Fondamenti di Analisi Matematica...

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Fondamenti di Analisi Matematica 2

Vicenza, 27 Gennaio 2020

TEMA1

1. Sia y(t) una soluzione definita sull’intervallo I, dell’equazione differenzialey

0= e

3y�1cosh(y). Allora necessariamente:

� a) y(t) è derivabile, con derivata continua ed è strettamente decrescente.� b) y(t) è derivabile, con derivata continua ed è strettamente crescente.� c) y(t) è derivabile, ma la sua derivata potrebbe essere non continua.� d) y(t) è continua, ma non necessariamente derivabile.

2. Sia F (x, y) un campo vettoriale, C1(D) dove D = {(x, y) | 2 < 4x2 + y2 < 16}.Allora necessariamente:

� a) Se esiste una curva chiusa lungo la quale la circuitazione di F è nulla,allora il campo è conservativo.

� b) Se rot F = 0, allora il campo è conservativo.� c) Se esiste una curva chiusa lungo la quale la circuitazione di F è diversa

da zero, allora il campo non è conservativo.

� d) F non è conservativo perchè il dominio D non è semplicemente connes-so.

1. Criterio degli autovalori per determinare se una matrice simmetrica è definitapositiva/ negativa o indefinita

2. Dare la definizione di equazione differenziale lineare del secondo ordine, omo-genea e completa. Dimostrare che l’insieme delle soluzioni dell’omogenea èuno spazio vettoriale.

Tempo: 30 minuti. È vietato tenere libri, appunti, telefoni e calcolatrici di qualsiasi tipo.

Docenti: F. Albertini, L. Caravenna



TEMA1

1. Sia D ⇢ R2 definito da:

D = {(x, y) | x2 � 2|x|+ y2 3}

e si consideri la funzione f(x, y) = arctan (4x3 + y2).

(a) Disegnare D e dire se chiuso/aperto/nè chiuso nè aperto e limitato/illimitato.

(b) Se f ha punti critici interni a D determinarne la natura.

(c) Determinare, se esistono, il massimo e il minimo assoluto di f su D.

2. Per ogni a 2 R, si consideri l’equazione

x(y + a) +

Zx

2

0

⇣e

t

2+4cosh(t)

⌘dt+ (a� 1)ex sin(y � a) = 0

e sia P0 = (0, a).

i) Dire per quali valori del parametro a l’equazione data, in base al Teoremadel Dini, definisce implicitamente una funzione y = g(x) in un intorno diP0.

ii) Dire per quali valori del parametro a l’equazione data, in base al Teoremadel Dini, definisce implicitamente una curva cartesiana in un intorno di P0.

iii) Per i valori di a determinati nel punto ii) determinare la retta tangente inP0 alla curva definita implicitamente.

iv) Dire se esistono valori tali per cui la retta tangente determinata è parallelaalla bisettrice y = x.

3. Dato il solido S definito da:

S = {(x, y, z) | x2 + y2 + 2z2 4, 1 x2 + 2z2 2},

calcolare ZZZ

S

|xy|dxdydz.

Tempo: 120 minuti. È vietato tenere libri, appunti, telefoni e calcolatrici di qualsiasi tipo.Ogni risposta deve essere giustificata, i soli risultati non sono sufficienti e, anche se corretti, nonverranno contati.



Cognome-Nome:



TEMA2


0= e

y�3(cosh(y)). Allora necessariamente:

� a) y(t) è continua, ma non necessariamente derivabile.� b) y(t) è derivabile, con derivata continua ed è strettamente decrescente.� c) y(t) è derivabile, ma la sua derivata potrebbe essere non continua.� d) y(t) è derivabile, con derivata continua ed è strettamente crescente.

2. Sia F (x, y) un campo vettoriale, C1(D) dove D = {(x, y) | 3 < 4x2 + y2 < 9}.Allora necessariamente:

� a) F non è conservativo perchè il dominio D non è semplicemente connes-so.

� b) Se rot F = 0, allora il campo è conservativo.� c) Se esiste una curva chiusa lungo la quale la circuitazione di F è nulla,

allora il campo è conservativo.

� d) Se esiste una curva chiusa lungo la quale la circuitazione di F è diversada zero, allora il campo non è conservativo.

1. Criterio degli autovalori per determinare se una matrice simmetrica è definitapositiva/ negativa o indefinita

2. Dare la definizione di equazione differenziale lineare del secondo ordine, omo-genea e completa. Dimostrare che l’integrale generale dell’equazione com-pleta si ottiene sommando all’integrale generale dell’equazione omogeneaassociata una soluzione particolare.





TEMA2


D = {(x, y) | x2 + y2 � 2|y| 3}

e si consideri la funzione f(x, y) = tanh (x2 + 4y3).





(x+ a)y +

Zy

2

0

⇣e

t

2(sinh

2(t) + 1)

⌘dt+ (a� 1)ey sin(x� a) = 0

e sia P0 = (a, 0).

i) Dire per quali valori del parametro a l’equazione data, in base al Teoremadel Dini, definisce implicitamente una funzione y = g(x) in un intorno diP0.



iv) Dire se esistono valori tali per cui la retta tangente determinata è parallelaalla bisettrice y = x.


S = {(x, y, z) | x2 + y2 + 2z2 4, 1 y2 + 2z2 2},

calcolare ZZZ

S

|xy|dxdydz.




Cognome-Nome:



TEMA3


0= e

2y+5(sin(t)� 3). Allora necessariamente:

� a) y(t) è derivabile, ma la sua derivata potrebbe essere non continua.� b) y(t) è continua, ma non necessariamente derivabile.� c) y(t) è derivabile, con derivata continua ed è strettamente decrescente.� d) y(t) è derivabile, con derivata continua ed è strettamente crescente.

2. Sia F (x, y) un campo vettoriale, C1(D) dove D = {(x, y) | x2 + y2 < 9}. Alloranecessariamente:

� a) Se esiste una curva chiusa lungo la quale la circuitazione di F è nulla,allora il campo è conservativo.

� b) Se rot F 6= 0, allora il campo non è conservativo.� c) F è conservativo, poichè il dominio D è semplicemente connesso.� d) Le risposte precedenti sono tutte errate

1. Criterio degli dei minori principali di Nord-Ovest per determinare se una ma-trice simmetrica è definita positiva/ negativa o indefinita

2. Dare la definizione di equazione differenziale lineare del secondo ordine, omo-genea e completa. Dimostrare che l’integrale generale dell’equazione com-pleta si ottiene sommando all’integrale generale dell’equazione omogeneaassociata una soluzione particolare.





TEMA3


D = {(x, y) | x2 + y2 � 2|y| 8}

e si consideri la funzione f(x, y) = tanh (2x2 + y3).





(x+ a)y +

Zy

2

0

⇣e

t

2(sinh

2(t) + 1)

⌘dt+ (a+ 1)e

y

sin(x� a) = 0

e sia P0 = (a, 0).

i) Dire per quali valori del parametro a l’equazione data, in base al Teoremadel Dini, definisce implicitamente una funzione x = h(y) in un intorno diP0.



iv) Dire se esistono valori tali per cui la retta tangente determinata è parallelaalla bisettrice y = �x.


S = {(x, y, z) | x2 + y2 + 2z2 16, 1 y2 + 2z2 3},

calcolare ZZZ

S

|xy|dxdydz.




Cognome-Nome:



TEMA4


0= e

y�5(cos(t)� 3). Allora necessariamente:

� a) y(t) è derivabile, con derivata continua ed è strettamente decrescente.� b) y(t) è derivabile, con derivata continua ed è strettamente crescente.� c) y(t) è derivabile, ma la sua derivata potrebbe essere non continua.� d) y(t) è continua, ma non necessariamente derivabile.

2. Sia F (x, y) un campo vettoriale, C1(D) dove D = {(x, y) | x2 + y2 < 4}. Alloranecessariamente:

� a) Se rot F 6= 0, allora il campo non è conservativo.� b) F è conservativo, poichè il dominio D è semplicemente connesso.� c) Se esiste una curva chiusa lungo la quale la circuitazione di F è nulla,

allora il campo è conservativo.

� d) Le risposte precedenti sono tutte errate

1. Criterio dei minori principali di Nord-Ovest per determinare se una matricesimmetrica è definita positiva/ negativa o indefinita

2. Dare la definizione di equazione differenziale lineare del secondo ordine, omo-genea e completa. Dimostrare che l’insieme delle soluzioni dell’omogenea èuno spazio vettoriale.





TEMA4


D = {(x, y) | x2 � 2|x|+ y2 8}

e si consideri la funzione f(x, y) = arctan (x3 + 2y2).





x(y + a) +

Zx

2

0

⇣e

t

2+4cosh(t)

⌘dt+ (a+ 1)e

x

sin(y � a) = 0

e sia P0 = (0, a).

i) Dire per quali valori del parametro a l’equazione data, in base al Teoremadel Dini, definisce implicitamente una funzione x = h(y) in un intorno diP0.



iv) Dire se esistono valori tali per cui la retta tangente determinata è parallelaalla bisettrice y = �x.


S = {(x, y, z) | x2 + y2 + 2z2 16, 1 x2 + 2z2 3},

calcolare ZZZ

S

|xy|dxdydz.



Risposte ai Quiz

• Tema 1 : b) e c)

• Tema 2 : d) e d)

• Tema 3 : c) e b)

• Tema 4 : a) e a)

Nuova sezione 76 Pagina 1

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