2.1.1 指数与指数幂的运算
问题 1 :据国务院发展中心 2000 年发表的《未来 20 年我国发展前景分析》判断,未来20 年,我国 GDP (国内生产总值)年平均增长率可望达到 7.3%. 那么在 2000~2020年 , 各年的 GDP 可望为 2000 年的多少倍 ?
当 n 是奇数时, a 的 n 次方根为 .
当 n 是偶数时 ,若 a>0 ,则 a 的 n 次方根为 ;
若 a=0 ,则 a 的 n 次方根为 0 ;
若 a<0 ,则 a 的 n 次方根不存在 .
n a
n a
我们把式子 叫做根式,其中 n叫做根指数, a 叫做被开方数 .
)1,( nNnan
定义: 叫做 a的 n 次幂, a 叫做幂的底, n 叫做幂的指数。
an
正整数指数幂的有关概念
aaaaan
注: 是个相同因子 a 的连乘积的缩写, n 必须是正整数,这样的幂叫做正整数指数幂
an
an
幂指数
幂底数幂
问题 2 :当生物死亡后 , 它机体原有的 C14 会按确定的规律衰减 , 大约每经过 5730 年衰减为原来的一半 ,这个时间称为“半衰期”。根据此规律,人们获得了生物体内 C14 含量 P 与死亡年数 t 之间的关系: ( * )根据( * )考古学家可以知道,生物死亡 t 年后,体内的根据( * )的含量 P 。
1
57301( ) .2
P
当生物体死亡了 5730, 2×5730, 3××5730,…年后,它体内 C14 的含量 P 分别为
… 。
当生物体死亡了 6000, 10000, 100000 年后,根据( * )它体内 C14 的含量 P 分别为
2 31 1 1, ( ) , ( ) ,
2 2 2
6000 10000 100000
5730 5730 57301 1 1( ) , ( ) , ( ) .2 2 2
1
57301( ) .2
P
如果 xn= a ,那么 x 叫 a 的 n 次方根,其中 n > 1且 n∈N.
1.n 次方根的定义:
2.n 次方根的表示:
当 n 是奇数时, a 的 n 次方根记作 .
当 n 是偶数时 ,若 a>0 ,则 a 的 n 次方根记作 ;
若 a=0 ,则 a 的 n 次方根为 0 ;
若 a<0 ,则 a 的 n 次方根不存在 .
n an a
n a根指数被开方数
根式
练习 求下列各式的值:
(1)3
-73; (2) -92;
(3) a-b2(a>b); (4)4
-22
思考 2: 观察上述结论,你能总结出什么规律?
思考 1:设 a>0 , , , 分别等于什么? 5 10a 8a 124 a
思考 3: 按照上述规律 , 根式 , , 分别可写成什么形式?
34 5 3 57 5 7a
).1,,,0(
:
* nNnmaaa n mn
m
且
的意义是分数幂我们规定正数的正指数
思考 4: 我们规定: (a>0,m, n∈N且
n > 1) ,那么 表示一个什么数? 分别表示什么根式?
nn m ma a
2
3821
523 ,4
思考 5: 你认为如何规定 (a>0,m,n∈N ,且 n > 1) 的含义?
n
ma
规定 : )1,,,0(1 *
nNnma
a
an
mn
m
且
例 1 、求值
4
35
2
1
3
2
81
16 ;
2
1 ; 25 ; 8
思考 6: 怎样理解零的分数指数幂的意义?
思考 7: 都有意义吗?
当 时, 何时无意义?
2 33
3 52( 2) , ( 2) , ( 2)
*( , , 1)n
ma m n N n 0a
0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂没有意义 .
思考 1: = ?
知识探究 : 有理数指数幂的运算性质
思考 2: = ?
思考 3 : = ?2 2
3 32 3
思考 4: 一般地 等于什么? ( 0, , )r sa a a r s Q
推广到一般形式
推广到一般形式
推广到一般形式
),,0( Qsra
rssr aa )(
srsr aaa ),,0( Qsra
rrr abba )(),0,0( Qrba
2
5
2
3
22
3
4
2
3
)2(
整数指数幂的运算性质对于有理指数幂也同样适用 , 即对于任意有理数 r, s ,均有下面的运算性质:
),0,0())(3(
),,0())(2(
),,0()1(
Qrbabaab
Qsraaa
Qsraaaa
rrr
rssr
srsr
例 1 用分数指数幂表示下列各式 ( 其中 a>0).
.,, 33 223 aaaaaa
解:;2
7
2
13
2
133 aaaaaa
;3
8
3
22
3
223 22 aaaaaa
.)()( 3
2
2
1
3
4
2
1
3
13 aaaaaa
例 2 、计算下列各式(式中字母都是正数)
88
3
4
1
6
5
6
1
3
1
2
1
2
1
3
2
))(2(
)3()6)(2)(1(
nm
bababa
3 4
2
3 2
(1)( 25- 125) 25
(2) ( 0)a
aa a
例 3 、计算下列各式
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