Zbornik del

211
1 6 kuhlj dn evi bovec, 29. in 30. september 2016 uredila dejan zupan in tomaž hozjan

Transcript of Zbornik del

Page 1: Zbornik del

16kuhljdn evi

bovec, 29. in 30. september 2016uredila dejan zupan in tomaž hozjan

Page 2: Zbornik del

Zbornik del

Kuhljevi dnevi 2016

Bovec, 29. – 30. september 2016

Uredila:

Dejan Zupan

Tomaž Hozjan

Page 3: Zbornik del

Kuhljevi dnevi 2016 Bovec, 29. – 30. september 2016

ZBORNIK DEL

Uredila:

Dejan Zupan Tomaž Hozjan

Recenzije:

Miha Boltežar Andrej Bombač Nenad Gubeljak Matjaž Hriberšek

Marko Kegl George Mejak Igor Planinc Jure Ravnik Zoran Ren

Janko Slavič Leopold Škerget

Izdalo in založilo:

SLOVENSKO DRUŠTVO ZA MEHANIKO

Jamova 2, Ljubljana

september, 2016

Grafično oblikovanje:

Veronika Saje

Tisk in vezava:

Formatisk, Ljubljana

Naklada:

80 izvodov

Cena:

knjiga je brezplačna

Page 4: Zbornik del

Kuhljevi dnevi 2016

Kazalo

M. Bek, I. EmriUporaba hidrostaticnega tlaka za spreminjanje lastnosti polimernih dusilnih elementov. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 – 8

A. Bombac, M. CoticPresoja hidrodinamskega stanja pri dispergiranju zraka v vodi in vodni raztopini CMCz vecstopenjskim mesalom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 – 16

M. Cotic, U. Kocevar, A. BombacEksperimentalna dolocitev premerov mehurckov pri dispergiranju zraka v posodi s tri-stopenjskim mesalom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 – 24

R. FlajsO nicelnosti lineariziranih kinematicnih in ravnoteznih enacb sistema podprtih in po-vezanih togih teles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 – 32

R. Flajs, M. SajeDoprinos Moore-Penrosovega psevdo inverza k enolicni resljivosti in konvergencistirikotnih koncnih elementov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 – 40

J. Gostisa, M. Milavec, M. Hocevar, B. SirokModelna analiza vetrovnika v Nordijskem centru Planica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 – 48

A. Grm, M. BatistaStaticna analiza upogiba pristajalnega odbojnika v Luki Koper . . . . . . . . . . . . . . . 49 – 56

B. Harl, J. Predan, M. Kegl, N. GubeljakPriprava mehanskega modela za optimizacijo topologije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .57 – 64

T. Hozjan, G. TrtnikSpremljanje procesa formiranja strukture materialov s cementnim vezivom z ultrazvocnometodo in metodo elektricne prevodnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 – 74

- iii -

Page 5: Zbornik del

Kuhljevi dnevi 2016

A. Ivanic, M. Frajnkovic, L. Adanic, S. LubejPrimerjava razlicnih tehnik za upogibno utrjevanje tankih betonskih preizkusancev, zuporabo ogljikovih vlaken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 – 81

K. Krebelj, N. Mole, B. StokNumericno modeliranje mehanskega odziva polietilena visoke gostote v razmerah iz-metavanja pri injekcijskem brizganju . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 – 90

D. Lolic, D. Zupan, M. BrojanDelaminacija kompozitnega nosilca z nelinearnim stikom med lamelami . . . . . . 91 – 98

J. Luznar, J. Slavic, M. BoltezarPulzno sirinska modulacija kot vir vzbujanja dinamske strukture . . . . . . . . . . . . 99 – 106

I. Matijevic, A. BombacCFD analiza dispergiranja zraka v posodi s tristopenjskim mesalom na meji poplav-nega stanja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 – 114

G. MejakDolocitev faktorja koncentracije napetosti s pomocjo ekvivalentnih lastnih deformacij. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 – 122

N. Novak, M. Vesenjak, Z. RenAvkseticni celicni materiali in njihovo obnasanje pri tlacni obremenitvi . . . . .123 – 130

A. Ogrin, T. Hozjan, M. SajeNumericno modeliranje nepopolne intumescence protipozarnih premazov . . 131 – 138

R. Pecenko, T. HozjanVpliv vlage na odziv lesenega nosilca v pozaru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 – 146

R. PusenjakPosploseni Van der Polov model procesov zgorevanja s transportno casovno zakasni-tvijo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 – 154

M. Ramsak, J. Ravnik, M. Hribersek, P. SteinmannSledenje rotaciji makro delca z BEM in OpenFOAM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 – 162

M. Razpotnik, M. BoltezarAnaliza prenosa vibracij v staticno nedolocenih menjalnikih - vpliv nelinearne togostilezajev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .163 – 170

A. Starc, I. Planinc, S. BratinaUklon armaturne palice v poskodovanem AB stebru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 – 178

- iv -

Page 6: Zbornik del

Kuhljevi dnevi 2016

T. Stimec, M. Hribersek, J. Ravnik, S. Basic, M. ZadravecNumericno modeliranje adsorpcije v adsorberju s satovjem pri razlicnih temperaturahv sistemu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 – 186

J. Tibaut, L. Skerget, J. RavnikUporaba metode krizne aproksimacije v metodi robnih elementov . . . . . . . . . . 187 – 194

J. Trcek, A. BombacNumericna simulacija aspiracije zraka v vodo pri pospesenem gibanju bata v cilindru. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 – 202

- v -

Page 7: Zbornik del

Kuhljevi dnevi 2016

.

- vi -

Page 8: Zbornik del

SLOVENSKO DRUŠTVO ZA MEHANIKO

SREČANJE KUHLJEVI DNEVI 2016

Uporaba hidrostatičnega tlaka za spreminjanje lastnosti

polimernih dušilnih elementov

Marko Bek1, Igor Emri1

Using hydrostatic pressure to modify properties of polymeric

damping elements

Povzetek. V sklopu prispevka predstavljamo vpliv tlaka na lastnosti polimernega

materiala termoplastičnega poliuretana. Pokazano je bilo, da povečanje hidrostatičnega

tlaka od 0.1 MPa do 200 MPa spremeni vrednosti shranitvenega modula G (povezan s

togostjo materiala) do 3.5 krat, medtem, ko se vrednosti modula izgub G (povezan s

dušenjem materiala) spremenijo do 5.5 krat.

To odvisnost polimernih materialov od tlaka je mogoče uporabiti za razvoj novih,

patentiranih granuliranih dušilnih elementih, ki so sestavljeni iz pletene tkanine napolnjene

z granuliranim polimernim materialom pod tlakom. Izdelava dušilnih elementov z uporabo

različnih polnilnih tlakov omogoča adaptivno spreminjanje njihovih lastnosti. Obstajajo

številne aplikacije, ki bi lahko koristile možnost adaptivnega spreminjanja lastnosti

granuliranih dušilnih elementov, vendar v tem prispevku predstavljamo, kot primer,

zmanjšanje kotalnega hrupa na železniških tirnicah.

Abstract. This paper presents the effect of pressure on bulk properties of polymeric

material thermoplastic polyurethane. Within the paper we have shown that increase of

hydrostatic pressure from 0.1 MPa to 200 MPa changes values of storage modulus G

(related to stiffness of a material) up to 3.5 times, while the values of loss modulus G

(related to damping properties of material) are changed up to 5.5 times.

This pressure dependence of polymeric materials can be utilized in newly developed,

patented granular damping elements, composed of fiber textile tubes filled with pressurized

granulated polymeric material. Producing damping elements using different filling

pressures enables us to adaptively change its properties. There a several applications which

would benefit from such adaptive granular damping elements, however this paper presents

as an example, rolling noise reduction on rails.

1 University of Ljubljana, Faculty of Mechanical Engineering, Aškerčeva 6, SI-1000 Ljubljana, Slovenia

Page 9: Zbornik del

Kuhljevi dnevi 2016

- 2 -

1 Introduction

Railroad transport has many advantages compared to other means of transport and for this

reason, national and also EU transport policies are aimed at minimization of the current

difference between road transport and railroad transport [1]. However, problem of noise

nuisance of population living near rail lines as well as impact on wildlife [2] remains.

Regardless on the fact that more population is annoyed by road noise than by rail noise,

increased volume of rail traffic (from expansion of rail networks and increased traffic on

existing lines) could have negative impact on environment in the future.

Minimizing noise levels can be achieved by implementing different noise control measures:

increased damping, reduction of excitations, acoustic shielding or absorption and vibration

insulation. Naturally the best solution is to avoid vibration problem in the first place, however

this is often not possible. In order for noise-control measures to be successful the (dominant)

source of noise should be identified. In the case of railway noise it has been found that in many

situations rolling noise is the dominant source and is caused by wheel and rail vibrations

induced at wheel/rail contact [3]. Several reduction techniques for controlling rolling noise

exist, among them are: grinding of rail surfaces, optimizing shape of rail wheels, replacing iron

breaks with composite brakes, optimizing rail pads, sound barriers and (tuned) absorber

systems.

The role of rail pads and especially of (tuned) absorber systems is to minimizing the vibration

transmission between source (wheel/rail contact) and receiver (buildings, train, people…) by

damping vibrations travelling from to receiver. Damping refers to the energy dissipation

process of a material undergoing cyclic stress-strain loading and changing the mechanical

energy into heat [4,5]. Damping is usually divided into two types: i) material damping, where

kinetic energy of a vibrating system is converted into heat and ii) system or structural damping

which includes supports, interfaces, joints, etc [6]. Reducing vibration amplitudes may be

achieved by increasing damping and/or increasing stiffness [7].

Materials which are being used for damping of vibrations are metals and polymers. Polymers

are used due to their good damping properties through viscose mechanisms, however also

metals can exhibit considerable damping through dislocations of structure, grain boundaries,

etc [7]. Comparison between metal materials and polymeric materials used for damping done

by Chung [7] showed that among the investigated materials polymers compared to metals

exhibit the highest damping factor tan δ, however they suffer from low stiffness. In addition

to this, comparing polymeric materials exposes that polymeric materials with high damping

factor tan δ (typical representatives are elastomeric materials) have lower stiffness compared

to polymeric materials with lower damping factor (typically this are thermoplastic materials).

Due to their insufficient stiffness polymers with better damping are often not being used for

vibration isolation.

When using polymeric materials their strong temperature and frequency dependence has to be

taken into account [8]. The effect of frequency on mechanical properties and damping factor

has similar but opposite effect as temperature, but at very different rates. While in temperature

range of few hundred degrees majority of polymers will undergo from glassy to rubbery state,

the corresponding change in frequency range extends by orders of magnitude [6].

Combining both facts: i) polymeric materials with higher damping factors are not being used

due to their insufficient stiffness and ii) maximal damping properties of polymeric materials

Page 10: Zbornik del

Kuhljevi dnevi 2016

- 3 -

are not being utilized, since they appear at very high frequencies leads to conclusion that there

is still room to increase damping and reduce vibration amplitudes.

The aim of this paper is to show that exposing viscoelastic material to the inherent (hydrostatic)

pressure changes frequency dependent mechanical properties of polymeric materials. Hence,

by proper selection of damping material and a pressure to which material is exposed one can

change the frequency range of its maximum damping properties. This allows full utilization of

damping potential of the selected material and maximize the damping effect of the damping

element which is made of this material. Using this unique property of viscoelastic materials

enables one to designed ultimate adaptive damping elements which can be used in railroad

applications as well as in other relevant cases.

2 Materials and Methods

Stress relaxation is the process, in which a viscoelastic material relaxes after application of a

sudden deformation (step loading) in our particular case, torsional shear deformation.

Whereas, for the case of shear creep a viscoelastic material has to be exposed to a sudden shear

stress, which then initiates the creep process. Deformation or stress load should be applied at

particular boundary conditions, i.e., temperature and pressure, such so the material response is

measured at these equilibrium conditions. Pressure can have enormous effect on the response

of viscoelastic materials [9]. When we expose viscoelastic materials to high pressures the

mobility of polymeric chains is hindered. On the macro scale this is exhibited through the

extension of the material creep and relaxation time scales [10]. Hence, under hydrostatic

pressure the viscosities and viscoelastic relaxation and retardation times of polymers increase.

Relaxation and creep of viscoelastic materials are slow processes and they may last over many

decades in time, thus, experimentally it is almost impossible to measure a complete (‘long-

term’) relaxation or creep curve. Therefore, it is a common practice to determine the relaxation

modulus or creep compliance within a certain range of time called the Experimental window.

Once individual segments are measured at different temperatures and/or pressures, a

mastercurve can be generated using time-temperature (t-T) or, equivalently, time-pressure (t-

P) superposition principle (SP). Different segments determined at different temperatures and

at constant pressure are shifted by factor log Ta , and segments measured at different pressures

and at constant temperature are shifted by factor log pa , so the corresponding mastercurves

can be generated [9,10]. Information on dynamic behavior of viscoelastic materials within this

paper, were obtained through the interconversion process [11], since static and dynamic

material functions are interrelated in the Laplace space [8]. It should be noted that this is valid

as long as behavior follows linear theory of viscoelasticity.

In order to determine mechanical properties a unique apparatus called CMS (CEM Measuring

System) was used [10,12,13]. The CMS apparatus was used to measure shear relaxation

modulus ( )G t and is determined by measuring the decaying moment of a specimen exposed

to selected constant temperature and pressure boundary conditions. The shear relaxation

modulus ( )G t is the ratio of the time-dependent shear stress t over a fixed shear strain 0

0

( )( )

tG t

(1)

Page 11: Zbornik del

Kuhljevi dnevi 2016

- 4 -

The shear stress of a material is determined by its geometry and its time-dependent internal

resistance to an applied deformation. The internal resistance of a cylindrical specimen can be

expressed in terms of a time-dependent moment ( )M t and the polar moment of area pI :

0( )( )

2 p

M t Dt

I (2)

Where 0D is the specimen diameter and pI is defined as:

4

032

pI D

(3)

For a cylindrical specimen of length 0L , the shear strain can be written in terms of the applied

angular deformation 0 in radians:

0 00

02

D

L

(4)

Rewriting these equations, results in the final expression for the shear relaxation modulus:

0

4

0 0

32 ( )( , , )

L M tG t T P

D (5)

In the present study, interconversion between static and dynamic domain was done using the

Schwarzl approximation relations [14].

3 Results and Discussion

For clarity reasons the results on storage ( )G and loss modulus ( )G are shown for two

pressures, i.e., 0.1 MPa and 200 MPa , only. The full symbols represent measurements done

at lower pressure ( 0.1 p MPa ), whereas the empty symbols represent measurements done at

higher pressure ( 200 p MPa ). The results for storage modulus ( )G are shown in Figure

1 and for loss modulus ( )G in Figure 2.

Figure 1: Storage modulus G at 0.1 p MPa and 200 p MPa

Page 12: Zbornik del

Kuhljevi dnevi 2016

- 5 -

Figure 2: Loss modulus G at 0.1 p MPa and 200 p MPa

As previously mentioned we utilize this property of polymers in construction of damping

elements for railroad applications. Since the noise and vibration causing the most discomfort

is located in frequency range between 1 Hz and 1000 Hz , we will examine the effect of

pressure on stiffness and damping properties of TPU within this frequency window.

Figure 3: Storage G and loss modulus G at 0.1 p MPa and 200 p MPa

From Figure 3 we may clearly see that within the region of our interest (1 1000 Hz ), changes

of inherent (hydrostatic) pressure of TPU from 0.1 MPa to 200 MPa cause material

properties change for several orders of magnitude. Specifically, at frequency 1Hz and

pressure 0.1 MPa the storage modulus (representing stiffness) is

( 1 , 0.1 ) 2.99G Hz p MPa MPa , whereas at pressure 200 MPa the storage modulus

increases to ( 1 , 200 ) 4.07G Hz p MPa MPa . Hence, material becomes 1.4 times

Page 13: Zbornik del

Kuhljevi dnevi 2016

- 6 -

stiffer. At the same frequency of 1 Hz the loss modulus (representing material damping

characteristics) at pressure 0.1 MPa is ( 1 , 0.1 ) 0.29G Hz p MPa MPa , whereas at

pressure 200 MPa it rises to ( 1 , 200 ) 0.92G Hz p MPa MPa . This means that at

elevated pressure the materials ability to dissipate energy increases 3.15 times.

For the higher end of the frequency window, i.e., 1000Hz , we observe analogous trends.

At 0.1 MPa the storage modulus is ( 100 , 0.1 ) 6.89G Hz p MPa MPa , whereas at the

pressure 200 MPa the storage modulus becomes ( 100 , 200 ) 23.89G Hz p MPa MPa ,

meaning that material stiffness is increased 3.46 times. At the same time the loss modulus at

pressure 0.1 MPa is ( 100 , 0.1 ) 2.33G Hz p MPa MPa and at pressure 200 MPa it

becomes ( 100 , 200 ) 12.65G Hz p MPa MPa . Thus, the material ability to dissipate

energy has increased 5.41 times.

From Figure 1 and Figure 1 one may easily concluede, that by further increasing material

inherent pressure we may increase the stiffness and damping properties of TPU up to 100

times.

4 Adaptive damping elements system based on Dissipative Granular Materials

Based on the presented results, where we showed that existing solutions for structural and

vibration control do not and cannot fully utilize stiffness and damping characteristics of time-

and frequency-dependent materials, we developed adaptive damping elements system, which

we have called DGM System (DGM – Dissipative Granular Materials).

As we have showed, the inherent (hydrostatic) pressure changes frequency dependence of

polymeric materials. Hence, by proper selection of damping material and a pressure to which

material is exposed one can match the frequency range of its maximum damping properties

with the resonance frequency of the building and/or structure exposed to earthquakes. In this

way we fully utilize damping characteristics of the selected material and maximize the energy

absorption properties of the damper.

Granular materials when excited beyond a certain level of stress flow similarly as liquids while

maintaining all properties of a bulk material. The macroscopic flow of particles further

expands the energy dissipation capability of granular materials. Hence, micro to macro -size

multimodal elastomeric granular material may be used as a pressurizing media (similar as air

in tires) to impose hydrostatic pressure on itself, and change frequency dependence of its own

energy absorption properties. With proper adjustment of pressure, we also adjust the stiffness

of the damping element (again, similar as with air in tiers). The proposed particle-filled

damping element will provide greater energy dissipation, since when granular materials are

deformed there is relative motion of particles; such motion causes energy dissipation through

friction. Our proposed solution consists of micro- and macro-sized particles. Smaller particles

lead to more surface area per unit volume, which increases the magnitude of frictional

dissipation energy caused by particle-particle interaction; while larger particles will allow

macroscopic flow, as described above. Hence, our proposed solution utilizes all possible

energy dissipation mechanisms and represents an optimal solution for the proposed novel

damping system. Such patented damping elements [15,16] consist of elastomeric granular

material, which is exposed to pre-defined hydrostatic pressure and which is encapsulated in a

flexible glass, basalt or carbon fiber tube, as shown in Figure 4.

Page 14: Zbornik del

Kuhljevi dnevi 2016

- 7 -

This design enables us to pressurize the granular material inside the damping element. At

higher pressures properties of material shift to lower frequencies, compared to the reference

values.

Figure 4: Damping elements consisting of pressurized elastomeric granular material

encapsulated by fiber tube

5 Conclusion

In this paper we have demonstrated that by utilizing the basic knowledge on the effect of

inherent hydrostatic pressure on the time- and frequency-dependent behavior of polymers it is

possible to design and build the ultimate damping systems for the use in vibration damping

applications.

In this process we need an apparatus that allows material determination of material functions,

as function of pressure and temperature in time or frequency domain, e.g., ( )G t . Presented

CEM Measuring System is an example of such apparatus.

For the selected TPU material we found that increase of inherent hydrostatic pressure from

0.1MPa to 200MPa changes values of storage modulus G up to 2.5 times (depending on the

frequency), while the values of loss modulus G are changed up to 5.2 times.

Acknowledgements

Authors acknowledge the financial support of the Slovenian Research Founding Agency (P2-

0264), and the European Union Social Fund (P-MR-10/148).

References

[1] “Road Freight Transport Vademecum 2010 Report,” European Commission, 2011.

[Online]. Available: http://ec.europa.eu/transport/modes/road/doc/2010-road-freight-

vademecum.pdf. [Accessed: 03-Sep-2015].

[2] H. Bekker and B. Iuell, “Habitat fragmentation due to infrastructure,” 2003.

[3] D. Thompson, Railway noise and vibration: mechanisms, modelling and means of

control. Elsevier, 2008.

[4] L. E. Goodman, “Material damping and slip damping,” in Shock and vibration

Page 15: Zbornik del

Kuhljevi dnevi 2016

- 8 -

handbook, vol. 36, McGraw-Hill New York, 1976, pp. 1–28.

[5] M. D. Rao, “Recent applications of viscoelastic damping for noise control in

automobiles and commercial airplanes,” J. Sound Vib., vol. 262, no. 3, pp. 457–474,

2003.

[6] D. I. G. Jones, Handbook of viscoelastic vibration damping. John Wiley & Sons, 2001.

[7] D. D. L. Chung, “Review: Materials for vibration damping,” J. Mater. Sci., vol. 36, no.

24, pp. 5733–5737, 2001.

[8] N. W. Tschoegl, The phenomenological theory of linear viscoelastic behavior: an

introduction. Springer Science & Business Media, 1989.

[9] N. Tschoegl, W. Knauss, and I. Emri, “The effect of temperature and pressure on the

mechanical properties of thermo-and/or piezorheologically simple polymeric materials

in thermodynamic equilibrium - A critical review,” Mech. Time-Dependent Mater., vol.

6, no. 1, pp. 53–99, 2002.

[10] W. G. Knauss, I. Emri, and H. Lu, Mechanics of Polymers: Viscoelasticity. In W. N.

Sharpe (Ed.), Springer Handbook of Experimental Solid Mechanics. Springer Verlag,

2008.

[11] I. Emri, B. S. von Bernstorff, R. Cvelbar, and A. Nikonov, “Re-examination of the

approximate methods for interconversion between frequency-and time-dependent

material functions,” J. Nonnewton. Fluid Mech., vol. 129, no. 2, pp. 75–84, 2005.

[12] I. Emri and T. Prodan, “A measuring system for bulk and shear characterization of

polymers,” Exp. Mech., vol. 46, no. 4, pp. 429–439, 2006.

[13] A. Kralj, T. Prodan, and I. Emri, “An apparatus for measuring the effect of pressure on

the time-dependent properties of polymers,” J. Rheol., vol. 45, no. 4, pp. 929–943,

2001.

[14] F. R. Schwarzl, “On the interconversion between viscoelastic material functions,” Pure

Appl. Chem., vol. 23, no. 2–3, pp. 219–234, 1970.

[15] I. Emri and B. S. von Bernstorff, “Dissipative bulk and granular systems technology,”

EP2700839, 2012.

[16] I. Emri, B. S. von Bernstorff, F. Brehmer, A. Kalamar, M. Bek, and P. Oblak, “Sleeper

with damping element based on dissipative bulk or granular technology,” EP2700838,

2012.

Page 16: Zbornik del

SLOVENSKO DRUŠTVO ZA MEHANIKO

SREČANJE KUHLJEVI DNEVI 2016

Presoja hidrodinamskega stanja pri dispergiranju zraka v vodi

in vodni raztopini CMC z večstopenjskim mešalom

A. Bombač1 in M. Cotič

1

Estimation of hydrodynamic regime by air dispersing with

multiple impellers into water and CMC water solution

Povzetek. V prispevku je obravnavana presoja pojava poplavnega stanja pri dispergiranju zraka na

modelni mešali napravi z večstopenjskim mešalom. Presoja je temeljila na osnovi vizualizacije

tokovnega stanja na steni posode. Modelna posoda in mešala so bila prirejena tako, da so ustrezala

merilom podobnosti dveh izvedb industrijskih fermentorjev. Dispergiranje zraka je bilo izvedeno v

vodovodni vodi in vodni raztopini CMC masne koncentracije 1,5% za podane hidrodinamske

režime na industrijskem fermentorju.

Abstract The paper discusses an assessment of the flooding phenomenon a model mixing device

stirred with multiple impellers. The assessment was based on the visualization of the flow field seen

through the vessel wall. The mixing vessel and impellers satisfied the geometrical similarity of two

corresponded industrial fermenters. The air dispersing was performed in a tap water and aqueous

dilution of the CMC (1.5m%) for given hydrodynamic regimes relevant to the industrial fermenter

operation.

1 Uvod

Proces fermentacije v vitkem reaktorju običajno poteka pri aeraciji fermentacijske brozge z

uporabo večstopenjskega mešala. Le-to je ključnega pomena za optimalno izvedbo procesa,

saj so s tem pogojene osnovne karakteristike kot so moč mešanja, čas pomešanja ter delež in

porazdelitev plinaste faze, stična površina med kapljevino in plinom itn. Mešala v

konfiguraciji večstopenjskega sklopa so lahko enakega tipa in enakega premera kot tudi

kombinacija aksialnih in radialnih in drugih tipov mešal ter tudi različnih premerov[1,2,3]

.

Seveda pa izbor mešal pri dispergiranju plina v kapljevino zelo vpliva na zgornje mejne

pretoke dovedenega plina, pri katerem še dosegamo (enakomerno) porazdelitev plinaste faze

z mešali. Pri večjih pretokih (od mejnih) preide dispergiranje plina v poplavno stanje, kjer

mešala ne opravljajo več svoje osnovne naloge (ali pa bistveno zmanjšano), to je cirkulacije

kapljevine. V poplavnem stanju, ki je razvidno pri opazovanju skozi steno posode[1,2]

, izhaja

večina vnesenega zrak ob gredi mešala navzgor proti gladini in je zelo neenakomerno

1 Univerza v Ljubljani, Fakulteta za strojništvo, Aškerčeva 6, 1000 Ljubljana

Page 17: Zbornik del

- 10 -

porazdeljen po volumnu kapljevine. S tem se tudi stična površina kapljevina/zrak izrazito

zmanjša.

V tem delu so predstavljeni izsledki vizualizacije tokovnih razmer na steni mešalne posode

pri mešanju ter pri dispergiranju zraka v vodi in vodni raztopini CMC. Obravnavanih je bilo

56 hidrodinamskih režimov pri treh vrtilnih frekvencah mešal ter ustreznih pretokih zraka.

Parametri so bili obravnavani na osnovi podatkov iz dveh industrijskih fermentorjev

opremljenih z različnima sklopoma pet-stopenjskih mešal[3]

. Modelna mešalna posoda je bila

zaradi popolnejše geometrijske podobnosti opremljena tudi z modelom hladilnih cevi (štirje

snopi po 18 cevi). Za delovno kapljevino sta bili uporabljeni vodovodna voda in vodna

raztopina CMC masne koncentracije 1,5%.

2 Modelna mešalna naprava

Vizualizacija tokovnih razmer je potekala v laboratoriju LFDT na prirejeni modelni mešalni

napravi, shematsko prikazani na sliki 1. Modelna mešalna naprava je bila opremljena zaradi

Slika 1: Shema modelne mešalne posode

boljše podobnosti tokovnih razmer s štirimi sklopi hladilnih cevi, slika 1 ter detajl. Za

vizualizacijo sta bili alternativno uporabljeni dve konfiguraciji pet-stopenjskega mešala. V

obeh konfiguracijah je bilo spodnje mešalo diskasto z osmimi lopaticami (8RuT) premera

185 mm in z oddaljenostjo od dna posode 143 mm oziroma 137 mm. Nad njim so bila

nameščena štiri InM mešala z enako medsebojno razdaljo 198 mm ter 90° zamikom pri dveh

konfiguracijah: (a) tip mešala InM-A in (b) tip mešala InM-B. Mešalo InM-B ima nekoliko

širše zunanje lopatice in manjšo dolžino čez krila (279 mm), mešalo InM-A ima ožje zunanje

lopatice in nekoliko daljšo dolžino čez krila (306 mm). Vizualizacija je potekala z video

kamero Sony HDR-SRE11E, s frekvenco zajema 25 in 100 s-1

. Za višjo frekvenco smo se

dodatno odločili zaradi boljšega vpogleda v tokovno polje dvofaznega sistema ob steni

posode. Snovne lastnosti za CMC Blanose Refined 7L so podane po virih proizvajalca[7,8]

,

8RuT

InM-A / B

Hladilne

cevi

Razpršilnik s

šobami spodaj

Video kamera

InM-B

InM- A

Page 18: Zbornik del

- 11 -

med drugim viskoznost na sliki 2. Izmerjena povprečna vrednost viskoznosti na osnovi

osmih izmerkov po Höpplerju znaša =13.910,11·10-3

Pas in potrjuje tip CMC ja.

Slika 2: Vpliv koncentracije na viskoznost 1,5% vodne raztopine CMC[5]

3 Ustrezni hidrodinamski režimi na modelni napravi

Za izbrane hidrodinamske režime na industrijskih fermentorjih ustrezajo naslednji parametri

primerljivih režimov na modelni mešalni napravi LFDT, prikazani v tabeli 1.

Tabela 1: Hidrodinamski režimi

InM-A

Fl

Fr q [m3/h]

n[vrt/min] 15.2 22.9 30.5 38.1

165 0.242954 0.364431 0.485909 / 0.1427

193 0.208247 0.312370 0.416493 0.520616 0.1942

220 0.182216 0.273324 0.364431 0.455539 0.2537

InM-B

Fl

Fr

q [mn3/h]

n[vrt/min] 7.6 15.2 22.9 30.5 38.1

138 0.145773 0.291545 0.437318 / / 0.0991

165 / 0.242954 0.364431 0.485909 0.607386 0.1427

193 / 0.208247 0.312370 0.416493 0.521156 0.1942

4 Vizualizacija

Obdelani so bili vsi režimi InM-A in InM-B v vodi in CMC vodni raztopini. Zaradi

pomanjkanja prostora bodo grafično prikazani le mejni primeri.

Režim InM-A/193/ Tako je na sliki 3 prikazano stanje dispergiranja zraka z mešalom

tipa InM-A v vodi na levi sliki, na desni pa dispergiranje zraka v CMC raztopini. Pri

dispergiranju v vodi je lepo razvidna dokaj enovita porazdelitev plinaste faze, razvidna so

tudi področja prehajanja lopatic InM mešala. Iz videoposnetka pa je še posebej lepo razvidno

enakomerno in časovno neodvisno porazdeljenost plinaste faze po volumnu kapljevine. Pri

dispergiranju v CMC raztopini je zaradi rahle obarvanosti in manjše prosojnosti nekoliko

Page 19: Zbornik del

- 12 -

slabša vidljivost, a je še vedno dokaj lepo razvidno enakomerno in časovno neodvisno

porazdeljenost plinaste faze po volumnu kapljevine. Seveda so to izsledki, ki temelje

izključno na opazovanju tokovnega polja vidnega skozi steno posode.

Slika 3: Stanje dispergiranja zraka v vodi in v CMC, InM-A, 193 vrt/min, 15,3 m3/h

Slika 4: Poplavno stanje v vodi in v CMC, režim InM-A, 193 vrt/min, 22,9 m3/h

Page 20: Zbornik del

- 13 -

Pri povečanem pretoku preide režim dispergiranja v režim poplavnega stanja, slika 4.

Porazdelitev plinaste faze je precej neenakomerna, spodnji del kapljevine pod spodnjim

mešalom vsebuje le komaj zaznan delež plinaste faze. Iz video posnetka pa izhaja, da poteka

prehajanje plinaste faze od dispergirnega obroča proti gladini zelo neenakomerno v

presledkih z večjo oziroma manjšo intenzivnostjo; pri poplavnem stanju do 'izbruhov'

plinaste faze na gladino, kar povzroča še dodatne vibracije na samih mešalnih. Za preostale

režime pri dispergiranju zraka v vodi z mešalom InM-A je ugotovljen režim poplavnega

stanja, prikazano na sliki 5.

Slika 5: Poplavno stanje v vodi pri podanih režimih za InM-A

Režim InM-B/193/ Na sliki 6 je prikazano stanje dispergiranja zraka z mešalom tipa

InM-B v CMC raztopini. Razvidna je dokaj enovita porazdelitev plinaste faze kot tudi

področja prehajanja lopatic InM mešala. Iz videoposnetka pa je zaradi rahle obarvanosti in

manjše prosojnosti sicer nekoliko slabša vidljivost, a je še vedno dokaj lepo razvidno

enakomerno in časovno neodvisno porazdeljenost plinaste faze po volumnu kapljevine. Pri

povečanem pretoku preide režim dispergiranja v režim poplavnega stanja, slika 7. Podobne

ugotovitve veljajo tudi pri tej konfiguraciji; porazdelitev plinaste faze je precej neenako-

Page 21: Zbornik del

- 14 -

Slika 6: Poplavno stanje v CMC, režim InM-B, 193 vrt/min, 15,2 m3/h

Slika 7: Poplavno stanje v vodi in v CMC, režim InM-B, 193 vrt/min, 22,9 m3/h

merna, spodnji del kapljevine pod spodnjim mešalom vsebuje le komaj zaznan delež plinaste

faze, prehajanje plinaste faze potek od dispergirnega obroča proti gladini zelo neenakomerno

Page 22: Zbornik del

- 15 -

in v presledkih z večjo oziroma manjšo intenzivnostjo, pojavljajo se dodatne vibracije na

samih mešalnih. Za preostale režime pri dispergiranju z mešalom InM-B je ugotovljen režim

poplavnega stanja, prikazano na sliki 8.

Slika 8: Dispergiranje zraka z mešali (8RuT+4xInM-B) v vodi

Tabela 2: Ocena stanja hidrodinamskih režimov

B

InM-B, stanje režima

q[mn3/h]

n[vrt/min] 7.6 15.2 22.9 30.5 38.1

138 disp.,disp. F, F F, F F /

165 / F, disp.? F, F F, F F,F

193 / disp. F, F F, F F,F

A

InM-A, stanje režima

q[m3/h]

n[vrt/min] 15.2 22.9 30.5 38.1

165 ?disp., ?disp. F, F F, F /

193 disp., disp. F, F F, F F, F

220 disp., disp. disp., ?disp. F, F F, F

Page 23: Zbornik del

- 16 -

V tabeli 2 so podane ocene stanja obravnavanih hidrodinamskih režimov, zadovoljivo stanje

dispergiranja zraka v vodi je označeno v nagibu z oznako disp. ter za poplavno stanje F in v

1,5% vodni raztopini CMC s poudarkom za zadovoljivo dispergiranje disp. ter poplavno

stanje F, vprašaj (?) označuje neopredeljeno stanje. Na osnovi opazovanja tokovnega stanja

na steni modelne mešalne posode je sklepati, da je poplavno stanje prisotno v večini

obravnavanih hidrodinamskih režimih. V nadaljevanju raziskav bi bilo smiselno natančneje

določiti mejne režime poplavnega stanja večstopenjskega mešala, kjer pa bi zaradi

kompleksnosti pojava pristopili s kombinacijo različnih metod prepoznave kot so npr.

razmerje moči, globalni in lokalni delež plinaste faze itn. tako pri dispergiranju zraka v vodo

kot tudi v CMC raztopino.

5. ZaključekDelo obravnava vizualizacijo stanja različnih hidrodinamskih režimov pri mešanju in pri

dispergiranju zraka v vodo in CMC raztopino z večstopenjskim mešalom. Vizualizacija je

potekala na steni mešalne posode, delovni kapljevini sta bila vodovodna voda in 1,5% vodna

raztopina CMC, vseh opazovanih hidrodinamskih režimov je bilo 56. Video posnetki so bili

opravljeni z videokamero s frekvenco 25 fps za ogled v realnem času in s frekvenco 100 fps

za upočasnjen posnetek.

Na osnovi vizualizacije je podana alternativna presoja, ocena stanja hidrodinamskega

režima: zadovoljivo dispergiranje oziroma poplavno stanje. Iz pregleda stanj izhaja, da v

večini hidrodinamskih režimov prihaja do poplavnega stanja, tako pri dispergiranju zraka v

vodi kot v CMC vodni raztopini. Iz posnetkov ni videti večjih razlik tokovnih struktur pri

dispergiranju v vodi oz. CMC raztopini. Ustrezno dispergiranje je doseženo le pri režimih z

nižjimi pretoki zraka (do 15,2 m3/h) in višjih vrtilnih frekvencah mešala 60, 70 in 80

vrt/min.

Literatura

[1] Bombač A., Vidic M., Senica D.: Primerjava rezultatov meritev na industrijskem fermentorju in

pomanjšane modelne naprave, Kuhljevi dnevi 2014, Maribor 2014

[2] BOMBAČ, Andrej. Effects of geometrical parameters on Newton number in an aerated stirred

tank. StrojV, 44, 3/4, 105-116, 1998

[3] Bombač, A., Žun, I. Flooding-Recognition Methods in a Turbine-Stirred Vessel; Strojniški

vestnik, Izv. 48, Ljubljana 2002

[4] M. Cotič: Raziskava osnovnih karakteristik mešanja v modelnem fermentorju z večstopenjskimi

mešali; diplomsko delo, Fakulteta za strojništvo, Ljubljana 2014

[5] BOMBAČ, Andrej, COTIČ, Matic. Vizualizacija tokovnih razmer pri mešanju in dispergiranju

zraka v vodi in CMC raztopini s pet stopenjskim mešalom, poročilo, Fakulteta za strojništvo,

Ljubljana 2015

[6] BOMBAČ, Andrej, ŽUN, Iztok. Power consumption and mixing time in stirring with modified

impellers, Proceedings of the 12th European Conference on Mixing, AIDIC Servizi S.r.l., 153-160,

Milano 2006

[7] Hecules Inc, Aqualon: Properties of solutions of BLANOSE® Refined CMC, dostopno 7.11.2015

na naslovu:

http://www.gianniberti.it/Editoriali/aq/Blanose/bro_blan_properti.html).

[8] Cellulose Aqualon CMC, Booklet.pdf dostopno 17.11.2015 na naslovu:

http://webcache.googleusercontent.com/search?q=cache:x7hmwfsaEvUJ:www.researchgate.net/public

topics.PublicPostFileLoader.html%3Fid%3D551d8944f15bc717108b467d%26key%3Dbd46ed1c-

1fb7-438a-9061-8ffaeba0c35e+&cd=1&hl=sl&ct=clnk&gl=si

Page 24: Zbornik del

SLOVENSKO DRUŠTVO ZA MEHANIKO

SREČANJE KUHLJEVI DNEVI 2016

Eksperimentalna določitev premerov mehurčkov pri

dispergiranju zraka v posodi s tristopenjskim mešalom

M. Cotič1, U. Kočevar

1in A. Bombač

1

Experimental determination of dispersed air bubble diameters

in the vessel with three-stage impeller

Povzetek. V prispevku je predstavljena analiza velikosti mehurčkov ob steni mešalne posode

pri dispergiranju zraka s tristopenjskim mešalom. Po višini posode je bilo obravnavanih 13

segmentov dimenzij 50 x 26 mm. Za vsak segment so bili narejeni in obdelani posnetki s

fotoaparatom iz katerih so bile analizirane površine posameznih mehurčkov in iz njih izračunani

ekvivalentni premeri mehurčkov. Prikazane so tudi distribucije velikosti mehurčkov ob steni.

Abstract. This paper presents an analysis of the bubble sizes in air dispersing close to the wall

of the mixing vessel stirred with a three-stage impeller. Thirteen segments of dimensions 50 x 26

mm were chosen height wise. In all segments bubble surfaces were obtained from pictures. Each

bubble surface was used to calculate equivalent bubble diameter. Furthermore, bubble size

distributions are presented for all segments.

1 Uvod

Obravnavano je bilo dispergiranje zraka v vodo s tristopenjskim mešalom v vitki posodi.

Zrak je dovajan z obročastim razpršilnikom pod spodnjim mešalom. V namen delne

validacije CFD izračuna, kjer je bil uporabljen model porazdelitve mehurčkov, so bili

eksperimentalno določeni povprečni ekvivalentni premeri mehurčkov ob steni mešalne

posode. Na voljo je več poznanih metod določanja velikosti premerov mehurčkov, kot so:

PIV[1]

, izokinetična metoda[2]

, PDA (Phase Doppler Anemometry)[2]

ali pa obravnava

posnetkov[2,3,4,5]

. Izbrana je bila slednja metoda. Po višini posode je bilo posnetih 13

segmentov velikosti 50 x 26 mm. Skupno je bilo analiziranih 39 posnetkov iz katerih

izračunan ekvivalentni premer. Za posamezni segment je bil izračunan povprečni premer

mehurčka.

Izmerjeni premeri mehurčkov so bili razporejeni v velikostne razrede s korakom 0,3 mm za

prikaz distribucije velikosti mehurčkov. Za meritve je bila uporabljena vodovodna voda pri

temperaturi 22°C in stisnjen zrak iz razvodnega omrežja Fakultete za strojništvo v Ljubljani.

1 Univerza v Ljubljani, Fakulteta za strojništvo

Page 25: Zbornik del

Kuhljevi dnevi 2016

- 18 -

2 Modelna naprava

Uporabljena modelna naprava je prikazana na sliki 1, levo. Gred tristopenjskega mešala je

gnana preko frekvenčno reguliranega elektromotorja, vrtilna frekvenca je merjena z

merilnikom vrtljajev v odstopanju . Oznake 2, 3 in 4 prikazujejo namestitev

mešal na gredi. Zrak je dovajan preko obročastega razpršilnika (oznaka 1), pretok je merjen z

rotametrom točnosti (oznaka 6) in ustrezno korigiran na dejansko temperaturno in

tlak. Globalni delež plinaste faze je merjen preko vezne cevi s tritočkovnim odjemom

(oznaka 7).

Slika 1: Levo: modelna naprava (1 – razpršilnik zraka; 2,3 in 4 – mešala; 5 – fotoaparat; 6 –

rotameter; 7 – U-cev), desno: tristopenjsko mešalo.

Premer modelne mešalne posode (T) je 450 mm. Uporabljeno tristopenjsko mešalo je

prikazano na sliki 1, desno. Na gredi si od najnižje lege navzgor sledijo mešala enakega

premera 0,5·T : (i) Radialno mešalo ABT je namenjeno dispergiranju večjih količin zraka[6]

,

(ii) Turbinsko mešalo , s šestimi lopaticami nagiba 45°. Iztekajoči tok iz lopatic je

usmerjen navzdol in (iii) Aksialno mešalo , s tremi lopaticami, ki ustvarjajo

aksialno iztekajoč tok navzdol. Vizualizacija je potekala v režimu Fr = 0,2 in Fl = 0,23.

Vrtilna frekvenca gredi mešala na modelni napravi znaša n = 178 vrt/min, pretok

dovedenega zraka q = 28 m3/h.

Posnetki so bili narejeni s fotoaparatom Nikon D200 (oznaka 5), po višini posode je bilo

opravljenih 13 posnetkov. Fotografije so bile zajete na trinajstih pozicijah po višini mešalne

posode, kot je prikazano na sliki 1, levo. Zaradi časovne odvisnosti distribucije mehurčkov

po posodi, so bile na vsaki poziciji analizirane tri fotografije. Slika 2 prikazuje dva posnetka

z naključno porazdelitvijo mehurčkov pri istem režimu. Fotoaparat Nikon D200 je bil

opremljen z objektivom Nikkor micro s fiksno goriščno razdaljo 85 mm. Zaslonka je bila

nastavljena na f/34, čas osvetlitve je bil v posameznih segmentih različen - nanj je vplivalo

število mehurčkov, ki sipajo svetlobo v času zajema slike. Zajete slike so formata JPEG fine,

velikosti 3872 x 2592 slikovnih točk in resolucije 300 točk na palec v horizontalni in v

vertikalni smeri.

Page 26: Zbornik del

Kuhljevi dnevi 2016

- 19 -

Slika 2: Naključna distribucija mehurčkov ob steni posode pri istem režimu

V literaturi[2,3]

se pogosto uporablja senco mehurčka za določanje projekcije stične površine

zraka in kapljevine. Posnetek sence mehurčka je dosežen z uporabo transmisivne osvetlitve

vzorca. V tem primeru je na posnetku mehurček obrobljen črno, njegovo središče pa je svetle

barve[7]

. Zaradi tokovnih razmer v mešalni posodi je bila transmisivna osvetlitev, ki bi

omogočala določanje senc mehurčkov, neuporabna. Dovolj kratek čas zajema posamezne

fotografije je bil dosežen z reflektivno osvetlitvijo segmentov.

Na notranji steni posode je bilo nameščeno merilo za določitev velikosti slikovne točke na

posnetih fotografijah. Fotografije so bile izostrene na merilo. Določena je bila mejna

oddaljenost od stene posode, kjer je bila ostrina slike preslaba za natančno določitev

projekcije stične površine mehurčka in vode. Tako so bili obravnavani le mehurčki v

oddaljenosti do 8 mm od stene posode. Rob mehurčka je bil določen ročno, kar je zagotovilo

lažje upoštevanje mehurčkov z manjšim prekrivanjem. Dobljeni rezultati premerov v

posameznih segmentih so bili z upoštevanjem večjega števila mehurčkov bolj

reprezentativni. Zaradi uporabljene reflektivne osvetlitve mešalne posode se pri določenih

mehurčkih pojavijo slikovne točke, kjer je barva kapljevine in zraka enaka, stične površine se

ne da določiti. V teh primerih mehurček ni bil upoštevan. Rob in projekcijska površina

mehurčka Ai v številu slikovnih točk je bila določena s programom GIMP[8]

. Velikost

slikovne točke je bila določena iz števila slikovnih točk na razdalji 30 mm. Iz površine

mehurčka (število slikovnih točk) in velikosti slikovne točke je bila izračunana projekcijska

površina mehurčka Ai v mm2. Na posamezni fotografiji so bili za mehurčke na razdaliji do 8

mm od stene posode izračunani ekvivalentni premeri di = (4Ai/)0.5

in povprečna vrednost

premerov da = (di/N).

3 Rezultati in razprava

Preglednica 1 prikazuje povprečno število obravnavanih mehurčkov v posameznem

segmentu in standardni odklon od povprečja pri treh posnetkih. Visoke vrednosti odklona v

Page 27: Zbornik del

Kuhljevi dnevi 2016

- 20 -

preglednici nazorno kažejo vpliv naključnosti distribucije mehurčkov po obravnavanem

segmentu (slika 2).

Mešala se nahajajo na višinah v območju sivo obarvanih celic preglednice 1. V spodnjem

delu posode je standardni odklon števila upoštevanih mehurčkov zelo visok (18,8 in 20,4).

Segment, kjer se nahaja spodnje mešalo (ABT) ima standardni odklon manjši od odklona

okoliških segmentov. To si lahko razlagamo kot časovno dokaj enakomerno distribucijo

zraka v okolici mešala. V primeru srednjega in zgornjega mešala je razlika odklona števila

mehurčkov med segmenti, kjer se nahajata mešali in okoliškimi segmenti, podobna. Zgornje

mešalo se nahaja med segmentoma 570-620 mm in 890-940 mm

Tabela 1: Povprečno število upoštevanih mehurčkov po segmentih in standardni odklon.

višina [mm] 70 - 120 130-180 160-220 240-290 370-420 440-490 490-540

povprečno št. mehurčkov

55 59 61 28 46 37 45

σ 20,4 9,9 18,8 4,9 7,4 2,5 14,9

višina [mm] 490-540 570-620 890-940 950-1000 1060-1100 1150-1200 1330-1390

povprečno št. mehurčkov

45 26 13 22 21 21 44

σ 14,9 0,8 0,9 2,1 4,0 3,4 6,8

Uporabljena konfiguracija tristopenjskega mešala pri obravnavanem pogoju Fr = 0,2 in Fl =

0,23 še uspe dispergirati zrak po mešalni posodi[9]

, vendar je tok zraka proti prosti površini

ob gredi večji kot ob steni posode (slabše pomešanje).

Povprečni ekvivalentni premeri mehurčkov v segmentih v odvisnosti od višine in standardni

odklon pri treh zajetih fotografijah so prikazani na sliki 3. Desno je na sliki prikazano tudi

tristopenjsko mešalo z višinami posameznih mešal na gredi.

Razpršilnik zraka je nameščen na višini 60 mm in ima v obroču 69 izvrtin premera 3 mm.

Povprečni premer mehurčka v segmentu višine med 70 in 120 mm znaša 2,4 mm. Spodnje

mešalo vnese v posodo turbulentno kinetično energijo, ki je v ožji okolici mešala najvišja, v

širši okolici pa disipira. Turbulentni vrtinec ob stiku s površino mehurčka poveča zunanje

napetosti, medtem ko površinska napetost in viskoznost mehurčka ostaneta nespremenjeni –

mehurček se ob neravnovesju 'raztrga'[10]

. Zaradi tokovnih razmer je tako povprečni premer

mehurčka v bližini mešala 2,2 mm, pod in nad mešalom pa znaša 2,4 mm oziroma 2,6 mm.

Med spodnjim in srednjim mešalom je območje manjših strižnih sil, do razpada mehurčka

pride redkeje. Lahko pa v tem območju pride do koalescence mehurčkov. Glavni povzročitelj

koalescence je turbulenca, manjšo vlogo ima tudi vzgon mehurčkov[10]

. Povprečni premer

mehurčka se v tem predelu poveča do vrednosti 3,6 mm. Srednje, aksialno-radialno mešalo,

ponovno vnese turbulentno kinetično energijo v mešalno posodo. V okolici mešala se

mehurčki ponovno 'trgajo', povprečni premer se zmanjša na vrednost 3,4 mm. Zgornje

mešalo črpa vodo v aksialni smeri proti dnu mešalne posode. V okolici mešala se povprečni

premer mehurčka ne spremeni bistveno in znaša 3,7 oziroma 3,9 mm. Povprečni ekvivalentni

premeri mehurčkov v segmentih v odvisnosti od višine in standardni odklon pri treh zajetih

fotografijah so prikazani na sliki 4. Desno je na sliki prikazano tudi tristopenjsko mešalo z

višinami posameznih mešal na gredi.

Page 28: Zbornik del

Kuhljevi dnevi 2016

- 21 -

Glede na literaturo[11]

znaša povprečni Sauterjev premer mehurčka dispergiranega zraka v

vodovodno vodo z dvostopenjskim Rushtonovim (RuT) mešalom med 1,2 mm (tik ob robu

mešala) in 4,1 mm (nad mešalom). V bližini roba mešalne posode so v omenjenem delu

povprečni premeri mehurčkov med 2,6 mm in 3,3 mm.

Slika 3: Povprečni premer mehurčka v odvisnosti od višine.

Izmerjeni premeri mehurčkov za posamezni segment so bili razporejeni v razrede od

najmanjšega do največjega premera. Z velikostjo razreda je bilo zagotovljeno

večje število mehurčkov v posameznem razredu za prikaz distribucije velikosti:

kjer je premer razreda od do in a velikost razreda.

Potrebno število vzorcev za prikaz distribucije velikosti mehurčkov se glede na podatke iz

literature razlikuje. V delu Bouaifi[12]

je bilo uporabljenih 150-200 vzorcev, medtem ko je v

delu Buffo et al.[13]

predlagana uporaba več kot 500 vzorcev.

Pri treh posnetkih je največje število obravnavanih mehurčkov v posameznem segmentu 183

in najmanjše 38. Slika 4 prikazuje distribucijo velikosti v posameznih segmentih.

Page 29: Zbornik del

Kuhljevi dnevi 2016

Slika 4: Distribucija velikosti mehurčkov v obravnavanih segmentih.

- 22 -

Page 30: Zbornik del

Kuhljevi dnevi 2016

- 23 -

Nad zgornjim mešalom tristopenjskega mešala (segmenta višine1060-1100 mm in 1150-

1200 mm) prikazuje distribucija veliko nihanje števila mehurčkov v posameznem razredu - v

obeh primerih je število vzorcev majhno. Distribucija v ostalih segmentih prikazuje manjše

število mehurčkov večjih premerov. V segmentu višine 130 mm do 180 mm (spodnje

mešalo) je večina mehurčkov premera od 1 mm do približno 3,5 mm. Povprečni premer je tu

najmanjši in znaša 2,2 mm (slika 4). V ostalih prikazanih segmentih premeri v večini znašajo

med 2 mm in približno 5 mm.

Slika 5: Distribucija velikosti mehurčkov v celotni posodi in povprečni premer. Število

vzorcev N = 1427.

Distribucija velikosti vseh izmerjenih premerov mehurčkov (1427 mehurčkov iz vseh

segmentov) je prikazana na sliki 5. Večina mehurčkov ob steni posode je premera od 1 mm

do 5 mm. Za celotno posodo je bil izmerjen povprečni premer .

4 Zaključek

Obravnavano je bilo tristopenjsko mešalo v vitki posodi, kjer je zrak doveden preko

obročastega razpršilnika pri dnu posode. Uporabljena konfiguracija tristopenjskega mešala

za primer Fr = 0,2 in Fl = 0,23 še uspe dispergirati zrak po mešalni posodi[8]

. Skupno je bilo

analiziranih 39 posnetkov, iz določene površine posameznega mehurčka je bil izračunan

ekvivalentni premer (di). Povprečni ekvivalentni premer mehurčkov (da) v območju

tristopenjskega mešala znaša med 2,2 mm in 3,9 mm. Nad mešalom se poveča do 4,3 mm,

kar je tudi največji povprečni premer ob steni mešalne posode (slika 3).

Za prikaz distribucije velikosti mehurčkov so bili premeri razporejeni v razrede s korakom

0,3 mm. V prikazanih segmentih je večina mehurčkov premera med približno 2 mm in 5

mm. V segmentu pod mešalom so premeri mehurčkov manjši (večinoma manjši ali enaki

premeru luknjic razpršilnika). Na višini spodnjega mešala je povprečni premer mehurčka

najmanjši in znaša 2,2 mm (slika 3). Distribucija v celotni mešalni posodi (vsi obravnavani

segmenti – slika 5) prikazuje večino mehurčkov s premeri med približno 2 mm in 5 mm.

Določen povprečni premer mehurčka v posodi je 3,2 mm.

Page 31: Zbornik del

Kuhljevi dnevi 2016

- 24 -

Oznake

D - premer mešala [m ]

T – premer mešalne posode [m]

n - vrtilna frekvenca mešala [s-1

]

q - pretok dovedenega zraka [ m3/s]

di – ekvivalentni remer mehurčka [mm]

da – povprečni ekvivalentni remer mehurčka [mm]

Ai – površina mehurčka [pix; mm2]

– število mehurčkov v segmentu

Literatura

[1] G. Montante , A. Paglianti and F. Magelli, Eksperimental analysis and computational

modeling of gas-liquid stirred vessel, Trans IChemE, Part A, 2007.

[2] M. Laakkonen , P. Moilanen, T. Miettinen, K. Saari, M. Honkanen, P. Saarenrinne and

J. Aittamaa, Local bubble size distributions in agitated vessel. Comparison of Three

Experimental Techniques, Trans IChemE, Part A, 50–58, 2005.

[3] G. Montante , D. Horn, A. Paglianti, Gas–liquid flow and bubble size distribution in

stirred tanks, Chemical Engineering Science 63, 2107 – 2118, 2008.

[4] Yonggang Zhu, Jie Wu and Richard Manasseh, Rapid Measurement of Bubble Size in

Gas-Liquid Flows Using a Bubble Detection Technique, 14th Australasian Fluid

Mechanics Conference, Adelaide University, Adelaide, Australia, 2001.

[5] Maedeh Asari and Faramarz Hormozi, Experimental Determination of Bubble Size in

Solution of Surfactants of the Bubble Column, Journal of Advanced Chemical

Engineering, 2014.

[6] A. Bombač, Diskasto mešalo z asimetričnimi lopaticami, Slovenski kemijski dnevi

2013, str. 1 - 8, 2013.

[7] M. Bailey, C.O. Gomez, J.A. Finch, Development and application of an image analysis

method for wide bubble size distributions, Minerals Engineering issue 18, 1214-1221,

July 2005.

[8] Program za obdelavo slik GIMP, dostopno 30.05.2016 na: https://www.gimp.org/

[9] M. Cotič, M. Vidic in A. Bombač, Primerjava dveh radialnih mešal v tristopenjskem

mešalu, Zbornik del, Kuhljevi dnevi 2015, str. 25 - 32, 2015.

[10] Marko Laakkonen, Pasi Moilanen, Ville Alopaeus, Juhani Aittamaa, Modelling local

bubble size distributions in agitated vessels, Chemical Engineering Science, issue 62,

721-740, 2007.

[11] S.S. Alves, C.I. Maia, J.M.T. Vasconcelos, A.J. Serralheiro, Bubble size in aerated

stirred tanks, Chemical Engineering Journal, issue 89, 109-117, 2002.

[12] M. Bouaifi, G. Hebrard, D. Bastoul, M. Roustan, A Comparative Study of Gas Hold-Up,

Bubble Size, Interfacial Area and Mass Transfer Coefficients in Stirred Gas–Liquid

Reactors and Bubble Columns, Chemical Engineering and Processing, issue 40(2), 97-

111, 2001.

[13] A. Buffo and V. Alopaeus, Experimental determination of size distributions: analyzing

proper sample sizes, Measurement Science and Technology 27, 2016.

Page 32: Zbornik del

SLOVENSKO DRUSTVO ZA MEHANIKO

SRECANJE KUHLJEVI DNEVI 2016

O nicelnosti lineariziranih kinematicnih in ravnoteznih enacbsistema podprtih in povezanih togih teles

R. Flajs1

On nullity of linearized kinematical and equilibrium equationsof the system of supported and connected rigid bodies

Povzetek. V prispevku obravnavamo linearizirane kinematicne enacbe in ravnotezne enacbe sis-tema podprtih in povezanih togih teles. Dokazemo zvezo

nicelnost(A) = nicelnost(BT ),

kjer je A matrika kinematicnih enacb in B matrika ravnoteznih enacb. Eksplicitne zveze med matri-kama A in B nismo uspeli najti. Testni primeri znane zveze A = BT ne potrjujejo.

Abstract. The linearized kinematical equations and equilibrium equations of the system of thesupported and connected rigid bodies are considered. In the paper the relation

nullity(A) = nullity(BT )

is proved. Here matrices A and B denote the matrix of the kinematical equations and the matrixof the equilibrium equations, respectively. However, we were not able to find the explicit relationbetween matrices A and B. The well known relation A = BT has not been confirmed.

1 Uvod

V statiki obravnavamo kinematicne in ravnotezne enacbe sistema podprtih in povezanih togihteles. Kinematicne enacbe lahko zapisemo v matricni obliki z enacbo

A~u =~0, (1)

kjer A ∈ Rnke×nkn oznacuje matriko kinematicnih enacb, ~u vektor kinematicnih neznank (po-mikov in zasukov okolic krajisc togih teles na mestih prisotnih vezi in podpor), nke stevilokinematicnih enacb in nkn stevilo kinematicnih neznank.

1 Univerza v Ljubljani, Fakulteta za gradbenistvo in geodezijo

Page 33: Zbornik del

Kuhljevi dnevi 2016

Podobno lahko ravnotezne enacbe zapisemo v matricni obliki z enacbo

B~x = ~F , (2)

kjer B ∈ Rnre×nrn oznacuje matriko ravnoteznih enacb, ~x vektor ravnoteznih neznank (reakcijpodpor in sil v vezeh), ~F obtezni vektor zunanje obtezbe, nre stevilo ravnoteznih enacb in nrn

stevilo ravnoteznih neznank. Dejansko stevilo prostostnih stopenj sistema podprtih in povezanihtogih teles nps definiramo z enacbo

nps = nicelnost(A) = dim(jedra(A)) = nkn− rang(A) = nre− rang(B) = nicelnost(BT ). (3)

Matematicno rang linearne preslikave ustreza dimenziji slike preslikave. S stevilom linearnoneodvisnih vrstic oziroma stolpcev matrike definiramo vrsticni in stolpcni rang matrike. Obaranga sta enaka prvotno definiranemu rangu.

V prispevku bomo dokazali zvezo

nicelnost(A) = nicelnost(BT ). (4)

Zveze med matrikama A in B nismo uspeli dolociti. Racunski primeri zveze A = BT iz [1]ne potrjujejo, zato bomo pri dokazovanju ubrali drugacen pristop. Enakost (4) bomo najprejdokazali na ravnoteznih enacbah, dobljenih iz principa virtualnega dela in jo nato razsirili se naravnotezne enacbe, dobljene iz razreza konstrukcije.

2 Princip virtualnega dela sistema podprtih in povezanih togih teles

2.1 Princip virtualnega dela sistema masnih delcev

Virtualno delo sistema masnih delcev lahko zapisemo z vsoto po vseh delcih

δW = ∑~Fi ·δ~ui = 0. (5)

2.2 Princip virtualnega dela sistema podprtih in povezanih togih teles

Virtualno delo sistema podprtih in povezanih togih teles lahko zapisemo z vsoto po vseh togihtelesih, podporah in vezeh

δW = ∑

(~Fi ·δ~ui + ~Mi ·δ~ϕi

)= 0. (6)

V kolikor podprt in povezan sistem togih teles razstavimo na toga telesa, podpore in vezi, pricemer vplive vseh odstranjenih delov nadomestimo s silami, upostevamo zakon akcije in reak-cije, lahko gornjo enacbo zapisemo za vsako togo telo, podporo ali vez posebej.

V nasih izvajanjih bomo upostevali linearizirane Rodriguesove kinematicne enacbe [3, (18)].Ker se virtualni pomiki podrejajo lineariziranim kinematicnim enacbam, lahko v izreku o virtu-alnem delu upostevamo linearizirane kinematicne enacbe.

- 26 -

Page 34: Zbornik del

Kuhljevi dnevi 2016

3 Dokaz trditve nicelnost(A) = nicelnost(BT )

3.1 Ravnotezne enacbe, dobljene iz principa virtualnega dela

Racunanje reakcij, sil v vezeh in notranjih sil z uporabo principa virtualnega dela je podrobnoopisano v clanku [3] in v ucbeniku Statika II [5].

Z uporabo izreka o virtualnem delu napisemo ravnotezne enacbe, dobljene s sprostitvijo po-samicnih vezi ali podpor. S pojmom kinematicna veriga definiramo vektor iz jedra matrikekinematicnih enacb sproscene konstrukcije. Konstrukcija ravnoteznih enacb utegne biti zaradipredhodnega dolocanja kinematicnih verig zamudna, so pa te enacbe v algebrajskem pogledu“najlepse”. V primeru staticno dolocene, kinematicno stabilne konstrukcije je matrika B rav-noteznih enacb kar nesingularna diagonalna matrika.

Zaradi ugodne oblike ravnoteznih enacb bomo trditev nkn− rang(A) = nre− rang(B) najprejdokazali na teh enacbah.

3.2 Staticno dolocene konstrukcije

3.2.1 nkn = rang(A) =⇒ nre = rang(B)

Naj bo konstrukcija kinematicno stabilna. Po znanem postopku najprej sprostimo ustreznopodporo ali vez in nadomestimo vpliv odstranjene podpore ali vezi s silo ali z momentom W .Sproscena konstrukcija postane kinematicno labilna. Zato lahko konstruiramo (od nic razlicno)kinematicno verigo. Neznano staticno kolicino W dolocimo iz enacbe

W δuw +~F ·δ~u = 0. (7)

Ce bi bil skalar δuw v gornji enacbi enak nic, bi vektor~0 6= δ~u ∈ Ker(A), kar pa je v protislovjuz zacetno predpostavko. Oblika verige je enolicno dolocena. Ce bi obstajali dve taksni verigi,bi veljalo naslednje

W δuw1 +~F ·δ~u1 = 0, (8a)

W δuw2 +~F ·δ~u2 = 0, (8b)

kjer bi bila skalarja δuw1 in δuw2 oba od nic razlicna. Prvo enacbo bi pomnozili z δuw2, drugopa z δuw1 in odsteli ter tako dobili

~F · (δuw2 δ~u1−δuw1 δ~u2) = ~F ·δ~u = 0. (9)

Torej bi vektor ~0 6= δ~u ∈ Ker(A), kar pa je spet v protislovju z zacetno predpostavko. Kerlahko vse neznane staticne kolicine enolicno dolocimo iz enacb (7), je determinanta sistemaravnoteznih linearnih enacb razlicna od nic in posledicno velja nre = rang(B).

3.2.2 jedro(A) 6= /0 =⇒ nre 6= rang(B)

Naj bo konstrukcija kinematicno labilna. Tedaj obstaja od nic razlicen vektor δ~u1 iz jedrapreslikave A, da velja

A~δu1 =~0. (10)

- 27 -

Page 35: Zbornik del

Kuhljevi dnevi 2016

Z uporabo izreka o virtualnem delu dobimo

~F ·δ~u1 = 0 (11)

pri poljubni zunanji obtezbi ~F . Enacba (11) je ravnotezna enacba (pomnozena z nenicno virtu-

alno kinematicno kolicino). Ce za ~F izberemoδ~u1

|δ~u1|2(v ustreznih fizikalnih enotah), dobimo

protislovje1 = 0, (12)

ki pove, da ravnotezne enacbe niso izpolnjene.

3.2.3 nkn− rang(A) = nre− rang(B)

Naj bo konstrukcija kinematicno labilna. Tedaj obstajajo od nic razlicni vektorji δ~uk, k =1, . . . ,nk iz jedra preslikave A, da velja

A~δuk =~0. (13)

Z uporabo izreka o virtualnem delu pri poljubni zunanji obtezbi ~F dobimo

~F ·δ~uk = 0 (14)

sistem nk linearno odvisnih, glede neznanih reakcij in sil v vezeh (v bistu pa nk linearno ne-odvisnih ravnoteznih enacb tipa 0 = ak 6= 0). Skupaj imamo nre enacb (toliko kot neznank).Pokazati moramo, da je preostalih nre - nk enacb, glede neznanih reakcij in sil v vezeh, linearnoneodvisnih.

Ker je osnovna konstrukcija staticno dolocena, predvsem pa kinematicno labilna, sklepi iz po-glavja 3.2.1 ne veljajo vec. Za taksne konstrukcije je znacilna kinematicna labilnost na enemdelu, staticna nedolocenost pa na drugem delu. S sprostitvijo dolocene kinematicne kolicine vsplosnem ne moremo zapisati enacbe

W δuw +~F ·δ~u = 0 (15)

pri skalarju δuw razlicnem od nic. Zato sprostimo konstrukcijo na vec mestih in vplive odstra-njenih delov nadomestimo s silami. Taksnih sprostitev je najvec nk. Nato ponovimo postopka3.2.1 in 3.2.2 in pridobimo dodatnih nre−nk neodvisnih enacb.

3.3 Staticno nedolocene konstrukcije

S kinematicno stabilno sprostitvijo dolocenih podpor in vezi in nadomestitvijo odstranjenihdelov s silami in momenti, prevedemo konstrukcijo na staticno doloceno. Ponovimo postopekza staticno dolocene konstrukcije.

3.4 Staticno predolocene konstrukcije

Obravnava je podobna obravnavi staticno dolocenih konstrukcij, pri cemer zaradi labilnostidodamo enacbe tipa ~F ·~δuk = 0.

- 28 -

Page 36: Zbornik del

Kuhljevi dnevi 2016

3.5 Ravnotezne enacbe, dobljene z metodo razreza konstrukcije na toga telesa in vezi

Pokazali bomo, kako lahko z ustrezno izbiro virtualnih pomikov izpeljemo v Statiki obicajneravnotezne enacbe in tako povezali ravnotezne enacbe, dobljene z uporabo izreka o virtualnemdelu, z ravnoteznimi enacbami, dobljenimi iz razreza konstrukcije.

3.5.1 Metoda izrezovanja vozlisc pri palicju

32

1

4

F

12

3

N

N

N

1

2

3

T1T1

T3

T3

T2

T2a

b

c

Slika 1 : Izrez vozlisca 1

Na sliki 1 smo izrezali vozlisce 1, obremenjeno z zunanjo silo ~F . Vplive odstranjenih delovsmo nadomestili s silami N1, T1, N2, T2, N3 in T3. Do metode izrezovanja vozlisc pridemo zustrezno izbiro kinematicno dopustnih virtualnih pomikov. V krajiscu 2 togega telesa 1 najprejizberemo virtualni zasuk enak δϕ2, vse preostale virtualne pomike in zasuke pa izberemo enakenic. Iz enacbe

δϕ2 aT1 = 0 (16)

preberemo, da je precna sila T1 enaka nic. Podobno pokazemo, da sta tudi precni sili T2 in T3enaki nic. Ravnotezne enacbe vozlisca 1 dobimo s poljubno izbiro virtualnega pomika δ~u1 =δu1~ex + δv1~ez vozlisca 1. Pomike vseh preostalih krajisc postavimo na nic. Z izbiro δu1 6=0,δv1 = 0 dobimo enacbo δu1(∑X) = 0, z izbiro δu1 = 0,δv1 6= 0 pa enacbo δv1(∑Z) = 0.

Ravnotezne enacbe, dobljene z uporabo izreka o virtualnem delu, so ekvivalentne ravnoteznimenacbam, dobljenim z uporabo razreza konstrukcije. V obravnavanem primeru je na osnoviopisane konstrukcije mozno poiskati eksplicitno zvezo med njimi.

3.5.2 Metoda razreza konstrukcije na toga telesa in vezi

V prejsnjem primeru smo izrezali vozlisce 1. Podobno lahko poljubno konstrukcijo razrezemona toga telesa in vezi, pri cemer vplive odstranjenih delov nadomestimo s silami in momenti.Ravnotezne enacbe poljubnega togega telesa dobimo s poljubno izbiro virtualnega pomika δ~uin zasuka δ~ϕ izbranega krajisca togega telesa. Ravnotezne enacbe vezi utegnejo biti pri sestav-ljenih vezeh kompleksnejse.

- 29 -

Page 37: Zbornik del

Kuhljevi dnevi 2016

4 Racunski primeri [2, 4]

V naslednjih racunskih primerih bomo uporabljali (x,z) koordinatni sistem. Pomike in zasukeokolice levega krajisca nosilca bomo oznacili z uA, wA in ϕA, pomike in zasuke okolice desnegakrajisca nosilca z uB, wB in ϕB, reakcije leve podpore z Ax, Az in MA = 0, reakcije desne podporepa z Bx, Bz in MB = 0, itd...

4.1 Staticno dolocene konstrukcije

4.1.1 Racunski primer (slika 2)

a a

HV

A B

C

Slika 2 : Staticno dolocena, kinematicno stabilna konstrukcija

Kinematicne enacbe so: uA = 0,wA = 0,wB = 0,uB = uA,wB = wA−2aϕA,ϕB = ϕA.

Ravnotezne enacbe (pomnozene s kinematicno dopustnimi od nic razlicnimi virtualnimi pomikiali zasuki), dobljene z uporabo kinematicnih verig, so:

δϕB (Az 2a+V a) = 0, δϕA (Bz 2a+V a) = 0, δuA (Ax +H) = 0.

Dejansko stevilo prostostnih stopenj je nps = nkn− rang(A) = nre− rang(B) = 0.

4.1.2 Racunski primer (slika 3)

a

a

a

H

V

A B

D

C1 2

3 4

Slika 3 : Staticno dolocena, kinematicno labilna konstrukcija

Kinematicne enacbe so:

uA = 0, wA = 0, uB = 0, wB = 0,uC = uA, wC = wA−aϕA, uC = uB, wC = wB +aϕB,uD = uA−aϕA, wD = wA−aϕA.

- 30 -

Page 38: Zbornik del

Kuhljevi dnevi 2016

Slika 4 : Kinematicne verige v ravnoteznih enacbah 1, 2, 3

Ravnotezne enacbe za reakcije in osni sili v palicah 3 in 4 so:

δϕA (V a+H a) = 0, δϕ4C

(−H a+N3

a√

22

)= 0, δϕ3

A (H a+N4 a) = 0,

δuA (Ax +Bx +H) = 0, δϕA (Az a−H a) = 0, δϕB (Bz a) = 0.

Dejansko stevilo prostostnih stopenj je nps = nkn− rang(A) = nre− rang(B) = 1.

4.2 Staticno nedolocene konstrukcije

4.2.1 Racunski primer (slika 5)

S sprostitvijo zasuka v podpori A tvorimo staticno doloceno, na delu AB kinematicno stabilnokonstrukcijo. Vpliv odstranjenega vpetja nadomestimo z momentom MA.

a a

A B

a

D C

V W

H

1 2 3

Slika 5 : Staticno nedolocena, kinematicno labilna konstrukcija

Kinematicne enacbe so:

uA = 0, wA = 0, ϕA = 0, uB = 0, wB = 0, uC = 0,uD = uB, wD = wB−aϕ2

B, wC = wD−aϕ3C.

.

Ravnotezne enacbe so:

δwC W = 0, δwDV = 0, δϕA (MA−Bz a) = 0, δϕA (MA +Az a) = 0,δuA (Ax +Bx +Cx +H) = 0.

Dejansko stevilo prostostnih stopenj je nps = nkn− rang(A) = nre− rang(B) = 2.

- 31 -

Page 39: Zbornik del

Kuhljevi dnevi 2016

a a

HV

A B

C

Slika 6 : Staticno predolocena konstrukcija

4.3 Staticno predolocene konstrukcije

4.3.1 Racunski primer (slika 6)

Kinematicne enacbe so: wA = 0,wB = 0,uB = uA,wB = wA−2aϕA,ϕB = ϕA.Dejansko stevilo prostostnih stopenj je nps = nkn− rang(A) = 1.Ravnotezne enacbe so:

δϕB (Az 2a+V a) = 0, δϕA (V a+Bz 2a) = 0, δuA H = 0.

Dejansko stevilo prostostnih stopenj je nps = nre− rang(B) = 1.

5 Zakljucek

V prispevku je podan dokaz trditve nicelnost(A) = nicelnost(BT ), kjer je A matrika linearizi-ranih kinematicnih enacb, BT pa transponirana matrika ravnoteznih enacb. Mestoma je dokazrazdelan v celoti, drugje pa je podana zgolj ideja dokaza, podkrepljena s preprostimi racunskimiprimeri. Veljavnost trditve omogoca dobro definiranje dejanskega stevila prostostnih stopenj.Stevilni racunski primeri, ki smo jih v zadnjih letih opravili pri predmetu Statika, zveze A = BT

iz [1] ne potrjujejo. Tudi kvantitativno ta zveza ni ugodna, saj sili v doloceno ujemanje steviliravnoteznih enacb in neznank. V dokazu tega prispevka te zveze ne potrebujemo. Preprostezveze med matrikama A in BT nismo uspeli najti.

Literatura

[1] A. Carpinteri, Structural mechanics: a unified approach, Oxford: Alden Press, London,1997.

[2] M. Stanek, G. Turk, Analiza kinematicnih enacb sistema togih teles, Kuhljevi dnevi 96,Zbornik del, Slovensko drustvo za mehaniko, Gozd Martuljek, 1996, pp. 305–312.

[3] M. Stanek, G. Turk, Izrek o virtualnih pomikih, Kuhljevi dnevi 98, Zbornik del, Slovenskodrustvo za mehaniko, Logarska dolina, 1998, pp. 1–8.

[4] M. Stanek, G. Turk, Statika I, Univerza v Ljubljani, Fakulteta za gradbenistvo in geodezijo,Ljubljana, 2005.

[5] M. Stanek, G. Turk, Statika II, Univerza v Ljubljani, Fakulteta za gradbenistvo in geode-zijo, Ljubljana, 2005.

- 32 -

Page 40: Zbornik del

SLOVENSKO DRUSTVO ZA MEHANIKO

SRECANJE KUHLJEVI DNEVI 2016

Doprinos Moore-Penrosovega psevdo inverza k enolicniresljivosti in konvergenci stirikotnih koncnih elementov

R. Flajs1 in M. Saje2

On Moore-Penrose’s pseudo inverse to unisolvence andconvergence of quadrilateral finite elements

Povzetek. Analiticni dokazi konvergence nekonformnih koncnih elementov so bili v literaturiopravljeni le za posamicne koncne elemente. Zaradi uporabe zahtevnih matematicnih orodij je do-kazovanje tehnicno zahtevno, zato so bili v literaturi predagani preprostejsi postopki dokazovanjakonvergence (npr. Ironsov patch test). Kasnejsa matematicna spoznanja (Stummelov posplosenipatch test) so na zalost v celoti izpodbila veljavnost teh preprostih konvergencnih kriterijev. Po-leg zahtevnega dokazovanja konvergence se pri nekaterih nekonformnih koncnih elementih (RQ6,RPQ4) zaradi uporabe singularnih interpolacijskih funkcij soocimo se z neenolicnostjo resljivosti.V clanku je predlagana uporaba posplosenega Moore-Penrosovega psevdo inverza, s katerim lahkoto pomanjkljivost odpravimo. V prispevku so podani zadostni pogoji za konvergenco omenjenihkoncnih elementov. Analiticni dokaz konvergence sloni na Stummelovem posplosenem patch testu.Iz rezultatov numericnih primerov je razvidno, da ti pogoji niso potrebni.

Abstract. Analytical convergence proofs of the nonoconforming finite elements have been car-ried out only for individual finite elements. There a simple convergence test (Iron’s patch test) havebeen proposed in order to prove the convergence. Hovewer, the subsequent mathematical investi-gations (Stummel’s generalized patch test) unfortunately invalidated the validity of these simpleconvergence criteria. Due to the usage of the singular interpolation functions some nonconformingfinite elements (RQ6, RPQ4) confront the unisolvence criteria. In the paper the usage of generali-zed Moore-Penrose’s pseudo inverse is proposed in order to eliminate the nonunisolvence. In thispaper the sufficient conditions for the convergence of the presented finite elements are derived. Theanalytical convergence proof is based on Stummel’s generalized patch test. From the results of thenumerical examples, one can conclude that these conditions are not necessary for convergence.

1 Univerza v Ljubljani, Fakulteta za gradbenistvo in geodezijo2 Univerza v Ljubljani, Fakulteta za gradbenistvo in geodezijo

Page 41: Zbornik del

Kuhljevi dnevi 2016

1 Uvod

Upogib plosce moremo opisati z nekonformnimi koncnimi elementi. Tako se izognemo zahtevipo C2-zveznosti interpolacijskih funkcij. Na zalost pa vsi taksni koncni elementi niso avto-maticno konvergentni, zato je potrebno njihovo konvergenco tudi teoreticno dokazati.

Lep primer stirikotnega nekonformnega koncnega elementa RPQ4, uporabnega pri dolocitviupogiba tankih plosc, sta predlagala Wanji and Cheung [7]. Koncni element RPQ4 zadosti Iron-sovemu patch testu. Ker pa Ironsov patch test po [6] ne podaja niti potrebnega niti zadostengapogoja za konvergenco, je potrebno konvergenco vseeno teoreticno dokazati. Zaradi kartezicnihsingularnih interpolacijskih funkcij koncni element ne zadosti zahtevi po enolicni resljivosti [2].V prispevku je podan matematicni dokaz konvergence omenjenega nekonformnega koncnegaelementa. Ker koncni element ni enolicno resljiv, pri dokazu konvergence pademo ven iz obi-cajnega okvira metode koncnih elementov [2]. V dokazu neenolicno resljivost odpravimo sMoore-Penrosovim psevdo inverzom [5]. Dolocimo zadostne pogoje za konvergenco. Pravtako podamo oceno napake koncnega elementa. Pri izpeljavi te ocene si delno pomagamo zmetodologijo [3, 4] in neenakostmi iz [1].

Dobljene teoreticne izsledke potrdimo tudi z izbranimi numericnimi primeri na povsem sin-gularnih mrezah. Iz njih je razvidno, da zadostni pogoji niso potrebni za konvergenco, karpredstavlja bistveno razliko v primerjavi z izsledki v [5].

2 Koncni element za analizo upogiba tankih plosc

Koncni element RPQ4 je nekonformni stirikotni koncni element (slika 2), opisan v kartezicnihkoordinatah. Interpolacijske funkcije so sibko zvezne na robovih koncnih elementov. Konstruk-cija togostne matrike je podrobneje opisana v [7].

a1 a2

a3

a4

T

µτ

µ1µ2

x

y

∂QQ

Slika 1 : Stirikotni nekonformni koncni element RPQ4.

V nadaljevanju bomo izpeljali zadostne pogoje za konvergenco. Wanjijeve in Cheungove enačbe

[7] bomo prevedli na obliko, usklajeno s teorijo [2, 1], primernejšo pri dokazovanju konver-

- 34 -

Page 42: Zbornik del

Kuhljevi dnevi 2016

gence. Uvedemo okrajsave:

∂1• :=∂•∂x

, ∂2• :=∂•∂y

, ∂i j• :=∂2•

∂xi ∂x j, 1≤ i, j ≤ 2,

∂µ• :=∂•∂µ

, ∂τ•=∂•∂τ

, ∂α• ≡ ∂

(α1,α2)• :=∂(α1+α2)•∂xα1∂yα2

,

X :=[1 x y x2 xy y2 x3 x2y xy2 y3 x3y xy3

]T,

q :=[. . .vh(ai) ∂1vh(ai) ∂2vh(ai) . . .

]T, 1≤ i≤ 4

A :=[An(a1) . . . An(a4)

]T, An((x,y)) :=

[X ∂1X ∂2X

]. (1)

Vektor X predstavlja nekonformne interpolacijske bazne funkcije po koncnem elementu; zvektorjem q je oznacen vektor prostostnih stopenj qi, i = 1 . . .12; a1, . . . ,a4 so krajevni vektorjivozlisc koncnega elementa. Sredisce kartezicnega koordinatnega sistema (x,y) je geometrijskosredisce T stirikotnika Q. Kolicini µ1 and µ2 oznacujeta komponenti zunanje normale na robu∂Q stirikotnika Q v smereh x in y (slika 2). Ploscina stirikotnika Q je oznacena s |Q|.Funkcija wh|Q predstavlja pomozni nekonformni aproksimacijski nastavek za pomike, funkcijavh|Q pa celotni nekonformni aproksimacijski nastavek za pomike po stirikotniku Q [7],

vh|Q := wh|Q +λ1x2

2+λ2

y2

2+λ3

xy2

= wh|Q +ΛQ =XT A−1q+ΛQ, (2)

kjer z izbiro konstant λ1, λ2 in λ3 zadostimo pogoju sibke zveznosti [7] na robovih koncnegaelementa. V clanku [7] je pokazano, da koncni element zadosti Ironsovemu patch testu.

2.1 Neenolicna resljivost

Naj prostor Xh oznacuje prostor koncnih elementov, Xh|Q := PQ⊂ P3(Q)⊕Lx3 y,xy3 skrcitevprostora Xh na stirikotnik Q, u sibko resitev, uh aproksimacijo sibke resitve, v poljubno funkcijoin W m

2 (Q)≡Hm(Q) prostore Soboljeva z normami ‖·‖m,2,Q ≡ ‖·‖m,Q in polnormami | · |m,2,Q ≡| · |m,Q za 0≤ m≤ 4.

Po Ciarletu [2] lahko koncni element definiramo s trojico (Q,PQ,ΦQ). Recemo, da so prosto-stne stopnje ΦQ PQ–enolicno resljive, ce za vsak nabor realnih stevil αi, i = 1, . . . ,12, obstajaenolicna interpolacijska funkcija p ∈ PQ, ki zadosti spodnjemu pogoju

φi(p) = αi, 1≤ i≤ 12 (3)

[2, p. 78].

Sklicujoc se na lemo 1 iz [3] lahko problem enolicne resljivosti prostostnih stopenj ΣQ preve-demo na problem regularnosti interpolacijske matrike A. Ni tezko videti, da je interpolacijskamatrika A v primeru romba z oglisci (−1,0), (0,−1), (1,0) in (0,1) singularna.

Zaradi neenolicne resljivosti bomo linearne funkcionale ΣQ := ϕi ≡ ϕQi , i = 1, ...,12 in ΦQ :=

φi ≡ φQi , i = 1, ...,12 iz [3, 4] razsirili na spodnji nacin:

ϕ3 i−2(wh,q3 i−2,n) := q3 i−2 =: φ3 i−2(vh,q3 i−2,n), 1≤ i≤ 4,

ϕ3 i−1(wh,q3 i−2,n) := q3 i−1 =: φ3 i−1(vh,q3 i−1,n), 1≤ i≤ 4,

ϕ3 i(wh,q3 i,n) := q3 i =: φ3 i(vh,q3 i,n), 1≤ i≤ 4.

- 35 -

Page 43: Zbornik del

Kuhljevi dnevi 2016

Z uporabo Moore-Penrosovega posplosenega inverza A+ lahko vozliscne pomike in ustrezneparcialne odvode teh pomikov povezemo s prostostnimi stopnjami q4,n, . . . ,q12,n koncnega ele-menta z regularnim stirikotnikom (glej Definicijo 1) iz okolice obravnavanega elementa[

wh(a1) . . . ∂2wh(a4)]T

= AA+ q = AA+[q1 q2 q3 q4,n . . . q12,n

]T. (4)

Ker je determinanta interpolacijske matrike translacijska invarianta, lahko izhodisce koordi-natnega sistema pri odpravi singularnosti interpolacijske matrike premaknemo v vozlisce 1 indobimo

A =

[I3×3 0A21 A22

]−→ A+ =

[I3×3 A+

12A+

21 A+22

]−→ AA+ =

[I3×3 A+

12A21 +A22 A+

21 A21 A+12 +A22 A+

22

]. (5)

Sedaj lahko povezemo prostostne stopnje q1, q2 in q3 z vozliscnimi pomiki, z ustreznimi par-cialnimi odvodi teh pomikov in s prostostnimi stopnjami q4,n, . . . ,q12,n sosednjih koncnih ele-mentov: wh(a1)

∂1wh(a1)∂2wh(a1)

=

q1q2q3

+A+12

q4,n...

q12,n

→q1

q2q3

=

wh(a1)∂1wh(a1)∂2wh(a1)

−A+12

q4,n...

q12,n

, wh(a2)

...∂2wh(a4)

= (A21 +A22 A+21)

q1q2q3

+(A21 A+12 +A22 A+

22)

q4,n...

q12,n

.Pri oceni norm matrik A+

12, A21+A22 A+21 in A21 A+

12+A22 A+22 lahko uporabimo singularni razcep

A =U ΣV T −→ A+ =V Σ+UT ,

AA+ =U ΣV T V Σ+UT =U ΣΣ

+UT =U 1+UT =

[I A+

12A21 +A22 A+

21 A21 A+12 +A22 A+

22

], (6)

kjer zaradi simetrije matrike AA+ privzamemo enakost A21 +A22 A+21 = A+

12T .

3 Robni problem

Iscemo sibko resitev u upogiba tanke vpete plosce, obtezene s povrsinsko obtezbo f . Problemlahko matematicno opisemo z enacbo

a(u,v) = ( f ,v), u,v ∈V := H20 (Ω),

kjer sta bilinearni funkcional a in linearni funkcional ( f ,•) predpisana z enacbama

a(u,v) =∫

Ω

(ν∆u∆v+(1−ν)

2

∑i=1, j=1

∂i ju ∂i jv)

dx, ( f ,v) =∫

Ω

f vdx, f ∈ L2(Ω).

Namesto tocne resitve u bomo poiskali nekonformni priblizek uh iz prostora

uh ∈Vh := vh ∈ Xh,∀a ∈ ∂Ω,φa,k(vh) = 0,1≤ k ≤ 3

- 36 -

Page 44: Zbornik del

Kuhljevi dnevi 2016

kot resitev variacijske enacbe

ah(uh,vh) = ( f ,vh), uh,vh ∈Vh,

kjer sta diskretizirani bilinearni funkcional ah in linearni funkcional ( f ,•) podana z enacbama

ah(uh,vh) = ∑Q∈Qh

∫Q

(ν∆uh∆vh +(1−ν)

2

∑i=1, j=1

∂i juh∂i jvh

)dx,

( f ,vh) =∫

Ω

f vh dx, f ∈ L2(Ω).

V gornji enacbi koeficient ν ∈(0, 1

2

)oznacuje Poissonov kolicnik linearno elasticnega izotrop-

nega materiala.

4 Konvergenca in ocena napake

4.1 Zadostni pogoji za konvergenco

Zaradi singularnosti interpolacijske matrike A ne moremo prostostnih stopenj q obravnavanegakoncnega elementa enolicno povezati z vozliscnimi pomiki in s prvimi parcialnimi odvodi tehpomikov. Zato poskusamo manjkajoce prostostne stopnje izraziti z vozliscnimi pomiki in sprvimi parcialnimi odvodi teh pomikov sosednjih koncnih elementov iz okolice obravnavanegakoncnega elementa. V ta namen bomo uvedli nov pojem razdalje.

Definicija 1. Oznacimo stirikotnik Q z regularno interpolacijsko matriko A z imenom regu-larni stirikotnik, stirikotnik Q s singularno interpolacijsko matriko A pa z imenom singularnistirikotnik. Mrezo koncnih elementov lahko predstavimo z grafom, kjer s tockami ponazorimooglisca strikotnikov, s povezavami pa daljice na robovih stirikotnikov. Definirajmo razdaljo odvozlisca stirikotnika do vozlisca regularnega stirikotnika na sledec nacin:

• Vsa vozlisca regularnega stirikotnika imajo razdaljo nic.

• Vozlisce a singularnega stirikotnika ima razdaljo n, ce imajo vsa vozlisca v grafu, skaterimi je povezan (s povezavo v grafu), razdaljo vecjo ali enako n−1.

Vozlisca z razdaljami ena so na sliki 2(a) oznacena z dvojnimi krogi, vozlisca z razdaljami dvapa s trojnimi krogi.

Pogoj 1. Razdalja vseh vozlisc naj bo navzgor omejena in naj se pri gostitvi mreze ne spreminja.

Z uporabo druge Strangove leme [2, p. 210] lahko oceno napake izrazimo z vsoto ocene napakeclena aproksimabilnosti in ocene napake clena konsistence.

4.2 Ocena napake clena aproksimabilnosti

Izrek 4.4.4 iz [1] raztegnemo v obliko, primerno za nas namen, podobno kot je to narejeno vprispevkih [3, 4]. Zaradi neenolicne resljivosti je potrebno spodnjo lemo posebej dokazati

Lema 1. Funkcijski prostor P2 je podprostor linearne ogrinjace funkcij wh, t.j. P2 ⊂ P(L(wh)).

Ostale zahteve izreka 4.4.4 preverimo podobno kot v prispevkih [3, 4].

- 37 -

Page 45: Zbornik del

Kuhljevi dnevi 2016

4.3 Ocena napake clena konsistence

Pri dokazu konvergence in izpeljavi ocene napake clena konsistence bomo privzeli pogoj 1 inuporabili Stummelov posploseni patch test [6]. Upostevaje [6] je potrebno pokazati, da omejenozaporedje funkcij vhi , i ∈N′ ⊆N na primerni delitvi Qhi , i ∈N′,hi→ 0 obmocja Ω zadoscasledecim pogojem

limi∈N′

Tj(ψ,vhi) := limi∈N′ ∑

Q∈Qh

∫∂Q

ψvhi n j ds = 0, 1≤ j ≤ 2, ψ ∈C∞0 (R

2). (7)

Na podoben nacin kot v [3, 4] lahko preverimo veljavnost posplosenega Stummelovega patchtesta. Vkljucimo funkcional napake clena konsistence

Eh(u,vh) := ( f ,vh)−ah(u,vh), (8)

integriramo po delih in podobno kot v [3, 4] izpeljemo oceno

|Eh(u,vh)| ≤ ch |u|2,h |vh|1,h. (9)

4.4 Ocena napake

Na podoben nacin kot v [3, 4] moremo, z uporabo druge Strangove leme, razsirjene oblikeizreka 4.4.4 in neenakosti (9) izpeljati koncno oceno napake

‖u−uh‖2,h ≤ ch(‖u‖3,h +h |u|4,h). (10)

Iz gornje ocene napake je razvidno, da napaka v energijski normi upada vsaj linearno v odvi-snosti od najvecjega diametra h enakomerno po vseh u ∈ H4(Ω).

5 Numericni primeri

Teoreticne ugotovitve zelimo potrditi tudi numericno. V ta namen obravnavamo konvergenconumericnih priblizkov robnega problema tanke vpete kvadratne plosce, Ω = [−1,1]× [−1,1],obtezene s povrsinsko obtezbo f : (x,y) 7→ 8(10−18y2 +3(x4 + y4 +6x2 (−1+2y2))). Pois-sonov kolicnik je ν = 1

3 . Analiticno resitev robnega problema lahko zapisemo s funkcijou = (x2− 1)2 (y2− 1)2. V poglavju 5.1 numericni rezultati potrjujejo teoreticno predvidenolinearno konvergenco priblizkov v energijski normi.

5.1 Red konvergence

Konstruirani sta dve zaporedji mrez, mreze tipa a in mreze tipa b (slika 2). Obravnavamokonvergenco nekonformnega koncnega elementa RPQ4 z odsekoma linearno variacijo pomikovvzdolz robov [7, 3].

Zaporedno delno singularno mrezo tipa a dobimo s skaliranjem in translacijo predhodne mrezetipa a. V numericno analizo je bilo vkljucenih sedem mrez tipa a (h1 ≈ 0.3, . . . ,h7 ≈ 0.005).Numericni testi v celoti potrjujejo teoreticno ugotovljeno linearno padanje napake v energijskinormi (slika 3).

- 38 -

Page 46: Zbornik del

Kuhljevi dnevi 2016

1

11

1

2

−1 0 1−1

0

1

−1

0

1−1 0 1

A

B

C

D

x

y

(a) Zacetna mreza

−1 0 1−1

0

1

−1

0

1−1 0 1

x

y

(b) Prva mreza tipa (a)

1.0 0.5 0.0 0.5 1.0

1.0

0.5

0.0

0.5

1.0

1.0 0.5 0.0 0.5 1.0

1.0

0.5

0.0

0.5

1.0

1.0 0.5 0.0 0.5 1.0

1.0

0.5

0.0

0.5

1.0

(c) Singularne mreze tipa (b)

Slika 2 : Zacetna in prva zgoscena mreza tipa a, dobljena s skaliranjem in translacijo zacetnemreze, ter zaporedne singularne mreze tipa b. Singularni stirikotniki so na mrezah tipa a pobar-vani z rdeco barvo, regularni stirikotniki pa z zeleno barvo.

Zaporedno singularno mrezo tipa b (vsi stirikotniki na mrezi so singularni) dobimo z delitvijoobmocja vzdolz obeh koordinatnih osi. V numericno analizo je bilo vkljucenih sedem mrez tipab (h1 ≈ 0.3, . . . ,h7 ≈ 0.005). Iz numericnih rezultatov v tem primeru (slika 3) je razvidno, dazadostni pogoj 1 ni potreben pogoj za konvergenco.

6 Zakljucek

Obravnavali smo vpliv posplosenega inverza na konvergenco nekonformnega koncnega ele-menta RPQ4. Izpeljali smo zadostne pogoje za konvergenco in red konvergence. Numericniprimeri (na povsem singularnih mrezah) kazejo, da ti pogoji niso potrebni in da napaka s h-jem tudi v teh primerih linearno pada. Konvergenco koncnega elementa RQ6 obravnavamopodobno.

- 39 -

Page 47: Zbornik del

Kuhljevi dnevi 2016

Slika 3 : Napake v energijski normi za mreze tipa (a) (modra) in za mreze tipa (b) (rdeca).

Literatura

[1] S. Brenner, R. L. Scott, The Mathematical Theory of Finite Element Methods, 2nd Edition,Springer, New York, 2002.

[2] P. G. Ciarlet, Finite Element Methods for Elliptic Problems, Society for Industrial andApplied Mathematics, Philadelphia, 2002.

[3] R. Flajs, M. Saje, On convergence of affine thin plate bending element, in: Procedingsof the World Academy of Science, Engineering and Techology, WASET, Paris, 2012, pp.1219–1227.

[4] R. Flajs, M. Saje, On the convergence of a refined nonconforming thin plate bending finiteelement, in: B. H. V. Topping (Ed.), Proceedings of the Eleventh International Conferenceon Computational Structures Technology, Civil-Comp Press, Stirlingshire, United King-dom, 2012, paper 226.

[5] R. Flajs, M. Saje, The influence of pseudo inverse on unisolvence and convergence of qua-drilateral finite element for thin plates, in: A. Osman (Ed.), International Conference onComputational Mechanics CM13, School of Engineering and Computing Sciences, Dur-ham, United Kingdom, 2013, paper 143.

[6] F. Stummel, The generalized patch test, SIAM Journal on Numerical Analysis 16 (3)(1979) pp. 449–471.

[7] C. Wanji, Y. K. Cheung, Refined nonconforming quadrilateral thin plate bending element,Int. J. Numer. Meth. Engng. 40 (1997) pp. 3919–3935.

- 40 -

Page 48: Zbornik del

SLOVENSKO DRUŠTVO ZA MEHANIKO

SREČANJE KUHLJEVI DNEVI 2016

Modelna analiza vetrovnika v Nordijskem centru Planica

J. Gostiša1, M. Milavec1, M. Hočevar1 in B. Širok1

Model analysis of Planica Nordic Centre wind tunnel

Povzetek. Kot prvi svoje vrste, združuje novozgrajen vetrovnik v Nordijskem centru

Planica funkcionalnost dveh tipov vetrovnikov, simulacijo prostega pada v navpičnem in

leta smučarja skakalca v vodoravnem odseku. Pri zasnovi tovrstnega sistema je ključnega

pomena doseganje ustreznih tokovnih razmer v posameznem odseku. V prispevku so

predstavljeni ključni rezultati raziskav na tem področju.

Abstract. As the first of its kind, newly built Planica Nordic Centre wind tunnel

combines two types functionality, the free fall simulation in vertical section and the ski

jumpers flight simulation in horizontal section of the wind tunnel. The key, when designing

this kind of systems, is determining the flow conditions in each separate section. This

article presents an overview of research results in this field.

1 Uvod

Vetrovniki, namenjeni raziskavam aerodinamskih lastnosti, so v uporabi že od konca

19. stoletja, v zadnjem času pa se je njihova uporaba močno razširila tudi na področje raziskav

v športne namene. Na tem področju prevladujejo navpični vetrovniki s funkcijo simulacije

prostega pada in vodoravni vetrovniki namenjeni opazovanju aerodinamskih lastnosti v

različnih športnih panogah. S tem namenom je bil zgrajen tudi vetrovnik v Nordijskem centru

Planica, ki kot prvi na svetu združuje obe navedeni funkcionalnosti, simulacijo prostega pada

v navpičnem odseku in leta smučarja skakalca v vodoravnem odseku. Za potrebe raziskovanja

tokovnih razmer, smo uporabili numerični in eksperimentalni pristop. Z numeričnim, je bila

na osnovi aerodinamskega modela [1] razvita geometrijska oblika prototipa vetrovnika,

medtem ko smo z eksperimentalnim pristopom in izdelanim modelom ovrednotili numerični

model in ocenili ustreznost geometrijske oblike kanalov [2]. V nadaljevanju pa želimo delo

razširiti še na področje vizualizacije tokovnih razmer v obeh odsekih vetrovnika.

Vetrovnik v Planici spada v skupino recirkulacijskih vetrovnikov. Naročnikova zahteva je bila

dvojna funkcionalnost, in sicer sočasna simulacija prostega pada v navpičnem odseku in leta

smučarja skakalca v vodoravnem odseku. Z vidika hitrosti pomeni to doseganje 230 kmh-1 v

1 Univerza v Ljubljani, Fakulteta za strojništvo

Page 49: Zbornik del

Kuhljevi dnevi 2016

- 42 -

navpičnem in 120 kmh-1 v vodoravnem odseku. Poleg te, je bila ena od osnovnih zahtev tudi

lega vstopov v posamezen odsek, ki morata biti izvedena na enaki višini in določeni

oddaljenosti. Ti zahtevi sta pri zasnovi geometrijske oblike kanalov, z vidika doseganja

ustreznih aerodinamskih lastnosti, predstavljali velik izziv. S tem namenom je bil za napoved

tokovnih razmer v prototipu vetrovnika najprej izdelan numerični aerodinamski model in na

podlagi tega model vetrovnika. Na podlagi rezultatov numerične analize je bila geometrijska

oblika kanalov večkrat popravljena, iterativni proces analize in popravkov pa ponavljan do

stopnje, ko je ta zadoščala, s strani naročnika določenim zahtevam. Na tem mestu smo začeli

z zasnovo, načrtovanjem in izdelavo modela vetrovnika.

Slika 1: Izhodiščna geometrijska oblika (levo), prva iteracija (na sredini) in zadnja iteracija

geometrijske oblike kanalov (desno)

Cilj sprememb geometrijske oblike kanalov je bilo zmanjšanje moči pogona, potrebne za

doseganje želenih tokovnih razmer v posameznem odseku vetrovnika. S tem namenom je bila

razvita prva iteracija s popravljenimi ostrimi prehodi ter spremenjeno obliko konfuzorja in

prehoda v vodoravni del. Za izboljšanje tokovnih razmer so bili v nekaterih kolenih predvideni

elementi za vodenje toka. Za dano iteracijo aerodinamskega modela, je bil zasnovan prvi

model vetrovnika.

Slika 2: Zasnovana modela vetrovnika

Geometrijska oblika kanalov se je tekom razvoja aerodinamskega modela spremenila do te

mere, da je bila potrebna zasnova popolnoma novega modela. Novo zasnovan aerodinamski

model je predstavljal bistven prihranek energije za pogon ventilatorjev [2], geometrijska oblika

kanalov pa je bila prilagojena tako, da smo lahko vgradnjo vodilnih elementov v kolenih

opustili.

Page 50: Zbornik del

Kuhljevi dnevi 2016

- 43 -

2 Izdelava modela vetrovnika

Da lahko lastnosti toka v modelu primerjamo z lastnostmi v prototipu, morata model in

prototip ustrezati izbranim kriterijem podobnosti. V praksi se izkaže, da z modelom vsem ni

mogoče vedno zadostiti, zaradi česar se običajno osredotočimo na ujemanje kriterijev

podobnosti, ki bistveno vplivajo na opazovani pojav. V našem primeru smo za doseganje

popolne geometrijske podobnosti, v merilu 1:36 zasnovali geometrijsko podoben model

vetrovnika. Kot kriterij dinamične podobnosti smo uporabili razmerje med vztrajnostno in

viskozno silo:

𝐹V

𝐹η

=𝜌 ∙ 𝐿2 ∙ 𝑣2

𝜂 ∙ 𝑣 ∙ 𝐿=

𝑣 ∙ 𝐿

𝜈= 𝑅𝑒, (1)

pri čemer je kriterij podobnosti Re imenovan Reynoldsovo število. Pri tokovih tekočine s

prevladujočo viskozno silo je pogoj dinamične podobnosti izpolnjen z enakostjo Re števil

modela in prototipa. S tem namenom smo medij v prototipu vetrovnika - zrak, nadomestili z

vodo (Tabela 1, model – 2 do 5). V tabeli 1 je prikazan vpliv velikosti modela ter gostote in

temperature medija na Re število in hitrost ter s tem potrebno moč pogona. Z izbranima

pogonskima propelerjema, lahko v navpičnem odseku modela, s premerom 0,1 m, dosegamo

hitrosti reda velikosti 1 ms-1, s čimer se Re številu v prototipu približamo za faktor 100 (Tabela

1, model – 5). S tem smo ohranili bistvene karakteristike toka, ki so še vedno v močno

turbulentnem področju, koeficient upora za človeku podobno telo pa se od vrednosti pri

prvotnem Re številu razlikuje za manj kot 15 %, kar privzamemo kot še ustrezno vrednost [3].

Tabela 1: Preračun hitrosti v navpičnem odseku modela vetrovnika, s krepko označenimi

vplivnimi spremenljivkami, in sivo označenimi opazovanimi spremenljivkami

Prototip Model - 1 Model - 2 Model - 3 Model - 4 Model - 5

Gostota medija, ρ

[kgm-3] 1,01 1,01 1000 1000 1000 1000

Temperatura

medija, T [°C] 27 27 30 30 60 30

Premer navpičnega

odseka, dN [m] 3,6 0,1 0,1 0,2 0,1 0,1

Hitrost, v [ms-1] 64,0 2304,0 100,6 50,3 58,9 1,0

Dinamična

viskoznost, η [Pas] 1,85 ∙ 10-5 1,85 ∙ 10-5 7,98 ∙ 10-4 7,98 ∙ 10-4 4,67 ∙ 10-4 7,98 ∙ 10-4

Reynoldsovo

število, Re 1,26 ∙ 107 1,26 ∙ 107 1,26 ∙ 107 1,26 ∙ 107 1,26 ∙ 107 1,26 ∙ 105

Pretok, [m3s-1] 651,4 18,1 0,79 1,58 0,462 0,008

Dinamični tlak,

pDIN [Pa] 2,07 ∙ 107 2,68 ∙ 106 5,06 ∙ 106 1,26 ∙ 106 1,73 ∙ 106 5,06 ∙ 102

Moč motorja, P

[W] 1,35 ∙ 106 4,85 ∙ 107 4,00 ∙ 106 2,00 ∙ 106 8,01 ∙ 105 4,00

Page 51: Zbornik del

Kuhljevi dnevi 2016

- 44 -

Slika 3: Izdelan model vetrovnika z označenimi elementi

Na osnovi zahtev za funkcionalnost modela ter zahtev za vizualizacijo in izvedbo meritev smo

določili posamezne elemente modela, kot jih prikazuje slika 3. Model je bil izdelan z

rezkanjem kanalov iz aluminijastih blokov, zaradi česar smo vsakemu elementu določili

delilno ravnino in ga vzdolž te, razpolovili. Navpični odsek je bil za potrebe vizualizacije

izdelan s struženjem iz polnega bloka pleksi stekla, v vodoravni odsek smo s tem namenom

vgradili prosojni ploskvi iz enakega materiala.

2.1 Izdelava numeričnega modela vetrovnika

Na nestrukturirani mreži s 7∙106 celicami, je bil s programskim paketom ANSYS CFX, izveden

stacionarni preračun hidrodinamskega stanja v modelu vetrovnika NC Planica. Uporabljen je

bil računski model SST in snovne lastnosti 25°C vode. Kvaliteta mreže je bila znotraj

priporočil za kazalnike pri čemer smo upoštevali kriterije ortogonalnosti, razmerja velikosti

med sosednjima celicama in sploščenosti. Kriterij za dokončanje izračuna je bil izbran na

podlagi kvalitativnega opazovanja nihanja tlačnih razlik med vstopom in izstopom iz

propelerskega dela in podan 1000 iteracij po doseženi konvergenčni meji RMS 10-4, masnega

toka in gibalne količine v vseh treh smereh. Pogonski propeler ni bil simuliran, ampak smo

kot pogoj podali povprečno hitrost na vstopu in izstopu propelerja. Za kompenzacijo

numerične napake je bil na mestu, kjer so na prototipu vetrovnika predvideni kanali za dovod

svežega zraka, podan robni pogoj, ki omogoča prehajanje masnega toka v računsko domeno

in iz nje ter je predpisan s tlakom enakim 0 Pa.

3 Rezultati

Za potrebe vrednotenja aerodinamskega modela [1] in oceno ustreznosti geometrijske oblike

kanalov smo izvedli meritve hitrosti v obeh odsekih modela vetrovnika. Rezultate teh smo

uporabili tudi kot orodje za oceno ustreznosti tokovnih razmer in s tem geometrijske oblike

kanalov zasnovanega prototipa. Z namenom ovrednotenja funkcionalnosti obeh odsekov

prototipa vetrovnika, smo izvedli meritve hitrosti tudi v slednjem. V nadaljevanju so

predstavljeni nekateri rezultati.

Page 52: Zbornik del

Kuhljevi dnevi 2016

Slika 4: Absolutna hitrost v vodoravnem odseku modela vetrovnika

- 45 -

3.1 Meritve hitrosti na modelu vetrovnika

Meritve hitrosti na modelu vetrovnika smo izvedli s Pitotovo petluknjično cevjo, s katero lahko

poleg vrednosti hitrosti toka določimo tudi njegovo smer v izbrani točki. Za reprezentativen

prikaz hitrostnih razmer, smo mesti merilnih ravnin določili na vstopu obeh odsekov. Na

vstopu navpičnega odseka smo merilna mesta ekvidistančno razporedili na tri linije, v

vodoravnem odseku pa le na eno. Za meritve smo, glede na želeno hitrost v posameznem

odseku, izbrali serijo vrtilnih frekvenc pogonskih propelerjev in s tem nabor delovnih točk, ki

so predstavljene v tabeli 2.

Tabela 2: Nabor delovnih točk za izvedbo meritev na modelu in izračun pričakovanih

hitrosti

Delovna točka

Vrtilna

frekvenca

[min-1]

Hitrost v

navpičnem

odseku [ms-1]

Hitrost v

vodoravnem

odseku [ms-1]

A 1600 0,87 0,40

B 1900 1,04 0,48

C 2200 1,20 0,55

D 2500 1,37 0,63

E 2800 1,53 0,70

Profil absolutne hitrosti na vstopu navpičnega odseka je močno podoben obliki turbulentnega

profila hitrosti (slika 6/b). Pri preračunu absolutne hitrosti močno prevladuje aksialna

komponenta, pojavita pa se tudi tangencialna in radiana, ki kažeta na pojav vrtinca. Povprečna

vrednost absolutne hitrosti na vstopu navpičnega odseka linearno narašča s povečevanjem

vrtilne frekvence pogonskih propelerjev.

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14

hit

rost

[m

s-1

]

z [m]

2800

2500

2200

1900

1600

min-1

min-1

min-1

min-1

min-1

Page 53: Zbornik del

Kuhljevi dnevi 2016

- 46 -

Meritve hitrosti v vodoravnem odseku so prikazane na sliki 4. Z izbranim merilnim

zaznavalom meritev ni mogoče opraviti po celotnem preseku, česar vzrok je velika fluktuacija

smeri hitrosti, ki je večja od merilnega območja zaznavala. S tem sklepamo, da pride na

desnem delu preseka do intenzivnega vrtinčenja. To potrjujte tudi dejstvo, da so absolutne

vrednosti hitrosti, izmerjene na levem delu preseka, skoraj dvakrat večje od izračunanih, kar

potrjuje prisotnost povratnega toka v levem delu vodoravnega odseka, ki zmanjšuje efektivni

pretočni prerez v tem odseku modela.

3.2 Primerjava z meritvami na prototipu vetrovnika

Meritve hitrosti v modelu vetrovnika so bile izvedene s Pitot-Prandtlovo cevjo, merilna mesta

pa podobno kot na modelu vetrovnika, razporejena v ravnini na vstopu posameznega odseka.

Traverziranje je bilo zaradi kontinuitete izvedeno brez zaustavljanja ventilatorjev, pri čemer je

bil merilec med meritvijo prisoten v odseku. Pri visoki hitrosti bi bilo merilno zaznavalo

nestabilno, zaradi česar smo se odločili za nastavitev frekvenčnega pretvornika ffrekv = 29 %.

Slika 5: Absolutna hitrost v navpičnem odseku prototipa vetrovnika

Tako kot v modelu, je tudi v navpičnem odseku prototipa vetrovnika (slika 5) oblika profila

hitrosti zelo podobna obliki turbulentnega profila hitrosti. Hitrosti so enakomerno razporejene

po celotni površini preseka, razen v bližini vstopa v odsek, kjer je hitrost manjša od povprečne

za več kot 10 %. Za izboljšanje funkcionalnosti odseka, bo potrebna sanacija tega pojava.

V vodoravnem odseku prototipa se tako kot na modelu vetrovnika, izkaže da je profil hitrosti

močno nehomogen. Funkcionalnost tega odseka, je zato omejena na spodnji srednji del, kjer

je simulacija leta smučarja skakalca mogoča. Ocenjujemo pa, da bi bilo z omejitvijo testnega

mesta in vgradnjo dodatnih vodilnikov toka ta problem mogoče rešiti.

3.3 Primerjava z rezultati numerične analize

Za ustrezen popis tokovnih razmer na modelu in prototipu smo primerjali vrednosti vseh treh

komponent hitrosti, dobljenih v treh različnih delovnih točkah. Profili posameznih komponent

hitrosti, dobljenih z meritvami in numerično analizo se dobro ujemajo, tako z vidika oblike kot

Page 54: Zbornik del

Kuhljevi dnevi 2016

- 47 -

a) a)

b)

vrednosti, kar kaže na ustrezno izveden numerični model vetrovnika in meritve. Rezultati

primerjave so prikazani na sliki 6.

Slika 6: Primerjava komponent hitrosti v navpičnem odseku vetrovnika, izračunanih z

numerično analizo (a) in izmerjenih na modelu vetrovnika (b). Krepke črte prikazujejo

aksialno, šibke tangencialno in prekinjene radialno komponento hitrosti

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1

hit

rost

[m

s-1

]

x [m]

2800

2200

1600

2800

2200

1600

2800

2200

1600

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1

hit

rost

[m

s-1

]

x [m]

2800

2200

1600

2800

2200

1600

2800

2200

1600

min-1

min-1

min-1

min-1

min-1

min-1

min-1

min-1

min-1

min-1

min-1

min-1

min-1

min-1

min-1

min-1

min-1

min-1

Page 55: Zbornik del

Kuhljevi dnevi 2016

- 48 -

3.4 Pojav vrtinca v navpičnem odseku

V navpičnem delu vetrovnika smo kot posledico geometrijske oblike zbirnega kolektorja in

prehoda na navpični del opazili pojav vrtinca. Ta se je v skladu s pričakovanji razvil na vstopu

navpičnega odseka, kar kažejo tako meritve kot rezultati numerične analize [3] na tem mestu.

Na podlagi kvalitativne ocene gibanja mehurčkov zraka, ujetih v model vetrovnika, sklepamo,

da se vrtinec razteza vzdolž celotnega odseka in se nadaljuje v prehod v vodoravni del.

Vrednosti tangencialne komponente v skrajnih mestih v povprečju predstavljajo 20 % aksialne

komponente hitrosti, kar predstavlja negativen vpliv na funkcionalnost navpičnega odseka. Za

izboljšanje te, smo izdelali vodilnik, s katerim bi nastanek vrtinca onemogočili.

Odločili smo se za rešetasto obliko z odprtinami pravokotne oblike, širine in dolžine 5 mm.

Pri izdelavi pomanjšanega vodilnika, za vgradnjo v model vetrovnika, smo uporabili jeklena

rezila debeline 0,25 mm in višine 8 mm. Vodilnik smo vgradili med razpolovljena kosa

konfuzorja, pri čemer ga na izbranem mestu drži trenje s steno kanala.

Mesto merilne ravnine za merjenje s petluknjično Pitotovo cevjo se nahaja pred mestom

vgradnje vodilnika. Ta zato nima velikega vpliva na rezultate meritev hitrosti, predstavljene

na sliki 6. Lastnosti toka v navpičnem odseku lahko opazujemo z vizualizacijo zračnih

mehurčkov. Lastnosti toka po vgradnji vodilnika smo ocenjevali kvalitativno. Gibanje

mehurčkov, je po vgradnji vodilnika, bolj vzporedno, pri čemer vrtinčenja, kot je bilo vidno

pred vgradnjo, ni opaziti. V prototipu vetrovnika smo se na podlagi te ocene odločili za

izdelavo geometrijsko podobnega vodilnika. V nadaljevanju bomo za opazovanje vpliva

dodatnih gradnikov uporabili metodo vizualizacije gibanja telesa v trorazsežnem prostoru

navpičnega odseka.

4 Zaključki

Za potrebe raziskav tokovnih razmer v vetrovniku Nordijskega centra Planica sta bila

uporabljena numerični in eksperimentalni pristop. Na osnovi numerične analize je bil izdelan

aerodinamski model, s katerim je bila zasnovana geometrijska oblika kanalov prototipa

vetrovnika. Za potrebe vrednotenja numeričnega modela in raziskovanja vpliva dodatnih

gradnikov v pretočnem traktu, pa je bil izdelan model vetrovnika. V nadaljevanju načrtujemo

z zastavljeno metodo vizualizacije, na modelu oceniti vpliv vodilnih elementov na gibanje

telesa v navpičnem odseku in obtekanje medija okoli telesa v vodoravnem odseku.

5 Literatura

[1] M. Milavec, B. Širok, M. Hočevar: Numerična analiza aerodinamskega koncepta

sistema NC-PLANICA. Fakulteta za strojništvo, Laboratorij za vodne in turbinske

stroje, Ljubljana, 2015.

[2] M. Milavec, B. Širok, M. Hočevar: Modeliranje in verifikacija funkcionalnih

parametrov vetrovnika NC-Planica. Fakulteta za strojništvo, Laboratorij za vodne in

turbinske stroje, Ljubljana, 2015.

[3] T. Bajcar, B. Širok, A. Malneršič: Eksperimentalna in numerična analiza tokovnih

razmer v modelu vetrovnika NC-PLANICA. Fakulteta za strojništvo, Ljubljana, 2015.

Page 56: Zbornik del

SLOVENSKO DRUSTVO ZA MEHANIKO

SRECANJE KUHLJEVI DNEVI 2016

Staticna analiza upogiba pristajalnega odbojnika v Luki Koper

A. Grm1 in M. Batista1

Bending analysis of breasting dolphin in Port of Koper

Povzetek. Pricujoce delo obravnava analizo upogiba pristajalnega odbojnika v Luki Koper. Zaladje, ki prevazajo tekoci ali utekocinjen tovor se za pristajanje in privezovanje vecinoma upora-bljajo vertikalni pristajalni nosilci ali odbojniki, ki se nahajajo v blizini obale. Nosilci so ponavadisestavljeni iz stirih okroglih stebrov (jeklene debelostenske cevi), ki so postavljene v kotih pravo-kotnika ali kvadrata. V danem primeru je nosilec dolg okoli 30 m, v dno je zabit 15m in iz vodemoli okoli 2-3 m glede na visino bibavice. Analiza upogiba je bila narejena s pomocjo metodekoncnih elementov in analiticnega priblizka eno dimenzionalnega vpetega nosilca. S pomocjo me-tode koncnih elementov so bile ocenjene elasticnostne konstante nosilca. Eno dimenzionalni modelnosilca smo uporabili v parametricni studiji upogiba nosilca za pristajanje ladij razlicnih deplasma-nov in njihovih razlicnih pristajalnih hitrosti.

Abstract. Present article is focused on the bending analysis of breast dolphin in Port of Koper.Most liquid bulk terminals are equipped with a jetty as berthing facility. The ship mostly berths todedicated breasting dolphins, which can be single-pile flexible dolphins or multi-pile rigid dolphins.In the present case dolphin was made of four piles placed in the square corners. Single pile was 30m long, placed 15 m inside the bottom and 2-3 m above the sea level. The elastic material propertieswere calculated with finite element method. One dimensional pile model was latter used in theparametric study of the pile bending. Parametric bending study was done for the berth for variousships displacement and ships berth velocity.

1 Uvod

Naftni terminali se ponavadi nahajajo na obronkih pristanisca. Za namen pristajanja se tako vvecino primerov uporabljeni posebni pristajalni nosilci ali odbojniki (Slika 3), ki so sestavljeniiz debelostenske cevi in imajo lahko spremenljivo debelino stene. Nosilec je zabit v dno, ki jeponavadi blatnega ali pescenega tipa. Nosilci so samostojno postavljeni in ne potrebujejo dotikaz obalnim delom, kar omogoca enostavno postavitev naftnega terminala z ustrezno cevovodnoinfrastrukturo. Cevovod poteka v centru med prednjimi in zadnjimi odbojniki (slika 5). Ladjaje tako fiksno vpeta in se ne naslanja na togi cevovodni sistem. V primeru nalega ladje na togicevovodni sistem bi lahko prislo do poskodbe cevovoda zaradi interakcije valovanja in tokov zladjo.

1 Univerza v Ljubljani, Fakulteta za pomorstvo in promet

Page 57: Zbornik del

Kuhljevi dnevi 2016

Slika 1 : Izgled odbojnika v pristaniscu ob ladji. Levo odbojnik z eno cevjo [1], desno odbojniksestavljen iz stirih cevi (Luka Koper - foto M.Perkovic)

V splosnem delimo odbojnike na dva tipa in sicer na toge odbojnike in upogljive odbojnike, kotje prikazano na Sliki 2. V nasem primeru bomo obravnavali obnasanje upogljivega odbojnika(Slika 2 - desno).

Slika 2 : Razlicna tipa odbojnikov, levo togi, desno upogljiv [1]

Odbojniki so sestavljeni iz debelostenskih cevi z razlicnimi debelinami sten na razlicnih odsekihglobine (Slika 3). Najvecje debeline sten so prav na mestu, kjer se pojavijo najvisje vrednostiupogibnega momenta. V nasem primeru je cev sestavljena iz vecjih odsekov in zabita v dno zrazlicnim materialom kot je prikazano na Sliki 4. Cevi razlicnih debelin so med seboj zvarjenein ojacane na mestu spoja. V nalogi si bomo pogledali kako se tako izdelan in namescen nosilecobnasa pod zunanjo obremenitvijo kot je pristajanje ladje.

- 50 -

Page 58: Zbornik del

Kuhljevi dnevi 2016

Slika 3 : Shema odbojnika glede na debelino cevi po globini (levo [1]) in 3D model za Ansyspreracun (desno)

2 Model

Analiza nosilca je bila narejena zaradi kontrole pristajanja vecjih ladij. Osrednji namen je biladolocitev napetosti v nosilcu in ocena upogiba nosilca za razlicne pristajalne hitrosti ladje inrazlicne deplasmane ladij (dplasman ali izpodriv ladje oznacuje maso celotnega plovila). Vdanem primeru smo imeli na razpolago priblizno geometrijo nosilca, priblizno oceno materialnestrukture dna in hitrosti priblizevanja ladje ter deplasman ladje.

1000 kN/m3

3000 kN/m3

10m 5m 5m 3m5m5m3m

MORJEBLATO

KAMENJE

SIL

A

Slika 4 : Prikaz potopitve cevi nosilca v dno z dimenzijami in materialnimi lastnostmi dna

Za nosilec smo privzeli, da je rezim deformacije znotraj linearne elasticnosti. Privzetek smopotrdili s simulacijo v AnsysMechanical sistemu in za ta namen izdelali geometrijski modelnosilca, ki je prikazan na Sliki 3 - desno. Nosilec je sestavljen iz sedmih odsekov cevi razlicnihdebelin, ki so v intervalu od 21 mm do 40 mm, kot je prikazano na Sliki 4.

- 51 -

Page 59: Zbornik del

Kuhljevi dnevi 2016

Slika 5 : Prikaz priveznega mesta Petrol v Luki Koper. Pristajalna odbojnika sta levo in desnood osrednjega pomola - samostojni rumeni krozci sredi morja (foto M.Perkovic)

Za materialne lastnosti nosilca so bile vzete vrednosti konstrukcijskega jekla iz Ansys bazepodatkov za izotropno elasticni model. Celotna masa nosilca 3D modela je m = 39.5 ·103 kg.

Na Sliki 3 desno, je narisan kvader z debelino 0.5 m, ki se nahaja na sredini nosilca (poenosta-vljen nosilec, slika 6 - tocka B). Kvader predstavlja betonski blok, ki je bil naknadno zalit okolizabitih cevi, da bi dusil polzenje nosilca na visini dno-morje (z = 0). Privzeli smo, da je leziscenosilca v betonskem bloku zrahljano in se lahko nosilec prosto vrti v leziscu (vrtljivo vpetje).

a by

+zF

BA

Dy

C

qE

-z

x

L

Slika 6 : Prikaz vpetja enostavnega nosilca s postavitvijo koordinatnega sistema. V tocki A jevrtljivo vpet, v tocki B drsno vpet in v tocki C prost, kjer deluje zunanja tockovna sila F. Medtockama A in B deluje kontinuirana elasticna sila zemljine qE , ki je linearno odvisna od odmikanosilca v y smeri.

- 52 -

Page 60: Zbornik del

Kuhljevi dnevi 2016

Nosilec smo nato staticno analizirali s pomocjo Ansys Mechanical. Izracunali smo upogibe innapetosti v nosilcu za razlicne vrednosti sil F. Sila deluje na vrhu nosilca, kot je prikazano naSliki 6 v tocki C. S pomocjo izracuna za razlicne velikosti sil smo ocenili kaksen je togostnikoeficient MKE nosilca ali odbojnika, ki predstavlja nosilec z realno geometrijo. Kot bomovideli v rezultatih je rezim upogiba v mejah linearne elasticnosti. Na Sliki 6 imamo predstavljenpoenostavljen model vpetega nosilca. Krivulja nosilca je dolocena s sistemom enacb

EI

d4ydx4 =−ky, x ∈ [0,a]

EId2ydx2 =−F(L− x), x ∈ [a,L]

(1)

kjer je k = Rk0, R sirina nosilca, k0 elasticni modulus zemljine, E elasticnostni modul nosilcain I vztrajnostni moment preseka nosilca. Krivulja je tako dolocena v koordinatnem sistemu xy,kjer je koordinatno izhodisce v tocki A na Sliki 6. Koordinatni sistem zy, ki je prikazan na Sliki6 je postavljen za dolocitev kolicin glede na globino, kjer je z = 0 v tocki B in je postavljeno nameji dno-morje. Prva od enacb v sistemu (1) doloca krivuljo nosilca, ki je po celotnem intervaluAB elasticno podprt (vpliv zemljine [3, 4]). Za resitev enacbe (1) potrebujemo robne pogoje, kiso v nasem primeru

y(0) = 0, y(a) = 0, y′′(0) = 0, y′′(a) = bFEI , x ∈ [0,a]

y(a) = 0, y′(a) = α, x ∈ [a,L](2)

Z resitvijo enacbe na intervalu AB dolocimo konstanto α za enacbo na intervalu BC. Resitev zaenacbo (1) z robnimi pogoji (2) je

y(x) =

2bFλ2

kcoshλy sinhλx sinλ(a− x)− cosλa sinhλ(a− x) sinλx

cosh2λa− cos2 λa

, x ∈ [0,a]

−F(a− x)

(a2 +a(3b−2x)−3bx+ x2− 12bκλ3

ksin2aλ−sinh2aλ

cos2aλ−cosh2aλ

)6κ

, x ∈ [a,L]

(3)

kjer je F sila v tocki C, λ = 4√

k/(4κ) in κ = EI upogibni togostni koeficient nosilca. Upogibnaenergija nosilca U se lahko izrazi s pomocjo resitve (3) [2]

U = κ

∫ L

0

(d2ydx2

)2

dx. (4)

Resitev za upogibno energijo, kjer smo resitev razvili v vrsto za koeficient λ, za enostavnejsodolocitev zveze med upogibom in energijo, je

- 53 -

Page 61: Zbornik del

Kuhljevi dnevi 2016

1 2 3 4Δx[m]

50

100

150

200

F[T]Deformation vs. Force

Slika 7 : Rezultat odmika-sile za Ansys simulacijo.

U(F,κ,k) =F2

7560a2κ2 (−9b9k+1260b5κ+84a5(b4k+15κ)

+28a4(2b5k+135bκ)−105a3(b6k−36b2κ)

−21a2(7b7k−180b3κ)−63a(b8k−60b4

κ))+O(λ13).

(5)

V enacbah (1)-(5) nastopa togostna kostanta κ, ki za nas primer ni dolocljiva zaradi nepoznava-nja materialnih lastnosti nosilca in tocne geometrije nosilca. Geometrija nosilca je bila opisanav stari projektni dokumentaciji, kot je prikazano na sliki 4, a se na to ne moremo zanasati vceloti. Na podlagi vecih meritev hitrosti priblizevanja in ocene mase (deplasmana ali izpo-driva) ladje lahko dolocimo upogibno togost nosilca κ pri dolocenem elasticnostnem moduluzemljine. V primeru, da se ladja giblje enakomerno proti nosilcu s hitrostjo v in ima maso Mlahko privzamemo, da se njena celotna kineticna energija spremeni v cisto upogibno energijonosilca, ko se le ta ustavi. Za dolocitev parametra κ potrebujemo le se meritev odmika nosilca∆ od ravnovesne lege. S pomocjo enacb (3) in (5) lahko dolocimo vrednost parametra κ, cepoznamo upogibno energijo U , upogib v tocki C (y(L) = ∆) in elasticnostni modul zemljine k0.V primeru vecih meritev, lahko dolocimo povprecje in odmik za κ in tako delno izlocimo vplivmerske napake.

3 Rezultati in razprava

Izhodisce zadane naloge je dolocitev mejnih vrednosti mase in hitrosti ladje med pristajanjem.Pristajalni nosilec se lahko upogne najvec za ∆max =1.5 m. Za vecje odmike nosilca ∆, ladjanalega na osrednji pomol (Slika 5). V primeru, da bi ladja pristala prehitro, ali s preveliko masolahko poskoduje togi del cevovoda, ker odbojnik ne zmore zadrzati ladje.

V analizi smo uporabili merske podatke, ki so navedeni v Tabeli 1. Glede na meritev dobimooceno za neznano kostanto κ = 1.94 · 109± 2.72 · 107 Nm2 pri k0 = 106 N/m3. V primeru, daocenimo vztrajnostni moment preseka I = 10−2 m4 dobimo za elasticnostni module vrednostE = 1.94 ·1011 Pa, kar je velikostni red kostrukcijskih jekel.

- 54 -

Page 62: Zbornik del

Kuhljevi dnevi 2016

Slika 8 : Rezultat deformacije (zgoraj) in napetosti (spodaj) za 3D Ansys model sestavljenecevi

Tabela 1 : Tabla meritev pristajanja

meritev hitrost priblizevanja [m/s] masa [106 kg] najvecji odmik [m]

1 0,04 52,67 0,342 0,03 46,67 0,233 0,02 40,81 0,164 0,05 40,61 0,37

- 55 -

Page 63: Zbornik del

Kuhljevi dnevi 2016

Z znano upogibno togostno konstanto κ lahko dolocimo togostni koeficient nosilca α = F/∆ =598.2 kN/m. Za kontrolo in primerjavo togosti α smo analizirali 3D model (Slika 3 - desno),z materialnimi lastnostmi dna in geometrijo sestave cevi prikazanimi na Sliki 4, v Ansys Me-chanica, kjer je bilo izbrano konstrukcijsko jeklo z izotropno elasticnostjo (E = 2 ·1011 Pa). NaSliki 7 so prikazani rezultati izracuna v Ansys sistemu. S pomocjo variacije sile smo dolocilinajvecje odmike in tako dolocili togostno konstanto α = 426 kN/m, kar je blizu rezultatu ocenepoenostavljenega modela. Ocena upogibne togosti κ poenostavljenega nosilca je zelo odvisnaod podatka o elasticnostnem modulu zemljine k0. Manjsi kot je k0 manjsi je κ. Lahko naredimotudi inverzno analizo, ki doloci vrednost k0, a bi za tako analizo potrebovali natancen podateko κ.

4 Zakljucek

V prispevku smo opisali razvoj dveh modelov za staticen opis odbojnika v Luki Koper. Spomocjo poenostavljenega modela in meritev smo lahko dolocili neznane geometricne in ma-terialne parametre odbojnika. Tako dolocen model je bil nato uporabljen za izdelavo diagramaodmikov odbojnika za razlicne deplasmane ladje in razlicne hitrosti priblizevanja ladje. Rezul-tati se lepo ujemajo s kasnejsimi meritvami in potrjujejo smiselnost poenostavljenega modela.

S pomocjo AnsysMechanical smo izracunali togostno konstanto nosilca, ki ima spremenljivodebelino stene cevi in je vpeto v elasticnem mediju, ki ponazarja dno. Dolocena je bila togostnakonstanta nosilca, ki se delno razlikuje od togostne konstante poenostavljenega modela. Lahkozakljucimo, da poenostavljen model (slika 6) zelo dobro opise pristajalni odbojnik in ga lahkouporabimo za nadaljne analize.

Zahvala: mag.Marku Perkovic se zahvaljujemo za vse merske podatke in slike uporabljene vtem prispevku.

Literatura

[1] Edward Bruijn. Plastic design of breasting dolphins. Master’s Thesis. TU Delft, Faculty ofCivil Engineering and Geosciences, Hydraulic Engineering, Netherland, 2005.

[2] Gross, D., Hauger, W., Schroder, J., Wall, W., Bonet, J., Engineering Mechanics 2: Mecha-nics of Materials. Engineering Mechanics. Springer Berlin Heidelberg, 2011.

[3] Jones Glyn, Analysis of Beams on Elastic Foundations: Using Finite Difference Theory.Thomas Telford, 1997

[4] Heteny M., Beams on Elastic Foundations. The University of Michigan Press, 1946

- 56 -

Page 64: Zbornik del

SLOVENSKO DRUŠTVO ZA MEHANIKO

SREČANJE KUHLJEVI DNEVI 2016

Priprava mehanskega modela za optimizacijo topologije

B. Harl1, J. Predan1, M. Kegl1 in N. Gubeljak1

Preparing the mechanical model for topology optimization

Povzetek. Prispevek obravnava elementarne prijeme, ki so neke vrste potrebni pogoji,

da lahko postopek optimizacije topologije uspešno izvedemo in zaključimo. Ti prijemi se

nanašajo tako na ustrezno pripravo CAD modela, kot tudi na pripravo robnih pogojev in v

končni fazi tudi numeričnega MKE modela. V tem prispevku so predstavljeni na primeru

priprave optimizacijskega modela konzole podprte z dvema čepoma.

Abstract. This paper discusses the most elementary arrangements which can be

regarded as some kind of necessary conditions, enabling to drive a topology optimization

process to a good result. These arrangements are related to the CAD model preparation, to

the definition of boundary conditions, and to the numerical FEM model. In this paper they

are presented by an example of a cantilever structure, supported by two pins.

1 Uvod

Optimizacija topologije se je očitno začela prebijati v postopke razvoja in konstruiranja

nosilnih delov [1]. Pri tem lahko opazimo, da imajo inženirji v praksi precej težav z uporabo

teh postopkov. Eden od glavnih razlogov za tako situacijo je dejstvo, da je treba mehanski in

numerični model konstrukcijskega dela, ki ga želimo optimirati, pripraviti precej bolj skrbno,

kot smo tega vajeni sicer pri navadni MKE analizi.

Optimizacija topologije po svoji definiciji konstrukcijo prilagaja danim razmeram

(podprtju in obremenitvam). Poenostavitve in približki, ki sicer pri navadni analizi niso

problematični, lahko zato pri topološki optimizaciji postanejo kritični ali se celo rezultirajo v

zelo zgrešeni obliki. Pri definiciji mehanskega modela za topološko optimizacijsko moramo

zato predvsem poskrbeti za:

primerno izbiro in definicijo optimizacijskih regij,

dovolj natančno modeliranje podprtja modela,

pravilno identifikacijo vseh možnih obremenitvenih primerov, in

1 Univerza v Mariboru, Fakulteta za strojništvo

Page 65: Zbornik del

Kuhljevi dnevi 2016

- 58 -

kvaliteto ter ustreznost MKE mreže.

V tem prispevku bodo nekateri osnovni prijemi v slogu 'napačno/pravilno' prikazani

na primeru priprave modela nosilca, podprtega z dvema čepoma, ki je obremenjen preko

tretjega čepa, kot prikazuje slika 1. CAD model je bil narejen s programskim paketom PTC®

Creo® [2] optimizacije pa so bile izvedene s paketom ProTOp [3].

Slika 1: Nosilec podprt z dvema čepoma in obremenjen preko tretjega čepa

2 Definicija optimizacijskih regij in podprtja

V mehanskem modelu najprej definiramo regije tako, kot bi morale biti dejansko definirane,

slika 2, in sicer:

prosta za optimizacijo (svetlo modra),

fiksna, ki se ne optimira (svetlo siva), in

kontakti (temno siva)

Slika 2: Model, razdeljen na ustrezne regije

Vpetje

Prosto

za optimizacijo

Kontakt

Fiksno

Obremenitev v

vertikalni smeri

Vpetje

Page 66: Zbornik del

Kuhljevi dnevi 2016

- 59 -

Začnimo z zelo poenostavljenim modelom: čepe in kontakte odstranimo, ves preostali material

definiramo kot prost za optimizacijo, notranjost izvrtin pa fiksno podpremo in obremenimo. S

pomočjo optimizacije bomo iskali minimum deformacijske energije ob predpisanem volumnu.

Rezultat optimizacije takega modela prikazuje slika 3 in očitno je, da je tak rezultat povsem

neuporaben, čeprav je optimizer svojo nalogo opravil brezhibno. Največja problema tega

modela sta: (a) fiksno podprtje notranjosti izvrtin in (b) celotna domena je prosta za

optimizacijo.

Slika 3: Rezultat optimizacije najenostavnejšega modela

Za prvi korak k pravemu modelu, material okrog izvrtin definiramo kot fiksen. Rezultat, ki ga

prikazuje slika 4, je boljši od predhodnega, vendar je precej očitno, da je okrog izvrtin

optimizer pustil premalo materiala. Razlog za to je fiksno podprtje in obremenitev notranjosti

izvrtin, kar je v danem primeru neustrezno.

Slika 4: Rezultat optimizacije modela z dodanimi fiksnimi regijami

Page 67: Zbornik del

Kuhljevi dnevi 2016

- 60 -

Da bi robne pogoje podprtja bolj približali realnosti, modelu dodamo čepe ter med nosilec in

čepe namestimo kontaktni material. Podprtje in obremenitev sedaj zagotovimo preko čepov.

Iz rezultata optimizacije tega modela, ki je prikazan na sliki 5, je očitno, da smo bliže realnosti,

vendar pa skrb vzbuja relativno tanek segment na sredini nosilca. Razlog: nosilec je

obremenjen s predpisano obremenitvijo in rezultat bi bil dejansko optimalen, če bi v praksi

imeli res samo to obremenitev.

Slika 5: Rezultat optimizacije modela z dodanimi čepi in kontakti ter s predpisano

vertikalno obremenitvijo

3 Obravnava obremenitvenih primerov

Do sedaj smo naš model obremenjevali samo s predpisano obremenitvijo – samo v vertikalni

smeri. Vendar pa vemo, da se v praksi razen očitnih in predpisanih obremenitev pogosto

pojavljajo še druge obremenitve, ki jih je včasih morda zelo težko identificirati. Pri topološki

optimizaciji lahko neupoštevanje vseh možnih obremenitvenih situacij privede do povsem

neustreznih rezultatov. V našem primeru skrb vzbuja predvsem možnost, da dejanska

obremenitev ne bo vedno povsem vertikalna. Zato dodamo (ločene) obremenitvene primere,

ki simulirajo vse možne obremenitve, slika 6. Rezultat, ki ga dobimo (slika 6), je zagotovo

bolj odporen na variacije dejanske obremenitve.

Page 68: Zbornik del

Kuhljevi dnevi 2016

- 61 -

Slika 6: Rezultat optimizacije modela z dodanimi čepi in kontakti ter s tremi

obremenitvenimi primeri

4 Tehnološki pogoji

Optimirane konstrukcijske elemente je potrebno seveda tudi izdelati. Zato moramo v fazo

optimizacije vključiti tudi tehnološke pogoje kot so simetrijske ravnine, koti odpiranja

materiala in podobno. Slika 7 prikazuje naš nosilec optimiran brez kakršnih koli tehnoloških

pogojev. Priznati je treba da je s klasičnimi postopki takšne dele zelo težko ali pa nemogoče

izdelati.

Slika 7: Rezultat optimizacije ustreznega mehanskega modela brez dodanih tehnoloških

pogojev

Če želimo ohraniti možnost izdelave s klasičnimi tehnologijami, kot npr. litje ali kovanje, je v

procesu optimizacije za to treba poskrbeti z dodajanjem ustreznih tehnoloških pogojev. Slika

Page 69: Zbornik del

Kuhljevi dnevi 2016

- 62 -

8 prikazuje rezultat iste naloge, pri kateri pa smo dodali pogoj simetrije (preko delilne ravnine

in odpiranje v smeri normale na delilno ravnino.

Slika 8: Rezultat optimizacije ustreznega mehanskega modela z dodanimi tehnološkimi

pogoji

5 Mreža končnih elementov

Ko imamo ustrezen mehanski model, je čas, da pomislimo tudi o primernem numeričnem

modelu. Tukaj je najpomembnejši dejavnik mreža končnih elementov. Rezultati topološke

optimizacije so namreč zelo odvisni od kvalitete in gostote mreže KE. Pomembno je, da je

mreža v optimizacijskih domenah čim bolj enakomerna (enako veliki in ne preveč pokvarjeni

elementi) in dovolj gosta. Gostota mreže je pomembna predvsem zaradi natančnosti 'rezanja

elementov' in ne toliko zaradi natančnosti izračunanega odziva. Običajno je zato mnogo bolje

imeti majhne linearne elemente kot pa velike kvadratične. 'Rezanje elementov' izvajamo s

pomočjo topoloških parametrov - gladke materialne funkcije. Materialna funkcija je definirana

na intervalu [−1,+1], kjer vrednost večja od 0 pomeni obstoj materiala.

Page 70: Zbornik del

Kuhljevi dnevi 2016

- 63 -

Grobe mreže so tako lahko koristne predvsem v začetku optimizacije, kjer običajno

tudi preverjamo, ali je naš model ustrezen in kakšna približno bo oblika optimiranega dela. V

kasnejših fazah optimizacije pa je nujno preklopiti na čim bolj fino mrežo, ki jo lahko tudi

mnogo bolje gladimo. Na sliki 9 je prikaza rezultat optimizacije z zelo grobo mrežo.

Slika 9: Grobe mreže so zelo uporabne pri nastavljanju mehanskega modela in za izračun

'startnih oblik' za optimizacijo modela s fino mrežo

Rezultat optimizacije enakega mehanskega modela, vendar z precej gostejšo mrežo, prikazuje

slika 10.

Slika 10: Fine mreže moramo obvezno uporabiti proti koncu optimizacijskega postopka

6 Zaključek

Optimizacija topologije prinaša veliko pomoč in prednost inženirjem pri razvoju in

oblikovanju optimalnih konstrukcijskih elementov. Strukture imajo manjšo maso, veliko

Page 71: Zbornik del

Kuhljevi dnevi 2016

- 64 -

togost, minimalne nivoje napetosti ter ne vsebujejo koncentracij napetosti. Pri tem je ključnega

pomena pravilna definicija mehanskega in numeričnega modela, saj lahko nepravilna uporaba

programskih paketov ter nepoznavanje in upoštevanje vseh mehanskih vplivov, privede do

napačnih in nevarnih rezultatov.

Rezultat uspešne optimizacije je zaprta površinska mreža, ki jo običajno še zgladimo

z uporabo ustreznih orodij. Od tu naprej pa je pot odvisna od tehnologije izdelave. Če se

odločimo za 3D tiskanje, je zglajena mreža lahko celo uporabna za direktno posredovanje 3D

tiskalniku, slika 11.

Slika 11: Rezultat optimizacije po uporabi glajenja površin

Literatura

[1] H. Lipson, Is CAD Keeping Up? 3D Printing and Additive Manufacturing, vol. 1, no. 4,

177--177, 2014.

[2] http://www.ptc.com/cad/3d-design

[3] http://www.caess.eu/site/Software-ProTop.html

Page 72: Zbornik del

SLOVENSKO DRUŠTVO ZA MEHANIKO

SREČANJE KUHLJEVI DNEVI 2016

Spremljanje procesa formiranja strukture materialov s

cementnim vezivom z ultrazvočno metodo in metodo električne

prevodnosti

T. Hozjan1 in G. Trtnik1,2

Monitoring of formation of structure process of cementitious

materials using ultrasonic and electrical conductivity methods

Povzetek. Prispevek prikazuje možnost spremljanja procesa formiranja strukture cementnih past

z dvema naprednima neporušnima tehnikama, in sicer metodo prehoda vzdolžnih ultrazvočnih (UZ)

valov in metodo električne prevodnosti. Obe metodi imata jasno fizikalno osnovo, pri čemer UZ

metoda temelji na merjenju deleža skupne in povezane trdne faze v strukturi materialov, metoda

električne prevodnosti pa na merjenju deleža skupnih in povezanih z vodo zapolnjenih por. Prikazan

je splošen potek spreminjanja hitrosti prehoda vzdolžnih UZ valov vP in električne prevodnosti

materiala C s časom t, vpliv osnovnih parametrov sestave materiala na krivulje vP – t in C – t ter

korelacija med tema dvema fizikalnima veličinama. Prispevek predstavlja prvi del obsežnega

raziskovalnega projekta, katerega končni cilj je razviti numerični model za napoved formiranja

strukture materialov s cementnim vezivom ter nekaterih pomembnih mejnikov v tem procesu, ki

pomembno vplivajo na kvaliteto materialov s cementnim vezivom, s tem pa na trajnost, odpornost

in stabilnost (armirano) betonskih konstrukcij.

Abstract. The paper discusses a possibility of using two advanced non-destructive techniques,

namely ultrasonic (US) wave transmission and electrical conductivity technique to monitor

formation of structure of cement pastes. Both US and electrical conductivity methods have clear

physical basis and are based on measuring an amount of total and connected solid phase and an

amount of total and connected water saturated pores within the materials microstructure,

respectively. General development of a velocity of US longitudinal waves vP and an electrical

conductivity C with time t is presented, the influence of different material parameters on the

development of vP – t and C – t curves is discussed and correlation between vP and C is analyzed.

The paper presents the first part of a comprehensive research project aimed to develop a numerical

model for prediction of formation of structure of cementitious materials and some important

milestones within the solidification process, which influence overall quality of these materials and

hence durability, resistivity, and stability of (reinforced) concrete structures.

1 Univerza v Ljubljani, Fakulteta za gradbeništvo in geodezijo, Jamova 2, 1000 Ljubljana

2 Igmat d.d., Inštitut za gradbene materiale, Polje 351c, 1260 Ljubljana

Page 73: Zbornik del

Kuhljevi dnevi 2016

- 66 -

1 Uvod

Materiali s cementnim vezivom (MCV) s časom spremenijo svoje agregatno stanje iz praktično

tekočega neposredno po zamešanju do materiala z visoko (tlačno) trdnostjo. Te spremembe so

posledica zapletenih kemijskih reakcij, ki jih s skupnim imenom imenujemo hidratacija

oziroma nastajanja različnih hidratacijskih produktov.

Hidratacijske produkte v grobem delimo na notranje in zunanje [1] in predstavljajo trdno fazo

v strukturi MCV, pri čemer ločimo skupno in povezano trdno fazo [2]. Časovno naraščanje

predvsem deleža povezane trdne faze na račun zunanjih hidratacijskih produktov v nekem

trenutku tSP rezultira v t.i. perkolaciji trdne faze [2] oziroma prvi povezavi celotne trdne faze.

Izkaže se, da ta pomemben trenutek v fazi razvoja strukture MCV dobro sovpada s časom

začetka vezanja tI (tSP tI), medtem ko konec vezanja določa trenutek tF, ko je celotna trdna

faza povezana [2]. Dolžino obdobja vezanja MCV dS tako določimo z enačbo

dS = tF – tI. (1)

Za razliko od obdobja vezanja se po koncu tega obdobja povečuje predvsem delež notranjih

hidratacijskih produktov, kar vpliva na pridobivanje mehanskih karakteristik materiala. To

obdobje, ki traja praktično neomejeno dolgo, imenujemo strjevanje MCV. Na sliki 1 je viden

shematski prikaz razvoja strukture MCV s časom v zgodnjem hidratacijskem obdobju.

Slika 1. Shematski prikaz razvoja strukture MCV v zgodnjem obdobju; a) obdobje pred

vezanjem (t < tI), b) začetek vezanja (t = tI), c) obdobje vezanja (tI < t < tF), d) konec vezanja

(t = tF)

Poleg trdne faze se v strukturi MCV pojavljata še dve pomembni fazi, in sicer faza por in faza

proste zamesne vode. Ločimo zračne pore in pore, zapolnjene z vodo. Za razliko od trdne faze

je faza por v začetku hidratacijskega procesa popolnoma povezana, s povečevanjem deleža

nastajajočih hidratacijskih produktov pa se delež povezane faze por manjša. V nekem trenutku

tPD pride do t.i. deperkolacije por oziroma trenutka, ko faza por ni več povezana, z nadaljnjim

povečevanjem količine trdne faze pa se celoten delež z vodo zapolnjenih por intenzivno

manjša.

Podrobno spremljanje in poznavanje omenjenih osnovnih mehanizmov formiranja strukture

MCV je ključno za natančno identifikacijo številnih karakterističnih obdobij in točk v procesu

formiranja strukture MCV. Napredek v razvoju računalniške tehnologije in merilne opreme v

zadnjih letih je omogočil razvoj novih, po večini neporušnih naprednih tehnik spremljanja

hidratacijskega procesa MCV. Od teh so se kot zelo učinkovite izkazale različne ultrazvočne

a) b) c) d

)

Page 74: Zbornik del

Kuhljevi dnevi 2016

- 67 -

(UZ) metode [3], ki temeljijo predvsem na merjenju deleža skupne in povezane trdne faze v

strukturi MCV [2], v zadnjem času pa se kot učinkovita metoda za merjenje deleža proste in

povezane zamesne vode v strukturi MCV vse bolj uveljavlja metoda merjenja električne

prevodnosti MCV C [4]. Medtem ko je hitrost UZ valovanja vP skozi material neposredno

odvisna od deleža skupne in povezane trdne faze in s časom narašča, na električno prevodnost

materiala najbolj vpliva delež proste in povezane vode v strukturi MCV, ki s časom pada [2,4].

Ta dejstva omogočajo določitev številnih pomembnih karakterističnih točk in faz v procesu

formiranja strukture MCV z omenjenima metodama [3,4].

Namen prispevka je na podlagi rezultatov lastnega eksperimentalnega dela analizirati

povezavo med razvojem hitrosti UZ valov vP in električne prevodnosti C. Hkratno merjenje

teh dveh parametrov na različnih cementnih pastah je omogočilo neposredno primerjavo med

tema dvema parametroma, kar daje boljšo sliko o samem procesu formiranja strukture MCV

in omogoča natančnejšo določitev posameznih karakterističnih točk in faz v zgodnjem

hidratacijskem obdobju.

2 Materiali in metode

2.1 Eksperimentalni materiali

V okviru eksperimentalnega dela smo uporabili dva tipa cementa, ki smo ju označili z

oznakama C1 in C2 ter destilirano vodo sobne temperature (20±1°C). Osnovne karakteristike

uporabljenih cementov so podane v preglednici 1. Pripravili smo 6 različnih cementnih past s

karakteristikami, prikazanimi v preglednici 2. Cementne paste so se razlikovale v vrsti cementa

in velikosti vodocementnega (v/c) razmerja.

Preglednica 1. Osnovne karakteristike uporabljenih tipov cementov.

Oznaka

cementa

Vrsta cementa Vsebnost

klinkerja

Tlačna trdnost

(28 dni)

Finost mletja

C1 CEM I 52,5 N CE PM-CP2 NF > 95% > 50 N/mm2 >4000 cm2/g

C2 CEM I 52,5N-SR3 CE PM CP2 NF > 95% > 50 N/mm2 >2800 cm2/g

Preglednica 2. Osnovne karakteristike uporabljenih cementnih past.

C1030 C1035 C1040 C2030 C2035 C2040

cement C1 C1 C1 C2 C2 C2

v/c 0,30 0,35 0,40 0,30 0,35 0,40

2.2 Eksperimentalne metode

2.2.1 Ultrazvočna metoda

Meritve hitrosti prehoda vzdolžnih UZ valov vP smo izvajali s komercialnim inštrumentom

Proceq Pundit Lab ter sprejemno in oddajno sondo s frekvenco 150 kHz. UZ sondi smo

ustrezno namestili na sredino obeh večjih stranskih ploskev, pri čemer sta bili zaradi

Page 75: Zbornik del

Kuhljevi dnevi 2016

- 68 -

zagotovitve ustreznega kontakta obe sondi cca 2 mm vsidrani v sam preizkušanec. Dimenzije

preizkušanca so znašale d/š/v = 150/50/100 mm, razdalja med UZ sondama pa 36 mm. S

posebno programsko opremo smo meritve odčitavali vsakih 60 sek, dodatno pa smo v vsakem

časovnem koraku merili tudi TG faktor, ki predstavlja razmerje med maksimalnima

amplitudama dveh prevladujočih frekvenc v frekvenčnem spektru UZ P-valov [5,6].

Kontinuirno spremljanje TG parametra s časom omogoča natančno določitev začetka in konca

vezanja ter podrobno spremljanje razvoja obdobja vezanja poljubnih MCV [6] in je bil tudi v

okviru tega prispevka uporabljen kot osnovna metoda za določitev obdobja vezanja

materialov.

2.2.2 Metoda merjenja električne prevodnosti

Električno prevodnost C MCV smo merili z inštrumentom ConSensor [4], katerega glavna

sestavna dela sta osrednja merilna enota in posebni merilni členi, ki poleg električne

prevodnosti merijo tudi temperaturo v preizkušancu. Merilni členi so bili pred vsako preiskavo

vgrajeni v sredino posameznega preizkušanca dimenzij d/š/v = 150/50/100 mm, rezultate

meritev pa smo s posebno programsko opremo odčitavali 24 ur po zamešanju vzorca v 10 min

intervalih.

3 Eksperimentalni rezultati

3.1 Tipičen razvoj hitrosti vP in električne prevodnosti C s časom

Slika 1 prikazuje tipičen razvoj hitrosti prehoda vzdolžnih UZ valov vP in električne

prevodnosti C s časom ter numerične odvode vP – t in C – t krivulj po času. Razvidno je, da

hitrost vP s časom monotono narašča, električna prevodnost C pa monotono pada tekom

celotnega opazovanega obdobja. Časovni razvoj obeh merjenih karakteristik lahko razdelimo

na pet karakterističnih faz, katerih začetek označimo s časi ti,vP oziroma ti,C (i=1,2,..,5).

Slika 1. Tipičen razvoj hitrosti vP in električne prevodnosti C s časom; a) vP – t in vP' – t

krivulja, b) C – t in C' – t krivulja

V prvi fazi je po krajšem obdobju nezaznavanja prehoda vzdolžnih UZ valov skozi material

razvidno obdobje izrazitega naraščanja hitrosti vP, ki pa ni posledica povezovanja trdne faze

temveč drugih fenomenov, ki so v največji meri posledica segregacije in formiranja

posameznih produktov etringita, ki ne vplivajo na vezanje materiala [7-9]. Po času t2,vP nastopi

a) b)

Page 76: Zbornik del

Kuhljevi dnevi 2016

- 69 -

začetek druge faze, ki traja do prve prevojne točke pri času t3,vP. V tej fazi tipično pride tako

do pojava perkolacije trdne faze oziroma začetka kot tudi do konca vezanja materiala [10].

Sledi drugo obdobje naglega razvoja hitrosti vP v tretji fazi, ki traja do časa druge, izrazitejše

prevojne točke pri času t4,vP. Od tu dalje se hitrost vP postopoma umirja in se v zadnji (peti)

fazi po času t5,vP praktično ne spreminja več.

V prvi fazi razvoja električne prevodnosti materiala s časom se le-ta praktično ne spreminja,

po času t2,C, ki definira začetek druge faze, pa je opazen rahel, relativno enakomeren padec

električne prevodnosti C. Po času t3,C, ki določa začetek tretje faze na krivulji C – t, začne

električna prevodnost materiala izrazito padati, pri času t4,C pa se pojavi izrazita prevojna

točka, ki definira začetek četrte faze na krivulji C – t. V zadnji, peti fazi električna prevodnost

materiala s časom kontinuirno pada z zmanjšano intenzivnostjo.

3.2 Vpliv sestave materiala na razvoj hitrosti vP in električne prevodnosti C s časom

Slika 2 prikazuje vpliv razmerja v/c na razvoj vP - t in vP' - t krivulj, slika 3 pa vpliv razmerja

v/c na razvoj C - t in C' - t krivulj za cementne paste s tipom cementa C1. Preglednica 3

prikazuje karakteristične čase za vse analizirane cementne paste.

Preglednica 3. Karakteristični časi za vse analizirane cementne paste.

C1030 C1035 C1040 C2030 C2035 C2040

tI (ure) 2,1 2,3 3,0 3,5 5,5 6,4

tF (ure) 4,1 4,5 5,5 6,0 8,1 9,0

dS (ure) 2,0 2,2 2,5 2,5 2,6 2,6

t2,vP (ure) 1,8 2,0 2,0 3,0 4,0 4,5

t3,vP (ure) 3,5 4,0 4,2 4,0 6,5 7,0

t4,vP (ure) 5,7 6,7 7,2 8,0 10,5 11,0

t5,vP (ure) 8,2 10,0 10,0 11 15 16

t2,C (ure) 2,1 2,2 2,9 3,5 5,4 6,3

t3,C (ure) 4,2 5,0 5,5 6,8 9,0 9,4

t4,C (ure) 5,7 6,7 7,2 8,0 10,5 11,0

t5,C (ure) 6,8 8,3 9,0 11 11,5 11,8

Na posameznih krivuljah na slikah 2 in 3 so s praznimi simboli označeni časi začetka vezanja,

s polnimi simboli pa časi konca vezanja. Pričakovano se tako čas začetka tI in konca tF vezanja

kot tudi časi začetka posameznih karakterističnih faz na vP - t in C – t krivuljah podaljšujejo z

višanjem razmerja v/c, v splošnem pa se podaljšuje tudi dolžina obdobja vezanja dS in

posameznih karakterističnih faz. Razvidno je, da so karakteristični časi cementnih past,

pripravljenih s cementom C2 daljši v primerjavi s časi cementnih past, pripravljenih s

cementom C1, kar je posledica predvsem večje finosti mletja cementa C1 (preglednica 1).

Page 77: Zbornik del

Kuhljevi dnevi 2016

- 70 -

Slika 2. Razvoj vP – t in vP' – t krivulj za vse analizirane cementne paste s tipom cementa C1;

a) krivulje vP – t b) krivulje vP' – t.

Slika 3. Razvoj C – t in C' – t krivulj za vse analizirane cementne paste s tipom cementa C1;

a) krivulje C – t b) krivulje C' – t.

3.3 Primerjava med vP in C

Slika 4 prikazuje neposredno primerjavo med krivuljami razvoja hitrosti prehoda vzdolžnih

UZ valov vP in električne prevodnosti materiala C s časom za vse mešanice s tipom cementa

C1. Na slikah je s črtkano črto označen čas začetka, s polno črto pa čas konca obdobja vezanja.

Iz slik in preglednice 3 je razvidno, da v vseh primerih začetek vezanja tI dobro sovpada s

časom t2,C, ko začne električna prevodnost materiala C malenkostno padati, čas začetka

intenzivnega padanja električne prevodnosti t2,C pa je blizu časa konca vezanja tF. Omenjen

fenomen ima jasno fizikalno osnovo, saj začetek vezanja predstavlja predhodno omenjeno

začetno povezanost trdne faze in s tem začetek prekinitve povezanosti z vodo zapolnjene

poroznosti materiala, konec vezanja pa praktično celotno povezanost trdne faze in s tem

deperkolacijo por. Ker je električna prevodnost materiala v največji meri odvisna od skupnega

deleža in povezanosti z vodo zapolnjenih por, se po deperkolaciji por le-ta naglo manjša na

račun intenzivnega večanja hidratacijskih produktov ter posledičnega naglega porabljanja

zamesne vode oziroma manjšanja deleža poroznosti materiala. Velja torej

t2,C tI tSP (2)

a) b)

a) b)

Page 78: Zbornik del

Kuhljevi dnevi 2016

- 71 -

in

tF t3,C tPD. (3)

Slika 4. Primerjava med vP – t in C – t ter vP' – t in C' – t krivuljami za vse analizirane

cementne paste s tipom cementa C1.

Nadalje opazimo izrazito dobro ujemanje prevojnih točk na krivuljah vP – t in C – t, torej

t4,vP = t4,C. (4)

Rezultat je pričakovan in pomeni, da čas najintenzivnejšega formiranja hidratacijskih

produktov oziroma naraščanja deleža trdne faze odlično sovpada s časom najintenzivnejše

porabe zamesne vode v strukturi MCV.

Vse zgoraj navedene ugotovitve veljajo tudi za mešanice s tipom cementa C2, kar je razvidno

iz preglednice 3.

Page 79: Zbornik del

Kuhljevi dnevi 2016

- 72 -

3.4 Korelacija med vP in C

Slika 5 prikazuje korelacijo med vrednostmi vP in C pri istih časih tekom celotnega

opazovanega obdobja za vse analizirane cementne paste. Izkaže se, da je zveza vP – C precej

enolična oziroma neodvisna od sestave materiala, omenjeno zvezo pa najbolje opiše nelinearna

regresija (slika 5), z uporabo funkcije arkus tangens s tremi prostimi parametri (a, b, c) oblike

C(vP) = a(atan((b-vP)/c)+/2), (5)

pri čemer velja

a = 3.666 (3.634, 3.697),

b = 2184 (2170, 2197), (6)

c = 296.8 (284, 309.6).

Vrednosti v oklepajih pomenijo 95% interval zaupanja za navedene vrednosti parametrov a, b

in c.

Razvidno je, da lahko zvezo vP – C razdelimo na dve karakteristični obdobji. V prvem obdobju,

ki traja do vrednosti vP 1500 m/s, kar ustreza vrednosti hitrosti prehoda vzdolžnih UZ valov

skozi vodo oziroma vrednosti, pri kateri se pojavi konec vezanja cementnih past [11], se

vrednost električne prevodnosti materiala ne spreminja bistveno, hitrost vP pa občutno narašča.

Omenjen fenomen dodatno potrjuje domneve ostalih raziskovalcev, da začetno naraščanje

hitrosti vP MCV ni posledica formiranja strukture materiala temveč drugih, predhodno

omenjenih fenomenov, ki ne vplivajo na povezavo trde faze v strukturi MCV [7-9].

Slika 5. Korelacija med vrednostmi vP in C za vse analizirane cementne paste tekom

celotnega opazovanega obdobja.

Page 80: Zbornik del

Kuhljevi dnevi 2016

- 73 -

4 Zaključek

V prispevku je analizirana povezava med časovnim razvojem hitrosti vP in električne

prevodnosti C cementnih past v zgodnjem hidratacijskem obdobju. Kontinuirno merjenje obeh

parametrov omogoča spremljanje razvoja hidratacije oziroma formiranja strukture MCV,

hkratno merjenje obeh parametrov na istih materialih pa ponuja možnost podrobna analize

številnih pomembnih mejnikov v razvoju strukture MCV. Na podlagi rezultatov

eksperimentalnih preiskav, navedenih v tem prispevku, lahko podamo naslednje pomembnejše

ugotovitve, ki so neodvisne od sestave materiala:

Tako razvoj hitrosti vP kot električne prevodnosti C s časom lahko razdelimo na pet

karakterističnih obdobij glede na intenzivnost naraščanja vP oziroma padanja C.

Omenjena obdobja ločimo s štirimi, dobro zaznavnimi karakterističnimi točkami.

Čas začetka vezanja MCV tI oziroma perkolacije trdne faze tSP dobro sovpada s časom

t2,C, ko začne električna prevodnost materiala C malenkostno padati, čas začetka

intenzivnega padanja električne prevodnosti t2,C, ki ga lahko povežemo s časom

deperkolacije z vodo zapolnjenih por v strukturi MCV pa je blizu časa konca vezanja

tF.

Po koncu obdobja vezanja je opazno izrazito dobro ujemanje med obema izrazitima

prevojnima točkama na krivuljah vP – t in C – t kar pomeni, da čas najintenzivnejšega

formiranja hidratacijskih produktov oziroma naraščanja deleža trdne faze odlično

sovpada s časom najintenzivnejše porabe zamesne vode v strukturi MCV.

Zveza med vP in C je tekom celotnega zgodnjega hidratacijskega obdobja precej

enolična oziroma neodvisna od sestave materiala, najbolje pa jo opiše nelinearna arkus

tangens funkcija s tremi prostimi parametri. Omenjeno zvezo lahko razdelimo na dve

karakteristični obdobji, pri čemer se v prvem obdobju do časa, pri katerem vrednost

vP doseže vrednost 1500 m/s vrednost električne prevodnosti materiala ne spreminja

bistveno.

Omenjen prispevek predstavlja delne rezultate obsežnega eksperimentalnega dela, ki poteka

na Katedri za mehaniko v sodelovanju z inštitutom Igmat d.d. Končni cilj omenjenih raziskav

je na podlagi rezultatov eksperimentalnega dela pripraviti ustrezni numerični model za

napoved in analizo formiranja strukture MCV ter pomembnih mejnikov v tem zgodnjem, za

trajnost in obstojnost (armirano)betonskih konstrukcij ključnem, hidratacijskem obdobju.

Literatura

[1] K. van Breugel, Hydration of Cement Based Systems, Aspects of hydration of cement

based systems and possibilities to quantify the evolution of hydration processes, IPACS

BE96-3843/2001:17-6, Delft, 2001.

[2] G. Ye, Experimental study and numerical simulation of the development of the

microstructure and permeability of cementitious materials, Doktorska disertacija, Delft

University of Technology, Delft, 2003.

[3] G. Trtnik, M. Gams, Recent advances of ultrasonic testing of cement based materials at

early ages, Ultras., 54, 1, 66--75, 2014.

Page 81: Zbornik del

Kuhljevi dnevi 2016

- 74 -

[4] A. van Beek, Dielectric properties of young concrete (nondestructive dielectric sensor for

monitoring the strength development of young concrete), Doktorska disertacija, Delft

University of Technology, Delft, 2000.

[5] G. Trtnik, M. Gams, The use of frequency spectrum of ultrasonic P-waves to monitor the

setting process of cement pastes, Cem. Concr. Res., 43, 1, 1—11, 2013.

[6] M. Gams, G. Trtnik, A new US procedure to determine setting period of cement pastes,

mortars, and concretes, Cem. Concr. Res., 53, 9--17, 2013.

[7] H.W. Reinhardt, C. U. Grosse, Continuous monitoring of setting and hardening of mortar

and concrete, Constr. Build. Mater. 18, 3, 145—154, 2004.

[8] N. Robeyst, C.U. Grosse, N. De Belie, Factors affecting the monitoring of the early age

setting of concrete by ultrasonic P-waves, v: O. Buyukozturk, M.A. Tasdemir, O. Gunes,

Y. Akkaya (eds.), Proceedings of NDTMS-2011, Istanbul, Turkey, 423--430, 2011.

[9] D.G. Aggelis, D. Grammenou, Characterization of fresh mortar with chemical admixtures

based on stress wave dispersion, v: O. Buyukozturk, M.A. Tasdemir, O. Gunes, Y.

Akkaya (eds.), Proceedings of NDTMS-2011, Istanbul, Turkey, 459--464, 2011.

[10] G. Trtnik, G. Turk, F. Kavčič, V. Bokan-Bosiljkov, Possibilities of using the ultrasonic

wave transmission method to estimate initial setting time of cement paste, Cem. Concr.

Res. 38, 11, 1336—1342, 2008.

[11] G. Trtnik, Uporaba ultrazvočne metode za analizo vezanja in strjevanja betona,

Doktorska disertacija, Univerza v Ljubljani, Ljubljana, 2009.

Page 82: Zbornik del

SLOVENSKO DRUŠTVO ZA MEHANIKO

SREČANJE KUHLJEVI DNEVI 2016

Primerjava različnih tehnik za upogibno utrjevanje tankih

betonskih preizkušancev z uporabo ogljikovih vlaken

A. Ivanič1, M. Frajnkovič

2, L. Adanič

3, S. Lubej

4

Comparison of various techniques for flexural strengthening

of thin concrete members using continuous carbon fibers

Povzetek. Prispevek opisuje obnašanje tankih betonskih preizkušancev, utrjenih z

ogljikovimi vlakni, izpostavljenih upogibni obremenitvi. Laboratorijski preizkušanci so

bili podvrženi statični obremenitvi, z namenom determiniranja vpliva treh različnih

utrjevalnih tehnik na upogibno trdnost, srednji razpon deformacije, in način loma

preizkušanca. Preizkušanci so bili utrjeni z ogljikovimi vlakni na tri različne načine.

Utrditev z ogljikovimi vlakni nalepljenimi v utore v natezni coni preizkušanca (angl.

Near Surface Mounted Reinforcement oz. NSMR), utrditev z ogljikovimi vlakni

nalepljenimi na spodnjo zunanjo stran preizkušanca (angl. External Bonded

Reinforcement oz. EBR) in utrditev z ogljikovimi vlakni nameščenimi v geometrijskem

središču preizkušanca. Iz empiričnih rezultatov se lahko pride do zaključkov o prednostih

in slabostih posamezne tehnike utrjevanja.

Abstract. This paper deals with flexural performance of thin concrete members,

reinforced with continuous carbon fibers in the form of filament yarns. The laboratory

specimens were tested under static loading conditions to investigate the effects of three

different strengthening techniques on flexural stress, mid-span deflection and modes of

failure. The specimens were strengthened in flexure using carbon fiber yarns as near-surface

mounted, externally bonded and placed in the geometric center of the specimen,

respectively. Based on this investigation, the advantages and shortcomings of individually

strengthening technique can be drawn.

1 Univerza v Mariboru, Fakulteta za gradbeništvo, prometno inženirstvo in arhitekturo 2 Univerza v Mariboru, Fakulteta za strojništvo 3 Univerza v Mariboru, Fakulteta za strojništvo 4 Univerza v Mariboru, Fakulteta za gradbeništvo, prometno inženirstvo in arhitekturo

Page 83: Zbornik del

Kuhljevi dnevi 2016

- 76 -

1 Uvod

Materiali s cementno osnovo, kot so Portland cementne malte in betoni, so po naravi krhki, z

visoko tlačno trdnostjo, nizko natezno trdnostjo in slabo žilavostjo. Iz tega razloga je uporaba

teh materialov v inženirskih aplikacijah močno povezana z ojačevanjem materiala s pomočjo

jeklenih palic v konvencionalno ojačanih betonih, ali pa z vlakni v betonskih materialih

predvidenih za posebne aplikacije. Slednji so lahko relativno debeli, 100-200 mm (npr.

pločniki), kjer vlakna služijo predvsem za nadzorovanje nastanka in širjenja razpok, lahko pa

so tudi relativno tanki, 10 mm (npr. strešne in talne plošče), kjer vlakna služijo kot primarna

ojačitev materiala. Različni tipi vlaken z različnimi lastnostmi so lahko uporabljeni za

ojačitev betonskih materialov [1, 2]. Ena izmed najbolj učinkovitih vlaken za ojačevanje so

kontinuirana vlakna [3, 4]. Osnovna ojačitvena enota v takih materialih je vlaknena nit

sestavljena iz medsebojno prepletenih filamentov. Ena izmed prednosti kompozitov

narejenih iz različnih vrst nekovinskih vlaken (npr. steklenih vlaken, ogljikovih vlaken) je ta,

da ne potrebujejo zaščite proti koroziji. Posledično se zmanjša tudi volumen celotnega

materiala, kar dovoljuje izdelavo lahkih in tankih izdelkov, kot so lupine in različni fasadni

elementi.

Uporaba naprednih kompozitnih materialov za utrjevanje mostov in zgradb je široma

uporabljana že več kot dvajset let. Polimeri utrjeni z vlakni (angl. Fiber Reinforced Polymer

oz. FRP) se v različnih konfiguracijah in z različnimi tehnikami uporabljajo za učinkovitejšo

izrabo materiala, in za zagotavljanje zanesljivosti in dolgotrajnosti konstrukcij [5].

FRP kompoziti se lahko uporabijo za sanacijo oz. obnovo dotrajanih in poškodovanih

strukturnih delov v konstrukcijah, ali za ojačitev delov konstrukcij, za katere je predvideno

povečanje obremenitve zaradi spreminjanja namembnosti konstrukcije. FRP kompoziti so

lahko pritrjeni na zunanje natezne cone nosilcev, z namenom povečati upogibno trdnost

elementov. Najbolj široma uporabna metoda ojačevanja s FRP kompoziti je utrditev z vlakni

nalepljenimi na spodnjo zunanjo stran preizkušanca, tako imenovana metoda EBR.

Pomembno pri tej metodi je, da so FRP kompoziti kar se da vzporedni s smerjo delovanja

glavne natezne napetosti [6].

Tehnika utrjevanja z vlakni nalepljenimi v utore v natezni coni elementov, imenovana

NSMR, za utrjevanje betonskih konstrukcij je bila razvita kot alternativa metodi EBR.

Proces vključuje izdelavo serije plitvih utorov na površini materiala v želeni smeri. Utori so

potem delno napolnjeni z epoksidno smolo, v katerega so potem položena vlakna iz

ustreznega materiala (najpogosteje ogljikova ali steklena). Preostanek utora je potem do vrha

napolnjen z epoksidno smolo. Tak pristop se lahko uporabi za povečanje upogibne trdnosti

nosilcev in drugih linijskih konstrukcijskih elementov. Prav tako se lahko ta pristop uporabi

za ojačevanje zidanih betonskih sten.

V prispevku so predstavljeni eksperimentalni rezultati tankih z vlakni ojačanih betonskih

preizkušancev, ki so bili preizkušeni s statično obremenitvijo, do porušitve preizkušanca.

Študija se osredotoča na učinke določenih ojačitvenih tehnik na upogibno trdnost in način

porušitve materiala.

Page 84: Zbornik del

Kuhljevi dnevi 2016

- 77 -

2 Eksperiment

2.1 Materiali

Materiali, ki so bili uporabljeni za izdelavo preizkušancev so naslednji: 1) Portland cement –

CEM II/B.M (P-S-L) 42.5 N, dobavitelj LAFARGE Slovenia; 2) Kremenov pesek (0.063-

0.355 mm) z 99% vsebnostjo SiO2, dobavitelj KEMA Slovenia; 3) Aerant iz vinsolne smole

Kemacon LPA, dobavitelj KEMA Slovenia; 4) Epoksidna smola RenLam LY 113, dobavitelj

Huntsman Advanced Materials; 5) TohoTenax pletenica iz ogljikovih vlaken HTS 5631 z

naslednjimi lastnostmi: 12000 filamenti/pletenico, premer filamenta - 7 µm, Youngov modul

– 240 GPa, natezna trdnost – 4300 MPa, gostota - 1.77 g/cm3, deformacija pri porušitvi –

1.8%.

2.2 Priprava vzorcev in preizkušancev

Preizkušanci so bili pripravljeni v skladu z evropskim standardom EN 1170-5 [9], in so bili

dimenzij 275 x 50 x 10 mm. V eksperimentalnem delu so bili preizkušanci razdeljeni glede

na uporabljeno ojačitveno tehniko v tri skupine, v vsaki skupini po trije preizkušanci, torej

skupno devet preizkušancev. Nomenklatura posameznih skupin je bila naslednja: 1) skupina

R – preizkušanci z ojačitvami v geometričnem središču prereza (slika 1a); skupina EBR –

preizkušanci ojačani z metodo EBR (slika 1b), skupina NSMR – preizkušanci ojačani z

NSMR metodo (slika 1c).

Slika 1: Prikaz prereza posameznih tipov preizkušancev

Preizkušanci so bili pripravljeni z razmerjem cement/agregat 1:1 in razmerjem voda/cement

0.5 glede na maso, z dodatkom aeranta pri preizkušancih iz skupine R. Vse sestavine so bile

zmešane v laboratoriju, v skladu z evropskim standardom EN 1015-2 [10]. Obdelovalnost

mešanice je bila določena z metodo tekoče mize (angl. flow table) v skladu z evropskim

standardom 1015-3. Sveža mešanica je bila tretirana kot samozgoščevalna. Za vzorce iz

skupine R je bilo v kalup prvotno vlita mešanica do višine 5mm, nakar so bila v kalup

horizontalno vstavljena prednapeta ogljikova vlakna, ki so se zaradi prednapetja primerno

poravnala. Nato je bila v kalup, do višine 10 mm, vlita preostala mešanica. Preizkušanci iz

skupine EBR in NSMR so bili pripravljeni brez ojačitev. Vsi preizkušanci so bili iz kalupov

odstranjeni po 1 dnevu, in 27 dni starani v pripravljalni komori pri temperaturi 20°C in

Način ojačitve z

ogljikovimi vlakni.

Page 85: Zbornik del

Kuhljevi dnevi 2016

- 78 -

relativni zračni vlažnosti 98%. Po 28 dnevih so se v preizkušance skupine NSMR z uporabo

vodno hlajene žage z diamantnim rezilom izdelali utori globine 2mm. Utori so bili potem

očiščeni z uporabo visokotlačnega vodnega curka. Pred nanosom epoksidne smole so bili

utori osušeni. Nato so bili delno napolnjeni z epoksidno smolo. Ogljikova vlakna so bila

položena v utore, in nato popolnoma zalita z epoksidno smolo. Priprave preizkušancev iz

skupine EBR so vključevale čiščenje in sušenje površin, na katere so bila z epoksidno smolo

pritrjena ogljikova vlakna. Po nanosu epoksidne smole, je bila le-ta starana 24 ur. Priprava

eksperimenta in eksperimentalni protokol. Vsi preizkušanci so bili izpostavljeni statični

obremenitvi. Preizkušanci so bili preizkušeni s štiri točkovnim upogibnim preizkusom, z

razponom 250 mm. Preizkusi so bili izvedeni z napravo ZWICK-ROELL Z10 (Slika 2a) pri

hitrosti pomikanja glave stroja 0.03 mm/s. Preizkus je shematsko prikazan na Sliki 2b.

Slika 2: Štiri točkovni upogibni preizkus: a) Naprava; b) Shematski prikaz preizkusa

3 Rezultati in diskusija

Rezultati štiri točkovnega upogibnega preizkusa so predstavljeni v obliki grafa sile v

odvisnosti od srednjega upogiba. Iz literature [7] nam je znano, da so pri štiri točkovnem

upogibnem preizkusu tri znana stanja preizkušanca utrjenega z vlakni. Stanje I je skladno z

elastično deformacijo betona. Prve razpoke se začnejo pojavljati, ko je dosežena natezna

trdnost betona. Posledično se v vlaknih pojavijo natezne napetosti v območju razpok.

Pojavljanje novih razpok sledi že minimalnemu zvišanju obremenitve, to je prva faza stanja

II(a). Število razpok se čez čas stabilizira, in to je znano kot druga faza stanja II(b). Na koncu

pride do loma preizkušanca, ko napetosti v ojačitvi prekoračijo trdnost kompozita. To lahko

povzroči hipen in krhek lom preizkušanca, v obliki izvleka ali pretrganja vlakna, pred

stanjem III (duktilna deformacija).

a) b)

Page 86: Zbornik del

Kuhljevi dnevi 2016

- 79 -

Slika 3: a) Sila v odvisnosti od upogiba za skupino R; b) Končen vzorec razpok

Slika 3a prikazuje graf sile v odvisnosti od upogiba za preizkušance z ojačitvami

postavljenimi v geometrijsko središče prereza. Prve razpoke se pojavijo v območju sile 150-

170 N. Pojavi se 4-5 razpok. Togost je po razpokanju preizkušanca ostala relativno

konstantna, do maksimalne sile. Povprečna vrednost upogibne trdnosti je dosegla 22 MPa,

pri srednjem upogibu 13.97 mm. Iz slike 3a je razvidno skoraj duktilno obnašanje

preizkušanca po tem, ko je bila dosežena maksimalna sila. Iz tega lahko sklepamo na bolj

žilavo obnašanje betonskih kompozitov z dodatkom aeranta v matrici. V literaturi [8] je bilo

zaključeno, da lahko zračni mehurčki, ki se zaradi zaradi dodatka aeranta pojavijo v matrici,

upočasnijo ali celo preprečijo proces razpokanja matrice. To lahko vodi do zmanjšanja

krhkosti in povečanja žilavosti kompozita. Slika 3b prikazuje končen vzorec razpok na

preizkušancu. Lom preizkušanca je bil v tem primeru posledica izvleka ogljikovih vlaken iz

betonske matrice, brez pretrganja in porušitve kompozita.

Slika 4: a) Sila v odvisnosti od upogiba za skupino EBR; b) Krhek lom preizkušanca

Slika 4a prikazuje graf sile v odvisnosti od upogiba za preizkušance ojačane z metodo EBR.

Prve razpoke se pojavijo pri silah med 280-300 N, kar sovpada s povečanjem območja

Page 87: Zbornik del

Kuhljevi dnevi 2016

- 80 -

elastične deformacije preizkušanca, glede na preizkušance iz skupine R. Togost je po pojavu

razpok ostala konstantna do maksimalne sile. Povprečna upogibna trdnost je dosegla

vrednost 70 MPa, pri srednjem upogibu 11.94 mm. V primerjavi s preizkušanci iz skupine R

je upogibna trdnost narasla za približno 200%. Nemoteno delovanje kompozita je trajalo do

maksimalne obremenitve, kjer je kompozit doživel hipno porušitev matrice v tlačni coni,

vlaken pa v natezni coni preizkušanca (slika 4b).

Slika 5: a) Sila v odvisnosti od upogiba za skupino NSMR; b) Končen vzorec razpok

Slika 5a prikazuje graf sile v odvisnosti od upogiba za preizkušance utrjene z NSMR

metodo. Upogibni odziv je bil podoben odzivu, ki so ga kazali preizkušanci utrjeni z EBR

metodo, vendar se je upogibna trdnost preizkušancev zmanjšala za približno 30%, kar lahko

pripišemo oslabljenemu prerezu matrice zaradi utorov na površini. Slika 5b prikazuje končen

vzorec razpok, z enakomerno razporejenimi lasnicami po celotni površini preizkušanca. Lom

je krhek, v tlačni coni preizkušanca.

4 Zaključek

Cilj raziskav je bila pojasnitev obnašanja tankih betonskih konstrukcujskih elementov, ki so

izpostavljeni upogibu. Vpliv treh različnih tehnik ojačevanja je bil analiziran na podlagi

odvisnosti med linearno distribuirano statično obremenitvijo in upogibom v sredini razpona

preizkušanca. Zraven konvencionalne tehnike ojačevanja sta bili raziskani tudi EBR in

NSMR metodi. Rezultati eksperimenta kažejo drastično izboljšanje upogibne trdnosti

ojačanih betonskih elementov. Slabi lastnosti omenjenih tehnik ojačevanja sta kot kaže

zahteven postopek izdelave in krhek lom elementov. Krhek lom je bil preprečen z uporabo

aeranta pri izdelavi cementne matrice. Zračni mehurčki, ki se tvorijo v matrici upočasnijo ali

včasih celo preprečijo proces nastanka razpok. To lahko vodi do zmanjšanja krhkosti in

povečanja žilavosti kompozita.

Page 88: Zbornik del

Kuhljevi dnevi 2016

- 81 -

Literatura

[1] A. Bentur, S. Mindess, Fiber Reinforced Cementitious Composites, Elsevier,

Amsterdam, 1990.

[2] P.N. Balaguru, S.P. Shah, Fiber Reinforced Cementitious Composites, McGraw-

Hill, New York, 1992.

[3] A. Peled, A. Bentur, Geometrical characteristics and efficiency of textile fabrics

for reinforcing cement composites, Cem. Concr. Res.30 (2000) 781-790.

[4] S. Wen, D.D.L. Chung, Piezoresistivity in continuous carbon fiber cement

matrix composite, Cem. Concr. Res. 29 (1999) 445-449.

[5] R. El-Hacha, S.H. Rizkalla, Near-surface-mounted fiber-reinforced polymer

reinforcement for flexural strengthening of concrete structures, ACI Struc.

Journal 101 (2004) 717-726.

[6] FIB Bulletin 14, Externally bonded FRP reinforcement for RC structures, Task

group 9.3, International Federation of Structural concrete, 2002.

[7] N. Williams Portal, Sustainability and flexural behavior of textile reinforced

concrete, Thesis for degree of licentiate of engineering, Chalmers University of

Technology, Gothenburg, 2013.

[8] A. Ivanič, S. Lubej, R. Rudolf, I. Anžel, Bond behaviout of carbon-fiber yarn

embedded in cement mortar, Sci. Eng. Compos. Mater. 18 (2011) 181-186.

[9] BS EN 1170-5:1998 Precast concrete products. Test method for glass-fibre reinforced

cement, British Standards Institute, 1998

[10] CSN EN 1015-2 Methods of test for mortar for masonry – Part 2: Bulk sampling of

mortars and preparation of test mortars, European standards, 1998

Page 89: Zbornik del

Kuhljevi dnevi 2016

- 82 -

Page 90: Zbornik del

SLOVENSKO DRUŠTVO ZA MEHANIKO

SREČANJE KUHLJEVI DNEVI 2016

Numerično modeliranje mehanskega odziva polietilena visoke gostote v razmerah izmetavanja pri injekcijskem brizganju

K. Krebelj1, N. Mole1 in B. Štok1

Numerical modeling of the mechanical response of high-density polyethylene under the circumstances of ejection in

injection molding

Povzetek. V literaturi so bili objavljeni rezultati različnih eksperimentov, ki so karakterizirali odzive polietilena visoke gostote, ki so relevantni za izmetavanje, in predlagani so bili modeli, ki te odzive parcialno popisujejo. V tem delu je predlagana različica teh materialnih modelov, s katero je mogoče popisati materialni odziv v razmerah zahtevnega izmetavanja, pri čemer se izdelek tudi trajno deformira. Problem identifikacije materialnih parametrov je preveden v problem optimizacije in ugotovljeni so primerni materialni parametri. Materialni model je tudi implementiran v komercialni programski paket za analizo po metodi končnih elementov in uporabljen na primeru izmetavanja.

Abstract. Various experimental results were published, which characterized the response of high density polyethylene, relevant at ejection, and corresponding constitutive models were published. In this work, a variation of the published constitutive models is proposed, which allows describing material response under conditions of ejection, where permanent deformation on the product may occur. The problem of identifying the material parameters was formulated as an optimization problem and the parameters were found. The material model was also implemented in a commercial finite element analysis code and used on an ejection example.

1 Uvod

V tehnologiji brizganja plastike se material pretali in tlačno brizga v kalupno votlino. V kalupni votlini se ohlaja in strjuje, dokler ne razvije zadostne trdnosti, da je mogoče orodje odpreti in iz njega izmetati izdelek. Izmetavanje se vrši s pomočjo izmetal, ki se uprejo ob izdelek in ga izrinejo iz votline. Izdelek lahko pri tem utrpi trajno deformacijo, zaradi česar lahko njegova oblika odstopa od načrtovane. Za optimizacijo proizvodnje lahko služi

1 Univerza v Ljubljani, Fakulteta za strojništvo, LNMS

Page 91: Zbornik del

Kuhljevi dnevi 2016

- 84 -

numerični model izmetavanja, ki popisuje mehanske razmere in napoveduje vpliv izmetavanja na končno obliko izdelka. Del numeričnega modela je tudi materialni model, ki mora vključevati relevantne mehanske odzive.

Razmere pri izmetavanju so temperaturno nehomogene, ker se izdelek ohlaja preko površine in izmetavanje se izvede preden se njegovo temperaturno polje homogenizira. S tem je potreben popis materialnega vedenja v temperaturnem intervalu od 90°C do sobne temperature. Polietilen visoke gostote (HDPE) se v razmerah izmetavanja vede visko-elasto-plastično, kar pomeni, da material hkrati izkazuje lezenje in relaksacijo ter hipno plastično deformacijo. Izmetavanje se izvede kot en obremenitveni cikel, kajti izmetala izdelek najprej obremenijo, s svojim umikom pa ga nato še razbremenijo. Tako je poleg poznavanja materialnega odziva ob obremenjevanju potrebno tudi poznavanje odziva pri razbremenjevanju. Drozdov in Christiansen [4] sta izvedla natezne preizkuse na brizganih preizkušancih polietilena visoke gostote s komercialnim imenom Eraclene MM 95. Ena serija preizkusov je bila izvedena pri različnih temperaturah med 25 °C in 90 °C, ena serija pri različnih hitrostih obremenjevanja in izvedena je bila tudi serija preizkusov relaksacije, kjer je bil preizkušanec hitro obremenjen, nato pa je bila na njem merjena sila kot funkcija časa. V istem delu je bil objavljen tudi materialni model, ki je izvedene preizkuse popisal. Pomanjkljivost tega materialnega modela je, da neustrezno popisuje razbremenjevanje, s čimer je njegova uporabnost omejena. Drozdov [5] je eksperimentalno delo na istem materialu dopolnil s serijo cikličnih nateznih preizkusov pri končnih nominalnih nateznih deformacijah 0,05, 0,10 in 0,15 v temperaturnem intervalu med 23 °C in 90 °C. Eksperimentalni rezultati so bili popisani z novim konstitutivnim modelom, v katerem pa časovno odvisni pojavi niso bili upoštevani. V sledečih objavah [6-8] je bilo ciklično vedenje popisano skupaj z viskoelastičnostjo, pri tem pa je bila izpuščena temperaturna odvisnost. V tem prispevku je konstitutivnemu modelu, objavljenem v [8], pridružena temperaturna odvisnost po zgledu [4], s čimer so zajeti materialni odzivi, ki so ključni za popis numeričnega modeliranja izmetavanja. Materialni parametri so nato inverzno identificirani s formulacijo problema optimizacije. Izvedena je demonstrativna parametrična analiza izmetavanja, kjer je zasledovana izmetalna sila. Izmetalna sila je bila eksperimentalno in tudi numerično že obravnavana v literaturi. Pontes in Pouzada [9] sta objavila rezultat meritev, kjer so bili analizirani procesni parametri: višina naknadnega tlaka, temperatura taline in čas hlajenja. Eksperimentalno delo je bilo pozneje nadgrajeno še z numerično analizo (Pouzada et al. [10]), kjer so bili rezultati še interpretirani. Podobno so se numerično in eksperimentalno ukvarjali z izmetalno silo tudi Wang et al [12] ter Bataineh in Klamecki [1].

2 Materialni model

Osnova za popis trajne deformacije je napetostno deformacijska zveza, ki popisuje deviatorični mehanski odziv, volumetrično vedenje pa je iz obravnave izključeno s predpostavko nestisljivosti, ki je za HDPE dobro izpolnjena pri nominalnih deformacijah nad 0,015 [5]. Sledi strnjena formulacija temperaturno odvisnega visko-elasto-plastičnega materialnega modela, ki bazira na objavah [6-8], upoštevajoč temperaturno odvisnost iz [4].

Deviator Biotovega tenzorja deformacije je aditivno razdeljen na elastični in plastični del : = + . (1)

Page 92: Zbornik del

Kuhljevi dnevi 2016

- 85 -

Plastični del deformacije je sestavljen iz deformacije kristalinične faze in deformacijeamorfne faze . Priraščanje kristalinične deformacije se privzema kot proporcionalnopriraščanju celotne deformacije: dd = dd. (2)

Razmerje ∈ [0,1) v enačbi (2) je funkcija časa in se razvija kot rešitev diferencialne enačbe dd = 1 − )equiv dd. (3)

z začetnim pogojem 0) = 0, kjer je > 0 materialni parameter. Preslikava equiv∙) se izračuna kot

equiv dd = 23dd : dd. (4)

Amorfni del deformacije se razvija v skladu z enačbo dd = $ % − & − '( )*)+,, *)d*-. / equiv dd, (5)

kjer so $ > 0, & > 0 in ' > 0 materialni parametri in integralski člen popisuje učinek viskoelastičnosti na plastično tečenje v amorfni fazi. Spremenljivka * predstavlja brezdimenzijsko aktivacijsko energijo medmolekulskega zdrsa, funkcija

)*) = ).exp −12 2*Σ45, (6)

pa zajema vpliv nehomogenosti amorfne faze zaradi prisotnosti sferulitov, tenzor +,, *) pa predstavlja visko-elastično deformacijo. Vrednost ). je normalizacijska konstanta, kizagotovi enotskost

( )*)d*-. = 1, (7)

Σ > 0 pa je materialni parameter, ki karakterizira distribucijo relaksacijskih časov. Tenzor +,, *) se razvija v skladu z diferencialno enačbo 6+,6 = 7*) 2 − +,, *)4, (8)

kjer nastopa hitrost relaksacijskih procesov 7*), ki je tu v skladu z [4] izbrana kot temperaturno odvisna:

7*) = 8exp %− 9&: − */, (9)

V enačbi (9) je 8 > 0 materialni parameter, 9 aktivacijska energija, & univerzalna plinskakonstanta in : absolutna temperatura. Biotov napetostni tenzor je nato določen kot

;< = −=)>, + ?1 − )% − '( )*)+,, *)d*-. /, (10)

Page 93: Zbornik del

Kuhljevi dnevi 2016

- 86 -

kjer je = hitrostatični tlak, >, enotska matrika in ? parameter elastičnosti (dvakratnik strižnegamodula), za katerega je v skladu z [4] predpostavljena linearna temperaturna odvisnost ? = ?. − ?@A, (11)

kjer sta ?. in ?@ parametra, A pa temperatura.

2.1 Histerezni odziv

Histerezni odziv pri cikličnem obremenjevanju je v objavah [6-8] dosežen s prilagoditvijo materialnih parametrov , $ in &. V [8] je bil predlagan njihov razvoj kot funkcija plastičnega dela

B = ( ;<C. ∶ dd d (12)

za vsakega od načinov obremenjevanja, to so prvo obremenjevanje (n = 1), razbremenjevanje (n = 2) in ne-prvo obremenjevanje (n = 3). Obremenjevanje se začne kot prvo obremenjevanje, dokler deformacija narašča. Ob začetku zmanjševanja deformacije se prične razbremenjevanje, ki se spremeni v ne-prvo obremenjevanje, ko začne deformacija ponovno naraščati. Z ne-prvim obremenjevanjm se lahko tudi preseže najbolj obremenjeno stanje prvega obremenjevanja. Ko se najbolj obremenjeno stanje prvega obremenjevanja preseže, se zopet upošteva materialno vedenje z indeksom 1 za prvo obremenjevanje.

Za enoosni natezni preizkus so Drozdov et al. [8] predlagali, da se ne-prvo obremenjevanje nadaljuje v prvo obremenjevanje, ko je prekoračena deformacija, pri kateri se je začelo razbremenjevanje. Za splošno prostorsko napetostno stanje so kriterij razločevanja načinov obremenjevanja predlagali Xia et al. [13],glede na Misesovo primerjalno napetost. V okviru tega dela je izbran kinematski kriterij, kjer je namesto Misesove napetosti upoštevana ekvivalentna deviatorična deformacija equiv). Za različne načine obremenjevanja so Drozdov et al. [8] uvedli zvezo med plastičnim delom in navedenimi parametri. Parameter $@ so izbrali kot konstanten v prvem obremenjevanju, vrazbremenjevanju (E = 2) in ne-prvem obremenjevanju (E = 3) pa se razvija s plastičnim delom kot d$FdB = GF$F- − $F);$F0) = $F. (13)

kjer so $F., GFin $F- materialne konstante. Analogno so popisali tudi razvoj parametra &, zaprvo obremenjevanje (E = 1) in razbremenjevanje (E = 2) d&FdB = IF&F- − &F);&F0) = &F. (14)

kjer so &F., IFin &F- materialne konstante. Ne-prvo obremenjevanje so popisali z odsekomalinearno funkcijo &J = maxM&J. − &J@B, &J5 + &JJBN, (15)

kjer so &J., &J@, &J5 in &JJ materialne konstante (nadpisana števka je indeks). Predlagali so, dakristalinična plastična deformacija narašča samo v prvem obremenjevanju in tako velja @ > 0 in 5 = J = 0.

Page 94: Zbornik del

Kuhljevi dnevi 2016

- 87 -

3 Identifikacija materialnih parametrov

Za predstavljeno različico materialnega modela so bili v okviru tega dela ugotovljeni materialni parametri za polietilen visoke gostote (HDPE) s komercialno oznako Eraclene MM 95. Določitev je bila izvedena po zgledu objave Drozdova [6], tako da je s predpostavko nekompresibilnosti in enoosnega napetostnega stanja zapisana konstitutivna zveza v skalarni obliki

; = 32?1 − )% − '( )*)+, *)d*-. /. (16)

Skalarna oblika je bila implementirana v okolju Wolfram Mathematica. Problem določitve parametrov je bil formuliran kot problem minimizacije ciljne funkcije

OP) =Q2;R, P) − ;STR)45R, (17)

kjer je P nabor materialnih parametrov, ;ST pa napetost izračunana na osnovi izvedenihmeritev. Za reševanje problema je bila uporabljena gradientna metoda. Izhodiščni parametri so bili izbrani, kakor jih objavljajo Drozdov et al. [8] s temperaturno odvisnostjo, ki jo navajata Drozdov in Christiansen [4] za polietilen visoke gostote Eraclene MM 95. V ciljni funkciji so bili zajeti vsi relevantni eksperimenti. Ugotovljeni materialni parametri so podani v tabeli 1.

Tabela 1: Vrednosti materialnih parametrov za HDPE z oznako Eraclene MM 95, ki so bile identificirane v tem delu.

Param. Vrednost Enota Param. Vrednost Enota Param. Vrednost Enota ?. 887,40 MPa $5- 41,19 1 I@ 1,60 MPa-1 ?@ 7,17 MPa/K $5. 9,69 1 &5. 0,87 1 @ 7,06 1 G5 0,27 MPa-1 &5- 0,02 1 ' 0,65 1 $J. 40,82 1 I5 3,23 MPa-1 9 38027 kJ $J- 0,31 1 &J. 1,23 1 8 2,9·106 1 GJ 0,25 MPa-1 &J@ 0,51 MPa-1 Σ 4,03 1 &@. 0,68 1 &J5 0,70 1 $@ 30,55 1 &@- 0,68 1 &JJ 0,05 MPa-1

Eksperimentalni rezultati, ki jih objavljata Drozdov in Christiansen [4] so prikazani na slikah 1a, 1b in 1c. Poleg so prikazani tudi rezultati numeričnega modeliranja v tem delu. Na vseh treh slikah so s tanko črto prikazani rezultati enoosnega modeliranja upoštevajoč enačbo (16), z debelejšo črto pa rezultati računalniške simulacije enoosnega preizkusa, izvedene v programskem okolju Abaqus, pri čemer je bilo obravnavano reološko obnašanje v programsko okolje vgrajeno preko lastnega podprograma (rezultati se večinoma prekrivajo).

Na sliki 1d so primerjani eksperimentalni rezultati cikličnega obremenjevanja pri različnih temperaturah iz objave [5] in rezultati numeričnega modela. Ti eksperimenti omogočajo določitev parametrov za razbremenjevanje (E = 2).

Slika 1e prikazuje rezultate za HDPE material z oznako Eraclene MM 95, kjer je po razbremenjevanju material ponovno obremenjen in sta jih objavila Drozdov in Christiansen [3]. Rezultati so služili za določitev parametrov ne-prvega obremenjevanja (E = 3).

Page 95: Zbornik del

Kuhljevi dnevi 2016

- 88 -

Slika 1: (a)Rezultati nateznega preizkusa pri različnih temperaturah (U = 0,004sX@). (b)Rezultati nateznega preizkusa pri različnih hitrostih obremenjevanja (A = 25°C).

(c)Rezultati preizkusa relaksacije. (d)Rezultati preizkusa z enocikličnim obremenjevanjem. (e)Rezultati preizkusa s ponovnim obremenjevanjem.

4 Primer izmetavanja

Materialni model je bil uporabljen na primeru modeliranja izmetavanja osno-simetričnega izdelka (slika 2a). Upoštevane so bile kontaktne razmere med izdelkom in orodjem. Upoštevano stacionarno nehomogeno temperaturno polje (slika 2b) je bilo izračunano s predhodno toplotno analizo. Analiziran je bil vpliv različnih temperaturnih polj, koeficienta trenja med kontaktnimi površinami in hitrosti izmeta izdelka na časovni potek in velikost sile izmetavanja izdelka iz orodja. Hitrosti izmeta izdelka so bile izbrane tako, da se hitrosti deformacije gibljejo v območju eksperimentalno karakteriziranih vrednosti.

Za potisk izdelka z orodja sta bili upoštevani dve izmetali, kakor prikazuje slika 2c. Pri tem atmosferska obremenitev ni upoštevana, ker se predpostavlja, da je mogoče ob izmetalu 1 dovesti zrak pod atmosferskim tlakom in tako preprečiti nastanek podtlaka med izdelkom in orodjem.

4.1 Parametrična analiza

Za prikaz vpliva materialnih lastnosti na mehansko dogajanje je bila izvedena parametrična analiza, pri čemer je bila različno izbrana največja temperatura v modelu, in sicer z 10 izbirami med 46,7 °C in 87,3 °C. Najvišja vrednost je izbrana kot referenčna in je upoštevana pri analizi vpliva hitrosti izmetavanja in trenja. Hitrost izmetavanja je bila podana s 4 različne vrednosti med 0,25 mm/s in 1 mm/s (referenčna vrednost: 1 mm/s). Za določitev vplivnosti je bila izbrana tudi vrednost količnika trenja med polimerom in površino orodja v 7 različnih vrednostih med 0 in 0,25 (referenčna vrednost: 0,10).

4.2 Časovni potek izmetalne sile

Kot ključni učinek je bila zasledovana izmetalna sila. Za referenčni primer je prikazana na sliki 2d skupaj s primerom, kjer je predpostavljeno ničelno trenje. Večji del obremenitve se je pojavil na izmetalu 2 (zunanje izmetalo). Na osnovi rezultatov primera z ničelnim trenjem

Page 96: Zbornik del

Kuhljevi dnevi 2016

- 89 -

je mogoče sklepati, da v referenčnem primeru trenje ni dominanten učinek na izmetalno silo, pač pa je največji del sile potreben za premagovanje negativnega izmetalnega kota.

Slika 2: (a)Osnosimetrični izdelek za analizo izmetavanja. (b)Porazdelitev temperature za primer A\] = 87,3°C. (c)Postavitev izmetal in porazdelitev Misesove napetosti. (d)Časovni

potek izmetalne sile za referenčni primer in primer z ničelnim trenjem.

4.3 Največja izmetalna sila

Celotna izmetalna sila (vsota sile obeh izmetal) je na opazovanem temperaturnem območju izkazala temperaturno odvisnost (slika 3a). Povečana temperatura se je pojavila ravno na območju navoja, za katerega se izkaže, da predstavlja glavni odpor pri izmetavanju. Linearnost karakteristike je mogoče pojasniti s približno linearno zvezo togosti materiala glede na temperaturo (sliki 1a in 1d). Pontes in Pouzada [9] sta v eksperimentalnem delu tudi ugotovila linearno odvisnost od temperature, pri čemer pa je bilo mogoče zasledovati temperaturo površine izdelka.

Sasaki et al. [11] in Correia et al. [2] so se ukvarjali s tribološkim aspektom izmetavanja, ker je bilo trenje v kontaktu prepoznano kot ključen dejavnik v razvoju izmetalne sile. To potrjujejo tudi rezultati modela v tem delu (slika 3b), kjer se sila v opazovanem območju količnika trenja skoraj podvoji.

Kot najšibkejši analizirani vpliv na opazovanem območju je bila hitrost izmetavanja (slika 3c). Z upočasnjevanjem hitrosti izmetavanja ima material čas za relaksacijo (sliki 1b in 1c) in tako se pojavi tudi zmanjšanje izmetalne sile.

5 Zaključek

Demonstrirana je bila aplikativnost uporabljenega materialnega modela in zastavljena smer razvoja modeliranja izmetavanja izdelka iz delno-kristaliničnega polimera. Poleg navedenih vplivnih veličin bo v nadaljevanju v analizi izmeta potrebno upoštevati tudi napetostno stanje, ki izvira iz predhodnih faz izdelave izdelka. Izmetavanje bo nato smiselno izvesti v termično nestacionarnih razmerah in tudi modelirati ohlajanje na sobno temperaturo skupaj z relaksacijo napetosti, s čimer bo mogoče določiti končno geometrijo izdelka.

Page 97: Zbornik del

Kuhljevi dnevi 2016

- 90 -

Slika 3: (a)Celotna izmetalna sila v odvisnosti od največje temperature v modelu. (b)Izmetalna sila v odvisnosti od količnika trenja. (c)Zveza med hitrostjo izmetavanja in

izmetalno silo.

Literatura

[1] Bataineh O. M. , Klamecki B. E., Prediction of local part-mold and ejection force in

injection molding, J. Manuf. Sci. Eng.-tra. ASME 127, 598–604, 2005. [2] Correia M. S., Miranda A. S., Oliveira M. C., Capela C. A., Pouzada A. S., Analysis of

friction in the ejection of thermoplastic mouldings, Int. J. Adv. Manuf. Tech. 59, 977–986, 2012.

[3] Drozdov A. D., Christiansen J. deC., Viscoelasticity and viscoplasticity of

semicrystalline polymers: Structure–property relations for high-density polyethylene, Comp. Mat. Sci. 39, 729–751, 2007.

[4] Drozdov, A.D., Christiansen, J. deC., Thermo-viscoelastic and viscoplastic behavior of

high-density polyethylene. International, Intern. J. Sol. Struct. 45, 4274–4288, 2008. [5] Drozdov, A.D., Cyclic thermo-viscoplasticity of high density polyethylene. Intern. J. Sol.

Struct. 47, 2010 [6] Drozdov, A.D., Cyclic viscoelastoplasticity and low-cycle fatigue of polymer

composites, Intern. J. Sol. Struct. 48, 2026–2040, 2011. [7] Drozdov, A.D., Multi-cycle viscoplastic deformation of polypropylene, Comp. Mat. Sci.,

50, 1991–2000, 2011. [8] Drozdov, A.D., Klitkou, R., Christiansen, J. deC., Multi-cycle deformation of

semicrystalline polymers: Observations and constitutive modeling, Mech.s Res. Comm. 48, 70–75, 2013.

[9] Pontes A. J., Pouzada A. S., Ejection force in tubular injection moldings. Part I: Effect

of processing conditions, Polym. Eng. Sci. 44, 891–897, 2004. [10] Pontes A. J., Pouzada A. S., Pantani R., Titomanlio G., Ejection force of tubular

injection moldings. Part II: A prediction model, Polym. Eng. Sci. 45, 325–332, 2005. [11] Sasaki T., Koga N., Shirai K., Kobayashi Y., Toyoshima A., An experimental study on

ejection forces of injection molding, Prec. Eng. 24, 270–273, 2000. [12] Wang H., Kabanemi K. K., Salloum G., Numerical and Experimental Studies on the

Ejection of Injection-Molded Plastic Products, Polym. Eng. Sci. 40, 826–840, 2000. [13] Xia, Z., Shen, X., Ellyin, F., An Assessment of Nonlinearly Viscoelastic Constitutive

Models for Cyclic Loading: The Effect of a General Loading/Unloading Rule, Mech. Time-Dep. 2005.

Page 98: Zbornik del

SLOVENSKO DRUSTVO ZA MEHANIKO

SRECANJE KUHLJEVI DNEVI 2016

Delaminacija kompozitnega nosilca z nelinearnim stikom medlamelami

D. Lolic1, D. Zupan2 in M. Brojan1

Delamination of a composite beam with non-linear contactbetween layers

Povzetek. V prispevku se ukvarjamo z modeliranjem stika med lamelami pri (delno) delaminiranihnosilcih. Vodilne enacbe nosilca so izpeljane iz Reissnerjeve, geometrijsko tocne teorije. Resitveso dobljene z metodo koncnih elementov. Dodatno modeliramo obnasanje veznega sredstva medelementi sosednjih materialnih vlaken. V definiranih lastnostih vmesnega sloja upostevamo dolocenefizikalne omejitve, kot je kontakt lamel, trenje pri zdrsu in kohezijske sile pri razmiku lamel, lastnostilepila ali vezivne smole.

Abstract. In the present paper we are concerned with the modelling of a contact between layersof (partially) delaminated beams. Governing equations are derived from Reissner’s, geometricallyexact theory. The solution is found using finite element method. Special attention is taken in mo-delling the binding layer between elements of the neighbouring fibres. Defined properties of inter-laminar layers are based on specific physical limitations, such as contact, friction between layers,cohesive forces, glue properties and properties of the binding resin.

1 Uvod

Delaminiranost nosilca oz. razslojevanje se pogosto pojavi pri kompozitnih strukturah. Vzroknapake je lahko lokalno pomanjkanje lepila, ujeti zracni mehurcki ali ostale napake pri proizvo-dnji taksnih elementov. Delaminiran nosilec je posebej obcutljiv na osne obremenitve. Kriticnasila pri kateri se nosilec s taksno napako ukloni je manjsa in je odvisna od dolzine, lege terstevila delaminacij.

Model, ki ga predstavljamo v tem prispevku temelji na geometrijsko tocni teoriji nosilcev. Pred-videvamo ohranjanje velikosti in oblike precnih prerezov med procesom obremenjevanja, ob

1 Univerza v Ljubljani, Fakulteta za strojnistvo2 Univerza v Ljubljani, Fakulteta za gradbenistvo in geodezijo

Page 99: Zbornik del

Kuhljevi dnevi 2016

tem pa se ne omejimo glede velikosti pomikov in zasukov teziscne osi nosilca. Rezultat jesistem nelinearnih kinematicnih enacb, dolocen z uporabo principa virtualnega dela. Predpo-stavimo, da je razpoka ze formirana pred obremenitvijo ter da poznamo vso geometrijo. Nosilecmodeliramo s koncnimi elementi. Ob tem je pomembno, kako razporedimo elemente po no-silcu in upostevamo robne pogoje na zacetku in koncu delaminacij. Predstavimo se enacbe vezimed dvema koncnima elementoma. Tem vezem pripisemo dolocene nelinearne lastnosti in takosimuliramo kontakt lamel.

2 Definicija problema

2.1 Vodilne enacbe

Enacbe temeljijo na nelinearni Reissnerjevi teoriji nosilcev [1]. Neobremenjen raven nosilec jezasukan za zacetni kot ϕ0. Kinematicne enacbe so:

cosϕ0 +u′ = (1+ ε) cosϕ− γ sinϕ, (1)

sinϕ0 +w′ =−(1+ ε) sinϕ+ γ cosϕ, (2)

ϕ′−ϕ

′0 = κ. (3)

Ravnotezne enacbe so:

R′x + px = 0, (4)

R′y + py = 0, (5)

M′+(1+ ε) Q− γ N +mz = 0, (6)

kjer velja:

Rx = N cosϕ−Q sinϕ, (7)

Ry = N sinϕ+Q cosϕ. (8)

Konstitutivne enacbe za linearno elasticen material so naslednje:

N = E∫

A(ε+ y κ)dA, (9)

Q = G As γ, (10)

M = E∫

Ay (ε+ y κ)dA. (11)

Pri tem sta u in w pomika v smeri koordinatnih osi in ϕ zasuk prereza, slika 1. ε, γ in κ so osna,strizna in upogibna specificna deformacija oz. t.i. psevdoukrivljenost. Pri tem so px, py in mz

zunanji sili in moment na enoto dolzine; Rx, Ry in M pa so rezultantni notranji sili ter momentv smereh globalnih osi. Za zapis vektorja notranjih sil S uporabimo enacbe snovi (9)-(11) indeformacijske kolicine:

S =

NQM

= Dεεε, kjer je D =

E A 0 E Sy

0 GAs 0E Sy 0 E Iz

in εεε =

ε

γ

κ

. (12)

- 92 -

Page 100: Zbornik del

Kuhljevi dnevi 2016

x(s) dx+du

x

yy(s)

dy+dw

φ(s) Q(s)

N(s)M(s)

R (s)x

R (s)y

R (s+ds)y

R (s+ds)x

N(s+ds)

Q(s+ds)M(s+ds)

φ(s+ds)

φ(s)

θ(s)χ(s)

p (s)dsx

p (s)dsy

m(s)ds

Slika 1 : Infinitezimalni element deformiranega nosilca z oznacenimi notranjimi in porazdelje-nimi silami.

V enacbi (12) predstavljata E in G elasticni in strizni modul, A je ploscina prereza, As predstavljaefektivno strizno ploskev, Iz je vztrajnostni moment precnega prereza in Sy je staticni moment.Staticni moment bo v nasih enacbah razlicen od nic, ker se pri zapisu enacb nismo omejili nateziscno os nosilca.

2.2 Metoda koncnih elementov

Primarne neznane funkcije pomikov u(x) in w(x) ter zasuk precnega prereza ϕ(x) zapisemo kotvsoto diskretnih vrednosti Ui, Wi in φi, i = 1, ...,n. Tako zvezne neznane kolicine problemanadomestimo z linearno kombinacijo diskretnih vrednosti in oblikovnih funkcij Pi(x).

u(x) =n

∑i=1

Pi(x) Ui (13)

w(x) =n

∑i=1

Pi(x) Wi (14)

ϕ(x) = ϕ0 +n

∑i=1

Pi(x) φi (15)

Tocke elementa xi, i = 1, ...,n, v katerih iscemo diskretne resitve, so enakomerno porazdeljenepo dolzini nosilca. Za oblikovne funkcije uporabimo standardne Lagrangeve polinome, inte-grale pa resujemo numericno z Gaussovimi kvadraturnimi pravili.

Enacbe koncnega elementa izpeljemo s pomocjo principa virtualnega dela:

∫ le

0(N δε+Q δγ+M δκ)dx =

∫ le

0(px δu+ py δw+mz δϕ)dx+

6

∑i=1

Si δUi (16)

- 93 -

Page 101: Zbornik del

Kuhljevi dnevi 2016

V zgornjo enacbo (16) vstavimo variacije diskretiziranih enacb (13)–(15) in uredimo po varia-cijah:

n

∑i=1

∫ le

0

[Rx P′i − px Pi

]dx

δUi+ (17)

+n

∑i=1

∫ le

0

[Ry P′i − py Pi

]dx

δWi+

+n

∑i=1

∫ le

0

[M P′i +((sinϕ0 +w′) Rx− (cosϕ0 +u′) Ry−mz) Pi

]dx

δφi =

= S1 δU1 +S2 δW1 +S3 δφ1 +S4 δUn +S5 δWn +S6 δφn

Z Si smo oznacili zunanje vozliscne obremenitve v smeri pripadajoce prostostne stopnje. Ker sovozliscne variacije poljubne, lahko zapisemo diskretizirane enacbe ravnotezja sil v smereh osix in y ter ravnotezja momentov okrog osi z. Vsak sklop ima n enacb, zunanje sile so zapisanena koncu.

fi =∫ le

0(Rx P′i − px Pi)dx−Sxi = 0 (18)

fn+i =∫ le

0(Ry P′i − py Pi)dx−Syi = 0 (19)

f2n+i =∫ le

0(M P′i +[(sinϕ0 +w′) Rx− (cosϕ0 +u′) Ry−mz] Pi)dx−Sϕi = 0 (20)

S1

S3

m(s)

S2

S4

S5

S6

p (s)y

p (s)x

Φ1

Φn

U1 Un

Wn

W1

y

x

s

le

Slika 2 : Nedeformirano in deformirano stanje nosilca obremenjenega z vozliscnimi in poraz-deljenimi obtezbami.

- 94 -

Page 102: Zbornik del

Kuhljevi dnevi 2016

2.3 Nelinearne vzmeti

Medsebojno zvezo med lamelama bomo opisali zvezno v odvisnosti od osi elementa. To zahtevaspremembo osnovnih enacb koncnega elementa. Vpliv drugih lamel bomo opisali z zveznoporazdeljeno obtezbo, zato jo v enacbah (18) in (19) odstejemo. Koeficient togosti stika lahkozapisemo kot funkcijo pomikov Kx(u) in Ky(w). Dobimo nove clene v izrazih, ki so odvisni odpomikov povezanih elementov. Linearizirane enacbe z upostevano povezavo med elementomaI in II so:

δ f j = ∑i(∫ le

0b1 P′i P′j +Kx

[PI

i]

Pj dx)δU Ii +∑

i(∫ le

0(−Kx

[PII

i]

Pj)dx)δU IIi (21)

+∑i(∫ le

0−b3 P′i P′j dx)δWi+

+∑i(∫ le

0

[b3(cosϕ0 +u′)+b1(sinϕ0 +w′)−Ry

]Pi +b5 P′i

P′j dx)δφi,

δ fn+ j = ∑i(∫ le

0−b3 P′i P′j dx)δUi+ (22)

+∑i(∫ le

0b2 P′i P′j +Ky

[PI

i]

Pj dx)δW Ii +∑

i(∫ le

0(−Ky

[PII

i]

Pj)dx)δW IIi

+∑i(∫ le

0

[−b2(cosϕ0 +u′)−b3(sinϕ0 +w′)+Rx

]Pi +b4 P′i

P′j dx)δφi,

δ f2n+ j = ∑i(∫ le

0

[b3(cosϕ0 +u′)+b1(sinϕ0 +w′)−Ry

]Pj +b5 P′j

P′i dx)δUi+ (23)

+∑i(∫ le

0

[−b2(cosϕ0 +u′)−b3(sinϕ0 +w′)+Rx

]Pj +b4 P′j

P′i dx)δWi+

+∑i(∫ le

0[[b2(cosϕ0 +u′)2 +b1(sinϕ0 +w′)2 +(cosϕ0 +u′)(2 b3(sinϕ0 +w′)−Rx)−

−Ry(sinϕ0 +w′)]Pi Pj +(−b4(cosϕ0 +u′)+b5(sinϕ0 +w′))(P′i Pj +Pi P′j)+b6 P′i P′j]dx)δφi.

S koeficienti bk, k = 1, ...,6, smo oznacili konstante, ki nastopajo v zgornjih izrazih. V tehkonstantah se skrivajo cleni materialne tangentne matrike C11, C12, C21 in C22, glej [2], [3].

Po linearizaciji in diskretizaciji enacb smo problem zapisali v obliki za resevanje z Newtonovoiteracijsko metodo kot sistem linearnih enacb,

K∆y =−f, (24)

kjer je ∆y stolpec popravkov neznanih kolicin,

∆y = [∆u1, ∆w1, ∆ϕ1, ∆u2, ∆w2, ∆ϕ2, ..., ∆uN , ∆wN , ∆ϕN ]T . (25)

- 95 -

Page 103: Zbornik del

Kuhljevi dnevi 2016

Pri tem je f je stolpec desnih strani sestavljen z enacbami (27)–(29),

f = [ fi, fn+i, f2n+i]T , i = 1, ...,n, (26)

fi =∫ le

0(Rx P′i − (px−Kx(uI−uII))Pi)dx−Sxi = 0, (27)

fn+i =∫ le

0(Ry P′i − (py−Ky(wI−wII))Pi)dx−Syi = 0, (28)

f2n+i =∫ le

0(M P′i +[(sinϕ0 +w′)Rx− (cosϕ0 +u′)Ry−mz]Pi)dx−Sϕi = 0, (29)

ter K, togostna matrika, ki jo sestavimo z enacbami (21)–(23), kjer j pomeni vrstico, i pastolpec. Matrika elementa bo velikosti 3n× 3n, saj ima vsaka tocka tri prostostne stopnje.Dodatni cleni se sedaj pojavijo tudi izven osnovne togostne matrike elementa. Skupaj s cleniprvega elementa se, zaradi veznih enacb stika, v tockah drugega elementa pojavijo dodatni cleni.

T1 T2 T3 T4

T1

T2

T3

T4

T1T2

T3 T4

Slika 3 : Primer razsirjene togostne matrike za par elementov povezanih z zakonom stika.Postavitev koncnih elementov je poenostavljeno prikazana za spodnji primer 3.1.

3 Numericni primer

Z reprezentativnim primerom obnasanja delaminiranega nosilca v postkriticnem obmocju, kjerse lameli stakneta, zelimo prikazati uporabo formulacije in resitve primerjati z resitvami drugihavtorjev.

3.1 Prostolezeci delaminiran nosilec

Primeri delaminiranih nosilcev so prikazani v delu [5]. Prostolezeci nosilec z eno delamina-cijo in zacetno nepopolnostjo je osno obremenjen. Z numericnim modelom spremljamo post-kriticno obnasanje. Poznamo vso geometrijo nosilca, nepopolnost pa modeliramo z zacetno

- 96 -

Page 104: Zbornik del

Kuhljevi dnevi 2016

ukrivljenostjo v obliki polovice sinusnega vala, [5]. Za doloceno izbiro amplitude ukrivljeno-sti opazimo prekrivanje lamel, t.j. nerealno obnasanje. Geometrijski in materialni podatki soenaki kot v referenci [4]. Dolzina nosilca L = 4.0 m, sirina prereza b = 0.04 m, visina nosilcah = 0.08 m, debelina lamele dA = 0.01 m, elasticni modul E = 2.1× 1011 N/m2 in Poissonovkolicnik ν = 0.3. Delaminacija je postavljena simetricno, relativna dolzina ld = Ld/L = 0.375.Uporabili smo pet 3-vozliscnih elementov za nedelaminirana dela, ter sest 3-vozliscnih elemen-tov za vsako lamelo, kar pomeni 132 prostostnih stopenj. Vsi elementi so opisani glede naglavno x-os. Opazujemo premike referencnih tock, postavljenih v teziscih prerezov lamel.

Rodman [4] resuje ta primer z diskretnimi nelinearnimi vzmetmi. Karakteristika vzmeti takov natezni coni dopusca prosto gibanje, v tlacni pa je togost velika kolikor numericni racun sedopusca. Enako kot Rodman smo definirali togost porazdeljenega linearnega zakona stika, kiloci raztezke od skrckov, (30) in zacetno ukrivljenost z enacbo (31).

Ky =

kyn = 0, wI

i −wIIi ≥ 0

kyt = 108, wIi −wII

i < 0(30)

vy(x) = ahsin(

πxL

)(31)

d2

d1

h

y

z

b

x

LdL1

LL4

y

delaminacijaB

FA

-0.01 -0.006 -0.0020.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

a) brez stika

F/Fcr

-0.01 -0.006 -0.0020.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

b) s stikom

F/Fcr

w/L

Slika 4 : Obtezno deformacijska pot referencnih tock A in B za primer a) brez vzmeti in b) zzakonom stika, a =−0.0625.

Na sliki 4 sta z modro in rdeco oznaceni poti referencnih tock. Vidimo, da se pri w/L≈−0.0027lameli stakneta. V primeru a) brez stika, se lameli prekrivata, saj kontakt ni bil upostevan.

- 97 -

Page 105: Zbornik del

Kuhljevi dnevi 2016

Slika 4 b) prikazuje poti tock A in B z upostevanjem kontakta. Lameli se stakneta, vplivata enana drugo. Togost pri penetraciji enega sloja v drugega je zelo velika. Po stiku se ne locita vec.Pricakovano je togost strukture b) vecja kot pri nerealnem primeru a), kjer sta se lameli lahkoprekrivali.

Rezultati se ujemajo s tistimi iz del Rodman [4] in Sheinmann in Soffer [5].

4 Zakljucek

V prispevku smo izpeljali enacbe ravninskega koncnega elementa po geometrijsko tocni, neline-arni teoriji. Tem enacbam smo dodali izraze za modeliranje stika med lamelami. Vpliv opisemokot zvezno porazdeljeno obtezbo, zato je za enako dober rezultat potrebnih manj elementov, kotce bi stik opisovali z diskretnimi vzmetmi. S taksno zvezo lahko povezemo istolezna elementain ne samo element z nepremicno, togo podlago. Zakonu stika lahko pripisemo razlicne lastno-sti v obeh smereh x in y ter jih definiramo s spremenljivo togostjo. Ker so te vezi vkljucene vvodilne enacbe koncnega elementa, po sestavljanju elementov v konstrukcijo ni potrebno pose-gati v tangentno togostno matriko, kot bi sicer v primeru modeliranja z diskretnimi vzmetmi.S taksno formulacijo lahko modeliramo strizne vplive zaradi trenja pri delaminiranih nosilcih,vezivo med konstrukcijskimi elementi in razlicne nepopolnosti vzdolz osi nosilca.

Literatura

[1] E. Reissner, On one-dimensional finite-strain beam theory: the plane problem, Zeitschriftfur angewandte Mathematik und Physik ZAMP, 23(5):795–804, 1972.

[2] D. Zupan, Rotacijsko invariantne deformacijske kolicine v geometrijsko tocni teoriji pro-storskih nosilcev, doktorska disertacija, Ljubljana, Univerza v Ljubljani, Fakulteta za grad-benistvo in geodezijo, Konstrukcijska smer, 2003.

[3] U. Rodman, M. Saje, I. Planinc and D. Zupan, Exact buckling analysis of composite elasticcolumns including multiple delamination and transverse shear, Engineering Structures,30(6): 1500–1514, 2008.

[4] U. Rodman, Analiza nosilnosti prostorskih okvirnih konstrukcij z upostevanjem material-nih in geometrijskih nepopolnosti, doktorska disertacija, Ljubljana, Univerza v Ljubljani,Fakulteta za gradbenistvo in geodezijo, Konstrukcijska smer, 2009.

[5] I. Sheinmann, M. Soffer, Post-buckling analysis of composite delaminated beams, Interna-tional Journal of Solids and Structures, 27(5): 639–646, 1989.

[6] M. Batista and F. Kosel, Cantilever beam equilibrium configurations, International journalof solids and structures, 42(16): 4663–4672, 2005.

[7] R.L. Burden and J.D. Faires, Numerical analysis, Brooks/Cole, USA, 2001

[8] , A. Ibrahimbegovic, Nonlinear solid mechanics: theoretical formulations and finite ele-ment solution methods, Springer Science & Business Media, 2009.

- 98 -

Page 106: Zbornik del

SLOVENSKO DRUŠTVO ZA MEHANIKO

SREČANJE KUHLJEVI DNEVI 2016

Pulzno širinska modulacija

kot vir vzbujanja dinamske strukture

J. Luznar, J. Slavič, M. Boltežar

Pulse Width Modulation as Excitation

Source of Dynamical Structures

Povzetek. Navor v električnih motorjih tvorimo s pomočjo magnetnih sil, ki obenem

predstavljajo tudi direktni vir strukturnega vzbujanja. Predstavljen je eksperimentalni

pristop karakterizacije magnetnih sil, ki so posledica vzbujanja s pulzno širinsko

modulacijo (PWM). Frekvenčna vsebnost PWM se izrazi tudi v magnetnih silah in

posledično v hrupu, ki ga oddaja vibrirajoča struktura. Eksperimentalno delo pokaže znaten

vpliv strukturne dinamike na celotno raven zvočnega tlaka v primeru interakcije s

frekvenčno vsebnostjo PWM vzbujanja. Magnetni izvor hrupa tako lahko zmanjšamo z

ustrezno izbiro PWM metode, preklopne frekvence ali s spremembo strukturne dinamike.

Abstract. In electric motors the output torque results from the magnetic forces, which

are also a direct source of structural excitation. This research presents an experimental

approach to the characterization of the magnetic forces due to Pulse Width Modulation

(PWM). Frequency contents of PWM reflects also in magnetic forces and consequently on

noise, radiated from vibrating structure. Experimental results show that the interaction

between structural dynamics and excitation harmonics can have significant influence on

the total sound pressure level. Magnetically induced noise can be reduced with appropriate

PWM technique, switching frequency and also with modifications of structural dynamics.

1 Uvod

Uporaba elektronsko komutiranih brez-krtačnih motorjev je v zadnjem času vedno bolj v

porastu predvsem zaradi njihovih lastnosti: dolga doba trajanja, visok izkoristek, nizki servisni

stroški in natančna regulacija motorja. Elektronsko komutacijo običajno izvajamo s pulzno

širinsko modulacijo (PWM – Pulse Width Modulation), ki na podlagi ustreznega zaporedja

vzorcev napetostnih impulzov generira izhodni signal željene frekvence in amplitude [1].

PWM v frekvenčni domeni poleg fundamentalne frekvenčne komponente vsebuje tudi

številne visokofrekvenčne preklopne harmonike [2], ki se izrazijo tudi v magnetnih silah. Če

ostane fundamentalna komponenta nespremenjena, je magnetni hrup zaradi PWM vzbujanja

Page 107: Zbornik del

Kuhljevi dnevi 2016

- 100 -

vedno večji, kot v primeru čistega sinusnega vzbujanja [3]. Visoko frekvenčna nihanja

vzbujalnih tokov lahko preko magnetnih sil vzbudijo lastno dinamiko strukture, kar je pokazal

Slavič s sodelavci [4].

Obstaja več PWM metod, kjer je glavna razlika med njimi frekvenca preklapljanja, ki

je lahko konstantna ali spremenljiva. Metode s konstanto preklopno frekvenco so v praksi bolj

pogoste in se med seboj razlikujejo v nosilnem napetostnem signalu, ki je lahko npr. žagaste,

trikotne ali obrnjene žagaste oblike [5]. PWM metode s konstantno preklopno frekvenco

povzročijo koncentrirane, diskretne spektre hrupa, ki so za človeško zaznavanje neprijetni [6].

Neprijetnost je posledica čistih tonov v spektru hrupa, ki pri človeškem zaznavanju hrupa

vzbudijo večjo pozornost, kot naključna frekvenčna vsebnost [7]. Drugi tip pa so PWM metode

s frekvenčno razpršenim preklapljanjem, ki generirajo bolj ugodno, širokopasovno vzbujanje

[8]. Med njih spada histerezna metoda PWM z omejenim nadzorom preklopne frekvence [9]

in metode naključne PWM [10]: naključna preklopna frekvenca [11], naključna pozicija pulza

[12], naključen nosilni signal [5] in naključen hibrid [13].

Dokument je sestavljen v naslednjem vrstnem redu: prvo poglavje prikazuje postopek

generiranja PWM, drugo poglavje predstavlja enoto za vzbujanje in merjenje odziva, rezultati

so prikazani v tretjem, zaključki pa v četrtem poglavju.

2 Pulzna širinska modulacija (PWM)

PWM omogoča zvezno spreminjanje izhodne napetosti in njene frekvence [1]. S širino pulzov

napetost prilagajamo sinusni obliki, z vzorcem oz. zaporedjem impulzov pa nastavljamo

frekvenco. Pulzi imajo velikost enosmerne napetosti vmesnega tokokroga.

2.1 Lastna koda za generiranje PWM

Sprogramirali smo modul, ki generira PWM vzbujanje za različne PWM metode in vhodne

parametre. Pri eksperimentalne delu bo uporabljeno le eno vzbujalno navitje, zato bosta v

nadaljevanju predstavljeni dve PWM fazni napetosti s 180° faznim zamikom in njuna

medfazna napetost. Primer na sliki 1 predstavlja žagasto PWM, ki je definirana s primerjavo

referenčnih napetosti 𝑢𝐴,𝑟𝑒𝑓, 𝑢𝐵,𝑟𝑒𝑓 frekvence 𝑓𝑟𝑒𝑓 in nosilne žagaste napetosti 𝑢𝑛𝑜𝑠 frekvence

𝑓𝑛𝑜𝑠. Na mestih, kjer je vrednost nosilne žagaste napetosti manjša od referenčnih napetosti, se

tvorijo pozitivni pulzi, ki generirajo PWM faznih napetosti 𝑢𝐴 in 𝑢𝐵. Ob priklopu faznih

napetosti na breme, se na njem tvori medfazna napetost 𝑢𝐴𝐵 (1), ki vsebuje željeno osnovno

frekvenčno komponento vzbujanja 𝑢𝑠𝑖𝑛, prikazano na sliki 1.

𝑢𝐴𝐵 = 𝑢𝐴 − 𝑢𝐵 (1)

Frekvenčna vsebnost vzbujanja strukture je tako določena z amplitudnim spektrom medfazne

napetosti 𝑢𝐴𝐵, ki je prikazan na sliki 2. Poleg osnovne frekvenčne komponente so prisotni tudi

stranski preklopnih harmoniki [14], kar zapišemo z (2):

𝑓ℎ = (𝑗𝑚𝑓 ± 𝑘) ∙ 𝑓𝑟𝑒𝑓 , (2)

kjer ℎ označuje red harmonika; 𝑗 in 𝑘 sta celi števili, kjer se harmoniki za lihe vrednosti 𝑗

pojavijo pri sodih vrednosti 𝑘, za sode vrednosti 𝑗 pa pri lihih vrednosti 𝑘; 𝑚𝑓 pa predstavlja

razmerje modulacijske frekvence, ki je definirano z (3) :

𝑚𝑓 = 𝑓𝑛𝑜𝑠/𝑓𝑟𝑒𝑓 (3)

Page 108: Zbornik del

Kuhljevi dnevi 2016

- 101 -

V primeru uporabe pretvornika v linearnem območju delovanja [15], to je kadar je amplituda

referenčne napetosti manjša od amplitude nosilne napetosti (𝑈𝑟𝑒𝑓 < 𝑈𝑛𝑜𝑠), so stranski

harmoniki PWM vzbujanja centrirani samo okoli preklopne frekvence in njenih večkratnikov

(1𝑚𝑓 , 2𝑚𝑓 , … ). Razmerje modulacijske frekvence 𝑚𝑓 določa frekvence, kjer se pojavijo

stranski harmoniki, medtem ko so njihove amplitude v primeru 𝑚𝑓 ≥ 9 skoraj neodvisne od

velikosti razmerja 𝑚𝑓 [16].

Slika 1: Primer generiranja medfazne napetosti z žagasto PWM metodo.

Slika 2: Amplitudni spekter medfazne napetosti za primer žagaste PWM.

Page 109: Zbornik del

Kuhljevi dnevi 2016

- 102 -

3 Eksperimentalno delo

3.1 Enota za vzbujanje in merjenje odziva

Za namene testiranja vpliva PWM na magnetni izvor hrupa smo izdelali enoto za vzbujanje in

merjenje odziva, prikazano na sliki 3. Enoto sestavljajo vsi glavni sestavni deli motorja: rotor

s trajnimi magneti, stator z eno vzbujalno tuljavo in zračna reža. Vzbujanje tuljave s PWM

ustvari dinamično magnetno polje, ki skupaj z rotorskim magnetnim poljem trajnih magnetov

tvori magnetno silo v zračni reži. Slednjo smo merili preko gredi, ki je bila vpeta v silomera

Kistler 9317B. Silomera sta pritrjena na aluminijast okvir, ki zagotavlja poljubno konstantno

zračno režo med statorjem in rotorjem in pri tem ne vpliva na potek magnetnega polja.

Slika 3: Enota za vzbujanje in merjenje odziva: naris in stranski ris.

Ovrednotiti smo želeli le magnetni hrup, zato je bilo potrebno ostale vire hrupa minimalizirati.

V ta namen smo naredili nekaj poenostavitev v primerjavi z dejanskim obratovanjem motorja:

Rotacija rotorja je onemogočena (izločimo aerodinamične in mehanske vire hrupa).

Na statorju je bilo uporabljeno le eno navitje (poenostavljeno vzbujanje).

Uporaba polovične geometrije statorja (omogočena lažja montaža rotorja).

3.2 Merilna veriga

Merilna veriga je prikazana na sliki 4. Celoten proces od generiranja PWM vzbujanja do

zajema signalov je krmiljen s programsko kodo, ki smo jo napisali v Pythonu. Program

omogoča avtomatsko PWM vzbujanje in merjenje odzivov za različne PWM metode in vhodne

parametre. Postopek posamezne meritve je izveden z naslednjimi koraki:

Za izbrane parametre PWM vzbujanja se definira matrika stanj tranzistorjev, ki jo

pošljemo na digitalno izhodno kartico NI 9474.

Digitalna kartica NI 9474 generira PWM signale, ki krmilijo tranzistorje v H mostičku

in na podlagi enosmerne napetosti generirajo PWM napetostne pulze.

PWM vzbujanje vodimo do vzbujalne tuljave, ki generira dinamično magnetno silo.

Slednja vzbudi tudi nihanje strukture in ob tem generira hrup, ki ga vrednotimo na

podlagi meritve zvočnega tlaka z mikrofonom PCB 130E21 v gluhi sobi.

Na koncu merilne verige sta analogni zajemni kartici NI 9223 in NI 9234, kjer

zajamemo signale napetosti, toka, magnetnih sil in zvočnega tlaka.

Page 110: Zbornik del

Kuhljevi dnevi 2016

- 103 -

Slika 4: Merilna veriga z enoto za vzbujanje in merjenje odziva.

3.3 Eksperimentalni rezultati

3.3.1 Magnetne sile

Frekvenčna vsebnost PWM vzbujanja, ki se izrazi v magnetni sili je predstavljena v [4], kjer

je prikazan tudi ojačan odziv magnetne sile v primeru vzbujanja strukturne dinamike s

stranskimi preklopnimi harmoniki.

3.3.2 Hrup

Hrup smo vrednotili na podlagi merjenja zvočnega tlaka v gluhi sobi na oddaljenosti 50 cm od

vira. Za zajem in obdelavo meritev smo uporabljali lastno programsko kodo, ki upošteva tudi

korekcijo A-uteženja ravni zvočnega tlaka. S posamezno meritvijo ob različnem PWM

vzbujanju pridobimo spekter ravni zvočnega tlaka, ki prikazuje frekvenčno vsebnost stranskih

harmonikov PWM v hrupu. Ugotovimo, da se frekvenčna vsebnost PWM vzbujanja izrazi tudi

v hrupu, kjer se jakost posameznih frekvenčnih komponent v primeru interakcije z lastno

dinamiko strukture ojača.

Izvedli smo primerjavo dveh različnih PWM metod: z žagasto in trikotno nosilno

napetostjo. Za vsako metodo smo izvedli meritve pri različnih PWM vzbujanjih, kjer smo

spreminjali preklopne frekvence od 400 Hz do 20 kHz. Popačenost vzbujalnega toka se z

večanjem preklopne frekvence manjša [4], meritve celotne ravni zvočnega tlaka pa so razvidne

na sliki 5. Obe PWM metodi generirata enako osnovno frekvenčno komponento, razlikujejo

pa se njuni stranski preklopni harmoniki. Razviden je znaten vpliv izbire PWM metode in

preklopne frekvence na zmanjševanje hrupa, saj je razlika v celotni ravni zvočnega tlaka lahko

tudi do 25 dB(A). Pri vzbujanju s trikotno PWM se izničijo vsi lihi preklopni harmoniki, kar

v večjem delu izbire preklopnih frekvenc rezultira v manjšo celotno raven zvočnega tlaka.

Kljub temu obstajajo območja, kjer je boljša izbira žagasta PWM metoda. Na zmanjševanje

magnetnega izvora hrupa vplivamo tako z metodo PWM, kot tudi s preklopno frekvenco.

Page 111: Zbornik del

Kuhljevi dnevi 2016

- 104 -

Slika 5: Celotna raven zvočnega tlaka za dve PWM metodi in različne preklopne frekvence.

4 Zaključek

V prispevku smo pokazali postopek vrednotenja magnetnih sil in magnetnega hrupa, ki se

pojavi pri elektronsko komutiranih motorjih zaradi vzbujanja statorskih navitij s PWM.

Predstavili smo namensko izdelano enoto za vzbujanje in merjenje odziva, ki omogoča ločeno

obravnavo samo magnetnega izvora hrupa. Omenjena enota je sestavljena iz vseh glavnih

sestavnih delov motorja in omogoča primerjavo frekvenčne vsebnosti tako na strani vzbujanja,

kot tudi na strani odziva. Glavna prednost predstavljene enote v primerjavi z dejanskimi

motorji je eliminacija aerodinamičnih in mehanskih virov hrupa, kar dosežemo s fiksnim

vpetjem rotorja med izvajanjem meritev. Na ta način lahko natančno okarakteriziramo vpliv

različnih PWM vzbujanj na magnetni izvor hrupa, ki ga oddaja motor.

Napajanje vzbujevalnega navitje na enoti za vzbujanje in merjenje odziva smo izvajali s

precizno generirano PWM. Celotno merilno verigo smo izdelali samostojno, tako da smo smo

imeli kontrolo nad vsemi koraki generiranja PWM. S pomočjo natančno generiranega PWM

vzbujanja in uporabo omenjenih lastnosti enote za vzbujanje in merjenje odziva smo izvedli

primerjavo dveh različnih PWM metod pri različnih preklopnih frekvencah. Na podlagi

eksperimentalnih rezultatov je razviden velik vpliv strukturne dinamike na magnetni izvor

hrupa. Ugotovimo, da na zmanjšanje magnetnega izvora hrupa vplivamo tako z izbiro PWM

metode in preklopne frekvence, kot tudi s spreminjanjem strukturne dinamike.

Page 112: Zbornik del

Kuhljevi dnevi 2016

- 105 -

Literatura

[1] D. Miljavec and P. Jereb, Električni stroji: temeljna znanja, 3. izdaja. Ljubljana, 2014.

[2] J. T. Boys and P. G. Handley, “Harmonic analysis of space vector modulated PWM

waveforms,” IEE Proc. B Electr. Power Appl., vol. 137, p. 197, 1990.

[3] P. Pellerey, V. Lanfranchi, and G. Friedrich, “Coupled Numerical Simulation Between

Electromagnetic and Structural Models. Influence of the Supply Harmonics for

Synchronous Machine Vibrations,” IEEE Trans. Magn., vol. 48, no. 2, pp. 983–986,

2012.

[4] J. Slavič, M. Javorski, J. Luznar, G. Čepon, and M. Boltežar, “Magnetostrictive and

Magnetic Sources of Noise in the Electric Motors,” in SAE Technical Paper 2016-01-

1838, 2016.

[5] J. Sun, “Pulse Width Modulation,” in Dynamics and Control of Switched Electronic

Systems, New York, USA, 2012, pp. 451–487.

[6] A. C. Binojkumar, B. Saritha, and G. Narayanan, “Acoustic Noise Characterization of

Space-Vector Modulated Induction Motor Drives — An Experimental Approach,”

IEEE Trans. Ind. Electron., vol. 62, no. 6, pp. 3362–3371, 2015.

[7] K. Kasper, S. Fingerhuth, M. Klemenz, J. Fiedler, R. W. De Doncker, and M. Vorlnde,

“Psychoacoustic Quantities and their Relevance for Sound-Quality Optimisation of

Switched Reluctance Machines,” in Eupean Conference on Power Electronics and

Applications, 2005.

[8] J. T. Boys and P. G. Handley, “Spread spectrum switching: low noise modulation

technique for PWM inverter drives,” IEE Proc. B Electr. Power Appl., vol. 139, no. 3,

p. 252, 1992.

[9] A. Tilli and A. Tonielli, “Sequential design of hysteresis current controller for three-

phase inverter,” IEEE Trans. Ind. Electron., vol. 45, no. 5, pp. 771–781, 1998.

[10] M. Trzynadlowski, F. Blaabjerg, J. K. Pedersen, R. L. Kirlin, and S. Legowski,

“Random Pulse Width Modulation Techniques for Converter-Fed Drive Systems - A

Review,” IEEE Trans. Ind. Appl., vol. 30, no. 5, pp. 1166–1175, 1994.

Page 113: Zbornik del

Kuhljevi dnevi 2016

- 106 -

[11] J. Y. Chai, Y. H. Ho, Y. C. Chang, and C. M. Liaw, “On acoustic-noise-reduction

control using random switching technique for switch-mode rectifiers in PMSM drive,”

IEEE Trans. Ind. Electron., vol. 55, no. 3, pp. 1295–1309, 2008.

[12] R.L. Kirlin, S. Kwok, S. Legowski, and a M. Trzynadlowski., “Power Spectra of a

PWM Inverter with Randomized Pulse Position,” IEEE Trans. Power Electron., vol. 9,

no. September, pp. 463–472, 1994.

[13] K.-S. Kim, Y.-G. Jung, and Y.-C. Lim, “A New Hybrid Random PWM Scheme,” IEEE

Trans. Power Electron., vol. 24, no. 1, pp. 192–200, 2009.

[14] M. Aguirre, P. Madina, J. Poza, A. Aranburu, and T. Nieva, “Analysis and comparison

of PWM modulation methods in VSI-Fed PMSM drive systems,” Proc. - 2012 20th

Int. Conf. Electr. Mach. ICEM 2012, pp. 851–857, 2012.

[15] J. R. Mevey, “Sensorless Field Oriented Control of Brushless Permanent Magent

Synchronous Motors,” Kansas State University, 2006.

[16] N. Mohan, T. M. Undeland, and W. P. Robbins, Power Electronics. 1995.

Page 114: Zbornik del

SLOVENSKO DRUŠTVO ZA MEHANIKO SREČANJE KUHLJEVI DNEVI 2016

CFD analiza dispergiranja zraka v posodi s tristopenjskim mešalom na meji poplavnega stanja

I. Matijević1,2 in A. Bombač1

CFD analysis of air dispersing in a mixing vessel stirred with three stage impeller near flooding condition

Povzetek. V prispevku je predstavljen CFD izračun dispergiranja zraka v mešalni posodi s tremi različnimi mešali. Mešala premera 225 mm, nameščena v mešalni posodi, so sledeča: spodnje radialno mešalo ABT, srednje turbinsko mešalo 6PBT45 in zgornje aksialno mešalo 3SHP1. Za obravnavo dvofaznega toka je uporabljen Eulerjev model in model porazdelitve velikosti mehurčkov (PBM ali Population Balance Model). Primerjamo rezultate pridobljene s CFD simulacijo in eksperimentom.

Abstract. The paper represents air dispersing two-phase CFD calculation in a stirred vessel with a three-stage impeller. A mixing vessel was equipped with 225 mm diameter impellers. Radial impeller ABT was installed in a lower part, 6PBT45 impeller in a middle and axial impeller 3SHP1 in the upper part of mixing tank. For prediction of flow field, we used Euler model and Population Balance Model. Results have been compared with data obtained from CFD simulation and experiment.

1 Uvod

V prispevku so predstavljene karakteristike CFD izračuna pri dispergiranju zraka v vodo. Simuliramo dvofazno mešanje v mešalni posodi premera 450 mm s tri stopenjskim mešalom. Opravljeni so bili eksperimenti z vidika moči pri dispergiranju[9], časov pomešanja[1,3] in nastanka poplavnega stanja različnih mešal[10]. V obravnavani mešalni posodi gre za kombinacijo treh različnih mešal, ki povzročajo radialen, kombiniran in aksialen iztok iz mešala. V procesih mešanja se radialna mešala uporabljajo predvsem za dispergiranje plina v kapljevino, aksialna pa za mešanje suspenzij npr. barve, kalcijevo-karbonatna polnila itd.. Zgornje aksialno mešalo tipa Scaba (3SHP1) je uporabljeno za cirkulacijo kapljevine[14], srednje je mešalo s šestimi lopaticami z nagibom 45° (6PBT45) za namen cirkulacije in dispergiranja plina[8] ter spodnje radialno diskasto mešalo z asimetrično zapognjenimi lopaticami (ABT), ki zagotavlja dispergiranje večjih količin plina[23]. Hidrodinamski režim je potekal pri konstantni vrtilni frekvenci mešala 178 vrt/min (Fr = 0,2) in stalnem pretoku zraka 28,3 mn3/h (Fl = 0,23)[15]. CFD simulacija je omogočila vpogled v tokovno polje pri

1 Univerza v Ljubljani, Fakulteta za strojništvo, Laboratorij za dinamiko fluidov in termodinamiko 2 Calcit d.o.o., Proizvodnja kalcitnih polnil, Stahovica 15, 1242 Stahovica

Page 115: Zbornik del

Kuhljevi dnevi 2016

- 108 -

dispergiranju večje količine zraka v kapljevino, porazdelitev in delež plinaste faze pri dispergiranju zraka v kapljevino in porabo energije pri dispergiranju. Izračun je bil opravljen s programsko opremo ANSYS FLUENT 16.2 znotraj LFDT na HPC postaji Prelog s 768 jedri na Fakulteti za strojništvo v Ljubljani.

2 Definicija naloge 2.1 Opis mešalne posode

Mešalna posoda premera T = 450 mm ima ravno dno z zaobljenimi robovi in štiri motilnike toka, višina polnitve z vode je bila H = 910 mm. Namestitev spodnjega mešala je bila c = 150 mm od dna posode, razdalja med mešali 280 mm in višina namestitve dispergirnega obroča 75 mm. Dispergirni obroč je imel na spodnji strani 68 šob premera 3 mm. Mešala so pritrjena na gred, ki se vrti s kotno hitrostjo 𝜔𝜔 = 2𝜋𝜋𝜋𝜋 = 18,64 s−1 (178 vrtljajev na minuto) pri tem je Fr = 0,2 in pretoku zraka, skozi luknje dispergirnega obroča, 28,3 mn

3/h (Fl = 0,23). Obravnavamo mešanje in dispergiranje zraka s tristopenjskim mešalom, ki ga tvorijo: spodnje mešalo je radialno z asimetričnimi lopaticami (ABT)[23], nad njim je nameščeno turbinsko mešalo s šestimi lopaticami z nagibom 45° (6PBT45) in zgornje hydrofoil mešalo s tremi lopaticami tipa Scaba (3SHP1). Vsa mešala so prikazana na sliki 3. Volumen vode v posodi je enak 𝑉𝑉0 = 0,144 𝑚𝑚3.

3 Modelske enačbe 3.1 Eulerjev model obravnave dveh faz Za obravnavo dvofaznega toka, to je dispergiranja zraka v vodi, je uporabljen Eulerjev model, ki ga zasledimo v številnih delih[1,5-7,19,22]. Spodnja enačba predstavlja zakon o ohranitvi mase oz. kontinuitetno enačbo faze q:

𝜕𝜕(𝛼𝛼𝑞𝑞𝜌𝜌𝑞𝑞)𝜕𝜕𝜕𝜕

+ 𝛻𝛻 ∙ (𝛼𝛼𝑞𝑞𝜌𝜌𝑞𝑞𝑣𝑣𝑞𝑞 ) = 0 (1)

kjer 𝑣𝑣𝑞𝑞 predstavlja hitrost q-te faze. Enačba za ohranitev gibalne količine faze q se glasi: 𝜕𝜕𝛼𝛼𝑞𝑞𝜌𝜌𝑞𝑞𝑣𝑣𝑞𝑞

𝜕𝜕𝜕𝜕+ 𝛻𝛻 ∙ 𝛼𝛼𝑞𝑞𝜌𝜌𝑞𝑞𝑣𝑣𝑞𝑞 𝑣𝑣𝑞𝑞 = −𝛼𝛼𝑞𝑞𝛻𝛻𝛻𝛻 + 𝛼𝛼𝑞𝑞𝛻𝛻 ∙ 𝜏𝜏 + 𝛼𝛼𝑞𝑞𝜌𝜌𝑞𝑞𝑔 (2)

kjer je 𝜏𝜏 tenzor napetosti q-te faze. Porazdelitev volumskega deleža faze q zapišemo z: 𝜕𝜕𝛼𝛼𝑞𝑞𝜕𝜕𝜕𝜕

+ 𝛻𝛻 ∙ (𝛼𝛼𝑞𝑞𝑣𝑣𝑞𝑞 ) = 0 (3)

3.2 Model porazdelitve velikosti mehurčkov Za obravnavo porazdelitve velikosti mehurčkov smo uporabili enačbo ravnotežne porazdelitve (Population Balance Equation ali PBE)[12]. Izbrali smo homogeno diskretno metodo v kateri je populacija mehurčkov diskretizirana v končno število delcev in vsi razredi v katerih so porazdeljeni mehurčki pripadajo samo eni fazi (v primeru nehomogene metode temu ni tako). Ta pristop je uporaben, ko so znane velikosti obravnavanih delcev, v tem primeru premeri mehurčkov[12]. Enačbo ravnotežne porazdelitve zapišemo v sledeči obliki:

𝜕𝜕(𝑛𝑛(𝑉𝑉, 𝑡𝑡))𝜕𝜕𝑡𝑡

+ 𝛻𝛻 ∙ 𝑣𝑣𝑞𝑞 𝑛𝑛(𝑉𝑉, 𝑡𝑡) + 𝛻𝛻𝑣𝑣 ∙ 𝐺𝐺𝑣𝑣𝑛𝑛(𝑉𝑉, 𝑡𝑡) =12 𝑎𝑎(𝑉𝑉 − 𝑉, 𝑉)𝑉𝑉

0𝑛𝑛(𝑉𝑉 − 𝑉, 𝑡𝑡)𝑛𝑛(𝑉, 𝑡𝑡)𝑑𝑑𝑉

−∫ 𝑎𝑎𝑉𝑉, 𝑉∞0 𝑛𝑛(𝑉𝑉, 𝑡𝑡)𝑛𝑛𝑉, 𝑡𝑡𝑑𝑑𝑉 + ∫ 𝛻𝛻𝑔𝑔𝑉𝛺𝛺 𝛽𝛽𝑉𝑉|𝑉𝑛𝑛𝑉, 𝑡𝑡𝑑𝑑𝑉 − 𝑔𝑔(𝑉𝑉)𝑛𝑛(𝑉𝑉, 𝑡𝑡) (4)

Page 116: Zbornik del

Kuhljevi dnevi 2016

- 109 -

kjer 𝑛𝑛 predstavlja povprečno število mehurčkov na enoto volumna, 𝐺𝐺𝑣𝑣 hitrost rasti glede na volumen mehurčka, 𝑔𝑔𝑉 frekvenco trganja mehurčkov volumna 𝑉, 𝛽𝛽𝑉𝑉|𝑉 gostoto porazdelitve verjetnosti mehurčkov, ki se iz volumna 𝑉𝑉 raztrgajo v volumen 𝑉 in 𝑎𝑎𝑉𝑉, 𝑉 zmnožek frekvence trkov in verjetnosti koalescence mehurčkov volumna 𝑉𝑉 z mehurčki volumna 𝑉.

f1 f2 fm

razredi so med seboj povezani z razpadi, aglomeracijo mehurčkov

na vse velikostne razrede vpliva enaka fazna hitrost

Slika 1: Prikaz delovanja homogene diskretne metode [12]

V literaturi najdemo dela[17,18,19,20] s PBE obravnavo, ki v primeru predvsem manjših mehurčkov podaja dobro ujemanje z izmerjenimi vrednostmi.

4 Numerična simulacija Enačbe (1-4) rešujemo z metodo končnih volumnov s programskim paketom ANSYS FLUENT 16.2. Statični del mreže je v vseh predstavljenih izračunih enak in vsebuje 911.067 celic v obliki tetraedrov (Slika 2).

Slika 2: Računska mreža mešalne posode Dinamični del računske mreže zajema posamična uporabljena mešala: ABT mešalo – slika 3 (desno) z 259.488 tetraedri, mešalo 6PBT45 – slika 3 (sredina) s 191.800 tetraedri in mešalo 3SHP1 - slika 3 (levo) z 225.224 tetraedri. Kvaliteto računske mreže smo preverili s programoma Icem CFD in Ansys Fluent 16.2 in dobili vrednost maksimalne asimetričnosti celic, ki znaša 8,7·10-1. Osnovno pravilo je, da mora biti maksimalna asimetričnost celic pri tetraedrični mreži manjša od 9,5·10-1 za večino obravnavanih tokov[12]. Asimetričnost celice predstavlja razliko med obliko obravnavane celice in obliko enakostranične celice enakovrednega volumna. Za podobne dvofazne simulacije mešanja (podobno št obratov pri dispergiranju plinaste faze) se uporabljajo mreže s številom celic od 0,6 - 2,0·106 celic[13,14].

Page 117: Zbornik del

Kuhljevi dnevi 2016

- 110 -

Pri reševanju vseh transportnih enačb je bila uporabljena krajevna diskretizacija prvega reda (npr. privetrna shema 1. reda za konvektivni člen). Za sklopitev tlačnega in hitrostnega polja je bila uporabljena shema SIMPLE. Časovna diskretizacija je t.i. popolnoma implicitna, torej 1. reda.

Slika 3: Računske mreže mešal: Scaba (levo), dinamični del za RuT (sredina) in ABT (desno)

Ker so diskretizacije 2. reda in višje bolj natančne tudi težje konvergirajo. Pri simulaciji je bolje začeti z nižjim redom diskretizacije in po potrebi nadaljevati z diskretizacijami višjega reda. Rezultati, ki smo jih dobili so zadovoljivi zato z diskretizacijo 2. reda nismo nadaljevali. Začetno stanje za oba pristopa izračunamo z ustaljenim MRF pristopom (mešanje kapljevine). Na vseh stenah je hitrost tekočine enaka hitrosti stene (zdrsa ni), pri reševanju enačb turbulence pa smo uporabili prilagodljive (angl. scalable) stenske funkcije. Ko je bilo doseženo ustaljeno stanje, pri mešanju kapljevine, smo po 13000 iteracijah nastavili časovno odvisen ali tranzienten izračun in nadaljevali z dvofaznim Eulerjevim modelom Eu/Eu v povezavi z MRF. Z diskretno metodo v modelu porazdelitve velikosti mehurčkov smo porazdelili mehurčke. V prvi simulaciji smo zajeli mehurčke v velikosti 2 do 12 mm, v drugi 2 do 6 mm, v tretji 1 do 4 mm, v četrti 4 mm in v zadnji 3 mm. Izbor velikosti mehurčkov temelji na izkustveni domeni saj je v izbranem hidro dinamskem režimu (Fr = 0,2 in Fl = 0,2) zelo velik vnos plinaste faze glede na obstoječo črpalno zmogljivost mešal ki jo pogojuje nizka vrtilna frekvenca mešal[15]. Pri izračunih smo uporabili standardni model turbulence ''Standard k-ε'', ki je najpogosteje v uporabi in je stabilen tudi v režimih z velikim deležem plinaste faze. Poleg tokovnih polj so nas zanimale tudi vrednosti vrtilnega navora 𝑀𝑀 mešalne gredi pri konstantni vrtilni frekvenci mešala n = 178 min-1. Iz vrtilnega navora in vrtilne frekvence smo izračunali moč za premagovanje tlačnih in viskoznih sil pri gibanju v dvo-faznem sistemu.

5 Rezultati 5.1 CFD izračun moči pri dispergiranju zraka v mešalni posodi

Moč mešanja P predstavlja zmnožek kotne hitrosti 𝜔𝜔 = 2 𝜋𝜋 n [rad/s] in vrtilnega momenta M [Nm]. Režim mešanja pri dispergiranju zraka v vodo je turbulenten. V tabeli 1 so prikazane vrednosti vrtilnega momenta in moči pri dispergiranju zraka za različne razrede premerov mehurčkov.

Tabela 1: Tabela izračunanih vrtilnih momentov in moči Velikost mehurčkov

[mm] Število razredov

[/] M

[Nm] PCFD [W]

(PCFD-Pmer,LFDT)/Pmer,LFDT [/]

1,2 - 12 6 2,54 47,35 0,0118 2 - 6 4 2,37 44,21 -0,0553

Page 118: Zbornik del

Kuhljevi dnevi 2016

- 111 -

1 - 4 3 2,61 48,68 0,0402 4 1 2,53 47,12 0,0068 3 1 2,48 46,21 -0,0126

Izmerjena moč mešanja, v laboratoriju za dinamiko fluidov in termodinamiko (LFDT) na Fakulteti za strojništvo v Ljubljani, pri dispergiranju v omenjenem hidrodinamskem režimu je znašala Pmer2F,LFDT = 46,8 W[15]. V tabeli 1 je razvidno, da je odstopanje PCFD od Pmer najmanjše pri dispergiranju 4 mm mehurčkov v vodo in sicer 0,68 % moč dispergiranja pa je bila najnižja pri dovajanju 2 – 6 mm mehurčkov v mešalno posodo. Pri vseh velikostih mehurčkov gre za razmeroma nizka odstopanja izračunane moči od izmerjenih vrednosti.

5.2 CFD izračun deleža plinaste faze pri dispergiranju zraka v mešalni posodi

Delež plinaste faze izrazimo z integracijo po volumnu kapljevine [12]:

αGCFD = 1𝑉𝑉 ∫ 𝛼𝛼𝑑𝑑𝑉𝑉 = 1

𝑉𝑉∑ 𝛼𝛼𝑖𝑖|𝑉𝑉𝑖𝑖|𝑛𝑛𝑖𝑖=1 (5)

Izmerjeni globalni delež plinaste faze αg,mer,LFDT = 10,85 % je bil merjen po metodi spremembe gladine αg,mer,LFDT = (Hg - H)/Hg pri dispergiranju zraka v vodo v LFDT[15]. Primerjavo izračunanih αg,CFD in izmerjenih αg,mer,LFDT vrednosti podaja tabela 2:

Tabela 2: Tabela izračunanih in izmerjenih globalnih deležev plinaste faze. Premer mehurčkov

[mm] αg,CFD [%]

αg,mer,LFDT [%]

(αg,CFD- αg,mer,LFDT)/ αg,mer,LFDT [%]

1,2 - 12 5,91 10,85 -45,5 2 - 6 9,70 10,85 -10,59 1 - 4 10,53 10,85 -2,94

4 10,51 10,85 -3,13 3 11,44 10,85 5,58

V primeru izračuna, z mehurčki velikosti 1,2 – 12 mm, opazimo največje odstopanje od izmerjenega deleža. Z zmanjševanjem premerov mehurčkov smo dobili ustreznejše globalne deleže plinaste faze. V primerih z mehurčki 1 – 4 mm in 4 mm se izračunani globalni deleži dobro ujemajo z meritvami.

5.3 Tokovna polja pri dispergiranju zraka

V nadaljevanju so prikazani povprečni premeri mehurčkov in deleži plinaste faze pri dispergiranju zraka v vodo. Na desni strani slik so prikazani deleži plinaste faze v presečni ravnini med motilniki toka mešalne posode. Rdeča barva predstavlja plinasto fazo (1) temno modra kapljevino (2), črno obarvani vektorji so vektorji hitrosti plinaste faze. Na sliki 4 (levo) vidimo zbiranje večjih mehurčkov okoli srednjega in zgornjega mešala ter gredi. Pri dnu mešalne posode so opazni manjši mehurčki. Slika 4 (desno) potrjuje, da se plinasta faza zbira v predelu med srednjim in zgornjim mešalom. Na sliki 5 (levo) se večji mehurčki zbirajo v bližini zgornjega mešala in nad njim ter plinasta faza (desno) boljše porazdeli po prerezu. Slike

Page 119: Zbornik del

Kuhljevi dnevi 2016

- 112 -

6 do 8 imajo mehurčke porazdeljene zelo dobro po celotnem prerezu. Še posebej pri mehurčkih velikosti 3 in 4 mm vidimo dobro iztekanje plinaste faze iz mešal.

Slika 4: Povprečna velikost mehurčkov (levo) in delež plinaste faze (desno) pri velikosti mehurčkov 1,2 do 12 mm

Slika 5: Povprečna velikost mehurčkov (levo) in delež plinaste faze (desno) pri velikosti mehurčkov 2 do 6 mm

Page 120: Zbornik del

Kuhljevi dnevi 2016

- 113 -

Slika 6: Povprečna velikost mehurčkov (levo) in delež plinaste faze (desno) pri velikosti mehurčkov 1 do 4 mm

Slika 7: Povprečna velikost mehurčkov (levo) in delež plinaste faze (desno) pri velikosti mehurčkov 4 mm

Slika 8: Povprečna velikost mehurčkov (levo) in delež plinaste faze (desno) pri velikosti mehurčkov 3 mm

6 Zaključki

Obravnavana je bila CFD analiza dispergiranja zraka v posodi s tristopenjskim mešalom na meji poplavnega stanja. Uporabljen je bil Eulerjev model obravnave faz Eu/Eu in model porazdelitve mehurčkov PBM. Izračunane moči in globalnih deležev plinaste faze se predvsem pri simulacijah z mehurčki manjših premerov dobro ujemajo z izmerjenimi vrednostmi. Porazdelitev plinaste faze in velikost mehurčkov v vertikalni r-z ravnini je nazorna in se dobro ujema z vizualnim opazovanjem[21]. CFD izračuni moči in globalnega deleža plinaste faze se dobro ujemajo z eksperimentalni rezultati predvsem pri razredih z manjšimi mehurčki premerov: 1-4 mm, 4 mm in 3 mm, kar potrjujejo tudi dela drugih avtorjev. Pri izračunu z razredom mehurčkov 1,2 - 12 mm je tik ob gredi mešala zaznati preveliko koncentracijo zraka, plinasta faza je zelo neenakomerno dispergirana v kapljevino. CFD izračun smo izvajali s 36 jedri na HPC strežniku Prelog in pri tem porabili 320 h za izračun vseh kombinacij.

Page 121: Zbornik del

Kuhljevi dnevi 2016

- 114 -

Literatura

[1] Bombač A., Beader D., Žun I., Mixing Times in a Stirred Vessel with a Modified Turbine, Acta Chim. Slov., 59, 707--721, 2012

[2] Bombač, A. Effects of geometrical parameters on Newton number in an aerated stirred tank, StrojV-J.Mech.Engng, 44, 3,105-116, 1998

[3] Matijević, I., Bombač, A., Mencinger, J., Žun, I. Primerjava izračunanih časov pomešanja za dve mešali z dvema računskima metodama. Kuhljevi dnevi 2013, Rogaška Slatina, 25.-26. september, 2013. HRIBERŠEK, Matjaž (ur.), RAVNIK, Jure (ur.). Zbornik del. Ljubljana: SDM,113-120, 2013

[4] Basara, B., Alajbegovic, A., Beader, D. Simulation of single- and two-phase flows on sliding unstructured meshes using finite volume method INTERNATIONAL JOURNAL FOR NUMERICAL METHODS IN FLUIDS 45, 10, 1137-1159, 2004

[5] Taghavi, M., Zadghaffari, R., Moghaddas, J., Moghaddas, Y. Experimental and CFD investigation of power consumption in a dual Rushton turbine stirred tank. Chem. Engng. Res. Des., 89, 280–290, 2011

[6] Joshi, J. B., Nere, N. K., Rane, C.V., Murthy, B. N., Mathpati, C. S., Patwardhan, A.W., Ranade, V. V. CFD Simulation of stirred Tanks: Comparison of turbulence models. Part I, Radial flow impellers. Can. J. Chem. Engng., 89, 23–82, 2011

[7] Ochieng, A., Onyango, M. S., Kumar, A., Kiriamiti, K., Musonge, P., Mixing in a tank stirred by a Rushton turbine at a low clearance. Chem. Engng. Proc., 47, 842–851, 2008

[8] Edward L. P., V.A. Atiemo-Obeng, S.M. Kresta, Handbook of industrial mixing,science and practice, JW&Sons, Hoboken, 2004

[9] Bombač, A., Vidic, M., Cotič, M. Analiza osnovnih karakteristik pri mešanju vode in dispergiranju zraka na industrijskem fermentorju in modelni napravi. Ljubljana: Fakulteta za strojništvo, LFDT, 2014

[10] Bombač, A., Vidic, M., Plut, M. Analiza osnovnih karakteristik pri mešanju vode in dispergiranju zraka z enim mešalom na modelni napravi : poročilo. Ljubljana: Fakulteta za strojništvo, Laboratorij za dinamiko fluidov in termodinamiko, 2015

[11] Bombač, A., Vidic, M., Plut, M. Analiza osnovnih karakteristik pri mešanju in dispergiranju zraka s tristopenjskim mešalom na modelni mešalni napravi : poročilo. Ljubljana: Fakulteta za strojništvo, Laboratorij za dinamiko fluidov in termodinamiko, 2015

[12] Ansys Inc., Ansys Fluent Theory guide, Release 14.0, 2011 [13] Xia, Jian-Ye, Wang, Yong-Hong, Zhang, Si-Liang, Ning Chen, Peng Yin, Ying-Ping Zhuang, Ju Chu. Fluid

dynamics investigation of variant impeller combinations by simulation and fermentation experiment. Biochemical Engineering Journal 43, 3, 252-260, 2009

[14] Bao, Y., Wang, B., Lin, M., Gao Z., Yang, J., Influence of impeller diameter on overall gas dispersion properties in a sparged multi-impeller stirred tank. Chin. J. Chem. Eng. 23, 4, 615-622, 2015

[15] Bombač, A., Matijević, I., Dispergiranje zraka v posodi z mešali pri velikem pretoku zraka. Ventil, v tisku 2016

[16] Stenmark E. On Multiphase Flow Models in ANSYS CFD Software. Master’s Thesis in Applied Mechanics, Chalmers University of Technology, Göteborg, 2013

[17] Montante, G.; Horn, D.; Paglianti, A. Gas-liquid flow and bubble size distribution in stirred tanks. Chem.Eng.Sci. 63, 8, 2107-2118, 2008

[18] Kerdouss F., Bannari A. Proulx, P. CFD modeling of gas dispersion and bubble size in a double turbine stirred tank Chem.Eng.Sci. 61, 10, 3313-3322, 2006

[19] Petitti M., Nasuti A., Marchisio, D.L., Vanni M., Baldi G. Bubble Size Distribution Modeling in Stirred Gas-Liquid Reactors with QMOM Augmented by a New Correction Algorithm. AIChE J. 56, 1, 6-53, 2010

[20] Pakzad, L., Ein-Mozaffari, F., Upreti, Simant R., Evaluation of the mixing of non-Newtonian biopolymer solutions in the reactors equipped with the coaxial mixers through tomography and CFD. Chem.Eng.J. 215, 279-296, 2013

[21] M. Cotič, U. Kočevar, A. Bombač, Eksperimentalna določitev premerov mehurčkov pri dispergiranju zraka v posodi s tristopenjskim mešalom, za objavo na KD 2016

[22] Devi, T.T., Kumar, B. Comparison of flow patterns of dual rushton and CD-6 impellers. Theoretical Foundations Of Chemical Engineering 47, 4, 344-355, 2013

[23] Bombač A., Diskasto mešalo z asimetrično zapognjenimi lopaticami. Patent SI 24012 (A), 2013-09-30. Ljubljana: Ministrstvo za gospodarski razvoj in tehnologijo, Urad RS za intelektualno lastnino, 2013

Page 122: Zbornik del

SLOVENSKO DRUSTVO ZA MEHANIKO

SRECANJE KUHLJEVI DNEVI 2016

Dolocitev faktorja koncentracije napetosti s pomocjoekvivalentnih lastnih deformacij

G. Mejak1

Determination of the stress intensity factor by the equivalenteigenstrain method

Povzetek. Predstavljen je nov nacin izracuna faktorja koncentracije napetosti, ki temelji na metodiekvivalentne lastne deformacije. Vsaki razpoki obmocja je prirejena lastna deformacija definiranana okolici razpoke. Vrednosti teh neznanih lastnih deformacij doloca princip ekvivalentne lastnedeformacije. Prirejena variacijska formulacija nato omogoca priblizni izracun iskanih lastnih de-formacij s pomocjo katerih je dolocena deformacija v okolici razpoke in s tem tudi iskani faktorjikoncentracije napetosti. Za testni primer je izracunana koncentracija napetosti za dobro znan primerdveh kolinearnih razpok. Na koncu so podane smernice za nadalnji razvoj metode.

Abstract. A new approach for computation of the stress intensity factor is given. It is based onthe principle of the equivalent eigenstrains. To each crack is associated an unknown eigenstrainthat is determined by the variational formulation of the equivalent eigenstrain principle. This allowsan approximative determination of the eigenstrains and hence also stress intensity factors. As a testproblem a well known example of two collinear cracks is solved. Discussion how to further elaboratethe method is also given.

1 Uvod

Faktor koncentracije napetosti je za dolocanje nadaljnega sirjenja razpoke izredno pomemben.Znano je, tu mislimo na linearno mehaniko loma, da je na konici razpoke napetostno poljesingularno, tocneje, da je reda O(1/

√r), kjer je r razdalja do konice razpoke, [1]. Poznamo

tri faktorje, tako imenovane K faktorje KI , KII in KIII , ki pripadajo razlicnim nacinom odprtjarazpoke. Normalnemu odprtju pripada faktor KI , dvema striznima pa KII in KIII . V prispevkuse bomo omejili na KI , ki je definiran s

KI = limr→0

√2πr σn, (1)

1 Univerza v Ljubljani, Fakulteta za matematiko in fiziko

Page 123: Zbornik del

Kuhljevi dnevi 2016

kjer je σn normalna napetost na konici razpoke. Faktorji koncentracije napetosti so tako odvisniod napetostnega polja, to je pa odvisno od predpisanih napetosti na robu obmocja in njegovemikrogeometrije. Tu imamo v mislih predvsem obmocje z vecimi razpokami in posledicnointerakcije med njimi. Dolocitev faktorjev koncentracije napetosti za konkretni primer obre-menitve in razporeditve razpok tako zahteva natancen izracun napetostnega stanja, v okolicikonic razpok lokalno se posebej natancno tako, da ima (1) koncno nenicelno limito. Polegkonkretnih primerov pa nas zanimajo tudi tipicni primeri interakcije med razpokami, kjer raz-poke obravnavamo v neskoncnem obmocju s predpisanimi homogenimi makro robnimi pogojiv neskoncnosti. Poznavanje teh tipicnih primerov nam potem omogoca oceno faktorja kon-centracije napetosti v konkretnih inzenirskih primerih, kjer zaradi obseznosti problema dovoljtocen izracun napetostnega stanja ni mogoc v realnem casu.

Osnovni tipicni primer sta dve kolinearni razpoki, glej sliko 1. Primer ima zaradi svoje eno-stavne oblike celo analiticno resitev [2]. Za bolj kompleksno konfiguracijo razpok v ravnini paje dobro poznana Kacanova metoda [3] in njena izboljsana varianta [4]. Vsi omenjeni izracunitemeljijo na uporabi kompleksne analize in so tako omejeni na ravninsko konfiguracijo razpokoziroma na ravninsko napetostno stanje. Nasa metoda, ki temelji na uporabi lastnih deformacijteh omejitev ne pozna. Kot pa bomo videli, je pri majhni razdalji med razpokama manj tocna.

2a 2a

d

x

y

Slika 1 : Kolinearni razpoki.

2 Princip ekvivalentne lastne deformacije

Naj bodo v elasticnem prostoru R3 z elasticnim tenzorjem C0

podane elasticne heterogenosti Ωi,i = 1, . . . ,n z elasticnimi tenzorji C

i. Tu privzemamo, da imajo Ωi nenicelen volumen. Princip

ekvivalentne lastne deformacije pravi [6], da je za napetost na heterogenostih velja enakost

Ci: e =C

0:(

e− ε∗), i = 1, . . . ,n, (2)

- 116 -

Page 124: Zbornik del

Kuhljevi dnevi 2016

kjer je ε∗ tenzor lastnih deformacij, ki ima nosilec na heterogenostih. Naj bo na R3 predpisanamakro deformacija e

b. Potem lahko zapisemo e = e

b+e′, kjer je e′ perturbacijski deformacijski

tenzor, ki pripada homogenim pomikom v neskoncnosti. Pripadajoca ravnovesna enacba je

divC0

: (e′− ε∗) = 0 na R3. (3)

Resitev enacbe je formalno oblike e′ = Sε∗, kjer S Eshelbyjev operator. Ce vstavimo resitev v(2) dobimo enacbo

Ci:(

eb+Sε

∗)=C

0:(

eb+Sε

∗− ε∗)

na Ωi. (4)

Enacba doloca neznano lastno deformacijo, ki resi (2). Znano je [5], da je resitev enacbe ekvi-valentne lastne deformacije (4) stacionarna tocka funkcionala

I(ε∗) =∫∪iΩi

ε∗ : C

0:((C

0−C

i)−1 : C

0: ε∗−Sε

∗−2eb

)dV. (5)

V posebnem primeru, ko so heterogenosti praznine, je Ci= 0 in (5) se poenostavi v

I(ε∗) =∫∪iΩi

ε∗ : C

0:(

ε∗−Sε

∗−2eb

)dV. (6)

Praznine imajo nenicelen volumen. Do razpok pridemo sele z limitnim prehodom, ko debelinapraznin in s tem njihov volumen gresta proti nic. Kako to deluje, si bomo pogledali na primeruene same razpoke v prostoru.

2.1 Izolirana razpoka v prostoru

Naj bo I razpoka dolzine 2a v prostoru in naj bo Ω(η) krozni elipsoid z osjo simetrije v smeriI, s srediscem v srediscu razpoke in dolzinami polosi a, ηa in ηa. Ocitno v limiti η→ 0 veljaΩ(η)→ I. Dobro je znano [6], da homogena lastna deformacija na elipsoidu porodi homogenodeformacijo. Potem je S(η)ε∗ = S

0(η) : ε∗, kjer je S

0(η) Eshelbyjev tenzor elipsoidalnega

vkljucka Ω(η), ki je konstanten na Ω(η), izven vkljucka pa je funkcija polozaja. V okoliciη = 0 je S

0(η) = S0

0+ ηS1

0+ O(η2). Tu velja omeniti, da je na vkljucku S0

06= 0 in izven

vkljucka S00= 0. Direktni racun pokaze, da je tenzor I−S(η) obrnljiv za vsak 0 < η < 1

2 . Kerni obrnljiv za η = 0, na tem mestu se ne moremo postaviti η = 0, temvec moramo se naprejnamesto razpoke racunati z elipsoidom.

Enacba (4) je pri C1= 0 in konstantnem Eshelbyjevem tenzorju trivialno resljiva. Resitev je

ε∗(η) =

(I−S(η)

)−1: e

b. (7)

Za η << 1 je resitev ε∗ reda O(1/η), zato definiramo ε∗(η) = 1η

ε∗0(η) in prepisemo (4) v(

I−S00−ηS1

0+O(η2)

): ε∗0(η) = ηe

b. (8)

Enacba je oblike(9)(A0 +ηA1)x = ηb,

- 117 -

Page 125: Zbornik del

Kuhljevi dnevi 2016

kjer sta A0,A1 ∈ R6×6 in x,b ∈ R6. Ce je A0 obrnljiva, potem limη→0 x = 0. Ce pa ni obrn-ljiva, obstaja δ > 0 tako, da je A0 +ηA1 obrnljiva za vsak η ∈ (0,δ) in hkrati obstaja limitalimη→0 x = x0. V nasem primeru I− S0

0ni obrnljiv tenzor, zato po pravkar povedanem sledi,

da obstaja limη→0+ ε∗0(η) =: ε

∗0(0). Pri izracunu limite ε

∗0

lahko seveda v (8) clen O(η2) izpu-stimo. Deformacija izven razpoke je tako v limiti η→ 0, v limiti ko vkljucek postane razpoka,enaka

e(x) = eb+S1

0(x)ε∗

0(0). (10)

Postavimo x = (a+ r)i, kjer je i enotski vektor v smeri razpoke. Faktor koncentracije napetostije potem

K =C0

:(

limr→0+

√2πr e((a+ r)i)

). (11)

Direktni izracun pokaze, da je na ta nacin izracunan faktor koncentracije napetosti enak√

πa,kar se natanko ujema z dobro znano vrednostjo iz literature.

3 Dolocitev lastnih deformacij

Za dve ali vec razpok aproksimacija s homogeno lastno deformacijo ocitno ni dobra, saj sta pritej aproksimaciji faktorja koncentracije napetosti na obeh koncih razpoke enaka. Poskusimo spolinomsko aproksimacijo. Vsako razpoko oblecemo v krozni elipsoid in ji priredimo lastnodeformacijo oblike

ε∗i=

n

∑p=0

xpi ε∗p,i. (12)

Tudi sedaj smo razpoko oblekli v elipsoidni vkljucek. V primeru izolirane razpoke zato, kerje pripadajoci Eshelbyjev tenzor konstanten na elipsoidu, sedaj pa zato, ker zapis Eshelbyje-vega tenzorja v zaprti obliki dejansko poznamo samo za elipsoidalni vkljucek. Indeks i v (12)oznacuje, da gre za i-to razpoko, xi pa je pripadajoca vzdolzna koordinata razpoke. Ce je dolzinai-te razpoke 2ai ima elipsoid polosi ai, ηai in ηai. Lastna deformacija na i-tem elipsoidu porodideformacijo

e′i(x) =

n

∑p=0

Sp,i(c i− x) : ε

∗p,i, (13)

kjer je c i sredisce razpoke, Sp,i

pa Eshelbyjev tenzor i-tega elipsoida lastne deformacije xpε∗.Tenzorjem S

p,ipravimo Eshelbyjevi tenzorji reda p. Tu je S

p,i(ξ) definiran kot funkcija lokalne

koordinate ξ lokalnega kooridinatnega sistema z izhodiscem v srediscu elipsoida z osmi v sme-reh polosi elipsoida. Eshelbyjevi tenzorji so odvisni od η. Velja S

p,i= S0

p,i+ηS1

p,i+O(η2).

Celotna deformacija e′ je vsota deformacij e′i

po vseh razpokah i = 1, . . . ,m, kjer je m stevilorazpok.

Vstavimo nastavek (12) v funkcional (6). Variacija po ε∗p,i

je enaka

∂I∂ε∗

p,i

[δε∗p,i] = 2

∫Ωi

xpi δε∗p,i

: C0

:(

ε∗i− e′− e

b

)dx. (14)

- 118 -

Page 126: Zbornik del

Kuhljevi dnevi 2016

Ker je C0

obrnljiv in je variacija poljubna, so Euler-Lagrangeeve enacbe funkcionala I do veli-kostnega reda O(η) enake

0 =∫ ai

−ai

xpi

(ε∗i− e

b−

m

∑i

e′i(c i− xi e i)

)dxi, i = 1, . . . ,m (15)

Tu smo z e i zapisali enotski vektor v smeri i-te razpoke. Resitev sistema (15) potem podobnokot v primeru izolirane razpoke preko enacb (10) in (11) doloca faktorje koncentracije napetosti.

3.1 Dve kolinearni razpoki

Kako konkretno resimo sistem (15) si bomo pogledali na primeru dveh enakih kolinearnih raz-pok, glej sliko 1. Zaradi enostavnosti se omejimo na linearno aproksimacijo, n = 1. Na levirazpoki lastno deformacijo aproksimiramo z ε∗

l= ε∗

0+ x1 ε∗

1. Zaradi simetrije je potem lastna

deformacija na desni razpoki enaka ε∗r= ε∗

0− x2 ε∗

1. Tu sta x1 in x2 pripadajoci osni koordinati

razpok. Izracunajmo

∂I∂ε∗

0

[δε∗0] =

∫ a

−aδε∗0

: C0

:(

ε∗0+ x1 ε

∗1− e

b− e′

)dx1

+∫ a

−aδε∗0

: C0

:(

ε∗0− x2 ε

∗1− e

b− e′

)dx2. (16)

Stacionarni pogoj je potem

0 =∫ a

−a

(ε∗0+ x1 ε

∗1− e

b−S I

0: ε∗0−S I

1: ε∗1−SE

0((x1−d)i) : ε

∗0+SE

1((x1−d)i) : ε

∗1

)dx1

+∫ a

−a

(ε∗0− x2 ε

∗1− e

b−S I

0: ε∗0+S I

1: ε∗1−SE

0((x2 +d)i) : ε

∗0−SE

1((x2 +d)i) : ε

∗1

)dx2. (17)

Tu smo z d zapisali razdaljo med centroma razpok, indeksa I in E pri Eshelbyjevem tenzorjupa povesta, da gre za notranjo oziroma zunanjo resitev. Pri notranji resitvi zaradi enostavnostipisave nismo napisali argumenta, ki je x1i oziroma x2i. Tenzorja S I

0(x) in SE

0(x) sta sodi funkciji

argumenta x, S I1(x) in SE

1(x) pa lihi funkciji. Potem iz (17) z upostevanjem, da je integral lihe

funkcije na [−a,a] enak nic dobimo

eb= ε∗0−S I

0: ε∗0− 1

4a

∫ a

−a

(SE

0((x1−d)i) : ε

∗0−SE

1((x1−d)i) : ε

∗1

)dx1

− 14a

∫ a

−a

(SE

0((x2 +d)i) : ε

∗0+SE

1((x2−d)i) : ε

∗1

)dx2. (18)

Z upostevanjem sodosti in lihosti Eshelbyjevih tenzorjev od tod koncno sledi

eb= ε∗0−S I

0: ε∗0− 1

2a

∫ a+d

−a+dSE

0(xi)dx : ε

∗0− 1

2a

∫ a+d

−a+dSE

1(xi)dx : ε

∗1. (19)

Na podoben nacin dobimo stacionarno enacbo za variacijo po ε∗1:

eb=

13

a2ε∗1− 1

2a

∫ a

−axS I

1(xi)dx : ε

∗1+

12a

∫ a+d

−a+d(x−d)SE

0(xi)dx : ε

∗0

+12a

∫ a+d

−a+d(x−d)SE

1(xi)dx : ε

∗1. (20)

- 119 -

Page 127: Zbornik del

Kuhljevi dnevi 2016

Naprej postopamo podobno kot pri izolirani razpoki. Definiramo ε∗j= 1

ηε∗j(η), j = 1,2 in

upostavamo, da je Sp(η) = S0

p+ηS1

p+O(η2), p = 1,2. Do reda η natanko ima potem sistem

(19), (20) prav tako obliko kot sistem (9). Tudi tokrat za sistem velja, da A0 ni obrnljiva.Potemtakem resitev sistema obstaja za vsak dovolj majhen η in v limiti η→ 0 glavni del lastnedeformacije ε

∗j(η) konvergira proti ε

∗j(0). Tenzorja S0

psta izven razpoke enaka nic. Potemtakem

je deformacija izven razpoke dana z

e = eb+S1,E

0: ε∗0(0)+S1,E

1: ε∗1(0). (21)

Faktorja koncentracije napetosti v konicah razpok sta tako

K± =C0

:(

limr→0+

√2πr e(±(a+ r)i)

). (22)

Tu je K+ faktor koncentracije napetosti para bliznjih dveh konic razpok, K− pa para naspro-tnolezecih konic. Opisano aproksimacijo faktorja koncentracije razpok lahko izracunamo vzaprti obliki. Rezultat pa je zal precej zapletene oblike, zato si raje poglejmo numericne vre-dnosti v odvisnosti od δ = d/a oziroma κ = δ−2

δ+2 . Tu je κ polovicna razdalja med konicamarazpok. Rezultati so zbrani v tabelah 1 in 2. Poleg aproksimacije prvega reda sta v tabelah seaproksimaciji drugega in tretjega reda ter odsekoma linearna aproksimacija o kateri bomo vecspregovorili v naslednjem razdelku.

Tabela 1 : Faktorji koncentracije napetosti K−/√

πa, p : red aproksimacije, PL : odsekomalinearna aproksimacija, K : Kacanov rezultat [3].

κ δ p = 1 p = 2 p = 3 PL K0.2 3. 1.047 1.053 1.051 1.05 1.0520.1 2.444 1.072 1.092 1.085 1.082 1.086

0.05 2.211 1.087 1.137 1.113 1.114 1.1180.02 2.082 1.092 1.206 1.138 1.157 1.1540.01 2.04 1.086 1.268 1.145 1.189 1.175

Tabela 2 : Faktorji koncentracije napetosti K+/√

πa, p : red aproksimacije, PL : odsekomalinearna aproksimacija, K : Kacanov rezultat [3].

κ δ p = 1 p = 2 p = 3 PL K0.2 3. 1.105 1.111 1.112 1.111 1.1120.1 2.444 1.225 1.244 1.252 1.245 1.251

0.05 2.211 1.388 1.435 1.456 1.432 1.4520.02 2.082 1.659 1.767 1.829 1.756 1.8080.01 2.04 1.893 2.073 2.187 2.05 2.134

- 120 -

Page 128: Zbornik del

Kuhljevi dnevi 2016

Po pricakovanju napaka aproksimacije z manjso razdaljo med razpokama narasca in je vecjaza K+ kot za K−, z narascajocim redom aproksimacije pa napaka pada. Aproksimacija prvegareda je zadovoljiva za δ > 2.5, drugega reda za δ > 2.2, tretjega reda pa za δ > 2.1, kjer papocasi odpoveduje tudi Kacanova aproksimacije, glej [1].

4 Odsekoma linearna aproksimacija

Iz tabel 1 in 2 je razvidno, da moramo za majhno razdaljo med razpokama povecati red apro-ksimacije. Z vecjim redom Eshelbyjevih tenzorjev postaja izracun tenzorjev in posledicno in-tegracija vse bolj komplicirana, zato je na mestu vprasanje ali je mogoce lastno deformacijoaproksimirati odsekoma linearno. Tu moramo zal ugotoviti, da je mozna aproksimacija samoz linearno kombinacijo treh odsekoma linearnih funkcij, glej sliko 2. Razlog je v neaditivnostiEshelbyjevega tenzorja na prostoru odsekoma definiranih lastnih deformacij. Konkretno, najbo Ω elipsoid s polosmi a, ηa in ηa in S

apripadajoci Eshelbyjev tenzor. Razdelimo interval

[−a,a] na podintervala [−a,0] in [0,a]. Potem

Sa(x) 6= S

a/2(x− a

2i)+S

a/2(x+

a2

i), (23)

saj je Sa(xi) konstanten za x ∈ (−a,a), desna vsota v (23) pa ne. Ce bi namesto elipsoida

vzeli valj visine 2a s polmerom ηa bi v (23) veljala enakost. Vendar, nam to ne koristi, sajEshelbyjevega tenzorja za valj v zaprti obliki ne poznamo.

-a a0

h1 h3h2

Slika 2 : Bazne funkcije odsekoma linerne aproksimacije.

Poglejmo sedaj, kako kljub temu definiramo Eshelbyjev tenzor na funkcijah hi s slike 2. Defi-nirajmo prvo

S(h1ε∗)(x) =

(a2

S0, a

2−S

1, a2

)(x+

a2

i) : ε∗, S(h3ε

∗)(x) =(a

2S

0, a2+S

1, a2

)(x− a

2i) : ε

(24)in nato

S(h2ε∗)(x) =−S(h1ε

∗)(x)−S(h3ε∗)(x)+S

0,a(x) : ε

∗ (25)

Potem ocitno h1 + h2 + h3 = 1 na [−a,a] in S(h1ε∗)(x)+ S(h2ε∗)(x)+ S(h3ε∗)(x) = S0,a(x) :

ε∗ = S(ε∗)(x). Linearna kombinacija ∑3i=1 S(hiε

∗) potemtakem vsebuje deformacijo, ki pripadakonstantni lastni deformaciji in to, kot pokazejo rezultati v tabelah 1 in 2, zadostuje, da jeodsekoma linearna aproksimacija primerljiva z aproksimacijo drugega reda.

- 121-

Page 129: Zbornik del

Kuhljevi dnevi 2016

5 Zakljucek

Prikazan je nov izracun faktorja koncentracije napetosti. Metoda v primerjavi z znanimi meto-dami za primer dveh kolinearnih razpok ni izpolnila pricakovanja. Primerljive dobre rezultatelahko dobimo samo s polinomsko aproksimacijo lastnih deformacij dovolj velikega reda. Ven-dar je potem racunanje pripadajocih Eshelbyjevih tenzorjev in njihova integracija racunsko pre-cej bolj zahtevna, zato nasa metoda ni konkurencna Kacanovi metodi. Po drugi strani pa smougotovili, da z odsekoma linearno aproksimacijo dobimo zadovoljive rezultate, kar pomeni, dani potrebno racunati z Eshelbyjevimi tenzorji drugega reda. Ta ugotovitev in dejstvo, da je mocnaso metodo uporabiti za poljubno prostorsko konfiguracijo linijskih in tudi diskastih razpok,odpira v prihodnosti moznost pomembne uporabe nase metode.

6 Literatura in citati

Literatura

[1] D. Gross in T. Seelig, Fracture Mechanics: With Introduction to Micromecahnics, Springer,Berlin, 2006.

[2] F. Erdogan, On the stress distribution in plates with collinear cuts under arbitrary loads,Proceedings Fourth U.S. National Congress of Applied Mechanics, pp. 547–553, 1962.

[3] M. Kachanov, Elastic solids with many cracks: a simple method of analysis, Int. J. SolidsStructures 23, 23–44, 1987.

[4] Y. Benveniste, G. J. Dvorak, j. Zarzour in E. C. J. Wung, On interacting cracks and complexcrack configurations in linear elastic media, Int. J. Solids Structures 25, 1279–1293, 1989.

[5] G. Mejak, Variational formulation of the equivalent eigenstrain method with an applicationto a problem with radial eigenstrains, Int. J. Solids and Structures, 51, 1601–1616, 2014.

[6] T. Mura, Micromechanics of Defects in Solids, Second, Revised Edition, Kluwer, 1991.

- 122 -

Page 130: Zbornik del

SLOVENSKO DRUŠTVO ZA MEHANIKO

SREČANJE KUHLJEVI DNEVI 2016

Avksetični celični materiali in njihovo obnašanje pri tlačni

obremenitvi

N. Novak1, M. Vesenjak1 in Z. Ren1

Auxetic cellular materials and their behaviour under

compression loading

Povzetek. Avksetični celični materiali zaradi svoje edinstvene geometrije in načina

deformiranja izkazujejo negativno Poissonovo število, kar pomeni da se ob enoosni natezni

obremenitvi njihov prečni prerez (volumen) poveča, obratno pa velja pri tlačni obremenitvi.

Učinek takšnega obnašanja materiala je uporaben pri različnih aplikacijah, kjer lahko z

uporabo avksetičnih materialov izboljšamo mehanske lastnosti (npr. togost, lomno žilavost,

absorpcijo energije in dušenje). V tem delu je sprva predstavljeno področje avksetičnih

materialov, nato pa eksperimentalno testiranje avksetične strukture izdelane z metodo

selektivnega taljenja z elektronskim snopom (SEBM). Eksperimentalnemu testiranju je

sledil razvoj numeričnega modela v programu za numerične analize LS-Dyna, ki je bil

uspešno validiran na osnovi rezultatov eksperimentalnega testiranja.

Abstract. Auxetic cellular materials exhibit a negative Poisson's ratio due to their unique

geometry and deformation mechanism, i.e. their cross-section normal to the loading

direction significantly increases when stretched and vice versa when compressed. The

effect of negative Poisson’s ratio is useful for many different applications to enhance

mechanical properties in stiffness, fracture toughness, energy absorption and damping. In

this work firstly auxetic materials are introduced, then experimental testing of auxetic

cellular structure made with selective electron beam melting (SEBM) is described.

Experimental testing was followed by the development of the numerical model using the

FE engineering code LS-Dyna, where it has been successfully validated on the basis of

experimental testing results.

1 Univerza v Mariboru, Fakulteta za strojništvo

Page 131: Zbornik del

Kuhljevi dnevi 2016

- 124 -

1 Uvod

Celične materiale so po obsežnih raziskavah v zadnjih letih uporabili tudi v določenih

praktičnih aplikacijah, katerih število se iz dneva v dan povečuje [1]. Razvoj na področju

celičnih materialov se nadaljuje predvsem na področju tehnologij izdelave in novih geometrij.

Avksetični materiali so sodobna vrsta celičnih materialov, ki lahko s svojo edinstveno

geometrijo in potekom deformacije (slika 1) izboljšajo mnogo mehanskih lastnosti v

primerjavi s konvencionalnimi celičnimi materiali [2]. Avksetični materiali so materiali z

negativnim Poissonovim številom, torej se pri enoosni natezni obremenitvi njihov prerez, v

smeri prečno na smer delovanja zunanje obremenitve poveča, kot je prikazano na sliki 1.

Nateg Tlak

Slika 1: Shematični prikaz deformacije materiala s pozitivnim Poissonovim številom (a.) in

negativnim Poissonovim številom (b.) ob natezni in tlačni obremenitvi [1]

V zadnjih letih se je povečala uporaba dodajalnih tehnologij v različnih vejah strojništva, npr.

hitra izdelava prototipov, izdelava strojnih delov, izdelava medicinskih implantatov. Prav tako

pa so se te tehnologije izkazale kot zelo obetavne v primeru izdelave zahtevnejših oblik

celičnih materialov, kar omogoča izdelavo poljubnih geometrij materialov.

1.1 Zgodovinski razvoj

Izraz avksetični materiali je leta 1991 predlagal Evans [3], s katerim je poimenoval materiale

z negativnim Poissonovim številom. Izraz izvira iz grške besede »auxetos«, ki ima v prevodu

pomen »se lahko poveča«. Avksetični materiali so bili sicer predhodno že preučevani, vendar

so bile komaj leta 1982 izpeljane analitične formule za izračun mehanskih lastnosti preprostih

šestkotnih struktur [4]. Enega izmed najpomembnejših in tudi po velikosti največjih primerov

uporabe avksetičnih struktur lahko najdemo v nekaterih jedrskih reaktorjih na Japonskem, v

katere so nameščali grafitne obroče okoli sredice reaktorja, ki pa niso bili namensko razviti za

avksetično obnašanje. Te strukture so bile razvite z namenom prenesti vodoravne strižne

obremenitve, ki nastopijo ob potresu, ob tem pa morajo dovoliti pomike zaradi termalnega

raztezanja dveh različnih materialov (ogljikova sredica in jeklena konstrukcija), torej imeti

veliko strižno trdnost in nizko odpornost proti volumetričnim spremembam [5][6]. Razvoj, ki

je pripeljal do te realne avksetične strukture, je bil namenjen praktičnemu cilju in ne

namenskemu razvoju materiala z negativnim Poissonovim številom. Naslednjo stopnjo v

razvoju avksetičnih materialov zasledimo šele tri desetletja kasneje, ko je Almgren [7]

predstavil eno izmed najpreprostejših 2D struktur, ki omogoča avksetično obnašanje materiala

- Zunanja

obremenitev

- Prečna

deformacija

Page 132: Zbornik del

Kuhljevi dnevi 2016

- 125 -

(slika 2a) in jo tudi analitično opredelil. Leta 1987 so bili s strani Lakesa in sodelavcev

ustvarjeni prvi umetno izdelani avksetični celični materiali, in sicer s preobrazbo osnovne

celice konvencionalne odprto-celične pene, tako da so se stene strukture obrnile proti

notranjosti. Preobrazba osnovne celice celične strukture je bila dosežena s pomočjo

kombinacije obremenjevanja (triosno stiskanje) in segrevanja do temperature mehčanja

osnovnega materiala celične strukture. Analiziranih je bilo več različnih poliestrskih pen in

vse so po preobrazbi imele negativne vrednosti Poissonovega števila (srednja vrednost: -0,7).

V tej raziskavi so bile analizirane tudi kovinske pene, katerih geometrija osnovne celice pa je

bila spremenjena s pomočjo plastične deformacije v treh med seboj pravokotnih smereh.

Avtorja v [8][9] sta prva predstavila analizo ekspandiranega polimera (PTFE), katerega

vrednosti Poissonovega števila so krepko manjše od teoretično določene meje za izotropne

materiale (dosegajo vrednosti do -12), kar je predvsem posledica visoke anizotropnosti

materiala. Zaradi potrebe po anizotropnosti za doseganje negativnega Poissonovega števila so

vse te strukture porozne, kar pomeni, da imajo te strukture v primerjavi z osnovnim materialom

iz katerega so zgrajene zmanjšano togost. Iz tega razloga je Evans [3] predlagal, da je lahko

bolj tog avksetični material izdelan na molekularni ravni. Tako sta v nadaljevanju Alderson in

Evans [10] proizvedla mikro-porozni polietilenski material z negativnim Poissonovim

številom. Proizvodni postopek je bil sestavljen iz naslednjih faz: stiskanje polimernega praška,

sintranje in iztiskanje. Rezultat tega proizvodnega postopka je bil anizotropen material,

katerega vrednost Poissonovega števila je dosegla vrednosti do -1,24 (odvisno od stopnje

deformacije) pri tlačni obremenitvi v radialni smeri in vrednost 0 v aksialni smeri preizkušanca

z obliko valja.

1.2 Mehanske lastnosti avksetičnih materialov

Za opis linearnega obnašanja izotropnega materiala pri elastičnih obremenitvah sta ob

obremenitvah in robnih pogojih vpetja potrebni dve mehanski lastnosti: modul elastičnosti E

in Poissonovo število ν. Obe mehanski lastnosti je potrebno pridobiti z eksperimentalnim

testiranjem, vendar se zelo pogosto zgodi, da se Poissonovemu številu ne posveti veliko

pozornosti in se njegova vrednost za večino kovinskih gradiv predpostavi na vrednosti blizu

⅓, veliko več naporov pa je vloženih v določitev in analizo modula elastičnosti.

Za lažje razumevanje vpliva spremembe Poissonovega števila na mehanske lastnosti

izotropnega materiala je potrebno uvesti dve novi izpeljani materialni lastnosti in sicer strižni

modul G (odpor proti spremembi oblike pri strižni obremenitvi) in modul stisljivosti K (odpor

proti spremembi volumna pri hidrostatični obremenitvi) [11]:

𝐺 =𝐸

2(1 + 𝜈) in (1)

𝐾 =𝐸

3(1 − 2𝜈) . (2)

Ob predpostavki konstantne vrednosti elastičnega modula v zgornjih enačbah je razvidno, da

je ob vrednosti Poissonovega števila 0,5 modul stisljivosti neskončno velik (nestisljivost), v

Page 133: Zbornik del

Kuhljevi dnevi 2016

- 126 -

primeru Poissonovega števila blizu -1, pa je vrednost strižnega modula neskončna. Vrednosti

Poissonovega števila, ki jih ima večina naravnih materialov (~⅓), so torej kompromis med

odpornostjo proti spremembi oblike in volumna. Potrebno je poudariti, da je večina sodobnih

izdelkov narejena iz plošč, lupin in nosilcev, za katere pa je izjemno pomembno, da imajo čim

višji strižni modul, pa čeprav tega dosežemo na račun zmanjšanja modula stisljivosti [12].

Z uporabo materialov, ki imajo negativno Poissonovo število, se izboljšajo tudi druge

materialne lastnosti, npr. sposobnost absorpcije zvočnih in mehanskih udarov, zvišanje

vrednosti potrebne energije za prebitje materiala. Slednje je posledica mehanizma

deformiranja avksetičnega materiala, ki se pri obremenitvi pomika k mestu udarca in se tam

zgosti, kar je ravno nasprotno kot pri konvencionalnih materialih. Ob tem jih lahko zaradi

svojih edinstvenih lastnosti uporabimo kot tesnila, ki s svojo deformacijo ob večji obremenitvi

bolje tesnijo, ali kot pritrdilne sponke, ki jo brez težav vstavimo v luknjo zaradi tlačne

obremenitve (ob kateri se sponka skrči v radialni smeri). Ob poskusu izvleka sponke, pa se

zaradi natezne obremenitve le-ta v radialni smeri razširi in s tem oteži izvlek sponke [13]. Drug

način uporabe avksetične strukture je kot jedro sendvič strukture [14]. V primeru uporabe

avksetičnega materiala kot sredice v zaobljenih sendvič strukturah (npr. konstrukcijski

elementi v letalski in vesoljski industriji) je lahko zelo dobrodošla tudi zanimiva lastnost

odziva avksetičnega materiala na upogibno obremenitev, saj se material oblikuje v sinklastično

obliko (konkavna oblika) in ne antisinklastično kot v primeru konvencionalnih materialov

(oblika sedla), s tem se lahko izognemo veliki deformaciji sredice sendvič strukture že pred

vgradnjo [15] .

1.3 Osnovne geometrije avksetičnih materialov

Sistematični razvoj avksetičnih materialov se je pričel z razvojem dvodimenzionalnih

avksetičnih struktur, ki jih je nato možno raztegniti v tretjo dimenzijo [7]. Nekaj

najznačilnejših dvodimenzionalnih avksetičnih struktur je prikazanih na sliki 2.

Slika 2: Nekatere vrste preprostih dvodimenzionalnih avksetičnih struktur: a.) vbočene šest

kotne strukture, b.) strukture rotirajočih enot, c.) strukture manjkajočih medceličnih povezav

in d.) “chiral” strukture [1]

Zaradi kompleksnosti geometrijske zgradbe tridimenzionalnih avksetičnih struktur in potrebe

po natančnem nadzoru geometrije osnovnih celic strukture, je bilo do sedaj predstavljenih in

analiziranih le malo teh struktur. Razvoj dodajalnih tehnologij pa je v zadnjih letih omogočil

izdelavo poljubnih struktur, kar je privedlo do tega, da je sedaj možno izdelati poljubne

tridimenzionalne avksetične strukture. V virtualnem okolju pa lahko te strukture oblikujemo

tako, da je njihov odziv najbolj ugoden za izbrano aplikacijo.

a.) b.) c.) d.)

b.)

Page 134: Zbornik del

Kuhljevi dnevi 2016

- 127 -

2 Eksperimentalno testiranje avksetičnih struktur

Geometrija in izdelava preizkušancev, ki so bili izdelani na Univerzi v Erlangnu, Nemčija, z

metodo selektivnega taljenja z elektronskim snopom (angl. selective electron beam melting –

SEBM) je podrobneje opisana v [16]. Vsi preizkušanci so enake avksetične strukture, kot so

opisane v [16], vendar so bili obremenjeni v dveh različnih smereh - preizkušanci #1 do #3 so

bili obremenjeni v navpični smeri (rdeči puščici na sliki 3), preizkušanci #4 do #6 pa so bili

obremenjeni v prečni smeri (zeleni puščici na sliki 3).

Slika 3: Preizkušanci z označenimi smermi obremenjevanja (povprečna debelina

medceličnih povezav 0,55 mm)

Predhodno so že bili izvedeni eksperimentalni testi analizirane avksetične strukture z

namenom pridobitve vrednosti Poissonovega števila in modula elastičnosti v različnih smereh

obremenjevanja v linearno elastičnem področju obremenjevanja [16]. Ugotovljeno je bilo, da

je Poissonovo število te strukture v navpični smeri obremenjevanja (rdeči puščici na sliki 3)

enako -0,3, v prečni smeri obremenjevanja (zeleni puščici na sliki 3) enako -0,4. V tem delu

so predstavljeni rezultati tlačnega obremenjevanja avksetične strukture do približno 80%

deformacije. Tlačni testi so bili izvedeni na preizkuševalnem stroju INSTRON 8801 s hitrostjo

pomika 0,1 mm/s.

Iz eksperimentalnih rezultatov na slikah 4 in 5 je razvidno, da je odziv vseh preizkušancev

v linearnem elastičnem območju podoben (podoben modul elastičnosti strukture), do večjih

razlik pa prihaja po dosegu meje tečenja, saj je pri preizkušancih #4 - #6 iz vizualne analize

poteka preizkusa in iz opazovanja oscilacij reakcijske sile (slika 5) možno zaključiti, da se

porušijo posamezne plasti strukture, kar privede do velikega padca togosti. Po porušitvi plasti

le-ta nasede na naslednjo plast, tako da togost spet naraste, vendar se nato tudi ta plast poruši

in postopek deformiranja se ciklično ponavlja. Takšen slojeviti način porušitve vpliva tudi na

manjšo tlačno nosilnost preizkušancev #4 - #6, kot v primeru preizkušancev #1 - #3, kar je

razvidno iz diagrama na sliki 5.

3 Numerični model

Zaradi kompleksnosti, večjega števila kontaktnih površin in stopnje deformacije strukture je

bila za hitrejši proces numeričnega preračuna uporabljena eksplicitna shema reševanja sistema

nelinearnih enačb numerične mehanike trdnin.

Numerični model avksetičnih struktur za eksplicitne dinamične simulacije je bil

pripravljen v programskem sistemu LS-Dyna na osnovi predhodno generirane palične

21,3 mm 16,2 mm

19

,5 m

m

Page 135: Zbornik del

Kuhljevi dnevi 2016

- 128 -

geometrije realnih preizkušancev. Numerični model je opisan z linearnimi linijskimi končnimi

elementi Hughes – Liu s štirimi integracijskimi točkami v prerezu elementa. Struktura je bila

obremenjena s pomikom toge površine (hitrost plošče 200 mm/s), ki pritiska na strukturo v

smeri fiksno vpete toge površine.

Med togima površinama in strukturo je kontakt modeliran s kazensko metodo

(»penalty method«) in koeficientom trenja μtr = 0,35, med posameznimi linijskimi končnimi

elementi v strukturi pa je določen samodejni kontakt z enakim koeficientom trenja, kot je

definiran med togima površinama in strukturo.

Materialni model za opis mehanskih lastnosti linijskih končnih elementov je bil izbran

na osnovi uporabljene vrste končnih elementov in lastnosti osnovnega materiala strukture.

Uporabljen je bil elasto-plastičen materialni model s porušitvijo (oznaka MAT_153 v

programskem paketu LS-Dyna), ki omogoča modeliranje razvoja poškodb in porušitve tudi za

linijske končne elemente. Materialne lastnosti so bile določene s parametričnimi simulacijami

in so predstavljene v tabeli 1.

Tabela 1: Uporabljene materialne lastnosti v numeričnih simulacijah

ρ [kg/m3] E [MPa] ν [-] σy,1 [MPa] σy,2 [MPa] εpl,2 [%]

4430 60.000 0,3 750 800 5

Za določitev razvoja poškodb je potrebno s parametričnimi simulacijami določiti še dodatni

parameter (vrednost plastične deformacije), ki opredeljuje začetek akumulacije razvoja

poškodb.

4 Rezultati računalniških simulacij

Eksperimentalno testiranje je bilo osnova za validacijo numeričnega modela. Na diagramih na

slikah 4 in 5 so primerjane vrednosti reakcijske sile med eksperimentom in numeričnim

modelom.

Slika 4: Diagram napetosti v odvisnosti od deformacije za preizkušance #1 do #3

0

10

20

30

40

50

60

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8

Nap

eto

st [M

Pa]

Deformacija [-]

Preizkušanec #1

Preizkušanec #2

Preizkušanec #3

Povprečje eksperimentov

Numerični model

Page 136: Zbornik del

Kuhljevi dnevi 2016

- 129 -

Iz primerjave reakcijske sile med eksperimentom in numeričnim modelu v primeru

preizkušancev #1 do #3 (slika 4) lahko opazimo zelo dobro ujemanje rezultatov. To pomeni,

da je materialni model razvit na osnovi parametričnih simulacij tlačnega obremenjevanja

avksetične strukture, katerega materialne lastnosti so podane v tabeli 1, ustrezen za opis

deformacije in porušitve materiala, iz katerega je izdelana avksetična struktura.

Slika 5: Diagram napetosti v odvisnosti od deformacije za preizkušance #4 do #6

Iz primerjave reakcijske sile med eksperimentom in numeričnim modelu v primeru

preizkušancev #4 do #6 (slika 4) lahko opazimo nekoliko slabše ujemanje med rezultati, česar

vzrok je predvsem v načinu porušitve strukture, ki je v primeru teh preizkušancev veliko bolj

krhka. Ta krhka porušitev je posledica usmerjenosti medceličnih povezav, katerih veliko

število je v primeru preizkušancev #4 do #6 usmerjenih vzdolžno na smer obremenjevanja, kar

med obremenjevanjem privede do uklona in posledično krhke porušitve, in ne do upogiba

medceličnih povezav kot v primeru preizkušancev #1 do #3 (slika 3).

5 Zaključki

Prispevek predstavlja področje avksetičnih materialov, opisuje najbolj pogoste geometrije in

njihove mehanske lastnosti. Ob tem so predstavljeni izsledki eksperimentalnega testiranja

avksetičnih struktur, ki so bili nato uporabljeni za začetno validacijo numeričnih modelov.

Zaradi nepoznavanja mehanskih lastnosti osnovnega materiala strukture, ki so zaradi

proizvodnega postopka izrazito ortotropne, so bile materialne lastnosti numeričnega modela

določene s parametričnimi numeričnimi simulacijami. Enake materialne lastnosti so bile

uporabljeni za obe smeri obremenjevanja preizkušancev. V obeh smereh lahko opazimo dobro

ujemanje rezultatov numeričnega modela z rezultati eksperimentalnega preizkusa. To lahko

trdimo predvsem v primeru preizkušancev #1 do #3, v primeru preizkušancev #4 do #6 pa so

zaradi krhke porušitve celotne ravnine medceličnih povezav opazna določena odstopanja.

V nadaljevanju raziskovalnega dela na področju avksetičnih celičnih materialov bodo

s pomočjo topološke optimizacije razvite nove oblike avksetičnih materialov, katerih odzivi

na obremenitve bodo nadzorovani tudi s pomočjo gradirane poroznosti.

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7

Nap

eto

st [

MP

a]

Deformacija [-]

Preizkušanec #4

Preizkušanec #5

Preizkušanec #6

Povprečje eksperimentov

Numerični model

Page 137: Zbornik del

Kuhljevi dnevi 2016

- 130 -

Literatura

[1] P. S. Liu and G. F. Chen, Porous Materials Processing and Applications. Elsevier,

2014.

[2] N. Novak, M. Vesenjak, and Z. Ren, “Auxetic cellular materials - a review,” Strojniški

Vestn. - J. Mech. Eng., sprejeto v objavo, 2016.

[3] K. E. Evans, M. A. Nkansah, I. J. Hutchinson, and S. C. Rogers, “Molecular Network

Design,” Nature, vol. 353, p. 124, 1991.

[4] L. J. . Gibson and M. F. . Ashby, “The mechanics of 2D cellular material,” Proc. R.

Soc., no. 382, pp. 25–45, 1982.

[5] K. Muto, R. W. Bailey, and K. J. Mitchell, “Special requirements for the design of

nuclear power stations to withstand earthquakes,” Proc. Inst. Mech. Eng., vol. 177, pp.

155–203, 1963.

[6] A. Alderson, “A triumph of lateral thought,” Chem. Ind., vol. 10, pp. 384–391, 1999.

[7] R. F. Almgren, “An isotropic three-dimensional structure with Poisson’s ratio=-1,” J.

Elast., vol. 15, pp. 427–430, 1985.

[8] K. E. Evans and B. D. Caddock, “Microporous materials with negative Poisson’s ratios.

II. Mechanisms and interpretation,” J. Phys. D. Appl. Phys., vol. 22, pp. 1883–1887,

1989.

[9] B. D. Caddock and K. E. Evans, “Microporous materials with negative Poisson’s ratios.

I. Microstructure and mechanical properties,” J. Phys. D. Appl. Phys., vol. 22, no. 12,

pp. 1877–1882, 1989.

[10] K. . Alderson and K. . Evans, “The fabrication of microporous polyethylene having a

negative Poisson’s ratio,” Polymer, vol. 33, no. 20, pp. 4435–4438, 1992.

[11] L. A. E. H., “A treatise on the mathematical theory of elasticity.” [Splet]. Dosegljivo

na: https://archive.org/details/atreatiseonmath01lovegoog. [Dostop: 20-Nov-2015].

[12] K. E. Evans, “Auxetic polymers: a new range of materials,” Endeavour, vol. 15, no. 4,

pp. 170–174, 1991.

[13] J. B. Choi and R. S. Lakes, “Design of a fastener based on negative Poisson’s ratio

foam,” Cell. Polym., vol. 10, pp. 205–212, 1991.

[14] E. Hadjigeorgiou and G. Stavroulakis, “The use of auxetic materials in smart

structures,” Comput. Methods Sci. Technol., vol. 10, no. 2, pp. 147–160, 2004.

[15] K. E. Evans, “The design of doubly curved sandwich panels with honeycomb cores,”

Compos. Struct., vol. 17, no. 2, pp. 95–111, 1991.

[16] J. Schwerdtfeger, P. Heinl, R. F. Singer, and C. Körner, “Auxetic cellular structures

through selective electron beam melting,” Phys. Status Solidi - Basic Solid State Phys.,

vol. 247, no. 2, pp. 269–272, 2010.

Page 138: Zbornik del

SLOVENSKO DRUSTVO ZA MEHANIKO

SRECANJE KUHLJEVI DNEVI 2016

Numericno modeliranje nepopolne intumescenceprotipozarnih premazov

A. Ogrin1, T. Hozjan2 in M. Saje3

Numerical modelling of incomplete intumescence of fireproofcoatings

Povzetek. V prispevku je predstavljen numericni model za prenos toplote po intumescentnemprotipozarnem premazu, ki uposteva povecanje debeline premaza in spreminjanje materialnih la-stnosti premaza s temperaturo in po debelini. Eksperimenti kazejo, da se na navpicnih povrsinahlahko pojavi nepopolna intumescenca oziroma manjsa koncna debelina premaza. Prikazani so rezul-tati parametricne studije vpliva nepopolne intumescence na temperature v zasciteni jekleni podlagi.Izvedena je tudi primerjava vpliva dveh mehanizmov, ki lahko povzrocita nepopolno intumescenco.

Abstract. A numerical model for thermal analysis of fireproof intumescent coatings is presented.Expansion of the coating, as well as temperature and deformation dependent thermal and mechanicalproperties are taken into account. It has been shown that an incomplete intumescence can occur onvertical surfaces. Results of a parametrical study of its influence on temperatures in the steel substrateare shown. Two possible mechanisms of incomplete intumescence are analysed and compared.

1 Uvod

Za zagotovitev predpisane pozarne odpornosti je jeklene konstrukcijske elemente pogosto po-trebno zascititi s protipozarnimi oblogami ali premazi. Intumescentni protipozarni premazi sopriljubljeni zaradi svoje ucinkovitosti in nevpadljivega videza. Odvisno od vrste premaza sejih na konstrukcijske elemente nanese v tankih slojih kot barvo ali kot cementni omet, tako daostaja oblika samega konstrukcijskega elementa pri normalnih pogojih uporabe vidna; v naspro-tju s protipozarnimi oblogami, ki obliko povsem zakrijejo. Med procesom intumescence, ki sesprozi sele v primeru izpostavljenosti intumescentnega premaza dovolj visokim temperaturam,

1 Univerza v Ljubljani, Fakulteta za gradbenistvo in geodezijo2 Univerza v Ljubljani, Fakulteta za gradbenistvo in geodezijo3 Univerza v Ljubljani, Fakulteta za gradbenistvo in geodezijo

Page 139: Zbornik del

Kuhljevi dnevi 2016

premaz v zelo kratkem casovnem intervalu ekspandira do koncne debeline, hkrati pa potekatudi dalj casa trajajoca kemijska reakcija pirolize. Povecanje debeline in kemijska reakcija pov-zrocita ugodno spremembo mehanskih in toplotnih lastnosti premaza, ki upocasni prevajanjetoplote in tako poveca pozarno odpornost zascitene jeklene konstrukcije.V vecini obstojecih numericnih modelov za prevajanje toplote po intumescentnem mediju jepredpostavljena konstantna debelina premaza ter nanjo prilagojene efektivne lastnosti premaza,ki so temperaturno odvisne, vendar po debelini konstantne [1, 2]. Zaradi vpliva hitrosti spremi-njanja temperature na potek intumescentnega procesa je uporabnost taksnih modelov omejena,se posebej pri vedno bolj uveljavljenem ciljnem (performancnem) nacinu projektiranja, kjerkonstrukcijo analiziramo na razlicne naravne pozare. Poleg tega so eksperimenti na zascitenemenakokrakem kotnem profilu pokazali, da na potek intumescence vplivata tudi orientiranost inoblika zascitene povrsine, saj je premaz na navpicnih povrsinah dosegel manjso koncno debe-lino kot na vodoravnih, medtem ko na robovih prereza ekspandiranja skoraj ni bilo [3].V prispevku najprej predstavimo numericni model za prenos toplote po intumescentnem pre-mazu, ki uposteva spreminjanje debeline premaza ter temperaturno odvisne mehanske in toplo-tne lastnosti, ki se spreminjajo tudi po debelini premaza. Predstavljeni model temelji na enacbiza prevajanje toplote po intumescentnem materialu, ki sta jo prva predstavila Henderson in Wi-ecek [4] ter upostevanju treh materialnih faz, ki jih je v svojem modelu uporabil Asaro [5]:intakten, ekspandiran in zoglenel material. Pomembna razlika od predhodnih modelov, kjerje racun potekal na koncni debelini premaza, je v upostevanju hipnega ekspandiranja posame-znega koncnega elementa, ko je v njem izpolnjen pogoj za ekspandiranje, s cimer je modeliranopostopno ekspandiranje celotne debeline premaza. Validacija uporabljenega numericnega mo-dela je prikazana v [6].V drugem delu prispevka obravnavamo vpliv manjse dosezene koncne debeline premaza, t.i.nepopolne intumescence, ki se pojavi na navpicno orientiranih povrsinah, na temperature vzascitenem prerezu. Manjso koncno debelino premaza lahko v uporabljenem numericnem mo-delu dosezemo tako, da (i) ekspandirajo vsi koncni elementi, pri cemer se njihova debelinapoveca z manjsim faktorjem ekspandiranja ali da (ii) pride do ekspanzije z nespremenjenim fak-torjem ekspandiranja le v dolocenem delezu koncnih elementov na pozaru izpostavljeni stranipremaza. Za oba nacina izvedemo parametricno studijo vpliva razlicnih koncnih debelin pre-maza ter primerjamo tudi rezultate obeh studij.

2 Numericni model za prenos toplote po intumescentnem premazu

Numericni model za prenos toplote po intumescentnem premazu temelji na enacbi za ohranitevenergije in mase

−ρcp∂T∂ t

=−∂ (k( ∂T

∂x ))

∂x+

∂ρ

∂ tQ+

∂ρ

∂ t(cp − cpg)T −

∫ lx

x(∂ρ

∂ t)dx cpg

∂T∂x

, (1)

ki sta jo v tej obliki prva predstavila Henderson in Wiecek [4]. Leva stran enacbe (1) ter prviclen desne strani sestavljata dobro znano 1-D enacbo za prenos toplote po trdni snovi v smeri x.T predstavlja temperaturo, ρ gostoto, cp specificno toploto in k toplotno prevodnost premaza.Preostali cleni enacbe opisujejo pojave, znacilne za kemijsko reaktiven material. Izvor oziroma

- 132 -

Page 140: Zbornik del

Kuhljevi dnevi 2016

ponor toplote Q zaradi ekso- oziroma endotermne kemijske reakcije opisuje drugi clen desnestrani, pri cemer je Q pri endotermnih reakcijah, kakrsna se odvija tudi v intumescentnih pre-mazih, negativen. Tretji clen, kjer cpg pomeni specificno toploto plinov, opisuje transformacijomateriala iz trdnega v plinasto stanje. Z zadnjim clenom enacbe (1) pa je upostevana predpo-stavka o takojsnji in popolni odstranitvi vrocih plinov ter njim pripadajoce toplote, pri cemer jelx koordinata na izpostavljenem delu premaza.Enacbo (1) smo zapisali za 2-D prevajanje toplote in jo vgradili v racunalniski program zaravninsko analizo prevajanja toplote po precnem prerezu Heatko [7], ki uporablja 4-vozliscneizoparametricne koncne elemente. Vgrajena enacba velja ob izpolnjeni predpostavki konstan-tnega volumna premaza, intumescentnemu premazu pa se med izpostavljenostjo visokim tem-peraturam volumen poveca s faktorjem ekspandiranja Fexp. Predpostavki smo zadostili tako,da je imel vsak koncni element v posameznem casovnem koraku koncno povrsino, ob koncucasovnega koraka pa se je koncnim elementom, v katerih je bila povprecna temperatura v Ga-ussovih tockah T vecja od temperature ekspandiranja Texp, s cimer so zadostili pogoju za eks-pandiranje, povrsina hipno povecala. Proces ekspandiranja premaza je prikazan na sliki 1.

Slika 1 : Proces ekspandiranja premaza.

Racun smo tako izvedli na deformirani legi ter v skladu s tem materialne parametre ρ , k in cp

za vsako Gaussovo tocko v vsakem koncnem elementu in casovnem koraku izracunali sproti, zupostevanjem primernega deleza posamezne materialne faze [5]: intakten material je materialpred ekspandiranjem in pred zacetkom kemijske reakcije pirolize, z gostoto, toplotno prevodno-stjo in specificno toploto ρV , kV in cpV ; ekspandiran material, kot ga imenujemo po ekspandi-ranju in se vedno pred zacetkom kemijske reakcije, ima lastnosti ρINT , kINT in cpINT ; zoglenelmaterial, po zakljucku kemijske reakcije, pa ima lastnosti ρCH , kCH in cpCH .V neekspandiranih koncnih elementih smo z izrazom a = FaV + (1 − F)aCH upostevali lemesanico intaktne in zoglenele materialne faze, pri ekspandiranih koncnih elementih pa z izra-zom a = FaINT +(1−F)aCH le mesanico ekspandirane in zoglenele materialne faze, pri cemer

- 133 -

Page 141: Zbornik del

Kuhljevi dnevi 2016

je a poljubna materialna lastnost. Delez nereagiranega materiala F smo dolocili na podlagiArrheniusove enacbe, ki dobro opisuje zmanjsanje gostote zaradi kemijske reakcije pirolize [5]

∂ρ

∂ t=−A(ρV −ρCH)(

ρ −ρCH

ρV −ρCH)ne−

EaRT , (2)

kjer R pomeni splosno plinsko konstanto, koeficienti A, Ea in n pa oznacujejo predeksponentnifaktor, aktivacijsko energijo in stopnjo reakcije. Ti koeficienti so izbrani tako, da se krivulja,dobljena po enacbi (2), kar najbolje prilega krivulji iz termogravimetricne analize, kot je opisanov [6].

3 Parametricna studija

Za parametricno studijo vpliva manjse dosezene koncne debeline premaza smo uporabili lastno-sti premaza, s katerim je bil opisani numericni model validiran v [6]: lastnosti intaktnega materi-ala ρV = 1000 kg/m3, cpV = 2200 J/kgK, kV = 0.235 W/m2K, lastnosti ekspandiranega materialaρINT = ρV/Fexp, cpINT = (1.5T +3000) J/kgK, kINT = 0.013 W/m2K in lastnosti zoglenelegamateriala ρCH = 108.6 kg/m3, cpCH = (2T +2800) J/kgK, kCH = (0.0001115T +0.013) W/m2K.Emisivnost premaza smo upostevali 0.95, temperaturo ekspandiranja pa Texp = 250 C. Kineticniparametri, s katerimi najbolje opisemo termogravimetricno krivuljo iz [1], so A = 0.2291 s−1,Ea = 2.7529·107 J/gmol in n = 1.00001. Izbrali smo primer, kjer ima premaz zacetno debelino10 mm, ter ob ocenjenem faktorju eksapndiranja Fexp = 3.5 in popolni intumescenci dosezekoncno debelino 35 mm. Premaz je nanesen na 5 mm debelo jekleno podlago, katere lastnostiso v modelu upostevane v skladu z Evrokodom 3 [9].V programu Heatko smo jekleno podlago modelirali z enim, premaz pa s sestdesetimi koncnimielementi ter uporabili majhen casovni korak ∆t=2 s. Tako veliko stevilo koncnih elementov pre-maza je bilo uporabljeno zaradi lazje delitve debeline premaza na razlicne deleze s popolno ozi-roma nepopolno intumescenco. Rezultati pridobljeni s 60 koncnimi elementi so bili sicer zeloblizu rezultatom pridobljenim s pol manjsim stevilom koncnih elementov, zato ocenjujemo, daje bila natancnost izracuna ustrezna. Ker je bil eksperiment v [1] zasnovan kot enodimenzi-onalen prenos toplote, smo tudi v modelu samo na izpostavljeni stranici zunanjega koncnegaelementa premaza predpisali spreminjanje temperature zraka v skladu s standardno pozarnokrivuljo, definirano v [8]. Na vseh ostalih zunanjih robovih smo predpisali, da je toplotni tokenak nic.V parametricni studiji primerjamo temperature na zadnji strani podlage, kjer so bile merjenetudi v eksperimentu [1].

3.1 Vpliv faktorja ekspandiranja

V prvem delu studije smo opazovali vpliv ekspandiranja vseh koncnih elementov premaza obzmanjsanem faktorju ekspandiranja iz 3.5 na 3, 2.5, 2, 1.5 in 1. S tem smo koncno debe-lino premaza postopno zmanjsevali iz 35 mm na 30 mm, 25 mm, 20 mm, 15 mm in 10 mm.Zmanjsevanje faktorja ekspandiranja je vplivalo na gostoto ekspandiranega in zoglenelega ma-teriala, preostale lastnosti pa so ostale enake kot pri Fexp = 3.5. V zadnjem primeru, kjer je bila

- 134 -

Page 142: Zbornik del

Kuhljevi dnevi 2016

koncna debelina tudi po zakljucenem procesu ekspandiranja enaka zacetni, se je torej ekspan-diran material od intaktnega razlikoval le po toplotni prevodnosti in specificni toploti, medtemko sta bili gostoti v obeh materialnih fazah enaki.Temperature na zadnji strani podlage so prikazane na sliki 2 in so pricakovano visje pri manjsikoncni debelini premaza. Pri vsakem zmanjsanju koncne debeline za 5 mm je v jekleni podlagipriblizno 10 min prej dosezena temperatura 400 C, pri kateri se zacnejo izrazite casovno od-visne viskozne deformacije jekla. Na grafu lahko opazimo lom krivulje pri okoli 250 C, ki sezgodi po ekspandiranju zadnjega koncnega elementa. Pri manjsem faktorju ekspandiranja visjetemperature hitreje nastopijo globlje v premazu in proces ekspandiranja se zakljuci prej. Nasliki 3 je prikazano spreminjanje gostote v koncnem elementu najblizje jekleni podlagi, torej vzadnjem koncnem elementu, ki ekspandira, za razlicne faktorje ekspandiranja. Opazimo lahko,da se skoki gostote zaradi ekspandiranja pojavijo ob istih casih kot lomi krivulje na sliki 2.

Slika 2 : Casovni razvoj temperatur na zadnji strani podlage za Fexp od 1 do 3.5.

3.2 Vpliv deleza ekspandiranja

V drugem delu parametricne studije smo zeleli primerjati enake dosezene koncne debeline kot vprvem delu, vendar tokrat z zmanjsanjem deleza koncnih elementov, ki ekspandirajo, pri cemerje faktor ekspandiranja ostal 3.5. Za koncno debelino 35 mm je proces ekspandiranja potekelv vseh 60 koncnih elementih, za koncno debelino 30 mm v zunanjih 48 koncnih elementihoziroma v 80% premaza itd. Vse primerjane koncne debeline in stevilo koncnih elementov vkaterih potece proces so podane v tabeli 1.

- 135 -

Page 143: Zbornik del

Kuhljevi dnevi 2016

Slika 3 : Casovni razvoj gostot v koncnem elementu premaza najblizje podlagi za Fexp od 1 do3.5.

Razlika med obema obravnavanima mehanizmoma za doseganje manjse koncne debeline jenajbolj ocitna v primeru, ko je koncna debelina premaza enaka zacetni. Medtem ko so se vprimeru zmanjsanega faktorja ekspandiranja v prvem delu studije toplotne lastnosti premazazaradi procesa ekspandiranja spremenile iz intaktnih v ekspandirane, v drugem delu studije,kjer noben koncni element ne ekspandira, ostanejo nespremenjene.

Tabela 1 : Obravnavani delezi ekspandiranih koncnih elementov.

Koncna Stevilo Delez Zacetna debelinadebelina ekspandiranih KE ekspandiranih KE ekspandiranih KE35 mm 60 1 10 mm30 mm 48 0.8 8 mm25 mm 36 0.6 6 mm20 mm 24 0.4 4 mm15 mm 12 0.2 2 mm10 mm 0 0 0 mm

Na sliki 4 so prikazane temperature na zadnji strani podlage za razlicne deleze premaza, vkaterih potece proces ekspandiranja. V neekspandiranem delu premaza v enacbi (2), poleglastnosti zoglenelega materiala, ves cas nastopajo toplotne in mehanske lastnosti intaktnega

- 136 -

Page 144: Zbornik del

Kuhljevi dnevi 2016

materiala, ki ne vplivajo ugodno na protipozarno funkcijo premaza, zato temperature zacnejopricakovano hitreje narascati pri manjsem delezu ekspandiranega premaza. Cas, pri kateremtemperature v jeklu presezejo 400C, se pri mehanizmu z zmanjsevanjem koncne debeline za 5mm zmanjsuje neenakomerno. Pri zmanjsanju debeline iz 35 na 30 mm se tako cas zmanjsa za11.9 min, v primeru zmanjsanja iz 15 na 10 mm pa ze za 24.5 min. To vpliva tudi na kasnejsetemperature, ki so pri mehanizmu z manjsim delezem ekspandiranja v splosnem visje kot primehanizmu z manjsim faktorjem ekspandiranja, razlike pa so vecje pri manjsi dosezeni koncnidebelini premaza.

Slika 4 : Casovni razvoj temperatur na zadnji strani podlage za deleze ekspandiranja 0, 0.2, 0.4,0.6, 0.8 in 1.

4 Zakljucek

Predstavili smo numericni model za toplotno analizo intumescentnih premazov ter primerjalivpliv dveh mehanizmov, ki lahko povzrocita manjso koncno debelino premaza na navpicnihpovrsinah. Pri mehanizmu z manjsim delezem ekspandiranega premaza so visoke temperaturedosezene prej kot pri mehanizmu z manjsim faktorjem ekspandiranja. Ker na mehanski odzivjeklene konstrukcije mocno vpliva cas izpostavljenosti visokim temperaturam, sklepamo, da jemehanizem z manjsim delezem ekspandiranega premaza bolj neugoden. Kateri obravnavanimehanizem dejansko povzroci manjso koncno debelino premaza, bi bilo potrebno potrditi zeksperimenti.

- 137 -

Page 145: Zbornik del

Kuhljevi dnevi 2016

Literatura

[1] M. Bartholmai, B. Schartel. Assessing the performance of intumescent coatings usingbench-scaled cone calorimeter and finite difference simulations, Fire and Materials 31,187–205, 2007.

[2] J. Kolsek, P. Cesarek. Performance-based fire modelling of intumescent painted steel struc-tures and comparison to EC3, Journal of Constructional Steel Research 104, 91–103, 2015.

[3] V. Saulnier, S. Durif, A. Bouchaır, P. Audebert, M. Lahmar. Experimental studies of un-protected and protected steel structures under fire, Proceedings of the International Confe-rence in Dubrovnik, 15-16 October 2015, 159–164.

[4] J.B. Henderson, T.E. Wiecek. A mathematical model to predict the thermal response ofdecomposing, expanding polymer composites, Journal of Composite Materials 21, 373–393, 1987.

[5] R.J. Asaro, B. Lattimer, C. Mealy, G. Steele. Thermo-physical performance of a fire pro-tective coating for naval ship structures, Composites: Part A 40, 11–18, 2009.

[6] A. Treven, T. Hozjan, M. Saje. An improved Method for Thermal Analysis of IntumescentCoatings, Structures in fire, Proceedings of the Ninth International Conference, 1073–1080, 2016.

[7] T. Hozjan. 2D analiza prevajanja toplote po mediju: program HEATKO. Ljubljana, ULFGG, 2009.

[8] SIST EN 1991-1-2:2004, Evrokod 1: Vplivi na konstrukcije - 1-2. del: Splosni vplivi –Vplivi pozara na konstrukcije. Ljubljana, Slovenski institut za standardizacijo, 2004.

[9] SIST EN 1993-1-2:2005, Evrokod 3: Projektiranje jeklenih konstrukcij - 1-2. del: Splosnapravila - Pozarnoodporno projektiranje. Ljubljana, Slovenski institut za standardizacijo,2005.

- 138 -

Page 146: Zbornik del

SLOVENSKO DRUŠTVO ZA MEHANIKO

SRECANJE KUHLJEVI DNEVI 2016

Vpliv vlage na odziv lesenega nosilca v požaru

R. Pecenko1 in T. Hozjan2

Influence of moisture on the response of timber beam in fire

Povzetek. V clanku predstavljamo vpliv uporabe naprednega “Heat&Moisture” ter poenostavlje-nega “Heat” modela za prenos toplote po trdni snovi na mehanski odziv enostavnega nosilca pri po-žaru. Hkrati je prikazan tudi vpliv zacetne vlažnosti lesa na obnašanje lesenega nosilca. Prikazaneso prednosti in slabosti uporabe obeh toplotnih modelov ter predlog za izboljšavo poenostavljenega“Heat” modela.

Abstract. In this paper the influence of advanced “Heat&Moisture” and simple “Heat” heat transfermodels on the mechanical response of simply supported timber beam exposed to fire is presented.In addition, the influence of the initial moisture content on the behaviour of timber beam is given.The advantages and drawbacks of here presented models are shown. At the end, proposal to improvesimple “Heat” model is given.

1 Uvod

Ena izmed številnih prednosti, ki jih ponuja les kot gradbeni material je nedvomno ugodnoobnašanje pri povišanih temperaturah in posledicno tudi dobra požarna odpornost. Ker je lesizrazito higroskopen in porozen material ima na razvoj temperatur v lesu pomembno vlogo vla-žnost lesa. Zaradi tega je smiselno prenos toplote in vlage v lesu obravnavati povezano. Les vsvoji sestavi vsebuje razlicne medije, ti so vezana voda, vodna para in zrak. Gibanje vsakegaizmed medijev poteka po razlicnih transportnih poteh. Tako gibanje vodne pare in zraka po-teka znotraj celicnega lumna, gibanje vezane vode pa je omejeno na celicno steno. Ker je leshigroskopen material pride do vezave molekul vode (vezana voda) v celicno steno. Prehajanjemolekul vodne pare v vezano vodo (adsorpcija) oziroma molekul vezane vode v vodno paro(desorpcija) imenujemo s skupnim izrazom sorpcija. Podobno kot prenos vlage, tudi prenostoplote poteka po vec transportnih poteh. Po celicni steni prihaja do kondukcijskega prenosa

1 Univerza v Ljubljani, Fakulteta za Gradbeništvo in Geodezijo2 Univerza v Ljubljani, Fakulteta za Gradbeništvo in Geodezijo

Page 147: Zbornik del

Kuhljevi dnevi 2016

toplote, medtem ko konvekcijski prenos toplote nastopi zaradi gibanja plinov v celicnem lu-mnu. Poleg tega se zaradi spremembe agregatnega stanja vezane vode v vodno paro in obratno,sprošca oziroma porablja energija. Matematicen opis povezanega prenosa toplote in vlage jenelinearen, zato analiticna rešitev praviloma ni znana. Za reševanje nelinearnih parcialnih dife-rencialnih enacb se uporabljajo numericne metode. V okviru doktorske disertacije [1] je bil v tanamen razvit nov napreden toplotno-vlažnostni model (“Heat&Moisture”) primeren za analizoprenosa toplote in vlage po lesenih elementih pri požaru. Ker pa je modeliranje povezanegaproblema prenosa toplote in vlage precej zahtevno, se v sodobni inženirski praksi še vednouporablja enostavne toplotne modele (“Heat” model), kjer je upoštevan samo prenos toplote potrdni snovi. Tak pristop dovoljuje tudi Evrokod [2], kjer vpliv vlage posredno upoštevamo prekpovecane specificne toplote lesa.

V clanku prikazujemo prednosti in slabosti uporabe obeh toplotnih modelov ter vpliv vlage naobnašanje lesenih nosilcev pri požaru.

2 Numericni model

V tem poglavju predstavljamo toplotni in mehanski model za dolocitev odziva lesenega nosilcapri požaru. Ker predpostavimo, da deformiranje konstrukcije ne vpliva bistveno na prenostoplote in vlage po lesu, obravnavamo toplotno in mehansko analizo loceno. Kljub temu, dav toplotni analizi uporabimo dva razlicna modela, v nadaljevanju prikazujemo samo napredni“Heat&Moisture” model, saj je osnovni “Heat” model v splošnem poznan [3].

2.1 Modeliranje povezanega prenosa toplote in vlage - “Heat&Moisture” model

Za vsako agregatno stanje vode ter za zrak uporabimo razlicni transportni model. Prenos vezanevode sledi Fickovemu zakonu [4], pri prenosu plinske mešanice pa upoštevamo konvekcijski terdifuzni model prenosa [5]. Konvekcijski prenos je opisan z Darcy-jevim zakonom, medtemko Fickov zakon opiše difuzni del prenosa. Prenos vezane vode in vodne pare je medsebojnopovezan s tako imenovano sorpcijo, ki opisuje spremembo agregatnega stanja vezane vode vvodno paro in obratno. Sistem enacb za ohranitev mase zapišemo za vsako fazo posebej:

vezana voda:∂cb

∂ t+∇ ·Jb = c, (1)

vodna para:∂ (εgρv)

∂ t+∇ ·Jv =−c, (2)

zrak:∂ (εgρa)

∂ t+∇ ·Ja = 0. (3)

kjer ρv in ρa predstavljata koncentracijo vodne pare in zraka, ki sta definirani na enoto volu-mna plinske mešanice. Na podoben nacin predstavljata εgρv ter εgρa koncentraciji definirani naenoto volumna lesa, kjer εg predstavlja poroznost lesa. Masni tok posameznega medija je ozna-cen z Ji (i = b,v,a), c pa predstavlja stopnjo sorpcije, ki medsebojno povezuje ohranitev masemed vezano vodo in vodno paro. Enacbe za ohranitev mase so dopolnjene z enacbo za ohranitevenergije, kjer so upoštevani trije fenomeni in sicer: (i) prenos toplote po trdni snovi, (ii) prenos

- 140 -

Page 148: Zbornik del

Kuhljevi dnevi 2016

toplote zaradi konvekcije plinov znotraj celicnega lumna, (iii) energija, ki je potrebna oziromase sprošca pri spremembi faze iz vezane vode v vodno paro in obratno. Enacba za ohranitevenergije je naslednja:

(ρC)

∂T∂ t

= ∇ · (k∇T )−(

ρCv)

∇T −∆Hsc, (4)

kjer clen ρC oznacuje specificno toploto lesa, matrika k vsebuje toplotne prevodnosti za razlicnesmeri lesa, ∆Hs predstavlja latentno toploto sorpcije, prenos toplote s konvekcijo plinov pa jeoznacen z ρCv. Konstitucijske zakoni, s katerimi opišemo masni tok vezane vode, vodne parein zraka ter sorpcijo so podrobneje prikazani v [1].

Za reševanje nelinearnih parcialnih diferencialnih enacb (1)–(4) uporabimo metodo koncnihelementov. Matematicni postopki s katerimi pretvorimo osnovne enacbe skupaj s konstitucijamizvezami v sistem osnovnih diferencialnih enacb izražen z osnovnimi neznankami, so opisaniv [1]. Za casovno diskretizacijo uporabimo diferencno metodo, kjer upoštevamo implicitnoshemo.

2.2 Mehanski model

Matematicni model, s katerim opišemo deformiranje nosilca temelji na Reissnerjevem kine-maticno tocnem modelu nosilca [6]. V modelu je upoštevan vpliv membranske ter upogibnedeformacije na deformiranje nosilca. Upoštevana je Bernoullije hipoteza, ki predpostavlja, daprecni prerez ostane raven in pravokoten na referencno os nosilca v deformirani legi. Poleg tegaje upoštevano, da se oblika in velikost precnega prereza med deformiranjem ne spreminjata. Vskladu z Reissnerjevim modelom nosilca je napetostno in deformacijsko stanje nosilca dolocenoz reševanjem sistema kinematicnih, ravnotežnih in konstitucijskih enacb skupaj s pripadajocimirobnimi pogoji.

1+u′− (1+ ε)cosϕ = 0 R′X + pX = 0 Nc =∫

A(x)σ (Dm,T )dA

w′+(1+ ε)sinϕ = 0 R′Z + pZ = 0 Mc =∫

A(x)zσ (Dm,T )dA

ϕ ′−κ = 0 M′Y − (1+ ε)Q+mY = 0

(5)

V zgornjih enacbah ()′ predstavlja odvod po x, u in w sta pomika referencne osi nosilca v x inz smeri, ϕ je zasuk precnega prereza nosilca, ε in κ pa sta specificna sprememba dolžine inpsevdoukrivljenost referencne osi nosilca. RX in RZ sta komponenti ravnotežne osne sile N inprecne sile Q, MY je ravnotežni moment, px, pz in my pa predstavljajo komponente konserva-tivne linijske obtežbe in linijskega momenta, ki delujeta na nosilec. Konstitucijski notranji silista odvisni od izbranega materialnega modela, ki je definiran z zvezo med normalno napetostjoσ(Dm,T ) in mehansko deformacijo Dm.

Osnovni sistem enacb za mehanski del požarne analize lesenega nosilca, je dopolnjen z robnimipogoji:

- 141 -

Page 149: Zbornik del

Kuhljevi dnevi 2016

x = 0 x = LS1 +RX(0) = 0 ali u(0) = u1 S4−RX(L) = 0 ali u(L) = u4S2 +RZ(0) = 0 ali w(0) = u2 S5−RZ(L) = 0 ali w(L) = u5S3 +MY (0) = 0 ali ϕ(0) = u3 S6−MY (L) = 0 ali ϕ(L) = u6

(6)

kjer u j, j = 1,2, ...,6 predstavlja predpisane posplošene robne pomike in S j, j = 1,2, ...,6 ozna-cuje predpisane posplošene robne sile.

Sistem osnovnih algebrajsko-diferencialnih enacb lesenega nosilca (5)–(6) lahko analiticno re-šimo samo v posebnih primerih pri sobni temperaturi. V našem primeru se srecamo z geo-metrijsko in materialno nelinearnostjo, zato analiticna rešitev ni možna. Zaradi tega je sistemosnovnih enacb lesenega nosilca rešen numericno z metodo koncnih elementov (MKE). Pri temje uporabljen deformacijski koncni element, ki temelji na interpolaciji deformacijskih kolicin[7]. Osnovne enacbe za metodo koncnih elementov izpeljemo na podlagi modificiranega prin-cipa virtualnega dela. Sistem Euler-Lagrangevih enacb za koncni element rešimo z Newtonovoinkrementno-iteracijsko metodo.

2.2.1 Mehanske lastnosti lesa pri povišanih temperaturah

Redukcijski faktorji za trdnost lesa in elasticni modul pri povišanih temperaturah so upoštevaniskladno z Evrokodom [2]. Faktorji so razlicni za les v nategu ali tlaku. Ker sama zoglenela plastnima trdnosti oz. togosti, so redukciji koeficienti nad 300 C, t.j. nad temperaturo oglenenja,enaki nic. Normalna napetost σ in mehanska deformacija Dm sta medsebojno povezni z linearnozvezo v nategu in bi-linearno zvezo v tlaku, kot je prikazano na sliki 1

Nateg

Tlak

Et,T

s

Et,T0

Dt,T0 Dt,TDm

Dc,T0Dc,p Dc,T

Ec,T0

Ec,T

Ec,p,T0 fc,T0

fc,p

fc,T

ft,T

ft,T0

Ec,p,T

Slika 1 : Konstitucijski zakon lesa pri sobni in povišanih temperaturah.

Na sliki 1 Di, j, Ei, j in fi, j (i = c,t; j = T 0,T ) predstavljajo mejno elastično deformacijo, modul

elastičnosti in trdnost lesa v tlaku (c) in nategu (t), pri sobni (T 0) in pri povišanih temperatu-

-142 -

Page 150: Zbornik del

Kuhljevi dnevi 2016

rah (T ). Na podoben nacin Ec,p, j ( j = T 0,T ) predstavlja modul utrditve pri sobni in povišanitemperaturi, fc,p in Dc,p pa oznacujeta mejno trdnost in mejno plasticno deformacijo lesa.

3 Racunski primer

Cilj tega primera je predstaviti vpliv obeh toplotnih modelov, (“Heat” in “Heat&Moisture”)ter posledicno tudi vpliv vlage na odziv prosto-ležecega lesenega nosilca z razponom 3 m, kije izpostavljen standardnemu ISO požaru iz treh strani (slika 2). Precni prerez nosilca znašab/h = 10/20, narejen pa je iz lesa kvalitete C30 in je obtežen z zvezno enakomerno obtežbovelikosti 5 kN/m. V tockah P1−P5 primerjamo temperature izracunane z obema modeloma.Razdalje tocko od spodnje izpostavljene strani znašajo 0.5, 1, 2, 3 in 4 cm.

1.2 m

A

A

1.2 m 1.2 m

Prečni prerez A-A

20.0

2.5 7.5

ISO 834

q = 5 kN/m

P5P3P1

P4P2

Slika 2 : Geometrija, precni prerez ter obtežba ki deluje na nosilec.

3.1 Toplotna analiza

Zaradi simetrije prereza in obtežbe pri toplotni analizi upoštevamo samo polovico širine prec-nega prereza nosilca. Pri obeh modelih precni prerez diskretiziramo s 1600 štiri-vozlišcnimiizoparametricnimi koncnimi elementi. Specificna toplota, gostota in toplotna prevodnost soupoštevani skladno z [2], pri cemer zacetna gostota lesa znaša ρ0 = 680 kg/m3. Vpliv vlagev enostavnem “Heat” modelu upoštevamo s povišanjem specificne toplote v temperaturnemobmocju med 99 in 120 C. Z naprednim “Heat&Moisture” modelom opravimo štiri razlicneanalize, kjer spreminjamo zacetno vsebnost vlage, in sicer m0 = [10 12 15 20]%. Na požaruizpostavljeni strani emisivnost lesa znaša εm = 0.8, konvekcijski prestopni koeficient pa jeαc = 25 W/m2K. Podatki za toplotno-vlažnosto analizo v “Heat&Moisture” modelu so pri-kazani v tabeli 1.

Primerjava izracunanih temperatur z obema modeloma je prikazana na sliki 3. S sivo barvoso prikazani rezultati s “Heat&Moisture” modelom, crna barva pa ponazarja rezultate “Heat”modela. Primerjava razvoja temperatur v tocki P3 ob razlicnih zacetnih vsebnostih vlage jeprikazana na sliki 3a. Picakovano višja zacetna vsebnost vlage povzroci pocasnejši razvoj tem-peratur v “Heat&Moisture” modelu. V nasprotju pa s “Heat” modelom prek povišane toplotnekapacitete lahko zajamemo le eno vlažnostno stanje lesa, zato je na sliki 3a prikazana le enakrivulja temperatura-cas. Slika 3b predstavlja primerjavo temperatur med obema modelomav tockah P1−P5, kjer v “Heat&Moisture” modelu upoštevamo zacetno vsebnost vlage 12%.

- 143 -

Page 151: Zbornik del

Kuhljevi dnevi 2016

Tabela 1 : Vhodni podatki za toplotno–vlažnostno analizo.

R = 8.3144 J/molK Rv = 461.5 J/kgK Ra = 287 J/kgKD0

T = 7 ·10−6 m2/s K = 5 ·10−16 m2 Kg = 1ζ = 0.03 Cw = 4200 J/kgK Cv = 1800 J/kgK

Ca = 1000 J/kgK ∆Hs = 2500 kJ/kg m0 = [10 12 15 20]%cb0 = [68 81.6 102 136] kg/m3

ρv,0 = [9 11.8 13 15] g/m3 Pg,0 = 100 kPaSorpcijski parametribd

10 = 16.3, bd11 =−0.0367, bd

20 = 2.13, bd21 = 0.0535

C1 = 2.7 ·10−4, C21 = 2.74 ·10−5, C22 = 19, C3 = 60, C4 = 1 ·10−7

Kot je razvidno is slike se potek temperatur dobro ujema, iz cesar lahko sklepamo, da s “Heat”modelom najbolje predvidimo potek temperatur v lesu z zacetno vlažnostjo lesa okoli 12%. Vprimeru nižje ali višje zacetne vlažnosti lesa, je uporaba “Heat” modela omejena.

b)

0 5 10 15 20 250

100

200

300

400

500

600

700

800

900

5 10 15 20 25 30 35 40 45

t [min]

a)

T [

°C]

t [min]

m=10%

m=20%

m=12%

m=15%

P1

P2

0 5 10 15 20 25 30 35 40 450

100

200

300

400

500

600

700

800

900

T [

°C]

t [min]

P1

P2

P3

P4P5

0

100

200

300

400

500

600

700

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45

T [

°C]

t [min]

m=10%

m=20%

m=12%

m=15%

Slika 3 : Primerjava temperatur med “Heat&Moisture” (siva) in “Heat” modelom (crna): a) vtocki P3 ob razlicnih zacetnih vsebnostih vlage in b) v tockah P1−P5 pri 12% zacetni vsebnostivlage.

3.2 Mehanska analiza

Rezultate pridobljene v poglavju 3.1 uporabimo kot vhodni podatek za nadaljnjo mehansko ana-lizo, kjer opazujemo vpliv razlicnih temperaturnih polj izracunih s “Heat” in “Heat&Moisture”modeloma na mehanski odziv nosilca. S tem posredno zajamemo vpliv zacetne vsebnostivlage na obnašanje nosilca med požarom. Parametri za konstitucijski zakon lesa so naslednji:Et,T 0 = Ec,T 0 = 1200 kN/cm2, ft,T 0 = fc,T 0 = 3 kN/cm2, Dt,T 0 = Dc,T 0 = 0.0025, Dc,p = 0.065,Ec,p,T 0 = 100 kN/cm2, fc,p = 4 kN/cm2. Temperaturno raztezanje lesa v modelu upoštevano zlienrarnim temperaturnim koeficientom raztezka αT = 5×10−6 m/mC.

Slika 4 prikazuje casovni razvoj navpicnega pomika na sredini razpona nosilca. V primeru

- 144 -

Page 152: Zbornik del

Kuhljevi dnevi 2016

uporabe naprednega “Heat&Moisture” modela, nižja zacetna vsebnost vlage povzroci hitrejširazvoj temperatur (slika 3a) kar posledicno vodi v hitrejši razvoj pomika in krajšo požarnoodpornost nosilca. Razlika v požarni odpornosti v primeru m0 = 10% in m0 = 20% znaša 4.1minute, kar pomeni dodatno 11% višjo požarno odpornost v primeru višje zacetne vsebnostivlage. Iz tega lahko sklepamo, da razlicno vlažnostno stanje lesa vidno vpliva na odziv leseneganosilca med požarom in ga za natancnejše analize ne smemo zanemariti. Kot vidimo pa lahko spoenostavljenim “Heat” modelom zajamemo samo eno vlažnostno stanje lesa in je zaradi tegauporaba omenjenega modela omejena.

-4.0

-3.5

-3.0

-2.5

-2.0

-1.5

-1.0

-0.5

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45t [min]

m =10%0

m =15%0

m =12%0

“Heat”

m =20%0

pom

ik [

cm]

Požarna odpornost

„Heat“

m =10%0

m =12%0

m =15%0

m =20%0

40.1 min

38.0 min

38.4 min

40.0 min

42.5 min

„Heat&Moist.“

Slika 4 : Razvoj navpicnega pomika na sredini razpona nosilca ter prikaz požarnih odpornostinosilca

4 Zakljucek

V clanku smo prikazali odzivni (performancni) pristop za dolocitev odziva lesenega nosilcamed požarom. Glavni namen clanka je bil prikazati razlike pri uporabi enostavnega “Heat” innaprednega “Heat&Moisture” toplotnega modela na požarno odpornost lesenega nosilca. Kotse je izkazalo, je uporaba “Heat” modela omejena, saj omogoca dolocitev temperatur samo zaeno vlažnostno stanje lesa in posledicno vpliv razlicnih zacetnih vlažnosti lesa ni mogoce zajetiv nadaljnji mehanski analizi. Kot vemo, pa se zacetna vsebnost vlage lesa nenehno spreminja inje odvisna od relativne vlažnosti okolice. Zaradi tega je z vidika odzivnega nacina projektiranjauporaba naprednega “Heat&Moisture” modela nujna, saj lahko le tako upoštevamo razlicnezacetne vlažnosti lesa. Seveda je za vsakodnevne analize enostaven “Heat” model še vednoprimeren, vendar bi za vpliv razlicne zacetne vlažnosti lesa bilo potrebno model dopolniti zdolocenimi modifikacijami. Smiselna je modifikacija toplotnih karakteristik lesa oz. natancnejepovecanja specificne toplote v obmocju izparevanja vlage v odvisnosti od zacetne vlažnosti lesa.Omenimo še, da je podoben pristop uporabljen za modeliranje zacetne vlažnosti v betonu in jezajet v Evrokodu 2 [8], kjer je specificna toplota betona odvisna od zacetne vlažnosti materiala.

Literatura

[1] R. Pecenko, 2016, Mechanical response of curved and tapered timber beams with variableheight under fire conditions, Doctoral dissertation, University of Ljubljana, Faculty of Civil

- 145 -

Page 153: Zbornik del

Kuhljevi dnevi 2016

and Geodetic Engineering: 121 p.

[2] EN 1995-1-2: 2005 Evrokod 5: Projektiranje lesenih konstrukcij - 1-2. del: Splošna pravila- Projektiranje požarnovarnih konstrukcij.

[3] R. Pecenko, T. Hozjan, G. Turk, Numerical analysis of timber beam exposed to fire, Appli-cations of Structural Fire Engineering: Proceedings of International Conference Prague,417-422, 2013

[4] H.L. Frandsen, 2008, Fire Selected Constitutive models for simulating the hygromecha-nical response of wood, Doctoral dissertation, Aalborg University, Department of CivilEngineering.

[5] R.T. Tenchev, L.Y. Li, J.A. Purkiss, Finite element analysis of coupled heat and moisturetransfer in concrete subjected to fire, Numer. Heat Tran., Part A, 39, 685–710, 1972.

[6] E. Reissner, On one-dimensional finite-strain beam theory: the plane problem, J. Appl.Math. Phys. 23, 795–804, 1972.

[7] I. Planinc, 1998, Racun kriticnih tock konstrukcij s kvadraticno konvergentnimi metodami,Doktorska disertacija, Univerza v Ljubljani, Fakulteta za gradbeništvo in geodezijo, Odde-lek za gradbeništvo: 83 str.

[8] EN 1992-1-2: 2005 Evrokod 2: Projektiranje betonskih konstrukcij - 1-2. del: Splošnapravila - Projektiranje požarnovarnih konstrukcij.

- 146 -

Page 154: Zbornik del

SLOVENSKO DRUŠTVO ZA MEHANIKO

SREČANJE KUHLJEVI DNEVI 2016

Posplošeni Van der Polov model procesov zgorevanja s

transportno časovno zakasnitvijo

R. Pušenjak1

A Generalized Van der Pol Model of Combustion Processes

with Transport Time Delay

Povzetek. Prispevek obravnava neustaljena nihanja zvočnega tlaka v procesih zgorevanja ob

upoštevanju transportne časovne zakasnitve med šobo in površino plamena. V prispevku je

predstavljen nizkodimenzionalni van der Polov model neustaljenih procesov zgorevanja z dvema

prostostnima stopnjama, ki sestoji iz linearnega modela širjenja zvočnega valovanja v direktni veji

in nelinearnega modela sproščanja toplote v povratni zvezi. Neustaljena nihanja zvočnega tlaka so

analizirana s pomočjo Razširjene Lindstedt-Poincarejeve (RL-P) metode z več časovnimi skalami.

Analiza je zaradi splošnosti izvedena v primeru pojava tekmovalnega dušenja, ki kaže, da je razvoj

počasno spreminjajočih se amplitud in faz v obeh načinih nihanja zvočnega tlaka močno odvisen

od transportne časovne zakasnitve. Najvažnejši izsledek kaže recipročno odvisnost ustaljenih

amplitud od naravnih frekvenc, s čemer lahko določimo najvišje nivoje zvočnih tlakov ustaljenega

nihanja, ki lahko nastopijo.

Abstract. This work treats nonstationary pressure oscillations of combustion processes considering

the transport time delay from the nozzle to the flame surface. The low order van der Pol model of

nonstationary combustion processes with two degrees of freedom, which consists from a linear

acoustic model in the forward branch and a nonlinear model of the heat release process in the

feedback is considered. Nonstationary pressure oscillations of the combustion process are analyzed by

means of the Extended Lindstedt-Poincare (EL-P) method with multiple time scales. The analysis is

performed in the common case of the competitive quenching phenomenon, which reveals that

evolution of slowly varying amplitudes and phases of both pressure modes is strongly influenced by

the time transport delay. The main result of the analysis shows the inverse dependence of steady state

pressure amplitudes on the natural frequencies, which is extremely valuable in the prediction of the

highest level of the acoustic pressures.

1 Uvod

Nestabilnost procesa zgorevanja v splošnem razlagamo z nestacionarnim plamenom, ki

povzroča zvočno valovanje, ki se odbija od sten zgorevalne komore in povratno vpliva na

1 Fakulteta za industrijski inženiring Novo mesto

Page 155: Zbornik del

Kuhljevi dnevi 2016

- 148 -

proces zgorevanja. V skladu z Rayleighovim tolmačenjem se amplitude samovzbujenih

nihanj zvočnega tlaka povečujejo, če je sproščanje toplote v fazi z nihanjem zvočnega tlaka,

v nasprotnem primeru pa se zadušijo [4]. Mehanizem samovzbujenih nihanj zvočnega tlaka v

zgorevalnem procesu lahko pojasnimo tudi alternativno z interakcijo med zvočnim

valovanjem in procesom sproščanja toplote v prisotnosti negativnega dušenja, kar daje

osnovo modeliranju procesa zgorevanja s pomočjo posplošenih in medsebojno sklopljenih

van der Polovih nihal [3]. Iz vidika teorije sistemov se zvočno valovanje v van der Polovem

modelu ponazori s pomočjo linearnih resonatorjev, proces sproščanja toplote pa z

modeliranjem nelinearne statične karakteristike, ki jo prilagajamo vsakokratnim realnim

razmeram z metodo identifikacije parametrov [2],[5]. Model predpostavlja, da se vsa toplota

sprosti v eni sami točki [6], pri širjenju zvočnega valovanja pa je predpostavljena prostorska

koherenca, zaradi katere prostorske skale v modelu niso prisotne. Tako je zvočno valovanje

zreducirano na časovne poteke zvočnega tlaka oziroma na posamezne načine nihanja. Zaradi

nelinearne interakcije med akustičnim valovanjem in nelinearnim modelom sproščanja

toplote obstaja teoretično neskončno mnogo načinov nihanja zvočnega tlaka, vendar

upoštevamo v predloženi analizi le prva dva dominantna načina nihanja zvočnega tlaka na

osnovi eksperimentalnih rezultatov v [2] in [9]. Kljub temu, da predložena metoda v številu

načinov nihanja zvočnega tlaka ni omejena, dobimo z omejitvijo na dva dominantna načina

nihanja nizkodimenzionalni model z dvema prostostnima stopnjama in s tem večjo

učinkovitost modela.

2 Posplošeni van der Polov model procesa zgorevanja s transportno časovno

zakasnitvijo

Direktna veja posplošenega van der Polovega modela procesa zgorevanja na sliki 1 sestoji iz

dveh harmoničnih resonatorjev v direktni veji, s katerima opišemo nihanji zvočnih tlakov x1

in x2, ki pripadata dvema dominantnima načinoma širjenja zvočnega valovanja v zgorevalni

komori, njuna vsota p=x1+x2 pa ob zanemaritvi vseh višjerednih načinov širjenja zvočnega

valovanja aproksimativno predstavlja celotni zvočni tlak v ravnini gorenja. V povratni zvezi

modeliramo nelinearni proces sproščanja toplote.

Izbiro van der Polovega modela procesa zgorevanja upravičimo zlasti zaradi naravne

lastnosti van der Polovih nihal, da zagotavljajo obstoj limitnih ciklov. Obstoj limitnih ciklov

v procesu zgorevanja preprečuje neomejeno naraščanje amplitud zvočnega tlaka kot

posledice nasičenja procesa sproščanja toplote. V načrtovanju raznih naprav, kot so plinske

turbine, motorji reaktivnih letal, raketni motorji, itd. je ta lastnost dobrodošla, ker omogoča

predikcijo največjih zvočnih tlakov v zgorevalni komori v ustaljenih razmerah s pomočjo

izračuna ustaljenih vrednosti amplitud zvočnega tlaka. Statična karakteristika procesa

sproščanja toplote je opisana z nelinearnostjo van der Polovega tipa, ki vključuje člen

31

3 ,1 23x x , s katerim modeliramo nasičenje. V celoti vsebuje posplošena statična

karakteristika procesa tri parametre ϕ0, ϕ1 in ϕ3, ki jih določimo z identifikacijskimi

metodami tako, da najbolje ustrezajo realnemu procesu sproščanja toplote.

V tem prispevku se van der Polov model procesa zgorevanja razlikuje od modela,

predstavljenega v [8] zaradi pomembne dopolnitve, s katero je upoštevana transportna

časovna zakasnitev θ zaradi konvekcije goriva od šobe pa do površine plamena v zgorevalni

komori oziroma časovna zakasnitev zaradi končne hitrosti širjenja zvočnega valovanja. V

Page 156: Zbornik del

Kuhljevi dnevi 2016

- 149 -

blokovni shemi na sliki 1 je ta zakasnitev modelirana z zakasnilnim blokom se

(ki v

regulacijski tehniki predstavlja Laplaceovo transformacijo časovne zakasnitve). Razen

zakasnilnega bloka se posplošeni van der Polov model na sliki 1 razlikuje od modela, ki je

opisan v [8] še po vključenem diferenciatorju ddt

, kar ima za posledico, da proces sproščanja

toplote v povratni zvezi namesto s celotnim tlakom v ravnini gorenja p=x1+x2 modeliramo z

vhodnim signalom ,1 ,2p x x , ki ustreza časovnemu odvodu vsote zakasnjenih

zvočnih tlakov xθ,1 in xθ,2. Ta modifikacija modela procesa zgorevanja je ključna, če želimo

evolucijo počasno spreminjajočih se amplitud zvočnega tlaka (in še posebej pripadajočih

ustaljenih vrednosti) izraziti v odvisnosti od krožnih frekvenc in jo tako uskladiti z

eksperimentalnimi rezultati [3]. Kasneje bomo videli, da v RL-P metodi z več časovnimi

skalami običajni časovni odvod ddt

nadomestimo z diferencialnim operatorjem

1 2 3

d1 2dt

, kjer sta τ1, τ2 hitri časovni skali, τ3 pa počasna časovna skala,

medtem ko ω1 in ω2 predstavljata nelinearni krožni frekvenci obeh dominantnih načinov

nihanja zvočnega tlaka. Na ta način z vpeljavo diferenciatorja v blokovno shemo procesa

izgorevanja vzpostavimo želeno frekvenčno odvisnost. V povratni zvezi je vključeno še

nizkopasovno sito ali filter, katerega namen je odstranjevanje nezaželenih visokofrekvenčnih

komponent. Delovanje nizkopasovnega sita simbolično predstavimo s funkcijo LPF.

Slika 1: Blokovna shema procesa zgorevanja s transportno časovno zakasnitvijo.

V skladu s prikazano strukturo blokovne sheme na sliki 1 zapišemo vodilne enačbe

posplošenega van der Polovega modela procesa zgorevanja v obliki:

2

320 1 ,1 ,2 3 ,1 ,22

d d 1, 1,2

d 3d

ini i

xx LPF x x x x i

tt

, (1)

kjer pomeni ,1 ,2p x x časovni odvod zvočnega tlaka 1 2p x x v ravnini zgorevanja s

transportno zakasnitvijo θ, s funkcijo LPF pa je označen učinek nizkopasovnega filtra na

proces sproščanja toplote.

V naslednjem razdelku je opisana uporaba Razširjene Lindstedt-Poincarejeve (RL-P) metode

z več časovnimi skalami [7] v analizi posplošenih avtonomnih van der Polovih enačb (1) z

dvema prostostnima stopnjama.

Page 157: Zbornik del

Kuhljevi dnevi 2016

- 150 -

3 Uporaba Razširjene Lindstedt-Poincarejeve (RL-P) metode z več časovnimi

skalami v posplošenem van der Polovem modelu procesa zgorevanja s

transportno časovno zakasnitvijo

Problem nestabilnosti procesa zgorevanja, ki ga opisujejo sklopljene posplošene van der

Polove enačbe (1), lahko analiziramo z RL-P metodo z več časovnimi skalami [8]. Z

namenom, da podamo perturbacijsko analizo splošnega modela nestabilnosti, predpostavimo,

da resonatorja, ki opisujeta pojav širjenja zvočnega valovanja v zgorevalni komori nimata

medsebojnih interakcij. V tem primeru sta naravni krožni frekvenci ωn1 in ωn2 poljubni in ne

zadoščata nobenemu izmed posebnih pogojev ωn1≈ ωn2, ωn1≈3ωn2 ali ωn1≈⅓ωn2. Naravni

krožni frekvenci s tako lastnostjo označimo kot nekomenzurni krožni frekvenci. Proces

zgorevanja pri nekomenzurnih naravnih krožnih frekvencah ustreza pojavu tekmovalnega

dušenja, ki ga bomo v podrobnostih obravnavali v nadaljevanju. Za pojav tekmovalnega

dušenja je značilno, da je vzbujan le eden izmed resonatorjev, ki si izposoja zvočno energijo

drugega resonatorja, tako da samovzbujena zvočna nihanja prvega resonatorja naraščajo,

samovzbujena zvočna nihanja drugega resonatorja pa se postopoma zadušijo. Če naravne

krožne frekvence izpolnjujejo enega izmed posebnih pogojev ωn1≈ ωn2, ωn1≈3ωn2 ali

ωn1≈⅓ωn2, obstajajo med resonatorjema določene vrste interakcij, ki imajo za posledico

različne pojave vzajemne sinhronizacije zaradi bližine naravnih krožnih frekvenc ali zaradi

večkratnih harmonikov. Analiza teh pojavov se razlikuje od splošnega primera tekmovalnega

dušenja v tem, da je potrebno upoštevati dodatne relacije med naravnimi krožnimi

frekvencami. Zaradi prostorskih omejitev analiza pojava vzajemne sinhronizacije ne bo

prikazana v tem članku.

Razen nekomenzurnih naravnih krožnih frekvenc v predloženi analizi predpostavimo še, da

lahko transportna časovna zakasnitev θ zavzame le majhne vrednosti, tako da časovne

zakasnitve v nobenem primeru ne dosegajo dolžine periode zvočnega nihanja [1].

Sledeč znanemu perturbacijskemu postopku v RL-P metodi z več časovnimi skalami [8],

uvedemo za oba resonatorja dve hitri časovni skali τ1=ω1t and τ2=ω2t, kjer ω1 in ω2

imenujemo nelinearni krožni frekvenci sklopljenih van der Polovih nihal v skladu z enačbo

(5). Dodatno vpeljemo še počasno časovno skalo τ3=εt, ki ustreza majhni pozitivni vrednosti

perturbacijskega parametra ε. Po uvedbi časovnih skal zamenjamo običajna časovna odvoda

d/dt in d2/dt

2 z diferencialnima operatorjema:

1 2 3

2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 21 2 1 3 2 31 2 3

d1 2d

2 2 2d1 2 1 2 1 2

d

,

2 2 2

t

t

(2.a,b)

in vodilni enačbi sklopljenih van der Polovih nihal (1) prevedemo v parcialni diferencialni

enačbi:

2 2 2

2 21 21 2

,1 ,2 ,1 ,2 ,1 ,2 ,1 ,2

3 3

2 22 22 2 2

1 1 2 2 21 13 33

2 2

0 1 31 1

2 2

1

3

i i i

k k

x x x i ini i k k

k kk k

x x x x x x x x

k kk k

x xx

LPF

3

, 1,2i

(3)

Aproksimativno rešitev enačb (3) v odvisnosti od treh časovnih skal τ1, τ2 and τ3 iščemo v

obliki potenčnih vrst:

Page 158: Zbornik del

Kuhljevi dnevi 2016

- 151 -

1 2 30

, , , 1,2ki ik

k

x x i

(4)

Podobno izrazimo tudi nelinearni krožni frekvenci ωi,(i=1,2) v okolici linearnih krožnih

frekvenc ω10 and ω20 v obliki potenčnih vrst:

30

, 1,2ki ik

k

i

(5)

pri čemer so v splošnem krožne frekvence ωik,(i=1,2) parametri potenčne vrste (5), ki se

lahko počasi spreminjajo v odvisnosti od počasne časovne skale τ3. Krožne frekvence

ωik,(i=1,2) niso znane v naprej, zato jih moramo določiti sukcesivno v perturbacijskem

postopku. Kot se lahko prepričamo iz enačbe (10) v perturbacijskem postopku ničtega reda,

so krožne frekvence ωi0,(i=1,2) v linearni odvisnosti z naravnimi krožnimi frekvencami ωni,

zaradi česar jih imenujemo linearne krožne frekvence. Frekvence ωik,(k ≥ 1) določimo v

perturbacijskem koraku k-tega reda iz takoimenovanih pogojev rešljivosti v splošnem kot

nelinearne funkcije počasno spreminjajočih se amplitud. Na osnovi teh funkcijskih

odvisnosti in enačbe (5) imenujemo frekvence ωi,(i=1,2) nelinearne frekvence. Z uvrščanjem

predpostavljene rešitve v obliki potenčne vrste (4) in potenčne vrste (5) v enačbo (3), nato pa

z izenačevanjem členov ob istih potencah parametra ε na obeh straneh enačbe (3), dobimo

sistem parcialnih diferencialnih enačb (PDE), ki jih sukcesivno rešujemo na vsakem

naslednjem perturbacijskem koraku višjega reda:

0 :2 2 2

0 0 0

2 21 21 2

2 2 210 10 20 20 02 0,i i ix x x

ni ix

(6)

1 :

2 2 21 1 1

2 21 21 2

,10 ,20 ,10 ,20

2 22 22 2 2 0 0

10 10 20 20 1 0 11 1 3

32 2

0 0 1 0 3 01 1

2 2

1

3

i i i

k k

x x x i ini i k l

k l k l k

x x x x

k k kk kk

x xx

LPF

2

1k

, (7)

2 :

2 2 22 2 2

2 21 21 2

2 2 2 22 2 2 22 2 2 1 1 0 0

10 10 20 20 2 0 1 0 2 21 1 1 13 3

2 22 20 0

1 1 01 1 3

2 2 2

2

i i ix x x i i i ini i k l k l

k l k lk l k k l

i ik l k

k l k l k k

x x x xx

x x

,11 ,21 ,10 ,20 ,10 ,20

3

,10 ,20 ,10 ,20 ,11 ,21 ,10 ,20

3

2 2 2

1 0 11 1 1

22 2 2

3 0 1 0 11 1 1

k k

k k k

x x x x x x

k kk k k

x x x x x x x x

k k k kk k k

LPF

,10 ,20 ,10 ,20 ,10 ,20 ,10 ,20

2

1

3 32 2 2 2

0 1 0 3 0 0 1 0 3 01 1 1 13

1 1

3 3k k k k

k k

x x x x x x x x

k k k kk k k k

LPF LPF

, (8)

za i=1,2.

Nizkopasovni filter je linearen, poleg tega pa predpostavljamo, da je njegova dinamika

mnogo hitrejša kot počasno spreminjajoče se amplitude in faze v odvisnosti od počasne

časovne skale τ3. Ker smo poleg tega predpostavili, da je transportna časovna zakasnitev θ

majhna, lahko amplitude in faze vzamemo kot neodvisne od zakasnitve θ, oziroma

smatramo, da velja , 3 3i iA A in , 3 3i i . V teh pogojih lahko vzamemo rešitev

ničtega reda enačbe (6) v obliki:

Page 159: Zbornik del

Kuhljevi dnevi 2016

- 152 -

0 3 3 3

, 0 3 3 3 0

, cos ,

, cos , 1,2

i i i i i

i i i i i i

x A

x A i

(9.a,b)

Nizkopasovni filter ustvarja pri predpisani frekvenci ω ojačenje G(ω) in fazni premik :

2 2

, arctanc

cc

G

, (10)

kjer je ωc takoimenovana mejna frekvenca filtra. Funkcija LPF peoblikuje vhodni signal xi0,

oziroma zakasnjeni vhodni signal xθ,i0 v skladu z relacijama:

0 3 3

, 0 3 3 0

cos ,

cos

i i i i

i i i i i

LPF x G A

LPF x G A

(10.a,b)

Splošna rešitev ničtega reda (9.a) predvideva dve neodvisni (nekomenzurni) naravni krožni

frekvenci ωn1 in ωn2. Iz nastavka (9.a) spoznamo, da so samovzbujena nihanja sklopljenih

van der Polovih nihal, ki ustrezajo rešitvi ničtega reda, aperiodična nihanja s počasno

spremeljivimi amplitudami in fazami. Če rešitev (9.a) vstavimo v PDE ničtega reda (to je v

enačbo (6)), dobimo z upoštevanjem lastnosti, da morejo biti krožne frekvence le pozitivne,

naslednjo zvezo med linearnimi in naravnimi krožnimi frekvencami:

2 20 00 1,2i ni i ni i (11)

Če uvrstimo rešitvi (9.a,b) v PDE prvega reda (7), nato pa uporabimo še enačbi (10.a,b),

dobimo na desni strani enačbe (7) sekularne člene, ki povzročijo neomejeno naraščanje

rešitve. Da bi zagotovili enolično rešitev, sekularne člene zberemo in izenačimo z nič. Ker

nastopajo sekularni členi ob funkcijah cos[τi+Φi[τ3]] in sin[τi+Φi[τ3]], (i=1,2), dobimo z

združevanjem členov ob teh funkcijah pogoje rešljivosti prvega reda, ki se glasijo:

3 1 3 0 0 3 0 0

2 2 2 211 3 0 3 33 ,0 34

2A cos

2 ,

i i i i i i i i

i i i i

G A

A A

(12)

0 3 0 0 3 0 0

22 2 21 3 0 3 33 ,0 3

12 A A sin

8

4 A 2 A 0

i i i i i i i

i i i i

G

(13)

Enačbi (12) in (13) opisujeta evolucijo počasno spreminjajočih se amplitud Ai(τ3) in faz

Φi(τ3) zvočnega tlaka. Transportni čas zakasnitve θ ima tako na razvoj amplitud kot tudi faz

močan vpliv, prav tako pa nanju vpliva tudi prenosna funkcija nizkopasovnega filtra. Ti

vplivi se odražajo v spremembi netrivialnih ustaljenih vrednosti amplitud zvočnega tlaka v

primejavi z ustaljenimi vrednostmi amplitud v sistemu brez časovnih zakasnitev. Razen

trivialnih ustaljenih vrednosti amplitud, ki obstajajo tako v sistemu z zakasnitvami kot tudi v

sistemu brez zakasnitev [8]:

Page 160: Zbornik del

Kuhljevi dnevi 2016

- 153 -

a 1 2 0S S

A A , (14)

dobimo iz enačbe (13) še naslednje netrivialne ustaljene vrednosti amplitud:

b 1 11 2

10 3 20 3

2 2,

3 3S SA A

(15)

c 13

0 3

2, 0, 1,2

S Si i

i

A A i

(16)

V sistemu brez diferenciatorja, brez zakasnitev in brez nizkopasovnega filtra v blokovni

shemi na sliki 1 so netrivialne ustaljene vrednosti amplitud zvočnega tlaka [8]:

b 11 2

3

23S S

A A

(17)

c 13

3

2 , 0, 1,2S Si iA A i

(18)

S primerjavo enačbe (15) z enačbo (17), prav tako pa s primerjavo enačbe (16) z enačbo (18)

se prepričamo, da se netrivialne ustaljene vrednosti amplitud pod vplivom transportnih

časovnih zakasnitev močno spremenijo. Dobljeni enačbi (15) in (16) kažeta, da so ustaljene

vrednosti amplitud prvega oziroma drugega načina nihanja zvočnega tlaka s transportno

časovno zakasnitvijo obratno sorazmerne vrednostim naravnih krožnih frekvenc 0ni i

(glej enačbo (11)!). Ta izsledek je izjemno pomemben, saj omogoča predikcijo največjih

zvočnih tlakov ustaljenega nihanja, ki lahko nastopijo v procesu zgorevanja in je povsem v

skladu z eksperimentalnimi opažanji [3].

Slika 2: Evolucija amplitud zvočnih tlakov A1(t) in A2(t) k ustaljenim vrednostim tipa (a),

(b) in (c) za različne vrednosti transportne časovne zakasnitve θ.

Ker enačbi (12) in (13) nista analitično rešljivi, dobimo časovni potek amplitud in faz

zvočnih tlakov z numerično integracijo enačb. Slika 2 prikazuje rezultate izračuna evolucije

amplitud zvočnih tlakov A1(t) in A2(t) za vrednosti parametrov φ0 = 0.45, φ1 = -0.135 in φ3 =

-5.4×10-3

, naravni krožni frekvenci ωn1=2π×210 s-1

, ωn2=2π×740 s-1

, mejno frekvenco

nizkopasovnega filtra ωc=2π×500 s-1

, začetna pogoja A1(0)=2×10-3

in A2(0)=0.2×10-3

ter

različne transportne časovne zakasnitve θ. Čeprav so časovni intervali na sliki 2 omejeni in

prikazane vrednosti na koncu intervalov ne ustrezajo teoretičnim ustaljenim vrednostim, ki

jih predvidevajo enačbe (14), (15) in (16), se kljub temu lahko prepričamo, da se s časovno

Page 161: Zbornik del

Kuhljevi dnevi 2016

- 154 -

zakasnitvijo θ=5.5×10-3

bližamo vrednosti nič pri obeh načinih nihanja (tip (a), enačba (14)),

s časovno zakasnitvijo θ=2.5×10-3

se približujemo teoretičnima ustaljenima vrednostima

A1s=0.00438, A2s=0.00124 (tip (b), enačba (15)), s časovno zakasnitvijo θ=1.82×10-3

pa

teoretičnima ustaljenima vrednostima A1s=0, A2s=0.00215 (tip (c), enačba (16)). Poudariti je

treba, da lahko pri drugih vrednostih transportne časovne zakasnitve θ sistem v celoti izgubi

stabilnost, česar v tem prispevku zaradi prostorskih omejitev ne bomo obravnavali.

4. Zaključki

V prispevku je obravnavan posplošeni van der Polov model procesa zgorevanja z dvema

prostostnima stopnjama, v katerem je upoštevana transportna časovna zakasnitev zaradi

konvekcije goriva med šobo in površino plamena oziroma časovna zakasnitev kot posledica

končne hitrosti širjenja zvočnega valovanja v zgorevalni komori. Analiza nestacionarnih

samovzbujenih nihanj zvočnega tlaka je izvedena z uporabo RL-P metode z več časovnimi

skalami. V analizi samovzbujenih nihanj so dobljeni pogoji rešljivosti prvega reda, ki

omogočajo izračun razvoja amplitud zvočnega tlaka med procesom zgorevanja. Najvažnejši

rezultat te analize predstavljajo enačbe ustaljenih vrednosti amplitud, ki ustrezajo

amplitudam limitnega cikla in kažejo obratno sorazmernost z vrednostmi naravnih krožnih

frekvenc. S pomočjo dobljenih enačb je omogočena predikcija najvišjih nivojev zvočnega

tlaka ustaljenega nihanja, ki lahko nastopijo v procesu zgorevanja, pri čemer se izpeljane

enačbe dobro ujemajo z eksperimentalnimi rezultati.

Literatura

[1] Cohen J. M., Banaszuk A. “Factors effecting the control of unstable combustors”. J.

Prop. Power. 19(5):811-821, 2003.

[2] Dunstan W. J. System Identification of Nonlinear Resonant Systems. PhD thesis,

University of California, San Diego, 2003.

[3] Landau I. D., Bouziani F., Bitmead R. R., Voda-Besançon A. ”Analysis of control

relevant coupled nonlinear oscillatory systems“. European Journal of Control

14(4):263-282,2008.

[4] Lord Rayleigh. The Theory of Sound, Vol.2, 231-234. New York: Dover Publications,

second edition, 1945.

[5] Murray R. M., Jacobson C. A., Casas R., Khibnik A. I., Johnson C. R. Jr., Bitmead R.,

Peracchio A. A., Proscia W. M. ”System Identification for Limit Cycling Systems: A

Case Study for Combustion Instabilities“. American Control Conference Proceedings,

1998.

[6] Peracchio A. A., Proscia W. M. ”Nonlinear Heat-Release/Acoustic Model for

Thermoacoustic Instability in Lean Premixed Combustors“. ASME J. Eng. Gas

Turbines Power 121(3): 415-421, 1999.

[7] Pušenjak R. R.”Extended Lindstedt-Poincare method for non-stationary resonances of

dynamical systems with cubic non-linearities“. J. Sound Vib. 314(1-2): 194-216, 2008.

[8] Pušenjak R. R. , Tičar I., Oblak M. M. ”Self-excited Oscillations and Fuel Control of a

Combustion Process in a Rijke Tube“. Int. J. of Nonlin. Sci. Num. 15(2): 87-106, 2014.

[9] Sterling J. D. ”Nonlinear Analysis and Modelling of Combustion Instabilities in a

Laboratory Combustor“. Combust. Sci. and Tech., 89: 167-179, 1993.

Page 162: Zbornik del

SLOVENSKO DRUSTVO ZA MEHANIKO

SRECANJE KUHLJEVI DNEVI 2016

Sledenje rotaciji makro delca z BEM in OpenFOAM

M. Ramsak, 1 J. Ravnik,1 M. Hribersek1 in P. Steinmann 2

Macro particle rotation tracking using BEM and OpenFOAM

Povzetek. V prispevku predstavljamo rezultate sledenja rotaciji delca z lastnim programom naprimeru toka v kubicni gnani kotanji. Tokovno polje smo izracunali z dvema programoma: BEMin OpenFOAM. Ceprav primerjava tokovnega polja kaze odlicno ujemanje, se poti delca med pro-gramoma malenkost razlikujeta. Pot delca in njegovo hitrost rotacije smo primerjali tudi z ekspe-rimentalnimi podatki. Izvedli smo tudi test obcutljivosti spremembe zacetnega polozaja, mase inelipticnosti delca. Zelo male spremembe vhodnih parametrov povzrocijo znatne spremembe poti inrotacije delca.

Abstract. The paper presents the results of the particle rotation tracking in a lid driven cubiccavity using in house code. The flow field was calculated by two programs: in house BEM andOpenFOAM. Although comparison of flow field shows excellent agreement, the path of the particlebetween the two programs differ slightly. The path of the particle and its speed of rotation was alsocompared with the experimental data. The sensitivity analysis of the particle initial height, weightand particle ellipticity is performed. Very small changes in input parameters to lead to substantialchanges in the path and the rotation of the particle.

1 Uvod

Sledenje makroskopskih delcev v tekocinah je uporabno v mnogih prakticnih primerih s po-drocja procesnega in okoljskega inzenirstva. Prav tako je sledenje delcev osnovni princip vizu-alizacije tokovnih razmer.

Kot osnova pricujocega dela je clanek avtorjev Tsorng in ostali [1], kjer je predstavljen nu-mericni in eksperimentalni pristop sledenju poti in rotaciji makroskopskega delca v gnanemtoku tekocine v kubicni kotanji. Eksperimentalno je posneta pot in hitrost rotacije, kot je pri-kazano na sliki 1. Numericni pristop zajema zgolj simulacijo tokovnega polja v tekocini. Cilj

1 Univerza v Mariboru, Fakulteta za strojnistvo, Smetanova 17, Maribor2 Lehrstuhl fur Technische Mechanik (LTM), Friedrich-Alexander-Universitat Erlangen-Nurnberg

Page 163: Zbornik del

Kuhljevi dnevi 2016

pricujocega dela je omenjeni clanek nadgraditi s simulacijo sledenja poti delca in njegove rota-cije in s tem morebiti zmanjsati razhajanja med simulacijo in meritvami rotacije delca.

Slika 1 : Rotacija markiranega delca velikosti 3mm v gnanem toku kubicne kotanje s stranico100mm. Reynoldsovo stevilo je 470 in Stokesovo stevilo 0.023. Slika predstavlja vir pridobitveeksperimentalni podatkov polozaja in hitrosti rotacije delca. Na desni strani slike je primer-java poti delca (pike) s tokovnico (crta). Z sivo barvo je oznaceno podrocje pozitivne in belonegativne vrtincnosti, vir [1].

2 Numericna simulacija

Pomembnejsi predpostavki in omejitvi pricujoce numericne simulacije sta naslednji: tok tekocineje nestisljiv, laminaren in ustaljen ter delci ne vplivajo na tok tekocine.

Tokovno polje smo izracunali z dvema programskima paketoma: Tritok [2], ki temelji na me-todi robnih elementov (BEM) in metodo koncnih volumnov, program OpenFOAM [3]. V obehprimerih resujemo Navier-Stokesove enacbe za brez dimenzijski spremenljivki polja vektor hi-trosti~u in tlak p:

∂~u∂t

+(~u ·∇)~u+∇p =1

Re∇

2~u,

∇~u = 0 (1)

kjer je Re Reynoldsovo stevilo. Pri OpenFoam enacbe resujemo v zapisani obliki z uporabotlacno implicitne sheme z razstavljenimi operatorji (PISO: Pressure Implicit with Splitting ofOperators), vec v [3]. Pri BEM vpeljemo vektor vrtincnosti ~ω in dobimo enacbo kinematike

∇2~u+~∇×~ω = 0 (2)

in kinetike vrtincnosti∂~ω

∂t+(~u ·~∇)~ω = (~ω ·~∇)~u+

1Re

∇2~ω. (3)

- 156 -

Page 164: Zbornik del

Kuhljevi dnevi 2016

Postopek numericne resitve z BEM je bil na Kuhljevih dnevih ze veckrat predstavljen, je pa tudinatancno opisan v [4]. Zapisa vodilnih enacb sta ekvivalentna in resitev bi morala biti identicna.

Sledenje delcev simuliramo v Lagrangevem koordinatnem sistemu, ki ga oznacimo s ′. Algori-tem je natnacno opisan v [4], v nadaljevanju podajamo samo osnovne enacbe. Enacba gibanjadelcev je podana z

d2~r′

dt ′2=~a′(~v′,~u′), (4)

kjer jer ~r′ polozaj delca in ~a′ njegov pospesek, ki je odvisen od hitrosti delca ~v′ in hitrostitekocine na mestu delca ~u′. Fizikalni model uposteva naslednje sile na delec: teznost, vzgon,upor in prispevek zaradi tlacnega gradienta. Kot enacbe toka tekocine, tudi enacbe za sledenjedelcev resujemo v brez dimenzijski obliki.

3 Rezultati

Slika 2 : Primerjava profilov hitrosti med BEM in OpenFOAM rezultati na razlicnih mrezah.Na desni strani je povecan detajl.

3.1 Izracun tokovnega polja v kubicni kotanji: BEM vs OpenFOAM

Robni pogoji primera so enaki kot v [4]: pokrov kotanje je gnan s stalno hitrostjo, na ostalihstenah pa ni zdrsa. Reynoldsovo stevilo definiramo z velikostjo kotanje in hitrostjo pokrova.Znasa 470.

Osnovna racunska mreza za OpenFOAM 32 ima 32 elementov po posamezni osi, kar daje 323 =32768 prostostnih stopenj. Elementi so proti steni zgosceni z razmerjem najdaljsi/najkrajsi 10

- 157 -

Page 165: Zbornik del

Kuhljevi dnevi 2016

Slika 3 : Izovrtincnice za BEM in primerjava poti delca med BEM in OpenFOAM rezultati(levaslika). Usmerjenost delca je prikazana z vektorji. Primerjava hitrosti rotacije delca (pike) inpotek vrtincnosti tekocine (crta) po poti delca (desna slika).

v vseh smereh. Mreza BEM 32 je prakticno enaka s priblizno enakim stevilom prostostnihstopenj. Razlika je ta, da ima BEM 32 sestnajst kvadratnih elementov po osi, torej 33 vozlisc.

Odlicno ujemanje hitrostnih profilov skozi center kotanje je prikazano na sliki 2. Natancnejsaprimerjava daje pricakovani vrstni red. Najslabsi so rezultati OpenFOAM 32, sledi BEM 32,nato OpenFOAM 60 in 80. Rezultata OpenFOAM 60 in 80 se prakticno pokrivajo. Zakljucitismemo, da je BEM na enaki mrezi natancnejsi od OpenFOAM-a.

3.2 Sledenje poti in rotaciji makro delca

Na levi strani slike 3 je prikazan polozaj in usmerjenost delca, na desni strani pa hitrost rota-cije (pike) in vrednost vrtincnosti na tirnici delca. Poudariti je potrebno, da linija Vrtincnost(Tsorng) predstavlja vrtincnosti na poti delca njihove numericne simulacije tokovnega polja.

Analizo rezultatov, prikazanih na sliki 3, strnemo v naslednje splosne ugotovitve, ki skupne inveljajo za BEM in OpenFOAM rezultate.

1. Eksperiment [1] kaze veliko razliko med izmerjeno rotacijo delca in vrednostjo vrtincnostitekocine na tirnici delca, medtem ko simulirana hitrost rotacije delca zelo sledi vredno-stim vrtincnosti na tirnici delca (na desni strani slike 3 so pike zelo blizu linijam za vsesimulacije).

2. Pot in rotacija delca na vodoravni poti do vogala se odlicno ujema z [1] znotraj (1%).

3. V vogalu simulirani delec potuje znatno bolj desno od meritev. Slednje ima odlocilnivpliv na nadaljnje rezultate. Razlog je morebiti velikost realnega delca 3 mm (3%), prisimulaciji pa je tockovni. In tockovni delec gre blizje vogalu.

- 158 -

Page 166: Zbornik del

Kuhljevi dnevi 2016

Slika 4 : Obcutljivost poti in rotacije delca v odvisnosti od zacetne pozicije po visini kotanje:0%, -1% in -2% visine kotanje, kar znasa -1 mm in -2 mm od referencne visine (premer delcaje 3 mm).

4. Na vertikalnem delu poti navzdol je simulirana pot tudi desno od meritev, priblizno 1premer delca (2%). Temu sledi tudi rotacija, ki je 3krat bolj negativna od meritev, saj sedelec nahaja v blizini stene, kjer so veliki gradienti hitrosti in vrtincnosti.

5. Direktna posledica tocke 3 je hipna sprememba predznaka simulirane vrtincnosti v casu 1sekunde, desna slika 3. V blizini vogala simulirana pot namrec mnogo prej precka nicelnovrtincnost, eksperimentalni podatki pa kazejo preckanje dosti kasneje (20% dolzine ko-tanje).

3.3 Primerjava sledenju poti med BEM in OpenFOAM

1. OpenFOAM rezultati se med sabo odlicno pokrivajo za vse mreze.

2. Pot BEM poteka malenkost (manj kot 1%) bolj desno od OpenFOAM (leva slika 3), zatomalenkost visja negativna vrtincnost po 1 sekundi (desna slika 3), saj se delec nahajablizje steni.

3.4 Obcutljivost na variacijo zacetnega polozaja delca

V eksperimentu je dimenzija kotanje 100 mm. Premer makro sfericnega delca je 3 mm, torej3% dimenzije kotanje. Pri dolocanju polozaja makro delca avtorji eksperimenta porocajo, da jeRMS napaka priblizno 0.2 mm, kar je 0.2%, [1].

Presenetljivo je, da znizanje visine zacetnega polozaja za 1mm, kar je 1% visine kotanje in 33%premera delca, povzroci bistveno drugacno pot delca in s tem tudi rotacijo, slika 4. Z nizanjemzacetne pozicije se hitrost delca na zacetnem delu poti tudi niza (gostejse pike v vodoravnem

- 159 -

Page 167: Zbornik del

Kuhljevi dnevi 2016

Slika 5 : Obcutljivost poti in rotacije delca v odvisnosti od razlike gostote med delcem intekocino. Predznak plus je za tezji delec, minus za lazji delec od tekocine.

delu poti). Nadalje delec prej spremeni smer navzdol v blizini vogala, in kasneje preci nicelnovrtincnico. Slednje se odraza v manjsem in poloznejsem padcu hitrosti rotacije, ki se takopribliza vrtincnosti avtorjev Tsorng in ostali. Analizo smo izvedli z rezultati BEM.

3.5 Obcutljivost na variacijo gostote delca

Z namenom izniciti vzgonske sile, je potrebno izenaciti gostoto delca in tekocine. V delu [1] soavtorji spreminjali gostoto tekocine in sicer z delezem voda - glicerin. Ker je eksperimentalnoto zelo tezko izenaciti so naredili dva seta meritev: tekocina malo tezja in malo lazja od delca.V prvem primerih so izmerili hitrost dvigovanja delca 4 mm/min, kar ustreza razliki gostote -0.05%, v drugem primeru je hitrost spuscanja oz. posedanja delca 7 mm/min, kar ustreza razliki+0.07%. Numericno smo vpliv razlike gostot razsirili na± 1%. Rezultate smo prikazali na sliki5. Najpomembnejse ugotovitve zapisemo v naslednjih tockah.

1. Lazji delci -1% po 30% dolzine kotanje le to zapustijo skozi pokrov kotanje.

2. Tezji delci se priblizujejo eksperimentalni poti in posledicno tudi vrtincnosti v prvih trehsekundah.

3. Najboljse ujemanje dobimo za 0.5% tezje delce.

3.6 Obcutljivost na variacijo elipticnosti delca

Elipticnost delca je v obliki cigare in jo definiramo kot razmerje med najdaljso osjo in ostalimadvema, vec v [5] in [6]. Naredili smo dva testa: zacetna usmerjenost elipsoida v smeri (slika6) in precno na smer toka (slika 7). V prvem primeru se z vecanjem elipticnosti delca, delec

- 160 -

Page 168: Zbornik del

Kuhljevi dnevi 2016

Slika 6 : Obcutljivost poti in rotacije delca v odvisnosti od elipticnosti delca z zacetna usmer-jenost v smeri x v smeri toka. Delci tezji od tekocine za 0.5%

pocasneje vrti v vodoravnem delu poti. V samem vogalu delec hitreje spremeni orientacijo vvertikalno, torej hitreje sledi spremembi vrtincnosti. V zadnjem delu poti rotacija za velike vre-dnosti elipticnosti izgine. Podobno se zgodi tudi v drugem primeru, ko je zacetna usmerjenostdelca precno na tok (slika 7). Razlika je le na zacetnem delu poti, kjer vecji elipsoidi hitrejespremenijo orientacijo v vodoravno. Tretji primer, ko je usmerjenost delca precno na tok, dajeprakticno enake rezultate kot sfericni delci, saj je tok skoraj ravninski in se v precni smeri zelomalo spremeni. Za razliko od ostalih primerov je v tem primeru ocitna razlika med rotacijodelca in vrednostmi vrtincnosti tekocine.

4 Zakljucek

V prispevku smo predstavili numericno simulacijo poti in hitrosti rotacije makro delca v gnanemtoku kubicne kotanje. Pomembnejsi zakljucki predstavljenega dela strnemo v naslednjih tockah.

• Rezultati hitrostnega polja BEM so malenkost natancnejsi od rezultatov OpenFOAM naenaki gostoti mreze.

• Primerjava rezultatov sledenja delca med rezultati BEM in OpenFOAM daje zelo dobroujemanje poti (manj od 1%) in malenkost slabse rotacijske hitrosti.

• Primerjava simulacij in meritev je boljsa od 1% v zacetnem vodoravnem delu poti. V vo-galu je pot simulacije 2% blizje vogalu kot meritev, kar ima odlocilen vpliv na primerjavena nadaljnji poti.

• Znizanje zacetne visine delca za 1% visine kotanje, povzroci boljse ujemanje z meritvami.

- 161 -

Page 169: Zbornik del

Kuhljevi dnevi 2016

Slika 7 : Obcutljivost poti in rotacije delca v odvisnosti od elipticnosti delca z zacetna usmer-jenost v smeri z precno na tok. Delci tezji od tekocine za 0.5%

• Tezji delci za 0.5% povzrocijo boljse ujemanje z meritvami.

• Elipticnost delcev ne povzroci boljsega ujemanja.

• Znatno razhajanje med izmerjenimi in simularanimi rotacijskimi hitrostmi ostaja nereseno.

Literatura

[1] S. Tsorng, H. Capart, D. Lo, J. Lai, D. Young, Behaviour of macroscopic rigid spheres inlid-driven cavity flow, International Journal of Multiphase Flow 34 (1) (2008) 76 – 101.

[2] J. Ravnik, L. Skerget, Z. Zunic, Combined single domain and subdomain BEM for 3Dlaminar viscous flow, Engineering Analysis with Boundary Elements 33 (3) (2009) 420 –424.

[3] OpenFOAM (2015).URL http://www.openfoam.com/

[4] J. Ravnik, M. Hribersek, J. Lupse, Lagrangian particle tracking in velocity-vorticity resolvedviscous flows by subdomain BEM, Journal of Applied Fluid Mechanics 9 (2016) 1533–1549.

[5] G. B. Jeffery, The motion of ellipsoidal particles immersed in a viscous fluid, Proc. R. Soc.A 102 (1922) 161–179.

[6] H. Brenner, The Stokes resistance of an arbitrary particle - IV. Arbitrary fields of flow,Chem. Eng. Sci 19 (1964) 703–727.

- 162 -

Page 170: Zbornik del

SLOVENSKO DRUSTVO ZA MEHANIKO

SRECANJE KUHLJEVI DNEVI 2016

Analiza prenosa vibracij v staticno nedolocenih menjalnikih -vpliv nelinearne togosti lezajev

M. Razpotnik1 in M. Boltezar1

The analysis of vibration transmission in staticallyindeterminate gearboxes - the influence of nonlinear bearing

stiffness

Povzetek. Zaradi vse visjih tehnicnih zahtev v avtomobilski industriji je zagotavljanje akusticneustreznosti vseh sestavnih delov vozila nujno potrebno, kar velja tudi za menjalnike. Poznavanjedinamskih lastnosti kotalnih lezajev, kot edine povezovalne tocke med gredmi in ohisjem, je prinapovedi dinamskih lastnosti celotnega menjalnika kljucnega pomena. Togost kotalnih lezajev jenelinearno odvisna od njihove obremenitve. Obremenitev lezajev pa je pri staticno nedolocenih me-njalnikih nadalje odvisna od togosti posameznih sestavnih delov. V clanku je predstavljena iterativnametoda za dolocitev pravilne togosti lezajev v staticno nedolocenih menjalnikih. Koncni rezultat jeprimerjava numericno izracunanih frekvencno prenosnih funkcij (FPF) z izmerjenimi.

Abstract. Due to the high technical requirements in the automotive industry we have to ensurethe appropriate acoustic behaviour of each integral part. This is particularly so for gearboxes. Topredict a proper dynamic properties of the entire gearbox it is crucial to know the dynamic propertiesof the rolling-element bearings, as the only connecting part between the shaft and the housing.The stiffness of a rolling-element bearing is related to the load in a nonlinear way. For staticallyindeterminate gearboxes the load on the bearings additionally depends on the stiffness of all integralparts. In this article we present an iterative method for defining a proper bearing stiffness of staticallyindeterminate gearboxes. As a final result, the numerically obtained frequency-response functions(FRFs) are compared to the measured ones.

1 Uvod

Popis dinamike kotalnih lezajev predstavlja enega izmed glavnih izzivov na podrocju rotacijskihnaprav. Prvi matematicni modeli so popisovali lezaje kot idealne robne pogoje za gred [1]. Med-tem se je razsirila ideja o popisu lezajev s pomocjo eno ali dvodimenzionalnega matematicnega

1 Univerza v Ljubljani, Fakulteta za Strojnistvo, Laboratorij za dinamiko strojev in konstrukcij

Page 171: Zbornik del

Kuhljevi dnevi 2016

modela v obliki linearnih vzmeti, pri cemer so bili vkljuceni tudi mehanizmi dusenja [2, 3].Glavni preskok je bil dosezen s postavitvijo modela lezaja, ki zajema vseh sest prostostnih sto-penj [4]. Slednji uposteva nelinearno zvezo med obremenitvijo in deformacijami, pri cemervsebuje Hertzovo kontaktno teorijo. Rezultat omenjenega matematicnega modela je celostnatogostna matrika lezaja dimenzij 6×6. Nekaj let kasneje je bil predstavljen indirekten pristopdolocitve togosti enorednega kroglicnega lezaja [5] ter raziskava casovno odvisnih dinamskihlastnosti kotalnih lezajev [6]. V zadnjih letih je bil izveden popis dinamskih lastnosti kotal-nih lezajev v odvisnosti od hitrosti vrtenja [7]. Prav tako je bil razvit analiticni model dvore-dnega kroglicnega lezaja [8] in z njim izvedena analiza vpliva obremenitve na modalne lastno-sti sestava gred-lezaj [9]. Z uporabo MKE in namenskega kontaktnega modela je bila v [10]izracunana togostna matrika lezaja, v nadaljnjih raziskavah pa popisano sirjenje akusticne mo-tnje pri sestavu z zobniskim gonilom, dvema lezajema in ohisjem [11].

Eksperimentalni nacin dolocitve togosti in dusenja je v veliki meri omejen zgolj na transla-torne prostostne stopnje. Vemo pa, da imajo pri kompleksni strukturi, kot je lezaj, lahko pravizven-diagonalni elementi togostne matrike poglavitno vlogo. Eksperimentalna modalna ana-liza (EMA), s pomocjo katere se doloci modalne parametre merjene strukture, je bila prvic izve-dena na sistemu gred-lezaj v delu [12]. Preizkus je bil osnovan v osni in precni smeri z uporabomodela z eno prostostno stopnjo. Prenos vibracij preko sfericnega kroglicnega lezaja, kjer jebilo nekaj clenov togostne matrike lezaja validiranih eksperimentalno, je raziskan v delu [13].Eksperimentalni rezultati za lezaj so popisani tudi v delih [9] in [14], kjer so avtorji obremenililezaj osno s tremi razlicnimi velikostmi obremenitve, pri cemer so opazovali frekvencni zamikvrhov ter razmerje med obremenitvijo in amplitudami odziva. Sprememba togosti lezaja zaradivisoke hitrosti vrtenja je popisana in izmerjena v delu [15]. Eksperimentalni podatki vplivamaziva na togost in dusenje kroglicnega lezaja, pri cemer sta togost in dusenje merjeni v smeriobremenitve lezaja, pa so podani v delu [16].

Dosedanje studije so preucevale prenos vibracij preko kotalnih lezajev le v staticno dolocenihsistemih. V tem delu bomo predstavili analizo prenosa vibracij v staticno nedolocenem sistemu(za vec informacij glej [17]). Uporabili bomo preprost, a staticno nedolocen menjalnik, nakaterem je mozno prilagajati vhodni moment gredi in s tem povecevati obremenitev celotnegasistema.

2 Analiticni model kotalnega lezaja

Upostevamo model kotalnega lezaja avtorjev Lim in Singh [4], ki predstavlja trenutno referencona podrocju analiticnega popisa togosti kotalnih lezajev. Za namene jasnosti bomo predstavilibistvene korake pri njegovi izpeljavi. Slika 1 prikazuje srednje vrednosti obremenitev na lezaj,ki jih zapisemo z obremenitvenim vektorjem

fbm = Fxbm,Fybm,Fzbm,Mxbm,MybmT (1)

in pripadajoce pomike notranjega obroca napram zunanjemu, kar definira vektor pomika lezaja

qbm = δxbm,δybm,δzbm,βxbm,βybmT . (2)

Pomembno se je zavedati, da je fbm odvisen od togosti celotnega sistema (prednapetje lezaja,

- 164 -

Page 172: Zbornik del

Kuhljevi dnevi 2016

y

x z

FybmMybm

δybmβybm

ψ j

δxbm

βxbm

Fxbm

Mxbm

δzbm Fzbm

d bo

d bm

d bi

y

Slika 1: Kinematika kotalnega lezaja in uporabljen koordinatni sistem. dbo predstavlja premerzunanje tecine, dbm srednji premer lezaja in dbi premer notranje tecine.

podajnost gredi in ohisja). Za j-ti kotalni element, lociran pri kotu ψ j, merjenem od x osi,kot prikazuje slika 1, so pomiki enaki δ(ψ j) = δ j. Slednje razdelimo na normalno in radialnokomponento

δn j = δzbm + r j(βxbm sinψ j−βybm cosψ j) (3)

inδr j = δxbm cosψ j +δybm sinψ j− rc, (4)

kjer je r j polmer centra ukrivljenosti kotalne povrsine notranjega obroca pri kroglicnih lezajihoz. predstavlja sredinski polmer pri valjcnih lezajih. rc predstavlja radialno zracnost. S pomocjoslike 2 lahko zapisemo kontaktni kot α j na nacin

tanα j =δ∗n j

δ∗r j

, δ∗n j= A0 sinα0 +δn j , δ

∗r j= A0 cosα0 +δr j . (5)

Clen A0 predstavlja razdaljo med centroma ukrivljenosti kotalne povrsine notranjega in zuna-njega obroca pri kroglicnem lezaju, kadar le-ta ni obremenjen. Prav tako α0 simbolizira kontak-tni kot neobremenjenega lezaja. δ∗r j

in δ∗n jpredstavljata oddaljenosti med centroma ukrivljenosti

kotalne povrsine notranjega in zunanjega obroca obremenjenega lezaja v radialni in normalni(aksialni) smeri. Pri valjcnih lezajih predpostavljamo α j = α0. Kontaktni kot je pozitiven, kopotujemo od x-y ravnine proti z osi, kot prikazuje slika 2 in negativen v obratni smeri.

Zapisimo razdaljo med centroma ukrivljenosti kotalne povrsine notranjega in zunanjega obrocapri kroglicnem lezaju, kadar je le-ta obremenjen:

A(ψ j) = A j =√(δ∗r j

)2 +(δ∗n j)2 (6)

Upostevajoc kinematiko kroglicnega in valjcnega lezaja, kot jo prikazuje slika 2, lahko zapisemoelasticno deformacijo j-tega kotalnega elementa za oba tipa lezajev kot

δB(ψ j) =

A(ψ j)−A0, δB j > 00, δB j ≤ 0

, δR(ψ j) =

δr j cosα j +δn j sinα j, δR j > 00, δR j ≤ 0

. (7)

- 165 -

Page 173: Zbornik del

Kuhljevi dnevi 2016

z

r j

A0

A jδ

r j

δn j

α jα j

δn j

δR(ψ

j)

δr j

r j

zSlika 2: Elasticna deformacija kotalnega elementa za nekonstantni kontaktni kot α j (levo) in zakonstantni kontaktni kot α j = α0 (desno).

V izrazu (7) oznacba δB j ≤ 0 in δR j ≤ 0 pomeni, da je j-ti kotalni element neobremenjen.Uporabimo Hertzovo kontaktno teorijo [18] kot Q j = Kn δn

j (n = 3/2 za kroglicne lezaje in 10/9za valjcne), s katero lahko povezemo obremenitveni vektor fbm in vektor pomika qbm. Sestejemoprispevke vseh z obremenjenih kotalnih elementov.

fbm =

FxbmFybmFzbmMxbmMybm

=

∑zj=1 Q j cosα j cosψ j

∑zj=1 Q j cosα j sinψ j

∑zj=1 Q j sinα j

∑zj=1 r j Q j sinα j sinψ j

−∑zj=1 r j Q j sinα j cosψ j

. (8)

Koncno lahko zapisemo togostno matriko lezaja Kbm, ki je definirana kot odvod vektorja obre-menitve po vektorju pomika, na sledec nacin:

Kbm =∂ fbm

∂qbm=

kxx kxy kxz kxβx kxβy

kyy kyz kyβx kyβy

kzz kzβx kzβy

simetricno kβxβx kβxβy

kβyβy

. (9)

Pomembno je dodati, da je Kbm simetricna in je torej ki j = k ji za i, j = x, y, z, βx, βy. Prav takoje pomembno opozoriti, da matrika Kbm popisuje vseh sest prostostnih stopenj, pri cemer paso vsi cleni povezani z βzbm enaki nic, zaradi prostega vrtenja lezaja okoli z osi. Matrika Kbmvsebuje 15 razlicnih clenov. Zapisimo le clen kxx, ki ima za kroglicne lezaje obliko:

kxx = Kn

z

∑j=1

(A j−A0)n cos2 ψ j

(nA j (δ

∗r j)2

A j−A0+A2

j − (δ∗r j)2

)A3

j(10)

in za valjcne lezaje:

kxx = nKn cos2α0

z

∑j=1

δn−1R (ψ j) cos2

ψ j. (11)

- 166 -

Page 174: Zbornik del

Kuhljevi dnevi 2016

Izraze za ostale clene analogno dobimo z odvajanjem posameznega elementa obremenitvenegavektorja po doloceni prostostni stopnji. Ob poznavanju fbm izracunamo qbm, pri cemer moramoresiti sistem petih nelinearnih enacb za vsak lezaj. Uporabili smo Newton-Raphsonovo metodo.Po dobljenih qbm izracunamo clene togostne matrike lezaja Kbm direktno, kot nakazujeta izraza(10) in (11).

3 Staticno nedolocen sistem

V statiki razumemo staticno nedolocene sisteme kot tiste, pri katerih je stevilo ravnoteznihenacb problema manjse od stevila neznank v podporah. Slika 3 nazorno prikazuje problemulezajene gredi. V primeru staticno dolocenega sistema, je porazdelitev sil v vertikalni smeriznana. V primeru staticno nedolocenega sistema pa porazdelitev sil v vertikalni smeri (cleni a,

F F F

F2

F2

≈ F2

Fa

Fb

Fd

Fc

≈ F2

Slika 3: Porazdelitev obremenitve v vertikalni smeri pri staticno dolocenem sistemu (levo) instaticno nedolocenem sistemu (sredina in desno).

b, c in d na sliki 3) ni vec enolicno dolocljiva. Sistem je mozno resiti ob poznavanju togostigredi, lezaja in ohisja. Togost gredi in ohisja je znana in neodvisna od obremenitve (velja zavecino inzenirskih aplikacij). Togost lezaja pa je nelinearno odvisna od njegove obremenitve(glej poglavje 2). Za dolocitev pravilne togosti lezaja moramo poznati vektor obremenitvelezaja, ki pa je sedaj odvisen od togosti gredi, ohisja in lezaja:

fbm = fbm(Kbm,Ksm,Khm) (12)

Zaradi v zacetku neznane togosti in obremenitve lezajev sistem resimo z iterativni postopkom.

3.1 Staticno nedolocen menjalnik

Uporabili smo preprost, a staticno nedolocen menjalnik, prikazan na sliki 4. Gre za zaprt sistem,ki vsebuje dva zobniska para s posevnim ozobjem ter sklopko med gredema w1 in w3, preko

Slika 4: Izbran menjalnik (levo) in shematska predstavitev gredi in lezajev (desno).

katere je moc vnesti moment in s tem obremenitev celotnega sistema. Trinajst lezajev razlicnihtipov predstavlja sistem mocno staticno nedolocen.

- 167 -

Page 175: Zbornik del

Kuhljevi dnevi 2016

3.2 Numericno resevanje – iterativni postopek

MKE model obravnavanega menjalnika je prikazan na sliki 5, skupaj z nacinom modeliranjakotalnih lezajev. Analiticno izracunana togost lezaja se predpise med njegov zunanji in notranjiobroc. Tecini omenjenih obrocev povezemo v srediscni vozlisci, med kateri nadalje predpisemoizracunano togostno matriko lezaja. V prvem koraku izracunamo togost lezajev s pomocjo

Slika 5: MKE model menjalnika (levo) in nacin modeliranja kotalnih lezajev (desno).

zacetnega priblizka obremenitvenega vektorja fbm0. Z vstavljenimi togostmi lezajev v MKEmodel izracunamo staticno analizo (vstavljen moment med gredi w1 in w3), rezultat katereso novi obremenitveni vektorji na lezaje. Slednje nadalje uporabimo za nov izracun togostnihmatrik lezajev, s katerimi posodobimo MKE model menjalnika. Postopek je avtomatiziran inse izvaja, dokler ne dosezemo konvergence obremenitvenih vektorjev. Z vstavljenimi koncnimitogostmi lezajev izracunamo zelene FPF. Opisan postopek nazorno prikazuje slika 6.

Začetni približek obremenitvenega vektorja

Izračun togostne matrike ležaja

Vnos togostnih matrik v MKE model menjalnika

Statična analiza

Novi obremenitveni vektorji na ležaje

Konvergenca

obremenitvenih

vektorjev?

Stop

NOTRANJI ITERATIVNI POSTOPEKZUNANJI ITERATIVNI

POSTOPEK

Da

Ne

FPF

Za vsak ležaj posebej

Slika 6: Proces racunanja togosti lezajev in koncnih frekvencno prenosnih funkcij.

4 Rezultati

Predstavljen postopek na sliki 6 smo izvedli za stiri razlicne obremenitve in sicer pri 25%, 50%,75% in 100% najvecjega momenta, ki znasa 220 Nm. Konvergenco komponent obremenitve-nega vektorja lezaja Cw2 prikazuje slika 7 za izracun pri 100% obremenitvi. Obremenitveni

- 168 -

Page 176: Zbornik del

Kuhljevi dnevi 2016

0 50 100 150 200

N

30

20

10

0

10

20

30Fx

[N]

0 50 100 150 200

N

3.0

2.5

2.0

1.5

1.0

0.5

0.0

Fy

[N]

1e2

0 50 100 150 200

N

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0

Fz

[N]

1e3

0 50 100 150 200

N

8

6

4

2

0

2

4

My

[Nm

m]

1e2

0 50 100 150 200

N

0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

Mz

[Nm

m]

1e2

Slika 7: Konvergenca komponent obremenitvenega vektorja lezaja Cw2 pri 100% obremenitvi.

vektor doseze ravnotezno stanje po okoli 100 iteracijah. Enako preverimo za vse ostale lezajeter izracunamo FPF za prenosno pot med ohisjem in gredjo, prikazano na sliki 8. Pri enakihobremenitvah nadalje eksperimentalno pridobimo FPF. Vzbujamo z udarnim kladivom na po-krovu ohisja ter merimo pospesek na gredi. Rezultat so stiri numericno in stiri eksperimentalnodobljene FPF pri razlicnih obremenitvah za isto prenosno pot. Slika 9 prikazuje, da je obreme-

2

1

Slika 8: Obravnavana prenosna pot med ohisjem (tocka 1) in gredjo (tocka 2).

nitvena odvisnost numericno izracunanih FPF v primerjavi z eksperimentalno dobljenimi zelopodobna. Omenjeno dejstvo potrjuje pravilno dolocitev vseh togosti lezajev pri razlicnih obre-menitvah. Pomembno je poudariti, da se izmerjene in izracunane FPF le v grobem oblikovnoujemajo. Razlog so poenostavitve v MKE modelu. Natancno mrezenje, lokalizirano dusenje,kontaktni problemi, itd. so podrocja, ki so izven obsega te raziskave.

0 250 500 750 1000 1250 1500 1750 2000 2250 2500 2750 3000

Frekvenca [Hz]

10

0

10

20

30

40

50

60

Pos

pe

enost

[dB

]

s_025

s_050

s_075

s_100

0 250 500 750 1000 1250 1500 1750 2000 2250 2500 2750 3000

Frekvenca [Hz]

10

0

10

20

30

40

50

60

Pos

pe

enost

[dB

]

m_025

m_050

m_075

m_100

Slika 9: Obremenitvena odvisnost FPF. Numericni izracun (levo) in meritve (desno).

5 Zakljucek

V tem clanku je predstavljena analiza vpliva togosti kotalnih lezajev na vibracijske lastnostistaticno nedolocenega menjalnika. Analiticni model kotalnega lezaja je vpeljan v MKE mo-del menjalnika. S pomocjo lastnega iterativnega postopka, ki zajema posodabljanje togostnih

- 169 -

Page 177: Zbornik del

Kuhljevi dnevi 2016

matrik in MKE modela, so izracunane pravilne togosti lezajev. Ujemanje obremenitvene od-visnosti numericno izracunanih in eksperimentalno dobljenih FPF potrjuje pravilno dolocitevtogosti kotalnega lezaja v staticno nedolocenem sistemu.

Literatura[1] J.S. Rao. Rotor dynamics. John Wiley, New york, 1983.[2] M.F. White. Rolling element bearing vibration transfer characteristics: Effect of stiffness. Journal

of Applied Mechanics, 46:677–684, 1979.[3] E.P. Gargiulo. A simple way to estimate bearing stiffness. Machine design, 52:107–110, 1980.[4] T.C. Lim, R. Singh. Vibration transmission through rolling element bearings, part 1: bearing stiff-

ness formulation. Journal of Sound and Vibration, 139 (2):179–199, 1990.[5] P. Cermelj, M. Boltezar. An indirect approach to investigating the dynamics of a structure containing

ball bearings. Journal of Sound and Vibration, 276:401–417, 2004.[6] H.V. Liew, T.C. Lim. Analysis of time-varying rolling element bearing characteristics. Journal of

Sound and Vibration, 283:1163–1179, 2005.[7] X. Sheng, B. Li, Z. Wu, H. Li. Calculation of ball bearing speed-varying stiffness. Mechanisms and

Machine Theory, 81:166–180, 2014.[8] A. Gunduz, R. Singh. Stiffness matrix formulation for double row angular contact ball bearings:

Analytical development and validation. Journal of Sound and Vibration, 332(22):5898 – 5916,2013.

[9] A. Gunduz, J.T. Dreyer, R. Singh. Effect of bearing preloads on the modal characteristics of a shat-bearing assembly: Experiments on double row angular contact ball bearings. Mechanical Systemsand Signal Processing, 31:176–195, 2012.

[10] Y.Guo, R.G. Parker. Stiffness matrix calculation of rolling element bearings using a finite ele-ment/contact mechanics model. Mechanism and Machine Theory, 51:32–45, 2012.

[11] Y. Guo, T. Eritenel, T.M. Ericson, R.G. Parker. Vibro-acoustic propagation of gear dynamics in agear-bearing-housing system. Journal of Sound and Vibration, 333:5762–5785, 2014.

[12] J. Kraus, J.J. Blech, S.G. Braun. In situ determination of rolling bearing stiffness and damping bymodal analysis. Journal of Vibration, Acoustics, Stress, and Reliability in Design, 109:235–240,1987.

[13] T.J. Royston, I. Basdogan. Vibration transmission through self-aligning (spherical) rolling elementbearings: Theory and experiment. Journal of Sound and Vibration, 215(5):997–1014, 1998.

[14] S.A. Spiewak, T. Nickel. Vibration based preload estimation in machine tool spindles. Journal ofMachine Tools and Manufacture, 41:567–588, 2001.

[15] D.S. Lee, D.H. Choi. A dynamic analysis of a flexible rotor in ball bearings with nonlinear stiffnesscharacteristics. International Journal of Rotating Machinery, 3:73–80, 1997.

[16] W. Jacobs, R. Boonen, P. Sas, D. Moens. The influence of the lubricant film on the stiffness anddamping characteristics of a deep groove ball bearing. Mechanical Systems and Signal Processing,42:335–350, 2014.

[17] M. Razpotnik, T. Bischof, M. Boltezar. The influence of bearing stiffness on the vibration propertiesof statically overdetermined gearboxes. Journal of Sound and Vibration, 351:221 – 235, 2015.

[18] T.A. Harris. Rolling bearing analysis. John Wiley, New york, fourth edition, 2001.

- 170 -

Page 178: Zbornik del

SLOVENSKO DRUSTVO ZA MEHANIKO

SRECANJE KUHLJEVI DNEVI 2016

Uklon armaturne palice v poskodovanem AB stebru

A. Starc1, I. Planinc2 in S. Bratina2

Buckling of reinforcing bar in damaged RC column

Povzetek. V clanku je predstavljena nova metoda za dolocitev tocnih uklonskih sil in pripadajocihuklonskih oblik armaturne palice v poskodovanem armiranobetonskem stebru. Metoda je zasnovanana Reissnerjevem modelu ravninskega nosilca in linearizirani stabilnostni analizi. Nova metoda jepreprosta in zelo splosna, saj omogoca dolocitev uklonskih sil in pripadajocih uklonskih oblik zaelasticne in plasticne armaturne palice. S parametricnimi studijami je bilo pokazano, da imata po-dajnost in lega stremen v odluscenem krovnem sloju betona v armiranobetonskem stebru pomembenvpliv na velikost uklonskih sil armaturne palice in pripadajocih uklonskih oblik in da je vpliv osnihin striznih deformacij za elasticne armaturne palice zanemarljiv.

Abstract. In this paper a new method for determining exact buckling loads and correspondingbuckling modes of reinforcing bar in damaged RC column is presented. Method is based on Reis-sner’s planar beam model and linearized stability analysis. The new method is very simple andgeneral as it is capable of predicting buckling loads and corresponding buckling modes for ela-stic and plastic behaviour of reinforcing bars. By carrying out a systematic parametric analysis, itwas shown, that flexibility and location of stirrups in area of spalled concrete cover in reinforcedconcrete column have a significant influence on magnitudes of buckling loads and correspondingbuckling modes, whereas the influence of axial and shear deformation is negligible.

1 Uvod

Armirani beton je najpogosteje uporabljen konstrukcijski material v gradbenistvu. Uporabljamoga v stanovanjski in industrijski gradnji, nepogresljiv pa je tudi pri gradnji inzenirskih objektovkot so to mostovi in pregrade. Armiranobetonske konstrukcije so bistveno manj vitke kot so tojeklene ali lesene konstrukcije. Zato so porusitve teh konstrukcij zaradi stabilnostnih pojavovredkejse. Se redkeje pa se armiranobetonske konstrukcije porusijo zaradi uklona armaturnihpalic, saj so te dobro zascitene z betonom in hkrati objete s stremeni. Drugacne pa so razmere

1 Univerza v Ljubljani, Fakulteta za Gradbenistvo in Geodezijo, student2 Univerza v Ljubljani, Fakulteta za Gradbenistvo in Geodezijo

Page 179: Zbornik del

Kuhljevi dnevi 2016

v primerih, ko so gradbene konstrukcije izpostavljene nezgodnim obtezbam kot sta to pozar inpotres. V taksnih primerih se lahko del betona odlusci in nezascitene armaturne palice posta-nejo izpostavljene tudi uklonskim pojavom. Odluscenje krovnega sloja betona povzroci medpozarom eksplozijsko luscenje, med potresom pa intenzivno ciklicno obremenjevanje. Ker so vtaksnih primerih armaturne palice izpostavljene visokim temperaturam oz. obremenjene z veli-kimi plasticnimi deformacijami, je uklon armaturnih palic pravilo in ne izjema. Ker uklonjenaarmaturna palica ne ohranja nosilnosti, to povzroci prerazporeditev notranjih sil v konstrukciji,kar pogosto povzroci tudi porusitev.

Zaradi povedanega je razumljivo zanimanje raziskovalcev za tovrstne probleme. Za opisovanjeuklona armaturne palice v poskodovanem AB stebru med potresom so prvi raziskovalci pred-postavili, da so stremena se zelo toga in da se armaturne palice obnasajo elasticno. Tako souklonske sile armaturne palice dolocili kar z znano Eulerjevo uklonsko enacbo. Za uklonskodolzino pa so izbrali kar razdaljo med stremeni. V literaturi pogosto raziskovalci taksno mo-deliranje uklona armaturne palice imenujejo lokalni uklon. Novejse eksperimentalne raziskavepa so pokazale, da so stremena na poskodovanem delu AB stebra med potresom ze izrazitoplastificirana in posledicno armaturnim palicam ne nudijo vec zadostne opore v precni smeri.Ker se zato uklonske dolzine armaturnih palic povecajo, se le te ne uklonijo lokalno, temvecglobalno, kot to v literaturi imenujejo raziskovalci. Zato je za modeliranje globalnega uklonaarmaturne palice potrebno upostevati tudi podajnost stremen in plasticno obnasanje armaturnihpalic. Tako pojav globalnega uklona armaturne palice v poskodovanem AB stebru raziskovalcinajpogosteje modelirajo z znanimi enacbami teorije 2. reda ravninskih nosilcev v kombinacijiz modificirano metodo plasticnih clenkov ali pa eksperimentalno [1, 4, 6].

V tem clanku bomo predstavili novo metodo za tocno dolocitev velikosti uklonskih sil arma-turne palice s pripadajocimi uklonskimi oblikami v poskodovanem AB stebru. Zaenkrat samproces odpadanja krovnega sloja betona kot tudi vpliv uklonjene armaturne palice na nosilnostposkodovanega AB stebra oz. konstrukcije ni predmet raziskav. Metodo za dolocitev uklonaarmaturne palice zasnujemo na Reissnerjevem modelu ravninskega nosilca [5], uklonske sile padolocimo z upostevanjem linearizirane stabilnostne analize [2]. Metoda dejansko predstavljaprilagoditev metode, ki smo jo za dolocitev uklonske nosilnosti razpokanih AB stebrov pred-stavili v [3], za dolocitev tocnih uklonskih sil armaturnih palic in pripadajocih uklonskih oblikv poskodovanem AB stebru.

Clanek ima poleg uvoda se tri kratka poglavja. V drugem poglavju predstavimo osnovne enacbemetode in postopek za dolocitev tocnih uklonskih sil armaturne palice in pripadajocih uklonskihoblik v poskodovanem AB stebru. Vpliv podajnosti in lege stremen ter vpliv osnih in striznihdeformacij na velikost uklonskih sil in pripadajocih uklonskih oblik armaturne palice prikazemos parametricnimi studijami v tretjem poglavju. V zadnjem poglavju podamo se zakljucke razi-skave.

2 Osnovne enacbe

Opazujemo tlacno obremenjeno armaturno palico s konstantnim precnim prerezom A. Zaradistremen, ki armaturno palico objemajo v poskodovanem delu AB stebra, jo razdelimo na Edelov z dolzinami Lei ( j=1, 2, . . . , E). Vsi deli armaturne palice imajo skupno referencno os

- 172 -

Page 180: Zbornik del

Kuhljevi dnevi 2016

(xei ≡ x, i = 1,2, . . . ,E), na mestu vezi (stremen) pa so podajno podprti z vzmetmi kv jvzm. S kv j

vzm

modeliramo podajnost stremen, ki preprecujejo oz. ovirajo precne pomike armaturne palice.

Slika 1 : Matematicni model armaturne palice v poskodovanem AB stebru.

Poleg standardnih predpostavk za modeliranje linijskih konstrukcij v matematicnem modeluarmaturne palice dodatno predpostavimo: (i) da je deformiranje armaturne palice omogocenole v ravnini in (ii) da je armaturna palica popolnoma ravna in obremenjena le s konstantno tlacnoosno silo. Skladno z omenjenimi predpostavkami lahko opisemo deformirano lego armaturnepalice z Reissnerjevim modelom ravninskega nosilca [5] ( j=1,2, . . . , E =V −1):

kinematicne enacbe:1+ue j′− (1+ ε

e j)cosϕe j − γ

e j sinϕe j = 0, (1)

we j′+(1+ εe j)sinϕ

e j − γe j cosϕ

e j = 0, (2)

ϕe j′−κ

e j = 0, (3)

ravnotezne enacbe:H e j ′ = 0, (4)

V e j ′ = 0, (5)

M e j ′− (1+ εe j)Q e j + γ

e j N e j = 0, (6)

N e j = H e j cosϕe j −V e j sinϕ

e j , (7)

Q e j = H e j sinϕe j +V e j cosϕ

e j , (8)

konstitutivne zveze:N e j = N e j

c =∫

e j dA, (9)

M e j = M e jc =

∫A

zσe j dA, (10)

(11)Q ej −GAsγej = 0,

- 171 -

Page 181: Zbornik del

Kuhljevi dnevi 2016

kjer smo s σe j oznacili normalne napetosti, ki so merjena na nedeformirano ploscino precnegaprereza armaturne palice. Napetosti σe j dolocimo z eksperimenti v odvisnosti od deformacijDe j = εe j + zκe j , σe j = f e j(De j). Vpliv striznih deformacij smo v modelu upostevali z znaniminzenirskim konstitucijskim modelom. V enacbah (1)-(11) sta ue j in we j komponenti vektorjapomika referencne osi v vzdolzni in v precni smeri, ϕe j je zasuk precnega prereza armaturnepalice, εe j , κe j in γe j pa so mere za osno, upogibno (psevdoukrivljenost) in strizno deformiranjearmaturne palice. Staticne kolicine smo oznacili z H e j , V e j , N e j , Q e j in M e j , kjer predsta-vljata N e j in Q e j ravnotezno osno in precno silo, M e j pa upogibni moment armaturne palice.Enacbi (7) in (8) povezujeta osno silo N e j in precno silo Q e j s komponentami notranje silev vzdolzni in precni smeri H e j in V e j . Konstitucijske enacbe (9)-(11) povezujejo ravnoteznekolicine N e j , Q e j in M e j z deformacijskimi kolicinami εe j , γe j in κe j . Sistem posplosenihravnoteznih enacb sestavlja 11E diferencialnih in algebrajskih enacb za prav toliko neznanihfunkcij: εe j ,γe j ,κe j , . . . ,M e j , ( j = 1,2, . . . ,E). Sistem resimo z upostevanjem robnih in kompa-tibilnostnih (povezovalnih) pogojev v vozliscih armaturne palice vi (i = 1,2, . . . ,V ):

vozlisce v1 :

we1(xe1 = 0) = 0, (12)

ϕe1(xe1 = 0) = 0, (13)

Ne1(xe1 = 0) =−F, (14)

vozlisce vi (i = 2, . . . ,V −1):

wei−1(xei−1 = Lei−1) = wei(xei = 0), (15)

ϕei−1(xei−1 = Lei−1) = ϕ

ei(xei = 0), (16)

M ei−1(xei−1 = Lei−1) = M ei(xei = 0), (17)

kvivzmwei +V ei−1(xei−1 = Lei−1)−V ei(xei = 0) = 0, (18)

uei−1(xei−1 = Lei−1) =uei(xei = 0), (19a)

−H ei−1(xei−1 = Lei−1)+H ei(xei = 0) = 0 (19b)

ali

uei−1(xei−1 = Lei−1) = uei(xei = 0) = 0, (20)

vozlisce vV :

weE (xeE = LeE ) = 0, (21)

ϕeE (xeE = LeE ) = 0, (22)

NeE (xeE = LeE ) =−F. (23)

Uklonske sile armaturne palice dolocimo s pomocjo linearizirane teorije stabilnosti [2]. Skla-dno s to teorijo enacbe Reissnerjevega modela ravninskega nosilca (1)-(11) lineariziramo vokolici primarne ravnotezne lege, ki jo doloca osno deformirana in neupognjena palica ( j =1,2,. . ., E):

- 174 -

Page 182: Zbornik del

Kuhljevi dnevi 2016

ue j (x) = ue j(εe j ,x), we j (x) = 0, ϕe j (x) = 0, (24)

H e j (x) = N e j (x) = N =−F, V e j (x) = Q e j (x) = 0, M e j (x) = 0, (25)

εe j (x) = ε = konst. 6= 0, κ

e j (x) = κ(x) = 0, γe j (x) = γ(x) = 0. (26)

V primarni ravnotezni legi je lineariziran sistem posplosenih ravnoteznih enacb ( j =1, 2,. . ., E):

δue j ′−δεe j = 0 (27)

δwe j ′+(1+ ε)δϕe j −δγ

e j = 0 (28)

δϕe j′−δκ

e j = 0, (29)

δH e j ′ = 0, (30)

δV e j ′ = 0, (31)

δM e j ′− (1+ ε)δQ e j −Fδγe j + γ

e j δN e j = 0, (32)

δN e j = δH e j , (33)

δQ e j = δV e j −Fδϕe j , (34)

δN e j =Ce j11δε

e j +Ce j12δκ

e j , (35)

δM e j =Ce j21δε

e j +Ce j22δκ

e j , (36)

δQ e j = GAsδγe j , (37)

kjer smo s Ce j11, Ce j

12, Ce j21 in Ce j

22 oznacili clene tangentne togostne matrike precnega prereza:

Ce j11 =

∂N e j

∂εe j=

∫A

∂σ

∂De j

∂De j

∂εe jdA =C11 = konst. > 0, (38)

Ce j12 =

∂N e j

∂κe j=

∫A

∂σ

∂De j

∂De j

∂κe jdA =Ce j

21 =C12 = konst = 0, (39)

Ce j21 =

∂M e j

∂εe j=

∫A

z∂σ

∂De j

∂De j

∂εe jdA =C12 =C21 = 0, (40)

Ce j22 =

∂M e j

∂κe j=

∫A

z∂σ

∂De j

∂De j

∂κe jdA =C22 = konst. > 0. (41)

Lineariziran sistem posplosenih ravnoteznih enacb armaturne palice sestavlja sistem 6E nava-dnih linearnih diferencialnih enacb prvega reda s konstantnimi koeficienti in 5E algebrajskihenacb za dolocitev prav toliko neznanih funkcij. Enacbe resimo z upostevanjem lineariziranihrobnih in kompatibilnostnih pogojev (12)-(23). Po kratki izpeljavi ugotovimo, da uklonske silearmaturne palice s pripadajocimi uklonskimi oblikami dolocajo pogoji:

detKKKT = 0, → Fcr, (42)

−F =∫

Aσ(ε)dA, → εcr, (43)

kjer KKKT predstavlja matriko koeficientov robnih in kompatibilnostnih pogojev, ki so povezanis precnimi pomiki. Za elasticno obnasanje armaturne palice se pogoj (43) poenostavi v znanoobliko

−F = EAε. (44)

- 175 -

Page 183: Zbornik del

Kuhljevi dnevi 2016

3 Parametricne studije

S parametricnimi studijami analiziramo vpliv podajnosti stremen (podajnosti vzmeti), lege stre-men ter osnih in striznih deformacij na velikost uklonskih sil armaturne palice in pripadajocihuklonskih oblik. V analizi upostevamo, da so podajnosti vseh stremen enake in se spreminjajood kv j

vzm = 0 (stremena so popolnoma podajna) do kv jvzm→∞ (nepodajna oz. toga stremena). Lego

stremen v odluscenem krovnem sloju betona opisemo s parametroma αzg = Le1

Ln in αzg = LeE

Ln

(Ln = Lei , (i = 2,3, . . . ,E−1)), ki predstavljata razmerje med razdaljama od zgornjega oz. spo-dnjega stremena do roba odluscenega krovnega sloja betona in razdaljo med stremeni. V para-metricnih studijah analiziramo tri najbolj verjetna stevila stremen znotraj odluscenega krovnegasloja betona. Pri modelu V1 armaturno palico objema le eno streme, pri modelu V2 dve in primodelu V3 tri stremena. Ko v analizi vpliv osnih in striznih deformacij ne upostevamo, smomodele oznacili z V1 BSOD, V2 BSOD in V3 BSOD. V parametricnih studijah smo izbralinaslednje materialne in geometrijske parametre: precni prerez armaturne palice A = 1.13 cm2,elasticni modul armaturne palice E = 2.1 · 10−8 kN

m2 , dolzina odluscenega dela krovnega slojabetona je L = 45 cm. Nosilnost armaturne palice je NRd = 56.5 kN.

Model V1. Vpliv podajnosti stremena na velikost uklonske sile armaturne palice in pripadajoceuklonske oblike prikazujemo na sliki 2. Na sliki opazimo, da so na intervalu od kv j

vzm = 0 dokv j

vzm ∼= 100 kNm uklonske sile prakticno enake in so priblizno 70 % vrednosti nosilnosti arma-

turne palice (globalni uklon). Za bolj toga stremena se uklonske sile zelo povecajo in so zastremena s togostjo kv j

vzm ∼= 500 kNm in vec zopet konstantne in bistveno vecje kot je nosilnost

armaturne palice. Za te in bolj toga stremena te predstavljajo prakticno nepomicno podporo (lo-kalni uklon), kar potrjujejo tudi uklonske oblike armaturne palice (slika 2). Pricakovano je vplivosnih in striznih deformacij na velikost uklonskih sil armaturne palice in pripadajoce uklonskeoblike zanemarljiv.

Slika 2 : Model V1. Diagram spreminjanja normirane uklonske sile Fcr/NRd in pripadajoceuklonske oblike v odvisnosti od podajnosti stremena.

- 176 -

Page 184: Zbornik del

Kuhljevi dnevi 2016

Model V2. Vpliv podajnosti in lege stremen na velikost uklonskih sil armaturne palice inpripadajoce uklonske oblike, ki je objeta z dvema stremenoma, prikazujemo na sliki 3. Popricakovanjih velikost uklonskih sil armaturne palice narasca s povecevanjem togosti stremenin zmanjsevanjem oddaljenosti stremen od roba odlucenega krovnega sloja betona. Najvecje souklonske sile za αzg = αsp = 0.33 in najmanjse za αzg = αsp = 1.0. Za kv j

vzm = 0 je uklonskaoblika enaka uklonski obliki za obojestransko vpete stebre (globalni uklon). S povecevanjemtogosti stremen se uklonske oblike armaturne palice spremenijo in so za kv j

vzm ∼= 10000 kNm ali

vec ze enake uklonski obliki obojestransko vpetega stebra z dvema nepomicnima vmesnimapodporama (lokalni uklon). Vpliv osnih in striznih deformacij je tudi tu zanemarljiv.

Slika 3 : Model V2. Diagram spreminjanja normirane uklonske sile Fcr/NRd in pripadajoceuklonske oblike v odvisnosti od podajnosti in lege stremen.

Model V3. V zadnjem primeru analiziramo vpliv podajnosti in lege stremen na velikost uklon-skih sil in pripadajocih uklonskih oblik armaturne palice, objete s tremi stremeni. Vplive prika-zujemo na sliki 4. Na sliki vidimo, da je vpliv podajnosti in lege stremen na velikost uklonskihsil armaturne palice podoben kot prej. Zaradi vecjega stevila stremen pa pricakovano opa-zimo vecje stevilo razlicnih uklonskih oblik, zanimivo pa tudi hipni preskok z ene uklonskeoblike na drugo, ki ga pri modelu V2 nismo zaznali. Pri kv j

vzm ∼= 600 kNm preide zacetna uklonska

oblika obojestransko vpetega stebra hipno v uklonsko obliko z zelo togim osrednjim stremenom(znacilna ’S’ uklonska oblika). Z narascanjem togosti stremen nato uklonske oblike postopomapreidejo v dvojno ’S’ obliko, kar se zgodi pri kv j

vzm ∼= 50000 kNm (lokalni uklon). Seveda se

posledicno spreminjajo tudi uklonske sile, ki pri zelo togih stremenih presegajo nosilnost arma-turne palice. Vpliv oddaljenosti krajnih stremen od roba odluscenega krovnega sloja betona jepodoben kot v prejsnem primeru. Vpliv osnih in striznih deformacij sicer z manjsanjem razdaljemed stremeni narasca, vendar pa je se vedno zanemarljiv.

- 177 -

Page 185: Zbornik del

Kuhljevi dnevi 2016

Slika 4 : Model V3. Diagram spreminjanja normirane uklonske sile Fcr/NRd in pripadajoceuklonske oblike v odvisnosti od podajnosti in lege stremen.

4 Zakljucek

V clanku smo predstavili novo metodo za dolocitev tocnih uklonskih sil in pripadajocih uklon-skih oblik armaturne palice v poskodovanem AB stebru. Metoda je zasnovan na Reissnerjevemmodelu ravninskega nosilca. Uklonske sile in pripadajoce uklonske oblike armaturne palice pasmo dolocili z linearizirano teorijo stabilnosti. Poleg preprostosti je prednost predstavljene me-tode tudi njena splosnost, saj z njo enako obravnavamo elasticne in plasticne armaturne palicekot tudi lokalni in globalni uklon. S parametricnimi studijami smo pokazali: (i) da ima podaj-nost in lega stremen velik vpliv na velikost uklonskih sil in pripadajoce uklonske oblike in (ii)da je vpliv osnih in striznih deformacij za elasticne armaturne palice zanemarljiv.

Literatura

[1] S. Bae, A. M. Mieses, O. Bayrak, Inelastic buckling of reinforcing bars, J. Struc. Eng. 131,314-321, 2005.

[2] H. B. Keller, Nonlinear Bifurcation, J. Diff. Eq. 7, 417-434, 1970.

[3] N. Krauberger, S. Bratina, M. Saje, S. Schnabl, I. Planinc, Inelastic buckling load of alocally weakened reinforced concrete column, Eng. Struc. 34, 278-288, 2012.

[4] L. M. Massone, E. E. Lopez, Modeling of reinforcement global buckling in RC elements,Eng. Struc. 59, 484-494, 2014.

[5] E. Reissner, On one-dimensional finite-strain beam theory: The plane problem, J. Appl.Math. Phys. 23, 795-804, 1972.

[6] C. R. Urmson, J. B. Mander, Local buckling analysis of longitudinal reinforcing bars, J.Struc. Eng. 138, 62-71, 2012.

- 178 -

Page 186: Zbornik del

SLOVENSKO DRUŠTVO ZA MEHANIKO

SREČANJE KUHLJEVI DNEVI 2016

Numerično modeliranje adsorpcije v adsorberju s satovjem pri

različnih temperaturah v sistemu

T. Štimec1*, M. Hriberšek2, J. Ravnik2, S. Bašič1, M. Zadravec2

1

Numerical Modeling of Adsorption in a honeycomb adsorber

at different system temperatures

Povzetek. Prispevek obravnava značilnosti prenosa snovi pri procesu adsorpcije

plinske sestavine na adsorpcijsko plast, nameščeno na steni adsorpcijskega satovja.

Numerični model vsebuje izračun difuzijsko-konvektivnega prenosa snovi v plinski zmesi,

vezavo na plast adsorbenta z uporabo adaptivnega modela robnega pogoja za koncentracijo,

ter model ravnotežja na medfazni meji, ki upošteva temperaturno odvisnost pogojev za

ravnotežje. Kot modela ravnotežja sta uporabljena Freundlich model in Dubinin-

Raduskevich model. Za snovni sistem zrak-butan in adsorpcijsko sredstvo aktivno oglje so

prikazani rezultati značilnosti prenosa snovi pri različnih temperaturah v sistemu. Izkaže se,

da višja temperatura vpliva na zmanjšanje sposobnosti vezave butana na aktivno oglje, kar

skrajša čase preboja snovne fronte pri toku skozi adsorpcijski sistem v obliki satovja.

Abstract. The contribution deals with characteristics of mass transfer in the process of

adsorption of gaseous species onto an adsorption layer, placed on an adsorption honeycomb

wall. The numerical model includes computation of diffusive-convective mass transfer in the

gaseous mixture, adsorption of species on adsorbent layer by applying the adaptive

concentration boundary condition, as well as equilibrium model at the interface, accounting

for the temperature dependency of equilibrium conditions. As equilibrium models, the

Freundlich and the Dubinin-Raduskevich models are applied. For the air-buthane system and

adsorbent active carbon results mass transfer at different system temperatures is computed.

The results show that the increase in the system temperature decreases the adsorption

capacity of the adsorbent layer, leading to shortening of breakthrough times within the flow

through the honeycomb adsorption system.

1 Esotech d.d., Preloška cesta 1, SI-3320 Velenje, Slovenia

2 Univerza v Mariboru, Fakulteta za strojništvo, Smetanova ulica 17, 2000 Maribor

Page 187: Zbornik del

Kuhljevi dnevi 2016

- 180 -

1 Uvod

Adsorpcija je eden izmed najpomembnejših tehniških postopkov s prenosom snovi. Njegova

značilna uporaba je na področju procesne tehnike kot procesa ločevanja plinskih sestavin iz

plinskih zmesi, kar poteka z vezavo adsorbata (plinske sestavine) na plast adsorbenta

(aktivna porozna snov). Adsorpcijski procesi se lahko uporabljajo tudi v energetskih

aplikacijah, kjer bistvo procesa ni ločevanje snovi, ampak skladiščenje energije. Takšne

adsorpcijske procese je možno najti vse od adsorpcijskih hladilnikov, adsorpcijskih

klimatskih naprav do novejših gospodinjskih aparatov, kjer adsorpcijski procesi omogočajo

prihranke električne energije

Značilna tehniška izvedba adsorpcijske naprave deluje z nasutjem delcev adsorbenta, skozi

katero teče plinska zmes. Naprava je preprosta za izdelavo, omogoča velike količine vezave

adsorbata in dolge čase za preboj fronte adsorbata, ki označuje doseženo stanje nasičenja v

adsorpcijskem mediju. Značilen predstavnik novih oblik adsorpcijskih materialov so

adsorpcijski materiali, naneseni na nosilno konstrukcijo v obliki satovja [1], [2]. Takšni

adsorbenti so na površine kanalov satovja naneseni v obliki tanke plasti in imajo zaradi

slednje precej specifične lastnosti. V nasprotju z nasutimi adsorbenti imajo glede na dejanski

volumen, ki ga zasedajo, precej manjšo adsorpcijsko kapaciteto, a hkrati ponujajo mnogo

manjši upor toku tekočine in omogočajo zelo hitre menjave ciklov adsorpcije in regeneracije.

Regeneracija adsorbenta s temperaturnim obratom se je v primeru nasutih adsorbentov v

preteklosti skoraj popolnoma opustila zaradi dolgih časovnih intervalov, od 4 do 6 ur

potrebnih za ta proces [1]. V primeru regeneracije s temperaturnim obratom je mogoče

takšen cikel v adsorpcijskih satovjih izpeljati že v nekaj minutah. V mnogih industrijskih

aplikacijah je prav tako zelo ugodna okoliščina majhen upor, ki ga toku predstavlja

adsorpcijsko satovje v primerjavi z gosto nasuto porozno plastjo [3]. Na sliki 1 levo je

prikazana značilna struktura adsorpcijskega satovje, kjer imajo posamezni kanali pravokotni

prerez.

Slika 1: Zgradba adsorpcijskega satovja (levo, [2]) in značilni robni pogoji za tok plinske

zmesi skozi posamezni kanal(desno).

Page 188: Zbornik del

Kuhljevi dnevi 2016

- 181 -

Primeri modeliranja adsorpcijskih procesov v kanalu adsorpcijskega satovja so v dostopni

literaturi dokaj redki. Fedorov [4] je modeliral adsorpcijskih proces v satovju, kjer je bil za

adsorbent uporabljen TiO2-WO3-V2O5 in kot adsorbat vodna para. Prenos snovi in toplote

je modeliral z enodimenzionalnim modelom, adsorpcijsko ravnotežje pa z uporabo SLD-

VdW modela. Proces adsorpcije butana v keramičnem satovju s plastjo aktivnega oglja je

sicer tako eksperimentalno kot numerično raziskovala tudi Valdés-Solís, ki je za modeliranje

adsorpcijskega ravnotežja uporabila Dubinin-Raduskevich enačbo adsorpcijske izoterme [1].

2 Modeliranje adsorpcijskega ravnotežja

Pri procesu adsorpcije se bo v vseh primerih stika tekočine s površinami trdnega adsorbenta

v določenem času vzpostavilo ravnotežje med molekulami v tekoči fazi ter molekulami,

adsorbiranimi na površini. Fazno ravnotežje ja zagotovo najpomembnejša informacija v

vsakem adsorpcijskem sistemu, z izjemo redkih primerov kemisorpcije pa je takšno

ravnotežje dinamično. Praktično vedno je ravnotežje vzpostavljeno takrat, ko sta stopnji

vršenja adsorpcije in desorpcije enake velikosti in oba procesa potekata kontinuirano.

Adsorpcijska ravnotežja se prikazujejo v obliki izoterm, ki podajajo razmerje med

adsorbiranimi molekulami na površini adsorbentov in parcialnim tlakom prostih molekul

adsorbata v plinasti fazi (oziroma koncentracije v tekoči fazi) pri konstantni temperaturi. Z

manipulacijo vplivnih parametrov je mogoče spreminjati obnašanje adsorpcijskih procesov,

kar se s pridom uporablja pri cikličnih procesih, kjer se izmenjujeta adsorpcijski in

regeneracijski cikel.

V članku sta uporabljena dva adsorpcijska modela ravnotežja. Prvi model je model Dubinin-

Radushkevich [1], ki podaja količino vezanega adsorbata na enoto prostornine adsorbenta z

izrazom

𝑞𝑒𝑞 = 𝑞𝑚𝑎𝑥𝑒𝑥𝑝 − (𝑅𝑇

𝛽𝐸0𝑙𝑛

𝐶𝑠𝑎𝑡

𝐶)

2

. (1)

Za primer zmesi zrak-butan in adsorbenta aktivno oglje so modelni parametri sledeči:

𝑞𝑚𝑎𝑥 = 509.34 𝑘𝑔/𝑚3 je največja možna količina vezanega butana pri tlaku nasičenja v

sistemu, 𝑅 je plinska konstanta, 𝑇 je temperatura v sistemu, 𝐶𝑠𝑎𝑡 = 6.48 𝑘𝑔/𝑚3 je

koncentracija ob nasičenju butana v plinski zmesi, 𝐶 = 𝐶𝑖𝑛 je koncentracija v zmesi plina na

vstopu v kanal, koeficient afinitete adsorbata pomnožen karakteristično energijo adsorbenta

je 𝛽𝐸0 = 22767 𝐽/𝑚𝑜𝑙𝐾.

Drugi uporabljeni model je bil empirični model Freundlicha:

𝑞𝑒𝑞 = (𝑘1

𝑇+ 𝑘2) 𝐶𝑛, (2)

kjer so 𝑘1, 𝑘2 in n empirično določeni koeficienti, v našem primeru z vrednostmi 𝑘1 = 1.0,

𝑘2 = 628.0 in 𝑛 = 0.15.

Primernost izbranih modelov ravnotežja je bila preverjena na primeru adsorpcijske izoterme,

podane v delu Valdés-Solís idr. [1], veljavne za temperaturo v sistemu 𝑇 = 293,15 𝐾. Primerjava poteka obeh izoterm je podana na sliki 2. Obe izotermi imata v področju višjih

vrednosti koncentracije adsorbata skorajda identičnen potek, medtem ko v področju nižjih

vrednosti koncentracije adsorbata Freundlichova izoterma s svojimi vrednostmi daje

previsoko oceno zmožnosti vezave na adsorbent. Za natančnost rezultatov numeričnih

simulacij je takšno obnašanje izoterme nezaželjeno, saj se s tem v kanalu satovja navidezno

Page 189: Zbornik del

Kuhljevi dnevi 2016

- 182 -

povečuje sposobnost vezave na aktivno površino, kar vodi v povečanje časa preboja fronte

adsorbata skozi adsorpcijski kanal. Za uporabo v numeričnem modelu je bila tako izbrana

Dubini-Raduskevich izoterma.

Slika 2: Adsorpcijski izotermi za primer 𝑇 = 293.15 𝐾: FR - Freundlich model , R-D

Dubinin-Radushkevitch model.

Spreminjanje največje možne vezane količine adsorbata na adsorbent v odvisnosti od

temperature v sistemu je podana na sliki 3. Povišanje temperature za 60K vodi v 20%

zmanjšanje sposobnosti vezave butana na aktivno oglje.

0

50

100

150

200

250

300

350

400

0 0,002 0,004 0,006 0,008 0,01 0,012 0,014 0,016 0,018

q [

kg/m

3]

C [kg/m3]

R-D

FR

240

250

260

270

280

290

300

310

320

330

270 280 290 300 310 320 330 340

q_e

q [

kg/m

3]

T [K]

Page 190: Zbornik del

Kuhljevi dnevi 2016

- 183 -

Slika 3: Vrednosti ravnotežne vezave butana na adsorpcijsko oglje v odvisnosti od

temperature v sistemu..

Numerični algoritem za simulacijo adsorpcijskega procesa v kanalu je temeljil na Metodi

robnih elementov [5], [6], in je sestavljen iz več ločenih segmentov, ki se ciklično vršijo v

enakem zaporedju znotraj vsakega časovnega koraka. Omenjeno zaporedje v vsakem

časovnem koraku (z izjemo prvega) je naslednje:

1. Začetek časovnega koraka.

2. Izračun vrednosti hitrosti, temperature, koncentracije in vrtinčnosti v vseh vozliščih

računske mreže ali uporaba analitičnega izraza za izračun vrednosti hitrosti v

vozliščih.

3. Izračun povprečne temperature in koncentracije za vsak robni element.

4. Izračun ravnotežne količine adsorbirane snovi za vsak robni element z Dubini-

Raduskevich modelom ravnotežja . Omenjeni model sicer podaja adsorpcijsko

ravnotežje v [𝑘𝑔 𝑚3⁄ ], a s poznano debelino plasti adsorbenta in površino

posameznega robnega elementa 𝐴𝑖, je izračun volumna adsorpcijske plasti

posameznega robnega elementa enostaven.

5. Izračun snovnega toka adsorbata iz integralske enačbe za ohranitev snovi adsorbata

za vsak robni element.

6. Izračun akumulirane mase adsorbata v časovnem koraku ter izračun vsote

adsorbirane snovi v vseh dotedanjih časovnih korakih.

7. Izračun razmerja (prilagoditvenih koeficientov za robni pogoj na steni kanala) že

adsorbirane snovi in ravnotežne vrednosti adsorbata za vsak robni element.

8. Izračun prilagoditvenih koeficientov za vsako posamezno funkcijsko vozlišče.

9. Določitev novih koncentracijskih robnih pogojev na steni kanala.

10. V primeru, da se pri simulaciji upošteva sproščanje adsorpcijske toplote se algoritem

nadaljuje z izračunom spremembe temperature za vsak posamezen robni element. V

primeru, da se sproščanje toplote zanemari, se izračun nadaljuje s točko 1.

11. Vrednosti spremembe temperature se iz elementov prenesejo na posamezne

funkcijske točke.

12. Določitev novih robnih pogojev za novo izračunano temperaturo.

13. Nov časovni korak.

3 Rezultati izvedenih izračunov

Temperatura nosilnega plina vpliva na ravnotežno stanje med adsorbatom in adsorbentom.

Od temperature je torej odvisna skupna količina adsorbirane snovi. Za oceno vpliva

temperature na adsorpcijski proces v obravnavanem kanalu so bile izvedene simulacije pri

štirih različnih temperaturah od T=273,5 K do T=333,5 K. Vstopna koncentracija butana je

znašala v vseh primerih 𝐶 = 0,007358𝑘𝑔

𝑚3 . V numeričnih izračunih ni bila upoštevana

adsorpcijska entalpija, kar pomeni, da pojav adsorpcije ni vplival na spremembo temperature

Page 191: Zbornik del

Kuhljevi dnevi 2016

- 184 -

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

1,6

0,006 0,008 0,01 0,012 0,014 0,016

Sh

x [m]

T = 273°C

T = 303°C

T = 313°C

T = 333°C

v sistemu. Takšna predpostavka je realna v primeru zelo majhnih vrednosti koncentracij

adsorbata v plinski zmesi. V kanalu je bil vzpostavljen razvit laminarni tok z Re=2,92.

Slika 4: Lokalne vrednosti Sherwoodovega števila vzdolž središčne črte po steni kanala v

času 𝑡 = 460𝑠.

Izpisi lokalnih vrednosti Sherwoodovega, števila,definiranega kot

𝑆ℎ =1

𝐶 − 𝐶0

𝜕𝐶

𝜕𝑛𝐿 (3)

so za različne sistemske temperature prikazani na sliki 4. Iz prikazanih rezultatov je mogoče

izpeljati spoznanje, da sprememba adsorpcijskega ravnotežja kot posledica različnih

temperatur vodi do različnih hitrosti potovanja koncentracijske fronte skozi kanal, medtem

ko lokalne značilnosti prenosa snovi ostajajo enake.

Bistvena razlika se pojavi v poteku prebojnih krivulj, prikazanih n sliki 5, kar je povezano s

spreminjanjem največje možne količine adsorbirane snovi pri različnih temperaturah v

sistemu (slika 3). Če je čas za potovanje fronte skozi celoten kanal dolžine 0,05m in širine

0,001292m za T=273,15K enak 2970s, se le-ta skrajša na 2355 pri T=333,15K. Adsorpcijska

naprava lahko tako deluje v adsorpcijskem ciklu pri višji temperaturi krajši čas, temu pa

mora slediti desorpcijski cikel. Hlajenje adsorpcijskih naprav tovrstno omejitev odpravi, zato

je seveda njegova uporaba v tehniških izvedbah adsorpcijskih naprav smiselna.

Page 192: Zbornik del

Kuhljevi dnevi 2016

- 185 -

Slika 5: Prebojne krivulje za različne temperature v sistemu..

4 Zaključek

V članku je prikazan vpliv spreminjanja temperature v kanalu adsorpcijske naprave s

satovjem. Uporabljena je numerična simulacija na osnovi Metode robnih elementov za

izračun prenosa snovi pri adsorpciji na aktivno površino kanala, pri čemer je bilo znotraj

kanala predpostavljeno izotermno stanje sistema. Sposobnost vezave adsorbata na stene

adsorbenta je modelirana z uporabo Dubinin-Radushkevich adsorpcijske izoterme. Rezultati

numeričnih simulacij za različne vrednosti sistemske temperature kažejo, da dvig sistemske

temperature pomembno vpliva na lastnosti prenosa snovi v kanalu, še posebej se skrajša

prebojni čas, v katerem fronta adsorbata doseže izstopno ravnino adsorpcijskega kanala.

0

0,001

0,002

0,003

0,004

0,005

0,006

0,007

0,008

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000

Co

ut[k

g/m

3]

t [s]

T = 273°C

T = 303°C

T = 313°C

T = 333°C

Page 193: Zbornik del

Kuhljevi dnevi 2016

- 186 -

Literatura

[1] T. Valdés-Solís, M. J. G. Linders, F. Kapteijn, G. Marban and A. B. Fuertes,

“Adsorption and breakthrough performance of the carbon-coated ceramic monolithy at

low concentration of n-butane,” Chemical Engineering Science, str. 2791-2800, 2004.

[2] T. Valdés-Solís, G. Marbán and A.B. Fuertes, “Preparation of microporous carbon-

ceramic cellular monoliths,” Micoporous and Mesoporous Materials, str. 113-126, 2001.

[3] T. Wajima, K. Munakata, T. Takeishi, K. Hara, K. Wada, K. Katekari, K. Inoue, Y.

Shinozaki, K. Mochizuki, M. Tanaka and T. Uda, “Adsorption characteristics of water

vapor on honeycomb adsorbents,” Journal of Nuclear Materials, str. 1166-1169, 2011.

[4] A. Fedorov and R. Viskanta, “Analysis of transient heat/mass transer and

adsorption/desorption interactions,” Int. Journal of Heat & Mass Transer, str. 803-819,

1999

[5] T. Štimec, M. Hriberšek, J. Ravnik and S. Bašič, “Adsorption in honeycomb adsorber by

BEM,” Engineering analysis with boundary elements, str. 103-110, 2014.

[6] T. Štimec, M. Hriberšek, J. Ravnik and S. Bašič, “Numerično modeliranje adsorpcijskega

procesa v kanalu z uporabo porazdelitvenega robnega pogoja” Kuhljevi dnevi 2013,

Zbornik del, str. 225-232, 2013.

Page 194: Zbornik del

SLOVENSKO DRUSTVO ZA MEHANIKO

SRECANJE KUHLJEVI DNEVI 2016

Uporaba metode krizne aproksimacije v metodi robnihelementov

J. Tibaut1, L. Skerget1 in J. Ravnik1

Adaptive cross approximation based boundary element method

Povzetek. V clanku je predstavljen vpliv metode krizne aproksimacije na resitev hitrostne-vrtincneformulacije Navier-Stokesovih enacb za nestisljivo tekocino, resene po metodi robnih elementov.Resevali smo problem naravne konvekcije v kotanji med dvema vertikalnima stenama. Uporabilismo enacbo kinematike, enacbo za prenos vrtincnosti in zakon ohranitve energije. Prenos vrtincnostiin energijsko enacbo smo resevali s pod obmocno metodo robnih elementov, ki je spominsko incasovno ucinkovita, za enacbo kinematike pa ta metoda ni primerna. Zato smo za pospesitev enacbekinematike uporabili aproksimacijsko metodo. Matrike, ki izhajajo iz diskretizacije, smo aproksimi-rali z metodo krizne aproksimacije. Rezultati so med sabo pokazali ujemanje do dolocenega rangaaproksimacije.

Abstract. This article presents the effect of adaptive cross approximation method on solving thevorticity formulation of the Navier-Stokes equation for incompressible flow, solved by the boundaryelement method. We were solving the natural convection problem in cavity between two differenti-ally heated vertical walls. For the simulation we used the kinematic equation, transport of vorticityequation and the law of energy conservation. The transport of vorticity and energy equations can besolved with the sub domain boundary element method which is memory and time effective, but forthe kinematic equation this approach is not suitable. Hence for the kinematic equation we approxi-mated the matrices with the adaptive cross approximation. The results show good agreement, up toa certain rank of approximation.

1 Uvod

Metoda robnih elementov je ucinkovita metoda resevanja parcialnih diferencialnih enacb, ceje razmerje med povrsino in volumnom obravnavanega obmocja majhno. Metoda je najboljprimerna za resevanje linearnih problemov. Matrike, ki izhajajo iz te metode, so polne, zatospominska in racunska zahtevnost metode hitro raste z narascajoco povrsino.

1 Univerza v Mariboru, Fakulteta za strojnistvo

Page 195: Zbornik del

Kuhljevi dnevi 2016

Krizna aproksimacija je bila prvic uporabljena, kot matematicni pristop, k aproksimiranju ma-trik robnih elementov v raziskavi [1]. V raziskavi [2] je opisana hibridna krizna aproksimacija,ki predstavlja povezavo med algebrajsko krizno aproksimacijo in metodo uteznih ostankov. Str-njen opis oblik krizne aproskimacije je podan v objavi [6].

Ucinkovitost algoritma doloca kaksen bo potreben cas resevanja. Ker zahtevnost metode robnihelementov narasca s kvadratom stevila vozlisc O(N2) v racunski mrezi, tudi povecanje racunskemoci ne omogoca resevanja kompleksnih problemov. Z aproksimacijskimi metodami zahtev-nost iz O(N2) zmanjsamo na O(N logN) oziroma O(N).

Z metodo robnih elementov smo resili hitrostno vrtincno formulacijo Navier-Stokesovih enacb[8]. Resiti smo morali sistem enacb, v katerem so polne matrike, ki zahtevajo veliko steviloaritmeticnih operacij in racunalniskega spomina. Zato poskusamo poiskati moznosti kako pri-varcevati na racunalniski moci in casu resevanja.

2 Hitrostna-vrtincna formulacija zakonov ohranitve

Resevali smo problem naravne konvekcije v kotanji med dvema vertikalnima stenama v treh di-menzijah. Za resevanje tega problema potrebujemo vse tri zakone ohranitve. Navier-Stokesoveenacbe preoblikujemo z operatorjem rotor in dobimo hitrostno-vrtincno formulacijo Navier-Stokesovih enacb [8]. Iz zakona za ohranitve mase sledi enacba kinematike (1), ki predstavljakrajevno povezavo med hitrostnim ~v in vrtincnim ~ω poljem. V enacbi prenosa vrtincnosti (2),smo upostevali Boussinesqueovo aproksimacijo vzgona. Zapisali smo jo v brez dimenzijskiobliki. Tok poganja razlika v gostotah, zato smo se drzali dogovora, da je Reynoldsovo steviloena deljeno s Prandtlovim stevilom, Re = 1

Pr [5].

∆~v+~∇×~ω = 0. (1)

(~v ·~∇)~ω = (~ω ·~∇)~v+Pr∆~ω−Pr Ra ~∇×θ~g (2)

(~v ·~∇)θ = ∆θ (3)

V enacbi za prenos energije (3) smo temperaturo T zapisali v brez dimenzijski obliki θ= T−THTG−TH

,kjer je TG temperatura grete stene in TH temperatura hlajene stene. Enacbo za prenos vrtincnostiin enacbo za prenos energije smo resili s pod obmocno metodo, ki je casovno in spominskoucinkovita. Tega nacina resevanja ne moremo uporabiti za enacbo kinematike.

2.1 Diskretizacija enacbe kinematike

Enacba kinematike (1) ima obliko Poissonove enacbe. Z uvedbo Greenovega drugega stavkain z uvedbo fundamentalne resitve Laplacove enacbe u∗, zapisemo integralsko obliko enacbe(1). Ker je enacba kinematike nehomogena, v integralski obliki nastopa tudi obmocni integral.Obmocni integral zahteva diskretizacijo obmocja, kar iznici glavno prednost metode robnihelementov:

c(~ξ)~n(~ξ)×~v(~ξ)+~n(~ξ)×∫

Γ

~v(~n ·~∇)u∗dΓ =~n(~ξ)×∫

Γ

~v× (~n×~∇)u∗dΓ+

~n(~ξ)×∫

Ω

(~∇×~ω)u∗dΩ.(4)

- 188 -

Page 196: Zbornik del

Kuhljevi dnevi 2016

Ko izvorno tocko ~ξ postavimo v vsako robno vozlisce, dobimo sistem treh enacb zapisan vmatricni obliki za x, y in z os. Robne vrtincnosti smo locili od notranjih vrtincnosti [4]. Oznaka[ ] pomeni matrika, oznaka

Γvektor z robnimi vozlisci in

Γ/Ωvektor z notranjimi vozlisci

([nx][Dx]+ [ny][Dy]+ [nz][Dz])ωxΓ=

([ny][Hzx]+ [nz][Hxy])vx+([ny][H]− [nz][Hyz])vz− ([nx][H]+ [ny][Hyz])vy+[nz][Dx]ωzΓ

+[ny][Dx]ωyΓ+[nx][Dx]ωxΓ

− ([ny][Dy]Γ/Ω +[nz][Dz]Γ/Ω)ωxΓ/Ω+[ny][Dx]Γ/Ω ωyΓ/Ω

+[nz][Dx]Γ/Ω ωzΓ/Ω,

(5)

([nx][Dx]+ [ny][Dy]+ [nz][Dz])ωyΓ=

([nz][Hxy]+ [nx][Hzy])vy+([nx][H]− [nx][Hzx])vx− ([nx][H]+ [nz][Hzx])vz+[nz][Dy]ωzΓ

+[nx][Dy]ωxΓ+[ny][Dy]ωyΓ

− ([nz][Dz]Γ/Ω +[nx][Dx]Γ/Ω)ωyΓ/Ω+[nz][Dy]Γ/Ω ωzΓ/Ω

+[nx][Dy]Γ/Ω ωxΓ/Ω,

(6)

([nx][Dx]+ [ny][Dy]+ [nz][Dz])ωzΓ=

([nx][Hyz]+ [ny][Hxz])vz+([nx][H]− [ny][Hxy])vy− ([ny][H]+ [nx][Hxy])vx+[ny][Dz]ωzΓ

+[nx][Dz]ωxΓ+[nz][Dz]ωzΓ

− ([nx][Dx]Γ/Ω +[ny][Dy]Γ/Ω)ωzΓ/Ω+[nx][Dz]Γ/Ω ωxΓ/Ω

+[ny][Dz]Γ/Ω ωyΓ/Ω.

(7)

Velikost matrik [Dx], [Dy], [Dz], je n× n, kjer je n stevilo robnih vozlisc, velikost matrik[Dx]Γ/Ω, [Dy]Γ/Ω, [Dz]Γ/Ω, je n×m, kjer je m stevilo notranjih vozlisc. Matrike [H] vsebujejo in-tegral po robu in so velikosti n×n. Vse matrike so polne. V matrikah [Dx]Γ/Ω, [Dy]Γ/Ω, [Dz]Γ/Ω

se nahaja obmocni integral~n(~ξ)×∫

Ω(~∇×~ω)u∗dΩ, zato so matrike zelo velike. Spominsko zah-

tevnost zmanjsamo s pomocjo aproksimacije.

3 Krizna aproksimacija

Naj Gn×m predstavlja katerokoli od matrik [Dx]Γ/Ω, [Dy]Γ/Ω, [Dz]Γ/Ω in naj ima matrika G ∈IRn×m elementov. Ideja krizne aproksimacije je, da izberemo vrstico n∗ ⊂ n po izbranem inde-ksu i∗ in stolpec m∗ ⊂ m po izbranem j∗ za matriko S ∈ IRn∗×m∗[3]. Pri tem velja zaustavitvenikriterij, iz katerega sledi stevilo izbranih stolpcev in stevilo izbranih vrstic,∥∥∥G− G

∥∥∥≤ ε ali k < r. (8)

G predstavlja aproksimacijo matrike G, ε predpisano razliko, k je trenutni rang aproksimacijein r najvecji rang aproksimacije [3]. Aproksimacijo zapisemo takole,

(9)G˜ = Gn×m∗ · S · Gn∗×m ∈ r(minn∗,m∗),

- 189 -

Page 197: Zbornik del

Kuhljevi dnevi 2016

4

5

6

Gn×m

1 2 3

Sm∗×n∗

4BT

An×r Br×m

A

Gn×m∗ Gn∗×m

321

65

1

Slika 1 : Matrika G je aproksimirana s kombinacija nekaj vrstic n∗ = 4,5,6 in stolpcevm∗ = 1,2,3 [3].

Aproksimirano matriko zapisemo v Rk-matriko. To pomeni da matriko Gn×m∗ in matriko Spomnozimo in dobimo

G = An×r ·BTr×m, (10)

kjer je matrika BTr×m enaka matriki Gn∗×m, r je rang aproksimacije in je zamenjal n∗ in m∗ v

enacbi (9). Rang dolocimo na naslednji nacin: ce je n > m je r = m, ce je n < m je r = n.Locimo dva nacina kako definirati indeksa i∗ in j∗. Izberemo ju lahko glede na celotno matriko,to imenujemo popolno pivotiranje, ali glede na stolpec ali vrstico matrike, to imenujemo delnopivotiranje [3]. Locimo tudi med algebrajsko krizno aproksimacijo (ACA) in analiticno kriznoaproksimacijo (HCA) [6].

3.1 Algebrajska oblika krizne aproksimacije s popolnim pivotiranjem

Algoritem krizne aproskimacije zapisemo takole:

1. R0 = G

2. Zacetek zanke k=1,2,3,..., r

2.1. (i∗, j∗)k = ArgMax∣∣(Gk)

∣∣2.2. γk+1 = (Rk

i∗, j∗)−1

2.3. ak+1 = γk+1Rki, j∗ , bk+1 = (Rk

i∗, j)T

2.4. Rk+1 = Rk−ak+1bk+1

Najprej dolocimo matriko ostankov R0, ki je v prvem koraku enaka izvorni matriki. Nato v(2.1) izberemo maksimalni clen v matriki. Tega normiramo v (2.2). Dolocimo vrstico a instolpec b, za dolocen rang stiskanja, tako kot je zapisano v (2.3). V (2.4) posodobimo matrikoostankov, ce nismo izpolnili pogoja k > r, ponovimo postopek.

Cleni, ki so v krizu ak+1,bk+1, so natancno doloceni, medtem ko so ostali cleni matrike apro-ksimirani, glede na izbran par vrstice in stolpca. Zaustavitveni kriterij za aproksimacijo G, jebil k < r, r je maksimalni rang. Aproksimacija potrebuje O(r ·mn) aritmeticnih operacij inO(r(n+m)) kolicino racunalniskega spomina [7]. Za vsak rang, ki ga dolocimo z aproksima-cijo po zgornjem algoritmu zaporedno izvedemo doloceno stevilo operacij, da dolocimo (i∗, j∗)

- 190 -

Page 198: Zbornik del

Kuhljevi dnevi 2016

vsakic izvedemo O(nm), da izracunamo vektorja ak+1 in bk+1 zahteva O(n+m) aritmeticnihoperacij, in za posodobitev matrike R moramo izvesti O(nm) aritmeticnih operacij [3].

S postopkom krizne aproksimacije smo zmanjsali spominsko zahtevnost izvorne matrike iz m ·nv r(n+m), kjer rang r poljubno izbran. Natancnost aproksimacije narasca z rastocim r.

4 Numericni model

Simulirali smo naravno konvekcijo zraka v kotanji med dvema vertikalnima stenama. Dvenasprotni steni sta bili razlicno greti, ostale stene so bile adiabatne. Simulacijo smo izvedli namrezah, ki so bile proti robu zgoscene. Mreze so imele 173, 253 in 413 vozlisc. Simulirali smoustaljene tokovne razmere od Rayleighjevega stevila 103, 104 do 105 pri Prandtlovem stevilu0.71. Zaustavitveni kriterij simulacije je bil 10−6 za vse enacbe. Na spodnji sliki so prikazanilevo robni pogoji na racunskem obmocju in v sredini oblika racunske mreze. Primerjali smotemperaturni profil, ki smo ga izrisali na premicah na ravnini x− z, to je prikazano na spodnjidesni sliki. Primerjali smo tudi toplotni tok, izrazen kot povprecno Nusseltovo stevilo na gretisteni.

X Y

Z

∂q∂n

=0

θ1∂q∂n

=0

∂q∂n

=0

∂q∂n

=0

θ2

1

X Y

Z

1

X Y

Z

1

Slika 2 : Naravna konvekcija med dvema vertikalnima stenama, desno so prikazani robni po-goji, na sredini je prikazana racunska mreza 253 vozlisci in levo je prikazana ravnina na katerismo izrisali temperaturni profil.

Aproksimirali smo samo matrike, ki so izhajale iz obmocnega integrala enacbe kinematike[Dx]Γ/Ω, [Dy]Γ/Ω, [Dz]Γ/Ω. Stopnjo stiskanja smo dolocili na podlagi razmerja med kolicino

podatkov izvorne matrike in Rk-matrike, ϕ = r(n+m)n·m . Stopnja stiskanja je bila 0.125, 0.25, 0.5

in 1.0. Iz tega smo dolocili ustrezen rang r.

5 Rezultati in diskusija

Opazovali smo, vpliv stopnje stiskanja na tok in povprecno Nusseltovo stevilo na greti steni.Spodnja slika 3 prikazuje vpliv stopnje aproksimacije na razporeditev temperature po opazova-nih premicah racunskega obmocja.

- 191 -

Page 199: Zbornik del

Kuhljevi dnevi 2016

Ra = 103

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-0.4 -0.2 0 0.2 0.4

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

Zθx

X

θz

173

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-0.4 -0.2 0 0.2 0.4

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

Zθx

X

θz

253

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-0.4 -0.2 0 0.2 0.4

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

Zθx

X

θz

413

1

Ra = 104

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-0.4 -0.2 0 0.2 0.4

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

Zθx

X

θz

173

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-0.4 -0.2 0 0.2 0.4

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

Zθx

X

θz

253

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-0.4 -0.2 0 0.2 0.4

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

Zθx

X

θz

413

1

Ra = 105

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-0.4 -0.2 0 0.2 0.4

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

Zθx

X

θz

173

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-0.4 -0.2 0 0.2 0.4

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

Zθx

X

θz

253

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-0.4 -0.2 0 0.2 0.4

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

Zθx

X

θz

413

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-0.4 -0.2 0 0.2 0.4

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-0.4 -0.2 0 0.2 0.4

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-0.4 -0.2 0 0.2 0.4

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-0.4 -0.2 0 0.2 0.4

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-0.4 -0.2 0 0.2 0.4

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

ϕ = 1.0 ϕ = 0.5 ϕ = 0.25 ϕ = 0.125 BrezSlika 3 : Temperaturni profili za izbrano obmocje, doloceno po sliki 2, za vsa tri Rayleighjevastevila in vse tri testirane mreze, θx je temperatura dolocena na osi x, θz je temperatura dolocenana osi z

Pri Ra = 103 ne vidimo razlik med profili, ki smo jih dobili iz izvorne matrike in profili, kismo jih dobili z stisnjenimi matrikami. Z vecjim Rayleighjevim stevilom se pojavi razlika, kouporabimo aproksimacijo z ϕ manjse ali enako 0.25.

- 192 -

Page 200: Zbornik del

Kuhljevi dnevi 2016

103 104 105

10-4

10-3

10-2

10-1

ǫ

ϕ = 0.5

ϕ = 1.0

ϕ = 0.25ϕ = 0.125

Ra

1

20 30 4010-3

10-2

10-1

ǫ

333

Ra = 104

Ra = 105

Ra = 103

n+m

1

Slika 4 : Desno je narisan graf poteka razlike ε pri razlicnih Ra stevilih in mrezi 413, levo jeizrisan graf poteka napake pri izbranih mrezah in stopnji aproksimacije ϕ = 0.5.

Slika 4 prikazuje razliko med temperaturnim poljem, ki ga dobimo z in brez aproksimacije.Razliko smo dolocili po enacbi

ε =

√∑

n+mi=1 (θ0i−θi)2

∑n+mi=1 θ2

0i, (11)

kjer je θ0i temperatura, izracunana z izvorno matriko, in θi temperatura, izracunana s stisnjenomatriko, vsota tece po vseh vozliscih. Na levem grafu vidimo, da z vecjo stopnjo stiskanja inRa razlika raste. Na desnem opazimo, da razlika ostaja priblizno enaka z gostoto mreze. PriRa = 103 opazimo, da napaka z gostoto mreze pada.

V tabeli 1 je prikazan potek povprecnega Nusseltovega stevila na greti steni. Do aproksimacije0.5, razlike med izvorno matriko in aproksimirano matriko ni. Z nizanjem razmerja ϕ, pod 0.25opazimo razliko. Najvecjo razliko, opazimo na mrezi s 173 stevilom vozlisc. Ostali mrezi, stapri stopnji stikanja 0.25 dali dober rezultat. Kljub temu, je treba upostevati, da je to povprecnavrednost. Ce pogledamo temperaturni profil bomo opazili, da imamo pri obeh mrezah 253 in413 razlike, pri stopnji 0.25, v temperaturnem profilu.

Tabela 1 : Izracunane vrednosti povprecnega Nusseltovega stevila na greti steni, za mrezi 173

in 413

17×17×17Ra 0.125 0.25 0.45 0.5 1.0 Brez103 1.047 1.047 1.068 1.068 1.071 1.071104 1.885 1.862 2.037 2.039 2.058 2.058105 3.915 3.901 4.281 4.311 4.352 4.354

41×41×41Ra 0.125 0.25 0.45 0.5 1.0 Brez103 1.049 1.063 1.069 1.070 1.071 1.071104 1.916 2.006 2.047 2.050 2.056 2.056105 3.983 3.973 4.345 4.343 4.342 4.350

- 193 -

Page 201: Zbornik del

Kuhljevi dnevi 2016

6 Zakljucek

Cilja raziskave je bil raziskati vplive stiskanja matrik [Dx]Γ/Ω, [Dy]Γ/Ω, [Dz]Γ/Ω v sistemihenacb (5), (6) in (8) za tokovne razmere od Ra = 103 do Ra = 105. Ker pod obmocne metodene moremo uporabiti za zapis enacbe kinematike, je bilo potrebno matrike stisniti. Za metodostiskanja smo uporabili krizno aproksimacijo s popolnim pivotiranjem.

Ugotovili smo, da potrebujemo okrog 25% izvorne matrike, da dobimo zadosti dober rezultatza ta primer. Razmerje ϕ mora biti nekje 0.5. Integral u∗ je na izvornih tockah singularen,ce je gostota mreznih vozlisc proti robu racunskega obmocja vecja, to ne vpliva na napakoaproksimacije. Gostota mreze za ta primer ne vpliva na napako aproksimacije in njen rezultat.Stiskanje smo morali koncati pri enakem rangu za vse tri mreze, ceprav imamo primer primrezah 253 in 413, kjer povprecno Nusseltovo stevilo ostane pri nizji stopnji stiskanja enako,tabela 1, je temperaturni profil drugacen, to vidimo na sliki 3 in na sliki 4.

Stiskanje matrike je smiselno, ce je rang aproksimacije za pol manjsi od ranga izvorne matrike.Iz izvorne matrike z stiskanjem naredimo dve matriki. Rang teh dveh matrik mora skupaj bititaksen, da bo spominska zahtevnost zapisa vsaj enaka kot pri izvorni matriki, torej mora bitirazmerje ϕ≤ 1. Drugace je smiselno uporabiti izvorno matriko.

Literatura

[1] Mario Bebendorf. Approximation of boundary element matrices. Numerische Mathematik,86(4):565–589, 2000.

[2] Steffen Borm and Lars Grasedyck. Hybrid cross approximation of integral operators. Nu-merische Mathematik, 101(2):221–249, 2005.

[3] Lars Grasedyck and Wolfgang Hackbusch. Hierarchical Matrices. Number 21. Max-Planck-institut fur Mathematik in den Naturwissenschaften, Leipzig, 2006.

[4] J. Ravnik, L. Skerget, and Z. Zunic. Velocity-vorticity formulation for 3D natural convectionin an inclined enclosure by BEM. International Journal of Heat and Mass Transfer, 51(17-18):4517–4527, 2008.

[5] Jure Ravnik. Metoda robnih elementov za hitrostno vrtincno formulacijo simulacije velikihvrtincev. PhD thesis, Univerza v Mariboru, 2006.

[6] Sergej Rjasanow. Adaptive Cross Approximation of Dense Matrices. IABEM 2002 Sympo-sium, pages 1–12, 2002.

[7] Sergej Rjasanow and Olaf Steinbach. The Fast Solution of Boundary Integral Equations.Springer Science+Business Media, New York, 2007.

[8] L. Skerget, M. Hribersek, and Z. Zunic. Natural convection flows in complex cavities byBEM. International Journal of Numerical Methods for Heat & Fluid Flow, 13(6):720–735,2003.

- 194 -

Page 202: Zbornik del

SLOVENSKO DRUŠTVO ZA MEHANIKO

SREČANJE KUHLJEVI DNEVI 2016

Numerična simulacija aspiracije zraka v vodo pri pospešenem

gibanju bata v cilindru

J. Trček1 in A. Bombač

2

Numerical simulation of air aspiration into water by

accelerated piston movement in cylinder

Povzetek: V prispevku je predstavljena numerična simulacija iztiskanja kapljevine iz cilindra z

enakomerno pospešenim batom. Analizirano je bilo gibanje stične površine zrak/kapljevina ter s

tem podane ugotovitve glede ustreznega pospeševanja bata. Simulacija je bila izdelana s

programsko opremo OpenFOAM 2.4.0. CFD izračuni se dobro ujemajo z eksperimentalnimi

ugotovitvami.

Abstract: This paper presents a numerical simulation of liquid extruding from the cylinder

with constantly accelerated piston. The movement of the air/liquid interface was analyzed and

thereby given the findings of the appropriate piston acceleration. The simulation was made in

OpenFOAM 2.4.0. software. CFD calculations are in good agreement with the experimental

findings.

1 Uvod

Iztiskanje kapljevin z batom iz cilindra se uporablja v različnih vejah industrije, npr.

visokotlačno litje, priprava dvo- in več komponentnih lepil, smol in drugih snovi. Pri tem

je pomembno, da se v iztisnjeno snov ne primeša zrak, saj poroznost slabša kvaliteto

končnih izdelkov. Komercialna programska orodja, ki so na voljo za visokotlačno litje

kovin, še ne omogočajo izdelave simulacije začetnega dela iztiskanja litine iz cilindra s

pospešenim gibanjem bata, zato bi optimizacija s pomočjo CFD simulacije gibanja stične

površine doprinesla k boljši kvaliteti izdelkov. Zato je bila s programsko opremo

OpenFOAM izdelana simulacija tokovnega polja kapljevine pri pospešenem gibanju bata

v cilindru. Cilinder dimenzije ϕ60×350mm je bil polnjen s kapljevino pri treh volumskih

deležih kapljevine (30, 40 in 50%), iztiskanje kapljevine pa z različnimi pospeški bata.

Analizirano je bilo gibanje stične površine zrak/kapljevina ter s tem podane ugotovitve

glede ustreznega gibanja bata. Za delovno kapljevino je bila izbrana voda.

2 Teoretična izhodišča

Gibanje kapljevine je pri pospešenem gibanju bata v vodoravnem cilindru potrebno natančno

1 Hidria Rotomatika d.o.o. 2 Univerza v Ljubljani, Fakulteta za strojništvo, Laboratorij za dinamiko fluidov in termodinamiko

Page 203: Zbornik del

Kuhljevi dnevi 2016

- 196 -

nadzorovati. Če bat prepočasi pospešuje se ustvarijo manjši, plitvi valovi, ki utečejo batu in

se nato odbijejo od nasprotne stene. Če bat prehitro pospešuje, se ustvari visok val, ki se

lahko zvrne. Tako ustvarjen dinamični val ob svojem potovanju ustvari rotacijo kapljevine,

ki posrka okoliški zrak in pomešan ostane v vodi. Oba fenomena sta prikazana na sliki 1:

Slika 1: Plitki (zgoraj) in dinamični val (spodaj)

Za primer plitkega vala uporabimo poenostavitev [1]

za odprti kanal in tako lahko hitrost tega

vala vC izračunamo po enačbi:

(1)

Enačba 1 velja pri volumski napolnjenosti 50% in za nizke valove v primerjavi z globino

kapljevine. Hitrost gibanja vala je v tem primeru odvisna od gravitacijskega pospeška g in

višine vala h. Za hitrost dinamičnega vala pa velja[2]

:

(2)

Iz enačbe 2 vidimo, da je hitrost dinamičnega vala odvisna od hitrosti bata U in od stopnje

volumskega deleža - napolnjenosti cilindra ϕ. V nobeni od zgornjih dveh enačb niso

uporabljene transportne lastnosti tekočin, zato lahko sklepamo, da hitrost potovanja valov ni

odvisna od njih.

Slika 2: Shematski prikaz obravnavanega cilindra

V svojem delu na podlagi teh predpostavk Barkhudarov[2]

razvije matematični model za

popis hitrosti bata glede na čas, ki drži določen naklon vala. Slika 2 prikazuje začetno stanje

cilindra in vse vhodne parametre za enačbe, ki jih je uporabil za izpeljavo modela. Enačba 3

izvira na podlagi predpostavke, da se val giba s konstantno hitrostjo, ko se odlepi od bata.

(3)

Page 204: Zbornik del

Kuhljevi dnevi 2016

- 197 -

Če želimo slediti nastajajočim valovom, je potrebno z batom pospeševati in ima zato vsak

naslednji val višjo hitrost. Če kontroliramo kot nastajajočega vala, se lahko izognemo

dinamičnemu valu, kar opisuje enačba 4:

(4)

(5)

(6)

V enačbo 4 so bile vstavljene enačbe za višini vala in poziciji bata v obeh točkah, da dobimo

enačbo 5. Le-ta je bila nato linearizirana, da dobimo enačbo 6. Enačbo še dodatno

poenostavimo s predpostavko, da je največji nastali kot vala ob času tL, ko le-ta doseže konec

cilindra. Ta čas definiramo z enačbo 7:

(7)

Če v enačbi 6 zamenjamo t s časom tL in preuredimo člene, dobimo:

(8)

S tem je dobil enačbo 8 po kateri lahko izračunamo hitrost bata v odvisnosti od časa, kjer val

ne preseže največjega naklona αmax. Pridobljene rezultate je nato primerjal z numeričnimi

rezultati iz Flow3D, ki so pokazali primerljivost, če opazujemo čas ko kapljevina doseže

konec cilindra in oblikovanje stične površine. Izpostavil je slabost analitične rešitve v 2D

zaradi slabe napovedi hitrostnega polja kapljevine pod stično površino[2]

.

3 Izdelava simulacije

V našem primeru smo izdelali numerično simulacijo v odprtokodnem programskem paketu

OpenFOAM 2.4.0. Model cilindra smo izdelali v Ansys Design Modeler in nato iz njega

mrežo z robnimi pogoji v Ansys Meshing. Rezultati simulacije so bili izdelani s pomočjo

prav tako odprtokodnega programskega paketa Paraview 4.1. Za delovni tekočini smo

uporabili vodo in zrak pri temperaturi okolice (20°C). Pri mreženju modela je bilo potrebno

upoštevati pravilno razporeditev elementov modela, da lahko nato predpišemo pravilne robne

pogoje. Dimenzije cilindra so ϕ60 × 350 mm. Uporabljena je funkcija naraščanja debeline

Page 205: Zbornik del

Kuhljevi dnevi 2016

- 198 -

stene, kjer je bila definirana debelina prvega elementa pri steni (0,5 mm), razmerje

naraščanja debeline elementov 1,2 in število elementov (9). Ti manjši elementi na robu

mreže so pogoj za uporabo standardnih stenskih funkcij [3,4]

. Za preostale elemente mreže je

minimalna dolžina roba elementa 3,5 mm v vseh smereh. Izdelana mreža je prikazana na

sliki 3. S takšnimi nastavitvami izdelana mreža ima 35800 tetraedričnih elementov. Za

primerjavo je bila izdelana tudi mreža s podvojenim številom elementov (80900). Po

primerjavi rezultatov simulacije pri enakih vhodnih nastavitvah se je izkazalo, da dobimo

popolnoma primerljive rezultate gibanja stične površina, hitrostnega in tlačnega polja. Hkrati

pa se je hitrost izračuna močno skrajšala, zato smo se odločili za izdelavo rezultatov na tej

redkejši mreži. Geometrijo razdelimo na robne pogoje za izdelavo dinamične mreže.

Slika 3: 3D mreža cilindra s 35800 elementi

Slika 4: Robni pogoji uporabljene mreže: stena bata (a), gibajoča stena cilindra (b), stena

na koncu cilindra (c), tlačni izpust (č) in simetrija (d)

Vsi robni pogoji so prikazani na sliki 4 kot rdeča mreža na modelu, namen posameznega

robnega pogoja je:

stena bata (wall_piston) – giblje se s predpisano hitrostjo.

Page 206: Zbornik del

Kuhljevi dnevi 2016

- 199 -

stena na koncu cilindra (wall_cylinder) – stacionarna stena.

gibajoča stena cilindra (wall_cylinder_moving) – vzdolž cilindra jo deformiramo s

predpisano hitrostjo.

tlačni izpust (outlet) – neomejen izstop za obe tekočini.

simetrija (symmetry_yz) – ne uporablja enakih pogojev kot navadna stenska

funkcija. Zrcali reakcijo. Uporabljamo za razpolovitev volumna in zato posledično

manjšega števila elementov mreže. Ostalo je enako kot pri robnemu pogoju gibajoče

stene cilindra.

Za reševanje problema je bil izbran standardni solver interDyMFoam (izračun za dve

nestisljivi, izotermni in ne-pomešljivi tekočini z metodo VOF (volume of liquid), ki sledi

deležu kapljevine na stični površini in ima dodatno možnost dinamične mreže s

spremembami topologije, vključno s prilagodljivim posodabljanjem mreže[5]

). Za izračun

hitrostnega in tlačnega polja je bila uporabljena shema PIMPLE (združeni metodi PISO in

SIMPLE). Izbran časovni korak je bil 10-5

s, ki je še omogočil dobro konvergenco

posameznega računskega koraka. Dodatno skrajševanje časovnega koraka ni pripomogli k

hitrejši konvergenci, ampak samo podaljšalo čas izračuna numerične simulacije. Uporabljeni

turbulentni model je k-Ω SST. Robna pogoja stena bata in stena na koncu cilindra sta brez

gradienta, gibajoča stena cilindra ima omogočen drseči tip in tlačni izpust ima robni pogoja

tipa vstop/izstop, ki omogoča povratni tok. Interval zapisa rezultatov je bil podan na 0,01 s.

Za deformacijo mreže je bil izbran model izračuna Laplacove komponente (velocity

Component Laplacian), ki deformira mrežo v z-osi. Hitrost gibanja stene bata, ki jo

uporabimo nato za deformacijo mreže, smo definirali kot enakomerno pospešeno gibanje do

dveh različnih hitrosti – 0,4 m/s in 0,8 m/s. Volumska napolnjenost cilindra (volumen vode v

primerjavi s celotnim volumnom cilindra) je bil izbran 40%.

4 Rezultati 4.1 Numerična simulacija

Slika 5 prikazuje rezultate pri hitrosti 0,4 m/s in volumski napolnjenosti 40%. Pri času t =

0,78 s se nižji val hitro približuje nasprotni steni. Le-ta se zabije ob steno cilindra in povzroči

hitro zaprtje tlačnega izpusta, ker je vidno pri času t = 1,03 s. Takoj zatem je pri času t = 1,1

s vidno, da ustvarimo veliko količino zračnih votlin zaradi zaprtja tlačnega izpusta. Rezultat

pri času t = 1,12 s kaže, da je večina zračnih votlin že popolnoma pomešanih med kapljevino,

razen največjega. Pri zadnjem času t = 1,18 s je prisotna zgolj še kapljevina z izjemo manjše

votline tik pri steni bata. S pospeševanjem bata do hitrosti 0,4 m/s zajamemo večjo količino

zraka v kapljevino v razpršeni obliki.

Na sliki 6 so prikazani rezultati za hitrost bata 0,6 m/s pri volumski napolnjenosti 40%. Pri

času t = 0,5 s je lepo vidno nastajanje vala, ki se bliža vrhu cilindra. Izstopa večji kot vala na

spodaj. Kapljevina je pri času t = 0,45 s že zapolnila vrh cilindra in se pospešeno giba proti

tlačnemu izpustu. Pri nadaljnjem pospeševanju kapljevine postane stična površina vertikalna,

vidno pri času t = 0,67 s. Kapljevina z visoko hitrostjo preide hitro v izpust, v cilindru pa

ostane določen delež zraka desno od izpusta (t = 0,7 s). Le-ta je hitro izrinjen skozi tlačni

izpust in imamo prisotno zgolj še kapljevino.

Na sliki 7 so prikazani rezultati pri hitrosti 0,8 m/s in volumski napolnjenosti 40%. Pojavi se

zelo očiten preval kapljevine zaradi visoke nastavljene hitrosti. Pri času t = 0,33 s se vidi

kako zelo hitro se stična površina postavi vertikalno, ki preide v preval pri času t = 0,4 s. Pri

času t = 0,44 s kapljevina pljuskne ob stacionarno kapljevino in pomeša veliko zraka v vodo.

Page 207: Zbornik del

Kuhljevi dnevi 2016

- 200 -

Slika 5: Delež vode v odvisnosti od časa pri hitrosti bata 0,4 m/s, napolnjenost valja 40%

Slika 6: Delež vode v odvisnosti od časa pri hitrosti bata 0,6 m/s, napolnjenost valja 40%

Pri času t = 0,5 s opazimo, količino zraka zajetega v kapljevino in prav tako del desno od

tlačnega izpusta, ki je ostal neizrinjen iz cilindra.

Page 208: Zbornik del

Kuhljevi dnevi 2016

- 201 -

Slika 7: Delež vode v odvisnosti od časa pri hitrosti bata 0,8 m/s, napolnjenost valja 40%

Izkaže se, da je izbrana hitrost do katere pospešuje bat previsoka. Zaradi ustvarjenega

prevala se zajame in pomeša v kapljevino večja količina zraka, ki jo je nato nemogoče

odstraniti iz kapljevine.

4.2 Eksperiment

Z eksperimentom oz. testom na realnem procesu litja aluminija smo direktno aplicirali

rezultate numeričnih simulacije. Na stroju za visokotlačno litje aluminija, kjer se uporablja

princip iztiskanja aluminijeve taline in smo uporabili hitrosti izračunane s CFD v prejšnjem

Slika 8: Rentgenska slika Al litine v izstopnem kanalu iz cilindra pri iztisnih hitrostih bata

0,4 m/s, 0,6 m/s in 0,8 m/s (od leve proti desni)

podpoglavju (1. faza litja). Rezultati so prikazani v obliki rentgenskih posnetkov Al litine na

izstopnem kanalu, to je območje tik za tlačnim izpustom v CFD analizi. Belo obkrožene lise

Page 209: Zbornik del

Kuhljevi dnevi 2016

- 202 -

so posledica napake na leči kamere iz rentgena in se jih zato ne upošteva. Pri najnižji hitrosti

0,4 m/s opazimo homogeno razporeditev manjših zračnih mehurčkov (poroznost) po

celotnem dolivku. Pri hitrosti 0,6 m/s so le-ti zelo blizu tlačnega izpusta in ostali predel

popolnoma čist. Pri najvišji hitrosti se razprostirajo spet višje po strelu in v večjih zračnih

mehurčkih kot pri nižjih hitrostih. Rezultati so primerljivi s tistimi iz numeričnih simulacij,

če sklepamo kako je zrak pomešan med kapljevino in nato iztisnjen skozi tlačni izpust.

5 Zaključek

V numeričnih simulacijah smo izdelali rezultate za enakomerno pospešeno gibanje bata v

cilindru pri treh različnih hitrostih in volumski napolnjenosti 40%. Izdelali smo tudi

eksperiment na realnem procesu, ki uporablja to vrsto gibanja kapljevine – visokotlačno

litje, kjer smo opazovali zajeti zrak v 'strelu' tik za tlačnim izpustom. Rezultati numerične

simulacije so pokazali, da pri nižjih hitrostih ne sledimo zadostno ustvarjenim valovom na

stični površini kapljevine, medtem ko s previsokimi hitrostmi lahko ustvarimo preval, ki

nekontrolirano pomeša zrak v kapljevino. Najbližje optimalnemu nastajanju vala je bilo

doseženo z enakomernim pospeševanjem bata do hitrosti 0,6 m/s. Optimalno gibanje je

takšno, pri katerem dosežemo val ki zapolni cilinder, vendar se ne lomi ter tako ne zajema

zraka (preval kapljevine) ali zaprtja tlačnega izpusta zaradi uhajajočega vala. Rezultati

eksperimenta na realnem procesu dobro potrdijo rezultate simulacij. Izdelani rezultati

numeričnih simulacij pri enakomerno pospešenem gibanju bata v cilindru so tako zelo

spodbudni in direktno uporabo v industriji.

Literatura

[1] OpenProf: Valovanje na gladini kapljevine; dostopno na:

http://si.openprof.com/wb/valovanje_na_gladini_kapljevine?ch=335, ogled 22.10.2015

[2] M.R. Barkhudarov, Minimizing Air Entrainment in a Shot Sleeve during Slow-Shot

Stage, Die Casting Engineer, 53, 3, 34-37, 2009

[3] A. Bombač, D. Beader, I. Žun: Mixing times in a stirred vessel with a modified turbine.

Acta chimica slovenica, 59, 4, 707-721, 2012

[4] A. Bombač, I. Žun, Tlačne izgube in pomešanje v statičnem mešalu, Ventil, 12, 6, 370-

375, 2006

[5] C. J. Greenshields, OpenFOAM User Guide - The Open Source CFD Toolbox,

OpenFOAM Foundation Ltd., 2015

Page 210: Zbornik del

CIP - Katalozni zapis o publikacijiNarodna in univerzitetna knjiznica, Ljubljana

531/532(082)

KUHLJEVI dnevi (2016 ; Bovec)Zbornik del / Kuhljevi dnevi 2016, Bovec, 29.-30. september 2016 ;

uredila Dejan Zupan, Tomaz Hozjan. - Ljubljana : Slovensko drustvo za mehaniko, 2016

ISBN 978-961-93859-1-31. Zupan, Dejan, 1973-286428416

Page 211: Zbornik del

6201

9 789619 385913

ISBN 978-961-93859-1-3

Slovensko društvo

za mehaniko