I condensatori
Un condensatore consiste in una coppia di conduttori isolati che vengono caricati con cariche
opposte Q e –Q. Ciò puo essere ottenuto collegando i due condensatori scarichi ai poli di una batteria.
I due conduttori possono essere di forma qualsiasi
e vengono chiamati “armature” del condensatore.
Quando il condensatore viene caricato, tra le due armature si instaura un campo elettrico con le linee
di forza diretto dall’armatura con carica positiva a quella con carica negativa; si instaura quindi
una d.d.p.
Perciò si ha V+ > V_: l’armatura con carica positiva ha sempre un potenziale maggiore di quella
con carica negativa.
g
A = armatura con
carica positva al
potenziale V+
B = armatura con
carica negativa al potenziale V_
(1)
+Q -Q
per un qualsiasi condensatore
La capacità di un condensatore misura la sua attitudine di accumulare carica tra le sue armature* :
rappresenta infatti la carica accumulata quando vi si applica una d.d.p. unitaria (1Volt nel S.I.).
C si misura in Farad (F) nel S.I. (da Faraday):
Unità di misura della capacità
Si definisce capacità del condensatore il rapporto costante (definito positivo):
Nella pratica 1 Farad è una capacità enorme: i condensatori che si trovano in commercio hanno
capacità “tipiche” che vanno dal microfarad (1mF=10-6 F) al picofarad (1pF=10-12F).
(2)
* In altri termini, un condensatore di grande capacità accumula una grande quantità di carica sulle sue armature
applicandovi una d.d.p. DV relativamente piccola.
La capacacità di un condensatore dipende
a) dalla sua forma geometrica
b) dal dielettrico presente tra le due armature:
se al posto del vuoto tra le 2 armature si introduce un dielettrico, la capacità tende ad aumentare
di un fattore che dipende dalla proprietà del dielettrico (ciò significa che si deve applicare una d.d.p.
maggiore per ottenera la stessa carica delle armature.
Calcoliamo esplicitamente la capacità di alcuni condensatori con un alto grado di simmetria come quelli
mostrati in figura.
I condensatori trovati in commercio possono avere le forme più diverse. Il simbolo usato per
rappresentarli nello schema di un circuito è sempre:
(a) condensatore piano (b) condensatore sferico
+Q Q Q
(c) condensatore cilindrico
Q
E un condensatore con 2 armature piane e parallele infinitamente estese di carica Q e -Q.
a) condensatore piano ideale
Non esiste ovviamente un condensatore infinito. Nella pratica è sufficiente considerare due piastre
piane di dimensioni molto più grande della distanza d che li separa. Nella regione interna il
campo risulta quasi uniforme (con E s/e0) mentre vicino ai bordi il campo è meno intenso e non
uniforme come mostrato in figura. All’esterno invece il campo è estremamente debole (idealmente nullo)
poichè i contributi delle 2 armature tendono a cancellarsi.
In queste condizioni si possono trascurare gli effetti ai bordi e trattare le 2 armature come se
fossero infinite. In questo limite si ha una densità di carica uniforme sulle 2 armature:
densità di carica sulle armature
campo quasi
unforme
visualizzazione linee di forza di E con
semi sospesi in olio
d
(3)
I campi generati dalle 2 armature sono (vedi figure a e b):
uscente dall’armatura A
entrante dall’armatura B
Il campo totale è quindi
+ + + + + + + + + + +
(a) piano carico
positivamente (s>0)
(b) piano carico
negativamente (s<0)
= +
piastra positiva A piastra negativa B
Schematicamente:
Condensatore piano ideale
+ + + + + + + + + + +
Il campo elettrico puo calcolarsi come somma dei contributi generati da 2 piani infiniti con densità
di carica unforme s con s=Q/e0
(4)
Usando la (13) e la (14) si ottiene la d.d.p. tra le due piastre
dove per calcolare l’integrale abbiamo preso una linea rettilinea che va dall’armatura con carica negativa
a quella con carica positiva con verso opposto alle linee di forze (linea rossa mostrata in figura).
Si ricava quindi usando la (5) insieme alla definizione di capacità (2)
capacità di un condenstatore piano ideale (6)
Condensatore piano ideale
+ + + + + + + + + + +
g
(5)
consiste in un guscio sferico conduttore di raggio b e carica –Q che contiene una sfera piu piccola
e concentrica di carica +Q e raggio b < a come mostrato in figura.
Per determinare il campo tra le 2 armature, si puo applicare il teorema di Gauss sfruttando la simmetria
sferica del sistema. Considerando una sfera S di raggio r con a < r < b si ha:
teorema di Gauss
flusso di E attraverso S
S (superficie di Gauss sferica)
Sezione
da cui si ricava il modulo del campo in funzione della distanza radiale r :
identico a quello generato da una carica puntiforme Q posta nel centro di simmetria.
per a < r < b
b) condensatore sferico
(7)
Condensatori nei circuiti
Il modo piu semplice di caricare un condesatore
consiste nel collegarlo ai poli di una batteria tramite
un filo conduttore:
Dopo un breve transiente iniziale in cui avviene la carica del condensatore, le armature si ritrovanno
allo stesso potenziale del polo della batteria a cui sono collegate.
Sull’armatura collegata al polo “positivo” di potenziale V+ si accumula una carica +Q, sull’armatura
collegata al polo “negativo” di potenziale V si ha una Q con
Q=CDV
C capacità del condensatore
DV=V+-V > 0 d.d.p. ai poli della batteria
DV
+Q
-Q
C
alcuni simpoli usati nei circuiti
condensatori
batteria (sorgente di forza
elettromotrice)
interrutore
quantità di carica sulle armature
Calcoliamo la d.d.p. tra le due armature
lungo segmento radiale g diretto come
una linea di forza.
ovvero
A
B
da cui si ricava
capacità di un condenstatore sferico (9)
g
(8)
Nota: si dimostra facilmente considerando applicando
il teo. di Gauss a una sfera di raggio r>b che il campo all’esterno
è nullo
c) Condensatore cilindrico ideale
Consideriamo un condensatore con due armature cilindriche concentriche di lunghezza infinita
e densità di carica per unita di carica per unità di lunghezza l
Sezione
S (superficie di Gauss sferica)
Calcoliamo il campo interno al condensatore considerando un cilindro chiuso concentrico alle 2 armature,
di raggio r con a<r<b, altezza h con una superficie cilindrica Slaterale e basi Sbasi parallele alle linee di forza
del campo
teorema di Gauss
flusso attraverso S
Q=lh è la carica contenuta nella superfice S ,
Alaterale=2prh è l’area della superficie laterale Slaterale .
(10)
Dalla (10) si ricava il modulo del campo elettrico all’nterno del condensatore
per a < r < b (11)
Il campo è diretto radialmente tra le 2 armature cilindriche verso l’armatura con carica negativa
(il cilindro esterno nel caso preso in esame). Si dimostra facilmente (con il teorema di Gauss) che
il campo all’esterno del condensatore è nullo.
Calcoliamo la d.d.p. considerando un segmento g
che collega radialmente le 2 armature come
mostrato in figura
ovvero
d.d.p. tra le 2 armature di un condensatore cilindrico
Supponendo che questo risultato sia valido con buona approssimazione per un cilindro lunghezza finita
l >> a (in modo da poter trascurare gli effetti ai bordi), si ricava per la capacità
capacità di un condenstatore sferico (14)
(13)
g
Consideriamo un condensatore inizialmente scarico e supponiamo che il processo di carica consiste
nel trasportare carica positiva dall’ armatura A all’armatura B fino ad ottenera una carica completa Q
e –Q sulle due armature.
Energia immagazzinata in un condensatore
Se a un certo istante si ha una carica q sulle armature, la d.d.p tra le due armature è
dove C è la capacità del condensatore in esame. Per portare un’ulteriore carica infinitesima dq > 0 da A a B
si deve compiere un lavoro dL contro il campo elettrico generato dalle cariche q sulle due armature.
Questo lavoro è
Il lavoro totale da compiere per caricare le due armature di una carica Q partendo dal condensatore
scarico è quindi
+ + + + + + +
dq +q
-q carica di un condensatore
(15)
B A
Energia immagazzinata in un condensatore (cont.)
energia di un condensatore
di capacità C con una carica Q (16)
Il lavoro L eseguito per caricare il condensatore si identifica con l’aumento dell’energia potenziale
U immagazzinata da esso. Imponendo che U=0 per il condensatore scarico e tenendo conto che C=Q/DV,
si ha quindi dalla (15):
Questo risultato si applica a un qualsiasi condensatore, indipendentemente dalla sua forma.
Osservazioni:
- Il modo piu semplice di caricare un condensatore consiste nel collegare le sue armature ai poli
di una batteria. E’ quest’ultima a fornire il lavoro necessario alla carica.
- Esiste sempre un limite fisico alla quantità di energia che puo essere immagazzinata da un condensatore:
quando il campo elettrico supera una soglia critica, si avra una scarica tra le armature (il dielettrico
tra le armature si ionizza e diventa conduttore). Per questo motivo sui condensatori viene indicata la
d.d.p massima di funzionamento.
Energia del campo elettrico
densità di energia del campo
elettrico (in J/m3) (17)
Condensatori nei circuiti: a) collegamento in parallo
Consideriamo 3 condensatori di capacità C1, C2 e C3 collegati in parallelo come mostrato in figura:
DV
+Q1
-Q1
C1
Tutte le armature collegate al polo positivo della batteria sono allo stesso potenziale V+, quelle
collegate al polo negativo sono al potenziale V-. Di conseguenza si ha la stessa d. d. p. DV=V+-V-
ai capi dei 3 condensatori e le cariche accumulata sulle loro armature sono rispetticamente
Q1=C1DV carica del condensatore 1
Q2=C2DV carica del condensatore 2
Q3=C3DV carica del condensatore 3
+Q2
-Q2
C2 +Q3
-Q3
C2
La carica totale sulle tre armature è Q=Q1+Q2+Q3=(C1+C2+C3)DV.
Sostituendo i 3 condensatori in parallelo con unico condensatore di capacità
+Q
-Q
Ceq=C1+C2+C3
capacità equivalente
321 CCCV
QCeq =
D= (capacità equivalente)
questo è in grado do accumulare la stessa quantità di carica Q (a parità di d.d.p. applicata).
Ceqviene capacità “equivalente” dei tre condenstori.
le armature di condensatori collegati
in parallelo hanno la stessa d.d.p. DV
Condensatori nei circuiti: b) collegamento in serie
Consideriamo due condensatori di capacità C1 e C2 collegati in serie come quelli in figura
In questo caso solo l’armatura di sinistra del
condensatore C1 e quella di destra del
condensatore C2 sono collegati alla batteria e si
trovano rispettavamente ai potenziali V+ e V-
Le altre due armature sono collegate solamente tra loro tramite un filo conduttore e cosituiscono un
unico conduttore isolato a un certo potenziale intermedio tra V+ e V-. All’equilibrio (una volta avvenuta
la carica) queste due armature avranno accumulato una carica –Q e Q che deve essere opposta a quella delle
armature contrapposte (in modo da avere una carica complessiva nulla, per il principio di conservazione
della carica) condensatori collegati in serie accumulano la stessa carica e si ha:
1
1C
QV =D
2
2C
QV =D
d.d.p. tra le armature di C1
d.d.p. tra le armature di C2
+Q +Q -Q -Q
DV=V+-V-
C1 C2
DV1 DV2
Condensatori nei circuiti: b) collegamento in parallelo (cont.)
+Q
-Q
capacità equivalente
+Q +Q -Q -Q
DV=V+-V-
C1 C2
==DD=D
2121
11
11
CCQ
C
Q
C
QVVV
DV1 DV2
D’altra parte la d.d.p. ai capi della batteria deve essere uguale alla somma delle d.d.p. ai capi dei due
condensatori. Si ha cioè:
I due condensatori possono quindi essere sostituiti con un unico condensatore di capacità equivalente
1
21
11
=
D=
CCV
QCeq
21
111
CCCeq
=
21
111
CCCeq
=
Condensatori nei circuiti: riassunto risultati precendenti
capacità equivalente
C1 C2 C3 CN
=
=N
jjeq CC
1
=
=N
j jeq CC 1
11
a) N condensatori in parallelo di capacità C1,C2,…,CN
b) N condensatori in serie
DV ……..
capacità equivalente VCQ jj D= carica sul condensatore Cj
…
j
jC
QV =D
=
D=DN
jjVV
1
C1 C2 C3 CN
d.d.p sul condensatore Cj
-Q +Q -Q +Q -Q +Q -Q +Q
(18)
(19)
Condensatori nei circuiti: applicazione
C1
C4
C5
C6
C2
C3 C1=4mF, C2=1mF, C3=3mF, C4=6mF, C5=2mF, C6=8mF
DV=5V d.d.p tra A e B A B
Calcolare le capacità equivalente del sistema di condensatori in
figura, le d.d.p e le cariche accumulate sui singoli condensatori
C1 C23
C45 C6
C23=C2+C3=4mF capacità equivalente di C1 e C3
C45=C4+C5=8mF capacità equivalente di C4 e C5
equivale a
equivale a
equivale a
A
A
A
B
B
B
Applicando le regole viste prima per le due coppie
di condensatori in parallelo C2,C3 e C4,C5 si ottiene:
e per le due coppie di condensatori in serie rimaste:
μF4μF4
1
μF8
1
μF8
1111456
1
645456
==== CCCC
μF2μF2
1
μF4
1
μF4
1111123
1
231123
==== CCCC
C123
C456
capacità equivente di C1 e C23
capacità equivente di C4 e C56
Poiché C123 e C456 sono disposte in parallelo la capacità equivalente
complessiva risulta essere:
Ceq=C123+C456=6mF capacità equivalente cercata
Ceq
Condensatori nei circuiti: applicazione (cont.)
C1=4mF C23=4mF
C45=8mF C6=8mF
I condensatori in serie C1 e C23 hanno carica Q1=Q23=Q123=10mF
e d.d.p. DV1=Q1/C1=10mC/4mF=2.5V
e DV23=Q23/C23=10mC/4mF=2.5V
Analogamente Q45=Q6=Q456=20mF
DV45=Q45/C45=20mC/8mF=2.5V
DV6 = Q6/C1=20mC/8mF=2.5V
(ovviamente DV1+DV23=DV45+DV6=DV=5V)
A
A
B
B
C123=2mF
C456=4mF
Infine si ottiene per le ultime due coppie di condensatori
in parallelo C2,C3 e C4,C5:
DV2=DV3=DV23=2.5V, Q2=C2DV2=1mF2.5V=2.5mF
Q3=C3DV3=3mF2.5V=7.5mF
DV4=DV5=DV45=2.5V, Q4=C4DV4=6mF2.5V=15mF
Q5=C5DV5=2mF2.5V=5mF
C1=4mF
C4=6mF
C5=4mF
C6
C2=1mF
C3=3mF
A B
A B Sul condensatore Ceq si accumula la carica Q=CeqDV=6mF5V=30mF
I condensatori in parallelo equivalenti C123 e C234 sono alla stessa
d.d.p. DV e accumulano le cariche Q123=C123DV=2mF5V=10mF
e Q345=C345DV=4mF5V=20mF
(Q123+Q345=30mF coincide con la carica su Ceq)
Per calcolare le cariche e d.d.p. su ciascun condensatore si procede
a ritroso nel modo seguente:
Ceq=6mF
a) assenza dielettrico tra le armature
Le armature di un condensatore piano sono
caricate con una carica Q0 usando una batteria
che viene poi scollegata (il condensatore rimane
isolato)
DV0
Un galvanometro misura una d.d.p. DV0 senza
scaricare le armature (non fa passare corrente).
0
00
V
QC
D=
capacità in
assenza di dielettrico
Vuoto
Condensatori in presenza di dielettrici (osservazioni sperimentali)
La carica rimane Q0 rimane invariata poichè
il condensatore è isolato.
aumento della capacità di un fattore er
r
r
CV
Q
V
QC e
e0
0
00 =D
=D
=
(20)
b) si introduce una lastra di dielettrico tra
le due armature del condensatore isolato
La d.d.p. misurata dal galvanometro
diminuisce di un fattore er
r
VV
e0D
=D
dielettrico
DV
er >1 costante dielettrica relativa (adimensionale)
(21)
Caso di un condensatore piano con armature di area A e separazione d
d
AC 0
0
e=
Diminuendo la separazione d tra le armature aumenta la capacità.
Tutavia se il campo elettrico nel materiale E=DV/d supera un certo valore critico,
detto rigidità dielettrica, il materiale perde le sue proprietà isolanti (si parla di rottura
del dielettrico),
diventa conduttore e il condensatore si scarica.
Con il vuoto tra le armature
vuoto
d (22)
00 Cd
AC r
r eee
==
Con un materiale isolante di costante dielettrica er>1
dielettrico
(23)
Costante delettrica
relativa er
Rigidità dielettrica
(in V/m)
La costante dielettrica relativa er (adimensionale)
è una caratteristica del materiale
Rigidità dielettrica = valore
massimo del campo elettrico,
oltre il quale il dielettrico non
si comporta più come un
isolante e consente il passaggio
di cariche da un’armatura
all’altra attraverso una
scarica elettrica.
Ad esempio per l’aria secca si ha una rigidità dielettrica di 3x106V/m=3000V/mm
se le armature di un condensatore piano sono separate da un millimetro di aria, non è possibile
superare 3000 Volt di d.d.p. altrimenti avviene una scarica (l’aria si ionizza e diventa conduttrice).
Spiegazione microscopica Effetto di polarizzazione delle molecole in presenza di un campo elettrico esterno.
Esistono due tipi di molecole
a) molecole polari: dotate di un momento di dipolo permanente
Sono molecole asimmetriche (es. H20 e NH3) in cui si ha una separazione tra la posizione
media delle cariche positive (nuclei) e la posizione media delle cariche negative (elettroni).
I due atomi di idrogeno della molecola
dell’acqua tendono a cedere facilmente il
loro elettrone all’atomo di ossigeno
centro delle cariche positive spostato verso
il punto medio tra i due atomi di idrogeno
momento di dipolo permanente
b) molecole simmetriche non sono dotate di un momento di dipolo permanente.
Tuttavia tutte le molecole simmetriche (in particolare gli atomi) tendono a
polarizzarsi in presenza di un campo elettrico esterno che tende as separare le cariche
negative della nuvola elettronica dalle cariche positive dei nuclei.
a) caso con E=0
Conclusione: in presenza di un campo elettrico esterno tutte le molecole
(o atomi) di un dielettrico si comportano come dei microscopici dipoli elettrici.
nuvola
elettronica
(carica negativa)
momento di dipolo
(proporzionale a E)
b) caso con E 0
p=0
In assenza di campo elettrico i momenti
di dipolo sono orientati completamente
a caso
a) caso E=0
Le molecole polari tendono ad allinearsi
nella direzione del campo
Nota: l’allineamento non è completo a causa
del moto disordinato dovuto all’agitazione
termica delle molecole.
b) caso E 0
a) Molecole polari in un campo elettrico esterno
-
+
dqp
=
Il momento delle forze rispetto ad O
subito dal dipolo
tende ad orientare il dipolo nella
direzione del campo elettrico
Ep
= )cos( pE=
EqFe
=
EqFe
=
O
uniforme E
b) Anche nel caso di un dielettrico fatto di atomi o molecole non polari, un campo elettrico
applicato E0 polarizza le molecole nella direzione del campo elettrico.
La polarizzazione induce una carica netta positiva sulla faccia del dielettrico
nella direzione del campo, una carica negativa sulla faccia opposta.
Queste distribuzioni di cariche producono un campo elettrico indotto Eind che si
oppone a quello applicato.
Nel dielettrico, si ha quindi un campo ridotto:
E=E0-Eind
piu piccolo di quello che si avrebbe nel vuoto (E0).
equivale a
Dielettrico polarizzato tra le armature di un condensatore carico
sind
carica indotta
negativa
sind
carica indotta
positiva
neutro
(r = 0)
s0 s0 0
00
e
s=E
campo generato dalla
carica sulle armature s0
0
indind
e
s=E
campo generato dalle
cariche indotte dalla
polarizzazione del
dielettrico
0E
Eind si oppone a quello generato
dalle armature cariche E0
0
ind
0
0ind0
e
s
e
s== EEE campo generato dalla densità di carica effettiva seff=s0-sind
indE
E
(24)
D’altra parte, abbiamo visto che la d.d.p. DV tra le due armature si riduce di un fattore er. dopo l’introduzione
del dielettrico (vedi eq.(21) che definisce er); di conseguenza diminuisce dello stesso fattore anche il campo
elettrico E=DV/d:
rr
EE
ee
s
e 0
00 == nel dielettrico polarizzato (25)
0
ind
0
0
e
s
e
s=E
r
Eee
s
0
0=ree
s
e
s
e
s
0
0
0
ind
0
0 =
0ind
1s
e
es
r
r =
carica indotta espressa in funzione della costante
dielettrica relativa e della densità superficiale sulle
armature s0
Per un dielettrico 0 < sind < s0
Per il vuoto sind=0 poichè er=1.
Confrontando le due relazioni (20) e (21)
Si ottiene quindi il seguente legame tra la densità di carica superficiale indotta nel dielettrico
sind per polarizzazione e la densità di carica s0 responsabile del campo polarizzante E0:
(26)
Ad esempio, inserendo del vetro pyrex (er=5.6) tra le due armature di un condensatore, il campo
si riduce di un fattore 5.6 e la densità di carica indotta sul dielettrico ha densità superficiale:
ind0ind 82.06.5
16.5sss =
=
Nota: per molecole polari come quella dell’acqua, er è ancora piu grande (er=80 per H20) e la carica indotta
sind é molto vicina a quella responsabile del campo polarizzazzante, s0 il campo nel dielettrico
si riduce quindi di un fattore er >>1.
V+ V-
Materiale dielettico (isolante) tra le armature
s0 s0 sind sind
+
+
+
+
+
+
E0
0ind
1s
e
es
r
r =
Cariche indotte
per polarizzazione:
00
ind0 EE
EEEr
==e
campo
ridotto nel
dielettrico
Eind
E0
d
VE
D==
0
0e
s campo in assenza di dielettrico (per un condensatore piano)
Riassunto dei risultati precedenti:
Cariche indotte per polarizzazione
Cariche indotte sulle superfici del conduttore per
effetto della migrazione dei portati liberi sotto
l’azione del campo elettrico applicato E0. In
questo caso, raggiunto l’equilibrio:
s0=sind e E0=Eind
00
ind
0
0ind0 ===
e
s
e
sEEE
Materiale conduttore tra le armature
(non a contatto con queste)
e quindi
dentro il
conduttore
V+ V-
s0 s0 sind sind
+
+
+
+
+
+
E=0
+
+
+
+
+
+
Eind
E0
Cariche indotte per migrazione
dei portatori di corrente (elettroni)
Nota: il sistema in figura equivale a due condensatori
collegati in serie