Continuidad Conamat

15
M a t e m á t i c a s s i m p l i f c a d a s M a t e m á tic a s sim p lif c a d a s M a te m á tic a s si m p lif c a d a s M a t e m á ti c a s s i m p l i f c a d a s M a te m á tic a s sim plif c a d a s M a te m á tic a s si m p lif c a d a s M a t e m á t i c a s s i m p li f c a d a s M a t e m á ti c a s s im p lif c a d a s M a t e m á t i c a s s i m p l i f c a d a s M a t e m á ti c a s s i m p li f c a d a s M a t e m á tic a s si m pli f c a d a s M a t e m á ti c a s s i m p l i f c a d a s M a t e m á t i c a s s i m p l i f c a d a s M a te m átic a s sim plifca d a s M ate m átic a s sim plif ca d a s M a t e m á ti c a s s i m p l i f c a d a s M ate m á tic a s sim plif ca d as M ate m á tic a s sim plif ca d a s CAPÍTULO 3 CONTINUIDAD Reseña HISTÓRICA E n el siglo XIX la matemática se apoya- ba en la geometría y el álgebra para buscar sustento a sus afirmaciones. En el cálculo infinitesimal se siguieron las líneas que le eran posibles con el sustento conceptual, como la existencia de funcio- nes continuas. Es cuando Weierstrass publica en 1872, gra- cias a su discípulo Paul Du Bois Reymond, su teorema sobre la existencia de funciones continuas que en algunos pun- tos no tenían derivada; las consecuencias de este teorema fueron de gran interés, en su época se decía que una función era continua si su gráfica se podía trazar sin despegar el lápiz del papel, aún en nuestra época esto da una idea informal de la continuidad de una función. Pero el resultado de Weierstrass mostró que se podía hablar de la con- tinuidad en un lenguaje totalmente analítico, sin necesidad de recurrir a imágenes geométricas. Este lenguaje proporcionó la advertencia sobre lo peligroso que resultaba confiar demasiado en las conclusiones extraídas de un dibujo. Karl Weierstrass (1815-1897)

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Matemática analítica

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Page 1: Continuidad Conamat

Mat

emát

icas

sim

plif

cada

s • M

ate

máticas sim

plif cadas • Matemáticas simplif cadas • Matem

áticas simplif cadas • M

atemáticas simplif cadas • Matemáticas simplif c

adas

Mat

emát

icas s

impli

f cad

as • M

atemáticas simplif cadas • Matemáticas simplif cadas • Matem

áticas simplif cadas • Matemáticas simplif cadas • Matem

ática

s sim

plif

cada

s •

Mat

emát

icas

sim

plif

cada

s • M

ate

máticas sim

plif cadas • Matemáticas simplif cadas • Matem

áticas simplif cadas • M

atemáticas simplif cadas • Matemáticas simplif c

adas

Capítulo 3 Continuidad

Rese

ñahistóRica

E n el siglo xix la matemática se apoya-ba en la geometría y el álgebra para buscar sustento a sus afirmaciones.

En el cálculo infinitesimal se siguieron las líneas que le eran posibles con el sustento conceptual, como la existencia de funcio-nes continuas.

Es cuando Weierstrass publica en 1872, gra- cias a su discípulo Paul Du Bois Reymond,

su teorema sobre la existencia de funciones continuas que en algunos pun-tos no tenían derivada; las consecuencias de este teorema fueron de gran interés, en su época se decía que una función era continua si su gráfica se podía trazar sin despegar el lápiz del papel, aún en nuestra época esto da una idea informal de la continuidad de una función.

Pero el resultado de Weierstrass mostró que se podía hablar de la con-tinuidad en un lenguaje totalmente analítico, sin necesidad de recurrir a imágenes geométricas. Este lenguaje proporcionó la advertencia sobre lo peligroso que resultaba confiar demasiado en las conclusiones extraídas de un dibujo.

Karl Weierstrass (1815-1897)

Page 2: Continuidad Conamat

3 Capítulo MateMátiCas siMplifiCadas

88

Continuidad puntual

Una función f (x) es continua en el punto xo P R si cumple con las siguientes condiciones:

1. f (xo) está definida.

2. límx xo→

f (x) existe.

3. límx xo→

f (x) 5 f (xo).

Verifica si f (x) 5 x2 2 1 es continua en xo 5 2

SoluciónSe deben verificar las tres condiciones:

1. f (2) 5 (2)2 2 1 5 3, por tanto f (x) está definida para xo 5 22. Se calcula el valor de cada límite lateral:

límx→22

f (x) 5 límx→22

(x2 2 1) 5 (2)2 2 1 5 3

límx→21

f (x) 5 límx→21

(x2 2 1) 5 (2)2 2 1 5 3

Entonces, límx→2

f (x) sí existe y límx→2

f (x) 5 3

3. Como límx→2

f (x) 5 3 y f (2) 5 3, entonces límx→2

f (x) 5 f (2), por consiguiente, f (x) es continua en xo 5 2

X

Y

f (xo)

xo = 2

Ejem

plos

EJEMPLOs1

Page 3: Continuidad Conamat

Capítulo 3 CálCulo diferenCial • Continuidad

89

Determina si la función f (x) 5 2 3 1

1x xx x2 ,

2 $sisi{ es continua en xo 5 1

SoluciónSe verifican las condiciones:

1. f (1) 52(1)

f (1) 5 21, la función está definida en xo 5 1

2. Se determinan los límites laterales:

límx→12

f (x) 5 límx→12

(2x 2 3) 5 2(1) 2 3 5 21

límx→11

f (x) 5 límx→11

(2x) 5 2(1) 5 21

Por tanto, límx→1

f (x) 5 21

3. Probar que el límx→1

f (x) 5 f (1)

límx→1

f (x) 5 f (1) 5 21

Finalmente, es continua en xo 5 1

Determina si la función f (x) 5 x x

x xx

2 12 3 1 33 3

sisisi

#2 , #

,

es continua en x 5 1 y x 5 3

SoluciónSe verifican las condiciones para los puntos x 5 1 y x 5 3:

1. f (1) 5 (1)2 5 1, la función está definida en xo 5 1

2. límx→11

f (x) 5 límx→11

(2x 2 3) 5 2(1) 2 3 5 21;

límx→12

f (x) 5 límx→12

x2 5 (1)2 5 1

Debido a que el límx→11

f (x) Z límx→12

f (x), entonces límx→1

f (x) no existe.

Por tanto, f (x) no es continua en xo 5 1

Se verifica la continuidad en xo 5 3

1. f (3) 5 2(3) 2 3 5 3, la función está definida en xo 5 3

2. límx→31

f (x) 5 límx→31

3 5 3; límx→32

f (x) 5 límx→32

(2x 2 3) 5 2(3) 2 3 5 3

Se concluye que,

límx→31

f (x) 5 límx→32

f (x)

Entonces, límx→3

f (x) 5 3

3. límx→3

f (x) 5 3 y f (x) 5 3 entonces, límx→3

f (x) 5 f (3)

Por consiguiente, f (x) es continua en xo 5 3

2

3

f(x) = 2x –3

x = 1

f (x) = – x

X

Y

X

Yf(x) = x2

f(x) = 2x – 3

f(x) = 3

Page 4: Continuidad Conamat

3 Capítulo MateMátiCas siMplifiCadas

90

Es continua g (x) 5 sen si

si

x x

x x

,p

.p2

2cos

en xo 5 p

2

SoluciónSi se verifican los pasos se obtiene:

1. gp

2

no está definida, por tanto, la función no es continua en xo 5

p

2

4

Discontinuidad evitable o removible

Sea f(x) una función racional no continua en x 5 x0, si mediante una simplificación algebraica, f(x) se vuelve continua en x 5 xo, entonces recibe el nombre de discontinuidad evitable o removible.

Verifica si es continua la función f (x) 5 6 7 2

2 1

2x xx2 1

2 en x 5

12

Solución

1. Se evalúa la función en x 5 12

f12

5

612

712

2

212

1

2

2 1

2 5

614

72

2

1 1

2 1

2 5

32

72

2

1 1

2 1

2 5

00

La función se indetermina o no está definida para el valor de x 5 12

, lo cual implica que es discontinua en este punto;

sin embargo, se elimina la indeterminación mediante una simplificación algebraica.

f (x) 5 6 7 2

2 1

2x xx2 1

2 5

( )( )3 2 2 12 1

x xx

2 2

2 5 3x 2 2; si x Z

12

Esta simplificación indica que la gráfica es una línea recta con discontinuidad evitable o removible en x 5 12

f (x) = 12x

27x6x2

−+−

X

Y

x = 2

1

Ejem

plos

EJEMPLOs

1

Page 5: Continuidad Conamat

Capítulo 3 CálCulo diferenCial • Continuidad

91

Determina si la función f (x) = x xx x

2

2

2 35 6

2 2

2 1 es continua en x 5 3 y traza su gráfica.

1. Se evalúa la función en x 5 3,

f (3) 5 ( ) ( )( ) ( )3 2 3 33 5 3 6

2

2

2 2

2 1 5

9 6 39 15 62 2

2 1 5

00

La función no está definida en x 5 3, sin embargo, mediante una simplificación se puede eliminar la discontinuidad,

f (x) 5 x xx x

2

2

2 35 6

2 2

2 1 5

( )( )( )( )x xx x2 1

2 2

3 13 2

5 xx1

2

12

, si x Z 3

La gráfica de esta función es una hipérbola con discontinuidad evitable o removible en x 5 3

X

Y

x = 2

3

Determina el valor de k para que la función sea continua:

f (x) 5 3 12 3 1

x k xkx x2 ,2 $

,,{

SoluciónSe obtienen los límites laterales:

límx→12

f (x) 5 límx→12

(3x 2 k) 5 3(1) 2 k 5 3 2 k

límx→11

f (x) 5 límx→11

(2kx 2 3) 5 2k(1) 2 3 5 2k 2 3

Para que el límite exista:

límx→12

f (x) 5 límx→11

f (x)

entonces:

3 2 k 5 2k 2 3 2k 2 2k 5 23 2 3 23k 5 26

k 5 2

2

63

k 5 2

2

3

Page 6: Continuidad Conamat

3 Capítulo MateMátiCas siMplifiCadas

92

por tanto, para que la función sea continua k 5 2, es decir la función se debe escribir:

f (x) 5 3 2 14 3 1

x xx x2 ,2 $

,,{

ComprobaciónProbemos que la función es continua en x 5 1

i) f (1) 5 4(1) 2 3 5 4 2 3 5 1

ii) límx→12

f (x) 5 límx→12

(3x 2 2) 5 3(1) 2 2 5 3 2 2 5 1

límx→11

f (x) 5 límx→11

(4x 2 3) 5 4(1) 2 3 5 4 2 3 5 1

límx→1 12

f (x) 5 límx→11

f (x) 5 1

por tanto límx→1

f (x) existe y límx→1

f (x) 5 1

iii) f (1) 5 límx→1

f (x) 5 1

Por tanto f (x) es continua en x 5 1.

Determina los valores de a y b para que la función sea continua

f (x) 5 ax xx xbx x

2 #2

2 2 , ,1 $

3 21 2 31 3

2

SoluciónSe obtienen los límites laterales en x 5 22

límx→2 22

f (x) 5 límx→2 22

(ax 2 3) 5 a(22) 2 3 5 22a 2 3

límx→2 12

f (x) 5 límx→2 12

(x2 2 1) 5 (22)2 2 1 5 4 2 1 5 3

Para que el límite exista se debe cumplir:

límx→2 22

f (x) 5 límx→2 12

f (x)

Entonces:

22a 2 3 5 3 22a 5 3 1 3 22a 5 6

a 5 622

a 5 23

Por tanto a 5 23Se obtienen los límites laterales en x 5 3

límx→31

f (x) 5 límx→31

(bx 1 1) 5 b(3) 1 1 5 3b 1 1

límx→32

f (x) 5 límx→32

(x2 2 1) 5 (3)2 2 1 5 9 2 1 5 8

límx→31

f (x) 5 límx→32

f (x)

4

Page 7: Continuidad Conamat

Capítulo 3 CálCulo diferenCial • Continuidad

93

entonces

3b 1 1 5 8 3b 5 8 2 1 3b 5 7

b 5 73

Por lo tanto b 5 73

Verifica si las funciones propuestas son continuas en los puntos indicados:

1. f (x) 5 2x2 2 x, en x 5 0

2. f (x) 5 x2 42 , en x 5 2

3. f (x) 5 3 12 3

xx2

1, en x 5 2

32

4. f (x) 5 4

1x1, en x 5 3

5. f (x) 5 xx

2 42

2

2, en x 5 2

6. f (x) 5 1

sen x, en x 5 2p

7. f (x) 5 x x

x x

2 1 22 1 22 ,2 $

sisi

, en x 5 2

8. g(x) 5 3 1

4 12

sisi

xx x

#

2 .

, en x 5 1

9. h(x) 5 3 2 02 3 0

x xx x2 ,1 $

sisi{ , en x 5 0

10. f (x) 5 x xx xx x

sisisi

,2

2 2 # ,2 $

22 2 2

3 4 2

2

, en x 5 22 y x 5 2

11. q(x) 5

21

3 5 1 22 2

xx

x x

x x

si

sisi

,

2 1 # ,

$

, en x 5 1 y x 5 2

12. h(x) 5

sen si

si

x x

x x

x

1p

#p

p, # p

232

2

+

cos

tanπ

si x. p

32

, en x 5 p y x 5 32p

EjErCiCio 25

Page 8: Continuidad Conamat

3 Capítulo MateMátiCas siMplifiCadas

94

13. f (x) 5 x xx x

x x

sisisi

,2

2 2 # ,

1 $

32 3 3

7 3

2

7log( )

, en x 5 23 y x 5 3

14. g(x) 5 x x

x

2

2

5 69

2 1

2, en x 5 3

15. h(x) 5 xx

2

3

11

2

2, en x 5 1

16. g(x) 5 xx

3

2

84

1

2, en x 5 22

17. f (x) 5 x

x x2

1 2

8722 , en x 5 8

18. w(x) 5 6 1

4 4 1

2

2

x xx x2 2

2 1, en x 5

12

Determina el valor de k para que las siguientes funciones sean continuas:

19. f (x) 5 2 23 1 2

x k xkx x1 ,2 $

sisi{

20. f (x) 5 k x x

k x x

2 02 3 02 #1 .

sisi

21. g(x) 5 x k x

kx x1 ,

2 $

sisi

31 3

Obtén el valor de las constantes para que las siguientes funciones sean continuas:

22. f (x) 5 ax xx xbx x

1 #2

2 2 , ,1 $

3 44 4 14 1

2

sisisi

23. f (x) 5 ax b x

xb xa x x

1 ,2 # ,2 $

sisisi

03 2 0 32 3

24. f (x) 5 ax xa bx xax b x

1 #1 , ,2 $

2 11 4

2 4

sisisi

Verifica tus resultados en la sección de soluciones correspondiente

Page 9: Continuidad Conamat

Capítulo 3 CálCulo diferenCial • Continuidad

95

Continuidad de una función en un intervalo

Continuidad por la derecha

Una función f (x) es continua a la derecha de xo si y solo si para x P R se cumplen las siguientes condiciones:

1. f (xo) existe

2. límx x→ 0

1f (x) existe

3. límx x→ 0

1f (x) 5 f (x0)

Continuidad por la izquierda

Una función f (x) es continua a la izquierda de xo si y solo si para x P R:

1. f (xo) existe

2. límx xo→ 2

f (x) existe

3. límx xo→ 2

f (x) 5 f (xo)

Continuidad de una función en un intervalo abierto

Se dice que f (x) es continua en el intervalo abierto (a, b) si y solo si es continua en todos los puntos del intervalo.

Demuestra que f (x) 5 9 22 x es continua en el intervalo (23, 3)

SoluciónLa función f(x) 5 9 22 x está definida en todos los puntos del intervalo (23, 3), como se ilustra en la gráfica, por consiguiente, f (x) es continua en dicho intervalo.

Y

X3– 3

3

Ejem

plos

EJEMPLOs1

Page 10: Continuidad Conamat

3 Capítulo MateMátiCas siMplifiCadas

96

¿ f (x) 5 1x

es continua en el intervalo (22, 3)?

Soluciónf (x) no está definida en x 5 0; entonces no es continua en este punto, por tanto, no es continua en el intervalo (22, 3)

X

Y

x = 0

–2

3

2

Continuidad en un intervalo cerrado

Una función f (x) es continua en el intervalo cerrado [a, b] si es continua en el intervalo abierto (a, b) y además

límx a→ 1

f (x) 5 f (a) y límx b→ 2

f (x) 5 f (b)

Demuestra que f (x) 5 x2 2 2x es continua en el intervalo cerrado [21, 2]

DemostraciónLa función f (x) es polinomial, lo cual implica que está definida en el intervalo abierto (21, 2), por tanto, es continua en el intervalo, ahora se prueba la continuidad en los extremos del intervalo.

Para x 5 21

a) f (21) 5 (21)2 2 2(21) 5 3

b) límx→2 11

f (x) 5 límx→2 11

(x2 2 2x) 5 3

c) límx→2 11

f (x) 5 f (21)

Para x 5 2

a) f (2) 5 (2)2 2 2(2) 5 0

b) límx→22

f (x) 5 límx→22

(x2 2 2x) 5 0

c) límx→22

f (x) 5 f (2)

f (x) es continua en el intervalo abierto (21, 2) y es continua a la derecha de 21 y a la izquierda de 2, entonces f (x) es continua en el intervalo cerrado [21, 2]

Ejem

plos

EJEMPLOs1

X

Y

– 1 2

Page 11: Continuidad Conamat

Capítulo 3 CálCulo diferenCial • Continuidad

97

¿La función f (x) 5 x x

x x

2 02 1 0

sisi

,2 $

es continua en el intervalo [22, 3]?

SoluciónDel intervalo (22, 3) la función f (x) no es continua en x 5 0, ya que:

límx→02

f (x) 5 0, límx→01

f (x) 5 21

límx→02

f (x) Z límx→01

f (x)

Por tanto, límx→0

f (x) no existe.

Si f (x) no es continua en el intervalo abierto

(22, 3)

Entonces, no es continua en el intervalo cerrado

[22, 3]

¿La función f (x) 5 1 01 0

22 #1 .

x xx x

sisi

es continua en el intervalo [23, 3]?

SoluciónSe prueba la continuidad de la función en x 5 0

1. f (0) 5 1 2 (0)2 5 1

2. límx→01

f (x) 5 1 1 (0) 5 1; límx→02

f (x) 5 1 2 (0)2 5 1

3. f (0) 5 límx→0

f (x) 5 1

La función es continua en el intervalo (23, 3)Ahora se prueba la continuidad en los extremos:

Para x 5 23

1. f (23) 5 1 2 (23)2 5 1 2 9 5 28

2. límx→2 13

f (x) 5 1 2 (3)2 5 1 2 9 5 28

3. f (23) 5 límx→2 13

f (x)

Para x 5 3

1. f (3) 5 1 1 3 5 1 1 3 5 4

2. límx→2 23

f (x) 5 1 1 3 5 1 1 3 5 4

3. f (3) 5 límx→2 23

f (x)

La función es continua en (23, 3) y además es continua a la derecha de 23 y a la izquierda de 3, por tanto, es continua en el intervalo [23, 3]

2

3

X3 – 2

Y

X

Y

3– 3

Page 12: Continuidad Conamat

3 Capítulo MateMátiCas siMplifiCadas

98

Continuidad en un intervalo semiabierto

Para intervalos semiabiertos (a, b] y [a, b) se tiene que:

1. Una función f (x) es continua en el intervalo semiabierto (a, b] si es continua en el intervalo abierto (a, b), y lím

x b→ 2f (x) 5 f (b)

2. Una función f (x) es continua en el intervalo semiabierto [a, b) si es continua en el intervalo abierto (a, b), y lím

x a→ 1f (x) 5 f (a)

Demuestra que f (x) 5 2

3x2 es continua en el intervalo semiabierto (3, 6]

DemostraciónEl dominio de la función se define Df 5 {x P R u x Z 3}, por tanto f (x) es continua en el intervalo abierto (3, 6)

Se verifica la continuidad por la izquierda en 6

a) f (6) 5 2

6 32 5

23

b) límx→62

f (x) 5 límx x→

6

232 2

5 23

c) límx→62

f (x) 5 f (6)

Entonces, f (x) es continua en el intervalo semiabierto (3, 6]

X

Y

63

Ejem

plos

EJEMPLOs1

Page 13: Continuidad Conamat

Capítulo 3 CálCulo diferenCial • Continuidad

99

¿La función f (x) 5 3 2

1 2 32

sisi

xx x

,

2 # ,

es continua en el intervalo semiabierto (21, 3]?

SoluciónSe verifica la continuidad en x 5 2

1. f (2) 5 (2)2 – 1 = 3

2. límx→22

f (x) 5 3; límx→21

f (x) 5 3,

Por tanto, límx→2

f (x) 5 3

3. f (2) 5 límx→2

f (x), la función es continua en (21, 3)

Se prueba la continuidad por la izquierda en x 5 3

1. f (3) no está definida, por tanto, la función no es continua en el intervalo (21, 3]

X

Y

–1 32

Verifica la continuidad de la función f (x) 5 2 2 # #

2 1

x xx x x

sisi

2 04 0 42 , ,

en [22, 4)

SoluciónSe verifica la continuidad en x 5 0

1. f (0) 5 2(0) 5 0

2. límx→02

(2x) 5 0, límx→01

(2x2 1 4x) 5 0

3. Por tanto, límx→0

f (x) 5 f (0)

La función es continua en el intervalo (22, 4)Se prueba la continuidad por la derecha para x 5 22

1. f (22) 5 2(22) 5 2

2. límx→–21

(2x) 5 2(22) 5 2

3. f (22) 5 límx→–21

(2x)

Por tanto, la función f (x) es continua en el intervalo [22, 4)

2

3

X

Y

–2 4

Page 14: Continuidad Conamat

3 Capítulo MateMátiCas siMplifiCadas

100

Teorema del valor intermedio

Sea f (x) una función continua en el intervalo [a, b], y k un número comprendido entre f (a) y f (b), entonces existe un c P [a, b] tal que f (c) 5 k.

X

Y

f(b)

f(c) = kf(a)

a c b

Verifica si son continuas las siguientes funciones en los intervalos indicados:

1. f (x) 5 3x 1 2 en [0, 3) 6. f (x) 5 x1 3 en [23, 1]

2. f (x) 5 2

42

xx 2

en (21, 3) 7. f (x) 5 2 14 3 1

2x x xx x2 ,2 $

sisi

en [22, 4]

3. f (x) 5 x2 41 en [23, 3] 8. f (x) 5 1

0

2 1 0x

x

x x

si

si

.

1 ,

en [23, 4]

4. f (x) 5 1x

2 3 en 213

13

,

9. f (x) 5 x xx x

sisi

,

1 $

22 1 2

en (0, 3)

5. f (x) 5 x2 2 x3 en [22, 0] 10. f (x) 5 x x

x xx

2 12 3 1 33 3

sisisi

,2 1 # #2 .

en (22, 5)

Verifica tus resultados en la sección de soluciones correspondiente

EjErCiCio 26

Si f (x) 5 3x 2 2 es una función definida en el intervalo [22, 3], obtén el valor de c que cumpla con el teorema del valor intermedio cuando k 5 1

SoluciónAl aplicar el teorema se obtiene:

f (c) 5 k S 3c 2 2 5 1 S 3c 5 3 S c 5 1

Por consiguiente, c 5 1 cuando k 5 1

Ejem

plos

EJEMPLOs1

Page 15: Continuidad Conamat

Capítulo 3 CálCulo diferenCial • Continuidad

101

Dada la función g (x) 5 x2 2 3x 2 2, definida en el intervalo [1, 4], determina el valor de k que cumpla con el teorema del valor intermedio cuando c 5 3

SoluciónSe aplica el teorema:

f (c) 5 k S c2 2 3c 2 2 5 k

Pero, c 5 3 y al sustituir se obtiene el valor de k

(3)2 2 3(3) 2 2 5 k S k 5 22entonces, k 5 22

X

Y

1

4

c = 3

k = –2

2

Aplica el teorema del valor intermedio y encuentra el valor de c en los siguientes ejercicios:

1. f (x) 5 3x 2 5; [22, 4] con k 5 1

2. f (x) 5 x2 41 ; [23, 3] con k 5 2

3. f (x) 5 3 2

1xx2

1; [0, 5] con k 5 2

4. f (x) 5 x x

x x

2 2 12 1 12 ,

2 1 $sisi

; [22, 4] con k 5 0

5. f (x) 5 5 5

25 52

2 #

2 .

x xx x

sisi

; [0, 8] con k 5 0

Aplica el teorema del valor intermedio y determina el valor de k en los siguientes ejercicios:

6. f (x) 5 3x3 2 2x2; [22, 0], c 5 21

7. f (x) 5 x2 91 ; [26, 0], c 5 24

8. f (x) 5 x

x2 11; [1, 5], c 5 2

9. f (x) 5 cos x; [0, 2p], c 5 p

4

10. f (x) 5 log(3 1 x); [1, 12], c 5 7

Verifica tus resultados en la sección de soluciones correspondiente

EjErCiCio 27