UNICAMP - Faculdade de Ciencias Aplicadas
Tutorial do software Mathematica 6.0
Thaıs Goncales - RA:093052 - Calculo II - Le203
Prof. Marcio Antonio de Faria Rosa
Segundo Semestre 2009
1
Introducao
Esse tutorial tem como objetivo introduzir alguns comandos do Mathe-
matica 6.0 aos alunos de Calculo II que o utilizara como ferramenta didatica
durante o curso. O tutorial nao demonstra todos os comandos do Mathe-
matica, pois o software e muito abrangente, apenas serve como explicacao
simples para alunos iniciantes.
O Programa Mathematica
O Mathematica e um software do tipo CAS (Computer Algebraic Sys-
tem), que e um programa capaz de realizar calculos da mesma forma e com
as mesmas regras e notacoes do calculo no papel , porem com uma facilidade e
agilidade maior. Existem outros softwares que tambem sao desse tipo, como:
MatLab, Maple, Maxima, Mupad etc.
O Mathematica foi desenvolvido por Wolfram Research, e sua primeira
versao foi lancada em 1988. O programa foi classificado naquele ano como uns
dos dez melhores produtos desenvolvidos no ano, isso porque desde a decada
de 1960 ja existiam pacotes individuais que realizavam tarefas algebricas,
numericas, graficas, entre outras, mas foi apenas com o lancamento do Math-
ematica que foi possıvel manipular os tres tipos basicos de computacao:
numerica, simbolica e grafica.
Inicialmente oMathematica foi utilizado por cientistas, engenheiros, matematicos
e fısicos, no entanto atualmente o software e utilizado num campo muito
amplo que envolve as biologicas e as ciencias sociais. Ha algum tempo o
Mathematica esta sendo muito utilizado como ferramenta didatica no ensino
medio e na graduacao, alem de ser utilizado em diversas companhias, nos
departamentos dos EUA e nas 50 melhores universidades do mundo.
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O software Mathematica nao e um software livre, porem na internet pode
ser realizado o download de teste que e gratis por 30 dias. Para isso basta aces-
sar: www.wolfram.com/products/mathematica/index.html, e fazer o download
do Mathematica 6.0.
Alguns detalhes da linguagem do Mathematica
No Mathematica ha maneiras corretas para utilizacao do parenteses, da
chaves e do colchetes. E importante seguir a meneira correta, pois um co-
mando pode nao funcionar pela utilizacao incorreta desses caracteres especi-
ais. Ha tambem a maneira correta para a utilizacao do enter em relacao ao
funcionamento dos comando, alem das varias teclas de atalhos para obtencao
de sımbolos, caracteres e comandos.
Outro detalhe e que todos os comandos quando escritos devem comecar
com letra maiuscula, como por exemplo: ParametricPlot, o Parametric e o
Plot iniciam-se com letra maiuscula por serem dois comandos destintos.
O uso do Parenteses
O parentes e usado no Mathematica para agrupamento, sem eles a multi-
plicacao e a divicao possuem prioridades sobre a adicao e a subtracao. Por
exemplo:
2 * 2 + 5
9
2 *H2 + 5L14
10 �5 + 7
9
O parenteses tambem pode ser utilizado para deixar mais claro a leitura
3
de um comando.
O uso do Colchetes
O colchetes e utilizado para especificar o argumento da funcao e no inıcio
do comando. Por exemplo:
Divisors @1000D81, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 25, 40, 50, 100, 125, 200, 250, 500, 1000<
Neste caso, o argumento 1000 e o comando da o resultado de todos os
divisores inteiros de 1000.
Factor Ax2 + x - 6EH-2 + xL H3 + xL
Neste caso, para o funcionamento do comando Factor e necessario colocar
o colchetes no inıcio e no final da expressao, e entao o comando fatora a ex-
pressao que esta dentro do colchetes, ou seja, o argumento do comando que
e a expressao.
Tambem e necessario a utilizacao de duplo colchetes em casos como o de
indexacao, ou seja, para denotar um objeto ou serie em uma lista. Atraves
do uso de colchetes duplos e possıvel selecionar elementos especıficos de uma
lista.
O uso da Chaves
A chaves e utilizada para definir listas, vetores e matrizes. Como por
exemplo um vetor:
8a, a^2, a^3 <9a, a2, a3=
Ou uma matriz, pois uma matriz no Mathematica e representada por uma
lista de listas. Sendo assim o Mathematica e possıvel definir uma matriz de
4
dimensao arbitraria. O caso abaixo e uma matriz 2 por 2 cujos elementos sao
[i,j], onde i representa linha e j coluna.
88a@1, 1 D, a @1, 2 D<, 8a@2, 1 D, a @2, 2 D<<88a@1, 1D, a@1, 2D<, 8a@2, 1D, a@2, 2D<<
Comandos e Teclas de Atalho
Comandos e Atalhos Resultados
Enter+Shift Execucao do comando
Sinal de (+) Adicao
Sinal de (-) Subtracao
Asterisco (*) ou ( ) Multiplicacao
Ctrl+/ Divisao ou barra fracionaria
esc int esc Sımbolo de integral
esc dd esc Sımbolo que indica variavel de integracao
esc ee esc Notacao de exponencial ou e
esc deg esc Sımbolo de graus
esc inf esc Sımbolo de infinito
esc a esc Representacao de Alfa
esc b esc Representacao de Beta
esc d esc Representacao de delta
esc D esc Representacao de DELTA maiusculo
Ctrl+2 Representacao de Raiz Quadrada
Ctrl+6 Colocacao de expoente
Ctrl+- Subscrito ou colocaca do intervalo inicial de integraca
Ctrl+5 Colocaca do intervalo final de integracao
Ctrl+Space Retorna ao nıvel normal de digitacao
5
O Mathematica e o Calculo
Derivadas
No Mathematica existem varias maneiras de calcular a derivada de uma
funcao. Todas as meneiras serao apresentadas como exemplo para facilitar o
entendimento.
Primeira maneira:
f @x_D = x2 + x3 + x
f ' @xD1 + 2 x + 3 x2
Nessa primeira meneira, declara-se a funcao f[x] e posteriormente pede-
se para calcular a derivada da funcao utilizando f’, para calcular a segunda
derivada e apenas aumentar para dois o numero de aspas posterior ao f. E
assim sucessivamente para obter a e-nessiva derivada.
Segunda maneira:
DAx4 + x3 + x2 + x, x E1 + 2 x + 3 x2 + 4 x3
Nessa maneira, colaca-se o D indicando derivada, a expressao que deseja
derivar entre colchetes, depois uma vırgula e a variavel de relacao de derivacao
da funcao. Neste segundo modo nao declara-se a funcao, apenas a expressao.
Terceira meneira:
f @x_D = x2 + x
D@f @xD, x D1 + 2 x
6
Esta maneira e similar a primeira apenas trocando f’ por D.
Calculando uma derivada parcial:
DAx4 + x + y3 + y, x E1 + 4 x3
Neste caso obtivemos a derivada parcial em x,para calcular em y basta
trocar a incognita de relacao por y.
DAx4 + x + y3 + y, y E1 + 3 y2
Integrais
No Mathematica pode-se calcular integral indefinida, definida e multipla.
Assim como nos comandos de derivada, os de integrais serao apresentados
atraves de exemplos para facilitar a compreensao.
Integral indefinida: ha duas maneiras para obter-se a integral indefinida,
sendo que os resultados serao simbolicos e nao numericos.
Primeira meneira:
à Ix2 + 3 xM âx
3 x2
2+
x3
3
Segunda maneira:
Integrate Ax2 + 3 x, x E3 x2
2+
x3
3
Integral definida: Similar ao calculo de integral indefinida, alterando-se
apenas pelo fato de declarar o intervalo de integracao. Nesse caso obteremos
como resultado um valor numerico.
7
Primeira maneira:
In[1]:= à-2
2Ix2 + 3 xM âx
Out[1]=16
3
Segunda maneira:
Integrate Ax2 + 3 x, 8x, -2, 2 <E16
3
Para o calculo de integral multiplas, procede-se da mesma maneira do
calculo da intregral simples, porem, a expressao pode conter mais uma ou
duas integrais, conforme os exemplos:
Integral Dupla:
In[10]:= à0
2 Π
à0
2I4 r 3 + 3 r M â r â t
Out[10]= 44 Π
In[11]:= Integrate AIntegrate Ax * EHx*yL, x E, y EOut[11]=
ãx y
y
In[14]:= Integrate AIntegrate Ax * EIx*yM, 8x, 1, 2 <E, 8y, 0, 1 <EOut[14]= -1 - ã + ã2
Integral Tripla:
In[15]:= à-1
1
ày2
1
à0
1-x
âz âx â y
Out[15]=8
15
8
Resolucao de equacoes
Muitas vezes na resolucao de um exercıcio e necessario as solucoes de
equacoes, para isso no Mathematica existe o comando Solve.
Solve Ax2 + 3 x + 6 � 4, x E88x ® -2<, 8x ® -1<<
Solve A3 x2 + 5 x + 7 � 15E
::x ® -8
3>, 8x ® 1<>
Solve Ax2 + y2 � 2, x E
::x ® - 2 - y2 >, :x ® 2 - y2 >>
Solve Ax2 + y2 � 2, y E
::y ® - 2 - x2 >, :y ® 2 - x2 >>
Como pode-se observar o comando pode funcionar de duas maneiras:
declarando a variavel que deseja resolver a equacao ou entao nao declarar,
isso porque quando a equacao e apenas em funcao de uma variavel nao e
necessario declarar, caso contrario e necessario.
Graficos
Um recurso muito util do Mathematica e tracar graficos. No Mathematica
e possıvel tracar graficos bidimensionais, tridimensionais, parametricos bidi-
mensionais e tridimensionais e curvas de nıveis. Com os comandos de graficos
e possıvel realizar diversas acoes como formatacoo e animacoes, porem essas
tarefas sao mais aprofundadas e entao ficaremos apenas com os comandos.
Para facilitar o entendimento, os graficos serao apresentados em forma de
exemplos, para conseguir-se demonstrar tanto o comando, como o resultado
- o grafico.
9
Graficos Bidimensionais
Para o obtencao de graficos bidimensionais, e utilizado apenas um co-
mando: o Plot, nele assim como nos outros comandos pode-se primeiramente
declarar a funcao e depois realizar o comando utilizando a declaracao, senao
pode-se simplesmete declarar a expressao no proprio comando. Em todos
os graficos e necessario declarar o intervalo dos eixos, neste caso x e y. O
comando Plot tambe pode ser utilizado em conjunto com outros comandos
de graficos. Com os exemplos abaixo fica mais claro a maneira de escrever o
comando.
Plot @Sin @xD, 8x, -Π, Π<D
-3 -2 -1 1 2 3
-1.0
-0.5
0.5
1.0
Plot @Sin @xD� x, 8x, -20, 20 <D
-20 -10 10 20
-0.2
-0.1
0.1
0.2
0.3
0.4
10
Atraves do comando Plot e diversos outros comandos graficos, pode-se
desenhar curvas de uma ou de varias expressoes em um unico grafico. O
primeiro argumento de Plot define a funcao ou as funcoes para o grafico.
Quando o primeiro argumento e uma lista, o Mathematica desenha mais de
uma curva em um unico grafico. Como no exemplo abaixo.
Plot @8Sin @xD, Sin @2 xD, Sin @3 xD<, 8x, 0, 2 Π<D
1 2 3 4 5 6
-1.0
-0.5
0.5
1.0
Graficos Parametricos Bidimensionais e Tridimensionais
Graficos Parametricos sao graficos de uma funcao parametrica, ou seja,
uma funcao onde valores de x e y sao funcoes de outras variaveis, como
por exemplo do tempo t. Para obter um grafico parametrico bidimensional
utilizamos o comando ParametricPlot, ja para os tridimensionais o comando e
ParametricPlot3D. No caso desses comando precisa-se trabalhar com algumas
opcoes que serao demonstradas nos exemplos.
11
ParametricPlot @8Cos@t D, Sin @t D<, 8t, -Π, Π<D
-1.0 -0.5 0.5 1.0
-1.0
-0.5
0.5
1.0
ParametricPlot @8Sin @t D, Sin @2 t D<, 8t, 0, 2 Π<, Axes ® NoneD
12
ParametricPlot3D @8u, Cos @t D, Sin @t D<, 8u, -2, 2 <, 8t, 0, 2 Π<D
-2
-1
0
1
2 -1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
ParametricPlot3D @8Sin @t D, Cos @t D, t �3<, 8t, 0, 15 <D-1.0
-0.50.0
0.51.0
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
0
2
4
13
Graficos Polares
Um grafico polar compara um angulo com uma distancia. Esse tipo de
grafico pode ser desenhado no Mathematica atraves do comando PolarPlot e
e muito util para resolucao de exercıcios que envolvem coordenadas polares.PolarPlot @1 - 2 Sin @t D, 8t, 0, 2 Π<D
-1.5 -1.0 -0.5 0.5 1.0 1.5
-3.0
-2.5
-2.0
-1.5
-1.0
-0.5
PolarPlot @Sin @10 t D, 8t, 0, 2 Π<D
-1.0 -0.5 0.5 1.0
-1.0
-0.5
0.5
1.0
14
Graficos Tridimensionais
Para obtecao de graficos tridimensionais utilizamos o comando: Plot3D,
com a excecao da esfera que pode ser gerada atraves do comando Spheri-
calPlot3D. Nesses comandos sao necessarios um intervalo de duas variaveis.
Assim como o comando Plot, o comando Plot3D tambem pode ser utilizado
em conjunto com outro comando.
Plot3D @10 Sin @x + Sin @yDD, 8x, -10, 10 <, 8y, -10, 10 <, PlotPoints ® 40D
-10
-5
0
5
10-10
-5
0
5
10
-10
-5
0
5
10
Plot3D B: 1 - y2 , - 1 - y2 >, 8x, -2, 2 <, 8y, -1, 1 <F
-2
-1
0
1
2-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
15
In[1]:= SphericalPlot3D @1 + Cos@xD, 8x, 0, 2 Π<, 8t, 0, 2 Π<D
Out[1]=
-1
0
1
-1
0
1
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
Curvas de Nıvel
Atraves do comando ContourPlot e ContourPlot3D possıvel tracar
curvas de nıvel no Mathematica. Curvas de nıvel de uma funcao sao os
conjuntos onde o valor de uma funcao f e constante. Assim como no comando
do ParametricPlot, no ContourPlot e ContourPlot3D e necessario a utilizacao
de opcoes do comando.
16
ContourPlot A25 - x2 - y2, 8x, -4, 4 <, 8y, -4, 4 <E
-4 -2 0 2 4
-4
-2
0
2
4
ContourPlot A25 - x2 - y2, 8x, -4, 4 <, 8y, -4, 4 <, Contours ® 40E
-4 -2 0 2 4
-4
-2
0
2
4
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ContourPlot A25 - x2 - y2, 8x, -4, 4 <, 8y, -4, 4 <, ContourLabels ® True E
-5 -5
-5-5
0
0
0
0
5 5
5
5
10
15
20
-4 -2 0 2 4
-4
-2
0
2
4
ContourPlot3D A25 - x2 - y2 - z2, 8x, -4, 4 <, 8y, -4, 4 <, 8z, -4, 4 <E
-4
-2
0
2
4
-4
-2
0
2
4
-4
-2
0
2
4
18
ContourPlot3D A25 - x2 - y2 - z2, 8x, -4, 4 <, 8y, -4, 4 <, 8z, -4, 4 <, Contours ® 10E
-4
-2
0
2
4
-4
-2
0
2
4
-4
-2
0
2
4
Demostracao Simultanea de Graficos
No Mathematica e possıvel demonstrar um grafico sobre o outro atraves
do comando Show. Essa demonstraca e muito importante para resolucao de
exercıcios que envolvem mais de um solido ou uma superfıcie.
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In[1]:= a = ParametricPlot3D @88H2 Cos@pD + 6L Cos@t D, H2 Cos@pD + 6L Sin @t D, 2 Sin @pD<,
82.6 p - 8, 2.6 t - 8, 1 <<, 8p, 0, 2 Π<, 8t, 0, 2 Π<D
Out[1]=
-5
0
5
-5
0
5
-2-1
012
In[2]:= b = ContourPlot3D @z � 0, 8x, -10, 10 <, 8y, -10, 10 <, 8z, -2, 2 <D
Out[2]=
-10
-5
0
5
10
-10
-5
0
5
10
-2
-1
0
1
2
20
In[3]:= Show@a, b D
Out[3]=
-5
0
5
-5
0
5
-2-1
012
Conclucao
Neste tutorial foi apresentado comandos basicos do Mathematica que
ajudam na resolucao de exercıcios principalmente de calculo II. Os graficos
sao ferramentas importantıssimas para a disciplina e a meneira de os obterem
no Mathematica e muito rapido e facil, auxıliando bastante.
E importante lembrar que em caso de duvida em algum comando basta
digital ??Comando ou entao Information[Comando] ou ainda acionar o help
do Mathematica apertando F1 ou no link Help.
Referencias Bibliograficas
Edwards Jr,C.H; Penney,David E. - Calculo com Geometria Analıtica
- Quarta edicao - PHB - 1997.
Soliane,Renato - Guia para o Mathematica.
www.ime.unicamp.br/˜marcio - Acessado em 22 de novembro de 2009.
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