UNICAMP - Faculdade de Ciencias Aplicadas

Tutorial do software Mathematica 6.0

Thaıs Goncales - RA:093052 - Calculo II - Le203

Prof. Marcio Antonio de Faria Rosa

Segundo Semestre 2009

1

Introducao

Esse tutorial tem como objetivo introduzir alguns comandos do Mathe-

matica 6.0 aos alunos de Calculo II que o utilizara como ferramenta didatica

durante o curso. O tutorial nao demonstra todos os comandos do Mathe-

matica, pois o software e muito abrangente, apenas serve como explicacao

simples para alunos iniciantes.

O Programa Mathematica

O Mathematica e um software do tipo CAS (Computer Algebraic Sys-

tem), que e um programa capaz de realizar calculos da mesma forma e com

as mesmas regras e notacoes do calculo no papel , porem com uma facilidade e

agilidade maior. Existem outros softwares que tambem sao desse tipo, como:

MatLab, Maple, Maxima, Mupad etc.

O Mathematica foi desenvolvido por Wolfram Research, e sua primeira

versao foi lancada em 1988. O programa foi classificado naquele ano como uns

dos dez melhores produtos desenvolvidos no ano, isso porque desde a decada

de 1960 ja existiam pacotes individuais que realizavam tarefas algebricas,

numericas, graficas, entre outras, mas foi apenas com o lancamento do Math-

ematica que foi possıvel manipular os tres tipos basicos de computacao:

numerica, simbolica e grafica.

Inicialmente oMathematica foi utilizado por cientistas, engenheiros, matematicos

e fısicos, no entanto atualmente o software e utilizado num campo muito

amplo que envolve as biologicas e as ciencias sociais. Ha algum tempo o

Mathematica esta sendo muito utilizado como ferramenta didatica no ensino

medio e na graduacao, alem de ser utilizado em diversas companhias, nos

departamentos dos EUA e nas 50 melhores universidades do mundo.

2

O software Mathematica nao e um software livre, porem na internet pode

ser realizado o download de teste que e gratis por 30 dias. Para isso basta aces-

sar: www.wolfram.com/products/mathematica/index.html, e fazer o download

do Mathematica 6.0.

Alguns detalhes da linguagem do Mathematica

No Mathematica ha maneiras corretas para utilizacao do parenteses, da

chaves e do colchetes. E importante seguir a meneira correta, pois um co-

mando pode nao funcionar pela utilizacao incorreta desses caracteres especi-

ais. Ha tambem a maneira correta para a utilizacao do enter em relacao ao

funcionamento dos comando, alem das varias teclas de atalhos para obtencao

de sımbolos, caracteres e comandos.

Outro detalhe e que todos os comandos quando escritos devem comecar

com letra maiuscula, como por exemplo: ParametricPlot, o Parametric e o

Plot iniciam-se com letra maiuscula por serem dois comandos destintos.

O uso do Parenteses

O parentes e usado no Mathematica para agrupamento, sem eles a multi-

plicacao e a divicao possuem prioridades sobre a adicao e a subtracao. Por

exemplo:

2 * 2 + 5

9

2 *H2 + 5L14

10 �5 + 7

9

O parenteses tambem pode ser utilizado para deixar mais claro a leitura

3

de um comando.

O uso do Colchetes

O colchetes e utilizado para especificar o argumento da funcao e no inıcio

do comando. Por exemplo:

Divisors @1000D81, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 25, 40, 50, 100, 125, 200, 250, 500, 1000<

Neste caso, o argumento 1000 e o comando da o resultado de todos os

divisores inteiros de 1000.

Factor Ax2 + x - 6EH-2 + xL H3 + xL

Neste caso, para o funcionamento do comando Factor e necessario colocar

o colchetes no inıcio e no final da expressao, e entao o comando fatora a ex-

pressao que esta dentro do colchetes, ou seja, o argumento do comando que

e a expressao.

Tambem e necessario a utilizacao de duplo colchetes em casos como o de

indexacao, ou seja, para denotar um objeto ou serie em uma lista. Atraves

do uso de colchetes duplos e possıvel selecionar elementos especıficos de uma

lista.

O uso da Chaves

A chaves e utilizada para definir listas, vetores e matrizes. Como por

exemplo um vetor:

8a, a^2, a^3 <9a, a2, a3=

Ou uma matriz, pois uma matriz no Mathematica e representada por uma

lista de listas. Sendo assim o Mathematica e possıvel definir uma matriz de

4

dimensao arbitraria. O caso abaixo e uma matriz 2 por 2 cujos elementos sao

[i,j], onde i representa linha e j coluna.

88a@1, 1 D, a @1, 2 D<, 8a@2, 1 D, a @2, 2 D<<88a@1, 1D, a@1, 2D<, 8a@2, 1D, a@2, 2D<<

Comandos e Teclas de Atalho

Comandos e Atalhos Resultados

Enter+Shift Execucao do comando

Sinal de (+) Adicao

Sinal de (-) Subtracao

Asterisco (*) ou ( ) Multiplicacao

Ctrl+/ Divisao ou barra fracionaria

esc int esc Sımbolo de integral

esc dd esc Sımbolo que indica variavel de integracao

esc ee esc Notacao de exponencial ou e

esc deg esc Sımbolo de graus

esc inf esc Sımbolo de infinito

esc a esc Representacao de Alfa

esc b esc Representacao de Beta

esc d esc Representacao de delta

esc D esc Representacao de DELTA maiusculo

Ctrl+2 Representacao de Raiz Quadrada

Ctrl+6 Colocacao de expoente

Ctrl+- Subscrito ou colocaca do intervalo inicial de integraca

Ctrl+5 Colocaca do intervalo final de integracao

Ctrl+Space Retorna ao nıvel normal de digitacao

5

O Mathematica e o Calculo

Derivadas

No Mathematica existem varias maneiras de calcular a derivada de uma

funcao. Todas as meneiras serao apresentadas como exemplo para facilitar o

entendimento.

Primeira maneira:

f @x_D = x2 + x3 + x

f ' @xD1 + 2 x + 3 x2

Nessa primeira meneira, declara-se a funcao f[x] e posteriormente pede-

se para calcular a derivada da funcao utilizando f’, para calcular a segunda

derivada e apenas aumentar para dois o numero de aspas posterior ao f. E

assim sucessivamente para obter a e-nessiva derivada.

Segunda maneira:

DAx4 + x3 + x2 + x, x E1 + 2 x + 3 x2 + 4 x3

Nessa maneira, colaca-se o D indicando derivada, a expressao que deseja

derivar entre colchetes, depois uma vırgula e a variavel de relacao de derivacao

da funcao. Neste segundo modo nao declara-se a funcao, apenas a expressao.

Terceira meneira:

f @x_D = x2 + x

D@f @xD, x D1 + 2 x

6

Esta maneira e similar a primeira apenas trocando f’ por D.

Calculando uma derivada parcial:

DAx4 + x + y3 + y, x E1 + 4 x3

Neste caso obtivemos a derivada parcial em x,para calcular em y basta

trocar a incognita de relacao por y.

DAx4 + x + y3 + y, y E1 + 3 y2

Integrais

No Mathematica pode-se calcular integral indefinida, definida e multipla.

Assim como nos comandos de derivada, os de integrais serao apresentados

atraves de exemplos para facilitar a compreensao.

Integral indefinida: ha duas maneiras para obter-se a integral indefinida,

sendo que os resultados serao simbolicos e nao numericos.

Primeira meneira:

à Ix2 + 3 xM âx

3 x2

2+

x3

3

Segunda maneira:

Integrate Ax2 + 3 x, x E3 x2

2+

x3

3

Integral definida: Similar ao calculo de integral indefinida, alterando-se

apenas pelo fato de declarar o intervalo de integracao. Nesse caso obteremos

como resultado um valor numerico.

7

Primeira maneira:

In[1]:= à-2

2Ix2 + 3 xM âx

Out[1]=16

3

Segunda maneira:

Integrate Ax2 + 3 x, 8x, -2, 2 <E16

3

Para o calculo de integral multiplas, procede-se da mesma maneira do

calculo da intregral simples, porem, a expressao pode conter mais uma ou

duas integrais, conforme os exemplos:

Integral Dupla:

In[10]:= à0

2 Π

à0

2I4 r 3 + 3 r M â r â t

Out[10]= 44 Π

In[11]:= Integrate AIntegrate Ax * EHx*yL, x E, y EOut[11]=

ãx y

y

In[14]:= Integrate AIntegrate Ax * EIx*yM, 8x, 1, 2 <E, 8y, 0, 1 <EOut[14]= -1 - ã + ã2

Integral Tripla:

In[15]:= à-1

1

ày2

1

à0

1-x

âz âx â y

Out[15]=8

15

8

Resolucao de equacoes

Muitas vezes na resolucao de um exercıcio e necessario as solucoes de

equacoes, para isso no Mathematica existe o comando Solve.

Solve Ax2 + 3 x + 6 � 4, x E88x ® -2<, 8x ® -1<<

Solve A3 x2 + 5 x + 7 � 15E

::x ® -8

3>, 8x ® 1<>

Solve Ax2 + y2 � 2, x E

::x ® - 2 - y2 >, :x ® 2 - y2 >>

Solve Ax2 + y2 � 2, y E

::y ® - 2 - x2 >, :y ® 2 - x2 >>

Como pode-se observar o comando pode funcionar de duas maneiras:

declarando a variavel que deseja resolver a equacao ou entao nao declarar,

isso porque quando a equacao e apenas em funcao de uma variavel nao e

necessario declarar, caso contrario e necessario.

Graficos

Um recurso muito util do Mathematica e tracar graficos. No Mathematica

e possıvel tracar graficos bidimensionais, tridimensionais, parametricos bidi-

mensionais e tridimensionais e curvas de nıveis. Com os comandos de graficos

e possıvel realizar diversas acoes como formatacoo e animacoes, porem essas

tarefas sao mais aprofundadas e entao ficaremos apenas com os comandos.

Para facilitar o entendimento, os graficos serao apresentados em forma de

exemplos, para conseguir-se demonstrar tanto o comando, como o resultado

- o grafico.

9

Graficos Bidimensionais

Para o obtencao de graficos bidimensionais, e utilizado apenas um co-

mando: o Plot, nele assim como nos outros comandos pode-se primeiramente

declarar a funcao e depois realizar o comando utilizando a declaracao, senao

pode-se simplesmete declarar a expressao no proprio comando. Em todos

os graficos e necessario declarar o intervalo dos eixos, neste caso x e y. O

comando Plot tambe pode ser utilizado em conjunto com outros comandos

de graficos. Com os exemplos abaixo fica mais claro a maneira de escrever o

comando.

Plot @Sin @xD, 8x, -Π, Π<D

-3 -2 -1 1 2 3

-1.0

-0.5

0.5

1.0

Plot @Sin @xD� x, 8x, -20, 20 <D

-20 -10 10 20

-0.2

-0.1

0.1

0.2

0.3

0.4

10

Atraves do comando Plot e diversos outros comandos graficos, pode-se

desenhar curvas de uma ou de varias expressoes em um unico grafico. O

primeiro argumento de Plot define a funcao ou as funcoes para o grafico.

Quando o primeiro argumento e uma lista, o Mathematica desenha mais de

uma curva em um unico grafico. Como no exemplo abaixo.

Plot @8Sin @xD, Sin @2 xD, Sin @3 xD<, 8x, 0, 2 Π<D

1 2 3 4 5 6

-1.0

-0.5

0.5

1.0

Graficos Parametricos Bidimensionais e Tridimensionais

Graficos Parametricos sao graficos de uma funcao parametrica, ou seja,

uma funcao onde valores de x e y sao funcoes de outras variaveis, como

por exemplo do tempo t. Para obter um grafico parametrico bidimensional

utilizamos o comando ParametricPlot, ja para os tridimensionais o comando e

ParametricPlot3D. No caso desses comando precisa-se trabalhar com algumas

opcoes que serao demonstradas nos exemplos.

11

ParametricPlot @8Cos@t D, Sin @t D<, 8t, -Π, Π<D

-1.0 -0.5 0.5 1.0

-1.0

-0.5

0.5

1.0

ParametricPlot @8Sin @t D, Sin @2 t D<, 8t, 0, 2 Π<, Axes ® NoneD

12

ParametricPlot3D @8u, Cos @t D, Sin @t D<, 8u, -2, 2 <, 8t, 0, 2 Π<D

-2

-1

0

1

2 -1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

ParametricPlot3D @8Sin @t D, Cos @t D, t �3<, 8t, 0, 15 <D-1.0

-0.50.0

0.51.0

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

0

2

4

13

Graficos Polares

Um grafico polar compara um angulo com uma distancia. Esse tipo de

grafico pode ser desenhado no Mathematica atraves do comando PolarPlot e

e muito util para resolucao de exercıcios que envolvem coordenadas polares.PolarPlot @1 - 2 Sin @t D, 8t, 0, 2 Π<D

-1.5 -1.0 -0.5 0.5 1.0 1.5

-3.0

-2.5

-2.0

-1.5

-1.0

-0.5

PolarPlot @Sin @10 t D, 8t, 0, 2 Π<D

-1.0 -0.5 0.5 1.0

-1.0

-0.5

0.5

1.0

14

Graficos Tridimensionais

Para obtecao de graficos tridimensionais utilizamos o comando: Plot3D,

com a excecao da esfera que pode ser gerada atraves do comando Spheri-

calPlot3D. Nesses comandos sao necessarios um intervalo de duas variaveis.

Assim como o comando Plot, o comando Plot3D tambem pode ser utilizado

em conjunto com outro comando.

Plot3D @10 Sin @x + Sin @yDD, 8x, -10, 10 <, 8y, -10, 10 <, PlotPoints ® 40D

-10

-5

0

5

10-10

-5

0

5

10

-10

-5

0

5

10

Plot3D B: 1 - y2 , - 1 - y2 >, 8x, -2, 2 <, 8y, -1, 1 <F

-2

-1

0

1

2-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

15

In[1]:= SphericalPlot3D @1 + Cos@xD, 8x, 0, 2 Π<, 8t, 0, 2 Π<D

Out[1]=

-1

0

1

-1

0

1

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

Curvas de Nıvel

Atraves do comando ContourPlot e ContourPlot3D possıvel tracar

curvas de nıvel no Mathematica. Curvas de nıvel de uma funcao sao os

conjuntos onde o valor de uma funcao f e constante. Assim como no comando

do ParametricPlot, no ContourPlot e ContourPlot3D e necessario a utilizacao

de opcoes do comando.

16

ContourPlot A25 - x2 - y2, 8x, -4, 4 <, 8y, -4, 4 <E

-4 -2 0 2 4

-4

-2

0

2

4

ContourPlot A25 - x2 - y2, 8x, -4, 4 <, 8y, -4, 4 <, Contours ® 40E

-4 -2 0 2 4

-4

-2

0

2

4

17

ContourPlot A25 - x2 - y2, 8x, -4, 4 <, 8y, -4, 4 <, ContourLabels ® True E

-5 -5

-5-5

0

0

0

0

5 5

5

5

10

15

20

-4 -2 0 2 4

-4

-2

0

2

4

ContourPlot3D A25 - x2 - y2 - z2, 8x, -4, 4 <, 8y, -4, 4 <, 8z, -4, 4 <E

-4

-2

0

2

4

-4

-2

0

2

4

-4

-2

0

2

4

18

ContourPlot3D A25 - x2 - y2 - z2, 8x, -4, 4 <, 8y, -4, 4 <, 8z, -4, 4 <, Contours ® 10E

-4

-2

0

2

4

-4

-2

0

2

4

-4

-2

0

2

4

Demostracao Simultanea de Graficos

No Mathematica e possıvel demonstrar um grafico sobre o outro atraves

do comando Show. Essa demonstraca e muito importante para resolucao de

exercıcios que envolvem mais de um solido ou uma superfıcie.

19

In[1]:= a = ParametricPlot3D @88H2 Cos@pD + 6L Cos@t D, H2 Cos@pD + 6L Sin @t D, 2 Sin @pD<,

82.6 p - 8, 2.6 t - 8, 1 <<, 8p, 0, 2 Π<, 8t, 0, 2 Π<D

Out[1]=

-5

0

5

-5

0

5

-2-1

012

In[2]:= b = ContourPlot3D @z � 0, 8x, -10, 10 <, 8y, -10, 10 <, 8z, -2, 2 <D

Out[2]=

-10

-5

0

5

10

-10

-5

0

5

10

-2

-1

0

1

2

20

In[3]:= Show@a, b D

Out[3]=

-5

0

5

-5

0

5

-2-1

012

Conclucao

Neste tutorial foi apresentado comandos basicos do Mathematica que

ajudam na resolucao de exercıcios principalmente de calculo II. Os graficos

sao ferramentas importantıssimas para a disciplina e a meneira de os obterem

no Mathematica e muito rapido e facil, auxıliando bastante.

E importante lembrar que em caso de duvida em algum comando basta

digital ??Comando ou entao Information[Comando] ou ainda acionar o help

do Mathematica apertando F1 ou no link Help.

Referencias Bibliograficas

Edwards Jr,C.H; Penney,David E. - Calculo com Geometria Analıtica

- Quarta edicao - PHB - 1997.

Soliane,Renato - Guia para o Mathematica.

www.ime.unicamp.br/˜marcio - Acessado em 22 de novembro de 2009.

21