维单连通
二维单连通一维单连通
二维不连通
一维不连通
二维单连通
设闭区域D由分段光滑的曲线L围
成,函数 ),(),( yxQyxP 及 在D上具有一阶连
续偏导数, 则有
LD
QdyPdxdxdyyP
xQ
)( (1)
其中L是D的取正向的边界曲线,
公式(1)叫做格林公式.
二、格林公式定理 1
连成与由 21 LLL 组成与由 21 LLL
边界曲线 L 的正向 : 当观察者沿边界行走时 ,区域 D 总在他的左边 .
2L
D1L
2L
1L
D
}),()(),{( 21 bxaxyxyxD
证明 (1)
若区域D既是 X型又是Y型,即平行于坐标轴的直线和L至多交于两点.
}),()(),{( 21 dycyxyyxD
y
xo a b
D
c
d
)(1 xy
)(2 xy
A
B
C
E
)(2 yx
)(1 yx
dxxQ
dydxdyxQ y
y
d
cD
)(
)(
2
1
d
c
d
cdyyyQdyyyQ )),(()),(( 12
CAECBE
dyyxQdyyxQ ),(),(
EACCBE
dyyxQdyyxQ ),(),(
LdyyxQ ),(
同理可证
L
D
dxyxPdxdyyP
),(
y
xo
d
)(2 yx
D
c C
E
)(1 yx
若区域D由按段光滑的闭曲线围成.如图,
证明 (2)
L1L
2L3L
D1D
2D3D
两式相加得
LD
QdyPdxdxdyyP
xQ
)(
将D分成三个既是X型又是Y型的区域1D,2D,3D.
321
)()(DDDD
dxdyyP
xQ
dxdyyP
xQ
321
)()()(DDD
dxdyyP
xQ
dxdyyP
xQ
dxdyyP
xQ
321 LLL
QdyPdxQdyPdxQdyPdx
L
QdyPdx
1D
2D3D
L1L
2L3L
),( 32,1 来说为正方向对DLLL
G
D
3L
2L
F
C
E
1LA
B
证明 (3)
若区域不止由一条闭曲线所围成.添加直线段AB,CE.则D的边界曲线由AB, 2L,BA,AFC,CE, 3L, EC及CGA构成.
由 (2) 知
D
dxdyyP
xQ
)(
CEAFCBALAB 2
{ CGAECL
QdyPdx )(}3
L
QdyPdx
2 3 1
))((L L L
QdyPdx
),( 32,1 来说为正方向对DLLL
便于记忆形式 :
LD
QdyPdxdxdyQP
yx .
格林公式的实质: 沟通了沿闭曲线的积分与
二重积分之间的联系.
x
y
o L
例1 计算ABxdy,其中曲
线AB是半径为r的圆在第一象限部分.
解 引入辅助曲线L,
1. 简化曲线积分三、简单应用
A
B
D
BOABOAL
应用格林公式, xQP ,0 有
L
D
xdydxdy
, BOABOA
xdyxdyxdy
,0,0 BOOAxdyxdy由于
.41 2rdxdyxdy
DAB
例 2 计 算
D
y dxdye2
, 其 中 D 是
以 )1,0(),1,1(),0,0( BAO 为 顶 点的 三 角 形 闭 区 域 .
解 令2
,0 yxeQP ,
2. 简化二重积分
x
y
o
AB
1
1D
则 2ye
yP
xQ
,
应用格林公式,有
BOABOA
y
D
y dyxedxdye22
1
0
22
dxxedyxe x
OA
y
).1(21 1 e
例3 计算
L yxydxxdy22 ,其中L为一条无重点,
分段光滑且不经过原点的连续闭曲线,L的方向为逆时针方向.
则当 022 yx 时, 有yP
yxxy
xQ
222
22
)(.
记L所围成的闭区域为D,解
令 2222 ,yx
xQ
yxy
P
,
L
(1) 当 D)0,0( 时,
(2) 当 D)0,0( 时,
1D
r
l
x
y
o
LD
由格林公式知
L yxydxxdy
022
作位于D内圆周 222: ryxl ,
记1D由L和l所围成,
应用格林公式,得
y
xo
lL yxydxxdy
yxydxxdy
2222x
y
o r
1Dl
L02222
lL yxydxxdy
yxydxxdy
(其中l的方向取逆时针方向).2
( 注意格林公式的条件 )
d
r
rr2
2222 sincos
2
0
格林公式:
LD
QdyPdxdxdyyP
xQ
)(
取 ,, xQyP 得 L
D
ydxxdydxdy2
闭区域D的面积 L
ydxxdyA21
.
取 ,,0 xQP 得 LxdyA
取 ,0, QyP 得 LydxA
3. 计算平面面积
曲 线 AMO 由 函 数],0[, axxaxy 表 示 ,
例4 计算抛物线 )0()( 2 aaxyx 与x轴所围成的面积.
解 ONA为直线0y .
L
ydxxdyA21
AMOONA
ydxxdyydxxdy21
21
)0,(aAN
M
AMO
ydxxdy21
dxxaxdxax
ax
a)()1
2(
21 0
.61
42
0adxx
a a
)0,(aAN
M
其中 L 是曲线 |x|+|y|=1 围成的区域 D 的正向边界。
1
1
-1
-1
L
D
y
xO
格林公式的应用 格林公式的应用
(格林公式)
从
证明了:
例 1 计算积分
L
xx yyxyy d)1cose(d)sine(
解
D
x ycose( yxyx dd)1cose
222 A
D
yxy
P
x
Qdd
L
yyxQxyxP d),(d),(
L
xx yyxyy d)1cose(d)sine( ①②
③ ④
例 2 求星形线 tytxL 33 sin,cos : 所界图形的面积。
解 D
yxA dd
L
yxd
2
π
0
64 d]cos[cos12 ttt
π2
0
24 dsincos3 t �tt
8
3
22
1
4
3
6
5
22
1
4
312
y
xO
D
L
1
1
-1
-1
重要意义: 1. 它建立了二重积分与曲线积分的一种等式关系
2.它揭示了函数在区域内部与边界之间的内在联系
4.它的应用范围可以突破右手系的限制,使它的应用 3. 从它出发,可以导出数学物理中的许多重要公式
更加广泛,而这只需要改变边界的正向定义即可。
D
yxy
P
x
Qdd
1L
QdyPdx
则称曲线积分 L
QdyPdx
四、曲线积分与路径无关的定义
2L
QdyPdx
如果对于区域 G 内任意指定的两点 A 、 B 以及 G 内从点 A 到点 B 的任意两条曲线 L1 , L2 有
否则与路径有关.
G
y
xo
B
A
1L
2L
在 G 内与路径无关,
1L
QdyPdx 2L
QdyPdx .0L QdyPdx
)( 21 LLL
定理 13.12 设开区域D是一个单连通闭区域, 函数 ),,( yxP ),( yxQ 在 D内具有一阶连续偏导数,则以下四个条件等价:
( )
( , ) ( , ) 0L
i D L
P x y dx Q x y dy 沿 内任一按段光滑封闭曲线 ,有
( )
( , ) ( , )
, ;L
ii D L
P x y dx Q x y dy
L
对 内任一按段光滑曲线 ,曲线积分
与路线无关只与 的起点及终点有关ⅲ( ) QdyPdx 是D内某一函数u的全微分,即
du QdyPdx ; ⅳ( )在D内处处成立 x
Q
y
P
证 ⅰ( ) ⅱ( )如图
ARB
QdyPdx ASB
QdyPdx
ARB
QdyPdx BSA
QdyPdx
ARBSA
QdyPdx
=
= =0
所以 ARB
QdyPdx = ASB
QdyPdx
ⅱ( ) ⅲ( )
设 0 0,A x y 为D内一定点,
yxB , 为D内任意一点,
ⅱ由( )曲线积分 AB
QdyPdx
与路线的选择无关,
故当 yxB , 在D内变动时,其积分值是 yxB , 的函数,即有
,AB
u x y Pdx Qdy 取 x 充分小,使 Dyxx , ,由于积分与路线无关
故函数 yxu , 对于的偏增量
, ,AC AB
u x x y u x y Pdx Qdy Pdx Qdy
BCPdx Qdy
其中直线段 BC平行于 x轴由积分中值定理可得
, ,BC
u u x x y u x y Pdx Qdy
, ,x x
xPdx Qdy P x x y x
其中 10 ,由 yxP , 在D上的连续性
x
u
yxxP
x
uxx
,limlim00
yxP ,= =
, .u
Q x yy
同理可证 因此
.du Pdx Qdy ⅲ( ) ⅳ( )设存在 yxu , ,使得 QdyPdxdu
, , , , , .P x y u x y Q x y u x yx y
所以 因此
2 2
, .P u Q u
y x y x y x
因 yxP , , yxQ , 在区域D内有连续的偏导数,所以 2 2
.u u
x y y x
从而在D内每一点处有 .P Q
y x
ⅳ( ) ⅰ( )
设 L为D内任一按段光滑封闭曲线,记 L 所
围的区域为 .由于D为单连通区域,所以 .D 于是,在 内 .
P Q
y x
应用格林公式,有
dyP
xQ
dyyxQdxyxPD
C
)(),(),( .0
即在区域为 内曲线积分 L
dyyxQdxyxP ),(),(
与路径无关 .
, xQ
yP
若
),(
),(11
00
yxB
yxAQdyPdx
dyyxQdxyxPy
y
x
x),(),( 1
0
1
010
),( 01 yxC
),( 11 yxB
),( 00 yxA
dxyxPdyyxQx
x
y
y),(),( 1
0
1
010 或
x
y
o
L L
QdyPdx 则
CBAC
),( 10 yxD
AD DB
与路径无关
例 5 验证 L
yy dyyxedxxe )2()( .与路径无关,
并求之。其中 L为过三点 )0,0(o , )1,0(A , )2,1(B
的圆周,由 )0,0(o 到 )2,1(B 的曲线弧.
解
因此,积分与路径无关。
.2),( ,),( yxeyxQxeyxP yy 设
则 P , Q 在全平面上有连续的一阶偏导数,且
,yeyP .ye
xQ
. xQ
yP
即
o x
y
1
1
2
全平面是单连通域。
o x
y
1
1
2
取一简单路径: L1 + L2.1L
2L
.10: ,0 :1 xyL .20: ,1 :2 yxL
L
yy dyyxedxxe )2()(
21
)2()()2()(L
yyL
yy dyyxedxxedyyxedxxe
2
0
1
00 )21()( dyyedxxe y
.272 e
因此,积分与路径无关。
,yeyP .ye
xQ
. xQ
yP
即 全平面是单连通域。
例 6 计算 L
dyyxdxxyx )()2( 422 . 其中
L为由点 )0,0(o 到点 )1,1(B 的曲线弧2
sin xy .
解
因此,积分与路径无关。
. xQ
yP
即
o x
y
1
1
.),( ,2),( 422 yxyxQxyxyxP 设
则 P , Q 在全平面上有连续的
一阶偏导数,且,2x
yP
.2xxQ
全平面是单连通域。
o x
y
1
1
1
0
1
0422 )1()02( dyydxxx .
1523
因此,积分与路径无关。
. xQ
yP
即
,2xyP
.2xxQ
全平面是单连通域。
取一简单路径: L1 + L2.
.10: ,0 :1 xyL .10: ,1 :2 yxL
1L
2L
L
dyyxdxxyx )()2( 422
21
)()2()()2( 422422LL
dyyxdxxyxdyyxdxxyx
x
y
o
) ,( yxB
),( 00 yxA
G
dyyxQdxyxPyxuy
y
x
x),(),(),(
000
dxyxPdyyxQyxux
x
y
y),(),(),(
000 或
CBAC
DBAD
设开区域G是一个单连通域, 函数 ),,( yxP ),( yxQ
在G内具有一阶连续偏导数, 则 QdyPdx 在G内为
某一函数 ),( yxu 的全微分的充要条件是等式
xQ
yP
在G内恒成立.
),( 0yxC
),( 0 yxD
解
,2)( 2 xyxyyy
P
.2)( 2 xyyxxx
Q
,),( 2xyyxP .),( 2 yxyxQ
例 7 验证:在 xoy 面内, ydyxdxxy 22 是某个函数
u (x, y) 的全微分,并求出一个这样的函数。
这里 且
在整个 xoy 面内恒成立。xQ
yP
即,
因此,在 xoy 面内, ydyxdxxy 22 是某个函数
u (x, y) 的全微分。
dyyxdxxyxuyx
0),(0
20
2
.0 ,0 00 yx取
.2
22 yx
例 8 设曲线积分 L
dyxydxxy )(2 与路径无
关, 其中具有连续的导数, 且 0)0( ,
计算 )1,1(
)0,0(
2 )( dyxydxxy .
积分与路径无关xQ
yP,
解
,2)( 2 xyxyyy
P
),()]([ xyxyxx
Q
,),( 2xyyxP ),(),( xyyxQ
由 0)0( ,知 0c 2)( xx .
故 )1,1(
)0,0(
2 )( dyxydxxy
由 xyxy 2)( cxx 2)(
1
0
1
00 ydydx .
21
1. 连通区域的概念 ;2. 二重积分与曲线积分的关系
3. 格林公式的应用 .
——格林公式 ;
LD
QdyPdxdxdyyP
xQ
)(
五、小结
与 路 径 无 关 的 四 个 等 价 命 题
条件
在单连通开区域D上 ),(),,( yxQyxP 具有连
L
QdyPdxD 与路径无关内在)1(
C
DCQdyPdx 闭曲线 ,0)2(
QdyPdxduyxUD ),()3( 使内存在在
xQ
yPD
,)4( 内在
等
价
命
题
续的一阶偏导数,则以下四个命题成立.
若区域 如图为复连通域,试描述格林公式中曲线积分中 L的方向。
LD
QdyPdxdxdyyP
xQ
o x
y
A B
CD
E F
G
思考题
思考题解答
o x
y
A B
CD
E F
G由两部分组成L
外边界:内边界:
BCDAB
EGFE
13.413.4 重积分的变量变换重积分的变量变换
第第 1313 章 重积分章 重积分
一 二重积分的变量变 换公式引理 设变换T: vuxx , , vuyy , 将uv平面上由按段光滑封闭曲线所围成的闭区
域,一对一地映成 xy平面上的闭区域D,函数 vuxx , , vuyy , 在内分别具有一阶连续偏导数且它们的函数行列式
0),(
),(
vu
yxJ , vu, ,
则区域的面积 D =
dudvvuJ
,
证 现给出 vuyy , 在内分别具有二阶连
续偏导数时的证明.
由于变换T是一对一的,且 vuJ , 0,因而T
把的内点变为D的内点,所以的按段
光滑边界曲线 L 变换到D时,其边界曲线 DL
也是按段光滑曲线,设曲线 L 的参数方程为
u = tu ,v = tv t 由于 L 按段光滑,所以 tu , tv 在 , 上至多除去有限个第一类间断点外,在其他点
上都是连续的.因为 LTLD ,所以 DL 的参数方程为:
,, tvtuxtxx
,, tvtuyty t
若规定 t从变 到时,对应于 DL 的正向,则根据格林公式,取 xyxQyxP ,,0, ,有
D = dttytxxdyDL
dttvv
ytu
u
ytvtux
,= ( 6 )
另一方面,在uv平面上
L
dvv
ydu
u
yvux ,
dttv
v
ytu
u
ytvtux
,= ( 7 )
其中正号及负号分别由 t从变 到时,是对
应于 DL 的正向或是负方向所决定.由(6)及(7)得到
D
L
dvv
ydu
u
yvux ,=
=
L
dvv
yvuxdu
u
yvux ,,
令 u
yvuxvuP
,, v
yvuxvuQ
,,
在平面uv上对上式应用格林公式,得到
D =
dudvv
P
u
Q
由于函数 vuyy , 具有二阶连续偏听偏信导数,即有
uv
y
vu
y
22
因此 v
P
u
Q
= vuJ ,
于是 D
dudvvuJ ,=
又因为 D 总是非负的,而 vuJ , 在上不为零且连
续,故其函数值在上不变号,所以
D = dudvvuJ
,
定理 13.13 设 yxf , 在有界闭区域D上可积,
变换T : vuxx , , vuyy , 将uv平面上由按段
光滑封闭曲线所围成的闭区域一对一地映成 xy平
面上的闭区域D,函数 vuxx , , vuyy , 在内
分别具有一阶连续偏导数且它们的函数行列式
vuJ , vu
yx
,
,
= 0 , vu,
则 D
dxdyyxf ,
dudvvuJvuyvuxf ,,,,=
例 1
解
所围成的闭区域.线
轴和直轴、由其中计算
2
,
yx
yxDdxdyeD
xy
xy
,, xyvxyu 令
.2
,2
uvy
uvx
则
,DD
D
x
y
o
2 yx
D
u
v
o
vuvu
2v
.22
;0
;0
vyx
vuy
vux即
),(),(
vuyx
J
,21
21
21
21
21
D
v
u
D
xy
xy
dudvedxdye21故
v
v
v
u
duedv2
021
2
0
1 )(21
vdvee .1 ee
例 2 求抛物线 mxy 2, nxy 2
和直线 xy ,xy 所围成区域D的面积 D 0,0 nm .
解 D的面积 D D
dxdy=
作变换 v
uy
v
ux ,
2
vuJ , =4v
u
D D
dxdy
dudvv
u4
duv
udv
n
m4
33
332
6 mn
= =
=
=
例 3
解
所围成.及
由其中计算
00
,1.)cos(
yx
yxDdxdyyxyx
ID
,, yxvyxu 令
.2
,2
uvy
vux
则
,DD
D
x
y
o
1 yx
D
u
v
o
vuvu
1v
.11
;0
;0
vyx
vuy
vux即
),(),(
vuyx
J
,21
21
21
21
21
D
dudvJvu
I cos故
v
vdu
vu
dv cos21 1
0
.1sin21
1sin221 1
0 vdv
. drdrd
D
dxdyyxf ),(
二、利用极坐标系计算二重积分面积元素
. drdrdxdy 或
i
i
ii ii rrr
Ao
D
irr
.)sin,cos(D
rdrdrrf
. )sin ,cos()(
)(2
1
drrrrfd
D
rdrdrrf )sin ,cos(
二重积分化为二次积分的公式(1)
区域特征如图
,
).()( 21 r
A
D
o
)(2 r)(1 r
D
dxdyyxf ),(
D :
区域特征如图
,
).()( 21 r
)(2 r)(1 r
Ao
DD
. )sin ,cos()(
)(2
1
drrrrfd
D
rdrdrrf )sin ,cos(
D
dxdyyxf ),(
D :
. )sin ,cos()(
0
drrrrfd
二重积分化为二次积分的公式(2)
区域特征如图
,
).(0 r
)(r
Ao
D
D :
D
dxdyyxf ),(
D
rdrdrrf )sin ,cos(
. )sin ,cos()(
0
2
0 drrrrfd
极坐标系下区域的面积 .D
rdrd
二重积分化为二次积分的公式(3)
区域特征如图
).(0 r,20 D
A
)(r
oD
dxdyyxf ),(
D
rdrdrrf )sin ,cos(
例 1 将D
),( dyxf 化为在极坐标系下的二次积分。
( 1)
x
y
o 2
2 422 yx
x
y
o 4
xyx 422 ( 4)
D( 2)
x
y
o 2
2
2
422 yx
D
x
y
o 2
2
2
2
422 yx( 3) D D
( 1 )
x
y
o 2
2 422 yx解
D
在极坐标系中,闭区域D 可表示为
.20 r,2
0
Ao 2
2rD
),( dyxf
D
drdrrrf )sin ,cos(
. )sin ,cos(2
0
2
0 drrrrfd
( 2 ) 在极坐标系中,闭区域D 可表示为
.20 r,0 x
y
o 2
2
2
422 yx
D
( 2 ) 在极坐标系中,闭区域D 可表示为
.20 r,0
D
),( dyxf D
drdrrrf )sin ,cos(
. )sin ,cos(2
00 drrrrfd
Ao 2
2r
( 3 ) 在极坐标系中,闭区域D 可表示为
.20 r,20 x
y
o 2
2
2
2
422 yx
D
D
),( dyxf
. )sin ,cos(2
0
2
0 drrrrfd
Ao 2
2r( 3)
在极坐标系中,闭区域D 可表示为
.20 r,20
D
D
drdrrrf )sin ,cos(
( 4 )在极坐标系中,闭区域
D 可表示为
.cos40 r,22
x
y
o 4
xyx 422
D
Ao 2
cos4r( 4 )在极坐标系中,闭区域
D 可表示为
.cos40 r,22
D
),( dyxf D
drdrrrf )sin ,cos(
. )sin ,cos(cos4
0
2
2
drrrrfd
2
2
例 2 写出积分 D
dxdyyxf ),( 的极坐标二次积分形式,
其中 ,11|),{( 2xyxyxD }10 x .
1 yx
122 yx解 在极坐标系下
sin
cos
ry
rx
所以圆方程为 1r ,
直线方程为 cossin1
r ,
D
dxdyyxf ),(
.)sin,cos(2
0
1
cossin1
rdrrrfd
D
rdrdrrf )sin,cos(
例 2
解
所围成的闭区域.椭圆
为其中计算
1
,1
2
2
2
2
2
2
2
2
by
ax
Ddxdyby
ax
D
.20,0,0,0 rba其中
,sin
,cos
bry
arx作广义极坐标变换
},20,10),{( rrDD在这变换下
.),(),(
abrr
yxJ
故换元公式仍成立,处为零,内仅当在 0 rDJ
drdabrrdxdyby
ax
DD
22
2
2
2
11 .32
ab
.3例 ,求由曲面 02,0 22 yxxz
.成的立体体积
所围22 yxz
解: 所求立体为曲顶柱体
02 22 yxx
曲顶方程为 22 yxz
的边界方程为底面所在区域D
曲顶柱体的体积
dyxVD 22
02 22 yxx
1)1( 22 yx
为圆心这是以 )0,1(
.1为半径的圆以
Z
X
Y
o21D
用极坐标求解
rdrdrrD 22 )sin()cos(
drdrD 2
2
2
cos20
3 ]3
1[
dr 2
2
3cos3
8
d
2
0
3cos3
16
d 13
2
3
16
9
32
02 22 yxx
0)sin(cos2)cos( 22 rrr
0cos22 rr
0)cos2( rr
或0r cos2r
dyxVD 22
X
Y
o 21drrd
cos2
0
22
2
r
.D这是区域 的边界曲线的极坐标方程
例 4 、求球体 2222 4azyx 被圆柱面 )0(222 aaxyx所截得的(含在圆柱面内部的)立体的体积 .
解:由对称性
体积 dxdyyxaVD 22244
在极坐标系下
20,cos20: arD
rdrdraVD 2244
2
0
cos2
0
2244 rdrrad
a
故
2
0
333
32 )sin1(
da
)( 32
23
332 a
例 5计算 dxdyeD
yx 22
,其中 D 是由中心在原点,
半径为a的圆周所围成的闭区域.
解 在极坐标系下
D: ar 0 , 20 .
dxdyeD
yx 22
a r rdred0
2
0
2
).1(2ae
Ao a
ar
sin
cos
ry
rx
drdreD
r2
a r rded0
22
0)(
21 2
2
0
0
2
21 de
ar
例 6 求椭球体 12
2
2
2
2
2
c
z
b
y
a
x的体积 .
解 V D
dxdyb
y
a
xc
2
2
2
2
1
应用广义极坐标变换
2
0
1
0
21
abrdrrcdV abc3
4
Rcba
3
3
4R
时得到球的体积 当
=8
=8
=
例 7 计算 dxdyyxD
)( 22 。
其中 D为由圆 yyx 222 , yyx 422 及直
线 03 yx , 03 xy 所围的闭区域.
解
32
sin4 r
sin2 r
dxdyyxD
)( 22
yyx 422
yyx 222
03 xy
sincos
ryrx
rdrdrD
2
63
61 03 yx
sin4r
sin2 r
dxdyyxD
)( 22
3
6
sin4
sin22
rdrrd
).83
4(15
rdrdrD
2
3
6
sin4
sin2
4
4
dr
3
64 sin60
d
3
6
2
2
2cos1 15
d
63
sin4r
sin2 r
例 8 求广义积分
0
2
dxe x .
解 }|),{( 2221 RyxyxD
}2|),{( 2222 RyxyxD
}0,0{ yx
}0,0|),{( RyRxyxS
显然有 21 DSD
,022
yxe
1
22
D
yx dxdye S
yx dxdye22
.2
22
D
yx dxdye
1D 2DSS
1D
2D
R R2
又 S
yx dxdyeI22
R
yR
x dyedxe00
22
;)( 2
0
2
R
x dxe
1I1
22
D
yx dxdye
R r rdred
00
22 );1(4
2Re
同理2I 2
22
D
yx dxdye );1(4
22Re
当 R 时, ,41
I ,42
I
故当 R 时, ,4I 即2
0)(
2
dxex4,
所求广义积分
0
2
dxex2.
,21 III
);1(4
)()1(4
222 22
0
RR xR edxee
例 9 计算 dxdyyxD
)( 22 ,其 D为由圆
yyx 222 , yyx 422 及直线 yx 3 0 , 03 xy 所围成的平面闭区域.
解 32
61
sin4 r
sin2 r
dxdyyxD
)( 22
3
6
sin4
sin2
2 rdrrd ).32
(15
yyx 422
yyx 222
03 yx
03 xy
例 10 求曲线 )(2)( 222222 yxayx
和 222 ayx 所围成的图形的面积.
解根据对称性有 14DD
在极坐标系下
)(2)( 222222 yxayx ,2cos2 ar
,222 arayx
1D
例 11 计算二重积分
D
dxdyyx
yx22
22 )sin(,
其中积分区域为 }41|),{( 22 yxyxD .
解 由对称性,可只考虑第一象限部分,
注意:被积函数也要有对称性.
D
dxdyyx
yx22
22 )sin( 4
1
22
22 )sin(
D
dxdyyx
yx
2
10
sin4 2 rdr
rr
d .4
14DD 1D
由
ar
ar 2cos2, 得交点 )
6,(aA ,
所求面积 D
dxdy 1
4D
dxdy
2cos2
0
64a
ardrd
).3
3(2 a
二重积分在极坐标下的计算公式
三、小结
DD
rdrdrrfdyxf )sin,cos(),(
.)sin,cos()(
)(2
1
rdrrrfd
.)sin,cos()(
0
rdrrrfd
.)sin,cos()(
0
2
0 rdrrrfd
(在积分中注意使用对称性)
交换积分次序 :
).0(),(cos
0
2
2
adrrfdI
a
思考题
,cos0
22:
arD
o x
y思考题解答
cosar D
a
ar
arccos
ar
arccos
.),(arccos
arccos0 a
r
a
r
adrfdrI
13.513.5 三重积分三重积分
第第 1313 章 重积分章 重积分
设 ),,( zyxf 是空间有界闭区域上的有界函数,将闭
区域任意分成n个小闭区域 1v , 2v , , nv ,其
中 iv 表示第i个小闭区域,也表示它的体积, 在每个
iv 上任取一点 ),,( iii 作乘积 iiii vf ),,( ,
),,2,1( ni ,并作和, 如果当各小闭区域的直径中的最大值趋近于零时,这和式的极限存在,则称此极限为函数 ),,( zyxf 在闭区域上的三重积分,记为
dvzyxf ),,( ,即
一、三重积分的定义
.),,(lim),,(10
i
n
iiii vfdvzyxf
.叫做体积元素其中dv
,来划分
用平行于坐标面的平面在直角坐标系中,如果
.lkji zyxv 则
三重积记为
dxdydzzyxf ),,( iii
n
ii vf
),,(lim
10
.
.积元素叫做直角坐标系中的体其中dxdydz
三重积分的性质与二重积分的类似。
特别地, 被积函数 1),,( zyxf 时,
的体积
dv .
直角坐标系中将三重积分化为三次积分.二、三重积分的计算
)(1 xyy )(2 xyy
如图,,D
xoy
面上的投影为闭区域
在闭区域
),,(:
),,(:
22
11
yxzzS
yxzzS
,),( 作直线过点 Dyx
穿出.穿入,从从 21 zzx
y
z
o
D),( yx
a
b
),(1 yxzz
),(2 yxzz
2S
1S1z
2z
的函数,则只看作看作定值,将先将 zzyxfyx ),,(,
),(
),(2
1),,(),(
yxz
yxzdzzyxfyxF
上的二重积分在闭区间计算 DyxF ),(
.),,(),(),(
),(2
1
D
yxz
yxzD
ddzzyxfdyxF
,),()(: 21 bxaxyyxyD 得
是 x 、 y 的函数。
dvzyxf ),,( .),,()(
)(
),(
),(2
1
2
1
b
a
xy
xy
yxz
yxzdzzyxfdydx
dvzyxf ),,( .),,()(
)(
),(
),(2
1
2
1
b
a
xy
xy
yxz
yxzdzzyxfdydx
注意
相交不多于两点情形.的边界曲面区域
内部的直线与闭轴且穿过闭区域平行于
S
z
)1(
.分若干个小区域来讨论
相交多于两点时,把的边界曲面闭区域
内部的直线与轴且穿过闭区域若平行于
)2(
S
z
三重积分化为三次积分的过程:
。面上投影,得到向 Dxoy )1(
x
y
z
o
D
)2( 轴投影,得到向 xD
a
b
).()(
, :
21 xyyxy
bxaD
,),( )3( 作直线过点 Dyx
得到 ).,(),( 21 yxzzyxz
1z
2z
),( yx
).,(),(
),()(
,
:
21
21
yxzzyxz
xyyxy
bxa事实上,
dvzyxf ),,( .),,()(
)(
),(
),(2
1
2
1
b
a
xy
xy
yxz
yxzdzzyxfdydx
。面上投影,得到向 Dxoy )1(
)2( 轴投影,得到向 yD
.
),()(: 11
dyc
yxxyxD
,),( )3( 作直线过点 Dyx
得到 ).,(),( 21 yxzzyxz
事实上,
).,(),(
,
),()(
:
21
11
yxzzyxz
dyc
yxxyx
x
y
z
o
D
c d
1z
2z
),( yx
dvzyxf ),,( .),,()(
)(
),(
),(2
1
2
1
d
c
yx
yx
yxz
yxzdzzyxfdxdy
。面上投影,得到向 yzDyoz )1(
)2( 轴投影,得到向 yDyz
.
),()(: 11
bya
yzzyzD
,),( )3( 作直线过点 yzDzy
得到 ).,(),( 21 zyxxzyx
事实上,
).()(
,
),,(),(
:
21
11
yzzyz
bya
zyxxzyx
D),( zy
a
b
x
y
zo
1x
2x
dvzyxf ),,( .),,()(
)(
),(
),(2
1
2
1
b
a
yz
yz
zyx
zyxdxzyxfdzdy
例 1 计算三重积分
xdxdydz,其中为三个坐标
面及平面 12 zyx 所围成的闭区域.
21
1
x
o
z
y
1
。面上投影,得到向 Dxoy
.2
10
,10 : xy
xD
,
),(
的直线轴作平行与过点 zDyx
得到.210 yxz
解
D
于是,
dxdydzx 1
0 0
21
02
1 x yxxdzdydx
1
0 021
0 2
1 xdyxzdx yx
1
0 022
1)2(
xdyxyxxdx
1
0 022 2
1
)( dxxyyxxx
1
032 )2(
41 dxxxx
1
0
432
41
32
241
xxx .
481
于是,
dxdydzx 1
0 0
21
02
1 x yxxdzdydx
,
),(
的直线轴作平行与过点 zDyx
得到.210 yxz
例 2 化三重积分
dxdydzzyxfI ),,( 为三次积分,
其中积分区域 为由曲面 22 2 yxz 及 22 xz 所围成的闭区域.
解 由
2
22
2
2
xz
yxz,
得交线投影区域 ,122 yx
故 :
222
22
22
11
11
xzyx
xyx
x
,
.),,( 1
1
2
2
1
1
2
22
2
2
x
yx
x
xdzzyxfdydxI因此,
故 :
222
22
22
11
11
xzyx
xyx
x
,
o
x
y
z
1
2
例 3 计算三重积分
dxdydzz 。
其中 :平面 ,0 , ,2 ,1 zxyxx 及
yz 2 所围成的闭区域.
。面上投影,得到向 Dxoy
.0
,21:
xy
xD
, ),( 轴的直线作平行与过点 zDyx 得到
.2
0y
z
解
D
.20
0
,21
:
yz
xy
x
,即
于是,
dxdydzz 2
1 0
2
0
x yzdzdydx
o
x
y
z
1
2
。面上投影,得到向 Dxoy
.0
,21:
xy
xD
, ),( 轴的直线作平行与过点 zDyx 得到
.2
0y
z
解
D
.20
0
,21
:
yz
xy
x
,即
2
1 02
81 x
dyydx 2
13
241 dxx .
325
截面法的一般步骤:
(1) 把积分区域向某轴(例如z轴)投影,得投影
区间 ],[ 21cc ;
(2) 对 ],[ 21ccz 用过z轴且平行xoy平面的平面去截
,得截面zD;
(3) 计算二重积分zD
dxdyzyxf ),,(
其结果为z的函数 )(zF ;
(4) 最后计算单积分2
1)(
c
cdzzF 即得三重积分值.
z
zD
例 4 计算三重积分 dxdydzz
2 ,其中 是由椭
球
面 12
2
2
2
2
2
cz
b
y
ax 所成的空间闭区域.
: ,|),,{( czczyx }12
2
2
2
2
2
cz
b
y
ax
原式 ,2 zD
c
cdxdydzz
解
x
y
z
o
zD
|),{( yxDz }12
2
2
2
2
2
cz
b
y
ax
)1()1(2
22
2
22
czb
czadxdy
zD
),1(2
2
czab
c
cdzz
czab 2
2
2)1( .
154 3abc
|),{( yxDz }12
2
2
2
2
2
cz
b
y
ax
原式
因此,
例 5 计算三重积分 dxdydzxy
21 ,其中由曲
面 221 zxy , 122 zx , 1y 所围成.
解 如图 ,
x
y
zo
1
1
1
dzzxxdxx
x 21
221
1
1
12
2
2
2 2
2 2
1 1,
: 1 1 ,
1 1.
x
x z x
x y y
将投影到zox平面得
:xzD 122 zx ,
先对 y积分,再求 xzD 上二重积分,
2 2
12
11
xz
x zD
y x dxdz dy
原式
dxzzxxx
x
)3
(1 1
1
1
1
322
2
2
1
142 )21(
31 dxxx
.4528
dzzxxdxx
x 21
221
1
1
12
2
2
.11
,11
,11
:22
22
yyx
xzx
x2 2
12
11
xz
x zD
y x dxdz dy
原式
定理定理
设变换 T : x = x(u, v, w), y = y(u, v, w),
z = z(u, v, w) 将 uvw 空间中的有界闭区域 uvw 变成 xyz 空间中的有界闭
区域 xyz , 且满足
1) x=x(u, v, w), y= y(u, v, w), z=z(u, v, w)C1(uvw)
三 三重积分换元法
2)
wz
vz
uz
wy
vy
uy
wx
vx
ux
wvuzyx
),,(),,(
0, (u, v, w)uvw
若 f (u, v, w)R(), 则有xyz
zyxzyxf ddd),,(
xyz
wvuwvu
zyxwvuzwvuywvuxf ddd
),,(
),,()),,(),,,(),,,((
例 5. 计算
,2dxdydzxI 其中是由曲面
xzxzbaybyzayz ,),0,0(, 22
)0(),0( hhz 所围成的区域 .
解 : 作变换 ,,,:2
zwx
zv
y
zuT
},0,,|),,{( hwvbuawvu
:变成则 Ω
而
由公式 (5),
1
),,(
),,(
),,(
),,(
zyx
wvu
wvu
zyx
dxdydzxI 2
dwwdvvduuhb
a
0
2
742
3
2
1
.1111
27
2 2
9
33h
ba
2
32
2z
yx .
2
1 2
3
2
u
w
v
dudvdwu
w
vv
w 2
3
22
2
2
1
,0 r
,20
. z
1 、利用柱面坐标计算三重积分
的柱面坐标.就叫点
,则这样的三个数的极坐标为的投影
面上在为空间内一点,并设点设
M
zrrP
xoyMzyxM
, , ,
),,(
规定:
x
y
z
o
),,( zyxM
),( rP
r
简单地说,柱面坐标就是
xoy 面上的极坐标 + z 坐标
.
,sin
,cos
zz
ry
rx
柱面坐标与直角坐标的关系为
为常数r
为常数z
为常数
如图,三坐标面分别为
圆柱面;
半平面;
平 面.r
x
y
z
o
z
),,( zyxM
),( rP
r
x
y
z
o
从而
zz
zy
zx
zyx
rz
ry
rx
zrzyx
),,(),,(
100
0cossin
0sincos
rr
cossin
sincos
rr = r
xyz
zyxzyxf ddd),,(
zr
zrrzrrf
ddd),sin,cos(
所以 ,
一般 , r z 表为 :
r1( ) r2( ),
z1(r, ) z2 (r , )).
,
dxdydzzyxf ),,(
.) ,sin ,cos(
dzddrrzrrf
如图,柱面坐标系中的体积元素为
, dzddrrdv
于是,
d
r
x
y
z
o
dzdrrd
再根据 中 z , r , 的关系,化为三次积分。
一般,先对 z 积分,再对 r ,最后对 积分。
例 6 利用柱面坐标计算三重积分 ,
dxdydzz 其中
所围成的闭区域。与平面是由曲面 4 22 zyxz
解 (1) 画 图(2) 确定 z , r , 的上下限 将 向 xoy 面投影,
得 4 : 22 yxD
或 .20
,20 :
rD
过 (r, )∈D 做平行于 z 轴的直线,得
x
y
z
o
4
x
y
z
o
4
Ao 2
2r
),( r
x
y
z
o
4
),( r
42 zr
.,sin,cos
zzryrx
即
过 (r, )∈D 做平行于 z 轴的直线,得
4
,20
,20
:2
zr
r
于是,
dxdydzz .
dzddrrz
42
0
2
0 2 r
dzzrdrd
Ao 2
2r
, dzddrrdv
dxdydzz
dzddrrz
42
0
2
0 2 r
dzzrdrd
2
0
422
022
drzrdr
2
052
0)(16
21 drrrd
2
0
2
0
62
618
21 drr
2
0
62
6182
21
rr .
364
例 6 求
zdxdydzI ,其中是球面 4222 zyx
与抛物面 zyx 322 所围的立体.
解
zyx
zyx
3
422
222求交线:
x y
z
o
将 向 xoy 面投影,得
.3 : 22 yxD
.1
,322
zyx
o A
3r
或 .30,20
:
rD
dzdrdrzdxdydzzI
.4
13
x y
z
o
2
3
242
0
3
0
rr zdzrdrd
.43
22
rzr
即
过 (r, )∈D 做平行于 z 轴的直线,得
.43
,30,20
:22
rzr
r
),( r
.,sin,cos
zzryrx
, dzddrrdv
或 .30,20
:
rD
例 7 计算三重积分 , )( 22
dvyx 其中 是由曲
所围成。与平面面 )0( 22 HHzyxz
解 将 向 xoy 面投影,得 222 : HyxD
或 .0
,20 :
HrD
x
y
z
o
H
x
y
z
o
H
x
y
o H
H
H
H.Hzr
过 (r, )∈D 做平行于 z 轴的直线,得
),( r
,0
,20
:
Hzr
Hr
即
或 .0
,20 :
HrD
.Hzr
过 (r, )∈D 做平行于 z 轴的直线,得
x
y
o H
H
H
H
H
x
y
z
o
H
),( r
dvyx )( 22 . 2
dzddrrr
H
r
Hdzrdrd 3
0
2
0
.,sin,cos
zzryrx
, dzddrrdv
H H
r drzrd0
32
0
H
drrHr0
43 )(2
.10 5H
,0
,20
:
Hzr
Hr
即
dvyx )( 22 . 2
dzddrrr
H
r
Hdzrdrd 3
0
2
0
.,sin,cos
zzryrx
, dzddrrdv
2 、利用球面坐标计算三重积分
的球面坐标.就叫做点,,样的三个数面上的投影,这在为点的角,这里
向线段轴按逆时针方向转到有轴来看自为从正轴正向所夹的角,与为有向线段的距离,
间与点为原点来确定,其中,,序的数可用三个有次为空间内一点,则点设
Mr
xoyMPOP
xz
zOM
MOrr
MzyxM
),,(
,0 r
.20
,0
规定:
x
y
z
o
),,( zyxM
P
r
为常数r
为常数
为常数
如图,三坐标面分别为
圆锥面;
球 面;
半平面.
.cos
,sinsin
,cossin
rz
ry
rx
球面坐标与直角坐标的关系为
Px
y
z
o
),,( zyxM
r
z
y
xA
x
y
z
o
r
zyx
zyx
rz
ry
rx
rzyx),,(),,(
由
0cossinsinsin
sinsincoscoscos
cossinsincossin
rr
rrr
sincoscos
coscossin cossin
sinsincos
cossinsin sinsin
rrr
rrr
2222 cossinsinsin rr sin2r
所以 xyz
zyxzyxf ddd),,(
r
rrrrrf dddsin)cos,sinsin,cossin( 2
dxdydzzyxf ),,(
.sin)cos,sinsin,cossin( 2
dddrrrrrf
球面坐标系中的体积元素为
,sin 2 dddrrdv
如图,
d
r
x
y
z
o
dr
dsinr
rd
d
d
sinr
再根据再 中 r , , 的关系,化为三次积分。
一般,先对 r 积分,再对 ,最后对 积分。
例 8 用球面坐标计算
. 2
dvz 其中
.1 : 222 zyx
解 画 图。
确定 r , , 的上下限。
(1) 将 向 xoy 面投影,得
. 20
(2) 任取一 ],2 ,0[ 过 z 轴作半平面,得.0
(3) 在半平面上,任取一 ], ,0[ 过原点作
射线,得 .10 r
x
y
z
o
x
y
z
o
(3) 在半平面上,任取一 ], ,0[ 过原点作
射线,得 .10 r
即
.10
,0
,20
:
r
dvz2
.cos,sinsin,cossin
rzryrx
dddrrr 2
22 sincos
1
024
0
2
0 sin cos drrdd
0
1
0
522
0 5sin cos drd ddrdrdv sin2
0
22
0 sin cos
51 dd
0
22
0)(cos cos
51 dd
2
0
0
3
3cos
51 d
2
0152 d
.154
dvz2
.cos,sinsin,cossin
rzryrx
dddrrr 2
22 sincos
1
024
0
2
0 sin cos drrdd
0
1
0
522
0 5sin cos drd ddrdrdv sin2
例 9 计算 . )( 222
dvzyx 其中 由曲面
22 yxz 和 2222 Rzyx 围成。 )0( R
将 向 xoy 面投影,得. 20
任取一 ],2 ,0[ 过 z
.4
0
在半平面上,任取一 ],4
,0[
过原点作射线,得 .0 Rr
解
轴作半平面,得
x
y
z
o
R
即
.0
,4
0
,20
:
Rr
dddrrr 2
2 sin
R
drrdd0
44
0
2
0 sin
x
y
z
o
R
dvzyx )( 222
.cos,sinsin,cossin
rzryrx
).22(51 5 R
在半平面上,任取一 ],4
,0[
过原点作射线,得 .0 Rr
ddrdrdv sin2
例 10 求曲面 2222 2azyx 与 22 yxz
所围成的立体体积.
解 由锥面和球面围成,
x
y
z
o
R
dvV
由三重积分的性质,有
.20
,4
0
,20
:
ar
解 由锥面和球面围成,
dvV
由三重积分的性质,有
.20
,4
0
,20
:
ar
x
y
z
o
R
a
drrdd2
02
0
2
0sin4
ddrdrdvV sin2
.)12(34 3a
.cos,sinsin,cossin
rzryrx
ddrdrdv sin2
例 11 计算积分 V
dxdydzzyxI )( 222
积分区域 V 为椭球体 12
2
2
2
2
2
c
z
b
y
a
x
解 积分区域如图,
VVV
V
dxdydzzdxdydzydxdydzx
dxdydzzyxI
222
222 )(
1
22 2VV
dxdydzxdxdydzx
2
2
2
2
1b
y
a
xcz
2
2
2
2
1
0
22 b
y
a
xc
dzxdxdyxy
xy
dxdyb
y
a
xcx
2
2
2
22 12
1
0
222
01)cos(2 abrdrrarcd
1
0
232
0
23 1cos2 drrrdbca
1
0
2222
0
3 12
1)12(cos drrrdbca
bcabca 33
15
4
15
22
32
32
15
4
15
4
abcdxdydzz
cabdxdydzy
V
V
)(15
4 222 cbaabcI
类似地,有
所以
另解 过点
),0,0( 0z 作垂直于 轴的平面
z 0zz
与椭球截得的截面 是
平面上的椭圆: 0z 0zz
1
11 2
202
2
2
202
2
c
zb
y
c
za
x
此椭圆的面积为:
2
201
c
zab
于是
z
dxdyzdzdxdydzzc
cV
22
32
222
15
41 abcdz
c
zabzdxdydzz
c
c
c
cz
12
2
2
2
2
2
c
z
b
y
a
x
例 12. 计算三重积分 V
I zdxdydz其中V 是椭球体 1
2
2
2
2
2
2
c
z
b
y
a
x与 0z 所围区
域. 解 作广义球坐标变换:T
:
T : sin cos ,
sin sin ,
cos ,
x ar
y br
z cr
于是 ,,rJ = sin2abcr.
于是在上述广义球坐标变换之下, V 的原象为
20,2
0,10,, rrV
I =
=
V
zdxdydz
V
ddrdabcr cossin3
= 2
0
1
0
32
0
cossin
drrdd =2
4abc
三重积分的定义和计算
在直角坐标系下的体积元素
dxdydzdv
(计算时将三重积分化为三次积分)
三、小结
柱面坐标的体积元素dzrdrddxdydz
球面坐标的体积元素
ddrdrdxdydz sin2
柱面坐标
球面坐标
.cos,sinsin,cossin
rzryrx
.,sin,cos
zzryrx
13.613.6 重积分的应用重积分的应用
第第 1313 章 重积分章 重积分
一、区域连通性的分类 设 D 为平面区域 , 如果 D 内任一闭曲线所围成的部分都属于 D, 则称 D 为平面单连通区域 , 否则称为复连通区域 .
复连通区域单连通区域
DD
一、立体的体积二重积分的几何意义
当被积函数大于 零时,二重积分是柱体的体积.
x
z
yo
D
),( yxfz
.),(D
dyxfV
例 1 计算由曲面
2241 yxz 及 xoy 面所围的立体体积。
x
y
z
o1
1
21x
y
z
o1
1
21
解 设立体在第一卦限上的体积为 V1 。由立体的对称性,所求立体体积 V = 4V1 。 1
21 x
y
o
241 xy
D立体在第一卦限部分可以看成是一个曲顶柱体,它的曲顶为 ,41 22 yxz
.410
,210:
2xy
xD
1
21 x
y
o
241 xy
D
立体在第一卦限部分可以看成是一个曲顶柱体,它的曲顶为 ,41 22 yxz
它的底为
于是, dyxVD
)41( 221
dyyxdxx
241
02221
0 )41(
21
0
41
0
32
2
3)41( dx
yyx
x
21
0
41
0
32
2
3)41( dx
yyx
x
21
0232 )41(
32 dxx
tx sin21
令xt
0 21
0 2 2
04 cos
21
32
dtt
)22
143(
31
16
所求立体的体积
14VV .4
例 2 求两个圆柱面
222 Ryx 222 Rzx 及 所围的立体在第一卦限部分的体积。
xy
z
oRR
R
xy
z
oRR
R
R x
y
o
22 xRy R
D
解 所求立体可以看成是一个曲顶柱体,它的曲顶为
,22 xRz
.0
,0:
22 xRy
RxD它的底为
R x
y
o
22 xRy R
D
,22 xRz
.0
,0:
22 xRy
RxD它的底为
它的曲顶为
于是,立体体积为
dxRVD 22 dyxRdx
xRR
22
022
0
R xR
dxyxR0 0
2222
R
dxxR0
22 )(
RxxR
0
32
3
.
32 3R
例 3 求球体 2222 4azyx 被圆柱面 axyx 222
)0( a所截得的(含在圆柱面内的部分)立体的体积。
解 显然,所求立体应在第一、第四、第五、第八卦限。
而且,四个卦限部分的体积是对称相等的。
因此,若设第一卦限部分的体积为 V1 ,则所求立体的体积为
.4 1VV
x
y
z
oa2
a2
a2
V1 可以看成是一个曲顶柱体,
它的曲顶为
x
y
z
oa2
a2
a2
.4 222 yxaz
22 xaxy 它的底 D 由半圆周及 x 轴围成。
a2 x
y
o
cos2ar
D
用极坐标系表示
:D ,2
0
.cos20 ar
于是,
dyxaVD 4 222
1
drdrraD 4 22
a2 x
y
o
cos2ar
D
dyxaVD 4 222
1
drdrraD 4 22
drrrada
4cos2
0222
0
)4( 421 22cos2
0222
0radrad
a
2
033 )sin1(
38 da )
32
2(
38 3 a
所求立体体积
14VV )32
2(
332 3 a
二、曲面的面积1.设曲面的方程为: ),( yxfz
,Dxoy面上的投影区域为在
,Dd 设小区域
,),( dyx 点
.
)),(,,(
的切平面
上过为 yxfyxMS
.dsdAdAdss
zd
,则有为;截切平面为截曲面
轴的小柱面,于边界为准线,母线平行以
如图,
d),( yx
M dA
x
y
z
s
o
, 面上的投影在为因为 xoydAd
,cos dAd所以
,1
1cos22yx ff
dffdA yx221
,1 22 D
yx dffA
--- 曲面 S 的面积元素
曲面面积公式为: dxdyyz
xzA
xyD
22 )()(1
3.设曲面的方程为: ),( xzhy
曲面面积公式为: .122
dzdxxy
zy
AzxD
2.设曲面的方程为: ),( zygx
曲面面积公式为: ;122
dydzzx
yxA
yzD
同理可得
例 4 求球面 2222 azyx 含在圆柱体
axyx 22 内部的那部分面积.
14AA ,
曲面方程 222 yxaz ,
221
yz
xz
解
x
y
z
o a
a
a
设第一卦限部分的面积为 A1 ,
则由对称性,所求的面积为
,222 yxa
a
xyD
dxdyyxa
a222
cos
0 22
2
01a
rdrra
da .42 22 aa
dxdyyz
xzA
xyD
122
1
xyD : axyx 22 )0,( yx
a x
y
o
cosar
D
极坐标系下表示:
,2
0 .cos0 ar
D
drdrra
a 22
例 5 求两个圆柱面
222 Ryx 222 Rzx 及 所围的立体的表面在第一 卦限部分的面积 A 。
解 所求表面分成 Ⅰ和Ⅱ,如图。
xy
z
oRR
R
Ⅰ
Ⅱ
第一块( Ⅰ )在圆柱面
上, 222 Rzx
第一块( Ⅱ )在圆柱面
. 222 上Ryx
由对称性,这两块曲面的面积相等,即 AⅠ=AⅡ 。
因此, A = 2 AⅠ 。,22 xRz 在 AⅠ 上,曲面方程为
221
yz
xz
,22 xR
R
xyD : 222 Ryx )0,0( yx
xyD
dxdyxR
R22
dxdyyz
xz
xyD
122
AⅠ
,22
xR
RRx 时,当
R x
y
o
22 xRy R
xyD
,22 xRz 在 AⅠ 上,曲面方程为因此, A = 2 AⅠ 。
R x
y
o
22 xRy R
xyD
xyD
dxdyxR
R22
dxdyyz
xz
xyD
122
AⅠ
,22
xR
RRx 时,当
取 1D : 222 Ryx ),0,0( yx
1Rx 围成。 0 ,0 ),0( 1 xyRR
R x
y
o
22 xRy R
1D
1R
AⅠ
11
22lim
DRRdxdy
xR
R
221
10 220
limxRR
RRdy
xR
Rdx
AⅠ
11
22lim
DRRdxdy
xR
R
221
10 220
limxRR
RRdy
xR
Rdx
1
10
limR
RRRdx
.2R
于是所求面积, A = 2 AⅠ
.2 2R
设在空间中有 n 个质量分别是
的质点组,它们的坐标分别为
nmmm ,,, 21
),,(,),,,(),,,( 222111 nnn zyxzyxzyx
由静力学的知识可知,这个质点组的质心坐标
有如下的计算公式: ),,( zyx
,,,
1
1
1
1
1
1
n
ii
n
iii
n
ii
n
iii
n
ii
n
iii
m
mzz
m
myy
m
mxx
三、物体的重心
设 为一块可以度量的几何体,它的密度函数为 )(M
设 在 上连续,要求 的质心坐标。)(M
我们打算用质点组的质心坐标的公式来计算, 但质点组是
离散分布的,而 是质量连续分布的几何体。因此,首
先把 分划成若干可度量的小块:
n ,,, 21
为了简化符号,也用
表示小 块的度量。n ,,, 21
若这些小块分得充分小,每一个小块可近似地看作一个点,于是 可近似地看作一个质点组,从而可用质点组的质心坐标公式来近似计算 的质心坐标。
为此先计算每一个小块的质量,由于密度函数
不是常数,即 的密度分 布不是均匀的,因此不能简单地用密度均匀分布的物体的质量的计算公式:密度 × 度量,来计算。
)(M
由于假设 连续,因此当 比较小时,
在 上 变化不大,于是可近似地看成不变, 从而 的度量可近似计算为
i)(M
i )(M
i
iiM
iiM )(
这里 是 中的任意一点,设其在三维空间中的坐标为 ,于是几何体 的质心坐标 可近似表示为
iM
),,( iii zyx
),,( GGG zyx
i
,)(
)(
,)(
)(,
)(
)(
1
1
1
1
1
1
n
iii
n
iiii
G
n
iii
n
iiii
Gn
iii
n
iiii
G
M
Mzz
M
Myy
M
Mxx
当然这个质心坐标只能是近似的,如果 分得小一些
近似程度就要好些,因此在上式中 让每一个 的直径
趋于零取极限,把极限值定义为 的质心坐标。于是令
i
i
}{max1
的直径ini
d
让 ,取极限得0d
,)(
)(lim
,)(
)(lim
,)(
)(lim
1
1
0
1
1
0
1
1
0
n
iii
n
iiii
dG
n
iii
n
iiii
dG
n
iii
n
iiii
dG
M
Mzz
M
Myy
M
Mxx
上述和式的极限,正是我们在第九章第一节定义的黎曼积分,因此,得到
,)(
)(
,)(
)(,
)(
)(
dm
zdm
dM
dMzz
dm
ydm
dM
dMyy
dm
xdm
dM
dMxx
G
GG
这里 dMdm )(
如果几何体 是三维空间中的一块立体 ,则上述积分
就是三重积分,从而质心坐标可表示为
V
,),,(
),,(
,),,(
),,(
,),,(
),,(
V
VG
V
VG
V
VG
dxdydzzyx
dxdydzzyxz
z
dxdydzzyx
dxdydzzyxy
ydxdydzzyx
dxdydzzyxx
x
如果几何体 是一块平面区域,则上述积分就是二重积分;如果几何体是一块空间曲面,上述积分就成为第一型曲面积分;如果几何体是一条曲线,上述积分就成为第一型曲线积分。
解
由于立体 关于轴对V
称,并且立体是均匀的,即
密度函数 为常数,所以有
0 GG yx
z
y
x
例 6 设 由上半球面
和锥面(以 轴为轴,半顶角为 )围
成的均匀立体,求 的质心。
V222 yxaz
)2
0(
V
z
V
V
V
VG
dxdydz
dxdydzz
dxdydz
dxdydzz
z
2
0 0 0
2 sincosa
V
drrrdddxdydzz
而
0 0
3sincos2a
drrd
2442
sin4
1
42
sin2 a
a
2
0 0 0
2 sina
V
drrdddxdydz
0 0
2sin2a
drrd
)cos1(3
2
3)cos1(2 3
3
aa
于是
)cos1(8
3
)cos1(32
sin41
3
24
a
a
azG
),( yx
设xoy平面上有n个质点,它们分别位于 ),( 11 yx ,
),( 22 yx , , ),( nn yx 处,质量分别为 nmmm ,,, 21 .
则该质点系的重心的坐标为
n
ii
n
iii
y
m
xm
M
Mx
1
1 ,
n
ii
n
iii
x
m
ym
MM
y
1
1 .
平面薄片的重心
当薄片是均匀的,重心称为形心 .
,1 D
xdA
x .1 D
ydA
y D
dA 其中
,),(
),(
D
D
dyx
dyxx
x
.
),(
),(
D
D
dyx
dyxy
y
由元素法
设有一平面薄片,占有xoy面上的闭区域D,在点
),( yx 处的面密度为 ),( yx ,假定 ),( yx 在D上连
续,平面薄片的重心
闭区域 D 的面积
例 7 设平面薄板由
)cos1(
)sin(
tay
ttax, )20( t 与 x
轴围成,它的面密度 1 ,求重心坐标.
解 先求区域 D的面积 A,
20 t , ax 20
a
dxxyA2
0)(
2
0)]sin([)cos1( ttadta
2
022 )cos1( dtta .3 2a
Da2a
)(xy
所以重心在 ax 上, 即 ax ,
D
ydxdyA
y 1
)(
0
2
01 xya
ydydxA
a
dxxya
2
02
2)]([
61
2
03]cos1[
6dtta
.6
5
所求重心坐标为 )65 ,( a .
由于区域关于直线 ax 对称 ,
薄片对 z z 轴上单位质点的引力
设有一平面薄片,占有xoy面上的闭区域D,在点
),( yx 处的面密度为 ),( yx ,假定 ),( yx 在D上连
续,计算该平面薄片对位于z轴上的点 ),0,0(0 aM
处的单位质点的引力. )0( a
},,,{ zyx FFFF
,)(
),(
23
222
dayx
xyxGF
Dx
,
)(
),(
23
222
dayx
yyxGF
Dy
.)(
),(
23
222
dayx
yxaGF
Dz
G 为引力常数
四、平面薄片对质点的引力
例 8 求面密度为常量、半径为R的均匀圆形薄片: 222 Ryx , 0z 对位于 z轴上的点 ),0,0(0 aM
处的单位质点的引力. )0( a
解 由积分区域的对称性知 ,0 yx FF
d
ayx
yxaGF
Dz
23
)(
),(222
dayx
aGD
23
)(
1222 o y
z
x
F
drrar
daGR
0 22
2
023
)(
1
.11222
aaRGa
所求引力为
.112,0,022
aaRGa
dayx
aGD
23
)(
1222
drrar
daGR
0 22
2
023
)(
1
五、矩
设 为一块可以度量的空间立体,它的密度函数
在 上连续,分别称
V )(M
V
V
k
V
k
V
k
dxdydzzyxz
dxdydzzyxydxdydzzyxx
),,(
,),,(,),,(
为物体 关于坐标平面 ,坐标平面 ,坐标平面
的 阶矩 。
V YZ ZX
XY k )0( k
其中当 的情形更为重要。2,1,0k
当 时称为零阶矩,表示物体的质量。0k
当 时称为静矩,静矩与物体质量之比为该物体的质心的坐标。
1k
当 时称为转动惯量。2k
又分别称
V
Oy
V
Ox
V
Oz
dxdydzzyxxzI
dxdydzzyxzyI
dxdydzzyxyxI
),,()(
,),,()(
,),,()(
22
22
22
为物体 关于 轴, 轴, 轴的转动惯量。V x yz
显然有
zxyz
VV
V
OZ
II
dxdydzzyxydxdydzzyxx
dxdydzzyxyxI
),,(),,(
),,()(
22
22
xyzx
VV
V
Ox
II
dxdydzzyxzdxdydzzyxy
dxdydzzyxzyI
),,(),,(
),,()(
22
22
yzxy
VV
V
Oy
II
dxdydzzyxxdxdydzzyxz
dxdydzzyxxzI
),,(),,(
),,()(
22
22
其中 分别表示物体 关于坐标平面 ,
坐标平面 ,坐标平面 的转动惯量。
V
YZ ZX
XYzxyzxy III ,,
例 9 计算由平面
所围成的均匀物体(设 )对于坐标平面的转动惯量
,0,0,0,1 zyxc
z
b
y
a
x
1
z
x
y
解
V
xy dxdydzzI 2
z
是一个直角三角形,两直角边的长度分别为
z
c
zcb
c
zca )()( 和
z
dxdyzdzc
2
0
所以
zz
dxdydzzdxdyzdzIcc
xy
0
22
0
60)(
2
3
0
222
abcdzzcz
c
ab c
同样可得
60,
60
33 cabI
bcaI zxyz
c
dzc
zcb
c
zcaz
0
2 )()(
2
1
例 10 已知均匀矩形板(面密度为常数)的长和宽分别为b和h,计算此矩形板对于通过其形心且分别与一边平行的两轴的转动惯量.
解 先求形心 ,1D
xdxdyA
x .1D
ydxdyA
y
建立坐标系如图o
y
x
,hbA 区域面积
因为矩形板均匀,
由对称性知形心坐标2b
x ,2h
y.
h
b
将坐标系平移如图
o
y
x
h
b
u
v
o
对u轴的转动惯量
D
u dudvvI 2
2
2
2
2
2h
h
b
bdudvv .
12
3bh
对v轴的转动惯量
D
v dudvuI 2 .12
3 hb
几何应用:立体的体积、曲面的面积
物理应用:重心、对质点的引力、转动惯量
(注意审题,熟悉相关物理知识)
五、小结
重积分习题课
定 义定 义
几何意义几何意义
性 质性 质
计算法计算法
应 用应 用
二重积分
二重积分
定 义定 义
几何意义几何意义
性 质性 质
计算法计算法
应 用应 用
三重积分
三重积分
一、主要内容
定 义 设 ),( yxf 是 有 界 闭 区 域 D 上 的 有 界 函 数 , 将
闭 区 域 D 任 意 分 成 n 个 小 闭 区 域 1 , ,2 ,
n ,其 中 i 表 示 第 i个 小 闭 区 域 ,也 表 示 它 的 面 积 ,
在 每 个 i 上 任 取 一 点 ),( ii ,
作 乘 积 ),( iif i , ),,2,1( ni ,
并 作 和 ii
n
iif
),(
1
,
1 、二重积分的定义
如 果 当 各 小 闭 区 域 的 直 径 中 的 最 大 值 趋 近 于 零时 , 这 和 式 的 极 限 存 在 , 则 称 此 极 限 为 函 数
),( yxf 在 闭 区 域 D 上 的 二 重 积 分 ,记 为
D
dyxf ),( ,
即 D
dyxf ),( ii
n
iif
),(lim
10
2、二重积分的几何意义当被积函数大于 零时,二重积分是柱体的体积.当被积函数小于 零时,二重积分是柱体的体积的负值.
性质1 当 为常数时,k
.),(),( DD
dyxfkdyxkf
性质2 D
dyxgyxf )],(),([
.),(),( DD
dyxgdyxf
3、二重积分的性质
性质3 对区域具有可加性
.),(),(),(21
DDD
dyxfdyxfdyxf
)( 21 DDD
性质4 若 为 D 的面积 .1 D D
dd
性质5 若在 D 上, ),(),( yxgyxf
.),(),( DD
dyxgdyxf
特殊地 .),(),( DD
dyxfdyxf
设 M 、 m 分 别 是 ),( yxf 在 闭 区 域 D 上 的 最大 值 和 最 小 值 , 为 D 的 面 积 , 则
D
Mdyxfm ),(
( 二 重 积 分 估 值 不 等 式 )
性质6
设 函 数 ),( yxf 在 闭 区 域 D 上 连 续 , 为 D的 面 积 , 则 在 D 上 至 少 存 在 一 点 ),( 使 得 ),(),( fdyxf
D
.
性质7
(二重积分中值定理)
4、二重积分的计算
,: bxaD ).()( 21 xyx [ X -型]
.),(),()(
)(
2
1 D
b
a
x
xdyyxfdxdyxf
X- 型区域的特点: 穿过区域且平行于 y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点 .
(1)直角坐标系下
Y 型区域的特点:穿过区域且平行于 x 轴的直线与区域边界相交不多于两个交点 .
.),(),()(
)(
2
1 D
d
c
y
ydxyxfdydyxf
,: dycD ).()( 21 yxy [ Y -型]
.)sin,cos()(
)(
2
1
rdrrrfd
1
)sin,cos(D
rdrdrrf
,:1 D ).()( 21 r
(2)极坐标系下
.)sin,cos()(
0
rdrrrfd
,:2 D ).(0 r
2
)sin,cos(D
rdrdrrf
3
)sin,cos(D
rdrdrrf
.)sin,cos()(
0
2
0
rdrrrfd
,20:3 D ).(0 r
5、二重积分的应用
(1) 体积
的体积为之间直柱体与区域在曲面 Dyxfz ),(
D
dxdyyxfV .),(
设 S 曲面的方程为: ).,( yxfz
曲面 S 的面积为 ;1 22 dxdyAxyD
yz
xz
(2) 曲面积
当薄片是均匀的,重心称为形心 .
,1D
xdA
x .1D
ydA
y D
dA 其中
,),(
),(
D
D
dyx
dyxx
x
.
),(
),(
D
D
dyx
dyxy
y
设有一平面薄片,占有xoy面上的闭区域D,在点),(yx处的面密度为),(yx,假定),(yx在D上连续,平面薄片的重心为
(3) 重心
薄片对于 x 轴的转动惯量
薄片对于 y 轴的转动惯量
,),(2D
x dyxyI
.),(2D
y dyxxI
设有一平面薄片,占有xoy面上的闭区域D,在点),(yx处的面密度为),(yx,假定),(yx在D上连续,平面薄片对于x轴和y轴的转动惯量为
(4) 转动惯量
薄片对 轴上单位质点的引力z
设有一平面薄片,占有xoy面上的闭区域D,在点 ),( yx 处的面密度为 ),( yx ,假定 ),( yx 在D上连续,计算该平面薄片对位于z 轴上的点
),0,0(0 aM 处的单位质点的引力. )0( a
},,,{ zyx FFFF
,)(
),(23
222
dayx
xyxfF
D
x ,
)(
),(23
222
dayx
yyxfF
D
y
.)(
),(23
222
dayx
yxafF
D
z 为引力常数f
(5) 引力
6、三重积分的定义
设 ),,( zyxf 是空间有界闭区域上的有界函数,将闭区域任意分成n个小闭区域 1v, 2v ,
, nv,其中 nv表示第i个小闭区域,也表示它的体积, 在每个 iv上任取一点 ),,( iii 作乘积
iiii vf ),,( , ),,2,1( ni ,并作和, 如果当各小闭区域的直径中的最大值趋近于零时,这和式的极限存在,则称此极限为函数 ),,( zyxf 在闭区域上的三重积分,记为
dvzyxf ),,( iii
n
ii vf
),,(lim1
0
.
7 、三重积分的几何意义
表示空间区域的体积.
时当
Vdv
zyxf ,1),,(
8、三重积分的性质
类似于二重积分的性质.
9、三重积分的计算
.);()();,(),(: 2121 bxaxyyxyyxzzyxz
.),,(),,()(
)(
),(
),(
2
1
2
1
b
a
xy
xy
yxz
yxzdzzyxfdydxdvzyxf
}.,),(),,{( 21 czcDyxzyx z
.),,(),,(2
1
zD
c
cdxdyzyxfdzdvzyxf
( 1 ) 直角坐标
.
,sin
,cos
zz
ry
rx
( 2 ) 柱面坐标
.),sin,cos(
),,(
dzrdrdzrrf
dvzyxf
,dzrdrddv
.cos
,sinsin
,cossin
rz
ry
rx
,sin2 ddrdrdv
dxdydzzyxf ),,(
.sin)cos,sinsin,cossin( 2 ddrdrrrrf
( 3 ) 球面坐标
10、三重积分的应用
.
dvM 其中
,1
dvxM
x
设物体占有空间闭区域,在点),,( zyx处的密度为),,( zyx,假定),,( zyx在上连续,则该物体的重心为
( 1 ) 重心
,1
dvyM
y .1
dvzM
z
,2
dvzI xy
( 2 ) 转动惯量
设物体占有空间闭区域,在点),,( zyx处的密度为),,( zyx,假定),,( zyx在上连续,则该物体对坐标面,坐标轴及原点的转动惯量为
,2
dvxI yz ,2
dvyI zx
,)( 22
dvzyI x ,)( 22
dvxzI y
,)( 22
dvyxI z .)( 222
dvzyxIo
D
二、典型例题
例 1
解围成.
由其中计算 2,1
,.2
2
xx
yxyDdyx
D
X- 型
x
xD
dyyx
dxdyx
1 2
22
12
2
2
1 1
2
)( dxyx x
x
2
1
3 )( dxxx .49
.21,1
: xxyx
D
例 2
解
.10,11:.2 yxDdxyD
其中计算
1D2D
3D
先去掉绝对值符号,如图
dxydyx
dxy
DDD
D
321
)()( 22
2
12
1
10
21
1 2
2
)()(x
x
dyxydxdyyxdx .1511
)0(.),(2
2
2
0 2
adyyxfdxIax
xax
a
更换积分次序例 3
解
,22
,20:
2 axyxax
axD
,
,
3
21
三部分及分成将积分区域
D
DDD
2D
1D3D
;0
,2
: 222
1
ay
yaaxa
yD
;2,22
:2
2 ayaaxa
yD
;0
,2: 22
3
ay
axyaaD
.),(),(
),(
2
0
2
2
2
0
20
222
22
2
a
yaa
aa
ay
a
yaa
ay
a
dxyxfdydxyxfdy
dxyxfdyI故
例 4
解
).所围的面积(取圆外部和圆
是由心脏线其中计算
arar
DdyxD
)cos1(
.22
)cos1(2
2
22
a
a
D
rdrrd
dyx
2
2
33 ]1)cos1[(31
da
).29
22(3 a
例 5
解
所围成.及
由其中计算
00
,1.)cos(
yx
yxDdxdyyxyx
ID
,, yxvyxu 令
.2
,2
uvy
vux
则
,DD
D
x
y
o
1 yx
D
u
v
o
vuvu
1v
.11
;0
;0
vyx
vuy
vux即
),(),(
vuyx
J
,21
21
21
21
21
D
dudvJvu
I cos故
v
vdu
vu
dv cos21 1
0
.1sin21
1sin221 1
0 vdv
例 6
.)()(1
1)()( 12
b
a
nx
a
nb
adyyfyb
ndyyfyxdx
证明
证
b
y
nb
a
x
a
nb
a
dxyfyxdy
dyyfyxdx
)()(
)()(
2
2
b
a
b
y
nyxn
dyyf ])(1
1[)( 1
.)()(1
1 1
b
a
n dyyfybn
D
xy
b
b
a
a
例 7
组成的三棱锥台.
是由六个顶点,其中计算
)4,2,2(
),0,2,2(),0,0,2(),2,1,1(),0,1,1(),0,0,1(
:1
22
F
EDCBA
dvyx
解 ,ABEDxoy面上的投影为梯形在
为顶的柱体.以梯形为底,是以梯形
ACFD
ABED
,轴所在平面过梯形 xACFD
,0 zy 设其方程为 x
y
z
C
A
F
E
D
B
O
.02,)2,1,1( yzC 得其方程为点又因过
.21;0;20: xxyyz
yx
dzdyyx
dxdvyx
2
00 22
2
122
11
x
dyyx
ydx
0 22
2
1
2
2
1
22 ]ln)2[ln( dxxx .2ln
例 8
所围成的.
与由其中,计算
22
22
1
)(
yxz
yxzdvzx
解
利用球面坐标
奇函数,的为面为对称,关于 xxzyxfyoz ),,(
.0
xdv有
zdvdvzx )(
1
0
24
0
2
0sincos drrrdd .
8
例9 .1: 222
zyxdve z ,计算
解法.,故采用"先二后一"为圆域的函数,截面被积函数仅为
222 1
)(
zyx
zDz
上
dvedve zz 2
1
0)(
][2 dzedxdy z
zD
1
0
2 )1(2 dzez z .2
例 10
.)()(21
]))(([0
2
0 0 0 xx v u
dttftxdvdudttf
证明
证 思路:从改变积分次序 入手.
v v
t
v u
dutfdtdttfdu00 0
)()( v
dttftv0
,)()(
x vx v u
dttftvdvdvdudttf0 00 0 0
)()(]))(([
x x
tdvtftvdt
0)()( .)()(
21
0
2 x
dttftx
例 11
.222
dxxgdxxfdxxgxf
baxgxfb
a
b
a
b
a :证明
上连续,在,
证
byabxaD
dxdyygxgyfxf
dyygyfdxxgxf
dxxgxfdxxgxf
dxxgxf
D
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
,:
2
dxdyxgyfdxdyygxf
dyygdxxf
dxxgdxxf
DD
b
a
b
a
b
a
b
a
2222
22
22
dxdyygxgyfxf
dxdyxgyfygxf
dxdyxgyfdxdyygxf
dxxgdxxf
D
D
DD
b
a
b
a
2
2
2222
2222
22
.2
b
a dxxgxf
2
1 1 1
2 2 2
a a a a a
o o o o o
dy f x f y dx f x f y dy f u du
x
y
a
o
y x
a
2
1
2
a x a
o o o
dx f x f y dy f u du
证明:等式
,a a a ax y
o y o x
dy f x f y dx dx f y f x dy 互换
而
a x a a
o o o y
dx f x f y dy dy f x f y dx 交换积分次序
证:
1
2
a x a x a a
o o o o o x
dx f x f y dy dx f x f y dy dx f x f y dy
例 12
例 13. 计算三重积分 V
I zdxdydz其中V 是椭球体 1
2
2
2
2
2
2
c
z
b
y
a
x与 0z 所围区
域. 解 作广义球坐标变换:T
:
T : sin cos ,
sin sin ,
cos ,
x ar
y br
z cr
于是 ,,rJ = sin2abcr.
于是在上述广义球坐标变换之下, V 的原象为
20,2
0,10,, rrV
I =
=
V
zdxdydz
V
ddrdabcr cossin3
= 2
0
1
0
32
0
cossin
drrdd =2
4abc
一、选择题:
1、x
dyyxfdx1
0
1
0),( =( )
(A) 1
0
1
0),( dxyxfdy
x
; (B) x
dxyxfdy1
0
1
0),( ;
(C) 1
0
1
0),( dxyxfdy ; (D)
ydxyxfdy
1
0
1
0),( .
2、设D为 222 ayx ,当a( )时,
D
dxdyyxa 222.
(A) 1 ; (B) 32
3 ;
(C) 34
3; (D) 3
2
1 .
测 验 题
3、当D是( )围成的区域时,二重积分D
dxdy=1.
(A)x轴,y轴及 022 yx ;(B)31
,21yx ;
(C)x轴,y轴及 3,4yx ;(D) .1,1 yxyx
4、D
xydxdyxe 的值为( ).其中区域为D
01,10 yx .
(A) e
1 ; (B) e ;
(C) e
1 ; (D) 1 .
5、设 D
dxdyyxI )( 22 ,其中D由 222 ayx 所
围成,则I=( ).
(A)4
0
22
0ardrad
a
;(B)
4
0
22
0 21
ardrrda
;
(C)3
0
22
0 32
adrrda
;(D)4
0
22
02 aadrad
a
.
6、设是由三个坐标面与平面 zyx 2 =1所围成的 空间区域,则
xdxdydz=( ).
(A) 48
1 ; (B)
48
1 ;
(C) 24
1 ; (D)
24
1 .
7 、 设 是 锥 面 ,0(2
2
2
2
2
2
ab
y
a
x
c
z)0,0 cb 与 平 面
czyx ,0,0 所 围 成 的 空 间 区 域 在 第 一 卦 限的
部 分 , 则
dxdydzz
xy= ( ) .
( A ) cba 22
361
; ( B ) bba 22
361
;
( C ) acb 22
361
; ( D ) abc36
1.
8 、 计 算
zdvI , 其 1,222 zyxz为中 围 成 的
立 体 , 则 正 确 的 解 法 为 ( ) 和 ( ) .
9、曲面 22 yxz 包含在圆柱 xyx 222 内部的那 部分面积s ( ).
(A) 3; (B) 2;(C) 5; (D) 22 .
10、由直线 2,2,2 yxyx 所围成的质量分布均匀 (设面密度为)的平面薄板,关于x轴的转动惯量 xI =( ). (A) 3; (B) 5; (C) 4; (D) 6 .
(A)
1
0
1
0
2
0zdzrdrdI ;(B)
11
0
2
0 rzdzrdrdI ;
(C)
11
0
2
0 rrdrdzdI ; (D)
zzrdrddzI
0
2
0
1
0.
二 、 计 算 下 列 二 重 积 分 : 1 、
D
dyx )( 22 , 其 中 D 是 闭 区 域 :
.0,sin0 xxy
2 、 D
dx
yarctan , 其 中 D 是 由 直 线 0y 及 圆 周
1,4 2222 yxyx , xy 所 围 成 的 在 第 一 象 限 内 的 闭 区 域 .
3 、 D
dyxy )963( 2 , 其 中 D 是 闭 区
域 : 222 Ryx 4 、
D
dyx 222 , 其 中 D : 322 yx .
三 、 作 出 积 分 区 域 图 形 并 交 换 下 列 二 次 积 分 的 次 序 :
1 、
yy
dxyxfdydxyxfdy3
0
3
1
2
0
1
0),(),( ;
2 、 2111
0),(
x
xdyyxfdx ;
3 、
00
)sin,cos( rdrrrfda
.
四 、 将 三 次 积 分 y
xxdzzyxfdydx ),,(
11
0改 换 积 分 次 序 为
zyx .五 、 计 算 下 列 三 重 积 分 :
1 、
,)cos( dxdydzzxy : 抛 物 柱 面 xy
2
,,
zxozoy及平面 所 围 成 的 区 域 .
2 、 ,)( 22
dvzy 其 中 是 由 xoy 平 面 上 曲 线
xy 22 绕 x 轴 旋 转 而 成 的 曲 面 与 平 面 5x 所 围 成 的 闭 区 域 .
3 、 ,1
)1ln(222
222
dv
zyx
zyxz其 中 是 由 球 面
1222 zyx 所 围 成 的 闭 区 域 .
六 、 求 平 面 1c
z
b
y
a
x被 三 坐 标 面 所 割 出 的 有 限 部 分
的 面 积 .七 、 设 )( xf 在 ]1,0[ 上 连 续 , 试 证 :
31
0
1
0
1])([
6
1)()()( dxxfdxdydzzfyfxf
x
y
x .
一、 1、D; 2、C; 3、A; 4、A; 5、B;6、A; 7、A; 8、B,D; 9、B; 10、C.
二、1、9
402 ;2、 2
643;3、 24 9
4RR ;4、 .
25
三、1、 x
x dyyxfdx3
2
2
0),( ;
2、
22 2
0
2
10
1
0),(),(
yyydxyxfdydxyxfdy ;
3、 a
r
adrrfrdr )sin,cos(
0.
四、 z
zdxzyxfdydz
0
11
0),,( .
五、1、21
16
2
; 2、 3
250; 3、0.
测验题答案
六 、 222222
2
1accbba .
七 、 提 示 :
0)0(,)()(
)()(,)()(
1
0
0
FdxxftF
xfxFdttfxFx
且
则