Tutorial – Mathematica Introdução O Mathematica é um programa Computacional desenvolvido na área da Mathematica, produzido principalmente para a área matemática, na resolução de cálculos numéricos, apresentações de funções, resolução de equações, esboço e desenho de gráficos. Para os Engenheiros é um programa de grande utilidade, principalmente porque o mathematica calcula integrais e derivadas e esboça gráficos em questão de segundos e é muito mais barato(versão pirateada) que uma calculadora gráfica (HP, por exemplo). Neste tutorial, será mostrado comandos básicos e intermediários para que um usuário possa fazer um ótimo uso do programa mathematica e desfrute das maravilhosas qualidades e facilidades deste programa versátil e completo. História do Mathematica

Que É Mathematica? Você conhece provavelmente Mathematica pelo nome. Ou você pode ser um de quase dois milhões de usuários. Mas você sabe realmente o tamanho das potencialidades que Mathematica pode lhe oferecer? O que quer que você está trabalhando -- calculando, programando, aprendendo, documentando ou se tornando -- Mathematica é equipado para ajudar. Mathematica integra (sem cortes) um motor computacional numérico e simbólico, um sistema dos gráficos, uma língua de programação, um sistema de documentação, e uma conctividade avançado a outras aplicações. É esta escala das potencialidades -- muitas que conduzem em sua própria direita -- essas fazem Mathematica excepcionalmente capaz para você ou o trabalho técnico da sua organização. Escala larga dos usos que seguram os cálculos simbólicos complexos que envolvem frequentemente centenas dos milhares ou os milhões dos termos que carregam, analisando, e visualizando os dados que resolvem equações, equações diferenciais, e problemas do minimização numericamente ou fazendo simbolicamente modelar e simulações numéricas, variando dos sistemas de controle simples às colisões da galáxia, derivadas financeiras, sistemas biológicos complexos, reações químicas, estudos do impacto ambiental, e campos magnéticos nos aceleradores de partícula que facilitam o desenvolvimento rápido da aplicação (RAD) para companhias da engenharia e instituições financeiras produzindo a qualidade-profissional, relatórios técnicos interativos ou papéis para a distribuição eletrônica ou da cópia que ilustra conceitos matemáticos ou científicos para estudantes de K-12 aos níveis de pós-graduação -- para o exemplo, para dar das patentes de ESTADOS UNIDOS as apresentações e os trabalhos dos seminários em todos os níveis de Mathematica está sendo usado geralmente com sua referência de caderno diretamente. Entretanto, está sendo usada cada vez mais através das relações alternativas tais como um web browser ou por outros sistemas como um motor computacional back-end. Alguns destes usos requerem o conhecimento arofundado de Matemática, quando outros não . Mathematica é uma ferramenta de escolha para pesquisa acerca de conhecimento, executando muitas das computações das mais complexas do mundo. É consistência completa de Mathematica no projeto em cada estágio que lhe dá esta potencialidade de alto nível e o ajuda a uso avançado evoluir naturalmente. Faça exame de uma excursão de Mathematica. São caracterizadas inteiramente, integrado inteiramente em um nível superficial, Mathematica espantar-se, contudo a calculadora fácil de usar. O jogo mais detalhado do mundo de matemático, de científico, projetando, e funções financeiras é pronto uso -- frequentemente com apenas um clique ou comando do mouse. Entretanto, as funções de Mathematica trabalham para todo o tamanho ou a precisão do número, computa com símbolos, é representada gràficamente, comuta automaticamente algoritmos para começar a melhor resposta, e mesmo a verificação para ajustar a exatidão de seus próprios resultados. Esta sofisticação significa respostas dignas de confiança todas as vezes, mesmo para aqueles inexperientes com os mecanismos de um cálculo particular. Ao trabalhar com os cálculos, um original do caderno mantém um relatório completo: entradas, saídas, e gráficos em um formulário interativo. Adicionando o texto, os títulos, as fórmulas de um livro-texto, ou mesmo os elementos da relação são diretos, fazendo a mostra de correção em linha, a correia fotorreceptora, o XML, ou a apresentação impressa imediatamente disponível do

material original. No fato, com a tecnologia do original do caderno, uma relação inteiramente inovadora pode fàcilmente ser fornecida de modo que os receptores possam interagir com o índice. O caderno é um ambiente técnico inteiramente caracterizado, inteiramente integrado da original-criação. A programação fácil, resultados poderosos o movimento dos cálculos imediatos às computações programadas pode ocorrer evolutivamente. Apenas uma linha faz um programa significativo em Mathematica -- a metodologia, a sintaxe, e os originais usados para a entrada e a saída por mais restante que sejam para cálculos imediatos. Mathematica é também um ambiente robusto do desenvolvimento do software. Os pacotes de Mathematica podem ser eliminados erros, encapsulados, e envolvido em uma relação de usuário feita sob encomenda, tudo dentro do sistema de Mathematica. Alternativamente, Java, C, ou as ligações a um sistema proprietário podem usar o poder de Mathematica atrás das cenas. Uma programação simbólica da idéia unificada, é a tecnologia subjacente que fornece Mathematica a esta escala desafiadora das habilidades. Permite cada tipo de objeto e de cada operação -- sejam dados, funções, gráficos, programas, ou mesmo originais completos -- a ser representados em uma única, maneira uniforme como uma expressão simbólica. Esta unificação tem muitos benefícios práticos da facilidade da aprendizagem e ampliando o espaço da aplicabilidade de cada função. O poder algorítmico cru de Mathematica é ampliado e sua utilidade é estendida. Faça exame de uma excursão completa de características de Mathematica, reveja os elementos chaves, ou veja o que os usuários estão fazendo.

Como obter o Mathematica O Mathematica é um programa Computacional relativamente grande(por volta de 156 MB) e não pode ser armazenado por exemplo em um disquete de 1.44 MB. Assim, o mathematica é comercializado em CDs. O custo de um CD com licença, ou seja, original sai por volta de $ 200,00, mas pode ser encontrado também em muitas lojas de

“camelôs” que vendem a versão pirateada do produto saindo, em média, R$10,00 por CD. A versão temporária (30 dias) do mathematica também está disponível para downloads no site http://www.wolframreseach.com. A versão mais atual do mathematica é a versão 5.2. Vale ressaltar que as últimas versões do Mathematica aceitam praticamente todos os comandos das versões anteriores do programa.

Comandos e Operações Básicas Todas as versões do mathematica são em inglês, portanto todos os seus comandos são em inglês. Obs: Os comandos para serem executados devem ser confirmados com shift+ENTER ou ENTER do teclado numérico.

1. Adição – Sinal de mais (+); 2. Subtração – Sinal de menos (-); 3. Multiplicação – Asterisco (*) ou espaço ( ); 4. Divisão – Barra ( / ) ou ctrl+ barra (/); 5. Expoente – digita-se ctrl+6 ou circunflexo (^)+expoente desejado (2,3,4...n);

nota: para sair do expoente digita-se ctrl+espaço; 6. Raiz Quadrada – digita-se Sqrt (com inicial maiúscula) com o valor desejado

entre colchetes ou ctrl+2 e ctrl+espaço para sair; 7. Valor Numérico – digita-se N e o valor Numérico desejado entre colchetes; 8. Valor Absoluto ou Módulo – digita-se Abs e o valor desejado entre colchetes; 9. Solve – o comando Solve é usado para resolução de equações de qualquer grau.

Digita-se Solve com o valor desejado entre colchetes e na hora de igualar tem que digitar dois iguais (==);

10. Simplify – Este comando ajuda a simplificar valores, digitando Simplify e o valor desejado entre colchetes.

Integrais e Derivadas O Mathematica deriva funções fácil e rapidamente usando apenas o comando D seguido de colchetes que contém a função a ser derivada e indicando em relação à que variável a função é derivada (geralmente coloca-se uma vírgula e xis(x) em seguida). Não sendo a função contínua ou uma função nova, o programa mostra novas funções não conhecidas que indicam algum problema no processo de derivação ou reclama (exibe erros). A Integral é um pouco mais complicada, possuindo duas formas de ser expressa e calculada: Uma é usando o comando Integrate seguido de colchetes com a função a ser integrada dentro dos colchetes e dizendo-se por meio de vírgula com relação à qual variável a função está sendo integrada, calculando a integral indefinida. Adicionando-se o intervalo de integração entre chaves, o mathematica calcula a integral definida nos intervalos.Também pode-se digitar Escape+int+Escape dando origem ao símbolo da integral e digitando ctrl seguido de mais(+), o extremo superior de integração pode ser definido, e digitando ctrl+5 o extremo inferior de integração pode ser definido. Em seguida digita-se ctrl+espaço para sair dos extremos e por último digita-se Escape+d+d+Escape, aparecendo o símbolo diferencial que deve ser acompanhado da variável de integração. Se não forem colocados os intervalos de integração, a integral calculada será indefinida.

(Problema 13 de máximos e mínimos, Seção 3.6 do Edwards e Penney)

Funções Trigonométricas As funções Seno, Cosseno, Secante, Cossecante, Tangente e Cotangente são normalmente utilizadas no Mathematica. Basta escreve-las em inglês.

• Seno – para expressar a função seno digita-se Sin com o argumento entre colchetes;

• Cosseno – para expressar a função cosseno, digita-se Cos com o argumento entre colchetes;

• Secante – para expressar a função secante, digita-se Sec com o argumento entre colchetes;

• Cossecante – para expressar a função cossecante, digita-se Csc com o argumento entre colchetes;

• Tangente – para expressar a função tangente, digita-se Tan com o argumento entre colchetes;

• Cotagente – para expressar a função cotangente, digita-se Cot com o argumento entre colchetes.

Podemos, então, relacionar tais funções (trigonométricas) com as derivadas e as integrais.

As letras gregas pi, teta e as demais podem ser escritas digitando Esc+nome da letra escrita em inglês+Esc.

• Pi – digita-se Esc+pi+Esc;

• Teta – digita-se Esc+theta+Esc; • Fi – digita-se Esc+phi+Esc; • Psi – digita-se Esc+psi+Esc; • Alfa – digita-se Esc+alpha+Esc; • Beta – digita-se Esc+beta+Esc; • Lambida – digita-se Esc+lambda+Esc;

Obs: Quando uma função não pode ser integrada, o Mathematica ou reclama (exibe erros) ou define nova funções as quais o programa e nem mesmo nós mesmos conseguimos integrar ou derivar.

Limites A função que realiza o cálculo de limites no Mathematica é a função Limit. Para calcular-se limites digita-se Limit+colchetes+função+vírgula+variável+hífen (-)+seta (>)+colchetes.

Construção de Gráficos Os comandos para construção de gráficos no Mathematica são relativamente simples. O comando principal é Plot, do qual provém as opções Plot (gráficos bidimensionais), Plot3D (gráficos tridimensionais), ListPlot (lista de gráficos bidimensionais), ParametricPlot (gráficos bidimensionais parametrizados), ListPlot3D (lista de gráficos tridimensionais) e ParametricPlot3D (gráficos tridimensionais parametrizados). Gráficos bidimensionais Gráficos bidimensionais são feitos a partir da função Plot. Para esboçar-se um gráfico bidimensional, digita-se Plot e a função desejada vem entre colchetes. O intervalo de variação do gráfico deve vir entre chaves. Há outros acessórios que complementam a função Plot:

• AspectRatio – Esta função pode deixar um dos eixos 62% maior que outro: Digita-se AspectRatio 1/GoldenRatio (para fazer a seta tecla-se hífen+>).

Também há opção de deixar os dois eixos iguais: Digita-se AspectRatio Automatic.

• AxesStyle Esta função pode mudar a cor e a espessura dos eixos: Digita-se

Plot[função desejada,{domínio da função},AxesStyle→{RGBColor[x,x,x],Thickness[espessura]}].

• AxesLabel Esta função dá nome ao gráfico: Plot[função desejada,{domínio},AxesLabel→"nome do gráfico"].

• AxesOrigin Esta função desloca a origem dos eixos para um valor desejado:

Plot[função desejada,{domínio},AxesOrigin→{número para onde a origem será deslocada,0}].

• BackGround Esta função muda a cor de fundo do gráfico: Plot[função

desejada,{domínio},Background→GrayLevel[grau de intensidade]].

• MaxBend Esta função dá uma visão ampliada da função: Plot[função

desejada,{domínio},MaxBend->número de ampliação].

• Ticks Esta função determina os valores desejados no eixo x: Plot[função

desejada, {domínio}, Ticks→{{valores desejados}, Automatic}].

• RGBColor – esta função seleciona as cores de cada gráfico. Digita-se Plot[função desejada,{domínio},PlotStyle→ {RGBColor[0 ou 1,0 ou 1,0 ou 1]}];

Gráficos tridimensionais Os gráficos tridimensionais são gerados pela função Plot3D. Dentro desta função existem inúmeras outras que modificam e caracterizam cada tipo de gráfico. As funções do Plot3D são:

• Plot3D - esta função gera gráficos tridimensionais apenas em função das coordenadas do plano cartesiano(duas coordenadas);

0

2

4

6 0

2

4

6

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0

2

4

• ListPlo3D – traça lista de gráficos;

• ParametricPlot3D – esta função parametriza um gráfico, colocando-o em

função de seno cosseno (basicamente). Digita-se ParametricPlot3D[{pelo menos três funções desejadas}],{domínio da coordenada x},{domínio da coordenada y}]; Vale lembrar que listas de funções , no mathematica, são colocadas entre chaves.

-1-0.5

00.5

1

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00.5

1

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0

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1

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-1

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00.5

-1-0.5

00.5

1

-1

-0.5

00.5

1

-1

-0.5

0

0.5

1

-1-0.5

00.5

-1

-0.5

00.5

-1-0.5 00.5 1

0

2

4

6

-1-0.5

00.5

1

10.5 00 5

0

2

4

6

ParametricPlot3D[{Sin[x]*Cos[y],y,Cos[x]},{x,0,2 π},{y,0,2 π}] ParametricPlot3D[{Sin[x]*Cos[y],Sin[y],x},{x,0,2 π},{y,0,2 π}]

-1-0.5

00.5

1

-1

-0.5

0

0.5

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0

2

4

6

0.5

0

0.5

1

(Esse parece uma bala!)ParametricPlot3D[{Sin[y]*Cos[x],Cos[y]*Sin[y],x},{x,0,2 π},{y,0,2 π}]

-1-0.500.51-0.5-0.2500.250.5

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(esse é o toro)

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0

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0

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10

-5

0

5

Ajuda

Existem duas formas de se obter ajuda com relação as funções e comandos do mathematica: A função Options e o Help. Options – esta função mostra as opções de comandos que cada função possui. Digita-se Options[comando desejado];

Help – o Help ajuda o usuário do mathematica a descobrir comandos e funções novas. Clica-se em Help e depois em Help Browser. Basta digitar uma palavra relacionada e o Help automaticamente busca exemplos e explicações do tópico pedido.

Pronto! Agora você está bastante capacitado para usufruir das muitas qualidades e ferramentas que este software pode lhe oferecer. Vá mais fundo e descubra mais comandos e utilidades do Mathematica. Boa Sorte!