Fondamenti di Analisi Matematica...

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Fondamenti di Analisi Matematica 2

Vicenza, 22 Gennaio 2019

TEMA1

1. Sia y(t) una soluzione definita sull’intervallo I, dell’equazione differenzialey

0= (2� cos(t)) e

y. Allora necessariamente:

� a) y(t) e derivabile, con derivata continua ed e strettamente decrescente.

� b) y(t) e derivabile, con derivata continua ed e strettamente crescente.

� c) y(t) e derivabile, ma la sua derivata potrebbe essere non continua.

� d) y(t) e continua, ma non necessariamente derivabile.

2. Sia F (x, y) un campo vettoriale, C1(D) dove D = {(x, y) | 3 < x

2+ y

2< 9}.

Allora necessariamente:

� a) Se esiste una curva chiusa lungo la quale la circuitazione di F e nulla,allora il campo e conservativo.

� b) Se rot F = 0, allora il campo e conservativo.

� c) Se esiste una curva chiusa lungo la quale la circuitazione di F e diversada zero, allora il campo non e conservativo.

� d) Poiche il dominio D non e semplicemente connesso, allora F non econservativo.

1. Criterio degli autovalori per determinare se una matrice simmetrica e definitapositiva/ negativa o indefinita

2. Teorema del Dini in R3.

Tempo: 40 minuti. E vietato tenere libri, appunti, telefoni e calcolatrici di qualsiasi tipo.



TEMA1

1. Dato il problema di Cauchy:⇢

y

0(t) =

�e

y(t) � 1

�3t

2

y(0) = ↵.

(a) Determinare la soluzione in piccolo (cioe in un intorno di t = 0)per ↵ = log 3.

(b) Determinare la soluzione in piccolo (cioe in un intorno di t = 0)per ↵ = 0.

(c) (Fac) Dire se le soluzioni trovate sono definite su tutto R.

2. Data la funzione:f(x, y) = arctan

�↵x

2+ ↵y

2+ yx

2�

(a) Determinare i punti di massimo e minimo relativo per ogni ↵ 2 R.

(b) Fissato ↵ = 1, determinare i punti di massimo e minimo assoluti nelquadrato di vertici (1, 1), (�1, 1), (�1,�1), (1,�1).

3. Calcolare il volume del solido S definito da:

S = {(x, y, z) | 4x2+ z

2+ y

2 2, 4x

2+ z

2+ y � 0}.



Cognome-Nome:



TEMA2


0= (2� sin(t)) (1 + y

2). Allora necessariamente:

� a) y(t) e continua, ma non necessariamente derivabile.

� b) y(t) e derivabile, con derivata continua ed e strettamente decrescente.


� d) y(t) e derivabile, con derivata continua ed e strettamente crescente.

2. Sia F (x, y) un campo vettoriale, C1(D) dove D = {(x, y) | 1 < x

2+ y

2< 4}.

Allora necessariamente:

� a) Poiche il dominio D non e semplicemente connesso, allora F non econservativo.


� c) Se esiste una curva chiusa lungo la quale la circuitazione di F e nulla,allora il campo e conservativo.

� d) Se esiste una curva chiusa lungo la quale la circuitazione di F e diversada zero, allora il campo non e conservativo.

1. Criterio degli autovalori per determinare se una matrice simmetrica e definitapositiva/ negativa o indefinita





TEMA2


y

0(t) =

�e

y(t) � 1

�3t

2

y(0) = ↵.




2. Data la funzione:f(x, y) = arctan

�↵x

2+ ↵y

2+ xy

2�




S = {(x, y, z) | 9x2+ z

2+ y

2 2, 9x

2+ z

2+ y � 0}.



Cognome-Nome:



TEMA3


0= (�2 + sin(t)) e

y. Allora necessariamente:

� a) y(t) e derivabile, ma la sua derivata potrebbe essere non continua.

� b) y(t) e continua, ma non necessariamente derivabile.

� c) y(t) e derivabile, con derivata continua ed e strettamente decrescente.

� d) y(t) e derivabile, con derivata continua ed e strettamente crescente.

2. Sia F (x, y) un campo vettoriale, C1(D) dove D = {(x, y) | x2

+ y

2< 9}. Allora

necessariamente:

� a) Se esiste una curva chiusa lungo la quale la circuitazione di F e nulla,allora il campo e conservativo.


� c) Poiche il dominio D e semplicemente connesso, allora F e conservativo.

� d) Le risposte precedenti sono tutte errate

1. Criterio degli dei minori principali di Nord-Ovest per determinare se una ma-trice simmetrica e definita positiva/ negativa o indefinita





TEMA3


y

0(t) =

�e

y(t) � 1

�4t

3

y(0) = ↵.




2. Data la funzione:f(x, y) = tanh

�↵x

2+ ↵y

2 � xy

2�




S = {(x, y, z) | 9y2 + z

2+ x

2 2, 9y

2+ z

2 � x � 0}.



Cognome-Nome:



TEMA4


0= (�2 + cos(t)) (1 + y

2). Allora necessariamente:

� a) y(t) e derivabile, con derivata continua ed e strettamente decrescente.

� b) y(t) e derivabile, con derivata continua ed e strettamente crescente.


� d) y(t) e continua, ma non necessariamente derivabile.

2. Sia F (x, y) un campo vettoriale, C1(D) dove D = {(x, y) | x2

+ y

2< 4}. Allora

necessariamente:

� a) Se rot F = 0, allora il campo e conservativo.

� b) Poiche il dominio D e semplicemente connesso, allora F e conservativo.

� c) Se esiste una curva chiusa lungo la quale la circuitazione di F e nulla,allora il campo e conservativo.

� d) Le risposte precedenti sono tutte errate

1. Criterio dei minori principali di Nord-Ovest per determinare se una matricesimmetrica e definita positiva/ negativa o indefinita





TEMA4


y

0(t) =

�e

y(t) � 1

�4t

3

y(0) = ↵.




2. Data la funzione:f(x, y) = tanh

�↵x

2+ ↵y

2 � y

2x

�




S = {(x, y, z) | 4y2 + z

2+ x

2 2, 4y

2+ z

2 � x � 0}.


Tamales1

ge i sta

qlo

yo luce e i ch 1

3 I L SO

quindi e 1 so per t in un intorno di toro

possiamodividere e scrivere

y

TÈsta

ott sta.lt

È c

H Èebeti 1 è 1

yet

da yalt

io è da cada DI da

foto

È

toda cullami entri

alte

end D

alleFee

poiche e 1 L O e 1 rimane

positivo in un interno di to O

althe

TIC P

1 L e i III e

es

F a

c8

1 è_e Kee

sett ln 1 net

yet ln t ke L

F Oyca luce ln

3 1 I K1 k

k 1

yche.cn 1 ajet

yoo O y È i 312

co

e 1 1 1 O quindi

in questo caso si ha la soluzione costante

yet 0 http

c la soluzione di

yes ln 1 et

non e definita in tatto IR poiche per ted

et

i zoe0

quindi 3 to so te I jet 0 e quindi

di sicuro toto la soluzione non e definita

La solanacee costante e invece definita Kt EIR

I

slf.ggaratan aftayreyx

poiche arctangente e crescente strettamente

possiamo studiare solo l'argomento

gag LE edge eye

0g Ddai LyxIx

dayO

O

Ix sexy0

ya

Leo

se x D day 0y

se y a da 0 2 2 2

a

Punti critici

se oroPg Ogg

se a O I 0,0 pas trad a

g Zloty gg g di

Syda

casi Hylas

tisemidefinita il test non concluda

a

a

gag 1f

g og0

Go

seg70 Joo 7 me intorno in

cui gag DO gagco quindi il

punto è di minimo massimo

mentre 0,0 e punto di sella

LÌ i Ps 0,0

Hg00 autoalori debita

se d O è def positiva minimo

se a co è def negativa Max

ii Pap tata a

aglio

dat Hg pas LI 0 sono pti di

sella

2 1gCap dagli ex

punti critici parco 0 interno al quadrato

Pap et 1 esterni al quadrato

E gCB o

a ta t B con

He ritiP

II ÈDa 1

4

81g gg

1 57 hg

4kg 2yd O es y

Ha p ta Ha fa ta

Exit x2 ga pe E 3

gL5

pa sett

max per IL minimo per

O

g

g

Etto E L costante

valutandog

nei peti trovati a B GD HaHa Itselfso vedo che g

CA B 3 pti di Max gas O minimo

Esse

s xga 4 4279 2 charity 30

coordinate ellittico cilindriche

Lacosa q zo le ore

c.no

42

è grey Ed

42 8 y piety 70

Quindi nelle nuove coordinate pity si ha che

5 è definito da

xp L cerchio raggiodi

Fey 70 g f parabola

DaD Psv Da

S a Lega ge dà Da a Io

detto I2

Valls fdadg da

Baudo

It dgdg

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q e Fe anche il volume di mezza

sfera

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