perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
i
ESTIMASI INTERVAL KONFIDENSI UNTUK
PROBABILITAS TRANSISI RANTAI MARKOV DISKRIT
Oleh
NUR ITSNAINI HASANAH
M0105054
SKRIPSI
ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan
memperoleh gelar Sarjana Sains Matematika
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SEBELAS MARET
SURAKARTA
2011
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
ii
SKRIPSI ESTIMASI INTERVAL KONFIDENSI UNTUK
PROBABILITAS TRANSISI RANTAI MARKOV DISKRIT
yang disiapkan dan disusun oleh
NUR ITSNAINI HASANAH
M0105054
dibimbing oleh
Pembimbing I,
Dra. Yuliana Susanti, M.Si NIP. 19611219 198703 2 001
Pembimbing II,
Drs. Pangadi, M.Si NIP. 19571012 199103 1 001
telah dipertahankan di depan Dewan Penguji
pada hari Senin tanggal 7 Februari 2011
dan dinyatakan telah memenuhi syarat.
Anggota Tim Penguji Tanda tangan
1. Drs. Sugiyanto, M.Si NIP. 19611224 199203 1 003 1.
2. Dra. Etik Zukhronah, M.Si NIP. 19661213 099203 2 001 2.
3. Drs. Muslich, M.Si NIP. 19521118 197903 1 001
3.
Surakarta, Maret 2011 Disahkan oleh Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Dekan,
Prof. Dr. Sutarno, M.Sc, Ph.D NIP. 19600809 198612 1 001
Ketua Jurusan Matematika,
Drs. Sutrima, M.Si NIP. 19661007 199302 1 001
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
iii
ABSTRAK NUR ITSNAINI HASANAH, 2011, ESTIMASI INTERVAL KONFIDENSI
UNTUK PROBABILITAS TRANSISI RANTAI MARKOV DISKRIT
ABSTRAK. Rantai Markov diskrit adalah proses stokastik dengan ruang state dan ruang parameternya diskrit serta memenuhi sifat Markov. Rantai Markov ditentukan dengan probabilitas awal dan probabilitas transisi. Jika probabilitas transisi tidak diketahui maka perlu untuk membuat inferensi tentang probabilitas transisi dari data. Salah satu cara penyelesaian analisis statistik pada rantai Markov adalah membawa rantai Markov tersebut ke metode chi kuadrat yang diaplikasikan dalam kasus multinomial. Tujuan dari penulisan ini adalah menyajikan interval konfidensi untuk probabilitas transisi rantai Markov diskrit.
Hasil pembahasan menunjukkan bahwa interval konfidensi 100(1-a)% untuk 6�. ditentukan oleh UppLp ijijij ˆˆ ££ dengan Lpijˆ sebagai batas bawah
interval dan Upijˆ sebagai batas atas interval, untuk i, j = 1,2,…,r.
Kata kunci : interval konfidensi, probabilitas transisi, rantai Markov diskrit.
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
iv
ABSTRACT NUR ITSNAINI HASANAH, 2011, CONFIDENCE INTERVAL FOR TRANSITION PROBABILITY FROM DISCRETE MARKOV CHAIN
ABSTRACT. The discrete markov chain is stochastic process whose state and parameter space are discrete and satisfies Markov property. It depends on initial state and transition probability. If the transition probability is unknown so it arises the problem of making inferences about them from data. One of the way to solve the statistical analysis of markov chain is to carry over the markov chain to the chi square methods which applied in the multinomial case. The aim of this task is to find confidence interval for transition probability from discrete markov chain.
The result shows that the 100(1-a)% confidence interval for transition probability 6�. is determined by UppLp ijijij ˆˆ ££ where Lpijˆ as lower bound and
Upijˆ as upper bound, for i, j = 1,2,…, r.
Key words: confidence interval, transition probability, discrete markov chain.
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
v
PERSEMBAHAN
Karya tulis ini penulis persembahkan untuk
v Bapak Ibu dan keluarga yang penulis sayangi.
v Orang-orang yang memberi nasihat, saran, dan kritik pada penulis.
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
vi
KATA PENGANTAR
Bismillahirrahmanirrahim.
Alhamdulillah, segala puji hanya bagi Allah ‘Azza wa Jalla yang telah
memberikan pertolongan dan rahmat-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan
skripsi ini. Semoga shalawat dan salam senantiasa tercurah kepada Nabi
Muhammad Shallallahu ‘alaihi wa Sallam, keluarga dan para shahabatnya. Pada
kesempatan ini penulis mengucapkan terima kasih kepada:
1. Ibu Dra. Yuliana Susanti, M.Si selaku pembimbing I atas bimbingan dan
arahannya dalam mengerjakan skripsi ini,
2. Bapak Drs. Pangadi, M.Si selaku pembimbing II atas bimbingan dan
arahannya,
3. NOVI MOTOR Kartasura, atas kesediaannya memberikan informasi yang
dibutuhkan penulis,
4. Semua pihak yang membantu dalam penyelesaian skripsi ini.
Penulis berharap semoga penulisan skripsi ini bermanfaat bagi pembaca.
Februari 2011
Penulis
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
vii
DAFTAR ISI
HALAMAN JUDUL ……………………………………………………….. i
PENGESAHAN ……………………………………………………………... ii
ABSTRAK ………………………………………………………………….. iii
ABSTRACT ………………………………………………………………….. iv
PERSEMBAHAN …………………………………………………………… v
KATA PENGANTAR ………………………………………………………. vi
DAFTAR ISI ………………………………………………………………... vii
DAFTAR SIMBOL …………………………………………………………. viii
BAB I PENDAHULUAN ……………………………………………………
1.1 Latar belakang Masalah ………………………………………………….
1.2 Rumusan Masalah ……………………………………………………….
1.3 Batasan Masalah …………………………………………………………
1.4 Tujuan dan Manfaat Penulisan …………………………………………..
BAB II LANDASAN TEORI ………………………………………………..
2.1 Tinjauan Pustaka …………………………………………………………
2.2 Kerangka Pemikiran ……………………………………………………..
1
1
2
3
3
4
4
12
BAB III METODE PENULISAN …………………………………………... 13
BAB IV PEMBAHASAN …………………………………………………...
4.1 Model Rantai Markov ……………………………………………………
4.2 Penduga Maksimum Likelihood …………………………………………
4.3 Distribusi Asimtotik dari Penduga 6�. …………………………………...
4.4 Interval Konfidensi untuk Probabilitas Transisi …………………………
4.5 Contoh Kasus …………………………………………………………….
14
14
15
17
19
22
BAB V PENUTUP …………………………………………………………..
5.1 Kesimpulan ………………………………………………………………
5.2 Saran ……………………………………………………………………..
26
26
26
DAFTAR PUSTAKA ………………………………………………………. 27
LAMPIRAN ………………………………………………………………… 28
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
viii
DAFTAR SIMBOL
S : ruang sampel
W : ruang parameter
q : parameter
X : variabel random
x : nilai variabel random
f(x) : fungsi kepadatan probabilitas (probability density function) dari
variabel random X
F(x) : fungsi distribusi kumulatif dari variabel random X 归纵果囊,果挠, … ,果坡邹 : fungsi kepadatan probabilitas bersama dari variabel random 囊, … ,瓶 归纵果挠|果囊邹 : fkp bersyarat dari 2x diberikan 1 = 果1 刮纵邹 : harga harapan dari X zϨ辊纵邹 : variansi dari X 固跪郭纵,光邹 : kovariansi dari X dan Y 怪铺纵棍邹 : fungsi pembangkit momen
L(q ) : fungsi likelihood ∇归(果,裹,过) : gradien 归纵果,裹,过邹 6�. : probabilitas transisi dari state i ke state j 6̂�. : penduga probabilitas transisi 滚�. : jumlah transisi dari state i ke state j
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
1
BAB I
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang Masalah
Proses stokastik merupakan cara untuk mempelajari hubungan dinamis
dari suatu runtun peristiwa atau proses yang kejadiannya bersifat tidak pasti.
Proses stokastik banyak digunakan untuk memodelkan perubahan dari sebuah
sistem yang mengandung ketidakpastian sehingga model deterministik tidak dapat
digunakan untuk menganalisis sistem tersebut.
Ross (1983) memberikan definisi proses stokastik }),({ TttX Î sebagai
barisan variabel random yang diberi indeks waktu t yang nilainya berubah-ubah
sesuai dengan himpunan indeks T. Nilai dari variabel random X(t) tersebut
dinamakan state pada saat t. Menurut Parzen (1962), proses stokastik parameter
diskrit { },...2,1,0),( =ttX atau proses stokastik parameter kontinu { }0),( ³ttX
disebut sebagai proses Markov jika untuk sembarang harga ntttt <<<< ...210
probabilitas bersyarat dari )( ntX diberikan )(),...,( 10 -ntXtX hanya bergantung
pada )( 1-ntX atau bisa dituliskan sebagai
])(,...,)()([ 1100 -- === nnnn xtXxtXxtXP = ])()([ 11 -- == nnnn xtXxtXP .
Pada dasarnya proses stokastik dikelompokkan berdasarkan sifat ruang
parameter dan sifat ruang state (state space). Berdasarkan sifat ruang
parameternya, proses stokastik digolongkan menjadi proses stokastik parameter
diskrit dan proses stokastik parameter kontinu. Berdasarkan sifat ruang state-nya,
proses stokastik digolongkan menjadi proses stokastik dengan ruang state diskrit
dan proses stokastik dengan ruang state kontinu.
Rantai Markov waktu diskrit TtX t Î,{ } adalah proses stokastik yang
mempunyai ruang state berupa himpunan berhingga atau terhitung dengan
himpunan indeks T = {0, 1, 2,…} yang memenuhi
],...,,[ 111100 -- ==== nnnn xXxXxXxXP = ][ 11 -- == nnnn xXxXP .
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
2
Proses Markov dikatakan sebagai rantai Markov jika ruang statenya diskrit.
Probabilitas bersyarat ][ 1 iXjXP nn == - biasa disebut dengan probabilitas
transisi rantai Markov.
Jika probabilitas transisi tidak diketahui atau probabilitas transisi tersebut
merupakan fungsi dari parameter yang tidak diketahui maka perlu untuk membuat
inferensi tentang probabilitas transisi dari data empiris. Dalam statistik, inferensi
adalah proses penarikan kesimpulan tentang distribusi populasi berdasarkan
distribusi sampel yang diambil dari populasi tersebut. Salah satu cabang penting
dari inferensi statistik adalah estimasi (pendugaan) yang terdiri dari dua macam
yaitu estimasi titik dan estimasi interval. Tujuan estimasi titik adalah menduga
nilai parameter yang tidak diketahui. Estimasi titik sendiri tidak memberikan
informasi akurasinya. Estimasi interval diperlukan untuk mengetahui seberapa
dekat atau seberapa besar harapan estimasi titik itu mendekati nilai yang
sebenarnya. Selain itu, estimasi interval sendiri bisa digunakan dalam proses
pengambilan kesimpulan.
Dalam banyak literatur, kebanyakan para peneliti mengunakan metode
maksimum likelihood untuk mengestimasi probabilitas transisi rantai markov
sebagaimana dalam Spring 2009. Sulistyowati (2003) telah membahas tentang
estimasi titik dan uji hipotesis dalam rantai Markov. Oleh karena itu, dalam
skripsi ini akan dibahas mengenai interval konfidensi untuk probabilitas transisi
rantai Markov dan dikaji ulang tentang pendugaan probabilitas transisi rantai
Markov dengan metode maksimum likelihood.
1.2 Rumusan Masalah
Permasalahan yang dibahas dalam penulisan skripsi ini adalah bagaimana
menentukan interval konfidensi untuk probabilitas transisi rantai Markov diskrit.
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
3
1.3 Batasan Masalah
Berdasarkan pada rumusan masalah di atas, pembahasan dalam skripsi ini
dibatasi pada penerapan metode maksimum likelihood dalam mengestimasi
probabilitas transisi rantai Markov orde satu dengan ruang state berhingga
(diskrit).
1.4 Tujuan dan Manfaat Penulisan
Tujuan dari penulisan skripsi ini adalah mampu menyajikan interval
konfidensi untuk probabilitas transisi rantai Markov diskrit. Dengan tercapainya
tujuan ini, penulisan skripsi ini diharapkan dapat menambah pengetahuan tentang
inferensi statistik pada rantai Markov khususnya pada estimasi interval konfidensi
probabilitas transisinya.
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
4
BAB II
LANDASAN TEORI
2.1 Tinjauan Pustaka
Untuk mendukung pembahasan dalam skripsi ini dibutuhkan teori-teori
dasar berikut.
2.1.1. Ruang Sampel, Kejadian, Probabilitas dan Variabel Random
Beberapa definisi yang berkaitan dengan ruang sampel, kejadian,
probabilitas dan variabel random berikut diambil dari Bain dan Engelhardt (1992).
Definisi 2.1.1 Ruang sampel S dari suatu percobaan adalah himpunan semua
hasil (outcome) yang mungkin dari percobaan tersebut.
Definisi 2.1.2 Suatu kejadian (event) adalah sembarang subset dari hasil yang
termuat dalam ruang sampel.
Definisi 2.1.3 Probabilitas adalah kemungkinan terjadinya suatu peristiwa
diantara keseluruhan peristiwa yang mungkin terjadi.
Definisi 2.1.4 Variabel random X adalah suatu fungsi yang memetakan setiap
hasil yang mungkin e dalam ruang sampel S dengan bilangan real sedemikian
sehingga X(e) = x, x Î R.
Definisi 2.1.5 Jika himpunan semua nilai yang mungkin dari variabel random X
merupakan himpunan terhitung *囊, *挠, … , *坡 atau *囊, *挠, … maka variabel
random X disebut variabel random diskrit. Fungsi 纵*邹= 官[贯= *] untuk x = *囊, *挠, …disebut fungsi kepadatan probabilitas diskrit.
Definisi 2.1.6 Fungsi distribusi kumulatif dari variabel random X didefinisikan
untuk sembarang bilangan real dengan 瓜纵*邹= 官[贯≤ *]. Definisi 2.1.7 Variabel random X disebut variabel random kontinu jika fungsi
distribusi kumulatifnya bisa dinyatakan sebagai 瓜纵*邹= 董 纵 邹% 铺能捧 .
Definisi 2.1.8 Fungsi kepadatan probabilitas bersama dari variabel random
diskrit X = 纵贯囊, … , 贯坡邹 didefinisikan sebagai 纵*囊, *挠, … , *坡邹= 官[贯囊= *囊, 贯挠=*挠, … , 贯坡= *坡].
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
5
Definisi 2.1.9 Jika 1X dan 2X merupakan variabel random diskrit atau kontinu
dengan fungsi kepadatan probabilitas bersama (*囊, *挠) maka fungsi kepadatan
probabilitas bersyarat dari 2x diberikan 1X = 1x didefinisikan sebagai 纵*挠|*囊邹= 坪纵铺前,铺潜邹坪纵铺前邹
untuk nilai-nilai 1x sedemikian sehingga 纵*囊邹> 0 dan nol untuk nilai yang lain.
Definisi 2.1.10 Jika X variabel random dengan fungsi kepadatan probabilitas
)(xf maka harga harapan (expected value) dari X didefinisikan sebagai 刮纵*邹= ∑*(*) jika X diskrit
刮纵*邹= 董 *(*)捧能捧 %* jika X kontinu
Definisi 2.1.11 Variansi dari variabel random X diberikan oleh
惯l辊纵*邹= 刮[(贯− 幌)挠]
Definisi 2.1.12 Kovariansi dari pasangan variabel random X dan Y didefinisikan
dengan
)])([(),( yx YXEYXCov mm --=
Definisi 2.1.13 Jika X variabel random maka
)()( tXX eEtM =
Disebut fungsi pembangkit momen dari X jika harga harapan ini ada untuk semua
nilai t dalam suatu interval hth <<- , untuk suatu h > 0.
2.1.2. Distribusi Multinomial
Definisi 2.1.10 (Lebanon, 2006)
Variabel random kXXX ,...,, 21 mempunyai distribusi multinomial dengan
parameter n dan kppp ,...,, 21 dengan 0³ip , 11
=å=
k
iip jika mempunyai fungsi
kepadatan probabilitas
kxk
xx
kk ppp
xxx
nxxf ...
...),...,( 21
2121
1 ÷÷ø
öççè
æ=
jika 0³ix dan nxk
ii =å
=1
dan nol untuk yang lain,
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
6
dengan 足 柜*囊*挠… *瓶卒= 坡!铺前!铺潜!…铺塞! . Distribusi multinomial digunakan ketika dipunyai sebuah percobaan dengan k
kemungkinan hasil, yang masing-masing terjadi dengan probabilitas ip .
Percobaaan diulang sebanyak n kali dan kXXX ,...,, 21 mengukur jumlah
kejadian masing-masing kelas (hasil). Karena terdapat n percobaan, maka
jumlah keseluruhan hasil adalah nxk
ii =å
=1
, dan karena probabilitas memperoleh
hasil i sebesar ip , maka 11
=å=
k
iip .
2.1.3. Distribusi Normal, Gamma dan Chi Kuadrat
Definisi berikut diambil dari Bain dan Engelhardt (1992).
Definisi 2.1.11 Suatu variabel random X mengikuti distribusi normal dengan
mean m dan variansi 2s jika mempunyai fungsi kepadatan probabilitas
2]/)[( 2
2
1),;( sm
spsm -= xexf
untuk ¥<<¥- x dengan ¥<<¥- m dan ¥<<s0 . Notasi yang menyatakan
X berdistribusi normal adalah X ~ ),( 2smN .
Definisi 2.1.12 Fungsi gamma dinotasikan dengan )(kG untuk semua k > 0,
didefinisikan sebagai
ò¥
--=G0
1)( dtetk tk .
Definisi 2.1.13 Variabel random X dikatakan berdistribusi gamma dengan
parameter k > 0 dan 0>q , jika mempunyai fungsi kepadatan probabilitas
ïî
ïíì
G=--
0)(
1),;(
1 q
qqxk
kex
kkxf untuk x > 0
untuk x yang lain.
Notasi khusus yang menunjukkan X berdistribusi gamma yaitu X ~ GAM ( k,q ).
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
7
Definisi 2.1.14 Jika X ~ GAM ( 2,2 v ) maka variabel X dikatakan berdistribusi
2c dengan derajat bebas v dinotasikan dengan X ~ 2c (v).
Teorema 2.1.1 Jika X ~ 2c (v) maka
vXVar
vXE
ttM vx
2)(
)(
)21()( 2
==
-= -
Teorema 2.1.2 Jika )(~ 2ii vX c , i = 1,..., n, maka
)(~1
2
1åå==
=n
ii
n
ii vXY c .
Teorema 2.1.3 Jika )1,0(~ NZ maka )1(~ 22 cZ .
Teorema 2.1.4 (Teorema Limit Pusat) Jika nXX ,..,1 adalah sampel random
dari sebuah distribusi dengan mean m dan variansi 2s , maka distribusi limit
dari s
m
n
nXZ
n
ii
n
-=å=1 adalah distribusi normal standar, )1,0(~ NZZ d
n ¾®¾
untuk ¥®n .
Definisi 2.1.15 Misalkan ,..., 21 YY adalah deretan variabel random dengan fungsi
distribusi kumulatif ),...(),( 21 yGyG sedemikian sehingga untuk tiap n = 1, 2, ...
berlaku ][)( yYPyG nn £= . Jika untuk suatu fungsi distribusi kumulatif )( yG
berlaku )()(lim yGyGnn=
¥® untuk semua nilai y dan )( yG kontinu maka ,..., 21 YY
dikatakan konvergen dalam distribusi ke )(~ yGY yang dinotasikan dengan
YY dn ¾®¾ .
2.1.4. Metode Maksimum Likelihood
Metode maksimum likelihood adalah metode yang cukup sering digunakan
untuk menduga nilai parameter. Ide dasar metode ini adalah menggunakan sebuah
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
8
nilai dari ruang parameter yang menghasilkan peluang terbesar untuk menduga
nilai parameter yang tidak diketahui. Berikut ini adalah beberapa definisi tentang
fungsi likelihood dan penduga maksimum likelihood yang dinyatakan oleh Bain
dan Engelhardt (1992).
Definisi 2.1.16 Fungsi kepadatan probabilitas bersama dari n variabel random
nXX ,..,1 yang diberi nilai nxx ,..,1 adalah );,..,( 1 qnxxf dan disebut sebagai
fungsi likelihood. Untuk nxx ,..,1 tetap, fungsi likelihood adalah fungsi dari q
yang dinotasikan dengan L(q ). Jika nXX ,..,1 adalah sampel random dari
);( qxf maka
L(q ) = );()...;( 1 qq nxfxf .
Definisi 2.1.17 Misalkan L(q ) = );,..,( 1 qnxxf , WÎq , merupakan fungsi
likelihood. Untuk suatu himpunan pengamatan { nxx ,..,1 }, nilai q̂ di dalam W
yang memaksimumkan L(q ) disebut penduga maksimum likelihood dari q . Jadi,
q̂ adalah nilai dari q yang memenuhi
);,..,( 1 qnxxf = );,...,( 1 qq nxxfmaks
WÎ.
2.1.5. Metode Pengali Lagrange
Metode Pengali Lagrange digunakan untuk mencari nilai maksimum atau
nilai minimum fungsi f(x, y, z) terhadap kendala g(x, y, z) = k. Langkahnya adalah
a. Menyelesaikan persamaan Lagrange
),,(),,( zyxgzyxf Ñ=Ñ l
konstanta l disebut pengali Lagrange.
b. Menghitung f di semua titik (x, y, z) yang dihasilkan dari langkah (a). Nilai
yang terbesar adalah nilai maksimum f, sedangkan nilai yang terkecil adalah
nilai minimum f.
(Dawkins, 2007 ).
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
9
2.1.6. Statistik Cukup
Definisi 2.1.18 (Bain dan Engelhardt, 1992)
Suatu fungsi variabel random yang tidak bergantung pada parameter yang tidak
diketahui disebut statistik.
Definisi 2.1.19 (Bain dan Engelhardt, 1992)
Misalkan X = ),..,( 1 nXX mempunyai fungsi kepadatan probabilitas bersama
);,..,( 1 qnxxf dan T = ),..,( 1 kTT adalah sebuah vektor statistik. T adalah statistik
cukup bersama untuk q jika fungsi kepadatan probabilitas bersyarat )(vf tV tidak
bergantung pada q , dengan V merupakan vektor statistik yang lain. Dalam kasus
satu dimensi cukup dikatakan bahwa T adalah statistik cukup untuk q .
Definisi 2.1.20 Kriteria Faktorisasi (Bain dan Engelhardt, 1992)
Jika X mempunyai fungsi kepadatan probabilitas bersama );,..,( 1 qnxxf dan T =
),..,( 1 kTT maka kTT ,..,1 merupakan statistik cukup bersama untuk q jika dan
hanya jika
),...,();();,..,( 11 nn xxhtgxxf qq =
dengan g(t;q) tidak bergantung pada nxx ,..,1 dan h( nxx ,..,1 ) tidak mengandung
q.
Menurut Laurence dan Chein-I Chang (1993), dalam model rantai Markov
bisa ditunjukkan bahwa state awal dan jumlah transisi membentuk suatu statistik
cukup dengan kriteria faktorisasi.
2.1.7. Interval Konfidensi untuk q
Definisi 2.1.21 (Bain dan Engelhardt, 1992)
Misalkan nXX ,..,1 mempunyai fungsi kepadatan probabilitas bersama
);,..,( 1 qnxxf . Sedangkan L dan U adalah statistik dengan ),..,( 1 nXXlL = dan
),..,( 1 nXXuU = . Jika diketahui suatu data percobaan nxx ,..,1 , maka dipunyai
nilai pengamatan ),..,( 1 nxxl dan ),..,( 1 nxxu . Interval ( ),..,( 1 nxxl , ),..,( 1 nxxu )
dikatakan sebagai interval konfidensi 100( a-1 )% untuk q jika
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
10
aq -=<< 1)],..,(),..,([ 11 nn XXuXXlP .
Nilai pengamatan ),..,( 1 nxxl dan ),..,( 1 nxxu disebut batas konfidensi bawah dan
atas.
Untuk menentukan interval konfidensi yang memperhitungkan semua
parameter digunakan interval konfidensi simultan. Dalam menentukan interval
konfidensi simultan, digunakan pertidaksamaan Bonferroni untuk
mempertimbangkan semua parameter secara simultan. Teknik perhitungan
interval konfidensi ini diperkenalkan oleh Goodman (Petrie, 1998).
2.1.8. Rantai Markov Diskrit
Menurut Taylor dan Karlin (1994), proses Markov adalah proses stokastik
yang mempunyai sifat jika diberikan nilai nX , nilai 1+nX tidak dipengaruhi oleh
nilai mX , untuk m < n. Secara formal, suatu proses dikatakan proses Markov jika
memenuhi sifat Markov yaitu
],,...,[ 11111 iXiXiXjXP nnnn ==== --+ = }{ 1 iXjXP nn ==+ .
Rantai Markov waktu diskrit adalah proses Markov yang mempunyai ruang
state berhingga atau terhitung dan himpunan indeks T = {0, 1, 2,…}. Probabilitas
1+nX akan berada pada state j dengan syarat nX berada pada state i disebut
probabilitas transisi satu langkah yang dinotasikan dengan 1, +nnijp .
}{ 11, iXjXPp nn
nnij === +
+ .
Notasi ini menyatakan bahwa secara umum, probabilitas transisi selain merupakan
fungsi state awal dan akhir, juga merupakan fungsi selang waktu. Jika probabilitas
transisi satu langkah independen terhadap variabel waktu n, maka dikatakan rantai
Markov mempunyai probabilitas transisi stasioner, sehingga 1, +nnijp = ijp , dengan
ijp adalah probabilitas bersyarat proses akan bergerak dari state i ke state j.
Untuk selanjutnya probabilitas transisi ini dinyatakan dengan bentuk matriks
berikut.
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
11
P =
úúúú
û
ù
êêêê
ë
é
rrrr
r
r
ppp
ppp
ppp
21
22221
11211
dengan 0³ijp , 11
=å=
r
jijp i, j = 1,2,…,r.
Selain probabilitas transisi, rantai Markov juga ditentukan dengan
distribusi probabilitasnya (distribusi awal). Misalkan ipiXP == ][ 0 . Dengan
definisi probabilitas bersyarat diperoleh
],...,,[ 1100 nn iXiXiXP === = ],...,,[ 111100 -- === nn iXiXiXP
´ ],...,,[ 111100 -- ==== nnnn iXiXiXiXP .
Dari definisi proses Markov,
],...,[ 1100 -- === tnnn iXiXiXP = }{ 11 -- == nnnn iXiXP .
= nn iiP
1-.
Sehingga diperoleh
],...,,[ 1100 nn iXiXiXP === = ][ 00 iXP = ´ }{ 11 -- == nnnn iXiXP ´ … ´
}{ 0011 iXiXP ==
= 0i
p10iip ...
nn iip1-
.
Ini menunjukkan bahwa rantai Markov ditentukan oleh probabilitas di awal proses
dan probabilitas transisinya.
Suatu matriks probabilitas transisi P dikatakan regular jika matriks
tersebut dipangkatkan oleh suatu konstanta positif k maka matriks Pk seluruh
elemennya bernilai positif. Matriks peluang transisi yang demikian serta rantai
Markov yang berkaitan dengannya disebut regular. Hal yang penting dalam rantai
Markov regular adalah adanya limiting probability distribution p = ( )rppp ,...,, 21
dimana jp > 0 untuk j = 1, 2,…, r. dan 1=åj
jp . Secara formal, untuk matriks
probabilitas transisi regular terdapat konvergensi,
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
12
0][lim 0 >===¥® jn
niXjXP p , untuk j = 1, 2,…, r .
Konvergensi di atas menyatakan bahwa dalam jangka waktu yang lama
(柜⟶ ∞), probabilitas proses berada di state j adalah jp , tanpa memperhatikan
dimana rantai tersebut berawal.
Beberapa definisi tentang sifat state rantai Markov berikut dinyatakan oleh
Ross (1983).
Definisi 2.1.22 State j dikatakan dapat dicapai dari state i , ji ® , jika terdapat
0³n sedemikian sehingga 0>nijp . Jika ji ® dan ij ® maka i dan j
dikatakan saling berkomunikasi, ditulis ji « .
Suatu rantai Markov dikatakan irreducible jika semua state-nya saling
berkomunikasi satu sama lain.
Definisi 2.1.23 Untuk sebarang i dan j, nijf menyatakan probabilitas dari state i
pertama kali tiba di j dalam n langkah, yang dinyatakan sebagai
}1,...,2,1,,Pr{ 0 iXnkjXjXf knn
ij =-=¹== .
Definisi 2.1.24 Suatu state i dikatakan recurrent jika 1=iif (probabilitas bahwa
i akan kembali ke i adalah 1) sedangkan state i dikatakan non-recurrent atau
transient jika 1<iif .
2.2 Kerangka Pemikiran
Berdasarkan pada tinjauan pustaka di atas, dapat disusun suatu kerangka
pemikiran dalam penulisan skripsi ini. Estimasi probabilitas transisi dapat
ditentukan dengan metode maksimum likelihood. Pengali Lagrange digunakan
untuk memaksimumkan fungsi likelihood. Setelah diketahui distribusi asimtotik
dari penduga probabilitas transisi, interval konfidensi untuk probabilitas transisi
rantai Markov bisa ditentukan dengan analog pada distribusi multinomial.
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
13
BAB III
METODE PENULISAN
Dalam penulisan skripsi ini metode yang digunakan adalah studi literatur,
yaitu keseluruhan bahan untuk penelitian ini diambil dari buku-buku referensi
terutama yang berhubungan dengan proses stokastik (rantai Markov) dan inferensi
statistik khususnya tentang estimasi interval konfidensi.
Sesuai dengan tujuan penulisan, yaitu menyajikan interval konfidensi pada
rantai Markov diskrit, maka langkah-langkah yang ditempuh dalam penelitian ini
adalah
1. Mengkaji ulang penduga maksimum likelihood untuk probabilitas transisi
rantai Markov.
2. Mengkaji ulang distribusi asimtotik dari penduga ijp .
3. menentukan interval konfidensi simultan untuk probabilitas sel dalam
distribusi multinomial.
4. menentukan interval konfidensi untuk probabilitas transisi rantai Markov.
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
14
BAB IV
PEMBAHASAN
Pada bab ini dibahas tentang penduga maksimum likelihood untuk
probabilitas transisi rantai Markov diskrit, sifat-sifat penduganya dan interval
konfidensinya.
4.1 Model Rantai Markov
Misalkan {Xk} adalah rantai markov dengan ruang state berhingga, dengan
ijp menyatakan probabilitas proses berada di state j pada waktu k dan berada di
state i pada waktu k – 1,
][ 1 iXjXPp kkij === - , untuk i, j =1, 2, …, r
dan probabilitas awal
][ 0 iXPpi == .
Misalkan x = },...,,{ 10 nxxx adalah sampel dari rantai Markov orde satu
dengan probabilitas transisi ijp dan probabilitas awal ip . Jika x adalah realisasi
dari variabel random X maka probabilitas bahwa X = x adalah
],...,,[ 1100 nn xXxXxXP ===
= ´== -- ],...,[ 1100 nn xXxXP ][ 11 -- == nnnn xXxXP
= ],...,[ 2200 -- == nn xXxXP . ][ 2211 ---- == nnnn xXxXP . ][ 11 -- == nnnn xXxXP
= ][ . ][ 001100 xXxXPxXP === … ][ 11 -- == nnnn xXxXP
= nn xxxxx ppp
1100...
-
= Õ === -
r
jinn jXiXPxXP
,100 ][ . ][
= Õr
jiijx pp
,0
.
Kemudian didefinisikan ijs adalah jumlah transisi dari state i ke j, maka
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
15
],...,,[ 1100 nn xXxXxXP === = 0xp Õ
r
ji
sij
ijp,
. (4.1)
Berdasarkan definisi 2.1.20, persamaan (4.1) menunjukkan bahwa ijs dan
state awal membentuk suatu statistik cukup yaitu T = { ijsx ,0 } dengan
),...,( 1 nxxh = 1.
4.2 Penduga Maksimum Likelihood untuk ijp
Misalkan },...,,{ 10 nxxx adalah realisasi dari n + 1 variabel random.
Fungsi likelihood untuk sampel ini adalah
L(p) = ],...,,[ 1100 nn xXxXxXP === = 0xp Õ
r
ji
sij
ijp,
(4.2)
dengan ijs menyatakan jumlah transisi satu langkah dari state i ke j.
Fungsi log-likelihood dari persamaan (4.2) adalah
å+=r
jiijijx psppL
,
lnln)(ln0
. (4.3)
Untuk memperoleh estimasinya, persamaan (4.3) diturunkan terhadap ijp ,
diperoleh
ij
ij
ij p
s
ppL
=¶
¶ )(ln.
Jika persamaan di atas disamadengankan nol maka hasilnya akan menyatakan
bahwa estimasi probabilitas transisi bernilai ¥ . Oleh karena itu, digunakan
metode Pengali Lagrange untuk memaksimumkan ln L(p). Didefinisikan fungsi
tujuan dari permasalahan ini adalah memaksimumkan )(ln pL , dengan r
konstrain, 1=år
jijp , untuk masing-masing i, dan rlll ,...,, 21 sebagai konstanta
pengali Lagrange. Diperoleh fungsi baru,
M = ÷÷ø
öççè
æ-- åå
=
1)(ln1
r
jij
r
ii ppL l
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
16
= ÷÷ø
öççè
æ--+ ååå
=
1lnln1,
0
r
jij
r
ii
r
jiijijx ppsp l
Untuk memaksimumkan fungsi )(ln pL , maka fungsi M di atas diturunkan
terhadap ijp dan il .
§ 0=¶M¶
ijp
0=- iij
ij
p
sl
i
ijij
sp
l=
§ 0=¶M¶
il
1=år
jijp
Karena persamaan konstrain,
1=år
j i
ijs
l Û i
r
jijs l=å
maka diperoleh penduga maksimum likelihood untuk ijp yaitu
å=
=r
jij
ijij
s
sp
1
ˆ .
Dengan demikian matriks estimasi probabilitas transisinya adalah
úúúúúúúúúúúú
û
ù
êêêêêêêêêêêê
ë
é
=
úúúú
û
ù
êêêê
ë
é
=
ååå
ååå
ååå
===
===
===
r
jrj
rrn
jrj
rr
jrj
r
r
jj
rr
jj
r
jj
r
jj
rr
jj
r
jj
rrrr
r
r
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
ppp
ppp
ppp
P
11
2
1
1
12
2
12
22
12
21
11
1
11
12
11
11
21
22221
11211
ˆˆˆ
ˆˆˆ
ˆˆˆ
LMOMM
L
L
LMOMM
LL
.
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
17
4.3 Distribusi Asimtotik dari Penduga ijp
Misalkan prosesnya dianggap stasioner, maka bisa diasumsikan bahwa
iki iXPp p=== ][ untuk semua k. Kemudian ip mengandung informasi tentang
probabilitas transisi ijp karena memenuhi persamaan å=
=r
kkuuu p
1
pp .
Menurut Sulistyowati (2003),
ii
n ns
p=÷øö
çèæ
¥®limp . (4.4)
Selanjutnya, persamaan (4.4) akan digunakan untuk mengetahui distribusi
asimtotik dari penduga ijp . Berikut ini penjelasan Billingsley (1960) tentang
distribusi asimtotik dari penduga ijp . Misalkan β = 6144, … ,14破, … ,1破4, … 1破破邹 adalah vektor parameter dan β穗= (1̂44, … , 1̂4破, … , 1̂破4, … 1̂破破) adalah vektor
penduga parameter dengan i
ijij s
sp =ˆ , maka 税滚�(β穗− β) konvergen dalam
distribusi ke distribusi normal dengan mean 0 dan matriks kovariansi S yang
komponennya diberikan oleh 晃� ,瓶评= 磺�瓶(磺 评1� − 1� 1瓶评). (4.5)
dengan îíì
=0
1uvd
untuk u = v
untuk u ≠ v
Misalkan diketahui variabel random independen 1X dan inW (i = 1, 2,…, r
; n = 1, 2,…) sedemikian sehingga &揍贯4 = 轨租= 挥� dan ijin pjWP == ][ .
Selanjutnya variabel inW diilustrasikan dalam bentuk berikut
,...,...,,
............................
,...,...,,
,...,...,,
21
22221
11211
rnrr
n
n
WWW
WWW
WWW
.
Mula-mula 1X disampel. Misalkan diperoleh 1X = i, maka variabel pertama baris
ke-i disampel, hasilnya 2X . Misalkan 2X = j, maka variabel pertama pada baris
ke-j disampel, hasilnya 3X , dan seterusnya. Kemudian 2X didefinisikan sebagai
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
18
11xW dan seterusnya sampai 1+nX didefinisikan sebagai nxnW . Pengilustrasian di
atas bisa ditulis
}12,,{}11,{ 111 1+££===+££= --
nkxWxXnkxX kkxkk k.
Karena variabel-variabel tersebut independen, maka
}{}...{}{}11,{ 12111 1 +====+££= nnaakk awPawPaxPnkaxPn
= 1ap
21aap ...1+nnaap .
Sehingga jelas bahwa, untuk i tetap, ),...,( 1 iri ss adalah jumlah transisi untuk
),...,( 1 iisi ww . Karena si dekat dengan inp (berdasarkan persamaan (4.4)), maka
),...,( 1 iri ss bisa dibandingkan dengan ),...,( 1 iri ff yang merupakan jumlah transisi
dari ),...,( ][1 inii ww p . Karena masing-masing baris inw independen, kemudian
berdasarkan teorema limit pusat untuk percobaan multinomial, variabel random
i
ijiijij
n
pnf
p
pg
][-= akan berdistribusi normal asimtotik dengan matriks kovariansi
yang diberikan oleh persamaan (4.5). Selanjutnya, variabel random
i
ijiijij
n
pss
pg
-=' akan mempunyai distribusi limit yang sama dengan ijg karena
n
pss
n
pnf ijiijijiij --
- ][ p
konvergen dalam probabilitas ke 0 pada saat n ® ∞. Kemudian, berdasarkan
persamaan (4.4), variabel Fij = )ˆ( bb -is mempunyai distribusi limit yang sama
dengan 黄� 烛. Hal ini bisa dibuktikan dengan uraian berikut.
Variabel 瓜� = 税滚�(慌谆− 慌) bisa dinyatakan dengan 瓜� = 黄� 烛收税气腮税魄腮/坡寿. 瓜� = 税滚� 足魄腮鳃魄腮− 1� 卒
= 税滚� 足魄腮鳃魄腮− 魄腮颇腮鳃魄腮卒
= 税魄腮魄腮试滚� − 滚�1� 守. 税坡气腮税坡气腮
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
19
= (魄腮鳃能魄腮颇腮鳃)税坡气腮 . 税坡气腮税魄腮 = 黄� 烛收税气腮税魄腮/坡寿
Karena (滚�/柜) 颇→挥�, maka 瓜� dan 黄� 烛 mempunyai distribusi yang sama.
4.4 Interval Konfidensi untuk Probabilitas Transisi
Salah satu cara sistematis untuk menyelesaikan analisis statistik pada
rantai Markov adalah membawa rantai Markov tersebut ke metode chi kuadrat
yang diaplikasikan dalam kasus multinomial. Oleh karena itu, sebelum membahas
interval konfidensi untuk probabilitas transisi rantai Markov, terlebih dahulu
dibahas tentang interval konfidensi untuk parameter multinomial (dalam hal ini
adalah probabilitas sel).
4.4.1 Interval Konfidensi untuk Parameter Multinomial
Distribusi multinomial digunakan untuk situasi dimana terdapat lebih dari
2 hasil yang mugkin pada setiap percobaan. Dengan kata lain, untuk n percobaan
independen, terdapat k hasil yang mungkin yang masing-masing memiliki
probabilitas.
Sebelum menurunkan interval konfidensi simultan, digunakan
pertidaksamaan Bonferroni untuk mempertimbangkan semua parameter secara
simultan. Untuk masing-masing parameter yang tak diketahui ip , i = 1, 2, …, k,
ada interval ( uili pp , ), masing-masing dengan koefisien konfidensi ka
. Anggap Ei
adalah kejadian dimana ( uili pp , ) mengandung ip . Sehingga iE merupakan
komplemen dari Ei , atau kejadian dimana ( uili pp , ) tidak mengandung ip .
Probabilitas iE menjadi
kEP i
a=][ untuk i = 1, 2, …, k. (4.6)
Untuk memperoleh interval konfidensi simultan, semua kejadian Ei harus
terjadi secara simultan. Sehubungan dengan probabilitas simultan semua kejadian
dan komplemennya, diperoleh
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
20
]...[1]...[ 11 kk EEPEEP ÈÈ-=ÇÇ
dan jelas bahwa &揍刮呻4 ∪ …∪ 刮呻瓶租≤ &揍刮呻4租+ … + &揍刮呻瓶租.
Sehingga
&揍刮4 ∩ …∩刮瓶租≥ 1 − 6&揍刮呻4租+ … + &揍刮呻瓶租邹. (4.7)
Dengan mensubstitusikan persamaan (4.6) ke persamaan (4.7), bisa disimpulkan
bahwa &揍刮4 ∩ …∩刮瓶租≥ 1 − 荒.
Hasil di atas menyatakan bahwa untuk parameter yang tak diketahui 14, … ,1瓶 ,
jika ( 11, ul pp ),…,( uklk pp , ) adalah interval konfidensi 100[1-ka
]% untuk tiap ip ,
i = 1, 2, …, k, maka probabilitas paling sedikit (1 - a) bahwa interval konfidensi
ini secara simultan mengandung kpp ,...,1 .
Untuk menurunkan interval konfidensi, masing-masing parameter ip , i =
1, 2, …, k diperlakukan sebagai sebuah variabel random binomial. Pendekatan
normal untuk variabel binomial menyatakan
npp
ppZ
ii
ii
)1(
)ˆ(
--
= ~ Za/2 (0,1).
Dengan mengkuadratkan variabel di atas, diperoleh
)1( ~)1(
)ˆ( 22
2ac
ii
ii
pp
ppnZ
--
= (4.8)
dengan )1(2ac adalah batas atas (1-a) dari distribusi chi kuadrat dengan derajat
bebas satu.
Pertidaksamaan Bonferroni diterapkan pada variabel chi kuadrat untuk
memperhitungkan semua parameter secara simultan. Persamaan (4.8) ditulis
kembali menjadi 柜(1̂� − 1�)挠= 悔崎,4挠 1�(1 − 1�).
Persamaan di atas kemudian diberlakukan untuk semua parameter (1�,…,1瓶) dan 荒 diganti dengan 崎瓶 . Sehingga diperoleh
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
21
)1()ˆ( 21,/
2iikii ppppn -=- ac untuk semua i = 1, 2, …, k. (4.9)
Persamaan (4.9) diuraikan menjadi 柜61̂�挠− 21�1̂� + 1�挠邹= 悔汕塞,4挠 1� − 悔汕塞,4挠 1�挠
柜1̂�挠− 2柜1�1̂� + 柜1�挠= 悔汕塞,4挠 1� − 悔汕塞,4挠 1�挠
收柜+ 悔汕塞,4挠 寿1�挠+ (− 2柜1̂� − 悔汕塞,4挠 )1� + 柜1̂�挠= 0
Sehingga diperoleh interval konfidensi untuk probabilitas multinomial yaitu
)(2
)ˆ)((4)ˆ2()ˆ2(2
1,/
221,/
221,/
21,/
k
ikkikiui n
pnnpnpnp
a
aaa
c
ccc
+
+---+---= sebagai batas
atas interval dan
)(2
)ˆ)((4)ˆ2()ˆ2(2
1,/
221,/
221,/
21,/
k
ikkikili n
pnnpnpnp
a
aaa
c
ccc
+
+-------= sebagai batas
bawah interval.
4.4.2 Interval Konfidensi untuk Probabilitas Transisi Rantai Markov Diskrit
Interval konfidensi untuk probabilitas transisi rantai Markov ditentukan
dengan analog pada distribusi multinomial. Misalkan {Xk} adalah rantai markov
dengan ruang state berhingga, dengan ijp menyatakan probabilitas proses berada
di state j pada waktu k dan berada di state i pada waktu k – 1.
Diketahui matriks jumlah transisi S berikut
S =
úúúú
û
ù
êêêê
ë
é
rrrr
r
r
sss
sss
sss
...
...
...
21
22221
11211
MOMM.
Matriks di atas bisa dituliskan dalam bentuk tabel berikut.
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
22
State 1 2 … r Jumlah
1 11s 12s … rs1 =å=
r
jjs
11 1s
2 21s 22s … rs2 =å=
r
jjs
12 2s
M M M … M M
r 1rs 2rs … rrs =å=
r
jrjs
1rs
Karena 11
=å=
r
jijp , maka interval konfidensi 100(1-a)% untuk probabilitas transisi
1� bisa ditentukan dengan
)1()ˆ( 21,/
2ijijrijiji pppps -=- ac untuk i, j = 1, 2, …, r
yang mempunyai penyelesaian
)(2
)ˆ)((4)ˆ2()ˆ2(ˆ
21,/
221,/
221,/
21,/
ri
ijiririjiriji
ij s
psspspsUp
a
aaa
c
ccc
+
+---+---= (4.10)
sebagai batas atas interval dan
)(2
)ˆ)((4)ˆ2()ˆ2(ˆ
21,/
221,/
221,/
21,/
ri
ijiririjiriji
ij s
psspspsLp
a
aaa
c
ccc
+
+-------= (4.11)
sebagai batas bawah interval.
4.5 Contoh Kasus
Dianggap bahwa penjualan dan pembelian mobil menurut jenis badan
mobil memenuhi sifat Markov. Artinya seseorang memutuskan untuk membeli
mobil berdasarkan bentuk badan mobil yang dia miliki sebelumnya. Jenis badan
mobil yang diamati adalah sedan, pick up, dan wagon (kijang). Data diperoleh
dari hasil penjualan dan pembelian mobil dalam satu tahun terakhir (tahun 2009 –
2010) dari dealer mobil NOVI MOTOR Kartasura yang melayani penjualan mobil
dengan cara tukar tambah. Data disajikan dalam tabel berdasarkan pada model
badan (body) mobil berikut.
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
23
Mobil yang
dibeli
Mobil yang
dijual
Jumlah
Pick up Pick up 48
Pick up Sedan 13
Pick up Wagon 11
Sedan Pick up 36
Sedan Sedan 35
Sedan Wagon 47
Wagon Pick up 37
Wagon Sedan 13
Wagon Wagon 36
Misalkan state 1 untuk mobil jenis pick up, state 2 untuk sedan, dan state 3 untuk
wagon. Misalkan ijs menyatakan jumlah konsumen yang mengganti mobil i
dengan mobil j, untuk i, j = 1, 2, 3. Nilai dari ijs dapat dinyatakan dalam tabel
berikut.
1(pick up) 2(sedan) 3(wagon) is
1(pick up) 48 13 11 72
2(sedan) 36 35 47 118
3(wagon) 37 13 36 86
js 121 61 94 276
Jika diasumsikan bahwa perpindahan jenis badan mobil dianggap stabil maka
dapat ditentukan estimasi probabilitas transisi dengan
å=
=r
jij
ijij
s
sp
1
ˆ . Matriks
estimasi probabilitas transisi untuk masalah ini adalah
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
24
P = 饰1̂44 1̂4挠 1̂4脑1̂挠4 1̂挠挠 1̂挠脑1̂脑4 1̂脑挠 1̂脑脑室 =冈赣赣赣赣敢
4872 1372 117236118 35118 471183786 1386 3686 缸钢钢钢钢刚 = 饰0,6667 0,1805 0,15280,3051 0,2966 0,39830,4302 0,1152 0,4186室.
Dari matriks di atas, dapat dilihat bahwa pembeli yang mempertahankan mobil
jenis pick up sekitar 66,67%, yang menukar mobil jenis pick up dengan sedan
18,05%, yang menukar pick up dengan wagon 15,28%, dan seterusnya.
Untuk menentukan interval konfidensi 95 % untuk probabilitas transisi 1� , digunakan persamaan (4.10) dan (4.11). Dengan 7311,52
1,3/05,0 =c , diperoleh
- untuk i = 1,
)7311,5(2
)ˆ)(7311,5(4)7311,5ˆ2()7311,5ˆ2(,ˆ
1
21111
2111111
11 ++---±---
=s
psspspsLUp
)7311,5(2
)ˆ)(7311,5(4)7311,5ˆ2()7311,5ˆ2(,ˆ
1
21211
2121121
12 ++---±---
=s
psspspsLUp
)7311,5(2
)ˆ)(7311,5(4)7311,5ˆ2()7311,5ˆ2(,ˆ
1
21311
2131131
13 +
+---±---=
s
psspspsLUp
- untuk i = 2,
)7311,5(2
)ˆ)(7311,5(4)7311,5ˆ2()7311,5ˆ2(,ˆ
2
22122
2212212
21 ++---±---
=s
psspspsLUp
)7311,5(2
)ˆ)(7311,5(4)7311,5ˆ2()7311,5ˆ2(,ˆ
2
22222
2222222
22 ++---±---
=s
psspspsLUp
)7311,5(2
)ˆ)(7311,5(4)7311,5ˆ2()7311,5ˆ2(,ˆ
2
22322
2232232
23 +
+---±---=
s
psspspsLUp
- untuk i = 3,
)7311,5(2
)ˆ)(7311,5(4)7311,5ˆ2()7311,5ˆ2(,ˆ
3
23133
2313313
31 +
+---±---=
s
psspspsLUp
)7311,5(2
)ˆ)(7311,5(4)7311,5ˆ2()7311,5ˆ2(,ˆ
3
23233
2323323
32 +
+---±---=
s
psspspsLUp
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
25
)7311,5(2
)ˆ)(7311,5(4)7311,5ˆ2()7311,5ˆ2(,ˆ
3
23333
2333333
33 +
+---±---=
s
psspspsLUp
Hasilnya ditunjukkan pada tabel berikut.
ijp ijp̂ Interval konfidensi 95 %
Batas bawah Batas atas
11p 0,6667 0,525822 0,845322
12p 0,1805 0,097001 0,335877
13p 0,1528 0,077405 0,301632
21p 0,3051 0,21462 0,433725
22p 0,2966 0,207268 0,424434
23p 0,3983 0,297546 0,533172
31p 0,4302 0,310731 0,595603
32p 0,1152 0,055897 0,237418
33p 0,4186 0,300271 0,583559
Dari hasil yang diperoleh, terlihat bahwa dengan tingkat kepercayaan 95%,
jumlah pembeli yang tetap mempertahankan mobil jenis pick up sekitar
52,5822% sampai dengan 84,5322%, yang menukar pick up dengan sedan 9,7%
sampai dengan 33,5877%, dan seterusnya.
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user 26
BAB V
PENUTUP
5.1 Kesimpulan
Berdasarkan pembahasan pada bab sebelumnya, dapat diambil kesimpulan
bahwa interval konfidensi 100(1-a)% untuk probabilitas transisi Z�6 ditentukan oleh
UppLp ijijij ˆˆ ££ , dengan
)(2
)ˆ)((4)ˆ2()ˆ2(ˆ
21,/
221,/
221,/
21,/
ri
ijiririjiriji
ij s
psspspsUp
a
aaa
c
ccc
+
+---+---=
sebagai batas atas interval dan
)(2
)ˆ)((4)ˆ2()ˆ2(ˆ
21,/
221,/
221,/
21,/
ri
ijiririjiriji
ij s
psspspsLp
a
aaa
c
ccc
+
+-------=
sebagai batas bawah interval, untuk i, j = 1, 2, …, r.
5.2 Saran
Dalam penulisan skripsi ini, pembahasan mengenai interval konfidensi pada
rantai Markov didasarkan pada analogi dari distribusi multinomial. Sebagai saran,
penentuan interval konfidensi bisa juga ditentukan dengan metode bootstrap atau
metode yang lainnya.