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ESTATICA CABLES
INGENIERIA CIVIL- 2012-I 1
C BLES
Los cables se utilizan en muchas aplicaciones ingenieriles tales como puentes
colgantes, lneas de transmisin, telefricos, contravientos para torres altas, etc. Los
cables pueden dividirse en dos categoras de acuerdo con las cargas que actan sobre
estos 1) cables que soportan cargas concentradas y 2) cables que soportan cargas
distribuidas.
CABLES CON CARGAS CONCENTRADASConsidrese un cable unido a dos puntos fijos A y B y que soportan n cargas
concentradas verticales, , ,..., (figura 7.13a).Se supone que el cable es flexible,estos, que su resistencia a la flexin es pequea y puede despreciarse. Adems,
tambin se supone que el peso del cable es susceptible de ser ignorado en
comparacin con las cargas que soporta. Por lo tanto, cualquier porcin del cable entre
dos caras consecutivas se puede considerar como un elemento sometido a la accin de
dos fuerzas y, por consiguiente las fuerzas internas en cualquier punto del cable se
reducen a una fuerza de tensin dirigida a lo largo del cable.
Se supone que cada una de las cargas se encuentra en una lnea vertical dada, esto
es, que la distancia horizontal desde el apoyo A hasta cada una de las cargas es
conocida; adems, tambin se supone que las distancias horizontal y vertical entre los
apoyos son conocidas. Se desea determinar la forma del cable, esto es, la distancia
vertical desde el apoyo A hasta cada uno de los puntos ,, y tambin se deseaencontrar la tensin T en cada una de las porciones del cable.
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ESTATICA CABLES
INGENIERIA CIVIL- 2012-I 2
C1
C2
C3
P3P2
P1
A
B
L
Y1
Y2Y3
d
X1
X2
X3
C1
C2
C3
P3P2
P1
A
B
L
Y1
Y2Y3
d
X1
X2
X3
B
B
y
x
A
A
y
x
a) b)
Figura 7.13
D
Primero se dibuja un diagrama de cuerpo libre para todo el
cable (figura 7.13b). Como la pendiente de las porciones del
cable unidas en A y B no es conocida, cada una de las
reacciones en A y B debe representarse con dos
componentes. Por lo tanto estn involucradas cuatro incgnitas
y las tres ecuaciones de equilibrio que se tienen disponibles no
son suficientes para determinar las reacciones en A y B. Por lo
tanto, se debe obtener una ecuacin adicional considerando el
equilibrio de una porcin del cable. Lo anterior es posible si se
conocen las coordenadasxyy de un punto D del cable.
Dibujando el diagrama de cuerpo libre de la porcin AD del
cable (figura 7.14a) y escribiendo , se obtiene unarelacin adicional entre las componentes escalaresyy sepueden determinar las reacciones en A y B. Sin embargo, el
problema continuara siendo indeterminado si no se conocieran
las coordenadas de D, a menos que se proporcionara otra
relacin entrey(o entre y ).
C1 D
P1
A
Y1
X1
X
A x
a)
T
y
A y
C1
C2
P2
P1
A
Y1
Y2
X1
X2
A x
b)
A y
T
Fig. 7.14
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ESTATICA CABLES
INGENIERIA CIVIL- 2012-I 3
Como se indica por medio de las lneas discontinuas en la figura 7.13b, el cable podra
colgar en cualquiera de varias formas posibles.
Una vez que se han determinado y, se puede encontrar fcilmente la distanciavertical desde A hasta cualquier punto del cable. Por ejemplo, considerando el punto ,se dibuja el diagrama de cuerpo libre de la porcin Adel cable (figura7.14b).escribiendo , se obtiene una ecuacin que puede resolverse para.escribiendo y , se obtienen las componentes de la fuerza T querepresenta la tensin en la porcin del cable que est a la derecha de . Se observa queTcos= -; por lo tanto, la componente horizontal de la fuerza de tensin siempre es lamisma en cualquier punto del cable. Se concluye que la tensin T es mxima donde coses mnimo, esto es, en la porcin del cable que tiene el mayor ngulo de inclinacin .Obviamente, dicha porcin del cable debe ser adyacente a uno de los dos apoyos delcable.
CABLES CON CARGAS DISTRIBUIDASConsidrese un cable que est unido a dos puntos fijos A y B y que soporta una carga
distribuida (figura 7.15a).En la seccin anterior se vio que, para un cable que soporta
cargas concentradas, la fuerza interna en cualquier punto es una fuerza de tensin
dirigida a lo largo del cable. En el caso de un cable que soporta una carga distribuida, ste
cuelga tomando la forma de una curva y la fuerza interna en el punto D es una fuerza de
tensin T dirigida a lo largo de la tangente de la curva. En esta seccin, se aprender a
determinar la tensin en cualquier punto de un cable que soporta una carga distribuida
dada. En las secciones siguientes se determinara, la forma que adopta el cable para dos
tipos particulares de cargas distribuidas.
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ESTATICA CABLES
INGENIERIA CIVIL- 2012-I 4
Considerando el caso ms general de carga distribuida, se dibuja el diagrama de cuerpo
libre de la porcin del cable que se extiende desde el punto ms bajo C hasta un puntodado D del cable (figura 7.15b).las fuerzas que actan sobre el cuerpo libre son la fuerza
de tensin en C, la cual es horizontal, la fuerza de tensin T en D, la cual esta dirigida alo largo de la tangente al cable en D y la resultante W de la fuerza distribuida, soportada
por la porcin CD del cable .Dibujando el tringulo de fuerzas correspondiente (figura
7.15c), se obtiene las siguientes relaciones:
A partir de las relaciones (7.5), resulta evidente que la componente horizontal de la fuerzade tensin T es la misma en cualquier punto y que la componente vertical de T es igual a
la magnitud W de la carga medida a partir del punto ms bajo. Las relaciones (7.6)
muestran que la tensin Tes mnima en el punto ms bajo y mxima en uno de los dos
puntos de apoyo.
cos ; sen (7.5)
+ ; tan 0. (7.6)
A
C
B
D
C
D
T 0
T
W
WT
T0
a)
b) c)
Figura 7.15
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ESTATICA CABLES
INGENIERIA CIVIL- 2012-I 5
CABLE PARABOLICOAhora, supngase que el cable AB soporta una carga uniformemente distribuida a lo largo
de la horizontal (figura 7.16a).Se puede
suponer que los cables de los puentes
colgantes estn cargados de esta forma
puesto que el peso del cable es pequeo
en comparacin con el peso de la calzada.
La carga por unidad de longitud (medida
horizontalmente) se representa con
y se
expresa en N/m o en lb/ft. Seleccionando
ejes coordenados con su origen en el punto
ms bajo C del cable, se encuentra que la
magnitud W de la carga total soportada por
la porcin del cable que se extiende desde
C hasta el punto D de coordenadas y esta dad por W = .De esta forma, lasrelaciones (7.6) que definen la magnitud y
la direccin de la fuerza en D, se
convierten en:
+ ; tan 0 ...(7.7)
b)
a)
Figura 7.16
A
C
B
D(x,y)
Y
X
C
D(x,y)Y
Xx/2 x/2
T
T 0
W=x
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ESTATICA CABLES
INGENIERIA CIVIL- 2012-I 6
Adems, la distancia desde D hasta la lnea de accin de la resultante W es igual a la
mitad de la distancia horizontal que hay desde C hasta D (fig. 7.16 b)
Sumando momentos con respecto a D, se escribe:
Y resolviendo para ,se obtiene:
Esta es la ecuacin de una parbola con un eje vertical y con su vrtice en el origen del
sistema de coordenadas. Por lo tanto, la curva formada por los cables que estn cargados
uniformemente a lo larga de la horizontal es una parbola.
Cuando los apoyos A y B del cable y tienen la misma elevacin, la distancia L entre los
apoyos se conoce como el claro del cabley la distancia verticalh desde los apoyos hasta
el punto ms bajo se denomina la flecha del cable. (Figura 7.17a).Si se conocen el claro y
la flecha de un cable y si la carga por unidad de longitud horizontal
esta dada, se puede
encontrar la tensin mnima sustituyendo y en la ecuacin(7.8).Entonces, las ecuaciones (7.7) proporcionaran la tensin y la pendiente en cualquierpunto del cable y la ecuacin (7.8) definir la forma del cable.
Cuando los apoyos tienen elevaciones diferentes, no se conoce la posicin del punto ms
bajo del cable y se deben determinar las coordenadas ; y; de los apoyos .Paratal fin, expresa que las coordenadas de A y B satisfacen la ecuacin (7.8) y que y , donde L yd representan respectivamente, Las distancias horizontal yvertical entre los dos apoyos (figura 7.17b y c).
MD x y .. 7.8y 2T07.9
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INGENIERIA CIVIL- 2012-I 7
La longitud del cable desde su punto ms bajo C
hasta su apoyo B se puede obtener a partir de la
frmula:
CATENARIAConsidrese un cable homogneo que no
lleva carga excepto su propio peso. En
este caso, la carga esta uniformemente
distribuida a lo largo de la longitud del
cable; es decir, , donde es elpeso del cable por unidad de longitud y la
distancia se mide a lo largo del cable.Por lo tanto, la resultante de la carga
mostrada en la figura 7.18b es
.
Las siguientes relaciones tiles pueden
ahora obtenerse de las ecuaciones (7.7).
1 +
.. (7.10)
A BL
Y
X
h
A
BL
Y
XxA xB
yA
yB
A
B
Y
Cx < 0A xB
L
yA
yB
d
b)
a)
c)
Figura 7.17
1 + T0 + T0 *T0 + 1 + T0 (7.11)
b)
a)
Figura 7.18
A
O
B
C
Y
X
O
C
Y
X
T
T 0
x
s y
W
s
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ESTATICA CABLES
INGENIERIA CIVIL- 2012-I 8
Sustituyendo en la ecuacin (7.6) resulta:
La longitud del cable:
Las funciones y , llamadas seno hiperblico y coseno hiperblico,respectivamente se definen como:
; +
La curva representada por la ecuacin se llama catenaria.
De acuerdo con la ecuacin (7.6), la tensin en el cable es:
EJEMPLOS:1. El cable AE soporta tres cargas verticales en los puntos indicados. Si el punto C est a
5 ft por debajo del apoyo izquierdo, determnese a) la elevacin de los puntos B y D y
b) la pendiente mxima y la tensin mxima en el cable.
T0 ;
+
.. (7.12)
T0 T0 . (7.13)
T0 .. (7.15)
T0
T0 1 .. (7.14)
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ESTATICA CABLES
INGENIERIA CIVIL- 2012-I 9
SOLUCION-Reacciones en los apoyos:las componentes de reaccin
yse determinan de la siguiente manera: DCL detodo el cable M
++1+1
-Cuerpo libre ABC: M + 1
Resolviendo las 2 ecuaciones se obtiene.
18 ; a) Elevacin de los puntos A y B.DCL de AB: considerando la porcin AB del cable.M 18y y . DCL de ABCD: considerando la porcin ABCD del cable.M 18yD + + 11 yD .8 b) Pendiente mxima y tensin mxima se observa que la pendiente mx. ocurre en la porcin DE. Como la
componente horizontal de la tensin es constante e igual a 18 kp, se escribe.t a n 1.171 ; . 18 ; .8
DCL
20ft 10ft 15ft 15ft
4 kp
12 kp
6 kp
20ft
5ftA
B C
D
E
20ft 10ft 15ft 15ft
4 kp
12 kp6 kp
20ft
5ftA
B C
D
E
A
A
y
x
E
E
y
x
20ft 10ft
12 kp6 kp
5ftA
B C
A
A
y
x
20ft
6 kp
A
B
5 kp
18 kp y B
20ft 10ft 15ft
4 kp
12 kp6 kp
5ftA
B C
D5 kp
18 kp
yD
4 kp
12 kp6 kp
5ftA
B C
D
E
E
E =
y
x
15 ft
5.83 ft
14.17 ft
5 kp
18 kp
18 k
+
+
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INGENIERIA CIVIL- 2012-I 10
2. Un cable ligero esta unido a un apoyo A, pasa sobre una polea pequea en B ysoporta una carga P. Sabiendo que la flecha del cable es de 0.5m y que la masa por
unidad de longitud del cable es de 0.75kg/m, determnesea) la magnitud de la carga,
b) la pendiente del cable en B. Como la relacin entre la flecha y el claro es pequea,
supngase que el cable es parablico. Adems, ignrese el peso de la porcin del
cable que va desde B hasta D.
a) Carga P: se representa con el punto C el punto ms bajo del
cable y se dibuja el diagrama de cuerpo libre
correspondiente a la porcin CB del cable. Suponiendo que
la carga esta uniformemente distribuida a lo largo de la
horizontal, se escribe: .7 9.81 7.La carga total para la porcin CB del cable est dada:
x 7. 17.
Y se aplica a la mitad entre C y B. Sumando momentos con
respecto de B, se escribe.
M (147.2 N)(10m) - (0.5m) = 0= 2944 N pat e tanuo e uezas se otene.= + 9 + 17. 98Como la tensin en ambos lados de la polea es la misma, se
encuentra que: P=
=2948N
b) Pendiente del cable en B. Adems,a partir del tringulo de fuerzas tambin se obtiene.t a n T0=. . . 9
C
B
T 0
T
W = 147.2 N
B
Y
X10 m 10 m
0.5m
W
T 0
C
B
T 0
TBY
X
0.5m
20m
T B
AB
D
P
40 m
0.5 m
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INGENIERIA CIVIL- 2012-I 11
3. Para el cable cargado como se muestra en la figura, determnese los ngulos y ,la fuerza en cada segmento y la longitud del cable.
-Del DCL del cable se obtiene.M
+ 1 17 La componente horizontal constante de la tensinen el cable puede encontrarse calculando la
componente horizontal de . 191 -En el nudo 2): y
cos ;
+
+ 2 19.8 ; .1 -En el nudo 1): y cos ; sen +
2 sen sen +1 9.78 ; 91 -Longitud del cable: + + cos + 11 cos + 7 9.78 + 1119.8 + 7
9.9+ 11.+ 8. 9.8 pes
A
B2 3=35
6 pies
6 pies 11 pies7 pies
1
1600 lb 2000 lb
A
B2 3=35
1
W1=1600 lb W2=2000 lb
T3
24
S1
S2
S31
2
T1
1
2
DCL
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INGENIERIA CIVIL- 2012-I 12
4. Para el cable cargado como se muestra en la figura, calcule los ngulos , y yla fuerza en cada segmento del cable.
SOLUCION.El DCL de todo cable se muestra en
la figura. Ahora nuestra funcin
principal es identificar las variables y
hacer valer las convenciones de
signos definidas. 1 1
+ + 8 +1 +1 + +
8
+1
+1
Se resuelve por sustitucin.
1789 . .8 . Las tensiones en los cables son
1789cos.
1789cos.8 1971 1789cos. 1
A
B2 3
6 pies1
1600 lb 2000 lb
A
B2
3
1
W1=1600 lb W2=2000 lb
T3
24
S1
S2
S31
2
T1
1
2
24 pies
8
pies
12pies
10pies
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ESTATICA CABLES
INGENIERIA CIVIL- 2012-I 13
5. El cable de 36 m mostrado en la figura pesa 1.5 KN/m. Determine la flecha H y la
tensin mxima en el cable.
En la ecuacin (7.13) sustituya
1.y las coordenadas de B( 18 1 T0 T0 18 T0. .T0
1.1En la ecuacin: 1 1.11. [ 1.11.1 1] 8.77 En la ecuacin: T0 1.1 1.11.1 .
A B
O
30 m
H
longitud=36 m
O
B
T 0
T =TmaxBY
X
H
15 m
longitu
d=18m
b) DCL del segmento OB
a)
1.5 KN/m
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INGENIERIA CIVIL- 2012-I 14
6. La figura muestra un cable que
soporta la carga uniformemente
distribuida 8 ,donde la distancia se mide a lolargo de la horizontal.
Determine el cable ms corto
para el cual la tensin en el
cable no excede 10000 lb y
encuentre la distancia correspondiente vertical H.
Solucin:
Como la carga esta uniformemente distribuida sobre la distancia horizontal,
se sabe que la forma a del cable es parablica .
Las fuerzas que aparecen sobre el diagrama son las tensiones de los
cables en los puntos extremos (y ) y la resultante de la cargadistribuida: es 1.Se infiere que la tensin esmxima en el punto B, es decir que 1.El DCL contiene tresincgnitas: los ngulos y y la tensin.
A
O
BY
X
H
40 pies
200 pies
A
O
B
40 pies
200 pies
TB
TA
W = 16000 lb
100 piesA
B
LA LB
SASB
DCL de todo el cable
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ESTATICA CABLES
INGENIERIA CIVIL- 2012-I 15
El siguiente paso es dibujar el DCL de la
porcin OB del cable como se muestra en
la figura.
Del DCL del cable entero:M ,1 1 11 . . 8 La raz positiva ms pequea de esta ecuacin puede encontrarse por
mtodos numricos: .98Del DCL de OB: , = 1cos.98 8 1.98898 Por lo tanto, 111. y 111. 88. M 8
1.98111. 1.98 8 .2 19. Con la siguiente ecuacin calculamos la longitud de cada una de los segmentos:
1 + ( ) + 1 ( )( ) + 1 + ( )
88. 1+1.11 + 8 1.11+ 1+1.11 117.
El resultado negativo se debe a la convencin de signos, la direccin positiva se
seala hacia la derecha mientras que el punto A est a la izquierda.
111. 1+111. + 8 111.+ 1+111. 1.1 + 117+1.18.1
DCL de OB
B
TB=10000 lb
H
To
W = 80LB
O
B
LB
LB/2
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ESTATICA CABLES
INGENIERIA CIVIL- 2012-I 16
7. En la figura se muestra el cable AB el
cual sostiene una carga uniformemente
distribuida a lo largo de la horizontal. Si
se sabe que el cable en B forma un
Angulo con respecto de lahorizontal, determnese
a) la tensin mxima en el cable.
b) La distancia vertical medida desde A
al punto ms bajo del cable.
DCL de todo el cable
Parte a) En el DCL de todo el cable.
M ; 9.8111 97. 1.811.8 178. 87.8 Parte b) En el DCL de la porcin OB.
M ; +
9.81 + 87.8 87.8DCL de la porcin OB
9.81 7.
7.79
.7
81.99
.7 1.8 .87
A
O
BY
X
1.8 m
12 m
45 kg/m
a
B
A
A
O
B
Y
X
12 m
a
B
A
Tmax=TB
TA
W=45 kg/m
6 m
LA LB
O
BY
X
B=35
TB
W
LB
LB/2
H
T0
.7 +81.99 7.79 .
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INGENIERIA CIVIL- 2012-I 17
8. En la figura se muestra el cable AB el cual
sostiene una carga uniformemente
distribuida a lo largo de la horizontal. Si se
sabe que el punto ms bajo del cable est
localizado a una distancia . pordebajo del punto A, determnese:
a) la tensin mxima en el cable.
b) El ngulo que el cable forma conrespecto a la horizontal en B.
DCL de todo el cable
En el DCL de todo el cable M 9.811 +1.8 1
En el DCL de la porcin OBM +. 9.81 +. ; 9.819.81 +. 9.81. 9.81 . , . M ; . 9.81
.2
.
2 ..
9.811 + ..2. 19.81 7.99 7.99 El resultado negativo se debe a la convencin de signos, la direccin positiva se
seala hacia la derecha mientras que el punto A est a la izquierda.
A
O
BY
X
1.8 m
12 m
45 kg/m
a
B
A
A
O
BY
X
0.6 m
B
A
TB
TA
W
6 m
LA LB
1.8 m
O
BY
X
B
TB
W=LB
LB
LB/2
2.4 m
T0
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ESTATICA CABLES
INGENIERIA CIVIL- 2012-I 18
Luego reemplazamos 7.99 en :. ; 9.79Luego en .2. : 871.9 Luego 98.
9. Determine la tensin en cada segmento del cable y la longitud del cable.
Considere P=80 lb.
a) M 8 + 7 1
9
8.8
b) DCL en D 9. + TT 1 8.81 .
c) DCL en C
; + 8 t T2T2 .. ; . ; 79. d) Longitud del cable
+ + + + 1.9
A
B
80 lb50 lb
CD
2 pies
5 pies
3 pies4 pies3 pies
T3
S1A
B
80 lb50 lb
C
D
T1
S2
S3
a
DCL de todo el cable
T3
50 lb
DT2
DCL en D
80 lb
C
T1
aT2
DCL en C
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INGENIERIA CIVIL- 2012-I 19
10.Determine la mxima carga uniforme distribuida que puede soportar el cable,si la tensin mxima que puede sostener es de 4000 lb.
a) En la ecuacin:
y 2
T0
1 1 2 2 1+187 1.7
b) Reemplazo L en
+
22 + , como 1.79 + 1.7 1.79 +1.7
.
b)
a)
A
B
CT0
15 pies
25 pies
10 pies
15 pies
W
TB
L/2 L/2
DCL de CB