Mat
emát
icas
sim
plif
cada
s • M
ate
máticas sim
plif cadas • Matemáticas simplif cadas • Matem
áticas simplif cadas • M
atemáticas simplif cadas • Matemáticas simplif c
adas
•
Mat
emát
icas s
impli
f cad
as • M
atemáticas simplif cadas • Matemáticas simplif cadas • Matem
áticas simplif cadas • Matemáticas simplif cadas • Matem
ática
s sim
plif
cada
s •
Mat
emát
icas
sim
plif
cada
s • M
ate
máticas sim
plif cadas • Matemáticas simplif cadas • Matem
áticas simplif cadas • M
atemáticas simplif cadas • Matemáticas simplif c
adas
•
Capítulo 3 Continuidad
Rese
ñahistóRica
E n el siglo xix la matemática se apoya-ba en la geometría y el álgebra para buscar sustento a sus afirmaciones.
En el cálculo infinitesimal se siguieron las líneas que le eran posibles con el sustento conceptual, como la existencia de funcio-nes continuas.
Es cuando Weierstrass publica en 1872, gra- cias a su discípulo Paul Du Bois Reymond,
su teorema sobre la existencia de funciones continuas que en algunos pun-tos no tenían derivada; las consecuencias de este teorema fueron de gran interés, en su época se decía que una función era continua si su gráfica se podía trazar sin despegar el lápiz del papel, aún en nuestra época esto da una idea informal de la continuidad de una función.
Pero el resultado de Weierstrass mostró que se podía hablar de la con-tinuidad en un lenguaje totalmente analítico, sin necesidad de recurrir a imágenes geométricas. Este lenguaje proporcionó la advertencia sobre lo peligroso que resultaba confiar demasiado en las conclusiones extraídas de un dibujo.
Karl Weierstrass (1815-1897)
3 Capítulo MateMátiCas siMplifiCadas
88
Continuidad puntual
Una función f (x) es continua en el punto xo P R si cumple con las siguientes condiciones:
1. f (xo) está definida.
2. límx xo→
f (x) existe.
3. límx xo→
f (x) 5 f (xo).
Verifica si f (x) 5 x2 2 1 es continua en xo 5 2
SoluciónSe deben verificar las tres condiciones:
1. f (2) 5 (2)2 2 1 5 3, por tanto f (x) está definida para xo 5 22. Se calcula el valor de cada límite lateral:
límx→22
f (x) 5 límx→22
(x2 2 1) 5 (2)2 2 1 5 3
límx→21
f (x) 5 límx→21
(x2 2 1) 5 (2)2 2 1 5 3
Entonces, límx→2
f (x) sí existe y límx→2
f (x) 5 3
3. Como límx→2
f (x) 5 3 y f (2) 5 3, entonces límx→2
f (x) 5 f (2), por consiguiente, f (x) es continua en xo 5 2
X
Y
f (xo)
xo = 2
Ejem
plos
EJEMPLOs1
Capítulo 3 CálCulo diferenCial • Continuidad
89
Determina si la función f (x) 5 2 3 1
1x xx x2 ,
2 $sisi{ es continua en xo 5 1
SoluciónSe verifican las condiciones:
1. f (1) 52(1)
f (1) 5 21, la función está definida en xo 5 1
2. Se determinan los límites laterales:
límx→12
f (x) 5 límx→12
(2x 2 3) 5 2(1) 2 3 5 21
límx→11
f (x) 5 límx→11
(2x) 5 2(1) 5 21
Por tanto, límx→1
f (x) 5 21
3. Probar que el límx→1
f (x) 5 f (1)
límx→1
f (x) 5 f (1) 5 21
Finalmente, es continua en xo 5 1
Determina si la función f (x) 5 x x
x xx
2 12 3 1 33 3
sisisi
#2 , #
,
es continua en x 5 1 y x 5 3
SoluciónSe verifican las condiciones para los puntos x 5 1 y x 5 3:
1. f (1) 5 (1)2 5 1, la función está definida en xo 5 1
2. límx→11
f (x) 5 límx→11
(2x 2 3) 5 2(1) 2 3 5 21;
límx→12
f (x) 5 límx→12
x2 5 (1)2 5 1
Debido a que el límx→11
f (x) Z límx→12
f (x), entonces límx→1
f (x) no existe.
Por tanto, f (x) no es continua en xo 5 1
Se verifica la continuidad en xo 5 3
1. f (3) 5 2(3) 2 3 5 3, la función está definida en xo 5 3
2. límx→31
f (x) 5 límx→31
3 5 3; límx→32
f (x) 5 límx→32
(2x 2 3) 5 2(3) 2 3 5 3
Se concluye que,
límx→31
f (x) 5 límx→32
f (x)
Entonces, límx→3
f (x) 5 3
3. límx→3
f (x) 5 3 y f (x) 5 3 entonces, límx→3
f (x) 5 f (3)
Por consiguiente, f (x) es continua en xo 5 3
2
3
f(x) = 2x –3
x = 1
f (x) = – x
X
Y
X
Yf(x) = x2
f(x) = 2x – 3
f(x) = 3
3 Capítulo MateMátiCas siMplifiCadas
90
Es continua g (x) 5 sen si
si
x x
x x
,p
.p2
2cos
en xo 5 p
2
SoluciónSi se verifican los pasos se obtiene:
1. gp
2
no está definida, por tanto, la función no es continua en xo 5
p
2
4
Discontinuidad evitable o removible
Sea f(x) una función racional no continua en x 5 x0, si mediante una simplificación algebraica, f(x) se vuelve continua en x 5 xo, entonces recibe el nombre de discontinuidad evitable o removible.
Verifica si es continua la función f (x) 5 6 7 2
2 1
2x xx2 1
2 en x 5
12
Solución
1. Se evalúa la función en x 5 12
f12
5
612
712
2
212
1
2
2 1
2 5
614
72
2
1 1
2 1
2 5
32
72
2
1 1
2 1
2 5
00
La función se indetermina o no está definida para el valor de x 5 12
, lo cual implica que es discontinua en este punto;
sin embargo, se elimina la indeterminación mediante una simplificación algebraica.
f (x) 5 6 7 2
2 1
2x xx2 1
2 5
( )( )3 2 2 12 1
x xx
2 2
2 5 3x 2 2; si x Z
12
Esta simplificación indica que la gráfica es una línea recta con discontinuidad evitable o removible en x 5 12
f (x) = 12x
27x6x2
−+−
X
Y
x = 2
1
Ejem
plos
EJEMPLOs
1
Capítulo 3 CálCulo diferenCial • Continuidad
91
Determina si la función f (x) = x xx x
2
2
2 35 6
2 2
2 1 es continua en x 5 3 y traza su gráfica.
1. Se evalúa la función en x 5 3,
f (3) 5 ( ) ( )( ) ( )3 2 3 33 5 3 6
2
2
2 2
2 1 5
9 6 39 15 62 2
2 1 5
00
La función no está definida en x 5 3, sin embargo, mediante una simplificación se puede eliminar la discontinuidad,
f (x) 5 x xx x
2
2
2 35 6
2 2
2 1 5
( )( )( )( )x xx x2 1
2 2
3 13 2
5 xx1
2
12
, si x Z 3
La gráfica de esta función es una hipérbola con discontinuidad evitable o removible en x 5 3
X
Y
x = 2
3
Determina el valor de k para que la función sea continua:
f (x) 5 3 12 3 1
x k xkx x2 ,2 $
,,{
SoluciónSe obtienen los límites laterales:
límx→12
f (x) 5 límx→12
(3x 2 k) 5 3(1) 2 k 5 3 2 k
límx→11
f (x) 5 límx→11
(2kx 2 3) 5 2k(1) 2 3 5 2k 2 3
Para que el límite exista:
límx→12
f (x) 5 límx→11
f (x)
entonces:
3 2 k 5 2k 2 3 2k 2 2k 5 23 2 3 23k 5 26
k 5 2
2
63
k 5 2
2
3
3 Capítulo MateMátiCas siMplifiCadas
92
por tanto, para que la función sea continua k 5 2, es decir la función se debe escribir:
f (x) 5 3 2 14 3 1
x xx x2 ,2 $
,,{
ComprobaciónProbemos que la función es continua en x 5 1
i) f (1) 5 4(1) 2 3 5 4 2 3 5 1
ii) límx→12
f (x) 5 límx→12
(3x 2 2) 5 3(1) 2 2 5 3 2 2 5 1
límx→11
f (x) 5 límx→11
(4x 2 3) 5 4(1) 2 3 5 4 2 3 5 1
límx→1 12
f (x) 5 límx→11
f (x) 5 1
por tanto límx→1
f (x) existe y límx→1
f (x) 5 1
iii) f (1) 5 límx→1
f (x) 5 1
Por tanto f (x) es continua en x 5 1.
Determina los valores de a y b para que la función sea continua
f (x) 5 ax xx xbx x
2 #2
2 2 , ,1 $
3 21 2 31 3
2
SoluciónSe obtienen los límites laterales en x 5 22
límx→2 22
f (x) 5 límx→2 22
(ax 2 3) 5 a(22) 2 3 5 22a 2 3
límx→2 12
f (x) 5 límx→2 12
(x2 2 1) 5 (22)2 2 1 5 4 2 1 5 3
Para que el límite exista se debe cumplir:
límx→2 22
f (x) 5 límx→2 12
f (x)
Entonces:
22a 2 3 5 3 22a 5 3 1 3 22a 5 6
a 5 622
a 5 23
Por tanto a 5 23Se obtienen los límites laterales en x 5 3
límx→31
f (x) 5 límx→31
(bx 1 1) 5 b(3) 1 1 5 3b 1 1
límx→32
f (x) 5 límx→32
(x2 2 1) 5 (3)2 2 1 5 9 2 1 5 8
límx→31
f (x) 5 límx→32
f (x)
4
Capítulo 3 CálCulo diferenCial • Continuidad
93
entonces
3b 1 1 5 8 3b 5 8 2 1 3b 5 7
b 5 73
Por lo tanto b 5 73
Verifica si las funciones propuestas son continuas en los puntos indicados:
1. f (x) 5 2x2 2 x, en x 5 0
2. f (x) 5 x2 42 , en x 5 2
3. f (x) 5 3 12 3
xx2
1, en x 5 2
32
4. f (x) 5 4
1x1, en x 5 3
5. f (x) 5 xx
2 42
2
2, en x 5 2
6. f (x) 5 1
sen x, en x 5 2p
7. f (x) 5 x x
x x
2 1 22 1 22 ,2 $
sisi
, en x 5 2
8. g(x) 5 3 1
4 12
sisi
xx x
#
2 .
, en x 5 1
9. h(x) 5 3 2 02 3 0
x xx x2 ,1 $
sisi{ , en x 5 0
10. f (x) 5 x xx xx x
sisisi
,2
2 2 # ,2 $
22 2 2
3 4 2
2
, en x 5 22 y x 5 2
11. q(x) 5
21
3 5 1 22 2
xx
x x
x x
si
sisi
,
2 1 # ,
$
, en x 5 1 y x 5 2
12. h(x) 5
sen si
si
x x
x x
x
1p
#p
p, # p
232
2
+
cos
tanπ
si x. p
32
, en x 5 p y x 5 32p
EjErCiCio 25
3 Capítulo MateMátiCas siMplifiCadas
94
13. f (x) 5 x xx x
x x
sisisi
,2
2 2 # ,
1 $
32 3 3
7 3
2
7log( )
, en x 5 23 y x 5 3
14. g(x) 5 x x
x
2
2
5 69
2 1
2, en x 5 3
15. h(x) 5 xx
2
3
11
2
2, en x 5 1
16. g(x) 5 xx
3
2
84
1
2, en x 5 22
17. f (x) 5 x
x x2
1 2
8722 , en x 5 8
18. w(x) 5 6 1
4 4 1
2
2
x xx x2 2
2 1, en x 5
12
Determina el valor de k para que las siguientes funciones sean continuas:
19. f (x) 5 2 23 1 2
x k xkx x1 ,2 $
sisi{
20. f (x) 5 k x x
k x x
2 02 3 02 #1 .
sisi
21. g(x) 5 x k x
kx x1 ,
2 $
sisi
31 3
Obtén el valor de las constantes para que las siguientes funciones sean continuas:
22. f (x) 5 ax xx xbx x
1 #2
2 2 , ,1 $
3 44 4 14 1
2
sisisi
23. f (x) 5 ax b x
xb xa x x
1 ,2 # ,2 $
sisisi
03 2 0 32 3
24. f (x) 5 ax xa bx xax b x
1 #1 , ,2 $
2 11 4
2 4
sisisi
Verifica tus resultados en la sección de soluciones correspondiente
Capítulo 3 CálCulo diferenCial • Continuidad
95
Continuidad de una función en un intervalo
Continuidad por la derecha
Una función f (x) es continua a la derecha de xo si y solo si para x P R se cumplen las siguientes condiciones:
1. f (xo) existe
2. límx x→ 0
1f (x) existe
3. límx x→ 0
1f (x) 5 f (x0)
Continuidad por la izquierda
Una función f (x) es continua a la izquierda de xo si y solo si para x P R:
1. f (xo) existe
2. límx xo→ 2
f (x) existe
3. límx xo→ 2
f (x) 5 f (xo)
Continuidad de una función en un intervalo abierto
Se dice que f (x) es continua en el intervalo abierto (a, b) si y solo si es continua en todos los puntos del intervalo.
Demuestra que f (x) 5 9 22 x es continua en el intervalo (23, 3)
SoluciónLa función f(x) 5 9 22 x está definida en todos los puntos del intervalo (23, 3), como se ilustra en la gráfica, por consiguiente, f (x) es continua en dicho intervalo.
Y
X3– 3
3
Ejem
plos
EJEMPLOs1
3 Capítulo MateMátiCas siMplifiCadas
96
¿ f (x) 5 1x
es continua en el intervalo (22, 3)?
Soluciónf (x) no está definida en x 5 0; entonces no es continua en este punto, por tanto, no es continua en el intervalo (22, 3)
X
Y
x = 0
–2
3
2
Continuidad en un intervalo cerrado
Una función f (x) es continua en el intervalo cerrado [a, b] si es continua en el intervalo abierto (a, b) y además
límx a→ 1
f (x) 5 f (a) y límx b→ 2
f (x) 5 f (b)
Demuestra que f (x) 5 x2 2 2x es continua en el intervalo cerrado [21, 2]
DemostraciónLa función f (x) es polinomial, lo cual implica que está definida en el intervalo abierto (21, 2), por tanto, es continua en el intervalo, ahora se prueba la continuidad en los extremos del intervalo.
Para x 5 21
a) f (21) 5 (21)2 2 2(21) 5 3
b) límx→2 11
f (x) 5 límx→2 11
(x2 2 2x) 5 3
c) límx→2 11
f (x) 5 f (21)
Para x 5 2
a) f (2) 5 (2)2 2 2(2) 5 0
b) límx→22
f (x) 5 límx→22
(x2 2 2x) 5 0
c) límx→22
f (x) 5 f (2)
f (x) es continua en el intervalo abierto (21, 2) y es continua a la derecha de 21 y a la izquierda de 2, entonces f (x) es continua en el intervalo cerrado [21, 2]
Ejem
plos
EJEMPLOs1
X
Y
– 1 2
Capítulo 3 CálCulo diferenCial • Continuidad
97
¿La función f (x) 5 x x
x x
2 02 1 0
sisi
,2 $
es continua en el intervalo [22, 3]?
SoluciónDel intervalo (22, 3) la función f (x) no es continua en x 5 0, ya que:
límx→02
f (x) 5 0, límx→01
f (x) 5 21
límx→02
f (x) Z límx→01
f (x)
Por tanto, límx→0
f (x) no existe.
Si f (x) no es continua en el intervalo abierto
(22, 3)
Entonces, no es continua en el intervalo cerrado
[22, 3]
¿La función f (x) 5 1 01 0
22 #1 .
x xx x
sisi
es continua en el intervalo [23, 3]?
SoluciónSe prueba la continuidad de la función en x 5 0
1. f (0) 5 1 2 (0)2 5 1
2. límx→01
f (x) 5 1 1 (0) 5 1; límx→02
f (x) 5 1 2 (0)2 5 1
3. f (0) 5 límx→0
f (x) 5 1
La función es continua en el intervalo (23, 3)Ahora se prueba la continuidad en los extremos:
Para x 5 23
1. f (23) 5 1 2 (23)2 5 1 2 9 5 28
2. límx→2 13
f (x) 5 1 2 (3)2 5 1 2 9 5 28
3. f (23) 5 límx→2 13
f (x)
Para x 5 3
1. f (3) 5 1 1 3 5 1 1 3 5 4
2. límx→2 23
f (x) 5 1 1 3 5 1 1 3 5 4
3. f (3) 5 límx→2 23
f (x)
La función es continua en (23, 3) y además es continua a la derecha de 23 y a la izquierda de 3, por tanto, es continua en el intervalo [23, 3]
2
3
X3 – 2
Y
X
Y
3– 3
3 Capítulo MateMátiCas siMplifiCadas
98
Continuidad en un intervalo semiabierto
Para intervalos semiabiertos (a, b] y [a, b) se tiene que:
1. Una función f (x) es continua en el intervalo semiabierto (a, b] si es continua en el intervalo abierto (a, b), y lím
x b→ 2f (x) 5 f (b)
2. Una función f (x) es continua en el intervalo semiabierto [a, b) si es continua en el intervalo abierto (a, b), y lím
x a→ 1f (x) 5 f (a)
Demuestra que f (x) 5 2
3x2 es continua en el intervalo semiabierto (3, 6]
DemostraciónEl dominio de la función se define Df 5 {x P R u x Z 3}, por tanto f (x) es continua en el intervalo abierto (3, 6)
Se verifica la continuidad por la izquierda en 6
a) f (6) 5 2
6 32 5
23
b) límx→62
f (x) 5 límx x→
6
232 2
5 23
c) límx→62
f (x) 5 f (6)
Entonces, f (x) es continua en el intervalo semiabierto (3, 6]
X
Y
63
Ejem
plos
EJEMPLOs1
Capítulo 3 CálCulo diferenCial • Continuidad
99
¿La función f (x) 5 3 2
1 2 32
sisi
xx x
,
2 # ,
es continua en el intervalo semiabierto (21, 3]?
SoluciónSe verifica la continuidad en x 5 2
1. f (2) 5 (2)2 – 1 = 3
2. límx→22
f (x) 5 3; límx→21
f (x) 5 3,
Por tanto, límx→2
f (x) 5 3
3. f (2) 5 límx→2
f (x), la función es continua en (21, 3)
Se prueba la continuidad por la izquierda en x 5 3
1. f (3) no está definida, por tanto, la función no es continua en el intervalo (21, 3]
X
Y
–1 32
Verifica la continuidad de la función f (x) 5 2 2 # #
2 1
x xx x x
sisi
2 04 0 42 , ,
en [22, 4)
SoluciónSe verifica la continuidad en x 5 0
1. f (0) 5 2(0) 5 0
2. límx→02
(2x) 5 0, límx→01
(2x2 1 4x) 5 0
3. Por tanto, límx→0
f (x) 5 f (0)
La función es continua en el intervalo (22, 4)Se prueba la continuidad por la derecha para x 5 22
1. f (22) 5 2(22) 5 2
2. límx→–21
(2x) 5 2(22) 5 2
3. f (22) 5 límx→–21
(2x)
Por tanto, la función f (x) es continua en el intervalo [22, 4)
2
3
X
Y
–2 4
3 Capítulo MateMátiCas siMplifiCadas
100
Teorema del valor intermedio
Sea f (x) una función continua en el intervalo [a, b], y k un número comprendido entre f (a) y f (b), entonces existe un c P [a, b] tal que f (c) 5 k.
X
Y
f(b)
f(c) = kf(a)
a c b
Verifica si son continuas las siguientes funciones en los intervalos indicados:
1. f (x) 5 3x 1 2 en [0, 3) 6. f (x) 5 x1 3 en [23, 1]
2. f (x) 5 2
42
xx 2
en (21, 3) 7. f (x) 5 2 14 3 1
2x x xx x2 ,2 $
sisi
en [22, 4]
3. f (x) 5 x2 41 en [23, 3] 8. f (x) 5 1
0
2 1 0x
x
x x
si
si
.
1 ,
en [23, 4]
4. f (x) 5 1x
2 3 en 213
13
,
9. f (x) 5 x xx x
sisi
,
1 $
22 1 2
en (0, 3)
5. f (x) 5 x2 2 x3 en [22, 0] 10. f (x) 5 x x
x xx
2 12 3 1 33 3
sisisi
,2 1 # #2 .
en (22, 5)
Verifica tus resultados en la sección de soluciones correspondiente
EjErCiCio 26
Si f (x) 5 3x 2 2 es una función definida en el intervalo [22, 3], obtén el valor de c que cumpla con el teorema del valor intermedio cuando k 5 1
SoluciónAl aplicar el teorema se obtiene:
f (c) 5 k S 3c 2 2 5 1 S 3c 5 3 S c 5 1
Por consiguiente, c 5 1 cuando k 5 1
Ejem
plos
EJEMPLOs1
Capítulo 3 CálCulo diferenCial • Continuidad
101
Dada la función g (x) 5 x2 2 3x 2 2, definida en el intervalo [1, 4], determina el valor de k que cumpla con el teorema del valor intermedio cuando c 5 3
SoluciónSe aplica el teorema:
f (c) 5 k S c2 2 3c 2 2 5 k
Pero, c 5 3 y al sustituir se obtiene el valor de k
(3)2 2 3(3) 2 2 5 k S k 5 22entonces, k 5 22
X
Y
1
4
c = 3
k = –2
2
Aplica el teorema del valor intermedio y encuentra el valor de c en los siguientes ejercicios:
1. f (x) 5 3x 2 5; [22, 4] con k 5 1
2. f (x) 5 x2 41 ; [23, 3] con k 5 2
3. f (x) 5 3 2
1xx2
1; [0, 5] con k 5 2
4. f (x) 5 x x
x x
2 2 12 1 12 ,
2 1 $sisi
; [22, 4] con k 5 0
5. f (x) 5 5 5
25 52
2 #
2 .
x xx x
sisi
; [0, 8] con k 5 0
Aplica el teorema del valor intermedio y determina el valor de k en los siguientes ejercicios:
6. f (x) 5 3x3 2 2x2; [22, 0], c 5 21
7. f (x) 5 x2 91 ; [26, 0], c 5 24
8. f (x) 5 x
x2 11; [1, 5], c 5 2
9. f (x) 5 cos x; [0, 2p], c 5 p
4
10. f (x) 5 log(3 1 x); [1, 12], c 5 7
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EjErCiCio 27