Numero ordine alfabetico:
Cognome-Nome:
Fondamenti di Analisi Matematica 2
Vicenza, 27 Gennaio 2020
TEMA1
1. Sia y(t) una soluzione definita sull’intervallo I, dell’equazione differenzialey
0= e
3y�1cosh(y). Allora necessariamente:
� a) y(t) è derivabile, con derivata continua ed è strettamente decrescente.� b) y(t) è derivabile, con derivata continua ed è strettamente crescente.� c) y(t) è derivabile, ma la sua derivata potrebbe essere non continua.� d) y(t) è continua, ma non necessariamente derivabile.
2. Sia F (x, y) un campo vettoriale, C1(D) dove D = {(x, y) | 2 < 4x2 + y2 < 16}.Allora necessariamente:
� a) Se esiste una curva chiusa lungo la quale la circuitazione di F è nulla,allora il campo è conservativo.
� b) Se rot F = 0, allora il campo è conservativo.� c) Se esiste una curva chiusa lungo la quale la circuitazione di F è diversa
da zero, allora il campo non è conservativo.
� d) F non è conservativo perchè il dominio D non è semplicemente connes-so.
1. Criterio degli autovalori per determinare se una matrice simmetrica è definitapositiva/ negativa o indefinita
2. Dare la definizione di equazione differenziale lineare del secondo ordine, omo-genea e completa. Dimostrare che l’insieme delle soluzioni dell’omogenea èuno spazio vettoriale.
Tempo: 30 minuti. È vietato tenere libri, appunti, telefoni e calcolatrici di qualsiasi tipo.
Docenti: F. Albertini, L. Caravenna
Fondamenti di Analisi Matematica 2
Vicenza, 27 Gennaio 2020
TEMA1
1. Sia D ⇢ R2 definito da:
D = {(x, y) | x2 � 2|x|+ y2 3}
e si consideri la funzione f(x, y) = arctan (4x3 + y2).
(a) Disegnare D e dire se chiuso/aperto/nè chiuso nè aperto e limitato/illimitato.
(b) Se f ha punti critici interni a D determinarne la natura.
(c) Determinare, se esistono, il massimo e il minimo assoluto di f su D.
2. Per ogni a 2 R, si consideri l’equazione
x(y + a) +
Zx
2
0
⇣e
t
2+4cosh(t)
⌘dt+ (a� 1)ex sin(y � a) = 0
e sia P0 = (0, a).
i) Dire per quali valori del parametro a l’equazione data, in base al Teoremadel Dini, definisce implicitamente una funzione y = g(x) in un intorno diP0.
ii) Dire per quali valori del parametro a l’equazione data, in base al Teoremadel Dini, definisce implicitamente una curva cartesiana in un intorno di P0.
iii) Per i valori di a determinati nel punto ii) determinare la retta tangente inP0 alla curva definita implicitamente.
iv) Dire se esistono valori tali per cui la retta tangente determinata è parallelaalla bisettrice y = x.
3. Dato il solido S definito da:
S = {(x, y, z) | x2 + y2 + 2z2 4, 1 x2 + 2z2 2},
calcolare ZZZ
S
|xy|dxdydz.
Tempo: 120 minuti. È vietato tenere libri, appunti, telefoni e calcolatrici di qualsiasi tipo.Ogni risposta deve essere giustificata, i soli risultati non sono sufficienti e, anche se corretti, nonverranno contati.
Docenti: F. Albertini, L. Caravenna
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Vicenza, 27 Gennaio 2020
TEMA2
1. Sia y(t) una soluzione definita sull’intervallo I, dell’equazione differenzialey
0= e
y�3(cosh(y)). Allora necessariamente:
� a) y(t) è continua, ma non necessariamente derivabile.� b) y(t) è derivabile, con derivata continua ed è strettamente decrescente.� c) y(t) è derivabile, ma la sua derivata potrebbe essere non continua.� d) y(t) è derivabile, con derivata continua ed è strettamente crescente.
2. Sia F (x, y) un campo vettoriale, C1(D) dove D = {(x, y) | 3 < 4x2 + y2 < 9}.Allora necessariamente:
� a) F non è conservativo perchè il dominio D non è semplicemente connes-so.
� b) Se rot F = 0, allora il campo è conservativo.� c) Se esiste una curva chiusa lungo la quale la circuitazione di F è nulla,
allora il campo è conservativo.
� d) Se esiste una curva chiusa lungo la quale la circuitazione di F è diversada zero, allora il campo non è conservativo.
1. Criterio degli autovalori per determinare se una matrice simmetrica è definitapositiva/ negativa o indefinita
2. Dare la definizione di equazione differenziale lineare del secondo ordine, omo-genea e completa. Dimostrare che l’integrale generale dell’equazione com-pleta si ottiene sommando all’integrale generale dell’equazione omogeneaassociata una soluzione particolare.
Tempo: 30 minuti. È vietato tenere libri, appunti, telefoni e calcolatrici di qualsiasi tipo.
Docenti: F. Albertini, L. Caravenna
Fondamenti di Analisi Matematica 2
Vicenza, 27 Gennaio 2020
TEMA2
1. Sia D ⇢ R2 definito da:
D = {(x, y) | x2 + y2 � 2|y| 3}
e si consideri la funzione f(x, y) = tanh (x2 + 4y3).
(a) Disegnare D e dire se chiuso/aperto/nè chiuso nè aperto e limitato/illimitato.
(b) Se f ha punti critici interni a D determinarne la natura.
(c) Determinare, se esistono, il massimo e il minimo assoluto di f su D.
2. Per ogni a 2 R, si consideri l’equazione
(x+ a)y +
Zy
2
0
⇣e
t
2(sinh
2(t) + 1)
⌘dt+ (a� 1)ey sin(x� a) = 0
e sia P0 = (a, 0).
i) Dire per quali valori del parametro a l’equazione data, in base al Teoremadel Dini, definisce implicitamente una funzione y = g(x) in un intorno diP0.
ii) Dire per quali valori del parametro a l’equazione data, in base al Teoremadel Dini, definisce implicitamente una curva cartesiana in un intorno di P0.
iii) Per i valori di a determinati nel punto ii) determinare la retta tangente inP0 alla curva definita implicitamente.
iv) Dire se esistono valori tali per cui la retta tangente determinata è parallelaalla bisettrice y = x.
3. Dato il solido S definito da:
S = {(x, y, z) | x2 + y2 + 2z2 4, 1 y2 + 2z2 2},
calcolare ZZZ
S
|xy|dxdydz.
Tempo: 120 minuti. È vietato tenere libri, appunti, telefoni e calcolatrici di qualsiasi tipo.Ogni risposta deve essere giustificata, i soli risultati non sono sufficienti e, anche se corretti, nonverranno contati.
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Vicenza, 27 Gennaio 2020
TEMA3
1. Sia y(t) una soluzione definita sull’intervallo I, dell’equazione differenzialey
0= e
2y+5(sin(t)� 3). Allora necessariamente:
� a) y(t) è derivabile, ma la sua derivata potrebbe essere non continua.� b) y(t) è continua, ma non necessariamente derivabile.� c) y(t) è derivabile, con derivata continua ed è strettamente decrescente.� d) y(t) è derivabile, con derivata continua ed è strettamente crescente.
2. Sia F (x, y) un campo vettoriale, C1(D) dove D = {(x, y) | x2 + y2 < 9}. Alloranecessariamente:
� a) Se esiste una curva chiusa lungo la quale la circuitazione di F è nulla,allora il campo è conservativo.
� b) Se rot F 6= 0, allora il campo non è conservativo.� c) F è conservativo, poichè il dominio D è semplicemente connesso.� d) Le risposte precedenti sono tutte errate
1. Criterio degli dei minori principali di Nord-Ovest per determinare se una ma-trice simmetrica è definita positiva/ negativa o indefinita
2. Dare la definizione di equazione differenziale lineare del secondo ordine, omo-genea e completa. Dimostrare che l’integrale generale dell’equazione com-pleta si ottiene sommando all’integrale generale dell’equazione omogeneaassociata una soluzione particolare.
Tempo: 30 minuti. È vietato tenere libri, appunti, telefoni e calcolatrici di qualsiasi tipo.
Docenti: F. Albertini, L. Caravenna
Fondamenti di Analisi Matematica 2
Vicenza, 27 Gennaio 2020
TEMA3
1. Sia D ⇢ R2 definito da:
D = {(x, y) | x2 + y2 � 2|y| 8}
e si consideri la funzione f(x, y) = tanh (2x2 + y3).
(a) Disegnare D e dire se chiuso/aperto/nè chiuso nè aperto e limitato/illimitato.
(b) Se f ha punti critici interni a D determinarne la natura.
(c) Determinare, se esistono, il massimo e il minimo assoluto di f su D.
2. Per ogni a 2 R, si consideri l’equazione
(x+ a)y +
Zy
2
0
⇣e
t
2(sinh
2(t) + 1)
⌘dt+ (a+ 1)e
y
sin(x� a) = 0
e sia P0 = (a, 0).
i) Dire per quali valori del parametro a l’equazione data, in base al Teoremadel Dini, definisce implicitamente una funzione x = h(y) in un intorno diP0.
ii) Dire per quali valori del parametro a l’equazione data, in base al Teoremadel Dini, definisce implicitamente una curva cartesiana in un intorno di P0.
iii) Per i valori di a determinati nel punto ii) determinare la retta tangente inP0 alla curva definita implicitamente.
iv) Dire se esistono valori tali per cui la retta tangente determinata è parallelaalla bisettrice y = �x.
3. Dato il solido S definito da:
S = {(x, y, z) | x2 + y2 + 2z2 16, 1 y2 + 2z2 3},
calcolare ZZZ
S
|xy|dxdydz.
Tempo: 120 minuti. È vietato tenere libri, appunti, telefoni e calcolatrici di qualsiasi tipo.Ogni risposta deve essere giustificata, i soli risultati non sono sufficienti e, anche se corretti, nonverranno contati.
Docenti: F. Albertini, L. Caravenna
Numero ordine alfabetico:
Cognome-Nome:
Fondamenti di Analisi Matematica 2
Vicenza, 27 Gennaio 2020
TEMA4
1. Sia y(t) una soluzione definita sull’intervallo I, dell’equazione differenzialey
0= e
y�5(cos(t)� 3). Allora necessariamente:
� a) y(t) è derivabile, con derivata continua ed è strettamente decrescente.� b) y(t) è derivabile, con derivata continua ed è strettamente crescente.� c) y(t) è derivabile, ma la sua derivata potrebbe essere non continua.� d) y(t) è continua, ma non necessariamente derivabile.
2. Sia F (x, y) un campo vettoriale, C1(D) dove D = {(x, y) | x2 + y2 < 4}. Alloranecessariamente:
� a) Se rot F 6= 0, allora il campo non è conservativo.� b) F è conservativo, poichè il dominio D è semplicemente connesso.� c) Se esiste una curva chiusa lungo la quale la circuitazione di F è nulla,
allora il campo è conservativo.
� d) Le risposte precedenti sono tutte errate
1. Criterio dei minori principali di Nord-Ovest per determinare se una matricesimmetrica è definita positiva/ negativa o indefinita
2. Dare la definizione di equazione differenziale lineare del secondo ordine, omo-genea e completa. Dimostrare che l’insieme delle soluzioni dell’omogenea èuno spazio vettoriale.
Tempo: 30 minuti. È vietato tenere libri, appunti, telefoni e calcolatrici di qualsiasi tipo.
Docenti: F. Albertini, L. Caravenna
Fondamenti di Analisi Matematica 2
Vicenza, 27 Gennaio 2020
TEMA4
1. Sia D ⇢ R2 definito da:
D = {(x, y) | x2 � 2|x|+ y2 8}
e si consideri la funzione f(x, y) = arctan (x3 + 2y2).
(a) Disegnare D e dire se chiuso/aperto/nè chiuso nè aperto e limitato/illimitato.
(b) Se f ha punti critici interni a D determinarne la natura.
(c) Determinare, se esistono, il massimo e il minimo assoluto di f su D.
2. Per ogni a 2 R, si consideri l’equazione
x(y + a) +
Zx
2
0
⇣e
t
2+4cosh(t)
⌘dt+ (a+ 1)e
x
sin(y � a) = 0
e sia P0 = (0, a).
i) Dire per quali valori del parametro a l’equazione data, in base al Teoremadel Dini, definisce implicitamente una funzione x = h(y) in un intorno diP0.
ii) Dire per quali valori del parametro a l’equazione data, in base al Teoremadel Dini, definisce implicitamente una curva cartesiana in un intorno di P0.
iii) Per i valori di a determinati nel punto ii) determinare la retta tangente inP0 alla curva definita implicitamente.
iv) Dire se esistono valori tali per cui la retta tangente determinata è parallelaalla bisettrice y = �x.
3. Dato il solido S definito da:
S = {(x, y, z) | x2 + y2 + 2z2 16, 1 x2 + 2z2 3},
calcolare ZZZ
S
|xy|dxdydz.
Tempo: 120 minuti. È vietato tenere libri, appunti, telefoni e calcolatrici di qualsiasi tipo.Ogni risposta deve essere giustificata, i soli risultati non sono sufficienti e, anche se corretti, nonverranno contati.
Docenti: F. Albertini, L. Caravenna
Risposte ai Quiz
• Tema 1 : b) e c)
• Tema 2 : d) e d)
• Tema 3 : c) e b)
• Tema 4 : a) e a)
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