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Chapitre IV

LES efforts DE la Rsistance des Matriaux

ENAU 2010-2011 - RDM - BEN SAID B. 2010-

1

1 notions de forces internes : 1.1- Introduction :

ENAU 2010-2011 - RDM - BEN SAID B.

2

1.2- Relation entre forces internes et efforts externes : F1 F2coupe

F1 q

F2

F1df 1

F2 qdf 2 df 3 df i -df 2 -df 3 -df i "D" -df 1

RA

RB

RA

" G"

On note :

{F} {F}

G

: ensemble des forces externes appliques sur la partie gauche " G " : ensemble des forces externes appliques sur la partie droite " D "

D


3

1.3- Rduction des forces internes :

df i1 = df iX + df iY + df iZF1

M1

q

F2 M2

Y

df i1 df iyRA RB

df iz df iXX

x

M

CZ


4

Y

FYMz

FZZ

C

My

X

FXMx

S : section de coupeENAU 2010-2011 - RDM - BEN SAID B. 5

2 les efforts internes dans le cas plan : 2.1- Dfinition du cas plan :

Poutre plan moyen


6

Y

N(x) : effort normal (selon X) T(x) : effort tranchant (selon Y) TMCX

M(x) : moment de flexion (autour de Z)

NZ

Rduction des efforts intrieurs dans le cas plan S : section de coupexENAU 2010-2011 - RDM - BEN SAID B. 7

Exemple sur leffet du moment flchissant :


8

Exemples sur leffet de leffort tranchant :


9


10


11


12


13

Y

TC df i C

M

X

NRsultantes des forces internes

x


14

2.2- Dtermination des efforts internes - Convention de signes : q FX HB VA VB

l1HA

x

a)- Rduction des forces situes gauche de (S) :

l1qHA

T>0 M> 0 N>0

X

VA

x


15

b)- Rduction des forces situes droite de (S) :M> 0 N>0

FHB VBT>0

X

3- Exemples de base : 3.1- Exemple 1 : qX A

Donnes : q, l Question : Calculer N(x), T(x), M(x)

l

B


16

1re tape : calcul des ractions aux appuis : qHA A VA X HB

lVB

B

2me tape : qHA

T M N

q.x x/2HA

T M N

VA

VAx

x


17

- Rcapitulatif :

N(x) = 0 T(x) = q. l/2 - q.x M(x) = q lx/2 - q.x2/2

- Diagramme de leffort Normal N(x) :N(x)

0A

lB

x


18

- Diagramme de leffort Tranchant T(x) :T(x)

ql/2= VA

0A

+

l/2

-

lB

x

- ql/2= - VB - Diagramme du Moment flchissant M(x) :

0

l/2

l

x

A

+q.l 2/8

B

M(x)ENAU 2010-2011 - RDM - BEN SAID B. 19

- Remarques :

- T(x) = dM(x) dx - Si M(x) est de degrs n alors T(x) est de degrs n-1, - Si T(x) passe par zro de manire continue alors M(x) admet un extremum (minimum ou maximum), - On choisit de prendre laxe M(x) vers le bas pour que diagramme du moment flchissant renseigne sur lallure de la dforme.


20

qFibre suprieure Zone comprime

Fibre infrieure

Zone tendue

- Si la poutre est en bton : Bton : - bonne rsistance la Compression, - faible rsistance la Traction : apparition des fissures dans la zone tendue. Il faut donc la renforcer par un matriau qui rsiste la traction : lacierArmature de montage

Armature principale CadresENAU 2010-2011 - RDM - BEN SAID B. 21

- Les cadres :

Empcher les fissures engendres par leffort tranchant proximit des appuis Relier les armatures

- Si M(x)> 0 : les fibres suprieures sont comprimes, les fibres infrieures sont tendues. - Si M(x)< 0 : les fibres infrieures sont comprimes, les fibres suprieures sont tendues.


22

3.2- Exemple 2 :l/2

FX

A

l

B

Donnes : F, l Question : Calculer N(x), T(x), M(x)

1re tape : calcul des ractions aux appuis : FHA A VA X HB

lVB

BENAU 2010-2011 - RDM - BEN SAID B. 23

2me tape : effectuer une coupe en x et considrer soit les forces de gauche soit celles de droite. Dans cet exemple, il faut faire deux coupes : FS1 S2

A

l

B

1er Cas : Si 0 < x < l/2T M N

N(x) = 0 T(x) = VA

HA

VA

M(x) = VA.xxENAU 2010-2011 - RDM - BEN SAID B. 24

2me Cas : Si l/2 < x < l : on considre les forces de droite :N M T

N(x) = 0 T(x) = - VB M(x) = VB.(l-x)

HB

l-x

VB


25


0A

lB

x


26


F/2= VA

0A

+

l/2

-

lB

x

- F/2= - VB - Diagramme du Moment flchissant M(x) :

0A

l/2

lB

x

+F.l/4

Point anguleux

M(x)


27

- Remarques :

- Dans le cas o T(x) passe par O dune manire discontinue (saut de T(x)), le diagramme de M(x) prsente un point anguleux, - On a un saut de T(x) au niveau de la section o on a une charge concentre. La valeur de ce saut est gale la charge concentre, - Lorsque le saut fait passer T(x) des valeurs positives vers celles ngatives, le point anguleux de M(x) se prsente sur un chapeau renvers.


28

3.3- Exemple 3 :

Poutre console uniformment charge.

qX A

Donnes : q, l Question : Calculer N(x), T(x), M(x)

l

B

1re tape : calcul des ractions lappui A :MA HA A VAENAU 2010-2011 - RDM - BEN SAID B. 29

qX

l

B

2me tape : Faire une coupe en x et considrer les forces de droite : qxN M T

N(x) = 0 T(x) = q. (l x) M(x) = - q (l x)2/2

l


30


ql= VA

0A

+l

lB

x

- Diagramme du Moment flchissant M(x) :- q. 2/2

l

0A M(x)

l

lBENAU 2010-2011 - RDM - BEN SAID B.

x

31

- Dforme de la poutre :Poutre avant application de q Poutre dforme

A

l

B

- Pour une poutre en bton arm (B. A.) :

Aciers principaux

Aciers de montage

CadresENAU 2010-2011 - RDM - BEN SAID B. 32

3.4- Exemple 4 :

qA

Donnes : q, l,a Question : Calculer N(x), T(x), M(x)

l

B

a

1re tape : calcul des ractions aux appuis : qA VA

l

B

HB a

VB


33

2me tape : effectuer une coupe en x et considrer soit les forces de gauche soit celles de droiteS1 A S2

l

B

a

1er Cas : Si 0 < x < lT

q.xM N

T M N

q

x/2

N(x) = 0 T(x) = VA - q.x

VA

VAx

x

M(x) = VA.x - q.x2/234


2me Cas : Si l < x < l + a : on considre les forces de droite. qxN M T

N(x) = 0 T(x) = q.( l + a x) M(x) = - q.( l + a x)2/2

l+a


0A

l+a lB a

x


35

- Diagramme de leffort Tranchant T(x) :T(x) VA

qa

0A

+

VA/q

-

+B

l+a

x

VA- ql - Diagramme du Moment flchissant M(x) :- q.a2/2

0A

+

B

l+a

x


- Dforme :

Zone tendue

0A B a

l+a

x

Point dinflexionZone comprime Zone tendue Zone tendue Zone comprime

A C1

B

a C2

ACoupe C1

l

B

a

Coupe C237


- Exercice 1 :

qA

1- Donner la nature de poutre ? 2- Tracer lallure des sollicitations T et M.

l

B

a

1) 2) Diagramme de leffort Tranchant T(x) :T(x) VA

qa

0VA- ql

+

VA/q

-

+

l+a

x


38

3) Diagramme du Moment flchissant M(x) :T(x) VA

qa

+VA- ql

VA/q

-

+

l+a

x

- MA

- q.a2/2

-

+

-

l+a

x


- Dforme :

- Exercice 2 : Poutre bi-encastre q

Tracer la dforme et le diagramme de M(x).A

l

B


40

- Dforme :Hachurer les zones tendues A B

- Diagramme du Moment flchissant M(x) : qMA HA HB MB

Par symtrie :ql 2 MA = MB = 12

AVA

l

BVB

V A = VB =

ql 2

M(x) = - MA + VA.x - q.x2/2ENAU 2010-2011 - RDM - BEN SAID B. 41

-MA = ql

2

12

-

A

+

ql 2 8

Bql ql 2 8 122

M=

M(x)

- Exercice 3 : qA

l

B

Rotule (ne transmet pas de moments : M=0)

Tracer le diagramme de M(x).ENAU 2010-2011 - RDM - BEN SAID B. 42

-MA = - ql

2

8

-

ql 2 8

ql 2 -MB = 8

B

A

M(x)

Remarque : Appuis liaisons et moments :

Appui simple dextrmit ou Appui double dextrmit Encastrement Liaison rotule Appui simple double intermdiaire

M=0 M 0 et M |M B|

M trave h A > h B hA h B

Forme constructive dun pont qui suit lallure du moment flchissantENAU 2010-2011 - RDM - BEN SAID B. 49

- Exemple 2: Pont mtalliqueA B

l

Rgle 1: structure en treillis Rgle 2 :

q lB

A

l

x

+M(x)ENAU 2010-2011 - RDM - BEN SAID B. 50

3me Rgle : qA

l + a = cte

l

B

a

1er Cas :A

+

B

Mmax = M trave >> |M appui|

M(x)

2me Cas :A

+

B

Mmax = |M appui| >> M trave

M(x)


51

3me Cas :A

+

B

M trave |M appui|

M(x) La longueur optimale de la console (longueur avantageuse) est donne par la relation : M trave |M appui| Cette relation permet davoir le moment flchissant maximal sollicitant la poutre le plus petit possible.

- Exemple : qa l L a 1- Donner lallure de M et de T. 2- Allure de la dforme en hachurant les zones tendues. 3- Trouver la longueur avantageuse de la console ? A.N : L = 10 m.ENAU 2010-2011 - RDM - BEN SAID B. 52

5- Les portiques :Les portiques sont composs de fermes (ou traverses) et de poteaux. Les principaux schmas statiques peuvent tre regroups en deux catgories : - Portiques pieds de poteaux articuls, - Portiques pieds de poteaux encastrs.

- Exemple 1 : Portique pieds de poteaux encastrs, qB C

-

+

-

-

h AEncastrement

D l

+ENAU 2010-2011 - RDM - BEN SAID B.

+53

Encastrement Diagramme des moments de flexion

- Calcul du moment flchissant pour le poteau AB :

- Calcul du moment flchissant pour la traverse BC :

- Exemple 2 : Portique pieds de poteaux articuls, qB C

-

+

-

-

h AArticulation

D l

ArticulationENAU 2010-2011 - RDM - BEN SAID B.

Diagramme des moments de flexion

54

- Exemple 3 : qA

l

B

A

+q.l 2/82

B

q-MA = ql12

-

A

l

B

A

+ l

ql 2 8 ql 2 ql 2 M= 8 12

B

q

ql 2 -MA = 8

ql 2 -MB = 8 ql 2 8

A

B55

l

B

AENAU 2010-2011 - RDM - BEN SAID B.

qB C

-

-

-

h AEncastrement

D l

+

+

Encastrement Diagramme des moments de flexion


56