1 APUNTES ESTTICA CCC441 2011 NDICE 1. REPASO DE CONCEPTOS MATEMTICOS Y FSICOS. ........................................................................... 4 1.1. Geometra euclidiana. ................................................................................................................... 4 1.2. Trigonometra. ................................................................................................................................ 5 1.3. Frmulas en un triangulo plano: ................................................................................................. 6 1.4. Propiedades de reas planas. ...................................................................................................... 7 1.5. reas parablicas. ........................................................................................................................ 10 2. SISTEMA ESTRUCTURAL O ESTRUCTURA. ............................................................................................ 11 3. PRINCIPIOS BSICOS. ............................................................................................................................. 12 3.1. Principio de equilibrio. ................................................................................................................ 12 3.2. Principio de compatibilidad geomtrica. ................................................................................. 12 3.3. Leyes constitutivas. ..................................................................................................................... 12 3.4. Ecuaciones de equilibrio. ............................................................................................................ 12 3.5. Clasificacin de los sistemas de fuerzas. ................................................................................. 14 3.6. Sistema coplanar de fuerzas. ..................................................................................................... 16 3.6.1. Resultante de un sistema de fuerzas coplanar. ............................................................... 17 3.7. Diagrama de cuerpo libre (Aislamiento de un sistema estructural). ................................. 18 4. ACCIONES SOBRE ESTRUCTURAS. ......................................................................................................... 18 4.1. Modelacin de las cargas. ........................................................................................................... 18 4.2. Normas Chilenas. .......................................................................................................................... 21 4.2.1. NCh1537.Of86 Diseo estructural de edificios. Cargas permanentes y sobrecargas de uso. (Extracto de la principales disposiciones). .................................................................... 21 4.2.2. NCh431.Of77 Construccin Sobrecargas de nieve. ..................................................... 23 4.2.3. NCh432.Of71 Clculo de la accin del viento sobre las Construcciones. ................... 24 5.ANLISISDELESTADODEESFUERZOSENESTRUCTURASUNIAXIALESPLANAS ESTTICAMENTEDETERMINADAS SOMETIDAS A UN SISTEMA DE FUERZAS COPLANAR. ..... 28 5.1. Tipos de estructuras. ................................................................................................................... 28 5.1.1 Estructuras Uniaxiales. .......................................................................................................... 28 2 5.2. Tipos de apoyos o uniones externas. ....................................................................................... 28 5.3 .Vnculos en estructuras uniaxiales planas. ............................................................................. 30 5.3.1. Uniones internas. ................................................................................................................... 30 5.3.2.. Nmero de vnculos que representan las uniones internas de una estructura plana uniaxial. .............................................................................................................................................. 32 5.3.3. Nmero de vnculos para obtener una estructura plana. .............................................. 32 5.4.Gradodehiperestaticidadoindeterminacinestticadeunaestructurauniaxial plana. ...................................................................................................................................................... 32 5.5. Principio de superposicin de los efectos. .............................................................................. 33 5.6. Grados de libertad de desplazamiento de una estructura. .................................................. 33 5.7. Clasificacin del estado de esfuerzos de una seccin. .......................................................... 34 5.8. Estado de esfuerzos en los elementos que forman una estructura uniaxial plana. ........ 34 5.8.1. Representacin del estado de esfuerzos en la seccin transversal de un elemento uniaxial que pertenecen a una estructura uniaxial plana. ........................................................ 34 5.9. Transformacin ortogonal de cargas concentradas y distribuidas. ................................... 35 5.9.1. Transformacin de una carga concentrada. ..................................................................... 35 5.9.2. Transformacin de una carga distribuida. ........................................................................ 36 5.10.Relacionesdiferencialesentrelascargasdistribuidaqy(x)yqx(x)ylosesfuerzos internos, Q(x), M(x) y N(x). ............................................................................................................... 38 6. VIGAS. .......................................................................................................................................................... 41 6.1. Clasificacin de las vigas. ........................................................................................................... 41 6.2. Anlisis de vigas isostticas. ...................................................................................................... 42 6.2.1. Clculo de las reacciones de los apoyos. .......................................................................... 42 6.2.2. Clculo de la distribucin de esfuerzos internos. ............................................................ 42 7. PRTICOS O MARCOS DE NUDOS RGIDOS. ....................................................................................... 42 7.1. Comportamiento de las columnas de un marco. .................................................................... 42 7.2. Clasificacin de los marcos. ....................................................................................................... 43 7.3. Anlisis de marcos isostticos. .................................................................................................. 43 7.3.1. Clculo de las reacciones en los apoyos de un marco. ................................................... 43 7.3.2. Clculo de esfuerzos internos. ............................................................................................ 43 3 8. ENREJADOS O ESTRUCTURAS PLANAS RETICULARES. ..................................................................... 44 8.1. Clasificacin de los enrejados.................................................................................................... 45 8.2. Mtodo de anlisis de enrejados isostticos. ......................................................................... 46 8.2.1. Clculo de las reacciones en los apoyos. .......................................................................... 46 8.2.2. Clculo de los esfuerzos axiales de las barras. ................................................................ 47 8.2.2.1. Mtodo de los nudos. ..................................................................................................... 47 8.2.2.2. Mtodo de las secciones. ............................................................................................... 48 8.3.Tensionesnormalesenlospuntosdeunaseccintransversaldeunabarradeun enrejado. ................................................................................................................................................ 48 8.4. Deformacin axial de una barra sometida a un estado de esfuerzo axial puro............... 49 9. INTRODUCCIN AL ANLISIS DE TENSIONES Y DEFORMACIONES. ............................................. 51 9.1. Concepto de tensin. ................................................................................................................... 51 9.2. Tensiones principales. ................................................................................................................. 53 9.3. Estado plano de tensiones. ......................................................................................................... 54 9.3.1. Componentes del vector de tensiones en la direcciones de los ejes x e y. ................ 55 9.3.2. Componentes de la tensin en la direccin normal y tangencial del plano. .............. 55 9.3.3. Direcciones y tensiones principales. .................................................................................. 56 9.3.4. Planos donde se producen las tensiones tangenciales mximas................................. 56 9.3.5 Representacin grfica del estado plano de tensiones en un punto del slido. ........ 56 9.4. Tensiones en los puntos de la seccin transversal de una barra. ....................................... 58 4 baco3o4o1o2B|1C E|2ADFOoBDAC1. REPASO DE CONCEPTOS MATEMTICOS Y FSICOS. 1.1. Geometra euclidiana. -Teorema De Pitgoras: En un triangulo rectngulo de catetos a, b e hipotenusa c, se cumple que: a2 + b2 = c2 -Teorema de Thales: Endosrectasparalelascortadasporunatransversal,todoslosngulosomostradosenlafiguraresultan iguales entre si. o1 = o2 : ngulos opuestos por el vrtice. o1 = o3 : ngulos de lados paralelos. o2 = o4 : ngulos de lados paralelos. o2, o3 : Se conocen como ngulos alternos internos. o1, o4 : Se conocen como ngulos alternos externos -ngulos de Lados Perpendiculares: Sea |1 el ngulo formado por < ABC y|2 el ngulo formado por < DEF |1 = |2 Si lado AB DE Si lado BD EF -Tringulos Semejantes: Cuandodostringulospresentanlosngulosinternoscorrespondientesigualesentresisedicequelos tringulos son semejantes.En este caso los lados homlogos estn todos en la misma proporcin. 5 aodaabcoLa figura es un caso frecuente de semejanza de tringulos. Enestecasooesunngulocomn,ylosladosABy CD son paralelos, perpendiculares a OC. La proporcionalidad de sus lados homlogos se puede detallar como: OA = OB = AB OCOD CD 1.2. Trigonometra. En un triangulo rectngulo, se definen las siguientes funciones: sen o = b/c cos o = a/c tan o = b/c = seno / coso Las funciones trigonomtricas tienen valores particulares fcilmente deducibles para los casos de 30, 45, 60 o = 45, se encuentra en el ngulo entre el lado y la diagonal de un cuadrado. Por Pitgoras la diagonal vale D2 = a2 + a2

D = \2 * a = 1,4142 a En donde a lado del cuadrado. Entonces las funciones tienen los siguientes valores: sen 45 = a/D = a/(a* 2 ) = 1/ 2 = * 2cos 45 = a/D = * 2= 0,7071 tg 45 = a/a = 1 Caso o = 60 y | = 30 Estos ngulos es encuentran en el triangulo equiltero. h = altura del triangulo. a = base del tringulo. 6 ocba|Por Pitgoras h = a* 3 sen | = sen 30 = a/2 = a cos | = cos 30 = h/a = 3 tg | = tg 30 = sen | = 1/33cos | sen o = sen 60 = h/a = 3 cos o = cos 60 = a/2 = a tg o = tg 60 =3 Medida de ngulos: 180 = t radianes 1 = t/180 radianes 1 radian = 180/t 30 = t/6 radianes 45 = t/4 radianes 60 = t/3 radianes 90 = t/2 radianes 360 = 2t radianes 1.3. Frmulas en un triangulo plano: Ley del Seno: a =b=c senosen| sen ley del Coseno: a2 = b2 + c2 2bc coso b2 = a2 + c2 2ac cos| c2 = a2 + b2 2ab cos 7 En un triangulo rectngulo si p y q son las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa, entonces la altura h se puede determinar como: h2 = p * q 1.4. Propiedades de reas planas. Sea f(x) una funcin definida en un sistema coordenado (X,Y) y=f(x)xxox1Odx El rea bajo la curva entre dos puntos X0, X1 esta definida por la integral. } } } = =1 10 0) ( ) ( ) (XXoX Xodx x f dx x f dx x f A El diferencial de rea esoa = y ox =f(x) ox La posicin del centro de gravedad, del rea achurada con respecto al eje y se determina como: }}}}= =11) () (XXoXXodx x fdx x xfdAxdAX Interesa determinar para figuras planas conocidas: A = rea o seccin X = posicin del centro de gravedad con respecto al eje Y Y = posicin del centro de gravedad con respecto al eje X hp qab 8 YxCGbaXcgr2rxyxx-Seccin rectangular de lado a, b: A = a * b X = a / 2 Y = b / 2 -Seccin circular de radio r o dimetro D: A = t * r2 X = r = D/2 Y = 0 -Sector rectangular de circulo de radio r: A = t * r2 4 X = 4 * r 3 * t Y = 4 * r 3 * t 9 yyxxbyaxya/2 a/2hYxxybaX Xccq p-Semi-circulo de radio r: A = t * r2 2 X = 0

Y = 4r 3*t -Triangulo rectngulo de lado a, b: A = a * b X =a 3 Y =b 3 -Triangulo agudo de altura h y base a A = ah Y = h/3 Para la posicin del centro de gravedad con respecto al eje x, se debe considerar que la bisectriz del ngulo agudo pasa por el centro de gravedad y corta la base en a/2. -Tringulo cualquiera de lados a, b, c, y donde p y q son las proyecciones de los lados a, b sobre c: A = ch h2 = p q (solo si a b) X = c + p Xc = c + q 33 10 axyyxy=kx2axyxy=kx2axyhyxny=kx1.5. reas parablicas. -Cuadrtica inferior: A = a * h 3 X = 3 * a 4 Y = 3 * h 10 -Cuadrtica superior: A = 2 * a * h 3 X = 3 * a 8 Y = 3 * h 5 -Semi-parbola: A = 4 * a * h 3 X = 0 Y = 3 * h 5 -Parbola de grado n: A = a * h n + 1 X = n +1 * a n +2 Y = (n + 1) * h 4 * n + 2 aaYxh2y=kx 11 2. SISTEMA ESTRUCTURAL O ESTRUCTURA. Estructura es toda aquella parte de una construccin que soporta y resiste las acciones externas bajo una condicin de reposo, de manera tal que las deformaciones que experimenta son pequeas y que los elementos que la forman no experimenten daos. Para desempear estas funciones bajo las condiciones destacadas, la estructura debe contar con: i.Los vnculos, externos e internos, para evitar los efectos motrices que pueden producir las acciones externas. ii.Las dimensiones y refuerzos para controlar los daos (capacidad resistente) y las deformaciones (rigidez). Paradeterminarlasdimensionesyrefuerzosdeloselementos,sedeberealizarenprimerlugarunanlisisdela estructura, obtenindose: i.Las fuerzas reactivas en los vnculos, externos o internos. ii.Las deformaciones de los elementos que la forman. iii.Los esfuerzos o fuerzas internas. El anlisis se realiza usando un modelo tanto del sistema estructural como de las acciones externas y aceptando el cumplimiento de los principios bsicos: Equilibrio y Compatibilidad Geomtrica y de una relacin que caracteriza el comportamiento del sistema (ley constitutiva). La modelacin de las acciones externas se realiza usando fuerzas definidas por su magnitud, direccin y sentido. Estas fuerzas pueden ser: i.Concentradas o distribuidas, lo que depender de las dimensiones de la zona sobre la que se aplica la accin. ii.Fijas o mviles, lo que depender de que la accin permanezca fija o cambie de posicin cuando acta. iii.Constantes o variables en magnitud, direccin y sentido durante el tiempo que acta. Entre las acciones ms frecuentes, se pueden destacar: -Peso propio. -Sobrecarga de uso. -Empujes de contenidos (lquidos o granos) y de suelos. -Viento. -Sismo. -Equipos fijos y mviles. La modelacin del sistema estructural se realiza considerando las caractersticas geomtricas de los elementos que formanelsistemaylosgradosdelibertaddedesplazamientoquerestringenlosvnculosexternoseinternos.De acuerdo con las caractersticas de los elementos se destacan: a.Loselementosquetienenunadimensinmayorquelasotrasdos,semodelanconunalnea(Elemento uniaxial). Ejemplos: vigas, columnas, cables. b.Loselementosquetienendosdimensionescomparablesylaotrabastantemenor,semodelanporuna superficie (elemento biaxial). Ejemplos: placas, cscaras, losas. c.Loselementosquetienesustresdimensionescomparables,semodelanporunvolumen(Elemento tridimensional). 12 3. PRINCIPIOS BSICOS. 3.1. Principio de equilibrio. Elsistemadefuerzasqueactatantosobrelaestructuracomosobrecadaunadesuspartes,debeestaren equilibrio. El sistema de fuerzas est constituido por las fuerzas que modelan las acciones externas (fuerzas conocidas) y las fuerzas reactivas de los vnculos del sistema (desconocidas, incgnitas por determinar). Enlamedidaqueconlasolaaplicacindeesteprincipiosedeterminenlasincgnitasdelsistemadefuerzas,el sistema estructural se dice que es estticamente determinado. 3.2. Principio de compatibilidad geomtrica. El estado de deformaciones que experimenta la estructura por efecto de las acciones externas debe respetar los vnculos, externos e internos, que posee el sistema. Esteprincipioseaplicaconjuntamenteconelprincipioanteriorparaanalizarlosllamadossistemasestticamente indeterminados o hiperestticos. 3.3. Leyes constitutivas. Son las relaciones entre las componentes del sistema de fuerzas y las componentes del estado dedeformaciones que caracterizan el comportamiento del sistema. Estecomportamientodependedelniveldedeformacionesqueexperimentalaestructura,paradeformaciones pequeas,elcomportamientoeselsticolinealylasleyesconstitutivassonfuncioneslineales,yunamismaley representa los efectos de carga y de descarga del sistema (concepto elstico). En la medida que las deformaciones noseanpequeas,elcomportamientodelsistemaesinelsticoyno-lineal;lasleyesconstitutivassonfuncionesno-linealesynoesnicaparalacargayladescargadelsistema.Lossistemasalincursionarenesterangode deformaciones, presentan normalmente daos y deformaciones residuales o permanentes al descargarlo (retiro de la accin externa). Ejemplo: Viga simplemente apoyada sometida a una carga concentrada vertical (modelo que puede representar a un tabln que se usa para cruzar un canal). 3.4. Ecuaciones de equilibrio. Reconocido el sistema de fuerzas que acta sobre una estructura, la condicin de equilibrio que debe cumplir este sistema de fuerzas se puede expresar analticamente a travs de las llamadas ecuaciones de equilibrio. Para un sistema de fuerzas en equilibrio esttico, se debe cumplir que tanto la fuerza resultante como el momento resultanteencualquierpuntodelaestructuradebesernulo,esdecir,quegrficamentedemaneravectorialse cumple:

Paraubicarunapartculaenelespacio,lareferimosaunsistemadeejescartesianos.Lasfuerzasexternasse puedendescomponersegnlostresejesprincipales.Cuandolaresultantedelasproyeccionesdelasfuerzasen cada eje es cero, se dir que la partcula se encuentra en equilibrio. 13 Si esto lo representamos grficamente en los ejes, sera como se aprecia en la siguiente figura: Matemticamente la expresin del equilibrio es: Por otro lado, si tenemos un cuerpo fijo en el espacio mediante un eje (z) perpendicular a su plano que pasa por el puntoO,cualquierfuerza,cuyalneadeaccinnopaseporelpuntofijo(O),tenderaaproducirungirodel cuerpo. Esta solicitacin que produce este efecto de giro, se le distingue con el nombre de "Momento".

Lacorrectadefinicindemomento,provienedelefectoqueproduceunpardefuerzasparalelasdedireccin contraria y separadas a una distancia d (el brazo del par) 14 AdemsdelascondicionesdeequilibrioparaunapartculaEF=0(queaseguraquenosedesplace),hayque asegurarse que el slido no gire, ya que las fuerzas pueden no ser concurrentes y generar pares de fuerza que lo hagan girar. Luego hayque agregar la condicin necesaria de que la suma de los momentos en cada plano sean nulos E M=0. Comolamayoradelasestructurasaresolver,seencuentrancontenidasenunplano, (enestecasosehablade estructuras planas), las condiciones necesarias de equilibrio se reducen slo a tres ecuaciones: E Fx = 0 E Fy = 0 E Mz= 0 3.5. Clasificacin de los sistemas de fuerzas. Los sistemas de fuerzas pueden clasificarse en siete tipos: i.Tridimensional. ii.Tridimensional concurrente. Las lneas de accin de todas las fuerzas del sistema son concurrentes a un mismo punto.

iii.Coplanar. Todas las fuerzas del sistema estn contenidas en un mismo plano. iv.Coplanar concurrente. Todas las fuerzas del sistema estn en un mismo plano y sus lneas de accin concurren a un mismo punto. v.Paralelo. Las lneas de accin de todas las fuerzas del sistema son paralelas. vi.Coplanar paralelo. Las lneas de accin de todas las fuerzas del sistema son paralelas y estn contenidas en un mismo plano. 15 vii.Colineal. Las lneas de accin de todas las fuerzas del sistema son coincidentes. Para cada uno de estos sistemas, el nmero de ecuaciones de equilibrio independientes que se pueden establecer es diferente y es igual al nmero de componentes distintas de cero que tiene la resultante de fuerza y momento del sistema. Teniendo en cuenta esto ltimo, para cada uno de los sistemas destacados se tiene: Conocidoelnmerodeecuacionesdeequilibrioindependientequesepuedenestablecer,seconoceelnmero mximo de incgnitas de fuerza o momento que es posible determinar con las ecuaciones de equilibrio. Como se ha destacado en sistemas estructurales estticamente determinados, bastar con estas ecuaciones para determinar las componentes desconocidas del sistema de fuerzas que acta sobre ella. Paraverificaranalticamentequeunconjuntodeecuacionesdeequilibrio,esunconjuntodeecuaciones independientes, basta con comprobar que el determinante de la matriz de equilibrio es distinto de cero. La matriz de equilibrio es la matriz de los coeficientes del sistema de ecuaciones de equilibrio. 16 Comentarios: i.La seleccin del tipo de ecuacin de equilibrio (fuerza o momento) y la seleccin de los puntos de reduccin se debe realizar de modo de obtener un sistema de ecuaciones de fcil solucin. ii. Para establecer el momento de un conjunto de fuerzas con respecto de un punto O del sistema estructural , es conveniente tener presente el teorema de Varignon: El momento de la resultante de un conjunto de fuerzas con respecto de un punto O, es igual a la suma de los momentos de cada fuerza de este conjunto con respecto del punto O. iii.Dossistemasdefuerzassonestticamenteequivalentes,sitienenigualreduccinrespectodeunpunto cualquiera, es decir tienen igual fuerza resultantee igual momento resultante 3.6. Sistema coplanar de fuerzas. Considerandoqueelanlisisestructuraldeestecursoseconcentraensistemasuniaxialesplanossometidosa cargas (fuerzas o momentos) contenidos en su plano, se hace un anlisis ms detallado de este tipo de sistema de fuerzas. Por las caractersticas de este sistema de fuerzas, las ecuaciones de equilibrio que se pueden establecer son tres y pueden ser: a.Dos ecuaciones de fuerza y una de momento. b. TresecuacionesdemomentoconrespectodetrespuntosA,ByCdelplanoquecontienelasfuerzasdel sistema, los que deben cumplir con la condicin de formar entre s un tringulo. 17 c. Una ecuacin de fuerza y dos de momento con respecto de dos puntos A y B del plano que contiene las fuerzas delsistema.LospuntosAyBnodebenubicarseenunalneaperpendicularalalneaqueseuspara establecer la ecuacin de fuerza. Nota:AB no es perpendicular el eje x. 3.6.1. Resultante de un sistema de fuerzas coplanar. Un sistema de fuerzas coplanar, se puede reducir a una fuerza resultante R, cuya magnitud es: Rx y Ry pueden ser >, = o < que cero. Si su magnitud es positiva se debe interpretar considerando que tiene el sentido positivo del eje x e y respectivamente. El punto de aplicacin de la resultante se obtiene aplicando el teorema de varignon: xi, yi = Coordenadas del punto de aplicacin de la fuerza 18 El ngulo que forma la lnea de accin de la resultante con eje x est dado por: tag(o) = Ry Rx 3.7. Diagrama de cuerpo libre DCL (aislamiento de un sistema estructural). Normalmente un sistema estructural est formado por un conjunto de elementos que forman un sistema espacial. Sisedeseananalizarloselementosdeesteconjunto,enformaindividualounsubconjuntodeellos,sedeben aislar del sistema al que pertenecen, identificando el sistema de fuerzas que acta sobre ellos. Estesistemadefuerzasestconstituidoporlasaccionesexternasqueactandirectamentesobreelconjuntode elementos o sobre el elemento aislado, y por las fuerzas de interaccin con el resto de la estructura (fuerzas que representan las acciones del resto de la estructura sobre el sistema aislado). Estas ltimas fuerzas se establecen de acuerdo con el tipo de vnculo, interno y externo existentes, y normalmente son desconocidas, representando las incgnitas del sistema de fuerzas. Para calcular estas incgnitas se hace uso de las ecuaciones de equilibrio, considerando que tanto la estructura como cada una de sus partes, debecumplir con la condicin de equilibrio. El diagrama que identifica el sistema de fuerzas que acta sobre el sistema aislado se llama diagrama de cuerpo libre (DCL). 4. ACCIONES SOBRE ESTRUCTURAS. Entre las acciones que actan en forma frecuente sobre las estructuras se destacan: i.Peso propio. ii.Sobrecargas. iii.Nieve. iv.Viento. v.Sismo. vi.Temperatura. vii.Descenso de apoyos. viii.Transporte. ix.Montaje. Para determinar los valores de muchas de estas acciones existen Normas, que en elcaso chileno son elaborados por el Instituto Nacional de Normalizacin (INN). Entre estas podemos destacar: NCh 431Of.1977: Sobrecargas de Nieve. NCh 432Of.1971: Clculo de las acciones de viento sobre las construcciones. NCh 433Of.1996: Diseo ssmico de edificios (Modificacin 2009) NCh 2369.Of2003: Diseo ssmico de estructuras e instalaciones industriales NCh 1537Of.2009: Diseo estructural - Cargas permanentes y cargas de uso 4.1. Modelacin de las cargas. a.Peso propio: Estacargacorrespondealaaccindelpesodeloselementosquecomponenlaestructura.Parasumodelacin basta con conocer la geometra y el peso especfico del que estn construidos o fabricados los elementos. 19 El peso total de un elemento se determina multiplicando su volumenpor el peso especfico, aunque la mayora de las veces se debe conocerla distribucin del peso (por unidad de rea en el caso de los elementos biaxiales, por unidad de longitud en el caso de los elementos uniaxiales) ms que el peso total. Resultadeintersdestacarqueelpesopropiodeunelementoactuarsiempreenunaposicinfijayenuna direccin(accingravitacional)biendeterminada.Paralosefectosdemodelacin,laposicincorrespondeala ubicacin del centro de gravedad de la seccin o del elemento. b.Sobrecargas de uso: Dependiendo del uso de la estructura, se establece la magnitud y la ubicacin que debe tener esta carga. A diferencia de las cargas de peso propio, las cargas de uso (cargas vivas) tienen un lugar de aplicacin difcil de determinar.Deestaforma,aunquesepuededeterminarconciertaseguridadlamagnituddelassobrecargasde uso, ser tarea del diseador determinar en que posicin de la estructura deben aplicarse para tener el efecto ms desfavorable(mayorreaccinenunapoyo,mayordesplazamientoenunpunto,mayoresfuerzoenunaseccin, etc.) Enestructurasdeusocorriente,losvaloresylaubicacindeestacargasonbienconocidosyprovienenmuchas vecesdeanlisisestadsticos,encambioenestructurasinusuales,paraestablecerlamagnitudylaubicacinde estas cargas debe hacerse un estudio particular. c.Viento. Laaccindelvientosobreunaestructuraesunproblemaaerodinmicoydepende,entreotros,deparmetros como: i. La velocidad del viento. Presin bsica (Pb) ii. La forma de la estructura. Coeficiente de forma (C) Lapresinbsicasedeterminaconociendoelperfildevelocidadesdelvientoenfuncindelaalturadela estructura, para lo cual la norma provee de una tabla con dichos valores y entrega los coeficientes de forma para estructuras de distintas caractersticas. Ej. Factores de forma para un edificio cerrado. 20 La magnitud de la accin del viento sobre un elemento se determina a partir de la superficie expuesta al viento y acta perpendicular a ella. Para determinar la accin sobre un eje resistente, la solicitacin total de viento sobre el eje se obtiene multiplicando por el ancho colaborante del eje resistente (b), es decir: qv = C*Pb*b | F/L | d.Empujes: Lapresinhidrostticaqueejerceunlquidoenunpuntodeunasuperficie,actasiempreperpendicularala superficie y con igual magnitud, independiente de la orientacin de la superficie sumergida. Su magnitud depende de la profundidad a la que se ubica el punto y del peso especfico del lquido. El clculo de la presin hidrosttica se hace de acuerdo con la frmula: P = h | F/L2| Donde: : Peso especfico del lquido. h: Profundidad. Ejemplo: Presin lateral sobre una pared de un recipiente que contiene un lquido. Con respecto a otros empujes, como son los que producen los materiales que se depositan en el interior de algunas estructuras (como silos) o los empujes del suelo sobre estructuras de contencin, la modelacin se hace en forma similar, modificando la magnitud y la direccin en que acta por el efecto del roce interno o del roce con la pared y porlacohesinentrelaspartculasdelmaterial.Esascomolosempujesejercidosporestosmaterialesson menores que los ejercidos por el agua a una misma profundidad (40% a 80% menos). Ejemplo: Muros de contencin. Empujes sobre paredes de silos. e.Fuerzas ssmicas: En un anlisis aproximado, la accin ssmica que acta sobre una estructura se modela como una aceleracin que acta de acuerdo a la posicin como un porcentaje de su peso, actuando horizontalmente o verticalmente. Basados en la ecuacin de Newton, para una estructura de un piso sometida a una aceleracin a en la base, se tiene: Fs = m*a = (a/g) m*g = c*w 21 Donde: m: masa. a: aceleracin basal g: aceleracin de gravedad. c: coeficiente ssmico. w: peso. El coeficiente ssmico c, depende de las caractersticas dinmicas de la estructura, del suelo de fundacin y de la sismicidad del lugar.Lanorma de diseo ssmicodeedificios entregafrmulaspara determinar el coeficientec considerando estos parmetros. Paraunaestructuradevariospisos,lasfuerzasssmicas(quecorrespondenaunporcentajedelpesototaldela estructura)sedistribuyenaloaltodelaestructuraactuandoenformaconcentradaaniveldelospisos, aumentando su magnitud a medida que se aleja del nivel del suelo. Para establecer esta distribucin se supone que las masas estn concentradas a nivel de cada piso. Ejemplo: Distribucin de fuerza ssmica con la altura. 4.2. Normas Chilenas. 4.2.1. NCh1537.Of86 Diseo estructural de edificios. Cargas permanentes y sobrecargas de uso. (Extracto de la principales disposiciones). Peso propioKg/m3 Kg/m2 Materiales de Construccin: Cielos: Arena hmeda 1 800Aislante 25 mm 3 a 4 Cemento en sacos1 500Asbesto-cemento 5 mm9 Ladrillo hecho a mano 1 400Yeso-cartn 10mm 10 Ladrillo hecho a mquina1 700Divisiones: Albailera de ladrillo Pandereta sin estuco120 hecho a mano 1 600Pandereta con estuco 190 hecho a mquina1 800Vidrio simple6 hueco1 300Vidrio doble8 Hormign sin armar2 400Vidrio triple10,5 Hormign armado2 500Pisos: Hormign liviano (*)1200 a 1 600 Mortero de Cemento 2 000Baldosas cemento 40 22 Mortero de cal y yeso 1 750Entablado de 19 mm12 Alamo433Entablado de 25 mm15 Pino radiata513Parquet 16 Roble 778Baldosas ms mortero 110 Confieras europeas600Parquet ms mortero80 Pino obregn (N. Amrica) 515Techumbres: Acero7 850Fierro zincado 5 mm 4,6 Tierra:Asbesto cemento 6 mm 17 Arcilla seca compactada 1 800Teja de arcilla espaola 93 Arcilla hmeda, plstica2 000Teja de cemento plana45 Arc. Y grava seca comp.2 300Teja de cemento curva90 Arc. Y grava seca suelta 2 100Tejuela de madera 15 (*)El menor valor corresponde a un hormign de baja resistencia no recomendable para pisos. Sobrecarga de uso Pisos y techos: a)Sobrecarga mnima uniformemente distribuida, Kpa. (1 kPa = 1000 N/m2 = 100kgf/m2). TIPO DEEDIFICIO DESCRIPCIN DE USO (1) q(kPa) Oficinasreas privadas sin equipos reas pblicas y reas privadas con equipo 2,5 5,0 Teatros (2) reas con asientos fijos reas para escenarios reas de uso general (foyer, vestbulo, pasillos) 3,0 4,5 5,0 Tiendas reas para ventas al por mayor reas para ventas al por mayor 4,0 5,0 Viviendas (3) Buhardillas no habituales reas de uso generalBalcones, terrazas y escalas 1,0 2,0 2,5 Para otros edificios como bibliotecas, bodegas, crceles, escuelas, fbricas, hospitales, hoteles e iglesias, consultar la tabla 3 de la norma NCh1537.Of2009. (1) Los corredores, escalas y lugares de uso pblico deben disearse con una sobrecarga de uso de 4,0 kPa. Las aceras y accesos para vehculos deben disearse con una sobrecarga de uso de 12,5 kPa. (2)Incluye estadios, salas de conferencia, circos, cines, etc. (3)Incluye viviendas unifamiliares de uno o ms pisos, edificios de departamentos y conjuntos habitacionales. Reduccin de sobrecargas: i) Techos: q red = Ci Ca q, no menor que 0,3 kPa, 23 Donde: q = 1,0 kPa Ci = Factor de reduccin por pendiente Ci = (1-2,33i), siendo i la pendiente del techo Ca = 1, para A < 20 m2 = 1 0.008 A, para 20 m2 < A < 50 m2 = 0,6, para 50 m2 < A en que: A = rea tributaria del elemento considerado (en m2) ii) Pisos: q red = Cb* q donde: Cb = 1 0,008A El factor Cb no se aplica a reas de uso pblico ni a reas con sobrecarga mayor que5 kPa, ni a reas tributarias A de superficie inferior a 15 m2. El valor de Cb no puede ser inferior a 0,6 en elementos horizontales. En elementos verticales que reciben carga de ms de un piso, no puede ser inferior a 0,4. Adems, en ningn caso puede ser inferior a: 1 0,23 (1+g/q) en que: g = carga permanente uniformemente distribuida para el elemento, y q = sobrecarga mnima uniformemente distribuida para el elemento. b)Sobrecargas concentradas: Enenvigadosycostanerasdetecho,debeconsiderarselacargadeunhombre(100kgfenlaposicinms desfavorable). En pasamanos de barandas debe aplicarse una fuerza horizontal distribuida de 0,5 kN/m, la que en edificios como teatros y otros citados en la nota (2), aumenta a 1 kN/m. En tribunas, graderas y similares, se considerar una fuerza horizontal distribuida de 0,35 kN en direccin paralela a la fila de asientos y de0,15 kN en direccin perpendicular. En plataformas sin asientos fijos se considerar una fuerzahorizontalmnimade0,25N/m2desuperficieplana(0,25kPa).Estasfuerzasnoseconsideranactuando simultneamente ni se suman a las fuerzas ssmicas.

El peso propio y la sobrecarga de uso son acciones de tipo normal. La carga de un hombre es de tipo eventual. 4.2.2. NCh431.Of1977 Construccin Sobrecargas de nieve. (Extracto de las principales disposiciones) La norma considera el peso especfico de la nieve recin cada igual a 125 kgf/m3, que multiplicado por la altura de nievecada,enm,dalasobrecargadenieveenkgf/m2.LatablasiguientedaestosvaloresenkPa(1 kPa = 100 kgf/m2) para distintas latitudes de Chile y distintas alturas sobre el nivel del mar. 24 Altitud Latitud geogrfica (sur) del lugar M s.n.m. 17-2626-3232-3434-3838-4242-4848-55 < 300 000,250,250,250,250,50 300/600 000,250,250,250,251,25 600/800 00,250,500,750,750,501,25 800/1000 00,250,751,001,001,001,25 1000/1250 00,251,001,501,501,50--- 1250/1500 00,252,003,003,002,00--- 1500/1750 00,253,004,505,503,00--- 1750/2000 00,504,006,006,00------ 2000/2500 x1,005,007,00--------- 2500/3000 x2,006,00------------ > 3000 x2,007,00------------ (x)No hay informacin. ---Esas altitudes no se presentan en esas latitudes. En el litoral no se considerar carga de nieve. Lacargadenievesesuponeuniformementerepartidasobrelaproyeccinhorizontaldelasuperficie.Puede reducirse la carga de nieve en techos de inclinacin mayor que 30 con la horizontal, multiplicando la carga de la tabla por el factor: 1 (o - 30) /40 siendo o el ngulo que forma el techo con la horizontal. Debe considerarse la posibilidad de sobrecarga denieve desuniforme,suponiendo que una parte de la estructura recibe un 50% de la sobrecarga y el resto, cero. En los clculos debe considerarse la posibilidad de acumulacin de nieve. La carga de nieve en techos debe ser comparada con la sobrecarga de uso de la norma NCh1537, adoptndose el valor mayor. No se suman ambas sobrecargas. La nieve tiene el carcter de accin normal, no eventual. La sobrecarga de uso tambin es una accin normal. 4.2.3. NCh432.Of71 Clculo de la accin del viento sobre las Construcciones. (Extracto de las principales disposiciones). En general, debe considerarse la accin del viento segn las dos direcciones principales de una construccin. Esta accinesperpendicularalasuperficie;noseconsiderarnaccionestangenciales.Lasaccionesperpendiculares pueden ser presiones (positivas) o succiones (negativas). Se expresan en kgf/m2 o en kPa (1 kPa = 100 kgf/m2). 25 Las presiones o succiones que actan sobre las superficies se calculan multiplicando la presin bsica de viento por factores de forma c que dependen de la forma total del cuerpo. Estos factores tienen signo, o expresiones que al ser evaluadas pueden dar signo + (presin) o (succin). Lapresinbsicadelvientoq,enkgf/m2,estrelacionadaconlavelocidaddelvientov,enm/s,porla expresin: q = v2/16 Presin bsica para diferentes alturas sobre el suelo Construcciones situadas en la ciudad o lugares de rugosidad comparable Construcciones situadas en campo abierto, ante el mar o en sitios asimilables a estas condiciones. Altura sobre el suelo, [m] Presin bsica q, [kPa]Altura sobre el suelo, [m] Presin bsica q, [kPa] 0 15 20 30 40 50 75 100 150 200 300 0,55 0,75 0,85 0,95 1,03 1,08 1,21 1,31 1,49 1,62 1,86 0 4 7 10 15 20 30 40 50 75 100 150 200 300 0,70 0,70 0,95 1,06 1,18 1,26 1,37 1,45 1,51 1,63 1,70 1,82 1,91 2,09 Nota:paravaloresintermediosseinterpolalinealmente,tomandocomoalturaladelcentrodegravedaddela superficie expuesta en cada piso en el caso de edificios altos. En construcciones de ms de 100 m de altura, debe considerarse el efecto de rfagas, en forma de un factorR (consultar la norma). Los valores anteriores se aumentarn en un 20% en caso de que pueda presentarse el efecto Venturi que aumente la velocidad del viento (cimas de cerros o promontorios, borde superior de barrancos y otros lugares de condiciones similares). reas a considerar en la accin del viento. Elementos que reciben accinreas a considerar Cuerpos limitados por superficies planas.reas verdaderas Cuerposdeseccincircularo aproximadamentecircular,deejeverticalu horizontal. rea de la seccin axial perpendicular al viento Varias superficies de techo yuxtapuestas. reatotaldela1a.Superficiemsel50%de las siguientes (1).Banderas y lonas sueltas.25% del rea verdadera Enrejados de barras constituidas por perfiles o tubos. Superficiedelasbarrasproyectadasobreun plano vertical. 26 (1)Esta reduccin se aplica slo para el clculo de los esfuerzos transmitidos por el techo al resto de la estructura. Cadatechoaisladosecalcularconeltotaldesusuperficie.Paraquelareduccinseaaplicable,ladistancia entre los planos no podr ser superior a dos veces su altura. 27 Factores de forma. Edificios cerrados: Son aquellos en que las aberturas en sus costados son menores a 1/15 de la superficie de ellos. Los factores de forma estn indicados en las figuras de hoja anexa. Edificiosabiertos:Sonaquellosenquelasaberturassonmayoresa1/3delasuperficiedeloscostados.Los factores de forma aparecen en la misma hoja anexa. Cuando las aberturas estn comprendidas entre 1/15 y 1/3 de la superficie de los costados, la presin interior que aparece en edificios abiertos tiene un valor que se interpola entre 0 para 1/15 y 1,2 para 1/3. Muros aislados: Si la razn de aspecto (altura/ancho) es menor que 5, c = 1,2 mayor que 5, c = 1,6 Estructuras de seccin circular o aproximadamente circular: Si d \q < 100,c = 1,2Si d \q > 100,c = 0,7(para paredes muy lisas, c = 0,55) donde: d = dimetro en cm, y q = presin bsica de viento en kgf/m2 Estructuras esfricas Si d \q < 100,c = 0,60 Si d \q > 100,c = 0,35 en que d y q se expresan en las unidades recin especificadas. Estructuras enrejadas de acero: Superficies perpendiculares a la accin del viento: c = 1,6 Superficies inclinadas en un ngulo o: c = 1,6 sen o. Si otros enrejados quedan protegidos de la accin del viento por el primero, para stos se usar: c = 0 si la distancia entre enrejados es menor que el ancho de la barra, y c = 1,2 si es mayor; en enrejados inclinados, estos valores son c = 0 y c = 1,2 o respectivamente. Enlasaristasdeuninentreparedesytecho,lassuccionespuedensermayoresquelasindicadas.Endichos lugares deben asegurarse especialmente los elementos constructivos. La accin del viento es del tipo eventual. 28 5. ANLISIS DEL ESTADO DE ESFUERZOS EN ESTRUCTURAS UNIAXIALES PLANAS ESTTICAMENTEDETERMINADAS SOMETIDAS A UN SISTEMA DE FUERZAS COPLANAR. 5.1. Tipos de estructuras. Lasestructurasseclasificandeacuerdoconlascaractersticasgeomtricasdeloselementosquelaforman, distinguindose: a.Estructuras uniaxiales o lineales: Formada por la unin de elementos uniaxiales. -Vigas simples (Un tramo). -Vigas Continuas (Ms de un tramo). -Vigas Gerber (Ms de un tramo). -Marcos o prticos Arcos. -Cables y tirantes. b.Estructuras laminares: Formadas por la unin de elementos biaxiales. -Losas de piso. -Placas plegadas (Techumbres). -Cscaras (Bvedas, Cpulas, etc). c.Estructuras macizas: Formadas por elementos tridimensionales. d.Estructuras mixtas: Formadas por la combinacin de elementos con caractersticas diferentes. 5.1.1 Estructuras Uniaxiales. Se pueden clasificar de acuerdo a como: a.Se distribuyen los elementos, se clasifican en espaciales y planas. Estas ltimas corresponden a aquellas en que todos los elementos se ubican en un mismo plano. b.Se unen los elementos y con la geometra de stos. -Vigas. -Marcos. -Arcos. -Enrejados. c.Son sus apoyos externos. -Libres: No tienen apoyos. -Apoyadas. 5.2. Tipos de apoyos o uniones externas. La mayor parte de los modelos que se analizan tienen este tipo de uniones. Al igual que las uniones internas, estas unionestienencaractersticascinemticasyestticas,lasquequedandefinidasporlosgradosdelibertadde desplazamiento que restringen, en forma parcial o total, y por las fuerzas de reaccin que aparecen en ellas. a.Apoyo deslizante:Enunaestructuraplanasometidaaunestadodefuerzascoplanares,representaun vnculo al restringir el desplazamiento en la direccin perpendicular al deslizamiento. 29 b.Apoyo fijo: Enunaestructuraplanasometidaaunestadodefuerzacoplanarestetipodeapoyo representa dos vnculos. c. Empotramiento perfecto: En una estructura sometida a un estado coplanar de fuerza, este tipo de apoyo representa tres vnculos. d. Apoyos elsticos: Estosapoyoscaracterizanporrestringirparcialmentelosgradosdelibertadde desplazamiento. La reaccin que en ellos aparece, corresponde al grado de libertad que restringeparcialmente.Elnmerodevnculosquerepresentanestosapoyosestdado por el nmero de grados de libertad que restringen. 30 Comentario: Fuerzas concentradas aplicadas a plomo de apoyos. 5.3 .Vnculos en estructuras uniaxiales planas. Las estructuras uniaxiales planas son el producto de la unin de elementos (barras) entre s y con el medio que la rodea (Resto de la estructura de la que forma parte y suelo de fundacin), de esta forma se identifican las uniones internas (uniones entre los elementos que la forman) y las uniones externas o apoyos. Elconocimientodelnmerodevnculosquerepresentanlasdistintasunionesconlaqueseformalaestructura, permite juzgar su estabilidad y el recuento de estos vnculos, permite juzgar su grado de indeterminacin esttica. Una estructura es estable, cuando no hay movimientos de cuerpo rgido a nivel global o local en el sistema. 5.3.1. Uniones internas. Estas uniones tienen caractersticas cinemticas y estticas La caracterstica cinemtica determina los movimientos relativos que se producen entre las secciones que concurren a la unin y la caracterstica esttica determina las fuerzas o los momentos que se transmiten a travs de la unin. El nmero de vnculos que representa una unin interna queda determinado por el nmero de fuerzas o momentos que transmite o por el nmero de desplazamientos o giros relativos que elimina. Los tipos de uniones internas son: a.Biela (B):Enestructurasplanasrepresentaunvnculoalcompatibilizarsloeldesplazamientoenla direccin de la biela y transmitir slo fuerzas en la direccin de la biela. Nota: i = Seccin ubicada a la izquierda de la anin. d = Seccin ubicada a la derecha de la unin. 31 Teniendo en cuenta estas caractersticas, en las secciones comprometidas por este tipo de unin, se deben cumplir las siguientes condiciones: Mi o Md = 0 Qi o Qd = 0 (Caso 1)Ecuaciones de Condicin Ni o Nd = 0 (Caso 2) b.Rtula Simple (R):Enestructurasplanasrepresentadosvnculos,alcompatibilizareldesplazamiento (u, v) y transmitir las fuerzas en cualquier direccin. As en un sistema plano se tiene: Ecuacin de condicin: Mi o Md = 0 c.Unin Soldada simple (S):En estructuras planas representa tres vnculos al compatibilizar tanto el giro (u) comoeldesplazamiento(u,v),ytransmitirtantofuerzacomomomentoen cualquier direccin. d.Dos bielas en paralelo: Enunaestructuraplanaestetipodeunininternarepresentadosvnculosal compatibilizareldesplazamientoenladireccindelasbielasyelgirodelas secciones comprometidas y al transmitir las fuerzas en la direccin de las bielas y el momento. 32 Ecuacin de condicin:Qi o Qd = 0 Comentarios: Lasecuacionesdecondicinseutilizanjuntoconlasecuacionesdeequilibrioparadeterminarlasincgnitasdel sistema de fuerzas que actan sobre la estructura. e.Uniones internas mltiples. Son aquellas en las que concurren ms de dos barras a la unin interna. Este tipo de unin interna equivale a (Nb 1) uniones simples del mismo tipo, siendo Nb el nmero de barras que concurren a la unin. Ejemplos:Unin rotulada mltiple. Unin soldada mltiple. Unin mixta. 5.3.2.Nmero de vnculos que representan las uniones internas de una estructura plana uniaxial. El nmero de vnculos queda determinado por la expresin siguiente:B + 2*R + 3*S Donde: B = nmero de bielas de sistema. R = nmero de rotulas simples del sistema. S = nmero de soldaduras simples del sistema. 5.3.3. Nmero de vnculos para obtener una estructura plana. El nmero de vnculos mnimo suficiente para obtener una estructura uniaxial plana est dado por: a.Estructura libre: Nv = 3*(N-1) b. Estructura apoyada: Nv = 3*N donde: N = nmero de barras de la estructura. 5.4. Grado de hiperestaticidad o indeterminacin esttica de una estructura uniaxial plana. Estegradoquedadefinidoporladiferenciaentreelnmerodevnculosquelaestructuratieneyelnmerode vnculos mnimos que ella requiere (Nv). a.Estructura libre: h = B + 2R + 3S 3(N-1) > 0 33 b.Estructuras apoyadas:h = B + 2R + 3S + Vap 3N > 0 Si h = 0, la estructura es isosttica. En estas estructuras bastar con las ecuaciones de equilibrio y las ecuaciones de condicin para determinar las incgnitas de cualquier sistema de fuerzas que se aplique sobre ella. Si h> 0 la estructura eshiperesttica y no bastan las ecuaciones de equilibriopara su anlisis. Estas estructuras tienen ms vnculos que los necesarios y as son ms estables frente al dao. 5.5. Principio de superposicin de los efectos. Teniendoencuentaqueenlasestructurasqueseanalizan,elcomportamientoeselsticolineal,lasrelaciones causa-efectosonlineales.Esdecirlosesfuerzosinternos,lasreaccionesdelosapoyosylasdeformacionesson funciones lineales homogneas de las cargas que las producen, es decir funciones del tipo: S = Ek Sk - Pk donde: Sk: es el valor de la respuesta cuando acta sobre la estructura slo la carga Pk con valor unitario. Pk: intensidad de la carga. El cumplimiento de este tipo de relacin significa que en la estructura es vlido el principio de superposicin: Si dos o ms estados de carga actan sobre una estructura, la respuesta de la estructura a estos estados de carga es igual a la suma de las respuestas a los estados de carga actuando separadamente. 5.6. Grados de libertad de desplazamiento de una estructura. Losgradosdelibertadsonelnmeromnimodeparmetrosnecesariosparadescribirdemaneranicala deformadadelaestructura.Losparmetrosmscomnmenteusadossonlosdesplazamientosygirosdelos nudos. Enelcasoparticulardeestructurasuniaxialesplanassometidasaunestadodefuerzascoplanarcuyoplano coincideconelplanodelaestructurayqueasuvezcontieneaunodelosejesprincipalesdeinerciadelas seccionestransversalesdeloselementosqueformanlaestructura,estosdesplazamientoscorrespondenalas componentes de desplazamiento en el plano (u,v) y al giro en torno de un eje perpendicular al plano (uz = 0). As se tiene: a. Marco plano de nudos rgidos:NGL = 3*N1 Vap Vap > 3 b. Enrejado plano:NGL = 2*N1 Vap Vap > 3 donde: N1 = nmero de uniones internas y externas, en estas ltimas se incluyen los extremos libres. NOTA: En el caso de una estructura uniaxial espacial, se tiene: a. Marco de nudos rgidos:NGL = 6*N1 Vap Vap > 6 b. Enrejado espacial:NGL = 6*N1 VapVap > 6 34 5.7. Clasificacin del estado de esfuerzos de una seccin. De acuerdo con los componentes del estado de esfuerzos que existen en una seccin, este estado se clasifica en: i.Estado puro de esfuerzo: es aquel estado de esfuerzo en que, en la seccin slo acta un tipo de esfuerzo. Por ejemplo: N(x) = 0, todo el resto nulo Estado de esfuerzo axial puro. My(x), Mz(x) = 0, todo el resto nulo Estado de flexin pura. Qy(x), Qz(x) = 0, todo el resto nulo Estado de corte puro. Mx(x) = 0, todo el resto nulo Estado de torsin pura. ii.Estado combinado de esfuerzos: es aquel estado de esfuerzos en que se presentan esfuerzos de distinto tipo en la seccin. Por ejemplo: Nx(x), My(x), Mz(x) = 0, todo el resto nulo Flexin compuesta. 5.8. Estado de esfuerzos en los elementos que forman una estructura uniaxial plana. Dependiendo de las caractersticas del sistema estructural y del sistema de fuerzas actuante, las componentes del estado de esfuerzos en las secciones transversales de los elementos que forman la estructura se pueden reducir de seis a un nmero menor. Asenunaestructurauniaxialplana,sometidaaunestadodefuerzascoplanarcontenidoenelplanodela estructura,planoqueasuvezcontieneunodelosejesprincipalesdeinerciadelaseccintransversaldelos elementos que la forman, el estado de esfuerzos en cualquiera de sus secciones transversales se reduce slo a tres componentes: Nx (=N), Mz (=M) y Qy (=Q). 5.8.1. Representacin del estado de esfuerzos en la seccin transversal de un elemento uniaxial que pertenecen a una estructura uniaxial plana. Pararepresentarlosesfuerzosinternosqueactanenunaseccintransversalcualquieradeunelementoque pertenece a este tipo de estructura, se define un sistema de referencia local (x, y, z), con el eje x coincidiendo con elejecentroidaldelelemento(lugargeomtricodeloscentrosdegravedaddelasseccionestransversalesdela barra), y se acepta la convencin de signos siguiente: Enlaseccincuyanormaldirigidaenelsentidopositivodelejex,sonpositivoslosesfuerzosdirigidoscomose muestra en la figura. es decir: i)El esfuerzo axial N(x) es positivo si est dirigido en el sentido positivo del eje x, esfuerzo axial de traccin. 35 ii)El esfuerzo de corte Q(x) es positivo si est dirigido en el sentido negativo del eje y. iii)El momento de flexin M(x) es positivo, si el vector est dirigido en el sentido positivo del eje z, es decir es un momento que produce alargamiento de las fibras longitudinales ubicadas bajo el eje del elemento (fibras cuyos puntos tienen coordenadas y negativas). En virtud del principio de accin y reaccin, en la seccin cuya normal est dirigida en el sentido negativo del eje x, son positivos los esfuerzos cuando tienen los sentidos indicados en la figura: Para determinar la distribucin de esfuerzos a lo largo de un elemento uniaxial que forma una estructura uniaxial, se debe: a.Considerarencadaelementounsistemalocaldereferencia(x,y,z)consuorigenubicadoenunodelos extremos de la barra. Con este propsito se define un extremo inicial y un extremo final, eligiendo el origen del sistema local de referencia en el extremo inicial.

b.Aislar cada elemento, reconociendo el estado de fuerzas externas e internas que actan en l. c. Establecerelestadodeesfuerzosenlasseccionesdelelemento,M(x),N(x)yQ(x),haciendouncorte imaginarioatravsdelaseccinyestableciendolacondicindeequilibrioenunadelasporcionesenque queda dividido el elemento. Los signos de estos esfuerzos se establecen de acuerdo con la convencin indicada anteriormente. d.Tener que la representacin grfica de cada uno de los esfuerzos a lo largo del elemento se hace considerando que los valores positivos se representan por el lado positivo del eje y. 5.9. Transformacin ortogonal de cargas concentradas y distribuidas. Para el anlisis del estado de esfuerzos internos de un elemento uniaxial es til conocer las cargas, concentradas o distribuidas, en la direccin de los ejes del sistema de referencia local. 5.9.1. Transformacin de una carga concentrada. 36 Donde: (o) :nguloqueformaelejedelabarraoelementoconlahorizontal,medidoenelsentidocontrarioal movimiento de los punteros del reloj. Py: proyeccindelacargaexternaconcentradaverticalPv,enladireccinperpendicularalejedelabarra. Interviene en la distribucin de esfuerzo de corte y momento de flexin. Px:proyeccin de la carga externa concentrada vertical Pv, en la direccin del eje de la barra. Interviene en la distribucin de esfuerzo axial o normal. En el caso de una carga externa concentrada horizontal Ph, se tiene: 5.9.2. Transformacin de una carga distribuida. La transformacin de una carga distribuida no es tan directa como en el caso de cargas concentradas, debido a que unacargadistribuidaestexpresadacomounafuerzaporunidaddelongitudenunadireccinparticular.Sise desea obtener la fuerza por unidad de longitud en otra direccin, se debe considerar no slo como se transforma la fuerza, sino tambin la longitud sobre la que acta dicha fuerza. Para ilustrar las situaciones que se presentan, consideremos los siguientes casos: a. Carga distribuida definida por unidad de longitud horizontal. La carga distribuida que acta perpendicular a la barra, qy, y la carga distribuida que acta en la direccin del eje de la barra, qx, se obtienen de la siguiente forma: 1. Se calcula la fuerza resultante debido a q:R = q*l* cos(a) 2. Se descompone la fuerza R en las direcciones de los ejes locales, x e y: Rx = R* sen(a) = q*l*Sen(a)*cos(a) 37 Ry = R*cos(a) =q*l*cos2(a) 3 Se determina la cargadistribuida por unidad de longitud de la barra: qy = Ry/l = q*Cos2(a) qx = Rx/l= q*Sen(a)*Cos(a) b. Carga distribuida de la misma forma se obtiene: Procediendo de la misma forma se obtiene: c. Carga distribuida por unidad de longitud de la barra, como es el caso del peso propio en una barra. 1. R = qo*l qo = * A 1. R = w*l*Sen(a). 2. Rx = R*Cos(a) = w*l*Sen(a)*Cos(a) Ry = R*Sen(a) = w*l*Sen2(a) 3. qx = Ry/l = w*Sen(a)*Cos(a) qy = Rx/l = w*sen2(a) 38 donde:A: rea de la seccin transversal de la barra. 5.10. Relaciones diferenciales entre las cargas distribuida qy(x) y qx(x) y los esfuerzos internos, Q(x), M(x) y N(x). Para determinar estas relaciones basta con analizar el equilibrio de un trozo de barra de largo infinetesimal,dx. El DCL del trazo es el indicado en la figura adjunta. Por la condicin de equilibrio se cumple: Fx = 0 -N + qx(x)*dx + (N + (dN/dx)*dx) = 0 dN/dx = qx(x) Fy = 0 Q qy(x)*dx - (Q + (dQ/dx)*dx) = 0 dQ/dx = -qy(x) M|o = 0 qy(x)*dx*dx/2 M + (M + (dM/dx)-dx) = 0 Despreciando los trminos de segundo orden, es decir los trminos del tipo dx*dx, se obtiene:dM/dx = Q(x) Estas relaciones entre los esfuerzos y las cargas son tiles para: i. Determinar el estado de esfuerzos en cualquier seccin transversal de la barra. Paraestobastaconconocerlosesfuerzosinternosenunaseccindelabarraeintegrarlasecuaciones diferenciales, resultando: 2.Rx = R*Sen(a) = qo*l*Sen(a) Ry = R*Cos(a) = qo*l*Cos(a) 3. qx = Rx/l = qo*Sen(a) qy = Ry/l = qo*Cos(a) 39 ii.Hacer la representacin grfica de la distribucin de esfuerzos, considerando que: a.El rea del diagrama de carga distribuida es igual al cambio que se produce del esfuerzo axial o de corte entre la seccin transversal ubicada en la posicin xo y la ubicada en la posicin x. b.Elreabajoeldiagramadeesfuerzodecorteesigualalcambiodelmomentodeflexinentrelaseccin transversal ubicada en la posicin xo y la ubicada en la posicin x. c.En la medida que la barra est descargada en un tramo, el esfuerzo axial y el esfuerzo de corte son constantes en esa zona y el diagrama de momento de flexin es lineal en ese tramo. d.Si la barra est sometida a una carga distribuida uniforme en un tramo de ella, el esfuerzo axial y el esfuerzo decortevaraenformalinealyeldiagramademomentodeflexinvaraenformaparablicaeneltramo donde acta la carga. e. En la seccin donde Q = 0, el momento de flexin alcanza un valor extremo. 40 La ilustracin de estas relaciones es la siguiente: 41 6. VIGAS. Lasvigassonelementosestructuralesquesoportanaccionesexternasprincipalmentedetipogravitacional aplicadasenladireccintransversalalelemento,esdecirperpendicularasueje,flectndosetransversalmente. Debido a ello, los esfuerzos que predominan en las secciones transversales son el momento de flexin y el esfuerzo de corte. Deacuerdoconlaesbeltezdelaviga,medidaporrelacinentresulongitudylaaltura,dimensindelaseccin transversal en el plano de las cargas, las vigas se clasifican en: a. Vigas esbeltas: La esbeltez de estas vigas es mayor que 4. En ellas predominan los efectos del momento de flexin, esfuerzo que controla las deformaciones que experimenta la viga. b. Vigas no esbeltas: La esbeltez de estas vigas es menor que 2. En ellas los efectos del esfuerzo de corte son importantes, controlando las deformaciones. Para las vigas de esbeltez entre 2 y 4, los efectos de ambos esfuerzos son importantes. 6.1. Clasificacin de las vigas. Regularmente las vigas se clasifican de acuerdo con: A. Las condiciones de apoyo de sus extremos: De acuerdo con ello se identifican: B. El nmero de tramos: De acuerdo con ello se identifican: Las vigas de varios tramos se clasifican en: a. Vigas simplemente apoyadas. b. Vigas empotradas. c. Vigas en voladizo. a. Simples o de un tramo. b. De varios tramos. a.VigasGerber;estasvigassonestticamente determinadas. b. Vigas Continuas, estas vigas son estticamente indeterminadas. 42 6.2. Anlisis de vigas isostticas. El anlisis de las vigas simples o de varios tramos estticamente determinadas (isostticas), se realiza de acuerdo con los pasos siguientes: 6.2.1. Clculo de las reacciones de los apoyos. Para este clculo basta con liberar la viga de sus apoyos, quedando sometida a las acciones externas y las fuerzas y momentos de reaccin de los apoyos liberados. Estableciendo la condicin de equilibrio en elDCL que resulta, se obtienen los valores de las fuerzas y momentos dereaccin.Enlasvigasdemsdeuntramo,ademsdelacondicindeequilibriodebenusarselasllamadas ecuacionesdecondicionesasociadasalosdistintostiposdeunionesinternasquepuedenexistir,porejemplo, rtulas en una viga Gerber. 6.2.2. Clculo de la distribucin de esfuerzos internos. Conocidaslasreaccionesenlosapoyos,ladistribucindelosesfuerzosinternossecalculaconelprocedimiento indicado anteriormente. 7. PRTICOS O MARCOS DE NUDOS RGIDOS. Estas estructuras estn formadas por la unin rgida,del tipo soldadura, de dos o ms elementos uniaxiales no colineales. La unin de estos elementos se logra en la prctica soldando o apernando los elementos. Launinentreelementosesrgidacuandoelnguloqueformanentresilastangentesaloselementosque concurren a la unin, nudo, en su estado descargado se conserva en su estado cargado (deformado). En el estado deformadoestastangentescorrespondenalastangentesenelnudodelaconfiguracindeformadadelos elementos uniaxiales, configuracin que se identifica como la elstica. Los elementos verticales que forman un marco se identifican como columnas y los elementos horizontales como vigas. Considerando que el comportamiento de los elementos identificados como viga corresponde al descrito en elpuntoanterior,acontinuacinsedescribesloelcomportamientodeloselementosidentificadoscomo columnas. 7.1. Comportamiento de las columnas de un marco. Las columnas de un marco resisten las acciones externas del tipo gravitacional (peso propio y sobrecargas de uso), predominantemente por esfuerzo axial, resultando el momento de flexin y el esfuerzo de corte de tipo secundario para los efectos de su dimensionamiento. Cuandolaestructuraquesemodelacomounmarcoequivalente,resisteaccionesdeltipogravitacional conjuntamenteconaccioneslaterales,porejemplolaaccindeunsismoodeunviento,lascolumnasdeben resistirademsdelosesfuerzosqueproducenlasaccionesdeltipogravitacional,losesfuerzosqueproducenlas acciones del tipo lateral, resultando importante en este caso la magnitud de los momentos de flexin y esfuerzos de corte que producen en las columnas las acciones laterales. Las columnas de un marco equivalente pueden ser de dos tipos: a.Elementos en que el alto de la seccin transversal, dimensin de la seccin transversal medida en el plano de las cargas, es menor o igual a tres veces el ancho de la seccin transversal, dimensin de la seccin transversal medida perpendicular al plano de las cargas. 43 Este tipo de columna se identifica en la prctica como una columna propiamente tal y se caracteriza por ser un elemento esbelto. b. Elementos en que el alto de la seccin transversal es mayor que tres veces su ancho. Este tipo de columna corresponde en la prctica a los llamados machones o muros de una estructura resistente y se caracteriza por ser un elemento de esbeltez reducida. Al igual que en un elemento tipo viga, el dimensionamiento de un elemento tipo columna queda controlado por el esfuerzo de corte o el momento de flexin de acuerdo con la esbeltez de la columna. La nica diferencia est enquecualquierasealaesbeltezdeunacolumna,elesfuerzoaxialesunasolicitacinimportanteensu dimensionamiento. 7.2. Clasificacin de los marcos. Entre las estructuras que se modelan como un marco de nudos rgidos, se distinguen dos tipos: a. Marcos ortogonales: En estos marcos los elementos que lo conforman, forman entre si ngulos de 90o. b. Marcos oblicuos: En estos marcos los elementos forman ngulos diferentes de 90o. De acuerdo a como se distribuyen los elementos que forman un marco, estos se clasifican en: oMarcos planos: Son aquellos marcos en los que todos sus elementos se ubican en un mismo plano. oMarcosespaciales:Sonaquellosmarcosenquesuselementossedistribuyenenelespacioenforma tridimensional. 7.3. Anlisis de marcos isostticos. 7.3.1. Clculo de las reacciones en los apoyos de un marco. Para calcular las reacciones en los apoyos de un marco isostticos basta con establecer las ecuaciones de equilibrio en el diagrama de cuerpo libre que resulta al liberar la estructura de sus apoyos. En los marcos isostticos con ms de tres incgnitas de reaccin de apoyo, adems de las ecuaciones de equilibrio debenestablecerselasecuacionesdecondicinasociadasalasunionesinternasqueexisten,normalmente rtulas.Sihaymsdedosbarrasqueconcurrenaunauninrotulada,sedebenplanteartantasecuacionesde condicincomoelnmerodebarraqueconcurrenalnudorotuladomenosuno;esdecirtantasecuacionesde condicin como rtulas simples representa la unin. 7.3.2. Clculo de esfuerzos internos. Conocidas las reacciones de los apoyos externos, la distribucin de esfuerzos internos se calcula de la misma forma que para el caso de las vigas. 44 Comentarios: En un nudo rgido de un marco al que concurren dos barras, mientras no acten en l fuerzas o momentos nodales (fuerzasomomentosconcentradosaplicadosdirectamenteenelnudo),losmomentosdeflexinqueejercenlas barrassobreelnudoslopuedentenerlossentidosindicadosenlafiguraparaquesecumplalacondicinde equilibrio. 8. ENREJADOS O ESTRUCTURAS PLANAS RETICULARES. Los enrejados son estructuras uniaxiales formadas por barras que se unen de forma tal, que el modelo de la unin entre las barrascorresponde a una rtulay las acciones externas, modeladascomo fuerzas, actan en los nudos del enrejado. Algunos ejemplos de enrejados isostticos se muestran en las figuras adjuntas. Enrejado de Tijera: Enrejado tipo Howe: Enlaprctica,estetipodeestructuraseusaenlasestructurasdetechumbres(cerchasdetecho),envigas enrejadas de algunas obras viales como son los puentes de uso vial o de uso ferroviario. Alactuarlasaccionesexternascomofuerzasnodales,elenrejadoesunaestructuraqueresistelasacciones externasporlosesfuerzosaxialesdelasbarrasqueloforman.Ladeterminacindelosesfuerzosaxialesenlas barras se realiza aceptando que: i. Las uniones internas son rotulas perfectas. ii. Las cargas externas se aplican en los nudos, lo que implica que el peso propio de las barras no es el estado de cargaquepredomineeneldimensionamientodelasbarras,esdecirlosesfuerzosinternosqueproduceelpeso propio de las barras son del tipo secundario. Para incorporar el peso propio de las barras en el anlisis del enrejado se acepta que este peso se concentra por partes iguales en los nudos a los que se conecta la barra, como se indica en la figura. 45 Comentarios: a. En la construccin de unaestructura que se modelacomo un enrejado se recomienda la utilizacin de barras esbeltas,esdecirbarrascuyarelacinentrelamayordimensindelaseccintransversalylalongituddela barra sea del orden de 0,10. Laesbeltezdelasbarrasdebecontrolarseparaevitarquelosefectosdepandeooinestabilidadquese presentanenbarrasesbeltas,paraquedeestamaneranoreduzcanenformasignificativalacapacidad resistente de las barras. b.Alaislarunabarracualquieradeunenrejado,enlosextremosdeellasloactanfuerzasaxialesdeigual magnitud y sentido opuesto, como se muestra en la figura. De esta forma, las barras de un enrejado se encuentran en un estado de compresin pura o de traccin pura de magnitud constante a lo largo de la barra. c. Consecuenteconlaconvencindesignosusadapararepresentarelestadodeesfuerzoenunaseccin transversal cualquiera de un elemento uniaxial, se considera que un esfuerzo axial de traccin es positivo. 8.1. Clasificacin de los enrejados. Los enrejados se pueden clasificar en: i.Enrejados simples: Son aquellos en que cada nudo se une con otros dos por medio de un par de barras. 46 ii.Enrejadoscompuestos:Sonaquellosqueresultadeunindelosenrejadossimples,mediante:tresbarras no concurrentes ni paralelas; por una rtula y una barra o por tres rtulas no colineales. iii. Enrejados complejos: Son aquellos que no pueden clasificarse en ninguno de los dos tipos anteriores. 8.2. Mtodo de anlisis de enrejados isostticos. 8.2.1. Clculo de las reacciones en los apoyos. Para determinar las fuerzas de reaccin en los apoyos de un enrejado, basta con aplicar la condicin de equilibrio eneldiagramadecuerpolibrequeresultaalliberarlaestructuradesusapoyos.Eneldiagramadecuerpolibre actan las fuerzas externas nodales y las reacciones de los apoyos (incgnitos). Este procedimiento se aplica a cualquier enrejado externamente isosttico, es decir aquellos enrejados simples en queelnmerodeincgnitasdereaccinesigualatres,comosonlosenrejadosquesemuestranenlasfiguras adjunta. Para calcular las reacciones no es necesario calcular las fuerzas axiales de cada una de las barras.

47 8.2.2. Clculo de los esfuerzos axiales de las barras. El clculo manual de estas fuerzas se realiza aplicando bsicamente dos mtodos: i. Mtodo de los nudos. ii. Mtodo de las secciones o de Ritter. Independientemente del mtodo que se use, es conveniente asignar a las barras un nmerode identificacin y a los nudos una letra de identificacin, como se indica en la figura. Considerando que no se conoce a priori el sentido de las fuerzas axiales que actan en las barras, se supone que todas las barras estn traccionadas, es decir la barra tira del nudo al cual concurre cuando se representa el DCL del nudo. Si el resultado del anlisis entrega un valor negativo de la fuerza axial, significa que el sentido de la fuerza es opuesto al supuesto, es decir la barra se encuentra comprimida. 8.2.2.1. Mtodo de los nudos. Este mtodo consiste en aplicar la condicin de equilibrio en el DCL que resulta al aislar los nudos de la estructura, diagrama en el que el sistema de fuerzas concurrente que acta est formado por las fuerzas nodales externas y las fuerzas axiales que ejercen las barras que concurren al nudo. Para aplicar este mtodo, se debe comenzar con cualquier nudo en el que existan a lo ms dos incgnitas de fuerza en el sistema de fuerza, continuando en forma sucesiva aplicando la condicin de equilibrio en aquellos nudos en los que se desconocen a lo ms dos fuerzas axiales. Laverificacindelacondicindeequilibrioenelltimonudo,sirveparaverificarlosclculosrealizadospara determinar las fuerzas axiales de las barras. Comentarios: a.Enunnudosinfuerzasnodalesexternasesposibledeterminarlasfuerzasexternasdealgunasdelasbarras cuando se dan las condiciones indicadas. 48 b. Enunnudosometidoafuerzasexternasesposibledeterminaralgunasdelasfuerzasinternasdelasbarras que concurren a l, en la medida que se den condiciones como las indicadas. Ejemplos: Enrejado simple Enrejado compuesto. 8.2.2.2. Mtodo de las secciones. Este mtodo es una aplicacin directa de la condicin de equilibrio a una de las porciones que resulta al hacer un corte imaginario del enrejado. El sistema de fuerzas del DCL de una de las porciones est formado por las fuerzas nodalesdelosnudosquepertenecenalaporcin,porlasfuerzasdereaccinenlosapoyosdelenrejadoque pertenecen a la porcin y por las fuerzas axiales de las barras comprometidas por el corte imaginario. Teniendo en cuenta que en un sistema de fuerzas plano no concurrente, se pueden establecer tres ecuaciones de equilibrio, el corte imaginario no debe comprometer ms que tres barras en las que la fuerza axial sea desconocida. La ventaja de este mtodo es que permite calcular en forma directa, y por lo tanto rpida, la fuerza axial de una barra sin necesidad de calcular la fuerza axial en otras barras que interesan, lo que debe hacerse cuando se aplica el mtodo de los nudos. Comentario: a. Se puede aceptar que el corte comprometa a ms de tres fuerzas axiales si se presenta una condicin como la indicadaenlafigura,porcuantosepuededeterminarlafuerzaF4escribiendolaecuacindeequilibriode momento en torno del nudo O. b. Paraanalizarunenrejadosepuedenaplicarenformacombinadaambosmtodos,laformadehaceresta combinacin depende de lo directo que resulte el clculo de la fuerza de una barra. Ejemplo: Enrejado simple. Enrejado compuesto. 8.3. Tensiones normales en los puntos de una seccin transversal de una barra de un enrejado. Al estar sometida la seccin transversal de la barra a una fuerza axial pura,Ni, la fuerza por unidad de rea que acta en cualquier punto de una seccin transversal se reduce slo a una tensin normaloxx que cumplecon la condicin: 49 }Ai oxx dA = Ni donde: oxx: Tensin normal debido al esfuerzo axial, |F/L2| Ni: Fuerza axial actuante en la barra i. Ai:rea de la seccin transversal de la barra i. Paradeterminarlaformaenquesedistribuyelatensinnormalenlaseccintransversalseaceptalahiptesis siguiente (Hiptesis de Bernoulli): Lasseccionestransversalesplanasyparalelasseconservanplanasyparalelasaldeformarse(elongacindela barra)

Deacuerdoconestahiptesis,laelongacin(alargamientooacortamiento)decualquierfibralongitudinaldeun trozodebarradelongituddxesdu.Deestaformaencualquierpuntodelaseccintransversal,elcambiode longitud en la direccin axial por unidad de longitud es constante, cumplindose: du/dx = exx = constante Si el comportamiento de la barra es elstico lineal, la relacin entre la tensin normal y la deformacin axial unitaria es lineal y est dada por la ecuacin de Hooke. oxx = Eexx donde: E: Mdulo de elasticidad del material del cual esta fabricada la barra. Por ejemplo: Acero = 2.100.000 kgf/cm2 Hormign = 220.000 y 350.000 kgf/cm2 Albailera = 15.000 y 120.000 kgf/cm2 Considerando que E es una propiedad mecnica del material constante, por la hiptesis de Bernoulli se obtiene que ladistribucindelastensionesnormalesenlaseccintransversalesUNIFORMEylamagnituddelatensin normal oxx es: oxx - }Ai dA = Ni oxx - Ai = Ni oxx = Ni / Ai Comentario: a.Si el esfuerzo axial Ni no acta en el centroide de la seccin transversal, la distribucin de la tensin normal no es constante en la seccin. b.Considerando que las barras de un enrejado son prismticas y homogneas y que el esfuerzo axial es constante a lo largo de la barra, la tensin normal es la misma en cualquier punto de cualquier seccin transversal de la barra. c.Enlaszonasdeunabarradondeseproducenvariacionesbruscasdelaseccintransversalporcambio geomtricooporlapresenciadeunaperforacin,lastensionesnosedistribuyenenformauniformeenel entorno de la singularidad. 8.4. Deformacin axial de una barra sometida a un estado de esfuerzo axial puro. 50 Al cumplirse la hiptesis de Bernoulli, el desplazamiento axial de cualquier punto de una seccin transversal queda dado por el desplazamiento axial de centro de gravedad de la seccin. Para determinar este desplazamiento axial bastacondeterminareldesplazamientoaxialrelativoentredosseccionestransversalesdistantesunalongitud infinitesimal dx. du = cxx dx Si el comportamiento de la barra es elstico lineal, se tiene: du = oxx/E *dx = Ni - dx/|E-Ai| Integrando la ecuacin anterior a lo largo de la barra, se obtiene la elongacin de la barra, es decir el cambio de longitud que experimenta entre sus secciones extremas (ver figura): Si la barra es prismtica (Ai = Constante) y homognea (E = constante), la elongacin est dada por: Ai = Ni * Li / |E*Ai| donde: Li: Longitud de barra (i) El cuociente: E*Ai / Lies la rigidez axial de la barra. Teniendoencuentalacondicindecompatibilidadgeomtricaquedebesatisfacerelenrejado,laelongacinde una barra se puede expresar en funcin de los desplazamientos (u,v) que experimentan los nudos a los que est asociada la barra, los que muestran en la figura. 51 donde: ojk =nguloqueformaelejedelabarraensuposicinnodeformadaconunarectahorizontal,medidoenel sentido opuesto al movimiento de los punteros del reloj. uj, vj, uk, vk =componentesdelosdesplazamientosdelosnudos(j)y(k)medidosenunsistemaglobalde referencia (X,Y) Si Ai > 0 hay alargamiento de la barra. 9. INTRODUCCIN AL ANLISIS DE TENSIONES Y DEFORMACIONES. 9.1. Concepto de tensin. LatensinqueactaenunpuntoPdeunslido,enunplanoquepasaporl,comoeselplanodelaseccin transversal de una barra, est definida por la ecuacin. La tensin es un vector que se mide en unidades de fuerza por unidad de rea, y estas pueden ser: Kgf/cm2, N/mm2, psi 52 El vector Ti se descompone normalmente en 3 componentes, una componente segn la direccin de la normal al plano sobre el cual se define (por ejemplo: si este es el plano de la seccin transversal, esta direccin corresponde aladireccinaxialdeunabarrarecta)ydoscomponentescontenidasenelplano,lasquesonperpendiculares entre s. En el caso de una barra, cuando se calcula la tensin en el plano de la seccin transversal que pasa por el punto, las componentes del vector de tensin se identifican con los smbolos: Componente normal (axial): xx Componentes tangenciales (contenidas en el plano de la seccin transversal): t xy, t xz Alestarasociadoelvectordetensinaunplanodeterminado,elvectordetensinvaraalcambiardeplano. Considerando que por un punto pueden pasar infinitos planos, este conjunto de vectores de tensiones que actan en un punto, se define como el Estado de tensiones del punto. Elestadodetensionesdeunpuntoquedadeterminadosiseconocenlosvectorestensinqueactanentres planosmutuamenteperpendicularesquepasanporelpunto.Enelcasodeunabarraestosplanossonaquellos cuyas normales coinciden con la direccin de los ejes del sistema local de referencia de la barra (x, y, z), es decir: Por el equilibrio de fuerzas que debe cumplirseen cualquier entorno del punto, el vector de tensin que acta en el plano de normal n que delimita este entorno, resulta: La matriz de tensin es simtrica, por lo cual basta con conocer slo seis componentes de ella para determinar el estadodetensionesenelpunto.Estacondicindesimetradelamatrizrepresentalacondicindeequilibriode momentos que debe cumplirse en un volumen prismtico elemental en torno del punto, cuyas caras son paralelas a los planos del sistema de referencia. Por convencin se considerar que: 53 a. Las tensiones normales son positivas si al actuar en un plano de normal positiva, la tensin acta en el sentido positivodelejedelsistemadereferencia,yalactuarenunplanodenormalnegativa,siactaenelsentido opuestoalsentidopositivodelejedelsistemadereferencia.Deacuerdoconestaconvencin,lastensiones normales positivas corresponden a tensiones de traccin, y las negativas a tensiones de comprensin. b. Las tensiones tangenciales son positivas si al actuar en un plano de normal positiva, su sentido corresponde al sentidopositivodelejedelsistemadereferencia,yalactuarenunplanodenormalnegativa,siactaenel sentido opuesto al sentido positivo del eje del sistema de referencia. 9.2. Tensiones principales. Existen tres planos, perpendiculares entre s, que por un punto en los que las tensiones tangenciales son nulas. La direccin de las normales de estos planos definen las llamadasdirecciones principales y las tensiones normales queactanenestosplanosseconocencomolastensionesprincipales,cuyamagnitudrepresentavalores extremos del estado de tensiones. El vector de tensin en uno de estos planos principales, se puede escribir: Igualando las ecuaciones anteriores, se tiene: 54 Para que este sistema de ecuaciones tenga solucin se debe cumplir que el determinante de los coeficientes de la matriz debe ser igual a cero. Imponiendo esta condicin se obtiene una ecuacin cbica para Sp, cuyas races son los valores de las tensiones principales del punto. La ecuacin que resulta es del tipo: Loscosenosdirectoresdelasnormalesdelosplanosprincipales,componentesdelosvectoresunitariosque definen las direcciones principales, se obtienen reemplazando cada valor Sp en el sistema de ecuaciones. Considerandoqueestesistemadeecuacioneseshomogneo,sloseusandosecuacionesdelylatercera corresponde a la condicin de mdulo unitario de este vector: npx2 + npy2 + npz2 = 1,0 9.3. Estado plano de tensiones. Este estado corresponde a aquel estado de tensiones, en el que en cualquier punto del slido, las componentes del vector de tensin, cumplen con la siguiente condicin: ozz = tzx = tzy = 0Estado de tensiones planos en el plano X - Y Enesteestadodetensiones,elvectordetensionesencualquierpuntoesconocidosiseconocenlastres componentes siguientes: oxx , tx , oyy 55 En este estado slo existen dos direcciones principales. 9.3.1. Componentes del vector de tensiones en la direcciones de los ejes x e y. De la ecuacin de tensin se obtiene: Tx = oxx - cos (o) + txy - sen (o) Tx = txy - cos (o) + oyy - sen (o) donde: o: nguloqueformalanormaldelplanodondesecalculalatensinconladireccindelejexdelsistemade referencia, medido en el sentido opuesto al movimiento de los punteros del reloj. 9.3.2. Componentes de la tensin en la direccin normal y tangencial del plano. Reemplazando las expresiones de Tx y Ty, reagrupando trminos, se obtiene: on = (oxx oyy) - cos (2o)/2 + (oxx + oyy)/2 + txy - sen (2o) t = (oxx oyy) - sen (2o) /2+ txy - cos (2o) 56 9.3.3. Direcciones y tensiones principales. Paradeterminarlasdireccionesprincipales,bastaconigualaracerolaecuacinrespectiva,dadoqueenestos planos la tensin tangencial es nula, resulta: tan (2oo) = 2- txy / (oxx oyy) Considerandoquelasdireccionesprincipalessonperpendicularesentresi,elnguloooquedefinelaotra direccin principal es: o'o = oo + t/2 Lastensionesprincipalesasociadasconlosngulosooyooseobtienenreemplazandoenlaecuacindeonlos valores de oo y o respectivamente. 9.3.4. Planos donde se producen las tensiones tangenciales mximas. Derivandolaecuacinrespectivayhaciendoigualacero,laexpresinqueresulta,seobtieneelnguloo1del plano donde la tensin tangencial es mxima, obtenindose: dt/do = (oxxoyy) - cos (2o) 2 t xy - sen (2o) Igualndose a cero esta derivada resulta: tan (2-o 1) = - (oxx - oyy) / |2 - txy | = - cotan (2 - oo) Por lo tanto tan (2-o 1) = tan (2 o o + t/2)o1 = o o + t/4 As uno de losplanos donde acta la tensin tangencial mxima forma el nguloo1 con la direccinxyel otro, que es perpendicular a l, forma el ngulo: oo + 3- t/4 con el eje x. Para determinar la magnitud de la tensin tangencial mxima y la magnitud de la tensin normal que acta en el planodondelatensintangencialesmxima,bastaconreemplazarlosnguloso1yo1enlasecuaciones anteriores respectivamente. 9.3.5 Representacin grfica del estado plano de tensiones en un punto del slido. Parahacerestarepresentacinsetrabajaenelsistemadeejes(on,t).Paraobtenerlacurvaquerepresentael estado de tensiones de un punto cualquiera del slido basta con escribir la ecuacin de on, como: |on - (oxx + oyy) / 2| = (oxx - oyy) -cos (2o)/2 + txy - sen (2o) 57 y elevarla al cuadrado. Finalmente, se obtiene:|on - (oxx + oyy) / 2|2 + t2 = |(oxx + oyy) /2|2+txy2 Esta ecuacin representa la ecuacin de un crculo de radio:R2 = |(oxx - oyy) / 2|2 + txy2 y de centro: |(oxx + oyy) / 2, 0. | Este crculo (Crculo de Mohr) se muestra en la figura adjunta. Para realizar esta representacin grfica del estado de tensiones de un punto, se considera la convencin siguiente de signos: i. La tensin normal on es positiva si es una tensin de traccin. ii. La tensin tangencial es positiva si produce un momento en torno del punto en el sentido del movimiento de los punteros del reloj. Considerandoestaconvencin,elvectordetensinqueactaenlosplanosquepasanporelpuntoycuyas normales estn dirigidas en el sentido positivo de la direccin de los ejes del sistema de coordenada, corresponde a los puntos A y B del crculo. Conocida l ubicacin de A y B, se determina: a) El centro del crculo de Mohr el que corresponde al punto donde corta el eje o la recta que une A y B. 58 b) El radio del crculo es la mitad de la longitud del trazo AB: CA = {|(oxx - oyy ) / 2|2 + txy2}0.5 Trazando el crculo, el ngulo | que forma cualquier radio CP con el radio CA, representa el doble del ngulo o que forma la normal del plano donde actan las tensiones (on, t) con el eje x. La tangente del ngulo |o, que forma el radio C1 con CA, es: tan (|o) = 2 txy / (oxx- oyy)= tan (2oo) As el punto 1 define uno de los planos principales (o1, o.) y el punto 2 el otro plano principal, resultando: o1 = (oxx+ oyy ) /2 + {|(oxx - oyy ) / 2|2 + txy2}0.5 o2 = (oxx+ oyy ) /2 - {|(oxx - oyy ) / 2|2 + txy2}0.5 Lospuntos3y4representanlastensiones,normalytangencial,queactanenlosplanosdondelatensin tangencial es mxima: t max = | ((oxx - oyy) / 2)2 + txy2 | 0.5 o3, o4, = (oxx+ oyy ) / 2 De esta representacin se confirma que los planos donde acta la tensin tangencial mxima son perpendiculares entre s. Paradibujarelsentidodeestastensiones,debeconsiderarselaconvencinusadapararepresentarelcrculode Mohr. 9.4. Tensiones en los puntos de la seccin transversal de una barra. Para el sistema de referencia local indicado en la figura, las componentes positivas del vector de tensin que acta en el punto P de coordenadas (z, y) son las mostradas en la figura. Las fuerzas y momentos resultantes de estas tensiones en el centro de gravedad de la seccin transversal son igual alascomponentesdelestadodeesfuerzosdelaseccin.Considerandolaconvencindesignosdelestadode esfuerzos, se cumple: N = }A oxx - dA - Mz = }A oxx - y dA 59 My = }A oxx - z dA - Qy =}A txy - dA Qz = }A txz - dA Mt = }A (txz - y - txy - z ) dA Enlafigurasemuestranestascomponentesdelestadodeesfuerzosydelestadodetensionesenelplanodela seccin transversal. Delasrelaciones,seapreciaquelastensionesnormales(oxx)enlospuntosdelaseccintransversaldeuna barra,existenenlamedidaqueenlaseccinacteunesfuerzoaxialomomentosdeflexin.Encambiolas tensiones tangenciales existen, cuando en la seccin transversal las fuerzas de corte o el momento de torsin son distintos de cero.