SEKOLAH TINGGI
MANAJEMEN INFORMATIKA & TEKNIK KOMPUTER
SURABAYA
Kalkulus Teori, Soal-Soal & Penerapannya
Ira Puspasari
Kalkulus 1
BAB 1
FUNGSI{ XE "FUNGSI" } UMUM
Materi : Fungsi
Sub Materi : Pengertian Fungsi
Fungsi Aljabar{ XE "Aljabar" }
Fungsi Trigonometri
Fungsi Pangkat{ XE "Pangkat" }
Tujuan
Setelah mengikuti pertemuan ini, mahasiswa diharapkan mampu menjelaskan
konsep fungsi aljabar, fungsi trigonometri dan fungsi pangkat, menggambar
grafik fungsi, menentukan invers{ XE "invers" } dan komposisi{ XE
"komposisi" } dari fungsi, membuktikan identitas{ XE "identitas" }
trigonometri serta menghitung fungsi pangkat dan eksponensial{ XE
"eksponensial" }.
1.1. Pengertian Fungsi
Dalam kehidupan sehari-hari banyak kita jumpai hubungan antara dua
hal. Misalnya hubungan antara seseorang dengan hobi yang dimiliki. Seperti
ditunjukkan pada Gambar 1.1
Gambar 1.1 Hubungan antara mahasiswa dengan hobi
Ari
Benny
Cello
Dean
Menyanyi
Berenang
Membaca
Menari
Kalkulus 2
Pada Gambar 1.1, dapat dilihat bahwa peristiwa ini menghubungkan
antara mahasiswa dengan hobi. Setiap orang dapat memiliki satu atau lebih
hobi. Sebaliknya satu jenis hobi dapat diambil oleh beberapa mahasiswa.
Hubungan demikian disebut relasi{ XE "relasi" }, yang menghubungkan
antara himpunan nama orang dengan himpunan hobi. Contoh lain misalnya
hubungan antara negara dan ibukota negara. Seperti yang ditunjukkan pada
Gambar 1.2
Gambar 1.2 Hubungan antara negara dan Ibukota
Pada Gambar 1.2, dapat dilihat bahwa peristiwa ini menghubungkan antara
negara dan ibukotanya. Setiap negara hanya memiliki sebuah ibukota negara,
sebaliknya nama sebuah ibukota negara hanya dimilki oleh sebuah negara
saja. Hubungan (relasi{ XE "relasi" }) dalam kondisi khusus seperti ini disebut
korespondensi satu-satu seperti pada Gambar 1.2
Beberapa contoh di atas telah memberikan kita gambaran seperti
apakah fungsi itu. Menurut definisinya suatu fungsi f adalah pengawanan
setiap elemen sebuah himpunan (daerah asal) kepada tepat satu elemen
himpunan yang lain (daerah nilai). Daerah asal dan daerah nilai tidak dibatasi
oleh angka, tetapi bisa manusia, hewan, tumbuhan, benda mati dan lain-lain,
sedangkan dalam kalkulus himpunan itu adalah himpunan bilangan-bilangan
real.
Untuk mendefinisikan fungsi dapat digunakan notasi{ XE "notasi" } berikut.
f : A B
India
Italia
Inggris
Spanyol
New Delhi
Roma
London
Madrid
Kalkulus 3
Dengan demikian kita telah mendefinisikan fungsi f yang memetakan setiap
elemen himpunan A kepada B. Notasi ini hanya mengatakan bahwa ada
sebuah fungsi f yang memetakan dua himpunan, A kepada B. Sedangkan
untuk memberi nama suatu fungsi selain menggunakan huruf f bisa
menggunakan g atau F. Jadi, jika f(x) = 2x2 + 3 x, maka
f(1) = 2.12 + 3.1 = 5
f(2) = 2.22 + 3.2 = 14
f(3) = 2.32 + 3.3 = 24
f(a) = 2.a2 + 3.a
f(a + h) = 2.(a + h)2 + 3.(a + h)
= 2a2
+ 2ah + h2
+ 3a + 3h
Dalam fungsi terdapat daerah asal dan daerah nilai. Daerah asal adalah daerah
dimana suatu elemen dipetakan.
Daerah asal f : A B adalah semua unsur anggota bilangan real dalam A
yang menyebabkan daerah hasil dalam B selalu Real.
Daerah hasil f : A B adalah semua unsur anggota bilanganreal dalam B
yang merupakan hasil yang dikenai fungsi unsur anggota A.
Variabel bebas adalah variabel{ XE "variabel" } yang bisa berubah dan
diatur, sedangkan variabel tak bebas adalah variabel yang mencerminkan
respon dari variabel bebas. Berbagai cara menentukan daerah asal dan daerah
nilai fungsi diberikan dalam contoh berikut.
Contoh:
1. Tentukan daerah asal, daerah nilai fungsi dan gambarkan grafik dari
f(x) = x
x 1
Jawab:
Supaya f(x) , syaratnya adalah x 0, sehingga daerah asal fungsi f adalah
D f = {f (x) : x 0}= - {0}
Untuk menentukan daerah nilai fungsi f, ubahlah bentuknya menjadi
y = x
x 1,
kemudian nyatakan x dalam y, perhatikan syarat yang harus dipenuhi oleh y.
Kalkulus 4
y x = x – 1
x( y – 1 ) = -1
x = 1
1
y, y 1
Jadi daerah nilai fungsi f adalah
R f = {f(x) : y 1}= - {1}
Sketsa grafik dari persamaan
f(x) = x
x 1
dapat diselesaikan dengan membuat bilangan x di sekitar nol terlebih dahulu
x -3 -2 -1 1 2 3
y = f(x) 1,33 1,5 2 0 0,5 0,67
Gambar 1.3 Grafik fungsi f dengan daerah asal - {0}dan daerah nilai -
{1}
Gambar 1.3 menunjukkan grafik fungsi f dengan daerah asal - {0}dan
daerah nilai - {1}.
2. Tentukan daerah asal, daerah nilai fungsi dan gambarkan grafik dari
f(x) = x4
Jawab:
f(x) = x4
Kalkulus 5
Dalam y = x4 , besaran 4 – x tidak dapat negatif. Yaitu, 4 – x
harus lebih besar daripada atau sama dengan 0. Penulisannya dalam lambang
adalah
0 x 4
Atau
xxx 40
Atau
4x
Bentuk y = 4x memberikan harga y yang riel untuk sebarang x yang lebih
kecil daripada atau sama dengan 4.Sehingga daerah asal fungsi f adalah
D f = { : 4x }= { 4 , - }
Untuk menentukan daerah nilai fungsi f,
D f ={ 4 , - }
4 x
Karena bentuk Bentuk y = 4x memberikan harga y yang riel, maka daerah nilai
fungsi f adalah
0 )(xf
Jadi daerah nilai fungsi f adalah
R f = ,0
Sketsa grafik dari persamaan
f(x) = x4
dapat diselesaikan dengan membuat bilangan x di sekitar nol terlebih dahulu
x -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
y = f(x) 3 2,83 2,65 2,45 2,24 2 1,73 1,41 1 0
Kalkulus 6
Gambar 1.4 Grafik fungsi f dengan daerah asal 4 x dan daerah nilai
0 )(xf
Gambar di atas menunjukkan grafik fungsi f dengan daerah asal 4 x dan
daerah nilai 0 )(xf .
Jenis-jenis fungsi :
1. Surjektif (Fungsi pada)
f : A B surjektif jika dan hanya jika untuk setiap y B terdapat x A
sehingga y = f (x)
2. Injektif (Fungsi satu-satu)
f : A B injektif jika terdapat x1, x2 A dengan x1 ≠ x2 sehingga f (x1) ≠ f
(x2)
3. Bijektif (Fungsi satu-satu dan pada)
Fungsi y = f (x) bijektif jika dan hanya jika fungsi f adalah fungsi satu-satu dan
fungsi pada
Jumlah, Selisih, Hasil-Kali Dan Hasil-Bagi Fungsi
Jika f(x) dan g(x) adalah dua buah fungsi dengan Df dan Dg , maka
)(xgxfxgf
)()())(( xgxfxgf
)().())(.( xgxfxgf
)(/)())(/( xgxfxgf
Kalkulus 7
Fungsi Komposisi Dan Fungsi Invers
Fungsi Komposisi
Seandainya keluaran-keluaran dari sebuah fungsi f dapat digunakan sebagai
masukan-masukan dari sebuah fungsi g, maka kedua fungsi tersebut dapat dikaitkan
untuk membentuk sebuah fungsi baru. Fungsi baru tersebut, masukan-masukannya
adalah masukan dari f dan keluaran-keluarannya adalah bilangan-bilangan g(f(x)).
Dapat dilihat pada gambar di bawah, dikatakan bahwa fungsi g(f(x)) (diucapkan “g
dari f dari x”) adalah sebuah fungsi komposisi{ XE "komposisi" } dari f dan g, fungsi
tersebut terbentuk dari menggabungkan f dan g dalam urutan f pertama, kemudian g.
X f(x) g(f(x))
Gambar 1.5 Fungsi komposisi{ XE "komposisi" } dari f dan g
Keterangan dari gambar di atas bisa juga dinyatakan jika f bekerja pada x dan
menghasilkan f(x), selanjutnya g bekerja pada f(x) untuk menghasilkan g(f(x)),
dikatakan bahwa kita telah menyusun g dengan f. Fungsi yang dihasilkan disebut
komposisi{ XE "komposisi" } g dengan f, yang dinyatakan dengan fg . Jadi
xfgxfg )(
Contoh:
Bila diketahui f(x) = 2x dan g (x) = 5x maka
522 xxgxfgxfg
)5()( xfxgfxgf = 25x
Fungsi Invers
Fungsi f : Df Rf dikatakan fungsi satu-satu (injektif) jika f (u) = f(v); u =
v untuk setiap u dan v fD
Invers fungsi satu-satu f : Df Rf didefinisikan sebagai fungsi
1f : Rf Df
f g
Kalkulus 8
yang memenuhi yyff 1 untuk setiap fRy . Jika aturan fungsi f
adalah xfy , maka xfyff 1 . Karena fungsi f satu-satu, maka
xyf 1 , sehingga xxff 1 untuk setiap fDx . Hal ini mengakibatkan
yfxxfy 1
Ini berarti bahwa aturan fungsi 1f diperoleh dengan cara membuat x dan y
saling bertukar peran.
Contoh:
Bila diketahui xxf 105 berapakah ?1f
Tulislah yxxy ,,105
Nyatakan x dalam y, diperoleh 510 yx ; 10
5
yx
Jadi
10
51 x
xf
1.2. Fungsi Aljabar{ XE "Aljabar" }
Fungsi aljabar adalah fungsi dengan menggunakan operasi aljabar
biasa yaitu penjumlahan, pengurangan, perkalian, pemangkatan dan
sebagainya. Berikut, sebagian fungsi aljabar:
a. Fungsi Kuadrat{ XE "Kuadrat" } (Parabola)
cbxaxxf 2
dengan a, b, c adalah konstanta{ XE "konstanta" } dan a tidak sama dengan nol
Contoh:
123 2 xxxf ]
b. Fungsi Pangkat{ XE "Pangkat" } Tiga (Kubik)
dcxbxaxxf 23
dengan a, b, c adalah konstanta{ XE "konstanta" } dan a tidak sama dengan nol
Contoh:
23 4xxxf
Kalkulus 9
c. Fungsi Polinom (Suku Banyak)
01
2
2
1
1 ... axaxaxaxaxf n
n
n
n
n
n
Contoh:
75 xxf
d. Fungsi Linier{ XE "Linier" }
baxxf
Contoh:
59 xxf
Operasi Aljabar{ XE "Aljabar" } pada Dua Fungsi
Pada dua fungsi yang daerah asalnya sama kita dapat mendefinisikan operasi
aljabar, yaitu penjumlahan, perkalian, dan pembagian atas dua fungsi tersebut.
Misalkan fungsi f dan g mempunyai daerah asal D. Jumlah, selisih, hasil kali dan hasil
bagi dari f dan g ditulis gfgfgf .,, dan f / g didfefinisikan sebagai fungsi yang
aturannya disetiap Dx ditentukan oleh:
xgxfxgf
xgxfxgf
xgxfxgf ..
0;
xg
xgxf
xg
f
Contoh:
Jika x
xxf
1
1 dan
xxg
1 , maka 0,1 gf DDD , dan operasi
aljabarnya adalah
Jumlah dari fungsi f dan g :
xgfx
x
1
1
x
1
xx
xxx
1
1112
2 1
xx
xxx
xx
x
2
2 1,
Kalkulus 10
dengan }0,1{gfD
Selisih dari fungsi f dan g :
xgfx
x
1
1
x
1
xx
xxx
1
1112
2 1
xx
xxx
xx
xx
2
2 12
dengan }0,1{gfD
Hasil kali dari fungsi f dan g :
xgf .x
x
1
1
x
1.
xx
x
1
112
1
xx
x
dengan }0,1{. gfD
Hasil bagi dari fungsi f dan g :
x
gf
xx
x 1
1
1
= 11
1
x
xx
x
xx
1
2
dengan }1{/ gfD
Kalkulus 11
1.3. Fungsi Trigonometri
Apabila sebuah sudut sebesar derajat ditempatkan dalam kedudukan
standar pada pusat sebuah lingkaran berjari-jari r seperti pada gambar di
bawah, maka harga-harga sinus, cosinus, dan tangen dari sudut ini diberikan
oleh rumus-rumus berikut:
r
ysin
r
xcos
x
ytan
y
x
Gambar 1.6 Sudut trigonometri
Dari definisi fungsi sinus dan cosinus, dapat diturunkan fungsi-fungsi
trigonometri yang lain, yaitu:
cos
sintan
sin
coscot
cos
1sec
sin
1csc
Grafik siny dan cosy terlihat seperti Gambar 1.7 dan Gambar 1.8:
Kalkulus 12
-π π 2π xy sin
- π/2 0 π /2 3π/2
Gambar 1.7 Grafik fungsi Sinus
-π π 2π
xy cos
- π/2 0 π /2 3π/2
Gambar 1.8 Grafik fungsi Cosinus
Dengan keterangan sebagai berikut:
0180 rad; 180
10 rad; 1 rad
0180 dengan = 3,14159
Ada empat hal yang berkaitan tentang grafik sinus dan cosinus:
1. sin x dan cos x keduanya berkisar -1 sampai 1
2. Kedua grafik berulang pada selang yang berdampingan sepanjang 2
Kalkulus 13
3. Grafik xy sin simetri terhadap titik asal dan xy cos simetri
terhadap sumbu y
4. Grafik xy cos sama seperti xy sin tetapi digeser /2 satuan ke
kanan.
Kesamaan Trigonometri
Fungsi-fungsi Trigonomeri mempunyai rumus-rumus kesamaan sebagai berikut:
a. Kesamaan ganjil{ XE "ganjil" }-genap{ XE "genap" }:
b. Kesamaan fungsi Trigonometri
c. Kesamaan jumlah
BA
BABA
BA
BABA
BABABA
BABABA
BABABA
BABABA
tantan1
tantantan
tantan1
tantantan
sinsincoscoscos
sinsincoscoscos
sincoscossinsin
sincoscossinsin
d. Kesamaan Sudut rangkap dua
AAAAA
AAA
2222 sin211cos2sincos2cos
cossin22sin
xx
xx
xx
tantan
coscos
sinsin
A
AA
AA
AA
A
AA
cos
sintan
csccot1
seccos
1tan1
1cossin
22
2
2
2
22
Kalkulus 14
e. Kesamaan Sudut rangkap tiga
AAA
AAA
cos3cos43cos
sin4sin33sin
3
3
f. Kesamaan Setengah Sudut
A
A
A
A
A
AA
AA
AA
sin
cos1
cos1
sin
cos1
cos1
2tan
2
cos1
2cos
2
cos1
2sin
g. Kesamaan Hasil Kali
yxyxyx
yxyxyx
yxyxyx
sinsin2
1cossin
coscos2
1coscos
coscos2
1sinsin
Fungsi-fungsi Siklometri adalah invers{ XE "invers" } dari fungsi-fungsi
trigonometri dalam domain{ XE "domain" } yang tertentu. Invers f dengan
persamaan 22
,sin
xxxfy adalah .arcsin1 yyfx Demikian juga
invers fungsi g dengan persamaan xxgy cos , x0 adalah
.arccos1 yygx
Persamaan fungsi-fungsi siklometri{ XE "siklometri" }:
,arcsin xy invers{ XE "invers" } dari 22
,sin
yyx
,arccos xy invers{ XE "invers" } dari yyx 0,cos
,arctan xy invers{ XE "invers" } dari 22
,tan
yyx
,cot xarcy invers{ XE "invers" } dari yyx 0,cot
xarcy sec invers{ XE "invers" } dari yyx 0,sec
Kalkulus 15
,csc xarcy invers{ XE "invers" } dari 22
,sec
yyx
Grafik ,arcsin xy dan xy arctan terlihat dalam Gambar 1.9 dan Gambar 1.10:
π/2
-1 0 1
-π/2
Gambar 1.9 Grafik xy arcsin
y
π/2 xy arctan
x
0
-π/2
Gambar 1.10 Grafik xy arctan
xy arcsin
Kalkulus 16
Latihan penerapan fungsi trigonometri :
Buktikan kebenaran persamaan trigonometri berikut ini :
(1 + sin z) (1 - sin z) = z2sec
1
Penyelesaian :
1 – sin z + sin z – sin2 z =
z2sec
1
1 – sin2
z = z2sec
1
cos2 z =
z2sec
1
persamaan ini dapat dilihat pada persamaan trigonometri bagian (b)
1.4. Fungsi Pangkat{ XE "Pangkat" }
Bentuk umum fungsi pangkat adalah:
nxy
Dengan y: peubah{ XE "peubah" } tak bebas
x: peubah{ XE "peubah" } bebas
n: konstanta{ XE "konstanta" }
Contoh:
3xy
Identitas fungsi Pangkat{ XE "Pangkat" }:
a. baba xxx .
b. baba xxx :
c. baba xx .
d. 0,/1 xxx aa
e. a
aa
z
x
z
x
Kalkulus 17
f. ab
b xxa
g. 10 x
Contoh penggunaan Identitas
Sederhanakanlah fungsi pangkat berikut ini:
a. 32 .xx
b. 4/341
10:5 xx
c.
3
21
22
d. 222 xx ee
Jawab:
a. 32 .xx = 32x = 5x
b. 4/341
10:5 xx 43
41
21
x = x2
1
c.
3
21
22
=
3
21
21
22
4
3
2.2 47
2
d. 222 xx ee 22224 .2 xxxx eeee xx eee 404 .2 xx ee 44 2
Kalkulus 18
RINGKASAN
1. Relasi adalah hubungan antara dua himpunan atau lebih. Hubungan (relasi{ XE
"relasi" }) dalam kondisi khusus disebut korespondensi satu-satu.
2. Variabel bebas adalah variabel{ XE "variabel" } yang bisa berubah dan diatur,
sedangkan variabel tak bebas adalah variabel yang mencerminkan respon dari
variabel bebas.
3. Fungsi aljabar adalah fungsi dengan menggunakan operasi aljabar biasa yaitu
penjumlahan, pengurangan, perkalian, pemangkatan dan sebagainya. Sebagian
fungsi aljabar diantaranya: Fungsi Kuadrat{ XE "Kuadrat" } (Parabola), Fungsi
Pangkat{ XE "Pangkat" } Tiga (Kubik), Fungsi Polinom (Suku Banyak) dan
Fungsi Linier{ XE "Linier" }
4. Pada suatu fungsi, selain ditentukan notasi{ XE "notasi" }/aturan, juga daerah
asal fungsi (domain{ XE "domain" }), yang merupakan sumber nilai dari suatu
fungsi, dan daerah hasil fungsi (kodomain{ XE "kodomain" }), yang merupakan
nilai hasil dari aturan yang ada. Jika tidak disebutkan apapun juga, maka selalu
dianggap bahwa daerah asalnya adalah himpunan bilangan real.
5. Jika f adalah fungsi pada x untuk menghasilkan f(x) dan g adalah fungsi pada
f(x) untuk menghasilkan g(f(x)), dikatakan bahwa telah dilakukan komposisi{
XE "komposisi" } g dengan f. Fungsi yang dihasilkan disebut komposisi g
dengan f, yang dinyatakan oleh g ○ f atau (g ○ f)(x) = g(f(x)), sedangkan
komposisi f dengan g dinyatakan oleh f o g dituliskan (f o g)(x) = f(g(x)).
6. Jika fungsi f : A B, maka fungsi g : B A merupakan fungsi invers{ XE
"invers" } dari fungsi f, yang dilambangkan dengan f -1
(x).
Kalkulus 19
Soal-soal Latihan
1. Tentukan fungsi fg dan gf beserta daerah asal dan daerah nilai fungsi
komposisinya
a. 22 xxf dan xxg 2
b. xxxf 52 dan xxg
c. xxf cos dan xxg 1
2. Fungsi f dengan persamaan 105 xxf . Tentukan
a. 2f
b. 75 af
3. Tentukan Invers fungsi-fungsi berikut
a. xf 24 xx
b. xxf 1
c. xxf 10
4. Buktikan bahwa kesamaan trigonometri berikut ini adalah benar
a. xxx
2tantancot
2
b. xxxx csccottancos
c. tt
t 2
2
2
sinsec
1sec
Kalkulus 20
BAB II
FUNGSI{ XE "FUNGSI" } TRANSENDEN
Materi : Fungsi Transenden
Sub Materi : - Fungsi Eksponen
- Fungsi Logaritma{ XE "Logaritma" }
- Fungsi Hiperbolik{ XE "Hiperbolik" }
Tujuan
Setelah mengikuti pertemuan ini, mahasiswa diharapkan dapat menjelaskan
dan menghitung tiga macam fungsi transenden{ XE "transenden" }, bentuk
umum dan operasi pada masing-masing fungsi transenden tersebut.
Materi
Kita ingat kembali bahwa fungsi transenden{ XE "transenden" } adalah fungsi
yang tidak dapat dinyatakan sebagai sejumlah berhingga operasi aljabar atas
fungsi konstan y = k dan fungsi kesatuan y = x. Sampai saat ini fungsi
trasenden yang telah kita kenal adalah fungsi trigonometri, yang terdiri dari
fungsi sinus, kosinus, tangen dan kotangen, sekan dan kosekan. Sekarang kita
akan mempelajari fungsi trasenden lainnya, yaitu fungsi eksponen, fungsi
logaritma dan fungsi hiperbolik.
2.1. Fungsi Eksponen
Persamaan eksponensial{ XE "eksponensial" } ditulis : xay
Dimana : y = peubah{ XE "peubah" } tak bebas
a = konstanta{ XE "konstanta" }, 0a
x = peubah{ XE "peubah" } bebas
Contoh :
1. xy 2
2. xy 10
Sifat-sifat Fungsi Eksponen
Apabila xba ,0,0 dan y , maka
a. yxyx aaa
Kalkulus 21
b. yx
y
x
aa
a
c. xyyx aa
d. xxxbaab
e. x
xx
b
a
b
a
Ada beberapa macam persamaan eksponen, berikut ini adalah macam-
macam persamaan eksponen berikut contoh soal dan penyelesaiannya:
1. Bentuk pxf aa
Contoh:
Tentukan Himpunan Penyelesaian dari:
8
12 2 x
Penyelesaian:
8
12 2 x
3222
x
32 x
23x
1x
2. Bentuk )(xgxf aa
Contoh:
Tentukan Himpunan Penyelesaian dari:
2263 22
55 xxxx
2263 22 xxxx
042 x
0)2)(2( xx
22 xx
Kalkulus 22
Tentukan Himpunan Penyelesaian dari:
252
12
2
2
216
16
xx
xx
Penyelesaian:
2523122
2
66
xxxx
)252(312 22 xxxx
615612 22 xxxx
07175 2 xx
07175 2 xx
a
acbbx
2
42
2,1
5.2
)7.(5.4)17()17( 2
2,1
x
10
140289172,1
x
10
140289172,1
x
10
7123,20172,1
x
10
7123,20171
x atau
10
7123,20172
x
78,31 x atau 37,02 x
3. Bentuk Caa xgxf )()(
Contoh:
Tentukan Himpunan Penyelesaian dari:
1255 22 x
x
Penyelesaian:
155 22 xx
022 555 xx
022 xx
Kalkulus 23
032 x
3
2x
2.2. Fungsi Logaritma{ XE "Logaritma" }
Fungsi logaritma dan fungsi eksponen merupakan dua fungsi yang saling
invers{ XE "invers" } dan dinyatakan sebagai :
y=b log x x = b y ; x, b > 0
Sifat-sifat logaritma :
1. b log 1 = 0
2. b log b = 1
3. b log ac = b log a + b log c
4. b log a/c = b log a - b log c
5. b log a r = r b log a
6.b
aa
c
cb
log
loglog
7. ba ba
log
Menentukan himpunan penyelesaian dari persamaan logaritma
Berbagai sifat logaritma di atas dapat dibentuk menjadi berbagai mcam persamaan
logaritma. Persamaan logaritma adalah persamaan yang variabelnya terkandung
dalam pokok logaritma. Bentuk yang paling sederhana dari persamaan logaritma
adalah sebagai berikut:
bxf aa loglog
Contoh:
1. Tentukan himpunan penyelesaian dari qrp
pqr 1log.
1log.
1log
35
Penyelesaian:
qrp
pqr 1log.
1log.
1log
35
Kalkulus 24
= 135 log.log.log qrp pqr
= qrp pqr log.log.log)1.3.5(
= rqp qpr log.log.log15
15
2. Tentukan himpunan penyelesaian dari xx log132loglog 2122
Penyelesaian:
xxx log2loglog132loglog 222122
xx log2loglog1 222
xx 2log32loglog 2122
xx 2)32log( 12
xx 21 )2()32(
032.2)2( 2 xx ; Misal Ax 2
0322 AA
xx
AA
AA
xx
3log2
1232
13
)1()3(
3. Tentukan himpunan penyelesaian dari 52log)5log(2log 222 xxx
Penyelesaian:
52log)5log(2log 222 xxx
32log2log)5log(2log 2222 xxx
322
310 2
x
xx
02974 2 xx
074292 x
322)5.(2 xxx
Kalkulus 25
a
acbbx
2
42
2,1
)1.(2
)74.(1.4)29()29( 2
2,1
x
2
296841322,1
x
2
72,33322,1
x
86,086,32 21 xx
Karena logaritma selalu positif, maka x= -32,86 bukan merupakan himpunan
penyelesaian. Jadi himpunan penyelesaian ={0,86}
2.3. Fungsi Hiperbolik{ XE "Hiperbolik" }
Gambar 2.1. Lingkaran satuan
Pada gambar 2.1. jika titik P(s,t) terletak pada hiperbol 122 vu , akan
didefinisikan ux cosh dan tx sinh , di mana cosh dan sinh menyatakan sinus dan
kosinus hiperbolik. Ternyata bahwa salah satu pilihan untuk ux cosh dan
tx sinh adalah kombinasi dari fungsi eksponen natural, yaitu xx eex 2
1cosh
dan xx eex 2
1sinh .
s
s 0 s
1
s
1
s -1
P(s,t) t
s -1 u
v
t
s
Kalkulus 26
Definisi fungsi Hiperbolik{ XE "Hiperbolik" }:
Fungsi Kosinus hiperbolik : xeexxf xx ,2
1cosh
Fungsi Sinus hiperbolik : xeexxf xx ),(2
1sinh
Fungsi Tangen hiperbolik : xx
xxxf ,
cosh
sinhtanh
Fungsi Kotangen hiperbolik : 0,sinh
coshcoth x
x
xxxf
Fungsi Sekan hiperbolik : xx
hxxf ,cosh
1sec
Fungsi Kosekan hiperbolik : 0,sinh
1cosh x
xxxf
Dalam bentuk eksponen, fungsi tangen, kotangen, sekan dan kosekan dapat
ditulis sebagai berikut:
xe
e
ee
eex
x
x
xx
xx
,1
1tanh
2
2
0,1
1coth
2
2
xe
e
ee
eex
x
x
xx
xx
xe
e
eehx
x
x
xx,
1
22sec
2
0,1
22csc
2
x
e
e
eehx
x
x
xx
Sifat- sifat fungsi Hiperbolik{ XE "Hiperbolik" }:
xx cosh)cosh(
xx sinh)sinh(
xx tanh)tanh(
xx coth)coth(
hxxh sec)(sec
hxxh csc)(csc
hxxh sec)(sec
Kalkulus 27
xexx sinhcosh
xexx sinhcosh
1sinhcosh 22 xx
xhx 22 sectanh1
xhx 22 csc1coth
yxyxyx sinhsinhcoshcosh)cosh(
yxyxyx sinhsinhcoshcosh)cosh(
yxyxyx sinhcoshcoshsinh)sinh(
yxyxyx sinhcoshcoshsinh)sinh(
yx
yxyx
tanhtanh1
tanhtanh)tan(
yx
yxyx
tanhtanh1
tanhtanh)tan(
xxx coshsinh22sinh
xxxxx 2222 sinh211cosh2sinhcosh2cosh
x
xx
2tanh1
tanh22tanh
Invers fungsi Hiperbolik{ XE "Hiperbolik" }:
1lnsinh/arcsin 21 xxxhxy
1,1lncosh/arccos 21 xxxxhxy
x
xxhxy
1
1ln
2
1tanh/arctan 1
1,1
1ln
2
1tanh/arctan 1 x
x
xxhxy
1,1
1ln
2
1coth/coth 1 x
x
xxxarcy
1,1
coshsec/sec 11 xx
xhhxarcy
Kalkulus 28
RINGKASAN
1. Persamaan eksponensial{ XE "eksponensial" } ditulis : xay ; dimana y =
peubah{ XE "peubah" } tak bebas, a = konstanta{ XE "konstanta" }, 0a , x =
peubah bebas.
2. Ada beberapa macam persamaan eksponen, berikut ini adalah macam-macam
persamaan eksponen:
- pxf aa
- )(xgxf aa
- Caa xgxf )()(
3. Fungsi logaritma dan fungsi eksponen merupakan dua fungsi yang saling
invers{ XE "invers" } dan dinyatakan sebagai :
y=b log x x = b y ; x, b > 0
4. Beberapa fungsi hiperbolik yang sering digunakan:
- Kosinus: xeexxf xx ,2
1cosh
- Sinus: xeexxf xx ),(2
1sinh
- Tangen: xx
xxxf ,
cosh
sinhtanh
Kalkulus 29
Soal-Soal Latihan:
1. Tentukan himpunan penyelesaian persamaan-persamaan berikut:
a. xxx 5155 212
b. 19 352 2
xx
2. Tentukan Himpunan penyelesaian dari:
a. 53 log)910log( xxx xx
b. 496log6log5 xx
c. 5log22
41log70log
35
41log
3. Buktikan kebenaran persamaan berikut:
a. 1cosh2
1
2
1cosh xx
b. x
xx
sinh
1cosh
2
1tan
Kalkulus 30
BAB III
LIMIT
Materi : Limit{ XE "Limit" }
Sub Materi : - Pengertian Limit{ XE "Limit" }
- Limit{ XE "Limit" } Fungsi
- Limit{ XE "Limit" } Tak Hingga
- Bentuk Tak Tentu Limit{ XE "Limit" } Fungsi
Tujuan
Setelah mengikuti pertemuan ini, mahasiswa diharapkan dapat memahami
sifat dan berbagai bentuk limit serta menghitung pada masing-masing bentuk
limit tersebut.
Materi
3.1. Pengertian Limit{ XE "Limit" }
Limit{ XE "Limit" } menggambarkan seberapa jauh sebuah fungsi akan
berkembang apabila variabel{ XE "variabel" } di dalam fungsi yang
bersangkutan terus menerus berkembang mendekati suatu nilai tertentu.
Sebagai gambaran: dari )(xfY
Akan dapat diketahui limit atau batas perkembangan )(xf ini, apabila nilai
x terus menerus berkembang hingga mendekti suatu nilai tertentu. Jika fungsi
)(xf mendekati L disebut limit fungsi )(xf untuk x mendekati a .
Hubungan ini dilambangkan dengan notasi{ XE "notasi" }
)(lim xfax
= L
Dibaca limit fungsi )(xf untuk mendekati a adalah L . Artinya jika variabel{
XE "variabel" } x berkembang secara terus menerus hingga mendekati
bilangan tertentu a , maka nilai fungsi x )(xf akan berkembang pula hingga
mendekati L . Atau sebaliknya fungsi )(xf dapat dibuat mendekati nilai
tertentu yang mendekati L dengan mengembangkan variabel x sedemikian
rupa hingga mendekati a .
Kalkulus 31
Dua hal perlu diperhatikan dalam notasi{ XE "notasi" } atau pernyataan limit
di atas. Pertama ax harus dibaca dan ditafsirkan dengan mendekati a , dan
bukan berarti ax !. Kedua, )(lim xf = L harus dibaca serta ditafsirkan
bahwa L adalah limit fungsi )(xf dan bukan berarti L adalah nilai fungsi
)(xf .
Ringkasnya:
)(lim xfax
= L bukan berarti )(af = L
3.2. Limit{ XE "Limit" } Fungsi
Limit{ XE "Limit" } fungsi biasanya digunakan dalam konsep dasar
pada kalkulus differensial dan integral{ XE "integral" }. Sebuah fungsi yang
peubah{ XE "peubah" } bebasnya menuju suatu titik tertentu (jarak dari
peubah bebasnya ke titik tersebut semakin lama semakin kecil). Jika peubah
tak bebasnya / , maka hal ini berkaitan dengan limit fungsi disuatu titik.
a. Limit{ XE "Limit" } fungsi untuk x mendekati a
)()(lim afxfax
Jika 0
0)( af maka )(xf harus disederhanakan terlebih dahulu.
Contoh:
Berapakah nilai x dari xx
x
x 4lim
22 ?
Penyelesaian:
xx
x
x 4lim
22 , jika dimasukkan langsung nilai x , maka hasilnya akan:
xx
x
x 4lim
22 =
0.40
0lim
2 x 0
0 ( TIDAK DIPERBOLEHKAN )
Cara yang benar adalah
xx
x
x 4lim
22 2
1
)42(
1
)4(
1lim
)4(lim
22
xxx
x
xx
Kalkulus 32
Jadi xx
x
x 4lim
22 =
2
1
b. Limit{ XE "Limit" } )(xf untuk x mendekati
)()(lim
fxfx
Jika )(;)(
ff diubah dahulu dengan dibagi x pangkat terbesar.
Jika )(; xff dikali sekawan{ XE "sekawan" } dahulu, baru
dibagi x pangkat yang terbesar.
Contoh:
Berapakah nilai x dari 2
2
36
12lim
xx
x
x
?
Penyelesaian:
2
2
36
12lim
xx
x
x
, jika dimasukkan langsung nilai x , maka hasilnya akan:
2
2
36
12lim
xx
x
x
=
2
2
36
12lim
x=
( TIDAK DIPERBOLEHKAN )
Cara yang benar adalah
2
2
36
12lim
xx
x
x
=
3
2
3
2lim
2
2
x
x
x
Jadi 2
2
36
12lim
xx
x
x
3
2
c. Limit{ XE "Limit" } fungsi trigonometri
1sin
lim0
x
x
x
x
x
x
coslim
0 1
tanlim
0
x
x
x
1sin
lim0
x
x
x 1
coslim
0
x
x
x 1
tanlim
0
x
x
x
Kalkulus 33
Jika ada bentuk cosinus hasilnya 0
0maka bentuk tersebut diubah
dengan menggunakan rumus xx 2sin212cos
Bentuk sin dan tan di atas dapat diperluas lagi menjadi:
bx
axsin
bx
ax
sin
bx
axtan
bx
ax
sin
sin
bx
ax
tan
tan
bx
ax
tan
sin
bx
ax
sin
tan
Contoh:
Tentukan besarnya limit dari masing-masing fungs berikut ini:
1. xx
sinlim0
2. x
x
x
tanlim
0
3. xx
xx
x 2tan5
4sin3lim
0
Penyelesaian:
limit dari masing-masing fungsi berikut ini:
1. xx
sinlim0
00.1limsin
lim.sin
lim000
xxxx
x
xx
x
x
bx
ax
tan
b
a
Kalkulus 34
2. 11
1
coslim
sinlim
cos
sinlim
tanlim
0
0
00
x
x
x
xx
x
x
x
x
x
xx
3. xx
xx
x 2tan5
4sin3lim
0
3
12
3
7
2
2tanlim25
4
4sinlim43
2.2
2tan5
4.4
4sin3
lim
0
0
0
x
xx
x
x
xx
x
x
x
x
d. Limit{ XE "Limit" } Sisi-Kiri dan Limit Sisi-Kanan
Analisis mengenai limit sesuatu fungsi sesungguhnya dapat dibagi menjadi
dua bagian, tergantung pda sisi mana kita melihat gerakan perkembangan
variabelnya. Apabila dianalisis limit )(xf dari nilai – nilai x yang lebih kecil
dari a ( ax ),
ax
berarti kita melihatnya dari sisi kiri, sebaliknya jika dianalisis limit )(xf dari
nilai –nilai x yang lebih besar dari a ( ax ),
ax
berarti kita melihatnya dari sisi kanan.
Limit{ XE "Limit" } sisi kiri dari sebuah fungsi adalah nilai yang didekati
oleh sebuah fungsi tersebut apabila variabelnya bergerak mendekati limitnya
melalui nilai-nilai yang membesar ( ax ) dari sisi kiri, melalui nilai-nilai
ax . Jadi jika, ')(lim Lxfax
berarti 'L merupakan limit sisi kiri dari )(xf
untuk ax
Limit{ XE "Limit" } sisi kanan dari sebuah fungsi adalah nilai yang didekati
oleh sebuah fungsi tersebut apabila variabelnya bergerak mendekati limitnya
melalui nilai-nilai yang mengecil ( ax ) dari sisi kanan, melalui nilai-nilai
ax Jadi jika, ')(lim Lxfax
berarti 'L merupakan limit sisi kanan dari )(xf
untuk ax
Limit{ XE "Limit" } sebuah fungsi dikatakan ada jika dan hanya jika limit sisi
kiri dan limit sisi kanannya ada serta sama.
)(lim)(lim)(lim xfxfxfaxaxax
Kalkulus 35
Apabila salah satu dari ketentuan-ketentuan di atas tidak terpenuhi, maka limit
dari fungsi yang bersangkutan tidak terdefinisi. Dengan demikian limit sebuah
fungsi dikatakan tidak ada jika limit salah satu sisinya tidak ada, atau limit
kedua sisinya tidak ada, atau limit kedua sisinya ada tetapi tidak sama.
Contoh :
1. 7)21(lim 2
2
x
x (terdefinisi)
Sebab
2. maka
xxf
nn
3lim)(lim
00=+
xxf
nn
3lim)(lim
00=-
Karena maka tidak terdefinisi
3.3. Limit{ XE "Limit" } Tak Hingga
Limit{ XE "Limit" } tak hingga adalah konsep limit yang melibatkan lambang
dan , yaitu bila nilai fungsi )(xf membesar atau mengecil tanpa batas
atau bila peubah{ XE "peubah" } x membesar atau mengecil tanpa batas.
Misalnya:
Diberikan fungsi f (x)1
1
x. Maka nilai fungsi f(x) menuju tak hingga ( )
untuk x mendekati 1 dari kanan, sedangkan menuju minus tak hingga ( - )
untuk x mendekati 1 dari kiri. Pengertian tersebut dapat dinotasikan dengan
limit sebagai berikut :
)(lim1
xfx
dan
)(lim1
xfx
Kalkulus 36
Bila 2)1(
1)(
xxf maka didapatkan limit
)(lim
1xf
x dan
)(lim
1xf
x
atau dituliskan
)(lim1
xfx
. Bentuk limit tersebut dinamakan limit tak
hingga. Yaitu nilai fungsi )(xf untuk x mendekati 1 sama dengan tak hingga
( ). Sedangkan bentuk limit di titik mendekati tak hingga digambarkan
sebagai berikut: Misal diberikan fungsi x
xf1
)( . Maka nilai fungsi akan
mendekati nol bila x menuju tak hingga atau minus tak hingga dinotasikan
0)(lim
xfx
dan 0)(lim
xfx
Secara umum limit fungsi nx
xf1
)( , n B untuk x mendekai tak hingga
atau minus tak hingga sama dengan nol dapat dituliskan
01
lim nx x
atau 01
lim nx x
Bila )(xf merupakan fungsi rasional{ XE "rasional" } , misal
)(
)()(
xq
xpxf dengan )(xp dan )(xq merupakan polinom maka untuk
menyelesaikan limit di tak hingga dilakukan dengan membagi pembilang
)(xp dan penyebut )(xq dengan x pangkat tertinggi.
Contoh:
Hitung x
x
x
3
3lim
3
Penyelesaian:
Nilai pembilang untuk x mendekati 3 dari arah kanan adalah mendekati
6, sedangkan nilai penyebut akan mendekati negatif bilangan yang sangat
kecil. Bila 6 dibagi bilangan negatif kecil sekali akan menghasilkan bilangan
yang sangat kecil.
Jadi x
x
x
3
3lim
3=-
3.4. Bentuk Tak Tentu Limit{ XE "Limit" } Fungsi
Kalkulus 37
Pada limit fungsi trigonometri, kita telah mempelajari bahwa :
1sin
lim0
x
x
x
Perhatikan bentuk limit ini untuk 0x , limit pembilang dan limit
penyebutnya 0. Bentuk demikian dinamakan bentuk tak tentu 0/0, Kita
mengenal tujuh macam bentuk tak tentu limit fungsi, yaitu :
00 ,0,,.0,,0
0
dan 1
Pada pertemuan ini kita hanya membahas empat bentuk yang pertama
saja, yaitu:
a. Bentuk tak tentu 0
0
Kita akan menghitung ,)(
)(lim
xg
xf
cxdengan )(lim0)(lim xgxf
cxcx
( cx dapat diganti oleh ,,, xcxcx atau x )
Cara penyelesaian :
Mengubah bentuk f(x)/g(x) sehingga sifat-sifat limit fungsi dapat digunakan.
Cara yang dapat dicoba adalah menguraikan pembilang dan penyebut, menggunakan
rumus trigonometri dan limit trigonometri, merasionalkan bentuk pecahannya dan
sebagainya.
Perhitungan limit berbentuk tak tentu 0/0 diberikan dalam contoh berikut.
Contoh:
Hitunglah 53
4lim
2
2
2
x
x
x
Penyelesaian:
53
4lim
2
2
2
x
x
x=
2
22
222
22
2 4
534lim
5353
534lim
x
xx
xx
xx
xx
653lim 2
2
x
x
b. Bentuk tak tentu
Kalkulus 38
Kita akan menghitung ,)(
)(lim
xg
xf
x dengan )(lim)(lim xgxf
xx
( x dapat diganti oleh ,cx cxcx , atau x )
Cara penyelesaian :
Mengubah bentuk f(x)/g(x) sehingga sifat-sifat limit fungsi dapat digunakan.
Cara yang dapat dicoba adalah merasionalkan bentuk pecahannya, memunculkan
bentuk nxn ,1 bilangan asli, membagi pembilang dan penyebut dengan pangkat
tertinggi dari x yang ada kemudian menggunakan 01lim xx
dan sebagainya.
Perhitungan limit benbentuk tak tentu
diberikan dalam contoh berikut:
Contoh:
Hitunglah 79
23lim
x
x
x
Penyelesaian:
79
23lim
x
x
x 3
1
09
03
79
23lim
x
x
x
c. Bentuk tak tentu .0
Kita akan menghitung ),()(lim xgxfcx
dengan 0)(lim
xfcx
dan
)(lim xgcx
.
( cx dapat diganti oleh cxcx , , x atau x )
Cara penyelesaian :
Tulislah f(x)/g(x) sebagai )(1
)(
xg
xf untuk memperoleh bentuk 0/0 atau sebagai
)(1
)(
xf
xguntuk memperoleh bentuk
, kembeli ke masalah sebelumnya. Perhitungan
limit benbentuk tak tentu .0 diberikan dalam contoh berikut:
Contoh:
Hitunglah x
xx
1sinlim
Kalkulus 39
Penyelesaian:
Bentuk limit fungsi ini adalah .0 , karena
xxlim dan 00sin
1sinlimsin
1sinlim
xx xx
Ubahlah bentuk limitnya menjadi 0/0 denagn menuliskan x dalam bentuk
x1
1
kemudian gunakan penggantian xt 1 , diperoleh
1sin
lim1
1sin
lim1
sinlim0
t
t
x
x
xx
txx
d. Bentuk tak tentu
Kita akan menghitung )),()((lim xgxfx
dengan
)(lim xfx
dan
)(lim xgx
( x dapat diganti oleh cx cxcx , , atau x )
Cara penyelesaian :
Ubahlah bentuk limitnya menjadi
Perhitungan limit benbentuk tak tentu
diberikan dalam contoh berikut:
Contoh: Hitunglah xx
xxxxxx
xx
1
1.1lim1lim
=xxxx
xx
xx
1
1lim
1
1lim =0
xt 1
0tx
Kalkulus 40
RINGKASAN
1. Limit{ XE "Limit" } menggambarkan seberapa jauh sebuah fungsi akan
berkembang mendekati suatu nilai tertentu. Dilambangkan dengan notasi{ XE
"notasi" }:
)(lim xfax
= L
2. Berbagai bentuk Limit{ XE "Limit" } Fungsi:
- Limit{ XE "Limit" } fungsi untuk x mendekati a : )()(lim afxfax
- Limit{ XE "Limit" } )(xf untuk x mendekati : )()(lim
fxfx
- Limit{ XE "Limit" } fungsi trigonometri
- Limit{ XE "Limit" } Sisi-Kiri dan Limit Sisi-Kanan
3. Limit{ XE "Limit" } tak hingga adalah konsep limit yang melibatkan lambang
dan , yaitu bila nilai fungsi )(xf membesar atau mengecil tanpa batas atau
bila peubah{ XE "peubah" } x membesar atau mengecil tanpa batas. Dapat
dinotasikan dengan limit sebagai berikut :
)(lim1
xfx
dan
)(lim1
xfx
4. Beberapa Bentuk Tak Tentu Limit{ XE "Limit" } Fungsi
- Bentuk tak tentu 0
0
- Bentuk tak tentu
- Bentuk tak tentu .0
- Bentuk tak tentu
Kalkulus 41
Soal-soal Latihan
Hitunglah setiap limit yang diberikan
1. 12
4lim
24
xx
x
x
2. 2
2
1
32lim
x
xx
x
3. 1
1lim
3
1
x
x
x
4. 1
1lim
2
2
x
x
x
5. 4
3lim
22 xx
6. x
x
x tan
cos1lim
7.
2
232sinlim
2
x
x
x
Kalkulus 42
BAB IV
TURUNAN ALJABAR
Materi : Turunan{ XE "Turunan" } Aljabar{ XE "Aljabar" }
Sub Materi : - Pengertian Turunan{ XE "Turunan" } Fungsi
Aljabar{ XE "Aljabar" }
- Rumus Turunan{ XE "Turunan" } Fungsi
Aljabar{ XE "Aljabar" }
- Turunan{ XE "Turunan" } Berantai Fungsi
Aljabar{ XE "Aljabar" }
- Turunan{ XE "Turunan" } Tingkat Tinggi
Fungsi Aljabar{ XE "Aljabar" }
Tujuan
Setelah mengikuti pertemuan ini, mahasiswa diharapkan dapat menjelaskan
konsep turunan dan rumus-rumus turunan fungsi aljabar serta menghitung
turunan fungsi aljabar secara konsep dan pada aplikasinya.
Materi
4.1. Pengertian Turunan{ XE "Turunan" } Aljabar{ XE "Aljabar" }
Suatu fungsi dikatakan dapat diferensiasi di 0xx bila fungsi itu
mempunyai turunan di titik tersebut. Suatu fungsi dikatakan dapat
dideferensiasi pada suatu selang bila fungsi itu dapat dideferensiasi di setiap
titik pada selang tersebut. Sebelum membicarakan tentang turunan fungsi,
terlebih dahulu kita mngingat konsep limit karena konsep turunan dijelaskan
lewat limit suatu fungsi.Misalkan f(x) didefinisikan pada sembarang titik 0x
pada (a,b). Turunan{ XE "Turunan" } f(x) di 0xx didefinisikan sebagai:
h
xfhxfxf
h
)()(lim)( 0
00
'
Jika limit ini ada. Turunan{ XE "Turunan" } juga dapat didefinisikan
dengan beberapa cara, diantaranya:
x
xfxxf
xx
xfxfxf
xxx
)()(lim
)()(lim)( 00
00
0
0
'
0
Kalkulus 43
Sebuah fungsi dikatakan dapat dturunkan di titik 0xx jika mempunyai di
titik tersebut, yaitu jika f’(x) ada. Jika f(x) dapat diturunkan di 0xx maka
fungsi tersebut kontinu di titik tersebut.
Secara grafis, pengertian turunan dapat dijelaskan sebagai berikut:
Misal P(a,f(a)) adalah sembarang titik pada sebuah grafik suatu fungsi f. Titik
lain pada gambar dinotasikan dengan Q(a+h,f(a+h)),dimana h adalah beda
antara absis Q dan P. Kemiringan tali busur yang melalui titik P dan Q adalah
mPQ
h
afhaf )()(
Perhatikan gambar berikut:
Q(a+h,f(a+h)) P(a,f(a))
y y
p(a,f(a))
a a+h x a x
Gambar 4.1. Kemiringan Tali Busur dan Garis Singgung
i. Kemiringan Tali Busur ii. Kemiringan garis
singgung
h
afhafmPQ
)()(
h
afhafm
h
)()(lim
0
Jika sebuah fungsi f didefinisikan pada sebuah interval terbuka yang memuat
a, maka kemiringan garis singgung m dari grafik fungsi f pada titik P(a,f(a))
adalah:
h
afhafm
h
)()(lim
0
Dengan catatan limitnya ada.
Contoh:
Kalkulus 44
Diketahui fungsi 2)( xxf dapatkan kemiringan garis singgung ke grafik f(x)
pada titik P(a,a2)
Penyelesaian:
Dengan menggunakan penjelasan di atas maka
h
aha
h
afhaf 22)()()(
h
ahaha 222 2
h
hah 22
ha 2
Kemiringan garis singgungnya :
ahamh
2)2(lim0
Jadi turunan suatu fungsi adalah kemiringan garis singgung fungsi tersebut
pada titik tertentu. Cara mendapatkan turunan suatu fungsi akan dijelaskan
pada bagian selanjutnya.
4.2. Rumus Turunan{ XE "Turunan" } Fungsi Aljabar{ XE "Aljabar" }
Teorema I (Aturan Fungsi Konstanta)
Jika f(x) = k dengan k adalah suatu konstanta{ XE "konstanta" } untuk
sembarang x, f’(x)= 0. Bukti:
00limlim)()(
lim)(000
'
hhh h
kk
h
xfhxfxf
Contoh: f(x) = 2 maka f’(x) = 0
Teorema II (Aturan Fungsi Identitas)
Jika f(x) = x, maka f’(x) = 1
Bukti:
Kalkulus 45
1limlim)()(
lim)(000
'
h
h
h
xhx
h
xfhxfxf
hhh
Teorema III (Aturan Pangkat{ XE "Pangkat" })
Jika f(x) = xn, dengan n bilangan-bilangan bulat positif, maka f’(x) = nx
n-1
Bukti:
h
xhx
h
xfhxfxf
nn
hh
)(lim
)()(lim)(
00
'
h
xhnxhhxnn
hnxx nnnnnn
h
1221
0
...2
)1(
lim
h
hnxhhxnn
nxh nnnn
h
1221
0
...2
)1(
lim
Semua suku di dalam tanda kurung siku kecuali suku pertama mempunyai h
sebagai faktor, sehingga masing-masing suku ini mempunyai limit nol bila h
mendekati nol. Jadi
1)(' nnxxf
Contoh:
F(x)=x2
maka f’(x) = 2x
Teorema IV (Aturan Kelipatan Konstanta)
Jika k suatu konstanta{ XE "konstanta" } dan f suatu fungsi yang
terdeferensialkan, maka (kf)’ = (x). Bukti:
Misalkan F(x) = k. f(x). Maka
h
xfkhxfk
h
xFhxFxF
hh
)(.)(.lim
)()(lim)(
00
)('.)()(
lim)()(
lim00
xfkh
xfhxfk
h
xfhxfk
hh
Contoh:
F(x) =5x2
maka f’(x) =5(2x) =10x
Teorema V (Aturan Jumlah)
Kalkulus 46
Jika f dan g adalah fungsi-fungsi yang terdeferensialkan, maka (f+g)’(x) =
f’ (x) + g’ (x). Bukti:
Andaikan F(x) = f(x)+g(x), maka
h
xgxfhxghxfxF
h
)]()([)]()([lim)(
0
h
xghxg
h
xfhxfxF
h
)()()()(lim)(
0
)(')(')()(
lim)()(
lim)(00
xgxfh
xghxg
h
xfhxfxF
hh
Contoh:
F(x) =x2+3x
maka f’(x) = 2x+3
Teorema VI (Aturan Selisih)
Jika f dan g adalah fungsi-fungsi yang terdeferensialkan, maka (f-g)’(x) =
f’ (x) - g’ (x). Bukti:
(f-g)’(x) = (f+(-1)g)’ (x) = f’(x) – g’(x)
Contoh:
F(x) =3x2-x
maka f’(x) = 6x – 1
Teorema VII (Aturan Hasil Kali)
Jika f dan g adalah fungsi-fungsi yang terdeferensialkan, maka (f.g)’(x) =
f(x).g’(x)+f’(x).g(x). Bukti:
Andaikan F(x) = f(x).g(x)
h
xgxfhxghxf
h
xFhxFxF
hh
)()()()(lim
)()(lim)('
00
h
xgxfxghxfxghxfhxghxf
h
)()()()()()()()(lim
0
h
xfhxfxg
h
xghxghxf
h
)()()(
)()()(lim
0
Kalkulus 47
h
xfhxfxg
h
xghxghxf
hhh
)()(lim).(
)()(lim).(lim
000
)(')()(')( xfxgxgxf
Contoh:
F(x) = 2)5)(2( xx maka
f’(x) = )2()5()5().2( 22 xdx
dxx
dx
dx
= )2()5()5().5.(2).2( 2 xdx
dxx
dx
dxx
= 1.)5(1).5.(2).2( 2 xxx
= 2)5()102)(2( xxx
= 22 )5()2062( xxx
= )2510()2062( 22 xxxx
= 5163 2 xx
Teorema VIII (Aturan Hasil Bagi)
Jika f dan g adalah fungsi-fungsi yang terdeferensialkan, dengan g(x) 0.
Maka
)(
)(')()(')()(
2
'
xg
xgxfxfxgx
g
f
Bukti:
Misalkan F(x) = )(
)(xg
xf. Maka
h
xg
xf
hxg
hxf
h
xFhxFxF
hh
)(
)(
)(
)(
lim)()(
lim)(00
)()(
1)()()()(lim
0 hxgxgh
hxgxfhxfxg
h
)()(
1)()()()()()()()(lim
0 hxgxgh
hxgxfxgxfxfxghxfxg
h
)()(
10()()(
)()()(lim
0 hxgxgh
xghxgxf
h
xfhxfxg
h
Kalkulus 48
)()(
1)(')()(')(
xgxgxgxfxfxg
Contoh:
)5(
)2()(
2
x
xxf , berapakah f’(x) ?
Penyelesaian:
22
2
22
2
)5(
54
)5(
)2)(2()1)(5()('
x
xx
x
xxxxf
4.3. Turunan{ XE "Turunan" } Berantai Fungsi Aljabar{ XE "Aljabar" }
Jika y = (u) dan u = g (x) maka
dx
du
du
dyy .'
Jika y = f(u), u = g(x), x = h(w), maka
dw
dx
dx
du
du
dyy ..'
Contoh:
1. 10)13( xy
Penyelesaian:
Misal: y = f(u) dengan u = 3x+1 atau y = u10
Sehingga y’= 10u9.3 =30u
9 = 30(3x+1)
9
2. Carilah dx
dy, bila diketahui
1
12
2
u
uy dan 3 2 2 xu
Penyelesaian:
22 )1(
2
u
u
du
dy dan
23
22 3
2
)2(3
2
u
x
x
x
dx
du
dx
du
du
dy
dx
dy. .
)1(
422 u
u23
2
u
x22 )1(3
8
uu
x
4.4. Turunan{ XE "Turunan" } Tingkat Tinggi Aljabar{ XE "Aljabar" }
Kalkulus 49
Turunan{ XE "Turunan" } tingkat tinggi adalah turunan fungsi yang
tidak hanya sampai turunan pertama, bisa turunan kedua, ketiga, bahkan
sampai turunan ke n. Jika 'f adalah turunan suatu fungsi f , maka 'f juga
merupakan suatu fungsi, 'f adalah turunan pertama dari f . Jika turunan dari
'f ada,turunan ini dinamakan turunan kedua dan ditulis ''f . Dengan cara yang
sama turunan ketiga dari f didefinisikan sebagai turunan pertama dari ''f , jika
turunan ini ada. Turunan ketiga ditulis '''f . Turunan ke-n dari fungsi f , di
mana n bilangan positif yang lebih besar dari 1, adalah turunan pertama dari
turunan ke (n-1) dari f . Turunan ke n dinyatakan dengan nf . Berikut ini
adalah tabel cara penulisan turunan sampai dengan turunan ke-n:
Derivatif Penulisan 'f Penulisan 'y Penulisan D Penulisan Leibniz
Pertama )(' xf )(' xy yDx
dx
dy
Kedua )('' xf )('' xy yD x2
2
2
dx
yd
Ketiga )(''' xf )(''' xy yD x3
3
3
dx
yd
Keempat )('''' xf )('''' xy yD x4
4
4
dx
yd
Kelima )(''''' xf )(''''' xy yD x5
5
5
dx
yd
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
Ke-n )()( xf n )()( xy n yD xn
n
n
dx
yd
Contoh:
Carilah turunan ke-3 dari fungsi berikut ini:
283)( 23 xxxxf
Penyelesaian:
Kalkulus 50
863)(' 2 xxxf
66)('' xxf
6)(''' xf
RINGKASAN
1. Turunan{ XE "Turunan" } suatu fungsi adalah kemiringan garis singgung fungsi
tersebut pada titik tertentu. Turunan f(x) di 0xx didefinisikan sebagai:
h
xfhxfxf
h
)()(lim)( 0
00
'
2. Konsep aturan pada turunan fungsi aljabar:
- Aturan Fungsi Konstanta. Jika f(x) = k dengan k adalah suatu konstanta{
XE "konstanta" } untuk sembarang x, f’(x)= 0.
- Aturan Fungsi Identitas. Jika f(x) = x, maka f’(x) = 1
- Aturan Pangkat{ XE "Pangkat" }. Jika f(x) = xn, dengan n bilangan-bilangan
bulat positif, maka f’(x) = nxn-1
- Aturan Kelipatan Konstanta. Jika k suatu konstanta{ XE "konstanta" } dan f
suatu fungsi yang terdeferensialkan, maka (kf)’= (x).
- Aturan Jumlah. Jika f dan g adalah fungsi-fungsi yang terdeferensialkan,
maka (f+g)’(x) = f’ (x) + g’ (x).
- Aturan Selisih. Jika f dan g adalah fungsi-fungsi yang terdeferensialkan,
maka (f-g)’(x) = f’ (x) - g’ (x).
- Aturan Hasil Kali. Jika f dan g adalah fungsi-fungsi yang
terdeferensialkan, maka (f.g)’(x) = f(x).g’(x)+f’(x).g(x).
- Aturan Hasil Bagi. Jika f dan g adalah fungsi-fungsi yang
terdeferensialkan, dengan g(x) 0.
3. Turunan{ XE "Turunan" } Berantai Fungsi Aljabar{ XE "Aljabar" }
Jika y = (u) dan u = g (x) maka dx
du
du
dyy .'
Jika y = f(u), u = g(x), x = h(w), maka dw
dx
dx
du
du
dyy ..'
Kalkulus 51
4. Turunan{ XE "Turunan" } tingkat tinggi adalah turunan fungsi yang tidak hanya
sampai turunan pertama, bisa turunan kedua, ketiga, bahkan sampai turunan ke
n. Turunan ke-n dari fungsi f , di mana n bilangan positif yang lebih besar dari
1, adalah turunan pertama dari turunan ke (n-1) dari f . Turunan ke n
dinyatakan dengan nf .
Kalkulus 52
Soal-soal Latihan
Carilah turunan pertama fungsi-fungsi di bawah ini:
1. 53
73
2
x
x
2. 3)8)(7( xx
3. 53 4xx
Carilah turunan berantai fungsi-fungsi di bawah ini:
1. 35 uy , xxu 24
2. uy , 2),24( xvvvu
3. Jika xxy 22 dan 93 2 tx , berapakah dt
dyketika 2t
Carilah turunan kedua fungsi-fungsi di bawah ini:
1. 243)( 24 xxxxf
2. 25)( zzg
3. 2/3)2()( ttf
4. xx
xf4
2
1)(
2
5. Diketahui x
xf
1
2)( , cari )()( xf n
Kalkulus 53
BAB V
TURUNAN FUNGSI{ XE "FUNGSI" } TRIGONOMETRI
Materi : Turunan{ XE "Turunan" } Fungsi Trigonometri
Sub Materi : - Pengertian Turunan{ XE "Turunan" } Fungsi
Trigonometri
- Rumus Turunan{ XE "Turunan" } Fungsi
Trigonometri
- Turunan{ XE "Turunan" } Berantai Fungsi
Trigonometri
- Turunan{ XE "Turunan" } Tingkat Tinggi
Fungsi Trigonometri
Tujuan
Setelah mengikuti pertemuan ini, mahasiswa diharapkan dapat menjelaskan
konsep turunan dan rumus-rumus turunan fungsi trigonometri serta
menghitung turunan fungsi trigonometri secara konsep dan pada aplikasinya.
Materi
5.1. Pengertian Turunan{ XE "Turunan" } Trigonometri
Dalam menghtung turunan fungsi trigonometri, digunakan cara yang
sama seperti mencari turunan aljabar. Selain itu digunakan kesamaan
trigonometri. Misalnya untuk menghitung turunan xxf sin)( , adalah
sebagai berikut:
h
xxx
h
xhxxf
hh
sinsinhcoscoshsinlim
)sin()sin(lim)('
00
hx
hx
h
sinhcos
cosh1sinlim
0
hx
hx
hh
sinhlim)(cos
cosh1lim)sin(
00
Dari pengertian tentang limit, dapat dihitung nilai akhir turunan fungsi f(x) =
sin (x), yaitu
hx
hx
hh
sinhlim)(cos
cosh1lim)sin(
00
Kalkulus 54
xxx cos1).(cos0).sin(
Jadi turunan f(x) = sin (x) adalah cos (x) )cos()(' xxf
Contoh lain adalah turunan fungsi sinus dan cosinus, tetapi dengan cara
mendapatkan hasil turunan fungsi cosinus tanpa harus menggunakan proses limit,
dimana xxxdx
d,cossin dan xxx
dx
d,sincos
Pembuktian dari turunan fungsi cosinus adalah sebagai berikut:
x
xt
xt
xt
xt
xtxt
xt
xtx
dx
d
xtxt
xtxt
cos
)(2
1
)(2
1sin
lim)(2
1coslim
)(2
1.2
)(2
1sin)(
2
1cos2
limsinsin
lim)(sin
x
xt
xt
xt
xt
xtxt
xt
xtx
dx
d
xtxt
xtxt
sin
)(2
1
)(2
1sin
lim)(2
1sinlim
)(2
1.2
)(2
1sin)(
2
1sin2
limcoscos
lim)(cos
5.2. Rumus Turunan{ XE "Turunan" } Fungsi Trigonometri
Untuk mendapatkan turunan-turunan fungsi trigonometri yang lain,
dapat digunakan cara yang sama dengan di atas dan hasilnya adalah sebagai
berikut:
1. xxdx
dcos)(sin
2. xxdx
dsin)(cos
3. xxdx
d 2sec)(tan
4. xxdx
d 2csc)(cot
Kalkulus 55
5. xxxdx
dtansec)(sec
6. xxxdx
dcotcsc)(csc
Secara umum rumus turunan trigonometri adalah sama seperti rumus
yang digunakan pada fungsi aljabar. Berikut ini beberapa teorema dan contoh
turunan pada fungsi trigonometri.
Teorema I (Turunan{ XE "Turunan" } Jumlah Fungsi Trigonometri)
)(')(')(' xgxfxgf
Contoh:
xxy 2cos3sin
Penyelesaian:
xxy 2cos3sin
)2(2cos)3(3sin' xdx
dxx
dx
dxy
xxy 2sin23cos3
Teorema II (Turunan{ XE "Turunan" } Selisih Fungsi Trigonometri)
)(')(')(' xgxfxgf
Contoh:
xxy 5cossin
Penyelesaian:
xxy 5cossin
)5(5cos)(sin' xdx
dxx
dx
dxy
xxy 5sin5cos
Teorema III (Turunan{ XE "Turunan" } Hasil Kali Fungsi Trigonometri)
)()(')(')()('. xfxgxgxfxgf
Contoh:
xxy sin2
Kalkulus 56
Penyelesaian:
xxy sin2
22 sinsin' xdx
dxx
dx
dxy
xxxxy sin2cos' 2
Teorema IV (Turunan{ XE "Turunan" } Hasil Bagi Fungsi Trigonometri)
2
)(')()(')()(
xg
xgxfxfxgx
g
f
Contoh:
x
xy
cos
Penyelesaian:
x
xy
cos
2
)(cos)(cos
'x
xdx
dxx
dx
dx
y
2
cossin'
x
xxxy
5.3. Turunan{ XE "Turunan" } Berantai Fungsi Trigonometri
Pada fungsi trigonometri, secara umum dalam menghitung turunan
berantai adalah sama dengan cara menghitung turunan berantai pada fungsi
aljabar. Jika y = (u) dan u = g (x) maka
dx
du
du
dyy .'
Jika y = f(u), u = g(x), x = h(w), maka
dw
dx
dx
du
du
dyy ..'
Contoh:
Dapatkan turunan dari fungsi berikut ini xy 3sin3
Penyelesaian:
Kalkulus 57
Misal: xvvguufy 3),(),(
Dengan 3uy dan xvvu 3,sin
Maka:
dw
dx
dx
du
du
dyy ..'
3.cos.3 2 vu
3).3cos(.)(sin3 2 xv
3).3cos().3(sin3 2 xx
xx 3cos).3(sin9 2
5.4. Turunan{ XE "Turunan" } Tingkat Tinggi Fungsi Trigonometri
Pada turunan tingkat tinggi fungsi trigonometri, secara umum dalam
menghitung turunannya adalah sama dengan cara menghitung turunan tingkat
tinggi pada fungsi aljabar. Supaya lebih jelas tentang turunan tingkat tinggi
fungsi trigonometri dapat dilihat cara penulisan dan contoh-contoh di bawah
ini:
Derivatif Penulisan 'f Penulisan 'y Penulisan D Penulisan Leibniz
Pertama )(' xf )(' xy yDx
dx
dy
Kedua )('' xf )('' xy yD x2
2
2
dx
yd
Ketiga )(''' xf )(''' xy yD x3
3
3
dx
yd
Keempat )('''' xf )('''' xy yD x4
4
4
dx
yd
Kelima )(''''' xf )(''''' xy yD x5
5
5
dx
yd
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
Ke-n )()( xf n )()( xy n yD xn
n
n
dx
yd
Kalkulus 58
Contoh:
1. Hitunglah turunan kedua dari fungsi berikut ini:
1cossin xy
Penyelesaian:
1cossin xy
0sin'.cos xyy
y
xy
cos
sin'
y
yyxxyy
2cos
').sin(sincoscos''
y
yyxyxy
2cos
'.sin.sincoscos''
y
y
xyxyx
y2cos
cos
sin.sin.sincoscos
''
y
yxyxy
2
22
cos
.sin.sincoscos''
2. Hitunglah turunan ketiga dari fungsi berikut ini:
xxy sin
Penyelesaian:
xxy sin
)()(')(')()('. xfxgxgxfxgf
xdx
dxx
dx
dxy sinsin'
xxxy sincos'
)(sincoscos'' xdx
dx
dx
dxx
dx
dxy
xxxxy cos1.cos)sin(''
xxxy cos2sin.''
)cos2(sinsin''' xdx
dx
dx
dxx
dx
dxy
Kalkulus 59
)sin2(1.sin)(cos''' xxxxy
)sin2(1.sincos''' xxxxy
xxxy sin3cos'''
RINGKASAN
1. Turunan{ XE "Turunan" }-turunan fungsi trigonometri:
7. xxdx
dcos)(sin
8. xxdx
dsin)(cos
9. xxdx
d 2sec)(tan
10. xxdx
d 2csc)(cot
11. xxxdx
dtansec)(sec
12. xxxdx
dcotcsc)(csc
2. Beberapa teorema turunan pada fungsi trigonometri:
- Teorema I (Turunan{ XE "Turunan" } Jumlah Fungsi Trigonometri)
)(')(')(' xgxfxgf
- Teorema II (Turunan{ XE "Turunan" } Selisih Fungsi Trigonometri)
)(')(')(' xgxfxgf
- Teorema III (Turunan{ XE "Turunan" } Hasil Kali Fungsi Trigonometri)
)()(')(')()('. xfxgxgxfxgf
- Teorema IV (Turunan{ XE "Turunan" } Hasil Bagi Fungsi Trigonometri)
2
)(')()(')()(
xg
xgxfxfxgx
g
f
3. Turunan{ XE "Turunan" } berantai fungsi trigonometri :
Jika y = (u) dan u = g (x), maka
dx
du
du
dyy .'
Jika y = f(u), u = g(x), x = h(w), maka
Kalkulus 60
dw
dx
dx
du
du
dyy ..'
Kalkulus 61
Soal-soal Latihan
Carilah turunan pertama fungsi-fungsi di bawah ini:
1. )sin( yxy
2. 1cos
1cos
x
xy
3. xxxxxy sin2cos2sin2
Carilah turunan berantai fungsi-fungsi di bawah ini:
1. )32(sin3 xy
2. )21(tan 22 xy
3. )25(cot 2 xy
Carilah turunan kedua fungsi-fungsi di bawah ini:
1. xy 8cot4
1
2. xxy 22 tansec
3. 2
2cos1 xy
4. xxy 2cossin
Kalkulus 62
BAB VI
TURUNAN FUNGSI{ XE "FUNGSI" } EKSPONENSIAL DAN LOGARITMIK
Materi : Turunan{ XE "Turunan" } Fungsi Eksponensial
dan Logaritmik
Sub Materi : - Pendahuluan
- Rumus Turunan{ XE "Turunan" } Fungsi
Eksponensial dan
Logaritmik
- Turunan{ XE "Turunan" } Berantai Fungsi
Eksponensial dan
Logaritmik
- Turunan{ XE "Turunan" } Tingkat Tinggi
Fungsi Eksponensial
dan Logaritmik
Tujuan
Setelah mengikuti pertemuan ini, mahasiswa diharapkan dapat menjelaskan
konsep turunan dan rumus-rumus turunan fungsi eksponensial{ XE
"eksponensial" } dan logaritmik serta menghitung turunan fungsi eksponensial
dan logaritmik secara konsep dan pada aplikasinya.
Materi
6.1. Pengertian Fungsi Eksponensial
Fungsi eksponensial{ XE "eksponensial" } adalah salah satu fungsi
yang paling penting dalam matematika. Biasanya, fungsi ini ditulis dengan
notasi{ XE "notasi" } exp(x) atau ex, dimana e adalah basis logaritma natural
yang kira-kira sama dengan 2.71828183, nilai ini diperoleh dari perhitungan
limit sebagai berikut:
k
k
h
hk
he /1
0)1(lim
11lim
71828183,2...!
1...
!3
1
!2
111
n
Sedangkan fungsi logaritma yang biasa digunakan adalah logaritma berbasis
10 dari bilangan b sebagai pangkat kita menaikkan 10 untuk mendapatkan b:
Kalkulus 63
bb log10
Selain logaritma dengan basis 10 kita mengenal fungsi logaritma natural (ln).
Dalam turunan kita mengenal bahwa x
xdx
d 1ln , sifat-sifat dasar dari ln
antara lain:
xnx
axx
a
xaax
n lnln
lnlnln
lnlnln
Jika 0a dan 1a , dan jika xa y maka xy alog
xxy e lnlog xxy loglog10
6.2. Rumus Turunan{ XE "Turunan" } Fungsi Eksponensial dan Logaritmik
Jika u adalah fungsi x yang dapat diturunkan maka,
a. Bentuk persamaan : )1,0(,log1
)(log aadx
due
uu
dx
daa
Contoh:
Turunkan persamaan berikut ini :
)53(log 2 xy a
Penyelesaian:
)53(log 2 xy a
)53(.log53
1 2
2
x
dx
de
xdx
dya
ex
x
dx
dyalog
53
62
b. Bentuk persamaan : dx
du
uu
dx
d 1)(ln
Contoh:
Turunkan persamaan berikut ini:
2)2ln( xy
Penyelesaian:
Kalkulus 64
2)2ln( xy
)3ln(2 xy
)3(.3
12
x
dx
d
xdx
dy
3
2
xdx
dy
c. Bentuk persamaan : dx
duee
dx
d uu )(
Contoh:
Turunkan persamaan berikut ini:
xey 2/1
Penyelesaian:
xey 2/1
)2
1(' 2/1 x
dx
dey x
xey 2/1
2
1'
6.3. Turunan{ XE "Turunan" } Berantai Fungsi Eksponensial dan Logaritmik
Pada prinsipnya dalam menghitung turunan berantai fungsi
eksponensial{ XE "eksponensial" } dan logaritmik, adalah sama dengan
menghitung turunan berantai pada fungsi aljabar. Kaidah berantai berlaku:
dx
du
du
dy
dx
dy
akan memberikan sebuah rumus untuk turunan dari uay bila u adalah
sebarang fungsi yang diturunkan dari x:
dx
dua
du
da
dx
d uu .
Bentuk ini akan menghasilkan turunan persamaan sebagai berikut:
)0(,ln adx
duaaa
dx
d uu
Kalkulus 65
Contoh:
Turunkan persamaan berikut ini:
1. 22xay
Penyelesaian:
22xay
)2(ln' 22 2
xdx
daay x
axay x ln4'22
2. xy sin3
Penyelesaian:
xy sin3
xdx
dy x sin3ln3' sin
xy x cos3ln3' sin
6.4. Turunan{ XE "Turunan" } Tingkat Tinggi Fungsi Eksponesial dan
Logaritmik
Pada turunan tingkat tinggi fungsi trigonometri, secara umum dalam
menghitung turunannya adalah sama dengan cara menghitung turunan tingkat
tinggi pada fungsi aljabar. Supaya lebih jelas tentang turunan tingkat tinggi
fungsi trigonometri dapat dilihat cara penulisan dan contoh-contoh di bawah
ini:
Derivatif Penulisan 'f Penulisan 'y Penulisan D Penulisan Leibniz
Pertama )(' xf )(' xy yDx
dx
dy
Kedua )('' xf )('' xy yD x2
2
2
dx
yd
Kalkulus 66
Ketiga )(''' xf )(''' xy yD x3
3
3
dx
yd
Keempat )('''' xf )('''' xy yD x4
4
4
dx
yd
Kelima )(''''' xf )(''''' xy yD x5
5
5
dx
yd
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
Ke-n )()( xf n )()( xy n yD xn
n
n
dx
yd
Pada persamaan fungsi eksponensial{ XE "eksponensial" }, turunan kedua
( )('' xy ) merupakan turunan dari hasil turunan pertama ( )(' xy ), begitu pula turunan
ketiga ( )(''' xy ) merupakan hasil penurunan dari turunan kedua ( )(' xy ), dan begitu
seterusnya.
Contoh:
Tentukan turunan kedua dari persamaan-persamaan berikut ini:
1) xey x ln
2) xey x 2sin2
3) 2
3
23ln
x
xy
Penyelesaian:
1) xey x ln
)(ln)(ln' xx edx
dxx
dX
dey
= xex
e xx
ln
yx
e x
Kalkulus 67
2) xey x 2sin2
)()2sin()2(sin' 22 xx edx
dxx
dx
dey
xexe xx 2sin23cos2 22
yxe x 23cos2 2
'
)()(
''2
yx
xdx
dee
dx
dx
y
xx
xex
e
x
exe xxxx
ln2
x
xxe x ln
122
3) 2
3
23ln
x
xy
23 )23ln(ln xx
)23ln(2ln3 xx
)23()23(
12)(
13'
x
dx
d
xx
dx
d
xy
23
63'
xxy
xx
xy
23
63'
2
2
''''
v
uvvuy
3'63 uxu 26'23 2 xvxxv
22
2
)23(
)63)(26()23(3''
xx
xxxxy
22
22
)23(
)1263618(69''
xx
xxxxxy
22
22
)23(
126361869''
xx
xxxxxy
22
2
)23(
12369''
xx
xxy
Kalkulus 68
RINGKASAN
1. Fungsi eksponensial{ XE "eksponensial" } ditulis dengan notasi{ XE "notasi" }
exp(x) atau ex, dimana e adalah basis logaritma natural yang kira-kira sama
dengan 2.71828183.
2. Jika u adalah fungsi x yang dapat diturunkan maka,
a. Bentuk persamaan :
)1,0(,log1
)(log aadx
due
uu
dx
daa
b. Bentuk persamaan :
dx
du
uu
dx
d 1)(ln
c. Bentuk persamaan :
dx
duee
dx
d uu )(
3. Pada turunan fungsi eksponensial{ XE "eksponensial" } berlaku:
dx
du
du
dy
dx
dy
Bentuk ini akan menghasilkan turunan persamaan sebagai berikut:
)0(,ln adx
duaaa
dx
d uu
Kalkulus 69
Kalkulus 70
Soal-soal Latihan
Carilah turunan pertama dan kedua fungsi di bawah ini:
1. )52(ln 2 xy
2. )4)(2ln( xxy
3. )252ln( 2 xxy
4. xy sinlnln
5. xy 2cosln
Carilah turunan pertama dan kedua fungsi-fungsi di bawah ini:
1. xey 4
2. 5xey
3. xexey
4. xey sec
5. xey 2sin
Carilah turunan pertama fungsi-fungsi di bawah ini:
1. xe
xy
ln
2. xxey 32ln
3. xexy x 4sin32
Kalkulus 71
BAB VII
TURUNAN FUNGSI{ XE "FUNGSI" } IMPLISIT{ XE "IMPLISIT" } DAN
PARSIAL{ XE "PARSIAL" }
Materi : Turunan{ XE "Turunan" } Fungsi Implisit Dan
Parsial
Sub Materi : - Turunan{ XE "Turunan" } Implisit
- Turunan{ XE "Turunan" } Parsial
- Turunan{ XE "Turunan" } Tingkat Tinggi
Parsial
- Turunan{ XE "Turunan" } Parsial Fungsi
Aljabar{ XE "Aljabar" }
- Turunan{ XE "Turunan" } Parsial Fungsi
Trigonometri
- Turunan{ XE "Turunan" } Parsial Fungsi
Eksponensial
Tujuan
Setelah mengikuti pertemuan ini, mahasiswa diharapkan dapat menjelaskan
konsep turunan dan rumus-rumus turunan fungsi implisit dan parsial serta
menghitung turunan fungsi implisit dan parsial secara konsep dan pada
aplikasinya.
Materi
7.1. Turunan{ XE "Turunan" } Implisit
Dalam materi turunan kita akan mengenal bentuk turunan implisit,
dimana turunan pertama (y’) dari f(x,y) = 0 dapat diperoleh dengan dua cara
berikut:
a. Jika y dinyatakan sebagai bentuk eksplisit dari x, kemudian
dideferensialkan terhadap x.
b. Jika setiap suku dalam f(x,y) = 0 dideferensialkan terhadap x.
Contoh:
Cari dx
dyjika 232 32 xyyx
Kalkulus 72
Penyelesaian:
Berdasarkan uraian di atas, maka persamaan tersebut dapat diselesaikan
dengan dua cara:
Cara 1: Fungsi implisit di atas dinyatakan ke dalam bentuk eksplisit
232 32 xyyx
23)12( 32 xxy
12
232
3
x
xy
2
' ''
v
uvvuy
23 3 xu 29' xu
12 2 xv xv 4'
22
322
)12(
)23(4)12(9'
x
xxxxy
22
424
)12(
812918'
x
xxxxy
Cara 2 : Menurunkan masing-masing suku:
23)12( 32 xxy
dx
dyxy
dx
dyx .14.2 2 = 29x
xyxxdx
dy4912 22
)12(
492
2
x
xyx
dx
dy (Keterangan : y diganti dengan masin
12
232
3
x
xy )
)12(
12
2349
2
2
32
x
x
xxx
dx
dy
)12(
12
234
12
)12(9
2
2
3
2
22
x
x
xx
x
xx
dx
dy
22
24
)12(
896'
x
xxxy
Kalkulus 73
12
8129182
424
x
xxxx
dx
dy
12
8962
24
x
xxx
dx
dy
Kalkulus 74
Contoh beserta penyelesaiannya:
Cari dx
dy jika :
a. 02222 yxxyyx
b. 0ln 3 xeyxy
c. 0cos2 xyy
Penyelesaian:
a. 0)2()2()()( 22 ydx
dx
dx
dxy
dx
dyx
dx
d
0)(2)(2)()()()( 2222 ydx
dx
dx
dx
dx
dyy
dx
dxx
dx
dyy
dx
dx
0'21.2'22' 22 yyxyyyxyx
)22(' 2 xyxy +2xy+y 022
'y22
222
2
xyx
yxy
b. 0ln 3 xeyxy
0)()()(ln 3 xedx
dy
dx
dxx
dx
dyy
dx
d
0)3()(1.)(1 3 x
dx
dey
dx
dxyy
dx
d
y
x
03)()(1 3 xey
dx
dxyy
dx
d
y
031 3 xe
dx
dyxy
dx
dy
y
031 3
xeyx
ydx
dy
yx
ey
dx
dy x
1
3 3
Kalkulus 75
c. 0cos)(cos)( 22 xdx
dyy
dx
dxy
dx
d
0)sin()(2.cos)( 2 xyydx
dyxy
dx
d
0sincos21 2 xyxydx
dy
xy
xy
dx
dy
cos21
sin2
7.2. Turunan{ XE "Turunan" } Parsial
Jika z = f(x,y) memiliki variabel{ XE "variabel" } bebas x dan y, maka
dalam turunan parsial akan ada kemungkinan yang akan terjadi antara lain:
a) Variabel x berubah-ubah, sedangkan variabel{ XE "variabel" } y
dianggap tetap.
x
yxfyxxf
x
zyxf
xx
,,lim,
0
Jika x berubah sedangkan y dianggap tetap, maka z adalah fungsi x dan
turunannya ke x.
b) Variabel y berubah-ubah, sedangkan variabel{ XE "variabel" } x
dianggap tetap.
y
yxfyyxf
y
zyxf
xx
,,lim,
0
Jika y berubah sedangkan x dianggap tetap, maka z adalah fungsi y dan
turunannya ke y.
7.3. Turunan{ XE "Turunan" } Tingkat Tinggi Parsial
Turunan{ XE "Turunan" } Parsial x
z
dari ),( yxfz dapat diturunkan
parsial lagi ke x dan y, menghasilkan turunan kedua ( ''z ). Turunan kedua
dapat diturunkan lagi ke x dan y, menghasilkan turunan ketiga ( '''z ) dan
seterusnya. Jika dituliskan sebagai berikut:
Turunan{ XE "Turunan" } Pertama: ),( yxfx
z
Kalkulus 76
Turunan{ XE "Turunan" } Kedua:
x
z
xyxf
x
zxx ),(
2
2
x
z
yyxf
xy
zyx ),(
2
sedangkan,
Turunan{ XE "Turunan" } Pertama: ),( yxfy
z
Turunan{ XE "Turunan" } Kedua:
y
z
xyxf
yx
zxy ),(
2
y
z
yyxf
y
zyy ),(
2
2
Contoh:
Hitunglah turunan kedua dari:
22 342 yxyxz
Penyelesaian:
yxx
z44
, 4
2
2
x
z
xx
z, 4
2
x
z
yxy
z
xyy
z46
, 4
2
y
z
xyx
z, 6
2
2
y
z
yy
z
7.4. Turunan{ XE "Turunan" } Parsial Fungsi Aljabar{ XE "Aljabar" }
Fungsi Aljabar{ XE "Aljabar" } dapat diturunkan secara parsial,
dimana jika diturunkan terhadap x maka y konstan, dan sebaliknya ketika
diturunkan terhadap y maka x dianggap konstan. Supaya lebih jelas mngenai
turunan parsial fungsi aljabar, kita pelajari contoh berikut:
Hitung turunan dari: 23 5 yxyxz jika diturunkan terhadap x dan y
Penyelesaian:
Jika diturunkan terhadap x dan y dianggap konstan, maka yxx
z53 2
Jika diturunkan terhadap y dan x dianggap konstan, maka yxy
z25
Kalkulus 77
7.5. Turunan{ XE "Turunan" } Parsial Fungsi Trigonometri
Cara penurunan secara parsial fungsi trigonometri sama seperti pada
fungsi aljabar. Supaya lebih jelas mngenai turunan parsial fungsi aljabar, kita
pelajari contoh berikut:
Hitung turunan dari xyyxz sincos2 jika diturunkan terhadap x dan y
Penyelesaian:
Jika diturunkan terhadap x dan y dianggap konstan, maka
xyyx
zcoscos2
Jika diturunkan terhadap y dan x dianggap konstan, maka xyy
zsinsin2
7.6. Turunan{ XE "Turunan" } Parsial Fungsi Eksponensial
Pada prinsipnya cara penurunan parsial pada fungsi eksponensial{ XE
"eksponensial" } sama seperti fungsi aljabar dan fungsi trigonometri. Supaya
lebih jelas mngenai turunan parsial fungsi aljabar, kita pelajari contoh berikut:
Hitung turunan dari z = xyxe 3
jika diturunkan terhadap x dan y
Penyelesaian:
Jika diturunkan terhadap x dan y dianggap konstan, maka
)3(
)3(
2
23
yxz
yxex
z xyx
zx
xey
z xyx
)(3
Kalkulus 78
RINGKASAN
1. Turunan{ XE "Turunan" } implisit adalah turunan dimana proses menurunkan
persamaan tidak dapat diturunkan secara langsung, turunan pertama (y’) dari
f(x,y) = 0 dapat diperoleh dengan dua cara berikut:
a. Jika y dinyatakan sebagai bentuk eksplisit dari x, kemudian
dideferensialkan terhadap x.
b. Jika setiap suku dalam f(x,y) = 0 dideferensialkan terhadap x.
2. Pada turunan parsial, jika z = f(x,y) memiliki variabel{ XE "variabel" } bebas x
dan y:
a) Variabel x berubah-ubah, sedangkan variabel{ XE "variabel" } y
dianggap tetap.
x
yxfyxxf
x
zyxf
xx
,,lim,
0
b) Variabel y berubah-ubah, sedangkan variabel{ XE "variabel" } x
dianggap tetap.
y
yxfyyxf
y
zyxf
xx
,,lim,
0
3. Pada turunan parsial x
z
dari ),( yxfz dapat diturunkan parsial lagi ke x dan
y, menghasilkan turunan kedua ( ''z ). Turunan{ XE "Turunan" } kedua dapat
diturunkan lagi ke x dan y, menghasilkan turunan ketiga ( '''z ) dan seterusnya.
Jika dituliskan sebagai berikut:
Turunan{ XE "Turunan" } Pertama: ),( yxfx
z
Turunan{ XE "Turunan" } Kedua:
x
z
xyxf
x
zxx ),(
2
2
x
z
yyxf
xy
zyx ),(
2
sedangkan,
Turunan{ XE "Turunan" } Pertama: ),( yxfy
z
Turunan{ XE "Turunan" } Kedua:
y
z
xyxf
yx
zxy ),(
2
Kalkulus 79
y
z
yyxf
y
zyy ),(
2
2
Kalkulus 80
Soal-soal Latihan
Carilah turunan implisit fungsi berikut ini:
1. 5234 23 yxyx
2. 93cos 22 yxxy
3. 102 yxyx
4. 42 44 xyyx
Carilah turunan parsial fungsi berikut ini:
1. )37cos( yxz , berapakah x
z
dan
y
z
2. z = yxe 2 berapakah , x
z
dan
y
z
3. z
y
x
z
y
xw
2
2 , berapakah
x
w
,
y
w
dan
z
w
4. )64cos()5sin( yxz , berapakah x
z
dan
y
z
5. 1)sin()sin()sin( zxzyyx , berapakah x
z
dan
y
z
6. 0ln33),,( zzyxzyxf , berapakah 2
2
x
z
dan
2
2
y
z
Carilah y’
Carilah y’’bila diketahui x =1
Kalkulus 81
BAB VIII
INTEGRAL TAK TENTU ALJABAR
Materi : Integral Tak Tentu Fungsi Aljabar{ XE
"Aljabar" }
Sub Materi : - Pendahuluan
- Rumus – rumus Dasar Integral
- Integral dengan Substitusi ”u”
Tujuan
Setelah mengikuti pertemuan ini, mahasiswa diharapkan dapat menjelaskan
konsep integral{ XE "integral" } tak tentu dan teknik pengintegralan dengan
substitusi{ XE "substitusi" } pada fungsi aljabar serta menghitung integral tak
tentu dengan substitusi secara konsep dan aplikasi.
Materi
8.1. Pendahuluan
Jika diketahui 2)( xxF maka turunannya adalah:
)(2)(1 xfxxF . Bila operasi dibalik yakni diketahui xxf 2)( dapatkah
di temukan )(xF sebagai anti turunan dari )(xf sedemikian hingga
)(2)(1 xfxxF ? Jawabannya adalah Dapat. Caranya adalah sebagai
berikut:
2)( xxF , sebab )(2)(1 xfxxF atau
1)( 2 xxF , sebab )(2)(1 xfxxF atau
7)( 2 xxF , sebab )(2)(1 xfxxF atau
10)( 2 xxF , sebab )(2)(1 xfxxF atau
………dan seterusnya sehingga dapat ditulis
CxxF 2)( untuk sembarang konstanta{ XE "konstanta" } C .
Ini benar sebab )(2)(1 xfxxF . Ternyata anti turunan F dari f
jawabnya tidak hanya satu. Dapat dikatakan bahwa himpunan anti turunan F dari
Kalkulus 82
xxf 2)( adalah CxxF 2)( berlaku untuk sembarang konstanta{ XE
"konstanta" } C .
Dapat dimengerti bahwa himpunan anti turunan F dari f yang di rumuskan
oleh nxxf )( adalah Cxn
xF n
1
1
1)( , 1n sebab turunannya
)()(1 xfxxF n .
Himpunan anti turunan F dari f ditulis dalam bentuk integral{ XE "integral"
} (Leibniz) :
dxxfxF )()( (1-1)
ini berarti )()()()(1 xfdxxfdx
dxF
dx
dxF atau :
)()( xfdxxfdx
d (1-2)
Dari (1-1) dan (1-2) juga di peroleh rumusan :
CxFCxFddxCxFdx
ddxxF
dx
ddxxFdxxf )()()()()()( 1
, sehingga
CxFCxFd )()( (1-3)
atau ditulis
CxFxFd )()( (1-3 * )
kemunculan C ini disebut konstanta{ XE "konstanta" } integrasi.
Dari definisi dxxfxF )()( , maka )(xf disebut integran sedang )(xF
adalah hasil integrasi. Karena hasil penghitungan bertambah dengan
konstanta{ XE "konstanta" } sembarang C maka CxFdxxf )()( disebut
integral{ XE "integral" } tak tentu.
Sekarang himpunan anti turunan F dari f yang dirumuskan oleh nxxf )(
adalah Cxn
dxxdxxfxF nn
1
1
1)()( untuk 1n . Dengan
demikian kita peroleh :
(1-4)
1,1
1 1
nCxn
dxx nn
Kalkulus 83
sebagai rumus dasar integral{ XE "integral" } tak tentu.
Kalkulus 84
8.2. Rumus – rumus Dasar Integral
A.
1 Cxdx
2 Caxdxaadx
3 1,1
1 1
nCx
ndxx nn
4 0,ln xCxx
dx
5 1,0,ln
aaCa
adxa
xx
6 Cedxe xx
B.
7 dxxfkdxxkf )()( , k adalah konstanta{ XE "konstanta" }
8 dxxgdxxfdxxgxf )()()()(
9 dxxgdxxfdxxgxf )()()()(
10 )(),(, xvvxuuvduuvudv , disebut integral{ XE "integral" }
parsial
8.3. Integral dengan Substitusi ”u”
Integral substitusi{ XE "substitusi" } dapat digunakan untuk
menentukan hasil dari bentuk dxxf )( . Dengan menggunakan substitusi u =
g(x), di mana g adalah fungsi yang dapat diintegralkan. Jika substitusi itu
mengubah f(x) dx menjadi h (u) du dan apabila H sebuah anti turunan h,
maka:
CxgHCuHduuhdxxf ))(()()()(
Contoh Integral Substitusi dan penyelesaiannya:
1. dxx5
82
Kalkulus 85
2. dxxx 53 32
Penyelesaian:
1. dxx5
82
Langkah awal menyelesaikan integral{ XE "integral" } substitusi{ XE "substitusi"
} di atas adalah sebagai berikut:
- mengasumsikan bahwa 82 xu
- menghitung dx
du; karena 82 xu maka 2
dx
du
sehingga 2
dudx
- bentuk integral{ XE "integral" } menjadi : 2
5 duu
- diubah menjadi bentuk: duu 5
2
1
- hasil pengintegralan: cu
51
51
1
2
1
- konstantanya disederhanakan menjadi: cu 6
12
1
- variabel{ XE "variabel" } u dikembalikan seperti di awal:
cx 6
8212
1
2. dxxx 53 32
Langkah awal menyelesaikan integral{ XE "integral" } substitusi{ XE "substitusi"
} di atas adalah sebagai berikut:
- mengasumsikan bahwa 53 3 xu
- menghitung dx
du; karena 53 3 xu maka 29x
dx
du
sehingga 29x
dudx
- bentuk integral{ XE "integral" } menjadi : 2
21
2
9x
duux
- disederhanakan menjadi bentuk: duu 21
9
1
Kalkulus 86
- hasil pengintegralan: cu
12
1
211
1
9
1
- konstantanya disederhanakan menjadi: cu 23
27
2
- variabel{ XE "variabel" } u dikembalikan seperti di awal:
cxx 535327
2 33
Contoh Soal dan Penyelesaiannya:
1. dxx4
2. dxxx 222
3. dxx33
4. dttt
)22
1(
2
5. Jika Biaya marginal suatu perusahaan ditunjukkan oleh persamaan Marginal
Cost = 5q2-3q+2 dengan q adalah banyaknya unit yang diproduksi, dan biaya
tetap k=3, dimana k adalah konstanta{ XE "konstanta" } integral{ XE
"integral" }. Tentukan persamaan biaya total (Cost).
Penyelesaian:
1. dxx4 Cx
5
5
2. dxxx 222 = Cxxx 23
1 23
3. dxx33 = dxx 31
3
= dxx 31
3
= cx
)(31
31
= cx )(3 34
4. dttt
)22
1(
2 = dttt
2
12 22
1
Kalkulus 87
= dttdtt 2
12 2
2
1
= dttdtt 21
2 22
1
=
dttdtt1
21
12
2
11
12
12
1
2
1
=
2
3
1
3
22
2
1tt
=
2
3
1
3
4
2
1tt
5. Persamaan Marginal Cost = 5q2-3q+2
dq
dCMC ; sehingga MCdqdC
Cost (C) = MCdq
= dqqq )235( 2
= cqqq
211
13
12
15 1112
= cqqq 22
3
3
5 23
Kalkulus 88
RINGKASAN
1. Integral tak tentu F pada fungsi aljabar dari f yang dirumuskan:
nxxf )( adalah Cxn
dxxdxxfxF nn
1
1
1)()( untuk 1n .
2. Integral substitusi{ XE "substitusi" } pada fungsi aljabar, dapat digunakan untuk
menentukan hasil dari bentuk dxxf )( .
Dengan menggunakan substitusi{ XE "substitusi" } u = g(x), di mana g adalah
fungsi yang dapat diintegralkan. Jika substitusi itu mengubah f(x) dx menjadi
h (u) du dan apabila H sebuah anti turunan h, maka:
CxgHCuHduuhdxxf ))(()()()(
3. Operasi penjumlahan dan pengurangan pada integral{ XE "integral" }:
dxxgdxxfdxxgxf )()()()(
dxxgdxxfdxxgxf )()()()(
4. Integral tak tentu parsial dirumuskan:
)(),(, xvvxuuvduuvudv
Kalkulus 89
Soal-soal Latihan
1. dxx
x )51
2(
2. daa5 3
3
3. dttt2
1
4.
dss
s
52
4
2
5.
dx
x3
42
2
6. dxxx 332
7. dxxx 1422
8. dxxx
x
3 5
2
2
9.
dss
ss 7223
10.
dtt
t
64
24
2
11. dxxx 253 46
12.
da
a
a
2
2
110
5
13. daa
a
82
12
3
2
14. dxxxx 51052 4105
15.
dx
x
x
x
x
156
9
156
3 2
2
3
3
16.
dxxx
x
3 6242
820
Kalkulus 90
17. dttt
t
2186
64
2
18. Sebuah roket yang bergerak memiliki percepatan dengan persamaan
3)25()( tta meter per detik kuadrat. Kecepatan roket pada saat t = 0
adalah 10 meter per sekon. Berapakah kecepatan roket pada saat empat detik?
19. Truk pengangkut barang memindahkan box dengan cara meluncurkan balok
tersebut pada bidang miring dengan percepatan tetap sebesar 4 meter per detik.
Jika bidang miring memiliki panjang 40 meter dan box mencapai alas dalam
waktu 3, 25 detik. Berapakah kecepatan awal box tersebut?
(Rumus bantuan: atVVt 0 )
20. Pada perusahaan ABC terdapat biaya marginal untuk memproduksi makanan
ringan dengan persamaan berikut: MC = 6q2 – 10q + 4. Jika untuk
memproduksi satu makanan ringan tersebut diperlukan biaya Rp. 120.
tentukanlah :
a. Persamaan Biaya total pembuatan makanan ringan.
b. Besar biaya total, biaya rata-rata serta biaya marginal pada saat output
tiga makanan ringan.
(Rumus bantuan: Fungsi biaya total C = ∫ (MC) dq, Dicari Nilai Konstanta
Integrasi dengan memasukkan nilai q= 1 dan C (Biaya).
Kalkulus 91
BAB IX
INTEGRAL TAK TENTU FUNGSI{ XE "FUNGSI" } TRIGONOMETRI
Materi : Integral Tak Tentu Fungsi Trigonometri
Sub Materi : - Pendahuluan
- Rumus – rumus Dasar Integral Fungsi
Trigonometri
- Integral dengan Substitusi ”u” dengan Fungsi
Trigonometri
Tujuan
Setelah mengikuti pertemuan ini, mahasiswa diharapkan dapat menjelaskan
konsep integral{ XE "integral" } tak tentu dan teknik pengintegralan dengan
substitusi{ XE "substitusi" } pada fungsi trigonometri serta menghitung
integral tak tentu dengan substitusi secara konsep dan aplikasi.
Materi
9.1. Pendahuluan
Pada bab sebelumnya telah dibahas mengenai integral{ XE "integral" }
pada fungsi aljabar. Rumus dasar yang digunakan dalam integral, baik pada
fungsi aljabar maupun fungsi trigonometri pada umumnya sama. Integral pada
fungsi aljabar telah dituliskan dalam rumus – rumus dasar di bawah ini.
Integral tak tentu tidak memiliki nilai batas awal dan nilai batas akhir.
Sehingga pada penggunaannya dapat langsung memperhatikan rumus – rumus
dasar yang telah ditetapkan. Untuk lebih jelasnya perhatikan penjelasan
berikut ini:
Jika diketahui xxF sin)( maka turunannya adalah :
)(cos)(1 xfxxF . Bila operasi dibalik yakni diketahui xxf c o s)(
dapatkah di temukan )(xF sebagai anti turunan dari )(xf sedemikian hingga
)(cos)(1 xfxxF ? Jawabannya adalah Dapat. Caranya adalah sebagai
berikut:
xxF sin)( , sebab )(cos)(1 xfxxF atau
Kalkulus 92
5sin)( xxF , sebab )(cos)(1 xfxxF atau
15sin)( xxF , sebab )(cos)(1 xfxxF atau
10sin)( xxF , sebab )(cos)(1 xfxxF atau
………dan seterusnya sehingga dapat ditulis
CxxF sin)( untuk sembarang konstanta{ XE "konstanta" } C .
Ini benar sebab )(cos)(1 xfxxF
Ternyata anti turunan F fungsi trigonometri sama seperti halnya pada
fungsi aljabar yaitu dari f jawabnya tidak hanya satu. Dapat dikatakan bahwa
himpunan anti turunan F dari xxf cos)( adalah CxxF sin)( berlaku
untuk sembarang konstanta{ XE "konstanta" } C .
Himpunan anti turunan F dari f ditulis dalam bentuk integral{ XE "integral"
} (Leibniz) :
dxxfxF )()( (1-1)
ini berarti )()()()(1 xfdxxfdx
dxF
dx
dxF atau :
)()( xfdxxfdx
d (1-2)
Dari (1-1) dan (1-2) juga di peroleh rumusan :
CxFCxFddxCxFdx
ddxxF
dx
ddxxFdxxf )()()()()()( 1
, sehingga
CxFCxFd )()( (1-3)
atau ditulis
CxFxFd )()( (1-3 * )
kemunculan C ini disebut konstanta{ XE "konstanta" } integrasi.
Dari definisi dxxfxF )()( , maka )(xf disebut integran sedang )(xF
adalah hasil integrasi. Karena hasil penghitungan bertambah dengan
konstanta{ XE "konstanta" } sembarang C maka CxFdxxf )()( disebut
integral{ XE "integral" } tak tentu.
Pada penggunaan integral{ XE "integral" } fungsi trigonometri dapat
digunakan rumus-rumus dasar yang ada di bawah. Tidak hanya fungsi
Kalkulus 93
trigonometri dasar, tetapi juga tersedia untuk trigonometri fungsi hiperbolik.
Rumus – rumus di bawah dapat digunakan pada integral sederhana, sedangkan
untuk teknik pengintegralan yang rumit dapat menggunakan teori substitusi{
XE "substitusi" } yang akan dijelaskan pada bab ini.
9.2. Rumus – rumus Dasar Integral Fungsi Trigonometri
A.
11 Cxdxx cossin
12 Cxdxx sincos
13 Cxdxx tansec2
14 Cxdxx cotseccos 2
15 Cxdxxx sectansec
16 Cxdxxx seccoscotseccos
17 CxCxdxx seclncoslntan
18 CxCxdxx seccoslnsinlncot
19 Cxxdxx tanseclnsec
20 Cxxdxx cotseccoslnseccos
B.
21 Cxdxx coshsinh
22 Cxdxx sinhcosh
23 Cxdxxh tanhsec 2
24 Cxdxxech cothcos 2
25 Cxhdxxxh sectanhsec
26 Cxechdxxxech coscothcos
C.
Kalkulus 94
27 a. Cxarcx
dx
sin
1 2,
b. Ca
xarc
xa
dx
sin
22
28 a. Cxarcx
dx
tan
1 2,
b. Ca
xarc
axa
dx
tan1
22
29 a. Cxarcxx
dx
sec
12,
b. Ca
xarc
aaxx
dx
sec
1
22
30 a. 1,1
1ln
2
1
1
2
2
xCx
x
x
dx,
b. 22
22,ln
2
1axC
ax
ax
aax
dx
31 a.
Cx
x
xCxarc
xCxarc
x
dx
1
1ln
2
1
1,coth
1,tanh
1 2,
b. 22
22,ln
2
1axC
ax
ax
axa
dx
32 a. CxxCxarcx
dx
1lnsinh
1
2
2,
b. Caxxax
dx
22
22ln
33 a. CxxCxarcx
dx
1lncosh
1
2
2,
b. Caxxax
dx
22
22ln
34 a. Cxarcxx
dxx sin2
11
21 22 ,
b. Ca
xarc
axa
xdxxa sin
22
22222
Kalkulus 95
35 a. Cxxxx
dxx 1ln2
11
21 222
b. Caxxa
axx
dxax 22
22222 ln
22
36 a. Cxxxx
dxx 1ln2
11
21 222
b. Caxxa
axx
dxax 22
22222 ln
22
9.3. Integral dengan Substitusi ”u” pada Fungsi Trigonometri
Integral substitusi{ XE "substitusi" } pada fungsi trigonometri dapat
digunakan untuk menentukan hasil dari bentuk dxxf )( . Dengan
menggunakan substitusi u = g(x), di mana g adalah fungsi yang dapat
diintegralkan. Jika substitusi itu mengubah f(x) dx menjadi h (u) du dan
apabila H sebuah anti turunan h, maka:
CxgHCuHduuhdxxf ))(()()()(
Rumus dasar ini sama dengan rumus pada fungsi aljabar. Pada fungsi
trigonometri dapat digunakan logika yang sama. Metode substitusi{ XE
"substitusi" } ini memiliki peran yang sama untuk integral{ XE "integral" }-
integral yang dimainkan oleh Aturan Rantai terhadap turunan. Hal yang perlu
dicermati disini adalah bahwa Aturan Substitusi adalah Aturan Rantai dalam
kebalikannya.
Sebelum mengerjakan integral{ XE "integral" } substitusi{ XE
"substitusi" }, yang perlu diperhatikan adalah bentuk dasar integral yang sudah
sederhada ataukah belum. Jika bentuk integral belum sederhana, maka yang
perlu dilakukan adalah mengubahnya ke bentuk dasar trigonometri.
Berikut ini adalah rumus-rumus trigonometri yang dapat dijadikan
rumus penunjang dalam mengerjakan integral{ XE "integral" } trigonometri
untuk mengubah persamaan ke dalam bentuk dasar sebelum diintegralkan:
1. 1cossin 22 xx
2. xx 22 sectan1
Kalkulus 96
3. xecxan 22 coscot1
4. xx 2cos12
1sin 2
5. xx 2cos12
1cos 2
6. xxx 2sin2
1cos.sin
7. yxyxyx sinsin2
1cos.sin
8. yxyxyx coscos2
1sin.sin
9. yxyxyx coscos2
1cos.cos
10. xx2
1sin2cos1 2
11. xx2
1cos2cos1 2
Untuk lebih jelasnya mengenai integral{ XE "integral" } tak tentu pada Fungsi
Trigonometri, perhatikan pada beberapa contoh dan penyelesaiannya berikut ini:
1. dxxx )sin2(cos
2. xdx2sin2
3. dxxxx 42sin44 2
4. xdx5cos5
5. xdxx 2cos.2sin
Dari beberapa contoh soal di atas, di berikan penyelesaian berupa tahapan-tahapan
seperti berikut:
1. dxxx )sin2(cos
Untuk menyelesaikan soal di atas, dapat digunakan teknik pengintegralan
secara langsung. Hal ini dikarenakan bentuk integral{ XE "integral" } di atas
merupakan bentuk integral dasar.
- Langkah pertama adalah memecah persamaan tersebut menjadi:
Kalkulus 97
xdxxdx sin2cos
- Langkah kedua adalah langsung mengintegralkan masing-masing suku
dalam persamaan:
Cxx cos2sin
2. xdx2sin2
Jika penyelesaian nomor satu dapat diselesaikan secara langsung, maka nomor
dua ini tidak bisa diselesaikan secara langsung dikarenakan berpangkat lebih
dari satu (pangkat kuadrat).
- Langkah pertama adalah mengubah bentuk persamaan tersebut ke dalam
persamaan dasar trigonometri:
dxx2cos12
12
dxx2cos2
12
12
- Langkah kedua adalah memecah persamaan:
xdxdx 2cos2
1.22
1.2
- Langkah ketiga adalah mengubah persamaan tersebut menjadi:
)2(2
12cos xdxdx
Hal yang perlu diingat: 2)2(
dx
xd, sehingga )2(
21 xddx
- Langkah keempat adalah mengintegralkan persamaan:
Cxx 2sin2
1
3. dxxxx 42sin44 2
Untuk menyelesaikan soal ini dibutuhkan permisalan dengan langkah-langkah
sebagai berikut:
- Langkah pertama adalah mengubah bentuk persamaan:
duusin
dengan dxxduxxu 44;42 2
Kalkulus 98
karena du bernilai sama dengan konstanta{ XE "konstanta" } pada
persamaan awal maka persamaan akhir dikali 1, sehingga tidak ada
perubahan pada persamaan akhir.
- Langkah kedua adalah mengintegralkan persamaan menjadi:
uducos +c
- Langkah terakhir yaitu mengganti nilai u dan du:
cdxxxx )44)(42cos( 2
4. xdx5cos5
Berikut ini langkah-langkah menyelesaikan integral{ XE "integral" } dengan
pangkat tinggi, selain menggunakan teknik permisalan juga digunakan teknik
substitusi{ XE "substitusi" }.
- Langkah pertama adalah mengubah bentuk persamaan yang
memungkinkan ke bentuk permisalan dan substitusi{ XE "substitusi" }:
dxxx 4coscos5
- Langkah kedua yaitu memecah pangkat empat:
dxxx22coscos5
karena 1cossin 22 xx , maka
dxxx22sin1cos5
misalkan:
xdxduxu cos;sin
- Langkah ketiga yaitu substitusi{ XE "substitusi" } u:
duu2215
- Langkah keempat sebelum diintegralkan, persamaan didalam integral{
XE "integral" } dikuadratkan lebih dulu:
duuu 42215
- Langkah kelima adalah diintegralkan satu per satu:
Cuuu
53
5
1
3
25
- Langkah terakhir adalah diubah nilai u ke nilai awalnya:
Kalkulus 99
Cxxx 53 sinsin3
10sin5
5. xdxx 2cos.3sin
Berikut ini langkah-langkah menyelesaikan integral{ XE "integral" } yang
didalamnya terdapat perkalian trigonometri.
- Langkah pertama adalah mengubah bentuk perkalian di dalam
persamaan yang memungkinkan ke bentuk penjumlahan atau
pengurangan:
yxyxyx sin2
1sin
2
1cos.sin
- Langkah kedua yaitu memasukkan ke dalam persamaan integral{ XE
"integral" }:
dxxxdxxxxdxx 23sin2
123sin
2
12cos.3sin
dxxdxxxdxx sin2
15sin
2
12cos.3sin
- Langkah ketiga dengan mengintegralkan masing-masing bagian:
Cxxdxxdxx cos1.2
15cos
5
1
2
1sin
2
15sin
2
1
- Langkah akhir yaitu menyederhanakan hasil pengintegralan:
Cxx cos2
15cos
10
1
Kalkulus 100
RINGKASAN
1. Dari definisi dxxfxF )()( , maka )(xf disebut integran sedang )(xF
adalah hasil integrasi. Karena hasil penghitungan bertambah dengan
konstanta{ XE "konstanta" } sembarang C maka CxFdxxf )()( disebut
integral{ XE "integral" } tak tentu pada fungsi trigonometri.
2. Beberapa rumus dasar pada integral{ XE "integral" } tak tentu trigonometri:
a. Cxdxx cossin
b. Cxdxx sincos
c. CxCxdxx seclncoslntan
d. Cxxdxx tanseclnsec
e. Cxxdxx cotseccoslnseccos
3. Integral substitusi{ XE "substitusi" } pada fungsi trigonometri dapat digunakan
untuk menentukan hasil dari bentuk dxxf )( . Dengan menggunakan
substitusi u = g(x), di mana g adalah fungsi yang dapat diintegralkan. Jika
substitusi itu mengubah f(x) dx menjadi h (u) du dan apabila H sebuah anti
turunan h, maka:
CxgHCuHduuhdxxf ))(()()()(
Kalkulus 101
Soal-soal Latihan
1. dvv 2cos
2. d)2(cos 2
3. dxxx )6cos()4sin(
4. dxxx 2tan
5. d)tan(sec
6. d2sec
7. xdxx 22 cos2sin2
8. dxxxxx sincossincos
9. dxx2sec2
10. dxxx 3cos 32
11.
dx
xx
xx
sincos
sincos 22
(Note: sederhanakan persamaan terlebih dahulu!)
12. dvvv 22cos2 54
13. xdxx 5sin.7sin3
(Note: Lihat rumus dasar trigonometri!)
14. xdxx tancos2
(Note: Ingat bahwa x
xx
cos
sintan !)
15. dx
x2sin1
5
(Note: Ingat bahwa 1cossin 22 xx !)
16.
dxx
x
sin21
2sin
(Note: Ubahlah bentuk xxx cossin22sin ; Lakukan permisalan xu sin21 ;
Lakukan substitusi{ XE "substitusi" }!)
Kalkulus 102
17. xdx2sin2
(Note: Ingat bahwa 1cossin 22 xx !)
18. xdxx 4sincos
(Note: Ingat bentuk substitusi{ XE "substitusi" } u = sin x!)
19. dxxxx )sintan(sec
(Note: Lihat rumus dasar trigonometri!)
20. xdxxsincos2 2
(Note: Lihat rumus dasar trigonometri; Gunakan permisalan & Substitusi; u = cos
x!)
Kalkulus 103
BAB X
INTEGRAL TENTU FUNGSI{ XE "FUNGSI" } ALJABAR
Materi : Integral Tentu Fungsi Aljabar{ XE "Aljabar" }
Sub Materi : - Pendahuluan
- Definisi
- Sifat-sifat Integral Tentu Fungsi Aljabar{ XE
"Aljabar" }
- Penghitungan Integral Tentu Fungsi Aljabar{
XE "Aljabar" }
Tujuan
Setelah mengikuti pertemuan ini, mahasiswa diharapkan dapat menjelaskan
konsep integral{ XE "integral" } tentu pada fungsi aljabar dan teknik
pengintegralan serta menghitung integral tentu secara konsep dan aplikasi.
Materi
10.1. Pendahuluan
Pada bab sebelumnya telah di pelajari tentang integral{ XE "integral" }
tak tentu pada fungsi aljabar. Prinsipnya secara teknik pengintegralannya
adalah sama, yang membedakan adalah nilai batasnya. Integral tentu terdapat
nilai batas minimum atau nilai batas bawah dan nilai maksimum atau batas
atas. Sebelum mengenal lebih jauh tentang integral tentu, pengertian, sifat-
sifat integral tentu, teknik pengintegralannya, penyelesaiannya soal-soal, serta
penerapannya, perhatikan beberapa penjelasan di bawah ini. Pada gambar di
bawah ini terdapat kurva yang memiliki luasan dalam batasan tertentu, untuk
menghitung batasannya, maka diperlukan teknik pengintegralan dengan
memasukkan nilai batasannya.
Kalkulus 104
Gambar 10.1. Luas daerah bidang A
Daerah R dibatasi oleh grafik-grafik y = f(x), x = a, x = b dan y = 0, luasnya
A(R) ditentukan oleh:
A(R) = dxxfb
a )(
Jika gambar terletak dibawah sumbu X maka integral{ XE
"integral" } diatas bernilai negatif, karena luas daerah tidak mungkin
bilangan negatif maka nilai integral tersebut dimutlakkan. Perhatikan pula
gambar berikut ini:
Gambar 10.2. Luas daerah bidang B
Daerah R dibatasi oleh grafik-grafik x = f(y), y = c, y = d dan x = 0, luasnya
A(R) ditentukan oleh :
A(R) = dyyfd
c )(
Jika gambar terletak disebelah kiri sumbu Y maka integral{ XE "integral" }
diatas bernilai negatif, karena luas daerah tidak mungkin bilangan negatif
maka nilai integral tersebut dimutlakkan.
10.2. Definisi
Misalkan f sebuah fungsi yang didefinisikan pada selang tertutup [a,b]. Jika,
Kalkulus 105
n
iii
Pxxf
10)(lim
bernilai, f dikatakan terintegralkan pada [a,b]. Selanjutnya b
a
dxxf )( disebut
Integral Tentu (Integral Riemann) f dari a ke b, dan didefinisikan:
b
a
dxxf )( =
n
iii
Pxxf
10)(lim
Kembali ke lambang b
a
dxxf )( , boleh disebut bahwa a titik ujung bawah dan b
titik ujung atas integral{ XE "integral" }. Tetapi kebanyakan referensi
menyebutnya istilah batas bawah dan batas atas integrasi.
Pada definisi b
a
dxxf )( , secara implisit kita menganggap bahwa ba .
Perhatikan rumus-rumus berikut:
Berdasarkan rumus dasar di atas, dapat dituliskan contoh berikut ini:
3
3
2 0dxx
2
4
2
4
2
2 dxxdxx
Variabel x merupakan peubah{ XE "peubah" } dummy (dummy
variable), dimana x dapat diganti dengan huruf sebarang lainnya.
b
a
b
a
b
a
b
a
dssfduufdttfdxxf )()()()(
Tidak semua fungsi dapat diintegrasikan pada selang tertutup [a, b].
Misalnya fungsi tak terbatas.
a
a
dxxf 0)(
b
a
a
b
badxxfdxxf ,)()(
Kalkulus 106
01
01
)( 2
xjika
xjikaxxf
Pada teorema keintegrasian dijelaskan bahwa jika f terbatas pada [a, b]
dan f kontinyu di sana, kecuali pada sejumlah titik yang berhingga, maka f
terintegrasikan pada [a, b]. Khususnya jika f kontinyu pada seluruh selang
tertutup [a, b], maka f terintegrasikan pada [a, b].
Berikut ini adalah fungsi – fungsi yang dapat diintegrasikan pada
selang tertutup [a, b]:
1. Fungsi polinomial{ XE "polinomial" }
2. Fungsi sinus dan kosinus
3. Fungsi rasional{ XE "rasional" },
dengan syarat selang [a, b] tidak mengandung titik – titik yang
mengakibatkan penyebut bernilai 0.
10.3. Sifat-sifat Integral Tentu Fungsi Aljabar{ XE "Aljabar" }
Terdapat beberapa sifat integral{ XE "integral" } tentu pada fungsi aljabar
yang dapat digunakan untuk menyelesaikan berbagai macam kasus.
a. Sifat Tambahan pada Selang
Jika f terintegralkan pada suatu selang yang mengandung tiga titik a, b
dan c, maka:
dxxfc
a )( = dxxf
b
a )( + dxxf
c
b )(
dengan catatan tidak mempedulikan orde a, b dan c.
Contoh dari sifat pertama:
a) dxxdxxdxx 2
1
21
0
22
0
2
b) dxxdxxdxx 2
3
23
0
22
0
2
c) dxxdxxdxx
2
1
21
0
22
0
2
b. Sifat Perbandingan
Kalkulus 107
Jika f dan g terintegrasikan pada selang [a, b] dan jika
)()( xgxf untuk semua x dalam [a, b], maka:
b
a
b
a
dxxgdxxf )()(
c. Sifat Keterbatasan
Jika f dan g terintegrasikan pada selang [a, b] dan Mxfm )( untuk
semua x dalam [a, b], maka:
)()()( abMdxxfabm
b
a
d. Sifat Kelinearan
Jika f dan g terintegrasikan pada selang [a, b] dan k adalah kostanta.
Maka kf dan f+g terintegrasikan, sehingga:
a)
b
a
b
a
dxxfkdxxkf )()(
b)
b
a
b
a
b
a
dxxgdxxfdxxgxf )()()]()([
c)
b
a
b
a
b
a
dxxgdxxfdxxgxf )()()]()([
10.4. Perhitungan Integral Tentu Fungsi Aljabar{ XE "Aljabar" }
Untuk lebih memahami penerapan teori dalam perhitungan integral{
XE "integral" } tentu pada fungsi aljabar, perhatikan beberapa contoh berikut
ini:
1.
1
1
2dxx
2.
2
0
2 )32( dxxx
3. dwww
2
4
1
2 2
11
Kalkulus 108
4.
1
0
22 )2( dxxx
5.
1
0
2 133 dxxx
Dari beberapa contoh soal di atas, di berikan penyelesaian berupa tahapan-
tahapan seperti berikut:
1.
1
1
2dxx
Ada dua langkah penyelesaian soal di atas:
- Integralkan 2x
1
13
x
- Masukkan nilai batas awal dan akhir
[(1 3 )- 31 ] = 2
Jadi hasil dari pengitegralan persamaan di atas sebesar 2.
2.
2
0
2 )32( dxxx
Ada dua langkah penyelesaian soal di atas:
- Integralkan 232 xx
0
232 xx
- Masukkan nilai batas awal dan akhir
40022 3232
Jadi hasil dari pengitegralan persamaan di atas sebesar -4.
3. dwww
2
4
1
2 2
11
Ada dua langkah penyelesaian soal di atas:
Kalkulus 109
- Integralkan 2
2 2
11w
w
Untuk lebih mudahnya persamaan di atas diubah dulu menjadi:
22
2
1ww
Hasil integralnya: 31
3
1
2
1ww
1
4
6
1 31
ww
- Masukkan nilai batas awal dan akhir
33 )1(
6
1
1
14
6
1
4
1
6
11
6
64
4
1
6
1
6
6
12
128
12
3
6
5
12
125
12
115
12
10
12
125
Jadi hasil dari pengitegralan persamaan di atas sebesar 12
115
4.
1
0
22 )2( dxxx
Ada tiga langkah penyelesaian soal di atas:
- Uraikan pangkat dua pada persamaan di dalam integral{ XE
"integral" }
234 44 xxx
- Integralkan 234 44 xxx
0
144 234 xxx
Kalkulus 110
- Masukkan nilai batas awal dan akhir
901.41.41 234
Jadi hasil dari pengitegralan persamaan di atas sebesar 9.
5.
1
0
2 133 dxxx
Ada tiga langkah penyelesaian soal di atas:
- Ubah ke bentuk substitusi{ XE "substitusi" }
13 2 xu
1
0
21
6.3
6
6
x
duux
x
dudx
xdxdu
- Integralkan persamaan
0
1.
3
2
2
12
3
u
- Masukkan nilai awal dan akhir
0
1)13(
3
12
32
x
0
1)1)0(3()1)1(3(
3
12
322
32
3
7
)1()2(3
12
32
32
Jadi hasil dari pengitegralan persamaan di atas sebesar 3
7
Kalkulus 111
RINGKASAN
1. Integral Tentu (Integral Riemann) f dari a ke b, dan didefinisikan:
b
a
dxxf )( =
n
iii
Pxxf
10)(lim
2. Pada definisi b
a
dxxf )( , secara implisit dengan menganggap bahwa ba , maka:
a
a
dxxf 0)(
b
a
a
b
badxxfdxxf ,)()(
3. Berikut ini adalah fungsi – fungsi yang dapat diintegrasikan pada selang
tertutup [a, b]:
a. Fungsi polinomial{ XE "polinomial" }
b. Fungsi sinus dan kosinus
c. Fungsi rasional{ XE "rasional" },
dengan syarat selang [a, b] tidak mengandung titik – titik yang
mengakibatkan penyebut bernilai 0.
4. Terdapat beberapa sifat integral{ XE "integral" } tentu pada fungsi aljabar yang
dapat digunakan untuk menyelesaikan berbagai macam kasus.
a. Sifat Tambahan pada Selang
b. Sifat Perbandingan
c. Sifat Keterbatasan
d. Sifat Kelinearan
Kalkulus 112
Soal-soal Latihan
1.
2
0
2 )( dxxx
2.
3
1
3)23( dtt
3.
2
1
34
31
)32( dxxx
4.
2
1
)22()62( dxxx
(Note: Sederhanakan persamaan!)
5.
3
1
)1( dxxx
6.
2
1
3)1(
1dx
tt
7.
4
0
2 )12( dxxxx
(Note: Integral Substitusi!)
8.
5
1
2)2(
1dt
t
9.
2
1
32 13 dxxx
(Note: Integral Parsial!)
10.
3
2
2)32( x
dx
(Note: Integral Substitusi!)
11.
3
2
2)32(
2
x
dx
(Note: Integral Parsial!)
Kalkulus 113
12.
2
0
4)106(2 dxxx
(Note: Integral Substitusi!)
13.
3
0
2 )24(22 dxxxx
(Note: Integral Parsial!)
Tentukan nilai p integral{ XE "integral" } di bawah ini!
14.
p
dxx3
963
88
15.
0
2 8)82(p
dxxx
16.
p
x
dx2
1
2 2
33
17. Hitung Luas Daerah yang dibatasi oleh kurva dengan persamaan
016122 2 xx dan sumbu x!
(Note: Batas integral{ XE "integral" } diperoleh dari titik potong kurva
terhadap sumbu 0 yx )
18. Dua elektron memiliki muatan negatif sebesar 1,6. 10-19
C. Berapa besar gaya
yang diperlukan untuk memisahkan dua elektron yang memiliki jarak awal
1µm, sehingga jarak akhir dua elektron tersebut menjadi 4µm.
(Note: Hukum Coulomb = 2
21
r
qkqF ; jika dimasukkan ke dalam persamaan
integral{ XE "integral" } menjadi b
a
dxx
qkqF
2
21; k = konstanta{ XE
"konstanta" } gaya listrik yang besarnya 9.109 N m
2 C
−2)
19. Sebuah bola pantul dilemparkan ke atas dengan persamaan kecepatan gerak
bola, yaitu v = (t – 1) m/s. Berapakah percepatan bola selama 2 detik dan jarak
yang dapat ditempuh bola selama 10 detik? Kapankah bola akan membentur
tanah? (dengan mengabaikan gesekan udara)
(Note: dt
dstv
dt
dvta )(;)( )
Kalkulus 114
20. Laju perubahan muatan listrik terhadap waktu dinamakan arus listrik. Apabila
1/3t2+2t Coulomb muatan mengalir melalui suatu kawat penghantar dalam t
detik. Ingat bahwa Arus Listrik (I) =dt
dQ.
a) Berapakah arus listrik dalam Ampere (Coulomb per detik) setelah 3 detik?
b) Kapankah suatu sekering 20 Ampere yang dipasang pada saluran itu akan
putus?
Kalkulus 115
BAB XI
INTEGRAL TENTU FUNGSI{ XE "FUNGSI" } TRIGONOMETRI
Materi : Integral Tentu Fungsi Trigonometri
Sub Materi : - Pendahuluan
- Sifat – sifat Integral Tentu Fungsi Trigonometri
- Integral Tentu dengan Substitusi ”u” pada
Fungsi Trigonometri
Tujuan
Setelah mengikuti pertemuan ini, mahasiswa diharapkan dapat menjelaskan
konsep integral{ XE "integral" } tentu pada fungsi trigonometri dan teknik
pengintegralan dengan substitusi{ XE "substitusi" } serta menghitung integral
tentu secara konsep dan aplikasinya.
Materi
11.1. Pendahuluan
Perhitungan integral{ XE "integral" } tentu secara umum telah
dijelaskan pada bab sebelumnya yaitu integral tentu fungsi aljabar, akan tetapi
ada beberapa teori yang membedakan pada penggunaan sifat-sifat
trigonometri. Jika dalam integral tentu fungsi aljabar telah dikenalkan teori
substitusi{ XE "substitusi" }, maka pada integral tentu fungsi trigonometri juga
terdapat teori substitusi yang akan dijelaskan pada sub bab berikut ini. Pada
perhitungan integral tentu trigonometri tidak terlepas dari rumus – rumus dasar
trigonometri yang telah dijelaskan pada bab sebelumnya, karena rumus –
rumus dasar tersebut akan digunakan untuk mengubah persamaan trigonometri
dalam integral yang tidak bisa langsung diintegralkan. Berikut ini adalah sifat
– sifat integral tentu yang terdapat dalam fungsi trigonometri.
11.2. Sifat – Sifat Integral Tentu Fungsi Trigonometri
1. Sifat Penambahan Selang
Kalkulus 116
Jika f terintegralkan pada suatu selang yang mengandung tiga titik a, b
dan c, maka:
dxxfc
a )( =
dxxfb
a )(
+ dxxfc
b )(
2. Sifat Periodik{ XE "Periodik" }
Jika f periodik dengan periode p, maka:
b
a
pb
pa
dxxfdxxf )()(
Suatu fungsi f merupakan fungsi periodik jika terdapat suatu bilangan
p sedemikian rupa sehingga f(x+p) = f(x) untuk semua nilai x dalam
daerah asal f. Bilangan positip p yang terkecil disebut periode dari
fungsi f. Fungsi – fungsi trigonometri merupakan contoh dari fungsi –
fungsi yang periodik.
Contoh:
Hitunglah: dxx2
0
sin
Jika dilihat dari keperiodikannya, maka fungsi tersebut periodik
dengan periode . Perhatikan gambar berikut.
Gambar 11.1. Gambar fungsi yang periodik
Karena periodik seperti yang telah di jelaskan dengan gambar, maka
dapat diselesaikan seperti di bawah ini:
2
0
2
0
sinsinsin dxxdxxdxx
dxxdxx sinsin0
Kalkulus 117
4
)2(2
0cos2
sin20
x
xdx
3. Sifat Simetri
Jika f fungsi genap{ XE "genap" } [f(-x) = f(x)] , maka:
dxxfa
a
)( = 2 dxxfa
0
)(
Jika f fungsi ganjil{ XE "ganjil" } [f(-x) = - f(x)], maka:
dxxfa
a
)( = 0
Contoh :
04
cos24
cos dxx
dxx 24
4
1.
4cos8
0
dxx
11.3. Integral Tentu dengan Substitusi ”u” pada Fungsi Trigonometri
Terdapat beberapa langkah sebelum sebuah persamaan trigonometri dapat
langsung diintegralkan, diantaranya adalah teknik substitusi{ XE "substitusi"
}.
Misal g mempunyai turunan kontinu pada [a,b] dan f kontinu pada daerah
nilai g, maka:
duufdxxgxgfbg
ag
b
a
)(
)(
)()('))((
Untuk membuat sebuah substitusi{ XE "substitusi" } dalam integral{
XE "integral" } tentu, terdapat beberapa langkah yang harus dipenuhi:
Membuat substitusi{ XE "substitusi" } dalam integran
Membuat perubahan yang tepat dalam memisalkan ke bentuk
diferensial
Mengubah limit - limit dari a dan b menjadi g(a) dan g(b)
Kalkulus 118
Perhatikan contoh berikut untuk memperjelas teori:
1. Hitunglah:
2
cos2 xdx
Penyelesaian:
1
10
2sinsin
2
sincos2
2
xxdx
2. Hitunglah:
0
2 )sin( dxxx
Penyelesaian:
Misal : 2xu
duxdx
xdxdu
2
1
2
Masukkan ke dalam persamaan awal:
0
1.2
1)1(
2
1
0cos2
1cos
2
1
0cos
2
1
0cos
2
1
)2
1(sin
22
2
0
x
u
duu
3. Hitunglah:
3/
0
2 sin2
1cos4
xdxx
Kalkulus 119
Untuk menyelesaikan integral{ XE "integral" } di atas diperlukan
beberapa rumus trigonometri dasar yang telah dibahas pada bab
sebelumnya.
(i) 12
1cos2cos 2 xx
)cos1(2
1
2
1cos 2 xx
(ii) xxx cossin22sin
xxx 2sin2
1cossin
Ubahlah )cos1(2
1
2
1cos 2 xx , sehingga persamaan menjadi:
3/
0
sin)1(cos2
1.4
xdxx
3/
0
)sinsin(cos2
dxxxx
Ubahlah xxx 2sin2
1cossin , sehingga persamaan menjadi:
4
7
8
72
4
5
8
32
14
1
2
1
8
12
0cos0cos4
160cos120cos
4
12
03cos2cos
4
12
)sin2sin2
1(2
3/
0
xx
dxxx
4. Hitunglah:
2/
0
cos1
dxx
Kalkulus 120
Untuk menyelesaikan integral{ XE "integral" } di atas diperlukan
rumus trigonometri dasar yang telah dibahas pada bab sebelumnya.
2cos1sin2
sin212cos
2
2
Substitusikan 2
x ; sehingga x
xcos1`
2sin2 2
dxx
dxx
2/
0
2
2/
02
sin2cos1
dxx
2/
02
sin2
karena 2
sin)(x
xf tidak bernilai negative pada [2
,0
]; maka dapat
dituliskan 2
sin2
sinxx
2/
0 02
2cos22
2sin2
xdx
x
222
12
222
0cos4
cos22
02
2cos22
x
5. Hitung volume benda putar yang dibatasi oleh y = sin x untuk x0
dan diputar mengelilingi sumbu x sejauh 2 . Perhatikan gambar di bawah
ini.
Gambar 11.2 Batas Volume Benda Putar
Kalkulus 121
Kalkulus 122
Penyelesaiannya:
Persamaan integral{ XE "integral" } untuk volume:
0
2sin xdxV
)0
2sin4
1
2
1(
2cos2
1
2
1
0
xx
dxx
2
2
1
0.2sin4
10.
2
12sin
4
1
2
1
6. Buktikan bahwa persamaan keliling lingkaran untuk lingkaran yang
memiliki jari – jari sebesar r adalah r2 . (Gunakan bantuan gambar di
bawah!)
Gambar 11.3. Representasi sudut dalam Lingkaran
Penyelesaiannya:
dari gambar di atas, dapat dibuat persamaan sebagai berikut:
try
trx
sin
cos
Pada persamaan trx cos , maka trdt
dxsin
Pada persamaan try sin , maka trdt
dycos
2
1
22t
t
dtdt
dx
dt
dyKeliling
Kalkulus 123
2
0
22 cossin dttrtKeliling
2
0
222 cossin dtttrKeliling
2
0
dtrKeliling
0
2rtKeliling
)02( rKeliling
rKeliling 2
Kalkulus 124
RINGKASAN
1. Sifat – Sifat Integral Tentu Fungsi Trigonometri
4. Sifat Penambahan Selang
Jika f terintegralkan pada suatu selang yang mengandung tiga titik a, b
dan c, maka:
dxxfc
a )( =
dxxfb
a )(
+ dxxfc
b )(
5. Sifat Periodik{ XE "Periodik" }
Jika f periodik dengan periode p, maka:
b
a
pb
pa
dxxfdxxf )()(
6. Sifat Simetri
Jika f fungsi genap{ XE "genap" } [f(-x) = f(x)] , maka:
dxxfa
a
)( = 2 dxxfa
0
)(
Jika f fungsi ganjil{ XE "ganjil" } [f(-x) = - f(x)], maka:
dxxfa
a
)( = 0
2. Fungsi g mempunyai turunan kontinu pada [a,b] dan f kontinu pada daerah
nilai g, maka:
duufdxxgxgfbg
ag
b
a
)(
)(
)()('))((
Untuk membuat sebuah substitusi{ XE "substitusi" } dalam integral{
XE "integral" } tentu, terdapat beberapa langkah yang harus dipenuhi:
Membuat substitusi{ XE "substitusi" } dalam integran
Membuat perubahan yang tepat dalam memisalkan ke bentuk
diferensial
Mengubah limit - limit dari a dan b menjadi g(a) dan g(b)
Kalkulus 125
Kalkulus 126
Soal-soal Latihan
1.
dxxx )cos(sin
(Note: Gunakan bantuan sifat simetri!)
2. dxx
x
2/
2/cos1
sin
(Note: Gunakan bantuan sifat simetri!)
3. dxx
x
2/
0
3cos
sin
(Note: Gunakan bantuan metode substitusi{ XE "substitusi" }!)
4.
0
)cos32sin2( dxxx
5.
2/
0
)cos2sin3(
dxxx
6.
4/
0
)2sin(
dxx
7.
2/
4/
2)cos(sin
dxxx
(Note: Sederhanakan persamaan terlebih dahulu!)
8.
xdxx 22 cossin
(Note: Gunakan bantuan sifat trigonometri!)
9. 8/
0
)3cos()5sin(
dxxx
10.
2/
2 cossin2 xdxx
11.
2/
2cos2 xdx
12.
2/
3/
)1cos4(
dxx
Kalkulus 127
13.
3/
0
2cos1
dxx
14. 2/
0
3cossin
xdxx
15. 2/
0
3
cos
sin
dxx
x
16. 2/
3/
2sectan
xdxx
17.
4/
2/
)cos6sin2(
dxxx
18.
3/
0
2 )2cos4(
dxx
19. Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh:
2
30;sin xxy
20. Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh:
2;cos;sin xxyxy
Kalkulus 128
Daftar Pustaka
1. Purcell, E J. Varberg, Dale. Rigdon, S E. 2004. Calculus 8th
Edition
(Terjemahan, Jilid 8). Erlangga. Jakarta.
2. Koko M. 1999. Kalkulus. Penerbit Erlangga. Jakarta.
3. Frank, Ayres. 1998. Theory and Problems of Differential and Integral
Calculus. 2nd
Edition (Terjemahan, Edisi Kedua). Penerbit Erlangga.
Jakarta.
4. Lucy, I. 1998. Kalkulus I. STIKOM. Surabaya.
5. Baisuni, HM. Hasyim. 2005. Calculus. UI-Press. Jakarta.
6. Sudaryono. 2012. Langkah Mudah Belajar Kalkulus. Penerbit Andi.
Yogyakarta.
7. Harshbarger, R J. 1990. Calculus with applications. DC Heath & Co.
Lexington.
8. Dubinsky E D. 1992. Calculus, Concept and Computer Preliminary
Version. West Pub. Co. New York.
Kalkulus 129
Indeks
A
Aljabar, 1, 8, 9, 42, 44, 48, 50, 71, 76, 81, 103, 106, 107
D
domain, 14, 18
E
eksponensial, 1, 20, 28, 62, 64, 66, 68, 77
F
FUNGSI, 1, 20, 53, 62, 71, 91, 103, 115
G
ganjil, 13, 117, 124 genap, 13, 117, 124
H
Hiperbolik, 20, 25, 26, 27
I
identitas, 1 IMPLISIT, 71 integral, 31, 81, 82, 83, 84, 85, 86, 88, 91, 92, 95, 96, 98, 99, 100, 103, 104, 105, 106, 107, 109, 111, 113, 115,
117, 119, 120, 122, 124 invers, 1, 14, 15, 18, 23, 28
K
kodomain, 18 komposisi, 1, 7, 18 konstanta, 8, 16, 20, 28, 44, 45, 50, 81, 82, 84, 86, 92, 98, 100, 113 Kuadrat, 8, 18
L
Limit, 30, 31, 32, 34, 35, 36, 40 Linier, 9, 18 Logaritma, 20, 23
N
notasi, 2, 18, 30, 31, 40, 62, 68
P
Pangkat, 1, 8, 16, 18, 45, 50 PARSIAL, 71 Periodik, 116, 124 peubah, 16, 20, 28, 31, 35, 40, 105
Kalkulus 130
polinomial, 106, 111
R
rasional, 36, 106, 111 relasi, 2, 18
S
sekawan, 32 siklometri, 14 substitusi, 81, 84, 85, 88, 91, 93, 95, 98, 100, 101, 102, 110, 115, 117, 124, 126
T
transenden, 20 Turunan, 42, 44, 48, 49, 50, 51, 53, 54, 55, 56, 57, 59, 62, 63, 64, 65, 71, 75, 76, 77, 78
V
variabel, 3, 18, 30, 75, 78, 85, 86
Top Related