香川県平成20年度 専門技術研修
土圧・支持力理論と計算のポイント
平成21年3月5日(木)
(財)香川県建設技術センター 研修室
(株)第一コンサルタンツ
右城 猛
CONTENTS 1.基礎数学 2.土圧 (1) 試行くさび法 (2) 重力式擁壁の壁面に作用する主働土圧の算定式 (3) 片持ばり式擁壁の仮想背面に作用する主働土圧の算定式 例題,演習問題 3.支持力 (1) テルツァギーの支持力公式 (2) 道路橋示方書の支持力公式 (3) 建築基礎構造設計指針の支持力公式 (4) 経験則に基づいた許容支持力推定表 例題,演習問題
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1
1. 基礎数学 三角関数と逆関数
ωωω atanarctantan 1 ≡≡−
ω
a
bc
逆関数三角関数
ab
=ωtanab1tan−=ω アークタンジェント(b/a)
ab
=ωtanab1tan−=ω アークタンジェント(b/a)
アークサイン(b/c)cb
=ωsincb1sin−=ω アークサイン(b/c)
cb
=ωsincb1sin−=ω
ca
=ωcosca1cos−=ω アークコサイン(a/c)
ca
=ωcosca1cos−=ω アークコサイン(a/c)
アークタンジェントω
いろいろな書き方
bc
==ω
ωsin
1cosecac
==ω
ωcos
1secba
==ω
ωtan
1cot
A
B
C
ac
bC
cB
bA
asinsinsin
==
正弦定理
cCAb
BAa
sinsin
sinsin
==
ε
90−εa
bcε
90−εa
bccb
==− εε cos)90sin(直角三角形
勾配と角度
1:m
1:n
β
ω
1.0m
n
1.0α
0.1tan n
=α
m0.1tan =β
0.1tan 1 n−=α
m0.1tan 1−=β
逆関数三角関数
勾配1:n とは,鉛直1.0で水平nの長さのこと
電卓による計算
逆三角関数
指数
自然数の指数
自然対数
自乗
INVINV tan-1
tan
tan-1
tantan0 ・ 50 ・ 5565.265.0tan 1 =−
INVINV x y
×0 ・ 50 ・ 523114.15.0 3.0 =−0 ・ 30 ・ 3 +/- =
4012.330log = 33 00
e x
ln
e x
lnln
0.3)60(tan60tan 22 ==tan-1
tan6 0x y
× =
tan-1
tan
tan-1
tantan66 00x y
×x y
× =
tan-1
tan
tan-1
tantan66 00INVINV x2
√
x2
√√ 又は
1337.6)30tanexp(30tan == ππe 3 0 × EXPπ INV e x
ln
tan-1
tan1337.6)30tanexp(30tan == ππe 33 00 ×× EXPπ
EXPπ INVINV e x
ln
e x
lnln
tan-1
tan
tan-1
tantan
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2
2. 土 圧 (1)試行くさび法
( )( )P W=
−− − −
sincos
ω φω φ δ α
W
R
φδ ω
試行すべり面α
P
Hcotω
PAPの最大が正解
P
H
すべり面の角度ωを任意に変化させてPを計算し,Pの最大値を試行錯誤的に求めると,それが主働土圧合力である。
P:主働土圧合力W:土くさびの重量ω:すべり面の角度φ:盛土の内部摩擦角δ:壁面摩擦角α:壁面傾斜角
q
H α
ω
W
λ
平坦タイプ
λαωαωγ qHW +
−=
cossin)cos(
21 2
)cot(tan ωαλ += H
h
H α
β
q
ω
W
λ
嵩上げタイプ
λββα
ωαω
αγ qhhHW +
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ −
−−
+=sin
)cos(sin
)cos()(cos2
22
ωβαλ cot)(cottan hHhH ++−=
H α
β
ω
W
一様勾配タイプ
αβωβααωγ 2
2
cos)sin()cos()cos(
21
−
−−= HW
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3
(2)重力式擁壁の壁面に作用する主働土圧の算定式
盛土形状 主働土圧算定式 平坦タイプ
q
H α
ωΑ
PA
α+δ
1:n
φδ32
=
n1tan−=α
q
H α
ωΑ
PA
α+δ
1:n
φδ32
=
n1tan−=α
クーロン式
主働土圧合力 ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅
+⋅⋅=HqKHP AA γ
γ 2121 2
主働土圧係数( )
( ) ( )( )
coscossinsin1coscos
cos2
2
2
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
++
++
−=
αδαφδφδαα
αφAK
主働すべり角( )
( ) ( ) ( )
sinsincossincoscostan 1
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
++−++
++= −
αδφφα
δφδααδφωA
嵩上げタイプ
h
H α
β
q
PA
α+δ
ωΑ
1:m
1:n
φδ32
=
n1tan−=α
m1tan 1−=β
h
H α
β
q
PA
α+δ
ωΑ
1:m
1:n
φδ32
=
n1tan−=α
m1tan 1−=β
中畑式
主働土圧合力 { }2tancottancos
sinηψφψ
ψφ
−−+= aA
WP
)cos())(cotsin(
ψωηωφω
−+−
=A
AAaW
ここに,
( ) ( )
( )βαγ
γ
γ
αη
δαφψ
cottan22
2
tan
2
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=
+++=
−=
++=
qhhW
hHqhHW
WW
b
a
a
b
主働すべり角ψηψφψ
ωtan))(tancot(tan
1tan 1
−−+= −
A
一様勾配タイプ
H α
β
PA
α+δ
ωΑ
1:n
1:m
φδ32
=
n1tan−=α
m1tan 1−=β
H α
β
PA
α+δ
ωΑ
1:n
1:m
φδ32
=
n1tan−=α
m1tan 1−=β
クーロン式
主働土圧合力 21 2
AA KHP ⋅⋅= γ
主働土圧係数( )
( ) ( ) ( )( ) ( )
coscossinsin1coscos
cos2
2
2
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
−+−+
++
−=
βαδαβφδφδαα
αφAK
主働すべり角
( )( ) ( )( ) ( ) ( )
sin
sincossincoscostan 1 β
βαδφβφβαδφδα
βαδφω +
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
−++−−−++
−++= −
A
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4
(3)片持ばり式擁壁の仮想背面に作用する主働土圧の算定式
盛土形状 主働土圧算定式 平坦タイプ,活荷重満載
H
ω1
PA
ω2
q
仮想背面
すべり面す
べり面
ランキン式
主働土圧合力 ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅
+⋅⋅=HqKHP AA γ
γ21
21 2
主働土圧係数 ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −=
245tan2 φ
AK
主働すべり角2
4521φωω +==
平坦タイプ,活荷重後方載荷
H
ω1
PA
ω2
q
δ
仮想背面
すべり面
すべり面
右城法(クーロン式を利用)
主働土圧合力 ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅
+⋅⋅=HqKHP AA γ
γ21
21 2
主働土圧係数( )
cossinsin1cos
cos2
2
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧ ++
=
δφδφδ
φAK
土圧傾斜角δは次式より求める
( ) ( ) 01cos
sinsin21 cos
sinsin1 =−+
−+⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧ −+
δφδφ
γδφδφ
Hq
嵩上げタイプ
q
H
ω1
β
δPA
h
ω2
すべり面 す
べり面
仮想背面
右城法(中畑式とクーロン式を利用)
主働土圧合力 { }2tancottancos
sin ηψφψψφ
−−+= aA
WP
ここに,
( ) ( )
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=
+++=
−=
+=
γβγ
γ
η
δφψ
qhhW
hHqhHW
WW
b
a
a
b
2tan2
22
土圧傾斜角δは次の条件式を満たすように決定する。 0=− ACA PP
ここに,
( ) ( )
coscossinsin1cos
cos21
2
22
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧ +−+
=
βδβφδφδ
φγHPAC
一様勾配タイプ
H
ω1
β
δ=βPA
ω2
仮想背面
すべり面
すべり面
ランキン式
主働土圧合力 AA KHP ⋅⋅= 221 γ
主働土圧係数φββ
φβββ
22
22
coscoscos
coscoscoscos
−+
−−=AK
主働すべり角 ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−++= −
φββφω
sinsinsin
2145 1
1
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−+= −
φββφω
sinsinsin
2145 1
2
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5
例題2.1
【解答】
壁面傾斜角 === −− 25.0tantan 11 nα 14.04゜ 壁面摩擦角 =×== 3/3523/2 φδ 23.33゜ 地表面における土くさびの幅
ωωωαλ cot0.375.0)cot04.14(tan0.3)cot(tan ×+=+×=+= H (m)
土くさびの重量(載荷重を含む)
=×+×−
×××=+−
= λωω
λαωαω
γ 1004.14cossin)04.14cos(0.320
21
cossin)cos(
21 22 qHW λ
ωω 10sin
)04.14cos(77.92 +−
×
主働土圧合力
WWWPA )37.72cos()35sin(
)33.2304.1435cos()35sin(
)cos()sin(
−−
=−−−
−=
−−−−
=ωω
ωω
δαφωφω
すべり角ωを 62゜から 66゜まで 1゜刻みで計算する。 ω=61゜の場合
=×+= 61cot0.375.0λ 2.41m
49.9635.21061sin
)04.1461cos(77.92 =×+−
×=W kN/m
15.4349.96)37.7261cos(
)3561sin(=×
−−
=AP kN/m
同様に 62゜,63゜,64゜,65゜についても計算すると解表 1.1のようになる。
解表 2.1 土圧の計算
ω(゜) λ(m) W(kN/m) PA(kN/m) 61 2.41 96.49 43.15 62 2.35 93.86 43.32 63 2.28 91.16 43.38 64 2.21 88.50 43.37 65 2.15 85.97 43.34
PAとωの関係は,解図 2.1のようになる。
図 2.1に示す重力式擁壁の壁面に作用する主働土圧を「試行くさび法」で算定せよ。
q=10kN/m2
H=3.00m 1:0.25
γ=20kN/m3
φ=35゜c=0δ=2φ/3
α
α+δ
PA
B=1.75m
yA
xA
図 2.1
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6
43.10
43.15
43.20
43.25
43.30
43.35
43.40
60 61 62 63 64 65 66
すべり角ω(゜)
土圧PA(kN/m)
解図 2.1 すべり角と土圧の関係
主働土圧合力 PA=43.38kN/m (PAの最大値が正解) 主働土圧分力 鉛直分力 =+×=+= )33.2304.14sin(38.43)sin( δαAAV PP 26.33kN/m 水平分力 =+×=+= )33.2304.14cos(38.43)cos( δαAAH PP 34.48kN/m 主働土圧合力の作用位置 土圧分布を台形と考える 作用高さ
=×+××+×
×=++
⋅=0.3201020.320103
30.3
23
3 HqHqHy A γγ 1.13m
擁壁のつま先からの水平距離 =×−=⋅−= 13.125.075.1AA ynBx 1.47m
例題2.2
【解答】 壁面傾斜角
=== −− 25.0tantan 11 nα 14.04゜ 壁面摩擦角 =×== 3/3523/2 φδ 23.33゜ 主働土圧係数
( )
( ) ( )( )
22
2
coscossinsin1coscos
cos
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
++
++
−=
αδαφδφδαα
αφAK
( )2
2
2
04.14cos)33.2304.14cos(35sin)33.2335sin(133.2304.14cos04.14cos
)04.1435(cos
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
×+×+
+×+×
−=
=0.362
主働土圧合力
kN/m44.430.320
1021362.00.3202121
21 22 =⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
××
+××××=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=
HqKHP AA γ
γ
図 2.1で示した重力式擁壁の壁面に作用する主働土圧を「クーロン式」で算定し,「試行くさび法」と同じ結果になることを確認せよ。
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7
例題2.3
【解答】 壁面の傾斜角 ゜31.1120.0tan 1 == −α
盛土の傾斜角 ゜565.260.2
1tan 1 == −β
壁面摩擦角 =×== 3/3023/2φδ 20゜ かかとと盛土の肩を結ぶ線の角度
αβω
tancottan 1
0 HhHh
−+
= − ゜7.7031.11tan3565.26cot1
31tan 1 =×−×
+= −
主働すべり面の角度は 7.700 =ω ゜より小さいと考えられるので,すべり土塊の重量は「嵩上げタイプ」
と仮定して算定する。 地表面における土くさびの幅
ωωβαλ cot)0.10.3(565.26cot0.131.11tan0.3cot)(cottan ++×−×=++−= hHhH ωcot44.1 +−= (m)
土くさびの重量
λββα
ωαω
αγ qhhHW +
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ −
−−
+=sin
)cos(sin
)cos()(cos2
22
λω
ω×+
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ −
×−−
×+××
= 10565.26sin
)565.2631.11cos(0.1sin
)31.11cos()0.10.3(31.11cos2
19 22
λω
ω×+
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ −
−××= 1015728.2
sin)31.11cos(16688.9
λω
ω×+−
−×= 1090.20
sin)31.11cos(01.155 (kN/m)
主働土圧合力
WWWPA )31.61cos()30sin(
)2031.1130cos()30sin(
)cos()sin(
−−
=−−−
−=
−−−−
=ωω
ωω
δαφωφω
すべり角ωを 52゜から 56゜まで 1゜刻みで計算する。
図 2.2に示す重力式擁壁の壁面に作用する主働土圧を,「試行くさび法」によって算定せよ。
H=3m
h=1m
q=10kN/m2
γ=19kN/m3
φ=30゜c=0δ=2φ/3
1:2.0
α
β
1:0.2
PA
α+δ
λ
図 2.2
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8
ω=52゜の場合 =×+−= 52cot44.1λ 1.73m
=×+−−
×= 73.11090.2052sin
)31.1152cos(01.155W 145.56 kN/m
26.5556.145)31.6152cos(
)3052sin(=×
−−
=AP kN/m
同様に 53゜,54゜,55゜,56゜についても計算すると次の表のようになる。
解表 2.2 土圧の計算
ω(゜) λ(m) W(kN/m) PA(kN/m) 52 1.73 145.56 55.26 53 1.61 140.14 55.34 54 1.51 135.04 55.38 55 1.40 129.94 55.25 56 1.30 125.03 55.05
PAとωの関係は,解図 2.2のようになる。
55.00
55.05
55.10
55.15
55.20
55.25
55.30
55.35
55.40
51 52 53 54 55 56 57
すべり角ω(゜)
土圧PA(kN/m)
解図 2.2 すべり角と土圧の関係
主働土圧合力 PA=55.38kN/m (PAの最大値が正解) 主働すべり角 ωA=54゜<ω0=70.7゜仮定した通りである。
H=3m
h=1m
q=10kN/m2
1:2.0
1:0.2
ωA=54゜
ωο=70.7゜
λ=1.51m
主働すべり面
α+δ
PA=55.38kN/m
解図 2.3 主働すべり面
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9
例題2.4
【解答】 壁面の傾斜角 ゜31.1120.0tan 1 == −α
盛土の傾斜角 ゜565.260.2
1tan 1 == −β
壁面摩擦角 =×== 3/3023/2φδ 20゜ 中畑式による計算
゜31.612031.1130 =++=++= δαφψ
( ) ( )hHqhHWa +++= 2
2γ kN/m0.192)13(10)13(
219 2 =+×++×=
( )βαγ
γ cottan22
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=
qhhWb ( ) kN/m9.4257.26cot31.11tan19
102112
19=+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ×+××=
023.00.1929.4231.11tantan −=−=−=
a
bWW
αη
739.031.61tan )023.031.61)(tan30cot31.61(tantan))(tancot(tan =−++=−−+= ψηψφψX
739.01tan1tan 11 −− ==
XAω =53.5゜<ωo=71.7゜
すべり面が盛土肩の後方を通るので,中畑式を適用することができる。 主働土圧 PAは次のようになる.
)cos())(cotsin(
ψωηωφω
−+−
=A
AAaA WP
)31.615.53cos()023.05.53(cot)305.53sin(0.192
−−×−
×= =55.40kN/m
例題2.5
図 2.2に示した重力式擁壁の壁面に作用する主働土圧を,「中畑式」によって算定し,「試行くさび法」と同じ結果がより簡単に得られることを確認せよ。
図 2.3に示す重力式擁壁の壁面に作用する主働土圧を「クーロン式」で算定せよ。
H=3.0m
q=10kN/m2
γ=19kN/m3
φ=30゜c=0δ=2φ/3
1:2.0
β
1:0.2
h=5.0m
αPA
α+δH=3.0m
q=10kN/m2
γ=19kN/m3
φ=30゜c=0δ=2φ/3
1:2.0
β
1:0.2
h=5.0m
αPA
α+δ
図 2.3
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10
【解答】 壁面の傾斜角 ゜31.1120.0tan 1 == −α
盛土の傾斜角 ゜565.260.2
1tan 1 == −β
壁面摩擦角 =×== 3/3023/2φδ 20゜ かかとと盛土の肩を結ぶ線の角度
αβω
tancottan 1
0 HhHh
−+
= − ゜4.4031.11tan3565.26cot5
35tan 1 =×−×
+= −
主働すべり面の角度は 4.400 =ω ゜より大きいと考えられるので,地表面がβ=26.57゜で一様勾配と見なせるものと仮定してクーロン式で計算する. 主働すべり角
( )( ) ( )( ) ( ) ( )
sin
sincossincoscostan 1 β
βαδφβφβαδφδα
βαδφω +
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
−++−−−++
−++= −
A
( )( ) ( )
( ) ( ) ( ) 565.26
565.2631.112030sin565.2630sin565.2631.11cos
2030sin2031.11cos565.2631.112030costan 1 +
⎪⎪
⎭
⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
−++−−−++
−++= −
=43゜>ωo=40.4゜ すべり面が盛土肩の前方を通るので,クーロン式が適用できる。 主働土圧係数
( )
( ) ( ) ( )( ) ( )
coscossinsin1coscos
cos2
2
2
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
−+−+
++
−=
βαδαβφδφδαα
αφAK
( )
( ) ( ) ( )( ) ( )
565.2631.11cos2031.11cos565.2630sin2030sin12031.11cos31.11cos
31.1130cos2
2
2
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
−+−+
+×+×
−= =0.715
主働土圧合力
kN/m1.61715.031921
21 22 =×××== AA KHP γ
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11
H=3.0m
q=10kN/m2
1:2.0
β=26.565゜
1:0.2
h=5.0m
α=11.31PA=61.1kN/m31.31
ωA=43゜
ω0=40.4゜
解図 2.4 主働すべり面
例題2.6
【解答】 壁面傾斜角 0=α ゜,地表面傾斜角 0=β ゜,壁面摩擦角 0== βδ ゜ ■試行くさび法による計算
ωωλ cot0.5cot ×== H (m)
ωωωλωγ cot5.287cot0.510cot0.51921cot
21 22 =××+×××=+= qHW (kN/m)
ωφωωω
ωδαφω
φω cot)tan(5.287cot5.287)0030cos(
)30sin()cos(
)sin(−=×
−−−−
=−−−
−= WPA (kN/m)
すべり角ωを 58゜から 62゜まで 1゜刻みで計算する。 ω=58゜の場合 =×−×= 58cot)3058tan(5.287AP 95.52kN/m ω=59゜の場合 =×−×= 59cot)3059tan(5.287AP 95.76kN/m ω=60゜の場合 =×−×= 60cot)3060tan(5.287AP 95.83kN/m (最大)
図 2.4 に示すように,地表面に活荷重が満載された逆T型擁壁の仮想背面に作用する主働土圧を試行くさび法,クーロン式,ランキン式で求め,どの方法でも同じ結果が得られることを確認せよ。
B=2.80
5.00
仮想背面
γ=19kN/m3
φ=30゜c=0
q=10kN/m2
図 2.4
香川県平成 20年度専門技術研修 土圧・支持力理論と計算のポイント(右城 猛)
12
ω=61゜の場合 =×−×= 61cot)3061tan(5.287AP 95.76kN/m ω=62゜の場合 =×−×= 62cot)3062tan(5.287AP 95.52kN/m 主働土圧合力 PA=95.83kN/m (PAの最大値が正解)
■クーロン式による計算
( )
( ) ( ) ( )( ) ( )
coscossinsin1coscos
cos2
2
2
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
−+−+
++
−=
βαδαβφδφδαα
αφAK
( )
( ) ( ) ( )( ) ( )
=
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
−+−+
++×
−=
00cos00cos030sin030sin100cos0cos
030cos2
2
20.333
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅
+⋅⋅=HqKHP AA γ
γ 2121 2 ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
××
+××××=0.519
1021333.00.51921 2 =95.74kN/m
■ランキン式による計算
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −=
23045tan
245tan 22 φ
AK 0.333
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅
+⋅⋅=HqKHP AA γ
γ 2121 2 ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
××
+××××=0.519
1021333.00.51921 2 =95.74kN/m
例題2.7
【解答】 壁面摩擦角δは,次の条件式を満たすように決定する。
( ) ( ) 01cos
sinsin21 cos
sinsin1 =−+
−+⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧ −+
δφδφ
γδφδφ
Hq
図 2.5 に示すように,仮想背面より後方のみに活荷重が載荷された逆T型擁壁について,仮想背面に作用する主働土圧を右城法によって算定せよ。
仮想背面
γ=20kN/m3
φ=35゜c=0
q=10kN/m2
PAH=5.0m
B=2.8m
δ
図 2.5
香川県平成 20年度専門技術研修 土圧・支持力理論と計算のポイント(右城 猛)
13
δ=5゜ ( ) ( )=−
+−
××
+⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧ −+ 1
5cos35sin535sin
0.5201021
5cos35sin535sin1 0.075
δ=10゜ ( ) ( )=−
+−
××
+⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧ −+ 1
10cos35sin1035sin
0.5201021
10cos35sin1035sin1 -0.03
δ=15゜ ( ) ( )=−
+−
××
+⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧ −+ 1
15cos35sin1535sin
0.5201021
15cos35sin1535sin1 -0.085
δ=9.8゜ ( ) ( )=−
+−
××
+⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧ −+ 1
8.9cos35sin8.935sin
0.5201021
8.9cos35sin8.935sin1 0.000
δ=9.8゜が正解となる。δと誤差Δの関係は,解図 2.5のようになる。
-0.1
-0.05
0
0.05
0.1
0 5 10 15 20
壁面摩擦角δ(゜)
誤差Δ
解図 2.5 壁面摩擦角と誤差の関係
主働土圧係数
( )
cossinsin1cos
cos2
2
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧ ++
=
δφδφδ
φAK
( )
8.9cos35sin8.935sin18.9cos
35cos2
2
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧ ++×
= =0.253
主働土圧合力
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅
+⋅⋅=HqKHP AA γ
γ 2121 2 ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
××
+××××=0.520
1021253.00.52021 2 =75.9kN/m
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14
例題2.8
【解答】 壁面傾斜角 0=α ゜,地表面傾斜角 30=β ゜,壁面摩擦角 30== βδ ゜(地表面に平行) 主働土圧係数 クーロン式
( )
( ) ( ) ( )( ) ( )
coscossinsin1coscos
cos2
2
2
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
−+−+
++
−=
βαδαβφδφδαα
αφAK
( )
( ) ( ) ( )( ) ( )
=
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
−+−+
++×
−=
300cos300cos3035sin3035sin1300cos0cos
035cos2
2
20.442
ランキン式
φββ
φβββ
22
22
coscoscos
coscoscoscos
−+
−−=AK
35cos30cos30cos
35cos30cos30cos30cos22
22
−+
−−×= =0.442
クーロン式とランキン式で同じ主働土圧係数が求められる。 主働土圧合力
AA KHP ⋅⋅= 221 γ 442.00.620
21 2 ×××= =159.12kN/m
主働すべり角
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−++= −
φββφω
sinsinsin
2145 1
1 ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −++= −
35sin30sinsin3035
2145 1 =47.2゜
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−+= −
φββφω
sinsinsin
2145 1
2 ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +−+= −
35sin30sinsin3035
2145 1 =77.8゜
図 2.6 に示すような逆T型擁壁の仮想背面に作用する主働土圧を「クーロン式」と「ランキン式」で求めて,その結果を比較せよ。
H=6.0m
仮想背面
γ=20kN/m3
φ=35゜c=0
β=30゜
図 2.6
香川県平成 20年度専門技術研修 土圧・支持力理論と計算のポイント(右城 猛)
15
二つのすべり面の挟角は 90 ゚-φ=55゜となる。
すべり面
すべり面
すべり面
6.0m
ω1=47.2゜
ω2=77.8゜
PA=159.12kN/m
δ=30゜
β=30゜
解図 2.6 主働すべり面
例題2.9
【解答】 右城法(中畑式とクーロン式を利用)による土圧の計算
( ) ( )hHqhHWa +++= 22γ ( ) ( ) =+×++×= 8.12.6108.12.6
220 2 720kN/m
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=γβ
γ qhhWb2
tan2⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ×
+×××
=20
1028.18.169.33tan2
20 =75.6kN/m
105.0720
6.75−=−=−=
a
bWWη
図 2.7 に示す高さ上げタイプの盛土をした逆T型擁壁の仮想背面に作用する主働土圧合力とその傾斜角(壁面摩擦角δ)を右城法を用いて算定せよ。
1:1.5
H=6.2m
h=1.8m
q=10kN/m2
β=33.69゜
仮想背面
γ=20kN/m3
φ=35゜c=0
図 2.7
香川県平成 20年度専門技術研修 土圧・支持力理論と計算のポイント(右城 猛)
16
{ }2tancottancos
sinηψφψ
ψφ
−−+= aA
WP
ここに δφψ +=
δは次の条件式を満たすように試行錯誤的に決定する。 0=−=∆ ACA PP
ここに,
( ) ( )
coscossinsin1cos
cos21
2
22
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧ +−+
=
βδβφδφδ
φγHPAC
δを 0 から 5゜刻みでφ(=35゜)まで変化させてΔを計算すると解表 2.3 となる。これより,25゜<δ<30゜であることがわかる。Δ≒0となるδを試行錯誤的に求めるとδ=27.6゜となる。 主働土圧合力は
{ }2105.0)356.27tan(35cot)356.27tan()356.27cos(
35sin720++−++
+×
=AP =151.75kN/m
解表 2.3 δと計算誤差Δ
δ(゜) ψ(゜) PA(kN/m) PAC(kN/m) ∆=PA-PAC
0 35 158.98 79.49 79.495 40 153.78 84.58 69.2010 45 150.16 91.36 58.8015 50 147.94 100.55 47.3920 55 147.00 113.47 33.5325 60 147.31 132.94 14.3730 65 148.87 166.95 -18.0835 70 151.75 314.88 -163.13
27.6 62.6 147.96 147.78 0.18
-200
-150
-100
-50
0
50
100
0 5 10 15 20 25 30 35 40
壁面摩擦角δ(゜)
誤差Δ(kN/m)
解図 2.7 壁面摩擦角と誤差の関係
香川県平成 20年度専門技術研修 土圧・支持力理論と計算のポイント(右城 猛)
17
演習問題2.1
【解答】 土くさびの重量
25.14tan
5.85195.10.1tan
10.30.321
−=×⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ×−×××=
ωωW (kN/m)
主働土圧合力の算定式
WWWPA )50cos()30sin(
)02030cos()30sin(
)cos()sin(
−−
=−−−
−=
−−−−
=ωω
ωω
αδφωφω
すべり角はω=50゜,51゜,52゜,53゜54゜について,PAを計算すると次のようになる。
① ② ③ ④
tanω W(kN/m) sin(ω-φ) cos(ω-φ-δ-α)50 1.192 57.48 0.342 1.000 19.6651 1.235 54.98 0.358 1.000 19.6852 1.28 52.55 0.375 0.999 19.7353 1.327 50.18 0.391 0.999 19.6454 1.376 47.89 0.407 0.998 19.53
PA=②×③/④ω(゜)
主働土圧合力と主働すべり角 PA=19.7kN/m ω=52゜
答え PA=19.7kN/m ω=52
図 2.8 に示すような嵩上げタイプの盛土をした重力式擁壁の壁面に作用する主働土圧を,「試行くさび法」および「中畑式」で算定せよ。 なお,試行くさび法の計算で,すべり角はω=50゜,51゜,52゜,53゜54゜の 4種類とすること。 ただし,盛土勾配は 1:1.5,嵩上げ高は 1.0m,土質は砂質土(γ=19kN/m3,φ=30゜)とする。壁面摩擦角はδ=2φ/3として計算すること。
1.5m
2.0m
1.0m0.5m
1:0.5
1:1.5
γ=19kN/m3
φ=30゜c=0
δ
PA
図 2.8 重力式擁壁
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18
演習問題2.2
【解答】 仮想背面の高さ
5.58.1
5.02.30.4 =−
+=H m
壁面傾斜角 0=α ゜,地表面傾斜角 05.298.1
1tan 1 == −β ゜,壁面摩擦角 05.29== βδ ゜
主働土圧係数 クーロン式
( )
( ) ( ) ( )( ) ( )
coscossinsin1coscos
cos2
2
2
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
−+−+
++
−=
βαδαβφδφδαα
αφAK
( )
( ) ( ) ( )( ) ( )
=
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
−+−+
++×
−=
05.290cos05.290cos05.2935sin05.2935sin105.290cos0cos
035cos2
2
20.422
ランキン式
φββ
φβββ
22
22
coscoscos
coscoscoscos
−+
−−=AK
35cos05.29cos05.29cos
35cos05.29cos05.29cos05.29cos22
22
−+
−−×= =0.422
クーロン式とランキン式で同じ主働土圧係数が求められる。 主働土圧合力
AA KHP ⋅⋅= 221 γ 422.05.520
21 2 ×××= =127.7kN/m
答え KA=0.422,PA=127.7kN/m
図 2.9に示す L型擁壁の仮想背面に作用する主働土圧を「ランキン式」,「クーロン式」でそれぞれ計算し,その結果を比較せよ。 ただし,盛土勾配は 1:1.8の一様勾配,土質は礫質土(γ=20kN/m3,φ=35゜)とする。
PA
β
1:1.8
4.0m δ=β
3.2m
0.5mγ=20kN/m3
φ=35゜c=0
仮想背面
H
図 2.9 L 型擁壁
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19
3. 支持力 (1)テルツァギーの支持力公式
γγ BNqNcNq qcd 221
++=
ここに, qd:極限支持力度(kN/m2) c:支持地盤の粘着力(kN/m2)
q:支持地盤への上載荷重(kN/m2) fDq 1γ=
Df:基礎の根入れ深さ(m) γ1:根入れ地盤の単位体積重量(kN/m3) γ2:支持地盤の単位体積重量(kN/m3) B:基礎幅(m)
Nc,Nq,Nγ:支持力係数
( )1cot −= qc NN φ , φπφ tan22
45tan eNq ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ += , ( ) )4.1tan(1 φγ −≈ qNN
φ:支持地盤の内部摩擦角(゜) (2)道路橋示方書の静力学公式
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ ++= γγβγκακ SNBSqNScNAQ eqqcceu 12
1
ここに, Qu:極限支持力(kN) Ae:有効載荷面積(m2) eee LBA ⋅= Be:荷重の偏心を考慮した有効載荷幅(m) eBe BB 2−= Le:荷重の偏心を考慮した有効載荷長(m) eLe LL 2−= B:基礎幅(m) L:基礎長(m) α,β:基礎の形状係数で,表 3.1による。
表 3.1 形状係数(道路橋示方書Ⅳ下部構造編,2002)
基礎底面形状 帯 状 正方形,円形 長方形,楕円形,小判形
α 1.0 1.3 e
eLB3.01+
β 1.0 0.6 e
eLB4.01−
c:支持地盤の粘着力(kN/m2) q:支持地盤への上載荷重(kN/m2)
fDq 1γ=
Df:基礎の根入れ深さ(m) γ1:根入れ地盤の単位体積重量(kN/m3) γ2:支持地盤の単位体積重量(kN/m3)
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20
κ:支持層への根入れ効果に対する割り増し係数 e
f
BD '
3.01+=κ
Df’ :支持地盤への根入れ深さ(m) Nc,Nq,Nγ:支持力係数で,図 3.1または表 3.2による。 φ:支持地盤の内部摩擦角(゜) tanθ:基礎底面に作用する荷重の傾斜 VH /tan =θ
(a)Ncを求めるグラフ(q=0,γ=0) (b)Nqを求めるグラフ(c=0,γ=0)
0゜
tanθ=tanφ
(c)Nγを求めるグラフ(c=0,q=0)
図 3.1 支持力係数(道路橋示方書Ⅳ下部構造編,2002)
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21
Sc,Sq,Sγ:支持力係数の寸法効果に対する補正係数
3/1
10
−
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
cSc ,3/1
10
−
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
qSq , 3/1−= eBSγ
c=0のときは Sc=1,q=0のときは Sq=1とする。
表 3.2 支持力係数(道路橋示方書)
傾斜角 支持力θ (゜) 係 数 0 5 10 15 20 25 30 35 40
N γ 0.00 0.17 0.56 1.40 3.16 6.92 15.32 35.19 86.460 N q 1.00 1.57 2.47 3.94 6.40 10.70 18.40 33.30 64.20
N c 5.14 6.49 8.34 10.98 14.83 20.71 30.12 46.08 75.23N γ 0.09 0.38 0.99 2.31 5.02 11.10 24.38 61.38
5 N q 1.24 2.16 3.44 5.56 9.17 15.60 27.90 52.70N c 5.81 7.42 9.67 12.56 17.86 25.63 38.59 62.09N γ - 0.17 0.62 1.51 3.42 7.46 17.40 41.78
10 N q - 1.50 2.84 4.65 7.65 12.90 22.80 42.40N c 5.05 6.42 8.30 11.02 15.06 21.34 31.66 49.79N γ - - 0.25 0.89 2.15 4.93 11.34 27.61
15 N q - - 1.70 3.64 6.13 10.40 18.10 33.30N c 4.25 5.38 6.93 9.14 12.83 17.36 25.40 39.27N γ - - - 0.32 1.19 2.92 6.91 16.41
20 N q - - - 2.09 4.58 7.97 13.90 25.40N c 3.43 4.35 5.60 7.35 9.90 13.75 19.88 30.26N γ - - - 0.38 1.50 3.85 9.58
25 N q - - - 2.41 5.67 10.20 18.70N c 3.37 4.35 5.71 7.66 10.57 15.13 22.72N γ - - - 0.43 1.84 4.96
30 N q - - - 2.75 6.94 13.10N c 3.21 4.24 5.70 7.84 11.15 16.54N γ - - 0.47 2.21
35 N q - - 3.08 8.43N c 4.03 5.56 7.88 11.61N γ - - 0.49
40 N q - - 3.42N c 3.71 5.29 7.78N γ - -
45 N q - -
N c 3.31 4.91
せん断抵抗角 φ(゜)
(3)建築基礎構造設計指針(2002)の支持力公式
{ }qfqecceu NDiNBicNiAQ 21 γηβγα γγ ++=
ここに, Qu:極限支持力(kN) Ae:有効載荷面積(m2) eee LBA ⋅= Be:荷重の偏心を考慮した有効載荷幅(m) eBe BB 2−= Le:荷重の偏心を考慮した有効載荷長(m) eLe LL 2−= B:基礎幅(m) L:基礎長(m) α,β:基礎の形状係数で,表 3.3による。
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22
表 3.3 形状係数(建築基礎構造設計指針,2002)
基礎底面形状 帯 状 正方形,円形 長方形
α 1.0 1.2 e
eLB2.01+
β 0.5 0.3 e
eLB2.05.0 −
c:支持地盤の粘着力(kN/m2) Df:基礎の根入れ深さ(m)
γ1:根入れ地盤の単位体積重量(kN/m3) γ2:支持地盤の単位体積重量(kN/m3)
Nc,Nq,Nγ:支持力係数で,次式で求める。表 3.4から求めることもできる。
( )1cot −= qc NN φ , φπφ tan22
45tan eNq ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ += , ( ) )4.1tan(1 φγ −≈ qNN
φ:支持地盤の内部摩擦角(゜) η:基礎の寸法効果による補正係数
荷重の偏心傾斜がある場合はη=1.0,荷重の偏心傾斜がない場合は 3/1−= Bη
ic,iq:荷重の傾斜に対する補正係数
2
901 ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −==
θqc ii ,
2
1 ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=φθ
γi
θ:荷重の傾斜角(゜)
VH1tan−=θ
H:基礎に作用する水平荷重(kN) V:基礎に作用する鉛直荷重(kN)
表 3.4 建築基礎構造設計指針の支持力係数
0 10 20 30 40 50内部摩擦角φ(度)
支持力係数
100
20
30
40
5060708090
1
10
2
3
4
56789
Nc
Nq
Nγ
φ(゜) Nc Nγ Nq φ(゜) Nc Nγ Nq
0 5.14 0.00 1.00 21 15.81 3.42 7.07
1 5.38 0.00 1.09 22 16.88 4.07 7.82
2 5.63 0.01 1.20 23 18.05 4.82 8.66
3 5.90 0.02 1.31 24 19.32 5.72 9.60
4 6.19 0.04 1.43 25 20.72 6.77 10.66
5 6.49 0.07 1.57 26 22.25 8.00 11.85
6 6.81 0.11 1.72 27 23.94 9.46 13.20
7 7.16 0.15 1.88 28 25.80 11.19 14.72
8 7.53 0.21 2.06 29 27.86 13.24 16.44
9 7.92 0.28 2.25 30 30.14 15.67 18.40
10 8.34 0.37 2.47 31 32.67 18.56 20.63
11 8.80 0.47 2.71 32 35.49 22.02 23.18
12 9.28 0.60 2.97 33 38.64 26.17 26.09
13 9.81 0.74 3.26 34 42.16 31.15 29.44
14 10.37 0.92 3.59 35 46.12 37.15 33.30
15 10.98 1.13 3.94 36 50.59 44.43 37.75
16 11.63 1.37 4.34 37 55.63 53.27 42.92
17 12.34 1.66 4.77 38 61.35 64.07 48.93
18 13.10 2.00 5.26 39 67.87 77.33 55.96
19 13.93 2.40 5.80 40 75.31 93.69 64.20
20 14.83 2.87 6.40 41 75.31 93.69 64.20
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23
(4)道路土工-擁壁工指針
許容支持力度は,経験的に表 3.5で推定する。 許容支持力度は qa≒10N (kN/m2) N:標準貫入試験の N値
表 3.5 地盤の許容支持力度(道路土工-擁壁工指針,1999) 備 考
基礎地盤の種類 許容支持力度 qa (kN/m2) qu(kN/m2) N値
岩 盤
亀裂の少ない均一な硬岩 亀裂の多い硬岩 軟岩・土丹
1000 600 300
10000以上 10000以上 1000以上
れき層 密なもの 密でないもの
600 300
砂 質 地 盤
密なもの 中位なもの
300 200
30~50 20~30
粘性土 地 盤
非常に堅いもの 堅いもの
200 100
240~400 100~200
15~30 10~15
例題3.1
【解答】 上載荷重
180.1181 =×== fDq γ kN/m2
支持力係数
φπφ tan22
45tan eNq ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ += 30tan2
23045tan πe×⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ += =18.40
( )1cot −= qc NN φ ( ) =−×= 140.1830cot 30.14
( ) )4.1tan(1 φγ −≈ qNN ( ) =×−= )304.1tan(140.18 15.67
極限支持力度
γγ BNqNcNq qcd 221
++= =×××+×+×= 67.150.3192140.181814.3010 1,079kN/m2
許容支持力度 安全率 Fs=3.0とする
3600.3
079,1===
s
da F
qq kN/m2
図 3.2 に示す直接基礎の支持力をテルツァギー式を用いて算定せよ。ただし,基礎の有効根入れ深さは Df=1.0mとする。
B=3m
γ1=18kN/m3Df=1.0m
γ2=19kN/m3,φ=30゜c=10 kN/m2
図 3.2
香川県平成 20年度専門技術研修 土圧・支持力理論と計算のポイント(右城 猛)
24
例題3.2
【解答】 上載荷重
fDq 2γ= 0.360.218 =×= kN/m2
荷重の偏心を考慮した基礎の有効載荷幅
eBe BB 2−= =×−= 0.120.5 3.0m
eLe LL 2−= =×−= 0.020.10 10.0m 基礎の形状係数
=×+=+=0.100.33.013.01
e
eLBα 1.09
=×−=−=0.100.34.014.01
e
eLBβ 0.88
支持地盤への根入れ深さ Df’ =0.5m 支持層への根入れ効果に対する割り増し係数
05.10.35.03.01
'3.01 =×+=+=
e
f
BD
κ
有効載荷面積
eee LBA = =×= 0.100.3 30m2 荷重の傾斜
5.0000,3500,1tan ===
VHθ
支持力係数 φ=30゜,tanθ=0.5 ⇒図 3.1より Nc=9.5,Nq=4.6,Nγ=1.1 支持力係数の寸法効果に対する補正係数
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=
−− 3/13/1
1020
10cSc 0.794
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=
−− 3/13/1
1036
10qSq 0.653
=== −− 3/13/1 0.3eBSγ 0.693
長方形基礎(幅 B=5.0m,奥行き L=10m)に,図 3.3 に示すような偏心傾斜荷重が作用する。このときの支持力を道路橋示方書の静力学公式によって算定せよ。
V=3,000kN
H=1,500kN
e=1.0m
γ1=18kN/m3
γ2=18kN/m3,φ=30゜c=20 kN/m2
Df=2m
Df’=0.5m
B=5.0m
支持層
図 3.3
香川県平成 20年度専門技術研修 土圧・支持力理論と計算のポイント(右城 猛)
25
極限支持力
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ ++= γγβγκακ SNBSqNScNAQ eqqcceu 12
1
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ ×××××+×××+×××××= 693.01.10.388.018
21653.06.40.3605.1653.05.92005.109.130
= 8,210kN 安全率
===000,3210,8
VQu
sF 2.7 >2.0 (地震時) O.K
例題3.3
【解答】 荷重の偏心を考慮した基礎の有効載荷幅
eBe BB 2−= 0.30.120.5 =×−= m
eLe LL 2−= =−=−= 00.102eLL 10.0m 有効載荷面積
0.300.100.3 =×== eee LBA m2 基礎の形状係数
06.10.100.32.012.01 =×+=+=
e
eLBα
=−=e
eLB2.05.0β =×−
0.100.32.05.0 0.44
支持力係数
=×−+
=−+
= )30tanexp(30sin130sin1)tanexp(
sin1sin1 πφπ
φφ
qN 18.40
( )1cot −= qc NN φ ( ) =−×= 140.1830cot 30.14
( ) )4.1tan(1 φγ −≈ qNN ( ) =×−= )304.1tan(140.18 15.67
支持力係数は,表 3.4から読み取ることもできる。 基礎の寸法効果による補正係数
0.1=η (荷重の偏心・傾斜がある) 荷重の傾斜角
57.26000,3500,1tantan 11 === −−
VHθ ゜
荷重の傾斜に対する補正係数
50.090
57.26190
122=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −==
θqc ii
013.030
57.261122
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=φθ
γi
長方形基礎(幅 B=5.0m,奥行き L=10m)に,図 3.3に示すような偏心傾斜荷重が作用する。このときの支持力を建築基礎構造設計指針(2002)の式によって算定し,道路橋示方書の静力学支持力公式で算定した結果と比較せよ。
香川県平成 20年度専門技術研修 土圧・支持力理論と計算のポイント(右城 猛)
26
極限支持力
{ }qfqecceu NDiNBicNiAQ 21 γηβγα γγ ++=
{ }40.180.21850.067.150.10.31844.0013.014.302006.150.030 ×××+×××××+××××= =19,700kN
安全率
===000,3700,19
VQu
sF 6.6 >1.0(地震時) O.K.
解表 3.1 道路橋示方書と建築基礎構造設計指針の支持力比較
支持力係数 技術基準 Nc Nq Nγ
極限支持力 Qu(kN)
道路橋示方書 9.5 4.6 1.1 8,210 建築基礎構造設計指針 30.14 15.67 18.40 19,700
例題3.3
【解答】 ■道路土工-擁壁工指針による照査 擁壁の支持地盤は N値 25~30程度の砂質土である。このため,許容支持力度は表 =×== 30)25(1010 ~Nqa 250~300kN/m2と推定される。最大地盤反力度は q=254kN/m2であるので十
分とは言えないが安全と判断される。
図 3.4 に示す逆T型擁壁の地盤支持力について,道路土工-擁壁工指針および道路橋示方書下部構造編の静力学的支持力公式によって検討せよ。なお,支持地盤は単位体積重量γ=18kN/m3,N 値 25~30の砂質土である。
0 10 20 30 40 500
1
2
3
4
5
6
7
B=3.5m
H=151.7kN/m
e=0.53m
V=467.3kN/m
q2=13kN/m2
q1=254kN/m2
q=10kN/m2
N値
深度
1.0m
7.0m
25
33
27
30
28
40
0 10 20 30 40 500
1
2
3
4
5
6
7
B=3.5m
H=151.7kN/m
e=0.53m
V=467.3kN/m
q2=13kN/m2
q1=254kN/m2
q=10kN/m2
N値
深度
1.0m
7.0m
25
33
27
30
28
40
25
33
27
30
28
40
図 3.4
香川県平成 20年度専門技術研修 土圧・支持力理論と計算のポイント(右城 猛)
27
■道路橋示方書による照査 支持地盤の内部摩擦角 標準貫入試験の N値より道路橋示方書式で推定する。
21ln8.4 1 += Nφ (N>5) (ここの lnは自然対数である elogln = ) ここに,
70'
1701 +=
v
NNσ
zv ⋅= γσ ' >50kN/m2 これらの式でφを求めると解表 3.1となる。
解表 3.1 支持地盤の N値と内部摩擦角
深度 標準貫入試験 有効上載圧 修正N値 内部摩擦角
z (m) によるN値 σv(kN/m2) N 1 φ(゜)
1 25 18(50) 35.4 38.12 33 36(50) 46.8 39.53 27 54 37 38.34 30 72 35.9 38.25 28 90 29.8 37.36 40 108 38.2 38.5
この結果より,支持力計算に用いる内部摩擦角はφ=38゜とする。 上載荷重
fDq 2γ= 0.180.118 =×= kN/m2
荷重の偏心を考慮した基礎の有効載荷幅
eBe BB 2−= =×−= 53.025.3 2.44m 基礎の形状係数(帯状基礎) α=1.0,β=1.0 支持地盤への根入れ深さ Df’ =0m 支持層への根入れ効果に対する割り増し係数
00.144.203.01
'3.01 =×+=+=
e
f
BD
κ
有効載荷面積
eee LBA = =×= 0.144.2 2.44m2/m 荷重の傾斜
3.4677.151tan ==
VHθ =0.32
支持力係数 φ=38゜, θtan =0.32 ⇒図 3.1より Nc=30,Nq=25,Nγ=16 支持力係数の寸法効果に対する補正係数
0.1=cS (c=0の場合は 1.0とする)
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=
−− 3/13/1
1018
10qSq 0.82
=== −− 3/13/1 44.2eBSγ 0.74
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28
極限支持力
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ ++= γγβγκακ SNBSqNScNAQ eqqcceu 12
1
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ ×××××+×××+×××××= 74.01644.20.118
2182.0250.180.10.13000.10.144.2
= 1,530kN 安全率
3.33.467
530,1=== V
uQsF >3.0(常時) O.K
例題3.4
【解答】
荷重の傾斜角 7.0300210tan ===
VHθ ,内部摩擦角φ=30゜
支持力係数 Nc: 図解 3.1 (a)より Nc=5.5 支持力係数 Nq: 図解 3.1 (b)より求める。
tanφ=tan30=0.577<tanθ したがって,図解 3.1(b)の領域Ⅱ(θcrより下側)を利用する。
11010
==cq
のラインとφ=30゜のラインが交わる位置(○印の位置)から鉛直の線を降ろすと,
tanθ=0.73が得られる。 基礎に作用する荷重の傾斜は tanθ=0.7であり,0.73より小さいので Nqの解が存在する。 解は,○印から水平線を左側に引いて求められ,Nq=2.76となる。 支持力係数 Nγ: 図解 3.1 (c)より求める。 tanφ=tan30=0.577<tanθであるので,Nγ=0 以上より,支持力係数は次のようになる。 Nc=5.5,Nq=2.76,Nγ=0
図 3.5に示す直接基礎の支持力係数 Nc,Nq,Nγを,道路橋示方書下部構造編のグラフを用いて求めよ。
V=300kN/m
H=210kN/m
γ2=18kN/m3,φ=30゜c=10 kN/m2
B=3.0m支持層
q=10kN/m2
M=100kN・m/m
図 3.5
香川県平成 20年度専門技術研修 土圧・支持力理論と計算のポイント(右城 猛)
29
(a)支持力係数Ncを求めるグラフ(q=0,γ=0) (b)支持力係数Nqを求めるグラフ(c=0,γ=0)
0゜0゜
c=0として作成θ<φのとき適用
c>0として作成θ>φのとき適用
φ=30゜q/c=1.0
0.73
2.765.5
tanθ=tanφ
(c)支持力係数Nγを求めるグラフ(c=0,q=0,B=0)
解図 3.1 支持力係数
(注) 道路橋示方書下部構造編における支持力係数のグラフは,Ncと Nqは駒田敬一による解,Nγはソコロフスキーの解を図化したものである。示方書に掲載されているのは Ncは q=0,γ=0の条件,Nqは c=0,γ=0の条件,Nγは c=0,q=0,B=0の条件に対するものである。このため,q>0,γ>0,c>0,B>0で計算した支持力係数よりも小くなっている。
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30
演習問題3.1
【解答】 内部摩擦角 N値より推定する。
解表 3.2 支持地盤の N値と内部摩擦角
深度 標準貫入試験 有効上載圧 修正N値 内部摩擦角
z (m) によるN値 σv(kN/m2) N 1 φ(゜)
1 20 18(50) 28.3 372 22 36(50) 31.2 37.53 20 54 27.4 36.94 35 72 41.9 38.95 28 90 29.8 37.36 30 108 28.7 37.1
図 3.6 に示す逆T型擁壁の支持力に対する安全性を道路橋示方書下部構造編の静力学的支持力公式によって検討せよ。なお,支持地盤は砂質土で単位体積重量はγ=18kN/m3である。
q=10kN/m2
5.0m
1.0m
e=0.37m
H=81kN/m
V=236kN/m
q2=10kN/m2
q1=179kN/m2
B=2.5m
20
22
20
35
28
30
0 10 20 30 40 500
1
2
3
4
5
6
7
N値
深度
砂質土 γ=18kN/m3
図 3.6
香川県平成 20年度専門技術研修 土圧・支持力理論と計算のポイント(右城 猛)
31
この結果より,支持力計算に用いる内部摩擦角はφ=37゜とする。 上載荷重
fDq 2γ= 0.180.118 =×= kN/m2
荷重の偏心を考慮した基礎の有効載荷幅
eBe BB 2−= =×−= 37.025.2 1.76m 基礎の形状係数(帯状基礎) α=1.0,β=1.0 支持地盤への根入れ深さ Df’ =0m 支持層への根入れ効果に対する割り増し係数
00.144.203.01
'3.01 =×+=+=
e
f
BD
κ
有効載荷面積
eee LBA = =×= 0.176.1 1.76m2/m 荷重の傾斜
23681tan ==
VHθ =0.34
支持力係数 φ=37゜, θtan =0.34 ⇒図 3.1より Nc=25,Nq=19,Nγ=10 支持力係数の寸法効果に対する補正係数
0.1=cS (c=0の場合は 1.0とする)
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=
−− 3/13/1
1018
10qSq 0.82
=== −− 3/13/1 76.1eBSγ 0.83
極限支持力
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ ++= γγβγκακ SNBSqNScNAQ eqqcceu 12
1
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ ×××××+×××+×××××= 83.01076.10.118
2182.0190.180.10.12500.10.176.1
= 725kN 安全率
1.3236725
=== VuQ
sF >3.0(常時) O.K
答え 支持力係数 tanθ=0.34,Φ=37゜→Nc=25,Nq=19,Nγ=10 有効載荷面積 Be=1.76m,Ae=1.76m :形状係数 α=β=1.0(帯状基礎) 支持層への根入れ効果割り増し係数 κ=1 支持力係数の寸法効果に対する補正係数 Sc=1.0,Sq=0.82,S=0.83 極限支持力 Qu=725kN 安全率 Fs=3.1
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