Arbeitsmaterialien
(Bezeichnungen, Definitionen,
Satze, Beispiele, Ubungsaufgaben)
zur Vorlesung
Analysis I + II
im SS 2007 und WS 2007/08
(uberarbeitete Version des WS 1993/94 und SS 1994)
FB Mathem., Univ. Siegen
zusammengestellt von
Prof. Dr. Hans-Jurgen Reinhardt
Analysis, Arbeitsmaterialien Prof. Dr. H.-J. Reinhardt
Inhaltsverzeichnis
1 Mengen und Abbildungen 1
1.1 Aussagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.3 Funktionen, Abbildungen (A,B Mengen) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2 Reelle Zahlen 6
2.1 Korperaxiome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2 Anordnungsaxiome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.3 Supremum und Infimum, das Vollstandigkeitsaxiom . . . . . . . . . . . . . . 8
2.4 Naturliche Zahlen, Prinzip der vollstandigen Induktion . . . . . . . . . . . . 12
2.5 Einfache Anzahlaussagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.6 Primzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.7 Der Satz von Archimedes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.8 Die Quadratwurzel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.9 Permutationen und Binomialkoeffizienten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3 Der Korper der komplexen Zahlen 22
3.1 Einfuhrung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.2 Der Korper C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.3 Der Absolutbetrag in C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4 Zahlenfolgen 25
4.1 Folgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.2 Der Konvergenzbegriff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4.3 Rechenregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.4 Konvergenzkriterien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
- i -
Prof. Dr. H.-J. Reinhardt Analysis, Arbeitsmaterialien
4.5 Wurzelberechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4.6 Haufungswerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.7 Anmerkungen zu komplexen Zahlenfolgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
5 Reihen 34
5.1 Konvergenz von Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
5.2 Konvergenzkriterien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
5.3 Die Exponentialfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
5.4 Umordnung von Reihen, das Cauchy–Produkt . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
5.5 Die g–adische Entwicklung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
6 Stetigkeit 42
6.1 Reelle Funktionen, Grenzwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
6.2 Stetige Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
6.3 Rechenregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
7 Einige Satze uber stetige Funktionen 46
7.1 Der Zwischenwertsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
7.2 Existenz von Extrema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
7.3 Gleichmaßig stetige Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
7.4 Bemerkungen zur Exponentialfunktion und zu Hyperbelfunktionen . . . . . 49
7.5 Die Logarithmusfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
8 Differenzierbarkeit 52
8.1 Motivation und Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
8.2 Rechenregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
8.3 Zur Exponentialfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
8.4 Zum Newton–Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
- ii -
Analysis, Arbeitsmaterialien Prof. Dr. H.-J. Reinhardt
9 Einige Satze uber differenzierbare Funktionen 58
9.1 Charakterisierung von Extrema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
9.2 Der Satz von Rolle, Mittelwertsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
9.3 Taylorsche Formel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
9.4 Anmerkung zu lokalen Extrema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
9.5 Die Regel von de l’Hospital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
9.6 Die trigonometrischen Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
10 Das Riemann–Integral 67
10.1 Treppenfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
10.2 Das Integral von Treppenfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
10.3 Ober– und Unterintegrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
10.4 Riemann–Integrierbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
10.5 Eine Auswahl integrierbarer Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
10.6 Weitere Aussagen uber Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
11 Integration und Differentiation 74
11.1 Mittelwertsatz der Integralrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
11.2 Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung . . . . . . . . . . . . . . . 75
11.3 Substitutionsregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
11.4 Partielle Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
11.5 Das Taylorsche Restglied in Integralform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
11.6 Integrationsrezepte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
12 Reihen von Funktionen 82
12.1 Gleichmaßige Konvergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
12.2 Gleichmaßige Konvergenz von Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
12.3 Integrierbarkeit und Differenzierbarkeit von Funktionenreihen . . . . . . . . 84
- iii -
Prof. Dr. H.-J. Reinhardt Analysis, Arbeitsmaterialien
12.4 Potenzreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
13 Metrische und topologische Raume 90
13.1 Metrische Raume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
13.2 Topologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
13.3 Stetige Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
13.4 Abgeschlossene Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
13.5 Kompakte Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
14 Vollstandige metrische Raume, Banachraume 98
14.1 Vollstandige metrische Raume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
14.2 Der Raum der beschrankten und stetigen Abbildungen . . . . . . . . . . . . 99
14.3 Normierte Raume; Banachraume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
14.4 Gleichmaßige Konvergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
15 Der euklidische Raum Rn 102
15.1 Der Rn als normierter Raum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
15.2 Rn als euklidischer Raum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
15.3 Kurven in Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
15.4 Differenzierbare Wege . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
16 Differenzierbarkeit im Rn 116
16.1 Hinfuhrung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
16.2 Partielle Ableitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
16.3 Vollstandige Differenzierbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
16.4 Differentiationsregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
16.5 Die Richtungsableitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
16.6 Mittelwertsatze und Hauptsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
16.7 Der Taylorsche Satz und die Taylorformel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
- iv -
Analysis, Arbeitsmaterialien Prof. Dr. H.-J. Reinhardt
17 Der Satz uber implizite Funktionen 134
17.1 Der Kontraktionssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
17.2 Der Satz uber die inverse Abbildung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
17.3 Der Satz uber implizite Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
17.4 Maxima und Minima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
17.5 Lagrangesche Multiplikatorenregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
A Grundlagen der Aussagenlogik 152
B Theoretische Ubungsaufgaben
fur Mathematiker und Physiker zu Analysis I 156
C Theoretische Ubungsaufgaben
fur Informatiker zu Analysis I 190
D Theoretische Ubungsaufgaben zu Analysis II 204
Index 219
- v -
Prof. Dr. H.-J. Reinhardt Analysis, Arbeitsmaterialien
Literatur
[Bla92] Blatter, C.Analysis 1, 2, Springer, 1991, 1992.
[End89] Endl, K. Analysis I, II, III. Studien-Texte Mathematik, Akadem. Verlagsges.1978,
1987, 1989.
[For01] Forster, O. Analysis 1, 2, 3. Vieweg, 1979, 1981, 2001.
[GF73] Grauert, H., Fischer, W. Differential- und Integralrechnung II. Heidelberger Ta-
schenbucher Bd 36, Springer, 1973.
[HRS93] Harbarth, K., Riedrich, T., Schirotzek, W. Differentialrechnung fur Funktionen
mit mehreren Variablen. Teubner, 1993.
[Heu02] Heuser, H. Lehrbuch der Analysis 1, 2. Teubner, 2001, 2002.
[KP93] Korber, K.-H., Pforr, E.-A. Integralrechnung fur Funktionen mit mehreren Varia-
blen. Teubner, 1993.
[KK91] Kreul, M., Kreul, H. Mathematik in Beispielen. Band 3: Differentialrechnung.
Fachbuchverlag Leipzig, 1991.
[KKr91] Kreul, M., Kreul, H. Mathematik in Beispielen. Band 4: Integralrechnung. Fach-
buchverlag Leipzig, 1991.
[Lan70] Landau, E. Grundlagen der Analysis. Wiss. Buchges., Darmstadt, 1970.
[PS93] Pforr, E.-A., Schirotzek, W. Differential– und Integralrechnung fur Funktionen mit
einer Variablen. Teubner, 1993.
[Rud98] Rudin, W. Analysis. Oldenbourg Verlag, 1998.
[SH95] Salas, S. L., Hille, E. Calculus. Einfuhrung in die Differential– und Integralrech-
nung. Spektrum, 1995.
[SGT99] Schafer, W., Georgi, K., Trippler, G. Mathematik–Vorkurs. Teubner, 1999.
[Wal04] Walter, W. Analysis 1, 2. Springer, 2002, 2004.
[WH99] Wenzel, H., Heinrich, G. Ubungsaufgaben zur Analysis 1, 2. Teubner, 1999.
- vi -
Analysis, Arbeitsmaterialien Prof. Dr. H.-J. Reinhardt
1 Mengen und Abbildungen
1.1 Aussagen
... sind entweder wahr (w) oder falsch (f) aber nicht beides.
Bezeichnungen
Junktor Sprechweise Symbol
Negation ... nicht ... ¬Konjunktion ... und ... ∧Alternative ... oder ... ∨Implikation ... wenn, dann ... =⇒Aquivalenz ... genau dann, wenn ... ⇐⇒
Akkurzungen: := , =: , :⇐⇒ , ⇐⇒:
Indirektes Beweisverfahren
(P =⇒ Q) ⇐⇒ (¬Q =⇒ ¬P )
1.2 Mengen
... sind Zusammenfassungen wohlbestimmter Objekte.
Definitionen: (A,B,C Mengen, A,B ⊂ C)
Teilmenge: A ⊂ B :⇐⇒ (x ∈ A =⇒ x ∈ B)
Gleichheit: A = B :⇐⇒ A ⊂ B , B ⊂ AVereinigung: A ∪B := {x ∈ C|x ∈ A oder x ∈ B}Durchschnitt: A ∩B := {x ∈ C|x ∈ A und x ∈ B}Komplement: A \B := {x ∈ C|x ∈ A und x 6∈ B} (auch B′ := A B)
leere Menge: ∅ oder {}Rechenregeln (A,B,C Mengen)
(R1) A ⊂ B , B ⊂ C =⇒ A ⊂ C (Transitivitat von”⊂“)
(R2) A ∪ (B ∪C) = (A ∪B) ∪ C (Assoziativgesetze)
(R3) A ∩ (B ∩C) = (A ∩B) ∩ C
- 1 -
Prof. Dr. H.-J. Reinhardt Analysis, Arbeitsmaterialien
(R4) A ∪B = B ∪A (Kommutativgesetze)
(R5) A ∩B = B ∩A
(R6) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩B) ∪ (A ∩ C) (Distributivgesetze)
(R7) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪B) ∩ (A ∪ C)
(R8) (A,B ⊂ X) (Regeln von de Morgan)
(A ∪B)′ = A′ ∩B′, (A ∩B)′ = A′ ∪B′)
Definition: Potenzmenge P (A) (oder POT (A))
= Menge aller Teilmengen von A
einschließlich der leeren Menge ∅
Definitionen: (A,B Mengen)
(geordnetes) Paar: (a, b) mit a ∈ A, b ∈ B ;
(a, b) = (a′, b′) wenn a = a′ und b = b′ ;
Cartesisches Produkt A×B = {(a, b)|a ∈ A , b ∈ B}Rechenregel
(R9) A× (B ∪ C) = (A×B) ∪ (A× C) , A× (B ∩ C) = (A×B) ∩ (A× C)
Beispiele von Mengen
N := {1, 2, 3, . . .} naturliche Zahlen
Z := {0, 1,−1, 2,−2, 3, . . .} ganze Zahlen
Z+ := N0 := {0, 1, 2, . . .}Q :=
{ab
∣∣ a, b ∈ Z, b 6= 0
}rationale Zahlen
1.3 Funktionen, Abbildungen (A,B Mengen)
f : A −→ B , A = Definitionsbereich, B = Bildbereich
Bezeichnung: f : A ∋ x 7→ f(x) ∈ B
Definition: Graph von f
graph f := {(a, b)|a ∈ A , b = f(a)}
Beispiel: A := B := Q , f : A ∋ x 7→ 12x− 1 ∈ B
Satz 1 Seien A,B Mengen, G ⊂ A×B. Dann sind folgende Aussagen aquivalent:
- 2 -
Analysis, Arbeitsmaterialien Prof. Dr. H.-J. Reinhardt
-
Q
f(x)
6
x�������������������������
• (x, f(x))
a) Es gibt eine Abbildung f : A→ B mit graph f = G.
b) Zu jedem a ∈ A gibt es genau ein b ∈ B mit (a, b) ∈ G.
Definitionen: (f : A −→ B , X ⊂ A , Y ⊂ B)
Bild von X unter Abb. f : f(X) := {f(x)|x ∈ X}Urbild von Y unter Abb. f : f−1(Y ) := {x ∈ A|f(x) ∈ Y }
Rechenregeln (f : A −→ B , X1,X2 ⊂ A , Y1Y2 ⊂ B)
(R1) X1 ⊂ X2 =⇒ f(X1) ⊂ f(X2)
(R2) f(X1 ∪X2) = f(X1) ∪ f(X2)
(R3) f(X1 ∩X2) ⊂ f(X1) ∩ f(X2)
(R4) Y1 ⊂ Y2 =⇒ f−1(Y1) ⊂ f−1(Y2)
(R5) f−1(Y1 ∪ Y2) = f−1(Y1) ∪ f−1(Y2)
(R6) f−1(Y1 \ Y2) = f−1(Y1) \ f−1(Y2) , falls Y2 ⊂ Y1 .
Bezeichnungen: Quantoren
Notation Sprechweise
∀a ∈ A”fur alle Elemente a in A“
∃a ∈ A”es existiert a ∈ A“
∃!a ∈ A”es existiert genau ein a ∈ A“
∀a ∈ A(P )”fur alle a ∈ A ist P wahr“
∀a ∈ A(P )”fur alle Elemente a ∈ A gilt Aussage P“
∀a ∈ A : P”fur alle Elemente a ∈ A gilt Aussage P“
- 3 -
Prof. Dr. H.-J. Reinhardt Analysis, Arbeitsmaterialien
Bemerkung: Unter Benutzung von Quantoren lassen sich die aquivalenten Bedingungen
von Satz 1 wie folgt formulieren:
a) ∃f : A −→ B : graph f = G
b) ∀a ∈ A ∃! b ∈ B : (a, b) ∈ G
Die letzte Bedingung b) — und damit auch a) — sagt, daß eine Abbildung immer wohl-
definiert (oder wohlbestimmt) ist, was man noch aquivalent schreiben kann als
∀a, a′ ∈ A : a = a′ =⇒ f(a) = f(a′)
oder aquivalent als
∀a, a′ ∈ A : f(a) 6= f(a′) =⇒ a 6= a′ .
Definitionen: (A,B Mengen, f : A −→ B Abb.)
f surjektiv :⇐⇒ ∀b ∈ B ∃a ∈ A : b = f(a)
f injektiv :⇐⇒ ∀a, a′ ∈ A : a 6= a′ =⇒ f(a) 6= f(a′)
f bijektiv :⇐⇒ f injektiv und surjektiv
identische Abbildung
idA : A ∋ x 7→ x ∈ A
Hintereinander–Ausfuhrung
g ◦ f (A,B,C Mengen, f : A −→ B , g : B −→ C)
A ∋ x 7→ g(f(x)) ∈ C
Bemerkung: Die Injektivitat laßt sich auch wie folgt charakterisieren,
∀ a, a′ ∈ A : f(a) = f(a′) =⇒ a = a′ .
Man beachte den Unterschied zur Wohlbestimmtheit.
Rechenregeln
(R7) idB ◦ f = f ◦ idA(R8) h ◦ (g ◦ f) = (h ◦ g) ◦ f (Assoziativgesetz)
- 4 -
Analysis, Arbeitsmaterialien Prof. Dr. H.-J. Reinhardt
Satz 2 Sei f : A −→ B Abbildung. Es gelten folgende Aquivalenzen:
f injektiv ⇐⇒ ∃g : B −→ A : g ◦ f = idA
f surjektiv ⇐⇒ ∃g : B −→ A : f ◦ g = idB
f bijektiv ⇐⇒ ∃g : B −→ A :
g ◦ f = idA und f ◦ g = idB
Definition: (f : A −→ B bijektiv)
Umkehrabbildung f−1 : f−1 ◦ f = idA , f ◦ f−1 = idB Bem.: f−1
ist eindeutig bestimmt.
- 5 -
Prof. Dr. H.-J. Reinhardt Analysis, Arbeitsmaterialien
2 Reelle Zahlen
2.1 Korperaxiome
In R sind zwei Operationen”Addition“ und
”Multiplikation“ erklart, d.h. jedem Paar (a, b)
von Elementen aus R ist genau ein Element a + b ∈ R (Summe) und genau ein Element
a · b ∈ R (Produkt) zugeordnet. Dabei gelten die folgenden neun Korperaxiome.
(A1) a+ (b+ c) = (a+ b) + c Assoziativitat
(A2) ∃ neutrales Element der Addition 0 ∈ R (”Null“)
mit a+ 0 = a fur alle a ∈ R.
(A3) ∀ a ∈ R ∃ additiv inverses Element (−a) ∈ R mit
a+ (−a) = 0.
(A4) a+ b = b+ a Kommutativitat
(A5) (ab)c=a(bc) Assoziativitat
(A6) ∃ neutrales Element der Multiplikation 1 6= 0 (”Eins“) mit
a · 1 = a fur alle a ∈ R.
(A7) ∀ a 6= 0, a ∈ R, ∃ multiplikativ inverses Element a−1 ∈ R mit
a · a−1 = 1.
(A8) ab=ba Kommutativitat
(A9) a(b+ c) = ab+ ac Distributivitat
Folgerung 1 Die neutralen Elemente sind eindeutig bestimmt.
Folgerung 2 Die inversen Elemente (−a) und a−1 sind eindeutig bestimmt.
Folgerung 3 Fur zwei Zahlen a, b ∈ R hat die Gleichung a + x = b genau eine Losung
x = b + (−a). Entsprechend hat die Gleichung ax = b fur a 6= 0 genau eine Losung
x = a−1b.
Folgerung 4 ab = 0 =⇒ a = 0 ∨ b = 01
Schreibweise:a
c:= c−1a fur c 6= 0; b− a := b+ (−a).
Regeln des Bruchrechnens:a
c+b
d=ad+ bc
cd,a
c· bd
=ab
cd,a/c
b/d=ad
bc.
Definitionen:1∨ oder ; ∧ und (s. Anhang A)
- 6 -
Analysis, Arbeitsmaterialien Prof. Dr. H.-J. Reinhardt
(a) Sei K ein Korper. K1 ⊂ K heißt Unterkorper von K, wenn K1 mit arithmetischen
Operationen von K ein Korper ist.
(b) Seien K1,K2 Korper. Eine Abbildung ϕ : K1 −→ K2 heißt Homomorphismus, wenn
gilt:
ϕ(x · y) = ϕ(x) · ϕ(y) , ϕ(x+ y) = ϕ(x) + ϕ(y) , x, y ∈ K .
Lemma 5 Seien K1,K2 Korper, ϕ : K1 −→ K2 Homomorphismus. Dann gilt:
(a) ϕ(0) = 0 , ϕ(−x) = −ϕ(x) ∀x ∈ K1 .
(b) Gibt es ein x ∈ K1 mit ϕ(x) 6= 0, so gilt
ϕ(1) = 1 und ϕ(x−1) = ϕ(x)−1 ∀x ∈ K∗1 ;
ferner ist ϕ dann injektiv.
2.2 Anordnungsaxiome
Es existiert eine Teilmenge P von R, genannt Menge der positiven Zahlen , mit den nach-
folgenden Eigenschaften:
(A10) Fur jede reelle Zahl a gilt genau eine der drei Beziehungen a ∈ Poder −a ∈ P oder a = 0.
(A11) Sind a und b aus P , so ist auch a+ b aus P .
(A12) Sind a und b aus P , so ist auch ab aus P .
Bezeichnung: a positiv , wenn a ∈ P ; a negativ , wenn −a ∈ P .
Definition: a > b (oder b < a), falls a− b ∈ P fur a, b ∈ R. a ≥ 0 bzw. a ≤ 0, wenn
a > 0 oder a = 0 bzw. a < 0 oder a = 0.
Bezeichnung: a heißt nichtnegativ , wenn a ≥ 0.
Trichotomiegesetz: Fur je zwei reelle Zahlen a, b gilt genau eine der drei Beziehungen
a < b, a = b, a > b .
Rechenregeln
- 7 -
Prof. Dr. H.-J. Reinhardt Analysis, Arbeitsmaterialien
(R1) Aus a < b folgt −a > −b.(R2) Aus a < b folgt a+ c < b+ c.
(R3) Aus a < b folgt b < c folgt a < c (Transitivitat).
(R4) Aus a < b und c < d folgt a+ c < b+ d; aus 0 < a < b und 0 < c < d folgt ac < bd.
(R5) Aus a < b und c > 0 folgt ac < bc; aus a < b und c < 0 folgt ac > bc.
(R6) Aus a 6= 0 folgt a2 > 0. Insbesondere ist 1 > 0.
(R7) Aus a > 0 folgt 1a > 0, aus a < 0 folgt 1
a < 0.
(R8) Aus 0 < a < b folgt ab < 1, ba > 1 und 1
a >1b .
(R9) Aus a < b und 0 < λ < 1 folgt a < λa+ (1 − λ)b < b.
Bemerkungen:
1) P 6= ∅, da 1 ∈ P .
2) Es gibt außer 0 und 1 weitere Zahlen 2 := 1+1, 3 := 2+1 usw. Wegen 0 < 1 < 2 < 3
gilt 0 < 13 <
12 < 1.
Bezeichnung: Arithmetisches Mittel von a und b : 12(a+ b)
Noch eine Rechenregel:
(R10) Aus a < b folgt a < 12(a+ b) < b.
2.3 Supremum und Infimum, das Vollstandigkeitsaxiom
Definition: (∅ 6= A ⊂ R)
(a) A heißt nach oben beschrankt
:⇐⇒ ∃b ∈ K ∀a ∈ A : a ≤ b ;
b heißt dann eine obere Schranke von A. (Schreibweise: A ≤ b)
(b) A heißt nach unten beschrankt
:⇐⇒ ∃b ∈ K ∀a ∈ A : b ≤ a ;
b heißt dann eine untere Schranke von A. (Schreibweise: b ≤ A)
- 8 -
Analysis, Arbeitsmaterialien Prof. Dr. H.-J. Reinhardt
(c) A heißt beschrankt
:⇐⇒ ∃b ∈ K ∀a ∈ A : −b ≤ a ≤ b ;
b heißt dann eine Schranke von A.
Ist eine obere bzw. untere Schranke gleichzeitig Element von A, so heißt dieses maximales
Element (oder Maximum) bzw. minimales Element (oder Minimum) von A.
Beispiele:
(a) Die Menge N der naturlichen Zahlen ist nach unten beschrankt (1 ist Minimum).
(b) Endliche Teilmengen von R sind beschrankt.
Definitionen: (∅ 6= A ⊂ R)
(a) x ∈ R heißt Supremum (auch: obere Grenze) von A
:⇐⇒ i) x ist obere Schranke von A ;
ii) wenn y obere Schranke von A , dann gilt x ≤ y .
(Wir schreiben dann: x = supa∈A a oder x = supA)
(b) x ∈ R heißt Infimum (auch: untere Grenze) von A
:⇐⇒ i) x ist untere Schranke von A ;
ii) wenn y untere Schranke, dann gilt y ≤ x .
(Wir schreiben dann: x = infa∈A a oder x = inf A)
Folgerung 6 Sei ∅ 6= A ⊂ R. Supremum und Infimum sind eindeutig bestimmt, falls sie
existieren.
Definition: Der Korper der reellen Zahlen ist ein Korper (R,+, ·), in dem gilt:
(A) R ist angeordnet durch eine Menge P ;
(V) Jede nichtleere, nach oben beschrankte Teilmenge von R besitzt ein Supremum.
Bemerkungen:
1. (A) heißt Anordnungsaxiom, (V) heißt Vollstandigkeitsaxiom.
- 9 -
Prof. Dr. H.-J. Reinhardt Analysis, Arbeitsmaterialien
2. Aus (V) folgt: Jede nichtleere, nach unten beschrankte Teilmenge von R besitzt ein
Infimum.
3. Nach Folgerung 2 sind Supremum und Infimum eindeutig bestimmt.
Beispiel: Die Menge P der positiven Zahlen nach oben nicht bechrankt, jedoch nach
unten beschrankt. Es ist inf P = 0, jedoch besitzt P kein kleinstes Element.
Wir halten fest:
(a) 0 ∈ R Nullelement, −a Negatives von a ∈ R, 1 ∈ R Einselement,
a−1 Inverses von a ∈ R∗ := R \ {0}.
(b) Es ist definiert x > y :⇐⇒ x − y ∈ P ; damit auch ≥ , < , ≤ . Es gelten die
Rechenregeln (R1) – (R10) aus 2.2.
(c) Es sind induktiv definiert:
n · x : 1 · x := x , (n+ 1) · x := x+ n · x ,xn : x1 := x , xn+1 := x · xn .
(d) Es ist induktiv definiert (x ∈ R∗ = R \ {0} , n ∈ N0 := N ∪ {0}):
x0 := 1 , x−(n+1) := x−1 · x−n .
Definition: Vorzeichen und Absolutbetrag von a ∈ R
sgn a =
1 fur a > 0
0 fur a = 0
−1 fur a < 0
heißt Vorzeichen von a.
|a| = a · sgn a =
a fur a > 0
−a fur a < 0 .
heißt Betrag oder Absolutbetrag von a.
Fur reelle Zahlen a, b gelten die folgenden Rechenregeln:
- 10 -
Analysis, Arbeitsmaterialien Prof. Dr. H.-J. Reinhardt
(R1) Fur a 6= 0 ist |a| > 0.
(R2)∣∣|a|∣∣ = |a|.
(R3) Es ist a = b genau dann, wenn |a| = |b| und sgn a = sgn b ist.
(R4) sgn a · sgn b = sgn (ab) und |a||b| = |ab|.(R5) Fur b 6= 0 ist
sgn a
sgn b= sgn
a
bund
∣∣∣a
b
∣∣∣ =
∣∣∣a
b
∣∣∣.
(R6) Dreiecksungleichung: |a+ b| ≤ |a|+ |b|und Folgerung
∣∣|a| − |b|
∣∣ ≤ |a− b|.
(R7) |a| ≤ γ ⇐⇒ −γ ≤ a ≤ γ.
Definition: Unendlich
Wir setzen supA = ∞ bzw. inf A = −∞ wenn A nicht nach oben be-
schrankt bzw. A nicht nach unten beschrankt ist.
R = R ∪ {−∞,∞}erweiterte Zahlengerade .
Rechenregeln fur −∞,∞(x ∈ R):
∞+ x =∞, −∞+ x = −∞
∞ · x =∞ fur x > 0, ∞ · x = −∞ fur x < 0
x
∞ =x
−∞ = 0
∞+∞ =∞ ·∞ =∞
Beachte, dass ∞−∞ und 0 · ∞ nicht definiert sind.
Definitionen: Intervalle (a, b ∈ R, a < b)
[a, b] := {x ∈ R| a ≤ x ≤ b} abgeschlossenes Intervall,
(a, b) := {x ∈ R| a < x < b} offenes Intervall,
[a, b) := {x ∈ R| a ≤ x < b} (nach rechts) halboffenes Intervall,
(a, b] := {x ∈ R| a < x ≤ b} (nach links) halboffenes Intervall.
(−∞, a] := {x ∈ R|x ≤ a}, [a,∞) := {x ∈ R|x ≥ a}
abgeschlossene unbeschrankte Intervalle;
(−∞, a) := {x ∈ R|x < a}, (a,∞) := {x ∈ R|x > a}
- 11 -
Prof. Dr. H.-J. Reinhardt Analysis, Arbeitsmaterialien
offene unbeschrankte Intervalle.
Ein Interval heißt kompakt , wenn es beschrankt und abgeschlossen ist.
Definitionen: Umgebungen
Bε(a) := (a− ε, a+ ε) ε-Umgebung von a (ε > 0)
U heißt Umgebung von a, wenn ein ε > 0 existiert mit Bε(a) ⊂ U.
Definitionen:
N0 = {0, 1, 2, 3, . . . , }
Z = {z ∈ R|z ∈ N0 oder − z ∈ N0} ganze Zahlen
Q = {x ∈ R|x lost px = q mit p, q ∈ Z, p 6= 0} rationale Zahlen
Bemerkung: Q erfullt auch Korper- und Anordnungsaxiome; Q ist auch ein archimedisch
angeordneter Korper. Aber nicht jede nach oben (bzw. nach unten) beschrankte Menge in
Q besitzt ein Supremum (bzw. in Infimum) in Q.
Beispiel: A = {x ∈ Q| x2 < 2}, B = {y ∈ Q| y2 > 2}
A enthalt keine”großte Zahl“ (in Q) und A ist nach oben beschrankt (z.B. durch 2).
B enthalt keine”kleinste Zahl“ (in Q) und B ist nach unten beschrankt.
Satz 7 Es gibt keine rationale Zahl x mit x2 = 2.
2.4 Naturliche Zahlen, Prinzip der vollstandigen Induktion
Bezeichnung: (0, 1 ∈ R)
N =
1,
2︷ ︸︸ ︷
1 + 1,
3︷ ︸︸ ︷
1 + 1 + 1,
4︷ ︸︸ ︷
1 + 1 + 1 + 1, · · · ,
⊂ R
N0 := {0, 1, 2, 3, · · · , }
Definition: M ⊂ N ist induktiv , wenn 1 ∈M und, fur x ∈M , ist x+ 1 ∈M .
Bemerkung: N und N0 sind induktiv. x+ 1 heißt”Nachfolger“ von x.
Eigenschaften von N: Gilt fur M ⊂ N
- 12 -
Analysis, Arbeitsmaterialien Prof. Dr. H.-J. Reinhardt
a) 1 ∈M und
b) x ∈M =⇒ x+ 1 ∈M
dann ist M = N.
Diese Eigenschaft heißt”Prinzip der vollstandigen Induktion“ oder
”Induktionsprinzip“ .
Darauf beruht die
”Beweismethode der vollstandigen Induktion“:
Eigenschaft E(n) ist richtig ∀ n ∈ N, wenn:
a) E(1) ist richtig (”Induktionsverankerung“ oder
”Induktionsanfang“ (IA)).
b) Fur jedes k ist unter E(k) (i.e.”Induktionsvoraussetzung“ (IV) oder
”Induktionsan-
nahme“) zu zeigen, dass auch E(k + 1) (i.e.”Induktionsbehauptung“ oder
”Induk-
tionsschluss“ (IS)) richtig ist.
Darauf beruht auch die”induktive Definitionsmethode“ :
Eine Eigenschaft E auf den naturlichen Zahlen N ist definiert, wenn:
a) E(1) ist definiert.
b) Falls E(k) definiert ist, laßt sich E(k + 1) definieren.
Beispiel: Potenzen x1 = x, xn+1 = x · xn; Fibonacci-Zahlen Fn.
Bemerkungen:
1) Das Induktionsprinzip ist aquivalent zur Aussage, dass jede nichtleere Menge aus N
ein kleinstes Element besitzt.
2) Die vollstandige Induktion kann auch bei 0 oder einer anderen Zahl k0 > 0 beginnen.
Beispiele:
1) Induktiv beweist man die Summenformel : 1 + 2 + · · ·+ n =n(n+ 1)
2.
- 13 -
Prof. Dr. H.-J. Reinhardt Analysis, Arbeitsmaterialien
2) Nicht richtig ist die Aussage A(n) :”Sind n reelle Zahlen gegeben, so sind sie alle
gleich“. A(1) ist zwar richtig und man konnte von A(n) auf A(n+1) schließen, jedoch
ist A(1) eine leere Aussage und ohne Bedeutung; A(2) z.B. ist falsch.
Eigenschaften von N0:
(a) Es ist n = 0 oder n ≥ 1.
(b) m,n ∈ N0 =⇒ m+ n ∈ N, m · n ∈ N0.
(c) Falls m ≤ n, dann n−m ∈ N0.
(d) Zwischen n und n+ 1 liegt keine weitere naturliche Zahl.
Satz 8 N0 ist”wohlgeordnet“, d. h.
∀V ⊂ N0, V 6= ∅, ∃k ∈ V ∀x ∈ V : x ≥ k .
2.5 Einfache Anzahlaussagen
Bezeichnung: Nn = {1, . . . , n}
Definitionen: (A 6= ∅ Menge)
a) A hat n Elemente, genau wenn es eine Bijektion f : A −→ Nn gibt. Wir schreiben:
card A = n oder #A = n. A heißt endliche Menge.
b) A heißt unendliche Menge, genau wenn es fur kein n ∈ N eine Bijektion f : A −→ N
gibt. Wir schreiben: #A =∞.
c) A heißt abzahlbar unendlich, genau wenn es eine Bijektion f : A −→ N gibt.
Beispiele:
1) #Nn = n
2) G := {m ∈ N|∃k ∈ N : m = 2k} gerade Zahlen
G ist abzahlbar unendlich;
Bijektion f : G ∋ 2k 7→ k ∈ N.
3) G := {a, b, c} , M := {d, e} , F = {f |f : G −→M Abb.}#F = 8
- 14 -
Analysis, Arbeitsmaterialien Prof. Dr. H.-J. Reinhardt
Lemma 9 (M,N endliche Mengen). Es gelten die folgenden Aussagen:
1) ∃ Bijektion g : M −→ N =⇒ #M = #N
2) M ∩N = ∅ =⇒ #(M ∪N) = #M + #N
3) #(M ×N) = #M ·#N
Satz 10 Sei M endliche Menge, #M =: m. Dann gilt fur die Potenzmenge
#P (M) = 2m .
Definitionen: (M endliche Menge). Jede bijektive Abb. f : M −→ M heißt Permuta-
tion. Die Menge
SM := {f : M −→M |f bijektiv}
heißt symmetrische Gruppe von M .
Satz 11 Seien M,N endliche Mengen, m := #M , n := #N , und m ≤ n. Dann gibt es
genau
n · (n− 1) · · · · (n+ 1−m)
injektive Abbildungen f : M −→ N .
Definition: Produkte (induktiv)
1∏
k=1
k = 1,n+1∏
k=1
k =
(n∏
k=1
k
)
(n + 1)
Definition: n–Fakultat n!
0! = 1, 1! := 1 , (n+ 1)! := (n+ 1) · n!
Folgerung 12 (m := #M) #SM = m!
Wir bezeichnen mit I eine Indexmenge, d.h. eine endliche oder unendliche Teilmenge von
N; auch I = N ist moglich.
- 15 -
Prof. Dr. H.-J. Reinhardt Analysis, Arbeitsmaterialien
Definition: (Xi ⊂ C Mengen fur i ∈ I)⋃
i∈IXi = {x ∈ C |x ∈ Xi fur mindestens ein i}
⋂
i∈IXi = {x ∈ C |x ∈ Xi fur alle i ∈ I}
Fur die Komplemente X ′i = C \Xi von Xi (in C) gelten die folgenden
”Regeln von de
Morgan“:
(⋃
i∈IXi
)′
=⋂
i∈IX ′i
(⋂
i∈IXi
)′
=⋃
i∈IX ′i
2.6 Primzahlen
Definition: m teilt n (m|n), genau wenn ∃k ∈ N : m · k = n
Rechenregeln (m,n, k ∈ N)
(R1) m|n =⇒ m ≤ n(R2) m|n , n|k =⇒ m|k(R3) m|n , m|k =⇒ m|(in + jk) ∀i, j ∈ N
Definition: p ∈ N Primzahl , falls
p 6= 1 und ∀m ∈ N gilt die Aussage: m|p =⇒ m = 1 ∨m = p .
Falls q ∈ N , q 6= 1 keine Primzahl, dann heißt q
zusammengesetzte Zahl .
Satz 13 a) Jede Zahl m ∈ N , m 6= 1, ist entweder Primzahl oder ein Produkt von
Primzahlen (”Faktorisierung in Primzahlen“)
b) Die Faktorisierung ist bis auf die Reihenfolge der Faktoren eindeutig.
Satz 14 Die Menge der Primzahlen ist nicht endlich.
Bemerkung: pn < 22n
, wobei pn = n–te Primzahl.
- 16 -
Analysis, Arbeitsmaterialien Prof. Dr. H.-J. Reinhardt
2.7 Der Satz von Archimedes
Satz 15 (Satz von Archimedes) ∀a, b ∈ R , a > 0 , ∃n ∈ N : n · a > b.
Bemerkung: R ist ein archimedisch angeordneter Korper.
Folgerung 16 ∀a ∈ R , a > 0 , ∃n ∈ N :1
n< a.
Folgerung 17 ∀a, b ∈ R , a < b , ∃q ∈ Q : a < q < b.
Folgerung 18 ∀x ∈ R ∀ε > 0 ∃q ∈ Q : |x− q| < ε.
Lemma 19 (Charakterisierung eines Supremums) Sei A ⊂ R , A 6= ∅ , A nach
oben beschrankt, x ∈ R obere Schranke von A. Dann sind aquivalent:
(a) x = supa∈A a ,
(b) ∀ ε > 0 ∃a ∈ A : x− ε ≤ a.
Analog ist das Infimum einer nach unten beschrankten Menge charakterisiert durch
(a) y = infa∈A
a, (b) ∀ ε > 0 ∃ a ∈ A : a ≤ y + ε .
2.8 Die Quadratwurzel
Satz 20 ∀b > 0 ∃!x ∈ R : x > 0 , x2 = b.
Bezeichnung: x = b1/2 oder x =√b (Quadratwurzel von b).
Bemerkung: Fur x := −√b gilt auch x2 = b .
Satz 21 ∀a ∈ R, a > 0, ∀n ∈ N, n ≥ 2 ∃!x ∈ R, x > 0 mit xn = a.
Bezeichnung: x := a1/n(n-te Wurzel von a).
- 17 -
Prof. Dr. H.-J. Reinhardt Analysis, Arbeitsmaterialien
2.9 Permutationen und Binomialkoeffizienten
Frage: Wieviele Moglichkeiten gibt es, N Objekte auf r Platze zu verteilen?
Antwort: N · (N − 1) · · · (N + 1− r) =N !
(N − r)!
Frage: Wieviele Teilmengen von A , #A = N , mit r (≤ N) Elementen konnen aus-
gewahlt werden?
Antwort: in Satz 22.
Satz 22 Die Anzahl der Moglichkeiten, aus einer Menge von N Elementen Teilmengen
mit r Elementen auszuwahlen, ist gegeben durch
cN,r :=N !
(N − r)! r!
Definition: Binomialkoeffizienten
(n
k
)
:=n!
(n− k)! k! =n · (n− 1) · · · (n− k + 1)
k!
Satz 23
(n
0
)
=
(n
n
)
= 1 ,
(n
1
)
= n ,
(n
k
)
=
(n
n− k
)
,(n
k
)
=
(n− 1
k − 1
)
+
(n− 1
k
)
Ambesten be
rechnet mandie Binomialkoeffi
zienten mittels der Rekursion des vorstehenden Satzes, wo
bei man die Ergebnisse der einzelnenRekursionsschritte wie im folgenden Schema,
dem Pascalschen Dreieck , notiert:
- 18 -
Analysis, Arbeitsmaterialien Prof. Dr. H.-J. Reinhardt
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
1 8 28 56 70 56 28 8 1
1 9 36 84 126 126 84 36 9 1
1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1
1 11 55 165 330 462 462 330 165 55 11 1
(jede Zahl ist die Summe der beiden links und rechts daruberstehenden). Bekannt war die-
ses Dreieck schon den Arabern im 13. Jahrhundert, weiter studiert haben es insbesonders
Stiefel (1544) und Pascal (1659).
Satz 24 (Binomischer Lehrsatz) Seien a, b ∈ R , n ∈ N. Es gilt
(a+ b)n =n∑
k=0
(n
k
)
an−kbk .
Folgerung 25 (Bernoullische Ungleichung)
(1 + a)n ≥ 1 + na ∀a > −1 .
Beispiele:
1. Wahle zufallig 4mal aus den Ziffern {0, . . . , 9} eine Ziffer aus. Wie groß ist die
(Laplace–) Wahrscheinlichkeit, lauter verschiedene Ziffern zu erhalten?
Definition: Die (Laplace–)Wahrscheinlichkeit durch einen”Zufallsmechanismus“
aus einer endlichen Menge X ein Element einer Teilmenge B , B ⊂ X, auszuwahlen,
ist definiert durch
PL(B) :=#B
#X.
- 19 -
Prof. Dr. H.-J. Reinhardt Analysis, Arbeitsmaterialien
Im Beispiel: A = {0, . . . , 9} , X = A×A×A×A,
B = {(w, x, y, z) ∈ X|w, x, y, z paarweise verschieden} .
Es gilt #X = 104 , #B = 10!/(10 − 4)! = 5040, also PL(B) = 0.504.
2. (ATP-WM) 2 Gruppen mit je 4 (Tennis–)Spielern.
Frage: Wieviele Spiele mussen pro Gruppe gespielt werden, damit jeder einmal gegen
jeden (seiner Gruppe) spielt?
Antwort:
(4
2
)
=4 · 31 · 2 = 6 .
3. Fur a = b = 1 folgt aus dem binomischen Lehrsatz
n∑
k=0
(n
k
)
= 2n .
Dies ist bekanntlich die Anzahl aller Teilmengen von {1, · · · , n}.
Definitionen: ( (R,+, ·) Korper der reellen Zahlen, aν ∈ R)
Summe
1∑
ν=1
aν := a1 ,
n+1∑
ν=1
aν :=
n∑
ν=1
aν + an+1 ,
n∑
ν=m
aν = 0 , falls n < m;
Produkt1∏
ν=1
aν := a1 ,n+1∏
ν=1
aν :=n∏
ν=1
aν · an+1 ,n∏
ν=m
aν = 1, falls n < m .
Rechenregeln (a1, . . . , am+n ∈ R, a ∈ R, b1, . . . , bm ∈ R)
(R1)
m∑
ν=1
aν +
n∑
ν=1
am+ν =
m+n∑
ν=1
aν
(R2) a ·n∑
ν=1
aν =
n∑
ν=1
a · aν
(R3)m∑
ν=1
aν +m∑
ν=1
bν =m∑
ν=1
(aν + bν)
(R4)
(n∑
ν=1
aν
)
·
m∑
µ=1
bµ
=
n∑
ν=1
m∑
µ=1
aν · bµ
=
m∑
µ=1
(n∑
ν=1
aν · bµ)
- 20 -
Analysis, Arbeitsmaterialien Prof. Dr. H.-J. Reinhardt
Fur das Produkt∏
gelten analoge Regeln:
(R5)m∏
ν=1
aν ·n∏
ν=1
am+ν =m+n∏
ν=1
aν ;
(R6)
m∏
ν=1
aν ·m∏
ν=1
bν =
m∏
ν=1
(aν · bν) ;
(R7) a ·(
m∏
ν=1
aν
)
=
m∏
ν=1
(a1/m · aν) , falls a > 0 ;
(R8)n∏
ν=m+1
aνaν−1
=anam
, falls m < n (”Teleskopprodukt“);
(R9)
n∑
ν=m+1
(aν − aν−1) = an − am , falls m < n (”Teleskopsumme“).
- 21 -
Prof. Dr. H.-J. Reinhardt Analysis, Arbeitsmaterialien
3 Der Korper der komplexen Zahlen
3.1 Einfuhrung
Da der Korper der reellen Zahlen angeordnet ist, gibt es keine Losung a ∈ R von a2 = −1
(Quadrate mussen in angeordneten Korpern positiv sein!)
Die Losbarkeit von x2 = −1 ist aquivalent zu
x2 + 1 = 0 .
Allgemein interessiert man sich fur Nullstellen von Polynomen vom Hochstgrad n ≥ 2,
Pn :=
{
f : R −→ R
∣∣∣∣∣f(x) =
n∑
k=0
akxk , x ∈ R ,
mit a0, . . . , an ∈ R
}
.
Ziel: Erweiterung von R so, daß obige Gleichung losbar ist; Rechnen mit der imaginaren
Einheit i =√−1.
3.2 Der Korper C
Definitionen: (R2 := R× R)
Addition + : R2 ×R2 ∋ ((x, y), (u, v)) 7→ (x+ u, y + v) ∈ R2
Multiplikation · : R2 × R2 ∋ ((x, y), (u, v)) 7→ (xu− yv, xv + yu) ∈ R2
Satz 1 (R2,+, ·) ist ein Korper mit Nullelement 0 := (0, 0) und Einselement 1 := (1, 0).
Bemerkung: Das Inverse (u, v) von (x, y) 6= (0, 0) ist gegeben durch
u :=x
x2 + y2, v =
−yx2 + y2
Definition: C = Korper (R2,+, ·) ;
i := (0, 1) heißt imaginare Einheit
Folgerung 2
(a) C ist ein 2-dimensionaler Vektorraum uber dem Korper R mit Addition wie oben
und skalarer Multiplikation r · (x, y) := (rx, ry). Basis: 1 = (1, 0) , i = (0, 1).
- 22 -
Analysis, Arbeitsmaterialien Prof. Dr. H.-J. Reinhardt
(b) C ist ein 1-dimensionaler Vektorraum uber dem Korper C. Basis: 1 = (1, 0).
Schreibweise: z = (x, y) ∈ C , z = x+ iy
Definitionen:
x = Re(z) Realteil von z
y = Im(z) Imaginarteil von z
Schreibweisen:
1 statt (1, 0) bzw. 1 + i · 0 ,0 statt (0, 0) bzw. 0 + i · 0 ,x statt (x, 0) bzw. x+ i · 0 ,ix statt (0, x) bzw. 0 + ix .
Folgerung 3
∀a ∈ R ∃z ∈ C : z2 + a = 0 .
Bemerkung: ι : R ∋ x −→ x+ i · 0 ∈ C ist injektiver Homomorphismus, so dass R als
Unterkorper von C aufgefasst werden kann.
3.3 Der Absolutbetrag in C
Definitionen:
(a) Zu z = x+ iy ∈ C heißt z := x− iy die zu z konjugiert komplexe Zahl.
(b) Die Abbildung
| · | : C ∋ x+ iy 7→ (x2 + y2)1/2 ∈ R
heißt der Absolutbetrag (Betragsfunktion) in C.
Rechenregeln
(R1) z1 + z2 = z1 + z2 , z1z2 = z1 · z2 , z = z ;
(R2) Re(z) =1
2(z + z) , Im(z) =
−i2
(z − z) ;
(R3) |z| = |z| = (z · z)1/2 ;
(R4) Re(z) ≤ |z| , Im(z) ≤ |z| .
- 23 -
Prof. Dr. H.-J. Reinhardt Analysis, Arbeitsmaterialien
Folgerung 4 Fur |.| gilt
(a) |z| = 0⇐⇒ z = 0 (Definitheit)
(b) |zw| = |z| |w| ∀z,w ∈ C (Homogenitat)
(c) |z + w| ≤ |z|+ |w| ∀z,w ∈ C (Dreiecksungleichung)
Darstellung in komplexer Zahlenebene
(auch Gaußsche Zahlenebene genannt):
6Im
-Rex
y
-y
z
z
��
��>
ZZ
ZZ~
- 24 -
Analysis, Arbeitsmaterialien Prof. Dr. H.-J. Reinhardt
4 Zahlenfolgen
4.1 Folgen
Definition: Sei M nichtleere Menge. Eine Folge in M ist eine Abbildung f : N −→M .
Wir schreiben
a = (an)n∈N mit an := f(n) , n ∈ N .
Die Elemente an , n ∈ N, heißen Glieder der Folge.
Eine Folge (an)n∈N in M := R bzw. M := C heißt reelle bzw. komplexe Zahlenfolge.
Bis auf weiteres sei jede Folge eine reelle Zahlenfolge.
Beispiele:
1. an := n2 , n ∈ N : 1, 4, 9, 16, . . .
2. an := a , n ∈ N : a, a, a, . . .
konstante Folge
3. an := (−1)nn , n ∈ N : −1, 2,−3, 4, . . .
4. an := 1 + (−1)n , n ∈ N : 0, 2, 0, 2, . . .
5. an :=1
n, n ∈ N : 1,
1
2,1
3,1
4, . . .
6. a1 := 1 , an+1 :=1
1 + an, n ∈ N : 1,
1
2,2
3,3
5, . . .
7. a1 := a2 := 1 , an+1 := an + an−1 , n ∈ N : 1, 1, 2, 3, 5, . . .
Fibonacci–Zahlen
8. an :=1
(n− 1)(n − 2), n ∈ N , n ≥ 3 :
1
2,1
6,
1
12.
Diese Folge beginnt erst ab einem n0 ∈ N : an0 , an0+1, . . .
Definition: (an)n∈N heißt beschrankt
:⇐⇒ ∃b ∈ R ∀n ∈ N : |an| ≤ b .
- 25 -
Prof. Dr. H.-J. Reinhardt Analysis, Arbeitsmaterialien
4.2 Der Konvergenzbegriff
Definitionen: Sei (an)n∈N Folge.
(a) (an)n∈N heißt konvergent gegen a ∈ R
: ⇐⇒ ∀ε > 0 ∃N ∈ N ∀n ≥ N : |an − a| < ε.
a heißt dann Grenzwert (oder Limes) von (an)n∈N. Wir schreiben dann
a = limnan oder a = lim
n∈N
an oder an −→ a(n ∈ N) .
(b) (an)n∈N heißt konvergent, wenn (an)n∈N gegen ein a ∈ R konvergiert.
(c) (an)n∈N heißt Nullfolge
:⇐⇒ (an)n∈N konvergiert gegen 0.
Folgerung 1 Jede Folge besitzt hochstens einen Grenzwert.
Bemerkung: Konvergiert die Folge (an)n∈N gegen a, so kann man wegen Folgerung 1
sagen:
Fur jedes ε > 0 liegen nur endlich viele Glieder der Folge außerhalb von
(a− ε, a+ ε).
Oder: Fur jedes ε > 0 liegen fast alle an in (a− ε, a+ ε).
Folgerung 2 Ist die Folge (an)n∈N konvergent, so ist (an)n∈N beschrankt.
Definition: Ist eine Folge (an)n∈N nicht konvergent, so sagen wir: (an)n∈N ist divergent.
Beispiele:
1. an := n2 , n ∈ N, ist divergent, da nicht beschrankt.
2. an := a , n ∈ N, ist konvergent gegen a.
3. an := 1 + (−1)n , n ∈ N, ist divergent, da |an − an+1| = 2 ∀n ∈ N.
4. an :=1
n, n ∈ N, ist Nullfolge.
5. an := an , n ∈ N, mit |a| < 1 ist Nullfolge.
- 26 -
Analysis, Arbeitsmaterialien Prof. Dr. H.-J. Reinhardt
4.3 Rechenregeln
Satz 3 Seien (an)n∈N , (bn)n∈N konvergente Folgen, a = limnan , b = lim
nbn, und λ ∈ R.
Es gilt:
(a) (anbn)n∈N ist konvergent, ab = limn
(anbn).
(b) (an + bn)n∈N ist konvergent, a+ b = limn
(an + bn).
(c) (λan)n∈N ist konvergent, λa = limn
(λan).
Bemerkung: Auch die Differenz konvergenter Folgen konvergiert.
Satz 4 Seien (an)n∈N , (bn)n∈N konvergente Folgen, a = limnan , b = lim
nbn. Sei b 6= 0.
Dann gilt:
(a) ∃N0 ∈ N ∀n ≥ N0 : bn 6= 0;
(b) (anb−1n )n≥N0 ist konvergent und
ab−1 = limn≥N0
anb−1n .
Beispiele:
1. Potenzsummen
n∑
k=1
kl , n ∈ N , l ∈ N0 fest, sind divergent.
2. an :=3n2 + 1
2n2 − n+ 1−→ 3
2(n ∈ N) .
3. an :=
(n
k
)
n−k −→ 1
k!(n ∈ N) , k ∈ N.
4. an :=
2n−1∏
i=n
(
1 +1
i
)
−→ 2 (n ∈ N) .
5. an := nkan , n ∈ N , k ∈ Z , a ∈ (−1, 1) : limnan = 0 .
Satz 5 Seien (an)n∈N , (bn)n∈N Folgen. Es gilt:
(a) Ist (an)n∈N eine Nullfolge und (bn)n∈N beschrankt, so ist auch (anbn)n∈N eine Null-
folge.
- 27 -
Prof. Dr. H.-J. Reinhardt Analysis, Arbeitsmaterialien
(b) Seien (an)n∈N , (bn)n∈N konvergent, und es gelte an ≤ bn ∀n ∈ N. Dann gilt limnan ≤
limnbn.
(c) Seien (an)n∈N , (bn)n∈N konvergent mit a := limnan = lim
nbn. Gilt fur eine Folge
(cn)n∈N, daß an ≤ cn ≤ bn ∀n ≥ N0, dann konvergiert auch (cn)n∈N und a = limncn
(”Sandwich–Theorem“).
Bemerkung zu (b): Wenn an < bn ∀n ∈ N, dann gilt auch (nur) limnan ≤ lim
nbn.
Beispiel:
6. Fibonacci–Zahlen
F1 := F2 = 1 , Fn+1 := Fn + Fn+1 .
Man beweist induktiv, daß
Fn =1√5
(τn − (−τ)−n
), n ∈ N , mit τ :=
1
2(1 +
√5) .
Daraus folgt
FnFn+1
=1
τ
1 + (−τ)−2n(−1)n
1− (−τ)−2n(−1)n−→ 1
τ= τ − 1 ≈ 0.618 .
Die Folge an = Fn/Fn+1, n ∈ N, erhalt man auch durch
a1 := 1, an+1 :=1
1 + an, n ∈ N .
Konvergiert diese Folge – was spater bewiesen wird – und gilt a := lim an 6= −1,
dann folgt a = 1/(1 + a) ⇐⇒ a =√
1− a, und fur die positive Wurzel erhalt man
a =1
2(√
5− 1) ≈ 0.618 (”goldener Schnitt“).
4.4 Konvergenzkriterien
Definitionen: Eine Zahlenfolge (an)n∈N heißt
(a) monoton wachsend, falls an ≤ an+1 ∀n ∈ N ;
(b) monoton fallend, falls an ≥ an+1 ∀n ∈ N ;
(c) streng monoton wachsend, falls an < an+1 ∀n ∈ N ;
(d) streng monoton fallend, falls an > an+1 ∀n ∈ N .
- 28 -
Analysis, Arbeitsmaterialien Prof. Dr. H.-J. Reinhardt
Beispiele:
1. an :=
(n
k
)
n−k , n ∈ N , ist streng monoton wachsend fur jedes k ∈ N.
2. an :=
(
1 +1
n
)n
, n ∈ N , ist streng monoton wachsend.
3. (endliche geometrische Reihe). Fur q 6= 1 sei an :=∑n
k=0 qk. Man zeigt induktiv:
an =1− qn+1
1− q .
Satz 6 Jede beschrankte, monoton wachsende (fallende) Folge ist konvergent.
Beispiel: an :=
(
1 +1
n
)n
ist monoton wachsend und beschrankt,
2 <
(
1 +1
n
)n
≤ 3 .
Damit ist (an)n∈N konvergent und fur den Limes gilt
2 ≤ limn
(
1 +1
n
)n
≤ 3 .
Definition: e := limn
(
1 +1
n
)n
heißt Eulersche Zahl.
Definition: Sei (an)n∈N eine Folge und (µk)k∈N eine streng monoton wachsende Folge
naturlicher Zahlen. Dann heißt die Folge (aµk)k∈N Teilfolge von (an)n∈N.
Folgerung 7 Sei (an)n∈N konvergent und (aµk)k∈N eine Teilfolge. Dann ist auch (aµk
)k∈N
konvergent und es gilt
limkaµk
= limnan .
Satz 8 (Satz von Bolzano–Weierstrass) Jede beschrankte Folge enthalt eine konver-
gente Teilfolge.
Definition: Eine Folge (an)n∈N heißt Cauchy–Folge, wenn gilt:
∀ε > 0 ∃N ∈ N ∀m,n ≥ N : |an − am| < ε.
- 29 -
Prof. Dr. H.-J. Reinhardt Analysis, Arbeitsmaterialien
Satz 9 Eine Folge (an)n∈N ist dann und nur dann konvergent, wenn sie Cauchy–Folge
ist.
Bemerkungen:
1. Jede Cauchy–Folge ist beschrankt.
2. Das Vollstandigkeitsaxiom (V) kann man ersetzen durch das Axiom: Jede Cauchy–
Folge konvergiert.
3. Die Aussage von Satz 9 heißt auch das Cauchysche Konvergenzkriterium.
Beispiel 1: (vgl. Beispiel 6 in 4.3)
Betrachte die induktiv definierte Folge
a1 := 1 , an+1 :=1
1 + an, n ∈ N .
(an)n∈N ist Cauchy–Folge.
Beispiel 2: an =
n∑
k=0
1
k, n ∈ N, ist keine Cauchy-Folge, also divergent.
4.5 Wurzelberechnung
Satz 10 Seien b > 0 , q ∈ N , q ≥ 2. Dann existiert genau ein x > 0 mit xq = b und fur
die induktiv definierte Folge
a1 > 0 mit aq1 ≥ b , an+1 :=
(
1− 1
q
)
an +1
q
b
aq−1n
gilt: x = limnan .
Schreibweise: x = q√b oder x = b1/q.
Bemerkung: Fur q = 2 lautet die Vorschrift:
a21 ≥ b , an+1 :=
1
2an +
1
2
b
an.
- 30 -
Analysis, Arbeitsmaterialien Prof. Dr. H.-J. Reinhardt
4.6 Haufungswerte
Definition: a ∈ R heißt Haufungswert der Folge (an)n∈N
:⇐⇒ ∀ε > 0 ∀N ∈ N ∃n ≥ N : |an − a| < ε .
Bemerkung:
1. a ∈ R ist Haufungswert von (an)n∈N, genau wenn fur jedes ε > 0 in (a − ε, a + ε)
unendlich viele Glieder an liegen.
2. Man beachte den Unterschied von 1. zu konvergenten Folgen (dort:”fast alle an in
(a− ε, a+ ε)“).
Satz 11 Sei (an)n∈N Folge und a ∈ R. Dann sind aquivalent:
(a) a ist Haufungswert von (an)n∈N.
(b) Es gibt eine konvergente Teilfolge (aµk)k∈N von (an)n∈N mit a = lim
kaµk
.
Folgerung 12 Jede beschrankte Folge besitzt einen Haufungswert.
Folgerung 13 Sei (an)n∈N konvergente Folge und a := limnan. Dann ist a der einzige
Haufungswert von (an)n∈N.
Beispiele:
1. an := (−1)n , n ∈ N , hat Haufungswerte 1 und -1 .
2. an :=
1 , n ungerade ,
n , n gerade .1 ist einziger Haufungswert von (an)n∈N, aber die Folge
(an)n∈N ist divergent.
Folgerung 14 Ist (an)n∈N eine beschrankte Folge, dann ist die Menge der Haufungswerte
von (an)n∈N nichtleer und beschrankt.
Definition: Sei (an)n∈N eine beschrankte Folge und H := {a ∈ R|a Haufungswert von
(an)n∈N}. Wir setzen:
limn
an := lim supn∈N
an := supa∈H
a Limes superior
limn
an := lim infn∈N
an := infa∈H
a Limes inferior
- 31 -
Prof. Dr. H.-J. Reinhardt Analysis, Arbeitsmaterialien
Folgerung 15 Sei (an)n∈N beschrankte Folge. Dann sind limnan und lim
nan Haufungs-
werte von (an)n∈N.
Folgerung 16 Sei (an)n∈N beschrankte Folge und H die Menge ihrer Haufungswerte.
Dann sind fur a ∈ R aquivalent:
(a) (an)n∈N konvergiert gegen a.
(b) H = {a}.
(c) a = limnan = lim
nan.
Folgerung 17 (s. Forster 1 [For01], Satz 9.4) Sei (an)n∈N beschrankte Folge.
a = limnan dann und nur dann, wenn
i) ∀ ε > 0∃N ∈ N ∀n ≥ N : an ≤ a+ ε
ii) ∀ ε > 0∀n ∈ N ∃m ≥ n : am ≥ a− ε
Analog: a = limnan dann und nur dann, wenn
i) ∀ ε > 0∃N ∈ N ∀n ≥ N : an ≥ a− ε
ii) ∀ ε > 0∀n ∈ N∃m ≥ n : am ≤ a+ ε
Wir geben noch folgende Charakterisierung von lim und lim an (vgl. Forster 1 [For01],
§9):Satz 18 (Charakterisierung von lim und lim)
Sei (an)n∈N beschrankte Folge, und
bn := inf{ak|k ≥ n}, n ∈ N ,
cn := sup{ak|k ≥ n}, n ∈ N .
Dann ist (bn)n∈N beschrankt und monoton wachsend bzw. (cn)n∈N beschrankt und mono-
ton fallend und
limnbn = lim
nan, lim
ncn = lim
nan .
- 32 -
Analysis, Arbeitsmaterialien Prof. Dr. H.-J. Reinhardt
4.7 Anmerkungen zu komplexen Zahlenfolgen
Konvergenz–Aussagen konnen analog auf komplexe Zahlenfolgen ubertragen werden, wenn
der Absolutbetrag in R durch den in C ersetzt wird. Wegen
|z| = (Re(z)2 + Im(z)2)1/2 , z ∈ C ,
konvergiert eine Folge (zn)n∈N in C gegen ein z ∈ C, genau wenn (Re(zn))n∈N gegen Re(z)
und (Im(zn))n∈N gegen Im(z) konvergieren. Aussagen, die sich auf die Anordnung in R
beziehen, sind in C nicht formulierbar.
- 33 -
Prof. Dr. H.-J. Reinhardt Analysis, Arbeitsmaterialien
5 Reihen
5.1 Konvergenz von Reihen
Wir nennen∑∞
k=1 ak eine Reihe und
(sn)n∈N , sn :=n∑
k=1
ak , n ∈ N ,
die Folge der zugehorigen Partialsummen.
Definition: Die Reihe∑∞
k=1 ak heißt konvergent genau dann, wenn die Folge (sn)n∈N
ihrer Partialsummen konvergiert; s = limnsn heißt Summe (oder Wert) der Reihe. Wir
schreiben
s :=
∞∑
k=1
ak .
Wenn∑∞
k=1 ak nicht konvergiert, dann heißt die Reihe divergent.
Beispiele:
1.
∞∑
k=1
1
k2ist konvergent, da die Folge der Partialsummen monoton wachsend und be-
schrankt ist.
2. Geometrische Reihe: Sei a ∈ R , |a| < 1.
sn =
n∑
k=0
ak =1− an+1
1− a , limnsn =
1
1− a =
∞∑
k=0
ak .
Fur |a| ≥ 1 ist
∞∑
k=0
ak divergent.
3. Die harmonische Reihe
∞∑
k=1
1
kist divergent.
Bemerkung:
1. Zu einer Folge (an)n∈N kann man durch b1 := a1 , bn := an−an−1 , n ≥ 2, eine Reihe∑∞
k=1 bk so konstruieren, so daß an =∑n
k=1 bk.
2. Fur den Grenzwert einer Folge spielen endliche viele Glieder keine Rolle; andert
man endlich viele Glieder von an, n ∈ N, so kann sich allerdings der Wert der Reihe
andern.
- 34 -
Analysis, Arbeitsmaterialien Prof. Dr. H.-J. Reinhardt
3. Analog zu Reihen konnen unendliche Produkte als Folgen von Partialsummen end-
licher Produkte definiert werden.
Rechenregeln Seien∑∞
k=1 ak ,∑∞
k=1 bk konvergent.
(R1)
∞∑
k=1
(ak ± bk) =
∞∑
k=1
ak ±∞∑
k=1
bk ;
(R2)∞∑
k=1
(λak) = λ∞∑
k=1
ak .
5.2 Konvergenzkriterien
Satz 1 (Cauchysches Konvergenzkriterium) Die folgenden Bedingungen sind aquivalent:
(a)∞∑
k=1
ak konvergiert;
(b) ∀ε > 0 ∃N ∈ N ∀n,m ≥ N , n ≥ m :
∣∣∣∣∣
n∑
k=m
ak
∣∣∣∣∣< ε .
Folgerung 2 Ist∑∞
n=1 an konvergent, so ist (an)n∈N eine Nullfolge.
Bemerkung: Die Umkehrung von Folgerung 2 gilt nicht (siehe harmonische Reihe)!
Satz 3 (Leibniz–Kriterium fur alternierende Reihen)
Sei (an) eine monoton fallende Nullfolge. Dann konvergiert∑∞
k=1(−1)kak, und es gilt
s2n+1 ≤ s ≤ s2n ,
wobei
sn :=
n∑
k=1
(−1)kak , s :=
∞∑
k=1
(−1)kak .
Beispiel:
1. Die alternierende harmonische Reihe
∞∑
k=1
(−1)k1
kist konvergent.
2. Die Reihe mit an := 1/k, falls n gerade bzw. an = 1/(2(k − 1)), falls n ungerade,
divergiert. Was ist im Hinblick auf das Leibniz-Kriterium nicht erfullt?
- 35 -
Prof. Dr. H.-J. Reinhardt Analysis, Arbeitsmaterialien
Definition: Eine Reihe∑∞
k=1 ak heißt absolut konvergent genau dann, wenn∑∞
k=1 |ak|konvergiert.
Folgerung 4 Jede absolut konvergent Reihe ist konvergent.
Satz 5 (Majoranten–Kriterium)
Seien (an)n∈N , (bn)n∈N Folgen mit |an| ≤ bn , n ∈ N. Ist∑∞
k=1 bk konvergent, so ist∑∞
k=1 ak absolut konvergent, und es gilt:
∞∑
k=1
ak ≤∞∑
k=1
|ak| ≤∞∑
k=1
bk .
Beispiele:
2.∞∑
k=1
1
k3ist (absolut) konvergent.
3.∞∑
k=1
1√k
ist divergent.
Satz 6 (Quotientenkriterium)
Fur die Reihe∑∞
k=1 ak gelte:
(a) ∃N ∈ N ∀n ≥ N : an 6= 0 ;
(b) ∃q ∈ [0, 1) ∀n ≥ N : |an+1| |an|−1 ≤ q .
Dann ist die Reihe∑∞
k=1 ak absolut konvergent.
Beispiele:
4.
∞∑
k=1
k2
2kist konvergent
(
q =8
9fur n ≥ 3
)
;
5.
∞∑
k=1
1
k2ist konvergent (s. Beispiel 1 in 5.1), das Quotientenkriterium ist hierfur jedoch
nicht anwendbar.
Satz 7 (Wurzelkriterium) Gilt
∃q ∈ [0, 1) ∃N ∈ N ∀n ≥ N : |an| ≤ qn ,
dann ist die Reihe∑∞
k=1 ak absolut konvergent.
- 36 -
Analysis, Arbeitsmaterialien Prof. Dr. H.-J. Reinhardt
Das Wurzelkriterium kann auch in folgender Weise formuliert werden.
Erganzung: Die Reihe konvergiert absolut, wenn lim supn→∞
n√
|an| < 1 gilt; die Reihe diver-
giert, wenn lim supn→∞
n√
|an| > 1 gilt; die Reihe kann sowohl divergent als auch konvergent
sein, wenn lim supn→∞
n√
|an| = 1 gilt. Eine analoge Aussage gilt fur das Quotientenkriterium.
Man hat folgende Fehlerabschatzungen:
Sei rN := s− sN =∑∞
k=N+1 bk
fur die konvergente Reihe∑∞
k=1 bk. Dann gilt fur
Leibniz–Kriterium: bn = (−1)nan , (an)n∈N monoton fallende Nullfolge,
|rN | ≤ |bN+1| ≤ aN+1 ;
Quotienten–Kriterium: |bn+1| |bn|−1 ≤ q ∀n ≥ 1 , q ∈ [0, 1),
|rN | ≤ |bN+1| ·1
1− q ;
Wurzel–Kriterium: |bn| ≤ qn , n ≥ 1 , q ∈ [0, 1),
|rN | ≤ qN+1 1
1− q .
Bemerkung: Diese (a–priori) Abschatzungen konnen benutzt werden, um die Anzahl
der zu berechnenden Summanden zu bestimmen, mit der eine gewunschte Genauigkeit
(sicher) erreicht wird.
Beispiele:
6.
∞∑
k=1
(−1)k√k
ist konvergent (nach Leibniz–Kriterium).
Die Genauigkeitsforderung |rN | ≤ ε mit ε = 10−5 ist erfullt, wenn
|rN | ≤1√N + 1
≤ ε , d. h. N > 1010 .
7.∞∑
k=1
k2
2kist konvergent
(
nach dem Quotientenkriterium, q =8
9
)
; Fehlerabschatzung:
|rN | ≤(N + 1)2
2N+1· 9 .
- 37 -
Prof. Dr. H.-J. Reinhardt Analysis, Arbeitsmaterialien
5.3 Die Exponentialfunktion
Satz 8 Fur jedes a ∈ R ist die Reihe
∞∑
k=0
1
k!ak absolut konvergent.
Definition: Exponentialfunktion
exp : R ∋ a 7→
1 , falls a = 0 ,∞∑
k=0
ak
k!, falls a 6= 0 .
Folgerung 9
e = lim
(
1 +1
n
)n
=
∞∑
k=0
1
k!= exp(1) .
Folgerung 10∣∣∣∣∣exp(a)−
N∑
k=0
ak
k!
∣∣∣∣∣≤ 2|a|N+1
(N + 1)!fur |a| ≤ N + 1
2.
5.4 Umordnung von Reihen, das Cauchy–Produkt
Beispiel: Die Reihe∞∑
k=1
(−1)k+1
kist konvergent (nach dem Leibniz–Kriterium), aber
die folgende”Umordnung“
1− 1
2+
1
3− 1
4+
(1
5+
1
7
)
− 1
6+
(1
9+
1
11+
1
13+
1
15
)
− 1
8+ · · ·
konvergiert nicht. Es ist namlich
1
2n + 1+
1
2n + 3+ · · · + 1
2n+1 − 1≥ 2n−1 1
2n+1=
1
4∀n ≥ 2 .
Fur die umgeordnete Reihe lassen sich die Summanden wie folgt zusammenfassen und
abschatzen:
1
2n + 1+
1
2n + 3+ · · · + 1
2n+1 − 1− 1
2n+ 2≥ 1
4− 1
2n+ 2≥ 1
5, n ≥ 9 ,
da1
4− 1
5=
1
20≥ 1
2n+ 2(⇐⇒ n+ 1 ≥ 10) fur n ≥ 9 gilt.
Definition: Sei τ : N −→ N eine Bijektion. Dann heißt∑∞
k=1 aτ(k) eine Umordnung von∑∞
k=1 ak.
Definitionen: Eine konvergente Reihe heißt unbedingt konvergent, wenn sie bei einer
beliebigen Umordnung konvergent bleibt. Andernfalls heißen konvergente Reihen bedingt
konvergent.
- 38 -
Analysis, Arbeitsmaterialien Prof. Dr. H.-J. Reinhardt
Satz 11 (Umordnungssatz) Sei∑∞
k=1 ak absolut konvergent und τ : N −→ N eine Bijek-
tion. Dann ist auch die Umordnung∑∞
k=1 aτ(k) konvergent, und es gilt
∞∑
k=1
aτ(k) =
∞∑
k=1
ak .
Bemerkung: Der letzte Satz gilt ohne die absolute Konvergenz nicht(
Gegenbeispiel:
∞∑
k=1
(−1)k+1
k
)
.
Definition: Seien∑∞
k=1 ak ,∑∞
k=1 bk Reihen. Die Reihe∑∞
k=1 ck mit
ck :=k∑
m=1
ak−m+1 bm , n ∈ N ,
heißt das Cauchy–Produkt der Reihen∑
k ak ,∑
k bk.
Satz 12 Das Cauchy–Produkt∑∞
k=1 ck der absolut konvergenten Reihen∑∞
k=1 ak ,∑∞
k=1 bk
ist absolut konvergent, und es gilt
∞∑
k=1
ck =
( ∞∑
k=1
ak
)( ∞∑
k=1
bk
)
.
Bemerkungen:
1. Fur die Konvergenz eines Cauchy–Produkts reicht es aus, daß eine der beiden betei-
ligten Reihen absolut konvergiert.
2. Konvergieren∑∞
k=1 ak ,∑∞
k=1 bk und ihr Cauchy–Produkt∑∞
k=1 ck, so gilt
∞∑
k=1
ck =
( ∞∑
k=1
ak
)( ∞∑
k=1
bk
)
.
Als Anwendung von Satz 12 erhalt man
Folgerung 13 (Funktionalgleichung der Exponentialfunktion)
Fur alle a, b ∈ R gilt:
exp(a+ b) = exp(a) exp(b) .
Folgerung 14 Es gilt
(a) exp(a) > 0 ∀a ∈ R ;
(b) exp(−a) = exp(a)−1 ∀a ∈ R;
(c) exp(n) = en ∀n ∈ N .
- 39 -
Prof. Dr. H.-J. Reinhardt Analysis, Arbeitsmaterialien
5.5 Die g–adische Entwicklung
Lemma 15 Sei g ∈ N , g ≥ 2. Dann konvergiert eine Reihe der Form
∞∑
k=1
akg−k mit ak ∈ {0, . . . , g − 1} .
Definition: Sei g ∈ N , g ≥ 2. Die Elemente {0, . . . , g− 1} heißen g–adische Ziffern zur
Basis g, und
gm∞∑
k=1
ak g−k , ak ∈ {0, . . . , g − 1} ,
heißt g–adische Entwicklung von x ∈ R, falls
x = gm∞∑
k=1
ak g−k mit a1 6= 0 , m ∈ Z
und
∀N ∈ N ∃n ≥ N : an 6= g − 1 .
Bemerkung: Ein Dezimalbruch 0, z1z2z3 · · · stellt die Zahl
z110
+z2102
+z3103
+ · · ·
dar, zi ∈ {0, . . . , 9}, und ist im obigen Sinne eine 10–adische Entwicklung (mit m =
0 , z1 6= 0)
Satz 16 Sei g ∈ N , g ≥ 2. Jedes x ∈ R , x > 0, besitzt genau eine g–adische Entwicklung.
Bezeichnungen: Zahlen ±x ∈ R der Form
x = gmN∑
k=1
ak g−k , |m| ≤M , ak ∈ {0, . . . , g − 1} , a1 6= 0
heißen abbrechende systematische Bruche zur Basis g oder Gleitkommazahlen zur Basis g
mit Mantissenstellenzahl (”Genauigkeit“) N und Exponentenbereich {m ∈ Z| |m| ≤ M}.
Wir schreiben auch
x = ±0.a1a2 · · · aN × gm oder x = ±|a1 · · · aN |m(|m| ≤M ; ai ∈ {0, . . . , g − 1} ; a1 6= 0)
- 40 -
Analysis, Arbeitsmaterialien Prof. Dr. H.-J. Reinhardt
Fur den Beweis von Satz 16 benotigt man folgende
Definition: Gaußsche Klammer
[x] := max{k ∈ Z|k ≤ x}
Bezeichnung auch ent(x) = [x] fur”entier“.
Beispiele:
Basis g = 10 : Dezimalzahlen
g = 2 : Dualzahlen
g = 8 : Oktalzahlen
g = 16 : Hexadezimalzahlen
- 41 -
Prof. Dr. H.-J. Reinhardt Analysis, Arbeitsmaterialien
6 Stetigkeit
6.1 Reelle Funktionen, Grenzwerte
Sei D,W ⊂ R , f : D −→ W Abbildung (oder Funktion)
D = Definitionsbereich, W = Wertebereich.
Bezeichnungen: Unendliche Intervalle
[a,∞) := {x ∈ R|x ≥ a} ,
(a,∞) := {x ∈ R|x > a} ,
(−∞, a] := {x ∈ R|x ≤ a} ,
(−∞, a) := {x ∈ R|x < a} .
Beispiele:
1. Konstante Funktion f : R ∋ x 7→ a ∈ R ;
2. Identische Funktion id : R ∋ x 7→ x ∈ R ;
3. Absolutbetrag abs : R ∋ x 7→ |x| ∈ R ;
4. Gaußsche Klammer [x] := max{k ∈ Z|k ≤ x} ,
5. Signum–Funktion sign : R ∋ x 7→
1 , x > 0 ,
0 , x = 0 ,
−1 , x < 0 ;
6. Exponentialfunktion exp : R ∋ x −→ exp(x) ∈ R .
Algebraische Verknupfungen von Funktionen (f, g : D −→ R , r ∈ R) :
f + g : D ∋ x 7→ f(x) + g(x) ∈ R ;
r · f : D ∋ x 7→ rf(x) ∈ R ;
f · g : D ∋ x 7→ f(x) · g(x) ∈ R ;
f
g: D′ ∋ x 7→ f(x)
g(x)∈ R , wobei D′ := {x ∈ D|g(x) 6= 0}
Komposition oder Hintereinanderausfuhrung (f : D −→ R , g : D′ −→ R ; f(D) ⊂ D′)
g ◦ f : D ∋ x 7→ g(f(x)) ∈ R .
- 42 -
Analysis, Arbeitsmaterialien Prof. Dr. H.-J. Reinhardt
Beispiele:
7. (vgl. Bspl. 3) abs = g ◦ f mit
f : R ∋ x 7→ x2 ∈ R , g : [0,∞) ∋ x 7→ √x ∈ R
(wobei√x = 0 fur x = 0 gesetzt wird).
8. Polynom vom Grad n :
p : R ∋ x 7→n∑
i=0
aixi ∈ R
wobei a0, . . . , an ∈ R , an 6= 0.
Definition: Sei f : D −→ R , a ∈ D. c ∈ R heißt Grenzwert von f in a genau dann,
wenn fur jede Folge (xn)n∈N mit
xn ∈ D ∀n ∈ N , a = limnxn
gilt:
c = limnf(xn) .
Wir schreiben: c = limx→a
f(x) .
Satz 1 Sei f : D −→ R , a ∈ D , c ∈ R. Dann sind aquivalent:
(a) c = limx→a
f(x)
(b) ∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ D : |x− a| < δ =⇒ |f(x)− c| < ε .
Beispiele:
9. (vgl. Bspl. 3) limx→0
abs(x) = 0 ;
10. (vgl. Bspl. 6) limx→0
exp(x) = 1 ;
11. f : R ∋ x 7→
0 , x < 0 ,
1 , x ≥ 0 ;limx→0
f(x) existiert nicht.
- 43 -
Prof. Dr. H.-J. Reinhardt Analysis, Arbeitsmaterialien
6.2 Stetige Funktionen
Definitionen: Sei f : D −→ R .
1. f heißt stetig in a ∈ D:⇐⇒ lim
x→af(x) existiert und f(a) = lim
x→af(x) .
2. f heißt stetig (in D)
:⇐⇒ f stetig in jedem a ∈ D.
Satz 2 Sei f : D −→ R , a ∈ D. Es sind aquivalent:
(a) f ist stetig in a ∈ D .
(b) Ist (xn)n∈N eine Folge mit xn ∈ D , n ∈ N , limnxn = a, dann gilt
limnf(xn) existiert, lim
nf(xn) = f(a) .
(c) ∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ D : |x− a| < δ =⇒ |f(x)− f(a)| < ε .
Beispiele:
1. Die konstante und identische Funktion ist stetig in R .
2. Die Betragsfunktion abs ist stetig in R.
3. Die Exponentialfunktion exp ist stetig.
Satz 3 Sei f : D −→ R stetig in a ∈ D und f(a) > 0. Dann gilt:
∃δ > 0 ∀x ∈ (a− δ, a + δ) ∩D : f(x) > 0 .
Bemerkung: Funktionen, die an diskreten Stellen erklart sind, z. B. f(n) = an , n ∈ N,
sind immer stetig.
- 44 -
Analysis, Arbeitsmaterialien Prof. Dr. H.-J. Reinhardt
6.3 Rechenregeln
Satz 4 Seien f, g : D −→ R , r ∈ R, und seien f, g stetig in a ∈ D. Dann gilt
(a) f + g , f · g , r · f sind stetig in a.
(b) Ist g(a) 6= 0, so ist auchf
gstetig in a .
Satz 5 Seien f : D −→ R , g : D′ −→ R Funktionen mit f(D) ⊂ D′. Ist f stetig in a ∈ Dund ist g stetig in b := f(a), so ist g ◦ f stetig in a.
Definitionen: Sei f : D −→ R Funktion.
1. f heißt streng monoton wachsend bzw. monoton wachsend
:⇐⇒ ∀x, y ∈ D : x < y =⇒ f(x) < f(y) bzw. f(x) ≤ f(y).
2. f heißt streng monoton fallend bzw. monoton fallend
:⇐⇒ ∀x, y ∈ D : x < y =⇒ f(x) > f(y) bzw. f(x) ≥ f(y).
Satz 6 Sei f : [a, b] −→ R stetig, streng mononton wachsend, und es gelte [A,B] =
f([a, b]) mit A < B. Dann existiert f−1 : [A,B] −→ R, und es gilt
f−1 ist stetig und streng monoton wachsend.
- 45 -
Prof. Dr. H.-J. Reinhardt Analysis, Arbeitsmaterialien
7 Einige Satze uber stetige Funktionen
Sei [a, b] ein Intervall mit a < b.
7.1 Der Zwischenwertsatz
Satz 1 Sei f : [a, b] −→ R stetig und es gelte:
f(a)f(b) < 0 .
Dann gibt es ein z ∈ (a, b) mit f(z) = 0 .
Bemerkungen:
1. Die Zahl z in Satz 1 heißt Nullstelle von f . Uber die Eindeutigkeit einer Nullstelle
wird in Satz 1 nichts ausgesagt.
2. Das Konstruktionsprinzip fur die Folgen (an)n∈N , (bn)n∈N im Beweis von Satz 1 —
a ≤ an ≤ an+1 ≤ · · · ≤ z ≤ · · · ≤ bn+1 ≤ bn ≤ b — wird als Intervallschachtelungs-
verfahren2 oder Bisektionsverfahren bezeichnet. Als Abbruchkriterium kann man
verwenden
maxx=an,bn
|x− z| ≤ bn − an ≤ 2−n+1(b− a) , n ∈ N
(a–posteriori und a–priori Kriterium) .
Beispiele:
1. Das Polynom p(x) := x17 + 2x+ 1 besitzt eine Nullstelle in (−1, 0) .
2. Die Gleichung exp(−x) = x besitzt eine Losung z in [0, 1], d. h. eine Nullstelle von
exp(−x)− x .
Satz 2 (Zwischenwertsatz). Sei g : [a, b] −→ R stetig, sei c ∈ R eine Zahl zwischen g(a)
und g(b). Dann gibt es ein z ∈ [a, b] mit g(z) = c.
2Intervallschachtelungsverfahren: a1 = a, b1 = b fur n = 1 (o.E. f(a) < 0, f(b) > 0); fur n + 1 def.
(induktiv) c := (an + bn)/2 und an+1 := an, bn+1 := c, falls f(c) ≥ 0; bzw. an+1 := c, bn+1 := bn, falls
f(c) < 0
- 46 -
Analysis, Arbeitsmaterialien Prof. Dr. H.-J. Reinhardt
Folgerung 3 Sei f : [a, b] −→ R stetig und streng monoton wachsend. Dann gilt f([a, b]) =
[f(a), f(b)] .
Beispiel:
3.
g(x) :=
x , x ∈ Q ∩ [0, 1] ,
1− x , x ∈ [0, 1] \Q .
Diese Funktion ist nur stetig in a =1
2, nimmt aber jeden Wert zwischen 0 und 1 an. Damit
gilt die Umkehrung der Aussage des Zwischenwertsatzes nicht, d. h. eine Funktion, bei der
jeder Wert zwischen g(a) und g(b) als Bild unter g auftritt, ist nicht notwendig stetig.
Definition: Stetige Fortsetzung
Sei f : D −→ R stetig und D ⊂ E. Dann heißt eine stetige Funktion g : E −→ R stetige
Fortsetzung von f , falls
g |D = f
Beispiele:
4. f(x) = exp(−1/x), x > 0,
g(x) =
exp(−1/x) , x > 0 ,
0 , x ≤ 0 .
5. g(x) = x, x ∈ [0, 1],
ist stetige Fortsetzung von
f(x) = x, x ∈ Q ∩ [0, 1] .
Bemerkung: Eine stetige Funktion f : [a, b] −→ R ist eindeutig bestimmt durch Werte
auf Q ∩ [a, b] (i.a. durch Werte auf einer dichten Teilmenge)
Definition: Q ⊂ J dicht in J ,
wenn ∀x ∈ J ∀ ε > 0 ∃ q ∈ Q : |x− q| < ε.
- 47 -
Prof. Dr. H.-J. Reinhardt Analysis, Arbeitsmaterialien
7.2 Existenz von Extrema
Gilt x := supa∈A
a ∈ A, dann schreiben wir
x = maxa∈A
a = maxA (x : Maximum von A)
Entsprechend:
y = mina∈A
a = minA (y : Minimum von A)
falls y := infa∈A a ∈ A.
Definition: f : D −→ R heißt beschrankt, wenn f(D) beschrankt ist.
Satz 4 Ist f : [a, b] −→ R stetig, so ist f beschrankt, und es existieren z, z ∈ [a, b] mit
f(z) = supx∈[a,b]
f(x) , f(z) = infx∈[a,b]
f(x) ,
d. h.
f(z) = max f([a, b]) , f(z) = min f([a, b])
Beispiele:
1. f : (0, 1] ∋ x 7→ 1
x∈ R ist stetig, nimmt jedoch sein Supremum nicht an.
2. f : [0, 1] ∋ x 7→
x , x ∈ [0, 1)
0 , x = 1
ist nicht stetig bei x = 1 und nimmt sein Supremum nicht an.
7.3 Gleichmaßig stetige Funktionen
Definition: Eine Funktion f : D −→ R heißt gleichmaßig stetig (in D), wenn gilt
∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x, x′ ∈ D : |x− x′| < δ =⇒ |f(x)− f(x′)| < ε .
Bemerkung: Eine gleichmaßig stetige Funktion ist offenbar stetig, die Umkehrung gilt
jedoch nicht, wie das Beispiel f(x) =1
x, x ∈ (0, 1], zeigt. Fur abgeschlossene Intervalle
[a, b] als Definitionsbereich gilt auch die Umkehrung (s. Satz 5).
Satz 5 Ist f : [a, b] −→ R stetig, dann ist f gleichmaßig stetig.
- 48 -
Analysis, Arbeitsmaterialien Prof. Dr. H.-J. Reinhardt
7.4 Bemerkungen zur Exponentialfunktion und zu Hyperbelfunktionen
Die Exponentialfunktion exp ist bereits durch ihre Werte in Q festgelgt, was die folgende
Schreibweise nahelegt:
ex := exp(x) , x ∈ R .
Rechenregel
ex+y = exey , x, y ∈ R .
Definitionen: ((an)n∈N Folge)
(a) limnan =∞ :⇐⇒ ∀K > 0 ∃N ∈ N ∀n ≥ N : an > K .
(b) limnan = −∞ :⇐⇒ ∀K < 0 ∃N ∈ N ∀n ≥ N : an < K .
Definitionen: Uneigentliche Grenzwerte (f : D −→ R , D nicht nach oben beschrankt)
(c) c = limx→∞
f(x) :⇐⇒ ∀xn ∈ D , n ∈ N , limxn =∞ gilt c = limnf(xn)
(d) Entsprechend: c = limx→−∞
f(x) .
Bemerkung: c = ±∞ ist zugelassen!
Satz 6 Es gelten die folgenden Aussagen:
(a) Die Funktion R ∋ x 7→ ex ∈ R ist streng monoton wachsend.
(b) limx→∞
exx−q = ∞ ∀q ∈ N , d. h. die Exponentialfunktion wachst starker als jede
Potenz.
(c) 1 + x ≤ ex ≤ 1
1− x ∀x ∈ (−1, 1) .
(d) limx→0x 6=0
x
ex − 1= 1 .
(e) ex = limn
(
1 +x
n
)n, x ∈ R .
(f) e 6∈ Q .
- 49 -
Prof. Dr. H.-J. Reinhardt Analysis, Arbeitsmaterialien
Definitionen: Hyperbelfunktionen
coshx :=1
2(ex + e−x) , x ∈ R (Cosinus hyperbolicus)
sinhx :=1
2(ex − e−x) , x ∈ R (Sinus hyperbolicus)
tanhx :=sinhx
cosh x, x ∈ R (Tangens hyperbolicus)
coth x :=cosh x
sinhx, x ∈ R (Cotangens hyperbolicus)
Satz 7 Es gelten die folgenden Beziehungen:
(a) cosh x+ sinhx = ex , x ∈ R ;
(b) cosh x− sinhx = e−x , x ∈ R ;
(c) (cosh x)2 − (sinhx)2 = 1 , x ∈ R ;
(d) cosh(s + t) = cosh s cosh t+ sinh s sinh t , s, t ∈ R ,
(e) sinh(s + t) = sinh s cosh t+ cosh s sinh t , s, t ∈ R .
Bemerkung: Der Name”Hyperbelfunktionen“ stammt daher, daß sich der rechte Ast
der gleichseitigen Hyperbel {(x, y) ∈ R2|x2 − y2 = 1} mit cosh und sinh”parametrisieren“
laßt, d. h. (cosh t, sinh t) ∈ R2 , t ∈ (−∞,∞), beschreibt den Hyperbelast (s. Bild, S. 159,
Abschnitt 7.18, in Walter 1 [?] (1992)).
7.5 Die Logarithmusfunktion
Lemma 8 Die Funktion R ∋ x 7→ ex ∈ (0,∞) ist streng monoton wachsend, stetig und
surjektiv.
Definition: Die Umkehrfunktion (Existenz nach Lemma 8 und Satz 6 in Kap. 6)
ln : (0,∞) −→ R
der Exponentialfunktion heißt naturlicher Logarithmus.
- 50 -
Analysis, Arbeitsmaterialien Prof. Dr. H.-J. Reinhardt
Folgerung 9
(a) ln ist stetig und streng monoton wachsend.
(b) limx→0
ln x = −∞ , limx→∞
ln x =∞ .
(c) ln(x · y) = ln x+ ln y , x, y ∈ (0,∞) .
(d) ln 1x = −ln x, x > 0.
Beispiel: Zerfall einer radioaktiven Substanz
u(t) = u(0)e−αt ;
Halbwertzeit: T = ln 2α .
Schreibweise bzw. Definition: ax := ex ln a , x ∈ R , a > 0 .
Folgerung 10
(a) ax+y = axay , x, y ∈ R; a > 0 .
(b) (ax)y = axy , x, y ∈ R; a > 0 .
(c) axbx = (ab)x , x ∈ R; a, b > 0 .
Bezeichnung: Logarithmusfunktion zur Basis a
loga : Umkehrfunktion von R ∋ x 7→ ax ∈ (0,∞) .
Bemerkung: ln = loge .
Bezeichnung: log := log10
Funktionalgleichung fur den Logarithmus:
loga xy = loga x+ loga y , x, y ∈ (0,∞) ; a > 0 .
Bemerkung: Die entsprechende Aussage zu Satz 6 (e) lautet
ln x = limnn(
n√x− 1
), x > 0 .
Daraus erhalt man eine Rechenvorschrift fur ln x :
ln x = limk
2k(
2k√x− 1
)
,
- 51 -
Prof. Dr. H.-J. Reinhardt Analysis, Arbeitsmaterialien
8 Differenzierbarkeit
8.1 Motivation und Definition
Die Sehne durch zwei Punkte (x0, f(x0)) , (x1, f(x1)) des Graphen einer Funktion f :
D → R wird beschrieben durch die Gleichung
y − y0
x− x0= s ,
wobei y0 = f(x0) , y1 = f(x1) , s :=y1 − y0
x1 − x0= Steigung. Existiert
limD∋x 7→x0
x 6=x0
f(x)− f(x0)
x− x0=: c ,
so nennt man diesen Grenzwert die Ableitung von f in x0. Die Gerade
y = f(x0) + c(x− x0)
heißt Tangente an den Graphen von f in (x0, f(x0)).
Definition: Sei D ⊂ R . a ∈ R heißt Haufungspunkt von D falls gilt:
∀ε > 0 ∃x ∈ D : x 6= a , |x− a| < ε .
Folgerung 1 Sei D ⊂ R , a ∈ R. Dann sind aquivalent:
(a) a ist Haufungspunkt von D.
(b) Es gibt eine Folge (xn)n∈N mit
i. xn ∈ D , xn 6= a ∀n ∈ N;
ii. a = limnxn .
- 52 -
Analysis, Arbeitsmaterialien Prof. Dr. H.-J. Reinhardt
Beispiele:
1. D := [c, d) , c < d . Haufungspunkte von D : [c, d].
2. D := {2} ∪ [0, 1) . Haufungspunkte von D : [0, 1].
Definition: Sei f : D −→ R , a ∈ D Haufungspunkt von D.
f differenzierbar in a :⇐⇒ ∃c ∈ R ∀(xn)n∈N : xn ∈ D, xn 6= a ∀n ∈ N ,
limnxn = a , gilt: lim
n
f(xn)− f(a)
xn − a= c .
(Bez.: c = f ′(a) =df
dx(a) Ableitung (oder Differentialquotient)
von f in a.)
Definition: f : D −→ R heißt differenzierbar genau dann, wenn gilt:
(a) Jedes a ∈ D ist Haufungspunkt von D.
(b) f ist in jedem a ∈ D differenzierbar.
Beispiele:
3. f : R ∋ x 7→ w ∈ R (w ∈ R Konstante) ist differenzierbar und f ′(a) = 0 ∀ ↑ a ∈ R .
4. f : R ∋ x 7→ |x| ∈ R ist in a = 0
nicht differenzierbar, denn
limn
f(
1n
)− f(0)
1n − 0
= 1 und
limn
f(− 1n
)− f(0)
− 1n − 0
= −1 .
6
-@@
@@
��
��
|x|x
5. D := {2} ∪ (0, 1) ; f : D −→ R, x 7→ |x| ist differenzierbar in jedem a ∈ (0, 1), aber
nicht in a = 2.
Satz 2 Sei f : D −→ R , a ∈ D Haufungspunkt von D. Dann sind fur c ∈ R aquivalent:
(a) f ist differenzierbar in a, und es gilt f ′(a) = c.
- 53 -
Prof. Dr. H.-J. Reinhardt Analysis, Arbeitsmaterialien
(b) Es gibt eine Funktion ϕ : D −→ R mit
i. f(x) = f(a) + c(x− a) + ϕ(x) ∀x ∈ D;
ii. ϕ ist differenzierbar in a, und es gilt: ϕ′(a) = 0.
Bemerkung: Eine in a ∈ D differenzierbare Funktion f : D −→ R ist lokal approxi-
mierbar durch eine Funktion der Form
t(x) := c1x+ c2 , x ∈ R (c1, c2 ∈ R) .
Folgerung 3 Ist f : D −→ R in a ∈ D differenzierbar, so ist f stetig in a.
Bemerkung: Das Beispiel f(x) = |x| zeigt, daß die Umkehrung von Folgerung 3 nicht
gilt.
Satz 4 Sei f : D −→ R , a ∈ D Haufungspunkt von D. Dann sind fur c ∈ R aquivalent:
(a) f ist differenzierbar in a, und es gilt: f ′(a) = c.
(b) ∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ D \ {a} :
|x− a| < δ =⇒∣∣∣∣
f(x)− f(a)
x− a − c∣∣∣∣< ε .
8.2 Rechenregeln
Satz 5 Seien f, g : D −→ R bei a ∈ D differenzierbar. Dann gilt:
(a) f + g ist differenzierbar in a, und es gilt:
(f + g)′(a) = f ′(a) + g′(a) .
(b) f · g ist differenzierbar in a, und es gilt:
(f · g)′(a) = f ′(a)g(a) + f(a) · g′(a) .
(c) Ist g(a) 6= 0, so ist a Haufungspunkt von D′ := {x ∈ D|g(x) 6= 0}, und es gilt:
f
g: D′ −→ R ist differenzierbar in a und
(f
g
)′(a) =
f ′(a)g(a) − f(a)g′(a)g(a)2
- 54 -
Analysis, Arbeitsmaterialien Prof. Dr. H.-J. Reinhardt
Beispiele:
1. Fur die identische Abbildung gilt id′(a) = 1 ∀a ∈ R.
2. Fur die Monome mn : R \ {0} ∋ x 7→ xn ∈ R (n ∈ Z) , gilt
m′n(a) = n an−1 , a ∈ R \ {0} .
3. Fur ein Polynom
p(x) =∑n
k=0 ckxk hat man deshalb
p′(a) =
n∑
k=0
k ckak−1 , a ∈ R .
Satz 6 (Kettenregel) Seien f : D −→ R , g : D′ −→ R , f(D) ⊂ D′, und f differenzierbar
in a ∈ D , g differenzierbar in b := f(a) ∈ D′. Dann ist g ◦ f differenzierbar in a , und
es gilt:
(g ◦ f)′(a) = g′(f(a))f ′(a) .
Satz 7 Sei f : [c, d] −→ R stetig, streng monoton wachsend, W := f([c, d]), und sei f
differenzierbar in a ∈ [c, d]. Es gelte f ′(a) 6= 0. Dann existiert f−1 : W −→ R , f−1 ist
differenzierbar in b := f(a), und es gilt:
(f−1
)′(b) =
1
f ′(a)=
1
f ′(f−1(b)).
Beispiele:
3. χ : (0,∞) ∋ y 7→ n√y ∈ (0,∞) , n ∈ N, ist Umkehrfunktion von ν : (0,∞) ∋ x 7→
xn ∈ (0,∞). Nach Satz 7: χ′(a) =1
na
1n−1.
4. fq : (0,∞) ∋ x 7→ xq ∈ (0,∞) , q ∈ Q .
f ′q(a) = q aq−1 , a ∈ (0,∞) .
Bemerkung: (zu rechts- und linksseitigen Ableitungen)
Sei f : D −→ R, wobei D = [α, β] oder D = [α, β) oder D = (α, β). Dann ist f differen-
zierbar in a ∈ D und c = f ′(a) genau dann, wenn
c = limx→a,x 6=a
x∈D
f(x)− f(a)
x− a
(Begrundung: Jedes a ∈ D ist Haufungspunkt fur die genannten Intervalle).
- 55 -
Prof. Dr. H.-J. Reinhardt Analysis, Arbeitsmaterialien
8.3 Zur Exponentialfunktion
Satz 8 Es gilt:
(a) exp : R −→ R ist differenzierbar, und es gilt
exp′(a) = exp(a) ∀a ∈ R .
(b) ln : (0,∞) −→ R ist differenzierbar, und es gilt
ln′(a) =1
a∀a ∈ (0,∞) .
Folgerung 9
(a) Sei b > 0. Die Funktion fb : R ∋ x 7→ bx ∈ R ist differenzierbar und f ′b(a) =
baln(b) ∀a ∈ R.
(b) Sei a > 1 . loga : (0,∞) −→ R ist differenzierbar und
log′a(z) =1
z ln a∀z ∈ (0,∞) .
8.4 Zum Newton–Verfahren
Aufgabe: Sei f : [a, b] −→ R differenzierbar. Gesucht ist z ∈ [a, b] mit f(z) = 0.
Iterationsvorschrift des Newton-Verfahrens:
x0 ∈ [a, b] (= Startnaherung)
xn+1 := xn −f(xn)
f ′(xn), n ∈ N0
Beispiele:
1. (vgl. Abschnitt 4.5 Wurzelbestimmung)
f : R ∋ x 7→ x2 − b ∈ R (b > 0)
=⇒ x− f(x)
f ′(x)= x− x2 − b
2x=
1
2
(
x+b
x
)
Newton–Verfahren: xn+1 :=1
2
(
xn +b
xn
)
(vgl. Satz 4.10).
Konvergenz: ist quadratisch, d.h. |xn+1 − z| ≤ c|xn − z|2 .
- 56 -
Analysis, Arbeitsmaterialien Prof. Dr. H.-J. Reinhardt
2. f : R ∋ x 7→ x2 ∈ R , z = 0 Nullstelle; beachte f ′(z) = 0.
Newton–Verfahren: xn+1 :=1
2xn , x0 ∈ R
Konvergenz: (nur) linear |xn+1 − z| ≤1
2|xn − z|
- 57 -
Prof. Dr. H.-J. Reinhardt Analysis, Arbeitsmaterialien
9 Einige Satze uber differenzierbare Funktionen
9.1 Charakterisierung von Extrema
Definitionen: (f : D −→ R , z ∈ D)
(a) z heißt lokales Maximum (bzw. Minimum)
:⇐⇒ ∃ε > 0 ∀x ∈ D ∩ (z − ε, z + ε) : f(x) ≤ f(z)
(bzw. ∃ε > 0 ∀x ∈ D ∩ (z − ε, z + ε) : f(x) ≥ f(z)) .
(b) z heißt lokales Extremum
:⇐⇒ z lokales Maximum oder lokales Minimum.
(c) z heißt globales Maximum (bzw. Minimum)
:⇐⇒ ∀x ∈ D : f(x) ≤ f(z) (bzw. ∀x ∈ D : f(x) ≥ f(z)) .
Satz 1 Sei f : [a, b] −→ R , z ∈ (a, b). Ist z lokales Extremum und ist f differenzierbar in
z, so gilt f ′(z) = 0.
Bemerkung:
1. Nach Satz 7.4 und Folgerung 8.3 nimmt eine differenzierbare Funktion f : [a, b] −→ R
ihr (globales) Maximum und (globales) Minimum an. Liegt ein solches Extremum z
am Rand (z = a oder z = b), so gilt nicht notwendigerweise f ′(z) = 0.
2. Notwendig fur ein lokales Maximum in z ∈ [a, b] ist
f ′(z)(x − z) ≤ 0 ∀x ∈ [a, b] .
3. f ′(z) = 0 (s. Satz 1) ist notwendig, aber nicht hinreichend fur ein lokales Extremum
(Gegenbeispiel: f : [−1, 1] ∋ x 7→ x3).
9.2 Der Satz von Rolle, Mittelwertsatz
Satz 2 (Satz von Rolle)
Sei f : [a, b] −→ R stetig und differenzierbar in jedem x ∈ (a, b) ; a < b. Gilt dann
f(a) = f(b), so gibt es ein z ∈ (a, b) mit f ′(z) = 0.
- 58 -
Analysis, Arbeitsmaterialien Prof. Dr. H.-J. Reinhardt
Folgerung 3 (Mittelwertsatz der Differentialrechnung)
Sei f : [a, b] −→ R stetig und differenzierbar in jedem x ∈ (a, b) , a < b. Dann gibt es ein
z ∈ (a, b) mit
f(b)− f(a)
b− a = f ′(z) .
Folgerung 4 Sei f : [a, b] −→ R stetig und differenzierbar in jedem x ∈ (a, b) , a < b.
Dann gibt es ein ϑ ∈ (0, 1) mit
f(b) = f(a) + f ′(a+ ϑ(b− a))(b− a) .
Folgerung 5 Sei f : [a, b] −→ R stetig und differenzierbar in jedem x ∈ (a, b) ; a < b.
Weiter gebe es m, M ∈ R mit
m ≤ f ′(x) ≤M ∀x ∈ (a, b) .
Dann gilt fur beliebige x, y ∈ [a, b], x ≤ y :
m (y − x) ≤ f(y)− f(x) ≤M(y − x) .
Ist f ′(x) ≥ 0 (bzw. > 0) in (a, b), so ist f monoton (bzw. streng monoton) wachsend; ist
f ′(x) ≤ 0 (bzw. < 0), so ist f monoton (bzw. streng monoton) fallend.
Folgerung 6 (Erweiterter Mittelwertsatz)
Seien f, g : [a, b] −→ R stetig und differenzierbar in jedem x ∈ (a, b) ; a < b. Gilt g′(x) 6= 0
∀x ∈ (a, b), dann gibt es ein z ∈ (a, b) mit
f(b)− f(a)
g(b)− g(a) =f ′(z)g′(z)
.
Folgerung 7 Sei f : [a, b] −→ R stetig und differenzierbar in jedem x ∈ (a, b), und es
gelte f ′(x) = 0 ∀x ∈ (a, b). Dann gilt:
∃c ∈ R ∀x ∈ [a, b] : f(x) = c .
- 59 -
Prof. Dr. H.-J. Reinhardt Analysis, Arbeitsmaterialien
Beispiele:
1. Populationsmodell: P (t) = P0ert ist einzige Losung von
P (0) = P0 , P ′(t) = r P (t) , t ≥ 0 (r > 0, P0 > 0) .
2. Verbessertes Populationsmodell: (a > 0, b > 0)
P (0) = P0 , P ′(t) = P (t)(a − b P (t)) , t ≥ 0 .
Losung: P (t) =a
b+ e−(at+c), c = ln
P0
a− bP0
Gleichgewichtszustand:a
b.
9.3 Taylorsche Formel
Definitionen: (hohere Ableitungen) Sei f : D −→ R.
(a) k = 1 : D1 := {a ∈ D| f differenzierbar in a} ,f (1)(a) := f ′(a) , a ∈ D1 ;
k + 1 : Dk+1 := {a ∈ Dk| f (k) differenzierbar in a} ,f (k+1)(a) := (f (k))′(a) , a ∈ Dk+1 ;
(b) f (k) : Dk −→ R heißt Ableitung k-ter Ordnung mit Definitionsbereich Dk. Wir
schreiben auch:
f (k)(a) =dkf
dxk(a) =
df (k−1)
dx(a) , a ∈ Dk ;
(c) f heißt k-mal differenzierbar genau dann, wenn Dk = D.
(d) f heißt k-mal stetig differenzierbar , genau wenn gilt:
Dk = D , f (k) : Dk −→ R ist stetig.
Beispiele:
1. f : R ∋ x 7→ x|x| ∈ R
ist stetig differenzierbar, aber nicht zweimal differenzierbar.
- 60 -
Analysis, Arbeitsmaterialien Prof. Dr. H.-J. Reinhardt
2. Die Exponentialfunktion ist k-mal stetig differenzierbar fur jedes k ∈ N.
Satz 8 (Taylorsche Formel)
Sei f : [a, b] −→ R (n + 1)-mal stetig differenzierbar und sei x0 ∈ [a, b]. Dann gibt es zu
jedem x ∈ [a, b] ein ξ zwischen x0 und x mit
f(x) =
n∑
k=0
1
k!f (k)(x0)(x− x0)
k +1
(n+ 1)!f (n+1)(ξ)(x− x0)
n+1
Bezeichnungen: Pn,f,x0(x) =n∑
k=0
1
k!f (k)(x0)(x− x0)
k
heißt Taylor–Polynom (vom Grad n);
Rn,f,x0(x) := f(x)− Pn,f,x0(x) =1
(n+ 1)!f (n+1)(ξ)(x− x0)
n+1
heißt Restglied bzw. Lagrangesche Darstellung des Restglieds; x0 ∈ [a, b] heißt Entwick-
lungspunkt.
Bemerkung:
(a) Andere Schreibweise der Taylor–Formel:
f(x) =n∑
k=0
1
k!f (k)(x0)(x− x0)
k +
+1
(n+ 1)!f (n+1)(x0 + ϑ(x− x0))(x− x0)
n+1 , 0 < |ϑ| < 1 .
(b) Restgliedabschatzung:
|Rn,f,x0(x)| ≤Kn+1
(n + 1)!|x− x0|n+1
falls |f (n+1)(ξ)| ≤ Kn+1 ∀ξ ∈ (a, b) .
Beispiel: Taylor–Polynom fur die Exponentialfunktion
Pn(x) =n∑
k=0
1
k!xk , x ∈ R .
Definitionen: (f : [a, b] −→ R)
1. f heißt unendlich oft differenzierbar , falls f k-mal differenzierbar ist fur jedes k ∈ N.
- 61 -
Prof. Dr. H.-J. Reinhardt Analysis, Arbeitsmaterialien
2. Sei f unendlich oft differenzierbar und sei x0 ∈ [a, b]. Dann heißt
Tf,x0(x) :=
∞∑
k=0
1
k!f (k)(x0)(x− x0)
k , x ∈ [a, b] ,
die Taylor–Reihe von f im Entwicklungspunkt x0.
3. f wird durch Tf,x0 dargestellt , wenn f(x) = Tf,x0(x) , x ∈ [a, b] .
Beispiele:
1. Texp,x0(x) = ex , x ∈ R .
2. f : R ∋ x 7→
exp
(
− 1
x2
)
, x 6= 0 ,
0 , x = 0 ,
Tf,0(x) = 0 ∀x ∈ R. Dieses Beispiel zeigt, daß eine konvergente Taylor–Reihe nicht
notwendigerweise f darstellt.
3. f : (−1,∞) ∋ x 7→ ln(1 + x) ∈ R ,
Tf,0(x) =
∞∑
k=1
(−1)k+1
kxk , x > −1 .
Diese Reihe ist konvergent fur x ∈ (−1, 1] und divergent sonst; Tf,0 stellt f fur
x ∈ (−1, 1] dar.
9.4 Anmerkung zu lokalen Extrema
Satz 9 Sei f : [a, b] −→ R n-mal stetig differenzierbar, sei z ∈ (a, b), a < b, und es
gelte
f (j)(z) = 0 ∀j : 1 ≤ j ≤ n− 1 , f (n)(z) 6= 0 ; n ≥ 2 .
Dann gelten die Aussagen:
(a) Ist n ungerade, so ist z kein lokales Extremum.
(b) Ist n gerade, so ist
z
lokales Maximum
lokales Minimum
falls
f (n)(z) < 0
f (n)(z) > 0 .
- 62 -
Analysis, Arbeitsmaterialien Prof. Dr. H.-J. Reinhardt
9.5 Die Regel von de l’Hospital
Definition: Sei D ⊂ R; a ∈ R heißt Beruhrungspunkt von D genau dann, wenn
∃(xn)n∈N : xn ∈ D ∀n ∈ N , limnxn = a .
Definition: Seien f : D −→ R, a Beruhrungspunkt von D , c ∈ R.
c = limx→a
f(x) :⇐⇒ ∀(xn)n∈N , xn ∈ D ∀n ∈ N , limxn = a :
limnf(xn) = c .
(Die Falle c ∈ {−∞,∞} , a ∈ {−∞,∞} sind zugelassen.)
Beispiele:
1. f : [0, 1) ∋ x 7→ 11−x ∈ R ; limx→1 f(x) =∞ ;
2. f : R \ {1} ∋ x 7→ 1−x2
x3−x2+x−1 ∈ R ; ( beachte: f(x) =−(1 + x)
x2 + 1)
limx→1 f(x) = −1 , limx→∞ f(x) = 0 .
Satz 10 (Regel von de l’Hospital)
Seien f, g : (a, b) −→ R differenzierbar, c ∈ R, a < b , (b =∞ sei zugelassen). Es gelte
g′(x) 6= 0 ∀x ∈ (a, b) und limx→b
f(x) = limx→b
g(x) = 0 .
Dann gilt:
(a) g(x) 6= 0 ∀x ∈ (a, b) .
(b) Aus limx→b
f ′(x)g′(x)
= c folgt limx→b
f(x)
g(x)= c .
Beispiel:
limx→0
ex − e−xx
= limx→0
ex + e−x
1= 2 .
- 63 -
Prof. Dr. H.-J. Reinhardt Analysis, Arbeitsmaterialien
9.6 Die trigonometrischen Funktionen
Definitionen:
sin(x) := sinx :=
∞∑
k=0
(−1)kx2k+1
(2k + 1)!Sinus–Funktion
cos(x) := cos x :=∞∑
k=0
(−1)kx2k
(2k)!Cosinus–Funktion
Bemerkung: Die angegebenen Reihen konvergieren absolut nach dem Quotientenkri-
terium.
Folgerung 11
(a) sin(0) = 0 , cos(0) = 1 ;
(b) sin(−x) = − sin(x) , cos(−x) = cos(x) , x ∈ R ,
(Sinus ist ungerade, Cosinus gerade Funktion);
(c) x− x3
6≤ sin(x) ≤ x , x > 0 ;
(d) 1− x2
2≤ cos(x) ≤ 1− x2
2+x4
24, x > 0 .
Satz 12 Die Funktionen sin, cos : R −→ R sind stetig, differenzierbar, und es gilt:
sin′(x) = cos(x) , cos′(x) = − sin(x) .
Folgerung 13
(e) sin2(x) + cos2(x) = 1 , x ∈ R ;
(f) | sin(x)| ≤ 1 , | cos(x)| ≤ 1 , x ∈ R ;
(g) sin(x+ y) = sin(x) cos(y) + cos(x) sin(y) , x, y ∈ R ;
(h) cos(x+ y) = cos(x) cos(y)− sin(x) sin(y) , x, y ∈ R ;
(i) limx→0
sin(x)
x= 1 , lim
x→0
1− cos(x)
x2=
1
2.
Lemma 14 Sei A := {x ∈ [0,∞)| cos(x) = 0}. Es gilt:
A 6= ∅ und γ := inf A ∈[√
2,7
4
)
, γ ∈ A .
Definition: π := 2γ (= 3.14159 . . .)
- 64 -
Analysis, Arbeitsmaterialien Prof. Dr. H.-J. Reinhardt
Eigenschaften
(a) sin(π
2
)
= 1 , cos(π
2
)
= 0 ;
(b) sin(
x+π
2
)
= cos(x) , cos(
x+π
2
)
= − sin(x) , x ∈ R ;
(c) sin(x+ π) = − sin(x) , cos(x+ π) = − cos(x) , x ∈ R ;
(d) sin(x+ 2π) = sin(x) , cos(x+ 2π) = cos(x) , x ∈ R ;
(e) cos(x) 6= 0 fur x 6= (2k + 1)π
2, k ∈ Z ;
(f) sin(x) 6= 0 fur x 6= kπ , k ∈ Z .
Definition:
tan(x) :=sin(x)
cos(x), x ∈ R , x 6= (2k + 1)
π
2, k ∈ Z ,
Tangens–Funktion;
cot(x) :=cos(x)
sin(x), x ∈ R , x 6= kπ , k ∈ Z ,
Cotangens–Funktion.
Satz 15 Es gelten folgende Aussagen:
(a) cos ist auf [0, π] streng monoton fallend und cos([0, π]) = [−1, 1] .
(b) sin ist auf[
−π2,π
2
]
streng monoton wachsend und sin([
−π2,π
2
])
= [−1, 1] .
(c) tan ist in(
−π2,π
2
)
streng monoton wachsend und tan((
−π2,π
2
))
= R .
(d) cot ist in (0, π) streng monoton fallend und cot((0, π)) = R .
(e) tan′(x) =1
cos2(x), cot′(x) = − 1
sin2(x).
Definitionen: Umkehrfunktionen von cos, sin, tan bzw. cot:
arccos : [−1, 1] −→ [0, π] ,
arcsin : [−1, 1] −→[
−π2,π
2
]
,
arctan : R −→(
−π2,π
2
)
,
arccot : R −→ (0, π) .
- 65 -
Prof. Dr. H.-J. Reinhardt Analysis, Arbeitsmaterialien
Folgerung 16
(a) arccos′(x) = − 1√1− x2
, x ∈ (−1, 1) ,
(b) arcsin′(x) =1√
1− x2, x ∈ (−1, 1) ,
(c) arctan′(x) =1
1 + x2, x ∈ R ,
(d) arccot′ (x) = − 1
1 + x2, x ∈ R .
Bemerkung: sin, cos, tan, cot sind periodische Funktionen (mit Periode 2π). Fur die
Umkehrfunktionen wurde jeweils nur ein”ausgezeichneter Ast“ benutzt; man kann sich
auch auf andere Periodenintervalle beziehen.
- 66 -
Analysis, Arbeitsmaterialien Prof. Dr. H.-J. Reinhardt
10 Das Riemann–Integral
Im folgenden sei I = [a, b] ein Intervall, a < b.
10.1 Treppenfunktionen
Beispiel: Der Flacheninhalt des Bereichs B := {(x, y) | 0 ≤ x ≤ 1 , 0 ≤ y ≤ x2} laßt
sich annahern durch eine Summe von Rechtecken
FN :=
N−1∑
k=0
1
Nfk , fk := f(xk) , xk =
k
N, k = 0, . . . , N ,
wobei f : [0, 1] ∋ x 7→ x2 ∈ R. Man erhalt
FN =(N − 1)N(2N − 1)
6N3und lim
N→∞FN =
1
3.
Definitionen:
(a) Eine Zerlegung Z von I ist eine Anzahl von Punkten x0, . . . , xN mit a = x0 < x1 <
· · · < xN = b.
(b) ϕ : I −→ R heißt Treppenfunktion auf I, wenn eine Zerlegung Z : a = x0 <
x1 < · · · < xN = b und Zahlen c0, c1, . . . , cN existieren mit ϕ(x) = ci falls x ∈(xi−1, xi], ϕ(x0) = c0.
(c) T (I) := T [a, b] := {ϕ : I −→ R| ϕ Treppenfunktion auf I} .
Definition: Gemeinsame Verfeinerung zweier Zerlegungen
Z : a = x0 < · · · < xN = b , Z ′ : a = x′0 < · · · < x′M = b :
Ordne Punkte {xi|i = 0, . . . , N} ∪ {x′i|i = 0, . . . ,M} der Große nach, numeriere sie neu
– evtl. doppelt auftretende Punkte erhalten gleichen Index, Resultat: Z : a = x0 < · · · <xN = b.
Eigenschaften von T [a, b]:
(a) 0 ∈ T [a, b] (0 = Nullfunktion, 0(x) = 0 ∀x ∈ [a, b]) ;
(b) ϕ ∈ T [a, b] , c ∈ R =⇒ cϕ ∈ T [a, b] ;
- 67 -
Prof. Dr. H.-J. Reinhardt Analysis, Arbeitsmaterialien
(c) ϕ,ψ ∈ T [a, b] =⇒ ϕ+ ψ ∈ T [a, b] .
Wiederholung: C[a, b] := {f : [a, b] −→ R|f stetig } .
Satz 1 Es gilt die Aussage:
∀f ∈ C[a, b] ∀ε > 0 ∃ϕ,ψ ∈ T [a, b] ∀x ∈ [a, b] :
ψ(x) − ϕ(x) ≤ ε ∧ ϕ(x) ≤ f(x) ≤ ψ(x) .
10.2 Das Integral von Treppenfunktionen
Definition: Fur eine Treppenfunktion ϕ zur Zerlegung Z : a = x0 < · · · < xN = b mit
Werten
ck := ϕ
(1
2(xk + xk−1)
)
, k = 1, . . . , N ,
sei
SϕZ :=
N∑
k=1
ck(xk − xk−1) .
Lemma 2 Sei ϕ ∈ T [a, b] Treppenfunktion zu den Zerlegungen Z und Z ′. Dann gilt SϕZ =
SϕZ′.
D.h.: Der Wert SϕZ ist unabhangig von der gewahlten Zerlegung.
Definition: Sϕ := SϕZ =∑N
k=1 ck(xk − xk−1) heißt Integral von ϕ fur eine Treppen-
funktion ϕ und eine beliebige Zerlegung Z. Wir schreiben∫ b
aϕ(x) dx := Sϕ .
Definition: Seien f, g : D −→ R .
f ≤ g :⇐⇒ f(x) ≤ g(x) ∀x ∈ D .
Folgerung 3 Seien ϕ,ψ ∈ T [a, b] , c ∈ R. Dann gilt
(a)
∫ b
a(cϕ)(x) dx = c
∫ b
aϕ(x) dx ;
(b)
∫ b
a(ϕ+ ψ)(x) dx =
∫ b
aϕ(x) dx +
∫ b
aψ(x) dx ;
(c) Aus ϕ ≤ ψ folgt:
∫ b
aϕ(x) dx ≤
∫ b
aψ(x) dx .
- 68 -
Analysis, Arbeitsmaterialien Prof. Dr. H.-J. Reinhardt
10.3 Ober– und Unterintegrale
Bezeichnung: B[a, b] := {f : [a, b] −→ R|f beschrankt }
Es gilt
C[a, b] ⊂ B[a, b] und (o. E.) T [a, b] ⊂ B[a, b] .
Lemma 4 Seien f ∈ B[a, b] , α := infx∈[a,b] f(x) , β := supx∈[a,b] f(x) ,
ϕu : [a, b] ∋ x 7→ α ∈ R ,
ϕo : [a, b] ∋ x 7→ β ∈ R .
Dann gilt:
(a) ϕu ∈ Fu := {ϕ ∈ T [a, b]|ϕ ≤ f} ,ϕo ∈ Fo := {ψ ∈ T [a, b]|f ≤ ψ} .
(b) α(b− a) ≤∫ b
aψ(x) dx ∀ψ ∈ F0 ,
∫ b
aϕ(x) dx ≤ β(b− a) ∀ϕ ∈ Fu ,
∫ b
aϕ(x) dx ≤
∫ b
aψ(x) dx ∀ϕ ∈ Fu, ψ ∈ Fo .
Definitionen: (f ∈ B[a, b])
–∫ b
af(x) dx := inf
{∫ b
aψ(x) dx|ψ ∈ T [a, b] , f ≤ ψ
}
heißt oberes Integral (oder Oberintegral) von f ;
–
∫ b
af(x) dx := sup
{∫ b
aϕ(x) dx|ϕ ∈ T [a, b] , ϕ ≤ f
}
heißt unteres Integral (oder Unterintegral) von f .
Folgerung 5
–∫ b
aϕ(x) dx = –
∫ b
aϕ(x) dx ∀ϕ ∈ T [a, b] .
Beispiele:
1. f : [0, 1] ∋ x 7→ x2 ∈ R ,
–
∫ 1
0f(x) dx = –
∫ 1
0f(x) dx =
1
3.
- 69 -
Prof. Dr. H.-J. Reinhardt Analysis, Arbeitsmaterialien
2.
f(x) :=
1 , x ∈ Q ∩ [0, 1] ,
−1 , x ∈ [0, 1] , x 6∈ Q ,
f ∈ B[0, 1] , –∫ 1
0f(x) dx = 1 , –
∫ 1
0f(x) dx = −1 .
Folgerung 6 Seien f, g ∈ B[a, b]. Es gelten folgende Rechenregeln:
(a) –∫ b
a(f + g)(x) dx ≤ –
∫ b
af(x) dx+ –
∫ b
ag(x) dx ;
(b) –
∫ b
a(f + g)(x) dx ≥ –
∫ b
af(x) dx+ –
∫ b
ag(x) dx ;
(c) –∫ b
a(cf)(x) dx = c–
∫ b
af(x) dx ∀c ∈ [0,∞) ;
(d) –
∫ b
a(cf)(x) dx = c–
∫ b
af(x) dx ∀c ∈ [0,∞) ;
(e) –∫ b
a(−f)(x) dx = −–
∫ b
af(x) dx , –
∫ b
a(−f)(x) dx = −–
∫ b
af(x) dx .
10.4 Riemann–Integrierbarkeit
Definition: f ∈ B[a, b] heißt Riemann–integrierbar genau dann, wenn gilt:
–∫ b
af(x) dx = –
∫ b
af(x) dx .
Schreibweise/Bezeichnung:
∫ b
af(x) dx := –
∫ b
af(x) dx Riemann–Integral von f
”Riemann–“ wird im folgenden weggelassen.
Bezeichnungen: Sei f ∈ B[a, b] integrierbar.
∫ b
af(x) dx heißt Integral von f (uber [a, b]) ;
a heißt untere Grenze,
b heißt obere Grenze,
f heißt Integrand,
x heißt Integrationsvariable.
- 70 -
Analysis, Arbeitsmaterialien Prof. Dr. H.-J. Reinhardt
Folgerung 7 Jede Treppenfunktion ist integrierbar.
Beispiele:
1. f : [0, 1] ∋ x 7→ x2 ∈ R ,
∫ 1
0f(x) dx =
1
3.
2. Das obige Beispiel 2 aus Abschnitt 10.3 ist nicht (Riemann–)integrierbar.
Satz 8 Sei f ∈ B[a, b]. Dann sind aquivalent:
(a) f ist integrierbar.
(b) ∀ε > 0 ∃ϕ,ψ ∈ T [a, b] : ϕ ≤ f , f ≤ ψ ,∫ b
aψ(x) dx−
∫ b
aϕ(x) dx ≤ ε .
Folgerung 9 Seien f, g ∈ B[a, b] integrierbar und c ∈ R. Dann gilt:
f + g, cf sind integrierbar und
∫ b
a(f + g)(x) dx =
∫ b
af(x) dx+
∫ b
ag(x) dx ,
∫ b
a(cf)(x) dx = c
∫ b
af(x) dx .
R[a, b] := {f ∈ B[a, b]|f integrierbar } ist ein Vektorraum uber R und das Integral
∫ b
a. . .
definiert eine lineare Abbbildung auf R[a, b].
Definitionen: Sei f : D −→ R ,
f+ : D ∋ x 7→
f(x) , falls f(x) > 0 ,
0 , sonst;
f− : D ∋ x 7→
−f(x) , falls f(x) < 0 ,
0 , sonst.
Bemerkung: Offenbar gilt
f = f+ − f− , |f | := abs ◦f = f+ + f− .
Satz 10 Seien f, g ∈ B[a, b] integrierbar. Dann gilt:
- 71 -
Prof. Dr. H.-J. Reinhardt Analysis, Arbeitsmaterialien
(a) f+, f− sind integrierbar.
(b) |f | ist integrierbar und
∣∣∣∣
∫ b
af(x) dx
∣∣∣∣≤∫ b
a|f |(x) dx .
(c) Ist f ≤ g, so folgt:
∫ b
af(x) dx ≤
∫ b
ag(x) dx.
Bemerkung: Fur Riemann–Integrierbarkeit folgt aus
(a) f ist integrierbar,
daß
(b) |f | ist integrierbar;
die Umkehrung gilt im allgemeinen nicht. In der Lebesgueschen Theorie wird der Integral-
begriff so eingefuhrt, daß (a) und (b) aquivalent sind.
10.5 Eine Auswahl integrierbarer Funktionen
Satz 11 C[a, b] ⊂ R[a, b] .
Satz 12 Ist f : [a, b] −→ R monoton, so ist f integrierbar.
Satz 13 Gilt f, g ∈ R[a, b], so gilt auch f · g ∈ R[a, b].
10.6 Weitere Aussagen uber Integrale
Satz 14 Sei f ∈ B[a, b] , c ∈ (a, b). Dann sind aquivalent:
(a) f ∈ R[a, b] .
(b) f |[a,c] ∈ R[a, c] ∧ f |[c,b] ∈ R[c, b] .
Ist (a) erfullt, so gilt
∫ b
af(x) dx =
∫ c
af(x) dx+
∫ b
cf(x) dx .
- 72 -
Analysis, Arbeitsmaterialien Prof. Dr. H.-J. Reinhardt
Folgerung 15 Ist f ∈ R[a, b] , a ≤ a1 < b1 ≤ b , so gilt:
f ∈ R[a1, b1] .
Folgerung 16 Ist f : [a, b] −→ R stetig bis auf endlich viele Punkte in [a, b], so gilt:
f ∈ R[a, b] .
Definitionen: Sei f : [a, b] −→ R , a ≤ b.
(a) Fur a = b :
∫ b
af(x) dx = 0 .
(b) Ist f ∈ R[a, b] :
∫ a
bf(x) dx = −
∫ b
af(x) dx .
Folgerung 17 Seien f ∈ R[a, b] , a1, b1, c1 ∈ [a, b]. Dann gilt:
∫ b1
a1
f(x) dx+
∫ c1
b1
f(x) dx+
∫ a1
c1
f(x) dx = 0 .
Folgerung 18 Seien f, g : [a, b] −→ R stetig bis auf endlich viele Punkte xi , 1 ≤ i ≤ ℓ ,
und f(x) = g(x) ∀x ∈ [a, b] \ {x1, . . . , xℓ} . Dann gilt
∫ b
af(x) dx =
∫ b
ag(x) dx .
Bemerkung: Es gilt die weitergehende Aussage in Heuser 1 [Heu02], Satz 79.6, S. 454.
- 73 -
Prof. Dr. H.-J. Reinhardt Analysis, Arbeitsmaterialien
11 Integration und Differentiation
11.1 Mittelwertsatz der Integralrechnung
Satz 1 (Mittelwertsatz)
Sei f ∈ C[a, b] , g ∈ R[a, b] , g ≥ 0. Dann gilt f · g ∈ R[a, b], und es gibt ein ξ ∈ [a, b] mit
∫ b
a(f · g)(x) dx = f(ξ)
∫ b
ag(x) dx .
Folgerung 2 Ist f ∈ C[a, b], so gibt es ξ ∈ [a, b] mit
∫ b
af(x) dx = f(ξ)(b− a) .
Definitionen:
1. Ist Z : a = x0 < . . . < xN = b eine Zerlegung von [a, b], so heißt
∆Z := max1≤k≤N
(xk − xk−1)
die Feinheit (oder das Feinheitsmaß) von Z.
2. Seien f : [a, b] −→ R , Z : a = x0 < . . . < xN = b, ξk ∈ [xk−1, xk] , k = 1, . . . , N . Die
Zahl
SZ :=N∑
k=1
f(ξk)(xk − xk−1)
heißt die Riemannsche Summe von f (zur Zerlegung Z mit Stutzstellen ξ1, . . . , ξN ).
Satz 3 Seien f ∈ C[a, b] , (Zn)n∈N eine Folge von Zerlegungen von [a, b] und (SZn)n∈N
eine zugehorige Folge von Riemannschen Summen. Gilt
limn
∆Zn = 0 ,
so folgt
limnSZn =
∫ b
af(x) dx .
- 74 -
Analysis, Arbeitsmaterialien Prof. Dr. H.-J. Reinhardt
Beispiel: Berechnung von
∫ a
1
1
xdx fur a > 1.
Wahle x(n)k := a
kn , k = 0, . . . , n , Zn : x
(n)0 < . . . < x
(n)n , und ξ
(n)k := x
(n)k−1 , k = 1, . . . , n.
Dann
SZn = n(
a1n − 1
)
, limn
∆Zn = 0 ,
∫ a
1
1
xdx = lim
nSZn = ln a .
Numerische Integration (zur numerischen Approximation von Integralen) durch ge-
schickte Wahl der Stutzstellen in den Riemannschen Summen: Sei f ∈ R[a, b] , N ∈ N,
h :=b− aN
(Schrittweite), xk := a+ kh , k = 0, . . . , N ,
Z : a = x0 < x1 < · · · < xN = b aquidistante Zerlegung .
Rechteckregel: ξk := xk , k = 1, . . . , N ,
∫ b
af(x) dx ≈ h
N∑
k=1
f(xk) .
Mittelpunktregel (oder Tangententrapezformel ): ξk :=1
2(xk + xk−1) , k = 1, . . . , N ,
∫ b
af(x) dx ≈ h
N∑
k=1
f
(xk + xk−1
2
)
.
11.2 Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
Definition: Sei f : D −→ R. Eine Funktion F : D −→ R heißt Stammfunktion von f
genau dann, wenn gilt:
F ist differenzierbar, F ′(x) = f(x) ∀x ∈ D .
Folgerung 4 Sei f : [a, b] −→ R , F Stammfunktion von f . Dann sind fur G : [a, b] −→ R
aquivalent:
(a) G ist Stammfunktion von f .
(b) ∃γ ∈ R ∀x ∈ [a, b] : G(x) = F (x) + γ .
Definition: Sei f ∈ R[a, b] , c ∈ [a, b]. Die Funktion
[a, b] ∋ x 7→∫ x
cf(t) dt ∈ R
heißt ein unbestimmtes Integral von f .
- 75 -
Prof. Dr. H.-J. Reinhardt Analysis, Arbeitsmaterialien
Lemma 5 Sei f ∈ C[a, b]. Dann ist jedes unbestimmte Integral eine Stammfunktion.
Satz 6 (Hauptsatz) Sei f ∈ C[a, b], F Stammfunktion von f . Dann gilt
∫ b1
a1
f(t) dt = F (b1)− F (a1) ∀a1, b1 ∈ [a, b] , a1 ≤ b1 .
Bemerkung: Die Flache unter dem Graph einer stetigen Funktion laßt sich bei Kenntnis
einer Stammfunktion mit Satz 6 sofort berechnen.
Bezeichnung:
∫
f(t) dt
stellt ein Symbol fur die Gesamtheit der Stammfunktionen dar.
Schreibweise:
F (b)− F (a) =: F (x)|ba
Beispiele:
1. f : [0, 1] ∋ t −→ t2 ∈ R , Stammfunktion: F (x) =1
3x3, x ∈ [0, 1] .
2. F (x) =1
αeαx , x ∈ R , ist Stammfunktion von eαt. Also
∫ a
0eαt dt =
1
α(eαa − 1) .
3. F (x) = ln x , x > 0 , ist Stammfunktion von1
x. Also
∫ a
1
1
tdt = ln a− ln 1 = ln a .
11.3 Substitutionsregel
Satz 7 (Substitutionsregel)
Seien f ∈ C[a, b] , g ∈ C[α, β], und es gelte:
i. g ist stetig differenzierbar,
ii. g([α, β]) ⊂ [a, b] .
- 76 -
Analysis, Arbeitsmaterialien Prof. Dr. H.-J. Reinhardt
Dann gilt:
∫ g(β)
g(α)f(t) dt =
∫ β
αf(g(y))g′(y) dy .
Beispiele:
1. Berechne
∫ β
α(c+ dy)ndy , α, β ∈ R , d 6= 0 , n ∈ N.
Setze g(y) := c+ dy , y ∈ R , f(t) = tn , t ∈ R. Dann folgt
∫ β
α(c+ dy)n dy =
1
d(n+ 1)(c+ dy)n+1
∣∣∣∣
y=β
y=α
.
2. Berechne
∫ d
c
√
1− x2 dx fur −1 ≤ c < d ≤ 1 .
Substitution: x = sin(y) , y ∈ [a, b] , a := arcsin(c) , b := arcsin(d). Dann folgt
∫ d
c
√
1− x2 dx =1
2
(
d√
1− d2 − c√
1− c2)
+1
2(arcsin(d)− arcsin(c)) .
Speziell (wegenπ
2= arcsin(1) = − arcsin(−1)):
∫ 1
−1
√
1− x2 dx =π
2.
11.4 Partielle Integration
Satz 8 Seien f, g ∈ [a, b] −→ R stetig differenzierbar. Dann gilt:
∫ b
af(x)g′(x) dx = f(x)g(x)|ba −
∫ b
af ′(x)g(x) dx .
Beispiel: 1) Ia,b(p) :=
∫ b
atpe−t dt fur 0 < a < b , p > 0 ;
Es gilt Ia,b(p) = −bpe−b + ape−a + p Ia,b(p− 1).
Definiert man I(p) := limb→∞
(
lima→0Ia,b(p)
)
, dann existieren die Limites
und es gilt I(n) = n!
(Wir schreiben:
∫ ∞
0tne−t dt = n! ; dies ist ein
”uneigentliches Integral“)
Definition: Uneigentliches Integral
- 77 -
Prof. Dr. H.-J. Reinhardt Analysis, Arbeitsmaterialien
Sei −∞ < a < b ≤ ∞, f ∈ R[a, β] ∀β ∈ [a, b]. Ist b =∞ oder f in [a, b] nicht beschrankt,
dann heißt
∫ b
af(t) dt
uneigentliches Integral bei b. Falls
limβ→b
∫ β
af(t) dt
existiert, heißt das uneigentliche Integral konvergent ; der Wert des uneigentlichen Integral
ist
∫ b
af(t) dt := lim
β→b
β∫
a
f(t) dt;
andernfalls heißt
∫ b
af(t) dt divergent.
Bemerkung: Man erklart uneigentliche Integrale an der unteren Grenze uber
∫ b
a. . . =
−∫ a
b. . .
Beispiele:
2)
∫ ∞
0e−t dt = lim
β→∞
∫ β
0e−t dt = 1
3)
∫ 1
0
1
tdt = lim
β→0
∫ 1
β
1
tdt =∞ divergent!
4)
∫ ∞
0tp−1e−t dt ist konvergent (s. Beispiel 1)
Die Abbildung
⌈: (0,∞) ∋ p 7→∫ ∞
0tp−1e−1 dt ∈ R
heißt Eulersche Gammafunktion.
- 78 -
Analysis, Arbeitsmaterialien Prof. Dr. H.-J. Reinhardt
11.5 Das Taylorsche Restglied in Integralform
Satz 9 Sei f : [a, b] −→ R n+ 1-mal stetig differenzierbar, und sei x0 ∈ [a, b]. Dann gilt
fur x ∈ [a, b] :
f(x) =n∑
k=0
1
k!f (k)(x0)(x− x0)
k +1
n!
∫ x
x0
(x− t)nf (n+1)(t) dt .
Bezeichnung:
Rn(x) :=1
n!
∫ x
x0
(x− t)nf (n+1)(t) dt
heißt Restglied der Taylorentwicklung in Integralform.
11.6 Integrationsrezepte
Wiederholung:∫
xα dx =1
α+ 1xα+1
∫
cosx dx = sinx ,
∫
sinx dx = − cosx∫
eαx dx =1
αeαx ,
∫1
xdx = ln x
∫1
1 + t2dt = arctan(t)
Zu rationalen Funktionen, d. h. Funktionen der Formp
q, wobei p, q Polynome, sind Stamm-
funktionen stets angebbar. Furp
qerreicht man durch Division mit Rest (Euklidischer Al-
gorithmus), daß fur die zu betrachtenden Polynome der Grad von p kleiner als der von q
ist. Nach dem Fundamentalsatz der Algebra laßt sich das Polynom q schreiben als Produkt
von Polynomen ersten und zweiten Grades,
q(x) =m∏
j=1
(Ajx+Bj)sj
ℓ∏
k=1
(Akx2 + 2Bkx+ Ck)
rk .
Macht man nun furp
qden Ansatz
p(x)
q(x)=
m∑
j=1
sj∑
ℓ=1
αℓ(Ajx+Bj)ℓ
+ℓ∑
k=1
rk∑
i=1
(βi
(Akx2 + 2Bkx+ Ck)i+
γix
(Akx2 + 2Bkx+ Ck)i
)
,
- 79 -
Prof. Dr. H.-J. Reinhardt Analysis, Arbeitsmaterialien
dann lassen sich die Koeffizienten αℓ, βi, γi durch Koeffizientenvergleich bestimmen. (Die-
ses Verfahren der Zerlegung vonp
qin einfache Funktionen heißt Partialbruchzerlegung .)
Beispiele:
1.x2 − 2x+ 1
x+ 1= x− 3 +
4
x+ 1.
2.x2 − x+ 1
x3 − x2 + 2x− 2=
α
x− 1+
β
x2 + 2+
γx
x2 + 2,
da fur das Nennerpolynom gilt x3−x2 + 2x− 2 = (x− 1)(x2 + 2); Ausmultiplizieren
und Koeffizientenvergleich liefert: α =1
3, β = −1
3, γ =
2
3.
Der obige Ansatz zeigt, daß es fur rationale Funktionen genugt, die Stammfunktionen der
folgenden Funktionen zu kennen:
Typ 1: 1
(Ax+B)k, A 6= 0 , k ≥ 1 ;
Typ 2: 1
(Ax2 + 2Bx+ C)k, A 6= 0 , k ≥ 1 ; D := AC −B2 > 0 ;
Typ 3: x
(Ax2 + 2Bx+ C)k, A 6= 0 , k ≥ 1 ; D := AC −B2 > 0 ;
zu Typ 1: Substitution t = Ax+B (i. e. x = A−1(t−B)),
∫dx
(Ax+B)k=
1
A
∫dt
tk;
zu Typ 2: Substitution x = A−1(√D t−B) ,
∫dx
(Ax2 + 2Bx+C)k=Ak−1
Dk− 12
∫dt
(t2 + 1)k;
die Stammfunktion von (t2 + 1)−k laßt sich rekursiv berechnen:
k = 1 :
∫dt
t2 + 1= arctan(t)
k + 1 :
∫dt
(t2 + 1)k+1=
1
2k
t
(t2 + 1)k+
2k − 1
2k
∫dt
(t2 + 1)k
- 80 -
Analysis, Arbeitsmaterialien Prof. Dr. H.-J. Reinhardt
zu Typ 3:
∫x dx
(Ax2 + 2Bx+ C)k=
1
2A
∫2Ax+ 2B
(Ax2 + 2Bx+ C)kdx
− B
A
∫dx
(Ax2 + 2Bx+ C)k
2. Integral: Typ 2.
1. Integral: g(x) := Ax2 + 2Bx+ C
∫2Ax+ 2B
(Ax2 + 2Bx+ C)kdx =
∫g′(x)g(x)k
dx =
ln g , k = 11
−k + 1g−k+1 , k > 1
.
Beispiel:
∫x
x2 + x+ 1dx =
1
2
∫2x+ 1
x2 + x+ 1dx− 1
2
∫dx
x2 + x+ 1,
wobei∫
2x+ 1
x2 + x+ 1dx = ln(x2 + x+ 1) ,
∫dx
x2 + x+ 1=
2√3
∫dt
t2 + 1=
2√3
arctan
(2√3(x+
1
2)
)
.
- 81 -
Prof. Dr. H.-J. Reinhardt Analysis, Arbeitsmaterialien
12 Reihen von Funktionen
12.1 Gleichmaßige Konvergenz
Definitionen: Sei fn : D ⊂ R→ R , n ∈ N, eine Folge von Funktionen.
(a) (fn)n∈N konvergiert auf D punktweise gegen f : D → R, wenn gilt:
∀x ∈ D ∀ε > 0 ∃N ∈ N ∀n ≥ N : |fn(x)− f(x)| < ε .
(b) (fn)n∈N konvergiert auf D gleichmaßig gegen f : D → R, wenn gilt:
∀ε > 0 ∃N ∈ N ∀x ∈ D ∀n ≥ N : |fn(x)− f(x)| < ε .
Beispiele:
1.
fn(x) = xn , n ∈ N , D = [0, 1] , f(x) = limnfn(x) =
1 , x = 1 ,
0 , 0 ≤ x < 1 ;
(fn)n konvergiert punktweise aber nicht gleichmaßig gegen f auf D. Fur jedes Inter-
vall [0, d] , d < 1, konvergiert (fn)n gleichmaßig gegen die Nullfunktion.
2. Sei
φ(x) =
x , 0 ≤ x ≤ 1
2,
1− x ,1
2≤ x ≤ 1 ,
0 , sonst
und fn(x) = φ(nx) , x ∈ R , n = 1, 2, 3, . . . Es gilt limnfn(x) = 0 punktweise aber
nicht gleichmaßig.
Satz 1 (Cauchy–Kriterium fur gleichmaßige Konvergenz)
Eine Folge von Funktionen fn : D ⊂ R → R , n ∈ N, konvergiert d. u. n. d. gleichmaßig
auf D gegen f : D → R, wenn gilt:
∀ε > 0 ∃N ∈ N ∀m,n ≥ N ∀x ∈ D : |fn(x)− fm(x)| < ε .
- 82 -
Analysis, Arbeitsmaterialien Prof. Dr. H.-J. Reinhardt
Bezeichnung: D heißt Konvergenzbereich.
Satz 2 Die Folge fn : D ⊂ R→ R , n ∈ N, konvergiere gleichmaßig auf D gegen f : D →R und alle fn , n ∈ N, seien stetig in x0 ∈ D. Dann ist f stetig in x0.
Folgerung 3 (Vertauschung von Grenzprozessen)
Die Folge (fn) konvergiere gleichmaßig auf D. Wenn die Limites limx→ξ
fn(x) , n ∈ N ,
(ξ = ±∞ zugelassen) existieren, dann existieren auch die folgenden Limites, und es ist
limn
(
limx→ξ
fn(x)
)
= limx→ξ
(
limnfn(x)
)
.
12.2 Gleichmaßige Konvergenz von Reihen
∑∞k=0 fk(x) heißt (Funktionen–)Reihe, fk : D ⊂ R→ R , k ∈ N0 := {0} ∪N.
Beispiele:
1. Geometrische Reihe
∞∑
k=0
xk =1
1− x fur |x| < 1 .
2. Sei fk(x) = xk − xk−1 , k ∈ N , f0 = 1 ,
sn(x) :=n∑
k=0
fk(x) = xn , x ∈ [0, 1] , n ∈ N ,
=⇒ limnsn(x) = lim
n
n∑
k=0
fk(x) =
∞∑
k=0
fk(x) =
1 , x = 1
0 , 0 ≤ x < 1 .
Die Konvergenz ist nicht gleichmaßig.
Definition: Eine Reihe∑∞
k=0 fk heißt gleichmaßig konvergent auf D, wenn die Par-
tialsummen sn :=∑n
k=0 fk auf D gleichmaßig konvergieren. Der (gleichmaßige) Limes F
erfullt dann:
∀ε > 0 ∃N ∈ N0 ∀n ≥ N ∀x ∈ D : |F (x)− sn(x)| < ε .
- 83 -
Prof. Dr. H.-J. Reinhardt Analysis, Arbeitsmaterialien
Wir schreiben
F (x) :=∞∑
k=0
fn(x) ;
fur den Limes bzw. die Summe; weiter heißen rn := F − sn =∑∞
k=n+1 fk , n ∈ N , die
Reste.
Satz 4 (Cauchy–Kriterium fur Reihen)
Die Reihe∑∞
k=0 fk konvergiert gleichmaßig auf D d. u. n. d. wenn gilt:
∀ε > 0 ∃N ∈ N0 ∀n, m ≥ N ∀x ∈ D : |(sn − sm)(x)| < ε .
Bemerkung: (sn − sm)(x) =∑n
k=m+1 fk(x) falls n > m.
Satz 5 (Weierstraß’sches Majoratenkriterium)
Es gelte |fk(x)| ≤ ak ∀x ∈ D , k ∈ N0. Ist die Reihe∑∞
k=0 ak konvergent, so ist die Reihe∑∞
k=0 fk (absolut und) gleichmaßig konvergent auf D.
Bezeichnung:∑
k ak heißt konvergente Majorante fur∑
k fk.
Satz 6 Die Reihe∑∞
k=0 fk sei gleichmaßig konvergent in D. Sind die Funktionen fk :
D ⊂ R → R an der Stelle x0 ∈ D stetig fur (fast) alle k ∈ N0, dann ist auch die Summe
F stetig bei x0.
Folgerung 7 (Vertauschungssatz)
Die Reihe∑∞
k=0 fk(x) sei gleichmaßig konvergent auf D und limx→ξ
fk(x) existiere fur alle
k ∈ N0 (ξ = ±∞ zugelassen). Dann existieren auch die folgenden Limites, und es gilt
∞∑
k=0
(
limx→ξ
fk(x)
)
= limx→ξ
( ∞∑
k=0
fk(x)
)
.
12.3 Integrierbarkeit und Differenzierbarkeit von Funktionenreihen
Fur eine konvergente Reihe F (x) =∑∞
k=0 fk(x) stellt sich die Frage, ob und wann diese
gliedweise integriert bzw. differenziert werden darf, also ob
∫ b
aF (x) dx
?=
∞∑
k=0
∫ b
afk(x) dx ,
F ′ ?=
∞∑
k=0
f ′k(x) .
- 84 -
Analysis, Arbeitsmaterialien Prof. Dr. H.-J. Reinhardt
Beispiel:
1. Sei sn(x) =∑n
k=0 fk(x) so, dass sn(x) = nxe−n2x2
. Dann ist
limn→∞
sn(x) = 0 := F (x) (punktweise) ,
und
∫ R
0sn(x) dx = −e−n
2x2∣∣∣
R
0= 1− e−n
2R2 ≥ 1
2,
falls R : 2 ≤ eR2und n ≥ 1. Also ist dann
∫ R
0sn(x) dx ≥
1
26= 0 =
∫ R
0limksk(x) dx .
Bemerkung: Die Konvergenz einer Reihe reicht also nicht aus fur die gliedweise Inte-
gration.
Satz 8 Sei F =∑∞
k=0 fk eine auf D := (a, b) ⊂ R gleichmaßig konvergente Reihe inte-
grierbarer Funktionen, dann ist auch F integrierbar und
∫ b
aF (x) dx =
∞∑
k=0
∫ b
afk(x) dx .
Beispiel:
2. Sei sn =∑n
k=1 fk so, dass sn(x) =1
nsin(n2x). Dann gilt lim
nsn(x) = 0 =: F (x)
gleichmaßig (da∑∞
k=1 ak mit Partialsumme sn =1
neine konvergente Majorante).
Wegen s′n(x) = n cos(n2x) −→∞(n→∞) z. B. fur x = 1, ist
(
limnsn
)′(x) = 0 6= lim
ns′n(x) .
Bemerkung: Fur die gliedweise Differentiation reicht es nicht aus, dass die Reihe selbst
gleichmaßig konvergent ist.
Satz 9 Entsteht aus einer in D ⊂ R konvergenten Reihe F (x) =∑∞
k=0 fk(x) durch glied-
weise Differentiation eine gleichmaßig konvergente Reihe F ∗ =∑∞
k=0 f′k mit stetigen Funk-
tionen f ′k, dann ist F ∗ = F ′.
- 85 -
Prof. Dr. H.-J. Reinhardt Analysis, Arbeitsmaterialien
12.4 Potenzreihen
Eine Reihe der Form
∞∑
n=0
anxn oder
∞∑
n=0
an(x− x0)n
heißt Potenzreihe; die Zahlen an nennt man ihre Koeffizienten, x0 den Entwicklungspunkt.
Fragen: Konvergenz der Potenzreihe?
Darstellung einer Funktion durch eine Potenzreihe?
Satz 10 (Cauchy–Hadamard). Jede Potenzreihe∑∞
n=0 anxn besitzt einen Konvergenz-
radius r in 0 ≤ r ≤ ∞ mit der Eigenschaft, dass die Reihe fur |x| < r absolut kon-
vergent und fur |x| > r divergent ist. Der Konvergenzradius hangt nur von den |an| ab und
berechnet sich nach der Formel
r =1
lim supn∈N
n√
|an|
(hierbei ist1
0=∞ und
1
∞ = 0 zu setzen).
Bemerkungen:
1. Jeder Konvergenzradius kommt vor.
Beispiele:
∞∑
n=0
(x
r0
)n
konvergiert fur |x| < |r0| ;∞∑
n=0
xn
n!hat Konvergenzradius r =∞ .
2. Bei Potenzreihen∑
n an(x−x0)n um einen Entwicklungspunkt x0 gilt die Konvergenz
fur x : |x− x0| < r mit dem Konvergenzradius r aus Satz 10.
3. Uber das Verhalten bei x : |x| = r kann man im Allgemeinen nichts sagen.
Satz 11 Sind die Koeffizienten aneiner Potenzreihe∑
n anxn fur fast alle n von Null
verschieden, dann lasst sich der Konvergenzradius auch berechnen durch
r = limn
∣∣∣∣
anan+1
∣∣∣∣
vorausgesetzt, dieser Limes existiert.
- 86 -
Analysis, Arbeitsmaterialien Prof. Dr. H.-J. Reinhardt
Satz 12 Eine Potenzreihe konvergiert gleichmaßig in jedem abgeschlossenen Intervall |x| ≤s mit s < r (= Konvergenzradius).
Korollar 13 Eine durch eine Potenzreihe mit Konvergenzradius r > 0 dargestellte Funk-
tion
f(x) =
∞∑
n=0
anxn
ist fur |x| < r stetig; insbesondere ist limx→0
f(x) = f(0) = a0.
Satz 14 Sei f(x) =∑∞
n=0 an(x−x0)n eine Potenzreihe mit Konvergenzradius r > 0. Fur
|x− x0| < r darf die Reihe gliedweise integriert und differenziert werden,
∫
f(x) dx =
∞∑
n=0
ann+ 1
(x− x0)n+1 , f ′(x) =
∞∑
n=1
n an(x− x0)n−1 , |x| < r .
Die Potenzreihe stellt fur |x − x0| < r eine beliebig oft differenzierbare Funktion dar; fur
die Ableitungen gilt
f (n)(x0) = n! an , n ∈ N0 .
Satz 15 (Identitatssatz fur Potenzreihen). Wenn die Potenzreihen
f(x) =
∞∑
n=0
an(x− x0)n , g(x) =
∞∑
n=0
bn(x− x0)n
fur |x − x0| < r , r > 0, konvergieren und f(x) = g(x) fur alle x ∈ (x0 − r , x0 + r) gilt,
so ist
an = bn , n = 0, 1, 2, . . .
Bemerkungen:
1. Wenn eine Funktion uberhaupt durch eine Potenzreihe darstellbar ist, so muss dies
die Taylorreihe sein (s. auch Satz 16).
2. Sei f(x) =∑∞
n=0 anxn. Ist f gerade, d. h. f(x) = f(−x), dann muss a1 = a3 = · · · =
a2n+1 = 0 , n = 0, 1, . . . , sein; ist f ungerade, d. h. f(x) = −f(−x), dann muss
a2n = 0 , n = 0, 1, 2, . . . , sein.
- 87 -
Prof. Dr. H.-J. Reinhardt Analysis, Arbeitsmaterialien
3. Summe und Produkt von Potenzreihen: Seien
f(x) =
∞∑
n=0
anxn , g(x) =
∞∑
n=0
bnxn
mit positiven Konvergenzradien ra bzw. rb. Dann ist
f(x)± g(x) =∞∑
n=0
(an ± bn)xn , |x| < min(ra, rb) ,
f(x) · g(x) =
∞∑
n=0
(n∑
m=0
anbn−m
)
xn, |x| < min(ra, rb)
(”Cauchy–Produkt“) .
Satz 16 (Entwicklung in die Taylorreihe). Es sei f : [a, b] ⊂ R → R eine beliebig oft
differenzierbare Funktion, und es existiere ein M ∈ R mit
|f (n)(x)| ≤M ∀x ∈ [a, b] ∀n ∈ N .
Dann gilt fur beliebiges x0 ∈ [a, b]: Die Taylorreihe
∞∑
n=0
f (n)(x0)
n!(x− x0)
n
konvergiert fur alle x ∈ [a, b], und es ist
f(x) =∞∑
n=0
f (n)(x0)
n!(x− x0)
n , x ∈ [a, b] .
Beispiele:
1. 11−x =
∞∑
n=0xn |x| < 1 ;
2. ex =∞∑
n=0
xn
n!, x ∈ R ;
3. ln (1 + x) =∞∑
n=1(−1)n−1x
n
n, |x| < 1 ;
4. sinx =∞∑
n=0(−1)n
x2n+1
(2n + 1)!, x ∈ R ;
5. cos x =∞∑
n=0(−1)n
x2n
(2n)!, x ∈ R ;
6. arctan x =∞∑
n=0(−1)n
x2n+1
2n+ 1, |x| < 1 ;
- 88 -
Analysis, Arbeitsmaterialien Prof. Dr. H.-J. Reinhardt
7. (vgl. Beispiel in Abschnitt 9.3)
f(x) =
exp
(
− 1
x2
)
, x 6= 0
0 , x = 0
ist unendlich oft differenzierbar; die Taylorreihe im Entwicklungspunkt x0 = 0 ist
identisch Null, stellt also f fur x 6= 0 nicht dar.
Definition: Eine Funktion f : D ⊂ R → R heißt analytisch, wenn f beliebig oft
differenzierbar ist und fur jedes x0 ∈ D gilt: Die Taylorreihe von f um x0 konvergiert in
einer Umgebung von x0 und stellt f dort dar.
Satz 17 Die Potenzreihe f(z) =∑∞
n=0 an(x−x0)n konvergiere fur |x−x0| < r, und es sei
a0 6= 0. Dann lasst sich 1/f in einer gewissen Umgebung von x wieder in eine konvergente
Potenzreihe entwickeln.
Beispiel:
tan x : = sinx/ cos x
= x+1
3x3 +
2
15x5 +
17
315x7 + · · ·
- 89 -
Prof. Dr. H.-J. Reinhardt Analysis, Arbeitsmaterialien
13 Metrische und topologische Raume
13.1 Metrische Raume
Definition: Sei X eine Menge, X 6= ∅. Eine Abbildung
d : X ×X −→ [0,∞)
heißt eine Metrik (Abstandsfunktion) auf X, wenn gilt:
i. d(x, y) = 0⇐⇒ x = y (Definitheit)
ii. d(x, y) = d(y, x) ∀x, y ∈ X (Symmetrie)
iii. d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) ∀x, y, z ∈ X (Dreiecksungleichung)
Das Tupel (X, d) heißt dann ein metrischer Raum.
Beispiele:
1. Sei X := R oder X eine Teilmenge von R. Der Absolutbetrag (auf R) definiert eine
Metrik
d(x, y) := |x− y| , x, y ∈ X .
2. Sei X = Rm oder X eine Teilmenge von Rm ,
dp(x, y) :=
∑mj=1 |xj − yj| p = 1
(∑m
j=1 |xj − yj|p)1/p
1 < p <∞
max1≤j≤m
|xj − yj| p =∞
x = (x1, . . . , xm) , y = (y1, . . . , ym) ∈ X; (X, dp) ist fur jedes p ∈ [1,∞] ein metri-
scher Raum.
3. Sei X beliebige Menge. Durch
d(x, y) :=
1 , x 6= y
0 , x = y
ist eine Metrik auf X definiert. Sie heißt diskrete Metrik.
Satz 1 Sei (X, d) ein metrischer Raum,
- 90 -
Analysis, Arbeitsmaterialien Prof. Dr. H.-J. Reinhardt
(a) Ist f : [0,∞)→ [0,∞) zweimal stetig differenzierbar mit
f(0) = 0 , f ′(s) > 0 , f ′′(s) ≤ 0 ∀s ∈ (0,∞) ,
so wird durch
d(x, y) := f(d(x, y)) , x, y ∈ X ,
eine Metrik d auf X definiert.
(b) Durch
d(x, y) :=d(x, y)
1 + d(x, y), x, y ∈ X ,
wird eine Metrik auf X erklart.
13.2 Topologie
Definition: Sei X eine Menge, X 6= ∅. Eine Topologie T auf X ist eine Familie von
Teilmengen von X mit den Eigenschaften
(a) ∅ ∈ T , X ∈ T ;
(b) X1,X2 ∈ T =⇒ X1 ∩X2 ∈ T ;
(c) Xi ∈ T , i ∈ I (I beliebige Indexmenge)
=⇒⋃
i∈IXi ∈ T
Bezeichnung: Die Mengen aus T heißen offene Mengen; das Tupel (X,T ) heißt topo-
logischer Raum. Wir sagen, X sei mit der Topologie T versehen.
Definition: Sei (X, d) metrischer Raum.
K(x, ε) := Kd(x, ε) := {y ∈ X | d(x, y) < ε} ,
K(x, ε) := Kd(x, ε) := {y ∈ X | d(x, y) ≤ ε} ,
heißen die offenen bzw. abgeschlossenen Kugeln um x mit Radius ε. Die Topologie Td aufX
A ∈ Td :⇐⇒ ∀x ∈ A ∃ε > 0 : Kd(x, ε) ⊂ A
heißt die durch d erzeugte Topologie.
- 91 -
Prof. Dr. H.-J. Reinhardt Analysis, Arbeitsmaterialien
Lemma 2 Sei (X, d) metrischer Raum und sei Td die durch d auf X erzeugte Topologie.
Es gilt:
(a) A ∈ Td ⇐⇒ ∀x ∈ A ∃ε > 0 : Kd(x, ε) ⊂ A ;
(b) Kd(x, ε) ∈ Td ∀(x, ε) ∈ X × (0,∞) .
Definition: Sei (X,T ) ein topologischer Raum. Eine Teilmenge A ⊂ X heißt abge-
schlossen (bzgl. der Topologie T ) genau dann, wenn X \ A offen ist, d. h. wenn gilt:
X \A ∈ T .
Folgerung 3 Sei (X, d) metrischer Raum. Dann sind die Kugeln
Kd(x, ε) , Kd(x, ε) mit (x, ε) ∈ X × (0,∞)
offen bzw. abgeschlossen.
Bemerkung: In einem topologischen Raum (X,T ) sind ∅,X stets offen und abgeschlos-
sen.
Definition: Sei X eine Menge, X 6= ∅, und seien d, d Metriken auf X. Diese Metriken
d, d heißen aquivalent, wenn gilt: Td = Td.
Folgerung 4
(a) Sei (X, d) metrischer Raum und sei f : [0,∞)→ [0,∞) mit
f(0) = 0 , f ′(s) > 0 , f ′′(s) ≤ 0 ∀s ∈ (0,∞) .
Dann ist die Metrik d, definiert durch
d(x, y) := f(d (x, y)) , x, y ∈ X ,
aquivalent zu d , d. h. d, d sind aquivalent.
(b) Die Metriken dp , 1 ≤ p ≤ ∞, auf Rm sind paarweise aquivalent.
- 92 -
Analysis, Arbeitsmaterialien Prof. Dr. H.-J. Reinhardt
Definition: Sei (X,T ) ein topologischer Raum, x ∈ X. Eine Teilmenge U ⊂ X heißt
Umgebung von x, wenn es eine offene Menge A ⊂ X (A ∈ T !) gibt mit:
x ∈ A ⊂ U .
Bezeichnung: Menge der Umgebungen U(x)
Satz 5 Sei (X,T ) ein topologischer Raum, A ⊂ X. Es sind aquivalent:
(a) A ist offen, d. h. A ∈ T .
(b) ∀x ∈ A : A ∈ U(x), d.h. ∀x ∈ A∃ A ∈ T : x ∈ A ⊂ A.
Definition: Der topologische Raum (X,T ) heißt separiert oder Hausdorffsch, wenn gilt:
∀x, y ∈ X, x 6= y ∃U ∈ U(x) ∃V ∈ U(y) : U ∩ V = ∅ .
Folgerung 6 Jeder metrische Raum (X, d) ist Hausdorffsch.
Lemma 7 Sei (X,T ) topologischer Raum, Y ⊂ X , Y 6= ∅. Dann ist
TY := {B ⊂ Y | ∃A ∈ T : B = Y ∩A}
eine Topologie auf Y .
Definition: Sei (X,T ) topologischer Raum, Y ⊂ X. Dann heißt die Topologie TY (siehe
Lemma 7) die durch T auf Y induzierte Topologie.
Definition: Sind T1 und T2 Topologien auf der Menge X, so heißt T1 feiner als T2 (oder
T2 grober als T1), wenn gilt: T1 ⊃ T2.
Bemerkungen:
– Die feinste Topologie Tf besteht aus allen Teilmengen von X, d. h. Tf = P (X) (=
Potenzmenge).
– Die grobste Topologie Tg besteht nur aus ∅ und X.
– Die feinste Topologie wird durch die diskrete Metrik erzeugt; sie heißt diskrete To-
pologie.
- 93 -
Prof. Dr. H.-J. Reinhardt Analysis, Arbeitsmaterialien
13.3 Stetige Abbildungen
Definition: Seien (X,TX) und (Y,TY ) topologische Raume und sei f : X → Y eine
Abbildung.
(a) f heißt stetig in x ∈ X, wenn gilt:
∀V ∈ U(f(x)) ∃U ∈ U(x) : f(U) ⊂ V ;
(b) f heißt stetig, wenn f stetig in jedem x ∈ X ist.
Satz 8 Seien (X,TX) , (Y,TY ) topologische Raume, f : X → Y . Es sind aquivalent:
(a) f ist stetig.
(b) f−1(B) ∈ TX ∀B ∈ TY .
Bemerkungen:
1. Offensichtlich ist eine Topologie T1 auf X genau dann feiner als eine Topologie T2 auf
X, wenn id : X → X stetig ist, wobei der Urbildbereich mit T1 und der Bildbereich
mit T2 versehen ist.
2. Die induzierte Topologie TA auf A, A ⊂ X und (X,T ) topologischer Raum, ist die
grobste Topologie, fur die die Einbettung
ι : A ∋ x 7→ x ∈ X
stetig ist.
Definition: Sei (X,T ) ein topologischer Raum.
Eine Folge (xn)n∈N in X konvergiert gegen x, wenn gilt:
∀U ∈ U(x) ∃N ∈ N ∀n ≥ N : xn ∈ U .
Wir schreiben: xn −→ x , xn −→ x in T , oder xnT−→x.
Definition: Seien (X,TX) und (Y,TY ) topologische Raume, sei f : X → Y , x ∈ X.
f heißt folgenstetig in x, wenn gilt:
xn −→ x in TX =⇒ f(xn) −→ f(x) in TY .
- 94 -
Analysis, Arbeitsmaterialien Prof. Dr. H.-J. Reinhardt
Folgerung 9 Seien (X,TX) , (Y,TY ) topologische Raume und sei f : X → Y stetig in
x ∈ X, so ist f folgenstetig in x.
Folgerung 10 Sei (X, d) metrischer Raum, sei (Y,TY ) topologischer Raum, und sei f :
X → Y folgenstetig in x ∈ X. Dann ist f stetig in x.
Folgerung 11 Seien (X, d) , (Y, d) metrische Raume und sei f : X → Y . Es sind aqui-
valent:
(a) f ist stetig.
(b) ∀x ∈ X ∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀y ∈ X : d(x, y) < δ =⇒ d(f(x), f(y)) < ε .
(c) ∀(xn)n∈N : d(xn, x) −→ 0 =⇒ d(f(xn), f(x)) −→ 0 .
Satz 12 Sei (X, d) metrischer Raum, y ∈ X , A ⊂ X. Dann sind die Funktionen
fy : X ∋ x 7→ d(x, y) ∈ R ,
fA : X ∋ x 7→ inf{d(x, z) | z ∈ A} ∈ R ,
stetig.
Definition: Sei (X, d) metrischer Raum, A ⊂ X. Die Abbildung
X ∋ x 7→ inf{d(x, z) | z ∈ A}
heißt Distanzfunktion zu A; und wir schreiben dafur dist(., A), d. h.
dist(x,A) := inf{d(x, z) | z ∈ A} , x ∈ X .
13.4 Abgeschlossene Mengen
Definition: Sei (X,T ) topologischer Raum, A ⊂ X. Dann heißen
cl(A) :=⋂
{B|A ⊂ B , B abgeschlossen}
abgeschlossene Hulle vonA ;
int(A) :=⋃
{B|B ⊂ A , B offen}
offener Kern von A .
- 95 -
Prof. Dr. H.-J. Reinhardt Analysis, Arbeitsmaterialien
Folgerung 13 Sei (X,T ) topologischer Raum, A ⊂ X. Dann gilt:
(a) cl (A) ist abgeschlossen;
(b) int (A) ist offen.
Satz 14 Sei (X, d) metrischer Raum, A ⊂ X.
(a) x \ cl(A) = int (X \A), cl(A) = X \ int (X \A) ;
(b) A ist abgeschlossen genau dann, wenn gilt: ∀x ∈ X ∀xn ∈ A , n ∈ N : xn → x =⇒x ∈ A.
(c) cl (A) = {x ∈ X | ∃(xn)n∈N mit: xn ∈ A ∀n ∈ N , xn → x}.
Folgerung 15 In einem metrischen Raum (X, d) ist Kd(x, ε) stets abgeschlossen.
13.5 Kompakte Mengen
Definition: Ein topologischer Raum (X,T ) heißt kompakt, wenn gilt:
i. (X,T ) ist Hausdorffsch.
ii. X =⋃
i∈IXi , Xi ∈ T ∀i ∈ I =⇒
=⇒ ∃m ∈ N ∃i1, . . . , im ∈ I : X =m⋃
j=1
Xij .
(Jede offene Uberdeckung enthalt eine endliche Uberdeckung.)
Definitionen: Sei (X,T ) topologischer Raum, A ⊂ X.
1. A heißt kompakt, wenn (A,TA) kompakt ist, wobei TA die durch T auf A induzierte
Topologie ist.
2. A heißt relativ kompakt, wenn cl (A) kompakt ist.
Satz 16 Seien (X,TX) und (Y,TY ) Hausdorffsche topologische Raume. Ist (X,TX) kom-
pakt und f : X → Y stetig, so ist f(X) kompakt.
Satz 17 Jede abgeschlossene Teilmenge einer kompakten Menge ist kompakt.
- 96 -
Analysis, Arbeitsmaterialien Prof. Dr. H.-J. Reinhardt
Definition:
1. Ein topologischer Raum (X,T ) heißt folgenkompakt, wenn jede Folge (xn)n∈N in X
eine in X konvergente Teilfolge enthalt.
2. Eine Teilmenge A ⊂ X des metrischen Raumes (X, d) heißt total beschrankt, wenn
gilt:
∀ε > 0 ∃m ∈ N ∃x1, . . . , xm ∈ X : A ⊂m⋃
j=1
Kd(xj , ε) .
Satz 18 Sei (X, d) ein metrischer Raum. Es gilt:
(a) X ist kompakt genau dann, wenn X folgenkompakt ist (Satz von Heine–Borel).
(b) Ist X kompakt, so ist X total beschrankt.
Folgerung 19 Ist (X, d) metrischer Raum, A ⊂ X, A kompakt, dann ist A abgeschlossen.
- 97 -
Prof. Dr. H.-J. Reinhardt Analysis, Arbeitsmaterialien
14 Vollstandige metrische Raume, Banachraume
14.1 Vollstandige metrische Raume
Definitionen: Sei (X, d) metrischer Raum
1. Eine Folge {xn}n∈N in X heißt Cauchy–Folge in X, wenn gilt:
∀ε > 0 ∃N ∈ N ∀n,m ≥ N : d(xn, xm) < ε .
2. Der metrische Raum (X, d) heißt vollstandig , wenn jede Cauchyfolge inX konvergent
ist.
Beispiele:
1. Der metrische Raum (R, d), d = Absolutbetrag, ist vollstandig.
2. Der Raum Rm ist bezuglich der Metriken dp , 1 ≤ p ≤ ∞, vollstandig.
Satz 1 Sei (X, d) metrischer Raum, A ⊂ X.
(a) Ist (X, d) kompakt, so ist (X, d) vollstandig.
(b) (X, d) ist kompakt genau dann, wenn (X, d) vollstandig und X total beschrankt ist.
(c) Ist (X, d) vollstandig, so ist A relativ kompakt genau dann, wenn A total beschrankt
ist.
Definition: Seien (X, dX ), (Y, dY ) metrische Raume und sei f : X → Y . f heißt
gleichmaßig stetig, wenn gilt:
∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x, x′ ∈ X : dX(x, x′) < δ =⇒ dY (f(x), f(x′)) < ε .
Bezeichnung: C(X,Y ) := {f : X −→ Y | f stetig}
Satz 2 Seien (X, dX ), (Y, dY ) metrische Raume, sei f ∈ C(X,Y ). Ist (X, dX ) kompakt,
so ist f gleichmaßig stetig.
- 98 -
Analysis, Arbeitsmaterialien Prof. Dr. H.-J. Reinhardt
14.2 Der Raum der beschrankten und stetigen Abbildungen
Definition: Sei X eine Menge, (Y, dY ) ein metrischer Raum.
(a) A ⊂ Y heißt beschrankt, wenn der Durchmesser
δA := sup{dY (y, z) | y, z ∈ A}
endlich ist.
(b) Eine Abbildung f : X → Y heißt beschrankt, wenn f(X) beschrankt ist.
Bezeichnung: (X,TX), (Y,TY ) topologische Raume bzw. (Y, dY ) metrischer Raum.
C(X,Y ) := {f : X −→ Y | f stetig } , B(X,Y ) := {f : X −→ Y | f beschrankt } .
Lemma 3 Sei (X,T ) ein topologischer Raum und (Y, dY ) ein vollstandiger metrischer
Raum. Dann wird
Cb(X,Y ) := {f ∈ C(X,Y ) | f beschrankt}
zusammen mit der Metrik d∞, definiert durch
d∞(f, g) := sup{dY (f(x), g(x)) | x ∈ X} ,
zu einem vollstandigen metrischen Raum.
Folgerung 4 Sei (X,T ) ein kompakter topologischer Raum und sei (Y, dY ) ein vollstandi-
ger metrischer Raum. Dann gilt C(X,Y ) = Cb(X,Y ), und C(X,Y ) wird zusammen mit der
Metrik d∞ zu einem vollstandigen metrischen Raum.
Definition: Seien (X, dX ) , (Y, dY ) metrische Raume. Eine Familie F ⊂ C(X,Y ) heißt
gleichgradig stetig,, falls gilt:
∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x, x′ ∈ X ∀f ∈ F : dX(x, x′) < δ
=⇒ dY (f(x), f(x′)) < ε .
Satz von Arzela–Ascoli
Sei (X, dX) kompakter metrischer Raum, sei (Y, dY ) vollstandiger metrischer Raum und
sei F ⊂ C(X,Y ). Dann sind aquivalent:
- 99 -
Prof. Dr. H.-J. Reinhardt Analysis, Arbeitsmaterialien
(a) F ist relativ kompakte Teilmenge in (C(X,Y ), d∞).
(b) F ist gleichgradig stetig und die Mengen
F(x) :={f(x)
∣∣ f ∈ F
}, x ∈ X ,
sind relativ kompakte Teilmengen in (Y, dY ).
14.3 Normierte Raume; Banachraume
Definition: Ein Vektorraum X (uber K = R oder C) heißt normiert, wenn es eine
Abbildung
‖ · ‖ : X −→ R
gibt mit
(a) ‖x‖ = 0⇐⇒ x = 0 (Definitheit)
(b) ‖αx‖ = |α| ‖x‖ , α ∈ K , x ∈ X (Homogenitat)
(c) ‖x+ y‖ ≤ ‖x‖+ ‖y‖ , x, y ∈ X (Dreiecksungleichung).
‖ · ‖ : X → R heißt Norm und (X, ‖ · ‖) ein normierter Raum.
Folgerung 5 Ist ‖ · ‖ eine Norm auf X, so wird durch
d‖·‖ : X ×X ∋ (x, y) 7→ ‖x− y‖ ∈ R
eine Metrik erzeugt.
Beispiele:
1. In X = Rn werden die Metriken dp , 1 ≤ p ≤ ∞, durch folgende Normen erzeugt:
‖x‖p :=
n∑
j=1
|xj |p
1/p
, p ∈ [1,∞)
max1≤j≤n
|xj | , p =∞; x ∈ Rn .
2. Sei (X,T ) kompakter topologischer Raum. Offenbar ist C(X,R) ein Vektorraum uber
R und durch
‖f‖∞ := maxx∈X|f(x)| , f ∈ C(X,R) ,
wird eine Norm definiert.
- 100 -
Analysis, Arbeitsmaterialien Prof. Dr. H.-J. Reinhardt
Definition: Der normierte Raum (X, ‖·‖) heißt Banachraum, wenn der metrische Raum
(X, d‖·‖) vollstandig ist.
Beispiele:
3. Sei (X,T ) kompakter topologischer Raum, sei (Y, ‖ · ‖Y ) ein Banachraum. Dann ist
C(X,Y ) ein Vektorraum und durch
‖f‖∞ := supx∈X‖f(x)‖Y , f ∈ C(X,Y ) ,
wird eine Norm auf C(X,Y ) erklart; C(X,Y ) ist sogar ein Banachraum.
4. Sei X := C[−1, 1] der Vektorraum der stetigen Funktionen von [−1, 1] nach R.
Offenbar ist
‖ · ‖1 : X ∋ f 7→∫ 1
−1|f(t)| dt ∈ R
eine Norm auf X. Bzgl. ‖ · ‖1 ist X nicht vollstandig.
14.4 Gleichmaßige Konvergenz
Definitionen: Sei X eine Menge, X 6= ∅, sei (Y, dY ) metrischer Raum, sei fn : X → Y ,
n ∈ N.
(a) (fn)n∈N konvergiert punktweise gegen f : X → Y , wenn gilt:
∀x ∈ X ∀ε > 0 ∃N ∈ N ∀n ≥ N : dY (fn(x) f(x)) < ε .
(b) (fn)n∈N konvergiert gleichmaßig gegen f : X → Y , wenn gilt:
∀ε > 0 ∃N ∈ N ∀x ∈ X ∀n ≥ N : dY (fn(x) f(x)) < ε .
Satz 6 Seien (X, dX), (Y, dY ) metrische Raume, sei x0 ∈ X, sei fn : X → Y stetig in
x0 ∀n ∈ N. Konvergiert dann (fn)n∈N gleichmaßig gegen f : X → Y , so ist f stetig in x0.
Satz 7 (Satz von DINI)
Sei (X, dX ) kompakter metrischer Raum und sei (fn)n∈N eine Folge in C(X,R).
Es gelte: (fn(x))n∈N ist monoton fallende Nullfolge fur alle x ∈ X.
Dann konvergiert (fn)n∈N gleichmaßig gegen 0 (= Nullfunktion).
- 101 -
Prof. Dr. H.-J. Reinhardt Analysis, Arbeitsmaterialien
15 Der euklidische Raum Rn
15.1 Der Rn als normierter Raum
Bekanntlich ist
X := Rn := R× · · · × R :={
(x1, . . . , xn)∣∣∣ xi ∈ R , 1 ≤ i ≤ n
}
ein n-dimensionaler Vektorraum uber dem Korper R.
Ziel: Verifikation der Metrikeigenschaften von dp fur p ∈ (1,∞).
Lemma 1
(a) Fur x ∈ (0,∞) , α ∈ (0, 1) gilt: xα − αx ≤ 1− α.
(b) Fur a, b ∈ (0,∞) und α, β ∈ (0, 1) mit α+ β = 1 gilt: aαbβ ≤ αa+ βb.
(c) Fur a, b ∈ (0,∞) und p, q ∈ (1,∞) mit1
p+
1
q= 1 gilt: ab ≤ 1
pap +
1
qbq.
Lemma 2 (HOLDER’sche Ungleichung)
Seien ai, bi ∈ (0,∞) , 1 ≤ i ≤ n, und seien p, q ∈ (1,∞) mit1
p+
1
q= 1. Dann gilt:
n∑
i=1
aibi ≤(
n∑
i=1
api
)1/p( n∑
i=1
bqi
)1/q
.
Satz 3 (MINKOWSKI’sche Ungleichung)
Seien ai, bi ∈ (0,∞) , 1 ≤ i ≤ n, und sei p ∈ (1,∞). Dann gilt:
(n∑
i=1
(ai + bi)p
)1/p
≤(
n∑
i=1
api
)1/p
+
(n∑
i=1
bpi
)1/p
.
Folgerung 4
(a) (Rn, ‖ · ‖p) ist fur jedes p ∈ [1,∞] ein Banachraum.
(b) Die Kugeln
Kp(x, r) :={
y ∈ Rn∣∣∣ ‖y − x‖p ≤ r
}
, x ∈ Rn , r ∈ [0,∞) ,
sind fur jedes p ∈ [1,∞] kompakt.
- 102 -
Analysis, Arbeitsmaterialien Prof. Dr. H.-J. Reinhardt
(c)
‖x‖∞ ≤ ‖x‖p ≤ n1/p‖x‖∞ , x ∈ Rn , p ∈ [1,∞] .
Abbildung 1: Kugeln im R2 fur p = 1, 2,∞
Definition: Sei X ein Vektorraum (uber K) und seien ‖ · ‖, | · | zwei Normen auf X.
‖ · ‖, | · | heißen aquivalent, wenn es α, β > 0 gibt mit:
α‖x‖ ≤ |x| ≤ β‖x‖ ∀x ∈ X .
Satz 5 Alle Normen auf dem Vektorraum Rn sind aquivalent.
Folgerung 6 Sei ‖ · ‖ eine Norm auf Rn. Es gilt:
(a) (Rn, ‖ · ‖) ist ein Banachraum.
(b) Fur A ⊂ Rn sind aquivalent:
i. A ist kompakt;
ii. A ist abgeschlossen und beschrankt.
Beispiel: Wir definieren fur p ∈ [1,∞]:
ℓp :=
{
(xn)n∈N
∣∣∣xn ∈ R ∀n ∈ N ,
∑
n∈N|xn|p <∞
}
, p <∞{
(xn)n∈N
∣∣∣xn ∈ R ∀n ∈ N , supn∈N |xn| <∞
}
, p =∞.
- 103 -
Prof. Dr. H.-J. Reinhardt Analysis, Arbeitsmaterialien
Sei p ∈ [1,∞]. Wir setzen:
q :=
1 falls p =∞p
p− 1falls p ∈ (1,∞)
∞ falls p = 1
.
Es gilt:
i.
∑
n∈N
xnyn ≤(∑
n∈N
|xn|p)1/p(
∑
n∈N
|yn|q)1/q
ii. Durch
‖ · ‖p : ℓp ∋ x = (xn)n∈N 7→( ∞∑
n=1
|xn|p)1/p
∈ R
wird eine Norm definiert.
iii. dim ℓp =∞ .
iv. Die abgeschlossene Einheitskugel
K(0, 1) :={
(xn)n∈N ∈ ℓp∣∣∣ ‖x‖p ≤ 1
}
ist nicht kompakt.
15.2 Rn als euklidischer Raum
Definition: Die Abbildung
< ·, · >: Rn × Rn ∋ (x, y) 7→n∑
i=1
xiyi ∈ R
heißt das euklidische Skalarprodukt in R.
Folgerung 7
(a) < x, x >≥ 0 ∀x ∈ Rn.
(b) < x, x >= 0 genau dann, wenn x = 0.
- 104 -
Analysis, Arbeitsmaterialien Prof. Dr. H.-J. Reinhardt
(c) < αx+ βy, z >= α < x, z > +β < y, z > , x, y, z ∈ Rn , α, β ∈ R.
(d) < x, y >=< y, x > , x, y ∈ Rn.
(e) | < x, y > | ≤< x, x >1/2< y, y >1/2 , x, y ∈ Rn.
(f) | < x, y > | =< x, x >1/2< y, y >1/2 genau dann, wenn x, y linear abhangig sind.
Definition: Seien x, y ∈ Rn , x 6= 0 , y 6= 0.
(a) Die Zahl α ∈ [0, π] mit
cosα =< x, y >
‖x‖2‖y‖2
heißt der Winkel zwischen x und y.
(b) x, y heißen orthogonal (oder senkrecht) zueinander, wenn gilt < x, y >= 0, d.h. wenn
der Winkel α = π/2 ist.
Parallelogrammidentitat
‖x+ y‖22 + ‖x− y‖22 = 2‖x‖22 + 2‖y‖22 , x, y ∈ Rn .
Satz von Pythagoras
‖x+ y‖22 = ‖x‖22 + ‖y‖22 ∀x, y ∈ Rn mit < x, y >= 0 .
15.3 Kurven in Rn
Definitionen: Sei (X,T ) ein topologischer Raum, a, b ∈ R.
(a) Eine stetige Abbildung ϕ : [a, b]→ X heißt Weg (in X mit Parameterintervall [a, b]);
die Bildmenge
Γϕ :={
ϕ(t)∣∣∣ t ∈ [a, b]
}
heißt dann die durch ϕ erzeugte Kurve mit Anfangspunkt ϕ(a) und Endpunkt ϕ(b).
(b) Ein Weg ϕ in X heißt JORDAN–Weg, wenn ϕ injektiv ist.
- 105 -
Prof. Dr. H.-J. Reinhardt Analysis, Arbeitsmaterialien
(c) Ein Weg ϕ = [a, b]→ X heißt geschlossen, wenn ϕ(a) = ϕ(b) gilt.
(d) Ein Weg ϕ = [a, b]→ X heißt geschlossener JORDAN–Weg , wenn ϕ geschlossen ist
und ϕ | (a, b) injektiv ist.
Bezeichnung: Koordinatenabbildungen ϕ1, . . . , ϕn:
ϕ(t) = (ϕ1(t), . . . , ϕn(t)) , t ∈ [a, b] ,
ϕi(t) := < ϕ(t), ei > , t ∈ [a, b] , 1 ≤ i ≤ n .
wobei ei = i-ter Einheitsvektor.
Beispiele:
1. Strecke mit Anfangspunkt (1, 2) und Endpunkt (2, 1),
ϕ : [0, 1] ∋ t 7→ (1 + t, 2− t) ∈ R2 ,
ψ : [−2, 2] ∋ s 7→(
3
2− 1
4s,
3
2+
1
4s
)
∈ R2 .
2. Kreislinie,
ϕ : [0, 2π] ∋ t 7→ (cos t, sin t) ∈ R2 ,
ψ : [0, 2π] ∋ t 7→ (cos 2t, sin 2t) ∈ R2 ;
ψ ist kein Jordan–Weg; ϕ ist ein geschlossener Jordan-Weg.
3.
ϕ : R ∋ t 7→ (r cos t, r sin t, ct) ∈ R3 mit r > 0, c > 0
heißt Schraubenlinie mit Ganghohe 2πc
y
z
.................................
..........................
..........................
...........................
..........................
...........................
..........................
..x
r
•.........................................................................................................................• 2cπ
...........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
4. Ellipse:
ϕ : [0, 2π] ∋ t 7→ (a cos t, b sin t) ∈ R2 , mit a > b > 0 ,
- 106 -
Analysis, Arbeitsmaterialien Prof. Dr. H.-J. Reinhardt
ist ein geschlossener Jordan–Weg. Die zugehorige Kurve ist die
Ellipse
{
x, y∣∣∣x2
a2+y2
b2= 1
}
= Γϕ
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
..
.
.
.
.
.
.
.
.
.
..
.
.
.
.
.
.
.
.
.
..
.
.
.
..
.
.
.
.
...........................................................................................................................................
...........
...............
.......................
.........................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................• •
E F
Q
Brennpunkte: E = (−e, 0) , F = (e, 0)
e =√a2 − b2 (
”lineare Exzentrizitat“)
Es gilt immer ‖E −Q‖2 + ‖Q− F‖2 = 2a (”Gartnerkonstruktion“).
5. Hyperbelast:
ϕr : R ∋ t 7→ (a cosh t, b sinh t) ∈ R2 , a, b > 0 ,
ist kein Weg, aber jede Einschrankung auf ein beschranktes, abgeschlossenes Intervall
ist ein Jordan–Weg. Die zugehorige Kurve ist der rechte Ast der
Hyperbel
{
x, y
∣∣∣∣
x2
a2− y2
b2= 1
}
.............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
a
b
E F
Brennpunkte: E = (−e, 0) , F = (e, 0)
e =√a2 + b2 (
”lineare Exzentrizitat“)
- 107 -
Prof. Dr. H.-J. Reinhardt Analysis, Arbeitsmaterialien
Definition: Polarkoordinaten im R2 : (r, ϑ), wobei
r :=√
x2 + y2 : Abstand vom Nullpunkt
ϑ ∈ [0, 2π) mit:x
r= cos ϑ ,
y
r= sinϑ ;
ϑ = 0 falls r = 0 .
x
y
.
..............................................................................................................................................................................................................................................................•P (x, y)
ϑ.....................................
r
Wir setzen ϑ = 0, falls r = 0 ist. Mit r = f(ϑ) erhalt man einen Weg durch
ϕ : [α, β] ∋ ϑ 7→(f(ϑ) cos ϑ, f(ϑ) sinϑ
)∈ R2 .
Beispiele:
1.
r =p
1 + ε cos ϑ, ϑ ∈ [0, 2π] , p > 0, ε ≥ 0 .
ε = 0 : Kreis mit Radius p
ε ∈ (0, 1) : Ellipse mit Koordinatenursprung im linken Brennpunkt E = (−e, 0),(x+ e)2
a2+y2
b2= 1 , e :=
√
a2 − b2
Hier ist ε =√a2 − b2/a die sogenannte
”numerische Exzentrizitat“.
ε = 1 : Parabel:
y2 + 2p(x− 1
2p) = 0
ε > 1 : Hyperbel
(x− e)2a2
− y2
b2= 1 , e :=
√
a2 + b2
2. Archimedische Spirale: r = aϑ , ϑ ∈ [0,∞) , a > 0 .
3. Logarithmische Spirale: r = aϑ , ϑ ∈ [0,∞) , a > 0 .
- 108 -
Analysis, Arbeitsmaterialien Prof. Dr. H.-J. Reinhardt
...
....
....
.................................................................................
...................................................
...............................................................................................................
.
........................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................................................................................
....................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................................................................................
ϕ
ϕ
Bezeichnung: Sei ϕ : [a, b] → Rn ein Weg. Mit Z[a, b] sei die Menge der Zerlegungen
von [a, b] bezeichnet,
Z[a, b] =
Z
∣∣∣∣∣∣
Z Zerlegung von [a, b] der Form
Z : a = t0 < · · · < tm = b
Definition: Lange des Polygonzugs
ℓ(Z,ϕ) :=
m∑
k=1
‖ϕ(tk)− ϕ(tk−1)‖2
Definition: Ein Weg ϕ : [a, b]→ Rn heißt rektifizierbar, wenn es eine Konstante λ gibt,
so dass gilt:
ℓ(Z;ϕ) ≤ λ ∀Z ∈ Z[a, b] .
In diesem Falle wird die reelle Zahl
L(ϕ) := supZ∈Z[a,b]
ℓ(Z;ϕ)
die Lange von ϕ genannt.
- 109 -
Prof. Dr. H.-J. Reinhardt Analysis, Arbeitsmaterialien
Definition: Eine Abbildung f : [a, b] → R heißt von beschrankter Variation, wenn es
ν ∈ R gibt, so dass fur jede Zerlegung Z ∈ Z[a, b] gilt:
var(Z; f) :=
p∑
i=1
|f(ti)− f(ti−1)| ≤ ν ,
wobei Z : a = t0 < · · · < tp = b .
V ba (f) := supZ∈Z[a,b] var (Z; f) heißt dann die Totalvariation von f und wir schreiben
f ∈ BV [a, b] .
Satz 8 Der Weg ϕ : [a, b] → Rn mit den Koordinatenfunktionen ϕ1, . . . , ϕn ist genau
dann rektifizierbar, wenn jede Koordinatenfunktion ϕi von beschrankter Variation ist.
Bemerkung: Nicht jede Funktion ist vom Typ BV [a, b].
Beispiel:
f : [0, 1] −→ R , x 7→
0 , falls x = 0
x cosπ
x, sonst
.
Es gilt
var(Z; f) ≥n∑
j=1
1
j
und
f 6∈ BV [0, 1] .
Damit ist nicht jeder Weg rektifizierbar.
Definition: Sind ϕ : [a, b]→ Rn , ψ : [b, c]→ Rn Wege mit ϕ(b) = ψ(b), so wird durch
[a, c] ∋ t 7→
ϕ(t) , falls t ≤ bψ(t) , falls t > b
ein Weg erklart, den man die Summe der Wege ϕ,ψ nennt und mit ϕ⊕ ψ bezeichnet.
Bezeichnung: Γϕ ⊕ Γψ fur die zugehorige Kurve.
Lemma 9 Sei f : [a, b]→ R , c ∈ (a, b). Dann sind aquivalent:
- 110 -
Analysis, Arbeitsmaterialien Prof. Dr. H.-J. Reinhardt
(a) f ∈ BV [a, b] ;
(b) f∣∣∣[a,c]∈ BV [a, c] , f
∣∣∣[c,b]∈ BV [c, b] .
Zusatz: Sind (a), (b) erfullt, so gilt:
V ba f = V c
a f + V bc f .
Satz 10 Sei ϕ : [a, b]→ Rn ein Weg, sei c ∈ (a, b). Dann sind aquivalent:
(a) ϕ ist rektifizierbar.
(b) ϕ∣∣∣[a,c]
, ϕ∣∣∣[c,b]
sind rektifizierbar.
Zusatz: Sind (a), (b) erfullt, so gilt:
L(ϕ) = L(ϕ∣∣∣[a,c]
) + L
(
ϕ∣∣∣[c,b]
)
.
Definition: Sei ϕ : [a, b]→ Rn ein rektifizierbarer Weg. Die Funktion
sϕ : [a, b] −→ R , t 7→
0 , t = a
L(ϕ|[a,t]
), t > a
heißt Weglangenfunktion.
Satz 11 Sei ϕ : [a, b]→ Rn ein rektifizierbarer Weg. Es gilt:
(a) Die Weglangenfunktion sϕ ist stetig und monoton wachsend.
(b) Ist ϕ ein Jordan–Weg, so ist sϕ sogar streng monoton wachsend.
Fur einen rektifizierbaren Jordan–Weg besitzt die Weglangenfunktion sϕ : [a, b] −→ R eine
Umkehrfunktion
tϕ :[0, L(ϕ)
]∋ s 7→ t = tϕ(s)(= tϕ ◦ sϕ) ∈ [a, b] .
Fur ψ := ϕ ◦ tϕ :[0, L(ϕ)
]−→ Rn gilt sψ(s) = s.
Satz 12 Sei ϕ : [a, b] → Rn ein rektifizierbarer Jordan–Weg und sei Γϕ die zugehorige
Jordan–Kurve. Dann gibt es einen rektifizierbaren Jordan–Weg ψ : [0, L(ϕ)] → Rn mit:
Γϕ = Γψ , L
(
ψ∣∣∣[0,s]
)
= s ∀s ∈ [0, L(ϕ)] .
- 111 -
Prof. Dr. H.-J. Reinhardt Analysis, Arbeitsmaterialien
Lemma 13 (Lemma von TIKHONOV)
Seien X,Y metrische Raume, sei X kompakt, und sei f : X → Y stetig und bijektiv. Dann
ist f−1 : Y → X stetig.
Mit dem Lemma von Tikhonov beweist man das folgende Ergebnis.
Satz 14 Seien ϕ1 : [a1, b1] → Rn , ϕ2 : [a2, b2] → Rn Wege und es gebe f : [a2, b2] → R
mit
f stetig, streng monoton, f( [a2, b2] ) = [a1, b1] , ϕ2 = ϕ1 ◦ f .
Dann sind aquivalent:
(a) ϕ1 ist rektifizierbar;
(b) ϕ2 ist rektifizierbar.
Zusatz: Sind (a), (b) erfullt, so gilt: L(ϕ1) = L(ϕ2).
Folgerung 15 Seien ϕ,ψ Jordan–Wege mit Γϕ = Γψ. Dann gilt: L(ϕ) = L(ψ).
Definition: Sei Γ eine Jordan–Kurve, d. h. es gibt einen Jordan–Weg ϕ mit Γ = Γϕ.
Dann heißt L(Γ) := L(ϕ) die Kurvenlange von Γ.
15.4 Differenzierbare Wege
Definition: Ein Weg ϕ : [a, b] → Rn mit den Koordinatenfunktionen ϕ1, . . . , ϕn heißt
(stetig) differenzierbar, wenn jede Koordinatenfunktion ϕi (stetig) differenzierbar ist;
ϕ(t) := (ϕ′1(t), . . . , ϕ
′n(t)) , t ∈ [a, b] .
Satz 16 Sei der Vektor ϕ : [a, b]→ Rn stetig differenzierbar. Dann ist ϕ rektifizierbar und
es gilt:
(a) Die Weglangenfunktion sϕ ist stetig differenzierbar, s′ϕ(t) = ‖ϕ(t)‖2 , t ∈ [a, b] .
(b) L(ϕ) =
∫ b
a‖ϕ(t)‖2 dt .
- 112 -
Analysis, Arbeitsmaterialien Prof. Dr. H.-J. Reinhardt
Folgerung 17 Ist der Weg ϕ : [a, b]→ Rn die Summe stetig differenzierbarer Wege, d. h.
ϕ = ϕ1 ⊕ · · · ⊕ ϕℓ ,ϕi stetig differenzierbarer Weg, 1 ≤ i ≤ ℓ ,
so gilt:
ϕ ist rektifizierbar, L(ϕ) =
ℓ∑
i=1
L(ϕi)
Beispiele:
1. Jede stetige Funktion f : [a, b]→ R erzeugt in naturlicher Weise einen Weg in R2:
ϕf : [a, b] ∋ t 7→ (t, f(t)) ∈ R2 .
Dieser Weg ist rektifizierbar genau dann, wenn gilt: f ∈ BV [a, b].
Ist f stetig differenzierbar, so gilt:
L(ϕf ) =
∫ b
a
√
1 + f ′(t)2 dt
2. Die Ellipse mit den Halbachsen a, b, 0 < b < a, besitzt die Darstellung durch den
geschlossenen Jordan–Weg
ϕ : [0, 2π] ∋ t 7→ (a cos t, b sin t) ∈ R2 .
Umfang U der Ellipse (k := a−1√a2 − b2 ) :
U =
∫ 2π
0
√
a2 sin2 t+ b2 cos2 t dt = 4a
∫ π/2
0
√
1− k2 cos2 t dt .
Das Integral
E(k) :=
∫ π/2
0
√
1− k2 cos2 t dt
gehort zur Familie der elliptischen Integrale.
- 113 -
Prof. Dr. H.-J. Reinhardt Analysis, Arbeitsmaterialien
3. Ein Stuck einer Archimedischen Spirale wird durch den Jordan–Weg
ϕ : [0, 2π] ∋ ϑ 7→ (ϑ cos ϑ, ϑ sinϑ) ∈ R2
dargestellt. Lange:
L(ϕ) =
∫ 2π
0(1 + ϑ2)1/2dϑ
Bezeichnung: Sei ϕ : [a, b]→ Rn,
ϕ(t) := (ϕ′1(t), . . . , ϕ
′n(t)) ,
ϕ(t) := (ϕ′′1(t), . . . , ϕ
′′n(t)) .
Bemerkung: Fur die Weglangenfunktion sϕ gilt:
s′ϕ(t) = ‖ϕ(t)‖2 , t ∈ [a, b] ,
s′ϕ(t)s′′ϕ(t) =< ϕ(t), ϕ(t) > , t ∈ [a, b] .
Weiterhin gilt fur einen Weg ϕ mit der Weglange als Parameter (s. Satz 12):
sϕ(s) = s, s ∈ [0, L(ϕ)] .
‖ϕ(s)‖2 = 1, s ∈ [0, L(ϕ)] .
< ϕ(s), ϕ(s) >= 0, s ∈ [0, L(ϕ)] .
Definition: ‖ϕ(s)‖2 heißt Krummung im Punkt ϕ(s),1
‖ϕ(s)‖2heißt Krummungsradius
in ϕ(s), falls ϕ(s) 6= 0.
Beispiel: Kreis ϕ(t) = (r cos t, r sin t), t ∈ [0, 2π]
=⇒ ϕ(t) = (−r sin t, r cos t),∥∥ϕ(t)
∥∥
2= r
sϕ(t) =
t∫
0
∥∥ψ(τ)
∥∥
2dτ = r t
Umkehrfunktion tϕ(s) =1
rs,
ψ(s) = ϕ ◦ tϕ(s) =(r cos(
s
r), r sin(
s
r)), s ∈ [0, 2πr]
ψ(s) =(− sin(
s
r), cos(
s
r)), ψ(s) =
−1
r
(cos(
s
r), sin(
s
r))
∥∥ψ(s)
∥∥
2= 1,
s∫
0
∥∥ψ(τ)
∥∥
2dτ(
= sψ(s))
= s
〈ψ(s), ψ(s)〉 = 1
r2(sin
s
rcos(
s
r)− sin
s
rcos(
s
r))
= 0
- 114 -
Analysis, Arbeitsmaterialien Prof. Dr. H.-J. Reinhardt
Krummungsradius:
∥∥ψ(s)
∥∥
2=
1
r
√
cos2(s
r) + sin2(
s
r) =
1
r
Krummungsmittelpunkt:
µ(s) = ψ(s) +ψ(s)∥∥ψ(s)
∥∥2
2
= 0
- 115 -
Prof. Dr. H.-J. Reinhardt Analysis, Arbeitsmaterialien
16 Differenzierbarkeit im Rn
(Lit.: Insbes. Heuser, Teil 2 (1993); auch Kerner II (1980), Walter 2 (1992))
16.1 Hinfuhrung
Wiederholung: f : U → R , U ⊂ R offen, x0 ∈ U .
f ist differenzierbar in x0 genau dann, wenn
limx→x0
x 6=x0
f(x)− f(x0)
x− x0(=: f ′(x0))
existiert.
Interpretationen (Setze m := f ′(x0))
(a) m ist Grenzwert von Differentialquotienten und daher die Steigung der resultierenden
Tangente (an f(x0)).
(b) m induziert eine (Hyper-)Ebene H(x0) in R× R, die den Graph von f beruhrt,
H(x0) :={
(x, z) ∈ R2∣∣∣z = f(x0) +m(x− x0)
}
.
(c) m definiert eine (affine) Funktion g, die f in der Umgebung von x0 geeignet appro-
ximiert (s. Satz 10.2):
g(x) := f(x0) +m(x− x0) , x ∈ U ,
limx→x0
x 6=x0
|f(x)− g(x)||x− x0| = 0 .
x
y
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
..
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
..
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
..
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
..
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
..
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
..
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
..
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
..
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
..
.
.
.
.
.
.
.
.
.
..
.
.
.
.
.
.
.
.
.
..
.
.
.
.
.
.
.
.
..
.
.
.
.
.
.
.
.
..
.
.
.
.
.
.
.
..
.
.
.
.
.
.
.
..
.
.
.
.
.
.
..
.
..
.
.
.
..
.
.
.
.
.
..
.............................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................f(x)
.
........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
x0.............
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
α.............
.
.
.
.
..
.
.
..
.
..
m = tan(α)
- 116 -
Analysis, Arbeitsmaterialien Prof. Dr. H.-J. Reinhardt
Bemerkung: Eine Kombination von (b) und (c) zeigt, dass die Hyperebene H(x0) den
Graph von f in (x0, f(x0)) in”tangentialer“ Weise beruhrt:
limx→x0
x 6=x0
‖(x, f(x)) − (x, g(x))‖2|x− x0| = 0
Beispiel:
1. f : R −→ R , x 7−→ |x| , x0 = 0 ;
x
y..........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................f(x) f(x)
...............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
g−1/2
gm : R ∋ x 7−→ f(x0) +m(x− x0) ∈ R , m ∈ [−1, 1] .
limx→x0
x 6=x0
‖(x, f(x)) − (x, gm(x))‖2|x− x0| existiert ⇐⇒ m = 0 .
Fur m = 0 ist aber
limx→x0
x 6=x0
‖(x, f(x)) − (x, g0(x))‖2|x− x0| = 1 ,
d.h. es liegt keine tangentiale Beruhrung in (0, 0) vor.
Forderung Eine bei x0
”differenzierbare“ Funktion
f : U −→ R , U ⊂ R2 offen , x0 ∈ U
soll auch in x0 stetig sein (vgl. Folgerung 10.3 im R1).
Bemerkung: Eine eindimensionale Betrachtung reicht fur diese Forderung nicht aus!
Bezeichnung:
f1 : U1 ∋ x1 7−→ f(x1, x02) ∈ R ,
f2 : U2 ∋ x2 7−→ f(x01, x2) ∈ R ,
- 117 -
Prof. Dr. H.-J. Reinhardt Analysis, Arbeitsmaterialien
wobei U1, U2 ⊂ R offen mit U1 × U2 ⊂ U ⊂ R2 und x0 = (x01, x
02).
Beispiel:
2.
f : R2 −→ R , (x1, x2) 7−→
0 , falls x1x2 = 0 ,
1 , sonst.
f1(x1) = f2(x2) = 0 ∀x1, x2 ∈ R , x0 = (0, 0), und f1, f2 sind differenzierbar in 0.
Aber f ist nicht stetig in x0.
16.2 Partielle Ableitungen
Definition: Sei f : U −→ R , U ⊂ Rn offen.
(a) f heißt im Punkt x0 partiell nach xk , k ∈ {1, . . . , n}, differenzierbar, wenn
limh→0
f(x01, . . . , x
0k−1, x
0k + h, x0
k+1, . . . , x0n)− f(x0
1, . . . , x0n)
h
existiert; man setzt dann fur den Limes
∂f
∂xk(x0) oder fxk
(x0) oder Dkf(x0) ,
und bezeichnet diesen als partielle Ableitung.
(b) f heißt partiell differenzierbar in x0 ∈ U , wenn f fur jedes k = 1, . . . , n in x0 partiell
nach xk differenzierbar ist.
(c) f heißt partiell differenzierbar, wenn f in jedem Punkt von U partiell differenzierbar
ist.
Bezeichnung: ∂f∂xk
(x0) heißt partielle Ableitung von f nach xk.
Bemerkung: f ist genau dann in x0 = (x01, . . . , x
0n) ∈ U partiell nach xk differenzierbar,
wenn die partielle Funktion
fk : Uk ∋ xk 7−→ f(x0
1, . . . , x0k−1, xk, x
0k+1, . . . , x
0n
)∈ R ,
Uk ⊂ pk(U) ⊂ R (pk := kanonische Projektion auf k-te Komponente) bei x0k differenzierbar
ist.
- 118 -
Analysis, Arbeitsmaterialien Prof. Dr. H.-J. Reinhardt
Beispiel: f : R2 −→ R , (x1, x2) 7−→
0 , x1 = x2 = 0 ,x1x2
x21 + x2
2
, (x1, x2) 6= (0, 0) .
Die partiellen Funktionen f1 bzw. f2 sind fur jedes (feste) x2 bzw. x1 stetig. f ist in (0, 0)
unstetig. Die partiellen Ableitungen existieren uberall:
∂f
∂x1(x1, x2) =
x2
(x2
2 − x21
)
(x2
1 + x22
)2 , x1, x2 ∈ R , (x1, x2) 6= (0, 0) ,
∂f
∂x1(x1, 0) = 0 , x1 ∈ R ; also
∂f1
∂x1(0, 0) = 0 .
Analoges gilt fur ∂f/∂x2. Wegen ∂f/∂x1(0, x2) = 1/x2, x2 6= 0, nimmt ∂f/∂x1 in jeder
Umgebung von (0, 0) beliebig große Werte an.
Definition: Sei U ⊂ Rn offen und f : U −→ R partiell differenzierbar. Sind∂f
∂xk: U −→ R
fur jedes k = 1, . . . , n partiell differenzierbar, dann heißt f zweimal partiell differenzierbar.
Bezeichnung:
1. Die partiellen Ableitungen 2. Ordnung schreibt man als
∂2f
∂xj∂xkoder
∂
∂xj
(∂f
∂xk
)
oder DjDkf ;∂2f
∂x2k
, falls j = k .
2. Partielle Ableitungen dritter, vierter, ... Ordnung schreibt man als, z. B.,
∂3f
∂x2∂x4∂x1,
∂4f
∂x1∂x22∂x3
,∂5f
∂x52
, . . .
Bei den folgenden Satzen in diesem Abschnitt beschranken wir uns meist auf den R2;
die Ubertragung auf den Rn , n ≥ 2, ist offensichtlich. Wir setzen im Fall n = 2 noch
x = x1 , y = x2.
Satz 1 Ist U ⊂ R2 offen und f : U −→ R besitze beschrankte partielle Ableitungen fx, fy
in U , dann ist f stetig in U .
Beispiel: Fur die Funktion
f(x, y) :=
0 , x = y = 0 ,
xyx2 − y2
x2 + y2, (x, y) 6= (0, 0) ,
ist ∂2f/∂x∂y 6= ∂2f/∂y∂x bei (0, 0).
- 119 -
Prof. Dr. H.-J. Reinhardt Analysis, Arbeitsmaterialien
Satz 2 (Vertauschungssatz) Sei U ⊂ R2 offen, (x0, y0) ∈ U und f : U −→ R besitze
partielle Ableitungen fx, fy, fxy und fyx in U . Weiter seien fx, fy stetig in U und fxy, fyx
seien stetig im Punkt (x0, y0). Dann gilt
∂2f
∂x∂y(x0, y0) =
∂2f
∂y∂x(x0, y0) .
Satz 3 (Satz von H. A. SCHWARZ) Sei U ⊂ R2 offen, (x0, y0) ∈ U , f besitze partielle
Ableitungen fx, fy, fxy in U , fx und fy seien stetig in U und fxy sei im Punkt (x0, y0)
stetig. Dann existiert fyx in (x0, y0), und es ist
∂2f
∂y∂x(x0, y0) =
∂2f
∂x∂y(x0, y0) .
Bezeichnungen: U sei nichtleere, offene Teilmenge des Rn und k ∈ N.
Ck(U) :={
f : U −→ R
∣∣∣ alle partiellen Ableitungen der Ordnung
≤ k existieren in U und sind dort stetig}
;
C0(U) := C(U) = C(U,R) ;
C∞(U) =∞⋂
k=0
Ck(U) .
f ∈ Ck(U) heißt auch Ck–Funktion.
Folgerung 4 Sei U nichtleere offene Teilmenge des Rn. Fur jedes f ∈ Ck(U) sind die
partiellen Ableitungen der Ordnung ≤ k unabhangig von der Reihenfolge der Differentia-
tion.
Definition: Sei U ⊂ Rn offen, f : U −→ R besitze partielle Ableitungen bei x ∈ U .
Dann heißt der Vektor
(fx1(x), fx2(x), . . . , fxn(x))
der Gradient von f bei x. Wir schreiben dafur
grad f(x) oder ∇f(x) (∇ = Nabla–Operator)
- 120 -
Analysis, Arbeitsmaterialien Prof. Dr. H.-J. Reinhardt
Beispiel:
f(x, y) =
0 , (x, y) = (0, 0)xy
x2 + y2, (x, y) 6= (0, 0)
grad f(x, y) =
(
yy2 − x2
(x2 + y2)2, x
x2 − y2
(x2 + y2)2
)
, (x, y) 6= (0, 0) ;
grad f(0, 0) = (0, 0) .
Jede Komponente des Gradienten ist unstetig in (0, 0).
16.3 Vollstandige Differenzierbarkeit
Im folgenden sei der Rn bzw. Rm immer mit der euklidischen Norm versehen, ‖.‖ = ‖.‖2.
Definitionen: Sei U ⊂ Rn offen.
(a) f : U −→ R heißt vollstandig (oder total) differenzierbar im Punkt x0 = (x01, . . . , x
0n)
∈ U , wenn es Zahlen α1, . . . , αn ∈ R gibt, so dass die Funktion r : durch
f(x0 + h) = f(x0) + α1h1 + · · · + αnhn + r(h) ∀h : ‖h‖ < δ ,
fur ‖h‖ < δ, δ hinreichend kein, erklart ist,
wobei δ hinreichend klein ist, K(x0, δ) ⊂ U und
lim‖h‖→0
r(h)
‖h‖ = 0 .
(b) f : U −→ R heißt vollstandig differenzierbar, wenn f in jedem Punkt aus U
vollstandig differenzierbar ist.
Bemerkungen:
1. Die vollstandige Differenzierbarkeit in einem Punkt x0 bedeutet, dass man f in der
Nahe von x0 durch eine affine Funktion
f(x0) + α1(x1 − x01) + · · ·+ αn(xn − x0
n)
approximieren kann.
- 121 -
Prof. Dr. H.-J. Reinhardt Analysis, Arbeitsmaterialien
2. Die vollstandige Differenzierbarkeit stellt die Verallgemeinerung der Differenzierbar-
keit im R1 dar, da fur differenzierbares f gilt
f(x) = f(x0) + (x− x0)f ′(x0) + (x− x0)ϕ(x− x0)
mit ϕ(h) :=f(x0 + h)− f(x0)
h− f ′(x0) , r(h) := h · ϕ(h) und α1 := f ′(x0).
Bezeichnung: Wir lassen im folgenden”vollstandig“ oder
”total“ bei der Differenzier-
barkeit weg.
Satz 5 Ist U ⊂ Rn offen, f : U −→ R differenzierbar in x0 ∈ U , dann ist f stetig
und partiell differenzierbar bei x0; der Vektor α = (α1, . . . , αn) in der Definition der
Differenzierbarkeit ist eindeutig bestimmt:
α = grad f(x0) .
Bezeichnung: Ist f differenzierbar bei x, dann bezeichnen wir den eindeutig bestimmten
Vektor α = (α1, . . . , αn) als (totale oder vollstandige) Ableitung und schreiben dafur
f ′(x) oder Df(x) oder df(x) .
Nach Satz 5 ist fur f : U ⊂ Rn −→ R
f ′(x) = grad f(x) oder∂f
∂xi(x) = f ′(x)ei , i = 1, . . . , n .
Satz 6 Sei f : U −→ R , U ⊂ Rn offen, x0 ∈ U . Es gelte
(a) f ist partiell differenzierbar in K(x0, r) fur ein r > 0 mit K(x0, r) ⊂ U ;
(b) Die partiellen Ableitungen∂f
∂xk: K(x0, r) −→ R sind in x0 stetig fur jedes k =
1, . . . , n.
Dann ist f differenzierbar in x0.
Folgerung 7 Eine C1–Funktion f : U ⊂ Rn −→ R , U offen, ist in jedem Punkt x ∈ Udifferenzierbar und somit auch stetig.
- 122 -
Analysis, Arbeitsmaterialien Prof. Dr. H.-J. Reinhardt
Bemerkung: Das erste Beispiel in Abschnitt 16.2 zeigt, dass eine Funktion differen-
zierbar sein kann, ohne eine C1–Funktion zu sein.
Das zweite Beispiel in 16.2 ist differenzierbar bei (0, 0), weil fx und fy stetig bei (0, 0)
sind. Es ist sogar uberall differenzierbar mit stetigen partiellen Ableitungen, also eine
C1-Funktion.
Wir erweitern die Aussagen dieses Abschnitts noch auf Abbildungen f : U ⊂ Rn −→ Rm,
d. h. f habe Komponenten f1, . . . , fm,
f =
f1
...
fm
mit fj : U −→ R .
Definition: Sei f : U ⊂ Rn −→ Rm , U nichtleer und offen.
(a) f heißt in x0 ∈ U partiell differenzierbar nach xk , k ∈ {1, . . . , n}, wenn jede Kom-
ponente fj , 1 ≤ j ≤ n, in x0 partiell nach xk differenzierbar ist.
(b) f heißt in x0 ∈ U ( vollstandig oder total) differenzierbar, wenn es eine (m,n)–Matrix
A gibt, so dass fur alle x0 + h ∈ K(x0, δ) , δ hinreichend klein, die Darstellung gilt
f(x0 + h)− f(x0) = Ah+ r(h)
mit
limh→0
r(h)
‖h‖ = 0 .
Die Definitionen der partiellen Differenzierbarkeit (in ganz U), der stetigen partiellen Diffe-
renzierbarkeit sowie der vollstandigen Differenzierbarkeit in ganz U ubertragen sich analog.
Nach Satz 5 ist die Abbildung A in der Definition der Differenzierbarkeit eindeutig be-
stimmt und hat die Darstellung
A =
∂f1
∂x1(x) · · · ∂f1
∂xn(x)
...
∂fm∂x1
(x) · · · ∂fm∂xn
(x)
.
- 123 -
Prof. Dr. H.-J. Reinhardt Analysis, Arbeitsmaterialien
Bezeichnung: Die Matrix (∂fj/∂xi) i=1,...,nj=1,...,m
heißt Funktionalmatrix oder Jacobimatrix
der Funktion f ; wir schreiben dafur
f ′ := Df :=∂f
∂x:=
∂(f1, . . . , fm)
∂(x1, . . . , xn)= (∂fj/∂xi) i=1,...,n
j=1,...,m
=
grad f1
...
grad fm
.
Beispiele:
1. f : Rn −→ Rm sei konstant, d. h. f(x) = c ∈ Rm ∀x ∈ Rn. Dann ist f ′(x) = 0.
2. f : Rn −→ Rm sei linear, also f(x) = Mx , x ∈ Rn, mit einer (m,n)–Matrix M .
Dann gilt f ′(x) = M ∀x ∈ Rn.
Fur die identische Abbildung f(x) = x , x ∈ Rn, hat man f ′(x) = E = Einheitsma-
trix.
3. f : Rn −→ Rm sei affin, d. h f(x) = Mx+ b mit einer (m,n)–Matrix M und einem
Vektor b ∈ Rm. Dann ist f ′(x) = M ∀x ∈ Rn.
4. f : R3 −→ R2 ,
f1(x1, x2, x3) = x23 e
x1x2 ,
f2(x1, x2, x3) = x1x2e2x2x3) ,
∂(f1, f2)
∂(x1, x2, x3)=
(∇f1
∇f2
)
=
x2x
23ex1x2 x1x
23ex1x2 2x3e
x1x2
x2e2x2x3 (x1 + 2x1x2x3)e
2x2x3 2x1x22e
2x2x3
.
Definition:
Ck(U) := Ck(U,Rm) :={
f : U −→ Rm∣∣∣ fj ∈ Ck(U) ∀1 ≤ j ≤ m
}
C∞(U) := C∞(U,Rm) :=
∞⋂
k=0
Ck(U,Rm)
16.4 Differentiationsregeln
Satz 8 Seien f, g : U ⊂ Rn −→ Rm , U offen, in x0 ∈ U differenzierbar. Dann ist auch
f + g und αf , α ∈ R, in x0 differenzierbar, und es ist,
(f + g)′(x0) = f ′(x0) + g′(x0) , (αf)′(x0) = αf ′(x0) .
- 124 -
Analysis, Arbeitsmaterialien Prof. Dr. H.-J. Reinhardt
Satz 9 (Kettenregel) Seien f : U ⊂ Rn −→ Rm , g : G ⊂ Rm −→ Rr , U,G offen und
G ⊃ f(U). Ist f in x0 ∈ U und g in f(x0) differenzierbar, dann ist h := g ◦ f in x0
differenzierbar, und es gilt
(g ◦ f)′(x0) = g′(
f(x0))
f ′(x0) , d. h.
∂hj∂xi
(x0) =
m∑
k=1
∂gj∂yk
(
f(x0))∂fk∂xi
(x0) , 1 ≤ j ≤ r , 1 ≤ i ≤ n .
Bemerkungen:
1. Die Formel der Kettenregel hat die gleiche Form wie im R1 (vgl. Satz 10.6), bedeutet
hier aber ausfuhrlich geschrieben die Multiplikation der zwei entsprechenden Funk-
tionalmatrizen.
2. Spezialfall
f(u1, . . . , un) und ui : D ⊂ R −→ R , 1 ≤ i ≤ n :
Hierbei sei f : U ⊂ Rn −→ R , U offen, f differenzierbar,
ϕ(t) := f(u1(t), . . . , un(t)) existiere auf D ,
und ui , 1 ≤ i ≤ n, seien aufD differenzierbar. Dann ist auch ϕ aufD differenzierbar,
und dort gilt
dϕ
dt=
∂f
∂x1
du1
dt+
∂f
∂x2
du2
dt+ · · · + ∂f
∂xn
dundt
= 〈∇f, u′〉 .
Satz 10 Die Funktionen f, g : U ⊂ Rn −→ R , U offen, seien in x0 ∈ U differenzierbar.
Dann ist auch fg in x0 differenzierbar mit
(fg)′(x0) = f(x0)g′(x0) + g(x0)f ′(x0) .
Ist g(x0) 6= 0, so ist f/g in x0 differenzierbar mit der Ableitung
(f
g
)′(x0) =
g(x0)f ′(x0)− f(x0)g′(x0)
(g(x0))2.
- 125 -
Prof. Dr. H.-J. Reinhardt Analysis, Arbeitsmaterialien
Satz 11 Die Funktionen f, g : D ⊂ R −→ Rm , D offene Teilmenge von R, seien in t0 ∈D differenzierbar. Dann ist auch f · g : D ∋ t 7−→< f(t), g(t) >∈ R in t0 differenzierbar
mit der Ableitung
(f · g)′(t0) =< f(t0), g′(t0) > + < g(t0), f ′(t0) > ,
wobei
f ′(t0) =
df1
dt(t0)
...
dfmdt
(t0)
, g′(t0) =
dg1dt
(t0)
...
dgmdt
(t0)
.
16.5 Die Richtungsableitung
Definition: Sei f : U ⊂ Rn −→ R , U offen, und v ∈ Rn mit ‖v‖ = 1. f hat
Richtungsableitung in x0 ∈ U in Richtung v, wenn der folgende Limes existiert,
limt→0t 6=0
t−1(f(x0 + tv)− f(x0)
)=:
d
dtf(x0 + tv)
∣∣∣∣t=0
.
Wir nennen den Limes die Richtungsableitung von f in x0 in Richtung v und schreiben
dafur auch
∂f
∂v(x0) oder Dvf(x0) .
Bemerkungen:
1. Ist v der Einheitsvektor ek, so erhalt man als Richtungsableitung offenbar die parti-
elle Ableitung nach xk,
∂f
∂ek(x0) =
∂f
∂xk(x0) =
d
dtf(x0 + tek)
∣∣∣t=0
.
2. Man kann die Definition einer Richtungsableitung offenbar auf vektorwertige Funk-
tionen f : U ⊂ Rn −→ Rm erweitern; die Richtungsableitung ist dann einfach der
Vektor der Richtungsableitungen der einzelnen Komponenten fj , 1 ≤ j ≤ m.
Satz 12 Sei f : U ⊂ Rn −→ R , U offen und f sei differenzierbar in x0 ∈ U . Dann hat
f eine Richtungsableitung in x0 in jede Richtung v ∈ Rn , ‖v‖ = 1, und es gilt
d
dtf(x0 + tv)
∣∣∣∣t=0
= f ′(x0)v =< grad f(x0), v > .
- 126 -
Analysis, Arbeitsmaterialien Prof. Dr. H.-J. Reinhardt
Bemerkung: Aus Satz 12 folgt sofort wieder Satz 5, d. h. die Existenz partieller
Ableitungen fur eine differenzierbare Funktion f . Die partiellen Ableitungen lassen sich
auch schreiben als
∂f
∂xk(x0) =< f ′(x0)ek > , k = 1, . . . , n .
Aus der Darstellung der Richtungsableitung mit Hilfe des Gradienten und der Holderschen
Ungleichung fur das euklidische Skalarprodukt hat man das folgende, fur die Anwendungen
wichtige Ergebnis.
Satz 13 Die Funktion f : U ⊂ Rn −→ R (U offen) sei in x0 ∈ U differenzierbar. Ist
grad f(x0) = 0, so verschwinden alle Richtungsableitungen in x0. Ist grad f(x0) 6= 0,
so gibt es unter allen Richtungsableitungen ∂f/∂v(x0) eine betragsgroßte, namlich die in
Richtung des Gradienten; ihr Wert ist ‖grad f(x0)‖.
16.6 Mittelwertsatze und Hauptsatz
Aus dem eindimensionalen Mittelwertsatz der Differentialrechnung (s. Folgerung 11.3)
erhalt man sofort einen entsprechenden Satz fur reellwertige Funktionen mit vektoriellen
Argumenten.
Satz 14 (MWS fur reellwertige Funktionen) Sei U ⊂ Rn offen, f : U −→ R in U
differenzierbar, und x0, x0 +h seien zwei Punkte, die mitsamt ihrer Verbindungsstrecke in
U liegen. Dann gibt es ein ϑ : 0 < ϑ < 1, so dass gilt
f(x0 + h)− f(x0) = f ′(x0 + ϑh)h , d. h.
f(x0 + h)− f(x0) =n∑
i=1
fxi(x0 + ϑh)hi = < grad f(x0 + ϑh), h > .
Definition: Sei U ⊂ Rn offen und zusammenhangend. Dann bezeichnen wir U als
Gebiet.
Bemerkung: Man kann zeigen, dass jedes Gebiet U ⊂ Rn die Eigenschaft besitzt, dass
je zwei Punkte aus U durch einen in U liegenden Polygonzug verbunden werden konnen
(vgl. Heuser 2, 161.).
- 127 -
Prof. Dr. H.-J. Reinhardt Analysis, Arbeitsmaterialien
Folgerung 15 Sei U ⊂ Rn ein Gebiet, f : U −→ R, f sei in U partiell differenzierbar
und die partiellen Ableitungen fxi , 1 ≤ i ≤ n, seien uberall in U identisch Null. Dann ist
f in U konstant.
Der MWS gilt fur vektorwertige Funktionen nicht in Form einer Gleichheit — wie in
Folgerung 11.3 oder in Satz 14 — sondern in Form einer Ungleichung. Dafur benotigen
wir den Begriff des Riemann–Integrals fur Funktionen f : [a, b] −→ Rm , [a, b] ⊂ R.
Definition: Eine Funktion f = (f1, . . . , fm) : [a, b] −→ Rm , [a, b] ⊂ R, heißt Riemann–
integrierbar auf [a, b], wenn jedes fj beschrankt und Riemann–integrierbar ist
(vgl. Abschnitt 12.4);
∫ b
af(t) dt =
∫ b
af1(t) dt
...∫ b
afm(t) dt
heißt das Riemann–Integral von f uber [a, b].
Bemerkungen:
1. Als Folgerung aus dem 1-dimensionalen weiß man, dass stetige Funktionen Riemann–
integrierbar sind.
2. Wir setzen∫ a
af(t) dt := 0 ,
∫ b
af(t) dt = −
∫ a
bf(t) dt .
Wir lassen im folgenden”Riemann“ immer weg, da keine anderen Integralbegriffe in dieser
Vorlesung vorkommen.
Satz 16 Mit f : [a, b] −→ Rm ist auch ‖f‖ : [a, b] −→ R auf [a, b] integrierbar, und es gilt∥∥∥∥
∫ b
af(t) dt
∥∥∥∥≤∫ b
a
∥∥∥f(t)
∥∥∥ dt .
Satz 17 (Hauptsatz) Sei a < b , a, b ∈ R.
(a) Ist g : [a, b] −→ Rm stetig, dann ist
f : (a, b) ∋ t 7−→∫ t
ag(s) ds ∈ Rm
differenzierbar, und es gilt f ′(t) = g(t) , t ∈ (a, b).
- 128 -
Analysis, Arbeitsmaterialien Prof. Dr. H.-J. Reinhardt
(b) Ist f : [a, b] −→ Rm stetig und stetig differenzierbar in jedem t ∈ (a, b) und gibt es
h : [a, b] −→ Rm mit
h stetig, h(t) = f ′(t) , t ∈ (a, b) ,
so gilt
f(b)− f(a) =
∫ b
af ′(s) ds .
Folgerung 18 Sei f : U ⊂ Rn −→ R, U offen, f stetig differenzierbar, x, x′ ∈ U , und
γ : [0, 1] −→ Rn ein differenzierbarer Weg mit γ(0) = x , γ(1) = x′ und γ([0, 1]) = Γγ ⊂ U .
Dann gilt:
f(x′)− f(x) =
∫ 1
0f ′(γ(t))γ′(t) dt
=
∫ 1
0< grad f(γ(t)), γ(t) > dt .
Bemerkung: Fur zwei Punkte x, x′ ∈ U ⊂ Rn, die mitsamt ihrer Verbindungsstrecke
S in U liegen, ist γ(t) := tx′ + (1 − t)x , t ∈ [0, 1], ein differenzierbarer Weg (i. e. eine
Gerade), dessen Kurve gerade S ergibt, Γγ = S.
Definition: Eine Teilmenge C eines normierten Raumes X heißt konvex , wenn sie mit
je zwei ihrer Punkte x′ , x ∈ C auch deren Verbindungsstrecke x′x := S :={
z ∈ X∣∣∣ ∃t ∈
[0, 1] : z = tx′ + (1− t)x}
enthalt.
Beispiele: Leere Menge; ganz X; Rechtecke, Kreise, Ellipsen im R2; Kugeln (offen oder
abgeschlossen) in normierten Raumen.
Definition: Sei A = (ajk) j=1,...,mk=1,...,n
eine (m,n)–Matrix, d. h. eine lineare Abbildung
A : Rn −→ Rm. Eine Matrizennorm ‖.‖ heißt mit den Normen ‖.‖ = ‖.‖Rn , ‖.‖ = ‖.‖Rm
vertraglich, wenn ‖Ax‖Rm ≤ ‖A‖ ‖x‖Rn ∀x ∈ Rn.
Beispiele:
1. ‖.‖∞ in Rn und Rm, A = (ajν) j=1,...,mν=1,...,n
‖A‖ = ‖A‖∞ := max1≤j≤m
n∑
ν=1
|ajν | (”maximale Zeilensumme “)
- 129 -
Prof. Dr. H.-J. Reinhardt Analysis, Arbeitsmaterialien
2. ‖.‖1 in Rn und Rm,
‖A‖ = ‖A‖1 := max1≤ν≤n
m∑
j=1
|ajν| (”maximale Spaltensumme “)
3. ‖.‖2 in Rn und Rm,
‖A‖ = ‖A‖2 :=
m∑
j=1
n∑
ν=1
|ajν|2
1/2
(”Quadratsummennorm“)
Definition: Die naturliche Matrizennorm zu ‖ · ‖Rn , ‖ · ‖Rm ist definiert durch
‖A‖nat = sup06=x∈Rn
‖Ax‖Rm
‖x‖Rn
.
Beispiele: Im letzten Beispiel sind 1. und 2. auch naturliche Matrizennormen; 3. nicht.
Satz 19 (Mittelwertsatz fur vektorwertige Funktionen) Sei U ⊂ Rn offen, f : U −→ Rm
stetig differenzierbar, und x, x0+h seien zwei Punkte, die mitsamt ihrer Verbindungsstrecke
S in U liegen. Dann gilt
f(x0 + h)− f(x0) =
(∫ 1
0f ′(x0 + th) dt
)
h , d. h.
fj(x0 + h)− fj(x0) =
n∑
ν=1
hν
∫ 1
0
∂fj∂xν
(x0 + th) dt , j = 1, . . . ,m .
Ist ‖.‖ irgendeine mit den Normen von Rn und Rm vertragliche Matrizennorm, dann gilt
die Abschatzung
‖f(x0 + h)− f(x0)‖ ≤ ‖h‖maxx∈S‖f ′(x)‖ .
Ein gewisser Ersatz fur den fehlenden MWS kann als Folgerung von Satz 14 wie folgt
formuliert werden.
Folgerung 20 Sei U ⊂ Rn offen, f : U −→ Rm , f = (f1, . . . , fm) differenzierbar in U .
Sind x0, x0 + h Punkte, die mitsamt ihrer Verbindungsstrecke S in U liegen, so gibt es
Punkte ξ1, . . . , ξm auf S, fur die gilt f(x0 + h)− f(x0) = f ′[ξ1, . . . , ξm]h mit
f ′[ξ1, . . . , ξm] :=
∂f1
∂x1(ξ1) . . .
∂f1
∂xn(ξ1)
...
∂fm∂x1
(ξm) . . .∂fm∂xn
(ξm)
- 130 -
Analysis, Arbeitsmaterialien Prof. Dr. H.-J. Reinhardt
16.7 Der Taylorsche Satz und die Taylorformel
Satz 21 (Satz von Taylor) Sei U ⊂ Rn offen, f ∈ Ck+1(U) , k ≥ 0, und mit x0, x0 + h
liege auch deren Verbindungsstrecke S in U . Dann gibt es ein ϑ in 0 ≤ ϑ ≤ 1, so dass gilt
(”Taylor–Formel“)
f(x0 + h) = f(x0) +k∑
ν=1
1
ν!
(
(∇h)νf)
(x0) +Rk(x0;h)
mit dem Restglied (in”Lagrange–Darstellung“)
Rk(x0;h) =
1
(k + 1)!
(
(∇h)k+1f)
(x0 + ϑh)
und den Differentialoperatoren
(∇h)0 = id , ∇h := (∇h)1 := h1D1 + · · ·+ hnDn , (∇h)ν+1 := (∇h)(∇h)ν ,ν = 0, . . . , k .
Das Restglied lasst sich auch in Integralform darstellen,
Rk(x0;h) =
∫ 1
0
(1− t)kk!
(
(∇h)k+1f)
(x0 + th) dt .
Bezeichnungen: Ein Tupel α = (α1, . . . , αn) ∈ Nn0 heißt Multiindex mit Lange |α| =
α1 + · · · + αn. Fur α ∈ Nn0 setzen wir
α! =
n∏
i=1
αi! , xα :=
n∏
i=1
xαi
i , x = (x1, . . . , xn) ∈ Rn .
Induktiv sieht man, dass
(x1 + · · ·+ xn)ν = ν!
∑
|α|=ν
xα
α!
=⇒ 1
ν!(∇h)ν =
∑
|α|=ν
1
α!hαDα ,
wobei
Dα =∂|α|
∂xα11 · · · ∂xα
n
n
= Dα11 · · ·Dαn
n
∂ℓ
∂xℓi=
∂
∂xi◦ · · · ◦ ∂
∂xi(ℓ–mal) .
- 131 -
Prof. Dr. H.-J. Reinhardt Analysis, Arbeitsmaterialien
Unter den Voraussetzungen von Satz 21 lasst sich die Taylor–Formel auch in folgender
Weise schreiben,
f(x0 + h) =∑
|α|≤k
1
α!hα(Dαf)(x0) +
∑
|α|=k+1
1
α!hα(Dαf)(x0 + ϑh) .
Man nennt
Pk,f,x0(x) =∑
|α|≤k
1
α!(x− x0)α(Dαf)(x0)
das k-te Taylor–Polynom (oder Taylor–Polynom vom Grad k) von f bzgl. der Stelle x0.
Beispiel: f : U −→ R , U ⊂ R2 offen, konvex, f (k + 1)-mal stetig differenzierbar:
k = 1:
f(x01 + h1, x
02 + h2) = f(x0
1, x02) +
((
h1∂
∂x1+ h2
∂
∂x2
)
f
)(x0
1, x02
)+
+1
2
((
h1∂
∂x1+ h2
∂
∂x2
)2
f
)
(x0
1 + ϑh1, x02 + ϑh2
),
wobei
1
2
(
h1∂
∂x1+ h2
∂
∂x2
)2
f =1
2h2
1
∂2f
∂x21
+ h1h2∂2f
∂x1∂x2+
1
2h2
2
∂2f
∂x22
.
Sind die partiellen Ableitungen zweiter Ordnung in U beschrankt, so gilt die Restglied-
abschatzung
‖R1(x0;h)‖∞ ≤
1
2M‖h‖2∞
mit (hier: n = 2)
M :=n∑
ν,ℓ=1
supx∈U
∣∣∣∣
∂2f
∂xν∂xℓ(x)
∣∣∣∣.
Definition: Hessematrix (f ∈ C2(U) , U ⊂ Rn offen)
Hf (x) :=
fx1x1(x) · · · fx1xn(x)...
...
fxnx1(x) · · · fxnxn(x)
- 132 -
Analysis, Arbeitsmaterialien Prof. Dr. H.-J. Reinhardt
Bemerkung: Nach dem Satz von Schwarz ist die Hessematrix symmetrisch, fxixj(x) =
fxjxi(x) ∀i, j = 1, . . . , n. Es gilt
(∇h)2f =
n∑
i,j=1
hihjfxixj=< Hfh, h > .
Die Taylor–Formel fur k = 1 lautet
f(x0 + h) = f(x0)+ < grad f(x0), h > +R1(x0;h) ;
Restglied R1(x0;h) =
1
2< Hf (x
0 + ϑh)h, h > (”Lagrange–Darstellung“)
=
∫ 1
0(1− t) < Hf (x
0 + th)h, h > dt (”Integraldarstellung“)
Das Taylor–Polynom 2. Ordnung lasst sich schreiben als
P2,f,x0(x) = f(x0)+ < gradf(x0), x− x0 > +1
2< Hf (x
0)(x− x0), x− x0 > .
Bemerkung:
1. Ist f = (f1, . . . , fm) eine vektorwertige Funktion, dann gelten der Taylorsche Satz
und die Taylor–Formel unverandert, wobei alles vektorwertig zu verstehen ist.
2. Man kann die Eigenschaft der vollstandigen Differenzierbarkeit auch allgemeiner in
Banachraumen formulieren. Die Ableitungen heißen dann Frechet–Ableitungen und
sind beschrankte lineare Abbildungen zwischen den Banachraumen. Die Funktional-
matrix ist eine mogliche Darstellung der Frechet–Ableitung (bzgl. der kanonischen
Basen in Rn bzw. Rm). Die hoheren (Frechet–)Ableitungen sind dann Multilinearfor-
men. Die Definitionen und die Formulierung der Satze, z. B. des Taylorschen Satzes,
konnen meist unverandert ubernommen werden.
- 133 -
Prof. Dr. H.-J. Reinhardt Analysis, Arbeitsmaterialien
17 Der Satz uber implizite Funktionen
Der Satz uber implizite Funktionen — oder der Satz uber inverse Funktionen — kann als
”Hauptsatz“ der nichtlinearen Analysis bezeichnet werden. Dabei lernen wir auch einen
zentralen Satz uber die Existenz von Fixpunkten kennen.
17.1 Der Kontraktionssatz
Satz 1 Sei (M,d) vollstandiger metrischer Raum, sei F : M −→M und es gelte:
∃q ∈ [0, 1) ∀x, y ∈M : d(F (x), F (y)) ≤ qd(x, y) .
Dann gibt es genau ein x ∈M mit
F (x) = x (x ist Fixpunkt von F ) .
Folgerung 2 (Banachscher Fixpunktsatz)
Sei X Banachraum, M ⊂ X abgeschlossen, F : M −→M und es gelte:
∃q ∈ [0, 1) ∀x, x′ ∈M :∥∥∥F (x)− F (x′)
∥∥∥X≤ q‖x− x′‖X .
Dann gibt es genau ein x ∈M mit
F (x) = x (x ist Fixpunkt von F in M) .
Definitionen:
1. Eine Abbildung F : D ⊂ X −→ Y, X, Y normierte Raume, heißt Lipschitzstetig,
wenn mit einer Konstanten L ≥ 0 (L = Lipschitzkonstante) gilt
‖F (x)− F (x′)‖Y ≤ L‖x− x′‖X ∀x, x′ ∈ D .
2. Eine Lipschitzstetige Abbildung F heißt Kontraktion (oder kontrahierende Abbil-
dung), wenn die Lipschitzkonstante L < 1 ist.
Beispiele:
- 134 -
Analysis, Arbeitsmaterialien Prof. Dr. H.-J. Reinhardt
1. Sei a < b , F : [a, b] −→ [a, b] stetig und sei F differenzierbar in (a, b). Es gelte mit
q ∈ [0, 1):
|F ′(ξ)| ≤ q ∀ξ ∈ (a, b) .
Dann besitzt F genau einen Fixpunkt in [a, b].
2. X = R , ‖.‖ := |.| , M := [0,∞),
F : M ∋ t 7−→ t+1
1 + t∈M .
Es gilt
|F (t)− F (s)| < |t− s| , t, s ∈M ,
aber nicht
|F (t)− F (s)| ≤ q|t− s| , t, s ∈M , mit q < 1 .
F besitzt keinen Fixpunkt!
3. X := R , ‖.‖ := |.| , M := (0,∞) ,
F : M ∋ t 7−→ qt ∈M mit q ∈ [0, 1) .
Offenbar gilt
|F (t)− F (s)| ≤ q|t− s| , t, s ∈M ,
aber F besitzt keinen Fixpunkt.
Beachte: M ist nicht abgeschlossen!
Als Anwendung von Satz 1 bzw. Folg. 2 in einer unendlich–dimensionalen Situation be-
trachten wir das Existenzproblem von Anfangswertaufgaben bei gewohnlichen Differenti-
algleichungen:
Gegeben: y0 ∈ Rn (Anfangswert) , D ⊂ Rn ,
f : [a, b]×D −→ Rn (rechte Seite) .
Gesucht: Losung ϕ der Anfangswertaufgabe
(AWP) y′ = f(t, y) , y(a) = y0 , d. h.
- 135 -
Prof. Dr. H.-J. Reinhardt Analysis, Arbeitsmaterialien
ϕ : [a, b] −→ D mit
ϕ(t) = f(t, ϕ(t)) , t ∈ [a, b] , ϕ(a) = y0 .
Der Hauptsatz (Satz 17) besagt, dass die Suche nach einer Losung der Anfangswertaufgabe
(AWP) verknupft werden kann mit der Suche nach einer Losung der Integralgleichung
(IG) ϕ(t) = y0 +
∫ t
af(s, ϕ(s)) ds , t ∈ [a, b] .
Satz 3 Sei f : [a, b]× Rn −→ Rn stetig, y0 ∈ Rn beliebig, und es gebe L ≥ 0 mit
‖f(t, x)− f(t, x′)‖ ≤ L‖x− x′‖ ∀x, x′ ∈ Rn ∀t ∈ [a, b] .
Dann gibt es genau einen stetig differenzierbaren Weg ϕ : [a, b] −→ Rn mit
ϕ(t) = f(t, ϕ(t)) , t ∈ [a, b] , ϕ(a) = y0 .
Folgerung 4 Sei f : [a, b]×K(y0, r) −→ Rn stetig und es gebe L ≥ 0 mit
‖f(t, x)− f(t, x′)‖ ≤ L‖x− x′‖ ∀x, x′ ∈ K(y0, r) ∀t ∈ [a, b] .
Dann gibt es genau einen stetig differenzierbaren Weg ϕ : [a, a+ α] −→ Rn mit
ϕ(t) = f(t, ϕ(t)) , t ∈ [a, a+ α] , ϕ(a) = y0 ;
hierbei sind:
α := max(b− a, rm−1) ,
m := max{
‖f(s, x)‖∣∣∣ s ∈ [a, b] , x ∈ K(y0, r)
}
.
Beispiele:
1. Populationsmodell (VOLTERRA–LOTKA)
(AWP) y′ = y(a− by) , y(0) = y0 ; a, b > 0 .
- 136 -
Analysis, Arbeitsmaterialien Prof. Dr. H.-J. Reinhardt
Mit f(t, y) := y(a− by) gilt fur y ∈ K(y0, r):
|f(t, x)− f(t, x′)| ≤ L|x− x′| ,
L := max
{∣∣∣∣
∂f
∂y(t, ξ)
∣∣∣∣t ∈ R, ξ ∈ K(y0, r)
}
.
Wir erhalten eine Losung zumindest fur ein”kleines Stuck“ in die Zukunft (lokale
Losung).
2. Betrachte
(AWP) y′ = 1 + y2 , y(0) = 0 .
Die Losung von AWP ist der Tangens (tan′(y) = 1 + y2).
Bemerkung: Satz 3 oder Folg. 4 wird als ein Satz vom Typ”PICARD–LINDELOFF“
bezeichnet.
17.2 Der Satz uber die inverse Abbildung
In diesem Abschnitt sei immer f : U −→ Rm , U ⊂ Rn offen. Um den Satz von der inver-
sen Abbildung beweisen zu konnen, benotigen wir noch ein Ergebnis uber invertierbare
Matrizen.
Bezeichnung: M(m,n) := Raum aller (m,n)–Matrizen.
Jede Matrix A ∈ M(m,n) definiert eine beschrankte, lineare Abbildung von Rn in den
Rm , A : Rn −→ Rm. Im Raum M(n, n) aller quadratischen Matrizen ist das Produkt
AB zweier Matrizen wieder eine (n, n)–Matrix. Eine Matrix A ∈M(n, n) ist invertierbar,
d. u. n. d. wenn detA 6= 0.
Definition: Eine Matrizennorm auf M(n, n) liegt vor, wenn neben den Normeigen-
schaften noch
‖AB‖ ≤ ‖A‖ ‖B‖ (”Submultiplikativitat“)
erfullt ist.
Hinsichtlich der Eigenschaft der Vertraglichkeit von Matrizennormen sei auf Abschnitt
16.6 verwiesen.
- 137 -
Prof. Dr. H.-J. Reinhardt Analysis, Arbeitsmaterialien
Lemma 5 Ist A ∈ M(n, n) invertierbar, dann gibt es Zahlen α ≥ 0 und ε > 0 mit der
Eigenschaft ( ‖.‖ = Matrizennorm):
∀B : ‖B −A‖ < ε =⇒ ∃B−1 und ‖A−1 −B−1‖ ≤ α‖A −B‖ .
Bemerkungen:
1. Lemma 5 besagt, dass die Bildung der Inversen einer invertierbaren Matrix eine
stetige Abbildung inM(n, n) ist.
2. Man beachte, dass in endlichdimensionalen Raumen lineare Abbildungen immer ste-
tig (als Abb. zwischen den endlichdimensionalen Raumen) sind. Damit definiert auch
die Inverse einer Matrix, wenn sie existiert, immer eine stetige lineare Abbildung.
Definition: f heißt Cr–Diffeomorphismus, r ≥ 1, falls gilt:
f ∈ Cr(U,Rm) , f injektiv,
V := f(U) offen, f−1 ∈ Cr(V,Rn) .
Satz 6 Sei f ∈ C1(U,Rn) , x0 ∈ U , und die Ableitung f ′(x0) sei invertierbar. Dann
gibt es ein U0 ⊂ U , U0 offen, x0 ∈ U0, so dass f |U0 C1–Diffeomorphismus ist; fur
y ∈ V0 := f(U0) gilt
(f−1)′(y) =[f ′(f−1(y)
)]−1.
Bemerkung:
1. Die Invertierbarkeit der Funktionalmatrix f ′(x0) =
(∂f
∂x(x0)
)
ist aquivalent zur
Beziehung det(f ′(x0)) 6= 0.
2. Ist f ∈ Cr(U,Rm), so kann man durch Anwendung der Kettenregel sogar zeigen,
dass h = f |U0 Cr–Diffeomorphismus ist, d. h. dass auch alle partiellen Ableitungen
bis zur Ordnung r von h−1 existieren und stetig sind (vgl. Walter (1992), Analysis
2, 4.5 und 4.6).
3. Das Ergebnis von Satz 6 uber die inverse Abbildung lasst sich durch folgende Figur
verdeutlichen:
- 138 -
Analysis, Arbeitsmaterialien Prof. Dr. H.-J. Reinhardt
Beispiele:
1. Ebene Polarkoordinaten
Abbildung: (r, ϕ) −→ (r cosϕ, r sinϕ) =: (x, y)
det∂(x, y)
∂(r, ϕ)=
∣∣∣∣∣∣
cosϕ −r sinϕ
sinϕ r cosϕ
∣∣∣∣∣∣
= r 6= 0 , (x, y) 6= (0, 0) .
Zu jedem Bildpunkt (x, y) 6= (0, 0) gibt es unendlich viele Urbilder (r, ϕ + 2kπ). In
einer Umgebung von (x0, y0) 6= (0, 0) gibt es eine Umkehrfunktion (aus C∞),
r = (x2 + y2)1/2 , ϕ = arg(x, y) = arctany
x
(falls x0 = 0 : ϕ = arccotx
y). Die Polarkoordinatendarstellung bildet z. B. den
offenen Halbstreifen {0 < r <∞, −π < ϕ < π} C∞–diffeomorph auf die langs der
negativen reellen Achse aufgeschlitzte Ebene R2 \ {(x, y) | x ≤ 0, y = 0} ab.
2. Betrachte f : R2 ∋ (x, y) 7−→ (x2 + y2, 2xy) ∈ R2.
Offenbar gilt:
f(R2) ⊂ Q :={
(u, v) ∈ R2∣∣∣u+ v ≥ 0 , u− v ≥ 0
}
.
Sei a > 0. Es gilt:
f(a cos t, a sin t) = (a2, a2 sin 2t) , 0 ≤ t ≤ π .
- 139 -
Prof. Dr. H.-J. Reinhardt Analysis, Arbeitsmaterialien
Damit zeigt man:
f(R2) = Q .
Offenbar ist f stetig differenzierbar; f ′(x, y) wird dargestellt durch die Matrix
f ′(x, y) =
2x 2y
2y 2x
, det f ′(x, y) = 4(x2 − y2) .
Ist also (x0, y0) ∈ R2 mit (x0)2 6= (y0)2, so ist f in einer Umgebung von (x0, y0) ein
C1–Diffeomorphismus.
Zur Ableitung von f−1 : (f−1)′(u, v) =[
f ′(x, y)]−1
, (u, v) = f(x, y)
=
b11 b12
b21 b22
=: B
Spalten von B:
2x 2y
2y 2x
b11
b21
=
1
0
,
2x 2y
2y 2x
b12
b22
=
0
1
=⇒[
f ′(x, y)]−1
=1
2(x2 − y2)
x −y−y x
,
wobei
x =√u cos
(1
2arcsin
v
u
)
,
y =√u sin
(1
2arcsin
v
u
)
,
(u, v) ∈ Q , v 6= |u| .
17.3 Der Satz uber implizite Funktionen
In diesem Abschnitt sei immer F : U × V −→ Z , U ⊂ Rn, V ⊂ Rm, Z ⊂ Rm.
Aufgabe: Die Gleichung
F (x, y) = 0 , (x, y) ∈ U × V
nach y”auflosen“, d. h. eine Abbildung g : U −→ V zu finden mit
F (x, g(x)) = 0 , x ∈ U .
- 140 -
Analysis, Arbeitsmaterialien Prof. Dr. H.-J. Reinhardt
Ausgeschrieben bedeutet dies:
F1(x1, . . . , xn, y1, . . . , ym) = 0...
Fm(x1, . . . , xn, y1, . . . , ym) = 0
auf U nach y1, . . . , ym auflosen, d. h. gj : U −→ R , j = 1, . . . ,m, zu finden mit
Fj(x1, . . . , xn, g1(x1, . . . , xn), . . . , gm(x1, . . . , xn)) = 0 ,
x = (x1, . . . , xn) ∈ U , j = 1, . . . ,m .
”Auflosbarkeit“ bedeutet auch:
Finde g : U −→ V , so dass
N := {(x, y) ∈ U × V | F (x, y) = 0}Graph der Abbildung g ist.
Man sagt, g sei durch F implizit definiert.
Beispiel:
1. Betrachte F : R2 ∋ (x, y) 7−→ x2 + y2 − r2 ∈ R. Auflosen von F (x, y) = 0 bedeutet,
die Kreislinie als Graph einer Funktion g darzustellen. Dies kann nicht gelingen! Es
ist aber”stuckweise“ moglich, z. B. durch
g1(x) :=√
r2 − x2 oder g2(x) := −√
r2 − x2 , |x| ≤ r .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
..
.
.
.
..
.
.
..
.
..
.........................................................................................
....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
r
..............................................................................................
................................................................................
...............
.............................................................................................
............................................................................................
Bezeichnung: Ist
Fx0 : V ∋ y 7−→ F (x0, y) ∈ Z
bzw.
Fy0 : U ∋ x 7−→ F (x, y0) ∈ Z
- 141 -
Prof. Dr. H.-J. Reinhardt Analysis, Arbeitsmaterialien
differenzierbar in y0 bzw. x0, so schreiben wir fur die Ableitungen
dyF (x0, y0) oder∂F
∂y(x0, y0) ∈ Rm,m
bzw. dxF (x0, y0) oder∂F
∂x(x0, y0) ∈ Rm,n .
Der folgende Satz beantwortet nicht nur die Frage der Auflosbarkeit, sondern trifft auch
eine Aussage uber die Differenzierbarkeit implizit definierter Funktionen.
Satz 7 Seien U ⊂ Rn und V ⊂ Rm offen, F : U × V −→ Z ⊂ Rm , (x0, y0) ∈ U × V ,
und es gelte
F (x0, y0) = 0 , F ∈ C1(U × V,Z) ,∂F
∂y(x0, y0) invertierbar.
Dann gibt es offene Mengen U0 ⊂ U , V0 ⊂ V und eine Abbildung g : U0 −→ V0 mit
(a) x0 ∈ U0 , y0 ∈ V0 , g ∈ C1(U0, V0) ,
(b) g(x) ist einzige Losung in V0 von F (x, g(x)) = 0 ∀x ∈ U0 ,
(c) g′(x) = −∂F∂y
(x, g(x))−1 ∂F
∂x(x, g(x)) , x ∈ U0 .
Bemerkung: Setzt man in Satz 7 zusatzlich voraus, dass F ∈ Cr(U × V,Z), dann ist
auch g ∈ Cr(U0, V0).
Beispiel:
2. Betrachte F : R× R ∋ (x, y) 7−→ xex + yey + xy ∈ R und die Gleichung
F (x, y) = 0 , d. h. xex + yey + xy = 0 .
Es gilt: F (0, 0) = 0 , F ∈ Cr(R2,R) ∀r ∈ N ,
dyF (0, 0) =∂F
∂y(0, 0) = e0 = 1 6= 0 .
Also liegt in (0, 0) lokale Auflosbarkeit durch eine Funktion g vor;
g′(x) = −∂F∂y
(x, g(x))−1 · ∂F∂x
(x, g(x)) , x ∈ U0 ,
d. h.
g′(x) = − (x+ 1)ex + g(x)
(g(x) + 1)eg(x) + x, x ∈ U0 . (1)
Ferner g(0) = 0. (2)
(1) und (2) stellen eine Anfangswertaufgabe fur die zu findende Funktion g dar.
- 142 -
Analysis, Arbeitsmaterialien Prof. Dr. H.-J. Reinhardt
17.4 Maxima und Minima
Sei U ⊂ Rn offen, f ∈ C1(U,R).
Definition: x0 ∈ U heißt lokales Extremum (lokales Maximum bzw. lokales Minimum),
falls es ein r > 0 gibt mit
f(x) ≤ f(x0) bzw. f(x) ≥ f(x0) ∀x ∈ K(x0, r) ∩ U .
Gilt”=“ nur bei x0, so liegt ein lokales Extremum im strengen Sinn vor.
Eine notwendige Bedingung fur ein lokales Extremum liefert der folgende Satz.
Satz 8 (Fermatsches Kriterium) Ist f ∈ C1(U,R) und x0 ein lokales Extremum, dann
ist grad f(x0) = 0.
Definition: x0 heißt stationarer Punkt von f , wenn grad f(x0) = 0.
Zur Formulierung von hinreichenden Bedingungen benotigen wir noch folgende Begriffe.
Definitionen: Eine (n, n)–Matrix A = (ajk) heißt
symmetrisch, wenn ajk = akj , j, k = 1, . . . , n .
Eine symmetrische Matrix heißt
positiv definit, wenn < Ax, x > > 0 ∀x 6= 0 ;
positiv semidefinit, wenn < Ax, x > ≥ 0 ∀x ;
negativ definit, wenn < Ax, x > < 0 ∀x 6= 0 ;
negativ semidefinit, wenn < Ax, x > ≤ 0 ∀x ;
indefinit, sonst.
Bemerkung: Fur symmetrische Matrizen gilt < Ax, y >=< x,Ay > x, y ∈ Rn.
Satz 9 (Hinreichende Bedingung fur ein Extremum): Sei f ∈ C2(U) , x0 ∈ U und
grad f(x0) = 0. Mit Hilfe der Hessematrix Hf der zweiten partiellen Ableitungen gelten
dann die folgenden Aussagen:
(a) Hf (x0) positiv definit =⇒ lokales Minimum im strengen Sinn;
(b) Hf (x0) negativ definit =⇒ lokales Maximum im strengen Sinn;
(c) Hf (x0) indefinit =⇒ kein Extremum.
- 143 -
Prof. Dr. H.-J. Reinhardt Analysis, Arbeitsmaterialien
Bemerkung: Im Fall n = 2 ist Hf (x0) definit (d. h. positiv oder negativ definit) bzw.
indefinit, wenn die zugehorige Diskriminante
D = fxxfyy − f2xy
bei x0 positiv bzw. negativ ist. Ist D > 0 und fxx > 0 bzw. < 0 bei x0, so ist Hf (x0) positiv
definit bzw. negativ definit, also liegt ein Minimum bzw. Maximum vor (vgl. Walter 2, 4.8
und 4.11).
Beispiel: f(x, y) = x3 + y3 − 3xy , (x, y) ∈ R2;
∂f
∂x= 3x2 − 3y ,
∂f
∂y= 3y2 − 3x ;
stationare Punkte: (0, 0) und (1, 1);
∂2f
∂x2= 6x ,
∂2f
∂y2= 6y ,
∂2f
∂x∂y= −3 .
Bei (0, 0) : D = −9; dort liegt also kein Extremum vor. Bei (1, 1) : D = 6 · 6 − 9 = 27;
dort liegt ein lokales Minimum im engen Sinn vor; der Wert von f ist f(1, 1) = −1. Wegen
f(x, x) −→∞(x→∞) und f(x, x) −→ −∞(x→ −∞) gibt es kein globales Extremum.
-1-0.5
00.5
11.5
2 -1-0.5
00.5
11.5
2
-5
0
5
10
17.5 Lagrangesche Multiplikatorenregel
Sei M ⊂ U , M 6= ∅ , U ⊂ Rn offen, f : U −→ R.
- 144 -
Analysis, Arbeitsmaterialien Prof. Dr. H.-J. Reinhardt
Optimierungsaufgabe (Extrema mit Nebenbedingung):
Minimiere bzw. maximiere f(x) unter der Nebenbedingung x ∈M .
⇐⇒Finde x0 ∈M mit f(x0) ≤ f(x) ∀x ∈M bzw. f(x0) ≥ f(x) ∀x ∈M .
⇐⇒(Kurzschreibweise) minx∈M f(x) bzw. maxx∈M f(x)
Voraussetzung: Der Bereich M kann parametrisiert werden, d. h. es existiert g =
(g1, . . . , gm) : U −→ Rm mit M = {x ∈ U | g(x) = 0}.
Beispiele:
1. g(x, y, z) := x+ y − z = 0 , M = {(x, y, z) | z = x+ y} .
2. g(x, y) := x2 + y2 − 1 = 0 , M = Kreis mit Radius 1 ,
grad g(x) = (2x, 2y) .
Spezialfall: (n = 2 , g(x, y) = 0 stellt ebene Kurve dar.) Gesucht ist ein lokales
Minimum von f unter der Nebenbedingung g(x, y) = 0. Ist gy(x0, y0) 6= 0, dann lasst sich
g = 0 in einer Umgebung von (x0, y0) eindeutig auflosen in der Form y = h(x). Gesucht
ist also ein lokales Extremum von k(x) := f(x, h(x)). Es ist
k′(x) = fx + fyh′ , h′(x) = −gx
gy(Argument: (x, h(x)) )
(s. Satz 7). Ein stationarer Punkt in M = {g(x, y) = 0} liegt vor, wenn
(∗) fx − fygxgy
= 0 und g = 0 .
Fuhrt man die (Lagrange–)Funktion
H(x, y, λ) := f(x, y) + λg(x, y)
ein, so ist die Losung von (∗) aquivalent zur Suche eines stationaren Punktes (x0, y0, λ0)
von H — falls gy 6= 0 —, d. h.
Hx = fx(x, y) + λgx(x, y) = 0 ,
(L) Hy = fy(x, y) + λgy(x, y) = 0 ,
Hλ = g(x, y) = 0 .
- 145 -
Prof. Dr. H.-J. Reinhardt Analysis, Arbeitsmaterialien
In (L) sucht man also einen stationaren Punkt der Funktion H ohne Nebenbedingung;
λ heißt Lagrangescher Multiplikator.
Ist gx(x0, y0) 6= 0, so erhalt man aus (∗) den Lagrangeschen Multiplikator durch λ =
−fx(x0, y0) / gx(x0, y0) — bei gy(x
0, y0) 6= 0 durch λ = −fy(x0, y0) / gy(x0, y0).
Unter den Losungen (x0, y0, λ0) von (L) sind also die lokalen Minima der obigen Optimie-
rungsaufgabe enthalten.
Beispiel: f(x, y) = x2y2 , g(x, y) = x2 + y2 − 1 ,
H(x, y, λ) = x2y2 + λx2 + λy2 − λ ;
0 = Hx(x, y, λ) = 2xy2 + 2λx = 2x(y2 + λ) ,
(L) 0 = Hy(x, y, λ) = 2x2y + 2λy = 2y(x2 + λ) ,
1 = x2 + y2 .
=⇒ 1. x0 = 0 , y0 = ±1 (, λ0 = 0)
2. y0 = 0 , x0 = ±1 (, λ0 = 0)
(4 Punkte)
3. y2 + λ = 0
x2 + λ = 0
x2 + y2 = 1
=⇒1 = −2λ , λ0 = −1
2 , y2 = 1
2
y0 = ±12
√2 , x0 = ±1
2
√2
(4 Punkte)
Unter den 8 Punkten mussen samtliche stationaren Punkte sein. Bei (±12
√2,±1
2
√2) liegen
Maxima vor, f(±12
√2,±1
2
√2) = 1
4 ; bei (0,±1) und (±1, 0) liegen Minima vor (mit Wert
null).
Allgemeiner Fall:
F : U ⊂ Rn+m −→ R , G : U ⊂ Rn+m −→ Rm , x ∈ Rn , y ∈ Rm .
Optimierungsaufgabe: Gesucht lokale Extrema von
F (x, y) = F (x1, . . . , xn ; y1, . . . , ym)
unter den m Nebenbedingungen
G1(x1, . . . , xn ; y1, . . . , ym) = 0...
Gm(x1, . . . , xn ; y1, . . . , ym) = 0 .
- 146 -
Analysis, Arbeitsmaterialien Prof. Dr. H.-J. Reinhardt
Satz 10 (Lagrangesche Multiplikatorenregel) Sei U ⊂ Rn+m offen, (x0, y0) ∈ U , F ∈C1(U,R) , G ∈ C1(U,Rm), und es sei
∂G
∂y(x0, y0) eine invertierbare Matrix. Hat die Funk-
tion F (x, y) unter der Nebenbedingung G(x, y) = 0 an der Stelle (x0, y0) ein lokales Ex-
tremum, so gibt es ein λ0 = (λ01, . . . , λ
0m) ∈ Rm, so dass die Funktion
H(x, y, λ) = F (x, y)+ < λ,G(x, y) >
an der Stelle (x0, y0, λ0) einen stationaren Punkt besitzt.
Bemerkung: Bei (x0, y0, λ0) gelten also die Gleichungen
dxH = 0 , dyH = 0 , dλH = 0 ,
oder, ausfuhrlich,
Hxi= Fxi
+
m∑
j=1
λjGj,xi= 0 , i = 1, . . . , n ,
Hyk= Fyk
+m∑
j=1
λjGj,yk= 0 , k = 1, . . . ,m ,
Hλk= Gk = 0 , k = 1, . . . ,m ,
oder, aquivalent,
gradF (x, y) +G′(x, y)∗λ = 0 , G(x, y) = 0 .
Definition: Die adjungierte Matrix (oder transponierte Matrix ) einer reellwertigen
(p, q)–Matrix A = (ak,l)k=1,...,p
ℓ=1,...q
ist definiert durch
A∗ =(a∗k,ℓ), a∗k,ℓ = aℓ,k , k = 1, . . . , q , ℓ = 1, . . . , p .
Die adjungierte Matrix der Funktionalmatrix G′(x, y) in Satz 10 lasst sich ausfuhrlich wie
folgt darstellen
G′(x, y)∗ =
G1,x1 · · · Gm,x1
...
G1,xn · · · Gm,xn
G1,y1 · · · Gm,y1...
G1,ym · · · Gm,ym
↑n
↓
↑m
↓←− m −→
- 147 -
Prof. Dr. H.-J. Reinhardt Analysis, Arbeitsmaterialien
Bezeichnung: Die Zahlen λ1, . . . , λm in Satz 10 heißen Lagrangesche Multiplikatoren.
Die in Satz 10 noch ausgezeichneten y1, . . . , ym, nach denen aufgelost wird, mussen jedoch
nicht ausgezeichnet sein. Wir betrachten dazu wieder die fruhere Situation:
f ∈ C1(U,R) , g ∈ C1(U,Rm) , U ⊂ Rn offen ,
M = {x | g(x) = 0}
und suchen lokale Extrema von f .
Definition: x0 ∈M heißt regular, falls
grad g1(x0), . . . , grad gm(x0) linear unabhangig sind.
Definition: m Vektoren y1, . . . , ym ∈ Rm heißen linear unabhangig (Abk.: l. u.), wenn
aus
m∑
j=1
γjyj = 0 folgt: γj = 0 ∀j = 1, . . . ,m .
Bemerkung: Sind y1, . . . ym ∈ Rn l. u., dann muss m ≤ n sein.
Lemma 11 Die Anzahl der l. u. Spalten einer (n,m)–Matrix A = (ajk) ist gleich der
Anzahl der l. u. Zeilen von A.
Bemerkung: Betrachtet man die Adjungierte der Funktionalmatrix g′(x), dann ist
g′(x)∗ eine (n,m)–Matrix — d. h. sie hat die m Spalten grad gj(x) , j = 1, . . . ,m. Ein
regularer Punkt x0 ∈M liegt vor, wenn die Spalten von g′(x0)∗ l. u. sind. Nach Lemma 11
sind dann auch m Zeilen von g′(x0)∗ l. u. und fur m Indizes i1, . . . , im ist die quadratische
Matrix
∂(g1, . . . , gm)
∂(xi1 , . . . , xim)
invertierbar.
Generelle Voraussetzung im folgenden:
U ⊂ Rn offen, f ∈ C1(U,R) , g ∈ C1(U,Rm) .
- 148 -
Analysis, Arbeitsmaterialien Prof. Dr. H.-J. Reinhardt
Satz 12 Sei m < n , x0 ∈ M = {x | g(x) = 0} regular, und x0 sei lokales Extremum
von f . Dann gibt es ein λ0 = (λ01, . . . , λ
0m) ∈ Rm mit
grad f(x0) + g′(x0)∗λ0 = 0 ,
d. h. (x0, λ0) ist stationarer Punkt von
H(x, λ) = f(x)+ < λ, g(x) > .
Bezeichnung: Die Funktion
H(x, λ) := f(x)+ < λ, g(x) > , x ∈ U , λ ∈ Rm
in Satz 12 heißt die dem Optimierungsproblem mit Nebenbedingungen zugeordnete Lagrange–
Funktion. Die Gleichungen zur Bestimmung von stationaren Punkten der Lagrange–Funktion
stellen n+m Bedingungen fur die n +m Unbekannte x01, . . . , x
0n , λ
01, . . . , λ
0m dar. Damit
gelingt es, Kandidaten x0 fur lokale Extrema von f zu finden. Der Lagrange–Multiplikator
λ0 = (λ01, . . . , λ
0m) beschreibt die Sensitivitat des Optimalwertes in Abhangigkeit von Va-
riationen in den Nebenbedingungen.
Beispiel: Gesucht
min{
− xy∣∣∣ (x, y) ∈M
}
, M :={
(x, y) ∈ R2∣∣∣ x+ y = 1
}
.
Die Gleichungen fur x0, y0, λ0 lauten (f(x, y) := −xy , g(x, y) = x+ y − 1)
x0 + y0 − 1 = 0 ,
−y0 + λ0 = 0 ,
−x0 + λ0 = 0 .
Losung: x0 = y0 =1
2, λ0 =
1
2. -
6QQ
MRegularitat liegt vor!
Die vorliegende Optimierungsaufgabe kann man wegen
g(x, y) = 0⇐⇒ y = 1− x ; f(x, 1− x) = x2 − x
auf eine eindimensionale Optimierungsaufgabe zuruckfuhren; dafur ist (12 ,
12 ) globales Mi-
nimum.
- 149 -
Prof. Dr. H.-J. Reinhardt Analysis, Arbeitsmaterialien
Abschließend interessieren wir uns noch fur notwendige und hinreichende Kriterien fur das
Vorliegen eines lokalen Extremums.
Definition: Tangentenebene von M in x0
T (x0,M) :={
d ∈ Rn∣∣ g′(x0)d = 0
}
.
Lemma 13 Ist x0 ∈M regular, so gilt
T (x0,M) ={
d ∈ Rn∣∣∣ ∃τ > 0 ∃α ∈ C1((−τ, τ),Rn) :
α(0) = x0 , α′(0) = d , α(t) ∈M ∀t}
.
Satz 14 Ist x0 ∈M regular und lokales Extremum von f , so gilt
< grad f(x0) , d >= 0 ∀d ∈ T (x0,M) .
Generelle Voraussetzung im folgenden:
U ⊂ Rn offen, f ∈ C2(U,R) , g ∈ C1(U,Rm) , x0 ∈M regular .
Dann existiert die Hessematrix Hf (x) der zweiten (stetigen) partiellen Ableitungen von f
(vgl. Abschnitt 16.7).
Satz 15 Sei x0 ∈M lokales Minimum bzw. Maximum von f uber M , und U sei konvex.
Dann gilt:
(a) < grad f(x0), d >= 0 ∀d ∈ T (x0,M) ;
(b) < Hf (x0)d, d >≥ 0 (fur Min.) bzw. ≤ 0 (fur Max.) ∀d ∈ T (x0,M) .
Der folgende Satz liefert ein hinreichendes Kriterium.
Satz 16 Seien U,M konvex, x0 ∈M , und es gelte:
(a) < grad f(x0), d >= 0 ∀d ∈ T (x0,M) ;
(b) < Hf (x0)d, d > > 0 [bzw. < 0] ∀d ∈ T (x0,M) , d 6= 0 .
- 150 -
Analysis, Arbeitsmaterialien Prof. Dr. H.-J. Reinhardt
Dann ist x0 lokales Minimum [bzw. lokales Maximum] von f uber M .
Beispiel: Standortproblem
Zu 3 Großbaustellen bei P1 = (0, 0), P2 = (0, 1), P3 = (0, 2) ist der Standort S = (x0, y0)
eines Betonwerks gesucht, das an einer Bahnlinie M = {g(x, y) = 0, x < 0} mit g(x, y) =
y2−x2+1 liegen soll, und fur das die Transportkosten (nur abhangig von der Entfernung),
f(x, y) =3∑
k=1
(xk − x)2 + (yk − y)2 ,
minimal werden.
Lagrange-Funktion:
H(x, y, λ) = 3x2 + 3y2 − 6y + 5 + λ(y2 − x2 + 1) .
Lagrange-Bedingungen (L):
0 = Hx = 2x(3 − λ)
0 = Hy = 2y(3 + λ)− 6
0 = Hλ = y2 − x2 + 1 .
Als Losung erhalt man (wegen x < 0):
(x0, y0, λ0) = (−1
2
√5,
1
2, 3) .
Zur Frage, ob tatsachlich ein Minimum vorliegt, kann Satz 16 nicht angewendet werden –
da M nicht konvex ist – sondern man muss die Hessematrix HH der Lagrange-Funktion
untersuchen.
HH =
2(3− λ) 0 −2x
0 2(3 + λ) 2y
−2x 2y 0
;
HH(x0, y0, λ0) =
0 0√
5
0 12 1√
5 1 0
.
Diese Matrix ist positiv definit und damit liegt ein Minimum vor (nach Satz 9). Das lokale
Minimum ist auch ein globales Minimum.
- 151 -
Prof. Dr. H.-J. Reinhardt Analysis, Arbeitsmaterialien
A Grundlagen der Aussagenlogik
Bezeichnungen
Aussagen sind Satze, deren Inhalt entweder wahr oder falsch ist.
Wahrheitswerte
W : wahr (gelegentlich auch T fur engl. true)
F : falsch (engl. false)
Aussagenvariablen p,q sind Buchstaben oder andere Zeichen, an deren Stelle Aussagen
oder Wahrheitswerte gesetzt werden konnen.
Aussageformen sind Aussagen, die Aussagenvariablen enthalten. Die folgenden Sonderfalle
logischer Aussageformen sollen besonders hervorgehoben werden.
Eine Aussageform, die bei jeder Belegung ihrer Variablen den Wahrheitswert
• W annimmt, heißt Wahrform (Tautologie, logisch wahre Aussageform, logisches Ge-
setz),
• F annimmt, heißt Falschform (Kontradiktion, logisch falsche Aussageform, logischer
Widerspruch).
Eine Aussageform, die weder Wahrform noch Falschform ist, heißt Neutralform (Neutra-
litat, logisch teilgultige Aussageform).
Verknupfungszeichen, Verknupfungen
Verknupfungen von Aussagen zu einer neuen Aussage bezeichnet man auch als Junktionen.
Die Verknupfungszeichen ¬, ∧ , ∨ , → , ↔ , ←7→ nennt man Junktoren.
- 152 -
Analysis, Arbeitsmaterialien Prof. Dr. H.-J. Reinhardt
Bezeichnung Schreibweise Sprechweise
Negation ¬p nicht p
Konjunktion p∧q p und q
Disjunktion p∨q p oder q (einschließendes (in-
klusives) oder)
Subjunktion ¬p∨q, auch: (p → q) p subjungiert q
Bijunktion (p → q)∧ (q → p), auch: (p ↔ q) p bijungiert q
Antivalenz
(Alternative)
¬(p ↔ q), auch: (p ←7→ q) entweder p oder q (ausschlie-
ßendes (exklusives) oder)
Wahrheitstafel zu den Verknupfungen
p q ¬p p∧ q p∨ q p → q p ↔ q p ←7→ q
W W F W W W W F
W F F F W F F W
F W W F W W F W
F F W F F W W F
Beispiele:
• p∨¬p, ¬(p∧q)∨ q sind Tautologien.
• p∧¬p, ¬(p∨q)∧ q sind Kontradiktionen.
• p∨q, p∧q, p → q sind Neutralformen.
Seien A und B Aussageformen. Man sagt:
• A impliziert B ( A ⇒ B ), wenn A → B eine Tautologie ist (andere Sprechweisen:
wenn B, dann A, B folgt aus A, A ist hinreichende Bedingung fur B, B ist notwendige
Bedingung fur A), und spricht von logischer Implikation,
• A ist aquivalent zu B ( A ⇔ B ), wenn A ↔ B eine Tautologie ist (andere Sprech-
weise: A genau dann, wenn B), und spricht von logischer Aquivalenz.
Beispiel:
- 153 -
Prof. Dr. H.-J. Reinhardt Analysis, Arbeitsmaterialien
p∧ q ⇒ p∨q, weil p∧q → p∨ q eine Tautologie ist.
Gesetze der Aussagenlogik
Kommutativgesetze
1. p∨ q ⇔ q∨ p
2. p∧ q ⇔ q∧ p
Assoziativgesetze
1. (p∨ q)∨ r ⇔ p∨ (q∨ r)
2. (p∧ q)∧ r ⇔ p∧ (q∧ r)
Distributivgesetze
1. p∨ (q∧ r) ⇔ (p∨ q)∧ (p∨ r)
2. p∧ (q∨ r) ⇔ (p∧ q)∨ (p∧ r)
Idempotenzgesetze
1. p∨ p ⇔ p
2. p∧ p ⇔ p
Absorptionsgesetze (Verschmelzungsgesetze)
1. p∨ (p∧q) ⇔ p
2. p∧ (p∨q) ⇔ p
de Morgan–Gesetze
1. ¬(p∨ q) ⇔ ¬p∧¬q
2. ¬(p∧ q) ⇔ ¬p∨¬q
Andere Verneinungsgesetze
- 154 -
Analysis, Arbeitsmaterialien Prof. Dr. H.-J. Reinhardt
1. ¬(¬p) = p
2. ¬W = F
3. ¬F = W
Satz vom ausgeschlossenen Dritten
p∨¬p ist eine Tautologie.
Satz vom Widerspruch
p∧¬p ist eine Kontradiktion.
Kontrapositionsgesetz
(p → q) ⇔ (¬q → ¬p)
Transitivgesetz
((p → q)∧ (q → r)) ⇒ (p → r)
Abtrenngesetze
1. p∧ (p → q) ⇒ q (direkter Schluß)
2. (p → q)∧¬q ⇒ ¬p (indirekter Schluß)
- 155 -
Prof. Dr. H.-J. Reinhardt Analysis, Arbeitsmaterialien
B Theoretische Ubungsaufgaben
fur Mathematiker und Physiker zu Analysis I
Ubungen (1) zur Vorlesung Analysis I fur Mathematiker und Physiker
Aufgabe 1
Losen Sie folgende Ungleichungen uber Re . Skizzieren Sie zudem die Losungsmenge auf
der x−Achse.
a) x+32x−5 > 3;
b) |x|−1x2−1
≥ 12 ;
c) |x− |x− 1|| > −2x+ 1.
Hinweis:
Machen Sie geeignete Fallunterscheidungen fur x.
Aufgabe 2
Seien A, B und C Teilmengen von X. Fur A ⊂ X ist das Komplement A′ von A in X
erklart durch A′ := X \ A. Zeigen Sie
a) A ∪B = B ∪A (Kommutativgesetz);
b) (A ∪B)′ = A′ ∩B′ (Regel von de Morgan);
c) A× (B ∩C) = (A×B) ∩ (A× C).
Bemerkung:
Die oben angegebenen Regeln fur Mengen gelten auch, wenn man jeweils ∪ durch ∩ und
∩ durch ∪ ersetzt. Die Regel von de Morgan gilt nicht nur fur zwei, sondern auch fur eine
beliebige endliche oder unendliche Anzahl von Mengen.
Aufgabe 3
Seien B und C Teilmengen einer Menge A. Zeigen Sie die Aquivalenz von
- 156 -
Analysis, Arbeitsmaterialien Prof. Dr. H.-J. Reinhardt
a) B ⊂ C;
b) B ∩C = B;
c) B ∪C = C.
Aufgabe 4
a) Welche der folgenden Formulierungen bzw. Ausdrucke sind mathematische Aus-
sagen, d.h. Satze denen man unabhangig vom Betrachter genau einen der Wahr-
heitswerte wahr oder falsch zuordnen kann? Begrunden Sie kurz Ihre Entscheidung.
i) Diese Aufgabe ist sehr schwer.
ii) Dies ist eine Aufgabe zur Aussagenlogik.
iii) Diese Art von Aufgabe kommt in der Klausur vor.
b) Die Aussage q sei gegeben durch”Das Parallelogramm D ist ein Quadrat.“. Geben
Sie jeweils eine andere Aussage p an, so daß gilt:
i) q ⇒ p, aber nicht p⇒ q;
ii) p⇒ q, aber nicht q ⇒ p;
iii) p⇔ q.
- 157 -
Prof. Dr. H.-J. Reinhardt Analysis, Arbeitsmaterialien
Ubungen (2) zur Vorlesung Analysis I fur Mathematiker und Physiker
Aufgaben fur Mathematiker und Physiker:
Aufgabe 1
Seien X und Y Mengen. Sei f : X → Y eine Abbildung. Zeigen Sie:
a) f(A ∪B) = f(A) ∪ f(B) ∀ A, B ⊂ X;
b) f−1(C ∩D) = f−1(C) ∩ f−1(D) ∀ C, D ⊂ Y ;
c) f(f−1(C) ∩A) = C ∩ f(A) ∀ A ⊂ X, C ⊂ Y.
Aufgabe 2
Seien A, B und C Mengen; seien f : A→ B und g : B → C Abbildungen. Zeigen Sie:
a) Sind f und g injektiv, so ist auch g ◦ f injektiv.
b) Sind f und g bijektiv, so ist auch g ◦ f bijektiv, und es gilt (g ◦ f)−1 = f−1 ◦ g−1.
Aufgaben fur Mathematiker:
Aufgabe 3
Seien X und Y Mengen. Sei f : X → Y eine Abbildung. Zeigen Sie:
a) f(A \B) ⊃ f(A) \ f(B) ∀ A, B ⊂ X;
b) f−1(C \D) = f−1(C) \ f−1(D) ∀ C, D ⊂ Y.
Aufgabe 4
Sei X eine Menge, und X ⊂ P(X). X heißt σ−Algebra in X, wenn gilt:
i) X ∈ X ;
ii) A ∈ X ⇒ A′ ∈ X ;
iii) An ∈ X (n ∈ N) ⇒ ⋃
n∈NAn ∈ X .
Zeigen Sie:
- 158 -
Analysis, Arbeitsmaterialien Prof. Dr. H.-J. Reinhardt
a) Ist X eine σ−Algebra, und ist B ⊂ X, so ist
XB := {Z ∩B | Z ∈ X}
eine σ−Algebra in B.
b) Sei Y eine Menge, sei f : Y → X eine Abbildung. Ist X eine σ−Algebra in X, so ist
f−1(X ) := {f−1(Z) | Z ∈ X}
eine σ−Algebra in Y.
Aufgaben fur Physiker:
Aufgabe 3
Untersuchen Sie die folgenden Funktionen auf Surjektivitat, Injektivitat und Bijektivitat:
a) f : Re → Re , x 7→ 2x− 1;
b) g : [−2;∞[→ [−2;∞[, x 7→ x2 − 2x− 1;
c) h : Re \{0} → Re , x 7→ x3
|x| .
Aufgabe 4
Zwei ohmsche Widerstande R1 und R2 werden zum einen in Reihe mit Gesamtwiderstand
Rr und in einer zweiten Schaltung parallel mit Gesamtwiderstand Rp geschaltet. Zeigen
Sie, daß zwischen den Gesamtwiderstanden folgende Ungleichung gilt:
Rr ≥ 4Rp.
- 159 -
Prof. Dr. H.-J. Reinhardt Analysis, Arbeitsmaterialien
Ubungen (3) zur Vorlesung Analysis I fur Mathematiker und Physiker
Aufgabe 1
a) Entscheiden Sie, ob die folgenden Aussagen richtig oder falsch sind. Beweisen Sie die
richtigen Aussagen und geben Sie fur die falschen Aussagen ein Gegenbeispiel an.
i) Jedes Maximum ist ein Supremum.
ii) Zu jeder Teilmenge von Re gibt es ein Supremum.
iii) Infimum und Minimum sind dasselbe.
iv) Ist s das Supremum einer Teilmenge von Re , so ist s + 1 eine obere Schranke
dieser Teilmenge.
b) Bestimmen Sie – falls vorhanden – das Infimum, Supremum, Minimum und Maxi-
mum der Menge M, die durch
M :=
{ |x|1 + |x|
∣∣∣∣x ∈ Re
}
⊂ Re
definiert ist.
Aufgabe 2
Die sog. Fibonacci-Zahlen beschreiben das Fortpflanzungsverhalten von Kaninchen. Das
stark vereinfachte Modell sieht folgendermaßen aus:
Ein neugeborenes Kaninchenpaar k1 bringt nach dem ersten und dem zweiten Monat ein
neues Paar zur Welt – k2 und k3. Jetzt kommt k1 fur die weitere Fortpflanzung – aus
welchen Grunden auch immer – nicht mehr in Frage. Der Nachwuchs zeigt nun dasselbe
Verhalten wie seine Eltern, wobei wir voraussetzen, daß jedes Paar aus Mannlein und
Weiblein besteht und beide nicht fremdgehen. Bezeichnet man mit Fn die Anzahl der
zu Beginn des n−ten Monats geborenen Kaninchenpaare, so kann das Modell durch die
folgende Rekursion beschrieben werden:
F1 := 1, F2 := 1, Fn := Fn−1 + Fn−2 fur n = 3, 4, . . .
Beweisen Sie mit Hilfe der vollstandigen Induktion:
a)
F1 + F2 + · · ·+ Fn−1 + 1 = Fn+1, n ∈ N≥2;
- 160 -
Analysis, Arbeitsmaterialien Prof. Dr. H.-J. Reinhardt
b)
Fn−1Fn+1 = F 2n + 1, n ∈ N, n gerade;
c)
F2n+1 = F 2n+1 + F 2
n , n ∈ N.
Aufgaben fur Mathematiker:
Aufgabe 3
Gegeben Sei die Menge K := {a, b, c}. Auf K×K seien die Abbildungen + und · durch die
folgenden Tafeln definiert:
+ a b c
a c a b
b a b c
c b c a
· a b c
a a b c
b b b b
c c b a
K ist mit den angegebenen Verknupfungen + und · ein Korper.
a) Bestimmen Sie das Nullelement und das Einselement von K. Verifizieren Sie die
entsprechenden Eigenschaften.
b) Beweisen Sie das Kommutativgesetz bzgl. + und ·.
c) Berechnen Sie x := a+ (−c), y := a · c−1.
Aufgabe 4
Beweisen Sie mit Hilfe der Anordnungsaxiome folgende Rechenregeln:
a) Aus a < b folgt −a > −b.
b) Aus a < b und c > 0 folgt ac < bc.
c) Aus a < b und c < 0 folgt ac > bc.
d) Aus 0 < a < b und 0 < c < d folgt ac < bd.
Aufgaben Physiker:
- 161 -
Prof. Dr. H.-J. Reinhardt Analysis, Arbeitsmaterialien
Aufgabe 3
Bestimmen Sie – falls vorhanden das Infimum, Supremum, Minimum und Maximum der
folgenden Teilmengen der reellen Zahlen:
a)
A1 :=
{1
m+
1
n
∣∣∣∣m,n ∈ N
}
;
b)
A2 :=
{
x+1
x
∣∣∣∣
1
2< x ≤ 2
}
.
Aufgabe 4
In der ehemaligen Sowjetunion wurden Geldscheine nur fur 3 und 5 Rubel gedruckt. Zeigen
Sie mit Hilfe der vollstandigen Induktion, daß es moglich ist, jeden ganzzahligen Betrag
ab 8 Rubel in Geldscheinen zu bezahlen.
- 162 -
Analysis, Arbeitsmaterialien Prof. Dr. H.-J. Reinhardt
Ubungen (4) zur Vorlesung Analysis I fur Mathematiker und Physiker
Aufgabe 1
a) Verneinen Sie folgende Aussagen:
i) Zu jedem Mann existiert eine Frau, die ihn nicht liebt.
ii) ∀ a, b ∈ Re mit a > b ∃ c ∈ Q : a > c > b.
b) Beweisen Sie durch indirekten Beweis
i)√b−√a <
√b− a a, b ∈ Re , b > a > 0;
ii)√
2 +√
3 ist irrational.
Hinweis:
Sie durfen benutzen, daß√
6 irrational ist.
Aufgabe 2
Zeige Sie mit Hilfe des Satzes von Archimedes und des Wohlordnungssatzes, daß folgende
Aussage gilt:
Zu jeder reellen Zahl x gibt es eine eindeutig bestimmte ganze Zahl n ∈ Z mit
n ≤ x < n+ 1.
Hinweis:
i) Fur x ∈ Z ist die Aussage trivialerweise erfullt. Fur x ∈ Re \Z unterscheide zwischen
x ≥ 0 und x < 0. Beweisen Sie die Eindeutigkeit indirekt.
ii) Es gibt eine analoge Aussage der Form:
Zu jeder reellen Zahl x gibt es eine eindeutig bestimmte ganze Zahl m ∈ Z mit
m− 1 < x ≤ m.
iii) Dadurch werden die Funktionen
⌊x⌋ := n bzw. ⌈x⌉ := m
erklart. Fur ⌊x⌋ ist auch die Gauß-Klammer [x] ublich.
- 163 -
Prof. Dr. H.-J. Reinhardt Analysis, Arbeitsmaterialien
Aufgaben fur Mathematiker:
Aufgabe 3
Sei X eine Menge; seien A,B ⊂ X. Die symmetrische Differenz A△ B von A und B ist
definiert durch
A△B := {x ∈ X | x ∈ A ∪B, x 6∈ A ∩B}.
a) Zeigen Sie
A△B = (A ∩B′) ∪ (A′ ∩B).
b) Berechnen Sie A△B fur die folgenden Mengen:
i)
A := {x ∈ Re | x2 > 1} und B := {x ∈ Re | |x+ 0, 5| < 1};
ii)
A := {(x, y) ∈ Re 2 | x2 + y2 ≤ 2} und B := {(x, y) ∈ Re 2 | x2 + y2 ≤ 1}.
Aufgabe 4:
Auf Re \{2} werde eine Verknupfung ⊗ durch
a⊗ b := ab− 2(a+ b) + 6, a, b ∈ Re \{2},
definiert. Zeigen Sie, daß (Re \{2},⊗) eine Gruppe ist. Ist diese Gruppe abelsch, d.h.
kommutativ?
Hinweis:
Eine nichtleere Menge G mit einer Verknupfung ⊗ : G × G → G, (a, b) 7→ a ⊗ b heißt
Gruppe, wenn sowohl ein neutrales als auch ein inverses Element bzgl. ⊗ existieren und
das Assoziativgesetz gilt.
Neutrales Element: ∃ e ∈ G : e⊗ a = a⊗ e = a ∀ a ∈ G.Inverses Element: ∀ a ∈ G ∃ b ∈ G : a⊗ b = b⊗ a = e.
Aufgaben fur Physiker:
Aufgabe 3
Beweisen Sie mittels vollstandiger Induktion:
- 164 -
Analysis, Arbeitsmaterialien Prof. Dr. H.-J. Reinhardt
a)n∑
i=1
i3 =1
4n2(n+ 1)2, n ∈ N;
b)n∑
i=1
1
i3< 2− 1
n2, n ∈ N, n ≥ 2.
Aufgabe 4
Bestimmen Sie die Anzahl der Tripel (n1, n2, n3) ∈ N3 mit
n1 + n2 + n3 = n+ 1, n ∈ N, n ≥ 2.
- 165 -
Prof. Dr. H.-J. Reinhardt Analysis, Arbeitsmaterialien
Ubungen (5) zur Vorlesung Analysis I fur Mathematiker und Physiker
Aufgabe 1
a) Beweisen Sie die Bernoullische Ungleichung:
Sei a ∈ Re , a > −1, sei n ∈ N, dann gilt
(1 + a)n ≥ 1 + na.
b) Bestimmen Sie das Supremum und das Infimum von
M :=
{(
1− 1
n2
)n ∣∣∣∣n ∈ N
}
.
Hinweis:
i) Sie konnen benutzen, daß fur n ∈ N und a ∈ Re , 0 < a < 1, die Ungleichung
0 < an < 1 gilt.
ii) Verwenden Sie Teil a) zum Beweis von b).
Aufgabe 2
a) Zeigen Sie die folgende Gleichheit fur die Binomialkoeffizienten:(n
k
)
+
(n
k + 1
)
=
(n+ 1
k + 1
)
, n, k ∈ N0.
Hinweis:
Fur k > n setzt man(nk
):= 0. Behandeln Sie auch die Falle k ≥ n.
b) Zeigen Sie mittels vollstandiger Induktion, daß fur beliebige n, k ∈ N gilt:
n∑
j=1
(k + j − 1
k
)
=
(n+ k
k + 1
)
.
Aufgabe 3
a) Bringen Sie die folgenden Ausdrucke auf die Form x+ iy, x, y ∈ Re :
i) i4 + i5 + i6 + i7; ii) i1−i ; iii) 1
i + 31+i ; iv)
(1+i
√3
1−i√
3
)2.
b) Beweisen Sie fur z ∈ C mit |Re(z)| < 1 die Ungleichung∣∣∣∣
z
1− z2
∣∣∣∣≤ |z|
1− (Re(z))2.
- 166 -
Analysis, Arbeitsmaterialien Prof. Dr. H.-J. Reinhardt
Aufgaben fur Mathematiker:
Aufgabe 4
Beweisen Sie mittels vollstandiger Induktion
a)n∏
j=1
(1− aj) ≥ 1−n∑
j=1
aj, 0 ≤ aj ≤ 1 ∀ j ∈ {1, 2, . . . , n};
b)
n∑
j=1
aj
n∑
j=1
1
aj
≥ n2, aj ∈ Re , aj > 0 ∀ j ∈ {1, 2, . . . , n}.
Aufgaben fur Physiker:
Aufgabe 4
Bestimmen Sie die Teilmengen von C, die durch die folgenden Gleichungen bzw. Unglei-
chungen charakterisiert werden, und skizzieren Sie diese:
a)
|z − 1| = |z + 1|;
b)
|z − 2| ≤ |z + 2|;
c)
|z + 1| ≤ |z − 2|;
d)
Re
(z + 1
z − 1
)
≥ 2, z 6= 1.
- 167 -
Prof. Dr. H.-J. Reinhardt Analysis, Arbeitsmaterialien
Ubungen (6) zur Vorlesung Analysis I fur Mathematiker und Physiker
Aufgabe 1
Es seien A,B nichtleere Teilmengen von Re . Es gelte
a ≤ b ∀ a ∈ A, b ∈ B.
Beweisen Sie:
a)
s := supA und t := inf B existieren;
b)
supA ≤ inf B;
c)
supA = inf B ⇔ ∀ ε > 0 ∃ a ∈ A, b ∈ B : b− a < ε.
Aufgabe 2
Untersuchen Sie die Folgen auf Konvergenz und bestimmen Sie ggf. ihren Grenzwert:
a)
an := 2−n(2n − (−2)n), n ∈ N;
b)
bn := (−1)−nn2 − n+ (−1)n
3n3 − 4n+ 5, n ∈ N;
c)
cn :=n∑
k=1
1
k(k + 1), n ∈ N;
Hinweis:
Schreiben Sie die Summe in eine Teleskopsumme um.
d)
dn :=√n+ 4−
√n+ 2, n ∈ N.
- 168 -
Analysis, Arbeitsmaterialien Prof. Dr. H.-J. Reinhardt
Aufgaben fur Mathematiker:
Aufgabe 3
Die Folgen (an)n∈N und (bn)n∈N seien definiert durch
0 < a1 < b1, an+1 =2anbnan + bn
, bn+1 =1
2(an + bn).
a) Zeigen Sie, daß die Folgen (an)n∈N und (bn)n∈N beschrankt und monoton sind.
b) Zeigen Sie, daß die Folgen gegen denselben Grenzwert konvergieren, und bestimmen
Sie diesen.
Aufgabe 4
Es sei eine Folge (an)n∈N gegeben mit der folgenden Eigenschaft:
∃ q ∈ Re mit 0 < q < 1 : |an+1 − an| ≤ q|an − an−1|, n ≥ 2.
Zeigen Sie mit Hilfe des Cauchy-Kriteriums, daß (an)n∈N konvergiert.
Hinweis:
Benutzen Sie an geeigneter Stelle die geometrische Summenformel∑k
j=0 qj = 1−qk+1
1−q , q 6=1.
Aufgaben fur Physiker:
Aufgabe 3
Die rekursive Folge (an)n∈N sei definiert durch
a1 :=√
6, an+1 =√an + 6, n ∈ N.
Untersuchen Sie die Folge auf Konvergenz und bestimmen Sie ggf. ihren Grenzwert.
Aufgabe 4
Betrachten Sie eine Flussigkeit A1 in einem Behalter B1 und eine Flussigkeit A2 in einem
Behalter B2 von jeweils 100 cm3. 10 cm3 von A1 werden nun zur Flussigkeit A2 in den
Behalter B2 gegeben. Nach grundlichem Vermischen werden 10 cm3 aus B2 wieder zu der
Flussigkeit in B1 gegeben. Anschließend wird die Flussigkeit in B1 grundlich vermischt.
- 169 -
Prof. Dr. H.-J. Reinhardt Analysis, Arbeitsmaterialien
Im nachsten Schritt entnimmt man wiederum 10 cm3 aus B1 und schuttet diese in den
Behalter B2, usw.; d.h. dieser Vorgang wird beliebig oft wiederholt. Die Folge (cn)n∈N
bezeichne die relative Menge der Flussigkeit A1 im Behalter B1 nach dem n−ten Schritt.
a) Geben Sie die Rekursionsformel fur die Folge (cn)n∈N an.
b) Wie oft muß der Vorgang durchlaufen werden, bis sich in dem Behalter B1 weniger
als 70 cm3 der Flussigkeit A1 befinden?
c) Zeigen Sie, daß die Folge (cn)n∈N konvergiert, d.h. daß es eine Grenzmischung gibt.
Hinweis:
Betrachten Sie parallel zur Folge (cn)n∈N eine Folge (dn)n∈N bzgl. des Behalters B2.
- 170 -
Analysis, Arbeitsmaterialien Prof. Dr. H.-J. Reinhardt
Ubungen (7) zur Vorlesung Analysis I fur Mathematiker und Physiker
Aufgabe 1
Berechnen Sie die Haufungswerte der unten angegebenen Folgen:
a) an := n√
1 + (−1)n, n ∈ N;
b) bn := | 1n + in|, n ∈ N;
c) cn := |z|n1+|z|n , n ∈ N, z ∈ C;
d) dn := nx− [nx], n ∈ N, x ∈ Q.
Aufgabe 2
Seien (an)n∈N und (bn)n∈N Folgen. Zeigen Sie:
a) Konvergiert (an)n∈N, so konvergiert auch (|an|)n∈N, und es gilt
limn→∞
|an| = | limn→∞
an|.
Gilt auch die Umkehrung?
b) Konvergiert (an)n∈N, so konvergiert auch
(
1n
n∑
j=1aj
)
n∈N
, und es gilt
limn→∞
1
n
n∑
j=1
aj = limn→∞
an.
c) Geben Sie eine divergente Folge an, fur welche die zugehorige Folge der arithmeti-
schen Mittel konvergiert.
Aufgaben fur Mathematiker:
Aufgabe 3
a) Bestimmen Sie alle Haufungswerte sowie lim inf und lim sup der Folge (an)n∈N, die
definiert ist durch
an :=(−1)n
2+
(−1)n(n+1)
2
3.
b) Zeigen Sie, daß fur jede reelle Folge (an)n∈N die folgenden Gleichungen gelten:
lim supn→∞
an = inf{x ∈ Re | x ≥ an fur fast alle n} = sup{x ∈ Re | x ≤ an fur unendlich viele n}.
- 171 -
Prof. Dr. H.-J. Reinhardt Analysis, Arbeitsmaterialien
Aufgabe 4
Sei (an)n∈N eine Folge. Die Folgen (bn)n∈N und (cn)n∈N seien definiert durch bn := a2n
und cn := a2n+1. Beweisen Sie die folgenden Aussagen:
a) Konvergieren (bn)n∈N und (cn)n∈N beide gegen a, dann konvergiert auch (an)n∈N
gegen a.
b) Ist (an)n∈N konvergent, dann sind auch (bn)n∈N und (cn)n∈N konvergent.
c) Es gibt eine Folge (an)n∈N, so daß die beiden Folgen (bn)n∈N und (cn)n∈N konvergie-
ren, aber nicht die Folge (an)n∈N.
Aufgaben fur Physiker:
Aufgabe 3
Beweisen Sie:
a)n−1∏
j=1
(
1 + 1j
)j= nn
n! , n ∈ N;
b) 3(n3
)n ≤ n! ≤ 2n(n2
)n, n ∈ N.
Hinweis:
i) Benutzen Sie fur Teil b) Teil a) und die Abschatzung 2 ≤(1 + 1
n
)n< 3, n ∈ N.
ii) Fur k > n gilt:n∑
j=k
aj := 0,n∏
j=k
aj := 1.
Aufgabe 4
a) Ein Schiff fahrt 3√
2 km in Richtung Nordost, danach 5 km nach Westen, dann 1 km
nach Suden und schließlich 2√
2 km nach Nordwest. Wie weit entfernt und in welcher
Richtung vom Ausgangspunkt befindet sich das Schiff. Benutzen Sie zur Berechnung
die Gaußsche Zahlenebene.
b) Sie finden eine Anleitung zur Schatzsuche auf einer Insel:
”Auf der Insel befinden sich zwei Baume A und B sowie ein Galgen. Man gehe vom
Galgen direkt zu Baum A und zahle die Schritte, wende sich im rechten Winkel nach
links und gehe die gleiche Schrittzahl geradeaus und markiere den Endpunkt. Die
- 172 -
Analysis, Arbeitsmaterialien Prof. Dr. H.-J. Reinhardt
gleiche Prozedur vollziehe man fur Baum B, wende sich in diesem Fall aber nach
rechts. Auf der Halfte der Strecke der zwei markierten Punkte fange man an zu
graben.“
Sie fahren zur Insel und finden die Situation wie beschrieben vor – nur der Galgen
ist verschwunden. Sie sind zunachst besturzt, uberlegen eine Weile und freuen sich
dann allerdings, in der Analysis die Gaußsche Zahlenebene und die komplexen Zahlen
kennengelernt zu haben. Sie konnen den Grabungspunkt namlich ohne Kenntnis der
Position des Galgens bestimmen.
Hinweis:
Wahlen Sie den Nullpunkt geeignet. Was bedeutet die Multiplikation mit i bzw. −igeometrisch?
- 173 -
Prof. Dr. H.-J. Reinhardt Analysis, Arbeitsmaterialien
Ubungen (8) zur Vorlesung Analysis I fur Mathematiker und Physiker
Aufgabe 1
Untersuchen Sie die folgenden Reihen auf Konvergenz und bestimmen Sie den Wert der
konvergenten Reihen:
a)∞∑
n=1
n+ 4
n2 − 3n+ 1;
b)∞∑
n=1
c2n+1
(1 + c2)n, c ∈ Re ;
c)∞∑
n=1
1
n(n+ 1)(n + 2).
Hinweis:
Um die Divergenz einer Reihe nachzuweisen, kann man das Minorantenkriterium benutzen:
Gibt es eine Folge (bn)n∈N nichtnegativer Zahlen mit bn ≤ an, n ∈ N, und∞∑
n=1bn = ∞,
dann divergiert auch die Reihe∞∑
n=1an.
Aufgabe 2
a) Beweisen Sie das sog. Reihenverdichtungskriterium:
Ist (an)n∈N eine monoton fallende Folge nichtnegativer Zahlen, so konvergiert die
Reihe∞∑
n=1an genau dann, wenn die verdichtete Reihe
∞∑
n=12na2n konvergiert.
b) Verwenden Sie das Reihenverdichtungskriterium, um zu zeigen, daß die Reihe
∞∑
n=1
1
nα, α ∈ Q,
fur α > 1 konvergiert und fur α ≤ 1 divergiert.
- 174 -
Analysis, Arbeitsmaterialien Prof. Dr. H.-J. Reinhardt
Aufgaben fur Mathematiker:
Aufgabe 3
a) Die Folgen (an)n∈N0 , (bn)n∈N0 und (cn)n∈N0 seien definiert durch
an := bn :=(−1)n√n+ 1
, cn :=
n∑
k=0
an−kbk, n ∈ N0.
Zeigen Sie, daß die Reihen∞∑
n=0an und
∞∑
n=0bn konvergieren, aber ihr Cauchy-Produkt
∞∑
n=0cn nicht konvergiert.
b) Zeigen Sie, daß fur |x| < 1 gilt:
∞∑
n=0
(n+ 1)xn =1
(1− x)2 .
Aufgabe 4
Es seien (an)n∈N und (bn)n∈N zwei beschrankte Folgen nichtnegativer Zahlen. Zeigen Sie:
a) lim supn→∞
anbn ≤(
lim supn→∞
an
)(
lim supn→∞
bn
)
;
b) Ist (an)n∈N konvergent, so gilt
lim supn→∞
anbn =(
limn→∞
an
)(
lim supn→∞
bn
)
.
Aufgaben fur Physiker:
Aufgabe 3
Untersuchen Sie die folgenden Reihen auf Konvergenz:
a)∞∑
n=1
n!
nn;
b)∞∑
n=1
(−n)n
(n+ 1)n+1;
c)∞∑
n=1
(n+ 1)n2
nn22n;
- 175 -
Prof. Dr. H.-J. Reinhardt Analysis, Arbeitsmaterialien
Aufgabe 4
Stellen Sie sich vor, es ist wieder Bastelabend in der Fachschaft. Sie bieten dieses Jahr
an, einen”Turm von Hanoi“ bauen zu wollen, dessen Bauanleitung Sie von Ihrer letzten
Schatzsuche mitgebracht haben. Dieser soll die folgende Gestalt haben: Die erste Platte
soll einen Durchmesser von 10 cm haben, jede folgende Platte besitzt genau den halben
Durchmesser der vorhergehenden. Weiterhin soll die erste Platte 4 cm dick sein, die zweite
halb so dick wie die erste, die Dicke der dritten Platte soll ein Drittel der zweiten betragen
usw.. Sie stellen sich nun folgende Fragen:
a) Welche Dicke und welchen Durchmesser besitzt die n−te Platte?
b) Welche Gesamthohe Hn und welches Gesamtvolumen Vn besitzt der Turm Tn, der
aus den ersten n Platten besteht?
c) Welche Hohe hatte eigentlich T∞ und wieviel cm3 Holz waren fur den Bau eines
solchen Turmes notig?
- 176 -
Analysis, Arbeitsmaterialien Prof. Dr. H.-J. Reinhardt
Ubungen (9) zur Vorlesung Analysis I fur Mathematiker und Physiker
Aufgabe 1
a) Beweisen Sie die Stetigkeit der folgenden Funktionen in x = a mit Hilfe der ε −δ−Definition der Stetigkeit:
i) f : (0; 1) ∋ x 7→ √x ∈ Re ; a ∈ (0; 1);
ii) f : Re ∋ x 7→ 11+x2 ∈ Re ; a ∈ Re .
b) Untersuchen Sie die folgende Funktion f : Re → Re auf Stetigkeit in Re :
f(x) :=
|x− 2| (x2+x−6)(x+2)x2−4x+4
, x 6= 2
20, x = 2
.
Aufgabe 2
Eine Funktion f : D ⊂ Re → Re heißt Lipschitz-stetig, wenn eine Konstante 0 ≤ L <∞existiert, so daß fur alle x, y ∈ D gilt:
|f(x)− f(y)| ≤ L|x− y|.
Zeigen Sie:
a) Jede auf D Lipschitz-stetige Funktion ist auch stetig in D.
b) Der Raum der Lipschitz-stetigen Funktionen ist ein Vektorraum uber Re .
c) Ist D ein Intervall, dann ist auch das Produkt zweier Lipschitz-stetiger Funktionen
wieder Lipschitz-stetig.
Aufgabe 3
Die Funktion f : Re → Re sei gegeben durch
f(x) :=9x3 − 18x2 − 2x+ 2
x2 + 1.
Zeigen Sie, daß f mindestens eine Nullstelle in den Intervallen [−1; 0] und [0; 1] besitzt.
Gibt es eine weitere Nullstelle im Intervall [1;∞)?
- 177 -
Prof. Dr. H.-J. Reinhardt Analysis, Arbeitsmaterialien
Aufgaben fur Mathematiker:
Aufgabe 4
Fur die Funktion f : Re → Re gelte f(0) = 1 und
f(x+ y) ≤ f(x)f(y) ∀ x, y ∈ Re .
Zeigen Sie, daß f in Re stetig ist, wenn f im Nullpunkt stetig ist.
Aufgaben fur Physiker:
Aufgabe 4
Das Tragheitsmoment eines Systems aus N Massenpunkten mj, j ∈ {1, . . . , N}, ist defi-
niert durch
Θ =
N∑
j=1
mjr2j ,
wobei rj den Abstand des Massenpunktes mj senkrecht zur Drehachse angibt. Der Begriff
des Tragheitsmomentes laßt sich mit Hilfe eines Grenzwertprozesses auch auf homogene
Korper wie z.B. die Scheiben des Turms von Hanoi (vgl. Blatt 8) fortsetzen. Berechnen
Sie das Tragheitsmoment der ersten Holzscheibe, wobei die Dichte ρ als konstant voraus-
gesetzt sei. Die Rotationsachse stehe dabei senkrecht auf der Scheibe und gehe durch den
Mittelpunkt.
Hinweis:
i) Zerlegen Sie die Scheibe in n Kreisringe, wobei die Differenz des außeren und des
inneren Radius konstant sein soll.
ii) Schatzen Sie die Tragheitsmomente dieser Kreisringe geeignet nach oben und unten
ab.
iii) Summieren Sie diese Teilergebnisse und vereinfachen Sie diese mit Hilfe der Formeln
furn∑
i=1
i,
n∑
i=1
i2,
n∑
i=1
i3.
iv) Fuhren Sie nun den Grenzwertprozeß mit n→∞ durch.
- 178 -
Analysis, Arbeitsmaterialien Prof. Dr. H.-J. Reinhardt
Weihnachts-Ubungsblatt zur Vorlesung Analysis I fur Mathematiker und Phy-
siker
Aufgabe 1: Vollstandige Induktion
Fur welche n ∈ N0 sind folgende Aussagen wahr?
a) 2n+ 1 ≤ 2n;
b) n2 ≤ 2n.
Aufgabe 2: Urbilder von Mengen
Seien X,Y nichtleere Mengen. Sei f : X → Y eine Funktion. Zeigen Sie:
a) Sind A ⊂ Y und B ⊂ Y disjunkt, dann sind auch f−1(A) und f−1(B) disjunkt.
b) Sei Y das kartesische Produkt zweier nichtleerer Mengen Y1, Y2, d.h. Y := Y1 × Y2.
Sei f := (f1, f2) definiert durch die Komponenten f1 : X → Y1 und f2 : X → Y2.
Fur beliebige Teilmengen A1 ⊂ Y1 und A2 ⊂ Y2 gilt
f−1(A1 ×A2) = f−11 (A1) ∩ f−1
2 (A2).
Aufgabe 3: Reihen
a) Sei∞∑
n=1an eine Reihe. Zeigen Sie:
Die Reihe konvergiert absolut, wenn lim supn→∞
n√
|an| < 1 gilt;
die Reihe divergiert, wenn lim supn→∞
n√
|an| > 1 gilt;
die Reihe kann sowohl divergent als auch konvergent sein, wenn lim supn→∞
n√
|an| = 1
gilt.
Hinweis:
Eine analoge Aussage gilt fur das Quotientenkriterium.
b) Zeigen Sie die Divergenz folgender Reihen:
i)∞∑
n=1(−1)n n
√n;
ii)∞∑
n=1
72n
(4+(−1)n)3n .
- 179 -
Prof. Dr. H.-J. Reinhardt Analysis, Arbeitsmaterialien
Aufgabe 4: Logarithmus- und Hyperfunktionen
a) Beweisen Sie die Funktionalgleichung fur die Logarithmusfunktion:
ln(xy) = ln(x) + ln(y), x, y > 0.
b) Beweisen Sie fur x, y ∈ Re folgende Beziehungen fur die Funktionen cosh und sinh :
i) cosh(x+ y) = cosh(x) cosh(y) + sinh(x) sinh(y);
ii) sinh(x+ y) = cosh(x) sinh(y) + sinh(x) cosh(y);
iii) cosh2(x)− sinh2(x) = 1.
Hinweis:
Sie durfen die Funktionalgleichung fur die Exponentialfunktion benutzen.
- 180 -
Analysis, Arbeitsmaterialien Prof. Dr. H.-J. Reinhardt
Ubungen (10) zur Vorlesung Analysis I fur Mathematiker und Physiker
Aufgabe 1
Zeigen Sie, daß die folgenden Funktionen auf dem Intervall I := (−1, 1) streng monoton
und stetig sind und bestimmen Sie die Ableitungen der Umkehrfunktionen f−1 bzw. g−1
an den Stellen f(0) bzw. g(0).
a) f : I ∋ x 7→ x3 − 3x+ 3 ∈ Re ;
b) g : I ∋ x 7→ ln(−(x− 1)2 + 5) ∈ Re ;
Aufgabe 2:
a) Beweisen Sie:
Sind h1 > 0, h2 differenzierbar auf D ⊂ Re , dann gilt fur h(x) := h1(x)h2(x)
h′(x) =
(
h′2(x) ln(h1(x)) + h2(x)h′1(x)h1(x)
)
h1(x)h2(x), x ∈ D.
b) Berechnen Sie die Ableitungen der folgenden Funktionen:
i) f : Re + ∋ x 7→ (3x)ln(x) ∈ Re ;
ii) g : Re ∋ x 7→ xe−x
(1+x2)2∈ Re ;
Aufgaben fur Mathematiker:
Aufgabe 3:
Zeigen Sie ohne die Differenzierbarkeit zu benutzen, daß die folgenden Funktionen auf ih-
rem
Definitionsbereich gleichmaßig stetig sind:
a) f : (0, 2) ∋ x 7→ x3 ∈ Re ;
b) g : Re ∋ x 7→ 11+|x| ∈ Re ;
Aufgabe 4:
Eine Funktion f : [a, b]→ Re heißt genau dann streng konvex, wenn gilt
f(tx+ (1− t)y) < tf(x) + (1− t)f(y) ∀ t ∈ (0, 1), ∀ x, y ∈ [a, b], x 6= y.
- 181 -
Prof. Dr. H.-J. Reinhardt Analysis, Arbeitsmaterialien
a) Zeigen Sie, daß es genau ein z ∈ [a, b] gibt mit
f(z) = minx∈[a,b]
f(x),
falls f : [a, b]→ Re streng konvex und stetig ist.
b) Gilt die Aussage von a) auch fur das Maximum?
c) Zeigen Sie, daß f : [−2, 3] ∋ x 7→ x2 ∈ Re streng konvex ist.
- 182 -
Analysis, Arbeitsmaterialien Prof. Dr. H.-J. Reinhardt
Aufgaben Physiker:
Aufgabe 3:
Beweisen Sie folgenden Gleichungen fur n ≥ 2, indem Sie die Ableitungen geeigneter
Funktionen benutzen und diese an passender Stelle auswerten:
a)n∑
k=1
k(nk
)= n2n−1;
b)n∑
k=1
k(k − 1)(nk
)= n(n− 1)2n−2.
Hinweis:
Die Funktionen sind Polynome.
Aufgabe 4:
Bestimmen Sie die Koeffizienten des Polynoms
p(x) := ax2 + bx+ c,
so daß die folgenden Bedingungen erfullt sind:
i) Das Polynom p besitzt eine Nullstelle fur x = 1.
ii) Die Tangente im Punkt (2, p(2)) ist parallel zu der Geraden y + 2x = 2.
iii) Die Tangente im Punkt (−1, p(−1)) steht senkrecht auf der Geraden y − x = 5.
Hinweis:
Zwei Geraden stehen senkrecht auf einander, wenn das Produkt ihrer Steigungen −1
ist.
- 183 -
Prof. Dr. H.-J. Reinhardt Analysis, Arbeitsmaterialien
Ubungen (11) zur Vorlesung Analysis I fur Mathematiker und Physiker
Aufgabe 1
Die Funktion f : Re ⊃ D → Re sei gegeben durch
f(x) =x3
x2 − 1, x ∈ D.
Unterziehen Sie die Funktion f einer Kurvendiskussion:
a) Bestimmen Sie den Definitionsbereich D und die Schnittpunkte mit den Achsen.
b) Untersuchen Sie die Funktion auf Symmetrie: Ist f ggf. eine gerade oder ungerade
Funktion?
c) Untersuchen Sie das Monotonieverhalten von f und untersuchen Sie das Verhalten
von f fur x→ ±∞.
d) Bestimmen Sie alle Maxima sowie Minima (lokale, globale), Wende- und Sattelpunk-
te.
e) Zeichnen Sie die Funktion f fur x ∈ [−6, 6].
Hinweis:
i) Eine Funktion g heißt gerade bzw. ungerade, wenn gilt
g(x) = g(−x) bzw. g(x) = −g(−x) ∀ x ∈ D.
ii) Ein Wende- bzw. Sattelpunkt liegt bei der Funktion g u. a. vor, wenn gilt
g′′(x) = 0 ∧ g′(x), g′′′(x) 6= 0 bzw. g′(x) = g′′(x) = 0 ∧ g′′′(x) 6= 0.
Aufgabe 2
Der Graph der Funktion f mit f(x) = (x2− 4)2 schließt mit der x−Achse eine Flache ein.
Dieser Flache konnen Dreiecke einbeschrieben werden, die gleichschenklig und symmetrisch
zur y−Achse sind und deren Spitzen im Ursprung des Koordinatensystems liegen. Laßt
man diese Dreiecke um die y−Achse rotieren, so entstehen Kegel. Gesucht ist der Kegel
mit dem maximalen Volumen.
- 184 -
Analysis, Arbeitsmaterialien Prof. Dr. H.-J. Reinhardt
a) Fertigen Sie eine Zeichnung an, die den Sachverhalt wiedergibt.
b) Zeigen Sie, daß fur das Volumen V des Kegels
V (r) =1
3π(r3 − 4r)2
gilt.
c) Bestimmen Sie mit Hilfe von V (r) den Radius r und die Hohe h des Kegels mit dem
maximalen Volumen sowie das maximale Volumen Vmax.
Aufgabe 3
Berechnen Sie e1/2 auf 10−3 exakt. Verwenden Sie dazu die Taylorformel mit Entwick-
lungspunkt 0 und die Darstellung des Restgliedes nach Lagrange.
Aufgaben fur Mathematiker:
Aufgabe 4
Zeigen Sie:
Ist die Funktion f auf dem Intervall [a, b] stetig und in (a, b) zweimal differenzierbar, dann
ist Sie auf [a, b] streng konvex, wenn gilt
f ′′(x) > 0, x ∈ (a, b).
Hinweis:
i) Die strenge Konvexitat wurde auf Blatt 10, Aufgabe 4 definiert.
ii) Definieren Sie z := (1−t)y+tx und nehmen Sie ohne Beschrankung der Allgemeinheit
y < x an. Benutzen Sie an geeigneter Stelle den Mittelwertsatz.
iii) Gilt in der obigen Aussage f ′′(x) ≥ 0, dann ist f auf [a, b] konvex. Gilt jedoch
f ′′(x) < 0 bzw. f ′′(x) ≤ 0, dann ist f auf [a, b] streng konkav bzw. konkav.
Aufgaben fur Physiker:
Aufgabe 4
Die Hermite-Polynome Hn sind Losungen der Differentialgleichung
v′′ − 2yv′ + (ǫ− 1)v = 0
- 185 -
Prof. Dr. H.-J. Reinhardt Analysis, Arbeitsmaterialien
mit ǫ = 2n + 1, n ∈ N0. Diese Differentialgleichung tritt u. a. in der Quantenmechanik
bei der Betrachtung des eindimensionalen Oszillators, der z. B. die Schwingungen eines
zweiatomigen Molekuls beschreibt, auf. Eine Darstellung der Hermite-Polynome lautet
Hn(y) = (−1)ney2 dn
dyne−y
2, n ∈ N0.
a) Begrunden Sie kurz, warum Hn ein Polynom ist, obwohl die Exponentialfunktion
in der Darstellung auftaucht, und berechnen sie die ersten 4 Hermite-Polynome.
b) Zeigen Sie, daß die Hermite-Polynome Hn der Differentialgleichung
H ′′n − 2yH ′
n + 2nHn = 0
genugen.
c) Zeigen Sie, daß fur die Hermite-Polynome die folgende Beziehung gilt:
nHn−1 +1
2Hn+1 = yHn, n ∈ N.
Hinweis:
Sie durfen in Teil b) und c) die Beziehung H ′n = 2nHn−1, n ∈ N, benutzen.
- 186 -
Analysis, Arbeitsmaterialien Prof. Dr. H.-J. Reinhardt
Ubungen (12) zur Vorlesung Analysis I fur Mathematiker und Physiker
Aufgabe 1
Berechnen Sie folgende Grenzwerte:
a) limx→0
ex+e−x−2x2 ;
b) limx→0
(ex−1x
)1/x.
Aufgabe 2
Beweisen Sie mit Hilfe der Differentialrechnung folgende Identitaten:
a) 2 arctan(x) = arcsin(
2x1+x2
)
, −1 ≤ x ≤ 1;
b) 2 arccot(√
1−cos(x)1+cos(x)
)
= π − x, 0 ≤ x < π.
Aufgabe 3
Beweisen Sie folgende Eigenschaften der trigonometrischen Funktionen:
a) cos(π2
)= 0, sin
(π2
)= 1;
b) cos(x+ π
2
)= − sin(x), sin
(x+ π
2
)= cos(x), x ∈ Re ;
c) cos(x+ π) = − cos(x), sin(x+ π) = − sin(x), x ∈ Re ;
d) cos(x+ 2π) = cos(x), sin(x+ 2π) = sin(x), x ∈ Re .
Sie durfen dazu nur die Satze und Definitionen der Vorlesung bis einschließlich Lemma 14
in §11 und die Definition von π benutzen.
Aufgaben fur Mathematiker:
Aufgabe 4
Seien f, g : [a, b]→ Re beschrankte Funktionen. Zeigen Sie fur die Ober- bzw. Unterinte-
grale:
a) –∫ (f + g)(x)dx ≤ –∫ f(x)dx+ –∫ g(x)dx;
- 187 -
Prof. Dr. H.-J. Reinhardt Analysis, Arbeitsmaterialien
b) –
∫(f + g)(x)dx ≥ –
∫f(x)dx+ –
∫g(x)dx;
c) –∫ (cf)(x)dx = c–∫f(x)dx, c ∈ [0,∞).
- 188 -
Analysis, Arbeitsmaterialien Prof. Dr. H.-J. Reinhardt
Aufgaben fur Physiker:
Aufgabe 4
Gegeben Sei eine Differentialgleichung der Form
n∑
k=0
aky(k)(x) = g(x), ak ∈ Re , an 6= 0, n ∈ N0.
Zeigen Sie:
a) Ist V die Menge der Losungen der Differentialgleichung fur g = 0, dann ist V einen
Vektorraum.
b) Sei z eine Losung der Differentialgleichung, und sei Vg die Menge der Losungen der
Differentialgleichung. Dann gilt
Vg = {z + h | h ∈ V }.
Hinweis:
i) Die obige Differentialgleichung ist eine lineare Differentialgleichung n−ter Ordnung
mit konstanten Koeffizienten.
ii) Gilt g = 0, so liegt eine homogene Differentialgleichung vor; ist g 6= 0, eine inhomo-
gene.
- 189 -
Prof. Dr. H.-J. Reinhardt Analysis, Arbeitsmaterialien
C Theoretische Ubungsaufgaben
fur Informatiker zu Analysis I
Ubungen (1) zur Vorlesung Analysis I fur Informatiker
Aufgabe 1
Losen Sie folgende Ungleichungen uber Re . Skizzieren Sie zudem die Losungsmenge auf
der x−Achse.
a) x+32x−5 > 3;
b) |x|−1x2−1
≥ 12 ;
c) |x− |x− 1|| > −2x+ 1.
Hinweis:
Machen Sie geeignete Fallunterscheidungen fur x.
Aufgabe 2
Seien A, B und C Teilmengen von X. Fur A ⊂ X ist das Komplement A′ von A in X
erklart durch A′ := X \ A. Zeigen Sie
a) A ∪B = B ∪A (Kommutativgesetz);
b) (A ∪B)′ = A′ ∩B′ (Regel von de Morgan);
c) A× (B ∩C) = (A×B) ∩ (A× C).
Bemerkung:
Die oben angegebenen Regeln fur Mengen gelten auch, wenn man jeweils ∪ durch ∩ und
∩ durch ∪ ersetzt. Die Regel von de Morgan gilt nicht nur fur zwei, sondern auch fur eine
beliebige endliche oder unendliche Anzahl von Mengen.
Aufgabe 3
Seien B und C Teilmengen einer Menge A. Zeigen Sie die Aquivalenz von
- 190 -
Analysis, Arbeitsmaterialien Prof. Dr. H.-J. Reinhardt
a) B ⊂ C;
b) B ∩C = B;
c) B ∪C = C.
Aufgabe 4
a) Welche der folgenden Formulierungen bzw. Ausdrucke sind mathematische Aus-
sagen, d.h. Satze denen man unabhangig vom Betrachter genau einen der Wahr-
heitswerte wahr oder falsch zuordnen kann? Begrunden Sie kurz Ihre Entscheidung.
i) Diese Aufgabe ist sehr schwer.
ii) Dies ist eine Aufgabe zur Aussagenlogik.
iii) Diese Art von Aufgabe kommt in der Klausur vor.
b) Die Aussage q sei gegeben durch”Das Parallelogramm D ist ein Quadrat.“. Geben
Sie jeweils eine andere Aussage p an, so daß gilt:
i) q ⇒ p, aber nicht p⇒ q;
ii) p⇒ q, aber nicht q ⇒ p;
iii) p⇔ q.
- 191 -
Prof. Dr. H.-J. Reinhardt Analysis, Arbeitsmaterialien
Ubungen (2) zur Vorlesung Analysis I fur Informatiker
Aufgabe 1
Seien X und Y Mengen. Sei f : X → Y eine Abbildung. Zeigen Sie:
a) f(A ∪B) = f(A) ∪ f(B) ∀ A, B ⊂ X;
b) f−1(C ∩D) = f−1(C) ∩ f−1(D) ∀ C, D ⊂ Y ;
Aufgabe 2
Seien A, B und C Mengen; seien f : A→ B und g : B → C Abbildungen. Zeigen Sie:
a) Sind f und g injektiv, so ist auch g ◦ f injektiv.
b) Sind f und g bijektiv, so ist auch g ◦ f bijektiv, und es gilt (g ◦ f)−1 = f−1 ◦ g−1.
Aufgabe 3
Untersuchen Sie die folgenden Funktionen auf Surjektivitat, Injektivitat und Bijektivitat:
a) f : Re → Re , x 7→ 2x− 1;
b) g : [−2;∞[→ [−2;∞[, x 7→ x2 − 2x− 1;
c) h : Re \{0} → Re , x 7→ x3
|x| .
Aufgabe 4
Man bestimme alle reellen Zahlen x, die der Ungleichung
|||1− x| − x| − x| − x < − 1
10
genugen.
- 192 -
Analysis, Arbeitsmaterialien Prof. Dr. H.-J. Reinhardt
Ubungen (3) zur Vorlesung Analysis I fur Informatiker
Aufgabe 1
Sei fn fur n ∈ N ∪ {0} die n–te Fibonacci–Zahl, d.h.
f0 := 0 , f1 := 1 und fn+1 := fn + fn−1 fur n ≥ 1 .
Zeigen Sie, dass
fn+m = fn−1fm + fnfm+1.
Aufgabe 2
Zeigen Sie fur jede naturliche Zahl n > 1 die Beziehung
1
n+ 1+
1
n+ 2+ . . .+
1
2n>
13
24.
Aufgabe 3
Bestimmen Sie (falls vorhanden) das Infimum, Supremum, Minimum und Maximum der
folgenden Mengen reeller Zahlen.
1.
{1
m+
1
n
∣∣∣∣m,n ∈ N
}
2.
{
x+1
x
∣∣∣∣
1
2< x ≤ 2
}
- 193 -
Prof. Dr. H.-J. Reinhardt Analysis, Arbeitsmaterialien
Ubungen (4) zur Vorlesung Analysis I fur Informatiker
Aufgabe 1
In wieviele Teile kann eine Ebene durch n Geraden maximal aufgeteilt werden?
Aufgabe 2
Man zeige, dass fur alle naturlichen Zahlen n die Zahl 11n+2 + 122n+1 durch 133 teilbar
ist.
Aufgabe 3
Man bringe die folgenden komplexen Zahlen auf die Form x+ yi.
(a) (3 + 4i) · (2− i), (b) (5 + i)/(1 + i), (c) 1 + i+ i2 + i3, (d) i379.
Aufgabe 4
Welche Funktion wird durch folgenden C-Quelltext berechnet?
int machwas(int n, int m) { int k, r = 0;
for(k = 0; k < n; k++) { if(k < m) { r += k; } else r++; } return
r; }
- 194 -
Analysis, Arbeitsmaterialien Prof. Dr. H.-J. Reinhardt
Ubungen (5) zur Vorlesung Analysis I fur Informatiker
Aufgabe 1
Losen Sie den Ausdruck
1
10
(
(x+ y)10 +(x2 + y2
)5+ 4 ·
(x5 + y5
)2+ 4 ·
(x10 + y10
))
auf.
Aufgabe 2
Man zeige fur alle naturlichen Zahlen n und k die Beziehung
(n+ 1
k + 1
)
=
(n
k + 1
)
+
(n
k
)
.
Aufgabe 3
Berechnen Sie z1 + z2, z1 − z2, z1 · z2, z1/z2 fur
1. z1 = 1 + i√
3, z2 = 1− i,
2. z1 = 2 + 3i, z2 = 3− 5i,
3. z1 = 4− 5i, z2 = 4 + 5i und
4. z1 = i, z2 = −2− 4i.
Aufgabe 4
Bestimmen Sie die komplexen Zahlen, die durch folgende Gleichungen bzw. Ungleichungen
gegeben sind. Welche geometrische Form haben sie in der Gaußschen Zahlenebene?
1. 0 < 2 · ℑ(z) < |z|.
2. |z + 4i− 3| = 3.
3. |z − 1| = |z − i|.
4. |z + i| ≥ 2 · |z + 1|.
- 195 -
Prof. Dr. H.-J. Reinhardt Analysis, Arbeitsmaterialien
Ubungen (6) zur Vorlesung Analysis I fur Informatiker
Aufgabe 1
Bestimmen Sie die Grenzwerte der durch
(a) an =1√n
(b) an =5n+ 1
7n− 2
(c) an =(3n + 2)(3n − 2)2
9n3 + 3n2(d) an = 3−(n+2) (1n + 2n + 3n)
(e) an =√n(√n+ 1−√n
)(f) an = n
√n+ 7n
gegebenen Folgen (an)n∈N.
Aufgabe 2
Fur welche α0, α1, α2 ∈ R und β0, β1, β2 ∈ R+ := {x ∈ R | x > 0} ist die durch
an =α2n
2 + α1n+ α0
β2n2 + β1n+ β0
bestimmte Folge (an)n∈Nkonvergent?
Bestimmen Sie gegebenenfalls den Grenzwert.
Aufgabe 3
Sei c ∈ R+, sei a0 ∈ ] 0 , 1/c [ und sei an fur n ∈ N rekursiv durch
an := an−1 (2− can−1)
definiert. Zeigen Sie, dass die Folge (an)n∈Nmonoton wachst und von oben beschrankt ist,
und bestimmen Sie deren Grenzwert.
- 196 -
Analysis, Arbeitsmaterialien Prof. Dr. H.-J. Reinhardt
Ubungen (7) zur Vorlesung Analysis I fur Informatiker
Aufgabe 1
Welche Folge(n) ist/sind konvergent? Bestimmen Sie gegebenenfalls den Grenzwert.
1. an = 1 +(−1
2
), n ∈ N;
2. an = (−1)n + 12n , n ∈ N;
3. an = (−1)n(2n + 1), n ∈ N;
4. an = 12n+1 , n ∈ N;
5. an =(1 + 2
n
)n, n ∈ N.
Aufgabe 2
Die Folgen (an)n∈N, (bn)n∈N seien durch
an :=(3− n)3
3n3 − 1bzw. bn :=
1 + (−1)nn2
2 + 3n + n2
definiert. Man entscheide fur jede der beiden Folgen, ob sie beschrankt, konvergent bzw.
divergent ist, und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.
Aufgabe 3
Fur x ∈ C \ {−1} und n ∈ N sei
an(x) =
(x− 1
x+ 1
)2n+1
.
Man bestimme folgende Mengen:
1. A1 = {x ∈ C | (an(x))n∈N ist beschrankt}.
2. A2 = {x ∈ C | (an(x))n∈N ist konvergent}.
- 197 -
Prof. Dr. H.-J. Reinhardt Analysis, Arbeitsmaterialien
Ubungen (8) zur Vorlesung Analysis I fur Informatiker
Aufgabe 1
Berechnen Sie die Grenzwerte der folgenden Reihen.
(a)
∞∑
n=1
1
n(n+ 1)(n + 2)(b)
∞∑
n=2
1
n2 − 1
Aufgabe 2
Bestimmen Sie den Grenzwert der Reihe
∞∑
n=0
8n + 2n
16n.
Aufgabe 3
Untersuchen Sie, ob die folgenden Reihen konvergieren.
(a)
∞∑
n=1
√n+ 1−√n
n(b)
∞∑
n=1
(√
n2 + 1− n)
Aufgabe 4
Untersuchen Sie die folgenden Reihen auf Konvergenz.
(a)
∞∑
n=1
( n√n− 1)n (b)
∞∑
n=1
n2
(2 + 1
n
)n (c)
∞∑
n=1
nn
(n+ 1)!
- 198 -
Analysis, Arbeitsmaterialien Prof. Dr. H.-J. Reinhardt
Ubungen (9) zur Vorlesung Analysis I fur Informatiker
Aufgabe 1
Ermitteln Sie, fur welche reellen Zahlen x die folgenden Terme nicht definiert sind. Fur
welche dieser Zahlen lassen sich die Terme stetig, fur welche eindeutig stetig fortsetzen?
1.x2 − 1
x2 + 3x+ 2.
2.√
x2 − 4.
3.x8 − x3 + 379
x2 + x+ 1.
Aufgabe 2
In den folgenden Termen bestimme man die reellen Unstetigkeitsstellen und klassifiziere
diese nach den Typen:
• hebbare Unstetigkeit, d.h. der Grenzwert existiert,
• Sprungstelle, d.h. links- und rechtsseitiger Grenzwert existieren, sind aber verschie-
den,
• Pol,
• keine der obigen Arten.
(a)x− 42
|x− 42| (b) 21/x
(c)x3 − 3x
x3 − x (d) x · frac(√
|x|)
Hierbei ist frac(x) = x− floor(x) der gebrochene Anteil von x.
Aufgabe 3
Die Funktionen fn : R→ R seien fur n ∈ N durch
fn(x) :=nx
1 + |nx|
definiert. Man zeige, dass alle diese Funktionen stetig sind. Fur welche x ∈ R ist die
Funktion
f(x) = limn→∞
fn(x)
- 199 -
Prof. Dr. H.-J. Reinhardt Analysis, Arbeitsmaterialien
definiert und wo ist sie stetig?
Aufgabe 4
Man zeige, dass die Gleichung x3 − 3x − 1 = 0 drei reelle Losungen hat. Man gebe ein
Verfahren an, mit dem sich diese Losungen beliebig genau bestimmen lassen und bestimme
damit die Losung mit einer Genauigkeit von 10 Stellen.
- 200 -
Analysis, Arbeitsmaterialien Prof. Dr. H.-J. Reinhardt
Ubungen (10) zur Vorlesung Analysis I fur Informatiker
Aufgabe 1:
a) Beweisen Sie:
Sind h1 > 0, h2 differenzierbar auf D ⊂ Re , dann gilt fur h(x) := h1(x)h2(x)
h′(x) =
(
h′2(x) ln(h1(x)) + h2(x)h′1(x)h1(x)
)
h1(x)h2(x), x ∈ D.
b) Berechnen Sie die Ableitungen der folgenden Funktionen:
i) f : Re + ∋ x 7→ (3x)ln(x) ∈ Re ;
ii) g : Re ∋ x 7→ xe−x
(1+x2)2∈ Re ;
Aufgabe 2:
Beweisen Sie folgenden Gleichungen fur n ≥ 2, indem Sie die Ableitungen geeigneter
Funktionen benutzen und diese an passender Stelle auswerten:
a)n∑
k=1
k(nk
)= n2n−1;
b)n∑
k=1
k(k − 1)(nk
)= n(n− 1)2n−2.
Hinweis:
Die Funktionen sind Polynome.
Aufgabe 3:
Bestimmen Sie die Koeffizienten des Polynoms
p(x) := ax2 + bx+ c,
so daß die folgenden Bedingungen erfullt sind:
i) Das Polynom p besitzt eine Nullstelle fur x = 1.
ii) Die Tangente im Punkt (2, p(2)) ist parallel zu der Geraden y + 2x = 2.
iii) Die Tangente im Punkt (−1, p(−1)) steht senkrecht auf der Geraden y − x = 5.
Hinweis:
Zwei Geraden stehen senkrecht auf einander, wenn das Produkt ihrer Steigungen −1
ist.
- 201 -
Prof. Dr. H.-J. Reinhardt Analysis, Arbeitsmaterialien
Ubungen (11) zur Vorlesung Analysis I fur Informatiker
Aufgabe 1
Berechnen Sie die Taylor-Entwicklung der Funktion f(x) = sin(x) im Punkt x0 = 0. Zeich-
nen Sie die Funktion f und ihre Naherungen durch die Taylor-Polynome bis zum 5. Grad.
Aufgabe 2
Fur x ∈ R sei p(x) := 3 + 4(x− 1)2 und f(x) := p(x)e−x2. Man bestimme alle lokalen und
globalen Extrema.
Aufgabe 3
Man diskutiere den Verlauf der Kurven y = 2 + 12x2−4 und y = 3
x − 1x3 , d.h. man be-
stimme Symmetrieeigenschaften, Definitions- und Wertebereich, Schnittpunkte mit den
Koordinatenachsen, Unstetigkeitsstellen, Asymptoten, Monotoniebereiche, lokale und glo-
bale Extrema, Konvexitat, Konkavitat und Wendepunkte.
- 202 -
Analysis, Arbeitsmaterialien Prof. Dr. H.-J. Reinhardt
Ubungen (12) zur Vorlesung Analysis I fur Informatiker
Aufgabe 1
Bestimmen Sie die folgenden Grenzwerte.
1. limx→0
sin(3x)
x.
2. limx→0
x− sinx
x3.
3. limx→+0
xx.
4. limx→+0
x lnx.
Aufgabe 2
Diskutieren Sie den Verlauf der folgenden Kurven.
1. f(x) = (x+ 2)2/3 − (x− 2)2/3.
2. f(x) = x− ln(x).
3. f(x) =x2 − xx2 + 1
.
Aufgabe 3
Beweisen Sie, dass
2
3≤ x2 + 1
x2 + x+ 1≤ 2 fur alle x ∈ R .
- 203 -
Prof. Dr. H.-J. Reinhardt Analysis, Arbeitsmaterialien
D Theoretische Ubungsaufgaben zu Analysis II
Ubungen (1) zur Vorlesung Analysis II
Aufgabe 1 (Kurvendiskussion)
Die Funktion f : Re ⊃ D → Re sei gegeben durch
f(x) =x3
x2 − 1, x ∈ D.
Unterziehen Sie die Funktion f einer Kurvendiskussion:
a) Bestimmen Sie den Definitionsbereich D und die Schnittpunkte mit den Achsen.
b) Untersuchen Sie die Funktion auf Symmetrie: Ist f ggf. eine gerade oder ungerade
Funktion?
c) Untersuchen Sie das Monotonieverhalten von f und untersuchen Sie das Verhalten
von f fur x→ ±∞.
d) Bestimmen Sie alle Maxima sowie Minima (lokale, globale), Wende- und Sattelpunk-
te.
e) Zeichnen Sie die Funktion f fur x ∈ [−6, 6].
Hinweis:
i) Eine Funktion g heißt gerade bzw. ungerade, wenn gilt
g(x) = g(−x) bzw. g(x) = −g(−x) ∀ x ∈ D.
ii) Ein Wende- bzw. Sattelpunkt liegt bei der Funktion g u. a. vor, wenn gilt
g′′(x) = 0 ∧ g′(x), g′′′(x) 6= 0 bzw. g′(x) = g′′(x) = 0 ∧ g′′′(x) 6= 0.
Aufgabe 2 (l’Hospital)
Berechnen Sie folgende Grenzwerte:
a) limx→0
ex+e−x−2x2 ;
- 204 -
Analysis, Arbeitsmaterialien Prof. Dr. H.-J. Reinhardt
b) limx→0
(ex−1x
)1/x.
Aufgabe 3 (Taylorentwicklung)
Bestimmen Sie die Taylorpolynome der folgenden Funktionen vom Grad m mit Entwick-
lungspunkt x0 :
a) f : Re → Re , x 7→ eex; m = 3; x0 = 0;
b) g : Re → Re , x 7→ sin(x); m = 2n+ 1; x0 = π.
Aufgabe 4 (Winkelfunktionen)
Beweisen Sie folgende Eigenschaften der trigonometrischen Funktionen:
a) cos(π2
)= 0, sin
(π2
)= 1;
b) cos(x+ π
2
)= − sin(x), sin
(x+ π
2
)= cos(x), x ∈ Re ;
c) cos(x+ π) = − cos(x), sin(x+ π) = − sin(x), x ∈ Re ;
d) cos(x+ 2π) = cos(x), sin(x+ 2π) = sin(x), x ∈ Re .
Sie durfen dazu nur die Satze und Definitionen der Vorlesung bis einschließlich Lemma 14
in §9 und die Definition von π benutzen.
- 205 -
Prof. Dr. H.-J. Reinhardt Analysis, Arbeitsmaterialien
Ubungen (2) zur Vorlesung Analysis II
Aufgabe 1 (Ableitungen)
Fur welche x ∈ Re sind die folgenden Funktionen fk, k = 1, 2, 3, definiert, und wo sind
sie differenzierbar? Berechnen Sie dort jeweils die erste Ableitung.
a) f1(x) = ax+bcx+d , a, b, c, d ∈ Re , ad− bc = 1, c 6= 0;
b) f2(x) = ln(cos(x));
c) f3(x) = (arctan(x))2.
Aufgabe 2 (Unterintegrale)
Seien f, g : [a, b]→ Re beschrankte Funktionen. Zeigen Sie fur die Unterintegrale:
a) –
∫(f + g)(x)dx ≥ –
∫f(x)dx+ –
∫g(x)dx;
b) –
∫(cf)(x)dx = c–
∫f(x)dx, c ∈ [0,∞).
Aufgabe 3 (Ober- und Unterintegrale)
Sei f : [a, b]→ Re eine beschrankte Funktion. Zeigen Sie, daß gilt:
a) –∫ (−f)(x)dx = −–
∫f(x)dx;
b) –
∫(−f)(x)dx = −–∫ f(x)dx.
- 206 -
Analysis, Arbeitsmaterialien Prof. Dr. H.-J. Reinhardt
Ubungen (3) zur Vorlesung Analysis II
Aufgabe 1 (Grenzwerte)
a) limx→∞
(cosh(x)− sinh(x));
b) limx→0
sinh(x)x ;
c) limx→∞
cos(x)+xsin(x)+x .
Aufgabe 2 (Riemannsche Summen)
Berechnen Sie das Integral∫ a
1ln(x)dx
mittels Riemannscher Summen.
Hinweis: Verwenden Sie die Zerlegung
1 = x0 < x1 < . . . < xn = a
mit xk = ak/n, ξk = xk−1, k = 0, . . . , n.
Aufgabe 3 (Integrierbare Funktionen)
Beweisen Sie Satz 10.13:
f, g ∈ R[a, b] ⇒ f · g ∈ R[a, b].
Hinweis:
i) Zeigen Sie, daß f2 ∈ R[a, b] gilt, wenn f ∈ R[a, b] ist.
ii) Folgern Sie mit Hilfe der folgenden Darstellung fur das Produkt
f · g =1
4((f + g)2 − (f − g)2),
daß dann auch f · g ∈ R[a, b] liegt, wenn f, g ∈ R[a, b] sind.
iii) Verwenden Sie die Charakterisierung der Integrierbarkeit aus Satz 10.8.
- 207 -
Prof. Dr. H.-J. Reinhardt Analysis, Arbeitsmaterialien
Ubungen (4) zur Vorlesung Analysis II
Aufgabe 1 (Partielle Integration und Substitution)
Berechnen Sie die folgenden Integrale:
a)3∫
0
x3√
9− x2dx;
b)1∫
0
x ln(x)2dx;
c)1∫
0
cos(ax) cos(bx)dx, a > b > 0.
Aufgabe 2 (Flachen- und Volumenberechnung)
a) Berechnen Sie den Flacheninhalt, der durch die folgenden Kurven begrenzt wird:
y =x
2, y =
x
3, y =
√x.
b) Berechnen Sie das Volumen des Torus, der durch die Rotation des Kreises mit der
Gleichung x2 + (y − 2)2 = 1 um die x−Achse entsteht.
Hinweis:
Das Volumen bei der Rotation einer Funktion f um die x−Achse bzgl. des Intervalls
[x1, x2] ist gegeben durch V = πx2∫
x1
f2(x)dx.
Aufgabe 3 (Eigenschaft des Integrals)
Sei f : [a, b]→ Re eine Riemann-integrierbare Funktion. Weiterhin gelteb∫
af(x)dx 6= 0.
Zeigen Sie, daß dann ein c ∈ (a, b) existiert, so daß gilt:
∫ c
af(x)dx =
∫ b
cf(x)dx.
- 208 -
Analysis, Arbeitsmaterialien Prof. Dr. H.-J. Reinhardt
Ubungen (5) zur Vorlesung Analysis II
Aufgabe 1 (Uneigentliche Integrale)
Untersuchen Sie die uneigentlichen Integrale a) und b) auf Konvergenz und berechnen Sie
den Wert des Integrals c):
a)∞∫
ee
dxx ln(x) ln(ln(x)) ;
b)∞∫
0
sin(x)x ;
Hinweis:
i) Zerlegen Sie das Integral geeignet (z.B. bzgl. der Intervalle [0, 1] und [1,∞))
und wenden Sie an einer Stelle die partielle Integration an.
ii) Die Funktion Si(x) :=x∫
0
sin(t)t dt wird Integralsinus genannt.
c)∞∫
0
dx1+eλx , λ > 0.
Hinweis:
Machen Sie eine geeignete Substitution und anschließend eine PBZ.
Aufgabe 2 (Partialbruchzerlegung)
Berechnen Sie das folgende Integral mit Hilfe der Partialbruchzerlegung:
∫ 4
3
x3 − 17x2 − 39x− 15
x4 + x3 − 5x2 − 7x+ 10dx.
Aufgabe 3 (Integralvergleichskriterium)
a) Beweisen Sie das sog. Integralvergleichskriterium:
Die Funktion f sei auf dem Intervall [n,∞), n ∈ N, monoton fallend und positiv.
Dann gilt: Die Reihe∞∑
k=n
f(k) konvergiert bzw. divergiert genau dann, wenn das
Integral∞∫
nf(x)dx existiert bzw. nicht existiert.
b) Wenden Sie das Kriterium auf die folgende Reihen an:
∞∑
n=3
ln(ln(n))
n(ln(n))2.
- 209 -
Prof. Dr. H.-J. Reinhardt Analysis, Arbeitsmaterialien
Ubungen (6) zur Vorlesung Analysis II
Aufgabe 1 (Gleichmaßige Konvergenz und Integrale)
a) Zeigen Sie, daß die Folge (fn)n∈N von Funktionen, die durch
fn : [0,∞)→ Re , fn(x) =x
n2e−
xn , n ∈ N,
definiert sind, fur n→∞ gleichmaßig gegen die Nullfunktion konvergiert.
b) Zeigen Sie, daß der Limes mit der Integration nicht vertauschbar ist, d.h.
limn→∞
∞∫
0
fn(x)dx 6=∞∫
0
limn→∞
fn(x)dx.
Warum gilt dies trotz gleichmaßiger Konvergenz nicht?
Aufgabe 2 (Potenzreihen)
Bestimmen Sie die Konvergenzradien der folgenden Potenzreihen:
a)∞∑
n=0
(
1+2(−1)n2
2−6(−1)n
)n
xn;
b)∞∑
n=0
3n(n!)2nn
(3n)! x2n;
c)∞∑
n=0
(α+ 1
n
)n2
xn, α ≥ 0.
Aufgabe 3* (Γ−Funktion)
Fur x > 0 definiert man die Γ−Funktion auch durch
Γ(x) =
∞∫
0
tx−1e−tdt.
a) Beweisen Sie, daß fur x > 0 gilt: Γ(x+ 1) = xΓ(x).
b) Beweisen Sie, daß die Γ−Funktion logarithmisch-konvex ist, d.h.
Γ(λx+ (1− λ)y) ≤ Γ(x)λΓ(y)1−λ, 0 < λ < 1, x, y > 0.
Benutzen Sie dazu die Holdersche Ungleichung fur Integrale:
b∫
a
|f(x)g(x)|dx ≤
b∫
a
|f(x)|pdx
1/p
b∫
a
|g(x)|qdx
1/q
mit p, q ∈ (1,∞) und1
p+
1
q= 1.
- 210 -
Analysis, Arbeitsmaterialien Prof. Dr. H.-J. Reinhardt
c) Beweisen Sie, daß fur 0 < λ < 1 und n ≥ 1 gilt:
n!(n+ λ)λ−1 ≤ Γ(n+ λ) ≤ (n− 1)!nλ.
Folgern Sie daraus, daß fur x > 0 gilt:
Γ(x) = limn→∞
n!nx
x(x+ 1) · · · (x+ n).
- 211 -
Prof. Dr. H.-J. Reinhardt Analysis, Arbeitsmaterialien
Ubungen (7) zur Vorlesung Analysis II
Aufgabe 1 (Gleichmaßige Konvergenz und Vertauschung von Grenzwertpro-
zessen)
Die Funktionenfolge (fn)n∈N0 sei definiert durch fn(x) := xn, x ∈ [−1, 1].
a) Zeigen Sie, daß die Funktionenfolge auf [0, 1] nicht gleichmaßig konvergiert.
b) Zeigen Sie, daß die Reihe∞∑
n=0fn(x) nicht gleichmaßig auf (−1, 1) konvergiert, aber
auf [−q, q] mit 0 ≤ q < 1.
c) Zeigen Sie, daß die Vertauschung der Summation mit der Differentiation bzw. der
Integration erlaubt ist, d.h.
( ∞∑
n=0
fn(x)
)′
=∞∑
n=0
f ′n(x), x ∈ (−1, 1);
t∫
0
( ∞∑
n=0
fn(x)
)
dx =∞∑
n=0
t∫
0
fn(x)dx, t ∈ (−1, 1).
Aufgabe 2 (Chaotische Topologie)
Sei X 6= {} eine beliebige Menge. Zeigen Sie:
a) τc := {{},X} ist eine Topologie auf X.
b) Es handelt sich um die grobste Topologie auf X.
Hinweis:
Diese Topologie wird auch chaotische bzw. indiskrete Topologie genannt.
Aufgabe 3* (Franzosische Eisenbahnmetrik)
a) Zeigen Sie, daß auf Re 2 durch
d : Re 2×Re 2 → Re , d(x, y) =
d2(x, y), ∃ t ∈ Re : y = tx
d2(x, 0) + d2(0, y), sonst
eine Metrik definiert wird (franzosische Eisenbahnmetrik).
b) Bestimmen Sie fur x ∈ Re 2 und ε > 0 die ε−Umgebung Uε(x) := {y ∈ Re 2 | d(x, y) <ε}.
- 212 -
Analysis, Arbeitsmaterialien Prof. Dr. H.-J. Reinhardt
Ubungen (8) zur Vorlesung Analysis II
Aufgabe 1 (Induzierte Topologie)
Sei (X, τ) ein topologischer Raum. Sei Y ⊂ X, Y 6= {}. Zeigen Sie, daß durch
τY := {B ⊂ Y | ∃ A ∈ τ : B = Y ∩A}
eine Topologie auf Y erzeugt wird (die durch τ auf Y induzierte Topologie).
Aufgabe 2 (Konvergenz in topologischen Raumen)
a) Sei (X, τ) ein topologischer und Hausdorffscher Raum. Zeigen Sie, daß jede konver-
gente Folge genau einen Grenzwert besitzt.
b) Zeigen Sie, daß in dem topologischen Raum (X, τg) mit #X ≥ 2, wobei τg die grobste
Topologie bezeichnet, konvergente Folgen mit mehr als einem Grenzwert existieren
konnen.
Aufgabe 3 (Abschluß von Mengen)
Sei (X, d) ein metrischer Raum. Sei A ⊂ X. Zeigen Sie, daß gilt:
cl(A) = A = {x ∈ X | ∃ (xn)n∈N mit xn ∈ A ∀ n ∈ N, xn → x (n→∞)}.
Hinweis:
i) Sei (X, d) ein metrischer Raum. Eine Folge (xn)n∈N konvergiert gegen x, wenn fur
alle Umgebungen U(x) ein N ∈ N existiert, sodaß fur alle n ≥ N gilt xn ∈ U(x),
d.h. xn → x (n→∞).
ii) Sie konnen Satz 14, Teil a) in § 15.4 (Numerierung in der alten Version) benutzen.
- 213 -
Prof. Dr. H.-J. Reinhardt Analysis, Arbeitsmaterialien
Ubungen (9) zur Vorlesung Analysis II
Aufgabe 1 (Inneres und Rand von Mengen)
Sei X = Re mit der euklidischen Metrik d2 versehen. Bestimmen Sie das Innere int(M) =
M◦i und den Rand ∂Mi fur M1 := Re \Z und M2 := Re \Q.
Hinweis:
Der Rand ∂M einer Menge M ⊂ X ist die Menge aller Punkte aus x ∈ X, fur die gilt:
In jeder Umgebung des Punktes x liegt mindestens ein Punkt aus M und ein Punkt aus
X \M.
Aufgabe 2 (Totalbeschranktheit)
Sei (X, d) ein metrischer Raum, und sei A ⊂ X. Zeigen Sie, daß aus der Totalbeschrankt-
heit von A auch die Totalbeschranktheit von cl(A) = A folgt.
Aufgabe 3 (Stetigkeit von Funktionen auf topologischen Raumen)
Gegeben seien die folgenden drei topologischen Raume:
i) X1 = Re mit der diskreten Topologie τf ;
ii) X2 = Re mit der durch die Metrik d2 erzeugten Topologie τ2;
iii) X3 = Re mit der indiskreten Topologie τg.
a) Wie sehen die konvergenten Folgen in X1,X2 und X3 aus?
b) Betrachten Sie Funktionen f : Xi → Xj mit i, j ∈ {1, 2, 3}. Zeigen Sie, daß fur
i) i = 1 oder j = 3 alle Funktionen stetig sind.
ii) i = 2, j = 1; i = 3, j = 1; i = 3, j = 2 nur die konstanten Funktionen stetig
sind.
iii) i, j = 2 die normale Stetigkeit aus Analysis I vorliegt.
Hinweis:
Verwenden Sie die Definition der Stetigkeit uber offene Mengen.
- 214 -
Analysis, Arbeitsmaterialien Prof. Dr. H.-J. Reinhardt
Ubungen (10) zur Vorlesung Analysis II
Aufgabe 1 (Gleichmaßige Konvergenz)
Sei (X, d) ein kompakter metrischer Raum, und fn ∈ C(X,Re ), n ∈ N. Weiterhin kon-
vergiere fn(x) monoton wachsend gegen f(x) fur alle x ∈ X fur n → ∞. Weiterhin sei f
stetig. Zeigen Sie, daß (fn)n∈N gleichmaßig gegen eine Funktion f konvergiert.
Aufgabe 2 (Norm und Banachraum)
Die Menge aller reellen Nullfolgen A0 ist definiert durch
A0 := {(an)n∈N | an ∈ Re , n ∈ N, an → 0 (n→∞)}.
Beweisen Sie:
a) Durch A0 ∋ a 7→ ‖a‖∞ := supn∈N |an| wird eine Norm auf A0 erklart.
b) (A0, ‖ · ‖∞) ist ein Banachraum.
Aufgabe 3 (Arzela-Ascoli)
Sei (fn)n∈N eine Folge in C([−1, 1],Re ). Weiterhin gelte:
∃ c1 ≥ 0 ∀ t ∈ [−1, 1] ∀ n ∈ N : |fn(t)| ≤ c1.
a) Es gelte zusatzlich:
∃ c2 ≥ 0 ∀ t ∈ (−1, 1) ∀ n ∈ N : |f ′n(t)| ≤ c2.
Zeigen Sie, daß dann die Folge (fn)n∈N eine gleichmaßig konvergente Teilfolge enthalt.
b) Die Folge (Fn)n∈N sei definiert durch
Fn(t) :=
t∫
−1
fn(s)ds, t ∈ [−1, 1], n ∈ N.
Zeigen Sie, daß auch die Folge (Fn)n∈N eine gleichmaßig konvergente Teilfolge enthalt.
Aufgabe 4 (Bonusaufgabe, Abgeschlossenheit und Kompaktheit)
Seien X und Y metrische Raume, sei f : X → Y eine stetige Abbildung, c ∈ Y und
M := {x ∈ X | f(x) = c}.
Zeigen Sie, daß M abgeschlossen ist. Ist M auch immer kompakt?
- 215 -
Prof. Dr. H.-J. Reinhardt Analysis, Arbeitsmaterialien
Ubungen (11) zur Vorlesung Analysis II
Aufgabe 1 (Weglange, Krummung)
a) Stellen Sie die Kreislinie
ϕ(t) = (r cos(t), r sin(t)), t ∈ [0; 2π],
mit Hilfe der Weglange
s = sϕ = rt
als Parameter dar, d.h. geben Sie eine stetige Funktion ψ = ψ(s) an, so daß Γϕ = Γψ
gilt.
b) Berechnen Sie fur den Kreis aus Aufgabenteil a)
‖ϕ(t)‖2,t∫
0
‖ϕ(τ)‖dτ, ‖ψ(s)‖2
sowie die Krummung ‖ψ(s)‖ und den Krummungsmittelpunkt
µ(s) := ψ(s) +ψ(s)
‖ψ(s)‖22.
Aufgabe 2 (Weglange)
Berechnen Sie die Weglange der folgenden Kurven:
a) ϕ1 : [0; 0, 5] ∋ t 7→ (4t2, 8t3) ∈ Re 2, (Neilsche Parabel);
b) ϕ2 : [0, 4π] ∋ t 7→ (r cos(t), r sin(t), ct) ∈ Re 3, c > 0, (Schraubenlinie);
c) ϕ3 : [0, 2π] ∋ t 7→ (a(1+cos(2t)) cos(2t), a(1+cos(2t)) sin(2t)) ∈ Re 2, a > 0, (Kardioid).
Aufgabe 3 (Ellipsenumfang)
Leiten Sie mit Hilfe der Formel fur die Weglange den folgenden Ausdruck fur den Umfang
U einer Ellipse mit
x = a cos(t), y = b sin(t), a > b > 0, t ∈ [0; 2π],
her:
U = 4a
π/2∫
0
√
1− ε2 cos2(t)dt.
- 216 -
Analysis, Arbeitsmaterialien Prof. Dr. H.-J. Reinhardt
Dabei ist die numerische Exzentritat der Ellipse ε definiert durch
ε2 :=a2 − b2a2
.
Zeigen Sie, daß man U in eine Potenzreihe der Form
U = 2πa
(
1−(
1
2
)2
ε2 − 1
3
(1 · 32 · 4
)2
ε4 − 1
5
(1 · 3 · 52 · 4 · 6
)2
ε6 − . . .)
entwickeln kann. Berechnen Sie die Koeffizienten bis zum Summanden mit ε4 und geben
Sie eine Abschatzung fur den Abbruchfehler an.
- 217 -
Prof. Dr. H.-J. Reinhardt Analysis, Arbeitsmaterialien
Ubungen (12) zur Vorlesung Analysis II
Aufgabe 1 (Partielle Ableitungen, Stetigkeit)
Die Funktion f : Re 2 → Re sei definiert durch
f(x, y) :=
x3
x2+y2, (x, y) 6= (0, 0)
0, (x, y) = (0, 0)
.
a) Berechnen Sie die partiellen Ableitungen von f fur alle (x, y) ∈ Re 2 .
b) Uberprufen Sie die partiellen Ableitungen auf Stetigkeit fur (x, y) = (0, 0).
Aufgabe 2 (Totale Differenzierbarkeit)
Die Funktion f : Re 2 → Re sei definiert durch
f(x, y) :=
(x2 + y2) sin
(
1√x2+y2
)
, (x, y) 6= (0, 0)
0, (x, y) = (0, 0)
.
a) Zeigen Sie, daß f im Nullpunkt total differenzierbar ist.
b) Zeigen Sie, daß f 6∈ C1(Re 2) ist.
Hinweis:
a) Zeigen Sie die Unstetigkeit einer der partiellen Ableitungen im Nullpunkt.
b) Diese Funktion ist somit ein Beispiel fur eine total differenzierbare Funktion,
die keine C1−Funktion ist.
Aufgabe 3 (Bonusaufgabe, Niveaulinien, Gradienten)
Seien f und g definiert durch
f : Re 2 → Re , f(~x) =√
|xy|; g : Re 2 → Re , g(~x) = |x|+ |y|.
a) Bestimmen und zeichnen Sie fur geeignete c einige Niveaulinien, d. h. f(~x) = c bzw.
g(~x) = c.
b) Bestimmen und zeichnen Sie die Graphen der Funktionen f und g mit der Ein-
schrankung x = c bzw. y = c fur einige c.
- 218 -
Analysis, Arbeitsmaterialien Prof. Dr. H.-J. Reinhardt
c) Berechnen Sie ∇f bzw. ∇g fur ~x ∈ Re 2, sofern diese existieren, und zeichnen Sie
einige Gradienten in die Bilder von a) ein.
Hinweis:
Fur die Zeichnungen konnen Sie auch Computerprogramme verwenden.
- 219 -
Index
Abbildung, 2, 25
identische, 4, 55
injektive, 4
inverse, 138
kontrahierende, 134
lineare, 71
wohlbestimmt, 4
wohldefiniert, 4
abgeschlossen, 92, 96, 97, 103
abgeschlossene Hulle, 95
Ableitung, 52, 53, 87, 122, 126
Frechet, 133
hohere, 60
partielle, 119, 120, 126, 127
Ableitung k-ter Ordnung, 60
Ableitungen
linksseitige, 55
absolut konvergent, 36, 38
Absolutbetrag, 10, 90
Abstandsfunktion, 90
abzahlbar unendlich, 14
Addition, 22
affin, 124
Algebraische Verknupfungen, 42
analytisch, 89
Anfangspunkt, 105
Anfangswert, 135
Anfangswertaufgabe, 135, 136, 142
Anordnungsaxiom, 9
Anordnungsaxiome, 7
Arithmetisches Mittel, 8
Assoziativgesetz, 1, 4
Assoziativitat, 6
Auflosbarkeit, 141, 142
Banachraum, 101, 102
Basis, 40
Beruhrungspunkt, 63
Bernoullische Ungleichung, 19
beschrankt, 9, 26, 30, 34, 48, 69, 99, 103
nach oben, 8
nach unten, 8
total, 98
Betrag, 10, 23
Betragsfunktion, 23, 42, 44
Beweisverfahren, indirektes, 1
Bijektion, 14, 15, 39
bijektiv, 4, 112
Bild, 3
Bildbereich, 2
Binomialkoeffizient, 18
Binomischer Lehrsatz, 19
Bisektionsverfahren, 46
Brennpunkte, 107
Bruch
systematischer, 41
Bruchrechnen, 6
Cartesisches Produkt, 2
Cauchy–Folge, 29, 98
Cauchy–Kriterium
fur gleichm. Konvergenz, 82
fur Reihen, 84
Cauchy–Produkt, 39, 88
Cauchysches Konvergenzkriterium, 30, 35
Cosinus, 64
Cosinus hyperbolicus, 50
Cosinus–Funktion, 64
Cotangens hyperbolicus, 50
220
Analysis, Arbeitsmaterialien Prof. Dr. H.-J. Reinhardt
Cotangens–Funktion, 65
Definitheit, 24, 90, 100
Definitionsbereich, 2
Definitionsmethode
induktive, 13
Dezimalbruch, 41
Dezimalzahlen, 41
Diffeomorphismus
C1–, 138, 140
Cr–, 138
Differentialoperator, 131
Differentialquotient, 53
Differentiation, gliedweise, 85
Differentiationsregeln, 124
differenzierbar, 53–55, 58–61, 63, 75, 112, 117,
123
partiell, 118, 119, 122, 123
total, 121, 123
vollstandig, 121, 123
Differenzierbarkeit, vollstandige, 121, 122
Diskriminante, 144
Distanzfunktion, 95
Distributivgesetz, 2
divergent, 26, 31, 34, 36, 62
Dreiecksungleichung, 11, 24, 90, 100
Dualzahlen, 41
Durchmesser, 99
Durchschnitt, 1
Einheit, imaginare, 22
Einheitsvektor, 106
Einselement, 10, 22
Element
additiv inverses, 6
maximales, 9
minimales, 9
multiplikativ inverses, 6
neutrales, 6
Ellipse, 107, 108, 113, 129
Endpunkt, 105
Entwicklungspunkt, 61, 62, 86
Euklidischer Algorithmus, 79
Eulersche Gammafunktion, 78
Eulersche Zahl, 29
Exponentenbereich, 41
Exponentialfunktion, 38, 40, 42, 44, 49, 50, 56,
61
Funktionalgleichung der, 40
Extremum, 143, 144
lokales, 58, 62, 143, 145, 146, 150
mit Nebenbedingung, 145
Exzentrizitat
numerische, 108
Exzentrizitat, lineare, 107
Faktorisierung in Primzahlen, 16
Fakultat, 15
Fehlerabschatzung, 37, 38
Feinheit, 74
Feinheitsmaß, 74
Fibonacci–Zahlen, 25, 28
Fixpunkt, 134, 135
Flacheninhalt, 67
Folge, 25
beschrankte, 25, 26, 31
Glieder der, 25
konstante, 25
folgenkompakt, 97
folgenstetig, 94, 95
Fundamentalsatz der Algebra, 79
Funktion, 2
C1–, 122, 123
- 221 -
Prof. Dr. H.-J. Reinhardt Analysis, Arbeitsmaterialien
Ck–, 120
gerade, 64
gleichmaßig stetige, 48
identische, 42, 44
integrierbare, 72
konstante, 42, 44
partielle, 118, 119
periodische, 66
rationale, 79
stetige, 44
ungerade, 64
Funktionalmatrix, 124, 138, 147
Adjungierte der, 148
Funktionen, trigonometrische, 64
g–adische Entwicklung, 40, 41
g–adische Ziffern, 40
Gartnerkonstruktion, 107
Ganghohe, 106
ganze Zahlen, 12
Gaußsche Klammer, 42
Gaußsche Klammer, 41
Gaußsche Zahlenebene, 24
Gebiet, 127, 128
Genauigkeit, 41
gleichgradig stetig, 99, 100
Gleichheit, 1
gleichmaßig konvergent, 83–85
gleichmaßig stetig, 48, 98
Gleitkommazahl, 41
Gradient, 120, 121, 127
Graph, 2, 52, 76, 117
Grenze
obere, 9
untere, 9
Grenzwert, 26, 43
Gruppe, symmetrische, 15
Haufungspunkt, 52–55
Haufungswert, 31
Holdersche Ungleichung, 102
Halbwertzeit, 51
Hauptsatz, 76, 128, 136
Hessematrix, 132, 133, 143, 150
Hexadezimalzahlen, 41
Hintereinanderausfuhrung, 4, 42
Homogenitat, 24, 100
Homomorphismus, 7
Hyperbel, 107, 108
Hyperbelfunktionen, 50
Hyperebene, 117
Imaginarteil, 23
implizit definiert, 141
indefinit, 143, 144
Indexmenge, 15
Induktion
Prinzip der vollstandigen, 12
Induktionsanfang, 13
Induktionsannahme, 13
Induktionsbehauptung, 13
Induktionsschluss, 13
Induktionsverankerung, 13
Induktionsvoraussetzung, 13
Infimum, 9, 10, 17
injektiv, 4
Integral, 68, 70, 113
oberes, 69
unbestimmtes, 75, 76
uneigentliches, 77
unteres, 69
vollstandiges elliptisches, 113
Integralbegriff
- 222 -
Analysis, Arbeitsmaterialien Prof. Dr. H.-J. Reinhardt
Lebesguescher, 72
Riemannscher, 70
Integralgleichung, 136
Integrand, 70
Integration, gliedweise, 85
Integrationsvariable, 70
integrierbar, 70–72, 85, 128
Intervall
kompaktes, 12
Intervalle, 11
Intervallschachtelungsverfahren, 46
Inverses, 10, 22
invertierbar, 138
Jacobimatrix, 124
Jordan–Kurve, 111, 112
Jordan–Weg, 105–107, 111–113
geschlossener, 106
rektifizierbarer, 111
Korper, 7, 22, 23
archimedisch angeordneter, 17
der rellen Zahlen, 9
Korperaxiome, 6
Kettenregel, 55, 125, 138
Koeffizienten, 80, 86
Koeffizientenvergleich, 80
Kommutativgesetz, 2
Kommutativitat, 6
kompakt, 96–98, 103, 112
relativ, 98, 100
Komplement, 1
Komplemente, 16
Komponente, 123
Komposition, 42
konstant, 124
Kontraktion, 134
konvergent, 26–29, 31, 34, 62
Konvergenz, 86, 94
absolute, 39
gleichmaßige, 82, 101
punktweise, 82, 101
Konvergenzradius, 86, 87
konvex, 129, 150
Koordinatenabbildung, 106
Koordinatenfunktion, 110, 112
Krummung, 114
Krummungsradius, 114
Kreis, 108, 129
Kugel, 92, 129
abgeschlossene, 91
offene, 91
Kugeln, 102
Kurve, 105
Kurvenlange, 112
Lange, 109
Lagrange–Funktion, 145, 149
Lagrange–Multiplikator, 146, 148, 149
Lagrangesche Darstellung, 61
Lagrangesche Multiplikatorenregel, 147
Lebesgue, 72
leere Menge, 1
Leibniz–Kriterium, 35, 37, 38
Limes, 26, 84, 118
Limes inferior, 31
Limes superior, 31
linear, 124
linear unabhangig, 148
Lipschitzkonstante, 134
Lipschitzstetig, 134
Logarithmus, 51
Funktionalgleichung des, 51
- 223 -
Prof. Dr. H.-J. Reinhardt Analysis, Arbeitsmaterialien
naturlicher, 50
Logarithmusfunktion zur Basis a, 51
Majorante, 84, 85
Majoranten–Kriterium, 36
Mantissenstellenzahl, 41
Matrix, 124, 137
adjungierte, 147
Inverse einer, 138
symmetrische, 143
transponierte, 147
Matrizennorm, 129, 137, 138
naturliche, 130
vertragliche, 129, 130, 137
Maximum, 9, 48, 144
lokales, 58, 62, 143, 150, 151
Menge, 1
N0, 12
Q, 12
Z, 12
abzahlbar unendlich, 14
der positiven Zahlen, 7
dichte, 47
endliche, 14
induktiv, 12
offene, 91
unendliche, 14
wohlgeordnet, 14
Metrik, 90–92, 99, 100
diskrete, 90
Metriken, aquivalente, 92
Minimum, 9, 48, 144
lokales, 58, 62, 143, 145, 146, 150, 151
Minkowskische Ungleichung, 102
Mittelpunktregel, 75
Mittelwertsatz, 127, 128, 130
der Differentialrechnung, 59
der Integralrechnung, 74
erweiterter, 59
monoton fallend, 28, 45
monoton wachsend, 28, 34, 45
Multiindex, 131
Multiplikation, 22
Nabla–Operator, 120
Nachfolger, 12
Naturliche Zahlen, 12
Nebenbedingung, 145, 146
negativ definit, 143, 144
negativ semidefinit, 143
Negatives, 10
Newton–Verfahren, 56
Norm, 100
Normen, aquivalente, 103
normiert, 100
Nullelement, 10, 22
Nullfolge, 26, 27, 101
Nullfunktion, 67
Nullstelle, 46
Numerische Integration, 75
obere Grenze, 70
Oberintegral, 69
offen, 92, 93, 96
offener Kern, 95
Oktalzahlen, 41
Optimierungsaufgabe, 145, 146, 149
orthogonal, 105
Parabel, 108
Parallelogrammidentitat, 105
parametrisieren, 145
Partialbruchzerlegung, 80
- 224 -
Analysis, Arbeitsmaterialien Prof. Dr. H.-J. Reinhardt
Partialsumme, 34, 35
Partielle Integration, 77
Pascalsches Dreieck, 18
Periode, 66
Permutation, 18
Picard–Lindeloff, 137
Polarkoordinaten, 108, 139
Polygonzug, 109
Lange des –s, 109
Polynom, 22, 43, 46, 55, 79
Populationsmodell, 60
verbessertes, 60
von Volterra-Lotka, 136
positiv definit, 143, 144
positiv semidefinit, 143
Potenzmenge, 2, 15
Potenzreihe, 86, 87
Potenzsumme, 27
Primzahl, 16
Primzahlen, 16
Prinzip der vollstandigen Induktion, 12
Produkt, 20
unendliches, 35
Projektion, kanonische, 118
Punkt, stationarer, 143, 145, 147, 149
Quadratsummennorm, 130
Quadratwurzel, 17
Quantoren, 3
Quotientenkriterium, 36, 37, 64
Rationale Zahlen, 2
rationale Zahlen, 12
Raum
euklidischer, 104
Hausdorffscher, 93, 96
metrischer, 90–93, 98
normierter, 100
separierter, 93
topologischer, 91–94, 96
vollstandiger metrischer, 99
Realteil, 23
Rechteck, 129
Rechteckregel, 75
reelle Zahlen, 6, 9
Regel von de l’Hospital, 63
Regeln
des Bruchrechnens, 6
von de Morgan, 16
Regeln von de Morgan, 2
regular, 148–150
Reihe, 34
absolut konvergent, 36
alternierende, 35
alternierende harmonische, 35
bedingt konvergent, 39
endliche geometrische, 29
Funktionen–Reihe, 83
geometrische, 34, 83
harmonische, 34
konvergente, 84
Umordnung, 39
unbedingt konvergent, 39
rektifizierbar, 109–113
relativ kompakt, 98, 100
Rest, 84
Restglied, 61, 131
Integraldarstellung, 133
Integralform, 79, 131
Lagrange–Darstellung, 131, 133
Restgliedabschatzung, 61, 132
Richtungsableitung, 126, 127
- 225 -
Prof. Dr. H.-J. Reinhardt Analysis, Arbeitsmaterialien
Riemann–Integral, 70, 128
Riemann–integrierbar, 70, 72, 128
Sandwich–Theorem, 28
Satz
uber die inverse Abbildung, 137
uber implizite Funktionen, 140
Banachscher Fixpunktsatz, 134
Fermatsches Kriterium, 143
Identitatssatz fur Potenzreihen, 87
Kontraktionssatz, 134
MWS fur reellw. Funktionen, 127
MWS fur vektorw. Funktionen, 130
Umordnungssatz, 39
Vertauschungssatz, 84
von Archimedes, 17
von Arzela-Ascoli, 99
von Bolzano–Weierstrass, 29
von Cauchy-Hadamard, 86
von Dini, 101
von H. A. Schwarz, 120, 133
von Pythagoras, 105
von Rolle, 58
von Taylor, 131
Zwischenwertsatz, 46
Schnitt
goldener, 28
Schranke, 9
obere, 8, 9
untere, 8, 9
Schraubenlinie, 106
Schrittweite, 75
Sehne, 52
senkrecht, 105
Signum-Funktion, 42
Sinus, 64
Sinus hyperbolicus, 50
Sinus–Funktion, 64
Skalarprodukt, euklidisches, 104
Spaltensumme, maximale, 130
Spirale
Archimedische, 108, 114
Logarithmische, 108
Stutzstelle, 74
Stammfunktion, 75, 76
Steigung, 52
stetig, 44–46, 48, 50, 54, 55, 58, 59, 94, 95, 112,
119
gleichgradig, 99, 100
stetig differenzierbar, 60–62, 76, 77
stetige Fortsetzung, 47
streng monoton, 112
streng monoton fallend, 28, 45, 65
streng monoton wachsend, 28, 29, 45, 46, 49, 50,
55, 65
Submultiplikativitat, 137
Substitutionsregel, 76
Summe, 20, 34, 84
der Wege, 110
Riemannsche, 74, 75
Summenformel, 13
Supremum, 9, 10, 17, 48
surjektiv, 4, 50
Symmetrie, 90
symmetrisch, 133
Tangens, 137
Tangens hyperbolicus, 50
Tangens–Funktion, 65
Tangente, 52
Tangentenebene, 150
Tangententrapezformel, 75
- 226 -
Analysis, Arbeitsmaterialien Prof. Dr. H.-J. Reinhardt
Taylor–Formel, 131–133
Taylor–Polynom, 61, 132, 133
Taylor–Reihe, 62
Taylorentwicklung, 79
Taylorreihe, 87–89
Entwicklung, 88
Taylorsche Formel, 61
Teilfolge, 29
Teilmenge, 1
Teleskopprodukt, 21
Teleskopsumme, 21
Tikhonov, Lemma von, 112
Topologie, 91–94
diskrete, 93
erzeugte, 92
feinere, 93
feinste, 93
grobere, 93
grobste, 93
induzierte, 93, 96
total beschrankt, 97, 98
Totalvariation, 110
Transitivitat, 1, 8
Treppenfunktion, 67, 68, 71
Trichotomiegesetz, 7
Uberdeckung, 96
Umgebung, 93
Umgebungen, 12
Umkehrabbildung, 5
Umkehrfunktion, 50, 51, 55, 66
Umordnung, 38, 39
Uneigentliche Grenzwerte, 49
Uneigentliches Integral, 77
divergent, 78
konvergent, 78
unendlich, 11, 14
untere Grenze, 70
Unterintegral, 69
Unterkorper, 7
Urbild, 3
Variation, beschrankte, 110
Vektorraum, 22, 23, 71, 100, 102
Verbindungsstrecke, 129
Vereinigung, 1
Verfeinerung, gemeinsame, 67
Vertauschung von Grenzprozessen, 83
vollstandig, 98, 101
vollstandige Induktion
Beweismethode, 13
Prinzip, 13
Vollstandigkeitsaxiom, 9, 30
Vorzeichen, 10
Wahrscheinlichkeit, 19
Weg
differenzierbarer, 129
stetig differenzierbarer, 136
Weglangenfunktion, 111, 112
Weierstraßsches Majoratenkriterium, 84
Winkel, 105
wohlbestimmt, 4
wohldefiniert, 4
wohlgeordnet, 14
Wurzel
n-te, 17
Wurzelbestimmung, 56
Wurzelkriterium, 36, 37
Zahl
Eulersche, 29
konjugiert komplexe, 23
- 227 -
Prof. Dr. H.-J. Reinhardt Analysis, Arbeitsmaterialien
negativ, 7
nichtnegativ, 7
positiv, 7
zusammengesetzte, 16
Zahlen
ganze, 12
Menge der positiven, 7
naturliche, 12
rationale, 12
reelle, 6, 9, 22
Zahlenfolge
komplexe, 25
reelle, 25
Zahlenfolgen, komplexe, 33
Zahlengerade
erweiterte, 11
Zeilensumme, maximale, 129
Zerlegung, 67, 68, 74, 109
aquidistante, 75
- 228 -
Top Related