I condensatori

Un condensatore consiste in una coppia di conduttori isolati che vengono caricati con cariche

opposte Q e –Q. Ciò puo essere ottenuto collegando i due condensatori scarichi ai poli di una batteria.

I due conduttori possono essere di forma qualsiasi

e vengono chiamati “armature” del condensatore.

Quando il condensatore viene caricato, tra le due armature si instaura un campo elettrico con le linee

di forza diretto dall’armatura con carica positiva a quella con carica negativa; si instaura quindi

una d.d.p.

Perciò si ha V+ > V_: l’armatura con carica positiva ha sempre un potenziale maggiore di quella

con carica negativa.

g

A = armatura con

carica positva al

potenziale V+

B = armatura con

carica negativa al potenziale V_

(1)

+Q -Q

per un qualsiasi condensatore

La capacità di un condensatore misura la sua attitudine di accumulare carica tra le sue armature* :

rappresenta infatti la carica accumulata quando vi si applica una d.d.p. unitaria (1Volt nel S.I.).

C si misura in Farad (F) nel S.I. (da Faraday):

Unità di misura della capacità

Si definisce capacità del condensatore il rapporto costante (definito positivo):

Nella pratica 1 Farad è una capacità enorme: i condensatori che si trovano in commercio hanno

capacità “tipiche” che vanno dal microfarad (1mF=10-6 F) al picofarad (1pF=10-12F).

(2)

* In altri termini, un condensatore di grande capacità accumula una grande quantità di carica sulle sue armature

applicandovi una d.d.p. DV relativamente piccola.

La capacacità di un condensatore dipende

a) dalla sua forma geometrica

b) dal dielettrico presente tra le due armature:

se al posto del vuoto tra le 2 armature si introduce un dielettrico, la capacità tende ad aumentare

di un fattore che dipende dalla proprietà del dielettrico (ciò significa che si deve applicare una d.d.p.

maggiore per ottenera la stessa carica delle armature.

Calcoliamo esplicitamente la capacità di alcuni condensatori con un alto grado di simmetria come quelli

mostrati in figura.

I condensatori trovati in commercio possono avere le forme più diverse. Il simbolo usato per

rappresentarli nello schema di un circuito è sempre:

(a) condensatore piano (b) condensatore sferico

+Q Q Q

(c) condensatore cilindrico

Q

E un condensatore con 2 armature piane e parallele infinitamente estese di carica Q e -Q.

a) condensatore piano ideale

Non esiste ovviamente un condensatore infinito. Nella pratica è sufficiente considerare due piastre

piane di dimensioni molto più grande della distanza d che li separa. Nella regione interna il

campo risulta quasi uniforme (con E s/e0) mentre vicino ai bordi il campo è meno intenso e non

uniforme come mostrato in figura. All’esterno invece il campo è estremamente debole (idealmente nullo)

poichè i contributi delle 2 armature tendono a cancellarsi.

In queste condizioni si possono trascurare gli effetti ai bordi e trattare le 2 armature come se

fossero infinite. In questo limite si ha una densità di carica uniforme sulle 2 armature:

densità di carica sulle armature

campo quasi

unforme

visualizzazione linee di forza di E con

semi sospesi in olio

d

(3)

I campi generati dalle 2 armature sono (vedi figure a e b):

uscente dall’armatura A

entrante dall’armatura B

Il campo totale è quindi

+ + + + + + + + + + +

(a) piano carico

positivamente (s>0)

(b) piano carico

negativamente (s<0)

= +

piastra positiva A piastra negativa B

Schematicamente:

Condensatore piano ideale

+ + + + + + + + + + +

Il campo elettrico puo calcolarsi come somma dei contributi generati da 2 piani infiniti con densità

di carica unforme s con s=Q/e0

(4)

Usando la (13) e la (14) si ottiene la d.d.p. tra le due piastre

dove per calcolare l’integrale abbiamo preso una linea rettilinea che va dall’armatura con carica negativa

a quella con carica positiva con verso opposto alle linee di forze (linea rossa mostrata in figura).

Si ricava quindi usando la (5) insieme alla definizione di capacità (2)

capacità di un condenstatore piano ideale (6)

Condensatore piano ideale

+ + + + + + + + + + +

g

(5)

consiste in un guscio sferico conduttore di raggio b e carica –Q che contiene una sfera piu piccola

e concentrica di carica +Q e raggio b < a come mostrato in figura.

Per determinare il campo tra le 2 armature, si puo applicare il teorema di Gauss sfruttando la simmetria

sferica del sistema. Considerando una sfera S di raggio r con a < r < b si ha:

teorema di Gauss

flusso di E attraverso S

S (superficie di Gauss sferica)

Sezione

da cui si ricava il modulo del campo in funzione della distanza radiale r :

identico a quello generato da una carica puntiforme Q posta nel centro di simmetria.

per a < r < b

b) condensatore sferico

(7)

Condensatori nei circuiti

Il modo piu semplice di caricare un condesatore

consiste nel collegarlo ai poli di una batteria tramite

un filo conduttore:

Dopo un breve transiente iniziale in cui avviene la carica del condensatore, le armature si ritrovanno

allo stesso potenziale del polo della batteria a cui sono collegate.

Sull’armatura collegata al polo “positivo” di potenziale V+ si accumula una carica +Q, sull’armatura

collegata al polo “negativo” di potenziale V si ha una Q con

Q=CDV

C capacità del condensatore

DV=V+-V > 0 d.d.p. ai poli della batteria

DV

+Q

-Q

C

alcuni simpoli usati nei circuiti

condensatori

batteria (sorgente di forza

elettromotrice)

interrutore

quantità di carica sulle armature

Calcoliamo la d.d.p. tra le due armature

lungo segmento radiale g diretto come

una linea di forza.

ovvero

A

B

da cui si ricava

capacità di un condenstatore sferico (9)

g

(8)

Nota: si dimostra facilmente considerando applicando

il teo. di Gauss a una sfera di raggio r>b che il campo all’esterno

è nullo

c) Condensatore cilindrico ideale

Consideriamo un condensatore con due armature cilindriche concentriche di lunghezza infinita

e densità di carica per unita di carica per unità di lunghezza l

Sezione

S (superficie di Gauss sferica)

Calcoliamo il campo interno al condensatore considerando un cilindro chiuso concentrico alle 2 armature,

di raggio r con a<r<b, altezza h con una superficie cilindrica Slaterale e basi Sbasi parallele alle linee di forza

del campo

teorema di Gauss

flusso attraverso S

Q=lh è la carica contenuta nella superfice S ,

Alaterale=2prh è l’area della superficie laterale Slaterale .

(10)

Dalla (10) si ricava il modulo del campo elettrico all’nterno del condensatore

per a < r < b (11)

Il campo è diretto radialmente tra le 2 armature cilindriche verso l’armatura con carica negativa

(il cilindro esterno nel caso preso in esame). Si dimostra facilmente (con il teorema di Gauss) che

il campo all’esterno del condensatore è nullo.

Calcoliamo la d.d.p. considerando un segmento g

che collega radialmente le 2 armature come

mostrato in figura

ovvero

d.d.p. tra le 2 armature di un condensatore cilindrico

Supponendo che questo risultato sia valido con buona approssimazione per un cilindro lunghezza finita

l >> a (in modo da poter trascurare gli effetti ai bordi), si ricava per la capacità

capacità di un condenstatore sferico (14)

(13)

g

Consideriamo un condensatore inizialmente scarico e supponiamo che il processo di carica consiste

nel trasportare carica positiva dall’ armatura A all’armatura B fino ad ottenera una carica completa Q

e –Q sulle due armature.

Energia immagazzinata in un condensatore

Se a un certo istante si ha una carica q sulle armature, la d.d.p tra le due armature è

dove C è la capacità del condensatore in esame. Per portare un’ulteriore carica infinitesima dq > 0 da A a B

si deve compiere un lavoro dL contro il campo elettrico generato dalle cariche q sulle due armature.

Questo lavoro è

Il lavoro totale da compiere per caricare le due armature di una carica Q partendo dal condensatore

scarico è quindi

+ + + + + + +

dq +q

-q carica di un condensatore

(15)

B A

Energia immagazzinata in un condensatore (cont.)

energia di un condensatore

di capacità C con una carica Q (16)

Il lavoro L eseguito per caricare il condensatore si identifica con l’aumento dell’energia potenziale

U immagazzinata da esso. Imponendo che U=0 per il condensatore scarico e tenendo conto che C=Q/DV,

si ha quindi dalla (15):

Questo risultato si applica a un qualsiasi condensatore, indipendentemente dalla sua forma.

Osservazioni:

- Il modo piu semplice di caricare un condensatore consiste nel collegare le sue armature ai poli

di una batteria. E’ quest’ultima a fornire il lavoro necessario alla carica.

- Esiste sempre un limite fisico alla quantità di energia che puo essere immagazzinata da un condensatore:

quando il campo elettrico supera una soglia critica, si avra una scarica tra le armature (il dielettrico

tra le armature si ionizza e diventa conduttore). Per questo motivo sui condensatori viene indicata la

d.d.p massima di funzionamento.

Energia del campo elettrico

densità di energia del campo

elettrico (in J/m3) (17)

Condensatori nei circuiti: a) collegamento in parallo

Consideriamo 3 condensatori di capacità C1, C2 e C3 collegati in parallelo come mostrato in figura:

DV

+Q1

-Q1

C1

Tutte le armature collegate al polo positivo della batteria sono allo stesso potenziale V+, quelle

collegate al polo negativo sono al potenziale V-. Di conseguenza si ha la stessa d. d. p. DV=V+-V-

ai capi dei 3 condensatori e le cariche accumulata sulle loro armature sono rispetticamente

Q1=C1DV carica del condensatore 1

Q2=C2DV carica del condensatore 2

Q3=C3DV carica del condensatore 3

+Q2

-Q2

C2 +Q3

-Q3

C2

La carica totale sulle tre armature è Q=Q1+Q2+Q3=(C1+C2+C3)DV.

Sostituendo i 3 condensatori in parallelo con unico condensatore di capacità

+Q

-Q

Ceq=C1+C2+C3

capacità equivalente

321 CCCV

QCeq =

D= (capacità equivalente)

questo è in grado do accumulare la stessa quantità di carica Q (a parità di d.d.p. applicata).

Ceqviene capacità “equivalente” dei tre condenstori.

le armature di condensatori collegati

in parallelo hanno la stessa d.d.p. DV

Condensatori nei circuiti: b) collegamento in serie

Consideriamo due condensatori di capacità C1 e C2 collegati in serie come quelli in figura

In questo caso solo l’armatura di sinistra del

condensatore C1 e quella di destra del

condensatore C2 sono collegati alla batteria e si

trovano rispettavamente ai potenziali V+ e V-

Le altre due armature sono collegate solamente tra loro tramite un filo conduttore e cosituiscono un

unico conduttore isolato a un certo potenziale intermedio tra V+ e V-. All’equilibrio (una volta avvenuta

la carica) queste due armature avranno accumulato una carica –Q e Q che deve essere opposta a quella delle

armature contrapposte (in modo da avere una carica complessiva nulla, per il principio di conservazione

della carica) condensatori collegati in serie accumulano la stessa carica e si ha:

1

1C

QV =D

2

2C

QV =D

d.d.p. tra le armature di C1

d.d.p. tra le armature di C2

+Q +Q -Q -Q

DV=V+-V-

C1 C2

DV1 DV2

Condensatori nei circuiti: b) collegamento in parallelo (cont.)

+Q

-Q

capacità equivalente

+Q +Q -Q -Q

DV=V+-V-

C1 C2

==DD=D

2121

11

11

CCQ

C

Q

C

QVVV

DV1 DV2

D’altra parte la d.d.p. ai capi della batteria deve essere uguale alla somma delle d.d.p. ai capi dei due

condensatori. Si ha cioè:

I due condensatori possono quindi essere sostituiti con un unico condensatore di capacità equivalente

1

21

11

=

D=

CCV

QCeq

21

111

CCCeq

=

21

111

CCCeq

=

Condensatori nei circuiti: riassunto risultati precendenti

capacità equivalente

C1 C2 C3 CN

=

=N

jjeq CC

1

=

=N

j jeq CC 1

11

a) N condensatori in parallelo di capacità C1,C2,…,CN

b) N condensatori in serie

DV ……..

capacità equivalente VCQ jj D= carica sul condensatore Cj

…

j

jC

QV =D

=

D=DN

jjVV

1

C1 C2 C3 CN

d.d.p sul condensatore Cj

-Q +Q -Q +Q -Q +Q -Q +Q

(18)

(19)

Condensatori nei circuiti: applicazione

C1

C4

C5

C6

C2

C3 C1=4mF, C2=1mF, C3=3mF, C4=6mF, C5=2mF, C6=8mF

DV=5V d.d.p tra A e B A B

Calcolare le capacità equivalente del sistema di condensatori in

figura, le d.d.p e le cariche accumulate sui singoli condensatori

C1 C23

C45 C6

C23=C2+C3=4mF capacità equivalente di C1 e C3

C45=C4+C5=8mF capacità equivalente di C4 e C5

equivale a

equivale a

equivale a

A

A

A

B

B

B

Applicando le regole viste prima per le due coppie

di condensatori in parallelo C2,C3 e C4,C5 si ottiene:

e per le due coppie di condensatori in serie rimaste:

μF4μF4

1

μF8

1

μF8

1111456

1

645456

==== CCCC

μF2μF2

1

μF4

1

μF4

1111123

1

231123

==== CCCC

C123

C456

capacità equivente di C1 e C23

capacità equivente di C4 e C56

Poiché C123 e C456 sono disposte in parallelo la capacità equivalente

complessiva risulta essere:

Ceq=C123+C456=6mF capacità equivalente cercata

Ceq

Condensatori nei circuiti: applicazione (cont.)

C1=4mF C23=4mF

C45=8mF C6=8mF

I condensatori in serie C1 e C23 hanno carica Q1=Q23=Q123=10mF

e d.d.p. DV1=Q1/C1=10mC/4mF=2.5V

e DV23=Q23/C23=10mC/4mF=2.5V

Analogamente Q45=Q6=Q456=20mF

DV45=Q45/C45=20mC/8mF=2.5V

DV6 = Q6/C1=20mC/8mF=2.5V

(ovviamente DV1+DV23=DV45+DV6=DV=5V)

A

A

B

B

C123=2mF

C456=4mF

Infine si ottiene per le ultime due coppie di condensatori

in parallelo C2,C3 e C4,C5:

DV2=DV3=DV23=2.5V, Q2=C2DV2=1mF2.5V=2.5mF

Q3=C3DV3=3mF2.5V=7.5mF

DV4=DV5=DV45=2.5V, Q4=C4DV4=6mF2.5V=15mF

Q5=C5DV5=2mF2.5V=5mF

C1=4mF

C4=6mF

C5=4mF

C6

C2=1mF

C3=3mF

A B

A B Sul condensatore Ceq si accumula la carica Q=CeqDV=6mF5V=30mF

I condensatori in parallelo equivalenti C123 e C234 sono alla stessa

d.d.p. DV e accumulano le cariche Q123=C123DV=2mF5V=10mF

e Q345=C345DV=4mF5V=20mF

(Q123+Q345=30mF coincide con la carica su Ceq)

Per calcolare le cariche e d.d.p. su ciascun condensatore si procede

a ritroso nel modo seguente:

Ceq=6mF

a) assenza dielettrico tra le armature

Le armature di un condensatore piano sono

caricate con una carica Q0 usando una batteria

che viene poi scollegata (il condensatore rimane

isolato)

DV0

Un galvanometro misura una d.d.p. DV0 senza

scaricare le armature (non fa passare corrente).

0

00

V

QC

D=

capacità in

assenza di dielettrico

Vuoto

Condensatori in presenza di dielettrici (osservazioni sperimentali)

La carica rimane Q0 rimane invariata poichè

il condensatore è isolato.

aumento della capacità di un fattore er

r

r

CV

Q

V

QC e

e0

0

00 =D

=D

=

(20)

b) si introduce una lastra di dielettrico tra

le due armature del condensatore isolato

La d.d.p. misurata dal galvanometro

diminuisce di un fattore er

r

VV

e0D

=D

dielettrico

DV

er >1 costante dielettrica relativa (adimensionale)

(21)

Caso di un condensatore piano con armature di area A e separazione d

d

AC 0

0

e=

Diminuendo la separazione d tra le armature aumenta la capacità.

Tutavia se il campo elettrico nel materiale E=DV/d supera un certo valore critico,

detto rigidità dielettrica, il materiale perde le sue proprietà isolanti (si parla di rottura

del dielettrico),

diventa conduttore e il condensatore si scarica.

Con il vuoto tra le armature

vuoto

d (22)

00 Cd

AC r

r eee

==

Con un materiale isolante di costante dielettrica er>1

dielettrico

(23)

Costante delettrica

relativa er

Rigidità dielettrica

(in V/m)

La costante dielettrica relativa er (adimensionale)

è una caratteristica del materiale

Rigidità dielettrica = valore

massimo del campo elettrico,

oltre il quale il dielettrico non

si comporta più come un

isolante e consente il passaggio

di cariche da un’armatura

all’altra attraverso una

scarica elettrica.

Ad esempio per l’aria secca si ha una rigidità dielettrica di 3x106V/m=3000V/mm

se le armature di un condensatore piano sono separate da un millimetro di aria, non è possibile

superare 3000 Volt di d.d.p. altrimenti avviene una scarica (l’aria si ionizza e diventa conduttrice).

Spiegazione microscopica Effetto di polarizzazione delle molecole in presenza di un campo elettrico esterno.

Esistono due tipi di molecole

a) molecole polari: dotate di un momento di dipolo permanente

Sono molecole asimmetriche (es. H20 e NH3) in cui si ha una separazione tra la posizione

media delle cariche positive (nuclei) e la posizione media delle cariche negative (elettroni).

I due atomi di idrogeno della molecola

dell’acqua tendono a cedere facilmente il

loro elettrone all’atomo di ossigeno

centro delle cariche positive spostato verso

il punto medio tra i due atomi di idrogeno

momento di dipolo permanente

b) molecole simmetriche non sono dotate di un momento di dipolo permanente.

Tuttavia tutte le molecole simmetriche (in particolare gli atomi) tendono a

polarizzarsi in presenza di un campo elettrico esterno che tende as separare le cariche

negative della nuvola elettronica dalle cariche positive dei nuclei.

a) caso con E=0

Conclusione: in presenza di un campo elettrico esterno tutte le molecole

(o atomi) di un dielettrico si comportano come dei microscopici dipoli elettrici.

nuvola

elettronica

(carica negativa)

momento di dipolo

(proporzionale a E)

b) caso con E 0

p=0

In assenza di campo elettrico i momenti

di dipolo sono orientati completamente

a caso

a) caso E=0

Le molecole polari tendono ad allinearsi

nella direzione del campo

Nota: l’allineamento non è completo a causa

del moto disordinato dovuto all’agitazione

termica delle molecole.

b) caso E 0

a) Molecole polari in un campo elettrico esterno

-

+

dqp

=

Il momento delle forze rispetto ad O

subito dal dipolo

tende ad orientare il dipolo nella

direzione del campo elettrico

Ep

= )cos( pE=

EqFe

=

EqFe

=

O

uniforme E

b) Anche nel caso di un dielettrico fatto di atomi o molecole non polari, un campo elettrico

applicato E0 polarizza le molecole nella direzione del campo elettrico.

La polarizzazione induce una carica netta positiva sulla faccia del dielettrico

nella direzione del campo, una carica negativa sulla faccia opposta.

Queste distribuzioni di cariche producono un campo elettrico indotto Eind che si

oppone a quello applicato.

Nel dielettrico, si ha quindi un campo ridotto:

E=E0-Eind

piu piccolo di quello che si avrebbe nel vuoto (E0).

equivale a

Dielettrico polarizzato tra le armature di un condensatore carico

sind

carica indotta

negativa

sind

carica indotta

positiva

neutro

(r = 0)

s0 s0 0

00

e

s=E

campo generato dalla

carica sulle armature s0

0

indind

e

s=E

campo generato dalle

cariche indotte dalla

polarizzazione del

dielettrico

0E

Eind si oppone a quello generato

dalle armature cariche E0

0

ind

0

0ind0

e

s

e

s== EEE campo generato dalla densità di carica effettiva seff=s0-sind

indE

E

(24)

D’altra parte, abbiamo visto che la d.d.p. DV tra le due armature si riduce di un fattore er. dopo l’introduzione

del dielettrico (vedi eq.(21) che definisce er); di conseguenza diminuisce dello stesso fattore anche il campo

elettrico E=DV/d:

rr

EE

ee

s

e 0

00 == nel dielettrico polarizzato (25)

0

ind

0

0

e

s

e

s=E

r

Eee

s

0

0=ree

s

e

s

e

s

0

0

0

ind

0

0 =

0ind

1s

e

es

r

r =

carica indotta espressa in funzione della costante

dielettrica relativa e della densità superficiale sulle

armature s0

Per un dielettrico 0 < sind < s0

Per il vuoto sind=0 poichè er=1.

Confrontando le due relazioni (20) e (21)

Si ottiene quindi il seguente legame tra la densità di carica superficiale indotta nel dielettrico

sind per polarizzazione e la densità di carica s0 responsabile del campo polarizzante E0:

(26)

Ad esempio, inserendo del vetro pyrex (er=5.6) tra le due armature di un condensatore, il campo

si riduce di un fattore 5.6 e la densità di carica indotta sul dielettrico ha densità superficiale:

ind0ind 82.06.5

16.5sss =

=

Nota: per molecole polari come quella dell’acqua, er è ancora piu grande (er=80 per H20) e la carica indotta

sind é molto vicina a quella responsabile del campo polarizzazzante, s0 il campo nel dielettrico

si riduce quindi di un fattore er >>1.

V+ V-

Materiale dielettico (isolante) tra le armature

s0 s0 sind sind

+

+

+

+

+

+

E0

0ind

1s

e

es

r

r =

Cariche indotte

per polarizzazione:

00

ind0 EE

EEEr

==e

campo

ridotto nel

dielettrico

Eind

E0

d

VE

D==

0

0e

s campo in assenza di dielettrico (per un condensatore piano)

Riassunto dei risultati precedenti:

Cariche indotte per polarizzazione

Cariche indotte sulle superfici del conduttore per

effetto della migrazione dei portati liberi sotto

l’azione del campo elettrico applicato E0. In

questo caso, raggiunto l’equilibrio:

s0=sind e E0=Eind

00

ind

0

0ind0 ===

e

s

e

sEEE

Materiale conduttore tra le armature

(non a contatto con queste)

e quindi

dentro il

conduttore

V+ V-

s0 s0 sind sind

+

+

+

+

+

+

E=0

+

+

+

+

+

+

Eind

E0

Cariche indotte per migrazione

dei portatori di corrente (elettroni)

Nota: il sistema in figura equivale a due condensatori

collegati in serie