HOME

SK/KD

MATERI

SOAL

REFERENSI

QUIZ

PENYUSUN

LIMIT FUNGSI ALJABAR

1

HOME

SK/KD

MATERI

SOAL

REFERENSI

QUIZ

PENYUSUN

SK/KD

SANDAR KOMPETENSI1.Mendiskripsikan konsep limit fungsi aljabar dengan menggunakan konsep nyata dan menerapkannya. 2.Merumuskan aturan dan sifat limit fungsi ljabar melalui pengamatan contoh contoh.

KOMPETENSI DASARSetelah mengikuti pembelajaran limit fungsi,siswa mampu:1.Menghayati pola hidup disiplin,krtis,bertanggung jawab,konsisten dan jujur serta menerapkannya dalam kehidupan sehari hari.2.menghayati kesadaran hak dan kewajiban serta toleransi terhadap berbagai perbedaan didlam masyarakat majemuk sebagai gambaran menerapkan nilai nilai matematis.3.memahami konsep limit fungsi aljabar dengan menggunakan konteks nyata dan menerapkannya.4.merumuskan aturan dan sifat limit fungsi aljabar melalui pengamatan contoh contoh.5.Memilih strategi yang efektif dan menyajikan model matematika dalam memecahkan masalah nyata tentang limit fungsi aljabar.

HOME

SK/KD

MATERI

SOAL

REFERENSI

QUIZ

PENYUSUN

LIMIT FUNGSI ALJABAR

HOME

SK/KD

MATERI

SOAL

REFERENSI

QUIZ

PENYUSUN

Bab 10.LIMIT FUNGSI

LIMIT FUNGSI ALJABAR

Dasar pemikiran limit atau sering disebut nilai batas adalah pendekatan terhadap suatu nilai atau harga tertentu. Jadi harga batas (limit) bukanlah harga yang sebenarnya melainkan harga yang mendekati.

Bentuk umum limit sebuah fungsi f(x)

)x(flimax ®

artinya menghitung nilai fungsi f(x) pada nilai x mendekati nilai a. Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh berikut ini.

Nilai-nilai fungsi terletak di sekitar x = 1, dapat

dilihat pada tabel berikut :1x1xlim

2

1x --

®

Penulisan limit secara matematika soal di atas sebagai berikut :

Diketahui : dengan daerah asal Df = { x| x R dan }

Carilah nilai limit fungsi f(x) pada titik x mendekati 1 1x1x)x(f

2

--= Î 1x ¹

Jawab :

1x1xlim

2

1x --

®

x 0,7 0,8 0,9 0,99 0,999   1,001 1,01 1,1 1,2 1,3

  1,7 1,8 1,9 1,99 1,999 . . . 2,001 2,01 2,1 2,2 2,31x1x2

00,1

Berdasarkan tabel di atas, mendekati nilai 2 ketika

x mendekati 1, baik dari sisi kiri maupun dari sisi kanan 1x1x)x(f

2

--=

Langkah – langkah yang perlu diperhatikan tentang

yaitu : 1x1x)x(f

2

--=

1. untuk x = 1 ( bentuk tak

tentu dan tidak didefenisikan) 1x1x)x(f

2

--= ®

00)1(f =

00

2. Untuk dapat disederhanakan

dengan pembilang diuraikan menjadi faktor-faktornya.1X 1x)x(f1x

2

--=®¹

211)1(f)1x(

)1x)(1x()x(f1x1x)x(f

2=+=®

-+-=®

--=

Pada grafik di bawah ini dapat dilihat bahwa nilai fungsi pada x=1 tidak terdefenisi karena pembagian dengan 0. Tetapi limit (dibaca x mendekati 1) menghasilkan 2

1x ®

y

x

3

2

1

0 1 2

1x1x2

)x(fy

Pada x = 1 fungsi f(x) tidak terdefenisi karena pembagian dengan 0 atau penyebutnya bernilai 0

Tetapi limit menghasilkan 2 1x ®

Contoh :

Tentukan nilai dari

Untuk semua fungsi limit tahap pertama yang harus

dilakukan adalah : metode substitusi

)x(flimax ®

Jawab :

)1x3(lim 2

2x+

®

131)2(3)1x3(lim 22

2x=+=+

®

13)1x3(lim,Jadi 2

2x=+

®

2. Metode pemaktoran

Atau

Setelah dilakukan substitusi ternyata bernilai

Maka, Lakukan :0

0

3. Merasionalkan bentuk akar

4. Bagi semua fungsi dengan variabel yang pangkatnya tertinggi

Jika nilai yang didapat ternyata bernilai

¥¥

2. Metode Pemfaktoran

Contoh :

Jawab :

1x10x9x

lim2

1x --+

®

1x10x9x

lim2

1x --+

® )1x()10x)(1x(

lim1x -

+-=

®

)10x(lim1x

+=®

)101( +=

11=

111x

10x9xlim,Jadi

2

1x=

--+

®

00

=

3. Metode merasionalkan bentuk akar dengan cara mengalikan akar dengan bentuk sekawannya

Contoh :

Jawab :2x

1x43lim

2x -+-

®

2x1x43

lim2x -

+-®

=1x431x43

x2x

1x43lim

2x ++++

-+-

®

)1x43)(2x()1x4(3

lim22

2x ++-+-

=®

)1x43)(2x()1x4(9

lim2x ++-

+-=

®

)1x43)(2x(x48

lim2x ++-

-=

®

--

)1x43)(2x()2x(4

lim2x ++-

=®

00

=

)1x43) (2x()2x(4

lim2x ++-

--=

®

)1x43(4

lim2x ++

-=

®

1)2(434

++-

=

334

+-

=

64-

=

-32=

32

2x1x43

lim,Jadi2x

-=-

+-®

4. Metode membagikan dengan pangkat tertinggi, berguna untuk limit mendekati tak terhingga

Contoh :

Jawab :

3x6x21x3x

lim 2

2

x -++-

¥®

¥¥

Jika digunakan metode substitusi langsung akan

diperoleh (bentuk tak tentu).

Oleh karena itu bentuk dimodifikasi

terlebih dahulu dengan cara membagi dengan derajat pangkat tertinggi, dalam hal ini berderajar 2, maka diperoleh :

3x6x21x3x

2

2

-++-

¥¥

=

3x6x21x3xlim 2

2

x -++-

¥®2

2

2

2

x3x6x2

x1x3x

xlim -+

+-

¥®=

2

2

x3

x6

x1

x3

x 21

lim -++-

=¥®

002001

-++-=

21

3x6x21x3xlim,Jadi 2

2

x=

-++-

¥®

Teorema 2 : Jika f(x) = k, maka , untuk a bilangan real

Dapat dikatakan bahwa nilai limit suatu fungsi identitas sama dengan nilai pendekatan peubahnya

Teorema 1 : Jika f(x) = k, maka untuk k dan a bilangan real

Dapat dikatakan bahwa nilai limit suatu fungsi konstanta sama dengan konstanta itu

Terdapat 7 (tujuh) teorema atau sifat-sifat limit fungsi aljabar, yaitu :

kklimax

=®

x)x(flimax

=®

Teorema 5 :

Limit hasil kali fungsi-fungsi sama dengan hasil kali masing-masing limit fungsi

Teorema 4 :

Limit hasil kali fungsi-fungsi sama dengan hasil kali masing-masing limit fungsi

Teorema 3; Jika f(x) = g(x) + h(x), maka

Limit jumlah atau selisih fungsi-fungsi sama dengan jumlah atau selisih masing-masing limit fungsi

)x(hlim)x(glim)x(h)x(glimaxaxax ®®®

±=+

{ }{ })x(glim.)x(flim)}x(g).x(f{limaxaxax ®®®

=

)x(glim

)x(flim

)x(g)x(flim

ax

ax

ax®

®

®=

Teorema 6 :

Limit hasil bagi fungsi-fungsi sama dengan hasil bagi masing-masing limitnya dengan penyebut limit tidak sama dengan nol

)x(glim

)x(flim

)x(g)x(flim

ax

ax

ax®

®

®=

Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh penggunaan teorema-teorema tersebut dalam contoh soal.

Jawab :

Hitunglah nilai limit berikut :

2x4lim4x

+®

2x4lim4x

+® 2limx4lim

4x4x ®®+=

2limxlim44x4x ®®

+=

2)4(4 +=

10=2x4lim,Jadi

4x+

®

)x(hlim)x(glim)x(h)x(glimaxaxax ®®®

±=+3Teorema

10=

Jawab :

Hitunglah nilai limit berikut :

2x4limax

+®

2x4limax

+®

2limx4lim4x4x ®®

+=

2limxlim44x4x ®®

+=

2)4(4 +=

10=2x4lim,Jadi

4x+

®

4Teorema{ } { }{ })x(glim)x(flim)x(g).x(flim

axaxax ®®®=

Jawab :

Hitunglah nilai limit berikut :

2x4limax

+®

2x4limax

+®

2limx4lim4x4x ®®

+=

2limxlim44x4x ®®

+=

2)4(4 +=

10=2x4lim,Jadi

4x+

®

1 dan 2Teoremak)x(flimdankklim

axax==

®®

4. Bagi semua fungsi dengan variabel yang pangkatnya tertinggi

Jika nilai yang didapat ternyata bernilai

¥¥

2. Metode Pemfaktoran

Contoh :

Jawab :

1x10x9x

lim2

1x --+

®

1x10x9x

lim2

1x --+

® )1x()10x)(1x(

lim1x -

+-=

®

)10x(lim1x

+=®

)101( +=

11=

111x

10x9xlim,Jadi

2

1x=

--+

®

00

=

HOME

SK/KD

MATERI

SOAL

REFERENSI

QUIZ

PENYUSUN

SOAL LATIHAN

HOME

SK/KD

MATERI

SOAL

REFERENSI

QUIZ

PENYUSUN

Soal 1

Soal 2

HOME

SK/KD

MATERI

SOAL

REFERENSI

QUIZ

PENYUSUN

BUKU PAKET

HOME

SK/KD

MATERI

SOAL

REFERENSI

QUIZ

PENYUSUN

PENYUSUNHOTNA PURBA