16kuhljdn evi
bovec, 29. in 30. september 2016uredila dejan zupan in tomaž hozjan
Zbornik del
Kuhljevi dnevi 2016
Bovec, 29. – 30. september 2016
Uredila:
Dejan Zupan
Tomaž Hozjan
Kuhljevi dnevi 2016 Bovec, 29. – 30. september 2016
ZBORNIK DEL
Uredila:
Dejan Zupan Tomaž Hozjan
Recenzije:
Miha Boltežar Andrej Bombač Nenad Gubeljak Matjaž Hriberšek
Marko Kegl George Mejak Igor Planinc Jure Ravnik Zoran Ren
Janko Slavič Leopold Škerget
Izdalo in založilo:
SLOVENSKO DRUŠTVO ZA MEHANIKO
Jamova 2, Ljubljana
september, 2016
Grafično oblikovanje:
Veronika Saje
Tisk in vezava:
Formatisk, Ljubljana
Naklada:
80 izvodov
Cena:
knjiga je brezplačna
Kuhljevi dnevi 2016
Kazalo
M. Bek, I. EmriUporaba hidrostaticnega tlaka za spreminjanje lastnosti polimernih dusilnih elementov. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 – 8
A. Bombac, M. CoticPresoja hidrodinamskega stanja pri dispergiranju zraka v vodi in vodni raztopini CMCz vecstopenjskim mesalom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 – 16
M. Cotic, U. Kocevar, A. BombacEksperimentalna dolocitev premerov mehurckov pri dispergiranju zraka v posodi s tri-stopenjskim mesalom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 – 24
R. FlajsO nicelnosti lineariziranih kinematicnih in ravnoteznih enacb sistema podprtih in po-vezanih togih teles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 – 32
R. Flajs, M. SajeDoprinos Moore-Penrosovega psevdo inverza k enolicni resljivosti in konvergencistirikotnih koncnih elementov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 – 40
J. Gostisa, M. Milavec, M. Hocevar, B. SirokModelna analiza vetrovnika v Nordijskem centru Planica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 – 48
A. Grm, M. BatistaStaticna analiza upogiba pristajalnega odbojnika v Luki Koper . . . . . . . . . . . . . . . 49 – 56
B. Harl, J. Predan, M. Kegl, N. GubeljakPriprava mehanskega modela za optimizacijo topologije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .57 – 64
T. Hozjan, G. TrtnikSpremljanje procesa formiranja strukture materialov s cementnim vezivom z ultrazvocnometodo in metodo elektricne prevodnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 – 74
- iii -
Kuhljevi dnevi 2016
A. Ivanic, M. Frajnkovic, L. Adanic, S. LubejPrimerjava razlicnih tehnik za upogibno utrjevanje tankih betonskih preizkusancev, zuporabo ogljikovih vlaken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 – 81
K. Krebelj, N. Mole, B. StokNumericno modeliranje mehanskega odziva polietilena visoke gostote v razmerah iz-metavanja pri injekcijskem brizganju . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 – 90
D. Lolic, D. Zupan, M. BrojanDelaminacija kompozitnega nosilca z nelinearnim stikom med lamelami . . . . . . 91 – 98
J. Luznar, J. Slavic, M. BoltezarPulzno sirinska modulacija kot vir vzbujanja dinamske strukture . . . . . . . . . . . . 99 – 106
I. Matijevic, A. BombacCFD analiza dispergiranja zraka v posodi s tristopenjskim mesalom na meji poplav-nega stanja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 – 114
G. MejakDolocitev faktorja koncentracije napetosti s pomocjo ekvivalentnih lastnih deformacij. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 – 122
N. Novak, M. Vesenjak, Z. RenAvkseticni celicni materiali in njihovo obnasanje pri tlacni obremenitvi . . . . .123 – 130
A. Ogrin, T. Hozjan, M. SajeNumericno modeliranje nepopolne intumescence protipozarnih premazov . . 131 – 138
R. Pecenko, T. HozjanVpliv vlage na odziv lesenega nosilca v pozaru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 – 146
R. PusenjakPosploseni Van der Polov model procesov zgorevanja s transportno casovno zakasni-tvijo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 – 154
M. Ramsak, J. Ravnik, M. Hribersek, P. SteinmannSledenje rotaciji makro delca z BEM in OpenFOAM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 – 162
M. Razpotnik, M. BoltezarAnaliza prenosa vibracij v staticno nedolocenih menjalnikih - vpliv nelinearne togostilezajev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .163 – 170
A. Starc, I. Planinc, S. BratinaUklon armaturne palice v poskodovanem AB stebru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 – 178
- iv -
Kuhljevi dnevi 2016
T. Stimec, M. Hribersek, J. Ravnik, S. Basic, M. ZadravecNumericno modeliranje adsorpcije v adsorberju s satovjem pri razlicnih temperaturahv sistemu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 – 186
J. Tibaut, L. Skerget, J. RavnikUporaba metode krizne aproksimacije v metodi robnih elementov . . . . . . . . . . 187 – 194
J. Trcek, A. BombacNumericna simulacija aspiracije zraka v vodo pri pospesenem gibanju bata v cilindru. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 – 202
- v -
Kuhljevi dnevi 2016
.
- vi -
SLOVENSKO DRUŠTVO ZA MEHANIKO
SREČANJE KUHLJEVI DNEVI 2016
Uporaba hidrostatičnega tlaka za spreminjanje lastnosti
polimernih dušilnih elementov
Marko Bek1, Igor Emri1
Using hydrostatic pressure to modify properties of polymeric
damping elements
Povzetek. V sklopu prispevka predstavljamo vpliv tlaka na lastnosti polimernega
materiala termoplastičnega poliuretana. Pokazano je bilo, da povečanje hidrostatičnega
tlaka od 0.1 MPa do 200 MPa spremeni vrednosti shranitvenega modula G (povezan s
togostjo materiala) do 3.5 krat, medtem, ko se vrednosti modula izgub G (povezan s
dušenjem materiala) spremenijo do 5.5 krat.
To odvisnost polimernih materialov od tlaka je mogoče uporabiti za razvoj novih,
patentiranih granuliranih dušilnih elementih, ki so sestavljeni iz pletene tkanine napolnjene
z granuliranim polimernim materialom pod tlakom. Izdelava dušilnih elementov z uporabo
različnih polnilnih tlakov omogoča adaptivno spreminjanje njihovih lastnosti. Obstajajo
številne aplikacije, ki bi lahko koristile možnost adaptivnega spreminjanja lastnosti
granuliranih dušilnih elementov, vendar v tem prispevku predstavljamo, kot primer,
zmanjšanje kotalnega hrupa na železniških tirnicah.
Abstract. This paper presents the effect of pressure on bulk properties of polymeric
material thermoplastic polyurethane. Within the paper we have shown that increase of
hydrostatic pressure from 0.1 MPa to 200 MPa changes values of storage modulus G
(related to stiffness of a material) up to 3.5 times, while the values of loss modulus G
(related to damping properties of material) are changed up to 5.5 times.
This pressure dependence of polymeric materials can be utilized in newly developed,
patented granular damping elements, composed of fiber textile tubes filled with pressurized
granulated polymeric material. Producing damping elements using different filling
pressures enables us to adaptively change its properties. There a several applications which
would benefit from such adaptive granular damping elements, however this paper presents
as an example, rolling noise reduction on rails.
1 University of Ljubljana, Faculty of Mechanical Engineering, Aškerčeva 6, SI-1000 Ljubljana, Slovenia
Kuhljevi dnevi 2016
- 2 -
1 Introduction
Railroad transport has many advantages compared to other means of transport and for this
reason, national and also EU transport policies are aimed at minimization of the current
difference between road transport and railroad transport [1]. However, problem of noise
nuisance of population living near rail lines as well as impact on wildlife [2] remains.
Regardless on the fact that more population is annoyed by road noise than by rail noise,
increased volume of rail traffic (from expansion of rail networks and increased traffic on
existing lines) could have negative impact on environment in the future.
Minimizing noise levels can be achieved by implementing different noise control measures:
increased damping, reduction of excitations, acoustic shielding or absorption and vibration
insulation. Naturally the best solution is to avoid vibration problem in the first place, however
this is often not possible. In order for noise-control measures to be successful the (dominant)
source of noise should be identified. In the case of railway noise it has been found that in many
situations rolling noise is the dominant source and is caused by wheel and rail vibrations
induced at wheel/rail contact [3]. Several reduction techniques for controlling rolling noise
exist, among them are: grinding of rail surfaces, optimizing shape of rail wheels, replacing iron
breaks with composite brakes, optimizing rail pads, sound barriers and (tuned) absorber
systems.
The role of rail pads and especially of (tuned) absorber systems is to minimizing the vibration
transmission between source (wheel/rail contact) and receiver (buildings, train, people…) by
damping vibrations travelling from to receiver. Damping refers to the energy dissipation
process of a material undergoing cyclic stress-strain loading and changing the mechanical
energy into heat [4,5]. Damping is usually divided into two types: i) material damping, where
kinetic energy of a vibrating system is converted into heat and ii) system or structural damping
which includes supports, interfaces, joints, etc [6]. Reducing vibration amplitudes may be
achieved by increasing damping and/or increasing stiffness [7].
Materials which are being used for damping of vibrations are metals and polymers. Polymers
are used due to their good damping properties through viscose mechanisms, however also
metals can exhibit considerable damping through dislocations of structure, grain boundaries,
etc [7]. Comparison between metal materials and polymeric materials used for damping done
by Chung [7] showed that among the investigated materials polymers compared to metals
exhibit the highest damping factor tan δ, however they suffer from low stiffness. In addition
to this, comparing polymeric materials exposes that polymeric materials with high damping
factor tan δ (typical representatives are elastomeric materials) have lower stiffness compared
to polymeric materials with lower damping factor (typically this are thermoplastic materials).
Due to their insufficient stiffness polymers with better damping are often not being used for
vibration isolation.
When using polymeric materials their strong temperature and frequency dependence has to be
taken into account [8]. The effect of frequency on mechanical properties and damping factor
has similar but opposite effect as temperature, but at very different rates. While in temperature
range of few hundred degrees majority of polymers will undergo from glassy to rubbery state,
the corresponding change in frequency range extends by orders of magnitude [6].
Combining both facts: i) polymeric materials with higher damping factors are not being used
due to their insufficient stiffness and ii) maximal damping properties of polymeric materials
Kuhljevi dnevi 2016
- 3 -
are not being utilized, since they appear at very high frequencies leads to conclusion that there
is still room to increase damping and reduce vibration amplitudes.
The aim of this paper is to show that exposing viscoelastic material to the inherent (hydrostatic)
pressure changes frequency dependent mechanical properties of polymeric materials. Hence,
by proper selection of damping material and a pressure to which material is exposed one can
change the frequency range of its maximum damping properties. This allows full utilization of
damping potential of the selected material and maximize the damping effect of the damping
element which is made of this material. Using this unique property of viscoelastic materials
enables one to designed ultimate adaptive damping elements which can be used in railroad
applications as well as in other relevant cases.
2 Materials and Methods
Stress relaxation is the process, in which a viscoelastic material relaxes after application of a
sudden deformation (step loading) in our particular case, torsional shear deformation.
Whereas, for the case of shear creep a viscoelastic material has to be exposed to a sudden shear
stress, which then initiates the creep process. Deformation or stress load should be applied at
particular boundary conditions, i.e., temperature and pressure, such so the material response is
measured at these equilibrium conditions. Pressure can have enormous effect on the response
of viscoelastic materials [9]. When we expose viscoelastic materials to high pressures the
mobility of polymeric chains is hindered. On the macro scale this is exhibited through the
extension of the material creep and relaxation time scales [10]. Hence, under hydrostatic
pressure the viscosities and viscoelastic relaxation and retardation times of polymers increase.
Relaxation and creep of viscoelastic materials are slow processes and they may last over many
decades in time, thus, experimentally it is almost impossible to measure a complete (‘long-
term’) relaxation or creep curve. Therefore, it is a common practice to determine the relaxation
modulus or creep compliance within a certain range of time called the Experimental window.
Once individual segments are measured at different temperatures and/or pressures, a
mastercurve can be generated using time-temperature (t-T) or, equivalently, time-pressure (t-
P) superposition principle (SP). Different segments determined at different temperatures and
at constant pressure are shifted by factor log Ta , and segments measured at different pressures
and at constant temperature are shifted by factor log pa , so the corresponding mastercurves
can be generated [9,10]. Information on dynamic behavior of viscoelastic materials within this
paper, were obtained through the interconversion process [11], since static and dynamic
material functions are interrelated in the Laplace space [8]. It should be noted that this is valid
as long as behavior follows linear theory of viscoelasticity.
In order to determine mechanical properties a unique apparatus called CMS (CEM Measuring
System) was used [10,12,13]. The CMS apparatus was used to measure shear relaxation
modulus ( )G t and is determined by measuring the decaying moment of a specimen exposed
to selected constant temperature and pressure boundary conditions. The shear relaxation
modulus ( )G t is the ratio of the time-dependent shear stress t over a fixed shear strain 0
0
( )( )
tG t
(1)
Kuhljevi dnevi 2016
- 4 -
The shear stress of a material is determined by its geometry and its time-dependent internal
resistance to an applied deformation. The internal resistance of a cylindrical specimen can be
expressed in terms of a time-dependent moment ( )M t and the polar moment of area pI :
0( )( )
2 p
M t Dt
I (2)
Where 0D is the specimen diameter and pI is defined as:
4
032
pI D
(3)
For a cylindrical specimen of length 0L , the shear strain can be written in terms of the applied
angular deformation 0 in radians:
0 00
02
D
L
(4)
Rewriting these equations, results in the final expression for the shear relaxation modulus:
0
4
0 0
32 ( )( , , )
L M tG t T P
D (5)
In the present study, interconversion between static and dynamic domain was done using the
Schwarzl approximation relations [14].
3 Results and Discussion
For clarity reasons the results on storage ( )G and loss modulus ( )G are shown for two
pressures, i.e., 0.1 MPa and 200 MPa , only. The full symbols represent measurements done
at lower pressure ( 0.1 p MPa ), whereas the empty symbols represent measurements done at
higher pressure ( 200 p MPa ). The results for storage modulus ( )G are shown in Figure
1 and for loss modulus ( )G in Figure 2.
Figure 1: Storage modulus G at 0.1 p MPa and 200 p MPa
Kuhljevi dnevi 2016
- 5 -
Figure 2: Loss modulus G at 0.1 p MPa and 200 p MPa
As previously mentioned we utilize this property of polymers in construction of damping
elements for railroad applications. Since the noise and vibration causing the most discomfort
is located in frequency range between 1 Hz and 1000 Hz , we will examine the effect of
pressure on stiffness and damping properties of TPU within this frequency window.
Figure 3: Storage G and loss modulus G at 0.1 p MPa and 200 p MPa
From Figure 3 we may clearly see that within the region of our interest (1 1000 Hz ), changes
of inherent (hydrostatic) pressure of TPU from 0.1 MPa to 200 MPa cause material
properties change for several orders of magnitude. Specifically, at frequency 1Hz and
pressure 0.1 MPa the storage modulus (representing stiffness) is
( 1 , 0.1 ) 2.99G Hz p MPa MPa , whereas at pressure 200 MPa the storage modulus
increases to ( 1 , 200 ) 4.07G Hz p MPa MPa . Hence, material becomes 1.4 times
Kuhljevi dnevi 2016
- 6 -
stiffer. At the same frequency of 1 Hz the loss modulus (representing material damping
characteristics) at pressure 0.1 MPa is ( 1 , 0.1 ) 0.29G Hz p MPa MPa , whereas at
pressure 200 MPa it rises to ( 1 , 200 ) 0.92G Hz p MPa MPa . This means that at
elevated pressure the materials ability to dissipate energy increases 3.15 times.
For the higher end of the frequency window, i.e., 1000Hz , we observe analogous trends.
At 0.1 MPa the storage modulus is ( 100 , 0.1 ) 6.89G Hz p MPa MPa , whereas at the
pressure 200 MPa the storage modulus becomes ( 100 , 200 ) 23.89G Hz p MPa MPa ,
meaning that material stiffness is increased 3.46 times. At the same time the loss modulus at
pressure 0.1 MPa is ( 100 , 0.1 ) 2.33G Hz p MPa MPa and at pressure 200 MPa it
becomes ( 100 , 200 ) 12.65G Hz p MPa MPa . Thus, the material ability to dissipate
energy has increased 5.41 times.
From Figure 1 and Figure 1 one may easily concluede, that by further increasing material
inherent pressure we may increase the stiffness and damping properties of TPU up to 100
times.
4 Adaptive damping elements system based on Dissipative Granular Materials
Based on the presented results, where we showed that existing solutions for structural and
vibration control do not and cannot fully utilize stiffness and damping characteristics of time-
and frequency-dependent materials, we developed adaptive damping elements system, which
we have called DGM System (DGM – Dissipative Granular Materials).
As we have showed, the inherent (hydrostatic) pressure changes frequency dependence of
polymeric materials. Hence, by proper selection of damping material and a pressure to which
material is exposed one can match the frequency range of its maximum damping properties
with the resonance frequency of the building and/or structure exposed to earthquakes. In this
way we fully utilize damping characteristics of the selected material and maximize the energy
absorption properties of the damper.
Granular materials when excited beyond a certain level of stress flow similarly as liquids while
maintaining all properties of a bulk material. The macroscopic flow of particles further
expands the energy dissipation capability of granular materials. Hence, micro to macro -size
multimodal elastomeric granular material may be used as a pressurizing media (similar as air
in tires) to impose hydrostatic pressure on itself, and change frequency dependence of its own
energy absorption properties. With proper adjustment of pressure, we also adjust the stiffness
of the damping element (again, similar as with air in tiers). The proposed particle-filled
damping element will provide greater energy dissipation, since when granular materials are
deformed there is relative motion of particles; such motion causes energy dissipation through
friction. Our proposed solution consists of micro- and macro-sized particles. Smaller particles
lead to more surface area per unit volume, which increases the magnitude of frictional
dissipation energy caused by particle-particle interaction; while larger particles will allow
macroscopic flow, as described above. Hence, our proposed solution utilizes all possible
energy dissipation mechanisms and represents an optimal solution for the proposed novel
damping system. Such patented damping elements [15,16] consist of elastomeric granular
material, which is exposed to pre-defined hydrostatic pressure and which is encapsulated in a
flexible glass, basalt or carbon fiber tube, as shown in Figure 4.
Kuhljevi dnevi 2016
- 7 -
This design enables us to pressurize the granular material inside the damping element. At
higher pressures properties of material shift to lower frequencies, compared to the reference
values.
Figure 4: Damping elements consisting of pressurized elastomeric granular material
encapsulated by fiber tube
5 Conclusion
In this paper we have demonstrated that by utilizing the basic knowledge on the effect of
inherent hydrostatic pressure on the time- and frequency-dependent behavior of polymers it is
possible to design and build the ultimate damping systems for the use in vibration damping
applications.
In this process we need an apparatus that allows material determination of material functions,
as function of pressure and temperature in time or frequency domain, e.g., ( )G t . Presented
CEM Measuring System is an example of such apparatus.
For the selected TPU material we found that increase of inherent hydrostatic pressure from
0.1MPa to 200MPa changes values of storage modulus G up to 2.5 times (depending on the
frequency), while the values of loss modulus G are changed up to 5.2 times.
Acknowledgements
Authors acknowledge the financial support of the Slovenian Research Founding Agency (P2-
0264), and the European Union Social Fund (P-MR-10/148).
References
[1] “Road Freight Transport Vademecum 2010 Report,” European Commission, 2011.
[Online]. Available: http://ec.europa.eu/transport/modes/road/doc/2010-road-freight-
vademecum.pdf. [Accessed: 03-Sep-2015].
[2] H. Bekker and B. Iuell, “Habitat fragmentation due to infrastructure,” 2003.
[3] D. Thompson, Railway noise and vibration: mechanisms, modelling and means of
control. Elsevier, 2008.
[4] L. E. Goodman, “Material damping and slip damping,” in Shock and vibration
Kuhljevi dnevi 2016
- 8 -
handbook, vol. 36, McGraw-Hill New York, 1976, pp. 1–28.
[5] M. D. Rao, “Recent applications of viscoelastic damping for noise control in
automobiles and commercial airplanes,” J. Sound Vib., vol. 262, no. 3, pp. 457–474,
2003.
[6] D. I. G. Jones, Handbook of viscoelastic vibration damping. John Wiley & Sons, 2001.
[7] D. D. L. Chung, “Review: Materials for vibration damping,” J. Mater. Sci., vol. 36, no.
24, pp. 5733–5737, 2001.
[8] N. W. Tschoegl, The phenomenological theory of linear viscoelastic behavior: an
introduction. Springer Science & Business Media, 1989.
[9] N. Tschoegl, W. Knauss, and I. Emri, “The effect of temperature and pressure on the
mechanical properties of thermo-and/or piezorheologically simple polymeric materials
in thermodynamic equilibrium - A critical review,” Mech. Time-Dependent Mater., vol.
6, no. 1, pp. 53–99, 2002.
[10] W. G. Knauss, I. Emri, and H. Lu, Mechanics of Polymers: Viscoelasticity. In W. N.
Sharpe (Ed.), Springer Handbook of Experimental Solid Mechanics. Springer Verlag,
2008.
[11] I. Emri, B. S. von Bernstorff, R. Cvelbar, and A. Nikonov, “Re-examination of the
approximate methods for interconversion between frequency-and time-dependent
material functions,” J. Nonnewton. Fluid Mech., vol. 129, no. 2, pp. 75–84, 2005.
[12] I. Emri and T. Prodan, “A measuring system for bulk and shear characterization of
polymers,” Exp. Mech., vol. 46, no. 4, pp. 429–439, 2006.
[13] A. Kralj, T. Prodan, and I. Emri, “An apparatus for measuring the effect of pressure on
the time-dependent properties of polymers,” J. Rheol., vol. 45, no. 4, pp. 929–943,
2001.
[14] F. R. Schwarzl, “On the interconversion between viscoelastic material functions,” Pure
Appl. Chem., vol. 23, no. 2–3, pp. 219–234, 1970.
[15] I. Emri and B. S. von Bernstorff, “Dissipative bulk and granular systems technology,”
EP2700839, 2012.
[16] I. Emri, B. S. von Bernstorff, F. Brehmer, A. Kalamar, M. Bek, and P. Oblak, “Sleeper
with damping element based on dissipative bulk or granular technology,” EP2700838,
2012.
SLOVENSKO DRUŠTVO ZA MEHANIKO
SREČANJE KUHLJEVI DNEVI 2016
Presoja hidrodinamskega stanja pri dispergiranju zraka v vodi
in vodni raztopini CMC z večstopenjskim mešalom
A. Bombač1 in M. Cotič
1
Estimation of hydrodynamic regime by air dispersing with
multiple impellers into water and CMC water solution
Povzetek. V prispevku je obravnavana presoja pojava poplavnega stanja pri dispergiranju zraka na
modelni mešali napravi z večstopenjskim mešalom. Presoja je temeljila na osnovi vizualizacije
tokovnega stanja na steni posode. Modelna posoda in mešala so bila prirejena tako, da so ustrezala
merilom podobnosti dveh izvedb industrijskih fermentorjev. Dispergiranje zraka je bilo izvedeno v
vodovodni vodi in vodni raztopini CMC masne koncentracije 1,5% za podane hidrodinamske
režime na industrijskem fermentorju.
Abstract The paper discusses an assessment of the flooding phenomenon a model mixing device
stirred with multiple impellers. The assessment was based on the visualization of the flow field seen
through the vessel wall. The mixing vessel and impellers satisfied the geometrical similarity of two
corresponded industrial fermenters. The air dispersing was performed in a tap water and aqueous
dilution of the CMC (1.5m%) for given hydrodynamic regimes relevant to the industrial fermenter
operation.
1 Uvod
Proces fermentacije v vitkem reaktorju običajno poteka pri aeraciji fermentacijske brozge z
uporabo večstopenjskega mešala. Le-to je ključnega pomena za optimalno izvedbo procesa,
saj so s tem pogojene osnovne karakteristike kot so moč mešanja, čas pomešanja ter delež in
porazdelitev plinaste faze, stična površina med kapljevino in plinom itn. Mešala v
konfiguraciji večstopenjskega sklopa so lahko enakega tipa in enakega premera kot tudi
kombinacija aksialnih in radialnih in drugih tipov mešal ter tudi različnih premerov[1,2,3]
.
Seveda pa izbor mešal pri dispergiranju plina v kapljevino zelo vpliva na zgornje mejne
pretoke dovedenega plina, pri katerem še dosegamo (enakomerno) porazdelitev plinaste faze
z mešali. Pri večjih pretokih (od mejnih) preide dispergiranje plina v poplavno stanje, kjer
mešala ne opravljajo več svoje osnovne naloge (ali pa bistveno zmanjšano), to je cirkulacije
kapljevine. V poplavnem stanju, ki je razvidno pri opazovanju skozi steno posode[1,2]
, izhaja
večina vnesenega zrak ob gredi mešala navzgor proti gladini in je zelo neenakomerno
1 Univerza v Ljubljani, Fakulteta za strojništvo, Aškerčeva 6, 1000 Ljubljana
- 10 -
porazdeljen po volumnu kapljevine. S tem se tudi stična površina kapljevina/zrak izrazito
zmanjša.
V tem delu so predstavljeni izsledki vizualizacije tokovnih razmer na steni mešalne posode
pri mešanju ter pri dispergiranju zraka v vodi in vodni raztopini CMC. Obravnavanih je bilo
56 hidrodinamskih režimov pri treh vrtilnih frekvencah mešal ter ustreznih pretokih zraka.
Parametri so bili obravnavani na osnovi podatkov iz dveh industrijskih fermentorjev
opremljenih z različnima sklopoma pet-stopenjskih mešal[3]
. Modelna mešalna posoda je bila
zaradi popolnejše geometrijske podobnosti opremljena tudi z modelom hladilnih cevi (štirje
snopi po 18 cevi). Za delovno kapljevino sta bili uporabljeni vodovodna voda in vodna
raztopina CMC masne koncentracije 1,5%.
2 Modelna mešalna naprava
Vizualizacija tokovnih razmer je potekala v laboratoriju LFDT na prirejeni modelni mešalni
napravi, shematsko prikazani na sliki 1. Modelna mešalna naprava je bila opremljena zaradi
Slika 1: Shema modelne mešalne posode
boljše podobnosti tokovnih razmer s štirimi sklopi hladilnih cevi, slika 1 ter detajl. Za
vizualizacijo sta bili alternativno uporabljeni dve konfiguraciji pet-stopenjskega mešala. V
obeh konfiguracijah je bilo spodnje mešalo diskasto z osmimi lopaticami (8RuT) premera
185 mm in z oddaljenostjo od dna posode 143 mm oziroma 137 mm. Nad njim so bila
nameščena štiri InM mešala z enako medsebojno razdaljo 198 mm ter 90° zamikom pri dveh
konfiguracijah: (a) tip mešala InM-A in (b) tip mešala InM-B. Mešalo InM-B ima nekoliko
širše zunanje lopatice in manjšo dolžino čez krila (279 mm), mešalo InM-A ima ožje zunanje
lopatice in nekoliko daljšo dolžino čez krila (306 mm). Vizualizacija je potekala z video
kamero Sony HDR-SRE11E, s frekvenco zajema 25 in 100 s-1
. Za višjo frekvenco smo se
dodatno odločili zaradi boljšega vpogleda v tokovno polje dvofaznega sistema ob steni
posode. Snovne lastnosti za CMC Blanose Refined 7L so podane po virih proizvajalca[7,8]
,
8RuT
InM-A / B
Hladilne
cevi
Razpršilnik s
šobami spodaj
Video kamera
InM-B
InM- A
- 11 -
med drugim viskoznost na sliki 2. Izmerjena povprečna vrednost viskoznosti na osnovi
osmih izmerkov po Höpplerju znaša =13.910,11·10-3
Pas in potrjuje tip CMC ja.
Slika 2: Vpliv koncentracije na viskoznost 1,5% vodne raztopine CMC[5]
3 Ustrezni hidrodinamski režimi na modelni napravi
Za izbrane hidrodinamske režime na industrijskih fermentorjih ustrezajo naslednji parametri
primerljivih režimov na modelni mešalni napravi LFDT, prikazani v tabeli 1.
Tabela 1: Hidrodinamski režimi
InM-A
Fl
Fr q [m3/h]
n[vrt/min] 15.2 22.9 30.5 38.1
165 0.242954 0.364431 0.485909 / 0.1427
193 0.208247 0.312370 0.416493 0.520616 0.1942
220 0.182216 0.273324 0.364431 0.455539 0.2537
InM-B
Fl
Fr
q [mn3/h]
n[vrt/min] 7.6 15.2 22.9 30.5 38.1
138 0.145773 0.291545 0.437318 / / 0.0991
165 / 0.242954 0.364431 0.485909 0.607386 0.1427
193 / 0.208247 0.312370 0.416493 0.521156 0.1942
4 Vizualizacija
Obdelani so bili vsi režimi InM-A in InM-B v vodi in CMC vodni raztopini. Zaradi
pomanjkanja prostora bodo grafično prikazani le mejni primeri.
Režim InM-A/193/ Tako je na sliki 3 prikazano stanje dispergiranja zraka z mešalom
tipa InM-A v vodi na levi sliki, na desni pa dispergiranje zraka v CMC raztopini. Pri
dispergiranju v vodi je lepo razvidna dokaj enovita porazdelitev plinaste faze, razvidna so
tudi področja prehajanja lopatic InM mešala. Iz videoposnetka pa je še posebej lepo razvidno
enakomerno in časovno neodvisno porazdeljenost plinaste faze po volumnu kapljevine. Pri
dispergiranju v CMC raztopini je zaradi rahle obarvanosti in manjše prosojnosti nekoliko
- 12 -
slabša vidljivost, a je še vedno dokaj lepo razvidno enakomerno in časovno neodvisno
porazdeljenost plinaste faze po volumnu kapljevine. Seveda so to izsledki, ki temelje
izključno na opazovanju tokovnega polja vidnega skozi steno posode.
Slika 3: Stanje dispergiranja zraka v vodi in v CMC, InM-A, 193 vrt/min, 15,3 m3/h
Slika 4: Poplavno stanje v vodi in v CMC, režim InM-A, 193 vrt/min, 22,9 m3/h
- 13 -
Pri povečanem pretoku preide režim dispergiranja v režim poplavnega stanja, slika 4.
Porazdelitev plinaste faze je precej neenakomerna, spodnji del kapljevine pod spodnjim
mešalom vsebuje le komaj zaznan delež plinaste faze. Iz video posnetka pa izhaja, da poteka
prehajanje plinaste faze od dispergirnega obroča proti gladini zelo neenakomerno v
presledkih z večjo oziroma manjšo intenzivnostjo; pri poplavnem stanju do 'izbruhov'
plinaste faze na gladino, kar povzroča še dodatne vibracije na samih mešalnih. Za preostale
režime pri dispergiranju zraka v vodi z mešalom InM-A je ugotovljen režim poplavnega
stanja, prikazano na sliki 5.
Slika 5: Poplavno stanje v vodi pri podanih režimih za InM-A
Režim InM-B/193/ Na sliki 6 je prikazano stanje dispergiranja zraka z mešalom tipa
InM-B v CMC raztopini. Razvidna je dokaj enovita porazdelitev plinaste faze kot tudi
področja prehajanja lopatic InM mešala. Iz videoposnetka pa je zaradi rahle obarvanosti in
manjše prosojnosti sicer nekoliko slabša vidljivost, a je še vedno dokaj lepo razvidno
enakomerno in časovno neodvisno porazdeljenost plinaste faze po volumnu kapljevine. Pri
povečanem pretoku preide režim dispergiranja v režim poplavnega stanja, slika 7. Podobne
ugotovitve veljajo tudi pri tej konfiguraciji; porazdelitev plinaste faze je precej neenako-
- 14 -
Slika 6: Poplavno stanje v CMC, režim InM-B, 193 vrt/min, 15,2 m3/h
Slika 7: Poplavno stanje v vodi in v CMC, režim InM-B, 193 vrt/min, 22,9 m3/h
merna, spodnji del kapljevine pod spodnjim mešalom vsebuje le komaj zaznan delež plinaste
faze, prehajanje plinaste faze potek od dispergirnega obroča proti gladini zelo neenakomerno
- 15 -
in v presledkih z večjo oziroma manjšo intenzivnostjo, pojavljajo se dodatne vibracije na
samih mešalnih. Za preostale režime pri dispergiranju z mešalom InM-B je ugotovljen režim
poplavnega stanja, prikazano na sliki 8.
Slika 8: Dispergiranje zraka z mešali (8RuT+4xInM-B) v vodi
Tabela 2: Ocena stanja hidrodinamskih režimov
B
InM-B, stanje režima
q[mn3/h]
n[vrt/min] 7.6 15.2 22.9 30.5 38.1
138 disp.,disp. F, F F, F F /
165 / F, disp.? F, F F, F F,F
193 / disp. F, F F, F F,F
A
InM-A, stanje režima
q[m3/h]
n[vrt/min] 15.2 22.9 30.5 38.1
165 ?disp., ?disp. F, F F, F /
193 disp., disp. F, F F, F F, F
220 disp., disp. disp., ?disp. F, F F, F
- 16 -
V tabeli 2 so podane ocene stanja obravnavanih hidrodinamskih režimov, zadovoljivo stanje
dispergiranja zraka v vodi je označeno v nagibu z oznako disp. ter za poplavno stanje F in v
1,5% vodni raztopini CMC s poudarkom za zadovoljivo dispergiranje disp. ter poplavno
stanje F, vprašaj (?) označuje neopredeljeno stanje. Na osnovi opazovanja tokovnega stanja
na steni modelne mešalne posode je sklepati, da je poplavno stanje prisotno v večini
obravnavanih hidrodinamskih režimih. V nadaljevanju raziskav bi bilo smiselno natančneje
določiti mejne režime poplavnega stanja večstopenjskega mešala, kjer pa bi zaradi
kompleksnosti pojava pristopili s kombinacijo različnih metod prepoznave kot so npr.
razmerje moči, globalni in lokalni delež plinaste faze itn. tako pri dispergiranju zraka v vodo
kot tudi v CMC raztopino.
5. ZaključekDelo obravnava vizualizacijo stanja različnih hidrodinamskih režimov pri mešanju in pri
dispergiranju zraka v vodo in CMC raztopino z večstopenjskim mešalom. Vizualizacija je
potekala na steni mešalne posode, delovni kapljevini sta bila vodovodna voda in 1,5% vodna
raztopina CMC, vseh opazovanih hidrodinamskih režimov je bilo 56. Video posnetki so bili
opravljeni z videokamero s frekvenco 25 fps za ogled v realnem času in s frekvenco 100 fps
za upočasnjen posnetek.
Na osnovi vizualizacije je podana alternativna presoja, ocena stanja hidrodinamskega
režima: zadovoljivo dispergiranje oziroma poplavno stanje. Iz pregleda stanj izhaja, da v
večini hidrodinamskih režimov prihaja do poplavnega stanja, tako pri dispergiranju zraka v
vodi kot v CMC vodni raztopini. Iz posnetkov ni videti večjih razlik tokovnih struktur pri
dispergiranju v vodi oz. CMC raztopini. Ustrezno dispergiranje je doseženo le pri režimih z
nižjimi pretoki zraka (do 15,2 m3/h) in višjih vrtilnih frekvencah mešala 60, 70 in 80
vrt/min.
Literatura
[1] Bombač A., Vidic M., Senica D.: Primerjava rezultatov meritev na industrijskem fermentorju in
pomanjšane modelne naprave, Kuhljevi dnevi 2014, Maribor 2014
[2] BOMBAČ, Andrej. Effects of geometrical parameters on Newton number in an aerated stirred
tank. StrojV, 44, 3/4, 105-116, 1998
[3] Bombač, A., Žun, I. Flooding-Recognition Methods in a Turbine-Stirred Vessel; Strojniški
vestnik, Izv. 48, Ljubljana 2002
[4] M. Cotič: Raziskava osnovnih karakteristik mešanja v modelnem fermentorju z večstopenjskimi
mešali; diplomsko delo, Fakulteta za strojništvo, Ljubljana 2014
[5] BOMBAČ, Andrej, COTIČ, Matic. Vizualizacija tokovnih razmer pri mešanju in dispergiranju
zraka v vodi in CMC raztopini s pet stopenjskim mešalom, poročilo, Fakulteta za strojništvo,
Ljubljana 2015
[6] BOMBAČ, Andrej, ŽUN, Iztok. Power consumption and mixing time in stirring with modified
impellers, Proceedings of the 12th European Conference on Mixing, AIDIC Servizi S.r.l., 153-160,
Milano 2006
[7] Hecules Inc, Aqualon: Properties of solutions of BLANOSE® Refined CMC, dostopno 7.11.2015
na naslovu:
http://www.gianniberti.it/Editoriali/aq/Blanose/bro_blan_properti.html).
[8] Cellulose Aqualon CMC, Booklet.pdf dostopno 17.11.2015 na naslovu:
http://webcache.googleusercontent.com/search?q=cache:x7hmwfsaEvUJ:www.researchgate.net/public
topics.PublicPostFileLoader.html%3Fid%3D551d8944f15bc717108b467d%26key%3Dbd46ed1c-
1fb7-438a-9061-8ffaeba0c35e+&cd=1&hl=sl&ct=clnk&gl=si
SLOVENSKO DRUŠTVO ZA MEHANIKO
SREČANJE KUHLJEVI DNEVI 2016
Eksperimentalna določitev premerov mehurčkov pri
dispergiranju zraka v posodi s tristopenjskim mešalom
M. Cotič1, U. Kočevar
1in A. Bombač
1
Experimental determination of dispersed air bubble diameters
in the vessel with three-stage impeller
Povzetek. V prispevku je predstavljena analiza velikosti mehurčkov ob steni mešalne posode
pri dispergiranju zraka s tristopenjskim mešalom. Po višini posode je bilo obravnavanih 13
segmentov dimenzij 50 x 26 mm. Za vsak segment so bili narejeni in obdelani posnetki s
fotoaparatom iz katerih so bile analizirane površine posameznih mehurčkov in iz njih izračunani
ekvivalentni premeri mehurčkov. Prikazane so tudi distribucije velikosti mehurčkov ob steni.
Abstract. This paper presents an analysis of the bubble sizes in air dispersing close to the wall
of the mixing vessel stirred with a three-stage impeller. Thirteen segments of dimensions 50 x 26
mm were chosen height wise. In all segments bubble surfaces were obtained from pictures. Each
bubble surface was used to calculate equivalent bubble diameter. Furthermore, bubble size
distributions are presented for all segments.
1 Uvod
Obravnavano je bilo dispergiranje zraka v vodo s tristopenjskim mešalom v vitki posodi.
Zrak je dovajan z obročastim razpršilnikom pod spodnjim mešalom. V namen delne
validacije CFD izračuna, kjer je bil uporabljen model porazdelitve mehurčkov, so bili
eksperimentalno določeni povprečni ekvivalentni premeri mehurčkov ob steni mešalne
posode. Na voljo je več poznanih metod določanja velikosti premerov mehurčkov, kot so:
PIV[1]
, izokinetična metoda[2]
, PDA (Phase Doppler Anemometry)[2]
ali pa obravnava
posnetkov[2,3,4,5]
. Izbrana je bila slednja metoda. Po višini posode je bilo posnetih 13
segmentov velikosti 50 x 26 mm. Skupno je bilo analiziranih 39 posnetkov iz katerih
izračunan ekvivalentni premer. Za posamezni segment je bil izračunan povprečni premer
mehurčka.
Izmerjeni premeri mehurčkov so bili razporejeni v velikostne razrede s korakom 0,3 mm za
prikaz distribucije velikosti mehurčkov. Za meritve je bila uporabljena vodovodna voda pri
temperaturi 22°C in stisnjen zrak iz razvodnega omrežja Fakultete za strojništvo v Ljubljani.
1 Univerza v Ljubljani, Fakulteta za strojništvo
Kuhljevi dnevi 2016
- 18 -
2 Modelna naprava
Uporabljena modelna naprava je prikazana na sliki 1, levo. Gred tristopenjskega mešala je
gnana preko frekvenčno reguliranega elektromotorja, vrtilna frekvenca je merjena z
merilnikom vrtljajev v odstopanju . Oznake 2, 3 in 4 prikazujejo namestitev
mešal na gredi. Zrak je dovajan preko obročastega razpršilnika (oznaka 1), pretok je merjen z
rotametrom točnosti (oznaka 6) in ustrezno korigiran na dejansko temperaturno in
tlak. Globalni delež plinaste faze je merjen preko vezne cevi s tritočkovnim odjemom
(oznaka 7).
Slika 1: Levo: modelna naprava (1 – razpršilnik zraka; 2,3 in 4 – mešala; 5 – fotoaparat; 6 –
rotameter; 7 – U-cev), desno: tristopenjsko mešalo.
Premer modelne mešalne posode (T) je 450 mm. Uporabljeno tristopenjsko mešalo je
prikazano na sliki 1, desno. Na gredi si od najnižje lege navzgor sledijo mešala enakega
premera 0,5·T : (i) Radialno mešalo ABT je namenjeno dispergiranju večjih količin zraka[6]
,
(ii) Turbinsko mešalo , s šestimi lopaticami nagiba 45°. Iztekajoči tok iz lopatic je
usmerjen navzdol in (iii) Aksialno mešalo , s tremi lopaticami, ki ustvarjajo
aksialno iztekajoč tok navzdol. Vizualizacija je potekala v režimu Fr = 0,2 in Fl = 0,23.
Vrtilna frekvenca gredi mešala na modelni napravi znaša n = 178 vrt/min, pretok
dovedenega zraka q = 28 m3/h.
Posnetki so bili narejeni s fotoaparatom Nikon D200 (oznaka 5), po višini posode je bilo
opravljenih 13 posnetkov. Fotografije so bile zajete na trinajstih pozicijah po višini mešalne
posode, kot je prikazano na sliki 1, levo. Zaradi časovne odvisnosti distribucije mehurčkov
po posodi, so bile na vsaki poziciji analizirane tri fotografije. Slika 2 prikazuje dva posnetka
z naključno porazdelitvijo mehurčkov pri istem režimu. Fotoaparat Nikon D200 je bil
opremljen z objektivom Nikkor micro s fiksno goriščno razdaljo 85 mm. Zaslonka je bila
nastavljena na f/34, čas osvetlitve je bil v posameznih segmentih različen - nanj je vplivalo
število mehurčkov, ki sipajo svetlobo v času zajema slike. Zajete slike so formata JPEG fine,
velikosti 3872 x 2592 slikovnih točk in resolucije 300 točk na palec v horizontalni in v
vertikalni smeri.
Kuhljevi dnevi 2016
- 19 -
Slika 2: Naključna distribucija mehurčkov ob steni posode pri istem režimu
V literaturi[2,3]
se pogosto uporablja senco mehurčka za določanje projekcije stične površine
zraka in kapljevine. Posnetek sence mehurčka je dosežen z uporabo transmisivne osvetlitve
vzorca. V tem primeru je na posnetku mehurček obrobljen črno, njegovo središče pa je svetle
barve[7]
. Zaradi tokovnih razmer v mešalni posodi je bila transmisivna osvetlitev, ki bi
omogočala določanje senc mehurčkov, neuporabna. Dovolj kratek čas zajema posamezne
fotografije je bil dosežen z reflektivno osvetlitvijo segmentov.
Na notranji steni posode je bilo nameščeno merilo za določitev velikosti slikovne točke na
posnetih fotografijah. Fotografije so bile izostrene na merilo. Določena je bila mejna
oddaljenost od stene posode, kjer je bila ostrina slike preslaba za natančno določitev
projekcije stične površine mehurčka in vode. Tako so bili obravnavani le mehurčki v
oddaljenosti do 8 mm od stene posode. Rob mehurčka je bil določen ročno, kar je zagotovilo
lažje upoštevanje mehurčkov z manjšim prekrivanjem. Dobljeni rezultati premerov v
posameznih segmentih so bili z upoštevanjem večjega števila mehurčkov bolj
reprezentativni. Zaradi uporabljene reflektivne osvetlitve mešalne posode se pri določenih
mehurčkih pojavijo slikovne točke, kjer je barva kapljevine in zraka enaka, stične površine se
ne da določiti. V teh primerih mehurček ni bil upoštevan. Rob in projekcijska površina
mehurčka Ai v številu slikovnih točk je bila določena s programom GIMP[8]
. Velikost
slikovne točke je bila določena iz števila slikovnih točk na razdalji 30 mm. Iz površine
mehurčka (število slikovnih točk) in velikosti slikovne točke je bila izračunana projekcijska
površina mehurčka Ai v mm2. Na posamezni fotografiji so bili za mehurčke na razdaliji do 8
mm od stene posode izračunani ekvivalentni premeri di = (4Ai/)0.5
in povprečna vrednost
premerov da = (di/N).
3 Rezultati in razprava
Preglednica 1 prikazuje povprečno število obravnavanih mehurčkov v posameznem
segmentu in standardni odklon od povprečja pri treh posnetkih. Visoke vrednosti odklona v
Kuhljevi dnevi 2016
- 20 -
preglednici nazorno kažejo vpliv naključnosti distribucije mehurčkov po obravnavanem
segmentu (slika 2).
Mešala se nahajajo na višinah v območju sivo obarvanih celic preglednice 1. V spodnjem
delu posode je standardni odklon števila upoštevanih mehurčkov zelo visok (18,8 in 20,4).
Segment, kjer se nahaja spodnje mešalo (ABT) ima standardni odklon manjši od odklona
okoliških segmentov. To si lahko razlagamo kot časovno dokaj enakomerno distribucijo
zraka v okolici mešala. V primeru srednjega in zgornjega mešala je razlika odklona števila
mehurčkov med segmenti, kjer se nahajata mešali in okoliškimi segmenti, podobna. Zgornje
mešalo se nahaja med segmentoma 570-620 mm in 890-940 mm
Tabela 1: Povprečno število upoštevanih mehurčkov po segmentih in standardni odklon.
višina [mm] 70 - 120 130-180 160-220 240-290 370-420 440-490 490-540
povprečno št. mehurčkov
55 59 61 28 46 37 45
σ 20,4 9,9 18,8 4,9 7,4 2,5 14,9
višina [mm] 490-540 570-620 890-940 950-1000 1060-1100 1150-1200 1330-1390
povprečno št. mehurčkov
45 26 13 22 21 21 44
σ 14,9 0,8 0,9 2,1 4,0 3,4 6,8
Uporabljena konfiguracija tristopenjskega mešala pri obravnavanem pogoju Fr = 0,2 in Fl =
0,23 še uspe dispergirati zrak po mešalni posodi[9]
, vendar je tok zraka proti prosti površini
ob gredi večji kot ob steni posode (slabše pomešanje).
Povprečni ekvivalentni premeri mehurčkov v segmentih v odvisnosti od višine in standardni
odklon pri treh zajetih fotografijah so prikazani na sliki 3. Desno je na sliki prikazano tudi
tristopenjsko mešalo z višinami posameznih mešal na gredi.
Razpršilnik zraka je nameščen na višini 60 mm in ima v obroču 69 izvrtin premera 3 mm.
Povprečni premer mehurčka v segmentu višine med 70 in 120 mm znaša 2,4 mm. Spodnje
mešalo vnese v posodo turbulentno kinetično energijo, ki je v ožji okolici mešala najvišja, v
širši okolici pa disipira. Turbulentni vrtinec ob stiku s površino mehurčka poveča zunanje
napetosti, medtem ko površinska napetost in viskoznost mehurčka ostaneta nespremenjeni –
mehurček se ob neravnovesju 'raztrga'[10]
. Zaradi tokovnih razmer je tako povprečni premer
mehurčka v bližini mešala 2,2 mm, pod in nad mešalom pa znaša 2,4 mm oziroma 2,6 mm.
Med spodnjim in srednjim mešalom je območje manjših strižnih sil, do razpada mehurčka
pride redkeje. Lahko pa v tem območju pride do koalescence mehurčkov. Glavni povzročitelj
koalescence je turbulenca, manjšo vlogo ima tudi vzgon mehurčkov[10]
. Povprečni premer
mehurčka se v tem predelu poveča do vrednosti 3,6 mm. Srednje, aksialno-radialno mešalo,
ponovno vnese turbulentno kinetično energijo v mešalno posodo. V okolici mešala se
mehurčki ponovno 'trgajo', povprečni premer se zmanjša na vrednost 3,4 mm. Zgornje
mešalo črpa vodo v aksialni smeri proti dnu mešalne posode. V okolici mešala se povprečni
premer mehurčka ne spremeni bistveno in znaša 3,7 oziroma 3,9 mm. Povprečni ekvivalentni
premeri mehurčkov v segmentih v odvisnosti od višine in standardni odklon pri treh zajetih
fotografijah so prikazani na sliki 4. Desno je na sliki prikazano tudi tristopenjsko mešalo z
višinami posameznih mešal na gredi.
Kuhljevi dnevi 2016
- 21 -
Glede na literaturo[11]
znaša povprečni Sauterjev premer mehurčka dispergiranega zraka v
vodovodno vodo z dvostopenjskim Rushtonovim (RuT) mešalom med 1,2 mm (tik ob robu
mešala) in 4,1 mm (nad mešalom). V bližini roba mešalne posode so v omenjenem delu
povprečni premeri mehurčkov med 2,6 mm in 3,3 mm.
Slika 3: Povprečni premer mehurčka v odvisnosti od višine.
Izmerjeni premeri mehurčkov za posamezni segment so bili razporejeni v razrede od
najmanjšega do največjega premera. Z velikostjo razreda je bilo zagotovljeno
večje število mehurčkov v posameznem razredu za prikaz distribucije velikosti:
kjer je premer razreda od do in a velikost razreda.
Potrebno število vzorcev za prikaz distribucije velikosti mehurčkov se glede na podatke iz
literature razlikuje. V delu Bouaifi[12]
je bilo uporabljenih 150-200 vzorcev, medtem ko je v
delu Buffo et al.[13]
predlagana uporaba več kot 500 vzorcev.
Pri treh posnetkih je največje število obravnavanih mehurčkov v posameznem segmentu 183
in najmanjše 38. Slika 4 prikazuje distribucijo velikosti v posameznih segmentih.
Kuhljevi dnevi 2016
Slika 4: Distribucija velikosti mehurčkov v obravnavanih segmentih.
- 22 -
Kuhljevi dnevi 2016
- 23 -
Nad zgornjim mešalom tristopenjskega mešala (segmenta višine1060-1100 mm in 1150-
1200 mm) prikazuje distribucija veliko nihanje števila mehurčkov v posameznem razredu - v
obeh primerih je število vzorcev majhno. Distribucija v ostalih segmentih prikazuje manjše
število mehurčkov večjih premerov. V segmentu višine 130 mm do 180 mm (spodnje
mešalo) je večina mehurčkov premera od 1 mm do približno 3,5 mm. Povprečni premer je tu
najmanjši in znaša 2,2 mm (slika 4). V ostalih prikazanih segmentih premeri v večini znašajo
med 2 mm in približno 5 mm.
Slika 5: Distribucija velikosti mehurčkov v celotni posodi in povprečni premer. Število
vzorcev N = 1427.
Distribucija velikosti vseh izmerjenih premerov mehurčkov (1427 mehurčkov iz vseh
segmentov) je prikazana na sliki 5. Večina mehurčkov ob steni posode je premera od 1 mm
do 5 mm. Za celotno posodo je bil izmerjen povprečni premer .
4 Zaključek
Obravnavano je bilo tristopenjsko mešalo v vitki posodi, kjer je zrak doveden preko
obročastega razpršilnika pri dnu posode. Uporabljena konfiguracija tristopenjskega mešala
za primer Fr = 0,2 in Fl = 0,23 še uspe dispergirati zrak po mešalni posodi[8]
. Skupno je bilo
analiziranih 39 posnetkov, iz določene površine posameznega mehurčka je bil izračunan
ekvivalentni premer (di). Povprečni ekvivalentni premer mehurčkov (da) v območju
tristopenjskega mešala znaša med 2,2 mm in 3,9 mm. Nad mešalom se poveča do 4,3 mm,
kar je tudi največji povprečni premer ob steni mešalne posode (slika 3).
Za prikaz distribucije velikosti mehurčkov so bili premeri razporejeni v razrede s korakom
0,3 mm. V prikazanih segmentih je večina mehurčkov premera med približno 2 mm in 5
mm. V segmentu pod mešalom so premeri mehurčkov manjši (večinoma manjši ali enaki
premeru luknjic razpršilnika). Na višini spodnjega mešala je povprečni premer mehurčka
najmanjši in znaša 2,2 mm (slika 3). Distribucija v celotni mešalni posodi (vsi obravnavani
segmenti – slika 5) prikazuje večino mehurčkov s premeri med približno 2 mm in 5 mm.
Določen povprečni premer mehurčka v posodi je 3,2 mm.
Kuhljevi dnevi 2016
- 24 -
Oznake
D - premer mešala [m ]
T – premer mešalne posode [m]
n - vrtilna frekvenca mešala [s-1
]
q - pretok dovedenega zraka [ m3/s]
di – ekvivalentni remer mehurčka [mm]
da – povprečni ekvivalentni remer mehurčka [mm]
Ai – površina mehurčka [pix; mm2]
– število mehurčkov v segmentu
Literatura
[1] G. Montante , A. Paglianti and F. Magelli, Eksperimental analysis and computational
modeling of gas-liquid stirred vessel, Trans IChemE, Part A, 2007.
[2] M. Laakkonen , P. Moilanen, T. Miettinen, K. Saari, M. Honkanen, P. Saarenrinne and
J. Aittamaa, Local bubble size distributions in agitated vessel. Comparison of Three
Experimental Techniques, Trans IChemE, Part A, 50–58, 2005.
[3] G. Montante , D. Horn, A. Paglianti, Gas–liquid flow and bubble size distribution in
stirred tanks, Chemical Engineering Science 63, 2107 – 2118, 2008.
[4] Yonggang Zhu, Jie Wu and Richard Manasseh, Rapid Measurement of Bubble Size in
Gas-Liquid Flows Using a Bubble Detection Technique, 14th Australasian Fluid
Mechanics Conference, Adelaide University, Adelaide, Australia, 2001.
[5] Maedeh Asari and Faramarz Hormozi, Experimental Determination of Bubble Size in
Solution of Surfactants of the Bubble Column, Journal of Advanced Chemical
Engineering, 2014.
[6] A. Bombač, Diskasto mešalo z asimetričnimi lopaticami, Slovenski kemijski dnevi
2013, str. 1 - 8, 2013.
[7] M. Bailey, C.O. Gomez, J.A. Finch, Development and application of an image analysis
method for wide bubble size distributions, Minerals Engineering issue 18, 1214-1221,
July 2005.
[8] Program za obdelavo slik GIMP, dostopno 30.05.2016 na: https://www.gimp.org/
[9] M. Cotič, M. Vidic in A. Bombač, Primerjava dveh radialnih mešal v tristopenjskem
mešalu, Zbornik del, Kuhljevi dnevi 2015, str. 25 - 32, 2015.
[10] Marko Laakkonen, Pasi Moilanen, Ville Alopaeus, Juhani Aittamaa, Modelling local
bubble size distributions in agitated vessels, Chemical Engineering Science, issue 62,
721-740, 2007.
[11] S.S. Alves, C.I. Maia, J.M.T. Vasconcelos, A.J. Serralheiro, Bubble size in aerated
stirred tanks, Chemical Engineering Journal, issue 89, 109-117, 2002.
[12] M. Bouaifi, G. Hebrard, D. Bastoul, M. Roustan, A Comparative Study of Gas Hold-Up,
Bubble Size, Interfacial Area and Mass Transfer Coefficients in Stirred Gas–Liquid
Reactors and Bubble Columns, Chemical Engineering and Processing, issue 40(2), 97-
111, 2001.
[13] A. Buffo and V. Alopaeus, Experimental determination of size distributions: analyzing
proper sample sizes, Measurement Science and Technology 27, 2016.
SLOVENSKO DRUSTVO ZA MEHANIKO
SRECANJE KUHLJEVI DNEVI 2016
O nicelnosti lineariziranih kinematicnih in ravnoteznih enacbsistema podprtih in povezanih togih teles
R. Flajs1
On nullity of linearized kinematical and equilibrium equationsof the system of supported and connected rigid bodies
Povzetek. V prispevku obravnavamo linearizirane kinematicne enacbe in ravnotezne enacbe sis-tema podprtih in povezanih togih teles. Dokazemo zvezo
nicelnost(A) = nicelnost(BT ),
kjer je A matrika kinematicnih enacb in B matrika ravnoteznih enacb. Eksplicitne zveze med matri-kama A in B nismo uspeli najti. Testni primeri znane zveze A = BT ne potrjujejo.
Abstract. The linearized kinematical equations and equilibrium equations of the system of thesupported and connected rigid bodies are considered. In the paper the relation
nullity(A) = nullity(BT )
is proved. Here matrices A and B denote the matrix of the kinematical equations and the matrixof the equilibrium equations, respectively. However, we were not able to find the explicit relationbetween matrices A and B. The well known relation A = BT has not been confirmed.
1 Uvod
V statiki obravnavamo kinematicne in ravnotezne enacbe sistema podprtih in povezanih togihteles. Kinematicne enacbe lahko zapisemo v matricni obliki z enacbo
A~u =~0, (1)
kjer A ∈ Rnke×nkn oznacuje matriko kinematicnih enacb, ~u vektor kinematicnih neznank (po-mikov in zasukov okolic krajisc togih teles na mestih prisotnih vezi in podpor), nke stevilokinematicnih enacb in nkn stevilo kinematicnih neznank.
1 Univerza v Ljubljani, Fakulteta za gradbenistvo in geodezijo
Kuhljevi dnevi 2016
Podobno lahko ravnotezne enacbe zapisemo v matricni obliki z enacbo
B~x = ~F , (2)
kjer B ∈ Rnre×nrn oznacuje matriko ravnoteznih enacb, ~x vektor ravnoteznih neznank (reakcijpodpor in sil v vezeh), ~F obtezni vektor zunanje obtezbe, nre stevilo ravnoteznih enacb in nrn
stevilo ravnoteznih neznank. Dejansko stevilo prostostnih stopenj sistema podprtih in povezanihtogih teles nps definiramo z enacbo
nps = nicelnost(A) = dim(jedra(A)) = nkn− rang(A) = nre− rang(B) = nicelnost(BT ). (3)
Matematicno rang linearne preslikave ustreza dimenziji slike preslikave. S stevilom linearnoneodvisnih vrstic oziroma stolpcev matrike definiramo vrsticni in stolpcni rang matrike. Obaranga sta enaka prvotno definiranemu rangu.
V prispevku bomo dokazali zvezo
nicelnost(A) = nicelnost(BT ). (4)
Zveze med matrikama A in B nismo uspeli dolociti. Racunski primeri zveze A = BT iz [1]ne potrjujejo, zato bomo pri dokazovanju ubrali drugacen pristop. Enakost (4) bomo najprejdokazali na ravnoteznih enacbah, dobljenih iz principa virtualnega dela in jo nato razsirili se naravnotezne enacbe, dobljene iz razreza konstrukcije.
2 Princip virtualnega dela sistema podprtih in povezanih togih teles
2.1 Princip virtualnega dela sistema masnih delcev
Virtualno delo sistema masnih delcev lahko zapisemo z vsoto po vseh delcih
δW = ∑~Fi ·δ~ui = 0. (5)
2.2 Princip virtualnega dela sistema podprtih in povezanih togih teles
Virtualno delo sistema podprtih in povezanih togih teles lahko zapisemo z vsoto po vseh togihtelesih, podporah in vezeh
δW = ∑
(~Fi ·δ~ui + ~Mi ·δ~ϕi
)= 0. (6)
V kolikor podprt in povezan sistem togih teles razstavimo na toga telesa, podpore in vezi, pricemer vplive vseh odstranjenih delov nadomestimo s silami, upostevamo zakon akcije in reak-cije, lahko gornjo enacbo zapisemo za vsako togo telo, podporo ali vez posebej.
V nasih izvajanjih bomo upostevali linearizirane Rodriguesove kinematicne enacbe [3, (18)].Ker se virtualni pomiki podrejajo lineariziranim kinematicnim enacbam, lahko v izreku o virtu-alnem delu upostevamo linearizirane kinematicne enacbe.
- 26 -
Kuhljevi dnevi 2016
3 Dokaz trditve nicelnost(A) = nicelnost(BT )
3.1 Ravnotezne enacbe, dobljene iz principa virtualnega dela
Racunanje reakcij, sil v vezeh in notranjih sil z uporabo principa virtualnega dela je podrobnoopisano v clanku [3] in v ucbeniku Statika II [5].
Z uporabo izreka o virtualnem delu napisemo ravnotezne enacbe, dobljene s sprostitvijo po-samicnih vezi ali podpor. S pojmom kinematicna veriga definiramo vektor iz jedra matrikekinematicnih enacb sproscene konstrukcije. Konstrukcija ravnoteznih enacb utegne biti zaradipredhodnega dolocanja kinematicnih verig zamudna, so pa te enacbe v algebrajskem pogledu“najlepse”. V primeru staticno dolocene, kinematicno stabilne konstrukcije je matrika B rav-noteznih enacb kar nesingularna diagonalna matrika.
Zaradi ugodne oblike ravnoteznih enacb bomo trditev nkn− rang(A) = nre− rang(B) najprejdokazali na teh enacbah.
3.2 Staticno dolocene konstrukcije
3.2.1 nkn = rang(A) =⇒ nre = rang(B)
Naj bo konstrukcija kinematicno stabilna. Po znanem postopku najprej sprostimo ustreznopodporo ali vez in nadomestimo vpliv odstranjene podpore ali vezi s silo ali z momentom W .Sproscena konstrukcija postane kinematicno labilna. Zato lahko konstruiramo (od nic razlicno)kinematicno verigo. Neznano staticno kolicino W dolocimo iz enacbe
W δuw +~F ·δ~u = 0. (7)
Ce bi bil skalar δuw v gornji enacbi enak nic, bi vektor~0 6= δ~u ∈ Ker(A), kar pa je v protislovjuz zacetno predpostavko. Oblika verige je enolicno dolocena. Ce bi obstajali dve taksni verigi,bi veljalo naslednje
W δuw1 +~F ·δ~u1 = 0, (8a)
W δuw2 +~F ·δ~u2 = 0, (8b)
kjer bi bila skalarja δuw1 in δuw2 oba od nic razlicna. Prvo enacbo bi pomnozili z δuw2, drugopa z δuw1 in odsteli ter tako dobili
~F · (δuw2 δ~u1−δuw1 δ~u2) = ~F ·δ~u = 0. (9)
Torej bi vektor ~0 6= δ~u ∈ Ker(A), kar pa je spet v protislovju z zacetno predpostavko. Kerlahko vse neznane staticne kolicine enolicno dolocimo iz enacb (7), je determinanta sistemaravnoteznih linearnih enacb razlicna od nic in posledicno velja nre = rang(B).
3.2.2 jedro(A) 6= /0 =⇒ nre 6= rang(B)
Naj bo konstrukcija kinematicno labilna. Tedaj obstaja od nic razlicen vektor δ~u1 iz jedrapreslikave A, da velja
A~δu1 =~0. (10)
- 27 -
Kuhljevi dnevi 2016
Z uporabo izreka o virtualnem delu dobimo
~F ·δ~u1 = 0 (11)
pri poljubni zunanji obtezbi ~F . Enacba (11) je ravnotezna enacba (pomnozena z nenicno virtu-
alno kinematicno kolicino). Ce za ~F izberemoδ~u1
|δ~u1|2(v ustreznih fizikalnih enotah), dobimo
protislovje1 = 0, (12)
ki pove, da ravnotezne enacbe niso izpolnjene.
3.2.3 nkn− rang(A) = nre− rang(B)
Naj bo konstrukcija kinematicno labilna. Tedaj obstajajo od nic razlicni vektorji δ~uk, k =1, . . . ,nk iz jedra preslikave A, da velja
A~δuk =~0. (13)
Z uporabo izreka o virtualnem delu pri poljubni zunanji obtezbi ~F dobimo
~F ·δ~uk = 0 (14)
sistem nk linearno odvisnih, glede neznanih reakcij in sil v vezeh (v bistu pa nk linearno ne-odvisnih ravnoteznih enacb tipa 0 = ak 6= 0). Skupaj imamo nre enacb (toliko kot neznank).Pokazati moramo, da je preostalih nre - nk enacb, glede neznanih reakcij in sil v vezeh, linearnoneodvisnih.
Ker je osnovna konstrukcija staticno dolocena, predvsem pa kinematicno labilna, sklepi iz po-glavja 3.2.1 ne veljajo vec. Za taksne konstrukcije je znacilna kinematicna labilnost na enemdelu, staticna nedolocenost pa na drugem delu. S sprostitvijo dolocene kinematicne kolicine vsplosnem ne moremo zapisati enacbe
W δuw +~F ·δ~u = 0 (15)
pri skalarju δuw razlicnem od nic. Zato sprostimo konstrukcijo na vec mestih in vplive odstra-njenih delov nadomestimo s silami. Taksnih sprostitev je najvec nk. Nato ponovimo postopka3.2.1 in 3.2.2 in pridobimo dodatnih nre−nk neodvisnih enacb.
3.3 Staticno nedolocene konstrukcije
S kinematicno stabilno sprostitvijo dolocenih podpor in vezi in nadomestitvijo odstranjenihdelov s silami in momenti, prevedemo konstrukcijo na staticno doloceno. Ponovimo postopekza staticno dolocene konstrukcije.
3.4 Staticno predolocene konstrukcije
Obravnava je podobna obravnavi staticno dolocenih konstrukcij, pri cemer zaradi labilnostidodamo enacbe tipa ~F ·~δuk = 0.
- 28 -
Kuhljevi dnevi 2016
3.5 Ravnotezne enacbe, dobljene z metodo razreza konstrukcije na toga telesa in vezi
Pokazali bomo, kako lahko z ustrezno izbiro virtualnih pomikov izpeljemo v Statiki obicajneravnotezne enacbe in tako povezali ravnotezne enacbe, dobljene z uporabo izreka o virtualnemdelu, z ravnoteznimi enacbami, dobljenimi iz razreza konstrukcije.
3.5.1 Metoda izrezovanja vozlisc pri palicju
32
1
4
F
12
3
N
N
N
1
2
3
T1T1
T3
T3
T2
T2a
b
c
Slika 1 : Izrez vozlisca 1
Na sliki 1 smo izrezali vozlisce 1, obremenjeno z zunanjo silo ~F . Vplive odstranjenih delovsmo nadomestili s silami N1, T1, N2, T2, N3 in T3. Do metode izrezovanja vozlisc pridemo zustrezno izbiro kinematicno dopustnih virtualnih pomikov. V krajiscu 2 togega telesa 1 najprejizberemo virtualni zasuk enak δϕ2, vse preostale virtualne pomike in zasuke pa izberemo enakenic. Iz enacbe
δϕ2 aT1 = 0 (16)
preberemo, da je precna sila T1 enaka nic. Podobno pokazemo, da sta tudi precni sili T2 in T3enaki nic. Ravnotezne enacbe vozlisca 1 dobimo s poljubno izbiro virtualnega pomika δ~u1 =δu1~ex + δv1~ez vozlisca 1. Pomike vseh preostalih krajisc postavimo na nic. Z izbiro δu1 6=0,δv1 = 0 dobimo enacbo δu1(∑X) = 0, z izbiro δu1 = 0,δv1 6= 0 pa enacbo δv1(∑Z) = 0.
Ravnotezne enacbe, dobljene z uporabo izreka o virtualnem delu, so ekvivalentne ravnoteznimenacbam, dobljenim z uporabo razreza konstrukcije. V obravnavanem primeru je na osnoviopisane konstrukcije mozno poiskati eksplicitno zvezo med njimi.
3.5.2 Metoda razreza konstrukcije na toga telesa in vezi
V prejsnjem primeru smo izrezali vozlisce 1. Podobno lahko poljubno konstrukcijo razrezemona toga telesa in vezi, pri cemer vplive odstranjenih delov nadomestimo s silami in momenti.Ravnotezne enacbe poljubnega togega telesa dobimo s poljubno izbiro virtualnega pomika δ~uin zasuka δ~ϕ izbranega krajisca togega telesa. Ravnotezne enacbe vezi utegnejo biti pri sestav-ljenih vezeh kompleksnejse.
- 29 -
Kuhljevi dnevi 2016
4 Racunski primeri [2, 4]
V naslednjih racunskih primerih bomo uporabljali (x,z) koordinatni sistem. Pomike in zasukeokolice levega krajisca nosilca bomo oznacili z uA, wA in ϕA, pomike in zasuke okolice desnegakrajisca nosilca z uB, wB in ϕB, reakcije leve podpore z Ax, Az in MA = 0, reakcije desne podporepa z Bx, Bz in MB = 0, itd...
4.1 Staticno dolocene konstrukcije
4.1.1 Racunski primer (slika 2)
a a
HV
A B
C
Slika 2 : Staticno dolocena, kinematicno stabilna konstrukcija
Kinematicne enacbe so: uA = 0,wA = 0,wB = 0,uB = uA,wB = wA−2aϕA,ϕB = ϕA.
Ravnotezne enacbe (pomnozene s kinematicno dopustnimi od nic razlicnimi virtualnimi pomikiali zasuki), dobljene z uporabo kinematicnih verig, so:
δϕB (Az 2a+V a) = 0, δϕA (Bz 2a+V a) = 0, δuA (Ax +H) = 0.
Dejansko stevilo prostostnih stopenj je nps = nkn− rang(A) = nre− rang(B) = 0.
4.1.2 Racunski primer (slika 3)
a
a
a
H
V
A B
D
C1 2
3 4
Slika 3 : Staticno dolocena, kinematicno labilna konstrukcija
Kinematicne enacbe so:
uA = 0, wA = 0, uB = 0, wB = 0,uC = uA, wC = wA−aϕA, uC = uB, wC = wB +aϕB,uD = uA−aϕA, wD = wA−aϕA.
- 30 -
Kuhljevi dnevi 2016
Slika 4 : Kinematicne verige v ravnoteznih enacbah 1, 2, 3
Ravnotezne enacbe za reakcije in osni sili v palicah 3 in 4 so:
δϕA (V a+H a) = 0, δϕ4C
(−H a+N3
a√
22
)= 0, δϕ3
A (H a+N4 a) = 0,
δuA (Ax +Bx +H) = 0, δϕA (Az a−H a) = 0, δϕB (Bz a) = 0.
Dejansko stevilo prostostnih stopenj je nps = nkn− rang(A) = nre− rang(B) = 1.
4.2 Staticno nedolocene konstrukcije
4.2.1 Racunski primer (slika 5)
S sprostitvijo zasuka v podpori A tvorimo staticno doloceno, na delu AB kinematicno stabilnokonstrukcijo. Vpliv odstranjenega vpetja nadomestimo z momentom MA.
a a
A B
a
D C
V W
H
1 2 3
Slika 5 : Staticno nedolocena, kinematicno labilna konstrukcija
Kinematicne enacbe so:
uA = 0, wA = 0, ϕA = 0, uB = 0, wB = 0, uC = 0,uD = uB, wD = wB−aϕ2
B, wC = wD−aϕ3C.
.
Ravnotezne enacbe so:
δwC W = 0, δwDV = 0, δϕA (MA−Bz a) = 0, δϕA (MA +Az a) = 0,δuA (Ax +Bx +Cx +H) = 0.
Dejansko stevilo prostostnih stopenj je nps = nkn− rang(A) = nre− rang(B) = 2.
- 31 -
Kuhljevi dnevi 2016
a a
HV
A B
C
Slika 6 : Staticno predolocena konstrukcija
4.3 Staticno predolocene konstrukcije
4.3.1 Racunski primer (slika 6)
Kinematicne enacbe so: wA = 0,wB = 0,uB = uA,wB = wA−2aϕA,ϕB = ϕA.Dejansko stevilo prostostnih stopenj je nps = nkn− rang(A) = 1.Ravnotezne enacbe so:
δϕB (Az 2a+V a) = 0, δϕA (V a+Bz 2a) = 0, δuA H = 0.
Dejansko stevilo prostostnih stopenj je nps = nre− rang(B) = 1.
5 Zakljucek
V prispevku je podan dokaz trditve nicelnost(A) = nicelnost(BT ), kjer je A matrika linearizi-ranih kinematicnih enacb, BT pa transponirana matrika ravnoteznih enacb. Mestoma je dokazrazdelan v celoti, drugje pa je podana zgolj ideja dokaza, podkrepljena s preprostimi racunskimiprimeri. Veljavnost trditve omogoca dobro definiranje dejanskega stevila prostostnih stopenj.Stevilni racunski primeri, ki smo jih v zadnjih letih opravili pri predmetu Statika, zveze A = BT
iz [1] ne potrjujejo. Tudi kvantitativno ta zveza ni ugodna, saj sili v doloceno ujemanje steviliravnoteznih enacb in neznank. V dokazu tega prispevka te zveze ne potrebujemo. Preprostezveze med matrikama A in BT nismo uspeli najti.
Literatura
[1] A. Carpinteri, Structural mechanics: a unified approach, Oxford: Alden Press, London,1997.
[2] M. Stanek, G. Turk, Analiza kinematicnih enacb sistema togih teles, Kuhljevi dnevi 96,Zbornik del, Slovensko drustvo za mehaniko, Gozd Martuljek, 1996, pp. 305–312.
[3] M. Stanek, G. Turk, Izrek o virtualnih pomikih, Kuhljevi dnevi 98, Zbornik del, Slovenskodrustvo za mehaniko, Logarska dolina, 1998, pp. 1–8.
[4] M. Stanek, G. Turk, Statika I, Univerza v Ljubljani, Fakulteta za gradbenistvo in geodezijo,Ljubljana, 2005.
[5] M. Stanek, G. Turk, Statika II, Univerza v Ljubljani, Fakulteta za gradbenistvo in geode-zijo, Ljubljana, 2005.
- 32 -
SLOVENSKO DRUSTVO ZA MEHANIKO
SRECANJE KUHLJEVI DNEVI 2016
Doprinos Moore-Penrosovega psevdo inverza k enolicniresljivosti in konvergenci stirikotnih koncnih elementov
R. Flajs1 in M. Saje2
On Moore-Penrose’s pseudo inverse to unisolvence andconvergence of quadrilateral finite elements
Povzetek. Analiticni dokazi konvergence nekonformnih koncnih elementov so bili v literaturiopravljeni le za posamicne koncne elemente. Zaradi uporabe zahtevnih matematicnih orodij je do-kazovanje tehnicno zahtevno, zato so bili v literaturi predagani preprostejsi postopki dokazovanjakonvergence (npr. Ironsov patch test). Kasnejsa matematicna spoznanja (Stummelov posplosenipatch test) so na zalost v celoti izpodbila veljavnost teh preprostih konvergencnih kriterijev. Po-leg zahtevnega dokazovanja konvergence se pri nekaterih nekonformnih koncnih elementih (RQ6,RPQ4) zaradi uporabe singularnih interpolacijskih funkcij soocimo se z neenolicnostjo resljivosti.V clanku je predlagana uporaba posplosenega Moore-Penrosovega psevdo inverza, s katerim lahkoto pomanjkljivost odpravimo. V prispevku so podani zadostni pogoji za konvergenco omenjenihkoncnih elementov. Analiticni dokaz konvergence sloni na Stummelovem posplosenem patch testu.Iz rezultatov numericnih primerov je razvidno, da ti pogoji niso potrebni.
Abstract. Analytical convergence proofs of the nonoconforming finite elements have been car-ried out only for individual finite elements. There a simple convergence test (Iron’s patch test) havebeen proposed in order to prove the convergence. Hovewer, the subsequent mathematical investi-gations (Stummel’s generalized patch test) unfortunately invalidated the validity of these simpleconvergence criteria. Due to the usage of the singular interpolation functions some nonconformingfinite elements (RQ6, RPQ4) confront the unisolvence criteria. In the paper the usage of generali-zed Moore-Penrose’s pseudo inverse is proposed in order to eliminate the nonunisolvence. In thispaper the sufficient conditions for the convergence of the presented finite elements are derived. Theanalytical convergence proof is based on Stummel’s generalized patch test. From the results of thenumerical examples, one can conclude that these conditions are not necessary for convergence.
1 Univerza v Ljubljani, Fakulteta za gradbenistvo in geodezijo2 Univerza v Ljubljani, Fakulteta za gradbenistvo in geodezijo
Kuhljevi dnevi 2016
1 Uvod
Upogib plosce moremo opisati z nekonformnimi koncnimi elementi. Tako se izognemo zahtevipo C2-zveznosti interpolacijskih funkcij. Na zalost pa vsi taksni koncni elementi niso avto-maticno konvergentni, zato je potrebno njihovo konvergenco tudi teoreticno dokazati.
Lep primer stirikotnega nekonformnega koncnega elementa RPQ4, uporabnega pri dolocitviupogiba tankih plosc, sta predlagala Wanji and Cheung [7]. Koncni element RPQ4 zadosti Iron-sovemu patch testu. Ker pa Ironsov patch test po [6] ne podaja niti potrebnega niti zadostengapogoja za konvergenco, je potrebno konvergenco vseeno teoreticno dokazati. Zaradi kartezicnihsingularnih interpolacijskih funkcij koncni element ne zadosti zahtevi po enolicni resljivosti [2].V prispevku je podan matematicni dokaz konvergence omenjenega nekonformnega koncnegaelementa. Ker koncni element ni enolicno resljiv, pri dokazu konvergence pademo ven iz obi-cajnega okvira metode koncnih elementov [2]. V dokazu neenolicno resljivost odpravimo sMoore-Penrosovim psevdo inverzom [5]. Dolocimo zadostne pogoje za konvergenco. Pravtako podamo oceno napake koncnega elementa. Pri izpeljavi te ocene si delno pomagamo zmetodologijo [3, 4] in neenakostmi iz [1].
Dobljene teoreticne izsledke potrdimo tudi z izbranimi numericnimi primeri na povsem sin-gularnih mrezah. Iz njih je razvidno, da zadostni pogoji niso potrebni za konvergenco, karpredstavlja bistveno razliko v primerjavi z izsledki v [5].
2 Koncni element za analizo upogiba tankih plosc
Koncni element RPQ4 je nekonformni stirikotni koncni element (slika 2), opisan v kartezicnihkoordinatah. Interpolacijske funkcije so sibko zvezne na robovih koncnih elementov. Konstruk-cija togostne matrike je podrobneje opisana v [7].
a1 a2
a3
a4
T
µτ
µ1µ2
x
y
Slika 1 : Stirikotni nekonformni koncni element RPQ4.
V nadaljevanju bomo izpeljali zadostne pogoje za konvergenco. Wanjijeve in Cheungove enačbe
[7] bomo prevedli na obliko, usklajeno s teorijo [2, 1], primernejšo pri dokazovanju konver-
- 34 -
Kuhljevi dnevi 2016
gence. Uvedemo okrajsave:
∂1• :=∂•∂x
, ∂2• :=∂•∂y
, ∂i j• :=∂2•
∂xi ∂x j, 1≤ i, j ≤ 2,
∂µ• :=∂•∂µ
, ∂τ•=∂•∂τ
, ∂α• ≡ ∂
(α1,α2)• :=∂(α1+α2)•∂xα1∂yα2
,
X :=[1 x y x2 xy y2 x3 x2y xy2 y3 x3y xy3
]T,
q :=[. . .vh(ai) ∂1vh(ai) ∂2vh(ai) . . .
]T, 1≤ i≤ 4
A :=[An(a1) . . . An(a4)
]T, An((x,y)) :=
[X ∂1X ∂2X
]. (1)
Vektor X predstavlja nekonformne interpolacijske bazne funkcije po koncnem elementu; zvektorjem q je oznacen vektor prostostnih stopenj qi, i = 1 . . .12; a1, . . . ,a4 so krajevni vektorjivozlisc koncnega elementa. Sredisce kartezicnega koordinatnega sistema (x,y) je geometrijskosredisce T stirikotnika Q. Kolicini µ1 and µ2 oznacujeta komponenti zunanje normale na robu∂Q stirikotnika Q v smereh x in y (slika 2). Ploscina stirikotnika Q je oznacena s |Q|.Funkcija wh|Q predstavlja pomozni nekonformni aproksimacijski nastavek za pomike, funkcijavh|Q pa celotni nekonformni aproksimacijski nastavek za pomike po stirikotniku Q [7],
vh|Q := wh|Q +λ1x2
2+λ2
y2
2+λ3
xy2
= wh|Q +ΛQ =XT A−1q+ΛQ, (2)
kjer z izbiro konstant λ1, λ2 in λ3 zadostimo pogoju sibke zveznosti [7] na robovih koncnegaelementa. V clanku [7] je pokazano, da koncni element zadosti Ironsovemu patch testu.
2.1 Neenolicna resljivost
Naj prostor Xh oznacuje prostor koncnih elementov, Xh|Q := PQ⊂ P3(Q)⊕Lx3 y,xy3 skrcitevprostora Xh na stirikotnik Q, u sibko resitev, uh aproksimacijo sibke resitve, v poljubno funkcijoin W m
2 (Q)≡Hm(Q) prostore Soboljeva z normami ‖·‖m,2,Q ≡ ‖·‖m,Q in polnormami | · |m,2,Q ≡| · |m,Q za 0≤ m≤ 4.
Po Ciarletu [2] lahko koncni element definiramo s trojico (Q,PQ,ΦQ). Recemo, da so prosto-stne stopnje ΦQ PQ–enolicno resljive, ce za vsak nabor realnih stevil αi, i = 1, . . . ,12, obstajaenolicna interpolacijska funkcija p ∈ PQ, ki zadosti spodnjemu pogoju
φi(p) = αi, 1≤ i≤ 12 (3)
[2, p. 78].
Sklicujoc se na lemo 1 iz [3] lahko problem enolicne resljivosti prostostnih stopenj ΣQ preve-demo na problem regularnosti interpolacijske matrike A. Ni tezko videti, da je interpolacijskamatrika A v primeru romba z oglisci (−1,0), (0,−1), (1,0) in (0,1) singularna.
Zaradi neenolicne resljivosti bomo linearne funkcionale ΣQ := ϕi ≡ ϕQi , i = 1, ...,12 in ΦQ :=
φi ≡ φQi , i = 1, ...,12 iz [3, 4] razsirili na spodnji nacin:
ϕ3 i−2(wh,q3 i−2,n) := q3 i−2 =: φ3 i−2(vh,q3 i−2,n), 1≤ i≤ 4,
ϕ3 i−1(wh,q3 i−2,n) := q3 i−1 =: φ3 i−1(vh,q3 i−1,n), 1≤ i≤ 4,
ϕ3 i(wh,q3 i,n) := q3 i =: φ3 i(vh,q3 i,n), 1≤ i≤ 4.
- 35 -
Kuhljevi dnevi 2016
Z uporabo Moore-Penrosovega posplosenega inverza A+ lahko vozliscne pomike in ustrezneparcialne odvode teh pomikov povezemo s prostostnimi stopnjami q4,n, . . . ,q12,n koncnega ele-menta z regularnim stirikotnikom (glej Definicijo 1) iz okolice obravnavanega elementa[
wh(a1) . . . ∂2wh(a4)]T
= AA+ q = AA+[q1 q2 q3 q4,n . . . q12,n
]T. (4)
Ker je determinanta interpolacijske matrike translacijska invarianta, lahko izhodisce koordi-natnega sistema pri odpravi singularnosti interpolacijske matrike premaknemo v vozlisce 1 indobimo
A =
[I3×3 0A21 A22
]−→ A+ =
[I3×3 A+
12A+
21 A+22
]−→ AA+ =
[I3×3 A+
12A21 +A22 A+
21 A21 A+12 +A22 A+
22
]. (5)
Sedaj lahko povezemo prostostne stopnje q1, q2 in q3 z vozliscnimi pomiki, z ustreznimi par-cialnimi odvodi teh pomikov in s prostostnimi stopnjami q4,n, . . . ,q12,n sosednjih koncnih ele-mentov: wh(a1)
∂1wh(a1)∂2wh(a1)
=
q1q2q3
+A+12
q4,n...
q12,n
→q1
q2q3
=
wh(a1)∂1wh(a1)∂2wh(a1)
−A+12
q4,n...
q12,n
, wh(a2)
...∂2wh(a4)
= (A21 +A22 A+21)
q1q2q3
+(A21 A+12 +A22 A+
22)
q4,n...
q12,n
.Pri oceni norm matrik A+
12, A21+A22 A+21 in A21 A+
12+A22 A+22 lahko uporabimo singularni razcep
A =U ΣV T −→ A+ =V Σ+UT ,
AA+ =U ΣV T V Σ+UT =U ΣΣ
+UT =U 1+UT =
[I A+
12A21 +A22 A+
21 A21 A+12 +A22 A+
22
], (6)
kjer zaradi simetrije matrike AA+ privzamemo enakost A21 +A22 A+21 = A+
12T .
3 Robni problem
Iscemo sibko resitev u upogiba tanke vpete plosce, obtezene s povrsinsko obtezbo f . Problemlahko matematicno opisemo z enacbo
a(u,v) = ( f ,v), u,v ∈V := H20 (Ω),
kjer sta bilinearni funkcional a in linearni funkcional ( f ,•) predpisana z enacbama
a(u,v) =∫
Ω
(ν∆u∆v+(1−ν)
2
∑i=1, j=1
∂i ju ∂i jv)
dx, ( f ,v) =∫
Ω
f vdx, f ∈ L2(Ω).
Namesto tocne resitve u bomo poiskali nekonformni priblizek uh iz prostora
uh ∈Vh := vh ∈ Xh,∀a ∈ ∂Ω,φa,k(vh) = 0,1≤ k ≤ 3
- 36 -
Kuhljevi dnevi 2016
kot resitev variacijske enacbe
ah(uh,vh) = ( f ,vh), uh,vh ∈Vh,
kjer sta diskretizirani bilinearni funkcional ah in linearni funkcional ( f ,•) podana z enacbama
ah(uh,vh) = ∑Q∈Qh
∫Q
(ν∆uh∆vh +(1−ν)
2
∑i=1, j=1
∂i juh∂i jvh
)dx,
( f ,vh) =∫
Ω
f vh dx, f ∈ L2(Ω).
V gornji enacbi koeficient ν ∈(0, 1
2
)oznacuje Poissonov kolicnik linearno elasticnega izotrop-
nega materiala.
4 Konvergenca in ocena napake
4.1 Zadostni pogoji za konvergenco
Zaradi singularnosti interpolacijske matrike A ne moremo prostostnih stopenj q obravnavanegakoncnega elementa enolicno povezati z vozliscnimi pomiki in s prvimi parcialnimi odvodi tehpomikov. Zato poskusamo manjkajoce prostostne stopnje izraziti z vozliscnimi pomiki in sprvimi parcialnimi odvodi teh pomikov sosednjih koncnih elementov iz okolice obravnavanegakoncnega elementa. V ta namen bomo uvedli nov pojem razdalje.
Definicija 1. Oznacimo stirikotnik Q z regularno interpolacijsko matriko A z imenom regu-larni stirikotnik, stirikotnik Q s singularno interpolacijsko matriko A pa z imenom singularnistirikotnik. Mrezo koncnih elementov lahko predstavimo z grafom, kjer s tockami ponazorimooglisca strikotnikov, s povezavami pa daljice na robovih stirikotnikov. Definirajmo razdaljo odvozlisca stirikotnika do vozlisca regularnega stirikotnika na sledec nacin:
• Vsa vozlisca regularnega stirikotnika imajo razdaljo nic.
• Vozlisce a singularnega stirikotnika ima razdaljo n, ce imajo vsa vozlisca v grafu, skaterimi je povezan (s povezavo v grafu), razdaljo vecjo ali enako n−1.
Vozlisca z razdaljami ena so na sliki 2(a) oznacena z dvojnimi krogi, vozlisca z razdaljami dvapa s trojnimi krogi.
Pogoj 1. Razdalja vseh vozlisc naj bo navzgor omejena in naj se pri gostitvi mreze ne spreminja.
Z uporabo druge Strangove leme [2, p. 210] lahko oceno napake izrazimo z vsoto ocene napakeclena aproksimabilnosti in ocene napake clena konsistence.
4.2 Ocena napake clena aproksimabilnosti
Izrek 4.4.4 iz [1] raztegnemo v obliko, primerno za nas namen, podobno kot je to narejeno vprispevkih [3, 4]. Zaradi neenolicne resljivosti je potrebno spodnjo lemo posebej dokazati
Lema 1. Funkcijski prostor P2 je podprostor linearne ogrinjace funkcij wh, t.j. P2 ⊂ P(L(wh)).
Ostale zahteve izreka 4.4.4 preverimo podobno kot v prispevkih [3, 4].
- 37 -
Kuhljevi dnevi 2016
4.3 Ocena napake clena konsistence
Pri dokazu konvergence in izpeljavi ocene napake clena konsistence bomo privzeli pogoj 1 inuporabili Stummelov posploseni patch test [6]. Upostevaje [6] je potrebno pokazati, da omejenozaporedje funkcij vhi , i ∈N′ ⊆N na primerni delitvi Qhi , i ∈N′,hi→ 0 obmocja Ω zadoscasledecim pogojem
limi∈N′
Tj(ψ,vhi) := limi∈N′ ∑
Q∈Qh
∫∂Q
ψvhi n j ds = 0, 1≤ j ≤ 2, ψ ∈C∞0 (R
2). (7)
Na podoben nacin kot v [3, 4] lahko preverimo veljavnost posplosenega Stummelovega patchtesta. Vkljucimo funkcional napake clena konsistence
Eh(u,vh) := ( f ,vh)−ah(u,vh), (8)
integriramo po delih in podobno kot v [3, 4] izpeljemo oceno
|Eh(u,vh)| ≤ ch |u|2,h |vh|1,h. (9)
4.4 Ocena napake
Na podoben nacin kot v [3, 4] moremo, z uporabo druge Strangove leme, razsirjene oblikeizreka 4.4.4 in neenakosti (9) izpeljati koncno oceno napake
‖u−uh‖2,h ≤ ch(‖u‖3,h +h |u|4,h). (10)
Iz gornje ocene napake je razvidno, da napaka v energijski normi upada vsaj linearno v odvi-snosti od najvecjega diametra h enakomerno po vseh u ∈ H4(Ω).
5 Numericni primeri
Teoreticne ugotovitve zelimo potrditi tudi numericno. V ta namen obravnavamo konvergenconumericnih priblizkov robnega problema tanke vpete kvadratne plosce, Ω = [−1,1]× [−1,1],obtezene s povrsinsko obtezbo f : (x,y) 7→ 8(10−18y2 +3(x4 + y4 +6x2 (−1+2y2))). Pois-sonov kolicnik je ν = 1
3 . Analiticno resitev robnega problema lahko zapisemo s funkcijou = (x2− 1)2 (y2− 1)2. V poglavju 5.1 numericni rezultati potrjujejo teoreticno predvidenolinearno konvergenco priblizkov v energijski normi.
5.1 Red konvergence
Konstruirani sta dve zaporedji mrez, mreze tipa a in mreze tipa b (slika 2). Obravnavamokonvergenco nekonformnega koncnega elementa RPQ4 z odsekoma linearno variacijo pomikovvzdolz robov [7, 3].
Zaporedno delno singularno mrezo tipa a dobimo s skaliranjem in translacijo predhodne mrezetipa a. V numericno analizo je bilo vkljucenih sedem mrez tipa a (h1 ≈ 0.3, . . . ,h7 ≈ 0.005).Numericni testi v celoti potrjujejo teoreticno ugotovljeno linearno padanje napake v energijskinormi (slika 3).
- 38 -
Kuhljevi dnevi 2016
1
11
1
2
−1 0 1−1
0
1
−1
0
1−1 0 1
A
B
C
D
x
y
(a) Zacetna mreza
−1 0 1−1
0
1
−1
0
1−1 0 1
x
y
(b) Prva mreza tipa (a)
1.0 0.5 0.0 0.5 1.0
1.0
0.5
0.0
0.5
1.0
1.0 0.5 0.0 0.5 1.0
1.0
0.5
0.0
0.5
1.0
1.0 0.5 0.0 0.5 1.0
1.0
0.5
0.0
0.5
1.0
(c) Singularne mreze tipa (b)
Slika 2 : Zacetna in prva zgoscena mreza tipa a, dobljena s skaliranjem in translacijo zacetnemreze, ter zaporedne singularne mreze tipa b. Singularni stirikotniki so na mrezah tipa a pobar-vani z rdeco barvo, regularni stirikotniki pa z zeleno barvo.
Zaporedno singularno mrezo tipa b (vsi stirikotniki na mrezi so singularni) dobimo z delitvijoobmocja vzdolz obeh koordinatnih osi. V numericno analizo je bilo vkljucenih sedem mrez tipab (h1 ≈ 0.3, . . . ,h7 ≈ 0.005). Iz numericnih rezultatov v tem primeru (slika 3) je razvidno, dazadostni pogoj 1 ni potreben pogoj za konvergenco.
6 Zakljucek
Obravnavali smo vpliv posplosenega inverza na konvergenco nekonformnega koncnega ele-menta RPQ4. Izpeljali smo zadostne pogoje za konvergenco in red konvergence. Numericniprimeri (na povsem singularnih mrezah) kazejo, da ti pogoji niso potrebni in da napaka s h-jem tudi v teh primerih linearno pada. Konvergenco koncnega elementa RQ6 obravnavamopodobno.
- 39 -
Kuhljevi dnevi 2016
Slika 3 : Napake v energijski normi za mreze tipa (a) (modra) in za mreze tipa (b) (rdeca).
Literatura
[1] S. Brenner, R. L. Scott, The Mathematical Theory of Finite Element Methods, 2nd Edition,Springer, New York, 2002.
[2] P. G. Ciarlet, Finite Element Methods for Elliptic Problems, Society for Industrial andApplied Mathematics, Philadelphia, 2002.
[3] R. Flajs, M. Saje, On convergence of affine thin plate bending element, in: Procedingsof the World Academy of Science, Engineering and Techology, WASET, Paris, 2012, pp.1219–1227.
[4] R. Flajs, M. Saje, On the convergence of a refined nonconforming thin plate bending finiteelement, in: B. H. V. Topping (Ed.), Proceedings of the Eleventh International Conferenceon Computational Structures Technology, Civil-Comp Press, Stirlingshire, United King-dom, 2012, paper 226.
[5] R. Flajs, M. Saje, The influence of pseudo inverse on unisolvence and convergence of qua-drilateral finite element for thin plates, in: A. Osman (Ed.), International Conference onComputational Mechanics CM13, School of Engineering and Computing Sciences, Dur-ham, United Kingdom, 2013, paper 143.
[6] F. Stummel, The generalized patch test, SIAM Journal on Numerical Analysis 16 (3)(1979) pp. 449–471.
[7] C. Wanji, Y. K. Cheung, Refined nonconforming quadrilateral thin plate bending element,Int. J. Numer. Meth. Engng. 40 (1997) pp. 3919–3935.
- 40 -
SLOVENSKO DRUŠTVO ZA MEHANIKO
SREČANJE KUHLJEVI DNEVI 2016
Modelna analiza vetrovnika v Nordijskem centru Planica
J. Gostiša1, M. Milavec1, M. Hočevar1 in B. Širok1
Model analysis of Planica Nordic Centre wind tunnel
Povzetek. Kot prvi svoje vrste, združuje novozgrajen vetrovnik v Nordijskem centru
Planica funkcionalnost dveh tipov vetrovnikov, simulacijo prostega pada v navpičnem in
leta smučarja skakalca v vodoravnem odseku. Pri zasnovi tovrstnega sistema je ključnega
pomena doseganje ustreznih tokovnih razmer v posameznem odseku. V prispevku so
predstavljeni ključni rezultati raziskav na tem področju.
Abstract. As the first of its kind, newly built Planica Nordic Centre wind tunnel
combines two types functionality, the free fall simulation in vertical section and the ski
jumpers flight simulation in horizontal section of the wind tunnel. The key, when designing
this kind of systems, is determining the flow conditions in each separate section. This
article presents an overview of research results in this field.
1 Uvod
Vetrovniki, namenjeni raziskavam aerodinamskih lastnosti, so v uporabi že od konca
19. stoletja, v zadnjem času pa se je njihova uporaba močno razširila tudi na področje raziskav
v športne namene. Na tem področju prevladujejo navpični vetrovniki s funkcijo simulacije
prostega pada in vodoravni vetrovniki namenjeni opazovanju aerodinamskih lastnosti v
različnih športnih panogah. S tem namenom je bil zgrajen tudi vetrovnik v Nordijskem centru
Planica, ki kot prvi na svetu združuje obe navedeni funkcionalnosti, simulacijo prostega pada
v navpičnem odseku in leta smučarja skakalca v vodoravnem odseku. Za potrebe raziskovanja
tokovnih razmer, smo uporabili numerični in eksperimentalni pristop. Z numeričnim, je bila
na osnovi aerodinamskega modela [1] razvita geometrijska oblika prototipa vetrovnika,
medtem ko smo z eksperimentalnim pristopom in izdelanim modelom ovrednotili numerični
model in ocenili ustreznost geometrijske oblike kanalov [2]. V nadaljevanju pa želimo delo
razširiti še na področje vizualizacije tokovnih razmer v obeh odsekih vetrovnika.
Vetrovnik v Planici spada v skupino recirkulacijskih vetrovnikov. Naročnikova zahteva je bila
dvojna funkcionalnost, in sicer sočasna simulacija prostega pada v navpičnem odseku in leta
smučarja skakalca v vodoravnem odseku. Z vidika hitrosti pomeni to doseganje 230 kmh-1 v
1 Univerza v Ljubljani, Fakulteta za strojništvo
Kuhljevi dnevi 2016
- 42 -
navpičnem in 120 kmh-1 v vodoravnem odseku. Poleg te, je bila ena od osnovnih zahtev tudi
lega vstopov v posamezen odsek, ki morata biti izvedena na enaki višini in določeni
oddaljenosti. Ti zahtevi sta pri zasnovi geometrijske oblike kanalov, z vidika doseganja
ustreznih aerodinamskih lastnosti, predstavljali velik izziv. S tem namenom je bil za napoved
tokovnih razmer v prototipu vetrovnika najprej izdelan numerični aerodinamski model in na
podlagi tega model vetrovnika. Na podlagi rezultatov numerične analize je bila geometrijska
oblika kanalov večkrat popravljena, iterativni proces analize in popravkov pa ponavljan do
stopnje, ko je ta zadoščala, s strani naročnika določenim zahtevam. Na tem mestu smo začeli
z zasnovo, načrtovanjem in izdelavo modela vetrovnika.
Slika 1: Izhodiščna geometrijska oblika (levo), prva iteracija (na sredini) in zadnja iteracija
geometrijske oblike kanalov (desno)
Cilj sprememb geometrijske oblike kanalov je bilo zmanjšanje moči pogona, potrebne za
doseganje želenih tokovnih razmer v posameznem odseku vetrovnika. S tem namenom je bila
razvita prva iteracija s popravljenimi ostrimi prehodi ter spremenjeno obliko konfuzorja in
prehoda v vodoravni del. Za izboljšanje tokovnih razmer so bili v nekaterih kolenih predvideni
elementi za vodenje toka. Za dano iteracijo aerodinamskega modela, je bil zasnovan prvi
model vetrovnika.
Slika 2: Zasnovana modela vetrovnika
Geometrijska oblika kanalov se je tekom razvoja aerodinamskega modela spremenila do te
mere, da je bila potrebna zasnova popolnoma novega modela. Novo zasnovan aerodinamski
model je predstavljal bistven prihranek energije za pogon ventilatorjev [2], geometrijska oblika
kanalov pa je bila prilagojena tako, da smo lahko vgradnjo vodilnih elementov v kolenih
opustili.
Kuhljevi dnevi 2016
- 43 -
2 Izdelava modela vetrovnika
Da lahko lastnosti toka v modelu primerjamo z lastnostmi v prototipu, morata model in
prototip ustrezati izbranim kriterijem podobnosti. V praksi se izkaže, da z modelom vsem ni
mogoče vedno zadostiti, zaradi česar se običajno osredotočimo na ujemanje kriterijev
podobnosti, ki bistveno vplivajo na opazovani pojav. V našem primeru smo za doseganje
popolne geometrijske podobnosti, v merilu 1:36 zasnovali geometrijsko podoben model
vetrovnika. Kot kriterij dinamične podobnosti smo uporabili razmerje med vztrajnostno in
viskozno silo:
𝐹V
𝐹η
=𝜌 ∙ 𝐿2 ∙ 𝑣2
𝜂 ∙ 𝑣 ∙ 𝐿=
𝑣 ∙ 𝐿
𝜈= 𝑅𝑒, (1)
pri čemer je kriterij podobnosti Re imenovan Reynoldsovo število. Pri tokovih tekočine s
prevladujočo viskozno silo je pogoj dinamične podobnosti izpolnjen z enakostjo Re števil
modela in prototipa. S tem namenom smo medij v prototipu vetrovnika - zrak, nadomestili z
vodo (Tabela 1, model – 2 do 5). V tabeli 1 je prikazan vpliv velikosti modela ter gostote in
temperature medija na Re število in hitrost ter s tem potrebno moč pogona. Z izbranima
pogonskima propelerjema, lahko v navpičnem odseku modela, s premerom 0,1 m, dosegamo
hitrosti reda velikosti 1 ms-1, s čimer se Re številu v prototipu približamo za faktor 100 (Tabela
1, model – 5). S tem smo ohranili bistvene karakteristike toka, ki so še vedno v močno
turbulentnem področju, koeficient upora za človeku podobno telo pa se od vrednosti pri
prvotnem Re številu razlikuje za manj kot 15 %, kar privzamemo kot še ustrezno vrednost [3].
Tabela 1: Preračun hitrosti v navpičnem odseku modela vetrovnika, s krepko označenimi
vplivnimi spremenljivkami, in sivo označenimi opazovanimi spremenljivkami
Prototip Model - 1 Model - 2 Model - 3 Model - 4 Model - 5
Gostota medija, ρ
[kgm-3] 1,01 1,01 1000 1000 1000 1000
Temperatura
medija, T [°C] 27 27 30 30 60 30
Premer navpičnega
odseka, dN [m] 3,6 0,1 0,1 0,2 0,1 0,1
Hitrost, v [ms-1] 64,0 2304,0 100,6 50,3 58,9 1,0
Dinamična
viskoznost, η [Pas] 1,85 ∙ 10-5 1,85 ∙ 10-5 7,98 ∙ 10-4 7,98 ∙ 10-4 4,67 ∙ 10-4 7,98 ∙ 10-4
Reynoldsovo
število, Re 1,26 ∙ 107 1,26 ∙ 107 1,26 ∙ 107 1,26 ∙ 107 1,26 ∙ 107 1,26 ∙ 105
Pretok, [m3s-1] 651,4 18,1 0,79 1,58 0,462 0,008
Dinamični tlak,
pDIN [Pa] 2,07 ∙ 107 2,68 ∙ 106 5,06 ∙ 106 1,26 ∙ 106 1,73 ∙ 106 5,06 ∙ 102
Moč motorja, P
[W] 1,35 ∙ 106 4,85 ∙ 107 4,00 ∙ 106 2,00 ∙ 106 8,01 ∙ 105 4,00
Kuhljevi dnevi 2016
- 44 -
Slika 3: Izdelan model vetrovnika z označenimi elementi
Na osnovi zahtev za funkcionalnost modela ter zahtev za vizualizacijo in izvedbo meritev smo
določili posamezne elemente modela, kot jih prikazuje slika 3. Model je bil izdelan z
rezkanjem kanalov iz aluminijastih blokov, zaradi česar smo vsakemu elementu določili
delilno ravnino in ga vzdolž te, razpolovili. Navpični odsek je bil za potrebe vizualizacije
izdelan s struženjem iz polnega bloka pleksi stekla, v vodoravni odsek smo s tem namenom
vgradili prosojni ploskvi iz enakega materiala.
2.1 Izdelava numeričnega modela vetrovnika
Na nestrukturirani mreži s 7∙106 celicami, je bil s programskim paketom ANSYS CFX, izveden
stacionarni preračun hidrodinamskega stanja v modelu vetrovnika NC Planica. Uporabljen je
bil računski model SST in snovne lastnosti 25°C vode. Kvaliteta mreže je bila znotraj
priporočil za kazalnike pri čemer smo upoštevali kriterije ortogonalnosti, razmerja velikosti
med sosednjima celicama in sploščenosti. Kriterij za dokončanje izračuna je bil izbran na
podlagi kvalitativnega opazovanja nihanja tlačnih razlik med vstopom in izstopom iz
propelerskega dela in podan 1000 iteracij po doseženi konvergenčni meji RMS 10-4, masnega
toka in gibalne količine v vseh treh smereh. Pogonski propeler ni bil simuliran, ampak smo
kot pogoj podali povprečno hitrost na vstopu in izstopu propelerja. Za kompenzacijo
numerične napake je bil na mestu, kjer so na prototipu vetrovnika predvideni kanali za dovod
svežega zraka, podan robni pogoj, ki omogoča prehajanje masnega toka v računsko domeno
in iz nje ter je predpisan s tlakom enakim 0 Pa.
3 Rezultati
Za potrebe vrednotenja aerodinamskega modela [1] in oceno ustreznosti geometrijske oblike
kanalov smo izvedli meritve hitrosti v obeh odsekih modela vetrovnika. Rezultate teh smo
uporabili tudi kot orodje za oceno ustreznosti tokovnih razmer in s tem geometrijske oblike
kanalov zasnovanega prototipa. Z namenom ovrednotenja funkcionalnosti obeh odsekov
prototipa vetrovnika, smo izvedli meritve hitrosti tudi v slednjem. V nadaljevanju so
predstavljeni nekateri rezultati.
Kuhljevi dnevi 2016
Slika 4: Absolutna hitrost v vodoravnem odseku modela vetrovnika
- 45 -
3.1 Meritve hitrosti na modelu vetrovnika
Meritve hitrosti na modelu vetrovnika smo izvedli s Pitotovo petluknjično cevjo, s katero lahko
poleg vrednosti hitrosti toka določimo tudi njegovo smer v izbrani točki. Za reprezentativen
prikaz hitrostnih razmer, smo mesti merilnih ravnin določili na vstopu obeh odsekov. Na
vstopu navpičnega odseka smo merilna mesta ekvidistančno razporedili na tri linije, v
vodoravnem odseku pa le na eno. Za meritve smo, glede na želeno hitrost v posameznem
odseku, izbrali serijo vrtilnih frekvenc pogonskih propelerjev in s tem nabor delovnih točk, ki
so predstavljene v tabeli 2.
Tabela 2: Nabor delovnih točk za izvedbo meritev na modelu in izračun pričakovanih
hitrosti
Delovna točka
Vrtilna
frekvenca
[min-1]
Hitrost v
navpičnem
odseku [ms-1]
Hitrost v
vodoravnem
odseku [ms-1]
A 1600 0,87 0,40
B 1900 1,04 0,48
C 2200 1,20 0,55
D 2500 1,37 0,63
E 2800 1,53 0,70
Profil absolutne hitrosti na vstopu navpičnega odseka je močno podoben obliki turbulentnega
profila hitrosti (slika 6/b). Pri preračunu absolutne hitrosti močno prevladuje aksialna
komponenta, pojavita pa se tudi tangencialna in radiana, ki kažeta na pojav vrtinca. Povprečna
vrednost absolutne hitrosti na vstopu navpičnega odseka linearno narašča s povečevanjem
vrtilne frekvence pogonskih propelerjev.
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14
hit
rost
[m
s-1
]
z [m]
2800
2500
2200
1900
1600
min-1
min-1
min-1
min-1
min-1
Kuhljevi dnevi 2016
- 46 -
Meritve hitrosti v vodoravnem odseku so prikazane na sliki 4. Z izbranim merilnim
zaznavalom meritev ni mogoče opraviti po celotnem preseku, česar vzrok je velika fluktuacija
smeri hitrosti, ki je večja od merilnega območja zaznavala. S tem sklepamo, da pride na
desnem delu preseka do intenzivnega vrtinčenja. To potrjujte tudi dejstvo, da so absolutne
vrednosti hitrosti, izmerjene na levem delu preseka, skoraj dvakrat večje od izračunanih, kar
potrjuje prisotnost povratnega toka v levem delu vodoravnega odseka, ki zmanjšuje efektivni
pretočni prerez v tem odseku modela.
3.2 Primerjava z meritvami na prototipu vetrovnika
Meritve hitrosti v modelu vetrovnika so bile izvedene s Pitot-Prandtlovo cevjo, merilna mesta
pa podobno kot na modelu vetrovnika, razporejena v ravnini na vstopu posameznega odseka.
Traverziranje je bilo zaradi kontinuitete izvedeno brez zaustavljanja ventilatorjev, pri čemer je
bil merilec med meritvijo prisoten v odseku. Pri visoki hitrosti bi bilo merilno zaznavalo
nestabilno, zaradi česar smo se odločili za nastavitev frekvenčnega pretvornika ffrekv = 29 %.
Slika 5: Absolutna hitrost v navpičnem odseku prototipa vetrovnika
Tako kot v modelu, je tudi v navpičnem odseku prototipa vetrovnika (slika 5) oblika profila
hitrosti zelo podobna obliki turbulentnega profila hitrosti. Hitrosti so enakomerno razporejene
po celotni površini preseka, razen v bližini vstopa v odsek, kjer je hitrost manjša od povprečne
za več kot 10 %. Za izboljšanje funkcionalnosti odseka, bo potrebna sanacija tega pojava.
V vodoravnem odseku prototipa se tako kot na modelu vetrovnika, izkaže da je profil hitrosti
močno nehomogen. Funkcionalnost tega odseka, je zato omejena na spodnji srednji del, kjer
je simulacija leta smučarja skakalca mogoča. Ocenjujemo pa, da bi bilo z omejitvijo testnega
mesta in vgradnjo dodatnih vodilnikov toka ta problem mogoče rešiti.
3.3 Primerjava z rezultati numerične analize
Za ustrezen popis tokovnih razmer na modelu in prototipu smo primerjali vrednosti vseh treh
komponent hitrosti, dobljenih v treh različnih delovnih točkah. Profili posameznih komponent
hitrosti, dobljenih z meritvami in numerično analizo se dobro ujemajo, tako z vidika oblike kot
Kuhljevi dnevi 2016
- 47 -
a) a)
b)
vrednosti, kar kaže na ustrezno izveden numerični model vetrovnika in meritve. Rezultati
primerjave so prikazani na sliki 6.
Slika 6: Primerjava komponent hitrosti v navpičnem odseku vetrovnika, izračunanih z
numerično analizo (a) in izmerjenih na modelu vetrovnika (b). Krepke črte prikazujejo
aksialno, šibke tangencialno in prekinjene radialno komponento hitrosti
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1
hit
rost
[m
s-1
]
x [m]
2800
2200
1600
2800
2200
1600
2800
2200
1600
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1
hit
rost
[m
s-1
]
x [m]
2800
2200
1600
2800
2200
1600
2800
2200
1600
min-1
min-1
min-1
min-1
min-1
min-1
min-1
min-1
min-1
min-1
min-1
min-1
min-1
min-1
min-1
min-1
min-1
min-1
Kuhljevi dnevi 2016
- 48 -
3.4 Pojav vrtinca v navpičnem odseku
V navpičnem delu vetrovnika smo kot posledico geometrijske oblike zbirnega kolektorja in
prehoda na navpični del opazili pojav vrtinca. Ta se je v skladu s pričakovanji razvil na vstopu
navpičnega odseka, kar kažejo tako meritve kot rezultati numerične analize [3] na tem mestu.
Na podlagi kvalitativne ocene gibanja mehurčkov zraka, ujetih v model vetrovnika, sklepamo,
da se vrtinec razteza vzdolž celotnega odseka in se nadaljuje v prehod v vodoravni del.
Vrednosti tangencialne komponente v skrajnih mestih v povprečju predstavljajo 20 % aksialne
komponente hitrosti, kar predstavlja negativen vpliv na funkcionalnost navpičnega odseka. Za
izboljšanje te, smo izdelali vodilnik, s katerim bi nastanek vrtinca onemogočili.
Odločili smo se za rešetasto obliko z odprtinami pravokotne oblike, širine in dolžine 5 mm.
Pri izdelavi pomanjšanega vodilnika, za vgradnjo v model vetrovnika, smo uporabili jeklena
rezila debeline 0,25 mm in višine 8 mm. Vodilnik smo vgradili med razpolovljena kosa
konfuzorja, pri čemer ga na izbranem mestu drži trenje s steno kanala.
Mesto merilne ravnine za merjenje s petluknjično Pitotovo cevjo se nahaja pred mestom
vgradnje vodilnika. Ta zato nima velikega vpliva na rezultate meritev hitrosti, predstavljene
na sliki 6. Lastnosti toka v navpičnem odseku lahko opazujemo z vizualizacijo zračnih
mehurčkov. Lastnosti toka po vgradnji vodilnika smo ocenjevali kvalitativno. Gibanje
mehurčkov, je po vgradnji vodilnika, bolj vzporedno, pri čemer vrtinčenja, kot je bilo vidno
pred vgradnjo, ni opaziti. V prototipu vetrovnika smo se na podlagi te ocene odločili za
izdelavo geometrijsko podobnega vodilnika. V nadaljevanju bomo za opazovanje vpliva
dodatnih gradnikov uporabili metodo vizualizacije gibanja telesa v trorazsežnem prostoru
navpičnega odseka.
4 Zaključki
Za potrebe raziskav tokovnih razmer v vetrovniku Nordijskega centra Planica sta bila
uporabljena numerični in eksperimentalni pristop. Na osnovi numerične analize je bil izdelan
aerodinamski model, s katerim je bila zasnovana geometrijska oblika kanalov prototipa
vetrovnika. Za potrebe vrednotenja numeričnega modela in raziskovanja vpliva dodatnih
gradnikov v pretočnem traktu, pa je bil izdelan model vetrovnika. V nadaljevanju načrtujemo
z zastavljeno metodo vizualizacije, na modelu oceniti vpliv vodilnih elementov na gibanje
telesa v navpičnem odseku in obtekanje medija okoli telesa v vodoravnem odseku.
5 Literatura
[1] M. Milavec, B. Širok, M. Hočevar: Numerična analiza aerodinamskega koncepta
sistema NC-PLANICA. Fakulteta za strojništvo, Laboratorij za vodne in turbinske
stroje, Ljubljana, 2015.
[2] M. Milavec, B. Širok, M. Hočevar: Modeliranje in verifikacija funkcionalnih
parametrov vetrovnika NC-Planica. Fakulteta za strojništvo, Laboratorij za vodne in
turbinske stroje, Ljubljana, 2015.
[3] T. Bajcar, B. Širok, A. Malneršič: Eksperimentalna in numerična analiza tokovnih
razmer v modelu vetrovnika NC-PLANICA. Fakulteta za strojništvo, Ljubljana, 2015.
SLOVENSKO DRUSTVO ZA MEHANIKO
SRECANJE KUHLJEVI DNEVI 2016
Staticna analiza upogiba pristajalnega odbojnika v Luki Koper
A. Grm1 in M. Batista1
Bending analysis of breasting dolphin in Port of Koper
Povzetek. Pricujoce delo obravnava analizo upogiba pristajalnega odbojnika v Luki Koper. Zaladje, ki prevazajo tekoci ali utekocinjen tovor se za pristajanje in privezovanje vecinoma upora-bljajo vertikalni pristajalni nosilci ali odbojniki, ki se nahajajo v blizini obale. Nosilci so ponavadisestavljeni iz stirih okroglih stebrov (jeklene debelostenske cevi), ki so postavljene v kotih pravo-kotnika ali kvadrata. V danem primeru je nosilec dolg okoli 30 m, v dno je zabit 15m in iz vodemoli okoli 2-3 m glede na visino bibavice. Analiza upogiba je bila narejena s pomocjo metodekoncnih elementov in analiticnega priblizka eno dimenzionalnega vpetega nosilca. S pomocjo me-tode koncnih elementov so bile ocenjene elasticnostne konstante nosilca. Eno dimenzionalni modelnosilca smo uporabili v parametricni studiji upogiba nosilca za pristajanje ladij razlicnih deplasma-nov in njihovih razlicnih pristajalnih hitrosti.
Abstract. Present article is focused on the bending analysis of breast dolphin in Port of Koper.Most liquid bulk terminals are equipped with a jetty as berthing facility. The ship mostly berths todedicated breasting dolphins, which can be single-pile flexible dolphins or multi-pile rigid dolphins.In the present case dolphin was made of four piles placed in the square corners. Single pile was 30m long, placed 15 m inside the bottom and 2-3 m above the sea level. The elastic material propertieswere calculated with finite element method. One dimensional pile model was latter used in theparametric study of the pile bending. Parametric bending study was done for the berth for variousships displacement and ships berth velocity.
1 Uvod
Naftni terminali se ponavadi nahajajo na obronkih pristanisca. Za namen pristajanja se tako vvecino primerov uporabljeni posebni pristajalni nosilci ali odbojniki (Slika 3), ki so sestavljeniiz debelostenske cevi in imajo lahko spremenljivo debelino stene. Nosilec je zabit v dno, ki jeponavadi blatnega ali pescenega tipa. Nosilci so samostojno postavljeni in ne potrebujejo dotikaz obalnim delom, kar omogoca enostavno postavitev naftnega terminala z ustrezno cevovodnoinfrastrukturo. Cevovod poteka v centru med prednjimi in zadnjimi odbojniki (slika 5). Ladjaje tako fiksno vpeta in se ne naslanja na togi cevovodni sistem. V primeru nalega ladje na togicevovodni sistem bi lahko prislo do poskodbe cevovoda zaradi interakcije valovanja in tokov zladjo.
1 Univerza v Ljubljani, Fakulteta za pomorstvo in promet
Kuhljevi dnevi 2016
Slika 1 : Izgled odbojnika v pristaniscu ob ladji. Levo odbojnik z eno cevjo [1], desno odbojniksestavljen iz stirih cevi (Luka Koper - foto M.Perkovic)
V splosnem delimo odbojnike na dva tipa in sicer na toge odbojnike in upogljive odbojnike, kotje prikazano na Sliki 2. V nasem primeru bomo obravnavali obnasanje upogljivega odbojnika(Slika 2 - desno).
Slika 2 : Razlicna tipa odbojnikov, levo togi, desno upogljiv [1]
Odbojniki so sestavljeni iz debelostenskih cevi z razlicnimi debelinami sten na razlicnih odsekihglobine (Slika 3). Najvecje debeline sten so prav na mestu, kjer se pojavijo najvisje vrednostiupogibnega momenta. V nasem primeru je cev sestavljena iz vecjih odsekov in zabita v dno zrazlicnim materialom kot je prikazano na Sliki 4. Cevi razlicnih debelin so med seboj zvarjenein ojacane na mestu spoja. V nalogi si bomo pogledali kako se tako izdelan in namescen nosilecobnasa pod zunanjo obremenitvijo kot je pristajanje ladje.
- 50 -
Kuhljevi dnevi 2016
Slika 3 : Shema odbojnika glede na debelino cevi po globini (levo [1]) in 3D model za Ansyspreracun (desno)
2 Model
Analiza nosilca je bila narejena zaradi kontrole pristajanja vecjih ladij. Osrednji namen je biladolocitev napetosti v nosilcu in ocena upogiba nosilca za razlicne pristajalne hitrosti ladje inrazlicne deplasmane ladij (dplasman ali izpodriv ladje oznacuje maso celotnega plovila). Vdanem primeru smo imeli na razpolago priblizno geometrijo nosilca, priblizno oceno materialnestrukture dna in hitrosti priblizevanja ladje ter deplasman ladje.
1000 kN/m3
3000 kN/m3
10m 5m 5m 3m5m5m3m
MORJEBLATO
KAMENJE
SIL
A
Slika 4 : Prikaz potopitve cevi nosilca v dno z dimenzijami in materialnimi lastnostmi dna
Za nosilec smo privzeli, da je rezim deformacije znotraj linearne elasticnosti. Privzetek smopotrdili s simulacijo v AnsysMechanical sistemu in za ta namen izdelali geometrijski modelnosilca, ki je prikazan na Sliki 3 - desno. Nosilec je sestavljen iz sedmih odsekov cevi razlicnihdebelin, ki so v intervalu od 21 mm do 40 mm, kot je prikazano na Sliki 4.
- 51 -
Kuhljevi dnevi 2016
Slika 5 : Prikaz priveznega mesta Petrol v Luki Koper. Pristajalna odbojnika sta levo in desnood osrednjega pomola - samostojni rumeni krozci sredi morja (foto M.Perkovic)
Za materialne lastnosti nosilca so bile vzete vrednosti konstrukcijskega jekla iz Ansys bazepodatkov za izotropno elasticni model. Celotna masa nosilca 3D modela je m = 39.5 ·103 kg.
Na Sliki 3 desno, je narisan kvader z debelino 0.5 m, ki se nahaja na sredini nosilca (poenosta-vljen nosilec, slika 6 - tocka B). Kvader predstavlja betonski blok, ki je bil naknadno zalit okolizabitih cevi, da bi dusil polzenje nosilca na visini dno-morje (z = 0). Privzeli smo, da je leziscenosilca v betonskem bloku zrahljano in se lahko nosilec prosto vrti v leziscu (vrtljivo vpetje).
a by
+zF
BA
Dy
C
qE
-z
x
L
Slika 6 : Prikaz vpetja enostavnega nosilca s postavitvijo koordinatnega sistema. V tocki A jevrtljivo vpet, v tocki B drsno vpet in v tocki C prost, kjer deluje zunanja tockovna sila F. Medtockama A in B deluje kontinuirana elasticna sila zemljine qE , ki je linearno odvisna od odmikanosilca v y smeri.
- 52 -
Kuhljevi dnevi 2016
Nosilec smo nato staticno analizirali s pomocjo Ansys Mechanical. Izracunali smo upogibe innapetosti v nosilcu za razlicne vrednosti sil F. Sila deluje na vrhu nosilca, kot je prikazano naSliki 6 v tocki C. S pomocjo izracuna za razlicne velikosti sil smo ocenili kaksen je togostnikoeficient MKE nosilca ali odbojnika, ki predstavlja nosilec z realno geometrijo. Kot bomovideli v rezultatih je rezim upogiba v mejah linearne elasticnosti. Na Sliki 6 imamo predstavljenpoenostavljen model vpetega nosilca. Krivulja nosilca je dolocena s sistemom enacb
EI
d4ydx4 =−ky, x ∈ [0,a]
EId2ydx2 =−F(L− x), x ∈ [a,L]
(1)
kjer je k = Rk0, R sirina nosilca, k0 elasticni modulus zemljine, E elasticnostni modul nosilcain I vztrajnostni moment preseka nosilca. Krivulja je tako dolocena v koordinatnem sistemu xy,kjer je koordinatno izhodisce v tocki A na Sliki 6. Koordinatni sistem zy, ki je prikazan na Sliki6 je postavljen za dolocitev kolicin glede na globino, kjer je z = 0 v tocki B in je postavljeno nameji dno-morje. Prva od enacb v sistemu (1) doloca krivuljo nosilca, ki je po celotnem intervaluAB elasticno podprt (vpliv zemljine [3, 4]). Za resitev enacbe (1) potrebujemo robne pogoje, kiso v nasem primeru
y(0) = 0, y(a) = 0, y′′(0) = 0, y′′(a) = bFEI , x ∈ [0,a]
y(a) = 0, y′(a) = α, x ∈ [a,L](2)
Z resitvijo enacbe na intervalu AB dolocimo konstanto α za enacbo na intervalu BC. Resitev zaenacbo (1) z robnimi pogoji (2) je
y(x) =
2bFλ2
kcoshλy sinhλx sinλ(a− x)− cosλa sinhλ(a− x) sinλx
cosh2λa− cos2 λa
, x ∈ [0,a]
−F(a− x)
(a2 +a(3b−2x)−3bx+ x2− 12bκλ3
ksin2aλ−sinh2aλ
cos2aλ−cosh2aλ
)6κ
, x ∈ [a,L]
(3)
kjer je F sila v tocki C, λ = 4√
k/(4κ) in κ = EI upogibni togostni koeficient nosilca. Upogibnaenergija nosilca U se lahko izrazi s pomocjo resitve (3) [2]
U = κ
∫ L
0
(d2ydx2
)2
dx. (4)
Resitev za upogibno energijo, kjer smo resitev razvili v vrsto za koeficient λ, za enostavnejsodolocitev zveze med upogibom in energijo, je
- 53 -
Kuhljevi dnevi 2016
1 2 3 4Δx[m]
50
100
150
200
F[T]Deformation vs. Force
Slika 7 : Rezultat odmika-sile za Ansys simulacijo.
U(F,κ,k) =F2
7560a2κ2 (−9b9k+1260b5κ+84a5(b4k+15κ)
+28a4(2b5k+135bκ)−105a3(b6k−36b2κ)
−21a2(7b7k−180b3κ)−63a(b8k−60b4
κ))+O(λ13).
(5)
V enacbah (1)-(5) nastopa togostna kostanta κ, ki za nas primer ni dolocljiva zaradi nepoznava-nja materialnih lastnosti nosilca in tocne geometrije nosilca. Geometrija nosilca je bila opisanav stari projektni dokumentaciji, kot je prikazano na sliki 4, a se na to ne moremo zanasati vceloti. Na podlagi vecih meritev hitrosti priblizevanja in ocene mase (deplasmana ali izpo-driva) ladje lahko dolocimo upogibno togost nosilca κ pri dolocenem elasticnostnem moduluzemljine. V primeru, da se ladja giblje enakomerno proti nosilcu s hitrostjo v in ima maso Mlahko privzamemo, da se njena celotna kineticna energija spremeni v cisto upogibno energijonosilca, ko se le ta ustavi. Za dolocitev parametra κ potrebujemo le se meritev odmika nosilca∆ od ravnovesne lege. S pomocjo enacb (3) in (5) lahko dolocimo vrednost parametra κ, cepoznamo upogibno energijo U , upogib v tocki C (y(L) = ∆) in elasticnostni modul zemljine k0.V primeru vecih meritev, lahko dolocimo povprecje in odmik za κ in tako delno izlocimo vplivmerske napake.
3 Rezultati in razprava
Izhodisce zadane naloge je dolocitev mejnih vrednosti mase in hitrosti ladje med pristajanjem.Pristajalni nosilec se lahko upogne najvec za ∆max =1.5 m. Za vecje odmike nosilca ∆, ladjanalega na osrednji pomol (Slika 5). V primeru, da bi ladja pristala prehitro, ali s preveliko masolahko poskoduje togi del cevovoda, ker odbojnik ne zmore zadrzati ladje.
V analizi smo uporabili merske podatke, ki so navedeni v Tabeli 1. Glede na meritev dobimooceno za neznano kostanto κ = 1.94 · 109± 2.72 · 107 Nm2 pri k0 = 106 N/m3. V primeru, daocenimo vztrajnostni moment preseka I = 10−2 m4 dobimo za elasticnostni module vrednostE = 1.94 ·1011 Pa, kar je velikostni red kostrukcijskih jekel.
- 54 -
Kuhljevi dnevi 2016
Slika 8 : Rezultat deformacije (zgoraj) in napetosti (spodaj) za 3D Ansys model sestavljenecevi
Tabela 1 : Tabla meritev pristajanja
meritev hitrost priblizevanja [m/s] masa [106 kg] najvecji odmik [m]
1 0,04 52,67 0,342 0,03 46,67 0,233 0,02 40,81 0,164 0,05 40,61 0,37
- 55 -
Kuhljevi dnevi 2016
Z znano upogibno togostno konstanto κ lahko dolocimo togostni koeficient nosilca α = F/∆ =598.2 kN/m. Za kontrolo in primerjavo togosti α smo analizirali 3D model (Slika 3 - desno),z materialnimi lastnostmi dna in geometrijo sestave cevi prikazanimi na Sliki 4, v Ansys Me-chanica, kjer je bilo izbrano konstrukcijsko jeklo z izotropno elasticnostjo (E = 2 ·1011 Pa). NaSliki 7 so prikazani rezultati izracuna v Ansys sistemu. S pomocjo variacije sile smo dolocilinajvecje odmike in tako dolocili togostno konstanto α = 426 kN/m, kar je blizu rezultatu ocenepoenostavljenega modela. Ocena upogibne togosti κ poenostavljenega nosilca je zelo odvisnaod podatka o elasticnostnem modulu zemljine k0. Manjsi kot je k0 manjsi je κ. Lahko naredimotudi inverzno analizo, ki doloci vrednost k0, a bi za tako analizo potrebovali natancen podateko κ.
4 Zakljucek
V prispevku smo opisali razvoj dveh modelov za staticen opis odbojnika v Luki Koper. Spomocjo poenostavljenega modela in meritev smo lahko dolocili neznane geometricne in ma-terialne parametre odbojnika. Tako dolocen model je bil nato uporabljen za izdelavo diagramaodmikov odbojnika za razlicne deplasmane ladje in razlicne hitrosti priblizevanja ladje. Rezul-tati se lepo ujemajo s kasnejsimi meritvami in potrjujejo smiselnost poenostavljenega modela.
S pomocjo AnsysMechanical smo izracunali togostno konstanto nosilca, ki ima spremenljivodebelino stene cevi in je vpeto v elasticnem mediju, ki ponazarja dno. Dolocena je bila togostnakonstanta nosilca, ki se delno razlikuje od togostne konstante poenostavljenega modela. Lahkozakljucimo, da poenostavljen model (slika 6) zelo dobro opise pristajalni odbojnik in ga lahkouporabimo za nadaljne analize.
Zahvala: mag.Marku Perkovic se zahvaljujemo za vse merske podatke in slike uporabljene vtem prispevku.
Literatura
[1] Edward Bruijn. Plastic design of breasting dolphins. Master’s Thesis. TU Delft, Faculty ofCivil Engineering and Geosciences, Hydraulic Engineering, Netherland, 2005.
[2] Gross, D., Hauger, W., Schroder, J., Wall, W., Bonet, J., Engineering Mechanics 2: Mecha-nics of Materials. Engineering Mechanics. Springer Berlin Heidelberg, 2011.
[3] Jones Glyn, Analysis of Beams on Elastic Foundations: Using Finite Difference Theory.Thomas Telford, 1997
[4] Heteny M., Beams on Elastic Foundations. The University of Michigan Press, 1946
- 56 -
SLOVENSKO DRUŠTVO ZA MEHANIKO
SREČANJE KUHLJEVI DNEVI 2016
Priprava mehanskega modela za optimizacijo topologije
B. Harl1, J. Predan1, M. Kegl1 in N. Gubeljak1
Preparing the mechanical model for topology optimization
Povzetek. Prispevek obravnava elementarne prijeme, ki so neke vrste potrebni pogoji,
da lahko postopek optimizacije topologije uspešno izvedemo in zaključimo. Ti prijemi se
nanašajo tako na ustrezno pripravo CAD modela, kot tudi na pripravo robnih pogojev in v
končni fazi tudi numeričnega MKE modela. V tem prispevku so predstavljeni na primeru
priprave optimizacijskega modela konzole podprte z dvema čepoma.
Abstract. This paper discusses the most elementary arrangements which can be
regarded as some kind of necessary conditions, enabling to drive a topology optimization
process to a good result. These arrangements are related to the CAD model preparation, to
the definition of boundary conditions, and to the numerical FEM model. In this paper they
are presented by an example of a cantilever structure, supported by two pins.
1 Uvod
Optimizacija topologije se je očitno začela prebijati v postopke razvoja in konstruiranja
nosilnih delov [1]. Pri tem lahko opazimo, da imajo inženirji v praksi precej težav z uporabo
teh postopkov. Eden od glavnih razlogov za tako situacijo je dejstvo, da je treba mehanski in
numerični model konstrukcijskega dela, ki ga želimo optimirati, pripraviti precej bolj skrbno,
kot smo tega vajeni sicer pri navadni MKE analizi.
Optimizacija topologije po svoji definiciji konstrukcijo prilagaja danim razmeram
(podprtju in obremenitvam). Poenostavitve in približki, ki sicer pri navadni analizi niso
problematični, lahko zato pri topološki optimizaciji postanejo kritični ali se celo rezultirajo v
zelo zgrešeni obliki. Pri definiciji mehanskega modela za topološko optimizacijsko moramo
zato predvsem poskrbeti za:
primerno izbiro in definicijo optimizacijskih regij,
dovolj natančno modeliranje podprtja modela,
pravilno identifikacijo vseh možnih obremenitvenih primerov, in
1 Univerza v Mariboru, Fakulteta za strojništvo
Kuhljevi dnevi 2016
- 58 -
kvaliteto ter ustreznost MKE mreže.
V tem prispevku bodo nekateri osnovni prijemi v slogu 'napačno/pravilno' prikazani
na primeru priprave modela nosilca, podprtega z dvema čepoma, ki je obremenjen preko
tretjega čepa, kot prikazuje slika 1. CAD model je bil narejen s programskim paketom PTC®
Creo® [2] optimizacije pa so bile izvedene s paketom ProTOp [3].
Slika 1: Nosilec podprt z dvema čepoma in obremenjen preko tretjega čepa
2 Definicija optimizacijskih regij in podprtja
V mehanskem modelu najprej definiramo regije tako, kot bi morale biti dejansko definirane,
slika 2, in sicer:
prosta za optimizacijo (svetlo modra),
fiksna, ki se ne optimira (svetlo siva), in
kontakti (temno siva)
Slika 2: Model, razdeljen na ustrezne regije
Vpetje
Prosto
za optimizacijo
Kontakt
Fiksno
Obremenitev v
vertikalni smeri
Vpetje
Kuhljevi dnevi 2016
- 59 -
Začnimo z zelo poenostavljenim modelom: čepe in kontakte odstranimo, ves preostali material
definiramo kot prost za optimizacijo, notranjost izvrtin pa fiksno podpremo in obremenimo. S
pomočjo optimizacije bomo iskali minimum deformacijske energije ob predpisanem volumnu.
Rezultat optimizacije takega modela prikazuje slika 3 in očitno je, da je tak rezultat povsem
neuporaben, čeprav je optimizer svojo nalogo opravil brezhibno. Največja problema tega
modela sta: (a) fiksno podprtje notranjosti izvrtin in (b) celotna domena je prosta za
optimizacijo.
Slika 3: Rezultat optimizacije najenostavnejšega modela
Za prvi korak k pravemu modelu, material okrog izvrtin definiramo kot fiksen. Rezultat, ki ga
prikazuje slika 4, je boljši od predhodnega, vendar je precej očitno, da je okrog izvrtin
optimizer pustil premalo materiala. Razlog za to je fiksno podprtje in obremenitev notranjosti
izvrtin, kar je v danem primeru neustrezno.
Slika 4: Rezultat optimizacije modela z dodanimi fiksnimi regijami
Kuhljevi dnevi 2016
- 60 -
Da bi robne pogoje podprtja bolj približali realnosti, modelu dodamo čepe ter med nosilec in
čepe namestimo kontaktni material. Podprtje in obremenitev sedaj zagotovimo preko čepov.
Iz rezultata optimizacije tega modela, ki je prikazan na sliki 5, je očitno, da smo bliže realnosti,
vendar pa skrb vzbuja relativno tanek segment na sredini nosilca. Razlog: nosilec je
obremenjen s predpisano obremenitvijo in rezultat bi bil dejansko optimalen, če bi v praksi
imeli res samo to obremenitev.
Slika 5: Rezultat optimizacije modela z dodanimi čepi in kontakti ter s predpisano
vertikalno obremenitvijo
3 Obravnava obremenitvenih primerov
Do sedaj smo naš model obremenjevali samo s predpisano obremenitvijo – samo v vertikalni
smeri. Vendar pa vemo, da se v praksi razen očitnih in predpisanih obremenitev pogosto
pojavljajo še druge obremenitve, ki jih je včasih morda zelo težko identificirati. Pri topološki
optimizaciji lahko neupoštevanje vseh možnih obremenitvenih situacij privede do povsem
neustreznih rezultatov. V našem primeru skrb vzbuja predvsem možnost, da dejanska
obremenitev ne bo vedno povsem vertikalna. Zato dodamo (ločene) obremenitvene primere,
ki simulirajo vse možne obremenitve, slika 6. Rezultat, ki ga dobimo (slika 6), je zagotovo
bolj odporen na variacije dejanske obremenitve.
Kuhljevi dnevi 2016
- 61 -
Slika 6: Rezultat optimizacije modela z dodanimi čepi in kontakti ter s tremi
obremenitvenimi primeri
4 Tehnološki pogoji
Optimirane konstrukcijske elemente je potrebno seveda tudi izdelati. Zato moramo v fazo
optimizacije vključiti tudi tehnološke pogoje kot so simetrijske ravnine, koti odpiranja
materiala in podobno. Slika 7 prikazuje naš nosilec optimiran brez kakršnih koli tehnoloških
pogojev. Priznati je treba da je s klasičnimi postopki takšne dele zelo težko ali pa nemogoče
izdelati.
Slika 7: Rezultat optimizacije ustreznega mehanskega modela brez dodanih tehnoloških
pogojev
Če želimo ohraniti možnost izdelave s klasičnimi tehnologijami, kot npr. litje ali kovanje, je v
procesu optimizacije za to treba poskrbeti z dodajanjem ustreznih tehnoloških pogojev. Slika
Kuhljevi dnevi 2016
- 62 -
8 prikazuje rezultat iste naloge, pri kateri pa smo dodali pogoj simetrije (preko delilne ravnine
in odpiranje v smeri normale na delilno ravnino.
Slika 8: Rezultat optimizacije ustreznega mehanskega modela z dodanimi tehnološkimi
pogoji
5 Mreža končnih elementov
Ko imamo ustrezen mehanski model, je čas, da pomislimo tudi o primernem numeričnem
modelu. Tukaj je najpomembnejši dejavnik mreža končnih elementov. Rezultati topološke
optimizacije so namreč zelo odvisni od kvalitete in gostote mreže KE. Pomembno je, da je
mreža v optimizacijskih domenah čim bolj enakomerna (enako veliki in ne preveč pokvarjeni
elementi) in dovolj gosta. Gostota mreže je pomembna predvsem zaradi natančnosti 'rezanja
elementov' in ne toliko zaradi natančnosti izračunanega odziva. Običajno je zato mnogo bolje
imeti majhne linearne elemente kot pa velike kvadratične. 'Rezanje elementov' izvajamo s
pomočjo topoloških parametrov - gladke materialne funkcije. Materialna funkcija je definirana
na intervalu [−1,+1], kjer vrednost večja od 0 pomeni obstoj materiala.
Kuhljevi dnevi 2016
- 63 -
Grobe mreže so tako lahko koristne predvsem v začetku optimizacije, kjer običajno
tudi preverjamo, ali je naš model ustrezen in kakšna približno bo oblika optimiranega dela. V
kasnejših fazah optimizacije pa je nujno preklopiti na čim bolj fino mrežo, ki jo lahko tudi
mnogo bolje gladimo. Na sliki 9 je prikaza rezultat optimizacije z zelo grobo mrežo.
Slika 9: Grobe mreže so zelo uporabne pri nastavljanju mehanskega modela in za izračun
'startnih oblik' za optimizacijo modela s fino mrežo
Rezultat optimizacije enakega mehanskega modela, vendar z precej gostejšo mrežo, prikazuje
slika 10.
Slika 10: Fine mreže moramo obvezno uporabiti proti koncu optimizacijskega postopka
6 Zaključek
Optimizacija topologije prinaša veliko pomoč in prednost inženirjem pri razvoju in
oblikovanju optimalnih konstrukcijskih elementov. Strukture imajo manjšo maso, veliko
Kuhljevi dnevi 2016
- 64 -
togost, minimalne nivoje napetosti ter ne vsebujejo koncentracij napetosti. Pri tem je ključnega
pomena pravilna definicija mehanskega in numeričnega modela, saj lahko nepravilna uporaba
programskih paketov ter nepoznavanje in upoštevanje vseh mehanskih vplivov, privede do
napačnih in nevarnih rezultatov.
Rezultat uspešne optimizacije je zaprta površinska mreža, ki jo običajno še zgladimo
z uporabo ustreznih orodij. Od tu naprej pa je pot odvisna od tehnologije izdelave. Če se
odločimo za 3D tiskanje, je zglajena mreža lahko celo uporabna za direktno posredovanje 3D
tiskalniku, slika 11.
Slika 11: Rezultat optimizacije po uporabi glajenja površin
Literatura
[1] H. Lipson, Is CAD Keeping Up? 3D Printing and Additive Manufacturing, vol. 1, no. 4,
177--177, 2014.
[2] http://www.ptc.com/cad/3d-design
[3] http://www.caess.eu/site/Software-ProTop.html
SLOVENSKO DRUŠTVO ZA MEHANIKO
SREČANJE KUHLJEVI DNEVI 2016
Spremljanje procesa formiranja strukture materialov s
cementnim vezivom z ultrazvočno metodo in metodo električne
prevodnosti
T. Hozjan1 in G. Trtnik1,2
Monitoring of formation of structure process of cementitious
materials using ultrasonic and electrical conductivity methods
Povzetek. Prispevek prikazuje možnost spremljanja procesa formiranja strukture cementnih past
z dvema naprednima neporušnima tehnikama, in sicer metodo prehoda vzdolžnih ultrazvočnih (UZ)
valov in metodo električne prevodnosti. Obe metodi imata jasno fizikalno osnovo, pri čemer UZ
metoda temelji na merjenju deleža skupne in povezane trdne faze v strukturi materialov, metoda
električne prevodnosti pa na merjenju deleža skupnih in povezanih z vodo zapolnjenih por. Prikazan
je splošen potek spreminjanja hitrosti prehoda vzdolžnih UZ valov vP in električne prevodnosti
materiala C s časom t, vpliv osnovnih parametrov sestave materiala na krivulje vP – t in C – t ter
korelacija med tema dvema fizikalnima veličinama. Prispevek predstavlja prvi del obsežnega
raziskovalnega projekta, katerega končni cilj je razviti numerični model za napoved formiranja
strukture materialov s cementnim vezivom ter nekaterih pomembnih mejnikov v tem procesu, ki
pomembno vplivajo na kvaliteto materialov s cementnim vezivom, s tem pa na trajnost, odpornost
in stabilnost (armirano) betonskih konstrukcij.
Abstract. The paper discusses a possibility of using two advanced non-destructive techniques,
namely ultrasonic (US) wave transmission and electrical conductivity technique to monitor
formation of structure of cement pastes. Both US and electrical conductivity methods have clear
physical basis and are based on measuring an amount of total and connected solid phase and an
amount of total and connected water saturated pores within the materials microstructure,
respectively. General development of a velocity of US longitudinal waves vP and an electrical
conductivity C with time t is presented, the influence of different material parameters on the
development of vP – t and C – t curves is discussed and correlation between vP and C is analyzed.
The paper presents the first part of a comprehensive research project aimed to develop a numerical
model for prediction of formation of structure of cementitious materials and some important
milestones within the solidification process, which influence overall quality of these materials and
hence durability, resistivity, and stability of (reinforced) concrete structures.
1 Univerza v Ljubljani, Fakulteta za gradbeništvo in geodezijo, Jamova 2, 1000 Ljubljana
2 Igmat d.d., Inštitut za gradbene materiale, Polje 351c, 1260 Ljubljana
Kuhljevi dnevi 2016
- 66 -
1 Uvod
Materiali s cementnim vezivom (MCV) s časom spremenijo svoje agregatno stanje iz praktično
tekočega neposredno po zamešanju do materiala z visoko (tlačno) trdnostjo. Te spremembe so
posledica zapletenih kemijskih reakcij, ki jih s skupnim imenom imenujemo hidratacija
oziroma nastajanja različnih hidratacijskih produktov.
Hidratacijske produkte v grobem delimo na notranje in zunanje [1] in predstavljajo trdno fazo
v strukturi MCV, pri čemer ločimo skupno in povezano trdno fazo [2]. Časovno naraščanje
predvsem deleža povezane trdne faze na račun zunanjih hidratacijskih produktov v nekem
trenutku tSP rezultira v t.i. perkolaciji trdne faze [2] oziroma prvi povezavi celotne trdne faze.
Izkaže se, da ta pomemben trenutek v fazi razvoja strukture MCV dobro sovpada s časom
začetka vezanja tI (tSP tI), medtem ko konec vezanja določa trenutek tF, ko je celotna trdna
faza povezana [2]. Dolžino obdobja vezanja MCV dS tako določimo z enačbo
dS = tF – tI. (1)
Za razliko od obdobja vezanja se po koncu tega obdobja povečuje predvsem delež notranjih
hidratacijskih produktov, kar vpliva na pridobivanje mehanskih karakteristik materiala. To
obdobje, ki traja praktično neomejeno dolgo, imenujemo strjevanje MCV. Na sliki 1 je viden
shematski prikaz razvoja strukture MCV s časom v zgodnjem hidratacijskem obdobju.
Slika 1. Shematski prikaz razvoja strukture MCV v zgodnjem obdobju; a) obdobje pred
vezanjem (t < tI), b) začetek vezanja (t = tI), c) obdobje vezanja (tI < t < tF), d) konec vezanja
(t = tF)
Poleg trdne faze se v strukturi MCV pojavljata še dve pomembni fazi, in sicer faza por in faza
proste zamesne vode. Ločimo zračne pore in pore, zapolnjene z vodo. Za razliko od trdne faze
je faza por v začetku hidratacijskega procesa popolnoma povezana, s povečevanjem deleža
nastajajočih hidratacijskih produktov pa se delež povezane faze por manjša. V nekem trenutku
tPD pride do t.i. deperkolacije por oziroma trenutka, ko faza por ni več povezana, z nadaljnjim
povečevanjem količine trdne faze pa se celoten delež z vodo zapolnjenih por intenzivno
manjša.
Podrobno spremljanje in poznavanje omenjenih osnovnih mehanizmov formiranja strukture
MCV je ključno za natančno identifikacijo številnih karakterističnih obdobij in točk v procesu
formiranja strukture MCV. Napredek v razvoju računalniške tehnologije in merilne opreme v
zadnjih letih je omogočil razvoj novih, po večini neporušnih naprednih tehnik spremljanja
hidratacijskega procesa MCV. Od teh so se kot zelo učinkovite izkazale različne ultrazvočne
a) b) c) d
)
Kuhljevi dnevi 2016
- 67 -
(UZ) metode [3], ki temeljijo predvsem na merjenju deleža skupne in povezane trdne faze v
strukturi MCV [2], v zadnjem času pa se kot učinkovita metoda za merjenje deleža proste in
povezane zamesne vode v strukturi MCV vse bolj uveljavlja metoda merjenja električne
prevodnosti MCV C [4]. Medtem ko je hitrost UZ valovanja vP skozi material neposredno
odvisna od deleža skupne in povezane trdne faze in s časom narašča, na električno prevodnost
materiala najbolj vpliva delež proste in povezane vode v strukturi MCV, ki s časom pada [2,4].
Ta dejstva omogočajo določitev številnih pomembnih karakterističnih točk in faz v procesu
formiranja strukture MCV z omenjenima metodama [3,4].
Namen prispevka je na podlagi rezultatov lastnega eksperimentalnega dela analizirati
povezavo med razvojem hitrosti UZ valov vP in električne prevodnosti C. Hkratno merjenje
teh dveh parametrov na različnih cementnih pastah je omogočilo neposredno primerjavo med
tema dvema parametroma, kar daje boljšo sliko o samem procesu formiranja strukture MCV
in omogoča natančnejšo določitev posameznih karakterističnih točk in faz v zgodnjem
hidratacijskem obdobju.
2 Materiali in metode
2.1 Eksperimentalni materiali
V okviru eksperimentalnega dela smo uporabili dva tipa cementa, ki smo ju označili z
oznakama C1 in C2 ter destilirano vodo sobne temperature (20±1°C). Osnovne karakteristike
uporabljenih cementov so podane v preglednici 1. Pripravili smo 6 različnih cementnih past s
karakteristikami, prikazanimi v preglednici 2. Cementne paste so se razlikovale v vrsti cementa
in velikosti vodocementnega (v/c) razmerja.
Preglednica 1. Osnovne karakteristike uporabljenih tipov cementov.
Oznaka
cementa
Vrsta cementa Vsebnost
klinkerja
Tlačna trdnost
(28 dni)
Finost mletja
C1 CEM I 52,5 N CE PM-CP2 NF > 95% > 50 N/mm2 >4000 cm2/g
C2 CEM I 52,5N-SR3 CE PM CP2 NF > 95% > 50 N/mm2 >2800 cm2/g
Preglednica 2. Osnovne karakteristike uporabljenih cementnih past.
C1030 C1035 C1040 C2030 C2035 C2040
cement C1 C1 C1 C2 C2 C2
v/c 0,30 0,35 0,40 0,30 0,35 0,40
2.2 Eksperimentalne metode
2.2.1 Ultrazvočna metoda
Meritve hitrosti prehoda vzdolžnih UZ valov vP smo izvajali s komercialnim inštrumentom
Proceq Pundit Lab ter sprejemno in oddajno sondo s frekvenco 150 kHz. UZ sondi smo
ustrezno namestili na sredino obeh večjih stranskih ploskev, pri čemer sta bili zaradi
Kuhljevi dnevi 2016
- 68 -
zagotovitve ustreznega kontakta obe sondi cca 2 mm vsidrani v sam preizkušanec. Dimenzije
preizkušanca so znašale d/š/v = 150/50/100 mm, razdalja med UZ sondama pa 36 mm. S
posebno programsko opremo smo meritve odčitavali vsakih 60 sek, dodatno pa smo v vsakem
časovnem koraku merili tudi TG faktor, ki predstavlja razmerje med maksimalnima
amplitudama dveh prevladujočih frekvenc v frekvenčnem spektru UZ P-valov [5,6].
Kontinuirno spremljanje TG parametra s časom omogoča natančno določitev začetka in konca
vezanja ter podrobno spremljanje razvoja obdobja vezanja poljubnih MCV [6] in je bil tudi v
okviru tega prispevka uporabljen kot osnovna metoda za določitev obdobja vezanja
materialov.
2.2.2 Metoda merjenja električne prevodnosti
Električno prevodnost C MCV smo merili z inštrumentom ConSensor [4], katerega glavna
sestavna dela sta osrednja merilna enota in posebni merilni členi, ki poleg električne
prevodnosti merijo tudi temperaturo v preizkušancu. Merilni členi so bili pred vsako preiskavo
vgrajeni v sredino posameznega preizkušanca dimenzij d/š/v = 150/50/100 mm, rezultate
meritev pa smo s posebno programsko opremo odčitavali 24 ur po zamešanju vzorca v 10 min
intervalih.
3 Eksperimentalni rezultati
3.1 Tipičen razvoj hitrosti vP in električne prevodnosti C s časom
Slika 1 prikazuje tipičen razvoj hitrosti prehoda vzdolžnih UZ valov vP in električne
prevodnosti C s časom ter numerične odvode vP – t in C – t krivulj po času. Razvidno je, da
hitrost vP s časom monotono narašča, električna prevodnost C pa monotono pada tekom
celotnega opazovanega obdobja. Časovni razvoj obeh merjenih karakteristik lahko razdelimo
na pet karakterističnih faz, katerih začetek označimo s časi ti,vP oziroma ti,C (i=1,2,..,5).
Slika 1. Tipičen razvoj hitrosti vP in električne prevodnosti C s časom; a) vP – t in vP' – t
krivulja, b) C – t in C' – t krivulja
V prvi fazi je po krajšem obdobju nezaznavanja prehoda vzdolžnih UZ valov skozi material
razvidno obdobje izrazitega naraščanja hitrosti vP, ki pa ni posledica povezovanja trdne faze
temveč drugih fenomenov, ki so v največji meri posledica segregacije in formiranja
posameznih produktov etringita, ki ne vplivajo na vezanje materiala [7-9]. Po času t2,vP nastopi
a) b)
Kuhljevi dnevi 2016
- 69 -
začetek druge faze, ki traja do prve prevojne točke pri času t3,vP. V tej fazi tipično pride tako
do pojava perkolacije trdne faze oziroma začetka kot tudi do konca vezanja materiala [10].
Sledi drugo obdobje naglega razvoja hitrosti vP v tretji fazi, ki traja do časa druge, izrazitejše
prevojne točke pri času t4,vP. Od tu dalje se hitrost vP postopoma umirja in se v zadnji (peti)
fazi po času t5,vP praktično ne spreminja več.
V prvi fazi razvoja električne prevodnosti materiala s časom se le-ta praktično ne spreminja,
po času t2,C, ki definira začetek druge faze, pa je opazen rahel, relativno enakomeren padec
električne prevodnosti C. Po času t3,C, ki določa začetek tretje faze na krivulji C – t, začne
električna prevodnost materiala izrazito padati, pri času t4,C pa se pojavi izrazita prevojna
točka, ki definira začetek četrte faze na krivulji C – t. V zadnji, peti fazi električna prevodnost
materiala s časom kontinuirno pada z zmanjšano intenzivnostjo.
3.2 Vpliv sestave materiala na razvoj hitrosti vP in električne prevodnosti C s časom
Slika 2 prikazuje vpliv razmerja v/c na razvoj vP - t in vP' - t krivulj, slika 3 pa vpliv razmerja
v/c na razvoj C - t in C' - t krivulj za cementne paste s tipom cementa C1. Preglednica 3
prikazuje karakteristične čase za vse analizirane cementne paste.
Preglednica 3. Karakteristični časi za vse analizirane cementne paste.
C1030 C1035 C1040 C2030 C2035 C2040
tI (ure) 2,1 2,3 3,0 3,5 5,5 6,4
tF (ure) 4,1 4,5 5,5 6,0 8,1 9,0
dS (ure) 2,0 2,2 2,5 2,5 2,6 2,6
t2,vP (ure) 1,8 2,0 2,0 3,0 4,0 4,5
t3,vP (ure) 3,5 4,0 4,2 4,0 6,5 7,0
t4,vP (ure) 5,7 6,7 7,2 8,0 10,5 11,0
t5,vP (ure) 8,2 10,0 10,0 11 15 16
t2,C (ure) 2,1 2,2 2,9 3,5 5,4 6,3
t3,C (ure) 4,2 5,0 5,5 6,8 9,0 9,4
t4,C (ure) 5,7 6,7 7,2 8,0 10,5 11,0
t5,C (ure) 6,8 8,3 9,0 11 11,5 11,8
Na posameznih krivuljah na slikah 2 in 3 so s praznimi simboli označeni časi začetka vezanja,
s polnimi simboli pa časi konca vezanja. Pričakovano se tako čas začetka tI in konca tF vezanja
kot tudi časi začetka posameznih karakterističnih faz na vP - t in C – t krivuljah podaljšujejo z
višanjem razmerja v/c, v splošnem pa se podaljšuje tudi dolžina obdobja vezanja dS in
posameznih karakterističnih faz. Razvidno je, da so karakteristični časi cementnih past,
pripravljenih s cementom C2 daljši v primerjavi s časi cementnih past, pripravljenih s
cementom C1, kar je posledica predvsem večje finosti mletja cementa C1 (preglednica 1).
Kuhljevi dnevi 2016
- 70 -
Slika 2. Razvoj vP – t in vP' – t krivulj za vse analizirane cementne paste s tipom cementa C1;
a) krivulje vP – t b) krivulje vP' – t.
Slika 3. Razvoj C – t in C' – t krivulj za vse analizirane cementne paste s tipom cementa C1;
a) krivulje C – t b) krivulje C' – t.
3.3 Primerjava med vP in C
Slika 4 prikazuje neposredno primerjavo med krivuljami razvoja hitrosti prehoda vzdolžnih
UZ valov vP in električne prevodnosti materiala C s časom za vse mešanice s tipom cementa
C1. Na slikah je s črtkano črto označen čas začetka, s polno črto pa čas konca obdobja vezanja.
Iz slik in preglednice 3 je razvidno, da v vseh primerih začetek vezanja tI dobro sovpada s
časom t2,C, ko začne električna prevodnost materiala C malenkostno padati, čas začetka
intenzivnega padanja električne prevodnosti t2,C pa je blizu časa konca vezanja tF. Omenjen
fenomen ima jasno fizikalno osnovo, saj začetek vezanja predstavlja predhodno omenjeno
začetno povezanost trdne faze in s tem začetek prekinitve povezanosti z vodo zapolnjene
poroznosti materiala, konec vezanja pa praktično celotno povezanost trdne faze in s tem
deperkolacijo por. Ker je električna prevodnost materiala v največji meri odvisna od skupnega
deleža in povezanosti z vodo zapolnjenih por, se po deperkolaciji por le-ta naglo manjša na
račun intenzivnega večanja hidratacijskih produktov ter posledičnega naglega porabljanja
zamesne vode oziroma manjšanja deleža poroznosti materiala. Velja torej
t2,C tI tSP (2)
a) b)
a) b)
Kuhljevi dnevi 2016
- 71 -
in
tF t3,C tPD. (3)
Slika 4. Primerjava med vP – t in C – t ter vP' – t in C' – t krivuljami za vse analizirane
cementne paste s tipom cementa C1.
Nadalje opazimo izrazito dobro ujemanje prevojnih točk na krivuljah vP – t in C – t, torej
t4,vP = t4,C. (4)
Rezultat je pričakovan in pomeni, da čas najintenzivnejšega formiranja hidratacijskih
produktov oziroma naraščanja deleža trdne faze odlično sovpada s časom najintenzivnejše
porabe zamesne vode v strukturi MCV.
Vse zgoraj navedene ugotovitve veljajo tudi za mešanice s tipom cementa C2, kar je razvidno
iz preglednice 3.
Kuhljevi dnevi 2016
- 72 -
3.4 Korelacija med vP in C
Slika 5 prikazuje korelacijo med vrednostmi vP in C pri istih časih tekom celotnega
opazovanega obdobja za vse analizirane cementne paste. Izkaže se, da je zveza vP – C precej
enolična oziroma neodvisna od sestave materiala, omenjeno zvezo pa najbolje opiše nelinearna
regresija (slika 5), z uporabo funkcije arkus tangens s tremi prostimi parametri (a, b, c) oblike
C(vP) = a(atan((b-vP)/c)+/2), (5)
pri čemer velja
a = 3.666 (3.634, 3.697),
b = 2184 (2170, 2197), (6)
c = 296.8 (284, 309.6).
Vrednosti v oklepajih pomenijo 95% interval zaupanja za navedene vrednosti parametrov a, b
in c.
Razvidno je, da lahko zvezo vP – C razdelimo na dve karakteristični obdobji. V prvem obdobju,
ki traja do vrednosti vP 1500 m/s, kar ustreza vrednosti hitrosti prehoda vzdolžnih UZ valov
skozi vodo oziroma vrednosti, pri kateri se pojavi konec vezanja cementnih past [11], se
vrednost električne prevodnosti materiala ne spreminja bistveno, hitrost vP pa občutno narašča.
Omenjen fenomen dodatno potrjuje domneve ostalih raziskovalcev, da začetno naraščanje
hitrosti vP MCV ni posledica formiranja strukture materiala temveč drugih, predhodno
omenjenih fenomenov, ki ne vplivajo na povezavo trde faze v strukturi MCV [7-9].
Slika 5. Korelacija med vrednostmi vP in C za vse analizirane cementne paste tekom
celotnega opazovanega obdobja.
Kuhljevi dnevi 2016
- 73 -
4 Zaključek
V prispevku je analizirana povezava med časovnim razvojem hitrosti vP in električne
prevodnosti C cementnih past v zgodnjem hidratacijskem obdobju. Kontinuirno merjenje obeh
parametrov omogoča spremljanje razvoja hidratacije oziroma formiranja strukture MCV,
hkratno merjenje obeh parametrov na istih materialih pa ponuja možnost podrobna analize
številnih pomembnih mejnikov v razvoju strukture MCV. Na podlagi rezultatov
eksperimentalnih preiskav, navedenih v tem prispevku, lahko podamo naslednje pomembnejše
ugotovitve, ki so neodvisne od sestave materiala:
Tako razvoj hitrosti vP kot električne prevodnosti C s časom lahko razdelimo na pet
karakterističnih obdobij glede na intenzivnost naraščanja vP oziroma padanja C.
Omenjena obdobja ločimo s štirimi, dobro zaznavnimi karakterističnimi točkami.
Čas začetka vezanja MCV tI oziroma perkolacije trdne faze tSP dobro sovpada s časom
t2,C, ko začne električna prevodnost materiala C malenkostno padati, čas začetka
intenzivnega padanja električne prevodnosti t2,C, ki ga lahko povežemo s časom
deperkolacije z vodo zapolnjenih por v strukturi MCV pa je blizu časa konca vezanja
tF.
Po koncu obdobja vezanja je opazno izrazito dobro ujemanje med obema izrazitima
prevojnima točkama na krivuljah vP – t in C – t kar pomeni, da čas najintenzivnejšega
formiranja hidratacijskih produktov oziroma naraščanja deleža trdne faze odlično
sovpada s časom najintenzivnejše porabe zamesne vode v strukturi MCV.
Zveza med vP in C je tekom celotnega zgodnjega hidratacijskega obdobja precej
enolična oziroma neodvisna od sestave materiala, najbolje pa jo opiše nelinearna arkus
tangens funkcija s tremi prostimi parametri. Omenjeno zvezo lahko razdelimo na dve
karakteristični obdobji, pri čemer se v prvem obdobju do časa, pri katerem vrednost
vP doseže vrednost 1500 m/s vrednost električne prevodnosti materiala ne spreminja
bistveno.
Omenjen prispevek predstavlja delne rezultate obsežnega eksperimentalnega dela, ki poteka
na Katedri za mehaniko v sodelovanju z inštitutom Igmat d.d. Končni cilj omenjenih raziskav
je na podlagi rezultatov eksperimentalnega dela pripraviti ustrezni numerični model za
napoved in analizo formiranja strukture MCV ter pomembnih mejnikov v tem zgodnjem, za
trajnost in obstojnost (armirano)betonskih konstrukcij ključnem, hidratacijskem obdobju.
Literatura
[1] K. van Breugel, Hydration of Cement Based Systems, Aspects of hydration of cement
based systems and possibilities to quantify the evolution of hydration processes, IPACS
BE96-3843/2001:17-6, Delft, 2001.
[2] G. Ye, Experimental study and numerical simulation of the development of the
microstructure and permeability of cementitious materials, Doktorska disertacija, Delft
University of Technology, Delft, 2003.
[3] G. Trtnik, M. Gams, Recent advances of ultrasonic testing of cement based materials at
early ages, Ultras., 54, 1, 66--75, 2014.
Kuhljevi dnevi 2016
- 74 -
[4] A. van Beek, Dielectric properties of young concrete (nondestructive dielectric sensor for
monitoring the strength development of young concrete), Doktorska disertacija, Delft
University of Technology, Delft, 2000.
[5] G. Trtnik, M. Gams, The use of frequency spectrum of ultrasonic P-waves to monitor the
setting process of cement pastes, Cem. Concr. Res., 43, 1, 1—11, 2013.
[6] M. Gams, G. Trtnik, A new US procedure to determine setting period of cement pastes,
mortars, and concretes, Cem. Concr. Res., 53, 9--17, 2013.
[7] H.W. Reinhardt, C. U. Grosse, Continuous monitoring of setting and hardening of mortar
and concrete, Constr. Build. Mater. 18, 3, 145—154, 2004.
[8] N. Robeyst, C.U. Grosse, N. De Belie, Factors affecting the monitoring of the early age
setting of concrete by ultrasonic P-waves, v: O. Buyukozturk, M.A. Tasdemir, O. Gunes,
Y. Akkaya (eds.), Proceedings of NDTMS-2011, Istanbul, Turkey, 423--430, 2011.
[9] D.G. Aggelis, D. Grammenou, Characterization of fresh mortar with chemical admixtures
based on stress wave dispersion, v: O. Buyukozturk, M.A. Tasdemir, O. Gunes, Y.
Akkaya (eds.), Proceedings of NDTMS-2011, Istanbul, Turkey, 459--464, 2011.
[10] G. Trtnik, G. Turk, F. Kavčič, V. Bokan-Bosiljkov, Possibilities of using the ultrasonic
wave transmission method to estimate initial setting time of cement paste, Cem. Concr.
Res. 38, 11, 1336—1342, 2008.
[11] G. Trtnik, Uporaba ultrazvočne metode za analizo vezanja in strjevanja betona,
Doktorska disertacija, Univerza v Ljubljani, Ljubljana, 2009.
SLOVENSKO DRUŠTVO ZA MEHANIKO
SREČANJE KUHLJEVI DNEVI 2016
Primerjava različnih tehnik za upogibno utrjevanje tankih
betonskih preizkušancev z uporabo ogljikovih vlaken
A. Ivanič1, M. Frajnkovič
2, L. Adanič
3, S. Lubej
4
Comparison of various techniques for flexural strengthening
of thin concrete members using continuous carbon fibers
Povzetek. Prispevek opisuje obnašanje tankih betonskih preizkušancev, utrjenih z
ogljikovimi vlakni, izpostavljenih upogibni obremenitvi. Laboratorijski preizkušanci so
bili podvrženi statični obremenitvi, z namenom determiniranja vpliva treh različnih
utrjevalnih tehnik na upogibno trdnost, srednji razpon deformacije, in način loma
preizkušanca. Preizkušanci so bili utrjeni z ogljikovimi vlakni na tri različne načine.
Utrditev z ogljikovimi vlakni nalepljenimi v utore v natezni coni preizkušanca (angl.
Near Surface Mounted Reinforcement oz. NSMR), utrditev z ogljikovimi vlakni
nalepljenimi na spodnjo zunanjo stran preizkušanca (angl. External Bonded
Reinforcement oz. EBR) in utrditev z ogljikovimi vlakni nameščenimi v geometrijskem
središču preizkušanca. Iz empiričnih rezultatov se lahko pride do zaključkov o prednostih
in slabostih posamezne tehnike utrjevanja.
Abstract. This paper deals with flexural performance of thin concrete members,
reinforced with continuous carbon fibers in the form of filament yarns. The laboratory
specimens were tested under static loading conditions to investigate the effects of three
different strengthening techniques on flexural stress, mid-span deflection and modes of
failure. The specimens were strengthened in flexure using carbon fiber yarns as near-surface
mounted, externally bonded and placed in the geometric center of the specimen,
respectively. Based on this investigation, the advantages and shortcomings of individually
strengthening technique can be drawn.
1 Univerza v Mariboru, Fakulteta za gradbeništvo, prometno inženirstvo in arhitekturo 2 Univerza v Mariboru, Fakulteta za strojništvo 3 Univerza v Mariboru, Fakulteta za strojništvo 4 Univerza v Mariboru, Fakulteta za gradbeništvo, prometno inženirstvo in arhitekturo
Kuhljevi dnevi 2016
- 76 -
1 Uvod
Materiali s cementno osnovo, kot so Portland cementne malte in betoni, so po naravi krhki, z
visoko tlačno trdnostjo, nizko natezno trdnostjo in slabo žilavostjo. Iz tega razloga je uporaba
teh materialov v inženirskih aplikacijah močno povezana z ojačevanjem materiala s pomočjo
jeklenih palic v konvencionalno ojačanih betonih, ali pa z vlakni v betonskih materialih
predvidenih za posebne aplikacije. Slednji so lahko relativno debeli, 100-200 mm (npr.
pločniki), kjer vlakna služijo predvsem za nadzorovanje nastanka in širjenja razpok, lahko pa
so tudi relativno tanki, 10 mm (npr. strešne in talne plošče), kjer vlakna služijo kot primarna
ojačitev materiala. Različni tipi vlaken z različnimi lastnostmi so lahko uporabljeni za
ojačitev betonskih materialov [1, 2]. Ena izmed najbolj učinkovitih vlaken za ojačevanje so
kontinuirana vlakna [3, 4]. Osnovna ojačitvena enota v takih materialih je vlaknena nit
sestavljena iz medsebojno prepletenih filamentov. Ena izmed prednosti kompozitov
narejenih iz različnih vrst nekovinskih vlaken (npr. steklenih vlaken, ogljikovih vlaken) je ta,
da ne potrebujejo zaščite proti koroziji. Posledično se zmanjša tudi volumen celotnega
materiala, kar dovoljuje izdelavo lahkih in tankih izdelkov, kot so lupine in različni fasadni
elementi.
Uporaba naprednih kompozitnih materialov za utrjevanje mostov in zgradb je široma
uporabljana že več kot dvajset let. Polimeri utrjeni z vlakni (angl. Fiber Reinforced Polymer
oz. FRP) se v različnih konfiguracijah in z različnimi tehnikami uporabljajo za učinkovitejšo
izrabo materiala, in za zagotavljanje zanesljivosti in dolgotrajnosti konstrukcij [5].
FRP kompoziti se lahko uporabijo za sanacijo oz. obnovo dotrajanih in poškodovanih
strukturnih delov v konstrukcijah, ali za ojačitev delov konstrukcij, za katere je predvideno
povečanje obremenitve zaradi spreminjanja namembnosti konstrukcije. FRP kompoziti so
lahko pritrjeni na zunanje natezne cone nosilcev, z namenom povečati upogibno trdnost
elementov. Najbolj široma uporabna metoda ojačevanja s FRP kompoziti je utrditev z vlakni
nalepljenimi na spodnjo zunanjo stran preizkušanca, tako imenovana metoda EBR.
Pomembno pri tej metodi je, da so FRP kompoziti kar se da vzporedni s smerjo delovanja
glavne natezne napetosti [6].
Tehnika utrjevanja z vlakni nalepljenimi v utore v natezni coni elementov, imenovana
NSMR, za utrjevanje betonskih konstrukcij je bila razvita kot alternativa metodi EBR.
Proces vključuje izdelavo serije plitvih utorov na površini materiala v želeni smeri. Utori so
potem delno napolnjeni z epoksidno smolo, v katerega so potem položena vlakna iz
ustreznega materiala (najpogosteje ogljikova ali steklena). Preostanek utora je potem do vrha
napolnjen z epoksidno smolo. Tak pristop se lahko uporabi za povečanje upogibne trdnosti
nosilcev in drugih linijskih konstrukcijskih elementov. Prav tako se lahko ta pristop uporabi
za ojačevanje zidanih betonskih sten.
V prispevku so predstavljeni eksperimentalni rezultati tankih z vlakni ojačanih betonskih
preizkušancev, ki so bili preizkušeni s statično obremenitvijo, do porušitve preizkušanca.
Študija se osredotoča na učinke določenih ojačitvenih tehnik na upogibno trdnost in način
porušitve materiala.
Kuhljevi dnevi 2016
- 77 -
2 Eksperiment
2.1 Materiali
Materiali, ki so bili uporabljeni za izdelavo preizkušancev so naslednji: 1) Portland cement –
CEM II/B.M (P-S-L) 42.5 N, dobavitelj LAFARGE Slovenia; 2) Kremenov pesek (0.063-
0.355 mm) z 99% vsebnostjo SiO2, dobavitelj KEMA Slovenia; 3) Aerant iz vinsolne smole
Kemacon LPA, dobavitelj KEMA Slovenia; 4) Epoksidna smola RenLam LY 113, dobavitelj
Huntsman Advanced Materials; 5) TohoTenax pletenica iz ogljikovih vlaken HTS 5631 z
naslednjimi lastnostmi: 12000 filamenti/pletenico, premer filamenta - 7 µm, Youngov modul
– 240 GPa, natezna trdnost – 4300 MPa, gostota - 1.77 g/cm3, deformacija pri porušitvi –
1.8%.
2.2 Priprava vzorcev in preizkušancev
Preizkušanci so bili pripravljeni v skladu z evropskim standardom EN 1170-5 [9], in so bili
dimenzij 275 x 50 x 10 mm. V eksperimentalnem delu so bili preizkušanci razdeljeni glede
na uporabljeno ojačitveno tehniko v tri skupine, v vsaki skupini po trije preizkušanci, torej
skupno devet preizkušancev. Nomenklatura posameznih skupin je bila naslednja: 1) skupina
R – preizkušanci z ojačitvami v geometričnem središču prereza (slika 1a); skupina EBR –
preizkušanci ojačani z metodo EBR (slika 1b), skupina NSMR – preizkušanci ojačani z
NSMR metodo (slika 1c).
Slika 1: Prikaz prereza posameznih tipov preizkušancev
Preizkušanci so bili pripravljeni z razmerjem cement/agregat 1:1 in razmerjem voda/cement
0.5 glede na maso, z dodatkom aeranta pri preizkušancih iz skupine R. Vse sestavine so bile
zmešane v laboratoriju, v skladu z evropskim standardom EN 1015-2 [10]. Obdelovalnost
mešanice je bila določena z metodo tekoče mize (angl. flow table) v skladu z evropskim
standardom 1015-3. Sveža mešanica je bila tretirana kot samozgoščevalna. Za vzorce iz
skupine R je bilo v kalup prvotno vlita mešanica do višine 5mm, nakar so bila v kalup
horizontalno vstavljena prednapeta ogljikova vlakna, ki so se zaradi prednapetja primerno
poravnala. Nato je bila v kalup, do višine 10 mm, vlita preostala mešanica. Preizkušanci iz
skupine EBR in NSMR so bili pripravljeni brez ojačitev. Vsi preizkušanci so bili iz kalupov
odstranjeni po 1 dnevu, in 27 dni starani v pripravljalni komori pri temperaturi 20°C in
Način ojačitve z
ogljikovimi vlakni.
Kuhljevi dnevi 2016
- 78 -
relativni zračni vlažnosti 98%. Po 28 dnevih so se v preizkušance skupine NSMR z uporabo
vodno hlajene žage z diamantnim rezilom izdelali utori globine 2mm. Utori so bili potem
očiščeni z uporabo visokotlačnega vodnega curka. Pred nanosom epoksidne smole so bili
utori osušeni. Nato so bili delno napolnjeni z epoksidno smolo. Ogljikova vlakna so bila
položena v utore, in nato popolnoma zalita z epoksidno smolo. Priprave preizkušancev iz
skupine EBR so vključevale čiščenje in sušenje površin, na katere so bila z epoksidno smolo
pritrjena ogljikova vlakna. Po nanosu epoksidne smole, je bila le-ta starana 24 ur. Priprava
eksperimenta in eksperimentalni protokol. Vsi preizkušanci so bili izpostavljeni statični
obremenitvi. Preizkušanci so bili preizkušeni s štiri točkovnim upogibnim preizkusom, z
razponom 250 mm. Preizkusi so bili izvedeni z napravo ZWICK-ROELL Z10 (Slika 2a) pri
hitrosti pomikanja glave stroja 0.03 mm/s. Preizkus je shematsko prikazan na Sliki 2b.
Slika 2: Štiri točkovni upogibni preizkus: a) Naprava; b) Shematski prikaz preizkusa
3 Rezultati in diskusija
Rezultati štiri točkovnega upogibnega preizkusa so predstavljeni v obliki grafa sile v
odvisnosti od srednjega upogiba. Iz literature [7] nam je znano, da so pri štiri točkovnem
upogibnem preizkusu tri znana stanja preizkušanca utrjenega z vlakni. Stanje I je skladno z
elastično deformacijo betona. Prve razpoke se začnejo pojavljati, ko je dosežena natezna
trdnost betona. Posledično se v vlaknih pojavijo natezne napetosti v območju razpok.
Pojavljanje novih razpok sledi že minimalnemu zvišanju obremenitve, to je prva faza stanja
II(a). Število razpok se čez čas stabilizira, in to je znano kot druga faza stanja II(b). Na koncu
pride do loma preizkušanca, ko napetosti v ojačitvi prekoračijo trdnost kompozita. To lahko
povzroči hipen in krhek lom preizkušanca, v obliki izvleka ali pretrganja vlakna, pred
stanjem III (duktilna deformacija).
a) b)
Kuhljevi dnevi 2016
- 79 -
Slika 3: a) Sila v odvisnosti od upogiba za skupino R; b) Končen vzorec razpok
Slika 3a prikazuje graf sile v odvisnosti od upogiba za preizkušance z ojačitvami
postavljenimi v geometrijsko središče prereza. Prve razpoke se pojavijo v območju sile 150-
170 N. Pojavi se 4-5 razpok. Togost je po razpokanju preizkušanca ostala relativno
konstantna, do maksimalne sile. Povprečna vrednost upogibne trdnosti je dosegla 22 MPa,
pri srednjem upogibu 13.97 mm. Iz slike 3a je razvidno skoraj duktilno obnašanje
preizkušanca po tem, ko je bila dosežena maksimalna sila. Iz tega lahko sklepamo na bolj
žilavo obnašanje betonskih kompozitov z dodatkom aeranta v matrici. V literaturi [8] je bilo
zaključeno, da lahko zračni mehurčki, ki se zaradi zaradi dodatka aeranta pojavijo v matrici,
upočasnijo ali celo preprečijo proces razpokanja matrice. To lahko vodi do zmanjšanja
krhkosti in povečanja žilavosti kompozita. Slika 3b prikazuje končen vzorec razpok na
preizkušancu. Lom preizkušanca je bil v tem primeru posledica izvleka ogljikovih vlaken iz
betonske matrice, brez pretrganja in porušitve kompozita.
Slika 4: a) Sila v odvisnosti od upogiba za skupino EBR; b) Krhek lom preizkušanca
Slika 4a prikazuje graf sile v odvisnosti od upogiba za preizkušance ojačane z metodo EBR.
Prve razpoke se pojavijo pri silah med 280-300 N, kar sovpada s povečanjem območja
Kuhljevi dnevi 2016
- 80 -
elastične deformacije preizkušanca, glede na preizkušance iz skupine R. Togost je po pojavu
razpok ostala konstantna do maksimalne sile. Povprečna upogibna trdnost je dosegla
vrednost 70 MPa, pri srednjem upogibu 11.94 mm. V primerjavi s preizkušanci iz skupine R
je upogibna trdnost narasla za približno 200%. Nemoteno delovanje kompozita je trajalo do
maksimalne obremenitve, kjer je kompozit doživel hipno porušitev matrice v tlačni coni,
vlaken pa v natezni coni preizkušanca (slika 4b).
Slika 5: a) Sila v odvisnosti od upogiba za skupino NSMR; b) Končen vzorec razpok
Slika 5a prikazuje graf sile v odvisnosti od upogiba za preizkušance utrjene z NSMR
metodo. Upogibni odziv je bil podoben odzivu, ki so ga kazali preizkušanci utrjeni z EBR
metodo, vendar se je upogibna trdnost preizkušancev zmanjšala za približno 30%, kar lahko
pripišemo oslabljenemu prerezu matrice zaradi utorov na površini. Slika 5b prikazuje končen
vzorec razpok, z enakomerno razporejenimi lasnicami po celotni površini preizkušanca. Lom
je krhek, v tlačni coni preizkušanca.
4 Zaključek
Cilj raziskav je bila pojasnitev obnašanja tankih betonskih konstrukcujskih elementov, ki so
izpostavljeni upogibu. Vpliv treh različnih tehnik ojačevanja je bil analiziran na podlagi
odvisnosti med linearno distribuirano statično obremenitvijo in upogibom v sredini razpona
preizkušanca. Zraven konvencionalne tehnike ojačevanja sta bili raziskani tudi EBR in
NSMR metodi. Rezultati eksperimenta kažejo drastično izboljšanje upogibne trdnosti
ojačanih betonskih elementov. Slabi lastnosti omenjenih tehnik ojačevanja sta kot kaže
zahteven postopek izdelave in krhek lom elementov. Krhek lom je bil preprečen z uporabo
aeranta pri izdelavi cementne matrice. Zračni mehurčki, ki se tvorijo v matrici upočasnijo ali
včasih celo preprečijo proces nastanka razpok. To lahko vodi do zmanjšanja krhkosti in
povečanja žilavosti kompozita.
Kuhljevi dnevi 2016
- 81 -
Literatura
[1] A. Bentur, S. Mindess, Fiber Reinforced Cementitious Composites, Elsevier,
Amsterdam, 1990.
[2] P.N. Balaguru, S.P. Shah, Fiber Reinforced Cementitious Composites, McGraw-
Hill, New York, 1992.
[3] A. Peled, A. Bentur, Geometrical characteristics and efficiency of textile fabrics
for reinforcing cement composites, Cem. Concr. Res.30 (2000) 781-790.
[4] S. Wen, D.D.L. Chung, Piezoresistivity in continuous carbon fiber cement
matrix composite, Cem. Concr. Res. 29 (1999) 445-449.
[5] R. El-Hacha, S.H. Rizkalla, Near-surface-mounted fiber-reinforced polymer
reinforcement for flexural strengthening of concrete structures, ACI Struc.
Journal 101 (2004) 717-726.
[6] FIB Bulletin 14, Externally bonded FRP reinforcement for RC structures, Task
group 9.3, International Federation of Structural concrete, 2002.
[7] N. Williams Portal, Sustainability and flexural behavior of textile reinforced
concrete, Thesis for degree of licentiate of engineering, Chalmers University of
Technology, Gothenburg, 2013.
[8] A. Ivanič, S. Lubej, R. Rudolf, I. Anžel, Bond behaviout of carbon-fiber yarn
embedded in cement mortar, Sci. Eng. Compos. Mater. 18 (2011) 181-186.
[9] BS EN 1170-5:1998 Precast concrete products. Test method for glass-fibre reinforced
cement, British Standards Institute, 1998
[10] CSN EN 1015-2 Methods of test for mortar for masonry – Part 2: Bulk sampling of
mortars and preparation of test mortars, European standards, 1998
Kuhljevi dnevi 2016
- 82 -
SLOVENSKO DRUŠTVO ZA MEHANIKO
SREČANJE KUHLJEVI DNEVI 2016
Numerično modeliranje mehanskega odziva polietilena visoke gostote v razmerah izmetavanja pri injekcijskem brizganju
K. Krebelj1, N. Mole1 in B. Štok1
Numerical modeling of the mechanical response of high-density polyethylene under the circumstances of ejection in
injection molding
Povzetek. V literaturi so bili objavljeni rezultati različnih eksperimentov, ki so karakterizirali odzive polietilena visoke gostote, ki so relevantni za izmetavanje, in predlagani so bili modeli, ki te odzive parcialno popisujejo. V tem delu je predlagana različica teh materialnih modelov, s katero je mogoče popisati materialni odziv v razmerah zahtevnega izmetavanja, pri čemer se izdelek tudi trajno deformira. Problem identifikacije materialnih parametrov je preveden v problem optimizacije in ugotovljeni so primerni materialni parametri. Materialni model je tudi implementiran v komercialni programski paket za analizo po metodi končnih elementov in uporabljen na primeru izmetavanja.
Abstract. Various experimental results were published, which characterized the response of high density polyethylene, relevant at ejection, and corresponding constitutive models were published. In this work, a variation of the published constitutive models is proposed, which allows describing material response under conditions of ejection, where permanent deformation on the product may occur. The problem of identifying the material parameters was formulated as an optimization problem and the parameters were found. The material model was also implemented in a commercial finite element analysis code and used on an ejection example.
1 Uvod
V tehnologiji brizganja plastike se material pretali in tlačno brizga v kalupno votlino. V kalupni votlini se ohlaja in strjuje, dokler ne razvije zadostne trdnosti, da je mogoče orodje odpreti in iz njega izmetati izdelek. Izmetavanje se vrši s pomočjo izmetal, ki se uprejo ob izdelek in ga izrinejo iz votline. Izdelek lahko pri tem utrpi trajno deformacijo, zaradi česar lahko njegova oblika odstopa od načrtovane. Za optimizacijo proizvodnje lahko služi
1 Univerza v Ljubljani, Fakulteta za strojništvo, LNMS
Kuhljevi dnevi 2016
- 84 -
numerični model izmetavanja, ki popisuje mehanske razmere in napoveduje vpliv izmetavanja na končno obliko izdelka. Del numeričnega modela je tudi materialni model, ki mora vključevati relevantne mehanske odzive.
Razmere pri izmetavanju so temperaturno nehomogene, ker se izdelek ohlaja preko površine in izmetavanje se izvede preden se njegovo temperaturno polje homogenizira. S tem je potreben popis materialnega vedenja v temperaturnem intervalu od 90°C do sobne temperature. Polietilen visoke gostote (HDPE) se v razmerah izmetavanja vede visko-elasto-plastično, kar pomeni, da material hkrati izkazuje lezenje in relaksacijo ter hipno plastično deformacijo. Izmetavanje se izvede kot en obremenitveni cikel, kajti izmetala izdelek najprej obremenijo, s svojim umikom pa ga nato še razbremenijo. Tako je poleg poznavanja materialnega odziva ob obremenjevanju potrebno tudi poznavanje odziva pri razbremenjevanju. Drozdov in Christiansen [4] sta izvedla natezne preizkuse na brizganih preizkušancih polietilena visoke gostote s komercialnim imenom Eraclene MM 95. Ena serija preizkusov je bila izvedena pri različnih temperaturah med 25 °C in 90 °C, ena serija pri različnih hitrostih obremenjevanja in izvedena je bila tudi serija preizkusov relaksacije, kjer je bil preizkušanec hitro obremenjen, nato pa je bila na njem merjena sila kot funkcija časa. V istem delu je bil objavljen tudi materialni model, ki je izvedene preizkuse popisal. Pomanjkljivost tega materialnega modela je, da neustrezno popisuje razbremenjevanje, s čimer je njegova uporabnost omejena. Drozdov [5] je eksperimentalno delo na istem materialu dopolnil s serijo cikličnih nateznih preizkusov pri končnih nominalnih nateznih deformacijah 0,05, 0,10 in 0,15 v temperaturnem intervalu med 23 °C in 90 °C. Eksperimentalni rezultati so bili popisani z novim konstitutivnim modelom, v katerem pa časovno odvisni pojavi niso bili upoštevani. V sledečih objavah [6-8] je bilo ciklično vedenje popisano skupaj z viskoelastičnostjo, pri tem pa je bila izpuščena temperaturna odvisnost. V tem prispevku je konstitutivnemu modelu, objavljenem v [8], pridružena temperaturna odvisnost po zgledu [4], s čimer so zajeti materialni odzivi, ki so ključni za popis numeričnega modeliranja izmetavanja. Materialni parametri so nato inverzno identificirani s formulacijo problema optimizacije. Izvedena je demonstrativna parametrična analiza izmetavanja, kjer je zasledovana izmetalna sila. Izmetalna sila je bila eksperimentalno in tudi numerično že obravnavana v literaturi. Pontes in Pouzada [9] sta objavila rezultat meritev, kjer so bili analizirani procesni parametri: višina naknadnega tlaka, temperatura taline in čas hlajenja. Eksperimentalno delo je bilo pozneje nadgrajeno še z numerično analizo (Pouzada et al. [10]), kjer so bili rezultati še interpretirani. Podobno so se numerično in eksperimentalno ukvarjali z izmetalno silo tudi Wang et al [12] ter Bataineh in Klamecki [1].
2 Materialni model
Osnova za popis trajne deformacije je napetostno deformacijska zveza, ki popisuje deviatorični mehanski odziv, volumetrično vedenje pa je iz obravnave izključeno s predpostavko nestisljivosti, ki je za HDPE dobro izpolnjena pri nominalnih deformacijah nad 0,015 [5]. Sledi strnjena formulacija temperaturno odvisnega visko-elasto-plastičnega materialnega modela, ki bazira na objavah [6-8], upoštevajoč temperaturno odvisnost iz [4].
Deviator Biotovega tenzorja deformacije je aditivno razdeljen na elastični in plastični del : = + . (1)
Kuhljevi dnevi 2016
- 85 -
Plastični del deformacije je sestavljen iz deformacije kristalinične faze in deformacijeamorfne faze . Priraščanje kristalinične deformacije se privzema kot proporcionalnopriraščanju celotne deformacije: dd = dd. (2)
Razmerje ∈ [0,1) v enačbi (2) je funkcija časa in se razvija kot rešitev diferencialne enačbe dd = 1 − )equiv dd. (3)
z začetnim pogojem 0) = 0, kjer je > 0 materialni parameter. Preslikava equiv∙) se izračuna kot
equiv dd = 23dd : dd. (4)
Amorfni del deformacije se razvija v skladu z enačbo dd = $ % − & − '( )*)+,, *)d*-. / equiv dd, (5)
kjer so $ > 0, & > 0 in ' > 0 materialni parametri in integralski člen popisuje učinek viskoelastičnosti na plastično tečenje v amorfni fazi. Spremenljivka * predstavlja brezdimenzijsko aktivacijsko energijo medmolekulskega zdrsa, funkcija
)*) = ).exp −12 2*Σ45, (6)
pa zajema vpliv nehomogenosti amorfne faze zaradi prisotnosti sferulitov, tenzor +,, *) pa predstavlja visko-elastično deformacijo. Vrednost ). je normalizacijska konstanta, kizagotovi enotskost
( )*)d*-. = 1, (7)
Σ > 0 pa je materialni parameter, ki karakterizira distribucijo relaksacijskih časov. Tenzor +,, *) se razvija v skladu z diferencialno enačbo 6+,6 = 7*) 2 − +,, *)4, (8)
kjer nastopa hitrost relaksacijskih procesov 7*), ki je tu v skladu z [4] izbrana kot temperaturno odvisna:
7*) = 8exp %− 9&: − */, (9)
V enačbi (9) je 8 > 0 materialni parameter, 9 aktivacijska energija, & univerzalna plinskakonstanta in : absolutna temperatura. Biotov napetostni tenzor je nato določen kot
;< = −=)>, + ?1 − )% − '( )*)+,, *)d*-. /, (10)
Kuhljevi dnevi 2016
- 86 -
kjer je = hitrostatični tlak, >, enotska matrika in ? parameter elastičnosti (dvakratnik strižnegamodula), za katerega je v skladu z [4] predpostavljena linearna temperaturna odvisnost ? = ?. − ?@A, (11)
kjer sta ?. in ?@ parametra, A pa temperatura.
2.1 Histerezni odziv
Histerezni odziv pri cikličnem obremenjevanju je v objavah [6-8] dosežen s prilagoditvijo materialnih parametrov , $ in &. V [8] je bil predlagan njihov razvoj kot funkcija plastičnega dela
B = ( ;<C. ∶ dd d (12)
za vsakega od načinov obremenjevanja, to so prvo obremenjevanje (n = 1), razbremenjevanje (n = 2) in ne-prvo obremenjevanje (n = 3). Obremenjevanje se začne kot prvo obremenjevanje, dokler deformacija narašča. Ob začetku zmanjševanja deformacije se prične razbremenjevanje, ki se spremeni v ne-prvo obremenjevanje, ko začne deformacija ponovno naraščati. Z ne-prvim obremenjevanjm se lahko tudi preseže najbolj obremenjeno stanje prvega obremenjevanja. Ko se najbolj obremenjeno stanje prvega obremenjevanja preseže, se zopet upošteva materialno vedenje z indeksom 1 za prvo obremenjevanje.
Za enoosni natezni preizkus so Drozdov et al. [8] predlagali, da se ne-prvo obremenjevanje nadaljuje v prvo obremenjevanje, ko je prekoračena deformacija, pri kateri se je začelo razbremenjevanje. Za splošno prostorsko napetostno stanje so kriterij razločevanja načinov obremenjevanja predlagali Xia et al. [13],glede na Misesovo primerjalno napetost. V okviru tega dela je izbran kinematski kriterij, kjer je namesto Misesove napetosti upoštevana ekvivalentna deviatorična deformacija equiv). Za različne načine obremenjevanja so Drozdov et al. [8] uvedli zvezo med plastičnim delom in navedenimi parametri. Parameter $@ so izbrali kot konstanten v prvem obremenjevanju, vrazbremenjevanju (E = 2) in ne-prvem obremenjevanju (E = 3) pa se razvija s plastičnim delom kot d$FdB = GF$F- − $F);$F0) = $F. (13)
kjer so $F., GFin $F- materialne konstante. Analogno so popisali tudi razvoj parametra &, zaprvo obremenjevanje (E = 1) in razbremenjevanje (E = 2) d&FdB = IF&F- − &F);&F0) = &F. (14)
kjer so &F., IFin &F- materialne konstante. Ne-prvo obremenjevanje so popisali z odsekomalinearno funkcijo &J = maxM&J. − &J@B, &J5 + &JJBN, (15)
kjer so &J., &J@, &J5 in &JJ materialne konstante (nadpisana števka je indeks). Predlagali so, dakristalinična plastična deformacija narašča samo v prvem obremenjevanju in tako velja @ > 0 in 5 = J = 0.
Kuhljevi dnevi 2016
- 87 -
3 Identifikacija materialnih parametrov
Za predstavljeno različico materialnega modela so bili v okviru tega dela ugotovljeni materialni parametri za polietilen visoke gostote (HDPE) s komercialno oznako Eraclene MM 95. Določitev je bila izvedena po zgledu objave Drozdova [6], tako da je s predpostavko nekompresibilnosti in enoosnega napetostnega stanja zapisana konstitutivna zveza v skalarni obliki
; = 32?1 − )% − '( )*)+, *)d*-. /. (16)
Skalarna oblika je bila implementirana v okolju Wolfram Mathematica. Problem določitve parametrov je bil formuliran kot problem minimizacije ciljne funkcije
OP) =Q2;R, P) − ;STR)45R, (17)
kjer je P nabor materialnih parametrov, ;ST pa napetost izračunana na osnovi izvedenihmeritev. Za reševanje problema je bila uporabljena gradientna metoda. Izhodiščni parametri so bili izbrani, kakor jih objavljajo Drozdov et al. [8] s temperaturno odvisnostjo, ki jo navajata Drozdov in Christiansen [4] za polietilen visoke gostote Eraclene MM 95. V ciljni funkciji so bili zajeti vsi relevantni eksperimenti. Ugotovljeni materialni parametri so podani v tabeli 1.
Tabela 1: Vrednosti materialnih parametrov za HDPE z oznako Eraclene MM 95, ki so bile identificirane v tem delu.
Param. Vrednost Enota Param. Vrednost Enota Param. Vrednost Enota ?. 887,40 MPa $5- 41,19 1 I@ 1,60 MPa-1 ?@ 7,17 MPa/K $5. 9,69 1 &5. 0,87 1 @ 7,06 1 G5 0,27 MPa-1 &5- 0,02 1 ' 0,65 1 $J. 40,82 1 I5 3,23 MPa-1 9 38027 kJ $J- 0,31 1 &J. 1,23 1 8 2,9·106 1 GJ 0,25 MPa-1 &J@ 0,51 MPa-1 Σ 4,03 1 &@. 0,68 1 &J5 0,70 1 $@ 30,55 1 &@- 0,68 1 &JJ 0,05 MPa-1
Eksperimentalni rezultati, ki jih objavljata Drozdov in Christiansen [4] so prikazani na slikah 1a, 1b in 1c. Poleg so prikazani tudi rezultati numeričnega modeliranja v tem delu. Na vseh treh slikah so s tanko črto prikazani rezultati enoosnega modeliranja upoštevajoč enačbo (16), z debelejšo črto pa rezultati računalniške simulacije enoosnega preizkusa, izvedene v programskem okolju Abaqus, pri čemer je bilo obravnavano reološko obnašanje v programsko okolje vgrajeno preko lastnega podprograma (rezultati se večinoma prekrivajo).
Na sliki 1d so primerjani eksperimentalni rezultati cikličnega obremenjevanja pri različnih temperaturah iz objave [5] in rezultati numeričnega modela. Ti eksperimenti omogočajo določitev parametrov za razbremenjevanje (E = 2).
Slika 1e prikazuje rezultate za HDPE material z oznako Eraclene MM 95, kjer je po razbremenjevanju material ponovno obremenjen in sta jih objavila Drozdov in Christiansen [3]. Rezultati so služili za določitev parametrov ne-prvega obremenjevanja (E = 3).
Kuhljevi dnevi 2016
- 88 -
Slika 1: (a)Rezultati nateznega preizkusa pri različnih temperaturah (U = 0,004sX@). (b)Rezultati nateznega preizkusa pri različnih hitrostih obremenjevanja (A = 25°C).
(c)Rezultati preizkusa relaksacije. (d)Rezultati preizkusa z enocikličnim obremenjevanjem. (e)Rezultati preizkusa s ponovnim obremenjevanjem.
4 Primer izmetavanja
Materialni model je bil uporabljen na primeru modeliranja izmetavanja osno-simetričnega izdelka (slika 2a). Upoštevane so bile kontaktne razmere med izdelkom in orodjem. Upoštevano stacionarno nehomogeno temperaturno polje (slika 2b) je bilo izračunano s predhodno toplotno analizo. Analiziran je bil vpliv različnih temperaturnih polj, koeficienta trenja med kontaktnimi površinami in hitrosti izmeta izdelka na časovni potek in velikost sile izmetavanja izdelka iz orodja. Hitrosti izmeta izdelka so bile izbrane tako, da se hitrosti deformacije gibljejo v območju eksperimentalno karakteriziranih vrednosti.
Za potisk izdelka z orodja sta bili upoštevani dve izmetali, kakor prikazuje slika 2c. Pri tem atmosferska obremenitev ni upoštevana, ker se predpostavlja, da je mogoče ob izmetalu 1 dovesti zrak pod atmosferskim tlakom in tako preprečiti nastanek podtlaka med izdelkom in orodjem.
4.1 Parametrična analiza
Za prikaz vpliva materialnih lastnosti na mehansko dogajanje je bila izvedena parametrična analiza, pri čemer je bila različno izbrana največja temperatura v modelu, in sicer z 10 izbirami med 46,7 °C in 87,3 °C. Najvišja vrednost je izbrana kot referenčna in je upoštevana pri analizi vpliva hitrosti izmetavanja in trenja. Hitrost izmetavanja je bila podana s 4 različne vrednosti med 0,25 mm/s in 1 mm/s (referenčna vrednost: 1 mm/s). Za določitev vplivnosti je bila izbrana tudi vrednost količnika trenja med polimerom in površino orodja v 7 različnih vrednostih med 0 in 0,25 (referenčna vrednost: 0,10).
4.2 Časovni potek izmetalne sile
Kot ključni učinek je bila zasledovana izmetalna sila. Za referenčni primer je prikazana na sliki 2d skupaj s primerom, kjer je predpostavljeno ničelno trenje. Večji del obremenitve se je pojavil na izmetalu 2 (zunanje izmetalo). Na osnovi rezultatov primera z ničelnim trenjem
Kuhljevi dnevi 2016
- 89 -
je mogoče sklepati, da v referenčnem primeru trenje ni dominanten učinek na izmetalno silo, pač pa je največji del sile potreben za premagovanje negativnega izmetalnega kota.
Slika 2: (a)Osnosimetrični izdelek za analizo izmetavanja. (b)Porazdelitev temperature za primer A\] = 87,3°C. (c)Postavitev izmetal in porazdelitev Misesove napetosti. (d)Časovni
potek izmetalne sile za referenčni primer in primer z ničelnim trenjem.
4.3 Največja izmetalna sila
Celotna izmetalna sila (vsota sile obeh izmetal) je na opazovanem temperaturnem območju izkazala temperaturno odvisnost (slika 3a). Povečana temperatura se je pojavila ravno na območju navoja, za katerega se izkaže, da predstavlja glavni odpor pri izmetavanju. Linearnost karakteristike je mogoče pojasniti s približno linearno zvezo togosti materiala glede na temperaturo (sliki 1a in 1d). Pontes in Pouzada [9] sta v eksperimentalnem delu tudi ugotovila linearno odvisnost od temperature, pri čemer pa je bilo mogoče zasledovati temperaturo površine izdelka.
Sasaki et al. [11] in Correia et al. [2] so se ukvarjali s tribološkim aspektom izmetavanja, ker je bilo trenje v kontaktu prepoznano kot ključen dejavnik v razvoju izmetalne sile. To potrjujejo tudi rezultati modela v tem delu (slika 3b), kjer se sila v opazovanem območju količnika trenja skoraj podvoji.
Kot najšibkejši analizirani vpliv na opazovanem območju je bila hitrost izmetavanja (slika 3c). Z upočasnjevanjem hitrosti izmetavanja ima material čas za relaksacijo (sliki 1b in 1c) in tako se pojavi tudi zmanjšanje izmetalne sile.
5 Zaključek
Demonstrirana je bila aplikativnost uporabljenega materialnega modela in zastavljena smer razvoja modeliranja izmetavanja izdelka iz delno-kristaliničnega polimera. Poleg navedenih vplivnih veličin bo v nadaljevanju v analizi izmeta potrebno upoštevati tudi napetostno stanje, ki izvira iz predhodnih faz izdelave izdelka. Izmetavanje bo nato smiselno izvesti v termično nestacionarnih razmerah in tudi modelirati ohlajanje na sobno temperaturo skupaj z relaksacijo napetosti, s čimer bo mogoče določiti končno geometrijo izdelka.
Kuhljevi dnevi 2016
- 90 -
Slika 3: (a)Celotna izmetalna sila v odvisnosti od največje temperature v modelu. (b)Izmetalna sila v odvisnosti od količnika trenja. (c)Zveza med hitrostjo izmetavanja in
izmetalno silo.
Literatura
[1] Bataineh O. M. , Klamecki B. E., Prediction of local part-mold and ejection force in
injection molding, J. Manuf. Sci. Eng.-tra. ASME 127, 598–604, 2005. [2] Correia M. S., Miranda A. S., Oliveira M. C., Capela C. A., Pouzada A. S., Analysis of
friction in the ejection of thermoplastic mouldings, Int. J. Adv. Manuf. Tech. 59, 977–986, 2012.
[3] Drozdov A. D., Christiansen J. deC., Viscoelasticity and viscoplasticity of
semicrystalline polymers: Structure–property relations for high-density polyethylene, Comp. Mat. Sci. 39, 729–751, 2007.
[4] Drozdov, A.D., Christiansen, J. deC., Thermo-viscoelastic and viscoplastic behavior of
high-density polyethylene. International, Intern. J. Sol. Struct. 45, 4274–4288, 2008. [5] Drozdov, A.D., Cyclic thermo-viscoplasticity of high density polyethylene. Intern. J. Sol.
Struct. 47, 2010 [6] Drozdov, A.D., Cyclic viscoelastoplasticity and low-cycle fatigue of polymer
composites, Intern. J. Sol. Struct. 48, 2026–2040, 2011. [7] Drozdov, A.D., Multi-cycle viscoplastic deformation of polypropylene, Comp. Mat. Sci.,
50, 1991–2000, 2011. [8] Drozdov, A.D., Klitkou, R., Christiansen, J. deC., Multi-cycle deformation of
semicrystalline polymers: Observations and constitutive modeling, Mech.s Res. Comm. 48, 70–75, 2013.
[9] Pontes A. J., Pouzada A. S., Ejection force in tubular injection moldings. Part I: Effect
of processing conditions, Polym. Eng. Sci. 44, 891–897, 2004. [10] Pontes A. J., Pouzada A. S., Pantani R., Titomanlio G., Ejection force of tubular
injection moldings. Part II: A prediction model, Polym. Eng. Sci. 45, 325–332, 2005. [11] Sasaki T., Koga N., Shirai K., Kobayashi Y., Toyoshima A., An experimental study on
ejection forces of injection molding, Prec. Eng. 24, 270–273, 2000. [12] Wang H., Kabanemi K. K., Salloum G., Numerical and Experimental Studies on the
Ejection of Injection-Molded Plastic Products, Polym. Eng. Sci. 40, 826–840, 2000. [13] Xia, Z., Shen, X., Ellyin, F., An Assessment of Nonlinearly Viscoelastic Constitutive
Models for Cyclic Loading: The Effect of a General Loading/Unloading Rule, Mech. Time-Dep. 2005.
SLOVENSKO DRUSTVO ZA MEHANIKO
SRECANJE KUHLJEVI DNEVI 2016
Delaminacija kompozitnega nosilca z nelinearnim stikom medlamelami
D. Lolic1, D. Zupan2 in M. Brojan1
Delamination of a composite beam with non-linear contactbetween layers
Povzetek. V prispevku se ukvarjamo z modeliranjem stika med lamelami pri (delno) delaminiranihnosilcih. Vodilne enacbe nosilca so izpeljane iz Reissnerjeve, geometrijsko tocne teorije. Resitveso dobljene z metodo koncnih elementov. Dodatno modeliramo obnasanje veznega sredstva medelementi sosednjih materialnih vlaken. V definiranih lastnostih vmesnega sloja upostevamo dolocenefizikalne omejitve, kot je kontakt lamel, trenje pri zdrsu in kohezijske sile pri razmiku lamel, lastnostilepila ali vezivne smole.
Abstract. In the present paper we are concerned with the modelling of a contact between layersof (partially) delaminated beams. Governing equations are derived from Reissner’s, geometricallyexact theory. The solution is found using finite element method. Special attention is taken in mo-delling the binding layer between elements of the neighbouring fibres. Defined properties of inter-laminar layers are based on specific physical limitations, such as contact, friction between layers,cohesive forces, glue properties and properties of the binding resin.
1 Uvod
Delaminiranost nosilca oz. razslojevanje se pogosto pojavi pri kompozitnih strukturah. Vzroknapake je lahko lokalno pomanjkanje lepila, ujeti zracni mehurcki ali ostale napake pri proizvo-dnji taksnih elementov. Delaminiran nosilec je posebej obcutljiv na osne obremenitve. Kriticnasila pri kateri se nosilec s taksno napako ukloni je manjsa in je odvisna od dolzine, lege terstevila delaminacij.
Model, ki ga predstavljamo v tem prispevku temelji na geometrijsko tocni teoriji nosilcev. Pred-videvamo ohranjanje velikosti in oblike precnih prerezov med procesom obremenjevanja, ob
1 Univerza v Ljubljani, Fakulteta za strojnistvo2 Univerza v Ljubljani, Fakulteta za gradbenistvo in geodezijo
Kuhljevi dnevi 2016
tem pa se ne omejimo glede velikosti pomikov in zasukov teziscne osi nosilca. Rezultat jesistem nelinearnih kinematicnih enacb, dolocen z uporabo principa virtualnega dela. Predpo-stavimo, da je razpoka ze formirana pred obremenitvijo ter da poznamo vso geometrijo. Nosilecmodeliramo s koncnimi elementi. Ob tem je pomembno, kako razporedimo elemente po no-silcu in upostevamo robne pogoje na zacetku in koncu delaminacij. Predstavimo se enacbe vezimed dvema koncnima elementoma. Tem vezem pripisemo dolocene nelinearne lastnosti in takosimuliramo kontakt lamel.
2 Definicija problema
2.1 Vodilne enacbe
Enacbe temeljijo na nelinearni Reissnerjevi teoriji nosilcev [1]. Neobremenjen raven nosilec jezasukan za zacetni kot ϕ0. Kinematicne enacbe so:
cosϕ0 +u′ = (1+ ε) cosϕ− γ sinϕ, (1)
sinϕ0 +w′ =−(1+ ε) sinϕ+ γ cosϕ, (2)
ϕ′−ϕ
′0 = κ. (3)
Ravnotezne enacbe so:
R′x + px = 0, (4)
R′y + py = 0, (5)
M′+(1+ ε) Q− γ N +mz = 0, (6)
kjer velja:
Rx = N cosϕ−Q sinϕ, (7)
Ry = N sinϕ+Q cosϕ. (8)
Konstitutivne enacbe za linearno elasticen material so naslednje:
N = E∫
A(ε+ y κ)dA, (9)
Q = G As γ, (10)
M = E∫
Ay (ε+ y κ)dA. (11)
Pri tem sta u in w pomika v smeri koordinatnih osi in ϕ zasuk prereza, slika 1. ε, γ in κ so osna,strizna in upogibna specificna deformacija oz. t.i. psevdoukrivljenost. Pri tem so px, py in mz
zunanji sili in moment na enoto dolzine; Rx, Ry in M pa so rezultantni notranji sili ter momentv smereh globalnih osi. Za zapis vektorja notranjih sil S uporabimo enacbe snovi (9)-(11) indeformacijske kolicine:
S =
NQM
= Dεεε, kjer je D =
E A 0 E Sy
0 GAs 0E Sy 0 E Iz
in εεε =
ε
γ
κ
. (12)
- 92 -
Kuhljevi dnevi 2016
x(s) dx+du
x
yy(s)
dy+dw
φ(s) Q(s)
N(s)M(s)
R (s)x
R (s)y
R (s+ds)y
R (s+ds)x
N(s+ds)
Q(s+ds)M(s+ds)
φ(s+ds)
φ(s)
θ(s)χ(s)
p (s)dsx
p (s)dsy
m(s)ds
Slika 1 : Infinitezimalni element deformiranega nosilca z oznacenimi notranjimi in porazdelje-nimi silami.
V enacbi (12) predstavljata E in G elasticni in strizni modul, A je ploscina prereza, As predstavljaefektivno strizno ploskev, Iz je vztrajnostni moment precnega prereza in Sy je staticni moment.Staticni moment bo v nasih enacbah razlicen od nic, ker se pri zapisu enacb nismo omejili nateziscno os nosilca.
2.2 Metoda koncnih elementov
Primarne neznane funkcije pomikov u(x) in w(x) ter zasuk precnega prereza ϕ(x) zapisemo kotvsoto diskretnih vrednosti Ui, Wi in φi, i = 1, ...,n. Tako zvezne neznane kolicine problemanadomestimo z linearno kombinacijo diskretnih vrednosti in oblikovnih funkcij Pi(x).
u(x) =n
∑i=1
Pi(x) Ui (13)
w(x) =n
∑i=1
Pi(x) Wi (14)
ϕ(x) = ϕ0 +n
∑i=1
Pi(x) φi (15)
Tocke elementa xi, i = 1, ...,n, v katerih iscemo diskretne resitve, so enakomerno porazdeljenepo dolzini nosilca. Za oblikovne funkcije uporabimo standardne Lagrangeve polinome, inte-grale pa resujemo numericno z Gaussovimi kvadraturnimi pravili.
Enacbe koncnega elementa izpeljemo s pomocjo principa virtualnega dela:
∫ le
0(N δε+Q δγ+M δκ)dx =
∫ le
0(px δu+ py δw+mz δϕ)dx+
6
∑i=1
Si δUi (16)
- 93 -
Kuhljevi dnevi 2016
V zgornjo enacbo (16) vstavimo variacije diskretiziranih enacb (13)–(15) in uredimo po varia-cijah:
n
∑i=1
∫ le
0
[Rx P′i − px Pi
]dx
δUi+ (17)
+n
∑i=1
∫ le
0
[Ry P′i − py Pi
]dx
δWi+
+n
∑i=1
∫ le
0
[M P′i +((sinϕ0 +w′) Rx− (cosϕ0 +u′) Ry−mz) Pi
]dx
δφi =
= S1 δU1 +S2 δW1 +S3 δφ1 +S4 δUn +S5 δWn +S6 δφn
Z Si smo oznacili zunanje vozliscne obremenitve v smeri pripadajoce prostostne stopnje. Ker sovozliscne variacije poljubne, lahko zapisemo diskretizirane enacbe ravnotezja sil v smereh osix in y ter ravnotezja momentov okrog osi z. Vsak sklop ima n enacb, zunanje sile so zapisanena koncu.
fi =∫ le
0(Rx P′i − px Pi)dx−Sxi = 0 (18)
fn+i =∫ le
0(Ry P′i − py Pi)dx−Syi = 0 (19)
f2n+i =∫ le
0(M P′i +[(sinϕ0 +w′) Rx− (cosϕ0 +u′) Ry−mz] Pi)dx−Sϕi = 0 (20)
S1
S3
m(s)
S2
S4
S5
S6
p (s)y
p (s)x
Φ1
Φn
U1 Un
Wn
W1
y
x
s
le
Slika 2 : Nedeformirano in deformirano stanje nosilca obremenjenega z vozliscnimi in poraz-deljenimi obtezbami.
- 94 -
Kuhljevi dnevi 2016
2.3 Nelinearne vzmeti
Medsebojno zvezo med lamelama bomo opisali zvezno v odvisnosti od osi elementa. To zahtevaspremembo osnovnih enacb koncnega elementa. Vpliv drugih lamel bomo opisali z zveznoporazdeljeno obtezbo, zato jo v enacbah (18) in (19) odstejemo. Koeficient togosti stika lahkozapisemo kot funkcijo pomikov Kx(u) in Ky(w). Dobimo nove clene v izrazih, ki so odvisni odpomikov povezanih elementov. Linearizirane enacbe z upostevano povezavo med elementomaI in II so:
δ f j = ∑i(∫ le
0b1 P′i P′j +Kx
[PI
i]
Pj dx)δU Ii +∑
i(∫ le
0(−Kx
[PII
i]
Pj)dx)δU IIi (21)
+∑i(∫ le
0−b3 P′i P′j dx)δWi+
+∑i(∫ le
0
[b3(cosϕ0 +u′)+b1(sinϕ0 +w′)−Ry
]Pi +b5 P′i
P′j dx)δφi,
δ fn+ j = ∑i(∫ le
0−b3 P′i P′j dx)δUi+ (22)
+∑i(∫ le
0b2 P′i P′j +Ky
[PI
i]
Pj dx)δW Ii +∑
i(∫ le
0(−Ky
[PII
i]
Pj)dx)δW IIi
+∑i(∫ le
0
[−b2(cosϕ0 +u′)−b3(sinϕ0 +w′)+Rx
]Pi +b4 P′i
P′j dx)δφi,
δ f2n+ j = ∑i(∫ le
0
[b3(cosϕ0 +u′)+b1(sinϕ0 +w′)−Ry
]Pj +b5 P′j
P′i dx)δUi+ (23)
+∑i(∫ le
0
[−b2(cosϕ0 +u′)−b3(sinϕ0 +w′)+Rx
]Pj +b4 P′j
P′i dx)δWi+
+∑i(∫ le
0[[b2(cosϕ0 +u′)2 +b1(sinϕ0 +w′)2 +(cosϕ0 +u′)(2 b3(sinϕ0 +w′)−Rx)−
−Ry(sinϕ0 +w′)]Pi Pj +(−b4(cosϕ0 +u′)+b5(sinϕ0 +w′))(P′i Pj +Pi P′j)+b6 P′i P′j]dx)δφi.
S koeficienti bk, k = 1, ...,6, smo oznacili konstante, ki nastopajo v zgornjih izrazih. V tehkonstantah se skrivajo cleni materialne tangentne matrike C11, C12, C21 in C22, glej [2], [3].
Po linearizaciji in diskretizaciji enacb smo problem zapisali v obliki za resevanje z Newtonovoiteracijsko metodo kot sistem linearnih enacb,
K∆y =−f, (24)
kjer je ∆y stolpec popravkov neznanih kolicin,
∆y = [∆u1, ∆w1, ∆ϕ1, ∆u2, ∆w2, ∆ϕ2, ..., ∆uN , ∆wN , ∆ϕN ]T . (25)
- 95 -
Kuhljevi dnevi 2016
Pri tem je f je stolpec desnih strani sestavljen z enacbami (27)–(29),
f = [ fi, fn+i, f2n+i]T , i = 1, ...,n, (26)
fi =∫ le
0(Rx P′i − (px−Kx(uI−uII))Pi)dx−Sxi = 0, (27)
fn+i =∫ le
0(Ry P′i − (py−Ky(wI−wII))Pi)dx−Syi = 0, (28)
f2n+i =∫ le
0(M P′i +[(sinϕ0 +w′)Rx− (cosϕ0 +u′)Ry−mz]Pi)dx−Sϕi = 0, (29)
ter K, togostna matrika, ki jo sestavimo z enacbami (21)–(23), kjer j pomeni vrstico, i pastolpec. Matrika elementa bo velikosti 3n× 3n, saj ima vsaka tocka tri prostostne stopnje.Dodatni cleni se sedaj pojavijo tudi izven osnovne togostne matrike elementa. Skupaj s cleniprvega elementa se, zaradi veznih enacb stika, v tockah drugega elementa pojavijo dodatni cleni.
T1 T2 T3 T4
T1
T2
T3
T4
T1T2
T3 T4
Slika 3 : Primer razsirjene togostne matrike za par elementov povezanih z zakonom stika.Postavitev koncnih elementov je poenostavljeno prikazana za spodnji primer 3.1.
3 Numericni primer
Z reprezentativnim primerom obnasanja delaminiranega nosilca v postkriticnem obmocju, kjerse lameli stakneta, zelimo prikazati uporabo formulacije in resitve primerjati z resitvami drugihavtorjev.
3.1 Prostolezeci delaminiran nosilec
Primeri delaminiranih nosilcev so prikazani v delu [5]. Prostolezeci nosilec z eno delamina-cijo in zacetno nepopolnostjo je osno obremenjen. Z numericnim modelom spremljamo post-kriticno obnasanje. Poznamo vso geometrijo nosilca, nepopolnost pa modeliramo z zacetno
- 96 -
Kuhljevi dnevi 2016
ukrivljenostjo v obliki polovice sinusnega vala, [5]. Za doloceno izbiro amplitude ukrivljeno-sti opazimo prekrivanje lamel, t.j. nerealno obnasanje. Geometrijski in materialni podatki soenaki kot v referenci [4]. Dolzina nosilca L = 4.0 m, sirina prereza b = 0.04 m, visina nosilcah = 0.08 m, debelina lamele dA = 0.01 m, elasticni modul E = 2.1× 1011 N/m2 in Poissonovkolicnik ν = 0.3. Delaminacija je postavljena simetricno, relativna dolzina ld = Ld/L = 0.375.Uporabili smo pet 3-vozliscnih elementov za nedelaminirana dela, ter sest 3-vozliscnih elemen-tov za vsako lamelo, kar pomeni 132 prostostnih stopenj. Vsi elementi so opisani glede naglavno x-os. Opazujemo premike referencnih tock, postavljenih v teziscih prerezov lamel.
Rodman [4] resuje ta primer z diskretnimi nelinearnimi vzmetmi. Karakteristika vzmeti takov natezni coni dopusca prosto gibanje, v tlacni pa je togost velika kolikor numericni racun sedopusca. Enako kot Rodman smo definirali togost porazdeljenega linearnega zakona stika, kiloci raztezke od skrckov, (30) in zacetno ukrivljenost z enacbo (31).
Ky =
kyn = 0, wI
i −wIIi ≥ 0
kyt = 108, wIi −wII
i < 0(30)
vy(x) = ahsin(
πxL
)(31)
d2
d1
h
y
z
b
x
LdL1
LL4
y
delaminacijaB
FA
-0.01 -0.006 -0.0020.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
a) brez stika
F/Fcr
-0.01 -0.006 -0.0020.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
b) s stikom
F/Fcr
w/L
Slika 4 : Obtezno deformacijska pot referencnih tock A in B za primer a) brez vzmeti in b) zzakonom stika, a =−0.0625.
Na sliki 4 sta z modro in rdeco oznaceni poti referencnih tock. Vidimo, da se pri w/L≈−0.0027lameli stakneta. V primeru a) brez stika, se lameli prekrivata, saj kontakt ni bil upostevan.
- 97 -
Kuhljevi dnevi 2016
Slika 4 b) prikazuje poti tock A in B z upostevanjem kontakta. Lameli se stakneta, vplivata enana drugo. Togost pri penetraciji enega sloja v drugega je zelo velika. Po stiku se ne locita vec.Pricakovano je togost strukture b) vecja kot pri nerealnem primeru a), kjer sta se lameli lahkoprekrivali.
Rezultati se ujemajo s tistimi iz del Rodman [4] in Sheinmann in Soffer [5].
4 Zakljucek
V prispevku smo izpeljali enacbe ravninskega koncnega elementa po geometrijsko tocni, neline-arni teoriji. Tem enacbam smo dodali izraze za modeliranje stika med lamelami. Vpliv opisemokot zvezno porazdeljeno obtezbo, zato je za enako dober rezultat potrebnih manj elementov, kotce bi stik opisovali z diskretnimi vzmetmi. S taksno zvezo lahko povezemo istolezna elementain ne samo element z nepremicno, togo podlago. Zakonu stika lahko pripisemo razlicne lastno-sti v obeh smereh x in y ter jih definiramo s spremenljivo togostjo. Ker so te vezi vkljucene vvodilne enacbe koncnega elementa, po sestavljanju elementov v konstrukcijo ni potrebno pose-gati v tangentno togostno matriko, kot bi sicer v primeru modeliranja z diskretnimi vzmetmi.S taksno formulacijo lahko modeliramo strizne vplive zaradi trenja pri delaminiranih nosilcih,vezivo med konstrukcijskimi elementi in razlicne nepopolnosti vzdolz osi nosilca.
Literatura
[1] E. Reissner, On one-dimensional finite-strain beam theory: the plane problem, Zeitschriftfur angewandte Mathematik und Physik ZAMP, 23(5):795–804, 1972.
[2] D. Zupan, Rotacijsko invariantne deformacijske kolicine v geometrijsko tocni teoriji pro-storskih nosilcev, doktorska disertacija, Ljubljana, Univerza v Ljubljani, Fakulteta za grad-benistvo in geodezijo, Konstrukcijska smer, 2003.
[3] U. Rodman, M. Saje, I. Planinc and D. Zupan, Exact buckling analysis of composite elasticcolumns including multiple delamination and transverse shear, Engineering Structures,30(6): 1500–1514, 2008.
[4] U. Rodman, Analiza nosilnosti prostorskih okvirnih konstrukcij z upostevanjem material-nih in geometrijskih nepopolnosti, doktorska disertacija, Ljubljana, Univerza v Ljubljani,Fakulteta za gradbenistvo in geodezijo, Konstrukcijska smer, 2009.
[5] I. Sheinmann, M. Soffer, Post-buckling analysis of composite delaminated beams, Interna-tional Journal of Solids and Structures, 27(5): 639–646, 1989.
[6] M. Batista and F. Kosel, Cantilever beam equilibrium configurations, International journalof solids and structures, 42(16): 4663–4672, 2005.
[7] R.L. Burden and J.D. Faires, Numerical analysis, Brooks/Cole, USA, 2001
[8] , A. Ibrahimbegovic, Nonlinear solid mechanics: theoretical formulations and finite ele-ment solution methods, Springer Science & Business Media, 2009.
- 98 -
SLOVENSKO DRUŠTVO ZA MEHANIKO
SREČANJE KUHLJEVI DNEVI 2016
Pulzno širinska modulacija
kot vir vzbujanja dinamske strukture
J. Luznar, J. Slavič, M. Boltežar
Pulse Width Modulation as Excitation
Source of Dynamical Structures
Povzetek. Navor v električnih motorjih tvorimo s pomočjo magnetnih sil, ki obenem
predstavljajo tudi direktni vir strukturnega vzbujanja. Predstavljen je eksperimentalni
pristop karakterizacije magnetnih sil, ki so posledica vzbujanja s pulzno širinsko
modulacijo (PWM). Frekvenčna vsebnost PWM se izrazi tudi v magnetnih silah in
posledično v hrupu, ki ga oddaja vibrirajoča struktura. Eksperimentalno delo pokaže znaten
vpliv strukturne dinamike na celotno raven zvočnega tlaka v primeru interakcije s
frekvenčno vsebnostjo PWM vzbujanja. Magnetni izvor hrupa tako lahko zmanjšamo z
ustrezno izbiro PWM metode, preklopne frekvence ali s spremembo strukturne dinamike.
Abstract. In electric motors the output torque results from the magnetic forces, which
are also a direct source of structural excitation. This research presents an experimental
approach to the characterization of the magnetic forces due to Pulse Width Modulation
(PWM). Frequency contents of PWM reflects also in magnetic forces and consequently on
noise, radiated from vibrating structure. Experimental results show that the interaction
between structural dynamics and excitation harmonics can have significant influence on
the total sound pressure level. Magnetically induced noise can be reduced with appropriate
PWM technique, switching frequency and also with modifications of structural dynamics.
1 Uvod
Uporaba elektronsko komutiranih brez-krtačnih motorjev je v zadnjem času vedno bolj v
porastu predvsem zaradi njihovih lastnosti: dolga doba trajanja, visok izkoristek, nizki servisni
stroški in natančna regulacija motorja. Elektronsko komutacijo običajno izvajamo s pulzno
širinsko modulacijo (PWM – Pulse Width Modulation), ki na podlagi ustreznega zaporedja
vzorcev napetostnih impulzov generira izhodni signal željene frekvence in amplitude [1].
PWM v frekvenčni domeni poleg fundamentalne frekvenčne komponente vsebuje tudi
številne visokofrekvenčne preklopne harmonike [2], ki se izrazijo tudi v magnetnih silah. Če
ostane fundamentalna komponenta nespremenjena, je magnetni hrup zaradi PWM vzbujanja
Kuhljevi dnevi 2016
- 100 -
vedno večji, kot v primeru čistega sinusnega vzbujanja [3]. Visoko frekvenčna nihanja
vzbujalnih tokov lahko preko magnetnih sil vzbudijo lastno dinamiko strukture, kar je pokazal
Slavič s sodelavci [4].
Obstaja več PWM metod, kjer je glavna razlika med njimi frekvenca preklapljanja, ki
je lahko konstantna ali spremenljiva. Metode s konstanto preklopno frekvenco so v praksi bolj
pogoste in se med seboj razlikujejo v nosilnem napetostnem signalu, ki je lahko npr. žagaste,
trikotne ali obrnjene žagaste oblike [5]. PWM metode s konstantno preklopno frekvenco
povzročijo koncentrirane, diskretne spektre hrupa, ki so za človeško zaznavanje neprijetni [6].
Neprijetnost je posledica čistih tonov v spektru hrupa, ki pri človeškem zaznavanju hrupa
vzbudijo večjo pozornost, kot naključna frekvenčna vsebnost [7]. Drugi tip pa so PWM metode
s frekvenčno razpršenim preklapljanjem, ki generirajo bolj ugodno, širokopasovno vzbujanje
[8]. Med njih spada histerezna metoda PWM z omejenim nadzorom preklopne frekvence [9]
in metode naključne PWM [10]: naključna preklopna frekvenca [11], naključna pozicija pulza
[12], naključen nosilni signal [5] in naključen hibrid [13].
Dokument je sestavljen v naslednjem vrstnem redu: prvo poglavje prikazuje postopek
generiranja PWM, drugo poglavje predstavlja enoto za vzbujanje in merjenje odziva, rezultati
so prikazani v tretjem, zaključki pa v četrtem poglavju.
2 Pulzna širinska modulacija (PWM)
PWM omogoča zvezno spreminjanje izhodne napetosti in njene frekvence [1]. S širino pulzov
napetost prilagajamo sinusni obliki, z vzorcem oz. zaporedjem impulzov pa nastavljamo
frekvenco. Pulzi imajo velikost enosmerne napetosti vmesnega tokokroga.
2.1 Lastna koda za generiranje PWM
Sprogramirali smo modul, ki generira PWM vzbujanje za različne PWM metode in vhodne
parametre. Pri eksperimentalne delu bo uporabljeno le eno vzbujalno navitje, zato bosta v
nadaljevanju predstavljeni dve PWM fazni napetosti s 180° faznim zamikom in njuna
medfazna napetost. Primer na sliki 1 predstavlja žagasto PWM, ki je definirana s primerjavo
referenčnih napetosti 𝑢𝐴,𝑟𝑒𝑓, 𝑢𝐵,𝑟𝑒𝑓 frekvence 𝑓𝑟𝑒𝑓 in nosilne žagaste napetosti 𝑢𝑛𝑜𝑠 frekvence
𝑓𝑛𝑜𝑠. Na mestih, kjer je vrednost nosilne žagaste napetosti manjša od referenčnih napetosti, se
tvorijo pozitivni pulzi, ki generirajo PWM faznih napetosti 𝑢𝐴 in 𝑢𝐵. Ob priklopu faznih
napetosti na breme, se na njem tvori medfazna napetost 𝑢𝐴𝐵 (1), ki vsebuje željeno osnovno
frekvenčno komponento vzbujanja 𝑢𝑠𝑖𝑛, prikazano na sliki 1.
𝑢𝐴𝐵 = 𝑢𝐴 − 𝑢𝐵 (1)
Frekvenčna vsebnost vzbujanja strukture je tako določena z amplitudnim spektrom medfazne
napetosti 𝑢𝐴𝐵, ki je prikazan na sliki 2. Poleg osnovne frekvenčne komponente so prisotni tudi
stranski preklopnih harmoniki [14], kar zapišemo z (2):
𝑓ℎ = (𝑗𝑚𝑓 ± 𝑘) ∙ 𝑓𝑟𝑒𝑓 , (2)
kjer ℎ označuje red harmonika; 𝑗 in 𝑘 sta celi števili, kjer se harmoniki za lihe vrednosti 𝑗
pojavijo pri sodih vrednosti 𝑘, za sode vrednosti 𝑗 pa pri lihih vrednosti 𝑘; 𝑚𝑓 pa predstavlja
razmerje modulacijske frekvence, ki je definirano z (3) :
𝑚𝑓 = 𝑓𝑛𝑜𝑠/𝑓𝑟𝑒𝑓 (3)
Kuhljevi dnevi 2016
- 101 -
V primeru uporabe pretvornika v linearnem območju delovanja [15], to je kadar je amplituda
referenčne napetosti manjša od amplitude nosilne napetosti (𝑈𝑟𝑒𝑓 < 𝑈𝑛𝑜𝑠), so stranski
harmoniki PWM vzbujanja centrirani samo okoli preklopne frekvence in njenih večkratnikov
(1𝑚𝑓 , 2𝑚𝑓 , … ). Razmerje modulacijske frekvence 𝑚𝑓 določa frekvence, kjer se pojavijo
stranski harmoniki, medtem ko so njihove amplitude v primeru 𝑚𝑓 ≥ 9 skoraj neodvisne od
velikosti razmerja 𝑚𝑓 [16].
Slika 1: Primer generiranja medfazne napetosti z žagasto PWM metodo.
Slika 2: Amplitudni spekter medfazne napetosti za primer žagaste PWM.
Kuhljevi dnevi 2016
- 102 -
3 Eksperimentalno delo
3.1 Enota za vzbujanje in merjenje odziva
Za namene testiranja vpliva PWM na magnetni izvor hrupa smo izdelali enoto za vzbujanje in
merjenje odziva, prikazano na sliki 3. Enoto sestavljajo vsi glavni sestavni deli motorja: rotor
s trajnimi magneti, stator z eno vzbujalno tuljavo in zračna reža. Vzbujanje tuljave s PWM
ustvari dinamično magnetno polje, ki skupaj z rotorskim magnetnim poljem trajnih magnetov
tvori magnetno silo v zračni reži. Slednjo smo merili preko gredi, ki je bila vpeta v silomera
Kistler 9317B. Silomera sta pritrjena na aluminijast okvir, ki zagotavlja poljubno konstantno
zračno režo med statorjem in rotorjem in pri tem ne vpliva na potek magnetnega polja.
Slika 3: Enota za vzbujanje in merjenje odziva: naris in stranski ris.
Ovrednotiti smo želeli le magnetni hrup, zato je bilo potrebno ostale vire hrupa minimalizirati.
V ta namen smo naredili nekaj poenostavitev v primerjavi z dejanskim obratovanjem motorja:
Rotacija rotorja je onemogočena (izločimo aerodinamične in mehanske vire hrupa).
Na statorju je bilo uporabljeno le eno navitje (poenostavljeno vzbujanje).
Uporaba polovične geometrije statorja (omogočena lažja montaža rotorja).
3.2 Merilna veriga
Merilna veriga je prikazana na sliki 4. Celoten proces od generiranja PWM vzbujanja do
zajema signalov je krmiljen s programsko kodo, ki smo jo napisali v Pythonu. Program
omogoča avtomatsko PWM vzbujanje in merjenje odzivov za različne PWM metode in vhodne
parametre. Postopek posamezne meritve je izveden z naslednjimi koraki:
Za izbrane parametre PWM vzbujanja se definira matrika stanj tranzistorjev, ki jo
pošljemo na digitalno izhodno kartico NI 9474.
Digitalna kartica NI 9474 generira PWM signale, ki krmilijo tranzistorje v H mostičku
in na podlagi enosmerne napetosti generirajo PWM napetostne pulze.
PWM vzbujanje vodimo do vzbujalne tuljave, ki generira dinamično magnetno silo.
Slednja vzbudi tudi nihanje strukture in ob tem generira hrup, ki ga vrednotimo na
podlagi meritve zvočnega tlaka z mikrofonom PCB 130E21 v gluhi sobi.
Na koncu merilne verige sta analogni zajemni kartici NI 9223 in NI 9234, kjer
zajamemo signale napetosti, toka, magnetnih sil in zvočnega tlaka.
Kuhljevi dnevi 2016
- 103 -
Slika 4: Merilna veriga z enoto za vzbujanje in merjenje odziva.
3.3 Eksperimentalni rezultati
3.3.1 Magnetne sile
Frekvenčna vsebnost PWM vzbujanja, ki se izrazi v magnetni sili je predstavljena v [4], kjer
je prikazan tudi ojačan odziv magnetne sile v primeru vzbujanja strukturne dinamike s
stranskimi preklopnimi harmoniki.
3.3.2 Hrup
Hrup smo vrednotili na podlagi merjenja zvočnega tlaka v gluhi sobi na oddaljenosti 50 cm od
vira. Za zajem in obdelavo meritev smo uporabljali lastno programsko kodo, ki upošteva tudi
korekcijo A-uteženja ravni zvočnega tlaka. S posamezno meritvijo ob različnem PWM
vzbujanju pridobimo spekter ravni zvočnega tlaka, ki prikazuje frekvenčno vsebnost stranskih
harmonikov PWM v hrupu. Ugotovimo, da se frekvenčna vsebnost PWM vzbujanja izrazi tudi
v hrupu, kjer se jakost posameznih frekvenčnih komponent v primeru interakcije z lastno
dinamiko strukture ojača.
Izvedli smo primerjavo dveh različnih PWM metod: z žagasto in trikotno nosilno
napetostjo. Za vsako metodo smo izvedli meritve pri različnih PWM vzbujanjih, kjer smo
spreminjali preklopne frekvence od 400 Hz do 20 kHz. Popačenost vzbujalnega toka se z
večanjem preklopne frekvence manjša [4], meritve celotne ravni zvočnega tlaka pa so razvidne
na sliki 5. Obe PWM metodi generirata enako osnovno frekvenčno komponento, razlikujejo
pa se njuni stranski preklopni harmoniki. Razviden je znaten vpliv izbire PWM metode in
preklopne frekvence na zmanjševanje hrupa, saj je razlika v celotni ravni zvočnega tlaka lahko
tudi do 25 dB(A). Pri vzbujanju s trikotno PWM se izničijo vsi lihi preklopni harmoniki, kar
v večjem delu izbire preklopnih frekvenc rezultira v manjšo celotno raven zvočnega tlaka.
Kljub temu obstajajo območja, kjer je boljša izbira žagasta PWM metoda. Na zmanjševanje
magnetnega izvora hrupa vplivamo tako z metodo PWM, kot tudi s preklopno frekvenco.
Kuhljevi dnevi 2016
- 104 -
Slika 5: Celotna raven zvočnega tlaka za dve PWM metodi in različne preklopne frekvence.
4 Zaključek
V prispevku smo pokazali postopek vrednotenja magnetnih sil in magnetnega hrupa, ki se
pojavi pri elektronsko komutiranih motorjih zaradi vzbujanja statorskih navitij s PWM.
Predstavili smo namensko izdelano enoto za vzbujanje in merjenje odziva, ki omogoča ločeno
obravnavo samo magnetnega izvora hrupa. Omenjena enota je sestavljena iz vseh glavnih
sestavnih delov motorja in omogoča primerjavo frekvenčne vsebnosti tako na strani vzbujanja,
kot tudi na strani odziva. Glavna prednost predstavljene enote v primerjavi z dejanskimi
motorji je eliminacija aerodinamičnih in mehanskih virov hrupa, kar dosežemo s fiksnim
vpetjem rotorja med izvajanjem meritev. Na ta način lahko natančno okarakteriziramo vpliv
različnih PWM vzbujanj na magnetni izvor hrupa, ki ga oddaja motor.
Napajanje vzbujevalnega navitje na enoti za vzbujanje in merjenje odziva smo izvajali s
precizno generirano PWM. Celotno merilno verigo smo izdelali samostojno, tako da smo smo
imeli kontrolo nad vsemi koraki generiranja PWM. S pomočjo natančno generiranega PWM
vzbujanja in uporabo omenjenih lastnosti enote za vzbujanje in merjenje odziva smo izvedli
primerjavo dveh različnih PWM metod pri različnih preklopnih frekvencah. Na podlagi
eksperimentalnih rezultatov je razviden velik vpliv strukturne dinamike na magnetni izvor
hrupa. Ugotovimo, da na zmanjšanje magnetnega izvora hrupa vplivamo tako z izbiro PWM
metode in preklopne frekvence, kot tudi s spreminjanjem strukturne dinamike.
Kuhljevi dnevi 2016
- 105 -
Literatura
[1] D. Miljavec and P. Jereb, Električni stroji: temeljna znanja, 3. izdaja. Ljubljana, 2014.
[2] J. T. Boys and P. G. Handley, “Harmonic analysis of space vector modulated PWM
waveforms,” IEE Proc. B Electr. Power Appl., vol. 137, p. 197, 1990.
[3] P. Pellerey, V. Lanfranchi, and G. Friedrich, “Coupled Numerical Simulation Between
Electromagnetic and Structural Models. Influence of the Supply Harmonics for
Synchronous Machine Vibrations,” IEEE Trans. Magn., vol. 48, no. 2, pp. 983–986,
2012.
[4] J. Slavič, M. Javorski, J. Luznar, G. Čepon, and M. Boltežar, “Magnetostrictive and
Magnetic Sources of Noise in the Electric Motors,” in SAE Technical Paper 2016-01-
1838, 2016.
[5] J. Sun, “Pulse Width Modulation,” in Dynamics and Control of Switched Electronic
Systems, New York, USA, 2012, pp. 451–487.
[6] A. C. Binojkumar, B. Saritha, and G. Narayanan, “Acoustic Noise Characterization of
Space-Vector Modulated Induction Motor Drives — An Experimental Approach,”
IEEE Trans. Ind. Electron., vol. 62, no. 6, pp. 3362–3371, 2015.
[7] K. Kasper, S. Fingerhuth, M. Klemenz, J. Fiedler, R. W. De Doncker, and M. Vorlnde,
“Psychoacoustic Quantities and their Relevance for Sound-Quality Optimisation of
Switched Reluctance Machines,” in Eupean Conference on Power Electronics and
Applications, 2005.
[8] J. T. Boys and P. G. Handley, “Spread spectrum switching: low noise modulation
technique for PWM inverter drives,” IEE Proc. B Electr. Power Appl., vol. 139, no. 3,
p. 252, 1992.
[9] A. Tilli and A. Tonielli, “Sequential design of hysteresis current controller for three-
phase inverter,” IEEE Trans. Ind. Electron., vol. 45, no. 5, pp. 771–781, 1998.
[10] M. Trzynadlowski, F. Blaabjerg, J. K. Pedersen, R. L. Kirlin, and S. Legowski,
“Random Pulse Width Modulation Techniques for Converter-Fed Drive Systems - A
Review,” IEEE Trans. Ind. Appl., vol. 30, no. 5, pp. 1166–1175, 1994.
Kuhljevi dnevi 2016
- 106 -
[11] J. Y. Chai, Y. H. Ho, Y. C. Chang, and C. M. Liaw, “On acoustic-noise-reduction
control using random switching technique for switch-mode rectifiers in PMSM drive,”
IEEE Trans. Ind. Electron., vol. 55, no. 3, pp. 1295–1309, 2008.
[12] R.L. Kirlin, S. Kwok, S. Legowski, and a M. Trzynadlowski., “Power Spectra of a
PWM Inverter with Randomized Pulse Position,” IEEE Trans. Power Electron., vol. 9,
no. September, pp. 463–472, 1994.
[13] K.-S. Kim, Y.-G. Jung, and Y.-C. Lim, “A New Hybrid Random PWM Scheme,” IEEE
Trans. Power Electron., vol. 24, no. 1, pp. 192–200, 2009.
[14] M. Aguirre, P. Madina, J. Poza, A. Aranburu, and T. Nieva, “Analysis and comparison
of PWM modulation methods in VSI-Fed PMSM drive systems,” Proc. - 2012 20th
Int. Conf. Electr. Mach. ICEM 2012, pp. 851–857, 2012.
[15] J. R. Mevey, “Sensorless Field Oriented Control of Brushless Permanent Magent
Synchronous Motors,” Kansas State University, 2006.
[16] N. Mohan, T. M. Undeland, and W. P. Robbins, Power Electronics. 1995.
SLOVENSKO DRUŠTVO ZA MEHANIKO SREČANJE KUHLJEVI DNEVI 2016
CFD analiza dispergiranja zraka v posodi s tristopenjskim mešalom na meji poplavnega stanja
I. Matijević1,2 in A. Bombač1
CFD analysis of air dispersing in a mixing vessel stirred with three stage impeller near flooding condition
Povzetek. V prispevku je predstavljen CFD izračun dispergiranja zraka v mešalni posodi s tremi različnimi mešali. Mešala premera 225 mm, nameščena v mešalni posodi, so sledeča: spodnje radialno mešalo ABT, srednje turbinsko mešalo 6PBT45 in zgornje aksialno mešalo 3SHP1. Za obravnavo dvofaznega toka je uporabljen Eulerjev model in model porazdelitve velikosti mehurčkov (PBM ali Population Balance Model). Primerjamo rezultate pridobljene s CFD simulacijo in eksperimentom.
Abstract. The paper represents air dispersing two-phase CFD calculation in a stirred vessel with a three-stage impeller. A mixing vessel was equipped with 225 mm diameter impellers. Radial impeller ABT was installed in a lower part, 6PBT45 impeller in a middle and axial impeller 3SHP1 in the upper part of mixing tank. For prediction of flow field, we used Euler model and Population Balance Model. Results have been compared with data obtained from CFD simulation and experiment.
1 Uvod
V prispevku so predstavljene karakteristike CFD izračuna pri dispergiranju zraka v vodo. Simuliramo dvofazno mešanje v mešalni posodi premera 450 mm s tri stopenjskim mešalom. Opravljeni so bili eksperimenti z vidika moči pri dispergiranju[9], časov pomešanja[1,3] in nastanka poplavnega stanja različnih mešal[10]. V obravnavani mešalni posodi gre za kombinacijo treh različnih mešal, ki povzročajo radialen, kombiniran in aksialen iztok iz mešala. V procesih mešanja se radialna mešala uporabljajo predvsem za dispergiranje plina v kapljevino, aksialna pa za mešanje suspenzij npr. barve, kalcijevo-karbonatna polnila itd.. Zgornje aksialno mešalo tipa Scaba (3SHP1) je uporabljeno za cirkulacijo kapljevine[14], srednje je mešalo s šestimi lopaticami z nagibom 45° (6PBT45) za namen cirkulacije in dispergiranja plina[8] ter spodnje radialno diskasto mešalo z asimetrično zapognjenimi lopaticami (ABT), ki zagotavlja dispergiranje večjih količin plina[23]. Hidrodinamski režim je potekal pri konstantni vrtilni frekvenci mešala 178 vrt/min (Fr = 0,2) in stalnem pretoku zraka 28,3 mn3/h (Fl = 0,23)[15]. CFD simulacija je omogočila vpogled v tokovno polje pri
1 Univerza v Ljubljani, Fakulteta za strojništvo, Laboratorij za dinamiko fluidov in termodinamiko 2 Calcit d.o.o., Proizvodnja kalcitnih polnil, Stahovica 15, 1242 Stahovica
Kuhljevi dnevi 2016
- 108 -
dispergiranju večje količine zraka v kapljevino, porazdelitev in delež plinaste faze pri dispergiranju zraka v kapljevino in porabo energije pri dispergiranju. Izračun je bil opravljen s programsko opremo ANSYS FLUENT 16.2 znotraj LFDT na HPC postaji Prelog s 768 jedri na Fakulteti za strojništvo v Ljubljani.
2 Definicija naloge 2.1 Opis mešalne posode
Mešalna posoda premera T = 450 mm ima ravno dno z zaobljenimi robovi in štiri motilnike toka, višina polnitve z vode je bila H = 910 mm. Namestitev spodnjega mešala je bila c = 150 mm od dna posode, razdalja med mešali 280 mm in višina namestitve dispergirnega obroča 75 mm. Dispergirni obroč je imel na spodnji strani 68 šob premera 3 mm. Mešala so pritrjena na gred, ki se vrti s kotno hitrostjo 𝜔𝜔 = 2𝜋𝜋𝜋𝜋 = 18,64 s−1 (178 vrtljajev na minuto) pri tem je Fr = 0,2 in pretoku zraka, skozi luknje dispergirnega obroča, 28,3 mn
3/h (Fl = 0,23). Obravnavamo mešanje in dispergiranje zraka s tristopenjskim mešalom, ki ga tvorijo: spodnje mešalo je radialno z asimetričnimi lopaticami (ABT)[23], nad njim je nameščeno turbinsko mešalo s šestimi lopaticami z nagibom 45° (6PBT45) in zgornje hydrofoil mešalo s tremi lopaticami tipa Scaba (3SHP1). Vsa mešala so prikazana na sliki 3. Volumen vode v posodi je enak 𝑉𝑉0 = 0,144 𝑚𝑚3.
3 Modelske enačbe 3.1 Eulerjev model obravnave dveh faz Za obravnavo dvofaznega toka, to je dispergiranja zraka v vodi, je uporabljen Eulerjev model, ki ga zasledimo v številnih delih[1,5-7,19,22]. Spodnja enačba predstavlja zakon o ohranitvi mase oz. kontinuitetno enačbo faze q:
𝜕𝜕(𝛼𝛼𝑞𝑞𝜌𝜌𝑞𝑞)𝜕𝜕𝜕𝜕
+ 𝛻𝛻 ∙ (𝛼𝛼𝑞𝑞𝜌𝜌𝑞𝑞𝑣𝑣𝑞𝑞 ) = 0 (1)
kjer 𝑣𝑣𝑞𝑞 predstavlja hitrost q-te faze. Enačba za ohranitev gibalne količine faze q se glasi: 𝜕𝜕𝛼𝛼𝑞𝑞𝜌𝜌𝑞𝑞𝑣𝑣𝑞𝑞
𝜕𝜕𝜕𝜕+ 𝛻𝛻 ∙ 𝛼𝛼𝑞𝑞𝜌𝜌𝑞𝑞𝑣𝑣𝑞𝑞 𝑣𝑣𝑞𝑞 = −𝛼𝛼𝑞𝑞𝛻𝛻𝛻𝛻 + 𝛼𝛼𝑞𝑞𝛻𝛻 ∙ 𝜏𝜏 + 𝛼𝛼𝑞𝑞𝜌𝜌𝑞𝑞𝑔 (2)
kjer je 𝜏𝜏 tenzor napetosti q-te faze. Porazdelitev volumskega deleža faze q zapišemo z: 𝜕𝜕𝛼𝛼𝑞𝑞𝜕𝜕𝜕𝜕
+ 𝛻𝛻 ∙ (𝛼𝛼𝑞𝑞𝑣𝑣𝑞𝑞 ) = 0 (3)
3.2 Model porazdelitve velikosti mehurčkov Za obravnavo porazdelitve velikosti mehurčkov smo uporabili enačbo ravnotežne porazdelitve (Population Balance Equation ali PBE)[12]. Izbrali smo homogeno diskretno metodo v kateri je populacija mehurčkov diskretizirana v končno število delcev in vsi razredi v katerih so porazdeljeni mehurčki pripadajo samo eni fazi (v primeru nehomogene metode temu ni tako). Ta pristop je uporaben, ko so znane velikosti obravnavanih delcev, v tem primeru premeri mehurčkov[12]. Enačbo ravnotežne porazdelitve zapišemo v sledeči obliki:
𝜕𝜕(𝑛𝑛(𝑉𝑉, 𝑡𝑡))𝜕𝜕𝑡𝑡
+ 𝛻𝛻 ∙ 𝑣𝑣𝑞𝑞 𝑛𝑛(𝑉𝑉, 𝑡𝑡) + 𝛻𝛻𝑣𝑣 ∙ 𝐺𝐺𝑣𝑣𝑛𝑛(𝑉𝑉, 𝑡𝑡) =12 𝑎𝑎(𝑉𝑉 − 𝑉, 𝑉)𝑉𝑉
0𝑛𝑛(𝑉𝑉 − 𝑉, 𝑡𝑡)𝑛𝑛(𝑉, 𝑡𝑡)𝑑𝑑𝑉
−∫ 𝑎𝑎𝑉𝑉, 𝑉∞0 𝑛𝑛(𝑉𝑉, 𝑡𝑡)𝑛𝑛𝑉, 𝑡𝑡𝑑𝑑𝑉 + ∫ 𝛻𝛻𝑔𝑔𝑉𝛺𝛺 𝛽𝛽𝑉𝑉|𝑉𝑛𝑛𝑉, 𝑡𝑡𝑑𝑑𝑉 − 𝑔𝑔(𝑉𝑉)𝑛𝑛(𝑉𝑉, 𝑡𝑡) (4)
Kuhljevi dnevi 2016
- 109 -
kjer 𝑛𝑛 predstavlja povprečno število mehurčkov na enoto volumna, 𝐺𝐺𝑣𝑣 hitrost rasti glede na volumen mehurčka, 𝑔𝑔𝑉 frekvenco trganja mehurčkov volumna 𝑉, 𝛽𝛽𝑉𝑉|𝑉 gostoto porazdelitve verjetnosti mehurčkov, ki se iz volumna 𝑉𝑉 raztrgajo v volumen 𝑉 in 𝑎𝑎𝑉𝑉, 𝑉 zmnožek frekvence trkov in verjetnosti koalescence mehurčkov volumna 𝑉𝑉 z mehurčki volumna 𝑉.
f1 f2 fm
razredi so med seboj povezani z razpadi, aglomeracijo mehurčkov
na vse velikostne razrede vpliva enaka fazna hitrost
Slika 1: Prikaz delovanja homogene diskretne metode [12]
V literaturi najdemo dela[17,18,19,20] s PBE obravnavo, ki v primeru predvsem manjših mehurčkov podaja dobro ujemanje z izmerjenimi vrednostmi.
4 Numerična simulacija Enačbe (1-4) rešujemo z metodo končnih volumnov s programskim paketom ANSYS FLUENT 16.2. Statični del mreže je v vseh predstavljenih izračunih enak in vsebuje 911.067 celic v obliki tetraedrov (Slika 2).
Slika 2: Računska mreža mešalne posode Dinamični del računske mreže zajema posamična uporabljena mešala: ABT mešalo – slika 3 (desno) z 259.488 tetraedri, mešalo 6PBT45 – slika 3 (sredina) s 191.800 tetraedri in mešalo 3SHP1 - slika 3 (levo) z 225.224 tetraedri. Kvaliteto računske mreže smo preverili s programoma Icem CFD in Ansys Fluent 16.2 in dobili vrednost maksimalne asimetričnosti celic, ki znaša 8,7·10-1. Osnovno pravilo je, da mora biti maksimalna asimetričnost celic pri tetraedrični mreži manjša od 9,5·10-1 za večino obravnavanih tokov[12]. Asimetričnost celice predstavlja razliko med obliko obravnavane celice in obliko enakostranične celice enakovrednega volumna. Za podobne dvofazne simulacije mešanja (podobno št obratov pri dispergiranju plinaste faze) se uporabljajo mreže s številom celic od 0,6 - 2,0·106 celic[13,14].
Kuhljevi dnevi 2016
- 110 -
Pri reševanju vseh transportnih enačb je bila uporabljena krajevna diskretizacija prvega reda (npr. privetrna shema 1. reda za konvektivni člen). Za sklopitev tlačnega in hitrostnega polja je bila uporabljena shema SIMPLE. Časovna diskretizacija je t.i. popolnoma implicitna, torej 1. reda.
Slika 3: Računske mreže mešal: Scaba (levo), dinamični del za RuT (sredina) in ABT (desno)
Ker so diskretizacije 2. reda in višje bolj natančne tudi težje konvergirajo. Pri simulaciji je bolje začeti z nižjim redom diskretizacije in po potrebi nadaljevati z diskretizacijami višjega reda. Rezultati, ki smo jih dobili so zadovoljivi zato z diskretizacijo 2. reda nismo nadaljevali. Začetno stanje za oba pristopa izračunamo z ustaljenim MRF pristopom (mešanje kapljevine). Na vseh stenah je hitrost tekočine enaka hitrosti stene (zdrsa ni), pri reševanju enačb turbulence pa smo uporabili prilagodljive (angl. scalable) stenske funkcije. Ko je bilo doseženo ustaljeno stanje, pri mešanju kapljevine, smo po 13000 iteracijah nastavili časovno odvisen ali tranzienten izračun in nadaljevali z dvofaznim Eulerjevim modelom Eu/Eu v povezavi z MRF. Z diskretno metodo v modelu porazdelitve velikosti mehurčkov smo porazdelili mehurčke. V prvi simulaciji smo zajeli mehurčke v velikosti 2 do 12 mm, v drugi 2 do 6 mm, v tretji 1 do 4 mm, v četrti 4 mm in v zadnji 3 mm. Izbor velikosti mehurčkov temelji na izkustveni domeni saj je v izbranem hidro dinamskem režimu (Fr = 0,2 in Fl = 0,2) zelo velik vnos plinaste faze glede na obstoječo črpalno zmogljivost mešal ki jo pogojuje nizka vrtilna frekvenca mešal[15]. Pri izračunih smo uporabili standardni model turbulence ''Standard k-ε'', ki je najpogosteje v uporabi in je stabilen tudi v režimih z velikim deležem plinaste faze. Poleg tokovnih polj so nas zanimale tudi vrednosti vrtilnega navora 𝑀𝑀 mešalne gredi pri konstantni vrtilni frekvenci mešala n = 178 min-1. Iz vrtilnega navora in vrtilne frekvence smo izračunali moč za premagovanje tlačnih in viskoznih sil pri gibanju v dvo-faznem sistemu.
5 Rezultati 5.1 CFD izračun moči pri dispergiranju zraka v mešalni posodi
Moč mešanja P predstavlja zmnožek kotne hitrosti 𝜔𝜔 = 2 𝜋𝜋 n [rad/s] in vrtilnega momenta M [Nm]. Režim mešanja pri dispergiranju zraka v vodo je turbulenten. V tabeli 1 so prikazane vrednosti vrtilnega momenta in moči pri dispergiranju zraka za različne razrede premerov mehurčkov.
Tabela 1: Tabela izračunanih vrtilnih momentov in moči Velikost mehurčkov
[mm] Število razredov
[/] M
[Nm] PCFD [W]
(PCFD-Pmer,LFDT)/Pmer,LFDT [/]
1,2 - 12 6 2,54 47,35 0,0118 2 - 6 4 2,37 44,21 -0,0553
Kuhljevi dnevi 2016
- 111 -
1 - 4 3 2,61 48,68 0,0402 4 1 2,53 47,12 0,0068 3 1 2,48 46,21 -0,0126
Izmerjena moč mešanja, v laboratoriju za dinamiko fluidov in termodinamiko (LFDT) na Fakulteti za strojništvo v Ljubljani, pri dispergiranju v omenjenem hidrodinamskem režimu je znašala Pmer2F,LFDT = 46,8 W[15]. V tabeli 1 je razvidno, da je odstopanje PCFD od Pmer najmanjše pri dispergiranju 4 mm mehurčkov v vodo in sicer 0,68 % moč dispergiranja pa je bila najnižja pri dovajanju 2 – 6 mm mehurčkov v mešalno posodo. Pri vseh velikostih mehurčkov gre za razmeroma nizka odstopanja izračunane moči od izmerjenih vrednosti.
5.2 CFD izračun deleža plinaste faze pri dispergiranju zraka v mešalni posodi
Delež plinaste faze izrazimo z integracijo po volumnu kapljevine [12]:
αGCFD = 1𝑉𝑉 ∫ 𝛼𝛼𝑑𝑑𝑉𝑉 = 1
𝑉𝑉∑ 𝛼𝛼𝑖𝑖|𝑉𝑉𝑖𝑖|𝑛𝑛𝑖𝑖=1 (5)
Izmerjeni globalni delež plinaste faze αg,mer,LFDT = 10,85 % je bil merjen po metodi spremembe gladine αg,mer,LFDT = (Hg - H)/Hg pri dispergiranju zraka v vodo v LFDT[15]. Primerjavo izračunanih αg,CFD in izmerjenih αg,mer,LFDT vrednosti podaja tabela 2:
Tabela 2: Tabela izračunanih in izmerjenih globalnih deležev plinaste faze. Premer mehurčkov
[mm] αg,CFD [%]
αg,mer,LFDT [%]
(αg,CFD- αg,mer,LFDT)/ αg,mer,LFDT [%]
1,2 - 12 5,91 10,85 -45,5 2 - 6 9,70 10,85 -10,59 1 - 4 10,53 10,85 -2,94
4 10,51 10,85 -3,13 3 11,44 10,85 5,58
V primeru izračuna, z mehurčki velikosti 1,2 – 12 mm, opazimo največje odstopanje od izmerjenega deleža. Z zmanjševanjem premerov mehurčkov smo dobili ustreznejše globalne deleže plinaste faze. V primerih z mehurčki 1 – 4 mm in 4 mm se izračunani globalni deleži dobro ujemajo z meritvami.
5.3 Tokovna polja pri dispergiranju zraka
V nadaljevanju so prikazani povprečni premeri mehurčkov in deleži plinaste faze pri dispergiranju zraka v vodo. Na desni strani slik so prikazani deleži plinaste faze v presečni ravnini med motilniki toka mešalne posode. Rdeča barva predstavlja plinasto fazo (1) temno modra kapljevino (2), črno obarvani vektorji so vektorji hitrosti plinaste faze. Na sliki 4 (levo) vidimo zbiranje večjih mehurčkov okoli srednjega in zgornjega mešala ter gredi. Pri dnu mešalne posode so opazni manjši mehurčki. Slika 4 (desno) potrjuje, da se plinasta faza zbira v predelu med srednjim in zgornjim mešalom. Na sliki 5 (levo) se večji mehurčki zbirajo v bližini zgornjega mešala in nad njim ter plinasta faza (desno) boljše porazdeli po prerezu. Slike
Kuhljevi dnevi 2016
- 112 -
6 do 8 imajo mehurčke porazdeljene zelo dobro po celotnem prerezu. Še posebej pri mehurčkih velikosti 3 in 4 mm vidimo dobro iztekanje plinaste faze iz mešal.
Slika 4: Povprečna velikost mehurčkov (levo) in delež plinaste faze (desno) pri velikosti mehurčkov 1,2 do 12 mm
Slika 5: Povprečna velikost mehurčkov (levo) in delež plinaste faze (desno) pri velikosti mehurčkov 2 do 6 mm
Kuhljevi dnevi 2016
- 113 -
Slika 6: Povprečna velikost mehurčkov (levo) in delež plinaste faze (desno) pri velikosti mehurčkov 1 do 4 mm
Slika 7: Povprečna velikost mehurčkov (levo) in delež plinaste faze (desno) pri velikosti mehurčkov 4 mm
Slika 8: Povprečna velikost mehurčkov (levo) in delež plinaste faze (desno) pri velikosti mehurčkov 3 mm
6 Zaključki
Obravnavana je bila CFD analiza dispergiranja zraka v posodi s tristopenjskim mešalom na meji poplavnega stanja. Uporabljen je bil Eulerjev model obravnave faz Eu/Eu in model porazdelitve mehurčkov PBM. Izračunane moči in globalnih deležev plinaste faze se predvsem pri simulacijah z mehurčki manjših premerov dobro ujemajo z izmerjenimi vrednostmi. Porazdelitev plinaste faze in velikost mehurčkov v vertikalni r-z ravnini je nazorna in se dobro ujema z vizualnim opazovanjem[21]. CFD izračuni moči in globalnega deleža plinaste faze se dobro ujemajo z eksperimentalni rezultati predvsem pri razredih z manjšimi mehurčki premerov: 1-4 mm, 4 mm in 3 mm, kar potrjujejo tudi dela drugih avtorjev. Pri izračunu z razredom mehurčkov 1,2 - 12 mm je tik ob gredi mešala zaznati preveliko koncentracijo zraka, plinasta faza je zelo neenakomerno dispergirana v kapljevino. CFD izračun smo izvajali s 36 jedri na HPC strežniku Prelog in pri tem porabili 320 h za izračun vseh kombinacij.
Kuhljevi dnevi 2016
- 114 -
Literatura
[1] Bombač A., Beader D., Žun I., Mixing Times in a Stirred Vessel with a Modified Turbine, Acta Chim. Slov., 59, 707--721, 2012
[2] Bombač, A. Effects of geometrical parameters on Newton number in an aerated stirred tank, StrojV-J.Mech.Engng, 44, 3,105-116, 1998
[3] Matijević, I., Bombač, A., Mencinger, J., Žun, I. Primerjava izračunanih časov pomešanja za dve mešali z dvema računskima metodama. Kuhljevi dnevi 2013, Rogaška Slatina, 25.-26. september, 2013. HRIBERŠEK, Matjaž (ur.), RAVNIK, Jure (ur.). Zbornik del. Ljubljana: SDM,113-120, 2013
[4] Basara, B., Alajbegovic, A., Beader, D. Simulation of single- and two-phase flows on sliding unstructured meshes using finite volume method INTERNATIONAL JOURNAL FOR NUMERICAL METHODS IN FLUIDS 45, 10, 1137-1159, 2004
[5] Taghavi, M., Zadghaffari, R., Moghaddas, J., Moghaddas, Y. Experimental and CFD investigation of power consumption in a dual Rushton turbine stirred tank. Chem. Engng. Res. Des., 89, 280–290, 2011
[6] Joshi, J. B., Nere, N. K., Rane, C.V., Murthy, B. N., Mathpati, C. S., Patwardhan, A.W., Ranade, V. V. CFD Simulation of stirred Tanks: Comparison of turbulence models. Part I, Radial flow impellers. Can. J. Chem. Engng., 89, 23–82, 2011
[7] Ochieng, A., Onyango, M. S., Kumar, A., Kiriamiti, K., Musonge, P., Mixing in a tank stirred by a Rushton turbine at a low clearance. Chem. Engng. Proc., 47, 842–851, 2008
[8] Edward L. P., V.A. Atiemo-Obeng, S.M. Kresta, Handbook of industrial mixing,science and practice, JW&Sons, Hoboken, 2004
[9] Bombač, A., Vidic, M., Cotič, M. Analiza osnovnih karakteristik pri mešanju vode in dispergiranju zraka na industrijskem fermentorju in modelni napravi. Ljubljana: Fakulteta za strojništvo, LFDT, 2014
[10] Bombač, A., Vidic, M., Plut, M. Analiza osnovnih karakteristik pri mešanju vode in dispergiranju zraka z enim mešalom na modelni napravi : poročilo. Ljubljana: Fakulteta za strojništvo, Laboratorij za dinamiko fluidov in termodinamiko, 2015
[11] Bombač, A., Vidic, M., Plut, M. Analiza osnovnih karakteristik pri mešanju in dispergiranju zraka s tristopenjskim mešalom na modelni mešalni napravi : poročilo. Ljubljana: Fakulteta za strojništvo, Laboratorij za dinamiko fluidov in termodinamiko, 2015
[12] Ansys Inc., Ansys Fluent Theory guide, Release 14.0, 2011 [13] Xia, Jian-Ye, Wang, Yong-Hong, Zhang, Si-Liang, Ning Chen, Peng Yin, Ying-Ping Zhuang, Ju Chu. Fluid
dynamics investigation of variant impeller combinations by simulation and fermentation experiment. Biochemical Engineering Journal 43, 3, 252-260, 2009
[14] Bao, Y., Wang, B., Lin, M., Gao Z., Yang, J., Influence of impeller diameter on overall gas dispersion properties in a sparged multi-impeller stirred tank. Chin. J. Chem. Eng. 23, 4, 615-622, 2015
[15] Bombač, A., Matijević, I., Dispergiranje zraka v posodi z mešali pri velikem pretoku zraka. Ventil, v tisku 2016
[16] Stenmark E. On Multiphase Flow Models in ANSYS CFD Software. Master’s Thesis in Applied Mechanics, Chalmers University of Technology, Göteborg, 2013
[17] Montante, G.; Horn, D.; Paglianti, A. Gas-liquid flow and bubble size distribution in stirred tanks. Chem.Eng.Sci. 63, 8, 2107-2118, 2008
[18] Kerdouss F., Bannari A. Proulx, P. CFD modeling of gas dispersion and bubble size in a double turbine stirred tank Chem.Eng.Sci. 61, 10, 3313-3322, 2006
[19] Petitti M., Nasuti A., Marchisio, D.L., Vanni M., Baldi G. Bubble Size Distribution Modeling in Stirred Gas-Liquid Reactors with QMOM Augmented by a New Correction Algorithm. AIChE J. 56, 1, 6-53, 2010
[20] Pakzad, L., Ein-Mozaffari, F., Upreti, Simant R., Evaluation of the mixing of non-Newtonian biopolymer solutions in the reactors equipped with the coaxial mixers through tomography and CFD. Chem.Eng.J. 215, 279-296, 2013
[21] M. Cotič, U. Kočevar, A. Bombač, Eksperimentalna določitev premerov mehurčkov pri dispergiranju zraka v posodi s tristopenjskim mešalom, za objavo na KD 2016
[22] Devi, T.T., Kumar, B. Comparison of flow patterns of dual rushton and CD-6 impellers. Theoretical Foundations Of Chemical Engineering 47, 4, 344-355, 2013
[23] Bombač A., Diskasto mešalo z asimetrično zapognjenimi lopaticami. Patent SI 24012 (A), 2013-09-30. Ljubljana: Ministrstvo za gospodarski razvoj in tehnologijo, Urad RS za intelektualno lastnino, 2013
SLOVENSKO DRUSTVO ZA MEHANIKO
SRECANJE KUHLJEVI DNEVI 2016
Dolocitev faktorja koncentracije napetosti s pomocjoekvivalentnih lastnih deformacij
G. Mejak1
Determination of the stress intensity factor by the equivalenteigenstrain method
Povzetek. Predstavljen je nov nacin izracuna faktorja koncentracije napetosti, ki temelji na metodiekvivalentne lastne deformacije. Vsaki razpoki obmocja je prirejena lastna deformacija definiranana okolici razpoke. Vrednosti teh neznanih lastnih deformacij doloca princip ekvivalentne lastnedeformacije. Prirejena variacijska formulacija nato omogoca priblizni izracun iskanih lastnih de-formacij s pomocjo katerih je dolocena deformacija v okolici razpoke in s tem tudi iskani faktorjikoncentracije napetosti. Za testni primer je izracunana koncentracija napetosti za dobro znan primerdveh kolinearnih razpok. Na koncu so podane smernice za nadalnji razvoj metode.
Abstract. A new approach for computation of the stress intensity factor is given. It is based onthe principle of the equivalent eigenstrains. To each crack is associated an unknown eigenstrainthat is determined by the variational formulation of the equivalent eigenstrain principle. This allowsan approximative determination of the eigenstrains and hence also stress intensity factors. As a testproblem a well known example of two collinear cracks is solved. Discussion how to further elaboratethe method is also given.
1 Uvod
Faktor koncentracije napetosti je za dolocanje nadaljnega sirjenja razpoke izredno pomemben.Znano je, tu mislimo na linearno mehaniko loma, da je na konici razpoke napetostno poljesingularno, tocneje, da je reda O(1/
√r), kjer je r razdalja do konice razpoke, [1]. Poznamo
tri faktorje, tako imenovane K faktorje KI , KII in KIII , ki pripadajo razlicnim nacinom odprtjarazpoke. Normalnemu odprtju pripada faktor KI , dvema striznima pa KII in KIII . V prispevkuse bomo omejili na KI , ki je definiran s
KI = limr→0
√2πr σn, (1)
1 Univerza v Ljubljani, Fakulteta za matematiko in fiziko
Kuhljevi dnevi 2016
kjer je σn normalna napetost na konici razpoke. Faktorji koncentracije napetosti so tako odvisniod napetostnega polja, to je pa odvisno od predpisanih napetosti na robu obmocja in njegovemikrogeometrije. Tu imamo v mislih predvsem obmocje z vecimi razpokami in posledicnointerakcije med njimi. Dolocitev faktorjev koncentracije napetosti za konkretni primer obre-menitve in razporeditve razpok tako zahteva natancen izracun napetostnega stanja, v okolicikonic razpok lokalno se posebej natancno tako, da ima (1) koncno nenicelno limito. Polegkonkretnih primerov pa nas zanimajo tudi tipicni primeri interakcije med razpokami, kjer raz-poke obravnavamo v neskoncnem obmocju s predpisanimi homogenimi makro robnimi pogojiv neskoncnosti. Poznavanje teh tipicnih primerov nam potem omogoca oceno faktorja kon-centracije napetosti v konkretnih inzenirskih primerih, kjer zaradi obseznosti problema dovoljtocen izracun napetostnega stanja ni mogoc v realnem casu.
Osnovni tipicni primer sta dve kolinearni razpoki, glej sliko 1. Primer ima zaradi svoje eno-stavne oblike celo analiticno resitev [2]. Za bolj kompleksno konfiguracijo razpok v ravnini paje dobro poznana Kacanova metoda [3] in njena izboljsana varianta [4]. Vsi omenjeni izracunitemeljijo na uporabi kompleksne analize in so tako omejeni na ravninsko konfiguracijo razpokoziroma na ravninsko napetostno stanje. Nasa metoda, ki temelji na uporabi lastnih deformacijteh omejitev ne pozna. Kot pa bomo videli, je pri majhni razdalji med razpokama manj tocna.
2a 2a
d
x
y
Slika 1 : Kolinearni razpoki.
2 Princip ekvivalentne lastne deformacije
Naj bodo v elasticnem prostoru R3 z elasticnim tenzorjem C0
podane elasticne heterogenosti Ωi,i = 1, . . . ,n z elasticnimi tenzorji C
i. Tu privzemamo, da imajo Ωi nenicelen volumen. Princip
ekvivalentne lastne deformacije pravi [6], da je za napetost na heterogenostih velja enakost
Ci: e =C
0:(
e− ε∗), i = 1, . . . ,n, (2)
- 116 -
Kuhljevi dnevi 2016
kjer je ε∗ tenzor lastnih deformacij, ki ima nosilec na heterogenostih. Naj bo na R3 predpisanamakro deformacija e
b. Potem lahko zapisemo e = e
b+e′, kjer je e′ perturbacijski deformacijski
tenzor, ki pripada homogenim pomikom v neskoncnosti. Pripadajoca ravnovesna enacba je
divC0
: (e′− ε∗) = 0 na R3. (3)
Resitev enacbe je formalno oblike e′ = Sε∗, kjer S Eshelbyjev operator. Ce vstavimo resitev v(2) dobimo enacbo
Ci:(
eb+Sε
∗)=C
0:(
eb+Sε
∗− ε∗)
na Ωi. (4)
Enacba doloca neznano lastno deformacijo, ki resi (2). Znano je [5], da je resitev enacbe ekvi-valentne lastne deformacije (4) stacionarna tocka funkcionala
I(ε∗) =∫∪iΩi
ε∗ : C
0:((C
0−C
i)−1 : C
0: ε∗−Sε
∗−2eb
)dV. (5)
V posebnem primeru, ko so heterogenosti praznine, je Ci= 0 in (5) se poenostavi v
I(ε∗) =∫∪iΩi
ε∗ : C
0:(
ε∗−Sε
∗−2eb
)dV. (6)
Praznine imajo nenicelen volumen. Do razpok pridemo sele z limitnim prehodom, ko debelinapraznin in s tem njihov volumen gresta proti nic. Kako to deluje, si bomo pogledali na primeruene same razpoke v prostoru.
2.1 Izolirana razpoka v prostoru
Naj bo I razpoka dolzine 2a v prostoru in naj bo Ω(η) krozni elipsoid z osjo simetrije v smeriI, s srediscem v srediscu razpoke in dolzinami polosi a, ηa in ηa. Ocitno v limiti η→ 0 veljaΩ(η)→ I. Dobro je znano [6], da homogena lastna deformacija na elipsoidu porodi homogenodeformacijo. Potem je S(η)ε∗ = S
0(η) : ε∗, kjer je S
0(η) Eshelbyjev tenzor elipsoidalnega
vkljucka Ω(η), ki je konstanten na Ω(η), izven vkljucka pa je funkcija polozaja. V okoliciη = 0 je S
0(η) = S0
0+ ηS1
0+ O(η2). Tu velja omeniti, da je na vkljucku S0
06= 0 in izven
vkljucka S00= 0. Direktni racun pokaze, da je tenzor I−S(η) obrnljiv za vsak 0 < η < 1
2 . Kerni obrnljiv za η = 0, na tem mestu se ne moremo postaviti η = 0, temvec moramo se naprejnamesto razpoke racunati z elipsoidom.
Enacba (4) je pri C1= 0 in konstantnem Eshelbyjevem tenzorju trivialno resljiva. Resitev je
ε∗(η) =
(I−S(η)
)−1: e
b. (7)
Za η << 1 je resitev ε∗ reda O(1/η), zato definiramo ε∗(η) = 1η
ε∗0(η) in prepisemo (4) v(
I−S00−ηS1
0+O(η2)
): ε∗0(η) = ηe
b. (8)
Enacba je oblike(9)(A0 +ηA1)x = ηb,
- 117 -
Kuhljevi dnevi 2016
kjer sta A0,A1 ∈ R6×6 in x,b ∈ R6. Ce je A0 obrnljiva, potem limη→0 x = 0. Ce pa ni obrn-ljiva, obstaja δ > 0 tako, da je A0 +ηA1 obrnljiva za vsak η ∈ (0,δ) in hkrati obstaja limitalimη→0 x = x0. V nasem primeru I− S0
0ni obrnljiv tenzor, zato po pravkar povedanem sledi,
da obstaja limη→0+ ε∗0(η) =: ε
∗0(0). Pri izracunu limite ε
∗0
lahko seveda v (8) clen O(η2) izpu-stimo. Deformacija izven razpoke je tako v limiti η→ 0, v limiti ko vkljucek postane razpoka,enaka
e(x) = eb+S1
0(x)ε∗
0(0). (10)
Postavimo x = (a+ r)i, kjer je i enotski vektor v smeri razpoke. Faktor koncentracije napetostije potem
K =C0
:(
limr→0+
√2πr e((a+ r)i)
). (11)
Direktni izracun pokaze, da je na ta nacin izracunan faktor koncentracije napetosti enak√
πa,kar se natanko ujema z dobro znano vrednostjo iz literature.
3 Dolocitev lastnih deformacij
Za dve ali vec razpok aproksimacija s homogeno lastno deformacijo ocitno ni dobra, saj sta pritej aproksimaciji faktorja koncentracije napetosti na obeh koncih razpoke enaka. Poskusimo spolinomsko aproksimacijo. Vsako razpoko oblecemo v krozni elipsoid in ji priredimo lastnodeformacijo oblike
ε∗i=
n
∑p=0
xpi ε∗p,i. (12)
Tudi sedaj smo razpoko oblekli v elipsoidni vkljucek. V primeru izolirane razpoke zato, kerje pripadajoci Eshelbyjev tenzor konstanten na elipsoidu, sedaj pa zato, ker zapis Eshelbyje-vega tenzorja v zaprti obliki dejansko poznamo samo za elipsoidalni vkljucek. Indeks i v (12)oznacuje, da gre za i-to razpoko, xi pa je pripadajoca vzdolzna koordinata razpoke. Ce je dolzinai-te razpoke 2ai ima elipsoid polosi ai, ηai in ηai. Lastna deformacija na i-tem elipsoidu porodideformacijo
e′i(x) =
n
∑p=0
Sp,i(c i− x) : ε
∗p,i, (13)
kjer je c i sredisce razpoke, Sp,i
pa Eshelbyjev tenzor i-tega elipsoida lastne deformacije xpε∗.Tenzorjem S
p,ipravimo Eshelbyjevi tenzorji reda p. Tu je S
p,i(ξ) definiran kot funkcija lokalne
koordinate ξ lokalnega kooridinatnega sistema z izhodiscem v srediscu elipsoida z osmi v sme-reh polosi elipsoida. Eshelbyjevi tenzorji so odvisni od η. Velja S
p,i= S0
p,i+ηS1
p,i+O(η2).
Celotna deformacija e′ je vsota deformacij e′i
po vseh razpokah i = 1, . . . ,m, kjer je m stevilorazpok.
Vstavimo nastavek (12) v funkcional (6). Variacija po ε∗p,i
je enaka
∂I∂ε∗
p,i
[δε∗p,i] = 2
∫Ωi
xpi δε∗p,i
: C0
:(
ε∗i− e′− e
b
)dx. (14)
- 118 -
Kuhljevi dnevi 2016
Ker je C0
obrnljiv in je variacija poljubna, so Euler-Lagrangeeve enacbe funkcionala I do veli-kostnega reda O(η) enake
0 =∫ ai
−ai
xpi
(ε∗i− e
b−
m
∑i
e′i(c i− xi e i)
)dxi, i = 1, . . . ,m (15)
Tu smo z e i zapisali enotski vektor v smeri i-te razpoke. Resitev sistema (15) potem podobnokot v primeru izolirane razpoke preko enacb (10) in (11) doloca faktorje koncentracije napetosti.
3.1 Dve kolinearni razpoki
Kako konkretno resimo sistem (15) si bomo pogledali na primeru dveh enakih kolinearnih raz-pok, glej sliko 1. Zaradi enostavnosti se omejimo na linearno aproksimacijo, n = 1. Na levirazpoki lastno deformacijo aproksimiramo z ε∗
l= ε∗
0+ x1 ε∗
1. Zaradi simetrije je potem lastna
deformacija na desni razpoki enaka ε∗r= ε∗
0− x2 ε∗
1. Tu sta x1 in x2 pripadajoci osni koordinati
razpok. Izracunajmo
∂I∂ε∗
0
[δε∗0] =
∫ a
−aδε∗0
: C0
:(
ε∗0+ x1 ε
∗1− e
b− e′
)dx1
+∫ a
−aδε∗0
: C0
:(
ε∗0− x2 ε
∗1− e
b− e′
)dx2. (16)
Stacionarni pogoj je potem
0 =∫ a
−a
(ε∗0+ x1 ε
∗1− e
b−S I
0: ε∗0−S I
1: ε∗1−SE
0((x1−d)i) : ε
∗0+SE
1((x1−d)i) : ε
∗1
)dx1
+∫ a
−a
(ε∗0− x2 ε
∗1− e
b−S I
0: ε∗0+S I
1: ε∗1−SE
0((x2 +d)i) : ε
∗0−SE
1((x2 +d)i) : ε
∗1
)dx2. (17)
Tu smo z d zapisali razdaljo med centroma razpok, indeksa I in E pri Eshelbyjevem tenzorjupa povesta, da gre za notranjo oziroma zunanjo resitev. Pri notranji resitvi zaradi enostavnostipisave nismo napisali argumenta, ki je x1i oziroma x2i. Tenzorja S I
0(x) in SE
0(x) sta sodi funkciji
argumenta x, S I1(x) in SE
1(x) pa lihi funkciji. Potem iz (17) z upostevanjem, da je integral lihe
funkcije na [−a,a] enak nic dobimo
eb= ε∗0−S I
0: ε∗0− 1
4a
∫ a
−a
(SE
0((x1−d)i) : ε
∗0−SE
1((x1−d)i) : ε
∗1
)dx1
− 14a
∫ a
−a
(SE
0((x2 +d)i) : ε
∗0+SE
1((x2−d)i) : ε
∗1
)dx2. (18)
Z upostevanjem sodosti in lihosti Eshelbyjevih tenzorjev od tod koncno sledi
eb= ε∗0−S I
0: ε∗0− 1
2a
∫ a+d
−a+dSE
0(xi)dx : ε
∗0− 1
2a
∫ a+d
−a+dSE
1(xi)dx : ε
∗1. (19)
Na podoben nacin dobimo stacionarno enacbo za variacijo po ε∗1:
eb=
13
a2ε∗1− 1
2a
∫ a
−axS I
1(xi)dx : ε
∗1+
12a
∫ a+d
−a+d(x−d)SE
0(xi)dx : ε
∗0
+12a
∫ a+d
−a+d(x−d)SE
1(xi)dx : ε
∗1. (20)
- 119 -
Kuhljevi dnevi 2016
Naprej postopamo podobno kot pri izolirani razpoki. Definiramo ε∗j= 1
ηε∗j(η), j = 1,2 in
upostavamo, da je Sp(η) = S0
p+ηS1
p+O(η2), p = 1,2. Do reda η natanko ima potem sistem
(19), (20) prav tako obliko kot sistem (9). Tudi tokrat za sistem velja, da A0 ni obrnljiva.Potemtakem resitev sistema obstaja za vsak dovolj majhen η in v limiti η→ 0 glavni del lastnedeformacije ε
∗j(η) konvergira proti ε
∗j(0). Tenzorja S0
psta izven razpoke enaka nic. Potemtakem
je deformacija izven razpoke dana z
e = eb+S1,E
0: ε∗0(0)+S1,E
1: ε∗1(0). (21)
Faktorja koncentracije napetosti v konicah razpok sta tako
K± =C0
:(
limr→0+
√2πr e(±(a+ r)i)
). (22)
Tu je K+ faktor koncentracije napetosti para bliznjih dveh konic razpok, K− pa para naspro-tnolezecih konic. Opisano aproksimacijo faktorja koncentracije razpok lahko izracunamo vzaprti obliki. Rezultat pa je zal precej zapletene oblike, zato si raje poglejmo numericne vre-dnosti v odvisnosti od δ = d/a oziroma κ = δ−2
δ+2 . Tu je κ polovicna razdalja med konicamarazpok. Rezultati so zbrani v tabelah 1 in 2. Poleg aproksimacije prvega reda sta v tabelah seaproksimaciji drugega in tretjega reda ter odsekoma linearna aproksimacija o kateri bomo vecspregovorili v naslednjem razdelku.
Tabela 1 : Faktorji koncentracije napetosti K−/√
πa, p : red aproksimacije, PL : odsekomalinearna aproksimacija, K : Kacanov rezultat [3].
κ δ p = 1 p = 2 p = 3 PL K0.2 3. 1.047 1.053 1.051 1.05 1.0520.1 2.444 1.072 1.092 1.085 1.082 1.086
0.05 2.211 1.087 1.137 1.113 1.114 1.1180.02 2.082 1.092 1.206 1.138 1.157 1.1540.01 2.04 1.086 1.268 1.145 1.189 1.175
Tabela 2 : Faktorji koncentracije napetosti K+/√
πa, p : red aproksimacije, PL : odsekomalinearna aproksimacija, K : Kacanov rezultat [3].
κ δ p = 1 p = 2 p = 3 PL K0.2 3. 1.105 1.111 1.112 1.111 1.1120.1 2.444 1.225 1.244 1.252 1.245 1.251
0.05 2.211 1.388 1.435 1.456 1.432 1.4520.02 2.082 1.659 1.767 1.829 1.756 1.8080.01 2.04 1.893 2.073 2.187 2.05 2.134
- 120 -
Kuhljevi dnevi 2016
Po pricakovanju napaka aproksimacije z manjso razdaljo med razpokama narasca in je vecjaza K+ kot za K−, z narascajocim redom aproksimacije pa napaka pada. Aproksimacija prvegareda je zadovoljiva za δ > 2.5, drugega reda za δ > 2.2, tretjega reda pa za δ > 2.1, kjer papocasi odpoveduje tudi Kacanova aproksimacije, glej [1].
4 Odsekoma linearna aproksimacija
Iz tabel 1 in 2 je razvidno, da moramo za majhno razdaljo med razpokama povecati red apro-ksimacije. Z vecjim redom Eshelbyjevih tenzorjev postaja izracun tenzorjev in posledicno in-tegracija vse bolj komplicirana, zato je na mestu vprasanje ali je mogoce lastno deformacijoaproksimirati odsekoma linearno. Tu moramo zal ugotoviti, da je mozna aproksimacija samoz linearno kombinacijo treh odsekoma linearnih funkcij, glej sliko 2. Razlog je v neaditivnostiEshelbyjevega tenzorja na prostoru odsekoma definiranih lastnih deformacij. Konkretno, najbo Ω elipsoid s polosmi a, ηa in ηa in S
apripadajoci Eshelbyjev tenzor. Razdelimo interval
[−a,a] na podintervala [−a,0] in [0,a]. Potem
Sa(x) 6= S
a/2(x− a
2i)+S
a/2(x+
a2
i), (23)
saj je Sa(xi) konstanten za x ∈ (−a,a), desna vsota v (23) pa ne. Ce bi namesto elipsoida
vzeli valj visine 2a s polmerom ηa bi v (23) veljala enakost. Vendar, nam to ne koristi, sajEshelbyjevega tenzorja za valj v zaprti obliki ne poznamo.
-a a0
h1 h3h2
Slika 2 : Bazne funkcije odsekoma linerne aproksimacije.
Poglejmo sedaj, kako kljub temu definiramo Eshelbyjev tenzor na funkcijah hi s slike 2. Defi-nirajmo prvo
S(h1ε∗)(x) =
(a2
S0, a
2−S
1, a2
)(x+
a2
i) : ε∗, S(h3ε
∗)(x) =(a
2S
0, a2+S
1, a2
)(x− a
2i) : ε
∗
(24)in nato
S(h2ε∗)(x) =−S(h1ε
∗)(x)−S(h3ε∗)(x)+S
0,a(x) : ε
∗ (25)
Potem ocitno h1 + h2 + h3 = 1 na [−a,a] in S(h1ε∗)(x)+ S(h2ε∗)(x)+ S(h3ε∗)(x) = S0,a(x) :
ε∗ = S(ε∗)(x). Linearna kombinacija ∑3i=1 S(hiε
∗) potemtakem vsebuje deformacijo, ki pripadakonstantni lastni deformaciji in to, kot pokazejo rezultati v tabelah 1 in 2, zadostuje, da jeodsekoma linearna aproksimacija primerljiva z aproksimacijo drugega reda.
- 121-
Kuhljevi dnevi 2016
5 Zakljucek
Prikazan je nov izracun faktorja koncentracije napetosti. Metoda v primerjavi z znanimi meto-dami za primer dveh kolinearnih razpok ni izpolnila pricakovanja. Primerljive dobre rezultatelahko dobimo samo s polinomsko aproksimacijo lastnih deformacij dovolj velikega reda. Ven-dar je potem racunanje pripadajocih Eshelbyjevih tenzorjev in njihova integracija racunsko pre-cej bolj zahtevna, zato nasa metoda ni konkurencna Kacanovi metodi. Po drugi strani pa smougotovili, da z odsekoma linearno aproksimacijo dobimo zadovoljive rezultate, kar pomeni, dani potrebno racunati z Eshelbyjevimi tenzorji drugega reda. Ta ugotovitev in dejstvo, da je mocnaso metodo uporabiti za poljubno prostorsko konfiguracijo linijskih in tudi diskastih razpok,odpira v prihodnosti moznost pomembne uporabe nase metode.
6 Literatura in citati
Literatura
[1] D. Gross in T. Seelig, Fracture Mechanics: With Introduction to Micromecahnics, Springer,Berlin, 2006.
[2] F. Erdogan, On the stress distribution in plates with collinear cuts under arbitrary loads,Proceedings Fourth U.S. National Congress of Applied Mechanics, pp. 547–553, 1962.
[3] M. Kachanov, Elastic solids with many cracks: a simple method of analysis, Int. J. SolidsStructures 23, 23–44, 1987.
[4] Y. Benveniste, G. J. Dvorak, j. Zarzour in E. C. J. Wung, On interacting cracks and complexcrack configurations in linear elastic media, Int. J. Solids Structures 25, 1279–1293, 1989.
[5] G. Mejak, Variational formulation of the equivalent eigenstrain method with an applicationto a problem with radial eigenstrains, Int. J. Solids and Structures, 51, 1601–1616, 2014.
[6] T. Mura, Micromechanics of Defects in Solids, Second, Revised Edition, Kluwer, 1991.
- 122 -
SLOVENSKO DRUŠTVO ZA MEHANIKO
SREČANJE KUHLJEVI DNEVI 2016
Avksetični celični materiali in njihovo obnašanje pri tlačni
obremenitvi
N. Novak1, M. Vesenjak1 in Z. Ren1
Auxetic cellular materials and their behaviour under
compression loading
Povzetek. Avksetični celični materiali zaradi svoje edinstvene geometrije in načina
deformiranja izkazujejo negativno Poissonovo število, kar pomeni da se ob enoosni natezni
obremenitvi njihov prečni prerez (volumen) poveča, obratno pa velja pri tlačni obremenitvi.
Učinek takšnega obnašanja materiala je uporaben pri različnih aplikacijah, kjer lahko z
uporabo avksetičnih materialov izboljšamo mehanske lastnosti (npr. togost, lomno žilavost,
absorpcijo energije in dušenje). V tem delu je sprva predstavljeno področje avksetičnih
materialov, nato pa eksperimentalno testiranje avksetične strukture izdelane z metodo
selektivnega taljenja z elektronskim snopom (SEBM). Eksperimentalnemu testiranju je
sledil razvoj numeričnega modela v programu za numerične analize LS-Dyna, ki je bil
uspešno validiran na osnovi rezultatov eksperimentalnega testiranja.
Abstract. Auxetic cellular materials exhibit a negative Poisson's ratio due to their unique
geometry and deformation mechanism, i.e. their cross-section normal to the loading
direction significantly increases when stretched and vice versa when compressed. The
effect of negative Poisson’s ratio is useful for many different applications to enhance
mechanical properties in stiffness, fracture toughness, energy absorption and damping. In
this work firstly auxetic materials are introduced, then experimental testing of auxetic
cellular structure made with selective electron beam melting (SEBM) is described.
Experimental testing was followed by the development of the numerical model using the
FE engineering code LS-Dyna, where it has been successfully validated on the basis of
experimental testing results.
1 Univerza v Mariboru, Fakulteta za strojništvo
Kuhljevi dnevi 2016
- 124 -
1 Uvod
Celične materiale so po obsežnih raziskavah v zadnjih letih uporabili tudi v določenih
praktičnih aplikacijah, katerih število se iz dneva v dan povečuje [1]. Razvoj na področju
celičnih materialov se nadaljuje predvsem na področju tehnologij izdelave in novih geometrij.
Avksetični materiali so sodobna vrsta celičnih materialov, ki lahko s svojo edinstveno
geometrijo in potekom deformacije (slika 1) izboljšajo mnogo mehanskih lastnosti v
primerjavi s konvencionalnimi celičnimi materiali [2]. Avksetični materiali so materiali z
negativnim Poissonovim številom, torej se pri enoosni natezni obremenitvi njihov prerez, v
smeri prečno na smer delovanja zunanje obremenitve poveča, kot je prikazano na sliki 1.
Nateg Tlak
Slika 1: Shematični prikaz deformacije materiala s pozitivnim Poissonovim številom (a.) in
negativnim Poissonovim številom (b.) ob natezni in tlačni obremenitvi [1]
V zadnjih letih se je povečala uporaba dodajalnih tehnologij v različnih vejah strojništva, npr.
hitra izdelava prototipov, izdelava strojnih delov, izdelava medicinskih implantatov. Prav tako
pa so se te tehnologije izkazale kot zelo obetavne v primeru izdelave zahtevnejših oblik
celičnih materialov, kar omogoča izdelavo poljubnih geometrij materialov.
1.1 Zgodovinski razvoj
Izraz avksetični materiali je leta 1991 predlagal Evans [3], s katerim je poimenoval materiale
z negativnim Poissonovim številom. Izraz izvira iz grške besede »auxetos«, ki ima v prevodu
pomen »se lahko poveča«. Avksetični materiali so bili sicer predhodno že preučevani, vendar
so bile komaj leta 1982 izpeljane analitične formule za izračun mehanskih lastnosti preprostih
šestkotnih struktur [4]. Enega izmed najpomembnejših in tudi po velikosti največjih primerov
uporabe avksetičnih struktur lahko najdemo v nekaterih jedrskih reaktorjih na Japonskem, v
katere so nameščali grafitne obroče okoli sredice reaktorja, ki pa niso bili namensko razviti za
avksetično obnašanje. Te strukture so bile razvite z namenom prenesti vodoravne strižne
obremenitve, ki nastopijo ob potresu, ob tem pa morajo dovoliti pomike zaradi termalnega
raztezanja dveh različnih materialov (ogljikova sredica in jeklena konstrukcija), torej imeti
veliko strižno trdnost in nizko odpornost proti volumetričnim spremembam [5][6]. Razvoj, ki
je pripeljal do te realne avksetične strukture, je bil namenjen praktičnemu cilju in ne
namenskemu razvoju materiala z negativnim Poissonovim številom. Naslednjo stopnjo v
razvoju avksetičnih materialov zasledimo šele tri desetletja kasneje, ko je Almgren [7]
predstavil eno izmed najpreprostejših 2D struktur, ki omogoča avksetično obnašanje materiala
- Zunanja
obremenitev
- Prečna
deformacija
Kuhljevi dnevi 2016
- 125 -
(slika 2a) in jo tudi analitično opredelil. Leta 1987 so bili s strani Lakesa in sodelavcev
ustvarjeni prvi umetno izdelani avksetični celični materiali, in sicer s preobrazbo osnovne
celice konvencionalne odprto-celične pene, tako da so se stene strukture obrnile proti
notranjosti. Preobrazba osnovne celice celične strukture je bila dosežena s pomočjo
kombinacije obremenjevanja (triosno stiskanje) in segrevanja do temperature mehčanja
osnovnega materiala celične strukture. Analiziranih je bilo več različnih poliestrskih pen in
vse so po preobrazbi imele negativne vrednosti Poissonovega števila (srednja vrednost: -0,7).
V tej raziskavi so bile analizirane tudi kovinske pene, katerih geometrija osnovne celice pa je
bila spremenjena s pomočjo plastične deformacije v treh med seboj pravokotnih smereh.
Avtorja v [8][9] sta prva predstavila analizo ekspandiranega polimera (PTFE), katerega
vrednosti Poissonovega števila so krepko manjše od teoretično določene meje za izotropne
materiale (dosegajo vrednosti do -12), kar je predvsem posledica visoke anizotropnosti
materiala. Zaradi potrebe po anizotropnosti za doseganje negativnega Poissonovega števila so
vse te strukture porozne, kar pomeni, da imajo te strukture v primerjavi z osnovnim materialom
iz katerega so zgrajene zmanjšano togost. Iz tega razloga je Evans [3] predlagal, da je lahko
bolj tog avksetični material izdelan na molekularni ravni. Tako sta v nadaljevanju Alderson in
Evans [10] proizvedla mikro-porozni polietilenski material z negativnim Poissonovim
številom. Proizvodni postopek je bil sestavljen iz naslednjih faz: stiskanje polimernega praška,
sintranje in iztiskanje. Rezultat tega proizvodnega postopka je bil anizotropen material,
katerega vrednost Poissonovega števila je dosegla vrednosti do -1,24 (odvisno od stopnje
deformacije) pri tlačni obremenitvi v radialni smeri in vrednost 0 v aksialni smeri preizkušanca
z obliko valja.
1.2 Mehanske lastnosti avksetičnih materialov
Za opis linearnega obnašanja izotropnega materiala pri elastičnih obremenitvah sta ob
obremenitvah in robnih pogojih vpetja potrebni dve mehanski lastnosti: modul elastičnosti E
in Poissonovo število ν. Obe mehanski lastnosti je potrebno pridobiti z eksperimentalnim
testiranjem, vendar se zelo pogosto zgodi, da se Poissonovemu številu ne posveti veliko
pozornosti in se njegova vrednost za večino kovinskih gradiv predpostavi na vrednosti blizu
⅓, veliko več naporov pa je vloženih v določitev in analizo modula elastičnosti.
Za lažje razumevanje vpliva spremembe Poissonovega števila na mehanske lastnosti
izotropnega materiala je potrebno uvesti dve novi izpeljani materialni lastnosti in sicer strižni
modul G (odpor proti spremembi oblike pri strižni obremenitvi) in modul stisljivosti K (odpor
proti spremembi volumna pri hidrostatični obremenitvi) [11]:
𝐺 =𝐸
2(1 + 𝜈) in (1)
𝐾 =𝐸
3(1 − 2𝜈) . (2)
Ob predpostavki konstantne vrednosti elastičnega modula v zgornjih enačbah je razvidno, da
je ob vrednosti Poissonovega števila 0,5 modul stisljivosti neskončno velik (nestisljivost), v
Kuhljevi dnevi 2016
- 126 -
primeru Poissonovega števila blizu -1, pa je vrednost strižnega modula neskončna. Vrednosti
Poissonovega števila, ki jih ima večina naravnih materialov (~⅓), so torej kompromis med
odpornostjo proti spremembi oblike in volumna. Potrebno je poudariti, da je večina sodobnih
izdelkov narejena iz plošč, lupin in nosilcev, za katere pa je izjemno pomembno, da imajo čim
višji strižni modul, pa čeprav tega dosežemo na račun zmanjšanja modula stisljivosti [12].
Z uporabo materialov, ki imajo negativno Poissonovo število, se izboljšajo tudi druge
materialne lastnosti, npr. sposobnost absorpcije zvočnih in mehanskih udarov, zvišanje
vrednosti potrebne energije za prebitje materiala. Slednje je posledica mehanizma
deformiranja avksetičnega materiala, ki se pri obremenitvi pomika k mestu udarca in se tam
zgosti, kar je ravno nasprotno kot pri konvencionalnih materialih. Ob tem jih lahko zaradi
svojih edinstvenih lastnosti uporabimo kot tesnila, ki s svojo deformacijo ob večji obremenitvi
bolje tesnijo, ali kot pritrdilne sponke, ki jo brez težav vstavimo v luknjo zaradi tlačne
obremenitve (ob kateri se sponka skrči v radialni smeri). Ob poskusu izvleka sponke, pa se
zaradi natezne obremenitve le-ta v radialni smeri razširi in s tem oteži izvlek sponke [13]. Drug
način uporabe avksetične strukture je kot jedro sendvič strukture [14]. V primeru uporabe
avksetičnega materiala kot sredice v zaobljenih sendvič strukturah (npr. konstrukcijski
elementi v letalski in vesoljski industriji) je lahko zelo dobrodošla tudi zanimiva lastnost
odziva avksetičnega materiala na upogibno obremenitev, saj se material oblikuje v sinklastično
obliko (konkavna oblika) in ne antisinklastično kot v primeru konvencionalnih materialov
(oblika sedla), s tem se lahko izognemo veliki deformaciji sredice sendvič strukture že pred
vgradnjo [15] .
1.3 Osnovne geometrije avksetičnih materialov
Sistematični razvoj avksetičnih materialov se je pričel z razvojem dvodimenzionalnih
avksetičnih struktur, ki jih je nato možno raztegniti v tretjo dimenzijo [7]. Nekaj
najznačilnejših dvodimenzionalnih avksetičnih struktur je prikazanih na sliki 2.
Slika 2: Nekatere vrste preprostih dvodimenzionalnih avksetičnih struktur: a.) vbočene šest
kotne strukture, b.) strukture rotirajočih enot, c.) strukture manjkajočih medceličnih povezav
in d.) “chiral” strukture [1]
Zaradi kompleksnosti geometrijske zgradbe tridimenzionalnih avksetičnih struktur in potrebe
po natančnem nadzoru geometrije osnovnih celic strukture, je bilo do sedaj predstavljenih in
analiziranih le malo teh struktur. Razvoj dodajalnih tehnologij pa je v zadnjih letih omogočil
izdelavo poljubnih struktur, kar je privedlo do tega, da je sedaj možno izdelati poljubne
tridimenzionalne avksetične strukture. V virtualnem okolju pa lahko te strukture oblikujemo
tako, da je njihov odziv najbolj ugoden za izbrano aplikacijo.
a.) b.) c.) d.)
b.)
Kuhljevi dnevi 2016
- 127 -
2 Eksperimentalno testiranje avksetičnih struktur
Geometrija in izdelava preizkušancev, ki so bili izdelani na Univerzi v Erlangnu, Nemčija, z
metodo selektivnega taljenja z elektronskim snopom (angl. selective electron beam melting –
SEBM) je podrobneje opisana v [16]. Vsi preizkušanci so enake avksetične strukture, kot so
opisane v [16], vendar so bili obremenjeni v dveh različnih smereh - preizkušanci #1 do #3 so
bili obremenjeni v navpični smeri (rdeči puščici na sliki 3), preizkušanci #4 do #6 pa so bili
obremenjeni v prečni smeri (zeleni puščici na sliki 3).
Slika 3: Preizkušanci z označenimi smermi obremenjevanja (povprečna debelina
medceličnih povezav 0,55 mm)
Predhodno so že bili izvedeni eksperimentalni testi analizirane avksetične strukture z
namenom pridobitve vrednosti Poissonovega števila in modula elastičnosti v različnih smereh
obremenjevanja v linearno elastičnem področju obremenjevanja [16]. Ugotovljeno je bilo, da
je Poissonovo število te strukture v navpični smeri obremenjevanja (rdeči puščici na sliki 3)
enako -0,3, v prečni smeri obremenjevanja (zeleni puščici na sliki 3) enako -0,4. V tem delu
so predstavljeni rezultati tlačnega obremenjevanja avksetične strukture do približno 80%
deformacije. Tlačni testi so bili izvedeni na preizkuševalnem stroju INSTRON 8801 s hitrostjo
pomika 0,1 mm/s.
Iz eksperimentalnih rezultatov na slikah 4 in 5 je razvidno, da je odziv vseh preizkušancev
v linearnem elastičnem območju podoben (podoben modul elastičnosti strukture), do večjih
razlik pa prihaja po dosegu meje tečenja, saj je pri preizkušancih #4 - #6 iz vizualne analize
poteka preizkusa in iz opazovanja oscilacij reakcijske sile (slika 5) možno zaključiti, da se
porušijo posamezne plasti strukture, kar privede do velikega padca togosti. Po porušitvi plasti
le-ta nasede na naslednjo plast, tako da togost spet naraste, vendar se nato tudi ta plast poruši
in postopek deformiranja se ciklično ponavlja. Takšen slojeviti način porušitve vpliva tudi na
manjšo tlačno nosilnost preizkušancev #4 - #6, kot v primeru preizkušancev #1 - #3, kar je
razvidno iz diagrama na sliki 5.
3 Numerični model
Zaradi kompleksnosti, večjega števila kontaktnih površin in stopnje deformacije strukture je
bila za hitrejši proces numeričnega preračuna uporabljena eksplicitna shema reševanja sistema
nelinearnih enačb numerične mehanike trdnin.
Numerični model avksetičnih struktur za eksplicitne dinamične simulacije je bil
pripravljen v programskem sistemu LS-Dyna na osnovi predhodno generirane palične
21,3 mm 16,2 mm
19
,5 m
m
Kuhljevi dnevi 2016
- 128 -
geometrije realnih preizkušancev. Numerični model je opisan z linearnimi linijskimi končnimi
elementi Hughes – Liu s štirimi integracijskimi točkami v prerezu elementa. Struktura je bila
obremenjena s pomikom toge površine (hitrost plošče 200 mm/s), ki pritiska na strukturo v
smeri fiksno vpete toge površine.
Med togima površinama in strukturo je kontakt modeliran s kazensko metodo
(»penalty method«) in koeficientom trenja μtr = 0,35, med posameznimi linijskimi končnimi
elementi v strukturi pa je določen samodejni kontakt z enakim koeficientom trenja, kot je
definiran med togima površinama in strukturo.
Materialni model za opis mehanskih lastnosti linijskih končnih elementov je bil izbran
na osnovi uporabljene vrste končnih elementov in lastnosti osnovnega materiala strukture.
Uporabljen je bil elasto-plastičen materialni model s porušitvijo (oznaka MAT_153 v
programskem paketu LS-Dyna), ki omogoča modeliranje razvoja poškodb in porušitve tudi za
linijske končne elemente. Materialne lastnosti so bile določene s parametričnimi simulacijami
in so predstavljene v tabeli 1.
Tabela 1: Uporabljene materialne lastnosti v numeričnih simulacijah
ρ [kg/m3] E [MPa] ν [-] σy,1 [MPa] σy,2 [MPa] εpl,2 [%]
4430 60.000 0,3 750 800 5
Za določitev razvoja poškodb je potrebno s parametričnimi simulacijami določiti še dodatni
parameter (vrednost plastične deformacije), ki opredeljuje začetek akumulacije razvoja
poškodb.
4 Rezultati računalniških simulacij
Eksperimentalno testiranje je bilo osnova za validacijo numeričnega modela. Na diagramih na
slikah 4 in 5 so primerjane vrednosti reakcijske sile med eksperimentom in numeričnim
modelom.
Slika 4: Diagram napetosti v odvisnosti od deformacije za preizkušance #1 do #3
0
10
20
30
40
50
60
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8
Nap
eto
st [M
Pa]
Deformacija [-]
Preizkušanec #1
Preizkušanec #2
Preizkušanec #3
Povprečje eksperimentov
Numerični model
Kuhljevi dnevi 2016
- 129 -
Iz primerjave reakcijske sile med eksperimentom in numeričnim modelu v primeru
preizkušancev #1 do #3 (slika 4) lahko opazimo zelo dobro ujemanje rezultatov. To pomeni,
da je materialni model razvit na osnovi parametričnih simulacij tlačnega obremenjevanja
avksetične strukture, katerega materialne lastnosti so podane v tabeli 1, ustrezen za opis
deformacije in porušitve materiala, iz katerega je izdelana avksetična struktura.
Slika 5: Diagram napetosti v odvisnosti od deformacije za preizkušance #4 do #6
Iz primerjave reakcijske sile med eksperimentom in numeričnim modelu v primeru
preizkušancev #4 do #6 (slika 4) lahko opazimo nekoliko slabše ujemanje med rezultati, česar
vzrok je predvsem v načinu porušitve strukture, ki je v primeru teh preizkušancev veliko bolj
krhka. Ta krhka porušitev je posledica usmerjenosti medceličnih povezav, katerih veliko
število je v primeru preizkušancev #4 do #6 usmerjenih vzdolžno na smer obremenjevanja, kar
med obremenjevanjem privede do uklona in posledično krhke porušitve, in ne do upogiba
medceličnih povezav kot v primeru preizkušancev #1 do #3 (slika 3).
5 Zaključki
Prispevek predstavlja področje avksetičnih materialov, opisuje najbolj pogoste geometrije in
njihove mehanske lastnosti. Ob tem so predstavljeni izsledki eksperimentalnega testiranja
avksetičnih struktur, ki so bili nato uporabljeni za začetno validacijo numeričnih modelov.
Zaradi nepoznavanja mehanskih lastnosti osnovnega materiala strukture, ki so zaradi
proizvodnega postopka izrazito ortotropne, so bile materialne lastnosti numeričnega modela
določene s parametričnimi numeričnimi simulacijami. Enake materialne lastnosti so bile
uporabljeni za obe smeri obremenjevanja preizkušancev. V obeh smereh lahko opazimo dobro
ujemanje rezultatov numeričnega modela z rezultati eksperimentalnega preizkusa. To lahko
trdimo predvsem v primeru preizkušancev #1 do #3, v primeru preizkušancev #4 do #6 pa so
zaradi krhke porušitve celotne ravnine medceličnih povezav opazna določena odstopanja.
V nadaljevanju raziskovalnega dela na področju avksetičnih celičnih materialov bodo
s pomočjo topološke optimizacije razvite nove oblike avksetičnih materialov, katerih odzivi
na obremenitve bodo nadzorovani tudi s pomočjo gradirane poroznosti.
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7
Nap
eto
st [
MP
a]
Deformacija [-]
Preizkušanec #4
Preizkušanec #5
Preizkušanec #6
Povprečje eksperimentov
Numerični model
Kuhljevi dnevi 2016
- 130 -
Literatura
[1] P. S. Liu and G. F. Chen, Porous Materials Processing and Applications. Elsevier,
2014.
[2] N. Novak, M. Vesenjak, and Z. Ren, “Auxetic cellular materials - a review,” Strojniški
Vestn. - J. Mech. Eng., sprejeto v objavo, 2016.
[3] K. E. Evans, M. A. Nkansah, I. J. Hutchinson, and S. C. Rogers, “Molecular Network
Design,” Nature, vol. 353, p. 124, 1991.
[4] L. J. . Gibson and M. F. . Ashby, “The mechanics of 2D cellular material,” Proc. R.
Soc., no. 382, pp. 25–45, 1982.
[5] K. Muto, R. W. Bailey, and K. J. Mitchell, “Special requirements for the design of
nuclear power stations to withstand earthquakes,” Proc. Inst. Mech. Eng., vol. 177, pp.
155–203, 1963.
[6] A. Alderson, “A triumph of lateral thought,” Chem. Ind., vol. 10, pp. 384–391, 1999.
[7] R. F. Almgren, “An isotropic three-dimensional structure with Poisson’s ratio=-1,” J.
Elast., vol. 15, pp. 427–430, 1985.
[8] K. E. Evans and B. D. Caddock, “Microporous materials with negative Poisson’s ratios.
II. Mechanisms and interpretation,” J. Phys. D. Appl. Phys., vol. 22, pp. 1883–1887,
1989.
[9] B. D. Caddock and K. E. Evans, “Microporous materials with negative Poisson’s ratios.
I. Microstructure and mechanical properties,” J. Phys. D. Appl. Phys., vol. 22, no. 12,
pp. 1877–1882, 1989.
[10] K. . Alderson and K. . Evans, “The fabrication of microporous polyethylene having a
negative Poisson’s ratio,” Polymer, vol. 33, no. 20, pp. 4435–4438, 1992.
[11] L. A. E. H., “A treatise on the mathematical theory of elasticity.” [Splet]. Dosegljivo
na: https://archive.org/details/atreatiseonmath01lovegoog. [Dostop: 20-Nov-2015].
[12] K. E. Evans, “Auxetic polymers: a new range of materials,” Endeavour, vol. 15, no. 4,
pp. 170–174, 1991.
[13] J. B. Choi and R. S. Lakes, “Design of a fastener based on negative Poisson’s ratio
foam,” Cell. Polym., vol. 10, pp. 205–212, 1991.
[14] E. Hadjigeorgiou and G. Stavroulakis, “The use of auxetic materials in smart
structures,” Comput. Methods Sci. Technol., vol. 10, no. 2, pp. 147–160, 2004.
[15] K. E. Evans, “The design of doubly curved sandwich panels with honeycomb cores,”
Compos. Struct., vol. 17, no. 2, pp. 95–111, 1991.
[16] J. Schwerdtfeger, P. Heinl, R. F. Singer, and C. Körner, “Auxetic cellular structures
through selective electron beam melting,” Phys. Status Solidi - Basic Solid State Phys.,
vol. 247, no. 2, pp. 269–272, 2010.
SLOVENSKO DRUSTVO ZA MEHANIKO
SRECANJE KUHLJEVI DNEVI 2016
Numericno modeliranje nepopolne intumescenceprotipozarnih premazov
A. Ogrin1, T. Hozjan2 in M. Saje3
Numerical modelling of incomplete intumescence of fireproofcoatings
Povzetek. V prispevku je predstavljen numericni model za prenos toplote po intumescentnemprotipozarnem premazu, ki uposteva povecanje debeline premaza in spreminjanje materialnih la-stnosti premaza s temperaturo in po debelini. Eksperimenti kazejo, da se na navpicnih povrsinahlahko pojavi nepopolna intumescenca oziroma manjsa koncna debelina premaza. Prikazani so rezul-tati parametricne studije vpliva nepopolne intumescence na temperature v zasciteni jekleni podlagi.Izvedena je tudi primerjava vpliva dveh mehanizmov, ki lahko povzrocita nepopolno intumescenco.
Abstract. A numerical model for thermal analysis of fireproof intumescent coatings is presented.Expansion of the coating, as well as temperature and deformation dependent thermal and mechanicalproperties are taken into account. It has been shown that an incomplete intumescence can occur onvertical surfaces. Results of a parametrical study of its influence on temperatures in the steel substrateare shown. Two possible mechanisms of incomplete intumescence are analysed and compared.
1 Uvod
Za zagotovitev predpisane pozarne odpornosti je jeklene konstrukcijske elemente pogosto po-trebno zascititi s protipozarnimi oblogami ali premazi. Intumescentni protipozarni premazi sopriljubljeni zaradi svoje ucinkovitosti in nevpadljivega videza. Odvisno od vrste premaza sejih na konstrukcijske elemente nanese v tankih slojih kot barvo ali kot cementni omet, tako daostaja oblika samega konstrukcijskega elementa pri normalnih pogojih uporabe vidna; v naspro-tju s protipozarnimi oblogami, ki obliko povsem zakrijejo. Med procesom intumescence, ki sesprozi sele v primeru izpostavljenosti intumescentnega premaza dovolj visokim temperaturam,
1 Univerza v Ljubljani, Fakulteta za gradbenistvo in geodezijo2 Univerza v Ljubljani, Fakulteta za gradbenistvo in geodezijo3 Univerza v Ljubljani, Fakulteta za gradbenistvo in geodezijo
Kuhljevi dnevi 2016
premaz v zelo kratkem casovnem intervalu ekspandira do koncne debeline, hkrati pa potekatudi dalj casa trajajoca kemijska reakcija pirolize. Povecanje debeline in kemijska reakcija pov-zrocita ugodno spremembo mehanskih in toplotnih lastnosti premaza, ki upocasni prevajanjetoplote in tako poveca pozarno odpornost zascitene jeklene konstrukcije.V vecini obstojecih numericnih modelov za prevajanje toplote po intumescentnem mediju jepredpostavljena konstantna debelina premaza ter nanjo prilagojene efektivne lastnosti premaza,ki so temperaturno odvisne, vendar po debelini konstantne [1, 2]. Zaradi vpliva hitrosti spremi-njanja temperature na potek intumescentnega procesa je uporabnost taksnih modelov omejena,se posebej pri vedno bolj uveljavljenem ciljnem (performancnem) nacinu projektiranja, kjerkonstrukcijo analiziramo na razlicne naravne pozare. Poleg tega so eksperimenti na zascitenemenakokrakem kotnem profilu pokazali, da na potek intumescence vplivata tudi orientiranost inoblika zascitene povrsine, saj je premaz na navpicnih povrsinah dosegel manjso koncno debe-lino kot na vodoravnih, medtem ko na robovih prereza ekspandiranja skoraj ni bilo [3].V prispevku najprej predstavimo numericni model za prenos toplote po intumescentnem pre-mazu, ki uposteva spreminjanje debeline premaza ter temperaturno odvisne mehanske in toplo-tne lastnosti, ki se spreminjajo tudi po debelini premaza. Predstavljeni model temelji na enacbiza prevajanje toplote po intumescentnem materialu, ki sta jo prva predstavila Henderson in Wi-ecek [4] ter upostevanju treh materialnih faz, ki jih je v svojem modelu uporabil Asaro [5]:intakten, ekspandiran in zoglenel material. Pomembna razlika od predhodnih modelov, kjerje racun potekal na koncni debelini premaza, je v upostevanju hipnega ekspandiranja posame-znega koncnega elementa, ko je v njem izpolnjen pogoj za ekspandiranje, s cimer je modeliranopostopno ekspandiranje celotne debeline premaza. Validacija uporabljenega numericnega mo-dela je prikazana v [6].V drugem delu prispevka obravnavamo vpliv manjse dosezene koncne debeline premaza, t.i.nepopolne intumescence, ki se pojavi na navpicno orientiranih povrsinah, na temperature vzascitenem prerezu. Manjso koncno debelino premaza lahko v uporabljenem numericnem mo-delu dosezemo tako, da (i) ekspandirajo vsi koncni elementi, pri cemer se njihova debelinapoveca z manjsim faktorjem ekspandiranja ali da (ii) pride do ekspanzije z nespremenjenim fak-torjem ekspandiranja le v dolocenem delezu koncnih elementov na pozaru izpostavljeni stranipremaza. Za oba nacina izvedemo parametricno studijo vpliva razlicnih koncnih debelin pre-maza ter primerjamo tudi rezultate obeh studij.
2 Numericni model za prenos toplote po intumescentnem premazu
Numericni model za prenos toplote po intumescentnem premazu temelji na enacbi za ohranitevenergije in mase
−ρcp∂T∂ t
=−∂ (k( ∂T
∂x ))
∂x+
∂ρ
∂ tQ+
∂ρ
∂ t(cp − cpg)T −
∫ lx
x(∂ρ
∂ t)dx cpg
∂T∂x
, (1)
ki sta jo v tej obliki prva predstavila Henderson in Wiecek [4]. Leva stran enacbe (1) ter prviclen desne strani sestavljata dobro znano 1-D enacbo za prenos toplote po trdni snovi v smeri x.T predstavlja temperaturo, ρ gostoto, cp specificno toploto in k toplotno prevodnost premaza.Preostali cleni enacbe opisujejo pojave, znacilne za kemijsko reaktiven material. Izvor oziroma
- 132 -
Kuhljevi dnevi 2016
ponor toplote Q zaradi ekso- oziroma endotermne kemijske reakcije opisuje drugi clen desnestrani, pri cemer je Q pri endotermnih reakcijah, kakrsna se odvija tudi v intumescentnih pre-mazih, negativen. Tretji clen, kjer cpg pomeni specificno toploto plinov, opisuje transformacijomateriala iz trdnega v plinasto stanje. Z zadnjim clenom enacbe (1) pa je upostevana predpo-stavka o takojsnji in popolni odstranitvi vrocih plinov ter njim pripadajoce toplote, pri cemer jelx koordinata na izpostavljenem delu premaza.Enacbo (1) smo zapisali za 2-D prevajanje toplote in jo vgradili v racunalniski program zaravninsko analizo prevajanja toplote po precnem prerezu Heatko [7], ki uporablja 4-vozliscneizoparametricne koncne elemente. Vgrajena enacba velja ob izpolnjeni predpostavki konstan-tnega volumna premaza, intumescentnemu premazu pa se med izpostavljenostjo visokim tem-peraturam volumen poveca s faktorjem ekspandiranja Fexp. Predpostavki smo zadostili tako,da je imel vsak koncni element v posameznem casovnem koraku koncno povrsino, ob koncucasovnega koraka pa se je koncnim elementom, v katerih je bila povprecna temperatura v Ga-ussovih tockah T vecja od temperature ekspandiranja Texp, s cimer so zadostili pogoju za eks-pandiranje, povrsina hipno povecala. Proces ekspandiranja premaza je prikazan na sliki 1.
Slika 1 : Proces ekspandiranja premaza.
Racun smo tako izvedli na deformirani legi ter v skladu s tem materialne parametre ρ , k in cp
za vsako Gaussovo tocko v vsakem koncnem elementu in casovnem koraku izracunali sproti, zupostevanjem primernega deleza posamezne materialne faze [5]: intakten material je materialpred ekspandiranjem in pred zacetkom kemijske reakcije pirolize, z gostoto, toplotno prevodno-stjo in specificno toploto ρV , kV in cpV ; ekspandiran material, kot ga imenujemo po ekspandi-ranju in se vedno pred zacetkom kemijske reakcije, ima lastnosti ρINT , kINT in cpINT ; zoglenelmaterial, po zakljucku kemijske reakcije, pa ima lastnosti ρCH , kCH in cpCH .V neekspandiranih koncnih elementih smo z izrazom a = FaV + (1 − F)aCH upostevali lemesanico intaktne in zoglenele materialne faze, pri ekspandiranih koncnih elementih pa z izra-zom a = FaINT +(1−F)aCH le mesanico ekspandirane in zoglenele materialne faze, pri cemer
- 133 -
Kuhljevi dnevi 2016
je a poljubna materialna lastnost. Delez nereagiranega materiala F smo dolocili na podlagiArrheniusove enacbe, ki dobro opisuje zmanjsanje gostote zaradi kemijske reakcije pirolize [5]
∂ρ
∂ t=−A(ρV −ρCH)(
ρ −ρCH
ρV −ρCH)ne−
EaRT , (2)
kjer R pomeni splosno plinsko konstanto, koeficienti A, Ea in n pa oznacujejo predeksponentnifaktor, aktivacijsko energijo in stopnjo reakcije. Ti koeficienti so izbrani tako, da se krivulja,dobljena po enacbi (2), kar najbolje prilega krivulji iz termogravimetricne analize, kot je opisanov [6].
3 Parametricna studija
Za parametricno studijo vpliva manjse dosezene koncne debeline premaza smo uporabili lastno-sti premaza, s katerim je bil opisani numericni model validiran v [6]: lastnosti intaktnega materi-ala ρV = 1000 kg/m3, cpV = 2200 J/kgK, kV = 0.235 W/m2K, lastnosti ekspandiranega materialaρINT = ρV/Fexp, cpINT = (1.5T +3000) J/kgK, kINT = 0.013 W/m2K in lastnosti zoglenelegamateriala ρCH = 108.6 kg/m3, cpCH = (2T +2800) J/kgK, kCH = (0.0001115T +0.013) W/m2K.Emisivnost premaza smo upostevali 0.95, temperaturo ekspandiranja pa Texp = 250 C. Kineticniparametri, s katerimi najbolje opisemo termogravimetricno krivuljo iz [1], so A = 0.2291 s−1,Ea = 2.7529·107 J/gmol in n = 1.00001. Izbrali smo primer, kjer ima premaz zacetno debelino10 mm, ter ob ocenjenem faktorju eksapndiranja Fexp = 3.5 in popolni intumescenci dosezekoncno debelino 35 mm. Premaz je nanesen na 5 mm debelo jekleno podlago, katere lastnostiso v modelu upostevane v skladu z Evrokodom 3 [9].V programu Heatko smo jekleno podlago modelirali z enim, premaz pa s sestdesetimi koncnimielementi ter uporabili majhen casovni korak ∆t=2 s. Tako veliko stevilo koncnih elementov pre-maza je bilo uporabljeno zaradi lazje delitve debeline premaza na razlicne deleze s popolno ozi-roma nepopolno intumescenco. Rezultati pridobljeni s 60 koncnimi elementi so bili sicer zeloblizu rezultatom pridobljenim s pol manjsim stevilom koncnih elementov, zato ocenjujemo, daje bila natancnost izracuna ustrezna. Ker je bil eksperiment v [1] zasnovan kot enodimenzi-onalen prenos toplote, smo tudi v modelu samo na izpostavljeni stranici zunanjega koncnegaelementa premaza predpisali spreminjanje temperature zraka v skladu s standardno pozarnokrivuljo, definirano v [8]. Na vseh ostalih zunanjih robovih smo predpisali, da je toplotni tokenak nic.V parametricni studiji primerjamo temperature na zadnji strani podlage, kjer so bile merjenetudi v eksperimentu [1].
3.1 Vpliv faktorja ekspandiranja
V prvem delu studije smo opazovali vpliv ekspandiranja vseh koncnih elementov premaza obzmanjsanem faktorju ekspandiranja iz 3.5 na 3, 2.5, 2, 1.5 in 1. S tem smo koncno debe-lino premaza postopno zmanjsevali iz 35 mm na 30 mm, 25 mm, 20 mm, 15 mm in 10 mm.Zmanjsevanje faktorja ekspandiranja je vplivalo na gostoto ekspandiranega in zoglenelega ma-teriala, preostale lastnosti pa so ostale enake kot pri Fexp = 3.5. V zadnjem primeru, kjer je bila
- 134 -
Kuhljevi dnevi 2016
koncna debelina tudi po zakljucenem procesu ekspandiranja enaka zacetni, se je torej ekspan-diran material od intaktnega razlikoval le po toplotni prevodnosti in specificni toploti, medtemko sta bili gostoti v obeh materialnih fazah enaki.Temperature na zadnji strani podlage so prikazane na sliki 2 in so pricakovano visje pri manjsikoncni debelini premaza. Pri vsakem zmanjsanju koncne debeline za 5 mm je v jekleni podlagipriblizno 10 min prej dosezena temperatura 400 C, pri kateri se zacnejo izrazite casovno od-visne viskozne deformacije jekla. Na grafu lahko opazimo lom krivulje pri okoli 250 C, ki sezgodi po ekspandiranju zadnjega koncnega elementa. Pri manjsem faktorju ekspandiranja visjetemperature hitreje nastopijo globlje v premazu in proces ekspandiranja se zakljuci prej. Nasliki 3 je prikazano spreminjanje gostote v koncnem elementu najblizje jekleni podlagi, torej vzadnjem koncnem elementu, ki ekspandira, za razlicne faktorje ekspandiranja. Opazimo lahko,da se skoki gostote zaradi ekspandiranja pojavijo ob istih casih kot lomi krivulje na sliki 2.
Slika 2 : Casovni razvoj temperatur na zadnji strani podlage za Fexp od 1 do 3.5.
3.2 Vpliv deleza ekspandiranja
V drugem delu parametricne studije smo zeleli primerjati enake dosezene koncne debeline kot vprvem delu, vendar tokrat z zmanjsanjem deleza koncnih elementov, ki ekspandirajo, pri cemerje faktor ekspandiranja ostal 3.5. Za koncno debelino 35 mm je proces ekspandiranja potekelv vseh 60 koncnih elementih, za koncno debelino 30 mm v zunanjih 48 koncnih elementihoziroma v 80% premaza itd. Vse primerjane koncne debeline in stevilo koncnih elementov vkaterih potece proces so podane v tabeli 1.
- 135 -
Kuhljevi dnevi 2016
Slika 3 : Casovni razvoj gostot v koncnem elementu premaza najblizje podlagi za Fexp od 1 do3.5.
Razlika med obema obravnavanima mehanizmoma za doseganje manjse koncne debeline jenajbolj ocitna v primeru, ko je koncna debelina premaza enaka zacetni. Medtem ko so se vprimeru zmanjsanega faktorja ekspandiranja v prvem delu studije toplotne lastnosti premazazaradi procesa ekspandiranja spremenile iz intaktnih v ekspandirane, v drugem delu studije,kjer noben koncni element ne ekspandira, ostanejo nespremenjene.
Tabela 1 : Obravnavani delezi ekspandiranih koncnih elementov.
Koncna Stevilo Delez Zacetna debelinadebelina ekspandiranih KE ekspandiranih KE ekspandiranih KE35 mm 60 1 10 mm30 mm 48 0.8 8 mm25 mm 36 0.6 6 mm20 mm 24 0.4 4 mm15 mm 12 0.2 2 mm10 mm 0 0 0 mm
Na sliki 4 so prikazane temperature na zadnji strani podlage za razlicne deleze premaza, vkaterih potece proces ekspandiranja. V neekspandiranem delu premaza v enacbi (2), poleglastnosti zoglenelega materiala, ves cas nastopajo toplotne in mehanske lastnosti intaktnega
- 136 -
Kuhljevi dnevi 2016
materiala, ki ne vplivajo ugodno na protipozarno funkcijo premaza, zato temperature zacnejopricakovano hitreje narascati pri manjsem delezu ekspandiranega premaza. Cas, pri kateremtemperature v jeklu presezejo 400C, se pri mehanizmu z zmanjsevanjem koncne debeline za 5mm zmanjsuje neenakomerno. Pri zmanjsanju debeline iz 35 na 30 mm se tako cas zmanjsa za11.9 min, v primeru zmanjsanja iz 15 na 10 mm pa ze za 24.5 min. To vpliva tudi na kasnejsetemperature, ki so pri mehanizmu z manjsim delezem ekspandiranja v splosnem visje kot primehanizmu z manjsim faktorjem ekspandiranja, razlike pa so vecje pri manjsi dosezeni koncnidebelini premaza.
Slika 4 : Casovni razvoj temperatur na zadnji strani podlage za deleze ekspandiranja 0, 0.2, 0.4,0.6, 0.8 in 1.
4 Zakljucek
Predstavili smo numericni model za toplotno analizo intumescentnih premazov ter primerjalivpliv dveh mehanizmov, ki lahko povzrocita manjso koncno debelino premaza na navpicnihpovrsinah. Pri mehanizmu z manjsim delezem ekspandiranega premaza so visoke temperaturedosezene prej kot pri mehanizmu z manjsim faktorjem ekspandiranja. Ker na mehanski odzivjeklene konstrukcije mocno vpliva cas izpostavljenosti visokim temperaturam, sklepamo, da jemehanizem z manjsim delezem ekspandiranega premaza bolj neugoden. Kateri obravnavanimehanizem dejansko povzroci manjso koncno debelino premaza, bi bilo potrebno potrditi zeksperimenti.
- 137 -
Kuhljevi dnevi 2016
Literatura
[1] M. Bartholmai, B. Schartel. Assessing the performance of intumescent coatings usingbench-scaled cone calorimeter and finite difference simulations, Fire and Materials 31,187–205, 2007.
[2] J. Kolsek, P. Cesarek. Performance-based fire modelling of intumescent painted steel struc-tures and comparison to EC3, Journal of Constructional Steel Research 104, 91–103, 2015.
[3] V. Saulnier, S. Durif, A. Bouchaır, P. Audebert, M. Lahmar. Experimental studies of un-protected and protected steel structures under fire, Proceedings of the International Confe-rence in Dubrovnik, 15-16 October 2015, 159–164.
[4] J.B. Henderson, T.E. Wiecek. A mathematical model to predict the thermal response ofdecomposing, expanding polymer composites, Journal of Composite Materials 21, 373–393, 1987.
[5] R.J. Asaro, B. Lattimer, C. Mealy, G. Steele. Thermo-physical performance of a fire pro-tective coating for naval ship structures, Composites: Part A 40, 11–18, 2009.
[6] A. Treven, T. Hozjan, M. Saje. An improved Method for Thermal Analysis of IntumescentCoatings, Structures in fire, Proceedings of the Ninth International Conference, 1073–1080, 2016.
[7] T. Hozjan. 2D analiza prevajanja toplote po mediju: program HEATKO. Ljubljana, ULFGG, 2009.
[8] SIST EN 1991-1-2:2004, Evrokod 1: Vplivi na konstrukcije - 1-2. del: Splosni vplivi –Vplivi pozara na konstrukcije. Ljubljana, Slovenski institut za standardizacijo, 2004.
[9] SIST EN 1993-1-2:2005, Evrokod 3: Projektiranje jeklenih konstrukcij - 1-2. del: Splosnapravila - Pozarnoodporno projektiranje. Ljubljana, Slovenski institut za standardizacijo,2005.
- 138 -
SLOVENSKO DRUŠTVO ZA MEHANIKO
SRECANJE KUHLJEVI DNEVI 2016
Vpliv vlage na odziv lesenega nosilca v požaru
R. Pecenko1 in T. Hozjan2
Influence of moisture on the response of timber beam in fire
Povzetek. V clanku predstavljamo vpliv uporabe naprednega “Heat&Moisture” ter poenostavlje-nega “Heat” modela za prenos toplote po trdni snovi na mehanski odziv enostavnega nosilca pri po-žaru. Hkrati je prikazan tudi vpliv zacetne vlažnosti lesa na obnašanje lesenega nosilca. Prikazaneso prednosti in slabosti uporabe obeh toplotnih modelov ter predlog za izboljšavo poenostavljenega“Heat” modela.
Abstract. In this paper the influence of advanced “Heat&Moisture” and simple “Heat” heat transfermodels on the mechanical response of simply supported timber beam exposed to fire is presented.In addition, the influence of the initial moisture content on the behaviour of timber beam is given.The advantages and drawbacks of here presented models are shown. At the end, proposal to improvesimple “Heat” model is given.
1 Uvod
Ena izmed številnih prednosti, ki jih ponuja les kot gradbeni material je nedvomno ugodnoobnašanje pri povišanih temperaturah in posledicno tudi dobra požarna odpornost. Ker je lesizrazito higroskopen in porozen material ima na razvoj temperatur v lesu pomembno vlogo vla-žnost lesa. Zaradi tega je smiselno prenos toplote in vlage v lesu obravnavati povezano. Les vsvoji sestavi vsebuje razlicne medije, ti so vezana voda, vodna para in zrak. Gibanje vsakegaizmed medijev poteka po razlicnih transportnih poteh. Tako gibanje vodne pare in zraka po-teka znotraj celicnega lumna, gibanje vezane vode pa je omejeno na celicno steno. Ker je leshigroskopen material pride do vezave molekul vode (vezana voda) v celicno steno. Prehajanjemolekul vodne pare v vezano vodo (adsorpcija) oziroma molekul vezane vode v vodno paro(desorpcija) imenujemo s skupnim izrazom sorpcija. Podobno kot prenos vlage, tudi prenostoplote poteka po vec transportnih poteh. Po celicni steni prihaja do kondukcijskega prenosa
1 Univerza v Ljubljani, Fakulteta za Gradbeništvo in Geodezijo2 Univerza v Ljubljani, Fakulteta za Gradbeništvo in Geodezijo
Kuhljevi dnevi 2016
toplote, medtem ko konvekcijski prenos toplote nastopi zaradi gibanja plinov v celicnem lu-mnu. Poleg tega se zaradi spremembe agregatnega stanja vezane vode v vodno paro in obratno,sprošca oziroma porablja energija. Matematicen opis povezanega prenosa toplote in vlage jenelinearen, zato analiticna rešitev praviloma ni znana. Za reševanje nelinearnih parcialnih dife-rencialnih enacb se uporabljajo numericne metode. V okviru doktorske disertacije [1] je bil v tanamen razvit nov napreden toplotno-vlažnostni model (“Heat&Moisture”) primeren za analizoprenosa toplote in vlage po lesenih elementih pri požaru. Ker pa je modeliranje povezanegaproblema prenosa toplote in vlage precej zahtevno, se v sodobni inženirski praksi še vednouporablja enostavne toplotne modele (“Heat” model), kjer je upoštevan samo prenos toplote potrdni snovi. Tak pristop dovoljuje tudi Evrokod [2], kjer vpliv vlage posredno upoštevamo prekpovecane specificne toplote lesa.
V clanku prikazujemo prednosti in slabosti uporabe obeh toplotnih modelov ter vpliv vlage naobnašanje lesenih nosilcev pri požaru.
2 Numericni model
V tem poglavju predstavljamo toplotni in mehanski model za dolocitev odziva lesenega nosilcapri požaru. Ker predpostavimo, da deformiranje konstrukcije ne vpliva bistveno na prenostoplote in vlage po lesu, obravnavamo toplotno in mehansko analizo loceno. Kljub temu, dav toplotni analizi uporabimo dva razlicna modela, v nadaljevanju prikazujemo samo napredni“Heat&Moisture” model, saj je osnovni “Heat” model v splošnem poznan [3].
2.1 Modeliranje povezanega prenosa toplote in vlage - “Heat&Moisture” model
Za vsako agregatno stanje vode ter za zrak uporabimo razlicni transportni model. Prenos vezanevode sledi Fickovemu zakonu [4], pri prenosu plinske mešanice pa upoštevamo konvekcijski terdifuzni model prenosa [5]. Konvekcijski prenos je opisan z Darcy-jevim zakonom, medtemko Fickov zakon opiše difuzni del prenosa. Prenos vezane vode in vodne pare je medsebojnopovezan s tako imenovano sorpcijo, ki opisuje spremembo agregatnega stanja vezane vode vvodno paro in obratno. Sistem enacb za ohranitev mase zapišemo za vsako fazo posebej:
vezana voda:∂cb
∂ t+∇ ·Jb = c, (1)
vodna para:∂ (εgρv)
∂ t+∇ ·Jv =−c, (2)
zrak:∂ (εgρa)
∂ t+∇ ·Ja = 0. (3)
kjer ρv in ρa predstavljata koncentracijo vodne pare in zraka, ki sta definirani na enoto volu-mna plinske mešanice. Na podoben nacin predstavljata εgρv ter εgρa koncentraciji definirani naenoto volumna lesa, kjer εg predstavlja poroznost lesa. Masni tok posameznega medija je ozna-cen z Ji (i = b,v,a), c pa predstavlja stopnjo sorpcije, ki medsebojno povezuje ohranitev masemed vezano vodo in vodno paro. Enacbe za ohranitev mase so dopolnjene z enacbo za ohranitevenergije, kjer so upoštevani trije fenomeni in sicer: (i) prenos toplote po trdni snovi, (ii) prenos
- 140 -
Kuhljevi dnevi 2016
toplote zaradi konvekcije plinov znotraj celicnega lumna, (iii) energija, ki je potrebna oziromase sprošca pri spremembi faze iz vezane vode v vodno paro in obratno. Enacba za ohranitevenergije je naslednja:
(ρC)
∂T∂ t
= ∇ · (k∇T )−(
ρCv)
∇T −∆Hsc, (4)
kjer clen ρC oznacuje specificno toploto lesa, matrika k vsebuje toplotne prevodnosti za razlicnesmeri lesa, ∆Hs predstavlja latentno toploto sorpcije, prenos toplote s konvekcijo plinov pa jeoznacen z ρCv. Konstitucijske zakoni, s katerimi opišemo masni tok vezane vode, vodne parein zraka ter sorpcijo so podrobneje prikazani v [1].
Za reševanje nelinearnih parcialnih diferencialnih enacb (1)–(4) uporabimo metodo koncnihelementov. Matematicni postopki s katerimi pretvorimo osnovne enacbe skupaj s konstitucijamizvezami v sistem osnovnih diferencialnih enacb izražen z osnovnimi neznankami, so opisaniv [1]. Za casovno diskretizacijo uporabimo diferencno metodo, kjer upoštevamo implicitnoshemo.
2.2 Mehanski model
Matematicni model, s katerim opišemo deformiranje nosilca temelji na Reissnerjevem kine-maticno tocnem modelu nosilca [6]. V modelu je upoštevan vpliv membranske ter upogibnedeformacije na deformiranje nosilca. Upoštevana je Bernoullije hipoteza, ki predpostavlja, daprecni prerez ostane raven in pravokoten na referencno os nosilca v deformirani legi. Poleg tegaje upoštevano, da se oblika in velikost precnega prereza med deformiranjem ne spreminjata. Vskladu z Reissnerjevim modelom nosilca je napetostno in deformacijsko stanje nosilca dolocenoz reševanjem sistema kinematicnih, ravnotežnih in konstitucijskih enacb skupaj s pripadajocimirobnimi pogoji.
1+u′− (1+ ε)cosϕ = 0 R′X + pX = 0 Nc =∫
A(x)σ (Dm,T )dA
w′+(1+ ε)sinϕ = 0 R′Z + pZ = 0 Mc =∫
A(x)zσ (Dm,T )dA
ϕ ′−κ = 0 M′Y − (1+ ε)Q+mY = 0
(5)
V zgornjih enacbah ()′ predstavlja odvod po x, u in w sta pomika referencne osi nosilca v x inz smeri, ϕ je zasuk precnega prereza nosilca, ε in κ pa sta specificna sprememba dolžine inpsevdoukrivljenost referencne osi nosilca. RX in RZ sta komponenti ravnotežne osne sile N inprecne sile Q, MY je ravnotežni moment, px, pz in my pa predstavljajo komponente konserva-tivne linijske obtežbe in linijskega momenta, ki delujeta na nosilec. Konstitucijski notranji silista odvisni od izbranega materialnega modela, ki je definiran z zvezo med normalno napetostjoσ(Dm,T ) in mehansko deformacijo Dm.
Osnovni sistem enacb za mehanski del požarne analize lesenega nosilca, je dopolnjen z robnimipogoji:
- 141 -
Kuhljevi dnevi 2016
x = 0 x = LS1 +RX(0) = 0 ali u(0) = u1 S4−RX(L) = 0 ali u(L) = u4S2 +RZ(0) = 0 ali w(0) = u2 S5−RZ(L) = 0 ali w(L) = u5S3 +MY (0) = 0 ali ϕ(0) = u3 S6−MY (L) = 0 ali ϕ(L) = u6
(6)
kjer u j, j = 1,2, ...,6 predstavlja predpisane posplošene robne pomike in S j, j = 1,2, ...,6 ozna-cuje predpisane posplošene robne sile.
Sistem osnovnih algebrajsko-diferencialnih enacb lesenega nosilca (5)–(6) lahko analiticno re-šimo samo v posebnih primerih pri sobni temperaturi. V našem primeru se srecamo z geo-metrijsko in materialno nelinearnostjo, zato analiticna rešitev ni možna. Zaradi tega je sistemosnovnih enacb lesenega nosilca rešen numericno z metodo koncnih elementov (MKE). Pri temje uporabljen deformacijski koncni element, ki temelji na interpolaciji deformacijskih kolicin[7]. Osnovne enacbe za metodo koncnih elementov izpeljemo na podlagi modificiranega prin-cipa virtualnega dela. Sistem Euler-Lagrangevih enacb za koncni element rešimo z Newtonovoinkrementno-iteracijsko metodo.
2.2.1 Mehanske lastnosti lesa pri povišanih temperaturah
Redukcijski faktorji za trdnost lesa in elasticni modul pri povišanih temperaturah so upoštevaniskladno z Evrokodom [2]. Faktorji so razlicni za les v nategu ali tlaku. Ker sama zoglenela plastnima trdnosti oz. togosti, so redukciji koeficienti nad 300 C, t.j. nad temperaturo oglenenja,enaki nic. Normalna napetost σ in mehanska deformacija Dm sta medsebojno povezni z linearnozvezo v nategu in bi-linearno zvezo v tlaku, kot je prikazano na sliki 1
Nateg
Tlak
Et,T
s
Et,T0
Dt,T0 Dt,TDm
Dc,T0Dc,p Dc,T
Ec,T0
Ec,T
Ec,p,T0 fc,T0
fc,p
fc,T
ft,T
ft,T0
Ec,p,T
Slika 1 : Konstitucijski zakon lesa pri sobni in povišanih temperaturah.
Na sliki 1 Di, j, Ei, j in fi, j (i = c,t; j = T 0,T ) predstavljajo mejno elastično deformacijo, modul
elastičnosti in trdnost lesa v tlaku (c) in nategu (t), pri sobni (T 0) in pri povišanih temperatu-
-142 -
Kuhljevi dnevi 2016
rah (T ). Na podoben nacin Ec,p, j ( j = T 0,T ) predstavlja modul utrditve pri sobni in povišanitemperaturi, fc,p in Dc,p pa oznacujeta mejno trdnost in mejno plasticno deformacijo lesa.
3 Racunski primer
Cilj tega primera je predstaviti vpliv obeh toplotnih modelov, (“Heat” in “Heat&Moisture”)ter posledicno tudi vpliv vlage na odziv prosto-ležecega lesenega nosilca z razponom 3 m, kije izpostavljen standardnemu ISO požaru iz treh strani (slika 2). Precni prerez nosilca znašab/h = 10/20, narejen pa je iz lesa kvalitete C30 in je obtežen z zvezno enakomerno obtežbovelikosti 5 kN/m. V tockah P1−P5 primerjamo temperature izracunane z obema modeloma.Razdalje tocko od spodnje izpostavljene strani znašajo 0.5, 1, 2, 3 in 4 cm.
1.2 m
A
A
1.2 m 1.2 m
Prečni prerez A-A
20.0
2.5 7.5
ISO 834
q = 5 kN/m
P5P3P1
P4P2
Slika 2 : Geometrija, precni prerez ter obtežba ki deluje na nosilec.
3.1 Toplotna analiza
Zaradi simetrije prereza in obtežbe pri toplotni analizi upoštevamo samo polovico širine prec-nega prereza nosilca. Pri obeh modelih precni prerez diskretiziramo s 1600 štiri-vozlišcnimiizoparametricnimi koncnimi elementi. Specificna toplota, gostota in toplotna prevodnost soupoštevani skladno z [2], pri cemer zacetna gostota lesa znaša ρ0 = 680 kg/m3. Vpliv vlagev enostavnem “Heat” modelu upoštevamo s povišanjem specificne toplote v temperaturnemobmocju med 99 in 120 C. Z naprednim “Heat&Moisture” modelom opravimo štiri razlicneanalize, kjer spreminjamo zacetno vsebnost vlage, in sicer m0 = [10 12 15 20]%. Na požaruizpostavljeni strani emisivnost lesa znaša εm = 0.8, konvekcijski prestopni koeficient pa jeαc = 25 W/m2K. Podatki za toplotno-vlažnosto analizo v “Heat&Moisture” modelu so pri-kazani v tabeli 1.
Primerjava izracunanih temperatur z obema modeloma je prikazana na sliki 3. S sivo barvoso prikazani rezultati s “Heat&Moisture” modelom, crna barva pa ponazarja rezultate “Heat”modela. Primerjava razvoja temperatur v tocki P3 ob razlicnih zacetnih vsebnostih vlage jeprikazana na sliki 3a. Picakovano višja zacetna vsebnost vlage povzroci pocasnejši razvoj tem-peratur v “Heat&Moisture” modelu. V nasprotju pa s “Heat” modelom prek povišane toplotnekapacitete lahko zajamemo le eno vlažnostno stanje lesa, zato je na sliki 3a prikazana le enakrivulja temperatura-cas. Slika 3b predstavlja primerjavo temperatur med obema modelomav tockah P1−P5, kjer v “Heat&Moisture” modelu upoštevamo zacetno vsebnost vlage 12%.
- 143 -
Kuhljevi dnevi 2016
Tabela 1 : Vhodni podatki za toplotno–vlažnostno analizo.
R = 8.3144 J/molK Rv = 461.5 J/kgK Ra = 287 J/kgKD0
T = 7 ·10−6 m2/s K = 5 ·10−16 m2 Kg = 1ζ = 0.03 Cw = 4200 J/kgK Cv = 1800 J/kgK
Ca = 1000 J/kgK ∆Hs = 2500 kJ/kg m0 = [10 12 15 20]%cb0 = [68 81.6 102 136] kg/m3
ρv,0 = [9 11.8 13 15] g/m3 Pg,0 = 100 kPaSorpcijski parametribd
10 = 16.3, bd11 =−0.0367, bd
20 = 2.13, bd21 = 0.0535
C1 = 2.7 ·10−4, C21 = 2.74 ·10−5, C22 = 19, C3 = 60, C4 = 1 ·10−7
Kot je razvidno is slike se potek temperatur dobro ujema, iz cesar lahko sklepamo, da s “Heat”modelom najbolje predvidimo potek temperatur v lesu z zacetno vlažnostjo lesa okoli 12%. Vprimeru nižje ali višje zacetne vlažnosti lesa, je uporaba “Heat” modela omejena.
b)
0 5 10 15 20 250
100
200
300
400
500
600
700
800
900
5 10 15 20 25 30 35 40 45
t [min]
a)
T [
°C]
t [min]
m=10%
m=20%
m=12%
m=15%
P1
P2
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450
100
200
300
400
500
600
700
800
900
T [
°C]
t [min]
P1
P2
P3
P4P5
0
100
200
300
400
500
600
700
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
T [
°C]
t [min]
m=10%
m=20%
m=12%
m=15%
Slika 3 : Primerjava temperatur med “Heat&Moisture” (siva) in “Heat” modelom (crna): a) vtocki P3 ob razlicnih zacetnih vsebnostih vlage in b) v tockah P1−P5 pri 12% zacetni vsebnostivlage.
3.2 Mehanska analiza
Rezultate pridobljene v poglavju 3.1 uporabimo kot vhodni podatek za nadaljnjo mehansko ana-lizo, kjer opazujemo vpliv razlicnih temperaturnih polj izracunih s “Heat” in “Heat&Moisture”modeloma na mehanski odziv nosilca. S tem posredno zajamemo vpliv zacetne vsebnostivlage na obnašanje nosilca med požarom. Parametri za konstitucijski zakon lesa so naslednji:Et,T 0 = Ec,T 0 = 1200 kN/cm2, ft,T 0 = fc,T 0 = 3 kN/cm2, Dt,T 0 = Dc,T 0 = 0.0025, Dc,p = 0.065,Ec,p,T 0 = 100 kN/cm2, fc,p = 4 kN/cm2. Temperaturno raztezanje lesa v modelu upoštevano zlienrarnim temperaturnim koeficientom raztezka αT = 5×10−6 m/mC.
Slika 4 prikazuje casovni razvoj navpicnega pomika na sredini razpona nosilca. V primeru
- 144 -
Kuhljevi dnevi 2016
uporabe naprednega “Heat&Moisture” modela, nižja zacetna vsebnost vlage povzroci hitrejširazvoj temperatur (slika 3a) kar posledicno vodi v hitrejši razvoj pomika in krajšo požarnoodpornost nosilca. Razlika v požarni odpornosti v primeru m0 = 10% in m0 = 20% znaša 4.1minute, kar pomeni dodatno 11% višjo požarno odpornost v primeru višje zacetne vsebnostivlage. Iz tega lahko sklepamo, da razlicno vlažnostno stanje lesa vidno vpliva na odziv leseneganosilca med požarom in ga za natancnejše analize ne smemo zanemariti. Kot vidimo pa lahko spoenostavljenim “Heat” modelom zajamemo samo eno vlažnostno stanje lesa in je zaradi tegauporaba omenjenega modela omejena.
-4.0
-3.5
-3.0
-2.5
-2.0
-1.5
-1.0
-0.5
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45t [min]
m =10%0
m =15%0
m =12%0
“Heat”
m =20%0
pom
ik [
cm]
Požarna odpornost
„Heat“
m =10%0
m =12%0
m =15%0
m =20%0
40.1 min
38.0 min
38.4 min
40.0 min
42.5 min
„Heat&Moist.“
Slika 4 : Razvoj navpicnega pomika na sredini razpona nosilca ter prikaz požarnih odpornostinosilca
4 Zakljucek
V clanku smo prikazali odzivni (performancni) pristop za dolocitev odziva lesenega nosilcamed požarom. Glavni namen clanka je bil prikazati razlike pri uporabi enostavnega “Heat” innaprednega “Heat&Moisture” toplotnega modela na požarno odpornost lesenega nosilca. Kotse je izkazalo, je uporaba “Heat” modela omejena, saj omogoca dolocitev temperatur samo zaeno vlažnostno stanje lesa in posledicno vpliv razlicnih zacetnih vlažnosti lesa ni mogoce zajetiv nadaljnji mehanski analizi. Kot vemo, pa se zacetna vsebnost vlage lesa nenehno spreminja inje odvisna od relativne vlažnosti okolice. Zaradi tega je z vidika odzivnega nacina projektiranjauporaba naprednega “Heat&Moisture” modela nujna, saj lahko le tako upoštevamo razlicnezacetne vlažnosti lesa. Seveda je za vsakodnevne analize enostaven “Heat” model še vednoprimeren, vendar bi za vpliv razlicne zacetne vlažnosti lesa bilo potrebno model dopolniti zdolocenimi modifikacijami. Smiselna je modifikacija toplotnih karakteristik lesa oz. natancnejepovecanja specificne toplote v obmocju izparevanja vlage v odvisnosti od zacetne vlažnosti lesa.Omenimo še, da je podoben pristop uporabljen za modeliranje zacetne vlažnosti v betonu in jezajet v Evrokodu 2 [8], kjer je specificna toplota betona odvisna od zacetne vlažnosti materiala.
Literatura
[1] R. Pecenko, 2016, Mechanical response of curved and tapered timber beams with variableheight under fire conditions, Doctoral dissertation, University of Ljubljana, Faculty of Civil
- 145 -
Kuhljevi dnevi 2016
and Geodetic Engineering: 121 p.
[2] EN 1995-1-2: 2005 Evrokod 5: Projektiranje lesenih konstrukcij - 1-2. del: Splošna pravila- Projektiranje požarnovarnih konstrukcij.
[3] R. Pecenko, T. Hozjan, G. Turk, Numerical analysis of timber beam exposed to fire, Appli-cations of Structural Fire Engineering: Proceedings of International Conference Prague,417-422, 2013
[4] H.L. Frandsen, 2008, Fire Selected Constitutive models for simulating the hygromecha-nical response of wood, Doctoral dissertation, Aalborg University, Department of CivilEngineering.
[5] R.T. Tenchev, L.Y. Li, J.A. Purkiss, Finite element analysis of coupled heat and moisturetransfer in concrete subjected to fire, Numer. Heat Tran., Part A, 39, 685–710, 1972.
[6] E. Reissner, On one-dimensional finite-strain beam theory: the plane problem, J. Appl.Math. Phys. 23, 795–804, 1972.
[7] I. Planinc, 1998, Racun kriticnih tock konstrukcij s kvadraticno konvergentnimi metodami,Doktorska disertacija, Univerza v Ljubljani, Fakulteta za gradbeništvo in geodezijo, Odde-lek za gradbeništvo: 83 str.
[8] EN 1992-1-2: 2005 Evrokod 2: Projektiranje betonskih konstrukcij - 1-2. del: Splošnapravila - Projektiranje požarnovarnih konstrukcij.
- 146 -
SLOVENSKO DRUŠTVO ZA MEHANIKO
SREČANJE KUHLJEVI DNEVI 2016
Posplošeni Van der Polov model procesov zgorevanja s
transportno časovno zakasnitvijo
R. Pušenjak1
A Generalized Van der Pol Model of Combustion Processes
with Transport Time Delay
Povzetek. Prispevek obravnava neustaljena nihanja zvočnega tlaka v procesih zgorevanja ob
upoštevanju transportne časovne zakasnitve med šobo in površino plamena. V prispevku je
predstavljen nizkodimenzionalni van der Polov model neustaljenih procesov zgorevanja z dvema
prostostnima stopnjama, ki sestoji iz linearnega modela širjenja zvočnega valovanja v direktni veji
in nelinearnega modela sproščanja toplote v povratni zvezi. Neustaljena nihanja zvočnega tlaka so
analizirana s pomočjo Razširjene Lindstedt-Poincarejeve (RL-P) metode z več časovnimi skalami.
Analiza je zaradi splošnosti izvedena v primeru pojava tekmovalnega dušenja, ki kaže, da je razvoj
počasno spreminjajočih se amplitud in faz v obeh načinih nihanja zvočnega tlaka močno odvisen
od transportne časovne zakasnitve. Najvažnejši izsledek kaže recipročno odvisnost ustaljenih
amplitud od naravnih frekvenc, s čemer lahko določimo najvišje nivoje zvočnih tlakov ustaljenega
nihanja, ki lahko nastopijo.
Abstract. This work treats nonstationary pressure oscillations of combustion processes considering
the transport time delay from the nozzle to the flame surface. The low order van der Pol model of
nonstationary combustion processes with two degrees of freedom, which consists from a linear
acoustic model in the forward branch and a nonlinear model of the heat release process in the
feedback is considered. Nonstationary pressure oscillations of the combustion process are analyzed by
means of the Extended Lindstedt-Poincare (EL-P) method with multiple time scales. The analysis is
performed in the common case of the competitive quenching phenomenon, which reveals that
evolution of slowly varying amplitudes and phases of both pressure modes is strongly influenced by
the time transport delay. The main result of the analysis shows the inverse dependence of steady state
pressure amplitudes on the natural frequencies, which is extremely valuable in the prediction of the
highest level of the acoustic pressures.
1 Uvod
Nestabilnost procesa zgorevanja v splošnem razlagamo z nestacionarnim plamenom, ki
povzroča zvočno valovanje, ki se odbija od sten zgorevalne komore in povratno vpliva na
1 Fakulteta za industrijski inženiring Novo mesto
Kuhljevi dnevi 2016
- 148 -
proces zgorevanja. V skladu z Rayleighovim tolmačenjem se amplitude samovzbujenih
nihanj zvočnega tlaka povečujejo, če je sproščanje toplote v fazi z nihanjem zvočnega tlaka,
v nasprotnem primeru pa se zadušijo [4]. Mehanizem samovzbujenih nihanj zvočnega tlaka v
zgorevalnem procesu lahko pojasnimo tudi alternativno z interakcijo med zvočnim
valovanjem in procesom sproščanja toplote v prisotnosti negativnega dušenja, kar daje
osnovo modeliranju procesa zgorevanja s pomočjo posplošenih in medsebojno sklopljenih
van der Polovih nihal [3]. Iz vidika teorije sistemov se zvočno valovanje v van der Polovem
modelu ponazori s pomočjo linearnih resonatorjev, proces sproščanja toplote pa z
modeliranjem nelinearne statične karakteristike, ki jo prilagajamo vsakokratnim realnim
razmeram z metodo identifikacije parametrov [2],[5]. Model predpostavlja, da se vsa toplota
sprosti v eni sami točki [6], pri širjenju zvočnega valovanja pa je predpostavljena prostorska
koherenca, zaradi katere prostorske skale v modelu niso prisotne. Tako je zvočno valovanje
zreducirano na časovne poteke zvočnega tlaka oziroma na posamezne načine nihanja. Zaradi
nelinearne interakcije med akustičnim valovanjem in nelinearnim modelom sproščanja
toplote obstaja teoretično neskončno mnogo načinov nihanja zvočnega tlaka, vendar
upoštevamo v predloženi analizi le prva dva dominantna načina nihanja zvočnega tlaka na
osnovi eksperimentalnih rezultatov v [2] in [9]. Kljub temu, da predložena metoda v številu
načinov nihanja zvočnega tlaka ni omejena, dobimo z omejitvijo na dva dominantna načina
nihanja nizkodimenzionalni model z dvema prostostnima stopnjama in s tem večjo
učinkovitost modela.
2 Posplošeni van der Polov model procesa zgorevanja s transportno časovno
zakasnitvijo
Direktna veja posplošenega van der Polovega modela procesa zgorevanja na sliki 1 sestoji iz
dveh harmoničnih resonatorjev v direktni veji, s katerima opišemo nihanji zvočnih tlakov x1
in x2, ki pripadata dvema dominantnima načinoma širjenja zvočnega valovanja v zgorevalni
komori, njuna vsota p=x1+x2 pa ob zanemaritvi vseh višjerednih načinov širjenja zvočnega
valovanja aproksimativno predstavlja celotni zvočni tlak v ravnini gorenja. V povratni zvezi
modeliramo nelinearni proces sproščanja toplote.
Izbiro van der Polovega modela procesa zgorevanja upravičimo zlasti zaradi naravne
lastnosti van der Polovih nihal, da zagotavljajo obstoj limitnih ciklov. Obstoj limitnih ciklov
v procesu zgorevanja preprečuje neomejeno naraščanje amplitud zvočnega tlaka kot
posledice nasičenja procesa sproščanja toplote. V načrtovanju raznih naprav, kot so plinske
turbine, motorji reaktivnih letal, raketni motorji, itd. je ta lastnost dobrodošla, ker omogoča
predikcijo največjih zvočnih tlakov v zgorevalni komori v ustaljenih razmerah s pomočjo
izračuna ustaljenih vrednosti amplitud zvočnega tlaka. Statična karakteristika procesa
sproščanja toplote je opisana z nelinearnostjo van der Polovega tipa, ki vključuje člen
31
3 ,1 23x x , s katerim modeliramo nasičenje. V celoti vsebuje posplošena statična
karakteristika procesa tri parametre ϕ0, ϕ1 in ϕ3, ki jih določimo z identifikacijskimi
metodami tako, da najbolje ustrezajo realnemu procesu sproščanja toplote.
V tem prispevku se van der Polov model procesa zgorevanja razlikuje od modela,
predstavljenega v [8] zaradi pomembne dopolnitve, s katero je upoštevana transportna
časovna zakasnitev θ zaradi konvekcije goriva od šobe pa do površine plamena v zgorevalni
komori oziroma časovna zakasnitev zaradi končne hitrosti širjenja zvočnega valovanja. V
Kuhljevi dnevi 2016
- 149 -
blokovni shemi na sliki 1 je ta zakasnitev modelirana z zakasnilnim blokom se
(ki v
regulacijski tehniki predstavlja Laplaceovo transformacijo časovne zakasnitve). Razen
zakasnilnega bloka se posplošeni van der Polov model na sliki 1 razlikuje od modela, ki je
opisan v [8] še po vključenem diferenciatorju ddt
, kar ima za posledico, da proces sproščanja
toplote v povratni zvezi namesto s celotnim tlakom v ravnini gorenja p=x1+x2 modeliramo z
vhodnim signalom ,1 ,2p x x , ki ustreza časovnemu odvodu vsote zakasnjenih
zvočnih tlakov xθ,1 in xθ,2. Ta modifikacija modela procesa zgorevanja je ključna, če želimo
evolucijo počasno spreminjajočih se amplitud zvočnega tlaka (in še posebej pripadajočih
ustaljenih vrednosti) izraziti v odvisnosti od krožnih frekvenc in jo tako uskladiti z
eksperimentalnimi rezultati [3]. Kasneje bomo videli, da v RL-P metodi z več časovnimi
skalami običajni časovni odvod ddt
nadomestimo z diferencialnim operatorjem
1 2 3
d1 2dt
, kjer sta τ1, τ2 hitri časovni skali, τ3 pa počasna časovna skala,
medtem ko ω1 in ω2 predstavljata nelinearni krožni frekvenci obeh dominantnih načinov
nihanja zvočnega tlaka. Na ta način z vpeljavo diferenciatorja v blokovno shemo procesa
izgorevanja vzpostavimo želeno frekvenčno odvisnost. V povratni zvezi je vključeno še
nizkopasovno sito ali filter, katerega namen je odstranjevanje nezaželenih visokofrekvenčnih
komponent. Delovanje nizkopasovnega sita simbolično predstavimo s funkcijo LPF.
Slika 1: Blokovna shema procesa zgorevanja s transportno časovno zakasnitvijo.
V skladu s prikazano strukturo blokovne sheme na sliki 1 zapišemo vodilne enačbe
posplošenega van der Polovega modela procesa zgorevanja v obliki:
2
320 1 ,1 ,2 3 ,1 ,22
d d 1, 1,2
d 3d
ini i
xx LPF x x x x i
tt
, (1)
kjer pomeni ,1 ,2p x x časovni odvod zvočnega tlaka 1 2p x x v ravnini zgorevanja s
transportno zakasnitvijo θ, s funkcijo LPF pa je označen učinek nizkopasovnega filtra na
proces sproščanja toplote.
V naslednjem razdelku je opisana uporaba Razširjene Lindstedt-Poincarejeve (RL-P) metode
z več časovnimi skalami [7] v analizi posplošenih avtonomnih van der Polovih enačb (1) z
dvema prostostnima stopnjama.
Kuhljevi dnevi 2016
- 150 -
3 Uporaba Razširjene Lindstedt-Poincarejeve (RL-P) metode z več časovnimi
skalami v posplošenem van der Polovem modelu procesa zgorevanja s
transportno časovno zakasnitvijo
Problem nestabilnosti procesa zgorevanja, ki ga opisujejo sklopljene posplošene van der
Polove enačbe (1), lahko analiziramo z RL-P metodo z več časovnimi skalami [8]. Z
namenom, da podamo perturbacijsko analizo splošnega modela nestabilnosti, predpostavimo,
da resonatorja, ki opisujeta pojav širjenja zvočnega valovanja v zgorevalni komori nimata
medsebojnih interakcij. V tem primeru sta naravni krožni frekvenci ωn1 in ωn2 poljubni in ne
zadoščata nobenemu izmed posebnih pogojev ωn1≈ ωn2, ωn1≈3ωn2 ali ωn1≈⅓ωn2. Naravni
krožni frekvenci s tako lastnostjo označimo kot nekomenzurni krožni frekvenci. Proces
zgorevanja pri nekomenzurnih naravnih krožnih frekvencah ustreza pojavu tekmovalnega
dušenja, ki ga bomo v podrobnostih obravnavali v nadaljevanju. Za pojav tekmovalnega
dušenja je značilno, da je vzbujan le eden izmed resonatorjev, ki si izposoja zvočno energijo
drugega resonatorja, tako da samovzbujena zvočna nihanja prvega resonatorja naraščajo,
samovzbujena zvočna nihanja drugega resonatorja pa se postopoma zadušijo. Če naravne
krožne frekvence izpolnjujejo enega izmed posebnih pogojev ωn1≈ ωn2, ωn1≈3ωn2 ali
ωn1≈⅓ωn2, obstajajo med resonatorjema določene vrste interakcij, ki imajo za posledico
različne pojave vzajemne sinhronizacije zaradi bližine naravnih krožnih frekvenc ali zaradi
večkratnih harmonikov. Analiza teh pojavov se razlikuje od splošnega primera tekmovalnega
dušenja v tem, da je potrebno upoštevati dodatne relacije med naravnimi krožnimi
frekvencami. Zaradi prostorskih omejitev analiza pojava vzajemne sinhronizacije ne bo
prikazana v tem članku.
Razen nekomenzurnih naravnih krožnih frekvenc v predloženi analizi predpostavimo še, da
lahko transportna časovna zakasnitev θ zavzame le majhne vrednosti, tako da časovne
zakasnitve v nobenem primeru ne dosegajo dolžine periode zvočnega nihanja [1].
Sledeč znanemu perturbacijskemu postopku v RL-P metodi z več časovnimi skalami [8],
uvedemo za oba resonatorja dve hitri časovni skali τ1=ω1t and τ2=ω2t, kjer ω1 in ω2
imenujemo nelinearni krožni frekvenci sklopljenih van der Polovih nihal v skladu z enačbo
(5). Dodatno vpeljemo še počasno časovno skalo τ3=εt, ki ustreza majhni pozitivni vrednosti
perturbacijskega parametra ε. Po uvedbi časovnih skal zamenjamo običajna časovna odvoda
d/dt in d2/dt
2 z diferencialnima operatorjema:
1 2 3
2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 21 2 1 3 2 31 2 3
d1 2d
2 2 2d1 2 1 2 1 2
d
,
2 2 2
t
t
(2.a,b)
in vodilni enačbi sklopljenih van der Polovih nihal (1) prevedemo v parcialni diferencialni
enačbi:
2 2 2
2 21 21 2
,1 ,2 ,1 ,2 ,1 ,2 ,1 ,2
3 3
2 22 22 2 2
1 1 2 2 21 13 33
2 2
0 1 31 1
2 2
1
3
i i i
k k
x x x i ini i k k
k kk k
x x x x x x x x
k kk k
x xx
LPF
3
, 1,2i
(3)
Aproksimativno rešitev enačb (3) v odvisnosti od treh časovnih skal τ1, τ2 and τ3 iščemo v
obliki potenčnih vrst:
Kuhljevi dnevi 2016
- 151 -
1 2 30
, , , 1,2ki ik
k
x x i
(4)
Podobno izrazimo tudi nelinearni krožni frekvenci ωi,(i=1,2) v okolici linearnih krožnih
frekvenc ω10 and ω20 v obliki potenčnih vrst:
30
, 1,2ki ik
k
i
(5)
pri čemer so v splošnem krožne frekvence ωik,(i=1,2) parametri potenčne vrste (5), ki se
lahko počasi spreminjajo v odvisnosti od počasne časovne skale τ3. Krožne frekvence
ωik,(i=1,2) niso znane v naprej, zato jih moramo določiti sukcesivno v perturbacijskem
postopku. Kot se lahko prepričamo iz enačbe (10) v perturbacijskem postopku ničtega reda,
so krožne frekvence ωi0,(i=1,2) v linearni odvisnosti z naravnimi krožnimi frekvencami ωni,
zaradi česar jih imenujemo linearne krožne frekvence. Frekvence ωik,(k ≥ 1) določimo v
perturbacijskem koraku k-tega reda iz takoimenovanih pogojev rešljivosti v splošnem kot
nelinearne funkcije počasno spreminjajočih se amplitud. Na osnovi teh funkcijskih
odvisnosti in enačbe (5) imenujemo frekvence ωi,(i=1,2) nelinearne frekvence. Z uvrščanjem
predpostavljene rešitve v obliki potenčne vrste (4) in potenčne vrste (5) v enačbo (3), nato pa
z izenačevanjem členov ob istih potencah parametra ε na obeh straneh enačbe (3), dobimo
sistem parcialnih diferencialnih enačb (PDE), ki jih sukcesivno rešujemo na vsakem
naslednjem perturbacijskem koraku višjega reda:
0 :2 2 2
0 0 0
2 21 21 2
2 2 210 10 20 20 02 0,i i ix x x
ni ix
(6)
1 :
2 2 21 1 1
2 21 21 2
,10 ,20 ,10 ,20
2 22 22 2 2 0 0
10 10 20 20 1 0 11 1 3
32 2
0 0 1 0 3 01 1
2 2
1
3
i i i
k k
x x x i ini i k l
k l k l k
x x x x
k k kk kk
x xx
LPF
2
1k
, (7)
2 :
2 2 22 2 2
2 21 21 2
2 2 2 22 2 2 22 2 2 1 1 0 0
10 10 20 20 2 0 1 0 2 21 1 1 13 3
2 22 20 0
1 1 01 1 3
2 2 2
2
i i ix x x i i i ini i k l k l
k l k lk l k k l
i ik l k
k l k l k k
x x x xx
x x
,11 ,21 ,10 ,20 ,10 ,20
3
,10 ,20 ,10 ,20 ,11 ,21 ,10 ,20
3
2 2 2
1 0 11 1 1
22 2 2
3 0 1 0 11 1 1
k k
k k k
x x x x x x
k kk k k
x x x x x x x x
k k k kk k k
LPF
,10 ,20 ,10 ,20 ,10 ,20 ,10 ,20
2
1
3 32 2 2 2
0 1 0 3 0 0 1 0 3 01 1 1 13
1 1
3 3k k k k
k k
x x x x x x x x
k k k kk k k k
LPF LPF
, (8)
za i=1,2.
Nizkopasovni filter je linearen, poleg tega pa predpostavljamo, da je njegova dinamika
mnogo hitrejša kot počasno spreminjajoče se amplitude in faze v odvisnosti od počasne
časovne skale τ3. Ker smo poleg tega predpostavili, da je transportna časovna zakasnitev θ
majhna, lahko amplitude in faze vzamemo kot neodvisne od zakasnitve θ, oziroma
smatramo, da velja , 3 3i iA A in , 3 3i i . V teh pogojih lahko vzamemo rešitev
ničtega reda enačbe (6) v obliki:
Kuhljevi dnevi 2016
- 152 -
0 3 3 3
, 0 3 3 3 0
, cos ,
, cos , 1,2
i i i i i
i i i i i i
x A
x A i
(9.a,b)
Nizkopasovni filter ustvarja pri predpisani frekvenci ω ojačenje G(ω) in fazni premik :
2 2
, arctanc
cc
G
, (10)
kjer je ωc takoimenovana mejna frekvenca filtra. Funkcija LPF peoblikuje vhodni signal xi0,
oziroma zakasnjeni vhodni signal xθ,i0 v skladu z relacijama:
0 3 3
, 0 3 3 0
cos ,
cos
i i i i
i i i i i
LPF x G A
LPF x G A
(10.a,b)
Splošna rešitev ničtega reda (9.a) predvideva dve neodvisni (nekomenzurni) naravni krožni
frekvenci ωn1 in ωn2. Iz nastavka (9.a) spoznamo, da so samovzbujena nihanja sklopljenih
van der Polovih nihal, ki ustrezajo rešitvi ničtega reda, aperiodična nihanja s počasno
spremeljivimi amplitudami in fazami. Če rešitev (9.a) vstavimo v PDE ničtega reda (to je v
enačbo (6)), dobimo z upoštevanjem lastnosti, da morejo biti krožne frekvence le pozitivne,
naslednjo zvezo med linearnimi in naravnimi krožnimi frekvencami:
2 20 00 1,2i ni i ni i (11)
Če uvrstimo rešitvi (9.a,b) v PDE prvega reda (7), nato pa uporabimo še enačbi (10.a,b),
dobimo na desni strani enačbe (7) sekularne člene, ki povzročijo neomejeno naraščanje
rešitve. Da bi zagotovili enolično rešitev, sekularne člene zberemo in izenačimo z nič. Ker
nastopajo sekularni členi ob funkcijah cos[τi+Φi[τ3]] in sin[τi+Φi[τ3]], (i=1,2), dobimo z
združevanjem členov ob teh funkcijah pogoje rešljivosti prvega reda, ki se glasijo:
3 1 3 0 0 3 0 0
2 2 2 211 3 0 3 33 ,0 34
2A cos
2 ,
i i i i i i i i
i i i i
G A
A A
(12)
0 3 0 0 3 0 0
22 2 21 3 0 3 33 ,0 3
12 A A sin
8
4 A 2 A 0
i i i i i i i
i i i i
G
(13)
Enačbi (12) in (13) opisujeta evolucijo počasno spreminjajočih se amplitud Ai(τ3) in faz
Φi(τ3) zvočnega tlaka. Transportni čas zakasnitve θ ima tako na razvoj amplitud kot tudi faz
močan vpliv, prav tako pa nanju vpliva tudi prenosna funkcija nizkopasovnega filtra. Ti
vplivi se odražajo v spremembi netrivialnih ustaljenih vrednosti amplitud zvočnega tlaka v
primejavi z ustaljenimi vrednostmi amplitud v sistemu brez časovnih zakasnitev. Razen
trivialnih ustaljenih vrednosti amplitud, ki obstajajo tako v sistemu z zakasnitvami kot tudi v
sistemu brez zakasnitev [8]:
Kuhljevi dnevi 2016
- 153 -
a 1 2 0S S
A A , (14)
dobimo iz enačbe (13) še naslednje netrivialne ustaljene vrednosti amplitud:
b 1 11 2
10 3 20 3
2 2,
3 3S SA A
(15)
c 13
0 3
2, 0, 1,2
S Si i
i
A A i
(16)
V sistemu brez diferenciatorja, brez zakasnitev in brez nizkopasovnega filtra v blokovni
shemi na sliki 1 so netrivialne ustaljene vrednosti amplitud zvočnega tlaka [8]:
b 11 2
3
23S S
A A
(17)
c 13
3
2 , 0, 1,2S Si iA A i
(18)
S primerjavo enačbe (15) z enačbo (17), prav tako pa s primerjavo enačbe (16) z enačbo (18)
se prepričamo, da se netrivialne ustaljene vrednosti amplitud pod vplivom transportnih
časovnih zakasnitev močno spremenijo. Dobljeni enačbi (15) in (16) kažeta, da so ustaljene
vrednosti amplitud prvega oziroma drugega načina nihanja zvočnega tlaka s transportno
časovno zakasnitvijo obratno sorazmerne vrednostim naravnih krožnih frekvenc 0ni i
(glej enačbo (11)!). Ta izsledek je izjemno pomemben, saj omogoča predikcijo največjih
zvočnih tlakov ustaljenega nihanja, ki lahko nastopijo v procesu zgorevanja in je povsem v
skladu z eksperimentalnimi opažanji [3].
Slika 2: Evolucija amplitud zvočnih tlakov A1(t) in A2(t) k ustaljenim vrednostim tipa (a),
(b) in (c) za različne vrednosti transportne časovne zakasnitve θ.
Ker enačbi (12) in (13) nista analitično rešljivi, dobimo časovni potek amplitud in faz
zvočnih tlakov z numerično integracijo enačb. Slika 2 prikazuje rezultate izračuna evolucije
amplitud zvočnih tlakov A1(t) in A2(t) za vrednosti parametrov φ0 = 0.45, φ1 = -0.135 in φ3 =
-5.4×10-3
, naravni krožni frekvenci ωn1=2π×210 s-1
, ωn2=2π×740 s-1
, mejno frekvenco
nizkopasovnega filtra ωc=2π×500 s-1
, začetna pogoja A1(0)=2×10-3
in A2(0)=0.2×10-3
ter
različne transportne časovne zakasnitve θ. Čeprav so časovni intervali na sliki 2 omejeni in
prikazane vrednosti na koncu intervalov ne ustrezajo teoretičnim ustaljenim vrednostim, ki
jih predvidevajo enačbe (14), (15) in (16), se kljub temu lahko prepričamo, da se s časovno
Kuhljevi dnevi 2016
- 154 -
zakasnitvijo θ=5.5×10-3
bližamo vrednosti nič pri obeh načinih nihanja (tip (a), enačba (14)),
s časovno zakasnitvijo θ=2.5×10-3
se približujemo teoretičnima ustaljenima vrednostima
A1s=0.00438, A2s=0.00124 (tip (b), enačba (15)), s časovno zakasnitvijo θ=1.82×10-3
pa
teoretičnima ustaljenima vrednostima A1s=0, A2s=0.00215 (tip (c), enačba (16)). Poudariti je
treba, da lahko pri drugih vrednostih transportne časovne zakasnitve θ sistem v celoti izgubi
stabilnost, česar v tem prispevku zaradi prostorskih omejitev ne bomo obravnavali.
4. Zaključki
V prispevku je obravnavan posplošeni van der Polov model procesa zgorevanja z dvema
prostostnima stopnjama, v katerem je upoštevana transportna časovna zakasnitev zaradi
konvekcije goriva med šobo in površino plamena oziroma časovna zakasnitev kot posledica
končne hitrosti širjenja zvočnega valovanja v zgorevalni komori. Analiza nestacionarnih
samovzbujenih nihanj zvočnega tlaka je izvedena z uporabo RL-P metode z več časovnimi
skalami. V analizi samovzbujenih nihanj so dobljeni pogoji rešljivosti prvega reda, ki
omogočajo izračun razvoja amplitud zvočnega tlaka med procesom zgorevanja. Najvažnejši
rezultat te analize predstavljajo enačbe ustaljenih vrednosti amplitud, ki ustrezajo
amplitudam limitnega cikla in kažejo obratno sorazmernost z vrednostmi naravnih krožnih
frekvenc. S pomočjo dobljenih enačb je omogočena predikcija najvišjih nivojev zvočnega
tlaka ustaljenega nihanja, ki lahko nastopijo v procesu zgorevanja, pri čemer se izpeljane
enačbe dobro ujemajo z eksperimentalnimi rezultati.
Literatura
[1] Cohen J. M., Banaszuk A. “Factors effecting the control of unstable combustors”. J.
Prop. Power. 19(5):811-821, 2003.
[2] Dunstan W. J. System Identification of Nonlinear Resonant Systems. PhD thesis,
University of California, San Diego, 2003.
[3] Landau I. D., Bouziani F., Bitmead R. R., Voda-Besançon A. ”Analysis of control
relevant coupled nonlinear oscillatory systems“. European Journal of Control
14(4):263-282,2008.
[4] Lord Rayleigh. The Theory of Sound, Vol.2, 231-234. New York: Dover Publications,
second edition, 1945.
[5] Murray R. M., Jacobson C. A., Casas R., Khibnik A. I., Johnson C. R. Jr., Bitmead R.,
Peracchio A. A., Proscia W. M. ”System Identification for Limit Cycling Systems: A
Case Study for Combustion Instabilities“. American Control Conference Proceedings,
1998.
[6] Peracchio A. A., Proscia W. M. ”Nonlinear Heat-Release/Acoustic Model for
Thermoacoustic Instability in Lean Premixed Combustors“. ASME J. Eng. Gas
Turbines Power 121(3): 415-421, 1999.
[7] Pušenjak R. R.”Extended Lindstedt-Poincare method for non-stationary resonances of
dynamical systems with cubic non-linearities“. J. Sound Vib. 314(1-2): 194-216, 2008.
[8] Pušenjak R. R. , Tičar I., Oblak M. M. ”Self-excited Oscillations and Fuel Control of a
Combustion Process in a Rijke Tube“. Int. J. of Nonlin. Sci. Num. 15(2): 87-106, 2014.
[9] Sterling J. D. ”Nonlinear Analysis and Modelling of Combustion Instabilities in a
Laboratory Combustor“. Combust. Sci. and Tech., 89: 167-179, 1993.
SLOVENSKO DRUSTVO ZA MEHANIKO
SRECANJE KUHLJEVI DNEVI 2016
Sledenje rotaciji makro delca z BEM in OpenFOAM
M. Ramsak, 1 J. Ravnik,1 M. Hribersek1 in P. Steinmann 2
Macro particle rotation tracking using BEM and OpenFOAM
Povzetek. V prispevku predstavljamo rezultate sledenja rotaciji delca z lastnim programom naprimeru toka v kubicni gnani kotanji. Tokovno polje smo izracunali z dvema programoma: BEMin OpenFOAM. Ceprav primerjava tokovnega polja kaze odlicno ujemanje, se poti delca med pro-gramoma malenkost razlikujeta. Pot delca in njegovo hitrost rotacije smo primerjali tudi z ekspe-rimentalnimi podatki. Izvedli smo tudi test obcutljivosti spremembe zacetnega polozaja, mase inelipticnosti delca. Zelo male spremembe vhodnih parametrov povzrocijo znatne spremembe poti inrotacije delca.
Abstract. The paper presents the results of the particle rotation tracking in a lid driven cubiccavity using in house code. The flow field was calculated by two programs: in house BEM andOpenFOAM. Although comparison of flow field shows excellent agreement, the path of the particlebetween the two programs differ slightly. The path of the particle and its speed of rotation was alsocompared with the experimental data. The sensitivity analysis of the particle initial height, weightand particle ellipticity is performed. Very small changes in input parameters to lead to substantialchanges in the path and the rotation of the particle.
1 Uvod
Sledenje makroskopskih delcev v tekocinah je uporabno v mnogih prakticnih primerih s po-drocja procesnega in okoljskega inzenirstva. Prav tako je sledenje delcev osnovni princip vizu-alizacije tokovnih razmer.
Kot osnova pricujocega dela je clanek avtorjev Tsorng in ostali [1], kjer je predstavljen nu-mericni in eksperimentalni pristop sledenju poti in rotaciji makroskopskega delca v gnanemtoku tekocine v kubicni kotanji. Eksperimentalno je posneta pot in hitrost rotacije, kot je pri-kazano na sliki 1. Numericni pristop zajema zgolj simulacijo tokovnega polja v tekocini. Cilj
1 Univerza v Mariboru, Fakulteta za strojnistvo, Smetanova 17, Maribor2 Lehrstuhl fur Technische Mechanik (LTM), Friedrich-Alexander-Universitat Erlangen-Nurnberg
Kuhljevi dnevi 2016
pricujocega dela je omenjeni clanek nadgraditi s simulacijo sledenja poti delca in njegove rota-cije in s tem morebiti zmanjsati razhajanja med simulacijo in meritvami rotacije delca.
Slika 1 : Rotacija markiranega delca velikosti 3mm v gnanem toku kubicne kotanje s stranico100mm. Reynoldsovo stevilo je 470 in Stokesovo stevilo 0.023. Slika predstavlja vir pridobitveeksperimentalni podatkov polozaja in hitrosti rotacije delca. Na desni strani slike je primer-java poti delca (pike) s tokovnico (crta). Z sivo barvo je oznaceno podrocje pozitivne in belonegativne vrtincnosti, vir [1].
2 Numericna simulacija
Pomembnejsi predpostavki in omejitvi pricujoce numericne simulacije sta naslednji: tok tekocineje nestisljiv, laminaren in ustaljen ter delci ne vplivajo na tok tekocine.
Tokovno polje smo izracunali z dvema programskima paketoma: Tritok [2], ki temelji na me-todi robnih elementov (BEM) in metodo koncnih volumnov, program OpenFOAM [3]. V obehprimerih resujemo Navier-Stokesove enacbe za brez dimenzijski spremenljivki polja vektor hi-trosti~u in tlak p:
∂~u∂t
+(~u ·∇)~u+∇p =1
Re∇
2~u,
∇~u = 0 (1)
kjer je Re Reynoldsovo stevilo. Pri OpenFoam enacbe resujemo v zapisani obliki z uporabotlacno implicitne sheme z razstavljenimi operatorji (PISO: Pressure Implicit with Splitting ofOperators), vec v [3]. Pri BEM vpeljemo vektor vrtincnosti ~ω in dobimo enacbo kinematike
∇2~u+~∇×~ω = 0 (2)
in kinetike vrtincnosti∂~ω
∂t+(~u ·~∇)~ω = (~ω ·~∇)~u+
1Re
∇2~ω. (3)
- 156 -
Kuhljevi dnevi 2016
Postopek numericne resitve z BEM je bil na Kuhljevih dnevih ze veckrat predstavljen, je pa tudinatancno opisan v [4]. Zapisa vodilnih enacb sta ekvivalentna in resitev bi morala biti identicna.
Sledenje delcev simuliramo v Lagrangevem koordinatnem sistemu, ki ga oznacimo s ′. Algori-tem je natnacno opisan v [4], v nadaljevanju podajamo samo osnovne enacbe. Enacba gibanjadelcev je podana z
d2~r′
dt ′2=~a′(~v′,~u′), (4)
kjer jer ~r′ polozaj delca in ~a′ njegov pospesek, ki je odvisen od hitrosti delca ~v′ in hitrostitekocine na mestu delca ~u′. Fizikalni model uposteva naslednje sile na delec: teznost, vzgon,upor in prispevek zaradi tlacnega gradienta. Kot enacbe toka tekocine, tudi enacbe za sledenjedelcev resujemo v brez dimenzijski obliki.
3 Rezultati
Slika 2 : Primerjava profilov hitrosti med BEM in OpenFOAM rezultati na razlicnih mrezah.Na desni strani je povecan detajl.
3.1 Izracun tokovnega polja v kubicni kotanji: BEM vs OpenFOAM
Robni pogoji primera so enaki kot v [4]: pokrov kotanje je gnan s stalno hitrostjo, na ostalihstenah pa ni zdrsa. Reynoldsovo stevilo definiramo z velikostjo kotanje in hitrostjo pokrova.Znasa 470.
Osnovna racunska mreza za OpenFOAM 32 ima 32 elementov po posamezni osi, kar daje 323 =32768 prostostnih stopenj. Elementi so proti steni zgosceni z razmerjem najdaljsi/najkrajsi 10
- 157 -
Kuhljevi dnevi 2016
Slika 3 : Izovrtincnice za BEM in primerjava poti delca med BEM in OpenFOAM rezultati(levaslika). Usmerjenost delca je prikazana z vektorji. Primerjava hitrosti rotacije delca (pike) inpotek vrtincnosti tekocine (crta) po poti delca (desna slika).
v vseh smereh. Mreza BEM 32 je prakticno enaka s priblizno enakim stevilom prostostnihstopenj. Razlika je ta, da ima BEM 32 sestnajst kvadratnih elementov po osi, torej 33 vozlisc.
Odlicno ujemanje hitrostnih profilov skozi center kotanje je prikazano na sliki 2. Natancnejsaprimerjava daje pricakovani vrstni red. Najslabsi so rezultati OpenFOAM 32, sledi BEM 32,nato OpenFOAM 60 in 80. Rezultata OpenFOAM 60 in 80 se prakticno pokrivajo. Zakljucitismemo, da je BEM na enaki mrezi natancnejsi od OpenFOAM-a.
3.2 Sledenje poti in rotaciji makro delca
Na levi strani slike 3 je prikazan polozaj in usmerjenost delca, na desni strani pa hitrost rota-cije (pike) in vrednost vrtincnosti na tirnici delca. Poudariti je potrebno, da linija Vrtincnost(Tsorng) predstavlja vrtincnosti na poti delca njihove numericne simulacije tokovnega polja.
Analizo rezultatov, prikazanih na sliki 3, strnemo v naslednje splosne ugotovitve, ki skupne inveljajo za BEM in OpenFOAM rezultate.
1. Eksperiment [1] kaze veliko razliko med izmerjeno rotacijo delca in vrednostjo vrtincnostitekocine na tirnici delca, medtem ko simulirana hitrost rotacije delca zelo sledi vredno-stim vrtincnosti na tirnici delca (na desni strani slike 3 so pike zelo blizu linijam za vsesimulacije).
2. Pot in rotacija delca na vodoravni poti do vogala se odlicno ujema z [1] znotraj (1%).
3. V vogalu simulirani delec potuje znatno bolj desno od meritev. Slednje ima odlocilnivpliv na nadaljnje rezultate. Razlog je morebiti velikost realnega delca 3 mm (3%), prisimulaciji pa je tockovni. In tockovni delec gre blizje vogalu.
- 158 -
Kuhljevi dnevi 2016
Slika 4 : Obcutljivost poti in rotacije delca v odvisnosti od zacetne pozicije po visini kotanje:0%, -1% in -2% visine kotanje, kar znasa -1 mm in -2 mm od referencne visine (premer delcaje 3 mm).
4. Na vertikalnem delu poti navzdol je simulirana pot tudi desno od meritev, priblizno 1premer delca (2%). Temu sledi tudi rotacija, ki je 3krat bolj negativna od meritev, saj sedelec nahaja v blizini stene, kjer so veliki gradienti hitrosti in vrtincnosti.
5. Direktna posledica tocke 3 je hipna sprememba predznaka simulirane vrtincnosti v casu 1sekunde, desna slika 3. V blizini vogala simulirana pot namrec mnogo prej precka nicelnovrtincnost, eksperimentalni podatki pa kazejo preckanje dosti kasneje (20% dolzine ko-tanje).
3.3 Primerjava sledenju poti med BEM in OpenFOAM
1. OpenFOAM rezultati se med sabo odlicno pokrivajo za vse mreze.
2. Pot BEM poteka malenkost (manj kot 1%) bolj desno od OpenFOAM (leva slika 3), zatomalenkost visja negativna vrtincnost po 1 sekundi (desna slika 3), saj se delec nahajablizje steni.
3.4 Obcutljivost na variacijo zacetnega polozaja delca
V eksperimentu je dimenzija kotanje 100 mm. Premer makro sfericnega delca je 3 mm, torej3% dimenzije kotanje. Pri dolocanju polozaja makro delca avtorji eksperimenta porocajo, da jeRMS napaka priblizno 0.2 mm, kar je 0.2%, [1].
Presenetljivo je, da znizanje visine zacetnega polozaja za 1mm, kar je 1% visine kotanje in 33%premera delca, povzroci bistveno drugacno pot delca in s tem tudi rotacijo, slika 4. Z nizanjemzacetne pozicije se hitrost delca na zacetnem delu poti tudi niza (gostejse pike v vodoravnem
- 159 -
Kuhljevi dnevi 2016
Slika 5 : Obcutljivost poti in rotacije delca v odvisnosti od razlike gostote med delcem intekocino. Predznak plus je za tezji delec, minus za lazji delec od tekocine.
delu poti). Nadalje delec prej spremeni smer navzdol v blizini vogala, in kasneje preci nicelnovrtincnico. Slednje se odraza v manjsem in poloznejsem padcu hitrosti rotacije, ki se takopribliza vrtincnosti avtorjev Tsorng in ostali. Analizo smo izvedli z rezultati BEM.
3.5 Obcutljivost na variacijo gostote delca
Z namenom izniciti vzgonske sile, je potrebno izenaciti gostoto delca in tekocine. V delu [1] soavtorji spreminjali gostoto tekocine in sicer z delezem voda - glicerin. Ker je eksperimentalnoto zelo tezko izenaciti so naredili dva seta meritev: tekocina malo tezja in malo lazja od delca.V prvem primerih so izmerili hitrost dvigovanja delca 4 mm/min, kar ustreza razliki gostote -0.05%, v drugem primeru je hitrost spuscanja oz. posedanja delca 7 mm/min, kar ustreza razliki+0.07%. Numericno smo vpliv razlike gostot razsirili na± 1%. Rezultate smo prikazali na sliki5. Najpomembnejse ugotovitve zapisemo v naslednjih tockah.
1. Lazji delci -1% po 30% dolzine kotanje le to zapustijo skozi pokrov kotanje.
2. Tezji delci se priblizujejo eksperimentalni poti in posledicno tudi vrtincnosti v prvih trehsekundah.
3. Najboljse ujemanje dobimo za 0.5% tezje delce.
3.6 Obcutljivost na variacijo elipticnosti delca
Elipticnost delca je v obliki cigare in jo definiramo kot razmerje med najdaljso osjo in ostalimadvema, vec v [5] in [6]. Naredili smo dva testa: zacetna usmerjenost elipsoida v smeri (slika6) in precno na smer toka (slika 7). V prvem primeru se z vecanjem elipticnosti delca, delec
- 160 -
Kuhljevi dnevi 2016
Slika 6 : Obcutljivost poti in rotacije delca v odvisnosti od elipticnosti delca z zacetna usmer-jenost v smeri x v smeri toka. Delci tezji od tekocine za 0.5%
pocasneje vrti v vodoravnem delu poti. V samem vogalu delec hitreje spremeni orientacijo vvertikalno, torej hitreje sledi spremembi vrtincnosti. V zadnjem delu poti rotacija za velike vre-dnosti elipticnosti izgine. Podobno se zgodi tudi v drugem primeru, ko je zacetna usmerjenostdelca precno na tok (slika 7). Razlika je le na zacetnem delu poti, kjer vecji elipsoidi hitrejespremenijo orientacijo v vodoravno. Tretji primer, ko je usmerjenost delca precno na tok, dajeprakticno enake rezultate kot sfericni delci, saj je tok skoraj ravninski in se v precni smeri zelomalo spremeni. Za razliko od ostalih primerov je v tem primeru ocitna razlika med rotacijodelca in vrednostmi vrtincnosti tekocine.
4 Zakljucek
V prispevku smo predstavili numericno simulacijo poti in hitrosti rotacije makro delca v gnanemtoku kubicne kotanje. Pomembnejsi zakljucki predstavljenega dela strnemo v naslednjih tockah.
• Rezultati hitrostnega polja BEM so malenkost natancnejsi od rezultatov OpenFOAM naenaki gostoti mreze.
• Primerjava rezultatov sledenja delca med rezultati BEM in OpenFOAM daje zelo dobroujemanje poti (manj od 1%) in malenkost slabse rotacijske hitrosti.
• Primerjava simulacij in meritev je boljsa od 1% v zacetnem vodoravnem delu poti. V vo-galu je pot simulacije 2% blizje vogalu kot meritev, kar ima odlocilen vpliv na primerjavena nadaljnji poti.
• Znizanje zacetne visine delca za 1% visine kotanje, povzroci boljse ujemanje z meritvami.
- 161 -
Kuhljevi dnevi 2016
Slika 7 : Obcutljivost poti in rotacije delca v odvisnosti od elipticnosti delca z zacetna usmer-jenost v smeri z precno na tok. Delci tezji od tekocine za 0.5%
• Tezji delci za 0.5% povzrocijo boljse ujemanje z meritvami.
• Elipticnost delcev ne povzroci boljsega ujemanja.
• Znatno razhajanje med izmerjenimi in simularanimi rotacijskimi hitrostmi ostaja nereseno.
Literatura
[1] S. Tsorng, H. Capart, D. Lo, J. Lai, D. Young, Behaviour of macroscopic rigid spheres inlid-driven cavity flow, International Journal of Multiphase Flow 34 (1) (2008) 76 – 101.
[2] J. Ravnik, L. Skerget, Z. Zunic, Combined single domain and subdomain BEM for 3Dlaminar viscous flow, Engineering Analysis with Boundary Elements 33 (3) (2009) 420 –424.
[3] OpenFOAM (2015).URL http://www.openfoam.com/
[4] J. Ravnik, M. Hribersek, J. Lupse, Lagrangian particle tracking in velocity-vorticity resolvedviscous flows by subdomain BEM, Journal of Applied Fluid Mechanics 9 (2016) 1533–1549.
[5] G. B. Jeffery, The motion of ellipsoidal particles immersed in a viscous fluid, Proc. R. Soc.A 102 (1922) 161–179.
[6] H. Brenner, The Stokes resistance of an arbitrary particle - IV. Arbitrary fields of flow,Chem. Eng. Sci 19 (1964) 703–727.
- 162 -
SLOVENSKO DRUSTVO ZA MEHANIKO
SRECANJE KUHLJEVI DNEVI 2016
Analiza prenosa vibracij v staticno nedolocenih menjalnikih -vpliv nelinearne togosti lezajev
M. Razpotnik1 in M. Boltezar1
The analysis of vibration transmission in staticallyindeterminate gearboxes - the influence of nonlinear bearing
stiffness
Povzetek. Zaradi vse visjih tehnicnih zahtev v avtomobilski industriji je zagotavljanje akusticneustreznosti vseh sestavnih delov vozila nujno potrebno, kar velja tudi za menjalnike. Poznavanjedinamskih lastnosti kotalnih lezajev, kot edine povezovalne tocke med gredmi in ohisjem, je prinapovedi dinamskih lastnosti celotnega menjalnika kljucnega pomena. Togost kotalnih lezajev jenelinearno odvisna od njihove obremenitve. Obremenitev lezajev pa je pri staticno nedolocenih me-njalnikih nadalje odvisna od togosti posameznih sestavnih delov. V clanku je predstavljena iterativnametoda za dolocitev pravilne togosti lezajev v staticno nedolocenih menjalnikih. Koncni rezultat jeprimerjava numericno izracunanih frekvencno prenosnih funkcij (FPF) z izmerjenimi.
Abstract. Due to the high technical requirements in the automotive industry we have to ensurethe appropriate acoustic behaviour of each integral part. This is particularly so for gearboxes. Topredict a proper dynamic properties of the entire gearbox it is crucial to know the dynamic propertiesof the rolling-element bearings, as the only connecting part between the shaft and the housing.The stiffness of a rolling-element bearing is related to the load in a nonlinear way. For staticallyindeterminate gearboxes the load on the bearings additionally depends on the stiffness of all integralparts. In this article we present an iterative method for defining a proper bearing stiffness of staticallyindeterminate gearboxes. As a final result, the numerically obtained frequency-response functions(FRFs) are compared to the measured ones.
1 Uvod
Popis dinamike kotalnih lezajev predstavlja enega izmed glavnih izzivov na podrocju rotacijskihnaprav. Prvi matematicni modeli so popisovali lezaje kot idealne robne pogoje za gred [1]. Med-tem se je razsirila ideja o popisu lezajev s pomocjo eno ali dvodimenzionalnega matematicnega
1 Univerza v Ljubljani, Fakulteta za Strojnistvo, Laboratorij za dinamiko strojev in konstrukcij
Kuhljevi dnevi 2016
modela v obliki linearnih vzmeti, pri cemer so bili vkljuceni tudi mehanizmi dusenja [2, 3].Glavni preskok je bil dosezen s postavitvijo modela lezaja, ki zajema vseh sest prostostnih sto-penj [4]. Slednji uposteva nelinearno zvezo med obremenitvijo in deformacijami, pri cemervsebuje Hertzovo kontaktno teorijo. Rezultat omenjenega matematicnega modela je celostnatogostna matrika lezaja dimenzij 6×6. Nekaj let kasneje je bil predstavljen indirekten pristopdolocitve togosti enorednega kroglicnega lezaja [5] ter raziskava casovno odvisnih dinamskihlastnosti kotalnih lezajev [6]. V zadnjih letih je bil izveden popis dinamskih lastnosti kotal-nih lezajev v odvisnosti od hitrosti vrtenja [7]. Prav tako je bil razvit analiticni model dvore-dnega kroglicnega lezaja [8] in z njim izvedena analiza vpliva obremenitve na modalne lastno-sti sestava gred-lezaj [9]. Z uporabo MKE in namenskega kontaktnega modela je bila v [10]izracunana togostna matrika lezaja, v nadaljnjih raziskavah pa popisano sirjenje akusticne mo-tnje pri sestavu z zobniskim gonilom, dvema lezajema in ohisjem [11].
Eksperimentalni nacin dolocitve togosti in dusenja je v veliki meri omejen zgolj na transla-torne prostostne stopnje. Vemo pa, da imajo pri kompleksni strukturi, kot je lezaj, lahko pravizven-diagonalni elementi togostne matrike poglavitno vlogo. Eksperimentalna modalna ana-liza (EMA), s pomocjo katere se doloci modalne parametre merjene strukture, je bila prvic izve-dena na sistemu gred-lezaj v delu [12]. Preizkus je bil osnovan v osni in precni smeri z uporabomodela z eno prostostno stopnjo. Prenos vibracij preko sfericnega kroglicnega lezaja, kjer jebilo nekaj clenov togostne matrike lezaja validiranih eksperimentalno, je raziskan v delu [13].Eksperimentalni rezultati za lezaj so popisani tudi v delih [9] in [14], kjer so avtorji obremenililezaj osno s tremi razlicnimi velikostmi obremenitve, pri cemer so opazovali frekvencni zamikvrhov ter razmerje med obremenitvijo in amplitudami odziva. Sprememba togosti lezaja zaradivisoke hitrosti vrtenja je popisana in izmerjena v delu [15]. Eksperimentalni podatki vplivamaziva na togost in dusenje kroglicnega lezaja, pri cemer sta togost in dusenje merjeni v smeriobremenitve lezaja, pa so podani v delu [16].
Dosedanje studije so preucevale prenos vibracij preko kotalnih lezajev le v staticno dolocenihsistemih. V tem delu bomo predstavili analizo prenosa vibracij v staticno nedolocenem sistemu(za vec informacij glej [17]). Uporabili bomo preprost, a staticno nedolocen menjalnik, nakaterem je mozno prilagajati vhodni moment gredi in s tem povecevati obremenitev celotnegasistema.
2 Analiticni model kotalnega lezaja
Upostevamo model kotalnega lezaja avtorjev Lim in Singh [4], ki predstavlja trenutno referencona podrocju analiticnega popisa togosti kotalnih lezajev. Za namene jasnosti bomo predstavilibistvene korake pri njegovi izpeljavi. Slika 1 prikazuje srednje vrednosti obremenitev na lezaj,ki jih zapisemo z obremenitvenim vektorjem
fbm = Fxbm,Fybm,Fzbm,Mxbm,MybmT (1)
in pripadajoce pomike notranjega obroca napram zunanjemu, kar definira vektor pomika lezaja
qbm = δxbm,δybm,δzbm,βxbm,βybmT . (2)
Pomembno se je zavedati, da je fbm odvisen od togosti celotnega sistema (prednapetje lezaja,
- 164 -
Kuhljevi dnevi 2016
y
x z
FybmMybm
δybmβybm
ψ j
δxbm
βxbm
Fxbm
Mxbm
δzbm Fzbm
d bo
d bm
d bi
y
Slika 1: Kinematika kotalnega lezaja in uporabljen koordinatni sistem. dbo predstavlja premerzunanje tecine, dbm srednji premer lezaja in dbi premer notranje tecine.
podajnost gredi in ohisja). Za j-ti kotalni element, lociran pri kotu ψ j, merjenem od x osi,kot prikazuje slika 1, so pomiki enaki δ(ψ j) = δ j. Slednje razdelimo na normalno in radialnokomponento
δn j = δzbm + r j(βxbm sinψ j−βybm cosψ j) (3)
inδr j = δxbm cosψ j +δybm sinψ j− rc, (4)
kjer je r j polmer centra ukrivljenosti kotalne povrsine notranjega obroca pri kroglicnih lezajihoz. predstavlja sredinski polmer pri valjcnih lezajih. rc predstavlja radialno zracnost. S pomocjoslike 2 lahko zapisemo kontaktni kot α j na nacin
tanα j =δ∗n j
δ∗r j
, δ∗n j= A0 sinα0 +δn j , δ
∗r j= A0 cosα0 +δr j . (5)
Clen A0 predstavlja razdaljo med centroma ukrivljenosti kotalne povrsine notranjega in zuna-njega obroca pri kroglicnem lezaju, kadar le-ta ni obremenjen. Prav tako α0 simbolizira kontak-tni kot neobremenjenega lezaja. δ∗r j
in δ∗n jpredstavljata oddaljenosti med centroma ukrivljenosti
kotalne povrsine notranjega in zunanjega obroca obremenjenega lezaja v radialni in normalni(aksialni) smeri. Pri valjcnih lezajih predpostavljamo α j = α0. Kontaktni kot je pozitiven, kopotujemo od x-y ravnine proti z osi, kot prikazuje slika 2 in negativen v obratni smeri.
Zapisimo razdaljo med centroma ukrivljenosti kotalne povrsine notranjega in zunanjega obrocapri kroglicnem lezaju, kadar je le-ta obremenjen:
A(ψ j) = A j =√(δ∗r j
)2 +(δ∗n j)2 (6)
Upostevajoc kinematiko kroglicnega in valjcnega lezaja, kot jo prikazuje slika 2, lahko zapisemoelasticno deformacijo j-tega kotalnega elementa za oba tipa lezajev kot
δB(ψ j) =
A(ψ j)−A0, δB j > 00, δB j ≤ 0
, δR(ψ j) =
δr j cosα j +δn j sinα j, δR j > 00, δR j ≤ 0
. (7)
- 165 -
Kuhljevi dnevi 2016
z
r j
A0
A jδ
r j
δn j
α jα j
δn j
δR(ψ
j)
δr j
r j
zSlika 2: Elasticna deformacija kotalnega elementa za nekonstantni kontaktni kot α j (levo) in zakonstantni kontaktni kot α j = α0 (desno).
V izrazu (7) oznacba δB j ≤ 0 in δR j ≤ 0 pomeni, da je j-ti kotalni element neobremenjen.Uporabimo Hertzovo kontaktno teorijo [18] kot Q j = Kn δn
j (n = 3/2 za kroglicne lezaje in 10/9za valjcne), s katero lahko povezemo obremenitveni vektor fbm in vektor pomika qbm. Sestejemoprispevke vseh z obremenjenih kotalnih elementov.
fbm =
FxbmFybmFzbmMxbmMybm
=
∑zj=1 Q j cosα j cosψ j
∑zj=1 Q j cosα j sinψ j
∑zj=1 Q j sinα j
∑zj=1 r j Q j sinα j sinψ j
−∑zj=1 r j Q j sinα j cosψ j
. (8)
Koncno lahko zapisemo togostno matriko lezaja Kbm, ki je definirana kot odvod vektorja obre-menitve po vektorju pomika, na sledec nacin:
Kbm =∂ fbm
∂qbm=
kxx kxy kxz kxβx kxβy
kyy kyz kyβx kyβy
kzz kzβx kzβy
simetricno kβxβx kβxβy
kβyβy
. (9)
Pomembno je dodati, da je Kbm simetricna in je torej ki j = k ji za i, j = x, y, z, βx, βy. Prav takoje pomembno opozoriti, da matrika Kbm popisuje vseh sest prostostnih stopenj, pri cemer paso vsi cleni povezani z βzbm enaki nic, zaradi prostega vrtenja lezaja okoli z osi. Matrika Kbmvsebuje 15 razlicnih clenov. Zapisimo le clen kxx, ki ima za kroglicne lezaje obliko:
kxx = Kn
z
∑j=1
(A j−A0)n cos2 ψ j
(nA j (δ
∗r j)2
A j−A0+A2
j − (δ∗r j)2
)A3
j(10)
in za valjcne lezaje:
kxx = nKn cos2α0
z
∑j=1
δn−1R (ψ j) cos2
ψ j. (11)
- 166 -
Kuhljevi dnevi 2016
Izraze za ostale clene analogno dobimo z odvajanjem posameznega elementa obremenitvenegavektorja po doloceni prostostni stopnji. Ob poznavanju fbm izracunamo qbm, pri cemer moramoresiti sistem petih nelinearnih enacb za vsak lezaj. Uporabili smo Newton-Raphsonovo metodo.Po dobljenih qbm izracunamo clene togostne matrike lezaja Kbm direktno, kot nakazujeta izraza(10) in (11).
3 Staticno nedolocen sistem
V statiki razumemo staticno nedolocene sisteme kot tiste, pri katerih je stevilo ravnoteznihenacb problema manjse od stevila neznank v podporah. Slika 3 nazorno prikazuje problemulezajene gredi. V primeru staticno dolocenega sistema, je porazdelitev sil v vertikalni smeriznana. V primeru staticno nedolocenega sistema pa porazdelitev sil v vertikalni smeri (cleni a,
F F F
F2
F2
≈ F2
Fa
Fb
Fd
Fc
≈ F2
Slika 3: Porazdelitev obremenitve v vertikalni smeri pri staticno dolocenem sistemu (levo) instaticno nedolocenem sistemu (sredina in desno).
b, c in d na sliki 3) ni vec enolicno dolocljiva. Sistem je mozno resiti ob poznavanju togostigredi, lezaja in ohisja. Togost gredi in ohisja je znana in neodvisna od obremenitve (velja zavecino inzenirskih aplikacij). Togost lezaja pa je nelinearno odvisna od njegove obremenitve(glej poglavje 2). Za dolocitev pravilne togosti lezaja moramo poznati vektor obremenitvelezaja, ki pa je sedaj odvisen od togosti gredi, ohisja in lezaja:
fbm = fbm(Kbm,Ksm,Khm) (12)
Zaradi v zacetku neznane togosti in obremenitve lezajev sistem resimo z iterativni postopkom.
3.1 Staticno nedolocen menjalnik
Uporabili smo preprost, a staticno nedolocen menjalnik, prikazan na sliki 4. Gre za zaprt sistem,ki vsebuje dva zobniska para s posevnim ozobjem ter sklopko med gredema w1 in w3, preko
Slika 4: Izbran menjalnik (levo) in shematska predstavitev gredi in lezajev (desno).
katere je moc vnesti moment in s tem obremenitev celotnega sistema. Trinajst lezajev razlicnihtipov predstavlja sistem mocno staticno nedolocen.
- 167 -
Kuhljevi dnevi 2016
3.2 Numericno resevanje – iterativni postopek
MKE model obravnavanega menjalnika je prikazan na sliki 5, skupaj z nacinom modeliranjakotalnih lezajev. Analiticno izracunana togost lezaja se predpise med njegov zunanji in notranjiobroc. Tecini omenjenih obrocev povezemo v srediscni vozlisci, med kateri nadalje predpisemoizracunano togostno matriko lezaja. V prvem koraku izracunamo togost lezajev s pomocjo
Slika 5: MKE model menjalnika (levo) in nacin modeliranja kotalnih lezajev (desno).
zacetnega priblizka obremenitvenega vektorja fbm0. Z vstavljenimi togostmi lezajev v MKEmodel izracunamo staticno analizo (vstavljen moment med gredi w1 in w3), rezultat katereso novi obremenitveni vektorji na lezaje. Slednje nadalje uporabimo za nov izracun togostnihmatrik lezajev, s katerimi posodobimo MKE model menjalnika. Postopek je avtomatiziran inse izvaja, dokler ne dosezemo konvergence obremenitvenih vektorjev. Z vstavljenimi koncnimitogostmi lezajev izracunamo zelene FPF. Opisan postopek nazorno prikazuje slika 6.
Začetni približek obremenitvenega vektorja
Izračun togostne matrike ležaja
Vnos togostnih matrik v MKE model menjalnika
Statična analiza
Novi obremenitveni vektorji na ležaje
Konvergenca
obremenitvenih
vektorjev?
Stop
NOTRANJI ITERATIVNI POSTOPEKZUNANJI ITERATIVNI
POSTOPEK
Da
Ne
FPF
Za vsak ležaj posebej
Slika 6: Proces racunanja togosti lezajev in koncnih frekvencno prenosnih funkcij.
4 Rezultati
Predstavljen postopek na sliki 6 smo izvedli za stiri razlicne obremenitve in sicer pri 25%, 50%,75% in 100% najvecjega momenta, ki znasa 220 Nm. Konvergenco komponent obremenitve-nega vektorja lezaja Cw2 prikazuje slika 7 za izracun pri 100% obremenitvi. Obremenitveni
- 168 -
Kuhljevi dnevi 2016
0 50 100 150 200
N
30
20
10
0
10
20
30Fx
[N]
0 50 100 150 200
N
3.0
2.5
2.0
1.5
1.0
0.5
0.0
Fy
[N]
1e2
0 50 100 150 200
N
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
Fz
[N]
1e3
0 50 100 150 200
N
8
6
4
2
0
2
4
My
[Nm
m]
1e2
0 50 100 150 200
N
0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
Mz
[Nm
m]
1e2
Slika 7: Konvergenca komponent obremenitvenega vektorja lezaja Cw2 pri 100% obremenitvi.
vektor doseze ravnotezno stanje po okoli 100 iteracijah. Enako preverimo za vse ostale lezajeter izracunamo FPF za prenosno pot med ohisjem in gredjo, prikazano na sliki 8. Pri enakihobremenitvah nadalje eksperimentalno pridobimo FPF. Vzbujamo z udarnim kladivom na po-krovu ohisja ter merimo pospesek na gredi. Rezultat so stiri numericno in stiri eksperimentalnodobljene FPF pri razlicnih obremenitvah za isto prenosno pot. Slika 9 prikazuje, da je obreme-
2
1
Slika 8: Obravnavana prenosna pot med ohisjem (tocka 1) in gredjo (tocka 2).
nitvena odvisnost numericno izracunanih FPF v primerjavi z eksperimentalno dobljenimi zelopodobna. Omenjeno dejstvo potrjuje pravilno dolocitev vseh togosti lezajev pri razlicnih obre-menitvah. Pomembno je poudariti, da se izmerjene in izracunane FPF le v grobem oblikovnoujemajo. Razlog so poenostavitve v MKE modelu. Natancno mrezenje, lokalizirano dusenje,kontaktni problemi, itd. so podrocja, ki so izven obsega te raziskave.
0 250 500 750 1000 1250 1500 1750 2000 2250 2500 2750 3000
Frekvenca [Hz]
10
0
10
20
30
40
50
60
Pos
pe
enost
[dB
]
s_025
s_050
s_075
s_100
0 250 500 750 1000 1250 1500 1750 2000 2250 2500 2750 3000
Frekvenca [Hz]
10
0
10
20
30
40
50
60
Pos
pe
enost
[dB
]
m_025
m_050
m_075
m_100
Slika 9: Obremenitvena odvisnost FPF. Numericni izracun (levo) in meritve (desno).
5 Zakljucek
V tem clanku je predstavljena analiza vpliva togosti kotalnih lezajev na vibracijske lastnostistaticno nedolocenega menjalnika. Analiticni model kotalnega lezaja je vpeljan v MKE mo-del menjalnika. S pomocjo lastnega iterativnega postopka, ki zajema posodabljanje togostnih
- 169 -
Kuhljevi dnevi 2016
matrik in MKE modela, so izracunane pravilne togosti lezajev. Ujemanje obremenitvene od-visnosti numericno izracunanih in eksperimentalno dobljenih FPF potrjuje pravilno dolocitevtogosti kotalnega lezaja v staticno nedolocenem sistemu.
Literatura[1] J.S. Rao. Rotor dynamics. John Wiley, New york, 1983.[2] M.F. White. Rolling element bearing vibration transfer characteristics: Effect of stiffness. Journal
of Applied Mechanics, 46:677–684, 1979.[3] E.P. Gargiulo. A simple way to estimate bearing stiffness. Machine design, 52:107–110, 1980.[4] T.C. Lim, R. Singh. Vibration transmission through rolling element bearings, part 1: bearing stiff-
ness formulation. Journal of Sound and Vibration, 139 (2):179–199, 1990.[5] P. Cermelj, M. Boltezar. An indirect approach to investigating the dynamics of a structure containing
ball bearings. Journal of Sound and Vibration, 276:401–417, 2004.[6] H.V. Liew, T.C. Lim. Analysis of time-varying rolling element bearing characteristics. Journal of
Sound and Vibration, 283:1163–1179, 2005.[7] X. Sheng, B. Li, Z. Wu, H. Li. Calculation of ball bearing speed-varying stiffness. Mechanisms and
Machine Theory, 81:166–180, 2014.[8] A. Gunduz, R. Singh. Stiffness matrix formulation for double row angular contact ball bearings:
Analytical development and validation. Journal of Sound and Vibration, 332(22):5898 – 5916,2013.
[9] A. Gunduz, J.T. Dreyer, R. Singh. Effect of bearing preloads on the modal characteristics of a shat-bearing assembly: Experiments on double row angular contact ball bearings. Mechanical Systemsand Signal Processing, 31:176–195, 2012.
[10] Y.Guo, R.G. Parker. Stiffness matrix calculation of rolling element bearings using a finite ele-ment/contact mechanics model. Mechanism and Machine Theory, 51:32–45, 2012.
[11] Y. Guo, T. Eritenel, T.M. Ericson, R.G. Parker. Vibro-acoustic propagation of gear dynamics in agear-bearing-housing system. Journal of Sound and Vibration, 333:5762–5785, 2014.
[12] J. Kraus, J.J. Blech, S.G. Braun. In situ determination of rolling bearing stiffness and damping bymodal analysis. Journal of Vibration, Acoustics, Stress, and Reliability in Design, 109:235–240,1987.
[13] T.J. Royston, I. Basdogan. Vibration transmission through self-aligning (spherical) rolling elementbearings: Theory and experiment. Journal of Sound and Vibration, 215(5):997–1014, 1998.
[14] S.A. Spiewak, T. Nickel. Vibration based preload estimation in machine tool spindles. Journal ofMachine Tools and Manufacture, 41:567–588, 2001.
[15] D.S. Lee, D.H. Choi. A dynamic analysis of a flexible rotor in ball bearings with nonlinear stiffnesscharacteristics. International Journal of Rotating Machinery, 3:73–80, 1997.
[16] W. Jacobs, R. Boonen, P. Sas, D. Moens. The influence of the lubricant film on the stiffness anddamping characteristics of a deep groove ball bearing. Mechanical Systems and Signal Processing,42:335–350, 2014.
[17] M. Razpotnik, T. Bischof, M. Boltezar. The influence of bearing stiffness on the vibration propertiesof statically overdetermined gearboxes. Journal of Sound and Vibration, 351:221 – 235, 2015.
[18] T.A. Harris. Rolling bearing analysis. John Wiley, New york, fourth edition, 2001.
- 170 -
SLOVENSKO DRUSTVO ZA MEHANIKO
SRECANJE KUHLJEVI DNEVI 2016
Uklon armaturne palice v poskodovanem AB stebru
A. Starc1, I. Planinc2 in S. Bratina2
Buckling of reinforcing bar in damaged RC column
Povzetek. V clanku je predstavljena nova metoda za dolocitev tocnih uklonskih sil in pripadajocihuklonskih oblik armaturne palice v poskodovanem armiranobetonskem stebru. Metoda je zasnovanana Reissnerjevem modelu ravninskega nosilca in linearizirani stabilnostni analizi. Nova metoda jepreprosta in zelo splosna, saj omogoca dolocitev uklonskih sil in pripadajocih uklonskih oblik zaelasticne in plasticne armaturne palice. S parametricnimi studijami je bilo pokazano, da imata po-dajnost in lega stremen v odluscenem krovnem sloju betona v armiranobetonskem stebru pomembenvpliv na velikost uklonskih sil armaturne palice in pripadajocih uklonskih oblik in da je vpliv osnihin striznih deformacij za elasticne armaturne palice zanemarljiv.
Abstract. In this paper a new method for determining exact buckling loads and correspondingbuckling modes of reinforcing bar in damaged RC column is presented. Method is based on Reis-sner’s planar beam model and linearized stability analysis. The new method is very simple andgeneral as it is capable of predicting buckling loads and corresponding buckling modes for ela-stic and plastic behaviour of reinforcing bars. By carrying out a systematic parametric analysis, itwas shown, that flexibility and location of stirrups in area of spalled concrete cover in reinforcedconcrete column have a significant influence on magnitudes of buckling loads and correspondingbuckling modes, whereas the influence of axial and shear deformation is negligible.
1 Uvod
Armirani beton je najpogosteje uporabljen konstrukcijski material v gradbenistvu. Uporabljamoga v stanovanjski in industrijski gradnji, nepogresljiv pa je tudi pri gradnji inzenirskih objektovkot so to mostovi in pregrade. Armiranobetonske konstrukcije so bistveno manj vitke kot so tojeklene ali lesene konstrukcije. Zato so porusitve teh konstrukcij zaradi stabilnostnih pojavovredkejse. Se redkeje pa se armiranobetonske konstrukcije porusijo zaradi uklona armaturnihpalic, saj so te dobro zascitene z betonom in hkrati objete s stremeni. Drugacne pa so razmere
1 Univerza v Ljubljani, Fakulteta za Gradbenistvo in Geodezijo, student2 Univerza v Ljubljani, Fakulteta za Gradbenistvo in Geodezijo
Kuhljevi dnevi 2016
v primerih, ko so gradbene konstrukcije izpostavljene nezgodnim obtezbam kot sta to pozar inpotres. V taksnih primerih se lahko del betona odlusci in nezascitene armaturne palice posta-nejo izpostavljene tudi uklonskim pojavom. Odluscenje krovnega sloja betona povzroci medpozarom eksplozijsko luscenje, med potresom pa intenzivno ciklicno obremenjevanje. Ker so vtaksnih primerih armaturne palice izpostavljene visokim temperaturam oz. obremenjene z veli-kimi plasticnimi deformacijami, je uklon armaturnih palic pravilo in ne izjema. Ker uklonjenaarmaturna palica ne ohranja nosilnosti, to povzroci prerazporeditev notranjih sil v konstrukciji,kar pogosto povzroci tudi porusitev.
Zaradi povedanega je razumljivo zanimanje raziskovalcev za tovrstne probleme. Za opisovanjeuklona armaturne palice v poskodovanem AB stebru med potresom so prvi raziskovalci pred-postavili, da so stremena se zelo toga in da se armaturne palice obnasajo elasticno. Tako souklonske sile armaturne palice dolocili kar z znano Eulerjevo uklonsko enacbo. Za uklonskodolzino pa so izbrali kar razdaljo med stremeni. V literaturi pogosto raziskovalci taksno mo-deliranje uklona armaturne palice imenujejo lokalni uklon. Novejse eksperimentalne raziskavepa so pokazale, da so stremena na poskodovanem delu AB stebra med potresom ze izrazitoplastificirana in posledicno armaturnim palicam ne nudijo vec zadostne opore v precni smeri.Ker se zato uklonske dolzine armaturnih palic povecajo, se le te ne uklonijo lokalno, temvecglobalno, kot to v literaturi imenujejo raziskovalci. Zato je za modeliranje globalnega uklonaarmaturne palice potrebno upostevati tudi podajnost stremen in plasticno obnasanje armaturnihpalic. Tako pojav globalnega uklona armaturne palice v poskodovanem AB stebru raziskovalcinajpogosteje modelirajo z znanimi enacbami teorije 2. reda ravninskih nosilcev v kombinacijiz modificirano metodo plasticnih clenkov ali pa eksperimentalno [1, 4, 6].
V tem clanku bomo predstavili novo metodo za tocno dolocitev velikosti uklonskih sil arma-turne palice s pripadajocimi uklonskimi oblikami v poskodovanem AB stebru. Zaenkrat samproces odpadanja krovnega sloja betona kot tudi vpliv uklonjene armaturne palice na nosilnostposkodovanega AB stebra oz. konstrukcije ni predmet raziskav. Metodo za dolocitev uklonaarmaturne palice zasnujemo na Reissnerjevem modelu ravninskega nosilca [5], uklonske sile padolocimo z upostevanjem linearizirane stabilnostne analize [2]. Metoda dejansko predstavljaprilagoditev metode, ki smo jo za dolocitev uklonske nosilnosti razpokanih AB stebrov pred-stavili v [3], za dolocitev tocnih uklonskih sil armaturnih palic in pripadajocih uklonskih oblikv poskodovanem AB stebru.
Clanek ima poleg uvoda se tri kratka poglavja. V drugem poglavju predstavimo osnovne enacbemetode in postopek za dolocitev tocnih uklonskih sil armaturne palice in pripadajocih uklonskihoblik v poskodovanem AB stebru. Vpliv podajnosti in lege stremen ter vpliv osnih in striznihdeformacij na velikost uklonskih sil in pripadajocih uklonskih oblik armaturne palice prikazemos parametricnimi studijami v tretjem poglavju. V zadnjem poglavju podamo se zakljucke razi-skave.
2 Osnovne enacbe
Opazujemo tlacno obremenjeno armaturno palico s konstantnim precnim prerezom A. Zaradistremen, ki armaturno palico objemajo v poskodovanem delu AB stebra, jo razdelimo na Edelov z dolzinami Lei ( j=1, 2, . . . , E). Vsi deli armaturne palice imajo skupno referencno os
- 172 -
Kuhljevi dnevi 2016
(xei ≡ x, i = 1,2, . . . ,E), na mestu vezi (stremen) pa so podajno podprti z vzmetmi kv jvzm. S kv j
vzm
modeliramo podajnost stremen, ki preprecujejo oz. ovirajo precne pomike armaturne palice.
Slika 1 : Matematicni model armaturne palice v poskodovanem AB stebru.
Poleg standardnih predpostavk za modeliranje linijskih konstrukcij v matematicnem modeluarmaturne palice dodatno predpostavimo: (i) da je deformiranje armaturne palice omogocenole v ravnini in (ii) da je armaturna palica popolnoma ravna in obremenjena le s konstantno tlacnoosno silo. Skladno z omenjenimi predpostavkami lahko opisemo deformirano lego armaturnepalice z Reissnerjevim modelom ravninskega nosilca [5] ( j=1,2, . . . , E =V −1):
kinematicne enacbe:1+ue j′− (1+ ε
e j)cosϕe j − γ
e j sinϕe j = 0, (1)
we j′+(1+ εe j)sinϕ
e j − γe j cosϕ
e j = 0, (2)
ϕe j′−κ
e j = 0, (3)
ravnotezne enacbe:H e j ′ = 0, (4)
V e j ′ = 0, (5)
M e j ′− (1+ εe j)Q e j + γ
e j N e j = 0, (6)
N e j = H e j cosϕe j −V e j sinϕ
e j , (7)
Q e j = H e j sinϕe j +V e j cosϕ
e j , (8)
konstitutivne zveze:N e j = N e j
c =∫
Aσ
e j dA, (9)
M e j = M e jc =
∫A
zσe j dA, (10)
(11)Q ej −GAsγej = 0,
- 171 -
Kuhljevi dnevi 2016
kjer smo s σe j oznacili normalne napetosti, ki so merjena na nedeformirano ploscino precnegaprereza armaturne palice. Napetosti σe j dolocimo z eksperimenti v odvisnosti od deformacijDe j = εe j + zκe j , σe j = f e j(De j). Vpliv striznih deformacij smo v modelu upostevali z znaniminzenirskim konstitucijskim modelom. V enacbah (1)-(11) sta ue j in we j komponenti vektorjapomika referencne osi v vzdolzni in v precni smeri, ϕe j je zasuk precnega prereza armaturnepalice, εe j , κe j in γe j pa so mere za osno, upogibno (psevdoukrivljenost) in strizno deformiranjearmaturne palice. Staticne kolicine smo oznacili z H e j , V e j , N e j , Q e j in M e j , kjer predsta-vljata N e j in Q e j ravnotezno osno in precno silo, M e j pa upogibni moment armaturne palice.Enacbi (7) in (8) povezujeta osno silo N e j in precno silo Q e j s komponentami notranje silev vzdolzni in precni smeri H e j in V e j . Konstitucijske enacbe (9)-(11) povezujejo ravnoteznekolicine N e j , Q e j in M e j z deformacijskimi kolicinami εe j , γe j in κe j . Sistem posplosenihravnoteznih enacb sestavlja 11E diferencialnih in algebrajskih enacb za prav toliko neznanihfunkcij: εe j ,γe j ,κe j , . . . ,M e j , ( j = 1,2, . . . ,E). Sistem resimo z upostevanjem robnih in kompa-tibilnostnih (povezovalnih) pogojev v vozliscih armaturne palice vi (i = 1,2, . . . ,V ):
vozlisce v1 :
we1(xe1 = 0) = 0, (12)
ϕe1(xe1 = 0) = 0, (13)
Ne1(xe1 = 0) =−F, (14)
vozlisce vi (i = 2, . . . ,V −1):
wei−1(xei−1 = Lei−1) = wei(xei = 0), (15)
ϕei−1(xei−1 = Lei−1) = ϕ
ei(xei = 0), (16)
M ei−1(xei−1 = Lei−1) = M ei(xei = 0), (17)
kvivzmwei +V ei−1(xei−1 = Lei−1)−V ei(xei = 0) = 0, (18)
uei−1(xei−1 = Lei−1) =uei(xei = 0), (19a)
−H ei−1(xei−1 = Lei−1)+H ei(xei = 0) = 0 (19b)
ali
uei−1(xei−1 = Lei−1) = uei(xei = 0) = 0, (20)
vozlisce vV :
weE (xeE = LeE ) = 0, (21)
ϕeE (xeE = LeE ) = 0, (22)
NeE (xeE = LeE ) =−F. (23)
Uklonske sile armaturne palice dolocimo s pomocjo linearizirane teorije stabilnosti [2]. Skla-dno s to teorijo enacbe Reissnerjevega modela ravninskega nosilca (1)-(11) lineariziramo vokolici primarne ravnotezne lege, ki jo doloca osno deformirana in neupognjena palica ( j =1,2,. . ., E):
- 174 -
Kuhljevi dnevi 2016
ue j (x) = ue j(εe j ,x), we j (x) = 0, ϕe j (x) = 0, (24)
H e j (x) = N e j (x) = N =−F, V e j (x) = Q e j (x) = 0, M e j (x) = 0, (25)
εe j (x) = ε = konst. 6= 0, κ
e j (x) = κ(x) = 0, γe j (x) = γ(x) = 0. (26)
V primarni ravnotezni legi je lineariziran sistem posplosenih ravnoteznih enacb ( j =1, 2,. . ., E):
δue j ′−δεe j = 0 (27)
δwe j ′+(1+ ε)δϕe j −δγ
e j = 0 (28)
δϕe j′−δκ
e j = 0, (29)
δH e j ′ = 0, (30)
δV e j ′ = 0, (31)
δM e j ′− (1+ ε)δQ e j −Fδγe j + γ
e j δN e j = 0, (32)
δN e j = δH e j , (33)
δQ e j = δV e j −Fδϕe j , (34)
δN e j =Ce j11δε
e j +Ce j12δκ
e j , (35)
δM e j =Ce j21δε
e j +Ce j22δκ
e j , (36)
δQ e j = GAsδγe j , (37)
kjer smo s Ce j11, Ce j
12, Ce j21 in Ce j
22 oznacili clene tangentne togostne matrike precnega prereza:
Ce j11 =
∂N e j
∂εe j=
∫A
∂σ
∂De j
∂De j
∂εe jdA =C11 = konst. > 0, (38)
Ce j12 =
∂N e j
∂κe j=
∫A
∂σ
∂De j
∂De j
∂κe jdA =Ce j
21 =C12 = konst = 0, (39)
Ce j21 =
∂M e j
∂εe j=
∫A
z∂σ
∂De j
∂De j
∂εe jdA =C12 =C21 = 0, (40)
Ce j22 =
∂M e j
∂κe j=
∫A
z∂σ
∂De j
∂De j
∂κe jdA =C22 = konst. > 0. (41)
Lineariziran sistem posplosenih ravnoteznih enacb armaturne palice sestavlja sistem 6E nava-dnih linearnih diferencialnih enacb prvega reda s konstantnimi koeficienti in 5E algebrajskihenacb za dolocitev prav toliko neznanih funkcij. Enacbe resimo z upostevanjem lineariziranihrobnih in kompatibilnostnih pogojev (12)-(23). Po kratki izpeljavi ugotovimo, da uklonske silearmaturne palice s pripadajocimi uklonskimi oblikami dolocajo pogoji:
detKKKT = 0, → Fcr, (42)
−F =∫
Aσ(ε)dA, → εcr, (43)
kjer KKKT predstavlja matriko koeficientov robnih in kompatibilnostnih pogojev, ki so povezanis precnimi pomiki. Za elasticno obnasanje armaturne palice se pogoj (43) poenostavi v znanoobliko
−F = EAε. (44)
- 175 -
Kuhljevi dnevi 2016
3 Parametricne studije
S parametricnimi studijami analiziramo vpliv podajnosti stremen (podajnosti vzmeti), lege stre-men ter osnih in striznih deformacij na velikost uklonskih sil armaturne palice in pripadajocihuklonskih oblik. V analizi upostevamo, da so podajnosti vseh stremen enake in se spreminjajood kv j
vzm = 0 (stremena so popolnoma podajna) do kv jvzm→∞ (nepodajna oz. toga stremena). Lego
stremen v odluscenem krovnem sloju betona opisemo s parametroma αzg = Le1
Ln in αzg = LeE
Ln
(Ln = Lei , (i = 2,3, . . . ,E−1)), ki predstavljata razmerje med razdaljama od zgornjega oz. spo-dnjega stremena do roba odluscenega krovnega sloja betona in razdaljo med stremeni. V para-metricnih studijah analiziramo tri najbolj verjetna stevila stremen znotraj odluscenega krovnegasloja betona. Pri modelu V1 armaturno palico objema le eno streme, pri modelu V2 dve in primodelu V3 tri stremena. Ko v analizi vpliv osnih in striznih deformacij ne upostevamo, smomodele oznacili z V1 BSOD, V2 BSOD in V3 BSOD. V parametricnih studijah smo izbralinaslednje materialne in geometrijske parametre: precni prerez armaturne palice A = 1.13 cm2,elasticni modul armaturne palice E = 2.1 · 10−8 kN
m2 , dolzina odluscenega dela krovnega slojabetona je L = 45 cm. Nosilnost armaturne palice je NRd = 56.5 kN.
Model V1. Vpliv podajnosti stremena na velikost uklonske sile armaturne palice in pripadajoceuklonske oblike prikazujemo na sliki 2. Na sliki opazimo, da so na intervalu od kv j
vzm = 0 dokv j
vzm ∼= 100 kNm uklonske sile prakticno enake in so priblizno 70 % vrednosti nosilnosti arma-
turne palice (globalni uklon). Za bolj toga stremena se uklonske sile zelo povecajo in so zastremena s togostjo kv j
vzm ∼= 500 kNm in vec zopet konstantne in bistveno vecje kot je nosilnost
armaturne palice. Za te in bolj toga stremena te predstavljajo prakticno nepomicno podporo (lo-kalni uklon), kar potrjujejo tudi uklonske oblike armaturne palice (slika 2). Pricakovano je vplivosnih in striznih deformacij na velikost uklonskih sil armaturne palice in pripadajoce uklonskeoblike zanemarljiv.
Slika 2 : Model V1. Diagram spreminjanja normirane uklonske sile Fcr/NRd in pripadajoceuklonske oblike v odvisnosti od podajnosti stremena.
- 176 -
Kuhljevi dnevi 2016
Model V2. Vpliv podajnosti in lege stremen na velikost uklonskih sil armaturne palice inpripadajoce uklonske oblike, ki je objeta z dvema stremenoma, prikazujemo na sliki 3. Popricakovanjih velikost uklonskih sil armaturne palice narasca s povecevanjem togosti stremenin zmanjsevanjem oddaljenosti stremen od roba odlucenega krovnega sloja betona. Najvecje souklonske sile za αzg = αsp = 0.33 in najmanjse za αzg = αsp = 1.0. Za kv j
vzm = 0 je uklonskaoblika enaka uklonski obliki za obojestransko vpete stebre (globalni uklon). S povecevanjemtogosti stremen se uklonske oblike armaturne palice spremenijo in so za kv j
vzm ∼= 10000 kNm ali
vec ze enake uklonski obliki obojestransko vpetega stebra z dvema nepomicnima vmesnimapodporama (lokalni uklon). Vpliv osnih in striznih deformacij je tudi tu zanemarljiv.
Slika 3 : Model V2. Diagram spreminjanja normirane uklonske sile Fcr/NRd in pripadajoceuklonske oblike v odvisnosti od podajnosti in lege stremen.
Model V3. V zadnjem primeru analiziramo vpliv podajnosti in lege stremen na velikost uklon-skih sil in pripadajocih uklonskih oblik armaturne palice, objete s tremi stremeni. Vplive prika-zujemo na sliki 4. Na sliki vidimo, da je vpliv podajnosti in lege stremen na velikost uklonskihsil armaturne palice podoben kot prej. Zaradi vecjega stevila stremen pa pricakovano opa-zimo vecje stevilo razlicnih uklonskih oblik, zanimivo pa tudi hipni preskok z ene uklonskeoblike na drugo, ki ga pri modelu V2 nismo zaznali. Pri kv j
vzm ∼= 600 kNm preide zacetna uklonska
oblika obojestransko vpetega stebra hipno v uklonsko obliko z zelo togim osrednjim stremenom(znacilna ’S’ uklonska oblika). Z narascanjem togosti stremen nato uklonske oblike postopomapreidejo v dvojno ’S’ obliko, kar se zgodi pri kv j
vzm ∼= 50000 kNm (lokalni uklon). Seveda se
posledicno spreminjajo tudi uklonske sile, ki pri zelo togih stremenih presegajo nosilnost arma-turne palice. Vpliv oddaljenosti krajnih stremen od roba odluscenega krovnega sloja betona jepodoben kot v prejsnem primeru. Vpliv osnih in striznih deformacij sicer z manjsanjem razdaljemed stremeni narasca, vendar pa je se vedno zanemarljiv.
- 177 -
Kuhljevi dnevi 2016
Slika 4 : Model V3. Diagram spreminjanja normirane uklonske sile Fcr/NRd in pripadajoceuklonske oblike v odvisnosti od podajnosti in lege stremen.
4 Zakljucek
V clanku smo predstavili novo metodo za dolocitev tocnih uklonskih sil in pripadajocih uklon-skih oblik armaturne palice v poskodovanem AB stebru. Metoda je zasnovan na Reissnerjevemmodelu ravninskega nosilca. Uklonske sile in pripadajoce uklonske oblike armaturne palice pasmo dolocili z linearizirano teorijo stabilnosti. Poleg preprostosti je prednost predstavljene me-tode tudi njena splosnost, saj z njo enako obravnavamo elasticne in plasticne armaturne palicekot tudi lokalni in globalni uklon. S parametricnimi studijami smo pokazali: (i) da ima podaj-nost in lega stremen velik vpliv na velikost uklonskih sil in pripadajoce uklonske oblike in (ii)da je vpliv osnih in striznih deformacij za elasticne armaturne palice zanemarljiv.
Literatura
[1] S. Bae, A. M. Mieses, O. Bayrak, Inelastic buckling of reinforcing bars, J. Struc. Eng. 131,314-321, 2005.
[2] H. B. Keller, Nonlinear Bifurcation, J. Diff. Eq. 7, 417-434, 1970.
[3] N. Krauberger, S. Bratina, M. Saje, S. Schnabl, I. Planinc, Inelastic buckling load of alocally weakened reinforced concrete column, Eng. Struc. 34, 278-288, 2012.
[4] L. M. Massone, E. E. Lopez, Modeling of reinforcement global buckling in RC elements,Eng. Struc. 59, 484-494, 2014.
[5] E. Reissner, On one-dimensional finite-strain beam theory: The plane problem, J. Appl.Math. Phys. 23, 795-804, 1972.
[6] C. R. Urmson, J. B. Mander, Local buckling analysis of longitudinal reinforcing bars, J.Struc. Eng. 138, 62-71, 2012.
- 178 -
SLOVENSKO DRUŠTVO ZA MEHANIKO
SREČANJE KUHLJEVI DNEVI 2016
Numerično modeliranje adsorpcije v adsorberju s satovjem pri
različnih temperaturah v sistemu
T. Štimec1*, M. Hriberšek2, J. Ravnik2, S. Bašič1, M. Zadravec2
1
Numerical Modeling of Adsorption in a honeycomb adsorber
at different system temperatures
Povzetek. Prispevek obravnava značilnosti prenosa snovi pri procesu adsorpcije
plinske sestavine na adsorpcijsko plast, nameščeno na steni adsorpcijskega satovja.
Numerični model vsebuje izračun difuzijsko-konvektivnega prenosa snovi v plinski zmesi,
vezavo na plast adsorbenta z uporabo adaptivnega modela robnega pogoja za koncentracijo,
ter model ravnotežja na medfazni meji, ki upošteva temperaturno odvisnost pogojev za
ravnotežje. Kot modela ravnotežja sta uporabljena Freundlich model in Dubinin-
Raduskevich model. Za snovni sistem zrak-butan in adsorpcijsko sredstvo aktivno oglje so
prikazani rezultati značilnosti prenosa snovi pri različnih temperaturah v sistemu. Izkaže se,
da višja temperatura vpliva na zmanjšanje sposobnosti vezave butana na aktivno oglje, kar
skrajša čase preboja snovne fronte pri toku skozi adsorpcijski sistem v obliki satovja.
Abstract. The contribution deals with characteristics of mass transfer in the process of
adsorption of gaseous species onto an adsorption layer, placed on an adsorption honeycomb
wall. The numerical model includes computation of diffusive-convective mass transfer in the
gaseous mixture, adsorption of species on adsorbent layer by applying the adaptive
concentration boundary condition, as well as equilibrium model at the interface, accounting
for the temperature dependency of equilibrium conditions. As equilibrium models, the
Freundlich and the Dubinin-Raduskevich models are applied. For the air-buthane system and
adsorbent active carbon results mass transfer at different system temperatures is computed.
The results show that the increase in the system temperature decreases the adsorption
capacity of the adsorbent layer, leading to shortening of breakthrough times within the flow
through the honeycomb adsorption system.
1 Esotech d.d., Preloška cesta 1, SI-3320 Velenje, Slovenia
2 Univerza v Mariboru, Fakulteta za strojništvo, Smetanova ulica 17, 2000 Maribor
Kuhljevi dnevi 2016
- 180 -
1 Uvod
Adsorpcija je eden izmed najpomembnejših tehniških postopkov s prenosom snovi. Njegova
značilna uporaba je na področju procesne tehnike kot procesa ločevanja plinskih sestavin iz
plinskih zmesi, kar poteka z vezavo adsorbata (plinske sestavine) na plast adsorbenta
(aktivna porozna snov). Adsorpcijski procesi se lahko uporabljajo tudi v energetskih
aplikacijah, kjer bistvo procesa ni ločevanje snovi, ampak skladiščenje energije. Takšne
adsorpcijske procese je možno najti vse od adsorpcijskih hladilnikov, adsorpcijskih
klimatskih naprav do novejših gospodinjskih aparatov, kjer adsorpcijski procesi omogočajo
prihranke električne energije
Značilna tehniška izvedba adsorpcijske naprave deluje z nasutjem delcev adsorbenta, skozi
katero teče plinska zmes. Naprava je preprosta za izdelavo, omogoča velike količine vezave
adsorbata in dolge čase za preboj fronte adsorbata, ki označuje doseženo stanje nasičenja v
adsorpcijskem mediju. Značilen predstavnik novih oblik adsorpcijskih materialov so
adsorpcijski materiali, naneseni na nosilno konstrukcijo v obliki satovja [1], [2]. Takšni
adsorbenti so na površine kanalov satovja naneseni v obliki tanke plasti in imajo zaradi
slednje precej specifične lastnosti. V nasprotju z nasutimi adsorbenti imajo glede na dejanski
volumen, ki ga zasedajo, precej manjšo adsorpcijsko kapaciteto, a hkrati ponujajo mnogo
manjši upor toku tekočine in omogočajo zelo hitre menjave ciklov adsorpcije in regeneracije.
Regeneracija adsorbenta s temperaturnim obratom se je v primeru nasutih adsorbentov v
preteklosti skoraj popolnoma opustila zaradi dolgih časovnih intervalov, od 4 do 6 ur
potrebnih za ta proces [1]. V primeru regeneracije s temperaturnim obratom je mogoče
takšen cikel v adsorpcijskih satovjih izpeljati že v nekaj minutah. V mnogih industrijskih
aplikacijah je prav tako zelo ugodna okoliščina majhen upor, ki ga toku predstavlja
adsorpcijsko satovje v primerjavi z gosto nasuto porozno plastjo [3]. Na sliki 1 levo je
prikazana značilna struktura adsorpcijskega satovje, kjer imajo posamezni kanali pravokotni
prerez.
Slika 1: Zgradba adsorpcijskega satovja (levo, [2]) in značilni robni pogoji za tok plinske
zmesi skozi posamezni kanal(desno).
Kuhljevi dnevi 2016
- 181 -
Primeri modeliranja adsorpcijskih procesov v kanalu adsorpcijskega satovja so v dostopni
literaturi dokaj redki. Fedorov [4] je modeliral adsorpcijskih proces v satovju, kjer je bil za
adsorbent uporabljen TiO2-WO3-V2O5 in kot adsorbat vodna para. Prenos snovi in toplote
je modeliral z enodimenzionalnim modelom, adsorpcijsko ravnotežje pa z uporabo SLD-
VdW modela. Proces adsorpcije butana v keramičnem satovju s plastjo aktivnega oglja je
sicer tako eksperimentalno kot numerično raziskovala tudi Valdés-Solís, ki je za modeliranje
adsorpcijskega ravnotežja uporabila Dubinin-Raduskevich enačbo adsorpcijske izoterme [1].
2 Modeliranje adsorpcijskega ravnotežja
Pri procesu adsorpcije se bo v vseh primerih stika tekočine s površinami trdnega adsorbenta
v določenem času vzpostavilo ravnotežje med molekulami v tekoči fazi ter molekulami,
adsorbiranimi na površini. Fazno ravnotežje ja zagotovo najpomembnejša informacija v
vsakem adsorpcijskem sistemu, z izjemo redkih primerov kemisorpcije pa je takšno
ravnotežje dinamično. Praktično vedno je ravnotežje vzpostavljeno takrat, ko sta stopnji
vršenja adsorpcije in desorpcije enake velikosti in oba procesa potekata kontinuirano.
Adsorpcijska ravnotežja se prikazujejo v obliki izoterm, ki podajajo razmerje med
adsorbiranimi molekulami na površini adsorbentov in parcialnim tlakom prostih molekul
adsorbata v plinasti fazi (oziroma koncentracije v tekoči fazi) pri konstantni temperaturi. Z
manipulacijo vplivnih parametrov je mogoče spreminjati obnašanje adsorpcijskih procesov,
kar se s pridom uporablja pri cikličnih procesih, kjer se izmenjujeta adsorpcijski in
regeneracijski cikel.
V članku sta uporabljena dva adsorpcijska modela ravnotežja. Prvi model je model Dubinin-
Radushkevich [1], ki podaja količino vezanega adsorbata na enoto prostornine adsorbenta z
izrazom
𝑞𝑒𝑞 = 𝑞𝑚𝑎𝑥𝑒𝑥𝑝 − (𝑅𝑇
𝛽𝐸0𝑙𝑛
𝐶𝑠𝑎𝑡
𝐶)
2
. (1)
Za primer zmesi zrak-butan in adsorbenta aktivno oglje so modelni parametri sledeči:
𝑞𝑚𝑎𝑥 = 509.34 𝑘𝑔/𝑚3 je največja možna količina vezanega butana pri tlaku nasičenja v
sistemu, 𝑅 je plinska konstanta, 𝑇 je temperatura v sistemu, 𝐶𝑠𝑎𝑡 = 6.48 𝑘𝑔/𝑚3 je
koncentracija ob nasičenju butana v plinski zmesi, 𝐶 = 𝐶𝑖𝑛 je koncentracija v zmesi plina na
vstopu v kanal, koeficient afinitete adsorbata pomnožen karakteristično energijo adsorbenta
je 𝛽𝐸0 = 22767 𝐽/𝑚𝑜𝑙𝐾.
Drugi uporabljeni model je bil empirični model Freundlicha:
𝑞𝑒𝑞 = (𝑘1
𝑇+ 𝑘2) 𝐶𝑛, (2)
kjer so 𝑘1, 𝑘2 in n empirično določeni koeficienti, v našem primeru z vrednostmi 𝑘1 = 1.0,
𝑘2 = 628.0 in 𝑛 = 0.15.
Primernost izbranih modelov ravnotežja je bila preverjena na primeru adsorpcijske izoterme,
podane v delu Valdés-Solís idr. [1], veljavne za temperaturo v sistemu 𝑇 = 293,15 𝐾. Primerjava poteka obeh izoterm je podana na sliki 2. Obe izotermi imata v področju višjih
vrednosti koncentracije adsorbata skorajda identičnen potek, medtem ko v področju nižjih
vrednosti koncentracije adsorbata Freundlichova izoterma s svojimi vrednostmi daje
previsoko oceno zmožnosti vezave na adsorbent. Za natančnost rezultatov numeričnih
simulacij je takšno obnašanje izoterme nezaželjeno, saj se s tem v kanalu satovja navidezno
Kuhljevi dnevi 2016
- 182 -
povečuje sposobnost vezave na aktivno površino, kar vodi v povečanje časa preboja fronte
adsorbata skozi adsorpcijski kanal. Za uporabo v numeričnem modelu je bila tako izbrana
Dubini-Raduskevich izoterma.
Slika 2: Adsorpcijski izotermi za primer 𝑇 = 293.15 𝐾: FR - Freundlich model , R-D
Dubinin-Radushkevitch model.
Spreminjanje največje možne vezane količine adsorbata na adsorbent v odvisnosti od
temperature v sistemu je podana na sliki 3. Povišanje temperature za 60K vodi v 20%
zmanjšanje sposobnosti vezave butana na aktivno oglje.
0
50
100
150
200
250
300
350
400
0 0,002 0,004 0,006 0,008 0,01 0,012 0,014 0,016 0,018
q [
kg/m
3]
C [kg/m3]
R-D
FR
240
250
260
270
280
290
300
310
320
330
270 280 290 300 310 320 330 340
q_e
q [
kg/m
3]
T [K]
Kuhljevi dnevi 2016
- 183 -
Slika 3: Vrednosti ravnotežne vezave butana na adsorpcijsko oglje v odvisnosti od
temperature v sistemu..
Numerični algoritem za simulacijo adsorpcijskega procesa v kanalu je temeljil na Metodi
robnih elementov [5], [6], in je sestavljen iz več ločenih segmentov, ki se ciklično vršijo v
enakem zaporedju znotraj vsakega časovnega koraka. Omenjeno zaporedje v vsakem
časovnem koraku (z izjemo prvega) je naslednje:
1. Začetek časovnega koraka.
2. Izračun vrednosti hitrosti, temperature, koncentracije in vrtinčnosti v vseh vozliščih
računske mreže ali uporaba analitičnega izraza za izračun vrednosti hitrosti v
vozliščih.
3. Izračun povprečne temperature in koncentracije za vsak robni element.
4. Izračun ravnotežne količine adsorbirane snovi za vsak robni element z Dubini-
Raduskevich modelom ravnotežja . Omenjeni model sicer podaja adsorpcijsko
ravnotežje v [𝑘𝑔 𝑚3⁄ ], a s poznano debelino plasti adsorbenta in površino
posameznega robnega elementa 𝐴𝑖, je izračun volumna adsorpcijske plasti
posameznega robnega elementa enostaven.
5. Izračun snovnega toka adsorbata iz integralske enačbe za ohranitev snovi adsorbata
za vsak robni element.
6. Izračun akumulirane mase adsorbata v časovnem koraku ter izračun vsote
adsorbirane snovi v vseh dotedanjih časovnih korakih.
7. Izračun razmerja (prilagoditvenih koeficientov za robni pogoj na steni kanala) že
adsorbirane snovi in ravnotežne vrednosti adsorbata za vsak robni element.
8. Izračun prilagoditvenih koeficientov za vsako posamezno funkcijsko vozlišče.
9. Določitev novih koncentracijskih robnih pogojev na steni kanala.
10. V primeru, da se pri simulaciji upošteva sproščanje adsorpcijske toplote se algoritem
nadaljuje z izračunom spremembe temperature za vsak posamezen robni element. V
primeru, da se sproščanje toplote zanemari, se izračun nadaljuje s točko 1.
11. Vrednosti spremembe temperature se iz elementov prenesejo na posamezne
funkcijske točke.
12. Določitev novih robnih pogojev za novo izračunano temperaturo.
13. Nov časovni korak.
3 Rezultati izvedenih izračunov
Temperatura nosilnega plina vpliva na ravnotežno stanje med adsorbatom in adsorbentom.
Od temperature je torej odvisna skupna količina adsorbirane snovi. Za oceno vpliva
temperature na adsorpcijski proces v obravnavanem kanalu so bile izvedene simulacije pri
štirih različnih temperaturah od T=273,5 K do T=333,5 K. Vstopna koncentracija butana je
znašala v vseh primerih 𝐶 = 0,007358𝑘𝑔
𝑚3 . V numeričnih izračunih ni bila upoštevana
adsorpcijska entalpija, kar pomeni, da pojav adsorpcije ni vplival na spremembo temperature
Kuhljevi dnevi 2016
- 184 -
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
1,4
1,6
0,006 0,008 0,01 0,012 0,014 0,016
Sh
x [m]
T = 273°C
T = 303°C
T = 313°C
T = 333°C
v sistemu. Takšna predpostavka je realna v primeru zelo majhnih vrednosti koncentracij
adsorbata v plinski zmesi. V kanalu je bil vzpostavljen razvit laminarni tok z Re=2,92.
Slika 4: Lokalne vrednosti Sherwoodovega števila vzdolž središčne črte po steni kanala v
času 𝑡 = 460𝑠.
Izpisi lokalnih vrednosti Sherwoodovega, števila,definiranega kot
𝑆ℎ =1
𝐶 − 𝐶0
𝜕𝐶
𝜕𝑛𝐿 (3)
so za različne sistemske temperature prikazani na sliki 4. Iz prikazanih rezultatov je mogoče
izpeljati spoznanje, da sprememba adsorpcijskega ravnotežja kot posledica različnih
temperatur vodi do različnih hitrosti potovanja koncentracijske fronte skozi kanal, medtem
ko lokalne značilnosti prenosa snovi ostajajo enake.
Bistvena razlika se pojavi v poteku prebojnih krivulj, prikazanih n sliki 5, kar je povezano s
spreminjanjem največje možne količine adsorbirane snovi pri različnih temperaturah v
sistemu (slika 3). Če je čas za potovanje fronte skozi celoten kanal dolžine 0,05m in širine
0,001292m za T=273,15K enak 2970s, se le-ta skrajša na 2355 pri T=333,15K. Adsorpcijska
naprava lahko tako deluje v adsorpcijskem ciklu pri višji temperaturi krajši čas, temu pa
mora slediti desorpcijski cikel. Hlajenje adsorpcijskih naprav tovrstno omejitev odpravi, zato
je seveda njegova uporaba v tehniških izvedbah adsorpcijskih naprav smiselna.
Kuhljevi dnevi 2016
- 185 -
Slika 5: Prebojne krivulje za različne temperature v sistemu..
4 Zaključek
V članku je prikazan vpliv spreminjanja temperature v kanalu adsorpcijske naprave s
satovjem. Uporabljena je numerična simulacija na osnovi Metode robnih elementov za
izračun prenosa snovi pri adsorpciji na aktivno površino kanala, pri čemer je bilo znotraj
kanala predpostavljeno izotermno stanje sistema. Sposobnost vezave adsorbata na stene
adsorbenta je modelirana z uporabo Dubinin-Radushkevich adsorpcijske izoterme. Rezultati
numeričnih simulacij za različne vrednosti sistemske temperature kažejo, da dvig sistemske
temperature pomembno vpliva na lastnosti prenosa snovi v kanalu, še posebej se skrajša
prebojni čas, v katerem fronta adsorbata doseže izstopno ravnino adsorpcijskega kanala.
0
0,001
0,002
0,003
0,004
0,005
0,006
0,007
0,008
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000
Co
ut[k
g/m
3]
t [s]
T = 273°C
T = 303°C
T = 313°C
T = 333°C
Kuhljevi dnevi 2016
- 186 -
Literatura
[1] T. Valdés-Solís, M. J. G. Linders, F. Kapteijn, G. Marban and A. B. Fuertes,
“Adsorption and breakthrough performance of the carbon-coated ceramic monolithy at
low concentration of n-butane,” Chemical Engineering Science, str. 2791-2800, 2004.
[2] T. Valdés-Solís, G. Marbán and A.B. Fuertes, “Preparation of microporous carbon-
ceramic cellular monoliths,” Micoporous and Mesoporous Materials, str. 113-126, 2001.
[3] T. Wajima, K. Munakata, T. Takeishi, K. Hara, K. Wada, K. Katekari, K. Inoue, Y.
Shinozaki, K. Mochizuki, M. Tanaka and T. Uda, “Adsorption characteristics of water
vapor on honeycomb adsorbents,” Journal of Nuclear Materials, str. 1166-1169, 2011.
[4] A. Fedorov and R. Viskanta, “Analysis of transient heat/mass transer and
adsorption/desorption interactions,” Int. Journal of Heat & Mass Transer, str. 803-819,
1999
[5] T. Štimec, M. Hriberšek, J. Ravnik and S. Bašič, “Adsorption in honeycomb adsorber by
BEM,” Engineering analysis with boundary elements, str. 103-110, 2014.
[6] T. Štimec, M. Hriberšek, J. Ravnik and S. Bašič, “Numerično modeliranje adsorpcijskega
procesa v kanalu z uporabo porazdelitvenega robnega pogoja” Kuhljevi dnevi 2013,
Zbornik del, str. 225-232, 2013.
SLOVENSKO DRUSTVO ZA MEHANIKO
SRECANJE KUHLJEVI DNEVI 2016
Uporaba metode krizne aproksimacije v metodi robnihelementov
J. Tibaut1, L. Skerget1 in J. Ravnik1
Adaptive cross approximation based boundary element method
Povzetek. V clanku je predstavljen vpliv metode krizne aproksimacije na resitev hitrostne-vrtincneformulacije Navier-Stokesovih enacb za nestisljivo tekocino, resene po metodi robnih elementov.Resevali smo problem naravne konvekcije v kotanji med dvema vertikalnima stenama. Uporabilismo enacbo kinematike, enacbo za prenos vrtincnosti in zakon ohranitve energije. Prenos vrtincnostiin energijsko enacbo smo resevali s pod obmocno metodo robnih elementov, ki je spominsko incasovno ucinkovita, za enacbo kinematike pa ta metoda ni primerna. Zato smo za pospesitev enacbekinematike uporabili aproksimacijsko metodo. Matrike, ki izhajajo iz diskretizacije, smo aproksimi-rali z metodo krizne aproksimacije. Rezultati so med sabo pokazali ujemanje do dolocenega rangaaproksimacije.
Abstract. This article presents the effect of adaptive cross approximation method on solving thevorticity formulation of the Navier-Stokes equation for incompressible flow, solved by the boundaryelement method. We were solving the natural convection problem in cavity between two differenti-ally heated vertical walls. For the simulation we used the kinematic equation, transport of vorticityequation and the law of energy conservation. The transport of vorticity and energy equations can besolved with the sub domain boundary element method which is memory and time effective, but forthe kinematic equation this approach is not suitable. Hence for the kinematic equation we approxi-mated the matrices with the adaptive cross approximation. The results show good agreement, up toa certain rank of approximation.
1 Uvod
Metoda robnih elementov je ucinkovita metoda resevanja parcialnih diferencialnih enacb, ceje razmerje med povrsino in volumnom obravnavanega obmocja majhno. Metoda je najboljprimerna za resevanje linearnih problemov. Matrike, ki izhajajo iz te metode, so polne, zatospominska in racunska zahtevnost metode hitro raste z narascajoco povrsino.
1 Univerza v Mariboru, Fakulteta za strojnistvo
Kuhljevi dnevi 2016
Krizna aproksimacija je bila prvic uporabljena, kot matematicni pristop, k aproksimiranju ma-trik robnih elementov v raziskavi [1]. V raziskavi [2] je opisana hibridna krizna aproksimacija,ki predstavlja povezavo med algebrajsko krizno aproksimacijo in metodo uteznih ostankov. Str-njen opis oblik krizne aproskimacije je podan v objavi [6].
Ucinkovitost algoritma doloca kaksen bo potreben cas resevanja. Ker zahtevnost metode robnihelementov narasca s kvadratom stevila vozlisc O(N2) v racunski mrezi, tudi povecanje racunskemoci ne omogoca resevanja kompleksnih problemov. Z aproksimacijskimi metodami zahtev-nost iz O(N2) zmanjsamo na O(N logN) oziroma O(N).
Z metodo robnih elementov smo resili hitrostno vrtincno formulacijo Navier-Stokesovih enacb[8]. Resiti smo morali sistem enacb, v katerem so polne matrike, ki zahtevajo veliko steviloaritmeticnih operacij in racunalniskega spomina. Zato poskusamo poiskati moznosti kako pri-varcevati na racunalniski moci in casu resevanja.
2 Hitrostna-vrtincna formulacija zakonov ohranitve
Resevali smo problem naravne konvekcije v kotanji med dvema vertikalnima stenama v treh di-menzijah. Za resevanje tega problema potrebujemo vse tri zakone ohranitve. Navier-Stokesoveenacbe preoblikujemo z operatorjem rotor in dobimo hitrostno-vrtincno formulacijo Navier-Stokesovih enacb [8]. Iz zakona za ohranitve mase sledi enacba kinematike (1), ki predstavljakrajevno povezavo med hitrostnim ~v in vrtincnim ~ω poljem. V enacbi prenosa vrtincnosti (2),smo upostevali Boussinesqueovo aproksimacijo vzgona. Zapisali smo jo v brez dimenzijskiobliki. Tok poganja razlika v gostotah, zato smo se drzali dogovora, da je Reynoldsovo steviloena deljeno s Prandtlovim stevilom, Re = 1
Pr [5].
∆~v+~∇×~ω = 0. (1)
(~v ·~∇)~ω = (~ω ·~∇)~v+Pr∆~ω−Pr Ra ~∇×θ~g (2)
(~v ·~∇)θ = ∆θ (3)
V enacbi za prenos energije (3) smo temperaturo T zapisali v brez dimenzijski obliki θ= T−THTG−TH
,kjer je TG temperatura grete stene in TH temperatura hlajene stene. Enacbo za prenos vrtincnostiin enacbo za prenos energije smo resili s pod obmocno metodo, ki je casovno in spominskoucinkovita. Tega nacina resevanja ne moremo uporabiti za enacbo kinematike.
2.1 Diskretizacija enacbe kinematike
Enacba kinematike (1) ima obliko Poissonove enacbe. Z uvedbo Greenovega drugega stavkain z uvedbo fundamentalne resitve Laplacove enacbe u∗, zapisemo integralsko obliko enacbe(1). Ker je enacba kinematike nehomogena, v integralski obliki nastopa tudi obmocni integral.Obmocni integral zahteva diskretizacijo obmocja, kar iznici glavno prednost metode robnihelementov:
c(~ξ)~n(~ξ)×~v(~ξ)+~n(~ξ)×∫
Γ
~v(~n ·~∇)u∗dΓ =~n(~ξ)×∫
Γ
~v× (~n×~∇)u∗dΓ+
~n(~ξ)×∫
Ω
(~∇×~ω)u∗dΩ.(4)
- 188 -
Kuhljevi dnevi 2016
Ko izvorno tocko ~ξ postavimo v vsako robno vozlisce, dobimo sistem treh enacb zapisan vmatricni obliki za x, y in z os. Robne vrtincnosti smo locili od notranjih vrtincnosti [4]. Oznaka[ ] pomeni matrika, oznaka
Γvektor z robnimi vozlisci in
Γ/Ωvektor z notranjimi vozlisci
([nx][Dx]+ [ny][Dy]+ [nz][Dz])ωxΓ=
([ny][Hzx]+ [nz][Hxy])vx+([ny][H]− [nz][Hyz])vz− ([nx][H]+ [ny][Hyz])vy+[nz][Dx]ωzΓ
+[ny][Dx]ωyΓ+[nx][Dx]ωxΓ
− ([ny][Dy]Γ/Ω +[nz][Dz]Γ/Ω)ωxΓ/Ω+[ny][Dx]Γ/Ω ωyΓ/Ω
+[nz][Dx]Γ/Ω ωzΓ/Ω,
(5)
([nx][Dx]+ [ny][Dy]+ [nz][Dz])ωyΓ=
([nz][Hxy]+ [nx][Hzy])vy+([nx][H]− [nx][Hzx])vx− ([nx][H]+ [nz][Hzx])vz+[nz][Dy]ωzΓ
+[nx][Dy]ωxΓ+[ny][Dy]ωyΓ
− ([nz][Dz]Γ/Ω +[nx][Dx]Γ/Ω)ωyΓ/Ω+[nz][Dy]Γ/Ω ωzΓ/Ω
+[nx][Dy]Γ/Ω ωxΓ/Ω,
(6)
([nx][Dx]+ [ny][Dy]+ [nz][Dz])ωzΓ=
([nx][Hyz]+ [ny][Hxz])vz+([nx][H]− [ny][Hxy])vy− ([ny][H]+ [nx][Hxy])vx+[ny][Dz]ωzΓ
+[nx][Dz]ωxΓ+[nz][Dz]ωzΓ
− ([nx][Dx]Γ/Ω +[ny][Dy]Γ/Ω)ωzΓ/Ω+[nx][Dz]Γ/Ω ωxΓ/Ω
+[ny][Dz]Γ/Ω ωyΓ/Ω.
(7)
Velikost matrik [Dx], [Dy], [Dz], je n× n, kjer je n stevilo robnih vozlisc, velikost matrik[Dx]Γ/Ω, [Dy]Γ/Ω, [Dz]Γ/Ω, je n×m, kjer je m stevilo notranjih vozlisc. Matrike [H] vsebujejo in-tegral po robu in so velikosti n×n. Vse matrike so polne. V matrikah [Dx]Γ/Ω, [Dy]Γ/Ω, [Dz]Γ/Ω
se nahaja obmocni integral~n(~ξ)×∫
Ω(~∇×~ω)u∗dΩ, zato so matrike zelo velike. Spominsko zah-
tevnost zmanjsamo s pomocjo aproksimacije.
3 Krizna aproksimacija
Naj Gn×m predstavlja katerokoli od matrik [Dx]Γ/Ω, [Dy]Γ/Ω, [Dz]Γ/Ω in naj ima matrika G ∈IRn×m elementov. Ideja krizne aproksimacije je, da izberemo vrstico n∗ ⊂ n po izbranem inde-ksu i∗ in stolpec m∗ ⊂ m po izbranem j∗ za matriko S ∈ IRn∗×m∗[3]. Pri tem velja zaustavitvenikriterij, iz katerega sledi stevilo izbranih stolpcev in stevilo izbranih vrstic,∥∥∥G− G
∥∥∥≤ ε ali k < r. (8)
G predstavlja aproksimacijo matrike G, ε predpisano razliko, k je trenutni rang aproksimacijein r najvecji rang aproksimacije [3]. Aproksimacijo zapisemo takole,
(9)G˜ = Gn×m∗ · S · Gn∗×m ∈ r(minn∗,m∗),
- 189 -
Kuhljevi dnevi 2016
4
5
6
Gn×m
1 2 3
Sm∗×n∗
4BT
An×r Br×m
A
Gn×m∗ Gn∗×m
321
65
1
Slika 1 : Matrika G je aproksimirana s kombinacija nekaj vrstic n∗ = 4,5,6 in stolpcevm∗ = 1,2,3 [3].
Aproksimirano matriko zapisemo v Rk-matriko. To pomeni da matriko Gn×m∗ in matriko Spomnozimo in dobimo
G = An×r ·BTr×m, (10)
kjer je matrika BTr×m enaka matriki Gn∗×m, r je rang aproksimacije in je zamenjal n∗ in m∗ v
enacbi (9). Rang dolocimo na naslednji nacin: ce je n > m je r = m, ce je n < m je r = n.Locimo dva nacina kako definirati indeksa i∗ in j∗. Izberemo ju lahko glede na celotno matriko,to imenujemo popolno pivotiranje, ali glede na stolpec ali vrstico matrike, to imenujemo delnopivotiranje [3]. Locimo tudi med algebrajsko krizno aproksimacijo (ACA) in analiticno kriznoaproksimacijo (HCA) [6].
3.1 Algebrajska oblika krizne aproksimacije s popolnim pivotiranjem
Algoritem krizne aproskimacije zapisemo takole:
1. R0 = G
2. Zacetek zanke k=1,2,3,..., r
2.1. (i∗, j∗)k = ArgMax∣∣(Gk)
∣∣2.2. γk+1 = (Rk
i∗, j∗)−1
2.3. ak+1 = γk+1Rki, j∗ , bk+1 = (Rk
i∗, j)T
2.4. Rk+1 = Rk−ak+1bk+1
Najprej dolocimo matriko ostankov R0, ki je v prvem koraku enaka izvorni matriki. Nato v(2.1) izberemo maksimalni clen v matriki. Tega normiramo v (2.2). Dolocimo vrstico a instolpec b, za dolocen rang stiskanja, tako kot je zapisano v (2.3). V (2.4) posodobimo matrikoostankov, ce nismo izpolnili pogoja k > r, ponovimo postopek.
Cleni, ki so v krizu ak+1,bk+1, so natancno doloceni, medtem ko so ostali cleni matrike apro-ksimirani, glede na izbran par vrstice in stolpca. Zaustavitveni kriterij za aproksimacijo G, jebil k < r, r je maksimalni rang. Aproksimacija potrebuje O(r ·mn) aritmeticnih operacij inO(r(n+m)) kolicino racunalniskega spomina [7]. Za vsak rang, ki ga dolocimo z aproksima-cijo po zgornjem algoritmu zaporedno izvedemo doloceno stevilo operacij, da dolocimo (i∗, j∗)
- 190 -
Kuhljevi dnevi 2016
vsakic izvedemo O(nm), da izracunamo vektorja ak+1 in bk+1 zahteva O(n+m) aritmeticnihoperacij, in za posodobitev matrike R moramo izvesti O(nm) aritmeticnih operacij [3].
S postopkom krizne aproksimacije smo zmanjsali spominsko zahtevnost izvorne matrike iz m ·nv r(n+m), kjer rang r poljubno izbran. Natancnost aproksimacije narasca z rastocim r.
4 Numericni model
Simulirali smo naravno konvekcijo zraka v kotanji med dvema vertikalnima stenama. Dvenasprotni steni sta bili razlicno greti, ostale stene so bile adiabatne. Simulacijo smo izvedli namrezah, ki so bile proti robu zgoscene. Mreze so imele 173, 253 in 413 vozlisc. Simulirali smoustaljene tokovne razmere od Rayleighjevega stevila 103, 104 do 105 pri Prandtlovem stevilu0.71. Zaustavitveni kriterij simulacije je bil 10−6 za vse enacbe. Na spodnji sliki so prikazanilevo robni pogoji na racunskem obmocju in v sredini oblika racunske mreze. Primerjali smotemperaturni profil, ki smo ga izrisali na premicah na ravnini x− z, to je prikazano na spodnjidesni sliki. Primerjali smo tudi toplotni tok, izrazen kot povprecno Nusseltovo stevilo na gretisteni.
X Y
Z
∂q∂n
=0
θ1∂q∂n
=0
∂q∂n
=0
∂q∂n
=0
θ2
1
X Y
Z
1
X Y
Z
1
Slika 2 : Naravna konvekcija med dvema vertikalnima stenama, desno so prikazani robni po-goji, na sredini je prikazana racunska mreza 253 vozlisci in levo je prikazana ravnina na katerismo izrisali temperaturni profil.
Aproksimirali smo samo matrike, ki so izhajale iz obmocnega integrala enacbe kinematike[Dx]Γ/Ω, [Dy]Γ/Ω, [Dz]Γ/Ω. Stopnjo stiskanja smo dolocili na podlagi razmerja med kolicino
podatkov izvorne matrike in Rk-matrike, ϕ = r(n+m)n·m . Stopnja stiskanja je bila 0.125, 0.25, 0.5
in 1.0. Iz tega smo dolocili ustrezen rang r.
5 Rezultati in diskusija
Opazovali smo, vpliv stopnje stiskanja na tok in povprecno Nusseltovo stevilo na greti steni.Spodnja slika 3 prikazuje vpliv stopnje aproksimacije na razporeditev temperature po opazova-nih premicah racunskega obmocja.
- 191 -
Kuhljevi dnevi 2016
Ra = 103
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
-0.4 -0.2 0 0.2 0.4
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
Zθx
X
θz
173
1
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
-0.4 -0.2 0 0.2 0.4
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
Zθx
X
θz
253
1
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
-0.4 -0.2 0 0.2 0.4
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
Zθx
X
θz
413
1
Ra = 104
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
-0.4 -0.2 0 0.2 0.4
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
Zθx
X
θz
173
1
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
-0.4 -0.2 0 0.2 0.4
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
Zθx
X
θz
253
1
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
-0.4 -0.2 0 0.2 0.4
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
Zθx
X
θz
413
1
Ra = 105
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
-0.4 -0.2 0 0.2 0.4
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
Zθx
X
θz
173
1
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
-0.4 -0.2 0 0.2 0.4
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
Zθx
X
θz
253
1
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
-0.4 -0.2 0 0.2 0.4
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
Zθx
X
θz
413
1
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
-0.4 -0.2 0 0.2 0.4
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
-0.4 -0.2 0 0.2 0.4
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
-0.4 -0.2 0 0.2 0.4
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
-0.4 -0.2 0 0.2 0.4
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
-0.4 -0.2 0 0.2 0.4
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
ϕ = 1.0 ϕ = 0.5 ϕ = 0.25 ϕ = 0.125 BrezSlika 3 : Temperaturni profili za izbrano obmocje, doloceno po sliki 2, za vsa tri Rayleighjevastevila in vse tri testirane mreze, θx je temperatura dolocena na osi x, θz je temperatura dolocenana osi z
Pri Ra = 103 ne vidimo razlik med profili, ki smo jih dobili iz izvorne matrike in profili, kismo jih dobili z stisnjenimi matrikami. Z vecjim Rayleighjevim stevilom se pojavi razlika, kouporabimo aproksimacijo z ϕ manjse ali enako 0.25.
- 192 -
Kuhljevi dnevi 2016
103 104 105
10-4
10-3
10-2
10-1
ǫ
ϕ = 0.5
ϕ = 1.0
ϕ = 0.25ϕ = 0.125
Ra
1
20 30 4010-3
10-2
10-1
ǫ
333
Ra = 104
Ra = 105
Ra = 103
n+m
1
Slika 4 : Desno je narisan graf poteka razlike ε pri razlicnih Ra stevilih in mrezi 413, levo jeizrisan graf poteka napake pri izbranih mrezah in stopnji aproksimacije ϕ = 0.5.
Slika 4 prikazuje razliko med temperaturnim poljem, ki ga dobimo z in brez aproksimacije.Razliko smo dolocili po enacbi
ε =
√∑
n+mi=1 (θ0i−θi)2
∑n+mi=1 θ2
0i, (11)
kjer je θ0i temperatura, izracunana z izvorno matriko, in θi temperatura, izracunana s stisnjenomatriko, vsota tece po vseh vozliscih. Na levem grafu vidimo, da z vecjo stopnjo stiskanja inRa razlika raste. Na desnem opazimo, da razlika ostaja priblizno enaka z gostoto mreze. PriRa = 103 opazimo, da napaka z gostoto mreze pada.
V tabeli 1 je prikazan potek povprecnega Nusseltovega stevila na greti steni. Do aproksimacije0.5, razlike med izvorno matriko in aproksimirano matriko ni. Z nizanjem razmerja ϕ, pod 0.25opazimo razliko. Najvecjo razliko, opazimo na mrezi s 173 stevilom vozlisc. Ostali mrezi, stapri stopnji stikanja 0.25 dali dober rezultat. Kljub temu, je treba upostevati, da je to povprecnavrednost. Ce pogledamo temperaturni profil bomo opazili, da imamo pri obeh mrezah 253 in413 razlike, pri stopnji 0.25, v temperaturnem profilu.
Tabela 1 : Izracunane vrednosti povprecnega Nusseltovega stevila na greti steni, za mrezi 173
in 413
17×17×17Ra 0.125 0.25 0.45 0.5 1.0 Brez103 1.047 1.047 1.068 1.068 1.071 1.071104 1.885 1.862 2.037 2.039 2.058 2.058105 3.915 3.901 4.281 4.311 4.352 4.354
41×41×41Ra 0.125 0.25 0.45 0.5 1.0 Brez103 1.049 1.063 1.069 1.070 1.071 1.071104 1.916 2.006 2.047 2.050 2.056 2.056105 3.983 3.973 4.345 4.343 4.342 4.350
- 193 -
Kuhljevi dnevi 2016
6 Zakljucek
Cilja raziskave je bil raziskati vplive stiskanja matrik [Dx]Γ/Ω, [Dy]Γ/Ω, [Dz]Γ/Ω v sistemihenacb (5), (6) in (8) za tokovne razmere od Ra = 103 do Ra = 105. Ker pod obmocne metodene moremo uporabiti za zapis enacbe kinematike, je bilo potrebno matrike stisniti. Za metodostiskanja smo uporabili krizno aproksimacijo s popolnim pivotiranjem.
Ugotovili smo, da potrebujemo okrog 25% izvorne matrike, da dobimo zadosti dober rezultatza ta primer. Razmerje ϕ mora biti nekje 0.5. Integral u∗ je na izvornih tockah singularen,ce je gostota mreznih vozlisc proti robu racunskega obmocja vecja, to ne vpliva na napakoaproksimacije. Gostota mreze za ta primer ne vpliva na napako aproksimacije in njen rezultat.Stiskanje smo morali koncati pri enakem rangu za vse tri mreze, ceprav imamo primer primrezah 253 in 413, kjer povprecno Nusseltovo stevilo ostane pri nizji stopnji stiskanja enako,tabela 1, je temperaturni profil drugacen, to vidimo na sliki 3 in na sliki 4.
Stiskanje matrike je smiselno, ce je rang aproksimacije za pol manjsi od ranga izvorne matrike.Iz izvorne matrike z stiskanjem naredimo dve matriki. Rang teh dveh matrik mora skupaj bititaksen, da bo spominska zahtevnost zapisa vsaj enaka kot pri izvorni matriki, torej mora bitirazmerje ϕ≤ 1. Drugace je smiselno uporabiti izvorno matriko.
Literatura
[1] Mario Bebendorf. Approximation of boundary element matrices. Numerische Mathematik,86(4):565–589, 2000.
[2] Steffen Borm and Lars Grasedyck. Hybrid cross approximation of integral operators. Nu-merische Mathematik, 101(2):221–249, 2005.
[3] Lars Grasedyck and Wolfgang Hackbusch. Hierarchical Matrices. Number 21. Max-Planck-institut fur Mathematik in den Naturwissenschaften, Leipzig, 2006.
[4] J. Ravnik, L. Skerget, and Z. Zunic. Velocity-vorticity formulation for 3D natural convectionin an inclined enclosure by BEM. International Journal of Heat and Mass Transfer, 51(17-18):4517–4527, 2008.
[5] Jure Ravnik. Metoda robnih elementov za hitrostno vrtincno formulacijo simulacije velikihvrtincev. PhD thesis, Univerza v Mariboru, 2006.
[6] Sergej Rjasanow. Adaptive Cross Approximation of Dense Matrices. IABEM 2002 Sympo-sium, pages 1–12, 2002.
[7] Sergej Rjasanow and Olaf Steinbach. The Fast Solution of Boundary Integral Equations.Springer Science+Business Media, New York, 2007.
[8] L. Skerget, M. Hribersek, and Z. Zunic. Natural convection flows in complex cavities byBEM. International Journal of Numerical Methods for Heat & Fluid Flow, 13(6):720–735,2003.
- 194 -
SLOVENSKO DRUŠTVO ZA MEHANIKO
SREČANJE KUHLJEVI DNEVI 2016
Numerična simulacija aspiracije zraka v vodo pri pospešenem
gibanju bata v cilindru
J. Trček1 in A. Bombač
2
Numerical simulation of air aspiration into water by
accelerated piston movement in cylinder
Povzetek: V prispevku je predstavljena numerična simulacija iztiskanja kapljevine iz cilindra z
enakomerno pospešenim batom. Analizirano je bilo gibanje stične površine zrak/kapljevina ter s
tem podane ugotovitve glede ustreznega pospeševanja bata. Simulacija je bila izdelana s
programsko opremo OpenFOAM 2.4.0. CFD izračuni se dobro ujemajo z eksperimentalnimi
ugotovitvami.
Abstract: This paper presents a numerical simulation of liquid extruding from the cylinder
with constantly accelerated piston. The movement of the air/liquid interface was analyzed and
thereby given the findings of the appropriate piston acceleration. The simulation was made in
OpenFOAM 2.4.0. software. CFD calculations are in good agreement with the experimental
findings.
1 Uvod
Iztiskanje kapljevin z batom iz cilindra se uporablja v različnih vejah industrije, npr.
visokotlačno litje, priprava dvo- in več komponentnih lepil, smol in drugih snovi. Pri tem
je pomembno, da se v iztisnjeno snov ne primeša zrak, saj poroznost slabša kvaliteto
končnih izdelkov. Komercialna programska orodja, ki so na voljo za visokotlačno litje
kovin, še ne omogočajo izdelave simulacije začetnega dela iztiskanja litine iz cilindra s
pospešenim gibanjem bata, zato bi optimizacija s pomočjo CFD simulacije gibanja stične
površine doprinesla k boljši kvaliteti izdelkov. Zato je bila s programsko opremo
OpenFOAM izdelana simulacija tokovnega polja kapljevine pri pospešenem gibanju bata
v cilindru. Cilinder dimenzije ϕ60×350mm je bil polnjen s kapljevino pri treh volumskih
deležih kapljevine (30, 40 in 50%), iztiskanje kapljevine pa z različnimi pospeški bata.
Analizirano je bilo gibanje stične površine zrak/kapljevina ter s tem podane ugotovitve
glede ustreznega gibanja bata. Za delovno kapljevino je bila izbrana voda.
2 Teoretična izhodišča
Gibanje kapljevine je pri pospešenem gibanju bata v vodoravnem cilindru potrebno natančno
1 Hidria Rotomatika d.o.o. 2 Univerza v Ljubljani, Fakulteta za strojništvo, Laboratorij za dinamiko fluidov in termodinamiko
Kuhljevi dnevi 2016
- 196 -
nadzorovati. Če bat prepočasi pospešuje se ustvarijo manjši, plitvi valovi, ki utečejo batu in
se nato odbijejo od nasprotne stene. Če bat prehitro pospešuje, se ustvari visok val, ki se
lahko zvrne. Tako ustvarjen dinamični val ob svojem potovanju ustvari rotacijo kapljevine,
ki posrka okoliški zrak in pomešan ostane v vodi. Oba fenomena sta prikazana na sliki 1:
Slika 1: Plitki (zgoraj) in dinamični val (spodaj)
Za primer plitkega vala uporabimo poenostavitev [1]
za odprti kanal in tako lahko hitrost tega
vala vC izračunamo po enačbi:
(1)
Enačba 1 velja pri volumski napolnjenosti 50% in za nizke valove v primerjavi z globino
kapljevine. Hitrost gibanja vala je v tem primeru odvisna od gravitacijskega pospeška g in
višine vala h. Za hitrost dinamičnega vala pa velja[2]
:
(2)
Iz enačbe 2 vidimo, da je hitrost dinamičnega vala odvisna od hitrosti bata U in od stopnje
volumskega deleža - napolnjenosti cilindra ϕ. V nobeni od zgornjih dveh enačb niso
uporabljene transportne lastnosti tekočin, zato lahko sklepamo, da hitrost potovanja valov ni
odvisna od njih.
Slika 2: Shematski prikaz obravnavanega cilindra
V svojem delu na podlagi teh predpostavk Barkhudarov[2]
razvije matematični model za
popis hitrosti bata glede na čas, ki drži določen naklon vala. Slika 2 prikazuje začetno stanje
cilindra in vse vhodne parametre za enačbe, ki jih je uporabil za izpeljavo modela. Enačba 3
izvira na podlagi predpostavke, da se val giba s konstantno hitrostjo, ko se odlepi od bata.
(3)
Kuhljevi dnevi 2016
- 197 -
Če želimo slediti nastajajočim valovom, je potrebno z batom pospeševati in ima zato vsak
naslednji val višjo hitrost. Če kontroliramo kot nastajajočega vala, se lahko izognemo
dinamičnemu valu, kar opisuje enačba 4:
(4)
(5)
(6)
V enačbo 4 so bile vstavljene enačbe za višini vala in poziciji bata v obeh točkah, da dobimo
enačbo 5. Le-ta je bila nato linearizirana, da dobimo enačbo 6. Enačbo še dodatno
poenostavimo s predpostavko, da je največji nastali kot vala ob času tL, ko le-ta doseže konec
cilindra. Ta čas definiramo z enačbo 7:
(7)
Če v enačbi 6 zamenjamo t s časom tL in preuredimo člene, dobimo:
(8)
S tem je dobil enačbo 8 po kateri lahko izračunamo hitrost bata v odvisnosti od časa, kjer val
ne preseže največjega naklona αmax. Pridobljene rezultate je nato primerjal z numeričnimi
rezultati iz Flow3D, ki so pokazali primerljivost, če opazujemo čas ko kapljevina doseže
konec cilindra in oblikovanje stične površine. Izpostavil je slabost analitične rešitve v 2D
zaradi slabe napovedi hitrostnega polja kapljevine pod stično površino[2]
.
3 Izdelava simulacije
V našem primeru smo izdelali numerično simulacijo v odprtokodnem programskem paketu
OpenFOAM 2.4.0. Model cilindra smo izdelali v Ansys Design Modeler in nato iz njega
mrežo z robnimi pogoji v Ansys Meshing. Rezultati simulacije so bili izdelani s pomočjo
prav tako odprtokodnega programskega paketa Paraview 4.1. Za delovni tekočini smo
uporabili vodo in zrak pri temperaturi okolice (20°C). Pri mreženju modela je bilo potrebno
upoštevati pravilno razporeditev elementov modela, da lahko nato predpišemo pravilne robne
pogoje. Dimenzije cilindra so ϕ60 × 350 mm. Uporabljena je funkcija naraščanja debeline
Kuhljevi dnevi 2016
- 198 -
stene, kjer je bila definirana debelina prvega elementa pri steni (0,5 mm), razmerje
naraščanja debeline elementov 1,2 in število elementov (9). Ti manjši elementi na robu
mreže so pogoj za uporabo standardnih stenskih funkcij [3,4]
. Za preostale elemente mreže je
minimalna dolžina roba elementa 3,5 mm v vseh smereh. Izdelana mreža je prikazana na
sliki 3. S takšnimi nastavitvami izdelana mreža ima 35800 tetraedričnih elementov. Za
primerjavo je bila izdelana tudi mreža s podvojenim številom elementov (80900). Po
primerjavi rezultatov simulacije pri enakih vhodnih nastavitvah se je izkazalo, da dobimo
popolnoma primerljive rezultate gibanja stične površina, hitrostnega in tlačnega polja. Hkrati
pa se je hitrost izračuna močno skrajšala, zato smo se odločili za izdelavo rezultatov na tej
redkejši mreži. Geometrijo razdelimo na robne pogoje za izdelavo dinamične mreže.
Slika 3: 3D mreža cilindra s 35800 elementi
Slika 4: Robni pogoji uporabljene mreže: stena bata (a), gibajoča stena cilindra (b), stena
na koncu cilindra (c), tlačni izpust (č) in simetrija (d)
Vsi robni pogoji so prikazani na sliki 4 kot rdeča mreža na modelu, namen posameznega
robnega pogoja je:
stena bata (wall_piston) – giblje se s predpisano hitrostjo.
Kuhljevi dnevi 2016
- 199 -
stena na koncu cilindra (wall_cylinder) – stacionarna stena.
gibajoča stena cilindra (wall_cylinder_moving) – vzdolž cilindra jo deformiramo s
predpisano hitrostjo.
tlačni izpust (outlet) – neomejen izstop za obe tekočini.
simetrija (symmetry_yz) – ne uporablja enakih pogojev kot navadna stenska
funkcija. Zrcali reakcijo. Uporabljamo za razpolovitev volumna in zato posledično
manjšega števila elementov mreže. Ostalo je enako kot pri robnemu pogoju gibajoče
stene cilindra.
Za reševanje problema je bil izbran standardni solver interDyMFoam (izračun za dve
nestisljivi, izotermni in ne-pomešljivi tekočini z metodo VOF (volume of liquid), ki sledi
deležu kapljevine na stični površini in ima dodatno možnost dinamične mreže s
spremembami topologije, vključno s prilagodljivim posodabljanjem mreže[5]
). Za izračun
hitrostnega in tlačnega polja je bila uporabljena shema PIMPLE (združeni metodi PISO in
SIMPLE). Izbran časovni korak je bil 10-5
s, ki je še omogočil dobro konvergenco
posameznega računskega koraka. Dodatno skrajševanje časovnega koraka ni pripomogli k
hitrejši konvergenci, ampak samo podaljšalo čas izračuna numerične simulacije. Uporabljeni
turbulentni model je k-Ω SST. Robna pogoja stena bata in stena na koncu cilindra sta brez
gradienta, gibajoča stena cilindra ima omogočen drseči tip in tlačni izpust ima robni pogoja
tipa vstop/izstop, ki omogoča povratni tok. Interval zapisa rezultatov je bil podan na 0,01 s.
Za deformacijo mreže je bil izbran model izračuna Laplacove komponente (velocity
Component Laplacian), ki deformira mrežo v z-osi. Hitrost gibanja stene bata, ki jo
uporabimo nato za deformacijo mreže, smo definirali kot enakomerno pospešeno gibanje do
dveh različnih hitrosti – 0,4 m/s in 0,8 m/s. Volumska napolnjenost cilindra (volumen vode v
primerjavi s celotnim volumnom cilindra) je bil izbran 40%.
4 Rezultati 4.1 Numerična simulacija
Slika 5 prikazuje rezultate pri hitrosti 0,4 m/s in volumski napolnjenosti 40%. Pri času t =
0,78 s se nižji val hitro približuje nasprotni steni. Le-ta se zabije ob steno cilindra in povzroči
hitro zaprtje tlačnega izpusta, ker je vidno pri času t = 1,03 s. Takoj zatem je pri času t = 1,1
s vidno, da ustvarimo veliko količino zračnih votlin zaradi zaprtja tlačnega izpusta. Rezultat
pri času t = 1,12 s kaže, da je večina zračnih votlin že popolnoma pomešanih med kapljevino,
razen največjega. Pri zadnjem času t = 1,18 s je prisotna zgolj še kapljevina z izjemo manjše
votline tik pri steni bata. S pospeševanjem bata do hitrosti 0,4 m/s zajamemo večjo količino
zraka v kapljevino v razpršeni obliki.
Na sliki 6 so prikazani rezultati za hitrost bata 0,6 m/s pri volumski napolnjenosti 40%. Pri
času t = 0,5 s je lepo vidno nastajanje vala, ki se bliža vrhu cilindra. Izstopa večji kot vala na
spodaj. Kapljevina je pri času t = 0,45 s že zapolnila vrh cilindra in se pospešeno giba proti
tlačnemu izpustu. Pri nadaljnjem pospeševanju kapljevine postane stična površina vertikalna,
vidno pri času t = 0,67 s. Kapljevina z visoko hitrostjo preide hitro v izpust, v cilindru pa
ostane določen delež zraka desno od izpusta (t = 0,7 s). Le-ta je hitro izrinjen skozi tlačni
izpust in imamo prisotno zgolj še kapljevino.
Na sliki 7 so prikazani rezultati pri hitrosti 0,8 m/s in volumski napolnjenosti 40%. Pojavi se
zelo očiten preval kapljevine zaradi visoke nastavljene hitrosti. Pri času t = 0,33 s se vidi
kako zelo hitro se stična površina postavi vertikalno, ki preide v preval pri času t = 0,4 s. Pri
času t = 0,44 s kapljevina pljuskne ob stacionarno kapljevino in pomeša veliko zraka v vodo.
Kuhljevi dnevi 2016
- 200 -
Slika 5: Delež vode v odvisnosti od časa pri hitrosti bata 0,4 m/s, napolnjenost valja 40%
Slika 6: Delež vode v odvisnosti od časa pri hitrosti bata 0,6 m/s, napolnjenost valja 40%
Pri času t = 0,5 s opazimo, količino zraka zajetega v kapljevino in prav tako del desno od
tlačnega izpusta, ki je ostal neizrinjen iz cilindra.
Kuhljevi dnevi 2016
- 201 -
Slika 7: Delež vode v odvisnosti od časa pri hitrosti bata 0,8 m/s, napolnjenost valja 40%
Izkaže se, da je izbrana hitrost do katere pospešuje bat previsoka. Zaradi ustvarjenega
prevala se zajame in pomeša v kapljevino večja količina zraka, ki jo je nato nemogoče
odstraniti iz kapljevine.
4.2 Eksperiment
Z eksperimentom oz. testom na realnem procesu litja aluminija smo direktno aplicirali
rezultate numeričnih simulacije. Na stroju za visokotlačno litje aluminija, kjer se uporablja
princip iztiskanja aluminijeve taline in smo uporabili hitrosti izračunane s CFD v prejšnjem
Slika 8: Rentgenska slika Al litine v izstopnem kanalu iz cilindra pri iztisnih hitrostih bata
0,4 m/s, 0,6 m/s in 0,8 m/s (od leve proti desni)
podpoglavju (1. faza litja). Rezultati so prikazani v obliki rentgenskih posnetkov Al litine na
izstopnem kanalu, to je območje tik za tlačnim izpustom v CFD analizi. Belo obkrožene lise
Kuhljevi dnevi 2016
- 202 -
so posledica napake na leči kamere iz rentgena in se jih zato ne upošteva. Pri najnižji hitrosti
0,4 m/s opazimo homogeno razporeditev manjših zračnih mehurčkov (poroznost) po
celotnem dolivku. Pri hitrosti 0,6 m/s so le-ti zelo blizu tlačnega izpusta in ostali predel
popolnoma čist. Pri najvišji hitrosti se razprostirajo spet višje po strelu in v večjih zračnih
mehurčkih kot pri nižjih hitrostih. Rezultati so primerljivi s tistimi iz numeričnih simulacij,
če sklepamo kako je zrak pomešan med kapljevino in nato iztisnjen skozi tlačni izpust.
5 Zaključek
V numeričnih simulacijah smo izdelali rezultate za enakomerno pospešeno gibanje bata v
cilindru pri treh različnih hitrostih in volumski napolnjenosti 40%. Izdelali smo tudi
eksperiment na realnem procesu, ki uporablja to vrsto gibanja kapljevine – visokotlačno
litje, kjer smo opazovali zajeti zrak v 'strelu' tik za tlačnim izpustom. Rezultati numerične
simulacije so pokazali, da pri nižjih hitrostih ne sledimo zadostno ustvarjenim valovom na
stični površini kapljevine, medtem ko s previsokimi hitrostmi lahko ustvarimo preval, ki
nekontrolirano pomeša zrak v kapljevino. Najbližje optimalnemu nastajanju vala je bilo
doseženo z enakomernim pospeševanjem bata do hitrosti 0,6 m/s. Optimalno gibanje je
takšno, pri katerem dosežemo val ki zapolni cilinder, vendar se ne lomi ter tako ne zajema
zraka (preval kapljevine) ali zaprtja tlačnega izpusta zaradi uhajajočega vala. Rezultati
eksperimenta na realnem procesu dobro potrdijo rezultate simulacij. Izdelani rezultati
numeričnih simulacij pri enakomerno pospešenem gibanju bata v cilindru so tako zelo
spodbudni in direktno uporabo v industriji.
Literatura
[1] OpenProf: Valovanje na gladini kapljevine; dostopno na:
http://si.openprof.com/wb/valovanje_na_gladini_kapljevine?ch=335, ogled 22.10.2015
[2] M.R. Barkhudarov, Minimizing Air Entrainment in a Shot Sleeve during Slow-Shot
Stage, Die Casting Engineer, 53, 3, 34-37, 2009
[3] A. Bombač, D. Beader, I. Žun: Mixing times in a stirred vessel with a modified turbine.
Acta chimica slovenica, 59, 4, 707-721, 2012
[4] A. Bombač, I. Žun, Tlačne izgube in pomešanje v statičnem mešalu, Ventil, 12, 6, 370-
375, 2006
[5] C. J. Greenshields, OpenFOAM User Guide - The Open Source CFD Toolbox,
OpenFOAM Foundation Ltd., 2015
CIP - Katalozni zapis o publikacijiNarodna in univerzitetna knjiznica, Ljubljana
531/532(082)
KUHLJEVI dnevi (2016 ; Bovec)Zbornik del / Kuhljevi dnevi 2016, Bovec, 29.-30. september 2016 ;
uredila Dejan Zupan, Tomaz Hozjan. - Ljubljana : Slovensko drustvo za mehaniko, 2016
ISBN 978-961-93859-1-31. Zupan, Dejan, 1973-286428416
6201
9 789619 385913
ISBN 978-961-93859-1-3
Slovensko društvo
za mehaniko