Ubungsaufgaben zu Logarithmen
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Ubungsaufgaben zu Logarithmen
Ermitteln Sie folgende Logarithmen ohne Taschenrechner:
1 log10100
2 log5125
3 log80, 5
Sabine Holscher, M.Sc. Wirtschaftsmathematik 27. Februar 2021 41 / 83
Losung - Ubungsaufgaben zu Logarithmen
Ermitteln Sie folgende Logarithmen ohne Taschenrechner:
1 log10100 = 2, da 102 = 100
2 log5125 = 3, da 53 = 125
3 log80, 5 = −1/3, da 8−1/3 = 13√8
= 12 , da
3√8 = 2
Sabine Holscher, M.Sc. Wirtschaftsmathematik 27. Februar 2021 42 / 83
Ubungsaufgaben zu Logarithmen
1 Mann bestimme x aus 7x = 24, 3
2 Mann bestimme x aus 0, 3x = 5, 17
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Losung - Ubungsaufgaben zu Logarithmen
1 Mann bestimme x aus 7x = 24, 3⇒ x = log24,3log7 = 1, 64
2 Mann bestimme x aus 0, 3x = 5, 17⇒ x = log5,17log0,3 = −1, 36
Sabine Holscher, M.Sc. Wirtschaftsmathematik 27. Februar 2021 44 / 83
Ubungsaufgaben zu weiteren aquivalenten Umformungen
1 Man bestimme x aus 2, 6x = 3, 6
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Losung - Ubungsaufgaben zu weiteren aquivalentenUmformungen
1 Man bestimme x aus2, 6x = 3, 6⇒ log2, 6x = log3, 6⇒ x · log2, 6 = log3, 6⇒ x = 1, 34
Sabine Holscher, M.Sc. Wirtschaftsmathematik 27. Februar 2021 46 / 83
Ubungsaufgaben zu weiteren aquivalenten Umformungen
Losen Sie folgende Gleichungen nach x auf:
1 5√2x − 1 = 1, 3
2 (x − 6)13 = 2
3 (7x + 3)7 = 10
Sabine Holscher, M.Sc. Wirtschaftsmathematik 27. Februar 2021 47 / 83
Losungen - Ubungsaufgaben zu weiteren aquivalentenUmformungen
Losen Sie folgende Gleichungen nach x auf:
5√2x − 1 = 1, 3 (1)
(2x − 1) = 1, 35 (2)
x = 2, 36 (3)
Sabine Holscher, M.Sc. Wirtschaftsmathematik 27. Februar 2021 48 / 83
Losungen - Ubungsaufgaben zu weiteren aquivalentenUmformungen
Losen Sie folgende Gleichungen nach x auf:
(x − 6)13 = 2 (4)
(x − 6) = 23 (5)
x = 14 (6)
Sabine Holscher, M.Sc. Wirtschaftsmathematik 27. Februar 2021 49 / 83
Losungen - Ubungsaufgaben zu weiteren aquivalentenUmformungen
Losen Sie folgende Gleichungen nach x auf:
(7x + 3)7 = 10 (7)
7x + 3 =7√10 (8)
x = −0, 23 (9)
Sabine Holscher, M.Sc. Wirtschaftsmathematik 27. Februar 2021 50 / 83
Ubungsaufgaben zu weiteren aquivalenten Umformungen
Losen Sie folgende Gleichungen nach x auf:
1 (2x − 3)2 = 25
2√x − 5 =
√2x + 3
3 (x + 2)4 = 16
Sabine Holscher, M.Sc. Wirtschaftsmathematik 27. Februar 2021 51 / 83
Losung - Ubungsaufgaben zu weiteren aquivalentenUmformungen
Losen Sie folgende Gleichungen nach x auf:
(2x − 3)2 = 25 (10)
2x − 3 =√25 (11)
Fall 1: 2x1 − 3 = +5⇒ x1 = 4 (12)
Fall 2: 2x2 − 3 = −5⇒ x2 = −1 (13)
Sabine Holscher, M.Sc. Wirtschaftsmathematik 27. Februar 2021 52 / 83
Losung - Ubungsaufgaben zu weiteren aquivalentenUmformungen
Losen Sie folgende Gleichungen nach x auf:
√x − 5 =
√2x + 3⇒ x ≥ 5 (14)
x − 5 = 2x + 3 (15)
x = −8⇒ Keine Losung (16)
Sabine Holscher, M.Sc. Wirtschaftsmathematik 27. Februar 2021 53 / 83
Losung - Ubungsaufgaben zu weiteren aquivalentenUmformungen
Losen Sie folgende Gleichungen nach x auf:
(x + 2)4 = 16 (17)
Fall 1: x + 2 = 2⇒ x1 = 0 (18)
Fall 2: x + 2 = −2⇒ x2 = −4 (19)
Sabine Holscher, M.Sc. Wirtschaftsmathematik 27. Februar 2021 54 / 83
Ubungsaufgaben zu weiteren aquivalenten Umformungen
Losen Sie folgende Gleichungen nach x auf:
1 2x(x − 3)(3x + 5) = 0
2√2x − 6(ex − 2)(4x − 1) = 0
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Losung - Ubungsaufgaben zu weiteren aquivalentenUmformungen
Losen Sie folgende Gleichungen nach x auf:
2x(x − 3)(3x + 5) = 0 (20)
x1 = 0 (21)
x2 = 3 (22)
x3 = −5/3 (23)
Sabine Holscher, M.Sc. Wirtschaftsmathematik 27. Februar 2021 56 / 83
Losung - Ubungsaufgaben zu weiteren aquivalentenUmformungen
Losen Sie folgende Gleichungen nach x auf:
√2x − 6(ex − 2)(4x − 1) = 0 (24)√2x1 − 6 = 0⇒ x1 = 3 (25)
(ex − 2) = 0⇒ ex = 2⇒ x2 = ln2⇒ x2 = 0, 69 (26)
(4x3 − 1) = 0⇒ x3 = 1/4 (27)
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Ubungsaufgaben zu Quadratischen Gleichungen
Losen Sie folgende Gleichungen nach x auf (wenn nichts anderes gefordertist)
1 x2 + 5x − 14 = 0
2 16x2 + 120x + 221 = 0
3 −x2 + 6x − 3 = 0
4 x2 − b2 = 0
5 5x2 − 27bx + 10b2 = 0
6 2x−1x+3 −
1−xx −
3x−6x−1 = 0
7 x4 − 3x2 + 2 = 0
8 Losen Sie folgende Gleichung nach a auf: a2 + bxa− c = 2a2 + ax + b
9 x5 − 3x4 + 2x3 = 0
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Losung - Ubungsaufgaben zu Quadratischen Gleichungen
Losen Sie folgende Gleichung nach x auf:
x2 + 5x − 14 = 0 (28)
x1,2 = −5
2±√
25
4+ 14 (29)
x1 = 2 (30)
x2 = −7 (31)
Sabine Holscher, M.Sc. Wirtschaftsmathematik 27. Februar 2021 59 / 83
Losung - Ubungsaufgaben zu Quadratischen Gleichungen
Losen Sie folgende Gleichung nach x auf:
16x2 + 120x + 221 = 0 (32)
x2 +120
16+
221
16= 0 (33)
x2 +15
2+
221
16= 0 (34)
x1,2 = −15
4±
√(15
4
)2
− 221
16(35)
x1 = −13
4(36)
x2 = −17
4(37)
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Losung - Ubungsaufgaben zu Quadratischen Gleichungen
Losen Sie folgende Gleichung nach x auf:
−x2 + 6x − 3 = 0 (38)
x2 − 6x + 3 = 0 (39)
x1,2 = 3±√9− 3 (40)
x1 = 5, 45 (41)
x2 = 0, 55 (42)
Sabine Holscher, M.Sc. Wirtschaftsmathematik 27. Februar 2021 61 / 83
Losung - Ubungsaufgaben zu Quadratischen Gleichungen
Losen Sie folgende Gleichung nach x auf:
x2 − b2 = 0 (43)
x1,2 = 0±√b2 (44)
x1 = b (45)
x2 = −b (46)
Sabine Holscher, M.Sc. Wirtschaftsmathematik 27. Februar 2021 62 / 83
Losung - Ubungsaufgaben zu Quadratischen Gleichungen
Losen Sie folgende Gleichung nach x auf:
5x2 − 27bx + 10b2 = 0 (47)
x2 − 27
5bx + 2b2 = 0 (48)
x1,2 =27
10b ±
√729
100b2 − 200
100b2 (49)
x1,2 =27
10b ± 23
10b (50)
x1 = 5b (51)
x2 = 0, 4b (52)
Sabine Holscher, M.Sc. Wirtschaftsmathematik 27. Februar 2021 63 / 83
Losung - Ubungsaufgaben zu Quadratischen Gleichungen
Fur x 6= −3 6= 0 6= 1 gilt:
(2x − 1)(x − 1)x − (1− x)(x + 3)(x − 1)− (3x − 6)(x + 3)x = 0 (53)
Ausmultiplizieren:
(2x3 − 3x2 + x) + (x3 + x2 − 5x + 3) + (−3x3 − 3x2 + 18x) = 0 (54)
−5x2 + 14x + 3 = 0 (55)
x2 − 14
5x − 3
5= 0 (56)
x1,2 =14
10±√
196
100+
60
100(57)
x1 = 3 (58)
x2 = −0, 2 (59)
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Losung - Ubungsaufgaben zu Quadratischen Gleichungen
x4 − 3x2 + 2 = 0 (60)
Biquadratische Gleichung, weil x4 und x2, setze x2 = z
z2 − 3z + 2 = 0 (61)
z1,2 =3
2±√
9
4− 8
4(62)
z1 = 2⇒ x21 = 2⇒ x1 =√2⇒ x2 = −
√2 (63)
z2 = 1⇒ x3 = 1⇒ x4 = −1 (64)
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Losung - Ubungsaufgaben zu Quadratischen Gleichungen
Losen Sie folgende Gleichung nach a auf:
a2 + bxa− c = 2a2 + ax + b (65)
a2 − (bx − x)a+ (b + c) = 0 (66)
⇒ p = −(bx − x) (67)
⇒ q = +(b + c) (68)
a1,2 =bx − x
2±
√(bx − x
2
)2
− (b + c) (69)
Sabine Holscher, M.Sc. Wirtschaftsmathematik 27. Februar 2021 66 / 83
Losung - Ubungsaufgaben zu Quadratischen Gleichungen
Losen Sie folgende Gleichung nach x auf:
x5 − 3x4 + 2x3 = 0 (70)
x3(x2 − 3x + 2) = 0 (71)
⇒ x1 = 0 (72)
(73)
x2 − 3x + 2 = 0 (74)
x2,3 =3
2±√
9
4− 8
4(75)
⇒ x2 = 2 (76)
⇒ x3 = 1 (77)
Sabine Holscher, M.Sc. Wirtschaftsmathematik 27. Februar 2021 67 / 83
Ubungsaufgaben zu Wurzelgleichungen
Losen Sie folgende Gleichungen nach x auf
1√x − 1 +
√x − 4 = 3
2√x − 1 + 3 = x
33√x2 − 1− 2 = 0
43√4 +√2x + 5 = 3
Sabine Holscher, M.Sc. Wirtschaftsmathematik 27. Februar 2021 68 / 83
Losung - Ubungsaufgaben zu WurzelgleichungenLosen Sie folgende Gleichung nach x auf
√x − 1 +
√x − 4 = 3⇒ x ≥ 4 (78)(√
x − 1 +√x − 4
)2
= 9⇒ 1. binomische Formel (79)(√x − 1
)2
+ 2√x − 1
√x − 4 +
(√x − 4
)2
= 9 (80)
(x − 1) + 2√x − 1
√x − 4 + (x − 4) = 9 (81)
2 ·√
x2 − 5x + 4 = 14− 2x (82)√x2 − 5x + 4 = 7− x (83)
x2 − 5x + 4 = (7− x)2 (84)
x2 − 5x + 4 = 49− 14x + x2 (85)
x = 5 (86)
Probe: x ≥ 4Sabine Holscher, M.Sc. Wirtschaftsmathematik 27. Februar 2021 69 / 83
Losung - Ubungsaufgaben zu Wurzelgleichungen
Losen Sie folgende Gleichung nach x auf
√x − 1 + 3 = x ⇒ x ≥ 1 (87)
√x − 1 = x − 3 (88)
x − 1 = (x − 3)2 (89)
x − 1 = x2 − 6x + 9 (90)
0 = x2 − 7x + 10 (91)
x1,2 =7
2±√
49
4− 40
4(92)
x1 = 5⇒ wahr (93)
x2 = 2⇒ falsch (94)
Sabine Holscher, M.Sc. Wirtschaftsmathematik 27. Februar 2021 70 / 83
Losung - Ubungsaufgaben zu Wurzelgleichungen
Losen Sie folgende Gleichung nach x auf
3√x2 − 1− 2 = 0 (95)
3√x2 − 1 = 2 (96)
x2 − 1 = 23 (97)
x2 − 1 = 8 (98)
x2 = 9 (99)
⇒ x1 = 3 (100)
⇒ x2 = −3 (101)
⇒ Beide Losungen zugelassen, da ungerade Wurzel (102)
Sabine Holscher, M.Sc. Wirtschaftsmathematik 27. Februar 2021 71 / 83
Losung - Ubungsaufgaben zu Wurzelgleichungen
Losen Sie folgende Gleichung nach x auf
3
√4 +√2x + 5 = 3 (103)
4 +√2x + 5 = 33 (104)√2x + 5 = 23 (105)
2x + 5 = 529 (106)
x = 262⇒ wahr, da x ≥ −2, 5 (107)
Sabine Holscher, M.Sc. Wirtschaftsmathematik 27. Februar 2021 72 / 83
Ubungsaufgaben zu Exponentialgleichungen
Losen Sie folgende Gleichungen nach x auf (wenn nichts anderes gefordertist)
1 5 · 1, 04x − 2(1, 04x − 1) = 6
2 2 · 32x−1 = 7 · 3x+1
3 3x2+1 = 4 · 22x+1
4 Losen Sie nach b auf: a · c2b−1 = db+1
Sabine Holscher, M.Sc. Wirtschaftsmathematik 27. Februar 2021 73 / 83
Losung - Ubungsaufgaben zu Exponentialgleichungen
5 · 1, 04x − 2(1, 04x − 1) = 6 (108)
5 · 1, 04x − 2 · 1, 04x + 2 = 6 (109)
3 · 1, 04x = 4 (110)
1, 04x =4
3(111)
x =log4/3
log1, 04= 7, 33 (112)
Sabine Holscher, M.Sc. Wirtschaftsmathematik 27. Februar 2021 74 / 83
Losung - Ubungsaufgaben zu Exponentialgleichungen
2 · 32x−1 = 7 · 3x+1 (113)
log2 + (2x − 1) · log3 = log7 + (x + 1)log3 (114)
log2 + 2xlog3− log3 = log7 + xlog3 + log3 (115)
2xlog3− xlog3 = log7 + 2log3− log2 (116)
x =log7 + 2log3− log2
log3(117)
x = 3, 14 (118)
Sabine Holscher, M.Sc. Wirtschaftsmathematik 27. Februar 2021 75 / 83
Losung - Ubungsaufgaben zu Exponentialgleichungen
3x2+1 = 4 · 22x+1 (119)
(x2 + 1)log3 = log4 + log2(2x + 1) (120)
x2log3 + log3 = log4 + 2xlog2 + log2 (121)
x2 − 2log2
log3x + 1− log4
log3− log2
log3= 0 (122)
x1,2 =log2
log3±
√(log2
log3
)2
− 1 +log4
log3+
log2
log3(123)
x1 = 1, 767 (124)
x2 = −0, 505 (125)
Sabine Holscher, M.Sc. Wirtschaftsmathematik 27. Februar 2021 76 / 83
Losung - Ubungsaufgaben zu Exponentialgleichungen
Losen Sie nach b auf:
a · c2b−1 = db+1 (126)
loga+ (2b − 1)logc = (b + 1)logd (127)
loga+ 2b · logc − logc = b · logd + logd (128)
b · (2 · logc − logd) = logd − loga+ logc (129)
Es gilt: logd + logc = logdc und 2 · logc = logc2 und logx − logy = log xy
b · (logc2 − logd) = logdc (130)
b · logc2
logd= log
dc
a(131)
b =log dc
a
log c2
d
(132)
Sabine Holscher, M.Sc. Wirtschaftsmathematik 27. Februar 2021 77 / 83
Ubungsaufgaben zu Logarithmengleichungen
Losen Sie folgende Gleichungen nach x auf (wenn nichts anderes gefordertist)
1 lnx = 1, 7
2 log7x = 2, 8
3 1 + logx = 2log(x − 1)
4 ln(2y + 1)2 − 1 = 0
5 Losen Sie folgende Gleichung nach a auf: ln√a2 + 1− b = 0
Sabine Holscher, M.Sc. Wirtschaftsmathematik 27. Februar 2021 78 / 83
Losung - Ubungsaufgaben zu Logarithmengleichungen
lnx = 1, 7 (133)
e lnx = e1,7 (134)
x = e1,7 = 5, 47 (135)
Sabine Holscher, M.Sc. Wirtschaftsmathematik 27. Februar 2021 79 / 83
Losung - Ubungsaufgaben zu Logarithmengleichungen
log7(x) = 2, 8 (136)
x = 72,8 = 232, 42 (137)
Grundform:
an = b (138)
logb(a) = n (139)
In der Aufgabenstellung sind also die Basis a sowie das Resultat ngegeben, gesucht wird b
Sabine Holscher, M.Sc. Wirtschaftsmathematik 27. Februar 2021 80 / 83
Losung - Ubungsaufgaben zu Logarithmengleichungen
1 + logx = 2log(x − 1) (140)
101+logx = 102log(x−1) (141)
101 · 10logx = 102log(x−1) (142)
101 · 10logx = 10log(x−1)2
(143)
10x = (x − 1)2 (144)
x2 − 12x + 1 = 0 (145)
x1,2 = 6±√35 (146)
x1 = 11, 91⇒ wahr (147)
x2 = 0, 08⇒ falsch, da x > 1gelten muss (148)
(149)
Sabine Holscher, M.Sc. Wirtschaftsmathematik 27. Februar 2021 81 / 83
Losung - Ubungsaufgaben zu Logarithmengleichungen
ln(2y + 1)2 − 1 = 0 (150)
e ln(2y+1)2 = e1 (151)
(2y + 1)2 = e (152)
4y2 + 4y + 1− e = 0 (153)
y2 + y +1− e
4(154)
y1,2 = −1
2±√
1
4− 1− e
4(155)
y1 = 0, 32 (156)
y2 = −1, 32 (157)
Sabine Holscher, M.Sc. Wirtschaftsmathematik 27. Februar 2021 82 / 83
Losung - Ubungsaufgaben zu Logarithmengleichungen
Losen Sie folgende Gleichung nach a auf:
ln√
a2 + 1− b = 0 (158)
e ln(√a2+1) = eb (159)√
a2 + 1 = eb (160)
a2 = e2b − 1 (161)
a1,2 = ±√
e2b − 1 (162)
Sabine Holscher, M.Sc. Wirtschaftsmathematik 27. Februar 2021 83 / 83