(Les efforts de la Résistance Des Matériaux 2011 3)

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Chapitre IV

LES efforts DE la Rsistance des Matriaux

ENAU 2010-2011 - RDM - BEN SAID B. 2010-

1

1 notions de forces internes : 1.1- Introduction :

ENAU 2010-2011 - RDM - BEN SAID B.

2

1.2- Relation entre forces internes et efforts externes : F1 F2coupe

F1 q

F2

F1df 1

F2 qdf 2 df 3 df i -df 2 -df 3 -df i "D" -df 1

RA

RB

RA

" G"

On note :

{F} {F}

G

: ensemble des forces externes appliques sur la partie gauche " G " : ensemble des forces externes appliques sur la partie droite " D "

D

ENAU 2010-2011 - RDM - BEN SAID B.

3

1.3- Rduction des forces internes :

df i1 = df iX + df iY + df iZF1

M1

q

F2 M2

Y

df i1 df iyRA RB

df iz df iXX

x

M

CZ

ENAU 2010-2011 - RDM - BEN SAID B.

4

Y

FYMz

FZZ

C

My

X

FXMx

S : section de coupeENAU 2010-2011 - RDM - BEN SAID B. 5

2 les efforts internes dans le cas plan : 2.1- Dfinition du cas plan :

Poutre plan moyen

ENAU 2010-2011 - RDM - BEN SAID B.

6

Y

N(x) : effort normal (selon X) T(x) : effort tranchant (selon Y) TMCX

M(x) : moment de flexion (autour de Z)

NZ

Rduction des efforts intrieurs dans le cas plan S : section de coupexENAU 2010-2011 - RDM - BEN SAID B. 7

Exemple sur leffet du moment flchissant :

ENAU 2010-2011 - RDM - BEN SAID B.

8

Exemples sur leffet de leffort tranchant :

ENAU 2010-2011 - RDM - BEN SAID B.

9

ENAU 2010-2011 - RDM - BEN SAID B.

10

ENAU 2010-2011 - RDM - BEN SAID B.

11

ENAU 2010-2011 - RDM - BEN SAID B.

12

ENAU 2010-2011 - RDM - BEN SAID B.

13

Y

TC df i C

M

X

NRsultantes des forces internes

x

ENAU 2010-2011 - RDM - BEN SAID B.

14

2.2- Dtermination des efforts internes - Convention de signes : q FX HB VA VB

l1HA

x

a)- Rduction des forces situes gauche de (S) :

l1qHA

T>0 M> 0 N>0

X

VA

x

ENAU 2010-2011 - RDM - BEN SAID B.

15

b)- Rduction des forces situes droite de (S) :M> 0 N>0

FHB VBT>0

X

3- Exemples de base : 3.1- Exemple 1 : qX A

Donnes : q, l Question : Calculer N(x), T(x), M(x)

l

B

ENAU 2010-2011 - RDM - BEN SAID B.

16

1re tape : calcul des ractions aux appuis : qHA A VA X HB

lVB

B

2me tape : qHA

T M N

q.x x/2HA

T M N

VA

VAx

x

ENAU 2010-2011 - RDM - BEN SAID B.

17

- Rcapitulatif :

N(x) = 0 T(x) = q. l/2 - q.x M(x) = q lx/2 - q.x2/2

- Diagramme de leffort Normal N(x) :N(x)

0A

lB

x

ENAU 2010-2011 - RDM - BEN SAID B.

18

- Diagramme de leffort Tranchant T(x) :T(x)

ql/2= VA

0A

+

l/2

-

lB

x

- ql/2= - VB - Diagramme du Moment flchissant M(x) :

0

l/2

l

x

A

+q.l 2/8

B

M(x)ENAU 2010-2011 - RDM - BEN SAID B. 19

- Remarques :

- T(x) = dM(x) dx - Si M(x) est de degrs n alors T(x) est de degrs n-1, - Si T(x) passe par zro de manire continue alors M(x) admet un extremum (minimum ou maximum), - On choisit de prendre laxe M(x) vers le bas pour que diagramme du moment flchissant renseigne sur lallure de la dforme.

ENAU 2010-2011 - RDM - BEN SAID B.

20

qFibre suprieure Zone comprime

Fibre infrieure

Zone tendue

- Si la poutre est en bton : Bton : - bonne rsistance la Compression, - faible rsistance la Traction : apparition des fissures dans la zone tendue. Il faut donc la renforcer par un matriau qui rsiste la traction : lacierArmature de montage

Armature principale CadresENAU 2010-2011 - RDM - BEN SAID B. 21

- Les cadres :

Empcher les fissures engendres par leffort tranchant proximit des appuis Relier les armatures

- Si M(x)> 0 : les fibres suprieures sont comprimes, les fibres infrieures sont tendues. - Si M(x)< 0 : les fibres infrieures sont comprimes, les fibres suprieures sont tendues.

ENAU 2010-2011 - RDM - BEN SAID B.

22

3.2- Exemple 2 :l/2

FX

A

l

B

Donnes : F, l Question : Calculer N(x), T(x), M(x)

1re tape : calcul des ractions aux appuis : FHA A VA X HB

lVB

BENAU 2010-2011 - RDM - BEN SAID B. 23

2me tape : effectuer une coupe en x et considrer soit les forces de gauche soit celles de droite. Dans cet exemple, il faut faire deux coupes : FS1 S2

A

l

B

1er Cas : Si 0 < x < l/2T M N

N(x) = 0 T(x) = VA

HA

VA

M(x) = VA.xxENAU 2010-2011 - RDM - BEN SAID B. 24

2me Cas : Si l/2 < x < l : on considre les forces de droite :N M T

N(x) = 0 T(x) = - VB M(x) = VB.(l-x)

HB

l-x

VB

ENAU 2010-2011 - RDM - BEN SAID B.

25

- Diagramme de leffort Normal N(x) :N(x)

0A

lB

x

ENAU 2010-2011 - RDM - BEN SAID B.

26

- Diagramme de leffort Tranchant T(x) :T(x)

F/2= VA

0A

+

l/2

-

lB

x

- F/2= - VB - Diagramme du Moment flchissant M(x) :

0A

l/2

lB

x

+F.l/4

Point anguleux

M(x)

ENAU 2010-2011 - RDM - BEN SAID B.

27

- Remarques :

- Dans le cas o T(x) passe par O dune manire discontinue (saut de T(x)), le diagramme de M(x) prsente un point anguleux, - On a un saut de T(x) au niveau de la section o on a une charge concentre. La valeur de ce saut est gale la charge concentre, - Lorsque le saut fait passer T(x) des valeurs positives vers celles ngatives, le point anguleux de M(x) se prsente sur un chapeau renvers.

ENAU 2010-2011 - RDM - BEN SAID B.

28

3.3- Exemple 3 :

Poutre console uniformment charge.

qX A

Donnes : q, l Question : Calculer N(x), T(x), M(x)

l

B

1re tape : calcul des ractions lappui A :MA HA A VAENAU 2010-2011 - RDM - BEN SAID B. 29

qX

l

B

2me tape : Faire une coupe en x et considrer les forces de droite : qxN M T

N(x) = 0 T(x) = q. (l x) M(x) = - q (l x)2/2

l

ENAU 2010-2011 - RDM - BEN SAID B.

30

- Diagramme de leffort Tranchant T(x) :T(x)

ql= VA

0A

+l

lB

x

- Diagramme du Moment flchissant M(x) :- q. 2/2

l

0A M(x)

l

lBENAU 2010-2011 - RDM - BEN SAID B.

x

31

- Dforme de la poutre :Poutre avant application de q Poutre dforme

A

l

B

- Pour une poutre en bton arm (B. A.) :

Aciers principaux

Aciers de montage

CadresENAU 2010-2011 - RDM - BEN SAID B. 32

3.4- Exemple 4 :

qA

Donnes : q, l,a Question : Calculer N(x), T(x), M(x)

l

B

a

1re tape : calcul des ractions aux appuis : qA VA

l

B

HB a

VB

ENAU 2010-2011 - RDM - BEN SAID B.

33

2me tape : effectuer une coupe en x et considrer soit les forces de gauche soit celles de droiteS1 A S2

l

B

a

1er Cas : Si 0 < x < lT

q.xM N

T M N

q

x/2

N(x) = 0 T(x) = VA - q.x

VA

VAx

x

M(x) = VA.x - q.x2/234

ENAU 2010-2011 - RDM - BEN SAID B.

2me Cas : Si l < x < l + a : on considre les forces de droite. qxN M T

N(x) = 0 T(x) = q.( l + a x) M(x) = - q.( l + a x)2/2

l+a

- Diagramme de leffort Normal N(x) :N(x)

0A

l+a lB a

x

ENAU 2010-2011 - RDM - BEN SAID B.

35

- Diagramme de leffort Tranchant T(x) :T(x) VA

qa

0A

+

VA/q

-

+B

l+a

x

VA- ql - Diagramme du Moment flchissant M(x) :- q.a2/2

0A

+

B

l+a

x

M(x)ENAU 2010-2011 - RDM - BEN SAID B. 36

- Dforme :

Zone tendue

0A B a

l+a

x

Point dinflexionZone comprime Zone tendue Zone tendue Zone comprime

A C1

B

a C2

ACoupe C1

l

B

a

Coupe C237

ENAU 2010-2011 - RDM - BEN SAID B.

- Exercice 1 :

qA

1- Donner la nature de poutre ? 2- Tracer lallure des sollicitations T et M.

l

B

a

1) 2) Diagramme de leffort Tranchant T(x) :T(x) VA

qa

0VA- ql

+

VA/q

-

+

l+a

x

ENAU 2010-2011 - RDM - BEN SAID B.

38

3) Diagramme du Moment flchissant M(x) :T(x) VA

qa

+VA- ql

VA/q

-

+

l+a

x

- MA

- q.a2/2

-

+

-

l+a

x

M(x)ENAU 2010-2011 - RDM - BEN SAID B. 39

- Dforme :

- Exercice 2 : Poutre bi-encastre q

Tracer la dforme et le diagramme de M(x).A

l

B

ENAU 2010-2011 - RDM - BEN SAID B.

40

- Dforme :Hachurer les zones tendues A B

- Diagramme du Moment flchissant M(x) : qMA HA HB MB

Par symtrie :ql 2 MA = MB = 12

AVA

l

BVB

V A = VB =

ql 2

M(x) = - M